7. P o p i s n á s t a t i s t i k a

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "7. P o p i s n á s t a t i s t i k a"

Transkript

1 7. P o p i s á s t a t i s t i k a 7.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statistické jedotky. Sledujeme vlastosti statistických jedotek, které azýváme statistické zaky ebo stručěji veličiy (variable). Souhr zaků a veliči tvoří data. Při zkoumáí používáme dva základí druhy statistiky, popisou statistiku (describe statistics) a iterferečí statistiku. Popisá statistika zjišťuje a sumarizuje iformace, zpracovává je ve formě grafů a tabulek a vypočítává jejich číselé charakteristiky jako průměr, rozptyl percetily, rozpětí a pod. Iterferečí statistika čií závěry a základě dat získaých z šetřeí provedeých pro vybraý soubor respodetů. Aalyzuje tyto závěry a predikuje z ich závěr pro celý soubor. (Volebí průzkum, průzkum trhu a pod.) Při statistickém šetřeí máme k dispozici: - základí soubor je soubor všech statistických jedotek; - výběrový soubor je vybraá část ze základího souboru. Rozsah základího (výběrového) souboru je počet jedotek v souboru. Při vytvářeí souboru jedotek provádíme výběr ve tvaru prostého áhodého výběru Defiice: Prostý áhodý výběr (simple radom sample) je áhodý výběr ze základího souboru vytvořeý tak, že každá statistická jedotka ze základího souboru má stejou pravděpodobost, že bude vybráa. Pokud je možé vybrat tutéž jedotku zova, mluvíme o výběru s vraceím, pokud opakovaý výběr eí možý jedá se o výběr bez vraceí. Pozámka: Jié metody používají defiovaý způsob výběru, který je popsá zadaým algoritmem. Využívá se především vytvářeí výběru s meším rozsahem, který podchycuje zákoitosti obsažeé v rozsáhlejším výběru. V dalším se budeme zabývat popisou statistikou. 6

2 Popisá statistika Vlastosti, které se pro jedotlivé jedotky měí azýváme veličiami, případě statistickými zaky ebo proměými (variable). Vyskytují se veličiy - kvatitativí, popsaé číselou hodotou (výška, váha, cea); - kvalitativí, popsaé vlastostmi (muž, žea, barva očí, dosažeé vzděláí). Kvatitativí veličiy mohou být diskrétí (discrete), abývající hodot ze zadaé koečé možiy, ebo spojité (cotiuous), které abývají hodot ze zadaého itervalu. Pozorovaím ebo měřeím hodot zkoumaé veličiy a ěkolika statistických jedotkách získáme vstupí data. Soubor těchto údajů azýváme datový soubor. Teto soubor je jedorozměrý, jestliže sledujeme jede zak, ebo vícerozměrý (multistage radom sample), pokud sledujeme více zaků. Při zpracováí jedorozměrého datového souboru kvatitativích dat x, x 2,..., x potřebujeme pro ěkterá šetřeí data uspořádat podle velikosti. Dostaeme pak uspořádaý datový soubor tvaru x () x (2)... x (), kde x () = mi{x i ; i } a x () = max{x i ; i }. Metody zpracovaí dat 7.3. Tříděí dat je rozděleí dat do skupi provedeé tak, aby vyikly charakteristické vlastosti sledovaých jevů. Uspořádáme a zhustíme data do přehledější formy. Rozezáváme - jedostupňové tříděí, jestliže třídíme data podle změ jedoho statistického zaku; - vícestupňové tříděí, pokud provádíme tříděí podle více zaků ajedou. Nejčastěji při jedostupňovém tříděí kvatitativích dat uspořádáme data podle velikosti a staovíme itervaly, které odpovídají jedotlivým třídám. Mluvíme pak o itervalovém tříděí. Máme-li datový soubor {x, x 2,..., x }, který obsahuje celkem dat, pak iterval mezi ejvětší a ejmeší hodotou rozdělíme a k disjuktích itervalů, tříd (classes), tvaru (a i, a i, i k. Potom prvek 7

