Otevˇ ren e kvantov e syst emy 02OKS 8. ledna 2019

Transkript

1 Otevřené kvantové systémy 02OKS 8. ledna 2019

2 OBSAH OBSAH Obsah 1 Přehled značení 2 2 Úvod Vývo v uzavřeném kvantovém systému Operátor hustoty Evoluce operátoru hustoty Pops složeného systému Schmdtův rozklad Klasfkace stavů podle korelací Matematcký aparát Izomorfzmy Klenova nerovnost Peerlova nerovnost von Neumannova entrope Relatvní entrope Kvantové měření von Neumannovo měření Zobecněné měření Kvantové operace Vlastnost kvantových operací Kvantové operace teleportací Krausova reprezentace Stnesprngova reprezentace Neumarkova reprezentace Změny kvantového systému Časová spotost Homogenní Markovovské procesy Spektrální vlastnost

3 1 PŘEHLED ZNAČENÍ 1 Přehled značení A A T A H B(H ) S(H ) ρ Ker A Ran A supp A sup M Tr A Tr (H ) A Tr HB A komplexní sdružení operátoru A transponovaná matce k matc A hermtovské sdružení operátoru A Hlbertův stavový prostor Hlbertův prostor všech omezených operátorů defnovaných na stavovém prostoru H prostor všech operátorů hustoty defnovaných na prostoru H operátor hustoty tenzorový součn ádro operátoru A obor hodnot operátoru A nosč operátoru A supremum množny M stopa operátoru A stopa operátoru A s explctním vyádřením prostoru H, na kterém e operátor defnován částečná stopa operátoru A B(H A H B ) přes prostor H B 2

4 2 ÚVOD 2 Úvod V běžných kurzech kvantové fyzky sme se dosud setkal se systémy ako sou volné částce, ech shluky č částce podléhaící vlvu okolního slového pole. Celý systém částce spolu s působícím polem šlo přtom považovat za zolovaný, nevyměňuící s hmotu č energ s něakým ným systémem. Ve skutečnost samozřemě žádný takový, dokonale zolovaný, systém neexstue. Poem zolovaného systému slouží spíše ako dealzace skutečnost, se kterou lze rozumně počítat a ke které se reálně můžeme pouze více č méně přblížt. U dostatečně zolovaných systémů bude tato aproxmace použtelná. Pro vývo takovýchto systémů se v úvodních kurzech odvozoval různé rovnce Schrödngerova rovnce, Klen-Gordonova rovnce, Dracova rovnce atd. Například v případě Schrödngerovy rovnce sme mohl vývo systému popsat pomocí evolučního operátoru, untárního operátoru působícího na stav systému. Skutečnost, že daný operátor e untární, zapříčňue časovou reverzbltu vývoe daného systému. Během evoluce se tedy nformace o stavu systému neztrácí a mez každým dvěma časovým okamžky exstue nvertblní operátor převáděící stav systému v ednom okamžku na stav v okamžku druhém. Co ale když vývo zkoumaného systému nelze popsat bez současného vlvu okolí? Pod okolím daného systému rozumíme něaký ný systém, ehož vývo nesme schopn plně zachytt a eví se nám ako naruštel, se kterým zkoumaný systém nevyhnutelně nterague. V reálném světě může ít například o zbytkové magnetcké pole, které nevhodně působí na zkoumaný spn a ehož vlv přtom není expermentátor s to potlačt an nak kontrolovaně ovládat. Podobným naruštelem mohou být částce, které se uvolňuí z měřící aparatury a nteraguí se zkoumanou částcí. Příkladů by šlo samozřemě naít mnoho a to neen těch z laboratorního prostředí. Vývo takovéhoto systému vystaveného vlvům prostředí ž nelze popsat ednoduše pomocí evolučního operátoru. Časový vývo ž není obecně reverzblní, část nformace o počátečním stavu se vytrácí do okolí. Pokud máme na začátku například vzorek částc se spnem mířícím ve steném směru, po dostatečně dlouhé době budou tyto spny vlvem okolních polí a okolních nteraguících částc namířeny zcela nahodle. Informace uložená na počátku, spny namířené steným směrem, byla vlvem okolí odnešena ze zkoumaného systému. Tato nformace o počátečním rozložení spnů e sce stále přítomna, e ale ukryta ve stavu okolí, s nímž nelze dobře manpulovat a enž nelze dobře měřt. Právě popsaným systémům, které sou vystaveny všetečným a neodstrantelným vlvům okolí, budeme říkat otevřené (kvantové) systémy. Jech časový vývo budeme označovat ako vývo otevřeného systému, otevřený vývo, otevřená evoluce č otevřená dynamka. Pokud budeme uvažovat složený systém skládaící se ze studovaného systému a eho okolí, nazveme tento složený systém, celý systém č prostě en systém. Studovaný systém budeme nazývat též zkoumaný systém a konečně okolí budeme označovat též ako prostředí. Vedle okolí se př studu kvantových systémů uvažuí pomocné systémy, které nelze označt za okolí a které sou do úlohy zavedeny více méně uměle, aby zednodušl manpulac se zkoumaným systémem. Pro systém takto přdaný budeme užívat bud název pomocný systém č anglcký název anclla. Na rozdíl od tradčních kurzů o kvantové fyzce provedeme eště ednu změnu. Zatímco dosud se pracovalo s kvantovým systémy o nekonečněrozměrných stavových prostorech, akým 3

5 2.1 Vývo v uzavřeném kvantovém systému 2 ÚVOD byl například prostor vlnových funkcí volné částce, zde se omezíme na Hlbertovy prostory stavů, které maí dmenz konečnou. Operátory řídící vývo otevřených systémů tak lze reprezentovat pomocí matc, což budeme v mnoha důkazech využívat. Netypčtěším příkladem kvantového systému s konečněrozměrným stavovým prostorem e právě částce se spnem, kde studueme pouze spnové stupně volnost. Dalším příkladem může být polarzace fotonů, eíž stavový prostor e dvourozměrný. Konečněrozměrné Hlbertovy prostory můžeme obdržet v případě, kdy uvažueme elektrony vázané v orbtalech atomů. Pokud předpokládáme, že exctace elektronu na přílš vysoké energetcké hladny sou praktcky nemožné, e stavový prostor takovýchto elektronů, alespoň co se ech energe týče, též konečněrozměrný. 2.1 Vývo v uzavřeném kvantovém systému Jak ž bylo předesláno v úvodu, vývo otevřených systémů se od vývoe těch uzavřených lší. Přpomeňme s v krátkost některé z výsledků kvantové teore pro uzavřené systémy. Tyto výsledky pak budeme moc konfrontovat s výsledky získaným pro otevřené systémy. Vývo v uzavřeném systému e generován odpovídaícím Hamltonánem H prostřednctvím Schrödngerovy rovnce d ψ(t) = H ψ(t) ( h = 1). (1) dt Předpokládáme-l nezávslost Hamltonánu na čase, můžeme zavést evoluční operátor ve tvaru U(t 2, t 1 ) = U(t 2 t 1 ). Časový vývo systému, ehož stav v čase t označíme ψ(t), pak můžeme vyádřt pomocí evolučního operátoru v kompaktním tvaru ψ(t 2 ) = U(t 2, t 1 ) ψ(t 1 ). Norma stavového vektoru přtom zůstává zachována, d dt ψ(t) ψ(t) = 0, ak se lze snadno přesvědčt z rovnce výše. Žádná nformace o stavu systému tedy neproudí pryč. Z čstého stavu dostaneme opět čstý stav (pro podrobnost vz pozdě). Navíc evoluční operátory U(t) tvořící ednoparametrckou grupu transformací popsuí časově reverzblní vývo. Jak uvdíme, u otevřených systémů žádná z těchto věcí už nebude pravda. Protože HH = H H, e Hamltonán dagonalzovatelný v ortonormální báz svých vlastních vektorů. Opět, v případě otevřených kvantových systémů už generátor časového vývoe obecně dagonalzovat nepůde. V následuící kaptole probereme ze všeho nedřív způsob, akým popsovat stav kvantového systému. Jednou z dalších odlšností e totž fakt, že př popsu otevřeného systému se ž nelze spolehnout na vektory z Hlbertova prostoru coby nostele nformací o daném stavu. 4

