konstrukcí v oboru velkých deformací

Transkript

1 České vyské učení technické v Praze Stavební fakulta Studentská vědecká dbrná činnst Akademický rk 23/24 Optimální návrh a ptimální řízení knstrukcí v bru velkých defrmací Jmén a příjmení, rčník a br : Anna Kučervá 5. rčník M Knzultant : Katedra : Ing. Jan Zeman, PhD. stavební mechanika

2 Antace Předmětem tét sutěžní práce je řešení úlh ptimálníh návrhu a ptimálníh řízení knstrukcí v bru velkých defrmací. Jinými slvy, cílem práce je ukázat, jakým způsbem je mžné ptimalizvat návrhvé parametry knstrukce neb slžky zatížení tak, aby byl dsažen pžadvané defrmace neb jiných vlastnstí knstrukce. Pr ilustraci navrhvanéh pstupu řešení ptimálníh návrhu a ptimálníh řízení je pužit Reissnerův dvurzměrný mdel gemetricky přesnéh prutu, který je schpen ppsat velké defrmace knstrukce. V tét práci jsu představeny dvě mžné frmulace řešenéh prblému. První z nich přistupuje k prblému nelineární mechaniky a ptimalizace více či méně dděleně, kdy řešení statických pdmínek mechaniky představuje puze mezení přípustných řešení pr ptimalizační prblém. Ve druhé frmulaci jsu pužity Langrangevy multiplikátry pr svázání mechanickéh i ptimalizačníh prblému tak, aby je psléze byl mžné řešit simultánně. T za předpkladu, že slžky defrmace knstrukce a ptimalizvané parametry knstrukce či zatížení jsu uvažvány jak nezávislé. Optimalizační prblém je řešen metdu zalženu na principu genetických algritmů. Knkrétně je pužit algritmus SADE, pr který byl v rámci tét práce navržen a dzkušen také něklik pzměňujících návrhů. Výhdy a nevýhdy představených pstupů řešení jsu ilustrvány na něklika numerických příkladech. In this cmpetitin paper the ptimal design and ptimal cntrl f structures underging large displacements and rtatins is investigated. In ther wrds, the aim f this wrk is t shw hw t find crrespnding initial cnfiguratin and the crrespnding set f multiple lad parameters in rder t recver a desired defrmed cnfiguratin r sme desirable features f the defrmed structure. The numerical mdel chsen t illustrate the prpsed ptimal design and ptimal cntrl methdlgies is the Reissner gemetrically exact tw-dimensinal beam, which is able t describe large displacements and rtatins. Tw different frmulatins f the ptimal design and ptimal cntrl are presented. In the first ne, the prblem f nn-linear mechanics and the prblem f ptimizatin are cnsidered mre r less separately; equilibrium equatins are nly cnstraint fr an ptimizatin prblem. The secnd ne relies n the methd f Lagrange multipliers in rder t make the mechanics state variables independent frm either design r cntrl variables and thus prvide the basis fr simultaneus methd f slutin. The slutin prcedure is based n principles f genetic algrithms. Particulary, the SADE algrithm is used and sme develpements f this algrithm are presented. A number f numerical examples are given in rder t illustrate bth the advantages and ptential drawbacks f each f the presented prcedures.

3 1 Úvd Mderní knstrukce musí být čast dimenzvány tak, aby dlávaly velkým psunům a rtacím a přitm zůstaly plně funkční. Také knstrukční fáze, kdy jsu mntvány jedntlivé části knstrukce, by měla být pd pečlivu kntrlu. A naknec i eknmická kritéria nabývají stále více a více na důležitsti a jsu důvdem pr snahu ppsat uvedený prblém na přesnějším teretickém základě. Námi navrhvané ptimalizační metdy mhu být využity ve fázi návrhu knstrukce a dpmci k získání takvéh návrhu, který maximálně vystihuje předepsané pžadavky. Analgicky, metdy ptimálníh řízení knstrukcí mhu být užitečným prstředkem pr stanvení minimálníh zatížení, které vyvlá pžadvanu výslednu defrmaci knstrukce. Frmálně mhu být ba prblémy, ptimalizace návrhu i řízení, definvány jak minimalizace bjektivní funkce, která vyjadřuje naše pžadavky. Největší rzdíl mezi těmit prblémy je vlba prměnných bjektivní funkce, nebli ptimalizačních prměnných. Ty můžeme pr případ ptimálníh návrhu značit jak návrhvé prměnné, které jsu typicky spjaty s mechanickými vlastnstmi knstrukce (např. Yungův mdul pružnsti) neb s její gemetrií (např. parametry pčátečníh tvaru knstrukce neb její dílčí rzměry). V případě ptimálníh řízení značíme prměnné bjektivní funkce jak řídící. Ty jsu bvykle spjeny se zatížením dané knstrukce. Namíst řešení prblému ptimalizace návrhu a řízení dlišným způsbem, jak je bvyklé, se tat práce zaměřuje na splečné vlastnsti bu úlh, cž vytváří mžnst jejich shdné prezentace a vyvinutí nvé metdy řešení. V první části práce jsu představeny dva dlišné přístupy k frmulaci prblémů ptimálníh návrhu či řízení jak úlh spjených s prblémem nelineární mechaniky. První přístup, spíše tradiční (viz [9]), je případem, kdy se řeší dděleně ptimalizační úlha na jedné straně a prblém nelineární mechaniky na straně druhé. Obvykle bývají užívány dva různé prgramy, jeden pr řešení mechanické úlhy, druhý pr ptimalizaci. Důsledkem je mezení kmunikace mezi běma prgramy na minimum (viz [19] neb [16]), klasicky ve frmě bjektivní funkce a jejíh gradientu. V tmt případě jsu statické pdmínky rvnváhy nelineární mechaniky redukvány na puhé mezení přípustných řešení prblému, respektující meze pr daný stav knstrukce, její psuny a rtace. Druhý přístup využívá tradiční metdu Lagrangevých multiplikátrů (viz [13] neb [18]) ke spjení bu úlh v jednu, vyjádřenu jedinu rvnicí. Ta zahrnuje jak statické pdmínky rvnváhy nelineární mechaniky, tak výraz definující ptimalizační úlhu a také vnitřní vztahy statických prměnných (psunů a rtací) s ptimalizačními prměnnými, přičemž všechny tyt prměnné jsu nadále uvažvány jak nezávislé. Řešením tét rvnice je následně řešen prblém ptimalizace a prblém nelineární mechaniky sučasně. Takvu frmulaci úlhy dále nazýváme simultánní. Tat myšlenka je zárveň vyvíjena v rámci diskrétní aprximace metdu knečných prvků, cž vytváří mdel knečných prvků se stupněmi vlnsti nesestávajícími puze z psunů a rtací, ale také z ptimalizačních prměnných. Detailní frmulace uvedených pstupů je představena na Reissnervě dvjrzměrném mdelu gemetricky přesnéh prutu (viz [6]). V další části předkládané práce je představena numerická metda, která umžňuje řešení výše zmíněných prblémů. Pužita je metda ze skupiny genetických algritmů (viz [2], [14]), knkrétně algritmus SADE (viz [4],[5] ), který byl vyvinut na naší fakultě v minulých letech a též byl úspěšně testván na některých úlhách stavebníh inženýrství [1, 1, 12]. Dále je také představena nvá mdifikace tht algritmu zalžená na principu zjedndušenéh gradientu, která zvyšuje rychlst jeh knvergence a tak i jeh efektivitu. Tat mdifikace algritmu SADE je dále nazývána GRADE. Osnva práce je následující. V první kapitle je stručně představen pužitý mdel ge- 1