3 x j patří do i té třídy, pokud je a i < x j a i. Používáme ásledujících termíů a ozačeí: - třída (class) je část dat z itervalu (a i, a i ; - dolí hraice třídy (lower class limit) je hodota a i ; - horí hraice třídy (upper class limit) je hodota a i ; - střed třídy (class mark) je průměr horí a dolí hraice třídy, tedy y i = 2 (a i + a i ); - šířka třídy (class width) je rozdíl horí a dolí hraice třídy, tedy hodota a i a i ; - (absolutí) četost třídy (frequecy) i je počet prvků souboru, které patří do i té třídy; - relativí četost (relative frequecy) p i = i je poměr četosti třídy ku celkovému počtu dat; - kumulativí (absolutí) četost (cumulative frequecy) N i = i je součet četosti třídy a četostí tříd předchozích; - kumulativí relativí četost (cumulative relative frequecy) P i = p + p p i je součet relativí četosti třídy a relativích četostí tříd předchozích. Potom platí: k i =, k p i =, i j= j = N i, i j= p j = P i, N k =, P k =. Při staoveí hraic tříd obvykle zachováváme tato dvě pravidla: - šířku třídy h volíme pro všechy itervaly shodou, s vyjímkou krajích tříd pokud tvoří eomezeé itervaly: - při staoveí šířky třídy h dodržujeme Sturgesovo pravidlo, kdy pro počet tříd k platí, že k. = + 3, 3 log. V tabulce jsou uvedey počty tříd pro ěkteré hodoty rozsahů souboru k pokud jsou krají itervaly děleí eomezeé, pak za střed prví, resp. posledí třídy volíme bod, který má od koečého krajího bodu třídy stejou vzdáleost jakou má od středu sousedí třídy. Při tříděí kvalitativích dat postupujeme obdobě. Jeom místo itervalu tvoří třídu prvky, které mají stejý zak, ebo skupiu zaků. 8

4 7.4. Grafická zázorěí Pro větší ázorost požíváme místo tabulek zázorěí datového souboru pomocí grafů. Používá se ěkolika typů. Histogram (histogram) je graf kdy a vodorovou osu zázoríme třídy a a svislou osu četosti či relativí četosti. Často se používá ve tvaru, kdy se hodota odpovídající třídě zázorí jako sloupec s itervalem třídy jako základou a výška je dáa četostí. Polygo četostí a relativích četostí je graf, kdy úsečkami spojíme body (y i, i ), resp. (y i, p i ). Bodový graf (dot diagram) dostaeme tak, že a vodorovou osu vyeseme třídy jako body i, i k, a ve svislém směru vyášíme jedotlivé prvky třídy zázorěé jako jedotlivé body (i, j), j =, 2,... i. Sloupkový graf je podobý histogramu, ale sloupce bývají odděleé, mají stejou šířku a každý sloupec odpovídá jedé třídě. Používáme je předeším u kvalitativích dat. Kruhový (výsečový) diagram (pie chart) je zázorěí pomocí výsečí kruhu, kde každé třídě odpovídá jeda výseč. Velikosti obsahů výsečí odpovídají četostem třídy. Stem-ad-Leaf diagram je uspořádáí dat do tabulky, kdy prví sloupec -stem=stoek odpovídá třídě a do řádku -leaf=list vypisujeme prvky třídy. Pokud tyto prvky uspořádáme podle velikosti mluvíme o uspořádaém diagramu. Krabicový ebo vrubový krabicový graf (box or whiskers plot) zázorňuje výzačé a extrémí hodoty souboru Příklad: Ze 7 možých výsledků jsme dostali datový soubor o 4 datech i x i Tab. 7.. Datům odpovídá tabulka četostí Tab. 7.2 a bodový graf a obrázku Obr

5 třída četost i Tab Obr. 7.. Polygo četostí k Tab 7.2. Histogram četostí k Tab i i Obr Obr Sloupkový graf k tabulce Tab i Obr Řada vlastostí datového souboru se dá vyčíst z tvaru histograu či polygou četostí. Ty odpovídají grafu hustoty u rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy. Rozlišuje se ěkolik charakteristických průběhů těchto grafů. - souměrý ve tvaru zvou, trojúhelíku či rovoměrý; - esouměré ve tvaru J, obráceého J, vpravo či vlevo protažeé; - podle počtu vrcholů jedo-, dvou-, či vícevrcholové (uimodal, bimodal, multimodal) Charakteristiky (míry) polohy. Nejzámější a ejčastěji používaou charakteristkou polohy je aritmetický průměr hodot souboru. 20

