Poznámky z generujících funkcí

Transkript

1 Poámy geerujících fucí Tomáš Filler. břea 6 Obsah Úvod Obyčejé geerující fuce- OPSordiary power series. PravidlapropočítáísOPS.... Jedoduchépříladypoužití Roměňovacíproblém-Themoeychagigproblem Apliacegeerujícíchfucívteoriičísel Dooalépravíto Expoecielí geerující fuce- ExpPS 3. Pravidlapropočítáísexpoecielímigeerujícímifucemi Jedoduchépříladypoužití Apliaceexpoecielíchgeerujícíchfucí Beroulliovačísla Ivertovacíformule Stirligovačísladruhéhodruhu Bellovačísla Sládáíexpoecielíchgeerujícíchfucí... 7 Referece 8 Abstrat Teto doumet shruje průběh a obsah části předášy ZTGA- teorie grafů A- avaé geerující fuce. Sažil jsem se daou látu pochopit a pa teprve psát jedotlivé sece, proto jsou ěde důay více oometováy. Poud vám ěde bude ometář chybět, ta to bude asiproto,žedaýproblémeítatěžéprohlédout.poudsevámalepřestobudedátěco eprohlédutelé, ta v ávěru doumetu odauji a příslušou literaturu, de le probraou látu ajít a doufat že problém pochopíte. Jediécodechybíjeúvodípříladpočtustromůa vrcholechaposledípříladasládáí expoecielích geerujících fucí. Poud budu mít chvilu budu se sažit tyto přílady doplit. Poudajdeteějaéchyby,apištemi ajásevrámcimožostíbudusažitvydat ovou opraveou veri a dát ji a stráu fillert/tga/ Úvod Uvažujmeposlouposta.Tétoposloupostimůžemepřiřaditásledujícígeerujícífuce. obyčejá geerující fuceordiary power series a a f

2 expoecielí geerující fuce a a! g Dirichletova geerující fuce a a D Obyčejé geerující fuce- OPSordiary power series Přílad: Obyčejá geerující fuce poslouposti samých jediče je. Pravidla pro počítáí s OPS Předpoládáme že: a a f b b g potom platí ásledující pravidla pro práci s OPS: posuutí idexu a + h f f Odvoeí: h a + ásobeí ostatou a c a a + + hfc a f f ásobeí idexem a hf Odvoeí: Pro derivaci fuce f platí f a a f a součet,rodíl a, b a ± b f ± g

3 souči fucí fg a b fg Odvoeí: Pro souči mociých řad platí a b a b částečésoučty a a f Odvoeí: Specielímpřípademmiuléhopravidla,dy b ab sepřiřadí. jesudéčley a a f +f Odvoeí: Využití předchoích pravidel pro ostruci poslouposti a + a aleprosumuplatí { a prosudé proliché f+f ombiačí čísla a + a a + + N Odvoeí: Po roepsáí tvaru -té derivace plye! alepopoděleí! + + 3

4 . Jedoduché přílady použití Přílad: Sečtěte ásledující sumu Pro sečteí sumy využijeme postup složeí výrau v sumě a pa vorec a částečý součet. + 3 f + 3 f + 3 g A Poudajdemerovojfuce gdomociéřady,taoeficietu budevýsledehledaé sumy. Dle vorce + A Aaoectedyberemečleu avýsledeje + Prosudábychommohlisumuajíttaétato: Přílad: Vyřešit reuretí vtahfiboachiho čísla F F F + F + + F i+ +i i 4i + i F f F+ f F f f F F+ f Alepřitommusíplatit F + F + +F atoiproobray.tedy f f+ fapotom f Poudtedyajdemerovojfucefvmociouřadu,potom F budečleu.rovojajdeme tato A r + B r A + B r r Potom tedy platí F A r + + B r + r r 4