4 metricky přesnéh prutu, schpný ppsat velké psuny a rtace. Teretické frmulace prblémů ptimalizace návrhu a řízení jsu prezentvány v kapitle 3. Metdika řešení je ppsána v kapitle 4. Kapitla 5 pak uvádí něklik knkrétních příkladů a kapitla 6 shrnutí a další práce. V přílze A je detailněji ppsána metda řešení prblému nelineární mechaniky. Diskrétní frmulace sdruženéh prblému ptimalizace a nelineární mechaniky jsu vyjádřeny v přílze B. Přílha C uvádí průběhy ptimalizvaných funkcí pr tři úlhy tradičně frmulvanéh ptimálníh řízení. Některé btíže při aplikaci algritmu SADE na úlhu tradičně frmulvanéh ptimálníh řízení jsu ppsány v přílze D. Pslední přílha E bsahuje ukázku jiné ptimalizační metdy na řešení tradičně frmulvané úlhy ptimálníh řízení. 2 Mdel prutu s nelineární kinematiku V tét kapitle je detailně ppsána frmulace dvurzměrnéh mdelu pčátečně zakřivenéh gemetricky přesnéh prutu s nelineární kinematiku (viz [6]). Dále je představena aprximace tht mdelu metdu knečných prvků. K tradičnímu pstupu řešení nelineární úlhy uvažující uvedený mdel je pužita inkrementální analýza, která je stručně vysvětlena v přílze A. Reissnerův 2D mdel gemetricky přesnéh zakřivenéh prutu uvažující velké defrmace Dle Ibrahimbegviće a kl. [7] je uvažván předpklad, že pčáteční zakřivení je mžné dvdit ismetricku transfrmací d příméh prutu. Jestliže (g 1, g 2 ) jsu bázvé vektry referenčníh rtgnálníh systému suřadnic, pak bázvé vektry lkálníh systému suřadnic křivéh prutu (ĝ 1, ĝ 2 ) lze vyjádřit jak: [ [ ] cs α sin α ĝ1 ĝ 2 = sin α cs α ] [ g1 g 2 ], (1) kde α je pčáteční ptčení průřezu křivéh nezatíženéh prutu vzhledem k dpvídajícímu průřezu referenčníh příméh prutu. Míra zbecněné defrmace prutu je uvažvána pdle Reissnera [15]. Rtací systému (ĝ 1, ĝ 2 ) úhel ψ zavedeme vliv zatížení, tak získáme phyblivý suřadný systém s jednu su (značvanu n) klmu k průřezu a druhu (značvanu t) v jeh rvině. Můžeme tedy psát (viz Obrázek 1) [ [ ] cs ψ sin ψ n t = sin ψ cs ψ ] [ ĝ1 ĝ 2 ] = [ cs (α + ψ) sin (α + ψ) sin (α + ψ) cs (α + ψ) ] [ g1 g 2 ]. (2) Při uvažvání velkých defrmací může být plhvý vektr na defrmvané knstrukci vyjádřen jak: ϕ = ϕ + ζt = ( x + u y + v ) + ζ ( sin(α + ψ) cs(α + ψ) ), (3) kde x a y jsu suřadnice pčáteční plhy prutu, u a v jsu slžky psunu v glbálním suřadném systému a ζ je suřadnice pdél nrmály k se defrmvanéh prutu. Gradient defrmace je vyjádřen jak F = [ ϕx s ϕ y s ϕ x ζ ϕ y ζ ] = [ dx + du ds ζ dψ cs(α + ψ) ds ds sin(α + ψ) sin(α + ψ) cs(α + ψ) dy + dv ζ dψ ds ds ds přičemž s představuje suřadnici pdél sy defrmvanéh prutu. ], (4) 2

5 g 2 g 1 ĝ 2 ĝ 1 y x α t, ζ n, s α + ψ ϕ v u L l Obrázek 1: Phyblivý suřadnicvý systém. Pté může být gradient defrmace rzlžen na část dpvídající rtaci a ryzím defrma- [ ] cs(α + ψ) sin(α + ψ) F = RU; R = (5) sin(α + ψ) cs(α + ψ) cím a s využitím tzv. Bitva tensru H = U I jak míry defrmace (viz [6]), kde U = R T F, jsu získány jeh následující nenulvé slžky H 11 = Σ ζk ; H 21 = Γ, (6) kde Σ, K, Γ jsu míry zbecněné defrmace vyjádřené Reissnerem v pdbě ( dx Σ = cs(α + ψ) ds + du ) ( dy + sin(α + ψ) ds ds + dv ) 1, ( ds dx Γ = sin(α + ψ) ds + du ) ( dy + cs(α + ψ) ds ds + dv ), (7) ds K = dψ. ds kde tvar V maticvém zápisu lze rvnici (7) zapsat jak Σ = Σ Γ K Σ = Λ T (h(u) n) = Λ T h(u) e 1, (8) h(u) =, Λ = dx + du ds ds dy + dv ds ds dψ ds cs(α + ψ) sin(α + ψ) sin(α + ψ) cs(α + ψ) 1, n = Λe 1, e 1 = 1 V rámci tét práce se mezíme na lineárně pružný materiál, kde fyzikální rvnice mají N = (EA)Σ, V = (GA)Γ, M = (EI)K, (9) kde nrmálvá síla N, psuvající síla V a mment M jsu slžky vnitřních sil, plcha průřezu A a mment setrvačnsti průžezu I jsu průřezvé charakteristiky knstantní v průběhu zatěžvání a Yungův mdul pružnsti E a smykvý mdul pružnsti G jsu knstantní materiálvé parametry. Vektr vnitřních sil N může být vyjádřen v maticvém zápisu jak. N = CΣ = CΛ T (h(u) n), (1), 3

6 kde N = (N, V, M) T, C = diag(ea, GA, EI). Pr definvání slabéh řešení statických pdmínek rvnváhy je ještě zaptřebí vyjádřit virtuální defrmaci jak δσ = δ [ Λ T h(u) e 1 ] = δλ T h(u) + Λ T δh(u) = Λ T (Wh(u)δψ + d(δu)), (11) kde W = 1 1, d(δu) = dδu ds dδv ds dδψ ds, δu = δu δv δψ Slabá frmulace statické pdmínky rvnváhy je následně definvána jak ( G(u, δu) = δσ T N ) ds δu T f ext ds =, (12) L L }{{}}{{} G int G ext. kde f ext je vektr vnějších sil půsbících na knstrukci. Výraz pr virtuální práci vnitřních sil je pak ( G int (u, δu) = (d(δu) + Wh(u)δψ) T ΛCΛ T (h(u) n) ) ds. (13) L Aprximace Reissnerva mdelu prutu metdu knečných prvků Pr přehlednst následujících výpčtů pužijeme c nejjedndušší aprximaci Reissnerva mdelu pmcí prvku se dvěma uzly. Lineární bázvé funkce na tmt prvku a jejich derivace jsu následující: 1 N 1 (ξ) N 2 (ξ) 1 ξ N 1 (ξ) = 1(1 ξ), dn 1 = 1, 2 dξ N 2 (ξ) = 1(1 + ξ), dn 2 = 1. x L e 2 dξ 2 1 x 2 (14) Aprximace pčátečníh tvaru prutu je tedy uvažvána jak x e = N 1 (ξ)x 1 + N 2 (ξ)x 2, y e = N 1 (ξ)y 1 + N 2 (ξ)y 2 (15) a Jakbián transfrmace z referenční sustavy suřadnic d sustavy x, y ds dξ = Le 2, Le = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. (16) Orientace průřezu je definvána úhlem α e = arctan y 2 y 1 x 2 x 1. (17) 4

7 Isparametrické aprximace psunů a rtací jsu uvažvány ve tvaru u e = N 1 (ξ)u 1 + N 2 (ξ)u 2, v e = N 1 (ξ)v 1 + N 2 (ξ)v 2, (18) ψ e = N 1 (ξ)ψ 1 + N 2 (ξ)ψ 2. Diskrétní aprximace jedntlivých slžek zbecněné defrmace pak mají tvar (srvnej s vyjádřením 7) Σ e = 1 [ L [(x e 2 x 1 ) + (u 2 u 1 )] cs α e (ψ 1 + ψ 2 ) + ξ 1 ] 2 (ψ 2 ψ 1 ) (19) + 1 [ L [(y e 2 y 1 ) + (v 2 v 1 )] sin α e (ψ 1 + ψ 2 ) + ξ 1 ] 2 (ψ 2 ψ 1 ) 1, Γ e = 1 [ L [(x e 2 x 1 ) + (u 2 u 1 )] sin α e (ψ 1 + ψ 2 ) + ξ 1 ] 2 (ψ 2 ψ 1 ) + 1 [ L [(y e 2 y 1 ) + (v 2 v 1 )] cs α e (ψ 1 + ψ 2 ) + ξ 1 ] 2 (ψ 2 ψ 1 ), (2) kdy K e = dψe ds = 1 L e (ψ 2 ψ 1 ). (21) Prvek musí být schpen krektně ppsat stav čistéh hybu (Kirchhffva namáhání), Σ e (ξ) =,, Γ e (ξ) = a K e = knst. ξ, (22) cž je mžné jen za pdmínky, že výrazy (19) a (2) jsu nezávislé na ξ, resp. výraz je rven nule. T však pdle vztahu (21) vylučí zakřivení prutu: 1 2 (ψ 2 ψ 1 ) (23) K e = 1 L e (ψ 2 ψ 1 ) =, (24) cž je v rzpru s pžadavkem (22). Nejjednduším řešením výše ppsanéh prblému je užití jednbdvé Gaussvy integrace při vyjádření virtuální práce vnitřních sil (viz 13). V takvém případě jsu pr vyjádření zbecněných měr defrmace v (19), (2) a (21) pužity hdnty ve středu prvku ( kde ξ = ), čímž je eliminván výraz závislý na ξ a tím i hybvé zamknutí. Zavedením následujících výrazů β e = α e + 1(ψ ψ 2 ), (25) ( ) = ( ) 2 ( ) 1 (26) je získána zjedndušená aprximace defrmace, která hybvé zamknutí nezpůsbuje. Σ e = 1 L e ( x + u) cs βe + 1 L e ( y + v) sin βe 1, Γ e = 1 L e ( x + u) sin βe + 1 L e ( y + v) cs βe, K e = ψ L e. (27) 5

