Pružnost a plasticita II

Transkript

1 Pužnost a plasticita II. očník bakalářského stuia oc. Ing. Matin Kejsa, Ph.D. Katea stavební mechanik

2 Rovinný poblém, stěnová ovnice

3 Rovinné úloh Řešené úloh teoie pužnosti se postatně jenouší, poku v tělese buou všechna nenulová(é) napětí ovinný stav napjatosti efomace ovinný stav efomace ovnoběžná(é) s jenou ovinou. Příkla ovinného stavu napjatosti

4 Rovinné úloh Příkla ovinného stavu efomace Opěná eď Potubí, tunel v emním tělese Pužné těleso mei okonale tuhými těles

5 5 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná napjatost Po střenicí v ovině platí: Y X Z Y X Rovnice ovnováh se pak eukují:

6 6 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná napjatost Při ovinné napjatosti je efomace postoová Fikální ovnice (Hookův ákon) se upavují: G

7 7 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná napjatost, pokačování: C C matice poajnosti D matice tuhosti vekto efomace vekto napětí Fikální ovnice le maticově apsat ve tvau: káceně: D

8 8 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná efomace Po střenici v ovině je: G Napětí jako funkce složek efomace Fikální ovnice (Hookův ákon) se upavují:

9 9 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná efomace G Při ovinné efomaci je napěťový stav postoový Z ovnice vplývá G Napětí jako funkce složek efomace

10 Neboť : Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, ovinná efomace, Zkáceně le napsat: D matice tuhosti C matice poajnosti Defomace jako funkce složek napětí C D G

11 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, shnutí Rovinné úloh le ělit na: Rovinné úloh napjatosti Rovinné úloh efomace V těchto úlohách se řeší Dvě ovnice ovnováh Tři geometické ovnice Tři fikální ovnice Nenámé neávislé funkce poměnných, : Tři složk napětí Tři složk poměných efomací Dvě složk posunutí

12 Záklaní ovnice matematické teoie pužnosti v ovině, shnutí U ovinné napjatosti je postoový stav efomace. Dvě složk poměné úhlové efomace jsou nulové a třetí poměnou élkovou efomaci le vjářit jako funkci nenulových nomálových napětí nebo jako funkci bývajících poměných élkových efomací. U ovinné efomace je postoový stav napjatosti. Dvě smková napětí jsou nulová a třetí nomálové napětí le vjářit jako funkci nenulových nomálových napětí nebo jako funkci bývajících poměných élkových efomací. Rovnice ovnováh a ovnice kompatibilit jsou u obou tpů ovinných úloh ientické. Fikální ovnice se poněku liší, i kž je le i po nomálová napětí a efomace fomálně shoně apsat. Vtah mei poměnou úhlovou efomací a smkovým napětím jsou ientické.

13 Řešení nosných stěn, ovoení stěnové ovnice ) ( ) ( ) ( Rovnice kompatibilit po ovinnou napjatost: Hookův ákon ) (

14 Řešení nosných stěn, ovoení stěnové ovnice Y X Rovnice ovnováh ) ( Soustava ovnic po funkce, a : Přepokla: X, Y = konst. tv. Lévho pomínka pomínka kompatibilit v ovině apsaná postřenictvím napětí (s vužitím Laplaceova opeátou. řáu)

15 Řešení nosných stěn, ovoení stěnové ovnice, pokačování Soustava ovnic po funkce, a : X Y Po nulové objemové síl X, Y a iotopní mateiál ovnicím ovnováh vhovuje funkce (,) Aiho funkce napětí, po kteou platí: Δ Φ Φ Φ 5 Geoge Biell Ai (8-89)

16 6 Řešení nosných stěn, ovoení stěnové ovnice, pokačování Po osaení složek napětí o Lévho pomínk le ískat tv. stěnovou ovnici: Pomocí Laplaceova opeátou: ), ( Φ Φ

17 Stěnová ovnice 7 (, ) Stěnová ovnice, naývaná také bihamonická, je: paciální ifeenciální ovnicí. řáu, lineání, homogenní (pavá stana je nulová). Po kažou ovnici stěn le ovoit stav napětí stěn opovíající pomínkám ovnováh a spojitosti (Ai, 86) při espektování okajových pomínek. Platí a přepoklau nulových nebo konstantních objemových sil, po homogenní a iotopní mateiál. V ovnici nevstupuje žáná mateiálová konstanta, což je poklaem po epeimentální analování stěn na moelech.

