Počítačová analýza fraktálních množin

Transkript

1 Počítačová aalýza fratálích mož Petr Pauš Výzumý úol Šoltel : Zaměřeí : Katedra : Aademcý ro : Ro tuda : Dr Ig Mchal Beeš Tvorba oftware KM 2004/2005 4

2 Obah ÚVOD 3 2 HAUSDORFFOVA DIMENZE 4 2 HAUSDORFFOVA MÍRA 4 22 HAUSDORFFOVA DIMENZE 8 23 VÝPOČET HAUSDORFFOVY MÍRY A DIMENZE 2 3 MŘÍŽKOVÁ DIMENZE (BOX-COUNTING DIMENSION) 5 3 MŘÍŽKOVÁ DIMENZE 5 32 VZTAH MEZI MŘÍŽKOVOU A HAUSDORFFOVOU DIMENZÍ 8 33 VLASTNOSTI MŘÍŽKOVÉ DIMENZE 9 4 NUMERICKÝ VÝPOČET MŘÍŽKOVÉ DIMENZE 20 4 POSTUP KRUŽNICE, ČTVEREC A HRANICE ČTVERCE 2 43 MANDELBROTOVA MNOŽINA JULIOVA MNOŽINA (C=-+0I) 29 5 PROGRAMY 3 5 GENERÁTOR MANDELBROTOVY MNOŽINY A MNOŽIN JULIOVÝCH 3 52 PROGRAM PRO VÝPOČET MŘÍŽKOVÉ DIMENZE 32 6 ZÁVĚR 34 7 LITERATURA 35

3 Úvod Tato práce avazuje a moj rešerší prác, terá e týala fratálů a fratálích mož obecě Nyí jem e zaměřl hlavě a fratálí dmez a její zjšťováí pro růzé možy Nejprve e budeme věovat Haudorffově dmez, protože ta je považováa za záladí fratálí dmez, tato j ozačl ve vých pracích Madelbrot Dále e budeme věovat mřížové (box-coutg) dmez, teoretcy pratcy Kaptola o Haudorffově dmez obahuje defce a věty o důležtých vlatotech včetě důazů Uvedey jou též přílady výpočtu u ěola mož Hlavím zdrojem formací pro tuto aptolu byly hy [8] a [9] Jedá e vlatě o výběr toho ejdůležtějšího z obou h Další aptoly jou věováy pouze mřížové dmez a jejímu výpočtu Defce a věty jem čerpal hlavě z [9], de je vše velm přehledě popáo Iformace o umercém výpočtu mřížové dmeze jem zíal z doumetů [4] a [5] z VUT v Brě, de e umercému výpočtu mřížové dmeze věují a výledy e aží aplovat v chem a polygraf Práce vzla v rámc výzumého záměru Aplovaá matemata v techcých a fyzálích vědách, č MSM

4 2 Haudorffova dmeze Pojem dmeze je př zoumáí fratálů velm důležtý Jedou z ejtarších, avša taé jedou z ejdůležtějších dmezí, je právě dmeze Haudorffova Je vhodá prác z matematcého hleda, lze j použít a lbovolé možy a je založea a mírách, e terým e relatvě lehce pracuje Její hlaví evýhodou je, že v ěterých případech je velm obtížé počítat její hodotu 2 Haudorffova míra Před defcí amoté Haudorffovy dmeze je uté zavét ěol důležtých pojmů Patří mez ě hlavě Haudorffova míra a Haudorffova vější míra Podroběj e o áledujících pojmech hovoří v [8] a [9] Nejprve vša přpomeňme defc míry a vější míry a ěola dalších záladích pojmů Defce Míra Nechť X je moža a echť F je σ -algebra podmož X Míra a F je možová fuce M:F < 0, > taová, že ) M ( ) = 0; 2)Poud A F je djutí poloupot mož, pa M A = M( A) = Defce 2 Vější míra Nechť X je moža Vější míra a X je fuce M defovaá a všech podmožách možy X, terá zobrazuje do tervalu < 0, > a zároveň platí: ) M ( ) = 0; 2)Poud A B, pa M( A) M ( B) ; 3) M A M ( A) = Defce 3 Spočeté porytí Moža mož A e azývá početé porytí možy F právě tehdy, dyž F A, a A je početá (čato oečá) moža Defce 4 ε-porytí Nechť ε je ladé reálé čílo (čato velm malé) Porytí A e azývá ε -porytí, poud platí dam A ε pro všechy možy A A A A 4

5 2 3 4 Obráze Růzá porytí možy pro zmešující e ε Nyí jž máme defováy všechy potřebé pojmy a můžeme defovat Haudorffovu míru Defce 5 Haudorffova -rozměrá vější míra Defujeme H f (dam A) ε = A A, de fmum je pře všecha početá ε -porytí A možy F Když e ε bude zmešovat, pa e H ε bude zvyšovat, jelož e íží počet dotupých porytí Má tedy myl defovat H = lm H = up H, ε ε 0 ε > 0 což je Haudorffova -rozměrá vější míra možy F Začeí: H e bude začt vější míra ( pruhem) a H bude (obyčejá) míra (bez pruhu) Hodota lmty je z tervalu < 0, >, přčemž hodot 0 a abývá velm čato Haudorffova míra zobecňuje obecý pojem dély, plochy a objemu Dá e doázat (důaz apřílad v [9]), že -rozměrá Haudorffova míra plývá -rozměrou Lebegueovou mírou To zameá, že pro běžé podmožy F je H 0 rova počtu bodů v možě F, H je déla hladé řvy F, H 2 = (4 π ) plocha poud F je hladá plocha a H 3 = (6 π ) objem V áledujících větách budou uvedey záladí vlatot Haudorffovy míry ε 5