6 Průměr (mea, sample mea) datového souboru {x, x 2,..., x } je defiová vztahem x = x k. Pokud jsou {z, z k,..., z m } růzé hodoty souboru s četostmi j, j =, 2,..., m, a s relativími četostmi p j, pak k= x = m j= z j j = m j= z j p j. Věta. Vlastosti průměru Pro průměr datového souboru platí:. Součet odchylek hodot souboru od průměru je rove ule, t.j. (x i x) = Přičteme-li k hodotám souboru kostatu a, pak průměr ového souboru {y i = x i + a} je y = (x i + a) = x + a. 3. Násobíme-li hodoty souboru číslem b, ásobí se průměr také b, eboť pro soubor {y i = bx i } je y = bx i = bx. Pokud soubor {x 0, x,..., x } tvoří data, která odpovídají časové řadě sledující tred vývoje, pak jako charakteristiku polohy používáme průměrý přírůstek. Zavádíme jej jako průměr y souboru {y i = x i x 0, i }. Je pak y = x (x i x 0 ) = (x x 0 ). Mediá (media). Průměr datového souboru je citlivý a hrubé chyby, kdy jeda chybá hodota může výrazě změit hodotu průměru. Proto ěkdy používáme robustích charakteristik, které jsou méě citlivé a zadáí chybé hodoty. Mezi ě patří mediá (media) x, který je pro datový soubor x, x 2,... x defiová vztahem x = 2 x (m), pro = 2m, ( ) x(m) + x (m+), pro = 2m. Hodoty mediáů pro dva růzé typy rozsahů souborů zázoríme a obrázcích. 2

7 liché, = 5 x = x 3 x x 2 x 3 x 4 x 5 sudé, = 6 x = (x 3 + x 4 )/2 x x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 Obr mediá Obr mediá Používáme jej i v případech, kdy soubor obsahuje ěkterá extrémí data, tzv. odlehlá pozorováí. Ta se v hodotě mediáu výrazěji eprojeví a mediá tak lépe vystihuje průměr souboru. Další z robustích charakteristik je modus (mode) ˆx, který je defiová jako hodota souboru s ejvětší četostí, tedy ˆx = z j, j i, i m. Pozameejme, že modus emusí být jedozačě urče, může abývat ěkolika hodot. Používáme jej v případech, kdy ás zajímají špičkové hodoty souboru, apř. při sledováí dopraví zátěže v místě, počet cestujících v hromadé dopravě, spotřeba elektrické eergie během de a roku, či průtok řekou. Kvatily, kvartily, decily, percetily Pro podrobější popis rozděleí hodot datového souboru používáme kvatily (quatiles). Kvatil datového souboru rozděluje soubor a dvě části. V jedé jsou hodoty souboru, které jsou meší či ejvýše rovy kvatilu a ve druhé jsou hodoty větší ež kvatil. Defiujeme pro p, 0 < p <, p kvatil, resp. 00p%kvatil, (quatile) jako tu hodotu x 00p ze souboru {x, x 2,..., x }, pro kterou je přibližě 00p% hodot ze souboru meších a 00( p)% hodot je větších ež x 00p. Nejjemější používaé rozděleí souboru je pomocí percetilů (percetile) x, x 2,..., x 99. Často se využívají decily (deciles) x 0,..., x 90. Speciálí ázvy mají kvatily: - x 50 je mediá (media); - x 25 dolí kvartil (lower quartile); - x 75 horí kvartil (upper quartile). Jako mezikvartilové rozpětí IQR (iterquartile rage) se defiuje rozdíl IQR = x 75 x 25. Jsou-li x () x (2)... x () hodoty souboru uspořádaé podle 22

