11. P o p i s n á s t a t i s t i k a
|
|
- Dalibor Tábor
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 11. P o p i s á s t a t i s t i k a Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statistické jedotky. Sledujeme vlastosti statistických jedotek, které azýváme statistické zaky ebo stručěji veličiy (variable). Souhr zaků a veliči tvoří data. Při zkoumáí používáme dva základí druhy statistiky, popisou statistiku a iterferečí statistiku. Popisá statistika zjišťuje a sumarizuje iformace, zpracovává je ve formě grafů a tabulek a vypočítává jejich číselé charakteristiky jako průměr, rozptyl percetily, rozpětí a pod. Iterferečí statistika čií závěry a základě dat získaých z šetřeí provedeých pro vybraý soubor respodetů. Aalyzuje tyto závěry a predikuje z ich závěr pro celý soubor. (Volebí průzkum, průzkum trhu a pod.) Při statistickém šetřeí máme k dispozici: - základí soubor je soubor všech statistických jedotek; - výběrový soubor je vybraá část ze základího souboru. Rozsah základího (výběrového) souboru je počet jedotek v souboru. Při vytvářeí souboru jedotek provádíme výběr ve tvaru prostého áhodého výběru Defiice: Prostý áhodý výběr (simple radom sample) je áhodý výběr ze základího souboru vytvořeý tak, že každá statistická jedotka ze základího souboru má stejou pravděpodobost, že bude vybráa. Pokud je možé vybrat tutéž jedotku zova, mluvíme o výběru s vraceím, pokud opakovaý výběr eí možý jedá se o výběr bez vraceí. Popisá statistika Vlastosti, které se pro jedotlivé jedotky měí azýváme veličiami, případě statistickými zaky ebo proměými. Vyskytují se veličiy - kvatitativí, popsaé číselou hodotou (výška, váha, cea); - kvalitativí, popsaé vlastostmi (muž, žea, barva očí, dosažeé vzděláí). Kvatitativí veličiy mohou být diskrétí, abývající hodot ze zadaé koečé možiy, ebo spojité, které abývají hodot ze zadaého itervalu. Pozorovaím ebo měřeím hodot zkoumaé veličiy a ěkolika statistických jedotkách získáme vstupí data. Soubor těchto údajů azýváme datový soubor. Teto soubor je jedorozměrý, jestliže sledujeme jede zak, ebo vícerozměrý (multistage radom sample), pokud sledujeme více zaků. Při zpracováí jedorozměrého datového souboru kvatitativích dat x 1, x 2,..., x potřebujeme pro ěkterá šetřeí data uspořádat podle velikosti. Dostaeme pak uspořádaý datový soubor tvaru x (1) x (2)... x (), kde x (1) = mi{x i ; 1 i } a x () = max{x i ; 1 i }. Metody zpracovaí dat Tříděí dat je rozděleí dat do skupi provedeé tak, aby vyikly charakteristické vlastosti sledovaých jevů. Uspořádáme a zhustíme data do přehledější formy. Rozezáváme 53
2 - jedostupňové tříděí, jestliže třídíme data podle změ jedoho statistického zaku; - vícestupňové tříděí, pokud provádíme tříděí podle více zaků ajedou. Nejčastěji při jedostupňovém tříděí kvatitativích dat uspořádáme data podle velikosti a staovíme itervaly, které odpovídají jedotlivým třídám. Mluvíme pak o itervalovém tříděí. Máme-li datový soubor {x 1, x 2,..., x }, který obsahuje celkem prvků, pak iterval mezi ejvětší a ejmeší hodotou rozdělíme a k disjuktích itervalů, tříd (classes), tvaru (a i 1, a i, 1 i k. Potom prvek x j patří do i té