Funkce hustoty pravděpodobnosti této veličiny je. Pro obecný počet stupňů volnosti je náhodná veličina

Transkript

1 Přdnáša č 6 Náhodné vličiny pro analyticou statistiu Při výpočtch v analyticé statistic s používají vhodné torticé vličiny, tré popisují vlastnosti vytvořných tstovacích charatristi Mzi njpoužívanější náhodné vličiny pro statisticé tsty a obdobná použití patří náhodné vličiny: - Parsonova, - Studntova t, - ischrova, A Parsonova náhodná vličina, paramtrm náhodné vličiny j počt stupňů volnosti Použití: pro spolhlivostní odhady rozptylu, tstování rozptylu, tsty dobré shody, tsty nzávislosti altrnativních znaů Jstliž uvažujm náhodnou vličinu trá j normální normovaná N0, pa náhodná vličina j vličina Parsonova sjdním stupněm volnosti unc hustoty pravděpodobnosti této vličiny j Pro obcný počt stupňů volnosti j náhodná vličina určna vztahm i i d jsou nzávislé náhodné vličiny s normálním rozdělním N Vličina j součtm druhých mocnin normovaných náhodných vličin s rozdělním N0, unc hustoty pravděpodobnosti j diniční obor vličiny 0 Distribuční unc náhodné vličiny j d P 0

2 Průběh unc hustoty pravděpodobnosti j na násldujícím grau Pro hodnotu paramtru j unc lsající Pro větší počt stupňů volnosti má řiva část rostoucí a část lsající s maimm v bodě =- S rostoucím počtm stupňů volnosti s unc stává symtričtější a v limitním případě = přchází vličina do normální vličiny Parsonova náhodná vličina s používá v analyticé statistic Při těchto výpočtch jsou potřbné vantily Vzhldm diničnímu oboru vličiny jsou dinovány tzv riticé vantily vztahm, Pro riticý vantil vličiny platí: d P,, B Studntova náhodná vličina t Paramtrm náhodné vličiny j počt stupňů volnosti Použití: pro spolhlivostní odhady střdní hodnoty, tstování střdní hodnoty, tsty náhodnosti, tsty rlativních čtností Náhodná vličina j podílm dvou nzávislých náhodných vličin: normální normované u Parsonovy s diničním oborm - t u t unc hustoty pravděpodobnosti j součinm hustot pravděpodobnosti obou náhodných vličin, u t u

3 Studntova náhodná vličina j symtricá olm střdní hodnoty, trá j nulová Jdná s o náhodnou vličinu, trá závisí na počtu prvů v popisovaném souboru Při zvyšování počtu stupňů volnosti s zmnšuj hodnota pravděpodobnosti pro modus = mdián a náhodná vličina přibližuj průběhm normální normované náhodné vličině torticy pro =, praticy pro n=30 jsou již odchyly malé Distribuční unc náhodné vličiny j t t t P t t dt Při výpočtch s Studntovou náhodnou vličinou s používá lasicý způsob dinic vantilu Kvantil j dinován od nurčité mz určité hodnotě dl vztahu t, P t t, C ischrova náhodná vličina, Paramtrm náhodné vličiny jsou dva stupně volnosti, Použití: v statisticých tstch rozptylu, v analýz rozptylu Vličina j dinována na oboru 0, + jao podíl dvou nzávislých náhodných vličin vztahm, unc hustoty pravděpodobnosti vličiny j součinm hustot pravděpodobnosti obou vličin což po úpravách má tvar,, Tvar řivy hustoty pravděpodobnosti j nsymtricý s polohou modusu vlvo ůstm počtu stupňů volnosti s řiva stává symtričtější a v limitním případě pro, přchází v řivu normální náhodné vličiny Poud rost pouz jdn stupň volnosti pa s průběh řivy blíží rozdělní s mnším stupněm volnosti Pro praticé použití náhodné vličiny jsou tablovány riticé vantily pro hodnoty = 0,0 a 0,05 Uvdný vantil j dinován od určité hodnoty do hodnoty vztahm

4 P,,,, d,,, a graicy odpovídá vliosti plochy pod řivou hustoty pravděpodobnosti od hodnoty,, Pro výpočt vantilů odpovídajících hodnotám plochy 0,99 vnt 0,95 lz použít přvodního vztahu s orajovými vantily v tvaru,,, Suprpozic náhodných vličin Při popisu obcných tchnicých problémů, vličin či procsů mohou nastat případy, ž uvdné torticé náhodné vličiny v možném rozsahu výsytu náhodné vličiny numožní popis s požadovanou věrohodností Klasicým případm j popis spolhlivostních vlastností výrobu po clou dobu jho životnosti, dy s v jdnotlivých časových tapách užívání mění intnzita poruch výrobu Řšním uvdných případů j pa využití dvou či víc náhodných vličin a jjich složní tj suprpozic V násldující apitol budou uvdny njpoužívanější suprpozic torticých náhodných vličin a suprpozic dvou ponnciálních náhodných vličin Použití v případch, dy intnzita náhodné vličiny lsá v závislosti na vliosti náhodné vličiny Suprpozicí ponnciální náhodné vličiny = - a vličiny = - zísám výsldnou vličinu c c pro onstanty c, c vyjadřující podíly jdnotlivých náhodných vličin platí vztah c c unc doplňu distribuční unc má tvar c c Výsldná lsající intnzita složné náhodné vličiny bud c c c c Při suprpozici s používají náhodné vličiny, tré s významněřádově od sb odlišují vliostí paramtru a rovněž onstanty c s řádově odlišují Přílad suprpozic vličin s paramtry =0,00 a =0,040 při podílch c =0,95 a c =0,05 j na násldujícím grau

5 Intnzita náhodné vličiny intntita náhodné vličiny 0,0035 0,003 0,005 0,00 0,005 0,00 0, Vzhldm řádové odlišnosti dílčích ponnciálních náhodných vličin << s výraz v mocnině blíží nul rychlji pro hodnotu a suprponovaná náhodná vličina přchází na ponnciální s praticy onstantní intnzitou b suprpozic ponnciální a normální náhodné vličiny Použití pro popis jvů, u trých j intnzita náhodné vličiny onstantní a od určité hodnoty vličiny intnzita rost Tnto průběh j možné popsat složním ponnciální a normální náhodné vličiny Suprponovaná vličina j popsána součtm dílčích intnzit dl vztahu Vztah pro doplně distribuční unc c suprpozic linárních náhodných vličin Při popisu určitých jvů např spolhlivostní vlastnosti výrobu s průběh intnzity náhodné vličiny významně mění co do charatru lsající-rostoucí Při zjdnodušném popisu lz použít náhradu přímovými linárními průběhy Pro část oboru 0 bud intnzita o

6 a doplně distribuční unc o Pro obor v mzích onst o a doplně distribuční unc o Pro ús v mzích 3 vnt o s uncí doplňu distribuční unc

7 = onst - + 3