6 Věta Haudorffova vější míra H je opravdu vější míra Důaz: Muíme doázat ) H ( ) = 0 Prázdou možu lze porýt jedou možou dametrem 0 < ε Taže 0 H ( ) ε pro aždé ε > 0 Z toho plye, že ( ) = H 0 Pa H ( ) = lm H ( ) = 0 2) F G H H ( G) Poud F G, pa aždé -porytí G je taé -porytí F Poud tedy vezmeme fmum pře všecha -porytí, dotaeme H H ( G) a pro 0 dotaeme H H ( G) 3) Poud A, A 2, je početá (ebo oečá) poloupot mož, pa = Poud jou A djutí, pa atává rovot H ( A) H ( A) Bez újmy a obecot můžeme předpoládat, že {, j:,2, } U j = -porytí Pa { U, j: =,2, ; j =,2, } = A taové, že ( U, j) j= je -porytí A = = 0 H ( A ) < Nechť pro aždé ε > 0 je H ( A) + 2 ε ε H ( A) ( dam U, j) H ( A) + ε ( A) ( A) = + H ε + H = = j= = 2 = = Toto celé platí pro lbovolé ε > 0, taže Věta 2 Nechť F Hodota H A = lm H ( A) H ( A) 0 = = = H 0 je rova počtu bodů v možě F Důaz: Nechť { A } je -porytí F Pro aždou možu A je ε A 0 = a 0 A je tím 0 pádem počet mož v porytí Taže H je ejmeší počet mož tvořících porytí možy F Poud moža F obahuje bodů, x, x2,, x, pa můžeme defovat -porytí 0 možy F jao oulí e tředy v bodech x poloměry /2 Pa bude H Když 0 zvolíme ta malé, aby platlo x xj > pro aždé j, pa H 0 0 plye, že H a tedy H = = Z toho tedy 6

7 Poud moža F obahuje eoečě moho bodů, můžeme vždy vzít podmožu F 0 0 možy F ta, že obahuje bodů Pa H > H ( F ) = a to pro lbovolé, tedy 0 H ( F ) = Věta 3 Poud je F oečá moža, pa H ( F ) = 0 pro aždé > 0 Důaz: Nechť F { x x x } v bodech x Pa =, 2,,, jao ε -porytí volme oule poloměrem ε /2 e tředy H ε ε pro lbovolé ε > 0 Tím pádem pro ε 0 je H ( F ) = 0 Věta 4 Nechť S je podobotí traformace měřítem λ > 0 Poud H ( SF ( )) = λ H Důaz: Poud { U } je ε -porytí F, pa { ( )} z toho tedy = F, pa SU je λε -porytí SF ( ) Pa platí ( dam ( )) SU = λ ( damu ) H ( SF ( )) λ H Pro ε 0 dotáváme H ( SF ( )) λ H Poud míto S vezmeme /λ a F ahradíme za SF, ( ) dotaeme opačou erovot λε ε S, λ ahradíme za Věta 5 Nechť m F a f : F je zobrazeí taové, že pro otaty 0 f ( x) f( y) c x y ( x, y F) α c > a α > 0 platí Pa pro aždé je α α H ( f ) c H Důaz: Nechť { U } je -porytí F Z erovot v předpoladu odvodíme, že Z toho tedy plye, že { ( )} z toho plye α ( ) ( ) dam f( F U ) c dam F U c damu f F U je ε -porytí f ( F ), de ε = c α Taže α α ( dam F U ) c ( damu ) α α H ( f ) c H Pro jdoucí 0 půjde ε 0 a dotaeme z toho tedy tvrzeí věty ε Podmía v předpoladu věty je zámá jao Hölderova podmía expoetemα Fuce plňující tuto podmíu pro α = e azývá lpchtzová α 7

8 Věta 6 V metrcém protoru plývá -rozměrá Haudorffova míra mírou λ H Lebegueovou Důaz: Vezměme možu A, terá má oečý dametr Potom up A f A= r, taže moža A je obažea v uzavřeém tervalu I dély r a λ( A) λ( I) = r Avša míra H ε je ejvětší vější míra M plňující M ( A) dama pro všechy možy A dametrem meším ež ε Z toho plye, že H ε λ pro všechy možy F, taže H λ Nyí vezměme polootevřeý terval ab, ) a zvolme ε > 0 Iterval rozdělíme pomocí bodů a= x0 < x < < x = b, pro teré platí xj xj < ε pro aždé j Iterval ab, ) je tedy poryt početým ytémem tervalů { x, : j xj j } Platí dam x, x = ( x x ) = b a j j j j j= j= ( ) Z toho dotáváme, že H ε ab, ) b a Ale míra λ je ejvětší vější míra plňující λ ( ab, )) < b a pro všechy polootevřeé tervaly ab, ), a proto λ H pro aždou možu F Tato jme doázal, že vější míry plývají Možy ovšem plňují Carathéodoryho rtérum a tím pádem plývají míry λ a H ٱ 22 Haudorffova dmeze Nyí budeme zoumat H jao fuc pro daou možu F Uazuje e, že dyž rote, pa H leá Platí vša více velm zajímavých utečotí Věta 7 Nechť F je borelová moža a echť 0 < < t jou reálá číla Poud t t H ( F ) <, pa H ( F ) = 0 Poud H ( F ) > 0, pa H ( F ) = Důaz: Pro lbovolou možu A taovou, že dam A ε, platí t t ( ) ε ( ) t H ( A) dam A dam A ε t t Z toho tedy dotáváme ε ε H H ε pro lbovolou možu F Poud bude t H ( F ) = 0, pa H t lm ε H = 0 H = 0 Stejě e doáže druhá čát věty ε 0 ε Důledem této věty je, že pro daou možu F extuje jtá hodota 0 < 0, > taová, že H ( F ) = pro aždé < 0 a H ( F ) = 0 pro aždé > 0 Tuto hodotu 0 azýváme Haudorffovou dmezí možy F Formálě lze defc této dmeze zapat tato: Defce 6 Haudorffova dmeze Pro lbovolou možu F defujeme Haudorffovu dmez jao dm F = f{ 0 : H = 0} = up{ : H = } 8