třídy, pokud je a i 1 < x j a i. Používáme ásledujících termíů a ozačeí: - třída (class) je část dat zařazeá do jedé skupiy, itervalu (a i 1, a i ; - dolí hraice třídy (lower class limit) je hodota a i 1 ; - horí hraice třídy (upper class limit) je hodota a i ; - střed třídy (class mark) je průměr horí a dolí hraice třídy, tedy y i = 1 2 (a i 1 + a i ); - šířka třídy (class width) je rozdíl horí a dolí hraice třídy, tedy hodota a i a i 1 ; - (absolutí) četost třídy (frequecy) i je počet prvků souboru, které patří do i té třídy; - relativí četost (relative frequecy) p i = i je poměr četosti třídy ku celkovému počtu dat; - kumulativí (absolutí) četost (cumulative frequecy) N i = i je součet četosti třídy a četostí tříd předchozích; - kumulativí relativí četost (cumulative relative frequecy) P i = p 1 + p p i je součet relativí četosti třídy a relativích četostí tříd předchozích. Potom platí: k i =, k p i = 1, i j = N i, j=1 i p j = P i, N k =, P k = 1. j=1 Při staoveí hraic tříd obvykle zachováváme tato dvě pravidla: - šířku třídy h volíme pro všechy itervaly shodou, s vyjímkou krajích tříd pokud tvoří eomezeé itervaly: - při staoveí šířky třídy h dodržujeme Sturgesovo pravidlo, kdy pro počet tříd k platí, že k. = 1 + 3, 3 log. V tabulce jsou uvedey počty tříd pro ěkteré hodoty rozsahů souboru k pokud jsou krají itervaly děleí eomezeé, pak za střed prví, resp. posledí třídy volíme bod, který má od koečého krajího bodu třídy stejou vzdáleost jakou má od středu sousedí třídy. Při tříděí kvalitativích dat postupujeme obdobě. Jeom místo itervalu tvoří třídu prvky, které mají stejý zak, ebo skupiu zaků Grafická zázorěí Pro větší ázorost požíváme místo tabulek zázorěí datového souboru pomocí grafů. Používá se ěkolika typů. Histogram (histogram) je graf kdy a vodorovou osu zázoríme třídy a a svislou osu četosti či relativí četosti. Často se používá ve tvaru, kdy se hodota odpovídající třídě zázorí jako sloupec s itervalem třídy jako základou a výška je dáa četostí. 54
3 Polygo četostí a relativích četostí je graf, kdy úsečkami spojíme body (y i, i ), resp. (y i, p i ). Bodový graf dostaeme tak, že a vodorovou osu vyeseme třídy jako body i, 1 i k, a ve svislém směru vyášíme jedotlivé prvky třídy zázorěé jako jedotlivé body (i, j), j = 1, 2,... i. Sloupkový graf je podobý histogramu, ale sloupce bývají odděleé, mají stejou šířku a každý sloupec odpovídá jedé třídě. Používáme je předeším u kvalitativích dat. Kruhový (výsečový) diagram (pie chart) je zázorěí pomocí výsečí kruhu, kde každé třídě odpovídá jeda výseč. Velikosti obsahů výsečí odpovídají četostem třídy. Stem-ad-Leaf diagram je uspořádáí dat do tabulky, kdy prví sloupec -stem=stoek odpovídá třídě a do řádku -leaf=list vypisujeme prvky třídy. Pokud tyto prvky uspořádáme podle velikosti mluvíme o uspořádaém diagramu. Krabicový ebo vrubový krabicový graf (box or whiskers plot) zázorňuje výzačé a extrémí hodoty souboru. Řada vlastostí datového souboru se dá vyčíst z tvaru histograu či polygou četostí. Ty odpovídají grafu hustoty u rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Rozlišuje se ěkolik charakteristických průběhů těchto