5 Přílad: Je dáo číslo R N. Koli řešeí má ásledující rovice v oboru přiroeých čísel včetě uly R i N x +x +x +x 3 + x +x +x 4 + x +x 3 +x 6 + x x x 3 a x a R x R x x x 33 Tedyoeficietvrovojiřadyučleu x R udávápočetřešeí..3 Roměňovací problém- The moey chagig problem Pricipproblémuježemám7haléřovémicea37haléřovéapotřebujiaplatitKča3haléřů. Jde tato částa vůbec vyjádřit pomocí daých typů micí? Poud ao, ta oli působů existuje? Řešeí tohoto problému je jedoduché pro dva typy micíumíme přesě ajít částu, terá už ejde vyjádřitavšeadíao.pro3typymicíužtaovépřesévorceeexistujíapro4typymicí už ejsou ámy ai algoritmy pro staoveí této částy. Defiice: Nechťjsoudáačísla a, a,..., a M Naplatíže sda, a,..., a M aa < a < < a M.Potomdefiujememožiu { M } Sa, a,..., a M α i a i αi {,,,...} i Poáma: Otáoudemůžebýtjestličíslo xpatřído Sa,..., a M.Dálebychomsemohliptát atoodjaéhočísla Nplatíže > Sa,..., a M. Poáma: Je vidět že dybychom se ptali a stejou otáu a epředpoládali bychom aby byl sda, a,pabychomebylischopivyjádřitjiáčíslaežásoby sda, a. Důa existece a vlastosti hraice pro M uážeme ejdříve be použití geerujících fucíje s použitím vlastosti celých čísel. Věta. Nechť a, b Ntaová,že sda, ba, bjsouesouděláaa<b,paomožiě Sa, b platí ásledující tvreí: N, κa b Sa, b-odjistéhraicepatřído Sa, baždéčíslo κ a b Sa, b-číslotěsěpodhraicíužtameí {,,,...κ } P Sa, b -meiulouaκpatřípoloviačíseldo Sa, b Důa.Zalgebryvíme,žeproceláčíslaplatívěta. a, b Z,ta x, y Ztažeplatí ax+bysda, b Vašempřípaděásajímáotáa,daleřešitrovici ax+by,taaby x ay.poud ao,tapotom Sa, b.zdedoážemetvreí,žepoudpřidámepodmíuaby x<b,pa číslo xjedáojedoačěatímpádemiybudedáojedoačě.celérohodutípotombude vtomda y <ebo y. Nechťtedyřešímrovici ax+by,potomaždéjejířešeímátvarsoučtupartiuláríhoa obecého řešeí. Najděme tedy řešeí s ulovou pravou straou: ax+by ax by { a y yar b x xbs abs abr s r 5

6 Kde s, r Z.Obecéřešeírovicetedymůžemepsátjaox, yx, y +r b, aato r Z. Jetedyvidět,žepřidáímpodmíy x<bvyutímejedoačostřešeírovicestímže y můžeme dopočítat. Z jedoačosti řešeí potom plye, že ejvětší číslo, teré ebude v Sa, b můžeme dostat dosaeím xb a y,tedy κab b+a b.dostávámetedydůabodua. Prodůabodu3předpoládejme,že κ aechť x b aechťplatí ax+by be podmíy a y, potom κ a b ax byab x+b y Vždyplatíže b x b,alepoud Sa, b,pa Sa, baaopa.pravděpodobost jetedyrova. Dále s pomocí geerujících fucí uážeme oli případých možostí ja aombiovat existuje. Uvažujmeproto Sa, b,tedyexistujeceléeáporéřešeí ax+by.požadovaýpočet řešeí ísáme stejou myšleou jao v posledím příladě, provedeme tedy souči řad a bude ás ajímatoeficietumociy. x a + x a + x a + x 3a + x b + x b + x b + x 3b + x a x b # Koeficietumociy x mohudostatjejaosoučet a+ b.prohledáírovojepotřebujeme ajít ořey jmeovatele i s jejich ásobostmi. Tvar jedotlivých ořeů je, e iπ a, e i π a, e iπ a 3,, e iπ b, e i π b, e iπ b 3 Všechyořeymajíásobostmimo,terámáásobost.Kdybyjiýořemělještěásobost, ta by byl spor s edělitelostí čísel a a b. Proto můžeme poračovat v rovoji vtahu. # x a x b A x + B x + ω a ω C ω x ω + ξb ξ D ξ x ξ Techia, ja určit jedotlivé oeficiety ve vtahu je ásledující. Pro is oeficietu A vyásobímerovicivýraem x aprovedemelimitupro x.limituurčímepomocíl Hospitalova pravidla a oeficiet A ta bude x x Alim x x a x b ab ostatí čley vypadou díy limitě. Koeficiet B ísáme pomocí vyásobeí vtahu výraem x,derivováímapalimitou x. x x a+b lim B B x x a x b ab Další čley atím epočítám, ale provedeme sahu o rolad pravé stray vtahu do mocié řady podle vorce. # A +x + B x + ω a ω x + C ω D ξ ω x ξ ξ b ξ ayíchcemeoeficiet a umociy x. a + ab + a+b ab + ω a ω C ω D ξ ω + ξ ξ b ξ } {{ } per + ab + a+b ab + per 6