8 Diskretizvaná statická rvnice na úrvni jednh prvku má tvar G e (u e, δu e ) = (d(δu) + Wh(u)δψ) T ΛCΛ T (h(u) n)ds δu T f ext ds =, (28) L e L e kde d(δu) = 1 L e δu 2 δu 1 δv 2 δv 1 δψ 2 δψ 1 Λ =, h(u) = 1 L e cs βe sin β e sin β e cs β e 1 x + u y + v ψ, δu = 1 2, δψ = 1 2 (δψ 1 + δψ 2 ), δu 1 + δu 2 δv 1 + δv 2 δψ 1 + δψ 2 Virtuální práce vnitřních sil se získá sučtem příspěvků jedntlivých prvků. G(u, δu) = e G e (u e, δu e ). (29) Lkalizací pak bdržíme vektr vnitřních sil f int (u) = A e f int e (u) (3) a sustavu nelineárních rvnic pr neznámé slžky defrmace u f int f ext =. (31) Diskretizvané vyjádření každé slžky vektru f int je uveden v přílze B.1, kde je ukázána i dpvídající diskretizvaná frmulace tečnvé matice tuhsti K. Pstup řešení uvedené sustavy je ppsán v přílze A. 3 Optimalizační úlhy pr knstrukce s nelineární kinematiku Výše uvedený mdel prutu dává dstatečný základ pr ppsání ptimalizační úlhy knstrukce s materiálvě elastickým, ale gemetricky nelineárním chváním. Optimální návrh gemetrických vlastnstí knstrukce neb řízení jejíh chvání nastavením vnějšíh zatížení je tak mžné ppsat shdným způsbem, jak ukáží následující dstavce. Optimální návrh gemetrických vlastnstí knstrukce Prblém ptimálníh návrhu představuje zvlení vlastnstí mechanickéh mdelu a hledání gemetrických vlastnstí prutů (např. jejich tluštěk) neb pčátečníh tvaru knstrukce. Slžky zatížení jsu v tmt případě uvažvané jak dané knstantní hdnty. Z matematickéh hlediska může být ptimální návrh frmulván jak minimalizace bjektivní funkce J( ), která definuje pžadvané vlastnsti knstrukce. Takvá funkce pak není závislá puze na návrhvých prměnných d ppisujících gemetrii knstrukce (např. tlušt ky prutů, pčáteční tvar knstrukce), ale závisí také na jedntlivých slžkách defrmace knstrukce, jejích psunech a rtacích u. Tradiční přístup k ppsané ptimalizační úlze předpkladá, že návrhvé prměnné prstřednictvím statických pdmínek rvnváhy přím definují dpvídající defrmaci knstrukce. Prces ptimalizace Ĵ( ) pak lze frmulvat jak Ĵ(d) = min J(u(d), d) ; u(d) : G(u(d), δu) =. (32) 6

9 Nejdůležitější vlastnstí tht přístupu je malý pčet prměnných ptimalizační úlhy, jelikž jsu mezi ně zahrnuty puze návrhvé prměnné. Slžky defrmace se pr každu knkrétní kmbinaci hdnt gemetrických prměnných vypčítají jak slabé řešení statických pdmínek rvnváhy pmcí některé numerické iterační metdy, např. inkrementální analýzy (viz přílha A). Pr takt získaný vektr návrhvých prměnných a k nim iteračně dpčítaných slžek defrmace je následně vyčíslena hdnta bjektivní funkce J( ). Zřejmu nevýhdu tht pstupu je značná výpčtvá nárčnst, jelikž každé vyhdncení bjektivní funkce zde představuje další cyklus iteračníh řešení nelineární sustavy rvnic (31). Simultánní řešení prezentvané ptimalizační úlhy se pírá využití Lagrangevých multiplikátrů. Prblém pdmíněné ptimalizace (32) je tak převeden na následující úlhu: kde Lagrangián L( ) je definván jak max min L(u, d; λ), λ (u, d) L(u, d; λ) = J(u, d) + G(u, d; λ). (33) V rvnici (33) λ značí vektr Lagrangevých multiplikátrů, které zaujaly míst virtuálních rtací a psunů δu ve slabé frmulaci statické pdmínky rvnváhy (rvnice (12) a (13)) následujícím způsbem ( G(u, λ) = (d(λ) + Wh(u)λψ ) T ΛCΛ T (h(u) n) ) ds, (34) L kde λ = (λ u, λ v, λ ψ ) T. Zásadním rzdílem tht vyjádření prti frmulaci (32) je fakt, že slžky defrmace jsu zde uvažvány jak prměnné, které jsu nezávislé na návrhvých prměnných a tudíž jsu zahrnuty mezi ptimalizvané prměnné, stejně tak jak jsu mezi ně zahrnuty i Lagrangevy multiplikátry. Pčet ptimalizvaných prměnných je tak v tmt případě něklikanásbně větší, než v případě tradiční frmulace, cž zvyšuje kmplikvanst ptimalizačníh prcesu. Naprti tmu významnu výhdu tét frmulace je značné zjedndušení jedntlivých vyhdncení bjektivní funkce. Tentkrát není zaptřebí další iterační metda pr výpčet dpvídajících hdnt slžek defrmace, jelikž ty jsu prduktem ptimalizačníh prcesu. Karush-Kuhn-Tuckervy pdmínky ptimality (např. [13]) spjené s minimalizačním prblémem v (33) můžu být zapsány jak ( ) T ( ) T L( ) J(u, d) = r T u δu = δu = δu + λ T K(u, d)δu, (35) u u ( ) T ( ) T L( ) J(u, d) = r T d δd = δd = δd + λ T f int (u, d) δd, (36) d d d ( ) T L( ) = r T λ δλ = δλ = [ f int (u, d) f ext] T δλ, (37) λ přičemž K = f int (u,d) je tečná matice tuhsti. u V rvnici (35), (36) a (37) jsu vektry r u, r d, r λ rezidua ptimalizačníh prblému. Pak je mžné definvat prces řešení následujícím způsbem: min (u, d,λ ) rt r ; r(u, d; λ) = (r u, r d, r λ ). (38) 7

10 Optimální řízení knstrukcí zatížením Studvané řízení knstrukcí zahrnuje řízení vnějším kvazistatickým zatížením, které je vybírán tak, aby vyvlal u knstrukce přím ptimální či pžadvaný defrmvaný tvar a neb takvý tvar, který je na základě jiných kriterií definván bjektivní funkcí J( ). Parametry pčátečníh tvaru knstrukce jsu tu uvažvány jak známé zadané hdnty. Za předpkladu, že zatížení knstrukce je nezávislé na defrmaci knstrukce (zatížení je knzervativní), jsu řídící prměnné přím slžky zatížení, které definují výraz pr práci vnějších sil jak G ext (c; δu) := δu T F cds, (39) kde c je vektr bsahující puze nenulvé slžky zatížení a F je matice, která definuje rzlžení těcht slžek d příslušných uzlů na diskretizvané knstrukci. Jak se bvykle prvádí při pužití tradičníh pstupu, pr každu knkrétní variaci řídících prměnných c je mžné vyřešit sustavu pdmínek rvnváhy a získat tak dpvídající defrmaci knstrukce. Za tht předpkladu můžeme prces ptimalizace řízení Ĵ( ) ppsat jak Ĵ(c) = min J(u(c), c) ; u(c) : G(u(c), δc) =, (4) cž je ekvivalentní frmulace k frmulaci ptimálníh návrhu v (32). Také pužití Lagrangevých multiplikátrů v prblému ptimálníh řízení vede k frmulaci, která má mnhé splečné s dpvídající frmulací ptimálníh návrhu, jak je vidět srvnáním rvnice (33) a rvnice následující l max min L(u, c; λ) ; L(u, c; λ) = J(u, c) + G(u, c; λ). (41) λ (u, c) Jisté rzdíly jsu ve vyjádření Karush-Kuhn-Tuckervy pdmínky ptimality, které jsu při řešení úlhy ptimálníh řízení následující: ( ) T ( ) T L( ) J(u, c) = r T u δu = δu = δu + λ T K(u, c)δu, (42) u u ( ) T ( ) T L( ) J(u, c) = r T c δc = δc = δc λ T F δc. (43) c c ( ) T L( ) = r T λ δλ = δλ = [ f int (u, c) F c ] T δλ, (44) λ Naknec může být výsledný prces řešení ppsán stejným způsbem jak pr případ ptimálníh návrhu: min (u, c,λ ) rt r ; r(u, c; λ) = (r u, r d, r λ ). (45) 4 Metda řešení na principu genetických algritmů Genetické algritmy patří mezi velice mderní a ppulární ptimalizační metdy. Jsu zalžené na analgii s prcesy pzrvanými ve vlné přírdě, jak je vývj živých rganismů v průběhu milinů let. Narzdíl d klasických gradientních metd pracují genetické algritmy s takzvanu ppulací jedinců, která představuje skupinu přípustných řešení ptimalizační úlhy. Na ppulaci jsu aplikvány genetické perátry křížení, mutace a selekce. Princip genetických algritmů byl pprvé představen J. H. Hllandem v [3]. Od té dby byly tyt algritmy s úspěchem pužity k řešení širkéh kruhu úlh (viz např. publikace D. E. Gldberga [2] a Z. Michalewicze [14]). 8