9 Je amozřejmě možé, že hodota H ( F ) = 0 pro všecha > 0 V tomto případě je dm F = 0 Stejě ta e může tát, že H ( F ) = pro všecha, pa je dm F = H ( F ) 0 0 dm F = 0 Obráze 2 Hodota Haudorffovy míry v závlot a Uveďme jedoduchý přílad Za možu F vezmeme ruh jedotovým poloměrem v 3 Ja jž bylo řečeo výš, H je rovo délce možy F, v ašem příladě tedy eoečo H 2 je až a oefcet rovo ploše možy F, tz H 2 = (4 π ) plocha = 4, což je meší ež eoečo Podobě H 3 je až a oefcet rovo objemu F, tz H 3 = (6 π ) Objem = 0 Haudorffova dmeze ám tedy vychází rova 2 Věta 8 Nechť A, B jou borelové možy Pa platí, že poud A B, pa dm A dm B Důaz: Předpoládáme tedy A B Věta říá, že poud A B, pa H ( A) H ( B) Když tedy bude > dm B, ta H ( A) H ( B) = 0 (Věta 7) a tím pádem dm A To ovšem platí pro všecha > dm B, taže dm A dm B Věta 9 Nechť A, A 2, jou borelové možy Pa dm A = updm A Důaz: Nechť > up dm A, to zameá, že bude > dm A Z toho plye, že H ( A ) = 0 Víme, že H je vější míra, taže platí A H H ( A) = 0 = 0 9

10 Taže dmeze jedoceí je meší ež, a to pro všecha dm A updm A Podle věty 8 je dmeze podmožy meší ebo rova admožě, taže dm A updm A Z erovotí tedy plye rovot a důaz je provede ٱ Věta 0 Nechť F a echť f : Potom platí, že dm f ( α)dm F m F plňuje Hölderovu podmíu f ( x) f( y) c x y ( x, y F) α > up dm A Platí tedy, že α α Důaz: Poud > dm F, pa podle věty 5 je H ( f) c H = 0 A z toho plye, že dm f α pro všecha > dm F ٱ m Důledem této věty je, že poud je fuce f : F lpchtzová, pa dm f dm F m Další důlede je, že poud je fuce f : F b-lpchtzová, což zameá, že plňuje podmíu c x y f( x) f( y) c x y ( x, y F), 2 de 0 < c c2 <, pa dm f = dm F Tyto důledy á vedou záladí vlatot Haudorffovy dmeze: Haudorffova dmeze je varatí vůč b-lpchtzové traformac Když tedy budou mít dvě možy rozdílou dmez, pa mez m eextuje b-lpchtzová traformace Ve fratálí geometr e dvě možy považují za tejé právě tehdy, dyž mez m extuje právě b-lpchtzová traformace Samotá Haudorffova dmeze ám o topologcých vlatotech možy moc eřee, ale lze doázat áledující věta pro možy dmezí meší ež jeda Věta Moža F dm F < je úplě eouvlá Důaz: Nechť x a y jou dva rozdílé body možy F Defujeme zobrazeí f : [0, ) jao f ( z) = z x Toto zobrazeí ezvětšuje vzdáleot mez body, protože f( z) f( w) = z x w x ( z x) ( w x) = z w Z důledu věty 0 ám plye, že pro lpchtzové zobrazeí (tz aše zobrazeí f ) platí dm f dm F < Moža f ( F ) je tedy podmožou mírou H (ebol délou) rovou ule a tudíž má hutý doplě Nyí zvolme bod r taový, že r f a 0 < r < f( y) Z toho plye { : } { : } F = z F z x < r z F z x > r Moža F je tedy obažea ve dvou djutích možách bodem x v jedé a bodem y ve druhé Body x a y leží tedy aždý v jé ompoetě možy F 0

11 ε = ε = /2 ε = /4 ε = /0 Věta 2 Haudorffova dmeze je Obráze 3 Porytí tervalu 0, Důaz: Věta 6 říá, že Haudorffova míra H plývá Lebegueovou mírou λ, platí tedy H ( 0, ) = λ ( 0, ) = Dmeze tervalu 0, je tedy Iterval 0, je ale čátí, tz dmeze je větší ež jeho dmeze, tedy větší ež Když vezmeme lbovolé 0,, taže H ( ) >, bude ( ) +, = 0 Dotáváme tedy H 0, = 0 Itervaly +, jou zometrcé ( ) ( ) H H, + = 0 = Teto výraz ám tedy říá, že pro všecha > je dm Dmeze ta meší ebo rova Když dáme dohromady erovot, zíáme požadovaý výlede dm = Tato jme zjtl, že jedorozměrá Lebegueova míra je vhodá pro počítáí dm 2 Sado tedy uoudíme, že pro výpočet dm bude třeba použít dvourozměrou Lebegueovu míru ε= 24 ε= 2 ε= 22 Věta 3 Haudorffova dmeze Obráze 4 Porytí jedotového čtverce 2 je 2 Důaz: Vezměme jedotový čtverec Q = 0, 0, Teto čtverec lze porýt čtverc délou tray, taže pro ε 2 dotáváme 2 meším