7 Kde per je periodicá fuce s periodou ab a průměr hodot přes periodu je. Doposud jsme uvažovali poue čísla a, b. Pro obecější případ yí doážeme asymptoticé chováí počtu možých působů, ja aombiovat více čísel. Věta. Nechť a < a <... < a M Ntaová,že sda,..., a M,paodjistého N počíajejepočetpůsobů h,terýmileaombiovatčíslo > čísel a,..., a M rovepřibližě Tedy platí M M!a a M / lim h M M!a a M Důa.Postupujmepodobě,jaovmiulémodvoeí. h jetedyoeficietumociéřady vilé součiem M řad. x a +x a +x a +x 3a + x am +x am +x am +x 3aM + x a x am # Úvahaoásobostiořeůjestejáaprotojediýořesásobostí Mje.Roladaparciálí lomy ás bude ajímat je pro prví oeficiet tedy A, protože te bude udávat ejvětší mociu vevýsledéřaděuoeficietu.tedy # A M x M+ j M Koeficiet A M vypočtuaprostostejýmpůsobemajerove A M lim x x x a x x am a a a M Provedu rovoj výrau3 v mociou řadu dle vorce A j x j +oečěmohodalšíchčleů 3 +M # AM x + {ějaéostaty} M j M +j j x h x Proprovedeílimityvyužijemetoho,žeučleu x jepolyomvproměé sejvyššímociou M, proto je limita rova ostatě..4 Apliace geerujících fucí v teorii čísel Věta 3. Možiu N ele apsat jao oečé disjutí sjedoceí aritmeticých posloupostí s růými diferecemi. Přílad: Disjutí sjedoceí posloupostí se stejou diferecí N{ N} {4 3 N} {4 N} Tato je možé ísat možiu N pomocí sjedoceí. Použité diferece jsou vša stejé. Důa.Důasporemaechťmámtaovésjedoceísrovaédlediferecí d <... < d M N{a + d N}... {a M + d M N} Potom mohu udělat oečě moho řad x a + x a+d + x a+d + xa x d x a + x a+d + x a+d + xa x d x am + x am+dm + x am+dm + xa M x d M x+x + x 3 + x 4 + x x 7

8 Jeliož se jedá o absolutě overgetí řadu, mohu je sečíst přeávorovaě. x a x d+ xa xam xd+ + x x dm x Rovice x dm má d M ořeů e π d i M, e π d i π dm M d,..., e i M.Spordostaemetím,žeprovedeme π dm d limitu x e i π dm M d.číslo e i M jeořeemposledíholomualevéstraěatedylimita eexistuje.nastraěpravévšalimitaexistujeajeoečáatojetedysporspředpoladem. Přílad: Jamohuapsatčíslo6jaosoučetjiýchNbeohleduapořadí růésčítace lichésčítace Zajímejme se o ásledující veličiy: r 6 -početombiací,terévyužívajívájeměrůýchsčítaců e 6 -početombiací,terévyužívajíjelichésčítace deplatíže r 6 e 6.Platítoiobecě? Věta4.Veličiyavedeévmiulémpříladuserovají,tedy r e Důa.Veličiu r ísámejaooeficietux vevýrau +x+x +x Veličiu e ísámejaooeficietux vevýrau +x+x +x 3 + +x 3 +x 6 +x 9 + +x 5 +x +x 5 + +x 7 +x 4 +x + de x můževioutjaosoučetásledujícíchčleů x x x 3 x 53 x 74 Tedy de mávýampočtupoužitýchvápisu, početpoužitých 3 atd. Poud doážeme že jsou řady stejé, doážeme ároveň i tvreí věty. Sečteím mociých řadpro e dostaeme x x 3 x 5 x 7 x Produtpro r můžemeroložitpodlevtahu+x i xi x i +x+x +x 3 +x 4 x x x 4 x x 6 x 3 x 8 x 4 Každý čitatel si ajde pro vyráceí jede jmeovatel a po vyráceí byde produt čleů s lichými mociami-tojealemiulýprodut-eshodyprodutůplyedůa r e. 8