6 3 OPERÁTOR HUSTOTY 3 Operátor hustoty Popsueme-l vývo uzavřeného kvantového systému, vystačíme s většnou s pomem čstého stavu. Jedná se o vektor v Hlbertově prostoru H, který e danému kvantovému systému přdružen. Na daném Hlbertově prostoru e defnován skalární součn, my s tento budeme značt v souhlase s Dracovou notací ako. Spolu s vektory Hlbertova prostoru uvažueme zobrazení, která na těchto vektorech působí. Nebot se omezueme pouze na konečněrozměrné Hlbertovy prostory, sou všechny operátory defnované na daném Hlbertově prostoru h omezené, a tedy B(H ) představue množnu všech operátorů. Omezené operátory samotné tvoří další Hlbertův prostor, zavedeme-l na něm Hlbert-Schmdtův skalární součn následuícím způsobem. Měme dva operátory A, B B(H ), pak ech skalární součn e defnován vztahem (A, B) Tr(A B), (2) kde A e operátor hermtovsky sdružený k operátoru A a Tr(cdot) značí stopu operátoru, vz sekc 1. V prostoru operátorů můžeme dále vydělt množnu všech pozorovatelných {A B(H ) A = A} na prostoru H tvořenou hermtovským operátory. Jak bylo předesláno, dosud se pracovalo především s čstým stavy, vektory. Operátory představuící vývo systému č měření vzaly vektor a vrátl ný vektor. Když sme měl stou pozorovatelnou A, dostal sme eím změřením na daném čstém stavu ψ číslo, které bylo vlastním číslem operátoru A a které sme nterpretoval ako výsledek měření. Pokud přtom nebyl vektor ψ vlastním vektorem pro A, obdržel sme různá čísla s různou pravděpodobností výskytu. Důležté bylo s uvědomt, že vše, co o daném stavu kvantového systému sme schopn zstt, sou průměrné hodnoty nerůzněších velčn. Výsledek edného měření na daném stavu neměl valné hodnoty. Rozlšume nyní na chvíl důsledně dva pomy, stav systému ψ a emu příslušný vektor ψ. Stavem systému máme na mysl soubor všech eho vlastností. Pro pops stavu kvantového systému tak e nezbytné uvést střední hodnoty A ψ všech pozorovatelných A na daném stavu působících. V případě stavů uzavřených systémů byla stuace ednodušší v tom, že místo vypsování všech těchto středních hodnot sme měl prostředek, ak e snadno spočítat. Tímto prostředkem byl vektor ψ, z něhož sme odpovídaící střední hodnotu pozorovatelné A obdržel vypočtením výrazu ψ A ψ, který sme prohlásl za střední hodnotu A ψ. Pokud se dal stav systému takto popsat pomocí vektoru, nazval sme ho čstým stavem. Použme analogcký postup v šrším kontextu. Opust me zažtou představu čstých stavů a defnume s stav ako zobrazení, které každé pozorovatelné přřazue reálné číslo, na které naklademe pár podmínek. Máme tedy přesně to, co chceme. Dané zobrazení vezme pozorovatelnou A a vrátí odpovídaící střední hodnotu A. Korektní defnce zní následovně. Defnce 3.1. Stavem systému nazveme lneární funkconál S B(H ) R splňuící dodatečné podmínky: 1. Normalzace: S(I) = 1. (To est, na denttu vrátí ednčku.) 2. Poztvta: S(A A) 0, A B(H ). (To est, na každý poztvní operátor vrátí nezáporné číslo.) 5

7 3 OPERÁTOR HUSTOTY Reszova věta říká, že pro každý lneární funkconál S nademe operátor ρ B(H ) tak, že S(A) = (ρ, A) = Tr(ρ A) pro každý A B(H ). O tomto operátoru s ukážeme, že e hermtovský a má ednotkovou stopu. Pro důkaz ρ = ρ ukážeme, že (ρ, A) = (ρ, A) pro každý operátor A B(H ). Rovnost však stačí ukázat pro A hermtovkské, elkož skalární součn e blneární a každý operátor A B(H ) e možné napsat ako součet dvou hermtovských operátorů A = A 1 + A 2 = (A + A )/2 + (( A + A )/2). Nyní využeme toho, že S( ) e reálné číslo, a tedy S( ) = S( ). Pak dostáváme (ρ, A) = Tr(ρ A) = S(A) = S(A) = Tr(ρ A) = Tr(ρ T A ) = Tr((ρ T A ) T ) = Tr(A ρ) = Tr(ρA ) = Tr(ρA) = (ρ, A). Z normalzační podmínky navíc vyplývá 1 = S(I) = Tr(ρ I) = Tr(ρ). Druhá defnční vlastnost nám přtom zašt ue 0 S(C) = Tr(ρC) pro všechny poztvní operátory C. Pokud zvolíme C = ψ ψ, tak Tr(ρC) = Tr(ρ ψ ψ ) = ψ ρ ψ 0 pro všechny ψ H. Operátor ρ e tedy dokonce poztvní. Defnce 3.2. Operátor z úvah výše se nazývá operátor hustoty, popř. matce hustoty. Nebot poztvta ž vynucue hermtovost, tak lze operátor hustoty charakterzovat ako poztvní operátor s ednotkovou stopou, t. ρ 0 a Tr(ρ) = 1. Z defnčních vlastností plyne, že obecný operátor hustoty lze vyádřt ve tvaru ρ = λ ψ ψ, kde λ 0, λ = 1 a {ψ } e ortonormální báze tvořená eho vlastním vektory. Vdíme, že ač sme s stav defnoval ako stý lneární funkconál, veškerou prác se stavem daného systému lze redukovat na počítání s emu odpovídaící matcí hustoty. V následuícím budeme pomy operátor hustoty a stav volně zaměňovat. Množnu všech stavů na daném Hlbertově prostoru H označíme S(H ). Jedná se o konvexní množnu, nebot konvexní kombnace operátorů hustoty e opět operátor hustoty. Extremálním body této množny sou přtom čsté stavy, t. stavy, echž operátor hustoty e proektor ρ = ψ ψ pro něaké ψ H. Máme-l zadán operátor hustoty, ak snadno zstt, zda popsue čstý stav? Nutnou a postačuící podmínku uvádí následuící tvrzení. Věta 3.1. Operátor hustoty ρ S(H ) popsue čstý stav právě tehdy, když Tr(ρ 2 ) = 1. Důkaz. Pro důkaz mplkace zleva s stačí uvědomt, že když e operátor hustoty ρ čstý stav, tak exstue vektor ψ H takový, že ρ = ψ ψ e proektor. Platí tedy ρ 2 = ρ a z normalzace operátoru hustoty hned Tr(ρ 2 ) = Tr(ρ) = 1. Pro důkaz opačné mplkace uvažume obecný tvar operátoru hustoty, ρ = λ ψ ψ, kde { ψ } e ortonormální báze a {λ } tvoří pravděpodobnostní rozdělení. Jednoduchým výpočty zstíme, že ρ 2 = λ 2 ψ ψ, ehož stopa e Tr(ρ 2 ) = λ 2. Nebot e λ 0 a λ = 1, z podmínky Tr(ρ 2 ) = 1 už rovnou plyne, že právě edno vlastní číslo λ 0 e ednčka a ostatní sou nuly. Kdyby tomu tak nebylo, tak by všechna nenulová vlastní čísla splňovala λ < 1, což mplkue λ 2 < λ. Máme tedy 1 = λ > λ 2, což e spor s předpoklady dokazované mplkace. Celkem tak máme ρ = λ 0 ψ 0 ψ 0 = ψ 0 ψ 0 a ρ e tak čstý stav. V případě dvourozměrného Hlbertova prostoru lze operátory hustoty vyádřt pomocí Paulho matc. Paulho matce sou tř 2 2 matce tvaru σ X = ( ), σ Y = ( 0 0 ), σ Z = ( ). (3) 6