11 Genetické algritmy v jejich půvdní pdbě pracují s ppulací takzvaných chrmzmů. T jsu binární řetězce reprezentující určitým způsbem přípustné řešení prblému. V případě inženýrských ptimalizačních úlh se však setkáváme s prměnnými z bru reálných čísel. V úlhách zde prezentvaných představují tyt prměnné hdnty slžek zatížení neb gemetrické vlastnsti knstrukce (např. tlušt ky prutů), které nabývají reálných hdnt. R. Strn v [17] představuje evluční algritmus nazvaný diferenciální evluce, který je upraven tak, aby přím pracval s reálnými prměnnými. Binární řetězce představující chrmzmy jsu zde nahrazeny řetězci reálných čísel, které je mžné chápat jak reálné vektry. Ty pak umžňují vytvření nvéh perátru křížení, zalženéh na výpčtu rzdílu dvu mateřských chrmzmů. V tét práci byl k ptimalizaci pužit algritmus SADE 1 [11]. Reprezentace chrmzmů jak reálných vektrů vychází z diferenciální evluce a stejně tak i princip pr perátr křížení. Liší se ale d diferenciální evluce tím, že stejně jak klasické genetické algritmy pužívá perátr mutace a upravenu tradiční pdbu perátru selekce. V [4] byl ukázán, že algritmus je schpen vyřešit i úlhy s vyšším pčtem prměnných. Stejně tak si umí pradit i u prblémů, které mají více lkálních ptim a najít glbální ptimum, přestže gradient bjektivní funkce nabývá vyských hdnt a ptimální hdnta se v blízksti ptima jeví jak izlvaná. V následujících dstavcích je stručný ppis jedntlivých perátrů algritmu. Detailnější ppis je prezentván např. v [4]. Během práce na tmt sutěžním tématu byl vyzkušen také něklik mdifikací algritmu SADE a tak byla vyvinuta nvá verze algritmu nazvaná GRADE 2. Algritmus SADE V tradičních evlučních metdách je prvním krkem vytvření pčáteční ppulace chrmzmů, nebli první generace. Chrmzmy jsu genervány jak náhdné vektry tak, že jejich jedntlivé slžky jsu vybírány z rvnměrnéh rzdělení na intervalu v předem zadaných mezích. Následuje pakvání cyklu vytvření dvjnásbku půvdníh pčtu chrmzmů pmcí perátrů: mutace, lkální mutace a křížení, hdncení nvých chrmzmů, selekce chrmzmů d nvé generace stejném pčtu jedinců jak generace pčáteční, dkud nejsu splněny zvlené pdmínky pr zastavení algritmu. V prezentvaných výpčtech pracval algritmus s ppulací P R n chrmzmech, kde n představuje celkvý pčet prměnných bjektivní funkce a P R je parametr algritmu rven 1. Necht CH i (t) je i-tý chrmzm v generaci t. Jeh vyjádření je mžné zapsat jak CH i (t) = (ch i1 (t), ch i2 (t),..., ch in (t)). (46) Vývj ppulace chrmzmů je zajišt ván těmit perátry: Operátr MUTATE Pr vytvření nvéh chrmzmu tímt perátrem je nejprve náhdně vybrán z ppulace chrmzm CH i (t). Dále je vytvřen náhdný vektr RP z rvnměrnéh rzdělení nad definičním brem bjektivní funkce. Nvý chrmzm CH k (t + 1) je pak získán pdle předpisu: 1 Simplified Atavistic Differential Evlutin 2 GRadient Atavistic Differential Evlutin CH k (t + 1) = CH i (t) + MR(RP CH i (t)), (47) 9

12 CH i (t + 1) CH p (t) CH q (t) CH r (t) Obrázek 2: Schéma perátru křížení u algritmu SADE kde M R je knstantní parametr algritmu rven.5. Pčet chrmzmů vytvřených perátrem mutace je definván dalším parametrem algritmu značvaným radiaktivita, jenž je rven.1. Operátr LOCAL MUTATE Lkální mutace vytváří nvý chrmzm vždy v blízksti některéh již existujícíh jedince. Nejdříve tedy vybere náhdný chrmzm z ppulace a změní všechny jeh slžky náhdné hdnty z bvykle velice úzkéh intervalu. Cílem perátru je rychlejší dhledávání řešení s vyšší přesnstí. Jeh efektivitu lze cenit zejména při ptimalizaci funkcí, které se vyznačují vysku hdntu gradientu v klí ptima, kde malá změna hdnty prměnných představuje velku změnu funkční hdnty, a je tedy užitečné zjemnit krk algritmu. Pčet chrmzmů vytvřených perátrem lkální mutace je definván parametrem zvaným lkální radiaktivita, jehž hdnta je rvna.1. Operátr CROSS Úklem perátru křížení je dplnit jedince vzniklé perátry mutace či lkální mutace takvý pčet nvých chrmzmů tak, aby byl dsažen celkem dvjnásbku pčáteční veliksti ppulace. Nvý chrmzm CH i (t+1) je tu vytvřen pdle následujícíh schématu: z ppulace jsu náhdně vybrány tři chrmzmy CH p (t), CH q (t) a CH r (t), je spčítán rzdíl vektrů CH q (t) a CH r (t), získaný diferenční vektr je přenásben knstantu CR a naknec přičten k chrmzmu CH p (t), nebli CH i (t + 1) = CH p (t) + CR(CH q (t) CH r (t)). (48) Tt schéma je zbrazen také na brázku 2. Každá slžka nvéh chrmzmu, která překrčí pr ni zadanu mez definičníh bru bjektivní funkce je nahrazena hdntu právě né překrčené meze. Parametr CR má pravděpdbně největší vliv na chvání algritmu. Čím větší je hdnta parametru, tím pmaleji algritmus knverguje, cž je výhdné u prblémů s větším pčtem lkálních ptim. Napak nízké hdnty parametru zvyšují rychlst knvergence algritmu. Během prezentvaných výpčtů byla hdnta parametru nastavena na.3. Operátr SELECT Selekce představuje jádr genetickéh algritmu. Jejím cílem je zajistit zlepšvání ppulace vybíráním lepších jedinců d nvé generace. Výběr je prváděn na principu inverzníh turnaje, kdy je ze dvu náhdně vybraných chrmzmů vyřazen ten hrší, cž se pakuje d té dby, než zůstane v ppulaci stejný pčet jedinců jak na začátku cyklu. Šance hršíh jedince přežít v ppulaci d další generace při tmt způsbu selekce zajišt uje užitečnu míru diverzity ppulace. 1

13 CH r (t) CH q (t) CH i (t + 1) Obrázek 3: Schéma perátru křížení u algritmu GRADE Algritmus GRADE Algritmus GRADE vznikl drbnými úpravami algritmu SADE. Myšlenka těcht úprav má dva hlavní cíle: zrychlení knvergence algritmu na hladkých funkcích s jedním jediným ptimem, snížení pčtu parametrů algritmu SADE a mezení jejich vlivu na chvání algritmu, jelikž nastavení jejich hdnt tak, aby byl algritmus efektivní, se pr různé ptimalizační úlhy může výrazně lišit, přičemž jedinu metdu jejich nastavení je puze metda pkusu a mylu. Pr připmenutí, parametry algritmu SADE jsu: P R, definující pčet chrmzmů v ppulaci; MR a radiaktivita, parametry perátru mutace; lkální radiaktivita, parametr perátru lkální mutace a CR, parametr perátru křížení. Ještě jeden parametr vystupuje v perátru lkální mutace, který služí k upřesnění intervalu pr definvání psunů zvlenéh jedince k vytvření nvéh. Ze zmíněných důvdů byla vytvřena nvá verze algritmu SADE, pjmenvaná GRADE. Nvá verze si zachvává půvdní schéma a rzdíly prti SADE jsu jen následující: zrušení perátru lkální mutace, parametr M R není nadále knstatu algritmu, ale při tvrbě každéh nvéh chrmzmu je jeh hdnta vybírána náhdně z intervalu, 1, schéma perátru křížení je nahrazen následujícím schématem: CH i (t + 1) = max(ch q (t); CH r (t)) + SG.CR(CH q (t) CH r (t)), (49) které je zbrazen na brázku 3. Operátr tentkrát pracuje puze se dvěma náhdně vybranými chrmzmy z ppulace CH q (t) a CH r (t). Jejich rzdílem vznikne diferenční vektr, který je přenásben parametrem CR a jeh směr případně změněn přenásbením sučinitelem SG. Nvý chrmzm CH i (t+1) je získán sučtem výslednéh diferenčníh vektru a lepšíh z chrmzmů CH q (t) a CH r (t). Parametr CR již také není knstatním parametrem algritmu, ale je při každém křížení generván náhdně z intervalu, CL, kde CL je nvý parametr algritmu. Nastavení hdnty tht parametru má již všem menší vliv na chvání algritmu, než jak tmu bylu u parametru CR. Pkud není u knkrétních výpčtů upřesněn jinak, je jeh hdnta rvna 1. Sučinitel SG je rven 1 pkud je chrmzm CH r (t) lepší než CH q (t) a rven 1 v statních případech. Parametry algritmu GRADE jsu tedy následující: P R, radiakivita a CL. Hdnta parametru P R je pr tent algritmus též zvlena rvna 1 a parametr radiaktivita je nastaven na hdntu.2. 11