9 .4. Dooalé pravíto Defiice: Možiu a < a < < a avemedooalýmpravítem,právědyžplatí i, j a j a i Přílad: Jao přílad existece dooalého pravíta uveďme možiu {,, 4, 6}. Věta5.Pro 5dooalépravítoeexistuje. Důa.Důasporem-echťtedyexistujemožiačísel a < a <... < a taovážesplňuje defiici dooalého pravíta. Potom defiujeme ásledující polyom A a + a + + a Provedemesouči AA aprotožeplatí a A a + a + + a a j a i dostaemen AA + N + N N + N + N N + N + N+ + + N + N + N N Zaproměou dosadíme e iϕ + N N+ + N+ N Ae iϕ Ae iϕ + eiϕn+ e iϕn+ e iϕ e iϕ + siϕn+ si ϕ Díytomu,že a jsouomplexěsdružeéplatíerovost Ae iϕ Ae iϕ + siϕn+ si ϕ ϕ Proostrucisporubudemevolitúhelta,abylomese si /si + byláporý.úhel tedyvolmeabyn+ ϕ 3 3π π,siusvčitatelimusídát-tedy ϕ +.Ptámesetedyda platí < si 3π 3π si < + + Prodůamiulé erovostivyužijeme six < xaitervalu x, π.protetopřípad uvažujemeale + 3π si + 3π < + Atoplatí spor. < 3π + < Přílad: Předpoládejme,žefyiálíchměřeímámedáačísla d,..., d N.Tatočíslapocháejí měřeíveliči y, y,..., y N,teréeáme.Závislostmei y i a d i jedáaásledujícímvtahem a, b, c áme ay i+ + by i + cy i d i Prořešeítohotoreuretíhovtahuještěpředpoládejme,žeplatí y y N. 9

10 Pro a, cbyměloplatit a, c,jiajepříladmožéřešitrovoureurecejejedoačá. Dále si defiujeme polyomy Dx: N i d i x i ámýpolyom-vímejaexplicitěvypadá Yx: N i y i x i N y i x i i polyomeáme Každourovic ay i+ + by i + cy i d i yívyásobíme x i avšechypasečtemepřes i {,..., N }adostaeme N a i N y i+ x i + b i N y i x i + c i y i x i Dx a Yx y x + byx+cx Yx y N x N Dx x Yx a+bx+cx xdx+ay x+cy N x N+ x R Dáleajdemeořeyvadraticérovice a+bx+cx,echťjsouto r a r,tímdostaemesoustavu rovicoeámých y a y N. Dr +ay + cy N r N Dr +ay + cy N r N Poudjivyřešímedostaemepočátečí y aocové y N sjehoalostípaleompletěvyřešit adaoureureciaajítvšecha y i. x 3 Expoecielí geerující fuce- ExpPS Přílad: Proč rova expoecielí? Asi proto, že e 3. Pravidla pro počítáí s expoecielími geerujícími fucemi Předpoládáme že: a a! f b b! g potom platí ásledující pravidla pro práci s ExpPS: posuutí idexu a + f ásobeí idexem a f ásobeí ostatou a c a fc

11 součet,rodíl a, b a ± b f ± g souči fucí fg a b fg Odvoeí: Pro souči mociých řad platí a b a b ale musím částečý součet řady dostat a tvar s fatoriálem, tedy c! a! částečý součet s ombiačím číslem b!!!!! a b a fe Odvoeí: Domiuléhovorcedosadíme b. 3. Jedoduché přílady použití Přílad: Sečtěte ásledující sumu S Pro sečteí sumy využijeme postup podobý jao u obyčejých geerujících fucí- tedy složeí výrau v sumě a pa vorec a částečý součet s ombiačím číslem. e e e + e + e Teďopětajdemerovojfuce+ e vřadutypu S! avememeoeficietučleu. + e Tedyoeficietu je S! + S +!