12 Tím pádem H 2 ( Q) 2 a tedy dmq H ( Q) ( 2 ) 2 ε = Teď je ještě třeba doázat opačou erovot Nechť A je početé porytí Q pouze uzavřeým možam Uvědomme, že aždá moža A dametrem r je obažea ve čtverc Q e traou meší ež ebo rovou r Z toho dotáváme Tato jme dotal A dam A Q Q ( Q) = ( ) ( A) λ λ A λ A A A A A A A A H 2 ( Q) 2 a tedy dmq 2 Nyí budeme potupovat podobě jao u předchozího důazu Protože 2 dm dm 2 2 Q, ta Q Pro > 2 je H ( Q ) = 0, ale 2 lze porýt početým ytémem { Q : } čtverců o traě, taže H H Q = 2 ( ) ( ) 0 Z toho plye, že 2 dm = 2 dm 2, tedy 2 dm 2 Z opačých erovotí dotáváme 23 Výpočet Haudorffovy míry a dmeze Určováí Haudorffovy dmeze eí v prax vůbec jedoduché Obvyle e potupuje ta, že alezeme horí hrac možy, a pa e ažíme doázat, že to je zároveň dolí hrace Nalezeí horí hrace bývá čato jedodušší Jeda z metod počívá v alezeí ε porytích možy F, ozačme možy těchto porytí U, Pro tato porytí muí platt, že ε 0 pro Potom je třeba doázat, že pro všecha platí ( damu, ) C < To zameá, že H ε C pro všecha a tím pádem H C Z toho plye, že dm F Běžý způob, ja ajít podí hrac, je využtí prcpu rozděleí hmoty Pro možu F muíme defovat míru μ a taovou, že μ > 0 Poud tato míra bude plňovat podmíu, že U F, μ( U) C( damu), de C je pevá otata, pa dm Toto tvrzeí lze doázat áledově Nechť 0 ε > a echť { } U je ε -porytí možy F Platí ( ) μ( F ) μ( U ) μ( U ) C dam U Poud vezmeme fmum pře všechy ε -porytí možy F, dotaeme CH ε μ, dále μ( ) H H F ε > 0 C 2

13 a z toho plye, že dm F, protože dm = f{ : H = 0} Nyí ěol příladů a výpočet Haudorffovy dmeze Nejprve Catorovo dotuum ebol Cator Dut Obráze 5 Kotruce Catorova dotua, dm F = Přílad Nechť F je Catorovo dotuum zotruovaé z jedotového čtverce ta, že v aždém rou čtverec rozdělíme a 6 meších čtverců délou hray 4 původí hray a poecháme pouze 4 čtverce podle obrázu Potom platí H 2, taže dm F = Výpočet: Ozačme E -tou terac Tato moža e vždy ládá ze 4 čtverců délou hray 4 Jejch dametr je 4 2 Tyto čtverce vezmeme jao -porytí možy F, de = 4 2 Tato dotaeme odhad H Když, pa 0 a dotaeme tedy H 2 Nyí e pouíme zíat dolí odhad Nechť proj je ortogoálí projece a ou x 2 Ortogoálí projece ezvyšuje vzdáleot, tj projx proj y x y, a poud xy,, pa proj je lpchtzová Tato projece je vlatě tí možy F a oe x a z otruce možy F zjtíme, že to je jedotový terval 0, S využtím toho, že zobrazeí je lpchtzové (vz věta 5), můžeme pát = déla 0, = ( 0, ) = (proj F) H H H ٱ 3

14 V tomto výpočtu jme použl prcp ortogoálí projecí, abychom dotal dolí odhad Haudorffovy míry Te lze ale použít pouze ve zvláštích případech, čato je výpočet mohem těžší V dalším příladě vypočteme dmez Catorovy možy Přílad 2 Nechť F je Catorova moža Pa dm F = = log 2 log3 a 2 H Heurtcý výpočet: Catorova moža e rozdělí a levou FL = F 0, 3 a pravou FR = F 23, čát Obě tyto čát jou geometrcy podobé možě F, pouze zmešeé a jedu třetu F R a F L jou djutí a platí F = FL FR Pro aždé platí H = H ( FL) + H ( FR) = + 3 H 3 H Toto plye z vlatot Haudorffovy míry o změě měříta Budeme předpoládat, že pro právou hodotu = dm F platí 0 < H < Abychom dotal oečou hodotu, ta muí platt = 2( 3) ebol = log 2 log3 4

15 3 Mřížová dmeze (box-coutg dmeo) V předchozí aptole jme e ezáml Haudorffovou dmezí Tato dmeze byla velm obecá, použtelá pro všechy možy, a proto taé obtížá a výpočet V prax e ovšem používají další (alteratví) typy dmezí Podrobé formace o alteratvích dmezích lze alézt v [8] Tyto dmeze bývají zpravdla založey a měřeí měřítem, dy zaedbáváme epravdelot meší ež Sledujeme, ja e tato měřeí chovají, dyž 0 Jao přílad můžeme uvét měřeí dély řvy F ta, že počítáme, ol roů dély muíme provét, abychom j celou prošl Toto provedeme pro dva růzé roy a vypočteme mocou závlot Ozačme M počet roů př délce rou Předpoládejme tedy, že zde extuje mocá závlot Pa M c pro otaty c a Poud toto atae, pa říáme, že moža F má dělící dmez (dvder dmeo) Teto výraz zlogartmujeme log M log c log a velot rou budeme tále zmešovat log M = lm 0 log Hodota vlatě zameá měrc přímy v log-log grafu Poud budeme defovat další verze dmezí, pa e amozřejmě jejch výledy a tejé možy emuí hodovat (dooce a pro hezé možy) Jejch vlatot budou taé odlšé a je třeba je odvozovat přímo z jejch defce Něteré tyto vlatot odvodíme a výledy budeme porovávat právě dmezí Haudorffovou 3 Mřížová dmeze Mřížová dmeze je v prax jeda z ejvíce používaých dmezí Algortmu e relatvě jedoduše mplemetuje a počítač a pro velou třídu mož dává tejé výledy jao Haudorffova dmeze Defce 7 Mřížová dmeze Nechť F je eprázdá omezeá podmoža a echť N je ejmeší počet mož průměrem, teré porývají F Defujeme dolí a horí mřížovou dmez možy F jao log N dmbf = lmf 0 log log N dmbf = lmup 0 log Poud e tyto výrazy rovají, pa polečou hodotu azýváme mřížovou dmezí možy F, log N dmb F = lm 0 log 5

