HODNOCENÍ ÚČINKU AUTOMATICKÉ REGULACE NA RE- DUKCI VLIVU NÁHODNÝCH PORUCH NA REGULOVANOU VELIČINU

Transkript

1 procs 006 HODNOCENÍ ÚČINU AUOMAICÉ EULACE NA EDUCI VLI VU NÁHODNÝCH POUCH NA EULOVANOU VELIČINU Jiří ŮMA HODNOCENÍ ÚČINU AUOMAICÉ EULACE NA E DUCI VLIVU NÁHODNÝCH POUCH NA EULOVANOU VELIČINU Jiří ŮMA Vsoá šola báňsá chnicá unirzita Ostraa, Ostraa Poruba Účlm automaticého řízní a informačních sstémů j dosažní úspor praconích sil a zlpšní doumntac o průběhu rguloaného tchnologicého procsu. Přdložný rfrát si chc šimnout dalšího ftu rgulac, trým j zlpšní alit řízní lpší ompnzaci náhodných poruch. V rfrátu bud počtn poměr rozptlu olísání rguloané ličin a rozptlu náhodné poruch. líčoá sloa: náhodná porucha, náhodná chba měřní, optimální sřízní rgulačního obodu. Automatic control sstms ar aimd at rducing of th suprising staff and nhancmnt of th control rcords about th controlld procss. h submittd papr is focusd at th ffct on controlling procss, which is impromnt of control qualit from th iwpoint of disprsion of th controlld plant output. h papr main rsult is an aluation of th dpndnc of th plant output disprsion rlatd to th disturbanc disprsion on th controlld. words: random disturbanc, random masurmnt rror, optimal tuning of th control loop.. Úod Proozní praconíci, dohlížjící na průběh tchnologicého procsu, přdším žádají, ab průběh tchnologicých ličin nazoal odchl od žádaných hodnot, tré s dlouhodobě nmění. J pro ně zbtčný průběh odz na so žádané hodnot. Jjich zájm j soustřděn jn na rozsah olísání rguloané ličin a co njětší potlační liu náhodných poruch buď měřitlných nbo nměřitlných. Vli sřízní rgulačního obodu na rozptl rguloané ličin j hlaním zaměřním přdložného rfrátu. p rgulačních smč bl brán podl potřb nětrých hutních proozů. frát j cíln na potřb určitého sgmntu praticých apliací tori rgulac.. Vli náhodné poruch a chb měřní na rguloanou ličinu.. Charatristi náhodných signálů Náhodnou ličinu charatrizuj hustota rozdělní praděpodobnosti. Záladní statisticou charatristiou j střdní hodnota a rozptl. Podobně náhodné signál njúplněji dfinují mnohorozměrné hustot praděpodobnosti. Při analýz tchnicých sstémů lz ětšině případu stačit s statisticými charatristiami druhého řádu, a to orlační func a ýonoá sptrální hustota. V rozsahu této přdnáš budou použit jn náhodné procs tpu bílého šumu a procs s xponnciální autoorlační funcí. ab. Náhodný procs Autoorlační func Výonoá sptrální hustota Bílý šum ( τ ) δ ( τ ) S ( ω )