grafů. - souměrý ve tvaru zvou, trojúhelíku či rovoměrý; - esouměré ve tvaru J, obráceého J, vpravo či vlevo protažeé; - podle počtu vrcholů jedo-, dvou-, či vícevrcholové (uimodal, bimodal, multimodal) Charakteristiky (míry) polohy. Nejzámější a ejčastěji používaou charakteristkou polohy je aritmetický průměr hodot souboru. Průměr (mea) datového souboru {x 1, x 2,..., x } je defiová vztahem x = 1 x k. Pokud jsou {z 1, z k,..., z m } růzé hodoty souboru s četostmi j, j = 1, 2,..., m, a s relativími četostmi p j, pak k=1 x = 1 m m z j j = z j p j. j=1 j=1 Věta 1. Vlastosti průměru Pro průměr datového souboru platí: 1. Součet odchylek hodot souboru od průměru je rove ule, t.j. (x i x) = Přičteme-li k hodotám souboru kostatu a, pak průměr ového souboru {y i = x i + a} je y = 1 (x i + a) = x + a. 3. Násobíme-li hodoty souboru číslem b, ásobí se průměr také b, eboť pro soubor {y i = bx i } je y = 1 bx i = bx. 55
4 Pokud soubor {x 0, x 1,..., x } tvoří data, která odpovídají časové řadě sledující tred vývoje, pak jako charakteristiku polohy používáme průměrý přírůstek. Zavádíme jej jako průměr y souboru {y i = x i x 0, 1 i }. Je pak y = 1 x (x i x 0 ) = 1 (x x 0 ). Mediá Průměr datového souboru je citlivý a hrubé chyby, kdy jeda chybá hodota může výrazě změit hodotu průměru. Proto ěkdy používáme tzv. robustích charakteristik, které jsou méě citlivé a zadáí chybé hodoty. Mezi ě patří mediá (media) x, který je pro datový soubor x 1, x 2,... x defiová vztahem x = 1 2 x (m), ) pro = 2m 1, (x (m) + x (m+1), pro = 2m. Další z robustích charakteristik je modus (mode) ˆx, který je defiová jako hodota souboru s ejvětší četostí, tedy ˆx = z j, j i, 1 i m. Používáme jej v případech, kdy ás zajímají špičkové hodoty souboru, apř. při sledováí dopraví zátěže v místě, počet cestujících v hromadé dopravě, spotřeba elektrické eergie během de a roku, či průtok řekou. Kvatily, kvartily, decily, percetily Defiujeme pro p, 0 < p < 1, p kvatil, resp. 100p%kvatil, (quatile) jako tu hodotu x 100p ze souboru {x 1, x 2,..., x }, pro kterou je přibližě 100p% hodot ze souboru meších a 100(1 p)% hodot je větších ež x 100p. Nejjemější používaé rozděleí souboru je pomocí percetilů (percetile) x 1, x 2,..., x 99. Často se využívají decily x 10, x 20,..., x 90. Speciálí ázvy mají kvatily: - x 50 je mediá (media); - x 25 dolí kvartil (lower quartile); - x 75 horí kvartil (upper quartile). Jako mezikvartilové rozpětí IQR se defiuje rozdíl IQR = x 75 x 25. Jsou-li x (1) x (2)... x () hodoty souboru uspořádaé podle velikosti pak p kvatil, resp. 100p% kvatil určíme podle vzorce x x 100p = ([p]+1), pokud p eí celé číslo, 1 2 (x (p) + x (p)+1 ) pro p celé, kde [p] je celá část čísla, tedy celé číslo, které je ejbližší meší. Při větších rozdílech mezi jedotlivými daty používáme pro přesější vymezeí kvatilů lieárí aproximace mezi sousedími hodotami. Závěr modus sado se ajde, má ale miimálí vypovídací hodotu: mediá určuje střed souboru a je méě citlivý a chyby; průměr zohledňuje všechy hodoty, ale je citlivý a chyby. Usekuté průměry 56
5 Je-li x (1) x (2)... x () uspořádaý výběr, pak pro číslo 0 < α < 0, 5 azýváme hodotu x α = 1 2[α] [α] i=[α]+1 α-usekutým průměrem (alpha-trimmed mea). Hodotu x αw = 1 [α] ) ([α]x ([α]) + x (i) + [α]x ( [α]+1) i=[α]+1 azýváme α-wisorizovaý průměr (α-wisored mea). Symbol [α] ozačuje ejvětší celé číslo k, pro které je k α. Jié průměrové charakteristiky polohy. Pro soubory kladých dat používáme také jié průměry. Jsou to: Geometrický průměr (geometric mea) x G, který je pro soubor x 1, x 2,..., x kladých dat defiová vztahem x G = x 1 x 2... x. x (i) Vlastosti geometrického průměru. Násobíme-li hodoty původího souboru číslem c, ásobí se týmž číslem i geometrický průměr. Pro logaritmus geometrického průměru platí: Věta 2. Pro soubor s kladými daty je lx G = lx = 1 lx i. x G x a rovost astae jediě pro x 1 = x 2 =... = x. Harmoický průměr (harmoic mea) x H, který je pro soubor kladých dat defiová vztahem x H = x x x 1. Věta 3. Pro soubor s kladými daty je x H x G x, přičmž rovost astae pouze pro x 1 = x 2 =... = x. Kvadratický průměr (quadratic mea)x K je defiová vztahem x K = 1 x 2 i. Věta 4. Je x x K a rovost platí pouze v případě, že x 1 = x 2 =... x. 57
6 Věta 5. Pro soubory kladých dat je x (1) x H x G x x K x () a rovost astae pouze v případě, že x 1 = x 2 =... = x Charakteristiky (míry) rozptýleosti. Rozpětí datového souboru (rage) je hodota R = x max x mi. Hodota se po uspořádáí souboru sado spočítá, ale její hodota je citlivá a zavlečeé chyby. Vychází pouze ze dvou hodot a igoruje iformaci z ostatích hodot souboru. V ěkterých případech proto používáme jako charakteristiku tohoto druhu hodotu x 90 x 10. Provedeme vlastě ořezáí souboru, když vyecháme hodoty meší ež x 10 a větší ež x 90, tedy 10% ejmeších a 10% ejvětších hodot.odstraíme tím vliv případých chybých hodot, které leží a hraicích souboru. Podobou charakteristikou je mezikvartilové rozpětí (iterquartile rage) IQR = x 75 x 25. Středí kvadratická odchylka (MSD) (mea of squared deviatio) je průměr čtverců odchylek od průměru a je defiová vztahem MSD = s 2 = 1 (x i x) 2. Rozptyl (dispersio, variace) je defiová vzrcem S 2 = 1 MSD = 1 1 (x i x) 2 a směrodatá odchylka (stadard deviatio) S je odmociou z rozptylu. Věta 6. Vlastosti rozptylu a MSD a vzorce pro výpočet. 1. Je S 2 = 1 ( ) x 2 i (x) 2, s 2 = MSD = x 1 2 (x) Je-li y i = bx i + a, 1 i, pak s 2 y = b 2 s 2 x, s y = b s x a S 2 y = b 2 S 2 x, S y = b S x Věta 7. Fukce S(α) = 1 (x i α) 2 abývá svého miima s 2 pro α = x. Pro soubory, které obsahují velké možství dat je výhodější charakteristiky polohy a rozpětí odhadovat. Uvedeme ěkteré jedoduché odhady a o dalších pojedáme později. Pomocé tvrzeí (Cauchyova erovost): Pro tice čísel (a 1, a 2,..., a k ) a (b 1, b 2,..., b k ) je Věta 8. Pro soubor x i, 1 i platí ( k ) 2 ( k ) ( k ) a i b i a 2 i b 2 i. max{ x i x ; 1 i } s 1. 58
7 Věta 9. Pro rozpětí souboru platí s 2 R2 4, S2 R2 4( 1) tedy s R 2 1. Průměrá odchylka (mea of absolute deviatio) d a od bodu a je pro soubor dat x i defiováa vztahem d a = 1 x i a. Nejčastěji se používá průměrá odchylka od aritmetického průměru x ebo mediáu x. K tomu ás vede ásledující vlastost. Věta 10. Fukce d a abývá svého miima pro mediá a = x. Pokud používáme jako charakteristiku polohy mediá x = x 0,5, pak místo směrodaté odchylky s používáme jako charakteristiku rozptylu mezikvartilové rozpětí IQR = x 0,75 x 0,25. V tomto itervalu leží 50% hodot souboru. Omezujeme tím vliv případých extrémích hodot, které mohou být zatížeé chybou. Pětičíselá charakteristika (five-umber summary)souboru je pětice čísel x mi, x 25, x 50, x 75, x max, a které jsou založey krabicové grafy. Relativí variabilita Můžeme také používat charakteristiky relativí variability, které jsou defiováy jako poměr směrodaté odchylky a ěkterého průměru. Nejčastěji se používá variačí koeficiet, který je defiová vztahem V = s x. Určuje ám jakou částí se podílí směrodatá odchylka a aritmetickém průměru dat. Je-li V > 0, 5 pak se jedá o esourodý soubor. Variačí koeficiet má tyto vlastosti, které pro jedoduchost budeme uvažovat pro kladá data. Věta 11. Ozačme x soubor dat {x i }, 1 i, bx = {bx i }, b > 0 a x ± a = {x i ± a}, a > 0. Potom pro variačí koeficiet V platí: a) V (bx) = V (x); b) V (x + a) < V (x); c) V (x + a) < V (x) < V (x a), 0 < a < x. Jako aproximace se používá relativí kvartilová odchylka Q r je defiováa vztahem Q r = x 0,75 x 0,25 x 0,75 + x 0,25 Jié charakteristiky Koeficiet šikmosti a koeficiet špičatosti A 3 = 1 s 3 A 4 = 1 s 4 (x i x) 3 (x i x)
8 Pro data, která jsou rozložea symetricky kolem hodoty x je A 3 = 0. Hodoty A 3 blízké ule odpovídají rozděleí, které se blíží symetrickému. Je-li A 3 > 0, pak je rozložeí dat sešikmeé vpravo, meší hodoty ež průměr x jsou k ěmu více ahuštěy ež hodoty větší. Pro A 3 < 0 je rozděleí sešikmeé vlevo, větší hodoty jsou více ahuštěy k průměru ež hodoty ižší. Je-li A 4 blízké ule, říkáme, že jedá o soubor s ormálí špičatostí. Při A 4 < 0 mluvíme o souborech plochých a při A 4 > 0 mluvíme o souborech špičatých. Podroběji pojedáme o těchto charakteristikách později v souvislosti s áhodou veličiou a jejím rozděleím Písmekové charakteristiky V ěkterých aplikacích se používají ozačeí charakteristik polohy a variability pomocí písme. Ozačujeme tak kvatily, které mají po řadě hodoty p = 1 2 a ěkteré veličiy, které charakterizují rozptýleí hodot souboru. M mediá x = x 0,5, tedy 0, 5 kvatil; F kvartily; F D dolí kvartil x 0,25 ; F H horí kvartil x 0,75 ; E oktily; E D dolí oktil, kvatil x 1/8 ; E H horí oktil, kvatil x 7/8 ; D sedecily; D D dolí sedecil, kvatil x 1/16 ; D H horí sedecil, kvatil x 15/16. R F = F H F D = IQR je mezikvartilové rozpětí. B D, B H vitří hradby souboru, kde B D = F D 1, 5R F, B H = F H + 1, 5R F. (I D, I H ) iterval spolehlivosti pro mediá, kde I D = M 1,57R F a I H = M + 1,57R F, přičemž je počet prvků v souboru Grafická zázorěí I. Graf dat x (1) B D F D M F H B H x () Obr II. Krabicový graf Šířku obdélíka volíme úměrou hodotě x (1) B D B H x () M F D F H Obr III. Vrubový krabicový graf Šířku obdélíka volíme úměrou hodotě x (1) B D B H x () M F D I D I H F H Obr
9 Krabicové grafy jsou vhodé pro porováí dvojice souborů, kdy případé rozdíly jsou okamžitě patré z rozměrů krabic. IV. Histogram V. Graf polosum k testováí symetrie. Na osu x vyášíme hodoty x(i) a a osu y hodoty polosum y i = 1 2 (x (i) + x (+1 i) ). Pro symetrické rozděleí leží body kolem přímky y = M. VI. Kvatil=kvatilový Q Q graf je grafem kvatilové fukce. Na osu x vyášíme hodoty P i kvatilů Q(P i ), P i = i +1 a a osu y hodoty y = x (i). VII. Pravděpodobostí P P graf je grafem distribučí fukce. Na osu x vyášíme hodoty x (i) a a osu y hodoty P i = i +1. Oba grafy slouží k testováí shody rozděleí, kde porováváme průběhy pro dva soubory. Používáme je ve dvojici, kdy využíváme toho, že Q Q graf je citlivější a chyby v okrajových datech souboru a P P graf je aopak citlivý a chyby v okolí mediáu. VIII. Rakitový graf je kvatilový Q Q graf, ve kterém porováváme rozděleí s ormálím rozděleím. Na osu x vyášíme P i kvatil x Pi ormálího rozděleí a a osu y hodoty y = x(i). Parametry příslušéo ormálího rozděleí odhademe pomocí hodot Odpovídající kvatily určíme pomocí vzorců ˆµ = M, ˆσ = 3 4 (F H F D ). ( ) ( ) x(i) ˆµ 1 U i = Φ, x Pi = Φ 1 ˆσ 2 (U i 1 + U i+1 ), U 0 = 0, U +1 = 1. V případě ormálího rozděleí leží body a přímce Vícerozměré soubory Sledujeme-li dva zaky, pak soubor dat má charakter uspořádaých dvojic {(x i, y i ), 1 i }. Prví otázkou, kterou obvykle řešíme je popis závislosti prvího a druhého zaku. Jako charakteristiku polohy volíme dvojici (x, y). Za charakteristiku variability obvykle volíme směrodaté odchylky s x, s y. Jako míru statistické závislosti volíme výběrový koeficiet korelace Koeficiet korelace (covariace, coefficiet of liear correlatio) r xy dvou souborů {x i } a {y i }, 1 i je defiová vztahem r xy = 1 Vlastosti ( koeficietu korelace ) a) r xy = ( 1 x i y i ) xy /(s x.s y ); b) r xy = r yx ; r xx = 1; c) r xy 1; d) pro y i = ax i + b je r xy = sga. e) r xy = ±1 y = ax + b. (x i x)(y i y) s x.s y 61
10 Sheppardovy korekce V případě výpočtů číselých charkteristik ze setříděého souboru opravujeme ěkteré výběrové momety, abychom potlačily vliv zaokrouhleí dat při ahrazeí jejich hodot průměrem příslušé třídy. Ozačme: {x 1, x 2,..., x } původí datový soubor; {z 1, z 2,..., z k } setříděý soubor; j, 1 j k absolutí četost j té třídy; p j = j, 1 j k relativí četost j té třídy; h rozpětí třídy. Výběrové momety původího souboru M r = 1 x r i, r tý obecý momet; M r = 1 (x i x) r, r tý cetrálí momet; x = M 1 = 1 x i ; Výběrové momety setříděého souboru m r = 1 k k zj r j = zj r p j, r tý obecý momet; j=1 j=1 m r = 1 k k (z j x) r j = (z j x) r p j, r tý cetrálí momet; j=1 j=1 Opraveé hodoty M 1 = m 1 = x; M 2 = m 2 h2 12, M 2 = m 2 h2 12 ; M 3 = m 3 h2 4 m 1, M 3 = m 3 ; M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h4 240, M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h
6. P o p i s n á s t a t i s t i k a
6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
Více7. P o p i s n á s t a t i s t i k a
7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
VíceSTATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson
STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,
Více11. Popisná statistika
. Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př
Více13 Popisná statistika
13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický
VíceStatistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.
Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
VícePro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).
STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VícePopisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007
Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46
VíceStatistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc
Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceParametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti
1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto
Více14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
Více4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů
4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
Vícevají statistické metody v biomedicíně
Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk
Vícevají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví
Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě
VíceZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)
ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti
VíceElementární zpracování statistického souboru
Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými
Vícei 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky
Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
Vícez možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet
6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p
Více1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.
Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která
Více2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE
STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceIntervalové odhady parametrů
Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
VícePravděpodobnostní modely
Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
VíceCvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu
Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia
VíceStatistika pro metrologii
Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých
VícePřednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti
Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
VíceCvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu
Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý
Více2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA
Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.
VíceMATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER
MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem
VícePravděpodobnost vs. statistika. Data. Teorie pravděpodobnosti pracuje s jednou nebo více teoretickými náhodnými
Pravděpodobost vs. Teorie pravděpodobosti pracuje s jedou ebo více teoretickými áhodými veličiami, jejichž je zámo odvozovali jsme y těchto atd. Šárka Hudecová Katedra pravděpodobosti a matematické Matematicko-fyzikálí
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin
3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo
VíceTento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i
: ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru
Více(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)
Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá
VíceV. Normální rozdělení
V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
Více4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností
4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceSTATISTIKA PRO EKONOMY
EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU
Více1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE
ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů
VíceČeské vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika
České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35
Více17. Statistické hypotézy parametrické testy
7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé
VíceČíselné charakteristiky náhodných veličin
Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí
Více2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;
. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceNáhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.
Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího
VícePravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci
Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí
Více8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor
8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě
VíceTržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.
Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví
VíceOdhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme
VíceDoc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VíceCo je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika
Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
VíceIlustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.
Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95
VíceZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací na zdravotnictví)
PŘEMYSL ZÁŠKODNÝ RENATA HAVRÁNKOVÁ JIŘÍ HAVRÁNEK VLADIMÍR VURM ZÁKLADY STATISTIKY (s aplikací a zdravotictví) Vzik publikace byl ispirová myšlekami, pracemi a ávrhy výzamého sloveského vědce v oblasti
Více4. Základní statistické pojmy.
4. Základí statistické pojmy. 4. Úvodí iformace Statistika je často představováa jako pouhý sběr čísel ebo jim podobých údajů. Původí výzam toho slova skutečě souvisí se sběrem iformací o státu ( z latiského
Více1. Základy počtu pravděpodobnosti:
www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých
VícePevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.
evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické
VíceOdhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.
Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
VíceSTATISTIKA. Základní pojmy
Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci
VíceZhodnocení přesnosti měření
Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek
VíceČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité
Více1.1 Dva základní typy statistiky Popisná statistika (descriptive statistics) Inferenční statistika (inferential statistics)
1. PODSTATA STATISTIKY Původní význam - pouhé sbírání čísel (název z latinského status = stát, použití k označení vědy zabývající se sběrem informací o státu - o počtu obyvatel, ekonomice,...) Dnešní pojetí
Více1. K o m b i n a t o r i k a
. K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceTento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/
Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a Státím rozpočtem ČR IoBio CZ..07/2.2.00/28.008 Připravil: Ig. Vlastimil Vala, CSc. Metody zkoumáí ekoomických jevů Kapitola straa 3 Metoda Z řeckého
VíceMendelova univerzita v Brně Statistika projekt
Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VíceAnalýza a zpracování signálů. 3. Číselné řady, jejich vlastnosti a základní operace, náhodné signály
Aalýza a zpracováí sigálů 3. Číselé řady, jejich vlastosti a základí operace, áhodé sigály Diskrétí sigál fukce ezávislé proměé.!!! Pozor!!!! : sigáleí defiová mezi dvěma ásledujícími vzorky ( a eí tam
Více8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti
Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z
Více1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá
Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
VíceKvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)
Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VícePřednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat
DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo
Více