16 Předpoládáme, že čílo je dotatečě malé, aby hodota log byla otře větší ež 0 Stejě ta echceme doputt tuace jao log 0 a log, proto a možu lademe předpolad eprázdot a omezeot Mřížovou dmez lze počítat růzým způoby Jao možy pro porytí můžeme zvolt apř rychle z mřížy e traou Věta 4 Nechť mříža tato: F je eprázdá moža a možy pro porytí F jou defováy jao < m,( m + ) > < m,( m + ) >, de m,, m jou celá číla, je ro mřížy a N je počet rychlí z mřížy, teré protíají možu F Pa mřížové dmeze počítaé pomocí N a N z defce 7 jou rovy Důaz: Je zřejmé, že tyto rychle možu F porývají, a tedy tvoří -porytí Platí, že N ( F ) N ( F ) Poud < (abychom mohl erovot přezáobt log ), pa log ( ) log ( ) log log log A poud 0, pa log N log N dmbf = lmf lmf, 0 log 0 log log N log N dmbf = lmup lmup 0 log 0 log Na druhou trau, aždá moža průměrem bude obažea v maxmálě 3 z mřížy o hraě To zameá, že N 3 N, rychlích a poud toto zlogartmujeme a pošleme ule, dotaeme opačé erovot, tz log N dmbf lmf, 0 log log N dmbf lmup ٱ 0 log Tato verze dmeze e využívá ejvíce emprcy, a odtud taé plye její jméo Možu umítíme do mřížy čtverců ebo rychlí a jedoduše počítáme, do ola rychlí moža zaahuje Mřížová dmeze vlatě říá, ja rychle rotou epravdelot e zmešujícím e Uvedl jme dva růzé způoby výpočtu mřížové dmeze (buď z defce ebo pomocí věty 4), ale amozřejmě, že to ejou všechy možé O dalších možotech ám říá áledující věta, jejíž důaz lze alézt apřílad v [8] 6

17 F F Obráze 6 Pět způobů, ja ajít mřížovou dmez možy Obrázy odpovídají bodům předchozí věty Výpočet N je tedy ejméě oulí poloměrem, 2 ejméě rychlí e traou, 3 počet rychlí z mřížy o traě, 4 ejméě mož dametrem, 5 ejvětší počet djutích oulí poloměrem e tředy v možě Věta 5 Horí a dolí mřížové dmeze možy F jou dáy jao log N dmbf = lmf, 0 log log N dmbf = lmup 0 log a amotá mřížová dmeze je dáa jao log N dmb F = lm 0 log (poud lmta extuje), de N je jedo z áledujících: ejmeší počet uzavřeých oulí poloměrem, teré porývají F ; 7

18 2 ejmeší počet rychlí e traou, teré porývají F ; 3 počet rychlí z mřížy e traou, teré protíají F ; 4 ejmeší počet mož dametrem maxmálě, teré porývají F ; 5 ejvětší počet djutích oulí poloměrem, teré mají třed v F V prax lze amozřejmě použít více evvaletích defc, teré lépe odpovídají ašm potřebám 32 Vztah mez mřížovou a Haudorffovou dmezí Nyí e pouíme zjtt vztah mez mřížovou dmezí a Haudorffovou dmezí Př výpočtu mřížové dmeze jme ašl porytí možy F, ovšem emuelo to být právě to ejvhodější pro Haudorffovu dmez Věta 6 Nechť F je eprázdá moža Pa dm dmb dmb F F F Důaz: Možu F jme poryl N možam dametrem, proto dotáváme H N Poud bude < H = lm H, pa zlogartmováím pravé tray erovot dotaeme 0 (pro dotatečě malé ) log N + log > 0 Odtud plye, že a tedy log N lm f, 0 log dm F dm F dmbf ٱ B Z této erovot bohužel plye, že Haudorffova a mřížová dmeze e erovají Avša v prax rovot atává velm čato Vzorec z defce mřížové dmeze ám říá, že pro malá e N chová jao, de = dm B F Přeěj to můžeme zapat jao a Můžeme pát, že N pro < dm B F N 0 pro > dm B F N = f :{ U} je oečé porytí F Teto záp e velm podobá defc Haudorffovy míry H = f dam U :{ U} je porytí F 8

19 Hlaví rozdíl mez těmto zápy je, že Haudorffova míra přřazuje aždé možě z porytí jou váhu (daou jejím dametrem), dežto př výpočtu mřížové dmeze předpoládáme u všech mož tejý průměr Můžeme defovat výraz vf ( ) = lmf N, ale arozdíl od H to eí míra a 0 Toto doazuje, že mřížové dmeze emají ěteré příjemé vlatot a proto e m pracuje hůře matematcy Ale a druhou trau, díy tomu, že možy porytí mají tejý průměr, ta e mřížová dmeze mohem lehčej počítá 33 Vlatot mřížové dmeze Věta 7 Pro mřížovou dmez platí: hladá plocha F dmeze m v 2 dm B a dmb jou mootóí; má dm B F = m; 3 dm B( E F) = max{dm BE,dm BF} ; eplatí pro dm B ; 4 dm B a dmb jou varatí vůč b-lpchtzové traformac Důaz lze alézt apř v [8] Věta 8 Nechť obahuje) Pa a F a F je její uzávěr (tz ejmeší uzavřeá moža, terá F dm dm B B F = dm F B F = dmbf Důaz: Nechť B, B2,, B je oečá poloupot uzavřeých oulí poloměry Poud moža B obahuje možu F, pa obahuje možu F Z toho plye, že ejmeší = počet oulí poloměrem, teré poryjí F, e rová ejmešímu počtu oulí potřebých porytí větší možy F Z toho jž plyou uvedeé rovot 9