2 procs 005 ůžoý šum α τ τ.. Průchod náhodných signálů dnamicou soustaou S ( ω ) α ( ω α ) Linární dnamicé sousta tarují průchodm sptra stupních náhodných signálů druhou mocninou absolutní hodnot sé frnční charatristi. Sptrum na ýstupu spojité nbo disrétní linární dnamicé sousta j dáno zorci, tré jsou obsažn obrázu. Obr. Autoorlační func a ýonoá sptrální hustota bílého a růžoého šumu ozptl signálu na ýstupu sousta s počt u sstému popsaných frnčním přnosm podl zorc () a přnosm Z transformaci podl zorc () ab. Sstém s spojitým časm ( 0) x ( jω) x ( jω) Sxx( ω) dω π Disrétní sstém π j () ( 0) x x S xx () c z dz Pro ýpočt těchto intgrálů racionálních funcí xistuj řada algoritmů, a to buď formě zorc nbo numricého ýpočtu []. Usnadnit ýpočt obou intgrálů umožňuj znalost nětrých pólů intgroané racionální func, a to buď u přnosu nbo u frnčního sptra. Pro ýpočt intgrálu funcí proměnné z s nětrými známými pól bl proto rozšířn Strjců algoritmu pro intgrál po jdnotoé ružnici c, d A(z) j polnom s nznámými ořn a C(z) j rozlad polnomu na ořnoé činitl []. B B D D z dz (3) πi A A C C z c 3. ompnzac liu náhodné poruch na rguloanou ličinu Poruchoá ličina, trá přdstauj jdn z stupů do rgulačního obodu, má obl náhodný časoý průběh s omzným frnčním sptrm. Pro analýzu a sntézu rgulačních obodů s tímto tpm poruch j třba brat jdnoduš dfinoatlný tpoý tstoací signál. to podmín splňuj náhodný procs s autoorlační funcí xp α τ, trý znin na ýstupu stračného článu, jstliž stupní signál j tpu xponnciálního tpu bílého šumu. Exponnciální autoorlační funci přísluší ýonoá sptrální hustota ( ω ) α ( ω α ) d j směrodatná odchla časoého průběhu náhodné ličin a α j charatristicá hodnota jjího frnčního sptra. Funční záislost sptra tpoé náhodné poruch na úhloé frnci j na obrázu. Pro sronání j tomto diagramu udno sptrum jdnotoého sou, což j func úměrná ω. Jdnotoý so j oblíbným tstoacím signálm při analýz a sntéz rgulačních obodů. Podstatný rozdíl mají průběh obou sptr pro úhloé frnc mnší nž liost paramtruα. Z sronání sptr j zřjmé, ž jdnotoý so nadhodnocuj ýznam nízofrnčních slož frnčního sptra poruch. Výběr tstoacího signálu b měl plýat z apliační úloh. Pro náhodné poruch j třba použít náhodný tstoací signál S(ω) S, ω α ω 0 3 α α α 0 α α 3 α ω Obr. Frnční sptra Další náhodná ličina, trá oliňuj účin rgulac, j chba měřní rguloané ličin, případně měřitlné poruch. O této chbě blo přdpoládáno, ž j to náhodný procs tpu bílého šumu s nuloou střdní hodnotou, tj.

3 procs 006 HODNOCENÍ ÚČINU AUOMAICÉ EULACE NA EDUCI VLI VU NÁHODNÝCH POUCH NA EULOVANOU VELIČINU Jiří ŮMA 3 jho sptrum j pro šchn frnc onstantní a měřní j bz staticé chb (chýlní měřných hodnot). oněž j přdpoládáni, ž oba náhodné procs jsou zájmně nzáislé. Protož analzoané sousta jsou linární, rozptl odz obou stupních náhodných signálů, tj. poruch a chb měřní, s na ýstupu rguloané sousta sčítají. Sousta s dopraním zpožděním bl analzoán jao disrétní, přičmž zoroací prioda bla zolna stjná jao j liost dopraního zpoždění. 3.. Staticá soustaa s dopraním zpožděním Blooé schéma rgulačního obodu pro soustau s dopraním zpožděním, s poruchou aditiní stupu sousta a s chbou měřní rguloané ličin j na obrázu 3. gulátor j proporcionálně sumační s zsílním a s liností sumační slož. Driační složa nní použita protož chba měřní znhodnocuj jjí účin. Ační ličina s počt podl zorc u i 0 Bz omzní obcnosti lz přdpoládat, ž zsílní sousta j jdnotoé. V tomto případě lz sronáat směrodatnou odchlu poruch a chb měřní pomocí ritéria B. δ i (4) w PS δ Obr. 3 gulační obod s staticou soustaou a dopraním zpožděním Analticý ýpočt přnosu rozptlu dáá násldující účin ompnzac liu poruchoé ličin a chb měřní rguloané ličin na rguloanou ličinu, d paramtr E xp ( α ) rprzntuj charatristiu šíř frnčního sptra poruch a priodu zoroání ( E)( E) 3 ( E( ) E )( )( ) 3.. Soustaa intgrační s dopraním zpožděním V ýrobních procsch jsou často užíán při dopraě matriálu ronáací zásobní. Func zásobníů můž být dojí, a to zajišťoat co njplnuljší přísun matriálu při nronoměrné spotřbě nbo zásobní plní určitou tchnologicou funci a jho zaplnění musí být čas co njstáljší. Při rgulaci zaplnění zásobníu s jho zaplnění samozřjmě měří. Doplňoě můž být měřna taé liost ýstupního tou, tj. spotřba Q. o ŽH B ( ) ( )( ) P. 0.ř. δ Q i. (5) Obr. 4 gulační obod s intgrační soustaou a dopraním zpožděním Blooé schéma rgulačního obodu s poruchou a s chbou jjího měřní j na obrázu 4. Ační ličina j dána součtm ýstupu proporciálního zpětnoazbního rgulátoru s zsílním a přímoazbního rgulátoru od měřitlné poruch s zsílním P. Obcný zorc pro ýpočt přísunu matriálu do zásobníu j násldující i ( ) PQo Q. (6) ŽH Poruchoou ličinou rgulačního obodu j liost ýstupního tou matriálu z zásobníu Q o. Pro posouzní sřízní rgulačního obodu j důlžitý rozptl rguloané ličin a rozptl ační ličin. Účin řízní lz td hodnotit přnos násldujících rozptlů Qo [ ] [( P ) P] ( E )( P ) ( P ) E ( )( )( E E ) Q o. (7)