14 5 Numerické příklady Příklady ptimálníh řízení knstrukcí zatížením Nejčastějším předmětem prblémů ptimálníh řízení je najít takvé zatížení, které vyvlá pžadvanu defrmaci u d. Objektivní funkce J( ) příslušná tmut prblému je J(u) = 1 u u d 2 ds. (5) 2 L V následující části jsu ukázány výsledky řešení tét úlhy frmulvané tradičně pr výpčet inkrementální analýzy při každém vyhdncení bjektivní funkce. Dále jsu předvedeny výsledky pr simultánní frmulaci úlhy zalžené na Lagrangevých multiplikátrech. Tradiční frmulace Při pužití tradiční frmulace úlhy a genetickéh algritmu jak maximalizační metdy je mžné ppsat prces řešení Ĵ( ) jakĵ(c) = max [ J(u(c))] (51) s J(u(c)) = 1 2 L u(c) u d 2 ds; u(c) : G(u(c), c; δu) =, (52) kde defrmace u(c) je vypčítána inkrementální analýzu st krcích jak řešení sustavy pdmínek rvnváhy G( ). Ve výpčtech pužijeme zjedndušenu diskrétní aprximaci bjektivní funkce J = 1 4 n el i= 2 [ (uij u d ij) 2 + (v ij vij) d 2] L i, (53) j=1 kde n el je pčet knečných prvků, L i je pčáteční délka i-téh prvku, u ij, v ij jsu slžky defrmace vypčítané inkrementální analýzu a u d ij, vij d jsu slžky pžadvané defrmace. Je mžné pznamenat, že v reálném živtě nenastane čast situace, kdy můžeme určit všechny slžky pžadvané defrmace. Z tht důvdu jsu v předkládaném příkladu rtace ve všech uzlech uvažvány jak neznámé. Následují dva příklady ptimálníh řízení zatížením ilustrující prces řešení (51) s využitím genetických algritmů ppsaných v předcházející kapitle. Zvlené hdnty parametrů algritmů jsu zaznamenány v tabulce 1. K získání představy charakteru řešené úlhy z hlediska ptimalizace mhu pslužit řezy bjektivní funkcí v místě ptima, které jsu ukázány na brázcích v přílze C. Algritmus SADE Algritmus GRADE P R = 1 P R = 1 radiaktivita =.1 radiaktivita =.1 MR =.5 CL = 1. lkální radiaktivita =.1 CR =.3 Tabulka 1: Parametry algritmů SADE a GRADE. První příklad se týká jednduché knstrukce ve tvaru písmene T se zatížením dvu slžkách. Jedná se tedy maximalizační prblém dvu neznámých. Mechanické vlastnsti 12

15 knstrukce, její pčáteční a pžadvaná defrmace a rzmístění zatížení je zbrazen na brázku v Knecná defrmace 1 5 EA = 12 GA = 5 EI = 1 v v Pcátecní defrmace F M Obrázek 4: Písmen T - pčáteční a pžadvaná defrmace knstrukce a rzmístění jejíh zatížení. Jelikž uváděné úlhy mají za cíl vyzkušet ppsaný prces řešení a ukázat jeh efektivitu, byl jejich zadání vytvřen následvně. Metdu pkusu a mylu byl nalezen zatížení, jež vyvlal uspkjivu defrmaci (která byla vypčítána inkrementální metdu) a ta byla nadále značena za pžadvanu s tím, že zatížení jí dpvídající byl známé. V případě písmene T jsu ptimální hdnty slžek vektru zatížení c = (F, M) a jejich minimální a maximální přípustné hdnty zaneseny d tabulky 2. Slžka Optimální Minimální Maximální F M Tabulka 2: Hdnty zatížení kstrukce ve tvaru písmene T. Prtže genetický algritmus je stchastická metda, je třeba spustit výpčet například stkrát pr mezení vlivu náhdy. Jelikž není mžné najít ptimální hdntu bjektivní funkce abslutně přesně, je výpčet vždy zastaven, jakmile dsáhne hdnty maximalizvané funkce J( ) větší než 1 7, nebli jakmile dsáhne ptimální hdnty, která je rvna nule s přesnstí větší než 1 7. Za těcht pdmínek byl při každém výpčtu zaznamenán pčet vyhdncení bjektivní funkce a nalezené hdnty jedntlivých slžek zatížení. Statistika z výsledků výpčtů je zaznamenána v tabulkách 3 a 4 3. Algritmus Minimální Maximální Průměrný SADE GRADE Tabulka 3: Písmen T - ptřebný pčet vyhdncení bjektivní funkce J( ). 3 Statistika výsledků v tét tabulce byla prvedena na výsledcích algritmu GRADE. Výpčet prváděný běma algritmy byl zastaven při dsažení stejné přesnsti ptimalní hdnty bjektivní funkce J( ) a prt i chyby v nalezených hdntách zatížení se významně neliší. 13

16 Slžka Minimální Maximální Průměrná Směrdatná dchylka F M Tabulka 4: Písmen T - nalezené hdnty zatížení. Druhý příklad se týká něc slžitější knstrukce ve tvaru písmene B se zatížením pěti slžkách. Jde tu tedy maximalizační prblém pěti prměnných. Mechanické vlastnsti knstrukce, její pčáteční a pžadvaná defrmace a rzmístění zatížení jsu zbrazeny na brázku v Knecná defrmace } EA1 GA 1 EI1 { 2 EA 1 = 1. GA 1= 1. EI 1= 1.5 EA 2=.1 GA 2= 5. EI 2= 1. EA GA 2 EI2 H V Defrmace vyvlaná v 2% zatízením M 1 M M v v Pcátecní defrmace 3 Obrázek 5: Písmen B - pčáteční a pžadvaná defrmace knstrukce a rzmístění jejíh zatížení. V případě písmene B jsu ptimální a přípustné minimální a maximální hdnty jedntlivých slžek vektru zatížení c = (H, V, M 1, M 2, M 3 ) zapsány v tabulce 5. Slžka Optimální Minimální Maximální H V M M M Tabulka 5: Hdnty zatížení knstrukce ve tvaru písmene B. Každý výpčet byl zastaven při dsažení hdnty bjektivní funkce větší než 1 6. Výsledky jsu uvedeny v tabulkách 6 a 7 stejným způsbem jak v předchzím příkladu písmene T. Algritmus Minimální Maximální Průměrný SADE GRADE Tabulka 6: Písmen B - ptřebný pčet vyhdncení bjektivní funkce J( ). 14

17 Slžka Minimální Maximální Průměrná Směrdatná dchylka H V M M M Tabulka 7: Písmen B - nalezené hdnty zatížení. Na brázcích v přílze D je zachycen průběh knvergence algritmu SADE při řešení úlhy s písmenem B. Tamtéž je i pznámka týkající se jistých ptíží při výpčtech algritmem SADE. Na základě již uvedených výsledků lze vyjádřit dmněnku, že algritmus GRADE je z bu metd efektivnější a prt je při řešení dalších úlh pužíván už puze n. Simultánní frmulace Simultánní frmulace prblému ptimálníh řízení je ukázána na úlze s knstrukcí ve tvaru písmene T, ppsané v předcházející kapitle. Mimimalizvaná funkce J( ) je definvaná jak 1 J(u, c) = α 1 u u d 2 ds (54) 2 s α 1 = 1 3. Prces řešení ˆL( ) je frmulván jak L ˆL(u, c, λ) = max (u,c,λ ) [ r T r ], (55) kde vektr r je definván v rvnicích (44) - (45). Jeh diskretizvaná pdba je uvedena v přílze B.2. Optimalizvané prměnné jsu tentkrát: slžky zatížení (2 prměnné), slžky defrmace (21 prměnných) a Lagrangevy multiplikátry (21 prměnných), cž dává celkem 44 prměnných ptimalizační úlhy. Mezní přípustné hdnty pr slžky zatížení jsu uvedeny v předcházející kapitle v tabulce 2. Intervaly přípustných hdnt slžek defrmace jsu vyjádřeny vztahem k jejich pžadvaným hdntám u d jak u min = (1 EP )u d, (56) u max = (1 + EP )u d, (57) kde EP představuje takzvanu chybu v dhadu knečné defrmace. Pr následující výpčty je jeh hdnta stanvena EP =.1. Mezní hdnty Lagrangevých multiplikátrů jsu nastaveny pevně na hdntách ±.225. K ptimalizaci je pužit algritmus GRADE s hdntami parametrů: P R = 2, CL = 1. a radiaktivita =.2. Výpčet je spuštěn stkrát a pkaždé zastaven v kamžiku, kdy algritmus nalezne řešení s hdntu výrazu r T r větší než.1. Zaznamenávána je pět přesnst nalezených slžek zatížení a pčet ptřebných vyhdncení ptimalizvanéh výrazu r T r. Statistika ze získaných výsledků je uvedena v tabulce 8. Pr následující sérii výpčtů je ptimalizační úlha zjedndušena redukváním Lagrangevých multiplikátrů jak ptimalizvaných prměnných. Tat redukce je mžná díky vyjádření závislsti těcht multiplikátrů na slžkách defrmace u a zatížení c z rvnice (42) 15

