STATISTIKA PRO EKONOMY

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "STATISTIKA PRO EKONOMY"

Transkript

1 EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U

2 Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU Praha 006

3 Úvod Úvod Úvod Cílem této učebí pomůcky je podat výklad základích statistických metod, s kterými ekoom přichází v praxi do styku a které acházejí široké uplatěí při zpracováí, prezetaci a aalýze hospodářských a sociálích jevů. Výběr metod a způsob jejich objasěí je podříze zájmu a zdůrazěí postupů a aplikací, které jsou typické pro aalytickou a rozhodovací čiost ekoomů a maažerů. Obecě platí, že ideové zvládutí statistického přístupu k hodoceí čísel zobrazujících reálý svět má dvojí výzam. V prvé řadě je předpokladem pro kvalifikovaé využíváí číselých iformací, s kterými se v ekoomickém prostředí deě setkáváme. V druhé řadě je to ezbytý prví krok pro racioálí uplatěí výpočetí techiky v práci se statistickými daty. I v oblasti aplikace statistických metod existuje bohatá abídka specializovaého statistického softwaru, jehož účelé využíváí však vyžaduje dobrou zalost statistických procedur a zejméa jejich cílů a podmíek jejich použití. Skriptum je kocipováo tak, aby obsáhlo všecha základí témata stadardího kurzu statistiky. Výklad jedotlivých partií eí příliš zatíže popisem teorie a důkazy a akcetuje objasňováí praktické stráky statistických metod, jejich použitelosti při řešeí typických statistických úloh a také při řešeí problémů spojeých s iterpretací a hodoceím výsledků. Doc. Ig. Eduard Souček, CSc. Vysoká škola ekoomie a maagemetu 5

4 kapitola 1 Popisá statistika

5 Popisá statistika Kapitola 1 1. kapitola Popisá statistika Úvod Statistický přístup ke zkoumáí sociálě-ekoomické reality vychází z potřeby získáí základích číselých popisých charakteristik statistického souboru, a základě kterých by bylo možo v přehledé podobě jedozačě specifikovat vlastosti hodoceého souboru. K tomuto účelu slouží především dvě základí kategorie popisých měr: míry úrově a míry variability hodot. Zalost těchto měr je eje výchozím bodem každé věcé aalýzy, ale i podmíkou pro případé komparace více statistických souborů. Studium této kapitoly objasí Cíle popisu statistického souboru popisými charakteristikami. Způsoby prezetace dat v tabulkových a grafických formách. Výpočet a použití charakteristik úrově. Výpočet a použití charakteristik variability. Výpočet a použití charakteristik symetrie rozděleí. Vzik statistiky Termí statistika je odvoze od latiského status, což v latiě zameá stav a ve slovím spojeí status rei republicae je to stav věci veřejé eboli stát. Od tohoto výzamu vzikla v 16. a 17. století italská slova statistica pro ozačeí souhru zalostí o státích záležitostech. Teto termí se pak rozšířil v podobém výzamu i meziárodě. Čiosti blízké statistice však mají daleko starší historii. Zámá jsou sčítáí lidí před ěkolika tisíciletími v Egyptě a v Číě. Běžá byla zjišťováí pro účely vojeské a daňové ve starém Římě. S prvími badatelskými aplikacemi statistiky se setkáváme v Aglii (Joh Graut, , a William Petty, ), kdy byla shromažďováa data pro zkoumáí pravidelostí v úmrtosti a porodosti obyvatelstva. Graut a Petty již usilovali o zobecěí výzamu jedotlivých případů tím, že zkoumali skutečosti, které mají povahu hromadého jevu. Svůj postup zkoumáí ozačil Petty jako politickou aritmetiku, aby tak vyjádřil fakt, že zkoumá skutečosti důležité pro stát a současě, že jde o číselé charakterizováí hodoceých jevů. Výzamým vkladem pro teoretické zázemí statistických metod byl rozvoj počtu pravděpodobosti. Prví kroky počtu pravděpodobosti jsou spojey s matematickými výpočty u hazardích her. Další vývoj teorie pravděpodobosti je spoje se jméy slavých matematiků (B. Pascal, J. Beroulli, T. Bayes, P. S. Laplace, K. F. Gauss, P. L. Čebyšev, A. A. Markov a další). 9

6 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy Pojetí statistiky Pojem statistika se v současosti používá ve třech výzamech: a) pro vyjádřeí souhru dat o hromadých jevech, b) pro čiost směřující k získáváí statistických dat, jejich uspořádáí a zpracováí a ásledou prezetaci, c) pro metodologickou vědu, jejímž cílem je zkoumáí zákoitostí hromadých jevů a kterou tvoří metodologie zjišťováí, zpracováí a aalýzy dat. Chápeme-li statistiku v uvedeém třetím výzamu, tedy jako metodologickou vědu, zjistíme, že jsou pro i přízačé dvě skutečosti: 1. Jejím předmětem jsou hromadé jevy, e jevy jediečé a eopakovatelé. Zameá to, že statistiku ezajímá kokrétí jediec (předmět, objekt, událost) sám o sobě, ale je jako součást souboru jediců. Cílem statistiky je geeralizace založeá a zkoumáí souborů případů.. Zkoumaé pozatky o hromadých jevech vyjadřuje statistickými daty. V tomto pojetí, jež chápe statistiku jako metodologickou disciplíu, která zkoumá svými specifickými metodami hromadé jevy, se bude statistikou zabývat teto učebí text. 10

7 Popisá statistika Kapitola Základí statistické pojmy Statistický soubor a statistická jedotka Zkoumáí hromadých jevů předpokládá defiováí z hlediska účelu zkoumáí vymezeé možiy objektů, prvků zkoumáí eboli statistického souboru (soubor podiků, soubor obyvatelstva, soubor událostí apod.). Jedotlivé objekty, prvky statistického souboru, ozačujeme jako statistické jedotky. Jsou ositeli vlastostí daého souboru. Počet jedotek statistického souboru se azývá rozsah souboru. Soubory, které jsou předmětem zkoumáí, ozačujeme jako základí soubor (ěkdy se základí soubor ozačuje jako populace). V praxi často z růzých důvodů epracujeme s celým rozsahem statistického souboru, ale je se vzorkem statistických jedotek eboli s výběrovým souborem. K tomu dochází buď proto, že zkoumáí celého statistického souboru by bylo ákladé, časově zdlouhavé ebo z jiých praktických ohledů euskutečitelé, a dále proto, že zobecěí provedeé z dat výběrového souboru považujeme pro daý účel zkoumáí za dostatečě přesé a z hlediska pozáí za reprezetativí Statistický zak Zkoumaé vlastosti statistického souboru sleduje statistika prostředictvím měřitelých vlastostí statistických jedotek, které vyjadřuje tzv. statistickými zaky. Statistický zak abývá slovích ebo číselých hodot a je zjišťová u každé statistické jedotky statistického souboru. Jestliže ve statistickém souboru pracujeme je s jedím zakem (s jedou proměou), říkáme, že se jedá o jedorozměrý soubor, máme-li současě více zaků, jde o dvou-, tří-, resp. obecě vícerozměrý soubor. Základím tříděím statistických zaků je rozlišováí zaků číselých (kvatitativích, umerických) a zaků slovích (kvalitativích, alfabetických, kategoriálích). Číselé statistické zaky bezprostředě vyjadřují sledovaé vlastosti čísly (apř. při zkoumáí souboru pracovíků podiku jsou to zaky jako mzda, věk, doba praxe). Rozlišujeme zaky spojité (kotiuálí), které mohou teoreticky abývat libovolých reálých číselých hodot v určitém itervalu (průtok vody, hmotost výrobku, výška, peěží obrat apod.) a zaky espojité (diskrétí), které mohou abývat pouze určitých číselých hodot v oboru reálých čísel (počet pracovíků, počet prodaých výrobků, počet čleů domácosti apod.). Jsou-li hodoty statistického zaku vyjádřey slově, azývá se takový zak sloví (apř. u osob je to vzděláí, odvětví čiosti, árodost, pohlaví). Zvláští skupiou slovích statistických zaků jsou ordiálí (pořadové) zaky. Ty jsou takové, že jejich obměy lze podle ějakého objektivího kritéria seřadit od ejmeší obměy do ejvětší, apř. a základě ějakého expertího ohodoceí. Taková situace vziká kupř. při posuzováí kvality výrobku, kdy výrobky jsou a základě hodoceí expertů seřazey od ejlepšího k ejhoršímu. Namísto slovího popisu obmě pak u ordiálích zaků můžeme pracovat s pořadovými čísly jako s určitou formou kvatifikace těchto obmě. 11

8 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy 1. Zjišťováí a prezetace statistických dat Statistické zkoumáí prochází postupě ěkolika pracovími etapami. Výchozí etapou je statistické zjišťováí (statistické šetřeí). Cílem je získáváí ezámých statistických dat o hodotách statistických zaků u jedotlivých statistických jedotek, které tvoří statistický soubor. Každé statistické zjišťováí má určitý kokrétí účel, z kterého vyplývá, jaké proměé statistické zaky budeme zjišťovat, co zvolíme za statistickou jedotku a jak vymezíme statistický soubor. Orgaizace statistického zjišťováí musí obsahovat prostorové, věcé a časové vymezeí statistického souboru a statistických zaků. Např. při zjišťováí ekoomických výsledků průmyslových podiků musí orgaizátor šetřeí staovit, zda bude prostorově vymeze okruh průmyslových podiků územím České republiky ebo ějakým jiým regioem a zda o zařazeí podiku do kokrétího území bude rozhodovat umístěí sídla podiku ebo ějaké jié hledisko. Věcé vymezeí musí defiovat, co považujeme za průmyslový podik a jakými ukazateli budeme charakterizovat ekoomické výsledky každého podiku (objem produkce, retabilita, produktivita práce, zisk apod.). Při časovém vymezeí půjde o staoveí kokrétího časového itervalu ebo rozhodého časového okamžiku, ke kterému se budou jedotlivé zjišťovaé údaje vztahovat. Elemetárí zpracováí výsledků statistického zjišťováí Výsledky statistického zjišťováí mají obvykle povahu velkého a epřehledého možství číselých údajů, které je třeba pro aalýzu vhodě uspořádat a utřídit. Tříděím rozumíme rozděleí jedotek souboru do skupi tak, aby vyikly charakteristické vlastosti zkoumaých jevů. Provádíme-li tříděí podle obmě jedoho statistického zaku, mluvíme o tříděí jedostupňovém. Tříděí podle více statistických zaků ajedou ozačujeme jako tříděí vícestupňové. Je-li třídicím zakem číselý (kvatitativí) zak s malým počtem obmě, pak vhodým uspořádáím statistických dat je tabulka rozděleí četostí, kdy apozorovaé hodoty ejprve uspořádáme podle velikosti a ke každé variatě přiřadíme počty statistických jedotek, které udávají, s jakou četostí se jedotlivé variaty hodot vyskytují. Ozačíme-li obměy číselého statistického zaku a četosti i a předpokládáme-li, že tříděím vziklo k obmě, pak tabulku rozděleí četostí lze formálě vyjádřit takto: TABULKA 1.1 Rozděleí četostí Obměa hodoty zaku Četost i x 1 1 x M M x k Celkem k k Souhr četostí za k řádků k je rove rozsahu souboru : i =. Tímto způsobem lze především vyjadřovat rozděleí četostí espojitého statistického zaku. Např. při prezetaci velikostí struktury souboru domácostí budou obměami hodot zaku jedotlivé vyskytující se variaty počtu čleů domácostí a četostmi jsou údaje o počtu domácostí u jedotlivých obmě. i 1 1

9 Popisá statistika Kapitola 1 Sledujeme-li espojitý statistický zak s velkým počtem obmě ebo pracujeme-li se spojitým statistickým zakem, pak uvedeý způsob prezetace výsledků statistického šetřeí by epřiesl žádoucí zpřehleděí statistických dat. V takových případech amísto obmě jedotlivých číselých hodot přecházíme a itervaly hodot a přehledost výsledků regulujeme počtem a šířkou zvoleých itervalů. Výsledá tabulka je ozačováa jako itervalové rozděleí četostí. Při sestavováí itervalového rozděleí četostí je třeba především vyřešit problém staoveí počtu a tím velikosti itervalů. Obvykle volíme řešeí, které eohrožuje příliš iformačí hodotu výsledků. Příliš široké itervaly sižují kvalitu prezetace, příliš úzké aopak zhoršují přehledost a zvyšují rozsah tabulky. Dalším problémem itervalového rozděleí četostí je volba hraic itervalů, aby edocházelo k ejasostem, do kterého itervalu se mají jedotlivé jedotky zařadit. Nejčastěji se hraice itervalů volí tak, aby se itervaly epřekrývaly. Např. při charakterizováí věkové struktury obyvatelstva pětiletými věkovými skupiami se používají itervaly 0 4, 5 9, 10 14, atd. V praxi se často eobejdeme bez tzv. otevřeých itervalů, při jejich použití bychom však měli být opatrí a používat je je pro itervaly s malou četostí, kde ehrozí ebezpečí příliš velké iformačí ztráty. Např. u již zmíěé věkové struktury obyvatelstva to může být otevřeý iterval: 85 a více let. Při výpočtech statistických charakteristik vziká problém, jaká hodota by ve výpočtu měla zastoupit (reprezetovat) jedotlivé itervaly. Za tuto zastupitelou hodotu se zpravidla volí střed itervalu. Grafy rozděleí četostí Nejzámějším grafem rozděleí četostí je tzv. polygo (řecky mohoúhelík), který v pravoúhlém souřadicovém systému používá osu x pro obměy zaku x a osu y pro četosti 1. Pro grafické vyjádřeí itervalového rozděleí četostí se používá histogram. Velikost četostí je vyjádřea sloupci, jejichž základa je rova šířce itervalu. A. Polygo četostí Příklad: rozděleí četostí počtu žáků podle zámky z matematiky OBRÁZEK 1.1 Polygo četosti Zámka Počet žáků Celkem 50 Počet žáků Zámka 13

10 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy B. Histogram četostí Příklad: itervalového rozděleí četostí počtu škol podle průměrého počtu žáků a 1 třídu OBRÁZEK 1. Histogram četosti Průměrý počet žáků a třídu Počet škol Střed itervalu 16 17, , ,99 1 3, , , ,99 9 Celkem 70 X V případě, že jedotlivé itervaly zastoupíme středy itervalů, můžeme itervalové rozděleí četostí graficky vyjádřit i polygoem. Relativí a kumulativí četosti Abychom mohli vzájemě porovávat růzá rozděleí četostí a jejich struktury v růzě velkých statistických souborech, používáme amísto absolutích četostí relativí četosti p i, které získáme jako poměr dílčích četostí a rozsahu souboru: i p i =. (1.1) U souboru většího rozsahu se relativí četosti zpravidla vyjadřují v procetech. Pro aalýzy struktury souboru z hlediska určité vlastosti může být také užitečé zjistit, jaký podíl jedotek má hodotu meší ebo rovou příslušé variatě. K tomu používáme tzv. kumulativí četosti (absolutí ebo relativí). Získáme je postupým ačítáím četostí po sobě ásledujících tříd. 14

11 Popisá statistika Kapitola 1 PŘÍKLAD 1.1 Za podik máme k dispozici itervalové rozdìleí èetostí hodiových mezd v èleìí a muže a žey. Iterval hodiových Počet pracovíků Relativí četosti v % Kumulativí relativí četosti v % mezd v Kč Muži Žey Muži Žey Muži Žey 0 9, , , , , , a více Celkem X X Pøíklad ilustruje, jak je možo øešit problém epøekrýváí itervalù. Iterval v posledím øádku ozaèujeme jako otevøeý iterval. 1.3 Kvatily Kvatil je hodota proměé určeá tak, že odděluje určitý podíl jedotek, které jsou meší ež tato hodota. Např. dvacetipětiprocetí kvatil ~ x 5 odděluje 5 % malých hodot a současě 75 % velkých hodot. Tímto způsobem můžeme pak, kupř. při hodoceí úrově mezd pracovíků v árodím hospodářství, charakterizovat, jaká mzdová hraice odděluje 5 % pracovíků s ejižšími mzdami. V praxi se používají zejméa tyto skupiy kvatilů: Kvartily (x ~ ~ ~ 5, x 50, x 75 ) patří mezi kvatily, které rozdělují uspořádaou řadu hodot a 4 stejé části: prví (dolí) kvartil x ~ 5, který odděluje 5 % jedotek s ejižšími hodotami, druhý (prostředí) kvartil ~ x 50, který odděluje 50 % jedotek s ízkými hodotami a 50 % hodot s vysokými hodotami. Teto padesátiprocetí kvatil se také ozačuje jako mediá (od latiského medius prostředí). Třetí kvartil (horí) ~ x 75 odděluje 75 % jedotek s ízkými hodotami od 5 % jedotek s vyššími hodotami. Decily (x ~ ~ ~ 10, x 0,..., x 90 ) rozdělují uspořádaou řadu a 10 stejých částí. Cetily, resp. percetily ( ~ x ~ ~ 1, x,..., x 99 ) rozdělují uspořádaou řadu hodot a 100 stejě početých částí. Nejužívaějším kvatilem je mediá, který představuje prostředí hodotu uspořádaého souboru, a je tedy svou vypovídací hodotou blízký aritmetickému průměru. Je-li rozsah souboru udá sudým číslem, obsahuje soubor dvě prostředí hodoty. V tomto případě bývá zvykem volit za mediá průměr z těchto dvou prostředích hodot a mediá pak eí kokrétí hodotou původího souboru. Mediáu dáváme předost před aritmetickým průměrem v těch situacích, kdy aritmetický průměr je výrazě ovlivě existecí extrémích hodot v souboru a poskytuje zkresleý obraz o úrovi hodot, zatímco hodota, která v daém souboru je co do velikosti prostředí, je vůči extrémům imuí. 15

12 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy Z povahy kvatilů je zřejmé, že prvím krokem při jejich výpočtu je uspořádáí všech hodot sledovaého zaku podle velikosti. Pak staovíme pořadové číslo statistické jedotky, jejíž hodota je hledaým kvatilem. Ozačíme-li toto pořadové číslo z p, pak platí: z p = p + 0,5, (1.) kde je rozsah souboru a p je relativí četost ejižších hodot. Např. pořadové číslo z p pro 1. kvartil ( ~ x 5 ) v souboru = 80 zjistíme takto: z 5 = 80. 0,5 + 0,5 = 0,5. Při odvozováí pořadového čísla z p z četostí vyjádřeých v procetech se hodota 0,5 ve vzorci obvykle zaedbává. Poěkud složitější je výpočet kvatilů z itervalového rozděleí četostí. Pokud se spokojíme pouze s určeím itervalu, v ěmž hledaý kvatil leží, je postup stejý jako v předchozím případě. Chceme-li kvatil odhadout jedím kokrétím číslem, je třeba použít při výpočtu lieárí iterpolaci založeou a předpokladu, že ve stejých proporcích, v jakých rozděluje pořadové číslo hledaého kvatilu iterval četostí, rozděluje kvatil iterval hodot. Teto postup hypoteticky předpokládá, že v itervalu, kde leží hledaý kvatil, jsou hodoty rozděley rovoměrě. PŘÍKLAD 1. Hledáme hodotu všech tøí kvartilù (~x 5, ~x 50, ~x 75 ) v rozdìleí èetostí hodiových mezd v ávazosti a údaje z pøíkladu 1.1. Výpoèet provedeme zvlášś za muže a žey. Využijeme k tomu posledí dva sloupce obsahující v procetech vyjádøeé kumulativí èetosti: Iterval hodiových mezd v Kč Relativí četosti v % Kumulativí relativí četosti v % Muži Žey Muži Žey 0 9, , , , , , a více Celkem X X Pro staoveí jedotlivých kvartilù potøebujeme zjistit k poøadovým èíslùm z 5, z 50 a z 75 odpovídající hodoty mezd: Hodiové mzdy mužù Ze sloupce kumulativích èetostí zjistíme, že poøadové èíslo 5 patøí do tøetího itervalu s hodotami 40 až 49,9 Kè, chápaé vždy zaokrouhleì jako 50 Kè. Z tìchto podkladù mùžeme pro pøibližý výpoèet prvího kvartilu použít lieárí iterpolaci, pøi které bude jeho hodota rozdìlovat teto iterval ve stejém pomìru, jako poøadové èíslo 5 rozdìluje odpovídající iterval èetostí: ~ x = Z toho pak sado odvodíme, že: 1 ~ x5 = = 40, Podobì zjistíme, že: ~ x 50 = 50 + a ~ x 75 = = 60,

13 Popisá statistika Kapitola 1 Hodiové mzdy že ~x 5 = 37, ~x 50 = 46,7 ~x 75 = 56,. 1.4 Statistické charakteristiky Charakteristiky úrově Úroveň jevů vyjadřovaých kvatitativími zaky vyjadřují středí hodoty. Ty v kocetrovaé podobě shrují iformaci obsažeou v údajích o statistickém zaku. Hlaví skupiu středích hodot tvoří průměry (aritmetický průměr, geometrický průměr, harmoický průměr), jejichž společou vlastostí je, že jsou určováy ze všech aměřeých hodot zaku. Druhou skupiu středích hodot tvoří tzv. pozičí středí hodoty (mediá a modus), které jsou určey pozicí ěkterých jedotek souboru. Mediá ~ x je urče hodotou zaku, kterou má jedotka statistického souboru s hodotou co do velikosti prostředí. Modus ^x je urče hodotou zaku u jedotek, které jsou v souboru ejčastěji zastoupey, jiak řečeo, tou hodotou souboru, která má ejvětší četost. A. Průměry Aritmetický průměr x Je ejzámějším a ejužívaějším typem průměru. Ze zjištěých hodot x 1, x,... x za -čleý statistický soubor jej lze vypočítat takto: _ 1 x = x. (1.3) i i =1 Tuto formu aritmetického průměru azýváme prostý aritmetický průměr. Výpočet epředpokládá žádé předběžé uspořádáí hodot. Aritmetický průměr je použitelý všude tam, kde má ějaký iformačí smysl součet hodot. Pokud jsou hodoty statistického souboru uspořádáy do rozděleí četostí, což je zejméa případ velkých souborů a souborů, kde stejé obměy hodot statistického zaku má vždy více statistických jedotek, předchozí vzorec upravujeme do tvaru, který se ozačuje jako vážeý aritmetický průměr. Při jeho použití využíváme skutečost, že k úhru všech hodot můžeme dospět přes staoveí pomocých součiů i pro k obmě zaku. Vzorec vážeého aritmetického průměru pak zapisujeme takto: _ i =1 1 x =, resp. jako x _ = x. (1.4) k i i i =1 i =1 i k 17

14 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy Četosti 1,,..., k zde vystupují jako váhy k jedotlivým obměám hodot. Máme-li k dispozici itervalové rozděleí četostí, bereme při výpočtu aritmetického průměru za hodoty zaku středy odpovídajících itervalů. Chceme porovat aritmetický průměr hodiových mezd mužů a že v ávazosti a údaje z příkladu 1.: PŘÍKLAD 1.3 Iterval hodiových mezd v Kč Relativí četosti v % i Středy itervalů i xi Muži Žey Muži Žey 0 9, , , , a více 3 _ _ Celkem X Pro výpoèet aritmetického prùmìru z itervalového rozdìleí èetostí použijeme vážeý aritmetický prùmìr, v kterém jsou hodoty zaku zastoupey støedy itervalù: k _ i =1 i x = muži = = 51,10 žey = k = 46, i =1 i Použití vážeého aritmetického průměru přichází v úvahu i tam, kde váhy ejsou odvozey z četostí, ale z relativího výzamu (důležitosti) jedotlivých hodot. Např. při hodoceí likvidity podiku musíme počítat s tím, že jedotlivá aktiva podiku mají růzou schopost využití pro spláceí krátkodobých závazků. Proto se v této oblasti setkáváme s tím, že k jedotlivým aktivům jsou a základě expertího oceěí přiřazováy váhy, určující důležitost daé skupiy aktiv z hlediska likvidity podiku. Celkový (průměrý) ukazatel likvidity je pak vážeým aritmetickým průměrem z objemů peěžích prostředků, vázaých v jedotlivých skupiách aktiv, kdy jako váhy vystupují ějaké koeficiety kvality aktiv z hlediska stupě likvidity. PŘÍKLAD 1.4 Pøi souhrém hodoceí studijích výsledkù z urèitého pøedmìtu chceme použít bodových výsledkù ze tøí testù, dvou prùbìžých a jedoho závìreèého. Bodùm z prùbìžých testù dáváme stejou 5% váhu a závìreèému testu 50% váhu. Pøedpokládejme, že studet získal v prùbìžých testech 60 a 80 bodù a v závìreèém 5 bodù. Celkový prùmìr _ x = 1/100 ( ) = 61 bodù. 18

15 Popisá statistika Kapitola 1 K důležitým vlastostem aritmetického průměru patří: 1. Součet odchylek jedotlivých hodot od jejich aritmetického průměru je ulový.. Součet čtverců odchylek jedotlivých hodot od průměru je miimálí. 3. Trasformace jedotlivých hodot přičteím (ebo odečteím) kostaty zvýší (ebo síží) aritmetický průměr o tuto kostatu. 4. Při trasformaci jedotlivých hodot ásobeím (ebo děleím) eulovou kostatou je i aritmetický průměr zásobe (ebo vyděle) touto kostatou. Geometrický průměr Je defiová pro kladé hodoty x jako -tá odmocia ze součiu těchto hodot: x G = x, x,... x. (1.5) 1 Má uplatěí tam, kde má iformačí smysl souči hodot. K použití geometrického průměru při výpočtu průměrého koeficietu růstu se vrátíme v kapitole věovaé časovým řadám. Harmoický průměr Je defiová jako poměr mezi rozsahem souboru a součtem převratých hodot: x H =. 1 (1.6) i =1 Má uplatěí tam, kde má iformačí smysl součet převratých hodot. B. Ostatí středí hodoty Do této skupiy řadíme mediá a modus jako tzv. pozičí středí hodoty. Mediá ~ x Je padesátiprocetím kvatilem, který charakterizuje hodotu souboru co do velikosti prostředí. Odděluje poloviu hodot meších od poloviy hodot větších. Mediá je a rozdíl od aritmetického průměru ecitlivý k extrémím hodotám, protože závisí pouze a jedé, ejvýše dvou prostředích hodotách souboru. Nemůže být tedy zkresle ai přítomostí ějaké chybé extrémí hodoty. Výhodou mediáu je i to, že jej můžeme staovit i u itervalových rozděleí četostí s otevřeými itervaly u miimálích a maximálích hodot. Modus ^x Představuje hodotu, která je v rámci šetřeého souboru ejtypičtější. Jiak řečeo, jde o ejčetější hodotu zaku. Také modus eí ovlivě extrémími hodotami. V případě itervalového rozděleí četostí se při staoveí modu spokojujeme buď s určeím modálího (ejčetějšího) itervalu, ebo v rámci tohoto itervalu modus odhadujeme, apř. středem itervalu. Existují však i přesější postupy, které vycházejí z rekostrukce vrcholu souboru podle rozděleí četostí v okolí modálího itervalu. Pokud se spokojíme je s určeím modálího itervalu, pak je třeba si uvědomit, že má smysl jej určovat pouze tehdy, jsou-li všechy itervaly stejě velké. Modus považujeme za důležitou doplňkovou charakteristiku k aritmetickému průměru. Pokud se obě míry úrově výzaměji liší, pak to zameá, že aritmetický průměr evyjadřuje dobře typickou úroveň hodot souboru, apř. pro existeci extrémích hodot ebo pro asymetrické rozložeí četostí. 19

16 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy 1.4. Charakteristiky variability Variabilitou (mělivostí) kvatitativího statistického zaku rozumíme kolísáí hodot této veličiy. Pokud soubor obsahuje všechy hodoty stejé ( = kostata), mluvíme o ulové variabilitě. Kolísáí hodot v souboru můžeme posuzovat buď jako vzájemou rozdílost jedotlivých hodot sledovaé veličiy, ebo jako rozdílost jedotlivých hodot od aritmetického průměru. Teto druhý pricip měřeí variability převažuje. Měřeí variability lze využít k hodoceí stejorodosti (homogeity) souboru a také k posuzováí kvality iformace, kterou o úrovi hodot v souboru poskytla ěkterá ze středích hodot.vycházíme přitom z úvahy, že čím je soubor stejorodější, s meší variabilitou, tím je apř. aritmetický průměr výstižější z hlediska hodoceí úrově hodot souboru. V ekoomické praxi mají míry variability uplatěí apř. při hodoceí rovoměrosti dodávek, prodeje ebo výroby, při hodoceí stability ukazatele v časové řadě. Hlavě však se s mírami variability setkáme při zkoumáí závislosti mezi jevy. K základím charakteristikám variability patří variačí rozpětí, rozptyl (a jeho odmocia směrodatá odchylka) a variačí koeficiet. Variačí rozpětí R Variačí rozpětí je rychlou, jedoduchou, ale je orietačí charakteristikou variability založeou a iformaci o maximálí a miimálí hodotě v souboru: R = x max x mi. (1.7) Při použití variačího rozpětí si musíme vždy být vědomi toho, že hodoty miima a maxima v souboru mohou mít charakter ahodilých extrémů a tím epřiměřeě zvětší aši představu o míře variability ve zkoumaém souboru. Rozptyl a směrodatá odchylka Rozptyl je ejzámější a ejužívaější mírou variability. Je defiová jako aritmetický průměr ze čtverců odchylek jedotlivých hodot od průměru: ( _ x ) i = 1 s x =. (1.8) Teto vzorec používáme při počítáí rozptylu z euspořádaého souboru všech hodot souboru, kdy u každé jedotlivé hodoty souboru zjišťujeme její odchylku od průměru a čtverec této odchylky. Mluvíme pak o výpočtu tzv. prostého rozptylu. Při výpočtu z rozděleí četostí, kdy přihlížíme k četostem jedotlivých obmě, používáme vážeý rozptyl: k ( x i x _ ) i i =1 1 k _ s x =, resp. s x = ( x ) i. k i =1 i i =1 (1.9) 0

17 Popisá statistika Kapitola 1 Pro praktické výpočty se ěkdy oba vzorce rozptylu upravují do formy tzv. výpočtových tvarů. Způsob této úpravy si ukážeme a vzorci prostého rozptylu. 1 _ 1 1 _ 1 _ 1 _ 1 i =1 i =1 i =1 i =1 ( x ) = ( x + _ x ) = x + x = x. i =1 i =1 _ (1.10) Podobou úpravou je možo odvodit růzé podoby výpočtových tvarů i pro vážeý rozptyl, ejpoužívaější je tato úprava: 1 k k 1 s x = x i i x i i. i =1 i =1 (1.11) Rozptyl sám o sobě eí iterpretovatelou veličiou, protože výsledek je dá ve čtvercích měrých jedotek. Proto se při hodoceí variability dává předost druhé odmociě rozptylu, tzv. směrodaté odchylce s x (braé s kladým zamékem). PŘÍKLAD 1.5 Z výsledkù pøijímacích zkoušek jsme u 1 studetù z urèitého gymázia zjišśovali dosažeé bodové výsledky z testu z matematiky (zak x) a agliètiy (zak y). Chceme porovat úroveò a variabilitu bodových výsledkù u obou pøedmìtù: Studet y i ( x _ ) ( y i y _ ) Celkem _ _ 660 x = = = 50, y = = 55, i =1 1 1 ( x _ i x ) i = s x = = = 654, sy = = 116,

18 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy Z výsledkù jedozaèì vyplývá, že matematika vykazuje podstatì vyšší míru estejorodosti bodových výsledkù ež agliètia. Variačí koeficiet Při srováváí variability více souborů arážíme a problém rozdílých měrých jedotek a rozdílé úrově hodot v souborech. V takových případech je pro potřeby srováí ejvhodější charakteristikou variability variačí koeficiet V x : s x V x =. (1.1) x Patří mezi relativí míry variability, protože evyjadřuje variabilitu v původích měrých jedotkách, ale jako poměr směrodaté odchylky a průměru. Obvykle teto poměr prezetujeme v procetech. Pak udává, z kolika procet se v průměru odchylují jedotlivé hodoty od aritmetického průměru. Sadá iterpretace hodot variačího koeficietu jej řadí mezi ejpoužívaější charakteristiky variability. PŘÍKLAD 1.6 Z ásledujících dat za odvìtví chceme porovat variabilitu hodiových mezd mužù a že pomocí variaèího koeficietu. Vzhledem k tomu, že výchozí data jsou k dispozici ve formì itervalového rozdìleí èetostí, bude tøeba pro výpoèet prùmìru a rozptylu pracovat se støedy itervalù: Iterval hodiových mezd v Kč Relativí četosti v % muži žey 1 Středy itervalů x 1 muži žey muži žey x 1 1 x , , , , , , a více Celkem x k _ i =1 i aritmetický prùmìr x = muži = = 51,1, žey = k = 46, i =1 i 1 k 1 k Pro výpoèet použijeme vzorec vážeého rozptylu: s x = xi i x, i i i =1 i =1

19 Popisá statistika Kapitola s x muži = 51,10 = 05,8 05,8 V x = = 0,81, , ,44 s x žey = 46,6 = 177,44 V x = = 0, ,6 I když z èíselých hodot variaèích koeficietù vyplývá, že vìtší stejorodost hodiových mezd (vìtší kocetraci kolem prùmìru) mají muži, elze považovat zjištìý malý rozdíl v difereciaci mezd za pøíliš výzamý. K důležitým vlastostem rozptylu patří: 1. Rozptyl lze vyjádřit jako průměr čtverců hodot zmešeý o čtverec průměru ( s x = x x ).. Přičte-li se ke všem hodotám kostata a, pak se rozptyl ezměí ( s x+a = s x). 3. Násobí-li se všechy hodoty souboru kostatou k, pak rozptyl je zásobe čtvercem této kostaty ( s k = k s x) Charakteristiky tvaru rozděleí Zázoríme-li jedorozměrá rozděleí četostí pomocí polygou, získáme možost posoudit tvar rozděleí, apř. polohu vrcholu, symetrii rozděleí, míru kocetrace hodot v určité části variačího rozpětí apod. Z těchto aspektů má ejvětší praktický výzam zjištěí míry symetrie (souměrosti) rozděleí četostí, protože tím lze výzamě obohatit hodoceí vypovídací cey všech popisých charakteristik souboru. Souměrá symetrická rozděleí jsou v ekoomické praxi spíše vzácostí. Zřetelým projevem asymetrie rozděleí je především odlišost hodot aritmetického průměru od mediáu a modu. Pro zcela symetrické rozděleí je aopak charakteristické, že všechy hlaví charakteristiky úrově jsou totožé: _ x = ~ x = ^x. U esymetrických rozděleí tato idetita eplatí. Graf A charakterizuje kladě zešikmeé rozděleí, pro které je obvyklé, že aritmetický průměr je meší ež mediá a modus: _ x > ~ x > ^x. Je to rozděleí s velkým akupeím hodot meších ež průměr. Teto typ rozděleí je v praxi typický apř. pro rozděleí mezd. GRAF A Rozděleí s kladou šikmostí 5 0 mediá 15 průměr

20 Kapitola 1 Edice učebích textů Statistika pro ekoomy GRAF B Záporě zešikmeé rozděleí, kde platí x > ~ x > ^x Jedoduchou charakteristikou šikmosti je Pearsoův koeficiet α, který využívá k hodoceí stupě šikmosti vztah mezi velikostí aritmetického průměru a mediáu: 3 ( x _ ~ x ) α =. (1.13) s x Pro symetrická rozděleí má ulovou hodotu. Velikost koeficietu a jeho zaméko pak ukazuje stupeň a charakter zešikmeí. Jiý přístup k měřeí šikmosti je založe a aplikaci tzv. mometových charakteristik. Při práci s daty uspořádaými do rozděleí četostí je vhodá tzv. mometová míra šikmosti (ozačovaá také jako třetí momet směrodaté proměé) se vzorcem: 3 1 k _ xi x i. (1.14) s i =1 x Opět platí, že ulová hodota charakterizuje symetrická rozděleí a kladé a záporé hodoty vyjadřují růzý stupeň tzv. kladé a záporé šikmosti. 4

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

7. P o p i s n á s t a t i s t i k a 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Pojem času ve finančním rozhodování podniku

Pojem času ve finančním rozhodování podniku Pojem času ve fiačím rozhodováí podiku 1.1. Výzam faktoru času a základí metody jeho vyjádřeí Fiačí rozhodováí podiku je ovlivěo časem. Peěží prostředky získaé des mají větší hodotu ež tytéž peíze získaé

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené

I. Výpočet čisté současné hodnoty upravené I. Výpočet čisté současé hodoty upraveé Příklad 1 Projekt a výrobu laserových lamp pro dermatologii vyžaduje ivestici 4,2 mil. Kč. Předpokládají se rovoměré peěží příjmy po zdaěí ve výši 1,2 mil. Kč ročě

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty)

(varianta s odděleným hodnocením investičních nákladů vynaložených na jednotlivé privatizované objekty) (variata s odděleým hodoceím ivestičích ákladů vyaložeých a jedotlivé privatizovaé objekty) Vypracoval: YBN CONSULT - Zalecký ústav s.r.o. Ig. Bedřich Malý Ig. Yvetta Fialová, CSc. Václavské áměstí 1 110

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Téma 6: Indexy a diference

Téma 6: Indexy a diference dexy a dferece Téma 6: dexy a dferece ředáška 9 dvdálí dexy a dferece Základí ojmy Vedle elemetárího statstckého zracováí dat se hromadé jevy aalyzjí tzv. srováváím růzých kazatelů. Statstcký kazatel -

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH

FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH FINANČNÍ MATEMATIKA SBÍRKA ÚLOH Zpracováo v rámci projektu " Vzděláváí pro kokureceschopost - kokureceschopost pro Třeboňsko", registračí číslo CZ.1.07/1.1.10/02.0063 Gymázium, Třeboň, Na Sadech 308 Autor:

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu

1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu 1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma

3. Decibelové veličiny v akustice, kmitočtová pásma 3. Decibelové veličiy v akustice, kmitočtová ásma V ředchozí kaitole byly defiováy základí akustické veličiy, jako ař. akustický výko, akustický tlak a itezita zvuku. Tyto veličiy ve v raxi měí o moho

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB

METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB 6 VĚSTNÍK MZ ČR ČÁSTKA 4 METODICKÝ NÁVOD PRO MĚŘENÍ A HODNOCENÍ HLUKU A VIBRACÍ NA PRACOVIŠTI A VIBRACÍ V CHRÁNĚNÝCH VNITŘNÍCH PROSTORECH STAVEB Miisterstvo zdravotictví vydává podle 80 odst., písm. a)

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY

ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY ÚROKOVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY 1. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(r) úrok v % z hodoty kapitálu za časové

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ

DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ DURACE A INVESTIČNÍ HORIZONT PŘI INVESTOVÁNÍ DO DLUHOPISŮ Ivestičí horizot IH: doba, po kterou má ivestor v daé ivestici vázáy své peíze. Při ivestici do dluhopisu jsme vystavei riziku změy výosů Uvažujme

Více