20 4 Numercý výpočet mřížové dmeze V předchozí aptole byla mřížová dmeze popáa teoretcy, byly uvedey její vlatot, výhody a evýhody Jao výhoda byla zmíěa možot jejího výpočtu umercy pomocí výpočetí techy Poul jem e tedy vypočítat mřížovou dmez hrace Madelbrotovy možy, Julovy možy, ružce, čtverce a hrace čtverce 4 Potup V defc mřížové dmeze e objevuje lmta, dy velot mřížy zmešujeme ule Toho amozřejmě a počítač elze doáhout, proto muíme pouze přblžý potup Možu, u teré chceme měřt dmez, umítíme a mřížu a počítáme, ol čtverců z mřížy obahuje ějaou čát možy Potom vezmeme hutější mřížu a opět zjtíme počet čtverců obahujících možu Tato poračujeme pro ěol růzých mříže Zíaé hodoty vyeeme do log-log grafu, de a oe x bude log(/ ) a a oe y bude log( N ( )) Straa jedoho čtverce z mřížy je ozačea jao a N ( ) zameá počet čtverců obahujících možu v závlot a Body v grafu proložíme přímou a měrce této přímy udává právě mřížovou dmez Mřížová dmeze záví a ěola parametrech, teré velm ovlvňují výledou hodotu Neprává volba těchto parametrů může způobt velm velé chyby př výpočtu Mez tyto parametry patří volba fuce pro výpočet měrce přímy v log-log grafu; volba vhodého rozahu velotí mřížy; oretace a umítěí mřížy a možě Program pro měřeí mřížové dmeze, terý jem vytvořl, pracuje ta, že aždou buňu mřížy rozdělí a ještě jemější mřížu (20 až 50-rát jemější) a a té zjšťuje, zda body patří ebo epatří do možy Když e v jedé buňce mřížy podaří ajít bod, terý do možy patří a zároveň bod, terý tam epatří, pa daou buňou prochází hrace možy Algortmu chématcy zázorňuje obráze 7, de tečy zameají jemější mřížu a čáry předtavují buňu původí mřížy Obráze 7 Hledáí hrace možy 20

21 42 Kružce, čtverec a hrace čtverce Nejprve jem e poul umercy vypočítat dmez jedoduchých mož jao je ružce, čtverec a hrace čtverce Kružce a hrace čtverce jou hladé a po čátech hladé řvy, jejchž Haudorffova dmeze e rová jedé a čtverec má Haudorffovu dmez dvě Tabula Hrace čtverce (tray rovoběžé oam) N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula 2 Hrace čtverce (tray otočeé o 45 vůč oám) N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula 3 Kružce N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body

22 46 Čtverec log-log graf hrace čtverce 4 Čtverec 2 Leárí (Čtverec ) Leárí (Čtverec 2) 36 log(n()) log(/) 45 log-log graf pro ružc 4 log(n()) log(/) Tabula 4 Vyplěý čtverec (tray rovoběžé oam) N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body

23 Tabula 5 Vyplěý čtverec (tray otočeé o 45 vůč oám) N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Vyplěý čtverec 7 6 log(n()) Čtverec Čtverec 2 Leárí (Čtverec ) 2 Leárí (Čtverec 2) log(/) Objet Směrce přímy Haudorffova v log-log grafu dmeze Chyba [%] ružce hrace čtverce hrace čtverce (45 ) čtverec (45 ) čtverec Tabula 6 Směrce příme v log-log grafech a chyba dmeze Z tabule a grafů je vdět, že mřížová dmeze odpovídá utečé dmez, ale určtou chybou Když body log-log grafu proložíme přímou, zíáme aproxmac mřížové dmeze Pro čtverec, terý je rovoběžý oam (tedy mřížou), je použtí velm přeé Směrce 23

24 přímy je rova 0, tz odchyla od právé hodoty je 0% Pro čtverec otočeý o 45 vůč oám a pro ružc je měřeí jž epřeější, ale tále je chyba relatvě malá Zde je vdět, že volba prává oretace mřížy je velm důležtá Stačlo čtverec pootočt a přeot výpočtu dmeze e hed zhoršla Směrce proložeé přímy je pro čtverec a pro ružc, tz oboje e lší od právé hodoty přblžě pouze o 03% Ještě horší hodoty dotáváme u vyplěého čtverce Pro čtverec rovoběžý oam je měrce , což e lší od právé hodoty o 0783% U čtverce otočeého o 45 vychází měrce , chyba je tedy 233% Z těchto měřeí vyplývá, že př umercém výpočtu mřížové dmeze dochází chybám pro jedoduché efratálí možy Výledy ale ejou přílš odlšé od právé hodoty Podívejme e dále a mohem ložtější možu - Madelbrotovu 43 Madelbrotova moža Mtuhro Shhura v roce 994 v [6] doázal, že Haudorffova dmeze hrace Madelbrotovy možy M (ozačme j M ) je rova 2 Shhura též doázal, že dmez rovou dvěma má Julova moža, de jao otatu vezmeme bod z hrace Madelbrotovy možy Našm cílem bylo zjtt, zda bude mřížová dmeze vypočítaá umercy odpovídat dmez Haudorffově Pro jtotu přpomeňme, ja je Madelbrotova moža defováa: 2 { je omezeá} M = c C c c + c Pro výpočet jem použl vůj program, terý dle zadaých parametrů počítá Madelbrotovu možu a jemé mřížce a ečte, do ola větších čtverců pade hrace této možy Numercy počítaá mřížová dmeze má jedu z evýhod v tom, že záví a velm moha parametrech Mez hlaví parametry př výpočtu dmeze právě Madelbrotovy možy patří volba velot záladí mřížy, volba velot mřížy pro výpočet počtu zobrazeých čtverců a volba počtu terací pro rozhodutí, zda poloupot pro daý bod rote do eoeča ebo e Př mém měřeí jem e poul mět všechy hlaví parametry, ale a pro jedu volbu jem edoáhl číla dvě Naopa, výledy e velm lšly V aptole o mřížové dmez bylo uvedeo, že e tato dmeze rová Haudorffově dmez, ale emuí to být ve všech případech Toto bude zřejmě přílad, dy rovot eatává Tabula 7 Madelbrotova moža, 00 terací, záladí mříža 000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body

25 Tabula 8 Madelbrotova moža, 200 terací, záladí mříža 000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula 9 Madelbrotova moža, 500 terací, záladí mříža 000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body log-log graf pro Madelbrotovu možu (ro mřížy 000) 45 4 log(n()) Leárí (00) Leárí (200) Leárí (500) log(/) 25

26 Tabula 0 Madelbrotova moža, 00 terací, záladí mříža N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula Madelbrotova moža, 200 terací, záladí mříža N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula 2 Madelbrotova moža, 500 terací, záladí mříža N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body