18 Minimum Maximum Průměr Směrdatná dchylka F M pčet vyhdncení výrazu r T r Tabulka 8: Získané výsledky simultánní ptimalizace zatížení - série 1. následujícím způsbem: ( ) T J(u, c) λ = K 1 (58) u Vektr reziduí r se tak zjednduší na r = (r c, r λ ) a pčet ptimalizvaných prměnných klesne na 23. Všechny statní parametry výpčtu jsu pnechány stejné jak pr předchzí sérii. Statistika ze získaných výsledků je uvedena v tabulce 9. Minimum Maximum Průměr Směrdatná dchylka F M pčet vyhdncení výrazu r T r Tabulka 9: Získané výsledky simultánní ptimalizace zatížení - série 2. Příklad ptimálníh návrhu gemetrických vlastnstí knstrukce Prblém ptimálníh návrhu knstrukce zahrnuje mnhem širší a prměnlivější skupinu úlh než prblém ptimálníh řízení. Pr úlhy ptimálníh návrhu bývá bvykle typické, že vstupními knstantami jsu známé slžky zatížení. Méně čast se už setkáme s případem, kdy je rvněž známa i pžadvaná defrmace, jelikž bjektivní funkce se častěji pírá jiný typ pžadavků, než je dcílení pžadvanéh tvaru knstrukce. Právě jeden takvý příklad byl zvlen pr ilustraci, a t na knstrukci c nejjedndušší, s bjektivní funkcí velice jednduchu a se snadn představitelným fyzikálním významem. Zvlenu knstrukcí je knzla prměnlivéh průřezu, přičemž předmětem ptimalizace je právě jeh tlušt ka. Při aprximaci metdu knečných prvků je knzla rzdělena na čtyři prvky. Tlušt ka prutu na úseku jednh prvku je pak uvažvaná jak knstantní. Optimalizační prměnné d tedy představují tlušt ky prutů na jedntlivých prvcích a je mžné je zapsat d vektru d = h = (h 1, h 2, h 3, h 4 ), cž znamená, že úlha představuje ptimalizační prblém čtyřech prměnných. Předmětem řešení je minimalizace defrmace vyvlané daným zatížením (viz brázek 6) za pdmínky, že hmtnst knstrukce má být M = 3. Výraz pr výpčet hmtnsti je následující: M = ρbh ds, (59) L kde ρ = 1/3 a b = 3. Narzdíl d všech příkladů ptimálníh řízení není v tmt případě předem známé ptimální řešení. Dané jsu jen mezní přípustné hdnty ptimalizačních prměnných, které jsu uvedené v tabulce 1. 16

19 4 2 F = h h h h E = 75 G = 5 c = 5/6 ρ = 1/3 b = 3 h e -8 Zadaná hmtnst: M = Obrázek 6: Pčáteční tvar knstrukce, její zatížení a materiálvé vlastnsti. h 1 h 2 h 3 h 4 Minimální Maximální Tabulka 1: Mezní přípustné hdnty tluštěk prutů jedntlivých prvků. Tradiční frmulace V tradičně frmulvané úlze má bjektivní funkce následující pdbu: J(u, d) = α 1 u 2 ds (M M ) 2, (6) 2 L kde knstanta α má hdntu α = 1. Diskretizvaná frmulace bjektivní funkce je pak: ( ) n el 6 n el 2 J = α u 2 ijl i ρb (h i L i ) M, (61) i= j= kde u i = (u i1, u i2, u i3, u i4, u i5, u i6 ) je vektr defrmace na jednm prvku a kde n el znamená pčet prvků. K ptimalizaci je pužit algritmus GRADE s parametry P R = 1, CL = 1. a radiaktivita =.2. Pr každu variaci tluštěk prutů je spčtena dpvídající defrmace inkrementální analýzu st krcích. Při prvním výpčtu byla nalezena maximální hdnta funkce J pt ( ) = Pté byl spuštěn výpčet ještě stkrát a zastaven při dsažení uvedené hdnty s přesnstí 1, resp. při dsažení hdnty funkce J pt ( ) větší než Statistika ze získaných výsledků je uvedena v tabulce 11. i= 17

20 Minimum Maximum Průměr Směrdatná dchylka h h h h pčet vyhdncení funkce J( ) Tabulka 11: Výsledky tradičníh řešení ptimalizace návrhu. Simultánní frmulace Pr simultánní frmulaci úlhy ptimálníh návrhu knzly se v předpisu bjektivní funkce vyskytuje puze výraz vyjadřující velikst defrmace 1 J(u) = α 1 u 2 ds, (62) 2 kde parametr α 1 = 1 3. Lagrangevy multiplikátry nejsu uvažvány jak ptimalizvané prměnné, ale jsu pčítány s užitím vztahu (35) jak ( ) T J(u, d) λ = K 1. (63) u Pdmínka dané hmtnsti knzly je bsažena až ve vektru reziduí r, jak její další slžka v pdbě r lim = α 2 (M M ), (64) kde parametr α 2 = 1. Prces řešení úlhy ˆL( ) je definván jak [ ˆL(u, d) = max r T r ] ; r = (r d, r λ, r lim ), (65) (u,c) kde r d, r λ jsu definvány rvnicemi (36) a (37) a diskretizvaná pdba vektru r je uvedena v přílze B.3. Optimalizvané prměnné jsu tedy slžky defrmace (15 prměnných) a tlušt ky prutů jedntlivých prvků (4 prměnné), cž je celkem 19 prměnných. Mezní přípustné hdnty tluštěk prutů zůstaly stejné jak v tabulce 1. Pr získání mezních hdnt defrmace je pužit výsledku řešení tradiční frmulace tét úlhy: L h init = (43.79, 35.93, 26.32, 14.2); M init = 36 (66) a pr dané zatížení (viz brázek 6) je s užitím inkrementální analýzy spčítána dpvídající defrmace u init. Mezní přípustné hdnty defrmace u min a u max jsu dané výrazem u min = (1 EP )u init, (67) u max = (1 + EP )u init, (68) kde hdnta parametru EP je rvna.1. Jak maximalizační metda je pět pužit algritmus GRADE s parametry P R = 2, CL = 2. a radiaktivita =.1. Výpčet byl spuštěn stkrát a pkaždé zastaven při dsažení hdnty výrazu r T r větší než 1.. Statistika ze získaných výsledků je uvedena v tabulce

21 Minimum Maximum Průměr Směrdatná dchylka h h h h pčet vyhdncení funkce J( ) Tabulka 12: Výsledky simultánníh řešení ptimalizace návrhu. Na tmt příkladu ptimálníh návrhu knstrukce je těžší prvnávat efektivitu tradiční či simultánní frmulace a t hned z něklika důvdů. Prvním z nich je již rzdílná frmulace bjektivní funkce J( ), jelikž pr různé frmulace úlhy jsu rzdílným způsbem definvané váhy mezi výrazem pr velikst knečné defrmace a pdmínku definující hmtnst knzly, cž vede k rzdílným řešením úlhy. Dalším důvdem je rzdíl v mnžství vstupních infrmací, které ten který pstup vyžaduje. Přest při srvnání výsledků se zdá být simultánní frmulace efektivnější než tradiční. 6 Závěr V tét sutěžní práci je nejprve představen tradiční pstup řešení prblému ptimálníh řízení, který je tvřen dvěma cykly na různých úrvních řešení. V prvním z nich je pužit iteračníh pstupu inkrementální analýzy k výpčtu vektru psunů a rtací na základě zvlených hdnt zatížení ze sustavy nelineárních statických pdmínek. Tent prblém nelineární mechaniky je již frmulván tak, aby na ptimalizační úrvni umžnil pužití mderních numerických metd zalžených na genetických algritmech. V ptimalizačním cyklu pak vyhdncení bjektivní funkce pr každu knkrétní kmbinaci prměnných představuje průběh jednh cyklu inkrementální analýzy. Pr ptimalizaci je nejdřív pužit genetický algritmus SADE (viz [4]) a psléze jeh nvě upravená verze nazvaná GRADE, která se liší využitím perátru zalženém na zjedndušeném výpčtu gradientu. V kapitle 5 je ukázán srvnání těcht dvu algritmů na dvu příkladech ptimálníh řízení pr dvě, resp. pět prměnných. Z výsledků 4 je patrn, že v bu případech je algritmus GRADE rychlejší a tudíž výhdnější. Pznámky k btížím, které vznikly při aplikaci těcht algritmů, jsu zmíněny v přílze D. V druhé části sutěžní práce je věnvána pzrnst takzvanému simultánnímu řešení prblému ptimalizace řízení. V tmt případě jsu slžky zatížení a defrmace uvažvány jak nezávislé prměnné. Statické pdmínky rvnváhy a výraz minimalizvané bjektivní funkce jsu uvedeny d vzájemnéh vztahu pmcí Lagrangevých multiplikátrů. Prblém nelineární mechaniky a ptimalizace je tak řešen sučasně na jedné úrvni, v jediném ptimalizačním cyklu. Na příkladu v kapitle 5 je ukázán, že takvá frmulace úlhy ptimálníh řízení může být efektivní, všem za předpkladu, že se značnu přesnstí známe všechny výsledné slžky defrmace. Nebli, pkud se pdaří správně předpvědět přibližné hdnty slžek defrmace s dstatečnu přesnstí, může být řešení takt simultánně frmulvané úlhy efektivnější ve srvnání s tradičním pstupem. Tent názr dkládají výsledky v tabulce 13, kde jsu prvnány výsledky pr bě frmulace ptimálníh řízení na úlze dvu prměnných. Prvnání byl prveden jednak ve výpčtvé nárčnsti bu způsbů a jednak i v přesnsti nalezených hdnt slžek zatížení ze subru sta různých spuštění výpčtu. Srvnání výpčtvé nárčnsti se pírá průměrný pčet vyhdncení bjektivní funkce. Nicméně je nutné znvu připmenut, že jedn vyhdncení pr tradičně frmulvanu úlhu představuje iterační výpčet inkrementální analýzu, cž v našem případě znamená stnásbný výpčet sustavy 21 lineárních 4 Pr výpčty v předkládané práci byl vyvinut sftware v prgramvacím jazyce C/C++. 19