8 3.1 Evoluce operátoru hustoty 3 OPERÁTOR HUSTOTY Operátory hustoty sou pak tvaru ρ = 1 2 (I + τ 1σ X + τ 2 σ Y + τ 3 σ Z ), kde τ = (τ 1, τ 2, τ 3 ) R 3 e vektor, ehož velkost e τ 1, nak by ρ nebyl poztvní operátor. Pro τ = 1 popsue ρ čstý stav. 3.1 Evoluce operátoru hustoty v uzavřeném systému Výše sme uvedl, že se budeme zabývat otevřeným systémy. Uděleme na chvíl krok zpět a koukněme se, ak se operátor hustoty ρ chová v případě uzavřeného systému. Uvažume ρ(t) = λ ψ (t) ψ (t) coby funkc času, kde ednotlvé bazcké vektory ψ (t) podléhaí Schrödngerově rovnc d ψ (t) = H ψ (t), (4) dt Zdervueme-l operátor hustoty ρ(t) podle času a dosadíme-l za vznklé výrazy ze Schrödngerovy rovnce, dospíváme k rovnc tvaru d ρ(t) dt = [H, ρ(t)] L(ρ(t)), (5) kde sme s defnoval zobrazení L B(H ) B(H ), ež se nazývá Louvlleův operátor. Jedná se o anthermtovský lneární superoperátor zachovávaící stopu (vz pozdě). Právě uvedenou rovnc budeme moc porovnat s evoluční rovncí obecného operátoru hustoty, až budeme studovat vývo otevřených systémů. Časový vývo operátoru hustoty lze explctně v případě uzavřeného systému vyádřt ve tvaru ρ(t) = U(t) ρ(0) U (t), (6) kde U(t) e ednoparametrcký systém stých untárních operátorů. Stále platí, že časovým vývoem přede čstý stav opět na čstý stav. U otevřených systémů už vývo stavu nepůde popsat pomocí untárního operátoru tímto způsobem. 3.2 Pops složeného systému Velm důležtým konceptem v kvantové teor e poem složeného systému. Každému kvantovému systému e přdružen Hlbertův stavový prostor H. V axomatckém přístupu kvantové teore se postulue, že Hlbertův prostor systému složeného ze systémů A a B e roven tenzorovému součnu H = H A H B Hlbertova prostoru H A systému A a Hlbertova prostoru H B systému B. Množna všech omezených operátorů na prostoru složeného systému e přtom rovna B(H ) = B(H A H B ) = B(H A ) B(H B ). Víme tedy, ak ze dvou systémů udělat systém eden, akým postupem ale postupovat v opačném směru? Měme operátor hustoty ρ popsuící společný stav podsystémů A a B. Jak vypadá stav podsystému A samotného? Kdybychom ako ρ A označl stav samotného podsystému A, platla by pro lbovolnou pozorovatelnou M A působící pouze na podsystému A samozřemá rovnost M A ρa = Tr(ρ A M A ). Nebot pozorovatelná M A nak neovlvňue podsystém B, měla by platt rovnost vztažená k celému systému M A ρa = Tr(ρM), kde ρ e stav celého systému a M e pozorovatelná M A 7

9 3.3 Schmdtův rozklad 3 OPERÁTOR HUSTOTY chápaná ako operátor na celém systému. Dohromady tedy Tr(ρM) = Tr(ρ A M A ). Pokud e celkový stav faktorzovaného tvaru ρ = ρ A ρ B, e zřemě M = M A I. Rovnost středních hodnot e pak splněna, nebot Tr(ρM) = Tr((ρ A ρ B )(M A I)) = Tr(ρ A M A ) Tr(ρ B ) = Tr(ρ A M A ). Exstue ný tvar vyma M = M A I? Pro všechny ρ A a ρ B musí být splněno Tr((ρ A ρ B ) M) = Tr((ρ A ρ B ) (M A I)), to znamená Tr((ρ A ρ B ) (M M A I)) = 0. Žádný ný tvar operátoru M ž tedy neexstue. Pro faktorzovaný stav systému ρ = ρ A ρ B, kde M A e pozorovatelná na podsystému A, e odpovídaící pozorovatelná M působící na celém systému tvaru M = M A I. Nebot e množna faktorzovaných stavů totální v prostoru operátorů, platí získaný výsledek pro všechny stavy ρ. Musí tedy platt Tr(ρ A M A ) = Tr(ρ(M A I)). Rozepíšeme-l s stopu explctně v ortonormální báz { (A) (B) }, dostáváme Tr(ρ(M A I)) = (A) (B) (ρ(m A I)) (A) (B) = (A) ( (B) ρ (B) )M A (A). Když s označíme ρ A = (B) ρ (B), e poslední výraz roven (A) ρ A M A (A) = Tr(ρ A M A ), kde nyní de stopa ž en přes podsystém A. Defnce 3.3. Vzorec (B) ρ (B), kterým sme v předchozím odstavc zavedl operátor ρ A, nazýváme částečná stopa operátoru ρ přes podsystém B (angl. partal trace over subsystem B) a značíme Tr B (ρ). Nebol ρ A = (B) ρ (B) = Tr B (ρ). (7) Dobrá, máme zavedený operátor ρ A, který splňue požadovanou rovnost středních hodnot, aký vztah má ale tento operátor ke skutečnému systému A? Ukážeme, že e tento operátor určen ednoznačně. K danému podsystému tedy exstue právě eden operátor schopný konzstentně popsovat střední hodnoty lbovolných pozorovatelných na tomto podsystému. Pro spor necht exstue něaký ný operátor ρ A, pro něž Tr(M A ρ A ) = Tr(Mρ). Tento operátor lze rozložt do báze prostoru B(H A ) tvořené hermtovským operátory {B }. Dostáváme tak rozvo do Fourerových koefcentů způsobem ρ A = B (B, ρ A ) = B Tr(B ρ A ) = B Tr((B I)ρ) = B Tr(B ρ A ) = ρ A, (8) což e spor. Operátor ρ A e tedy určen ednoznačně a můžeme ho nterpretovat ako stav podsystému A. Poznameneme eště důležtou věc, že nformace obsažená ve stavech ednotlvých podsystémů není schopna v obecném případě reprodukovat stav celého systému. Pokud mez oběma podsystémy exstuí korelace, provedením částečné stopy tyto korelace z popsu systému vypadnou. 3.3 Schmdtův rozklad Př prác se stavy př důkazech nerůzněších tvrzení e velm užtečné následuící tvrzení, díky kterému lze každý čstý stav vyádřt v stém pěkném tvaru. Tomuto vyádření se říká Schmdtův rozklad (angl. Schmdt decomposton). 8

10 3.3 Schmdtův rozklad 3 OPERÁTOR HUSTOTY Věta 3.2. Schmdtův rozklad. Necht ψ H A H B e čstý stav. Pak exstue ortonormální báze { e (A) } prostoru H A a ortonormální báze { f (B) } prostoru H B takové, že ψ = d =1 α e (A) f (B), (9) kde d = mn{dm H A, dm H B }. Koefcenty α = (α 1,..., α d ) lze navíc vždy volt ako nezáporná čísla splňuící rovnost α = ψ. Důkaz. Uvažume stav podsystému A, ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Tento lze stě rozložt do ortonormální báze vlastních vektorů, ρ A = α 2 e(a) e (A). Vlastní čísla operátoru ρ A lze psát ve tvaru kvadrátu, nebot sou díky poztvtě operátoru nezáporná. Dále určtě můžeme vyádřt vektor ψ ve tvaru ψ = e (A) ϕ (B), kde ϕ (B) sou něaké vhodné vektory z prostoru H B. Pak platí ρ A = Tr B ( ψ ψ ) = Tr B ( e (A) e (A) ϕ (B) ϕ (B) ) = e (A) e (A) Tr( ϕ (B) ϕ (B) ). Využeme-l vztahu Tr( a b ) = b a, redukue se poslední výraz na e (A) e (A) ϕ (B) ϕ (B). Tento výsledek můžeme porovnat s prvním vyádřením operátoru ρ A uvedeným výše, abychom shrnul ϕ (B) ϕ (B) = α 2δ. Vektory { ϕ (B) } sou tedy navzáem kolmé a po vhodném přeškálování z nch můžeme vytvořt ortonormální báz f (B) = 1 α ϕ (B). Vektor ψ lze tak psát ve tvaru ψ = α e (A) f (B), což bylo dokázat. Defnce 3.4. Koefcentům α 1,..., α d v rozkladu (9) se říká Schmdtovy koefcenty. Počet nenulových Schmdtových koefcentů ve Schmdtově rozkladu se nazývá Schmdtovo číslo č Schmdtova hodnost (angl. Schmdt number č Schmdt rank). Schmdtovu hodnost stavu ρ budeme označovat symbolem rank ρ. Nevětším rozdílem mez obecným rozkladem operátoru a eho Schmdtovým rozkladem e v tom, že ve druhém menovaném sčítáme en přes eden ndex, ke každému bazckému vektoru prostoru H A přísluší právě eden bazcký vektor prostoru H B. Ze Schmdtova rozkladu lze však vyčíst daleko více. Například vezmeme-l s vektor ψ ve vyádření (9), eho redukované stavy sou tvarů ρ A = α 2 e(a) e (A) a ρ B = α 2 (B) f f (B). Operátory hustoty obou podsystémů maí tedy stené spektrum! V souvslost se Schmdtovým rozkladem e užtečné uvést následuící proceduru. Poznámka 3.1. Uvažume něaký systém A s operátorem hustoty ρ A = α 2 e e H A, který není obecně čstý. Potom ke studovanému systému A lze uměle přdat pomocný systém B o Hlbertově prostoru H B tak, že exstue čstý stav ψ H A H B splňuící ρ A = Tr B ( ψ ψ ). Jným slovy, ke každému operátoru hustoty ρ A z prostoru H A lze naít čstý stav ψ v prostoru H A H B tak, že ρ A lze nterpretovat ako stav podsystému A, kdy se přtom celý systém A + B nachází v čstém stavu ψ. Prostoru H B se v anglčtně říká anclla a eho dmenz lze položt rovnou Schmdtově číslu operátoru ρ A, t. dm H B = rank ρ A. Využívaíce postupu př důkazu předchozí věty lze zevně položt ψ = α e f, kde { f } e něaká ortonormální báze prostoru H B. 9

11 3.4 Klasfkace stavů podle korelací 3 OPERÁTOR HUSTOTY Právě popsané matematcké hříčce vhodně přdávaící pomocný systém k původní úloze se říká purfkace č vyčšt ování (angl. purfcaton). Pro znalé přpomínáme, že právě uvedená purfkace (stavů) nemá nc společného s purfkací provázání. Poznámka 3.2. Monogame stavů : Čsté stavy nemohou být korelovány s ným systémem. Měme složený systém A + B ve stavu ρ S(H A H B ), přčemž stav podsystému A necht e čstý, Tr B (ρ) = ρ A = ψ ψ pro sté ψ H A. Pak stav tohoto podsystému nevykazue žádné korelace se stavem systému B. Důvod e následuící. Vzhledem k předchozí poznámce můžeme vždy zavést pomocný systém C a naít vektor ω H A H B H C tak, že Tr C ( ω ω ) = ρ. Tento vektor e tedy purfkací stavu ρ, současně e ale purfkací stavu ψ. To lze en tak, že ω = ψ ϕ BC pro sté ϕ BC H B H C. Celkem tedy ρ = Tr C ( ω ω ) = ψ ψ Tr C ( ϕ BC ϕ BC ). Vdíme tedy explctně, že stav složeného systému A + B e ve faktorzovaném tvaru, enž nepřpouští žádné korelace mez oběma podsystémy. 3.4 Klasfkace stavů podle korelací Uvažume dva Hlbertovy prostory H 1 a H 2 a množnu stavů defnovaných na ech tenzorovém součnu, S(H 1 H 2 ). Tuto množnu lze rozdělt na podmnožny tvořené vždy stavy, echž tvar e podobný co do ech přípravy a kvantových vlastností. Základní dělení na čsté a smíšené stavy sme ž nastínl v předchozích sekcích, následuící seznam uvádí další podpřípady. Smíšené stavy Odpovídaící operátor hustoty není proektor. Faktorzované stavy Stav ρ e faktorzovaný, pokud lze zapsat ve tvaru tenzorového součnu ρ = ρ 1 ρ 2, kde ρ S(H ). Tyto stavy zřemě tvoří podmnožnu separablních stavů. Separablní stavy Stav ρ e separablní, pokud lze zapsat ve tvaru sumy faktorzovaných stavů ρ = α ρ () 1 ρ () 2, kde ρ() 1 S(H 1 ), ρ () 2 S(H 2 ) a {α } tvoří pravděpodobnostní rozdělení, t. α > 0 a α = 1. Takovýmto stavům se také říká statstcké směs č klascky korelované stavy. Korelace v měřeních na takovýchto stavech lze totž popsat čstě klascky, žádné kvantové efekty není třeba uvažovat. V tom se tato rodna stavů zásadně lší od té následuící tvořené provázaným stavy. Obecný tvar separablního stavu se zdá být dost obecný. Naprosto lbovolný operátor lze rozložt do tvaru A = α E F, kde {E } e ortonormální báze v B(H 1 ) a podobně {F } e ortonormální báze v B(H 2 ). Nedůležtěší rozdíl tohoto obecného případu od případu separablních stavů e v tom, že nyní operátory E a F samotné museí být operátory hustoty. Provázané stavy Všechny stavy, které nesou separablní, se nazývaí provázané. Tyto stavy vykazuí čstě kvantové korelace, které lze využít př kvantovém počítání. Kvantové korelace se slně využívaí například v případě kvantové teleportace. Čsté stavy Odpovídaící operátor hustoty e proektor. 10

12 3.4 Klasfkace stavů podle korelací 3 OPERÁTOR HUSTOTY Neprovázané stavy Čstý stav ψ e neprovázaný, pokud lze zapsat ve tvaru ψ = ψ 1 ψ 2. Vdíme, že se edná o analog faktorzovaných stavů ve smíšeném případě. Na druhou stranu, vektor, který bychom vyádřl analogcky případu separablních smíšených stavů, ž nebude čstý. Zbývaí nám tak ž pouze provázané stavy. Provázané stavy Čstý stav ψ e provázaný, pokud není neprovázaný. Obecně e tedy tvaru ψ = α e f, vz (9). Stav ψ e přtom provázaný právě tehdy, když má alespoň dva nenulové koefcenty α, t. rank ψ 2. Z množny provázaných stavů se vyděluí maxmálně provázané stavy Ω. Jedná se o stavy, pro něž sou stavy podsystémů maxmálně smíšené. Jným slovy, čstý stav Ω e maxmálně provázaný právě tehdy, když ρ 1 Tr 2 ( Ω Ω ) = 1 d 1 I 1 a ρ 2 Tr 1 ( Ω Ω ) = 1 d 2 I 2. Ze Schmdtova rozkladu plyne d 1 = d 2 = d, maxmálně 1 provázaný stav e tedy tvaru Ω = d e f. 11

13 4 MATEMATICKÝ APARÁT 4 Matematcký aparát Abychom s ulehčl prác s různým zobrazením a především zefektvnl důkazy nerůzněších tvrzení, zavedeme s v tomto matematckém ntermezzu pár pomocných pomů, echž význam e sce čstě matematcký, ech aplkací však budeme dostávat zaímavá fyzkálně nterpretovatelná tvrzení. Kromě předeslaných pomů budeme užívat stou notac a názvosloví, které s nyní letem světem představíme. Se stopou operátoru A H, značenou Tr A, sme se ž seznáml. Přpomeňme s, že se edná o lneární zobrazení s vlastností cyklčnost Tr(ABC) = Tr(CAB), A, B, C B(H ) (a tedy samozřemě také Tr(AB) = Tr(BA)), splňuící též Tr(A B) = Tr A Tr B. Pokud budeme počítat se složtým výrazy, e užtečné s explctně vyádřt, na akém prostoru vlastně stopu počítáme. V takovém případě budeme daný prostor psát v závorkách do spodního ndexu způsobem Tr (H ) A. Naprot tomu sme s už zavedl částečnou stopu operátoru defnovaného na složeném systému C B(H A H B ). Částečnou stopu přes podsystém B značíme s dolním ndexem Tr B C, který vyadřue, přes aký prostor se stopue. V tomto případě ale nepíšeme závorky, takže záměna stopy a částečné stopy není pro trénované oko možná. Tato a další notace e shrnuta na počátku skrpt v sekc 1. Pokud budeme hovořt o superoperátorech, nemáme tím na mysl nc ného, než lneární zobrazení defnovaná na vektorovém prostoru operátorů. Konečně, občas využeme vlastností podobnostní transformace. Dva operátory A a B sou podobné, exstue-l regulární operátor C takový, že A = CBC Izomorfzmy V následuícím uvažume dva Hlbertovy prostory H 1 a H 2, kde { µ } M µ=1 e ortonormální báze prostoru H 1 a podobně { m } N m=1 e ortonormální báze v prostoru H 2. V této sekc s zadefnueme tř zomorfní zobrazení, která úspěšně využeme v důkazech tvrzení nadcházeících sekcí. 1. Necht A B(H 1, H 2 ) e omezené lneární zobrazení z prostoru H 1 do prostoru H 2. První zomorfzmus, který s uvedeme, vzáemně ednoznačně přřazue takovémuto zobrazení A vektor A z prostoru H 1 H 2 způsobem m A µ mµ A. (10) Zobrazení A lze zřemě vyádřt ako A = mµ A mµ m µ. Odpovídaící vektor A e pak tvaru A = mµ A mµ m µ. Ukažme s eště, že přřazení zobrazení a vektoru zachovává skalární součn. Pro lbovolná dvě zobrazení A, B B(H 1, H 2 ) platí (A, B) = Tr(A B) = Tr(( mµ A mµ µ m )( nν B nν n ν )) = Tr( mµν A mµb mν µ ν ) = mµνα A mµb mν α µ ν α = mα A mαb mα = A B. Zobrazení (10) e tedy zomorfzmus. Z defnce (10) není hned patrné, ak s takové přřazení představt, má přtom názorný význam. Představme s operátor A ako matc (A ). Pak právě uvedený zomorfzmus vezme první řádek této matce a udělá z něho sloupcový vektor. Pak vezme druhý řádek, udělá z něho podobně sloupcový vektor a ten přpoí pod sloupcový vektor 12