27 log-log graf pro Madelbrotovu možu (mříža ) log(n()) Leárí (00) Leárí (200) Leárí (500) log(/) Tabula 3 Madelbrotova moža, 00 terací, záladí mříža 0000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Tabula 4 Madelbrotova moža, 200 terací, záladí mříža 0000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body

28 Tabula 5 Madelbrotova moža, 500 terací, záladí mříža 0000 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body log-log graf pro Madelbrotovu možu (mříža 0000) 5 45 log(n()) Leárí (00) Leárí (200) Leárí (500) log(/) Proložíme-l body v grafu přímam, pa pro růzou velot mřížy dotaeme áledující hodoty: Tabula 6 Hodota mřížové dmeze v závlot a počtu terací a velot mřížy Mříža Iterace Tabula 6 uazuje výledy výpočtu mřížové dmeze pro Madelbrotovu možu Výledy vůbec eodpovídají tomu, co bychom očeával, a to čílu 2 Je zde ale vdět jtá ouvlot mez výledy Čím jemější záladí mříža, tím je dmeze vyšší, ale aopa čím více terací (tz přeější určeí možy), tím meší dmeze 28

29 V dotupé lteratuře jem bohužel eašel žádou zmíu o tom, že by e ědo pooušel dmez Madelbrotovy možy měřt 44 Julova moža (c=-+0) Další z mož, u teré jem e ažl změřt mřížovou dmez, je Julova moža otatou + 0 Pro teto bod eí ce záma Haudorffova dmeze, ale podařlo e m v lteratuře alézt pou o její změřeí Na teretových tráách [7] autor zveřejl vé hodoty z výpočtu Jeho potup počíval v tom, že echal arelt tuto možu jao dvoubarevý obráze (btovou mapu), a pa použl program a měřeí mřížové dmeze z obrázu Tabula 7 Julova moža c=-+0, 00 terací (můj výpočet) N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body V tabulce 8 parametr ezameá velot buňy mřížy v omplexí rově, ale udává délu tray této buňy v pxelech (obrazových bodech) Tabula 8 Výledy měřeí z [7] pro Julovu možu c=-+0 N () log(/ ) log( N ( )) měrce mez 2 body Z výledů je vdět, že měřeí z btové mapy eí ta přeé jao metoda, dy e počty obazeých buě mřížy zíají výpočtem a jemější mřížce Směrce log-log grafu v případě mých hodot vyšla 27 a pro hodoty z [7] 6 Zde je rozdíl 0, což eí málo Bohužel hodoty emůžeme hed rovávat a říc, co je lepší, eboť u výpočtu z lteratury emám formace o důležtých parametrech jao jou počet terací a způob výpočtu měrce Z hodot je ale zřejmé, že pro výpočet dmeze autor použl obráze v relatvě 29

30 malém rozlšeí Porovám-l to e vým měřeím, ta poud bychom aždou buňu mřížy arell jao jede obrazový bod, dotal bychom obráze v rozlšeí 520x Můj výpočet Julova moža (c=-+0) měrce 2 ouedích bodů

31 5 Programy 5 Geerátor Madelbrotovy možy a mož Julových Teto program louží pro geerováí a průzum Madelbrotovy možy a Julových mož Je apá v Borlad C++ Bulderu 60 Jazy C++ jem zvoll hlavě vůl jeho rychlot, terá je pro teto typ úloh důležtá Mez hlaví fuce programu patří: geerováí Madelbrotovy možy expoetem 2, 3 a 4; geerováí přílušých Julových mož; zobrazeí teračích poloupotí v omplexí rově v abolutích hodotách; jedoduché zvětšováí čátí možy a) b) c) d) Obráze 8 Program pro zobrazeí Madelbrotovy možy a) Madelbrotova moža expoetem 4; b) Julova moža expoetem 4; c) Poloupot terací zobrazeá v abolutí hodotě; d) poloupot terací zobrazeá v omplexí rově 3

32 Program jem e ažl udělat co ejvíce užvately přátelý Stutím levého tlačíta myš lze arelt obdélí, terý e po uvolěí tlačíta zvětší do celého oa Klutím pravým tlačítem myš e zobrazí Julova moža pro bod, terý e achází pod urzorem myš Klutí levým tlačítem myš a oučaým podržeím lávey CTRL e zobrazí ové oo grafem teračí poloupot pro přílušý bod Zde lze zvolt, zda má graf být zobraze v omplexí rově ebo je jao abolutí hodoty Komplexí poloupot je zároveň zarelea do původího obrázu, aby byl lépe vdět vztah poloupot možě Zoumáme-l teračí poloupot, zjtíme, že pro Madelbrotovu možu tyto poloupot leají ule pouze pro body z ejvětší bubly Otatí poloupot oclují a platí, že čím je meší bubla, tím více vrcholů bude mít zobrazeý -úhelí Bohužel e m v lteratuře epodařlo ajít ějaé podrobot o tomto jevu, pouze to, že otatí tuto utečot taé zjtl Př programováí tohoto programu jem muel využít možotí vláe, ja by program po dobu výpočtu ereagoval a vtupy užvatele Výpočet jem e ažl co ejvíce optmalzovat, ale ta může areleí většího obrázu trvat až deíty eud 52 Program pro výpočet mřížové dmeze Teto program apaý v C++ vypočítá mřížovou dmez ružce, čtverce, hrace čtverce, Madelbrotovy možy a Julových mož Jeho výtupem je tabula obahující velot mřížy a odpovídající počet obazeých čtverců, dále btmapový obráze možy a oubor obahující ouřadce obazeých čtverců Na vtupu programu e zadávají áledující hodoty: Typ možy (ružce, čtverec, hrace čtverce, Madelbrotova moža a Julovy možy); Jemot záladí mřížy tz a ol meších čtverečů rozdělt buňu záladí mřížy, důležté pro hledáí hrace možy; Počátečí velot mřížy tz velot mřížy, e terou program zače pracovat; Koečá velot mřížy - tz velot mřížy, dy program očí; Kro mřížy oefcet pro zjemňováí mřížy (apř 05 zameá, že áledující mříža bude dvarát jemější); U Madelbrotovy a Julových mož e ještě zadává počet terací, dy rozhodout, zda bod jde ebo ejde do eoeča Algortmu: Program obahuje ěol fucí, teré zjtí, zda bod patří ebo epatří do daé možy Přílad jedé z těchto fucí: bool tet_crcle(double x,double y,double r) { f ((x*x+y*y-r*r)<=0) retur true; ele retur fale; } 32

33 Další důležtou fucí je fuce tet_box, terá rozhoduje, zda čtvercem prochází hrace Do proměých outde a de zapíšeme hodotu fale Fuce pa prochází čtverec mřížy (o velot ze) po rou z jemější mřížy (proměá tep) Fuce tet_madel vrací, zda bod patří č epatří do možy Poud e tae, že v tomto čtverc ějaý bod patřl do možy (proměá de bude true) a zárově tam ějaý epatřl (proměá outde bude true), pa e to proměé ed uloží true, což zameá, že teto čtverec obahuje hrac možy V otatích případech bude ed rovo fale Moje mplemetace této fuce: bool tet_box(double x0,double y0,double tep,double ze,t ter,t type) { double y = y0; bool ed = fale; bool outde = fale; bool de = fale; do { double x=x0; do { //tet pro Madelbrotovu mozu bool tet = tet_madel2(x,y,ter); f (tet) de = true; ele outde = true; } x+=tep; ed = (de && outde); } whle ((!ed) && (x<(x0+ze))); y+=tep; } whle ((!ed) && (y<(y0+ze))); retur ed; Poledí důležtou fucí, je fuce, terá rozdělí plochu a mřížu podle zadáí Pro aždý čtverec z mřížy zavolá fuc tet_box Poud tet_box vrátí true, zvýší e hodota N, terá zameá počet započteých čtverců Pro aždý čtverec zároveň zapíše pxel do výtupího obrázu a ouřadce obazeého čtverce do výtupího textového ouboru Výtupí data program ja ezpracovává, a proto je třeba použít ějaého tabulového edtoru 33

34 6 Závěr Cílem toho výzumého úolu pro me bylo detalější ezámeí fratálím dmezem, jejch výpočet a vlatot Zíaé formace jem e ažl podat v této prác co ejrozumtelěj a hlavě v čeém jazyce Aglcých materálů je dotate, ale čey jem eašel oro c V aptole o Haudorffově dmez jem hrul její důležté vlatot Důazy větám jem většou použl z lteratury, ale ažl jem e, aby byly lépe pochoptelé, ěteré úvahy jem více rozvedl a podroběj popal Něteré věty byly v lteratuře uvedey jao cvčeí, e terým bylo za úol důazy dodělat Většu jem zvládul, ale amozřejmě jem je zotroloval e právým řešeím Mřížová dmeze je v prax velm čato používaá, proto jem e jí taé tezvě věoval Teoretcá čát hruje důležté vlatot a vztah Haudorffově míře Tyto formace jem využl dále a ažl jem e umercy vypočítat dmeze růzých mož Pro měřeí dmeze jem apal program v jazyce C++, terý dle zadaých parametrů počítá mřížovou dmez Výledy jem poroval buď dmezí Haudorffovou ebo údaj z lteratury Výledy měřeí pro jedoduché možy vyšly podle očeáváí, ovšem zde docházelo chybám v řádu deet až jedote procet Pro Madelbrotovu možu byly výledy úplě rozdílé ež jem čeal Moje další práce by e měla týat právě těchto jevů Budu e ažt alézt odpověď, proč dochází chybám pro jedoduché možy a proč mřížová dmeze Madelbrotovy možy vyšla úplě ja V případě Madelbrotovy možy e abízí otáza, zda je pro tuto možu mřížová dmeze rozdílá od Haudorffovy ebo zda pouze eí Madelbrotova moža geerováa epřeě V programu jem použl běžý způob geerováí této možy Je možé, že př geerováí jým algortmem bych dotal lepší výledy Pomocí mého programu pro geerováí Madelbrotovy možy lze provádět její průzum a zároveň zobrazt teračí poloupot ja v omplexí rově, ta v abolutích hodotách Díy tomu e m podařlo objevt, že pro ejvětší bublu Madelbrotovy možy leají poloupot ule, zatímco pro meší bubly poloupot vždy ocluje Zjtl jem taé, že čím je bubla meší, tím má teračí poloupot více růzých bodů V lteratuře e o tomto jevu přílš epíše, ověřl jem pouze, že to je pravdvý výlede Nově jem začal pracovat a programu pro geerováí fratálů typu Kochovy řvy Program by měl být uverzálí možotí vyreleí lbovolého fratálu a příjemým užvatelým rozhraím Mylím, že evyřešeých úolů v oblat fratálí geometre je ještě moho, a proto bych voj další prác chtěl věovat právě této oblat matematy 34

35 7 Lteratura [] Petge H-O, Jurge H, Saupe D: ''Chao ad Fractal: New Froter of Scece'', Sprger-Verlag, New Yor, 992 [2] Petge H-O, Rchter P H: ''The Beauty of Fractal'', Sprger-Verlag, Berl Hedelberg, 986 [3] Barley M F: ''Fractal Everywhere'', Academc Pre Ic, Sa Dego, 988 [4] Bochíče M, Nežádal M, Zmešal O: ''Numerc Calculato of Fractal Dmeo'', [5] Bochíče M, Nežádal M, Zmešal O: ''The Box-coutg: Crtcal Study'', [6] Shhura M: "The Boudary of the Madelbrot Set ha Haudorff Dmeo Two", Atérque, No 222, 7, , 994 [7] Elert G: ''The Chao Textboo'', [8] Falcoer K: ''Fractal Geometry'', Joh Wley & So, 2003 [9] Edgar G: ''Meaure, Topology ad Fractal Geometry'', Sprger-Verlag, Berl,