22 rvnicích. Naprti tmu jedn vyhdncení v první sérii výpčtů simultánní frmulace úlhy představuje jedinné vyhdncení výrazů ve vektru r. V druhé sérii je už všem během jednh vyhdncení řešena jedna sustava 21 lineárních rvnicích pr získání hdnt Lagrangevých multiplikátrů. Prt byly všechny výpčty prvedeny na stejném pčítači, kde byla prvedena i časvá studie prváděných perací. V tabulce 13 je tedy uveden i prvnání časvé nárčnsti jedntlivých pstupů řešení prblému ptimálníh řízení. frmulace tradiční simultánní - série 1 simultánní - série 2 směrdatná dchylka pr F směrdatná dchylka pr M pčet vyhdncení jedn vyhdncení [s] dba výpčtu [s] Tabulka 13: Srvnání výsledků získaných při řešení úlhy ptimálníh řízení dvu prměnných frmulvané tradičním a simultánním způsbem. Třetí a pslední etapa předkládané práce byla zaměřena na frmulvání prblému ptimálníh návrhu knstrukce běma výše ppsanými způsby. Na základě zkušenstí z předchzích výpčtů byl pr případ ptimálníh návrhu zvlen jednduchý příklad, na kterém je mžné snadn ukázat principy řešení tht typu úlh. I zde výsledky ukázaly, že řešení simultánně frmulvané úlhy je výhdnější než řešení úlhy frmulvané tradičně. Srvnání výsledků bu pstupů je uveden v tabulce 14. tradiční frmulace simultánní frmulace směrdatná dchylka pr h směrdatná dchylka pr h směrdatná dchylka pr h směrdatná dchylka pr h pčet vyhdncení = Tabulka 14: Srvnání výsledků získaných při řešení úlhy ptimálníh návrhu knstrukce frmulvané tradičním a simultánním způsbem. Jeden ze zásadních rzdílů mezi prblémy ptimálníh návrhu a ptimálníh řízení je ve vstupních zadávaných veličinách. V případě ptimálníh návrhu může čast nastat případ, kdy nebude zadána pžadvaná defrmace, která představuje sučasně i infrmaci knečné defrmaci. Pkud na knečnu defrmaci nejsu kladeny pžadavky, nastávají btíže při frmulvání úlhy k simultánnímu řešení, kde přibližný dhad knečné defrmace představuje nezbytný vstupní parametr úlhy. V takvém případě je třeba využít jinu metdu, výpčtvě nenárčnu, která je schpna pskytnut třeba jen velice přibližně dhad knečné defrmace. Mtivací další práce by měla být snaha nalezení ptimalizační metdy, která při minimální výpčtvé nárčnsti dkáže pskytnut hrubý dhad řešení. Takvu metdu by pté byl mžné kmbinvat se simultánně frmulvaným ptimalizačním prblémem. Ten by již v zúženém prstru přípustných řešení dkázal vyřešit přesněji genetický algritmus GRADE. Příkladem takvé výpčtvě nenárčné metdy by mhla být difuzní aprximace, která využívá při řešení tzv. plchu dezvy. Jeden příklad výsledků tét metdy je uveden v přílze E. Závěry a výsledky tét sutěžní práce byly též publikvány v [8]. 2

23 Reference [1] J. Drchal, A. Kučervá, and J. Němeček. Optimizing synaptic weights f neural netwrks. In B.H.V. Tpping and Z. Bittnar, editrs, Prceedings f the Third Internatinal Cnference n Engineering Cmputatinal Technlgy, Stirling, United Kingdm, 22. Civil-Cmp Press. paper 86. [2] D.E. Gldberg. Genetic algrithms in search, ptimizatin and machine learning. Addisn- Wesley, [3] J. H. Hlland. Adaptatin in natural and artificial systems. University f Michigan, Ann Arbr, MI, Internal reprt, [4] O. Hrstka and A. Kučervá. Imprvements f the different types f binary and real cded genetic algrithms preventing the premature cnvergence. Advances in Engineering Sftware in press, 23. [5] O. Hrstka, A. Kučervá, M. Lepš, and J. Zeman. A cmpetitive cmparisn f different types f evlutinary algrithms. Cmputers & Structures, 81(18 19): , August 23. [6] A. Ibrahimbegvić and F. Frey. Finite element analysis f linear and nn-linear planar defrmatins f elastic initially curved beams. Internatinal Jurnal fr Numerical Methds in Engineering, 36: , [7] A. Ibrahimbegvic, F. Frey, G. Fnder, and Ch. Massnnet. A variatinal frmulatin f shallw shells. In E. et al. (eds.) Onate, editr, Finite elements in the 199 s, pages Springer, Berlin, A Bk dedicated t O. C. Zienkeiwicz. [8] A. Ibrahimbegvić, C. Knpf-Lenir, A. Kučervá, and P. Villn. Optimal design and ptimal cntrl f elastic structures underging finite rtatins. Internatinal Jurnal fr Numerical Methds in Engineering in press, 23. [9] M. Kleiber, H. Antunez, T.D. Hein, and P. Kwalczyk. Parameter sensitivity in nnlinear mechanics; thery and finite element cmputatins. Jhn Wiley & Sns, [1] V. Kuráž, A. Kučervá, and M. Kuráž. Využití genetických algritmů pr aprximaci retenčních čar. In M. Sáňka and J. Kulhavý, editrs, Sbrník knference dny 23, pages Mendelva zemědělská universita v Brně, 23. [11] A. Kučervá and O. Hrstka. Hmepage f SADE. ndra/sade/sade.html. [12] A. Kučervá, M. Mühlbauer, and Z. Bittnar. Parameter identificatin fr rck lng term behaviur simulatin. In NAFEMS wrld cngress 23, Orland, Flrida, U.S.A., 23. [13] D.G. Luenberger. Linear and nnlinear prgramming. Addisn-Wesley Publ., [14] Z. Michalewicz. Genetic Algrithms+Data Structures=Evlutin Prgrams. Springer- Verlag, [15] E. Reissner. On ne-dimensinal finite-strain beam thery: the plane prblem. Jurnal Appl. Math. Phys., 23:795 84, [16] B. Russelet. A finite strain rd mdel and its design sensitivity. Mechanics f Structures and Machines, 2: , i

24 [17] R. Strn. On the usage f differential evlutin fr functin ptimizatin. In Biennial Cnference f the Nrth American Fuzzy Infrmatin Prcessing Sciety, pages , [18] G. Strang. Intrductin t applied mathematics. Wellesley-Cambridge Press, [19] D.A. Trtrelli and P. Michaleris. Design sensitivity analysis: verview and review. Inverse Prblems in Engineering, 1:71 15, ii

25 Přílha A : Metda řešení prblému nelineární mechaniky Tradiční úlha stavební mechaniky uvažuje jak zadané hdnty mechanické vlastnsti knstrukce (které jsu bsaženy v matici tuhsti) a na ní půsbící zatížení. Pté bývá pužita některá numerická či analytická metda pr výpčet dpvídajících psunů a rtací knstrukce. Řešení úlhy představuje výpčet sustavy pdmínek rvnváhy: f int (u) = f ext. (69) V případě gemetricky nelineární mechaniky je vektr vnitřních sil nelineární funkcí psunů u. Nejčastěji užívanu metdu řešení systému nelineárních rvnic je inkrementální analýza. Tat metda zavádí nvý parametr značvaný jak pseud-čas t neb parametr zatížení f int (u(t)) = f ext (t); t [, T ]. (7) Pté je zvlena diskretizace časvéh intervalu [, T ] = n inc n=1 Zatížení jak funkce pseud-času je definván jak [t n, t n+1 ]. (71) f ext (t) = f ext g(t); g(t ) = f ext (T ) f ext, (72) kde f ext (T ) představuje celkvé zatížení půsbící na knstrukci, f ext je knstatní vektr a g(t) je zvlená kladná rstucí funkce, např. g(t) = t. Přírůstek zatížení je je určen jak fn+1 ext = fn+1 ext fn ext ; fn+1 ext = f ext g(t n+1 ); fn ext = f ext g(t n ). (73) Přírůstek defrmace u n+1 = u n+1 u n ; u n+1 = u(t n+1 ); u n = u(t n ) (74) u n+1 = K 1 (u n ) [ f ext n f int (u n ) + f ext n+1], (75) f int n kde K(u n ) = je tečnvá matice tuhsti získaná derivací vektru vnitřních sil f int (u u n ) pdle všech slžek defrmace u. iii

26 f f ext n+1 f ext n f ext n+1 K(u n ) f int (u n ) u n+1 u n u n+1 f int (u n+1 ) f int (u) u Obrázek 7: Schéma inkrementální analýzy. Přílha B : Diskretizvaná frmulace sdruženéh prblému ptimalizace a nelineární mechaniky Diskretizace prblému nelineární mechaniky Snahu následující frmulace je maximálně usnadnit prgramvání (např. v jazyce C/C++). Pr snazší vyjádření systému pdmínek rvnváhy (31) je mžné nejprve zavést vektr ΛN e pr jeden element jak ΛN e = Λ e C e Λ et (h e (u) n) = ΛN 1 ΛN 2 ΛN 3 = cs βe EA e Σ e sin β e GA e Γ e sin β e EA e Σ e + cs β e GA e Γ e EI e K e, (76) kde diskrétní frmulace pr β e, Σ e a Γ e je uvedena v rvnicích (25) a (27). Nyní je mžné vyjádřit vektr vnitřních sil jednduše následujícím způsbem: f 1 ΛN 1 f 2 ΛN 2 fe int 1 f = 3 = ( x + u)( ΛN 2 2) + 1( y + v)(λn 2 1) ΛN 3. (77) f 4 ΛN 1 f 5 ΛN 2 1 f 6 ( x + u)( ΛN 2 2) + 1( y + v)(λn 2 1) + ΛN 3 Tečnvá matice tuhsti je definvaná jak derivace vektru fe int vektru psunů a rtací u: K e = [6 6] pdle všech slžek f int (6 1) u (6 1) ; u e = (u 1, v 1, ψ 1, u 2, v 2, ψ 2 ) T. (78) S využitím něklika analgií mezi jedntlivými prvky vektru f int e a v samtné matici K je iv