14 4.1 Izomorfzmy 4 MATEMATICKÝ APARÁT vytvořený z prvního řádku. Takto pokračue dále až celou matc přemění na sloupcový vektor tím, že eí řádky vyskládá za sebe. Grafcky lze tento zomorfzmus znázornt ako vztah A 11 A A 1M A 21 A A 2M A N1 A N2... A NM A 11 A 12 A 1M A 21 A 22 A 2M A NM. (11) 2. Měme nyní superoperátor C B(H 1 ) B(H 2 ) a necht {A (k) )} M 2 k=1 e ortonormální báze prostoru B(H 2 ) a {B (l) )} N 2 l=1 e ortonormální báze prostoru B(H 1). Analogcky prvnímu zomorfzmu s defnume přřazení C = kl C kl A (k) B (l) C = C kl A (k) B (l). (12) kl Podobně ako u prvního zomorfzmu, zde by se analogckým způsobem ověřlo, že toto přřazení zachovává skalární součn. Zavolíme-l ortonormální báze prostorů operátorů v ednoduchém tvaru A (k) = A mn m n a B (l) = B µν µ ν, lze defnční vztah přepsat na C = Cmn mnµν µν Amn B µν C = Cmn mnµν µν Amn B µν. (13) Nebot A mn H 2 2 a B µν H 2 1 e vektor C prvkem prostoru H 2 2 H Využme nyní notace pro bazcké vektory zavedené v předchozím bodě a uvažume operátor X C B(H 1 H 2 ) tvaru X C = mnµν Cmn µν Amn B µν = mnµν Cmn mµ nν. µν Porovnáme-l tento výraz s obecným tvarem operátoru X C = mnµν (X C )mµ nν mµ nν, dostáváme rovnost (X C )mµ = nν Cmn, (14) µν která nám defnue třetí a poslední zomorfzmus. Ověřme eště, že toto přřazení zachovává skalární součn. Měme dva superoperátory, C a D. Potom platí (X C, X D ) = Tr(X C X D) = Tr(( mnµν (X C ) mµ nν mµ )( abαβ (X D )aα aα bβ )). Tento výraz se redukue na mnµν (X C ) mµ (X D )mµ = mnµν Cmn Dmn = C D = (C, D), což sme chtěl nν bβ nν nν µν µν dokázat. Anglcky se přřazení (14) říká reshufflng operaton. Jako velm důležtý případ použtí výše zmíněných zomorfzmů e následuící stuace. Měme superoperátor φ B(H 1 ) B(H 2 ), který na vstupní operátory X působí způsobem φ(x) = A X B, (15) 13

15 4.1 Izomorfzmy 4 MATEMATICKÝ APARÁT kde A B(H 1, H 2 ) a B B(H 2, H 1 ). Za použtí zomorfzmů, které superoperátoru a operátoru přřadí vektory, lze dokázat vztah φ(x) = φ M X, kde φ M = A B T. (16) Počítáme-l se superoperátory působícím na něaké operátory, lze manpulac s nm převést na ednodušší úlohu, kde počítáme s matcem. Místo superoperátoru φ stačí tedy pracovat s matcí φ M. Dokažme s nyní výše uvedený vztah, kde vyádříme operátory A a B v lokálních bázích ednotlvých prostorů, A = mµ A mµ m µ a B = nν B νn ν n. Pak dostáváme φ M X = (A B T ) X = ( mµ A mµ m µ ) ( nν B νn n ν ) αβ X αβ α β = mµnν A mµ B νn X µν m n = mn (AXB) mn m n = AXB = φ(x). Příklad 4.1. Přpomeňme s Louvlleův operátor L(ρ(t)) = (H(t)ρ(t) ρ(t)h(t)) zavedený v rovnc (5). S využtím vztahu (16) tento superoperátor zřemě odpovídá matc L M (t) = H(t) I + I H T (t). Z tohoto vyádření e hned patrné, že L e anthermtovský. Navíc sme se zbavl explctní závslost na vstupní stavu ρ(t) a vlastnost operátoru L lze tak přímo studovat pomocí odpovídaící matce L M. Dále sme s uváděl, že řídí-l se operátor hustoty ρ(t) rovncí (5), lze eho vývo reprezentovat stým untárním operátorem U takovým, aby ρ(t) = U(t) ρ(0) U (t). Máme tak přímo výraz tvaru (16), který lze převézt na násobení vektoru matcí, ρ(t) = U M (t) ρ(0). Příslušná matce U M (t) = U(t) U (t) e přtom untární. Zaímavý e zomorfní obraz maxmálně provázaného stavu Ω. Měme Ω H 1 H 1, ehož vyádření zní Ω = 1 d1 d 1 =1 e e, kde d 1 = dm H 1. Pak e tento přdružený s násobkem dentty 1 Ω I B(H 1 ). (17) d1 Uvažueme-l tedy dvě zobrazení A B(H 1, H 2 ) a B B(H 2, H 1 ), tak platí důležtý vztah (A B T ) Ω 1 d1 AB. (18) Nyní využeme tohoto vztahu, abychom odvodl některé ednoduché, avšak užtečné, vlastnost maxmálně provázaného stavu. Předpokládáme přtom rovnost H 1 = H Díky vztahu (18) platí (A I) Ω 1 d1 A a (I A T ) Ω 1 d1 A pro lbovolný operátor A. Celkem tedy (A I) Ω = (I A T ) Ω. (19) 2. Pro lbovolný untární operátor U máme (U U ) Ω 1 d1 UU = 1 d1 I Ω. Nebol (U U ) Ω = Ω. (20) 3. Z maxmálně provázaného stavu lze vyrobt lokálně lbovolný stav. Maxmálně provázaný stav e stav dvou provázaných podsystémů, pod pomem lokálně máme na mysl, že 14

16 4.1 Izomorfzmy 4 MATEMATICKÝ APARÁT používáme pouze ty operátory, které působí en na ednom z podsystémů a s druhým podsystémem neudělaí nc. Přesně tedy pro každý čstý stav φ H 1 H 1 exstue něaký operátor A φ B(H 1 ) tak, že φ = (A φ I) Ω. (21) Důkaz tohoto tvrzení e ednoduchý. K vektoru φ e přdružen operátor φ, ež lze rozložt následovně φ = d 1 φ( 1 d1 I)I = A φ ( 1 d1 I)I, kde sme s označl A φ = d 1 φ. Platí dále φ = A φ ( 1 d1 I)I (A φ I) Ω, vz (18). Nebot sme pracoval s zomorfzmy, t. bekcem, dospíváme ke kýžené rovnost. Z důkazu též vdíme, že operátor A φ e určen ednoznačně. Jako vedleší produkt lze navíc odvodt tyto vztahy pro skalární součn a pro tvar matc hustoty ednotlvých podsystémů φ ψ = Tr(φ ψ) = 1 Tr(A φ d A ψ ). (22) 1 ρ 1 = Tr 2 ( φ φ ) = 1 d 1 A φ A φ = φφ, ρ 2 = Tr 1 ( φ φ ) = 1 d 1 A T φ A φ = φt φ. Dokažme s rovnost pro matc hustoty prvního podsystému ρ 1. S využtím dentty (21) máme ρ 1 = Tr 2 ( φ φ ) = 1 d 1 (A φ I)( k kk )(A φ I) = 1 d 1 A φ ( )A φ = 1 d 1 A φ A φ. Ostatní vztahy by se dokázal obdobně. Význačnost vztahu (21) s uvědomíme tehdy, představíme-l s eho důsledky fyzkálně. Měme dva systémy A a B nacházeící se v maxmálně provázaném stavu Ω. Necht podsystém A vlastní Alce a podsystém B drží ve svých spárech Bob. Alce s chtěla udělat hezkou dovolenou a tak se svým podsystémem A odela na Hava, bez Boba. Bob se svým podsystémem B meztím trčí doma v Praze a rozmýšlí s, ak Alc eí dovolenou znepříemnt. Díky vzorečku (21) e však vše snadné, Bob může provést lbovolnou operac A φ pouze se svým podsystémem, aby lbovolně změnl celkový stav systému A + B. Bob tak může na dálku ovlvňovat stav Alcna systému. Abychom však Bobov nekřvdl, Alce s může počínat steně zákeřně. Vzorec (19) nám totž říká, že pro změnu stavu celého systému A + B e edno, zda to bude Bob č Alce, kdo provede úpravu na svém podsystému. Příklad 4.2. Necht ϕ = 1 5 ( ) e vektor popsuící stav dvou provázaných podsystémů. Tento čstý stav e přdružen operátoru S eho pomocí ž snadno spočteme stav prvního podsystému φ M = 1 5 ( ). (23) ρ 1 = φ M φ M = 1 25 ( ). (24) 15

17 4.2 Klenova nerovnost 4 MATEMATICKÝ APARÁT Než přkročíme ke studu otevřených systémů e vhodné s uvést dvě nerovnost dávaící do souvslost stopy stých operátorů. Těmto dvěma nerovnostem sou po řadě věnovány následuící dvě kaptolky. 4.2 Klenova nerovnost Věta 4.1. Klenova nerovnost. Necht f I R e konvexní a dferencovatelná funkce na ntervalu I = [a, b]. Dále necht A a B sou hermtovské operátory takové, že ech spektra leží v ntervalu I, t. σ(a) I a σ(b) I. Pak platí Tr(f(A) f(b)) Tr((A B)f (B)). (25) Pokud e funkce f ostře konvexní, tak se rovnost nabývá právě tehdy, když A = B. Důkaz. Označme s A = a e e a B = b f f. Potom f(a) = f(a ) e e a f(b) = f(b ) f f. Nebot pracueme s ortonormálním bázem { e } a { f }, plynou z Parsevalovy rovnost vztahy c 2 = 1 a c 2 = 1, kde sme s defnoval c = e f. Pro každý bazcký vektor e dále dostáváme, že výraz e (f(a) f(b) (A B)f (B)) e e roven f(a ) e f(b ) f f e e = f(a ) = f(a ) f(b ) c 2 a a e e b f f k f (b ) c 2 + b c 2 f (b ) c 2 c 2 (f(b ) + a f (b ) b f (b )) = c 2 (f(a ) f(b ) (a b )f (b )). f (b k ) f k f k e Z věty o přírůstku funkce aplkovanou na nterval [c, d] platí f(d) f(c) = (d c)f (ξ) pro sté ξ (c, d). Nebot e funkce f konvexní, e eí dervace kdekol uvntř nterválku [c, d] větší než dervace v levém kraním bodě c a současně menší než dervace v pravém kraním bodě d, t. f (ξ) f (c) a f (ξ) f (d). Celkem tedy (d c)f (d) f(d) f(c) (d c)f (c). Z těchto dvou nerovností ž plyne, že výraz f(a ) f(b ) (a b )f (b ) e vždy nezáporný a tedy e (f(a) f(b) (A B)f (B)) e 0. První tvrzení věty ž plyne přímo z defnce stopy. Ukažme s eště, že pro ostře konvexní funkce se rovnost nabývá právě, když A = B. Vdíme, že rozdíl zkoumaný ve výrazech výše e nulový právě tehdy, když pro všechna a platí a = b nebo c = 0. Pro Hlbert-Schmdtovu normu rozdílu operátorů tedy dostáváme A B 2 = Tr(A B) 2 = Tr( a e e b f f ) 2 = Tr( a 2 e e + b 2 f f 2 a b c e f ) = a 2 + b 2 2 a b c 2 = c 2 (a b ) 2 = 0. Z toho ž plyne A = B. Druhá mplkace e zřemá. Příklad 4.3. Uvažme funkc f defnovanou na nezáporných číslech způsobem x ln x x > 0, f = 0 x = 0. (26) 16

18 4.3 Peerlova nerovnost 4 MATEMATICKÝ APARÁT Jeí první a druhá dervace zní po řadě f (x) = 1 + ln x a f (x) = 1/x. Funkce f e tedy ostře konvexní pro x > 0. Pak pro lbovolné poztvní operátory A a B platí díky předchozí větě nerovnost Tr(A ln A B ln B) Tr((A B)(I + ln B)), kterou můžeme upravt do tvaru Tr(A ln A) Tr(A ln B) Tr(A B). (27) Tento vztah využeme př studu entrope v následuící kaptole. 4.3 Peerlova nerovnost Věta 4.2. Peerlova nerovnost. Necht f e konvexní funkce na ntervalu I R a A B(H ) e hermtovský operátor, ehož spektrum leží v I, t. σ(a) I. Označme s lbovolnou ortonormální báz prostoru H ako { f }. Pak platí Tr(f(A)) f( f A f ). (28) Důkaz. S využtím notace použté př důkazu Klenovy nerovnost můžeme vyádřt operátor A ve tvaru A = a e e a f f(a) f = f(a ) c 2 f( c 2 a ) = f( f e 2 a ) = f( f A f ), kde nerovnost plyne z konvexnost funkce f. Důsledek 4.1. Pro lbovolné číslo p (0, 1), konvexní funkc f na ntervalu I a operátory A a B splňuící předpoklady předchozí věty platí Tr f(pa + (1 p)b) p Tr f(a) + (1 p) Tr f(b). (29) Důkaz. Označme s symbolem { e } ortonormální báz tvořenou vlastním vektory operátoru pa + (1 p)b. Pak Tr f(pa + (1 p)b) = e f(pa + (1 p)b) e. Díky vhodné volbě naší báze e tento výraz roven f( e (pa + (1 p)b) e ) = f(p e A e + (1 p) e B e ). Z konvexnost e tento výraz menší nebo roven výrazu p f( e A e )+(1 p) f( e B e ), což e dále díky předchozí větě menší nebo rovno výrazu p Tr f(a) + (1 p) Tr f(b). 17

19 5 VON NEUMANNOVA ENTROPIE 5 von Neumannova entrope V nformatce se zavádí velčna H popsuící, ak moc e dané pravděpodobnostní rozdělení neočekávatelné. Pokud sou všechny hodnoty rozdělení {p } stené, tak e tato velčna maxmální. Nelze totž preferovat ednu událost s pravděpodobností p 1 před druhou událostí s pravděpodobností p 2, nebot každá může nastat steně často. Takovéto rozdělení bychom mohl označt za nevíce neočekávatelné. Naopak, pokud e rozdělení {p } tvořeno samým nulam vyma edné ednčky p 0 = 1, e tato velčna nulová. V takovém případě totž ev spatý s pravděpodobností p 0 nastává vždy a žádný ný ev nenastává. Toto rozdělení e tedy neméně neočekávatelné. Zmíněné velčně se říká Shannonova entrope a eí defnční předps pro pravděpodobnostní rozdělení {p } zní H(p ) = p ln p. Jak sme s uváděl v kaptolce o operátorech hustoty, operátor hustoty ρ lze chápat ako vážený průměr čstých stavů, kde váham e sté pravděpodobnostní rozdělení tvořené vlastním hodnotam, ρ = λ. Tento záps pak zhruba řečeno vyadřue, že se daný systém nachází v čstém stavu s pravděpodobností λ. Pokud sou všechna vlastní čísla vyma ednoho nulová, e ρ samotné čstým stavem. Žádná neurčtost týkaící se výběru čstého stavu z rozkladu výše tedy nevznká. Naprot tomu, sou-l všechna vlastní čísla stená, může se stav daného systému nacházet v lbovolném z čstých stavů steně pravděpodobně. Neurčtost výběru čstého stavu e maxmální. Právě naznačená analoge mez pravděpodobnostním rozdělením a operátory hustoty nás vede na myšlenku defnovat entrop pro tyto operátory. Jak se lze snadno přesvědčt v dagonální báz operátoru ρ, výraz Tr(ρ ln ρ) e roven Shannonově entrop pro rozdělení {λ }. Tato úvaha nás motvue pro zavedení následuícího pomu. Defnce 5.1. Necht ρ S(H ) e něaký operátor hustoty, pak von Neumannova entrope pro tento operátor e velčna defnovaná vztahem S(ρ) = Tr(ρ ln ρ). (30) Entrope kvantových stavů e důležtá velčna s mnoha zaímavým a ntutvním vlastnostm. Některé z nch s právě uvedeme. Platí S(ρ) 0, kde se rovnost nabývá právě, když ρ e čstý stav, t. ρ = ψ ψ pro něaké ψ H. Tuto vlastnost lze ntutvně chápat podobně ako v případě Shannonovy entrope. Chápeme-l operátor hustoty ako vážený průměr čstých stavů, pak zřemě neméně neočekávatelný výsledek měření na takovémto stavu bude tehdy, když bude tento stav čstý a př vhodné volbě proekčních operátorů (vz pozdě) budeme dostávat stále tentýž výsledek. Je-l systém A+B v čstém stavu ψ H A H B, pak entrope stavů eho podsystémů se rovnaí, t. S(ρ A ) = S(ρ B ). Je-l navíc stav ψ maxmálně provázaný, sou tyto entrope rovny S(ρ A ) = S(ρ B ) = ln d > 0, kde d = dm H A = dm H B. Z prvního bodu přtom S( ψ ψ ) = 0. Vdíme tak, že ač e stav celého systému plně určen, oba eho podsystémy vykazuí neurčtost. 18

20 5 VON NEUMANNOVA ENTROPIE S(UρU ) = S(ρ) pro lbovolný untární operátor U B(H ). Př uzavřeném vývo se tedy entrope stavu systému zachovává. Pár dalších vlastností s vyslovíme a dokážeme ve formě lemmat níže. Lemma 5.1. Konkávnost. Necht ρ, σ S(H ) sou dva stavy a p [0, 1]. Pak platí kde se rovnost nabývá právě tehdy, když ρ = σ. S(pρ + (1 p)σ) ps(ρ) + (1 p)s(σ), (31) Důkaz. Označme s ω = pρ+(1 p)σ. Pak z nerovnost (27) plyne Tr(ω ln ω) = p Tr(ρ ln ω) (1 p) Tr(σ ln ω) p(tr(ρ ln ρ) + Tr(ω ρ)) (1 p)(tr(σ ln σ) + Tr(ω σ)). Tento výraz lze dále upravt na p( Tr(ρ ln ρ)) + (1 p)( Tr(σ ln σ)) Tr(pω pρ + (1 p)ω (1 p)σ) = ps(ρ)+(1 p)s(σ) Tr(ω (pρ+(1 p)σ)) = S(ρ)+(1 p)s(σ). Tvrzení lze dokázat aplkací nerovnost (29), kde položíme f(a) = A ln A. Výsledek dostáváme hned. Lemma 5.2. Subadtvta. Necht ρ S(H A H B ) e stav systému, ρ A = Tr B ρ a ρ B = Tr A ρ necht sou emu odpovídaící stavy podsystémů. Pak S(ρ) S(ρ A ) + S(ρ B ), (32) přčemž rovnost nastává právě tehdy, když e ρ faktorzovaného tvaru ρ = ρ A ρ B. Důkaz. Označíme-l A = ρ a B = ρ A ρ B, plyne po dosazení do (27) z Klenovy nerovnost Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ ln(ρ A ρ B ))+Tr(ρ ρ A ρ B ) = Tr(ρ ln(ρ A I)(I ρ B ))+Tr(ρ) Tr(ρ A ρ B ). Nebot Tr ρ = 1 = Tr(ρ A ρ B ), dostáváme Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ ln(ρ A I)) + Tr(ρ ln(i ρ B )). Dále platí Tr(ρ ln(ρ A I)) = Tr(ρ((ln ρ A ) I)) = Tr ρ A ln ρ A a obdobně pro systém B. Celkem tedy Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ A ln ρ A ) + Tr(ρ B ln ρ B ), z čehož ž plyne dokazované tvrzení. Lemma 5.3. Arakho-Lebova nerovnost. Necht ρ S(H A H B ) e operátor hustoty složeného systému, ρ A = Tr B ρ a ρ B = Tr A ρ necht sou emu odpovídaící stavy podsystémů. Pak S(ρ) S(ρ A ) S(ρ B ). (33) Důkaz. Stav celého systému ρ S(H A H B ) lze purfkovat na čstý stav ψ H A H B H C splňuící ρ = Tr C ( ψ ψ ). Označíme s S = S(ρ ). Nebot ψ e čstý, platí z vlastností entrope zmíněných výše, že S AB = S C, S AC = S B a S BC = S A. Dále ze subadtvty plyne S A +S C S AC atd. Přeuspořádáním získaných nerovností dospíváme ke vztahům S AB = S C S B S A a S AB S A S B, ze kterých plyne dokazované tvrzení. Defnce 5.2. Jako ndex korelace I C kvantových stavů dvou podsystémů A a B označíme velčnu I C = S A + S B S AB, kde S = S(ρ ) sou entrope stavů ednotlvých podsystémů a S AB e entrope stavu ρ celého systému. 19

21 5.1 Relatvní entrope 5 VON NEUMANNOVA ENTROPIE Index korelace kvantfkue míru klasckých kvantových korelací mez dvěma systémy. Nebot mez čstým stavy nevyvstávaí žádné klascké korelace, můžeme říc, že pro čsté stavy velčna I C přímo kvantfkue míru provázání. Index korelace nabývá maxmální hodnoty právě tehdy, když e stav ρ celého systému maxmálně provázaný. Navíc platí zřemé nerovnost 0 I C 2 mn{s A, S B }. Pro entrop smíšeného stavu platí následuící vztahy, které s vzápětí dokážeme. Věta 5.1. Necht {p } e pravděpodobnostní rozdělení, {ρ } e sada operátorů hustoty z prostoru B(H ) a H({p } ) = p ln p e Shannonova entrope. Pak platí p S(ρ ) S ( p ρ ) p S(ρ ) + H({p } ). (34) Důkaz. První nerovnost lze dokázat matematckou ndukcí, kde tvrzení pro = 2 bylo dokázáno výše. Přkročme tedy k důkazu druhé nerovnost. Tu neprve dokážeme pro případ, kdy sou ρ S(H ) čsté stavy, ρ = ψ ψ. Označme s H H A a přpomeňme, že { ψ } N =1 nesou obecně ortonormální. Defnume s pomocné vektory ψ AB = p ψ ležící v prostoru H A H B, kde { } e ortonormální báze prostoru H B dmenze dm H B = N. Vdíme, že platí p ρ = ρ A Tr B ( ψ AB ψ AB ) a ρ B Tr A ( ψ AB ψ AB ) = k p p e k ψ ψ e k, kde {e k } k e ortonormální báze prostoru H A. Pak S( p ρ ) = S(ρ A ) = S(ρ B ), což plyne z obecných vlastností entrope. Z nerovnost (27) dále Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ ln ρ ) pro lbovolné ρ, ρ S(H B ). Můžeme tedy vzít ρ B = p a aplkovat nerovnost, abychom obdržel S(ρ B ) = Tr(ρ B ln ρ B ) Tr(ρ B ln ρ B ). Nyní s uvědomíme, že stopa přes celý prostor e tvaru Tr( ) = k e k ( ) e k. Explctním výpočtem lze snadno zstt, že poslední výraz, ke kterému sme zatím dospěl, e roven Tr( k p e k ψ 2 ln ρ B ). S pomocí Parsevalovy rovnost lze tento výraz upravt na tvar Tr(p ln ρ B ) = Tr(ρ B ln ρ B ) = p ln p = H({p } ). Pro čsté stavy ρ sme tedy dokázal nerovnost S( p ρ ) H({p } ). Pro obecné stavy máme ρ = p () e () e () a tedy ρ = p ρ = p p () e () e (). Tento operátor můžu chápat ako soubor čstých stavů { e () } s pravděpodobnostním rozdělením {p p () }, na které mohu aplkovat výsledek obdržený výše. Dostáváme tudíž zřemé vztahy S(ρ) H({p p () } ) = p p () zevně upravt dále na ( p () bylo dokázat. ln p p () = p p () )p ln p + p ( p () ln p p p () ln p () ln p (). Tento výraz lze ) = H({p } )+ p S(ρ ), což 5.1 Relatvní entrope Kromě obyčené entrope e vhodné s zavést další podobné pomy, akým e například relatvní entrope. Než přkročíme k defnc kvantové relatvní entrope, e názorné s přpomenout defnc klascké relatvní entrope. Ta e pro dvě pravděpodobnostní rozdělení p {p } a q {q } defnována vztahem S( q p) = (q ln q q ln p ). Příklad 5.1. Nesouměrná mnce. Házeme s mncí a zšt ume, s akou pravděpodobností nám padne panna č orel. Chceme přtom zstt, aké pravděpodobnostní rozdělení sleduí 20

22 5.1 Relatvní entrope 5 VON NEUMANNOVA ENTROPIE výsledky hodů této mnce. Necht {p, 1 p} e pravděpodobnostní rozdělení, které mnce skutečně sledue a necht {q, 1 q} e něaké né rozdělení. Dále necht p, resp. q, odpovídá stuac, kdy nám padne panna, a podobně necht 1 p, resp. 1 q, odpovídá stuac, kdy nám padne orel. Zaímá nás tedy, aká e pravděpodobnost, že zaměníme rozdělení p a q. Př provedení N nezávslých pokusů e pravděpodobnost, že právě n-krát padne panna, rovna p(n, N) = ( N n )pn (1 p) N n. Využeme-l Strlngovy formule pro aproxmac faktorálu, obdržíme ( N e )N ln p(n, N) = N! ln n!(n n)! pn (1 p) N n ln ( n e )n ( N n ) N n pn (1 p) N n e = N ln N n ln n (N n) ln(n n) + n ln p + (N n) ln(1 p) = N ( ln N + n N ln n + (1 n N ) ln(n n) n N ln p (1 n ) ln(1 p)) N = N ( n N ln n N + (1 n N ) ln (1 n N ) n N ln p (1 n ) ln(1 p)). N Označme s nyní q = n/n, předchozí výraz se tak redukue do tvaru, v němž rozpoznáváme relatvní entrop N(q ln q + (1 q) ln(1 q) q ln p (1 q) ln(1 p)) = NS( q p). Obdržel sme tak vzorec, kterému se říká Sanovova věta p( q p) = e NS( q p), (35) kde p( q p) označue pravděpodobnost záměny rozdělení p a q. Z tohoto vzorce e patrné, že pravděpodobnost záměny se zmenšue se zvětšuící se relatvní entropí. Relatvní entrop lze chápat ako míru rozlštelnost rozdělení p a q. Relatvní entrope není obecně symetrcká, t. obecně S( p q) S( q p). Například pro rozdělení p = (1, 0) a q = (1/2, 1/2) dostáváme S( p q) = 1 ln ln 0 1 ln 1/2 0 ln 1/2 = ln 2, zatímco S( q p) = 1/2 ln 1/2 + 1/2 ln 1/2 1/2 ln 1 1/2 ln 0 = +. Předěme nyní k defnc kvantové relatvní entrope. Defnce 5.3. Měme dva operátory hustoty ρ, σ S(H ). Pak kvantová relatvní entrope pro tyto dva stavy e defnována vztahem S(ρ σ) = Tr(ρ ln ρ ρ ln σ). (36) Kvantovou relatvní entrop dvou stavů lze chápat ako míru rozlštelnost (č nezaměntelnost) těchto dvou stavů. Uvažume nyní stav ρ systému složeného ze dvou podsystémů A a B. Stavy ednotlvých podsystémů sou zřemě rovny ρ A = Tr B ρ a ρ B = Tr A ρ. Jak už sme s dříve řekl, stav podsystému A společně se stavem podsystému B nesou schopny reprodukovat všechny vlastnost obsažené ve stavu ρ složeného systému. Důvodem e to, že ednotlvé stavy podsystémů neobsahuí nformac o ech vzáemném provázání. Podíveme se, o kolk nformace přdeme, omezíme-l se pouze na stavy ρ A a ρ B namísto stavu ρ. Dostáváme S(ρ ρ A ρ B ) = Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ ln(ρ A ρ B )) = Tr(ρ ln ρ) Tr(ρ ln(i ρ B )) Tr(ρ ln(ρ A I)) = 21

23 5.1 Relatvní entrope 5 VON NEUMANNOVA ENTROPIE S + S A + S B = I C. Vdíme tedy, že míra rozlštelnost provázaného stavu ρ od toho neprovázaného ρ A ρ B e rovna ndexu korelace I C zavedenému výše. Kvantová relatvní entrope má dále následuící vlastnost, kde ρ, σ S(H ) sou lbovolné operátory hustoty. S(ρ σ) = + právě tehdy, když supp σ supp ρ, S(ρ σ) 0, což plyne z Klenovy nerovnost; rovnost se přtom nabývá právě tehdy, když ρ = σ, S(UρU UσU ) = S(ρ σ) pro všechny untární operátory U B(H ). 22

24 6 KVANTOVÉ MĚŘENÍ 6 Kvantové měření V základním kurzu kvantové mechanky sme se seznáml se způsobem, akým se popsue kvantové měření. Na rozdíl od měření v klascké fyzce, kvantové měření se přímo účastní vývoe systému. Po změření e stav systému obecně ný, než před ním. To může být na ednu stranu nevýhodou, na druhou stranu lze však takovéto měření využít k přípravě stavů v přesně daném tvaru. Měme úplný soubor pozorovatelných M 1,..., M k odpovídaících něakým fyzkálním velčnám V 1,..., V k. Po měření na daném stavu obdržíme soubor hodnot, nebol výsledků měření, m 1,..., m k příslušný pozorovatelným M 1,..., M k. Z úplnost množny pozorovatelných pak máme zaštěno, že se změřený systém bude nacházet ve stavu, který e vlastním vektorem všech daných pozorovatelných s vlastním čísly m 1,..., m k. Můžeme s tedy přpravt mnoho těchže systémů v lbovolných stavech, na nch provádět měření a vybrat vždy en ty systémy, pro které byly naměřené hodnoty totožné a rovné m 1,..., m k. Takto lze vyrábět stené stavy o daném tvaru. Exstue několk způsobů, ak formalzovat měření v kvantové mechance. O nch lze ukázat, že sou ekvvalentní, pokud vezmeme v úvahu další postuláty kvantové mechanky, neen postulát o měření. V následuícím s představíme dvě koncepce, von Neumannovo měření a zobecněné měření. 6.1 von Neumannovo měření Často používaným formalzmem e ten von Neumannům. Zde e každé vlastnost B přdružen ortogonální proektor E(B). Platí tedy E(B) = E (B) = E 2 (B). Je-l na systému ve stavu ρ zštěn výskyt velčny B, tak se systém po změření nachází ve stavu ρ = Vlastnost B e přtom naměřena s pravděpodobností E(B)ρE(B) Tr(E(B)ρE(B)). (37) p(b) Tr(E(B)ρE(B)) = Tr(E(B)ρ). (38) Jak víme ze základního kurzu, každé velčně přísluší něaká pozorovatelná R, t. hermtovský operátor působící na Hlbertově prostoru daného kvantového systému. Ukažme s nyní, ak e toto poetí v souladu s formalzmem von Neumannova měření. Měme samosdružený operátor R defnovaný obecně na podmnožně D(R) Hlbertova prostoru H, tedy R D(R) H, R = R. Z funkconální analýzy plyne, že tento operátor lze spektrálně rozložt způsobem R = r de r, (39) kde E r e spektrální třída proektorů splňuící následuící tř vlastnost 1. E r E r pro r r, 2. lm ε 0 E r+ε = E r, 23