18 8 Níký a vsoký stěnový nosník

19 Vliv výšk stěn na její napjatost Na ob. jsou poovnán výslek řešení stěn po ůné pomě élk a výšk stěn. Jsou e také výslek výpočtu po nosník přepokláající platnost Benouli- Navieov hpoté o achování ovinnosti půřeu nosníku (čákovaná čáa). 9 Řešení po a = m, t =, q = kn/m

20 Nosné stěn, meto řešení Meto po řešení stěn: Invení metoa Metoa sítí Fouieova metoa Vaiační meto: negetické meto (např. Ritova metoa) Metoa konečných pvků istují i alší meto. Všechn tto meto jsou přibližné s výjimkou invení meto, jejíž použití je velmi omeené.

21 Nosné stěn, řešení invení metoou Zaání: Řešte stěnu poepřenou jako konolu a atíženou boovou silou Aiho funkci napětí volte ve tvau: a b c musí vhovovat stěnové ovnici: což je splněno:

22 . po Nosné stěn, řešení invení metoou, okajové pomínk Složk napětí po funkci: a b c Φ Φ 6b 6c Φ (a c ) a c Okajové pomínk: h. po ch a c a c h/ l. po F F c h h/ -h/ l -h/ h/ h ch h -a-c a c ah c h c ch F h/ 6b 6c b cl Fl h F a h

23 Nosné stěn, řešení invení metoou, funkce napětí I S V h h F Φ Po vložení honot o Aiho funkce: Tto vtah ovoen v PP - výpočet nomálových a smkových napětí (Gashofův voec) po obélníkový půře a jenotkovou šířku konol. h F c h Fl b h F a h h l h F c b a Φ I M h l/ F l h F Φ h F h

24 Invení metoa řešení Postatou invení meto řešení nosných stěn je: analýa aané bihamonické (Aiho) funkce napětí (jištění, a-li aaná funkce je skutečně bihamonická, tj. že splňuje stěnovou ovnici), hleání opovíajících okajových pomínek (silových, efomačních přípaně smíšených), analýa stavu napětí v ané stěně. Řešení invení metoou vcháí přeem námého tvau Aiho funkce napětí, ke kteé se hleá opovíající nosná stěna s příslušnými okajovými pomínkami této skutečnosti vcháí i náev invení metoa.

25 5 Rovinný poblém v poláních souřanicích V poláních souřanicích se používají poměnné a. Vtah mei nimi a souřanicemi, vplývá ob.: cos sin actan Fikální ovnice v poláních souřanicích le ískat ovnic po ovinnou napjatost nebo po ovinnou efomaci přepsáním ineů: Rovinná napjatost: G Rovinná efomace:

26 6 Pomínk ovnováh v poláních souřanicích sin R Plošný element má jenotkovou tloušťku. Pomínk ovnováh le sestavit ve směu půvoiče a kolmo na něj, tj. ve směu Po úpavě jsou pomínk ovnováh: Přepokláá se: F : F : cos

27 7 Záklaní ovnice pužnosti po otačně smetické úloh Geometické ovnice jsou: u u s s s u Rovnice ovnováh se jenouší na: R

28 8 Stěnová ovnice v poláních souřanicích Tuto ovnici le ovoit e stěnové ovnice v pavoúhlých souřanicích, tansfomací o poláních souřanic,. Složk napětí jsou: Ovoení je uveeno např. v publikaci: Dický, Mistíková, Sumec: Pužnosť a plasticita v stavebníctve. STU v Batislavě, ISBN , 6. -

29 Saint-Venantův pincip lokálního účinku Jean Claue Saint-Venant ( ) Saint-Venantův pincip lokálního účinku: V boech tuhého tělesa, ostatečně válených o působišť vnějších sil, napětí velmi málo ávisí na etailním působu ealiace těchto atížení. Rovnovážná soustava ovlivní stav napjatosti jen v blíkém okolí, ve válenějších boech má anebatelné účink. Usnaňuje řešení napjatosti těles. 9