27 mžné její pdbu vyjádřit pmcí následujícíh schématu K11 e K12 e K13 e K11 e K12 e K e 13 K12 e K22 e K23 e K12 e K22 e K23 e K e K13 = e K23 e K33 e K13 e K23 e K e 36 K11 e K12 e K13 e K11 e K12 e K13 e, (79) K12 e K22 e K23 e K12 e K22 e K23 e K13 e K23 e K36 e K13 e K23 e K33 e kde jedntlivé prvky jsu K e 11 = f 1 u 1 = 1 L e ( EA e cs 2 β e + GA e sin 2 β e), K e 12 = f 1 v 1 = 1 L e (cs βe EA e sin β e sin β e GA e cs β e ), K e 13 = f 1 ψ 1 = 1 2 [(EAe GA e )(sin β e Σ e cs β e Γ e ) sin β e GA], K e 22 = f 2 v 1 = 1 L e ( EA e sin 2 β e + GA e cs 2 β e), K e 23 = f 2 ψ 1 = 1 2 [(EAe GA e )( cs β e Σ e sin β e Γ e ) + cs β e GA], (8) K e 33 = f 3 ψ 1 = 1 4 ( x + u) [(EAe GA e )( cs β e Σ e sin β e Γ e ) + cs β e GA] ( y + v) [(EAe GA e )( sin β e Σ e + cs β e Γ e ) + sin β e GA] + + EIe L e = 1 2 [( x + u)ke 23 ( y + v)k e 13] + EIe L e, K e 36 = f 3 ψ 2 = 1 4 ( x + u) [(EAe GA e )( cs β e Σ e sin β e Γ e ) + cs β e GA] ( y + v) [(EAe GA e )( sin β e Σ e + cs β e Γ e ) + sin β e GA] EIe L e = K e 33 2EIe L e, kde L e je definván rvnicí (17). Glbální vektr vnitřních sil f int a matice tuhsti K jsu pak dány lkalizací f int nel = A (n ddl 1) { f e int }; K e=1 (6 1) nel = A { (n ddl n ddl ) e=1 Ke (6 6) }, (81) kde n ddl je celkvý pčet stupňů vlnsti knstrukce a n el je pčet elementů knstrukce. Diskretizace prblému ptimálníh řízení knstrukce zatížením Frmulace prblému ptimálníh řízení knstrukce je vyjádřena pr příklad z kapitly 5. Při simultánní frmulaci prblému je třeba vyjádřit derivace bjektivní funkce J( ) v následující diskretizvané pdbě: J(u, c) u = α 1 (u u d ); u = (u 1, u 2,..., u nddl ) T u d = (u d 1, u d 2,..., u d n ddl ) T, (82) v

28 J(u, c) = α 2 c; c c = (F, M) T. (83) Vektr reziduí r = (r λ, r u, r c ) je pak ( ) r T = (f int F c) T (1 n ddl ) ; α 1 (u u d ) T + λ T K; α 2 c T + λ T F (1 n ddl ) (1 n c), (84) kde n ddl je pčet stupňů vlnsti celé knstrukce a n c je pčet nenulvých slžek zatížení (v tmt případě n c = 2). Diskretizace prblému ptimálníh návrhu gemetrických vlastnstí knstrukce V případě prblému ptimálníh návrhu knstrukce je třeba ještě vyjádřit následující výrazy tvřící vektr reziduí r. Jedná se derivace bjektivní funkce J( ) pdle jedntlivých defrmačních prměnných, dále pdle ptimalizačních prměnných a psledním výrazem je derivace pdmínek rvnváhy pdle ptimalizačních prměnných. V tét kapitle budu tyt derivace vyjádřeny pr knkrétní příklad z kapitly 5. Optimalizační prměnné jsu v tmt případě tlušt ky prutu na jedntlivých prvcích. Vektr ptimalizačních prměnných má tedy zápis d = h = (h 1, h 2, h 3, h 4 ) T. (85) Derivace pdmínek rvnváhy vyjádřená pr e-tý prvek tedy zahrnuje jedinu ptimalizační prměnnu h e, která je bsažena puze ve výrazu pr vektr vnitřních sil fe int. Výraz materiálvé matice tuhsti je C = diag(ea, GA, EI) = diag(ebh e, Gbh e, E 1 12 bh3 e). (86) Dále je mžné definvat vektr ΛN e jak cž naknec vede k ΛN = ΛNe h = f int e h = ΛN 1 ΛN 2 ΛN 2 = cs βe EbΣ e sin β e GbΓ e sin β e EbΣ e + cs β e GbΓ e 1 4 Ebh2 e.k e ΛN 1 ΛN ( x + u)( ΛN 2) ( y + v)(λn 1) ΛN 3 ΛN 1 ΛN ( x + u)( ΛN 2) ( y + v)(λn 1) + ΛN 3, (87). (88) Matice f int h v glbální pdbě je dána lkalizací f int = h (n ddl n el ) n el A{ e=1 f int e h (6 1) kde n ddl je pčet stupňů vlnsti celé knstrukce a n el je pčet prvků. }, (89) vi

29 Derivace bjektivní funkce J( ) definvané v (62) jsu J(u) u = α 1u; u = (u 1, u 2,..., u nddl ) T (9) a J(u) =. (91) h Naknec, pr definvání kmpletníh vektru reziduí pr prblém ptimálníh návrhu, je třeba ještě vyjádřit diskretizvanu pdbu výrazu pr hmtnst knstrukce M jak M = ρb 4 h i L i. (92) Diskretizvaný vztah pr výpčet Lagrangevých multiplikátrů je i= λ = α 1 u T K 1. (93) A knečně vektr reziduí r = (r d, r λ, r lim ) T je r T = λ T f int ; (f int f ext ) T ; α 2 (M M ), (94) h (1 n (1 n el ) ddl ) (1 1) kde n ddl je pčet stupňů vlnsti knstrukce a n el je pčet prvků (v tmt případě n el = 4). vii

30 Přílha C : Průběhy maximalizvaných funkcí pr tři tradičně frmulvané prblémy ptimálníh řízení netative cntrl functin J negative cntrl functin J mment M frce F mment M frce F 5 6 Celý br hdnt funkce J( ) Detail v klí ptimální hdnty funkce J( ). Obrázek 8: Písmen T - průběh maximalizvané funkce řízení J( ). 1 2 cntrl functin J frce F mment M Obrázek 9: Písmen I - průběh maximalizvané funkce řízení J( ) v její nerzšířené pdbě 51. viii

31 cntrl functin J cntrl functin J frce V frce H frce V frce H Řez H V Detail řezu H V v blízksti ptima 5.1 cntrl functin J cntrl functin J mment M frce H mment M frce H Řez H M 1 Detail řezu H M 1 v blízksti ptima cntrl functin J cntrl functin J mment M frce V mment M frce V Řez V M 1 Detail řezu V M 1 v blízksti ptima Obrázek 1: Písmen B - průběh maximalizvané funkce řízení J( ). ix

32 cntrl functin J negative cntrl functin J mment M mment M1 mment M mment M1 Řez M 1 M 2 Detail řezu M 1 M 2 v blízksti ptima 1 cntrl functin J negative cntrl functin J mment M1.8 mment M mment M mment M3 Řez M 1 M 3 Detail řezu M 1 M 3 v blízksti ptima 2 cntrl functin J cntrl functin J mment M mment M mment M mment M3 Řez M 2 M 3 Detail řezu M 2 M 3 v blízksti ptima Obrázek 11: Písmen B - průběh maximalizvané funkce řízení J( ). x

33 Přílha D : Optimální řízení knstrukce ve tvaru písmene B algritmem SADE G2:-J= G3:-J= G4:-J= G26:-J= G27:-J= G28:-J= G41:-J=-1.332e-5 G42:-J= e-5 G43:-J= e-5 G67:-J= e-6 G68:-J= e-6 G69:-J= e-7 Obrázek 12: Knvergence algritmu SADE při tradičním řešení prblému písmene B. Obrázek 12 zbrazuje průběh knvergence algritmu SADE při tradičním řešení úlhy s písmenem B. Svislé čáry představují měřítk hdnt pr každu ptimalizvanu prměnnu v přadí: H, V, M 1, M 2 a M 3. Chrmzmy jsu znázrněny lmenými čarami, spjující hdnty každé prměnné vynesené na dpvídajícím měřítku. Přestže brázky byly vyhtveny během výpčtu, který knvergval pměrně rychle, je mžné pstřehnut, že slžky zatížení M 1, M 2 a M 3 knvergují rychleji než slžky H a V. Důvdem je pravděpdbně fakt, že hdnty mmentů M 1, M 2 a M 3 mají mnhem větší vliv na hdntu bjektivní funkce J( ) než síly xi