12 3.3 Apliace expoecielích geerujících fucí 3.3. Beroulliova čísla Defiice: Beroulliovačísladefiujeme jaooeficietyřady B, jejíž expoecielí geerující fucejerova e.tedyplatí B e Můžeásapadoutotáa,dajevůbecposloupost B dobředefiováa.fuce e jeholomorfíažabody iπ,tedypoloměrovergeceřadyje ϱπ.proísáíultéhočleu poslouposti B provedemelimitu,tímvšechyprvyvypadouaža B. lim e B Abychom ísali ompletí reuretí adáí Beroulliových čísel využijeme vtahu pro souči fucíařad e e B!! rátím B! +! B +!! } {{ } od V předchoím vtahu jsme mohli a áladě ostatosti fuce, terou rovíjíme v řadufx říci, že se žádé mociy v rovoji evysytou. Toto tvreí plye jedoačosti rovoje. Tedy platí B aprovšechyostatí + B Postupýmroepisováímjistíme,že B, B 6, B 3, B 4 3, B 5. Věta6.Prooeficiety B + pro platí B + Důa.Tvreívětybudeplatiprávětehdy,dyžjefuce f e + sudá.fuce f jesudádyž f jesudá.alepodosaeí platí ff,tedytvreívětyplatí. Pro původ a apliaci Beroulliových čísel de uveďme ásledující větu Věta 7. m m+ m m+ B i m i+ i i Důa.Defiujmesiveličiu S m m,budememítpevéamproměétedy S m m S m m m! m m! m S m m m! m m m m m! m e + e + e +...+e e e e e m m! } {{ } e

13 j B! i i i! Tedy oeficiety u řad musí být stejé proto m B j m j+ j! m j+! S m m! a aoec tedy S m m+ m j B! m+! j!m j+! B j m j+ i i+ i+! i m m j B j j! m j+ m m j+! Zealostipoloměruovergeceřadysemůžemedovědět,jasečísla B chovají.poloměrovergece je π, tedy platí π limsup B! tedyodjistého počíajeprovšecha platí B!! π + ε B π + ε a dále pro eoečě moho platí! ε > B π ε Abychomísalilepšíodhadpročísla B,budememusetrošířitpoloměrovergeceestávajících π. Stávající poloměr overgece byl dá existecí dvou sigulárích bodů πi a πi. Nyí s využitím teorie fuce omplexí proměé ajdeme část Lauratovy řadu fuce e.bodπje pólem prvího řádu, tedy platí lim πi lim πi e a tedy fuce πi πi e πi lim πi e lim πi e πia e πi πi +πi +πi lim πi e πi πi +πi má Taylorův rovoj s poloměrem overgece ϱ 4π. e + 8π +4π + B! + 4π Díy poloměru overgece dále platí 4π limsup a limsup B! + 4π a vlastosti limes superior plye pro eoečě moho B ε >! + 4π 4π + ε tedy platí B! 4π 3

14 3.3. Ivertovací formule Věta8.Mějmedvěposloupostia ab oterýchplatívtah a b potom platíivertovací formule b a Důa. Předpoládejme že pomocí expoecielích geerujících fucí dostaeme a A b B potom ale dle vorce pro částečý součet platí b e B Ae B e AB a! a!!!!! b! b! Jao možost použití ivertovací formule si uažme ásledující přílad Přílad: Defiujmečíslo d jaopočetpermutací πamožiě {,,..., }bepevéhobodu. Tedyepočítámepermutaceproterébyexistovalo taovéže π.proprvíchpárčleů platí d, d, d 3 adálepro d platíásledujícíreurivívorec: početvšechpermutacíje!d + d + d d + d + desčítaec d mávýamapočítáípočtupermutacísprávějedímpevýmbodematd.a posledíjedičajeaideticoupermutaci.proasaeíivertovacíformulesioačme a! a b d adodefiujmesi d.potomplatípředpoladivertovacíformule Tedy!a d! b!! d d! }{{} e Stirligova čísladruhého druhu! e!! + }{{} < +! d [ ]! e + Defiice: Nechťjsoudáačísla, N,,defiujemeStirligovočíslo { } jaopočetroladů možiy {,..., } a eprádých podmoži. Pro účely ápisu v sumách dodefiováváme ještě ásledující hodoty { } dyž < ebo < dyž alibovolé dyž { } jia 4