4 procs Qi E P P E [ P P ] Qo [ ] ( )( )( E E ). (8) d j zsílní otřné smč a E j paramtr stjného ýznamu jao zorci (5) Soustaa stračná bz dopraního zpoždění Posldním obodm, u trého j analzoán li náhodné poruch na rguloanou ličinu, j stračná soustaa s PI rgulátorm. J přdpoládáno, ž náhodná porucha má taé xponnciální autoorlační funcí. Blooé schéma rgulačního obodu j na obr. 5. Přnos rgulátoru a sousta při užití Laplaco transformac j dán ztah w PI Obr. 5 gulační obod s stračnou soustaou () s I s, () s. (9) s S Přnos rozptlu poruch na rozptl rguloané a ační ličin lz počítat taru zorců u αi, (0) ( α )( α ( ) ) α I ( α αi ) ( α )( α ( ) ) α I. () analýz funční záislosti rozptlů na olbě zsílní rgulátoru obsahují zorc další tři paramtr. Při sřízní rgulátoru mtodou inrz dnami s doporučuj olit časoou onstantu intgrac shodnou s časoou onstantou sousta I. Zsílní otřné smč j záislé na časoé onstantě uzařného obodu podl zorc w. Časoou onstantu sousta a paramtr α lz shrnout do bzrozměrného paramtru ϕ α. raficé znázornění funčních záislostí poměru rozptlů na nastaní rgulačního obodu a lastnostch náhodné poruch a chb měřní lz nalézt sriptch [3]. Pro ndostat místa njsou graf součástí tohoto rfrátu. 4. Záěr frát s zabýá ýpočtm liu náhodné poruch a chb měřní rguloané ličin na rozptl ační a rguloané ličin. Vzorc jsou sstan ta, ž umulují li něolia paramtrů rgulačního obodu a charatristi náhodných procsů do bzrozměrných ličin, ab blo možné njsnáz odhadnout, zda rgulační obod ompnzaci poruch zlpší nbo rgulac bud bz účinu. 5. Litratura [] ASÖM,.J.: Introduction to Stochastic Control hor. ACADEMIC PESS, NwYor 970 [] ŮMA, J. Výpočt adraticého ritria řízní s disrétním časm in: Automatizac 985, roč. 8, č., s [3] ŮMA, J. Složité sstém řízní, I. Díl: gulac sousta s náhodnými poruchami, VŠBU Ostraa, 998, s 5. ISBN Adrsní údaj o autorch Plné jméno s titul: Pracoiště a jho začlnění do instituc / firm: prof. Ing. Jiří ůma, CSc. Vsoý šola báňsá chnicá unirzita Ostraa,

5 procs 006 HODNOCENÍ ÚČINU AUOMAICÉ EULACE NA EDUCI VLI VU NÁHODNÝCH POUCH NA EULOVANOU VELIČINU Jiří ŮMA 5 Faulta strojní, atdra APŘ Adrsa pro orspondnci: VŠB U Ostraa, Faulta strojní, atdra AŘ, 7. listopadu 5, Ostraa Poruba Jiri.tuma@sb.cz Fax: lfon: