7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. P o p i s n á s t a t i s t i k a"

Transkript

1 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statistické jedotky. Sledujeme vlastosti statistických jedotek, které azýváme statistické zaky ebo stručěji veličiy (variable). Souhr zaků a veliči tvoří data. Při zkoumáí používáme dva základí druhy statistiky, popisou statistiku (describe statistics) a iterferečí statistiku. Popisá statistika zjišťuje a sumarizuje iformace, zpracovává je ve formě grafů a tabulek a vypočítává jejich číselé charakteristiky jako průměr, rozptyl percetily, rozpětí a pod. Iterferečí statistika čií závěry a základě dat získaých z šetřeí provedeých pro vybraý soubor respodetů. Aalyzuje tyto závěry a predikuje z ich závěr pro celý soubor. (Volebí průzkum, průzkum trhu a pod.) Při statistickém šetřeí máme k dispozici: - základí soubor je soubor všech statistických jedotek; - výběrový soubor je vybraá část ze základího souboru. Rozsah základího (výběrového) souboru je počet jedotek v souboru. Při vytvářeí souboru jedotek provádíme výběr ve tvaru prostého áhodého výběru Defiice: Prostý áhodý výběr (simple radom sample) je áhodý výběr ze základího souboru vytvořeý tak, že každá statistická jedotka ze základího souboru má stejou pravděpodobost, že bude vybráa. Pokud je možé vybrat tutéž jedotku zova, mluvíme o výběru s vraceím, pokud opakovaý výběr eí možý jedá se o výběr bez vraceí. Pozámka: Jié metody používají defiovaý způsob výběru, který je popsá zadaým algoritmem. Využívá se především vytvářeí výběru s meším rozsahem, který podchycuje zákoitosti obsažeé v rozsáhlejším výběru. V dalším se budeme zabývat popisou statistikou. 6

2 Popisá statistika Vlastosti, které se pro jedotlivé jedotky měí azýváme veličiami, případě statistickými zaky ebo proměými (variable). Vyskytují se veličiy - kvatitativí, popsaé číselou hodotou (výška, váha, cea); - kvalitativí, popsaé vlastostmi (muž, žea, barva očí, dosažeé vzděláí). Kvatitativí veličiy mohou být diskrétí (discrete), abývající hodot ze zadaé koečé možiy, ebo spojité (cotiuous), které abývají hodot ze zadaého itervalu. Pozorovaím ebo měřeím hodot zkoumaé veličiy a ěkolika statistických jedotkách získáme vstupí data. Soubor těchto údajů azýváme datový soubor. Teto soubor je jedorozměrý, jestliže sledujeme jede zak, ebo vícerozměrý (multistage radom sample), pokud sledujeme více zaků. Při zpracováí jedorozměrého datového souboru kvatitativích dat x, x 2,..., x potřebujeme pro ěkterá šetřeí data uspořádat podle velikosti. Dostaeme pak uspořádaý datový soubor tvaru x () x (2)... x (), kde x () = mi{x i ; i } a x () = max{x i ; i }. Metody zpracovaí dat 7.3. Tříděí dat je rozděleí dat do skupi provedeé tak, aby vyikly charakteristické vlastosti sledovaých jevů. Uspořádáme a zhustíme data do přehledější formy. Rozezáváme - jedostupňové tříděí, jestliže třídíme data podle změ jedoho statistického zaku; - vícestupňové tříděí, pokud provádíme tříděí podle více zaků ajedou. Nejčastěji při jedostupňovém tříděí kvatitativích dat uspořádáme data podle velikosti a staovíme itervaly, které odpovídají jedotlivým třídám. Mluvíme pak o itervalovém tříděí. Máme-li datový soubor {x, x 2,..., x }, který obsahuje celkem dat, pak iterval mezi ejvětší a ejmeší hodotou rozdělíme a k disjuktích itervalů, tříd (classes), tvaru (a i, a i, i k. Potom prvek 7

3 x j patří do i té třídy, pokud je a i < x j a i. Používáme ásledujících termíů a ozačeí: - třída (class) je část dat z itervalu (a i, a i ; - dolí hraice třídy (lower class limit) je hodota a i ; - horí hraice třídy (upper class limit) je hodota a i ; - střed třídy (class mark) je průměr horí a dolí hraice třídy, tedy y i = 2 (a i + a i ); - šířka třídy (class width) je rozdíl horí a dolí hraice třídy, tedy hodota a i a i ; - (absolutí) četost třídy (frequecy) i je počet prvků souboru, které patří do i té třídy; - relativí četost (relative frequecy) p i = i je poměr četosti třídy ku celkovému počtu dat; - kumulativí (absolutí) četost (cumulative frequecy) N i = i je součet četosti třídy a četostí tříd předchozích; - kumulativí relativí četost (cumulative relative frequecy) P i = p + p p i je součet relativí četosti třídy a relativích četostí tříd předchozích. Potom platí: k i =, k p i =, i j= j = N i, i j= p j = P i, N k =, P k =. Při staoveí hraic tříd obvykle zachováváme tato dvě pravidla: - šířku třídy h volíme pro všechy itervaly shodou, s vyjímkou krajích tříd pokud tvoří eomezeé itervaly: - při staoveí šířky třídy h dodržujeme Sturgesovo pravidlo, kdy pro počet tříd k platí, že k. = + 3, 3 log. V tabulce jsou uvedey počty tříd pro ěkteré hodoty rozsahů souboru k pokud jsou krají itervaly děleí eomezeé, pak za střed prví, resp. posledí třídy volíme bod, který má od koečého krajího bodu třídy stejou vzdáleost jakou má od středu sousedí třídy. Při tříděí kvalitativích dat postupujeme obdobě. Jeom místo itervalu tvoří třídu prvky, které mají stejý zak, ebo skupiu zaků. 8

4 7.4. Grafická zázorěí Pro větší ázorost požíváme místo tabulek zázorěí datového souboru pomocí grafů. Používá se ěkolika typů. Histogram (histogram) je graf kdy a vodorovou osu zázoríme třídy a a svislou osu četosti či relativí četosti. Často se používá ve tvaru, kdy se hodota odpovídající třídě zázorí jako sloupec s itervalem třídy jako základou a výška je dáa četostí. Polygo četostí a relativích četostí je graf, kdy úsečkami spojíme body (y i, i ), resp. (y i, p i ). Bodový graf (dot diagram) dostaeme tak, že a vodorovou osu vyeseme třídy jako body i, i k, a ve svislém směru vyášíme jedotlivé prvky třídy zázorěé jako jedotlivé body (i, j), j =, 2,... i. Sloupkový graf je podobý histogramu, ale sloupce bývají odděleé, mají stejou šířku a každý sloupec odpovídá jedé třídě. Používáme je předeším u kvalitativích dat. Kruhový (výsečový) diagram (pie chart) je zázorěí pomocí výsečí kruhu, kde každé třídě odpovídá jeda výseč. Velikosti obsahů výsečí odpovídají četostem třídy. Stem-ad-Leaf diagram je uspořádáí dat do tabulky, kdy prví sloupec -stem=stoek odpovídá třídě a do řádku -leaf=list vypisujeme prvky třídy. Pokud tyto prvky uspořádáme podle velikosti mluvíme o uspořádaém diagramu. Krabicový ebo vrubový krabicový graf (box or whiskers plot) zázorňuje výzačé a extrémí hodoty souboru Příklad: Ze 7 možých výsledků jsme dostali datový soubor o 4 datech i x i Tab. 7.. Datům odpovídá tabulka četostí Tab. 7.2 a bodový graf a obrázku Obr

5 třída četost i Tab Obr. 7.. Polygo četostí k Tab 7.2. Histogram četostí k Tab i i Obr Obr Sloupkový graf k tabulce Tab i Obr Řada vlastostí datového souboru se dá vyčíst z tvaru histograu či polygou četostí. Ty odpovídají grafu hustoty u rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Rozlišuje se ěkolik charakteristických průběhů těchto grafů. - souměrý ve tvaru zvou, trojúhelíku či rovoměrý; - esouměré ve tvaru J, obráceého J, vpravo či vlevo protažeé; - podle počtu vrcholů jedo-, dvou-, či vícevrcholové (uimodal, bimodal, multimodal) Charakteristiky (míry) polohy. Nejzámější a ejčastěji používaou charakteristkou polohy je aritmetický průměr hodot souboru. 20

6 Průměr (mea, sample mea) datového souboru {x, x 2,..., x } je defiová vztahem x = x k. Pokud jsou {z, z k,..., z m } růzé hodoty souboru s četostmi j, j =, 2,..., m, a s relativími četostmi p j, pak k= x = m j= z j j = m j= z j p j. Věta. Vlastosti průměru Pro průměr datového souboru platí:. Součet odchylek hodot souboru od průměru je rove ule, t.j. (x i x) = Přičteme-li k hodotám souboru kostatu a, pak průměr ového souboru {y i = x i + a} je y = (x i + a) = x + a. 3. Násobíme-li hodoty souboru číslem b, ásobí se průměr také b, eboť pro soubor {y i = bx i } je y = bx i = bx. Pokud soubor {x 0, x,..., x } tvoří data, která odpovídají časové řadě sledující tred vývoje, pak jako charakteristiku polohy používáme průměrý přírůstek. Zavádíme jej jako průměr y souboru {y i = x i x 0, i }. Je pak y = x (x i x 0 ) = (x x 0 ). Mediá (media). Průměr datového souboru je citlivý a hrubé chyby, kdy jeda chybá hodota může výrazě změit hodotu průměru. Proto ěkdy používáme robustích charakteristik, které jsou méě citlivé a zadáí chybé hodoty. Mezi ě patří mediá (media) x, který je pro datový soubor x, x 2,... x defiová vztahem x = 2 x (m), pro = 2m, ( ) x(m) + x (m+), pro = 2m. Hodoty mediáů pro dva růzé typy rozsahů souborů zázoríme a obrázcích. 2

7 liché, = 5 x = x 3 x x 2 x 3 x 4 x 5 sudé, = 6 x = (x 3 + x 4 )/2 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Obr mediá Obr mediá Používáme jej i v případech, kdy soubor obsahuje ěkterá extrémí data, tzv. odlehlá pozorováí. Ta se v hodotě mediáu výrazěji eprojeví a mediá tak lépe vystihuje průměr souboru. Další z robustích charakteristik je modus (mode) ˆx, který je defiová jako hodota souboru s ejvětší četostí, tedy ˆx = z j, j i, i m. Pozameejme, že modus emusí být jedozačě urče, může abývat ěkolika hodot. Používáme jej v případech, kdy ás zajímají špičkové hodoty souboru, apř. při sledováí dopraví zátěže v místě, počet cestujících v hromadé dopravě, spotřeba elektrické eergie během de a roku, či průtok řekou. Kvatily, kvartily, decily, percetily Pro podrobější popis rozděleí hodot datového souboru používáme kvatily (quatiles). Kvatil datového souboru rozděluje soubor a dvě části. V jedé jsou hodoty souboru, které jsou meší či ejvýše rovy kvatilu a ve druhé jsou hodoty větší ež kvatil. Defiujeme pro p, 0 < p <, p kvatil, resp. 00p%kvatil, (quatile) jako tu hodotu x 00p ze souboru {x, x 2,..., x }, pro kterou je přibližě 00p% hodot ze souboru meších a 00( p)% hodot je větších ež x 00p. Nejjemější používaé rozděleí souboru je pomocí percetilů (percetile) x, x 2,..., x 99. Často se využívají decily (deciles) x 0,..., x 90. Speciálí ázvy mají kvatily: - x 50 je mediá (media); - x 25 dolí kvartil (lower quartile); - x 75 horí kvartil (upper quartile). Jako mezikvartilové rozpětí IQR (iterquartile rage) se defiuje rozdíl IQR = x 75 x 25. Jsou-li x () x (2)... x () hodoty souboru uspořádaé podle 22

8 velikosti pak p kvatil, resp. 00p% kvatil určíme podle vzorce x 00p = x ([p]+), pokud p eí celé číslo, 2 (x (p) + x (p)+ ) pro p celé, kde [p] je celá část čísla, tedy celé číslo, které je ejbližší meší. Při větších rozdílech mezi jedotlivými daty používáme pro přesější vymezeí kvatilů lieárí aproximace mezi sousedími hodotami. Závěr modus sado se ajde, má ale miimálí vypovídací hodotu: mediá určuje střed souboru a je méě citlivý a chyby; průměr zohledňuje všechy hodoty, ale je citlivý a chyby. Usekuté průměry Je-li x () x (2)... x () uspořádaý výběr, pak pro číslo 0 < α < 0, 5 azýváme hodotu x α = 2[α] [α] i=[α]+ x (i) α-usekutým průměrem (alpha-trimmed mea). Hodotu x αw = [α] i=[α]+ ( [α]x([α]) + x (i) + [α]x ( [α]+) ) azýváme α-wisorizovaý průměr (α-wisored mea). Symbol [α] ozačuje ejvětší celé číslo k, pro které je k α. Jié průměrové charakteristiky polohy. Pro soubory kladých dat používáme také jié průměry. Jsou to: Geometrický průměr (geometric mea) x G, který je pro soubor x, x 2,..., x kladých dat defiová vztahem x G = x x 2... x. Takový charakter mají apř. hodoty, které zachycují časový vývoj, apř. v ekoomice růst produkce, či ce, přírůstek počtu obyvatel a pod. Je-li časový vývoj popsá hodotami souboru {x 0, x,..., x }, pak položíme z k = x k x k, k a hodoty z k vyjadřují poměrý přírůstek 23

9 během zvoleého úseku sledovaého období. Průměrý přírůstek za celé období je pak dá hodotou x z G = z.z 2... z =. x 0 Vlastosti geometrického průměru. Násobíme-li hodoty původího souboru číslem c, ásobí se týmž číslem i geometrický průměr. Pro logaritmus geometrického průměru platí: lx G = lx = Věta 2. Pro soubor s kladými daty je x G x lx i. a rovost astae jediě pro x = x 2 =... = x. Důkaz: Fukce f(x) = l x je kovexí a tedy pro x a h je Situaci zázoríme a obrázku f(x) f(h) + f (h)(x h). y y = y(x) + y (x)(x x) y = lx x x Obr Jestliže zvolíme x = x i a h = x, pak pro i platí erovice ( ) l x i l x + (x i x)f (x), i. Sečteím dostaeme erovici l x i l x + f (x) (x i x) = l x, 24

10 protože podle věty je tedy Dále je (x i x) = 0. l x G = l( x x 2... x ) = l x G l x x G x, l x i, eboť je fukce l x rostoucí. Rovost ve vztahu ( ) astae jediě pro x i = x, tedy pokud je x = x 2 =... = x. Harmoický průměr (harmoic mea) x H, který je pro soubor kladých dat defiová vztahem x H = x + x x Pozámka: Využívá se tam, kde má vypovídací hodotu převráceá hodota k původí. Nejčastěji je to v případech, kdy hodota x i odpovídá době uté k provedeí ějakého pracovího úkou. Převráceá hodota pak uvádí, jaká část pracovího úkou je splěa za jedotku času. Věta 3. Pro soubor s kladými daty je x H x G x, přičmž rovost astae pouze pro x = x 2 =... = x. Důkaz: Z defiice harmoického průměru vyplývá vztah x H = což je aritmetický průměr souboru x H = x x x x = i x i. { } x i. Podle věty 2 je ale Rovost platí pouze v případě, že x = x 2 =... = x. = x H x G. x x 2... x x G Kvadratický průměr (quadratic mea)x K je defiová vztahem x K = 25 x 2 i.

11 Věta 4. Je x x K a rovost platí pouze v případě, že x = x 2 =... x. Důkaz: Fukce f(x) = x 2 je kokáví a tedy je x 2 h 2 +f (h)(x h). Situace zázoríme a obrázku y y = y(x) + y (x)(x x) x y = x 2 x Obr Jestliže položíme x = x i a h = x, pak x 2 i (x) 2 + f (x)(x i x) x 2 i (x) 2 + f (x)(x i x) (x K ) 2 (x) 2 x K x. Rovost astae pouze pro x i = x, tedy pro x = x 2 =... = x. Věta 5. Pro soubory kladých dat je x () x H x G x x K x () a rovost astae pouze v případě, že x = x 2 =... = x Charakteristiky (míry) rozptýleosti. Rozpětí datového souboru (rage) je hodota R = x max x mi. Hodota se po uspořádáí souboru sado spočítá, ale její hodota je citlivá a zavlečeé chyby. Vychází pouze ze dvou hodot a igoruje iformaci z ostatích hodot souboru. V ěkterých případech proto používáme jako charakteristiku tohoto druhu hodotu x 90 x 0. Provedeme vlastě ořezáí souboru, když vyecháme hodoty meší ež x 0 a větší ež x 90, tedy 0% ejmeších a 0% ejvětších hodot.odstraíme tím vliv případých chybých hodot, které leží a hraicích souboru. Podobou charakteristikou je mezikvartilové rozpětí (iterquartile rage) IQR = x 75 x

12 Středí kvadratická odchylka (MSD) (mea of squared deviatio) je průměr čtverců odchylek od průměru a je defiová vztahem s 2 = (x i x) 2. Rozptyl (dispersio, variace) je defiová vzrcem S 2 = MSD = (x i x) 2 a směrodatá odchylka (stadard deviatio) S je odmociou z rozptylu. Věta 6. Vlastosti rozptylu a MSD a vzorce pro výpočet.. Je ( )S 2 = (x i x) 2 = x 2 i 2x x i + (x) 2 = = S 2 = x 2 i 2x x i + x x i = x 2 i (x) 2 x 2 i (x) 2, s 2 = x 2 (x) Je-li y i = bx i + a, i, pak s 2 y = b 2 s 2 x, s y = b s x ; S 2 y = b 2 S 2 x, S y = b S x Věta 7. Fukce S(α) = (x i α) 2 abývá svého miima s 2 pro α = x. Důkaz: Je S (α) = 2(x i α)( ) = 0 (x i α) = 0 x = α. Pro soubory, které obsahují velké možství dat je výhodější charakteristiky polohy a rozpětí odhadovat. Uvedeme ěkteré jedoduché odhady a o dalších pojedáme později. Pomocé tvrzeí (Cauchyova erovost): Pro tice čísel (a, a 2,..., a k ) a (b, b 2,..., b k ) je k a i b i 2 k a 2 k i b 2 i. 27

13 Jestliže iterpretujeme tice čísel jako aritmetické vektory v R k, pak lze uvedeou erovici přepsat do tvaru ( a. b) 2 a 2. b 2. Ta ale platí, eboť skalárí souči dvou vektorů je rove a. b = a. b. cos ( a, b). Protože je fukce kosius omezeá v absolutí hodotě jedičkou, uvedeá erovice platí. Ve vztahu platí rovost pouze v případě, že je kosius úhlu ulový a to astae, je-li b = α a, t.j. b i = αa i, i. Věta 8. Pro soubor x i, i platí max{ x i x ; i } s. Důkaz: Položme v tvrzeí pomocé věty a = (x x,..., x i x, x i+ x,..., x x) a b = (,,..., ). Potom je j i(x j x) Protože je 2 ( ) j i(x j x) 2 = ( ) j= j x) = 0 (x i x) = j=(x (x j x) j i tak z předchozí erovice vyplývá, že (x j x) 2 (x i x) 2 (x i x) 2 ( ) (x j x) 2 ( )(x i x) 2 (x i x) 2 j= j= (x j x) 2 = ( )s 2 =. ( )2 S 2 ( )S 2. Odmocěím získáme dokazovaou erovici. Tato erovice platí pro všechy hodoty idexu i, i, platí tedy i pro tu kde abývá fukce maximuma. Věta 9. Pro rozpětí souboru platí s 2 R2 4, S2 R2 4( ) tedy S R 2. 28

14 Důkaz: Ozačme m = 2 (x () + x () ). Je tedy x i m R 2, i. Fukce S(α) z věty 7 abývá svého miima pro α = x a tedy je s 2 = S(x) S(m) = (x i m) 2 R2 4. Ze vztahu S 2 = s2 dostaeme uvedeý odhad. Průměrá odchylka (mea of absolute deviatio) d a od bodu a je pro soubor dat x i defiováa vztahem d a = x i a. Nejčastěji se používá průměrá odchylka od aritmetického průměru x ebo mediáu x. K tomu ás vede ásledující vlastost. Věta 0. Fukce d a abývá svého miima pro mediá a = x. Důkaz: Je-li a < x (), pak je d a = (x i a) = x a, tedy d (a) = a tudíž je fukce d a klesající v itervalu (, x () ). Obdobě pro a > x () je d a = a x, tedy d (a) = a tudíž je fukce d a rostoucí v itervalu (x (), ). Nechť je x (j) < a < x (j+) pro ějaké j. Potom je Je tedy d a = x (i) ) + (a i=j+ (x (i) a). d (a) = 2j (j + ( j)( )) =. Derivace fukce d a je záporá a tedy fukce je klesající pro 2j < 0 a je kladá, tedy fukce je rostoucí, pro 2j > 0. Je-li = 2m + liché číslo, pak 2j < = 2m + j < m +, tedy fukce d a je klesající v itervalu (, x (m+) ) a 2j > 2m + j > m +, je tedy fukce d a rostoucí v itervalu (a (m+), ). Nabývá tedy svého miima v bodě x (m+) což je mediá x. Je-li = 2m sudé číslo, pak má fukce d a derivaci ulovou a tedy je kostatí v itervalu (x (m), x (m+) ). Hodota v tomto itervalu je její miimum a střed itervalu je mediá x. Situaci pro rozsahy,2 a 3 zázoríme a obrázcích, a kterých je patrá idea důkazu. 29

15 y x d a a y x x 2 d a a y Obr.7.9 Obr. 7.0 x x 2 x 3 d a a Obr.7. Pokud používáme jako charakteristiku polohy mediá x = x 0,5, pak místo směrodaté odchylky s používáme jako charakteristiku rozptylu mezikvartilové rozpětí IQR = x 0,75 x 0,25. V tomto itervalu leží 50% hodot souboru. Omezujeme tím vliv případých extrémích hodot, které mohou být zatížeé chybou. Pětičíselá charakteristika (five-umber summary)souboru je pětice čísel x mi, x 25, x 50, x 75, x max, a které jsou založey krabicové grafy. Relativí variabilita Můžeme také používat charakteristiky relativí variability, které jsou defiováy jako poměr směrodaté odchylky a ěkterého průměru. Nejčastěji se používá variačí koeficiet, který je defiová vztahem V = s x. Určuje ám jakou částí se podílí směrodatá odchylka a aritmetickém průměru dat. Je-li V > 0, 5 pak se jedá o esourodý soubor. Variačí 30

16 koeficiet má tyto vlastosti, které pro jedoduchost budeme uvažovat pro kladá data. Věta. Ozačme x soubor dat {x i }, i, bx = {bx i }, b > 0 a x ± a = {x i ± a}, a > 0. Potom pro variačí koeficiet V platí: a) V (bx) = V (x); b) V (x + a) < V (x); c) V (x + a) < V (x) < V (x a), 0 < a < x. Pozameejme, že s(bx) = bs(x), s(x + a) = s(x) a bx = bx, x + a = x + a. Odtud dostaeme, že V (bx) = s(bx) bx Dále je s(x + a) V (x + a) = x + a a obdobě pro 0 < a < x je V (x a) = s(x a) x a = bs(x) bx = V (x). = s(x) x + a < s(x) x = s(x) x a > s(x) x = V (x) = V (x). Jako aproximace se používá relativí kvartilová odchylka Q r je defiováa vztahem Q r = x 0,75 x 0,25 x 0,75 + x 0,25 Jié charakteristiky Koeficiet šikmosti (skewess) A 3 = s 3 a koeficiet špičatosti (kurtosis) A 4 = s 4 (x i x) 3 (x i x) 4 3 Pro data, která jsou rozložea symetricky kolem hodoty x je A 3 = 0. Hodoty A 3 blízké ule odpovídají rozděleí, které se blíží symetrickému. Je-li A 3 > 0, pak je rozložeí dat sešikmeé vpravo, meší hodoty ež průměr x jsou k ěmu více ahuštěy ež hodoty větší. Pro A 3 < 0 je 3

17 rozděleí sešikmeé vlevo, větší hodoty jsou více ahuštěy k průměru ež hodoty ižší. Je-li A 4 blízké ule, říkáme, že jedá o soubor s ormálí špičatostí. Při A 4 < 0 mluvíme o souborech plochých a při A 4 > 0 mluvíme o souborech špičatých. Příklad: Uvedeme výpočty uváděých charakteristik pro soubor dat z tabulky Tab. 7.. Je x = 4 44 = 3, 43, R = 7 = 6 a s2 = 3, 565, s =, 875. Pro kvatily dostaeme: x 0 = x 2 =, x 90 = x 3 = 5, x 25 = x 4 = 2, x 50 = x 3 = 5, x 75 = x = 5. Mezikvartilové rozpětí IQR = x 75 x 25 = 5 2 = 3. Variačí koeficiet V = s, 875 = = 0, 597. x 3, 43 Sheppardovy korekce V případě výpočtů číselých charkteristik ze setříděého souboru opravujeme ěkteré výběrové momety, abychom potlačili vliv chyb, které vzikou při ahrazeí dat průměrem příslušé třídy. Ozačme: {x, x 2,..., x } původí datový soubor; {z, z 2,..., z k } setříděý soubor; j, j k absolutí četost j té třídy; p j = j, j k relativí četost j té třídy; h rozpětí třídy. Výběrové momety původího souboru M r = M r = x r i, r tý obecý momet; (x i x) r, r tý cetrálí momet; x = M = x i ; Výběrové momety setříděého souboru 32

18 m r = m r = k j= k j= z r j j = k j= Opraveé hodoty M = m = x; z r j p j, r tý obecý momet; (z j x) r j = k (z j x) r p j, r tý cetrálí momet; j= M 2 = m 2 h2 2, M 2 = m 2 h2 2 ; M 3 = m 3 h2 4 m, M 3 = m 3 ; M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h4 240, M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h Písmekové charakteristiky V ěkterých aplikacích se používají ozačeí charakteristik polohy a variability pomocí písme. Ozačujeme tak kvatily, které mají po řadě hodoty p = 2 a ěkteré veličiy, které charakterizují rozptýleí hodot souboru. M mediá x = x 0,5, tedy 0, 5 kvatil; F kvartily; F D dolí kvartil x 0,25 ; F H horí kvartil x 0,75 ; E oktily; E D dolí oktil, kvatil x /8 ; E H horí oktil, kvatil x 7/8 ; D sedecily; D D dolí sedecil, kvatil x /6 ; D H horí sedecil, kvatil x 5/6. R F = F H F D = IQR je mezikvartilové rozpětí. B D, B H vitří hradby souboru, kde B D = F D, 5R F, B H = F H +, 5R F. Pozameejme, že pro ormovaé ormálí rozděleí N(0; ) je B H B D 4, 2 a P (X < B D X > B H ) =. 0, 04. (I D, I H ) iterval spolehlivosti pro mediá, kde I D = M,57R F a I H = M +,57R F, přičemž je počet prvků v souboru Grafická zázorěí I. Graf dat x () B D F D M F H B H x () 33

19 Obr. 7.2 II. Krabicový graf Šířku obdélíka volíme úměrou hodotě x () B D B H x () M F D F H Obr. 7.3 III. Vrubový krabicový graf hodotě Šířku obdélíka volíme úměrou x () B D B H x () M F D I D I H F H Obr. 7.4 Krabicové grafy jsou vhodé pro porváí dvojice souborů, kdy případé rozdíly jsou okamžitě patré z rozměrů krabic. IV. Histogram V. Graf polosum k testováí symetrie. Na osu x vyášíme hodoty x(i) a a osu y hodoty polosum y i = 2 (x (i) + x (+ i) ). Pro symetrické rozděleí leží body kolem přímky y = M. VI. Kvatil=kvatilový Q Q graf je grafem kvatilové fukce. Na osu x vyášíme hodoty P i kvatilů Q(P i ), P i = i + a a osu y hodoty y = x (i). VII. Pravděpodobostí P P graf je grafem distribučí fukce. Na osu x vyášíme hodoty x (i) a a osu y hodoty P i = i +. Oba grafy slouží k testováí shody rozděleí, kde porováváme průběhy pro dva soubory. Používáme je ve dvojici, kdy využíváme toho, že 34

20 Q Q graf je citlivější a chyby v okrajových datech souboru a P P graf je aopak citlivý a chyby v okolí mediáu. VIII. Rakitový graf je kvatilový Q Q graf, ve kterém porováváme rozděleí s ormálím rozděleím. Na osu x vyášíme P i kvatil x Pi ormálího rozděleí a a osu y hodoty y = x(i). Parametry příslušéo ormálího rozděleí odhademe pomocí hodot ˆµ = M, ˆσ = 3 4 (F H F D ). Odpovídající kvatily určíme pomocí vzorců ( ) ( x(i) ˆµ U i = Φ, x Pi = Φ ˆσ 2 (U i + U i+ ) V případě ormálího rozděleí leží body a přímce. ), U 0 = 0, U + =. 7.. Vícerozměré soubory Sledujeme-li dva zaky, pak soubor dat má charakter uspořádaých dvojic {(x i, y i ), i }. Prví otázkou, kterou obvykle řešíme je popis závislosti prvího a druhého zaku. Jako charakteristiku polohy volíme dvojici (x, y). Za charakteristiku variability obvykle volíme směrodaté odchylky s x, s y. Jako míru statistické závislosti volíme koeficiet korelace Koeficiet korelace (covariace, coefficiet of variatio) r xy dvou souborů {x i } a {y i }, i je defiová vztahem r xy = (x i x)(y i y) s x.s y Vlastosti ( koeficietu korelace ) a) r xy = ( x iy i ) xy /(s x.s y ); b) r xy = r yx ; r xx = ; c) r xy ; d) pro y i = ax i + b je r xy = sga. e) r xy = ± y = ax + b. Důkaz: a) Pro čitatel zlomku dostaeme (x i x)(y i y) = (x i y i x i y xy i + xy) = (x i y i xy). 35

21 Odtud dostaeme odvozovaý vzorec. b) Tvrzeí jsou zřejmá. c) Z Cauchyovy erovosti dostaeme (x i x)(y i y) 2 (x i x) 2. (y i y) 2 = 2 s 2 x.s 2 y a odtud plye příslušé tvrzeí. d) Pro soubor y = ax + b je podle: s y = a s x a y = ax + b. Dále je x i y i = x i (ax i + b) = a x i y i + bx. Je tedy r xy = ( a (x i) 2 (x) 2 a s x.s x ) + bx bx = a a = sga. Druhá část tvrzeí plye z Cauchyovy erovosti, kde rovost astává pouze v případě, že y i y = a(x i x), tedy pro y i = ax i + b. Vztah ve dvojici (x i, y i ), který jsme použili lze jedoduše graficky zázorit. Do roviy vyeseme body o souřadicích (x i x, y i y). Závislost podobá lieárí závislosti y = ax+b se projeví tak, že kladé hodotě x bude odpovídat kladá hodota y a záporé hodotě x záporá hodota y pro a > 0. V obrázku je to oblast I, která odpovídá kladým hodotám čitatele ve vzorci pro koeficiet korelace. Čím budou body bliže přímce y = ax, tím bude hodota r xy blíže. Pro a < 0 bude závislost opačá, body ležet v oblasti II a hodota bude bližší. V případě ezávislosti hodot x a y budou body rozmístěy rovoměrě v obou částech I i II a hodota koeficietu korelace bude blízká ule, záporé a kladé hodoty v součtu se vyrovají. II y I I II x Obr

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu

ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUCÍ HODNOTY. Závislost úroku na době splatnosti kapitálu ÚROKVÁ SAZBA A VÝPOČET BUDOUÍ HODNOTY. Typy a druhy úročeí, budoucí hodota ivestice Úrok - odměa za získáí úvěru (cea za službu peěz) Ročí úroková sazba (míra)(i) úrok v % z hodoty kapitálu za časové období

Více

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS.

1) Vypočtěte ideální poměr rozdělení brzdných sil na nápravy dvounápravového vozidla bez ABS. Dopraví stroje a zařízeí odborý zálad AR 04/05 Idetifiačí číslo: Počet otáze: 6 Čas : 60 miut Počet bodů Hodoceí OTÁZKY: ) Vypočtěte eálí poměr rozděleí brzdých sil a ápravy dvouápravového vozla bez ABS.

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY

ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY ZÁKLADY DISKRÉTNÍ MATEMATIKY Michael Kubesa Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská

Více

9.1.13 Permutace s opakováním

9.1.13 Permutace s opakováním 93 Permutace s opakováím Předpoklady: 906, 9 Pedagogická pozámka: Obsah hodiy přesahuje 45 miut, pokud emáte k dispozici další půlhodiu, musíte žáky echat projít posledí dva příklady doma Př : Urči kolik

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta C) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/ a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata C) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová

Máme dotazníky. A co dál? Martina Litschmannová Máme dotazíy. A co dál? Martia Litschmaová. Úvod S dotazíy se setáváme běžě. Vídáme je v oviách, v časopisech, jsou součásti evaluačích zpráv (sebehodoceí šol, ), výzumých zpráv, Využívají se v sociologii,

Více

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ

AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ČÁST JAR-OPS 3 AMC/IEM J - HMOTNOST A VYVÁŽENÍ ACJ OPS 3.605 Hodoty hmotostí Viz JAR-OPS 3.605 V souladu s ICAO Ae 5 a s meziárodí soustavou jedotek SI, skutečé a omezující hmotosti vrtulíků, užitečé zatížeí

Více

Zobrazení čísel v počítači

Zobrazení čísel v počítači Zobraeí ísel v poítai, áklady algoritmiace Ig. Michala Kotlíková Straa 1 (celkem 10) Def.. 1 slabika = 1 byte = 8 bitů 1 bit = 0 ebo 1 (ve dvojkové soustavě) Zobraeí celých ísel Zobraeí ísel v poítai Ke

Více

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH

TECHNICKÝ AUDIT VODÁRENSKÝCH DISTRIBUČNÍCH ECHNICKÝ AUDI VODÁRENSKÝCH DISRIBUČNÍCH SYSÉMŮ Ig. Ladislav uhovčák, CSc. 1), Ig. omáš Kučera 1), Ig. Miroslav Svoboda 1), Ig. Miroslav Šebesta 2) 1) 2) Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta stavebí, Ústav

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2

Statistika jako obor. Statistika. Popisná statistika. Matematická statistika TEORIE K MV2 Statistika jako obor Statistika Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů hromadného charakteru. Tím se myslí to, že zkoumaný jev musí příslušet určité části velkého množství objektů (lidí,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online

PRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA RVDĚODONOST STTISTIK Gymázium Jiřího Wolkera v rostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymázia utoři projektu Studet a prahu. století - využití ICT ve vyučováí matematiky a gymáziu Teto projekt

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK)

Systém intralaboratorní kontroly kvality v klinické laboratoři (SIKK) Systém itralaboratorí kotroly kvality v kliické laboratoři (SIKK) Doporučeí výboru České společosti kliické biochemie ČLS JEP Obsah: 1. Volba systému... 2 2. Prováděí kotroly... 3 3. Dokumetace výsledků

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2

Předpoklad o normalitě rozdělení je zamítnut, protože hodnota testovacího kritéria χ exp je vyšší než tabulkový 2 Na úloze ukážeme postup analýzy velkého výběru s odlehlými prvky pro určení typu rozdělení koncentrace kyseliny močové u 50 dárců krve. Jaká je míra polohy a rozptýlení uvedeného výběru? Z grafických diagnostik

Více

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla

Petr Otipka Vladislav Šmajstrla VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Petr Otipka Vladislav Šmajstrla Vytv ořeo v rámci projektu Operačího programu Rozv oje lidských zdrojů CZ.04..03/3..5./006

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla

FYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla

Více

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení

2 Zpracování naměřených dat. 2.1 Gaussův zákon chyb. 2.2 Náhodná veličina a její rozdělení 2 Zpracování naměřených dat Důležitou součástí každé experimentální práce je statistické zpracování naměřených dat. V této krátké kapitole se budeme věnovat určení intervalů spolehlivosti získaných výsledků

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh:

PRACOVNÍ SEŠIT POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA. 5. tematický okruh: Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT 5. temtický okruh: POSLOUPNOSTI A FINANČNÍ MATEMATIKA vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z

Více

Makroekonomie cvičení 1

Makroekonomie cvičení 1 Makroekoomie cvičeí 1 D = poptávka. S = Nabídka. Q = Možství. P = Cea. Q* = Rovovážé možství (Q E ). P* = Rovovážá caa (P E ). L = Práce. K = Kapitál. C = Spotřeba domácosti. LR = Dlouhé období. SR = Krátké

Více

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY.

OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. OPTIMALIZACE AKTIVIT SYSTÉMU PRO URČENÍ PODÍLU NA VYTÁPĚNÍ A SPOTŘEBĚ VODY. Ig.Karel Hoder, ÚAMT-VUT Bro. 1.Úvod Optimálí rozděleí ákladů a vytápěí bytového domu mezi uživatele bytů v domě stále podléhá

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií

Využití Markovových řetězců pro predikování pohybu cen akcií Využití Markovových řetězců pro predikováí pohybu ce akcií Mila Svoboda Tredy v podikáí, 4(2) 63-70 The Author(s) 2014 ISSN 1805-0603 Publisher: UWB i Pilse http://www.fek.zcu.cz/tvp/ Úvod K vybudováí

Více

Základní pojmy kombinatoriky

Základní pojmy kombinatoriky Základí pojy kobiatoriky Začee příklade Příklad Máe rozesadit lidí kole kulatého stolu tak, aby dva z ich, osoby A a B, eseděly vedle sebe Kolika způsoby to lze učiit? Pro získáí odpovědi budee potřebovat

Více

Statistika pro gymnázia

Statistika pro gymnázia Statistika pro gymnázia Pracovní verze učebního textu ZÁKLADNÍ POJMY Statistika zkoumá jevy (společenské, přírodní, technické) ve velkých statistických souborech. Prvky statistických souborů se nazývají

Více

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová

Matematicko-fyzikální fakulta Univerzita Karlova. Diplomová práce. Renata Sikorová Matematicko-fyzikálí fakulta Uiverzita Karlova Diplomová práce e Reata Sikorová Obor: Učitelství matematika - fyzika Katedra didaktiky matematiky Vedoucí práce: RNDr. Jiří Kottas, CSc. i Prohlašuji, že

Více

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu

Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu Mgr. Karla Hrbáčková, Ph.D. Základy kvantitativního výzkumu K čemu slouží statistika Popisuje velké soubory dat pomocí charakteristických čísel (popisná statistika). Hledá skryté zákonitosti v souborech

Více

Carl Friedrich Gauss

Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss F. KOUTNÝ, Zlí (. 4. 777.. 855) Každé vyprávěí o ěkom, kdo žil dávo, je utě je kompilací prameů a odkazů, které v ejlepším případě pocházejí od jeho pamětíků. Rámec tohoto textu tvoří

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11.

UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu. Aplikace STAT1. Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 3. 11. UNIVERZITA OBRANY Fakulta ekonomiky a managementu Aplikace STAT1 Výsledek řešení projektu PRO HORR2011 a PRO GRAM2011 Jiří Neubauer, Marek Sedlačík, Oldřich Kříž 3. 11. 2012 Popis a návod k použití aplikace

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení.

Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. @083 6 Polynomické funkce Poznámka: V kurzu rovnice ostatní podrobně probíráme polynomické rovnice a jejich řešení. Definice: Polynomická funkce n-tého stupně (n N) je dána předpisem n n 1 2 f : y a x

Více

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR

10.2 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty Artmetcý průměr vážeý ze tříděí Aleš Drobí straa 0 VÁŽENÝ ARITMETICKÝ PRŮMĚR Výzam a užtí vážeého artmetcého průměru uážeme a ásledujících příladech Přílad 0 Ve frmě Gama Blatá máme soubor

Více

Fourierova transformace ve zpracování obrazů

Fourierova transformace ve zpracování obrazů Fourierova trasformace ve zpracováí obrazů Jea Baptiste Joseph Fourier 768-83 6. předáška předmětu Zpracováí obrazů Martia Mudrová 24 Motivace Proč používat Fourierovu trasformaci? základí matematický

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu

5. Výpočty s využitím vztahů mezi stavovými veličinami ideálního plynu . ýpočty s využití vztahů ezi stavovýi veličiai ideálího plyu Ze zkušeosti víe, že obje plyu - a rozdíl od objeu pevé látky ebo kapaliy - je vyeze prostore, v ěž je ply uzavře. Přítoost plyu v ádobě se

Více

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava

Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Jak nelhat se statistikou? Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava Co je to statistika? teoretická disciplína, která se zabývá metodami sběru a analýzy dat Jak získat data?

Více

Písemná práce k modulu Statistika

Písemná práce k modulu Statistika The Nottingham Trent University B.I.B.S., a. s. Brno BA (Hons) in Business Management Písemná práce k modulu Statistika Číslo zadání: 144 Autor: Zdeněk Fekar Ročník: II., 2005/2006 1 Prohlašuji, že jsem

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY

ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY ZÁKLADNÍ ICHTYOLOGICKÉ METODY Určováí věku a staoveí růstu ryb Ryby jsou poikilotermí obratlovci, u ichž jsou všechy biologické fukce zásadím způsobem ovlivňováy teplotou vody. To platí v plém rozsahu

Více

Průzkumová analýza dat

Průzkumová analýza dat Průzkumová analýza dat Proč zkoumat data? Základ průzkumové analýzy dat položil John Tukey ve svém díle Exploratory Data Analysis (odtud zkratka EDA). Často se stává, že data, se kterými pracujeme, se

Více

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech.

přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých tendencích a souvislostech. 3 Grafické zpracování dat Grafické znázorňování je velmi účinný způsob, jak prezentovat statistické údaje. Grafy nejsou tak přesné jako tabulky, ale rychle a lépe mohou poskytnou názornou představu o důležitých

Více

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ

STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Prof. Ig. Albert Bradáč, DrSc. STUDIE METODIKY ZNALECKÉHO VÝPOČTU EKONOMICKÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU A NĚKTERÝCH PRINCIPŮ PŘI STANOVENÍ OBVYKLÉHO NÁJEMNÉHO Z BYTU. ČÁST 2 OBVYKLÉ NÁJEMNÉ Příspěvek vazuje publikovaý

Více

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky

Laboratorní práce č. 4: Úlohy z paprskové optiky Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 4. ročík šestiletého a. ročík čtyřletého studia Laboratorí práce č. 4: Úlohy z paprskoé optiky G Gymázium Hraice Přírodí ědy moderě a iteraktiě FYZKA 3. ročík šestiletého

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman ASYNCHRONNÍ STROJE Obsah. Pricip čiosti asychroího motoru. Náhradí schéma asychroího motoru. Výko a momet asychroího motoru 4. Spouštěí trojfázových asychroích motorů 5. Řízeí otáček asychroích motorů

Více

Modul Základní statistika

Modul Základní statistika Modul Základní statistika Menu: QCExpert Základní statistika Základní statistika slouží k předběžné analýze a diagnostice dat, testování předpokladů (vlastností dat), jejichž splnění je nutné pro použití

Více

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce

Posloupnosti na střední škole Bakalářská práce MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které

Více

Pojem a úkoly statistiky

Pojem a úkoly statistiky Katedra ekonometrie FVL UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Pojem a úkoly statistiky Statistika je věda, která se zabývá získáváním, zpracováním a analýzou dat pro potřeby

Více

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat

Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Všechno, co jste kdy chtěli vědět o maticích, ale báli jste se zeptat Čtvercová matice n n, např. může reprezentovat: A = A A 2 A 3 A 2 A 22 A 23 A 3 A 32 A 33 matici koeficientů soustavy n lineárních

Více

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad

Časová hodnota peněz. Metody vyhodnocení efektivnosti investic. Příklad Metody vyhodoceí efektvost vestc Časová hodota peěz Metody vyhodoceí Časová hodota peěz Prostředky, které máme k dspozc v současost mají vyšší hodotu ež prostředky, které budeme mít k dspozc v budoucost.

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy

3. Celistvé výrazy a jejich úprava 3.1. Číselné výrazy . Celistvé výrazy a jejich úprava.1. Číselné výrazy 8. ročník. Celistvé výrazy a jejich úprava Proměnná je znak, zpravidla ve tvaru písmene, který zastupuje čísla z dané množiny čísel. Většinou se setkáváme

Více