15 Přílad: { 4 } Poáma: Platí { } { } { } jamilevyberuprvímožiujetadruhájedoačěurčeá { } dvaprvyupevímeadalšíužjsoupevědáy Poáma: Pro { } platíásledujícíreuretívtah { } { } { } + Vtahísámeásledujícíúvahy:poudmámemožiu prvůapřidávámedoí -tý,ta hobuďařadímedovlastísupiyabyte-tedy prvůchcemerodělitdo { },ebo provedemeroděleí prvůdo supiapamáme možostíamovýprvepřidat. Věta 9. Pro Stirligova čísla platí vtah { } i i i i! i! Důa. Defiujme si ejprve ásledující polyomy B x { } x jediě { { } jia } Z B x Z{ } x Podle reuretího vtahu můžeme psát B x Z { } x + x Z Tažepolyom B xmůžemepsátvásledujícímtvaru B x x x x x x x x x B x { } x xb x+xb x B x x x B x B x x x x x x Nyí provedeme rolad a parciálí lomy x x x x α x + α x + + α x ix,limita x i i i i i i i i+ i i i i! i! α i 5

16 Tedy platí α i i i i! i! svyužitímposledíhovýsleduapíšemeovupolyom B xtato B xx α i ix i }{{} ix Proísáívýsleduvyužijemeoeficietuux vpředchoímpolyomuadostaeme { } i i i i! i! i i i i i! i! Bellova čísla Defiice: Čísla b { } aýváme Bellova čísla. Poáma: Platíže b. VýamBellovýchčíseljeásledující:číslo b udávápočetevivalecí,teréleamožiě prvů vytvořit. Pro další apliace de uážeme jaá expoecielí geerující fuce je přiřaea Bellovým číslům. Nejdříve si ale roepišme jejich tvar pomocí již ámých vtahů b { } i i i! i! {součiřad}!! e! i Potom si expoecielí geerující fuci oačíme B, tedy B Věta. Důa. Be e B + e + e i b! b! + i! e e e b! + e i +! e i }{{} e i e e e i i!! i i i i! {prohoeísum} + e i i! e i! i i i! 6

17 Pro Bellova čísla si yí odvoďme jejich reuretí ápis. Věta. b + b Důa. Pro odvoeí reuretího vtahu použijeme ásledující tri. Rovost e e b! logaritmujeme, derivujeme a dostaeme e b! b b +!!! b!! b!! Srováímoeficietůumociy padostaemepožadovaývtah. Poáma: Explicitípředpispro b bychommohlidostattaétoutoúvahou. b jepočetevivalecí a prvové možiě. Každá evivalece roládá disjutě možiu prvů a své třídy třídy evivalece. Uvažujme ejdříve, oli je evivalecí, teré geerují právě tříd. Uvažujme protočísla l, l,..., l -počtyprvůvjedotlivýchtřídách,terésplňují l i al +l + +l. Naačátumáme prvů,eterýchmáme l možostí,javytvořitprvítřídu,prodruhou tříduámbyloje l prvů,početmožostíjetedy l l atd.jeliožjsmeuvažovalipořadí jedotlivých tříd, vydělíme celový počet počtem všech permutací tříd. Naoec tedy dostáváme vtah b l,...,l P li! l l l l l l 3 l l l 3.4 Sládáí expoecielích geerujících fucí Uvažme ásledující dvě expoecielí geerující fuce F f! + f! + f! + G g! + g! + g! + Zajímejme se yí ja vypadá složeí těchto dvou fucí FG f! + f g!! + g! + g! + + f g!! + g! + g + a! +! určitějdeomociouřadu,aleajímáásopěttvaroeficietuu.prosládáífucíovšem uvažujmejetaovéřady,terébudoumítčle g.jetotohodůvodu,žebychomměliv absolutím čleu eoečou řadu o jejímž poloměru overgece bychom euměli ic říct. Pro absolutíčle a tedyplatí a f.dooeficietu a sepromítoupoueávorysmaximálí mociou. -tá mocia vypadá ásledově f g!! + g g! +! + g! + }{{} celem -rát 7

18 aždéávorypaberučley g l l! l gl l! l amusíplatit l + l + +l a l i vieprobráímvšechtaovýchvolebtedy a! f! f! l,...,l P li l,...,l P li g l l! gl l! g l l! gl FG l! Přílad: Je vidět, že složeím ásledujících posloupostí dostaeme posloupost Bellových čísel f g g Referece [] Marti Aiger, Guter M. Ziegler: Proofs from the Boo, Spriger 3rd ed., 4, VIII, ISBN: [] Herbert S. Wilf: Geeratigfuctioology Secod Editio 994 Academic Press. ISBN URL: [3] Day Breslauer, Devdatt P. Dubhashi: Combiatorics for Computer Scietists URL: 8