8 velikosti pak p kvatil, resp. 00p% kvatil určíme podle vzorce x 00p = x ([p]+), pokud p eí celé číslo, 2 (x (p) + x (p)+ ) pro p celé, kde [p] je celá část čísla, tedy celé číslo, které je ejbližší meší. Při větších rozdílech mezi jedotlivými daty používáme pro přesější vymezeí kvatilů lieárí aproximace mezi sousedími hodotami. Závěr modus sado se ajde, má ale miimálí vypovídací hodotu: mediá určuje střed souboru a je méě citlivý a chyby; průměr zohledňuje všechy hodoty, ale je citlivý a chyby. Usekuté průměry Je-li x () x (2)... x () uspořádaý výběr, pak pro číslo 0 < α < 0, 5 azýváme hodotu x α = 2[α] [α] i=[α]+ x (i) α-usekutým průměrem (alpha-trimmed mea). Hodotu x αw = [α] i=[α]+ ( [α]x([α]) + x (i) + [α]x ( [α]+) ) azýváme α-wisorizovaý průměr (α-wisored mea). Symbol [α] ozačuje ejvětší celé číslo k, pro které je k α. Jié průměrové charakteristiky polohy. Pro soubory kladých dat používáme také jié průměry. Jsou to: Geometrický průměr (geometric mea) x G, který je pro soubor x, x 2,..., x kladých dat defiová vztahem x G = x x 2... x. Takový charakter mají apř. hodoty, které zachycují časový vývoj, apř. v ekoomice růst produkce, či ce, přírůstek počtu obyvatel a pod. Je-li časový vývoj popsá hodotami souboru {x 0, x,..., x }, pak položíme z k = x k x k, k a hodoty z k vyjadřují poměrý přírůstek 23

9 během zvoleého úseku sledovaého období. Průměrý přírůstek za celé období je pak dá hodotou x z G = z.z 2... z =. x 0 Vlastosti geometrického průměru. Násobíme-li hodoty původího souboru číslem c, ásobí se týmž číslem i geometrický průměr. Pro logaritmus geometrického průměru platí: lx G = lx = Věta 2. Pro soubor s kladými daty je x G x lx i. a rovost astae jediě pro x = x 2 =... = x. Důkaz: Fukce f(x) = l x je kovexí a tedy pro x a h je Situaci zázoríme a obrázku f(x) f(h) + f (h)(x h). y y = y(x) + y (x)(x x) y = lx x x Obr Jestliže zvolíme x = x i a h = x, pak pro i platí erovice ( ) l x i l x + (x i x)f (x), i. Sečteím dostaeme erovici l x i l x + f (x) (x i x) = l x, 24

10 protože podle věty je tedy Dále je (x i x) = 0. l x G = l( x x 2... x ) = l x G l x x G x, l x i, eboť je fukce l x rostoucí. Rovost ve vztahu ( ) astae jediě pro x i = x, tedy pokud je x = x 2 =... = x. Harmoický průměr (harmoic mea) x H, který je pro soubor kladých dat defiová vztahem x H = x + x x Pozámka: Využívá se tam, kde má vypovídací hodotu převráceá hodota k původí. Nejčastěji je to v případech, kdy hodota x i odpovídá době uté k provedeí ějakého pracovího úkou. Převráceá hodota pak uvádí, jaká část pracovího úkou je splěa za jedotku času. Věta 3. Pro soubor s kladými daty je x H x G x, přičmž rovost astae pouze pro x = x 2 =... = x. Důkaz: Z defiice harmoického průměru vyplývá vztah x H = což je aritmetický průměr souboru x H = x x x x = i x i. { } x i. Podle věty 2 je ale Rovost platí pouze v případě, že x = x 2 =... = x. = x H x G. x x 2... x x G Kvadratický průměr (quadratic mea)x K je defiová vztahem x K = 25 x 2 i.

11 Věta 4. Je x x K a rovost platí pouze v případě, že x = x 2 =... x. Důkaz: Fukce f(x) = x 2 je kokáví a tedy je x 2 h 2 +f (h)(x h). Situace zázoríme a obrázku y y = y(x) + y (x)(x x) x y = x 2 x Obr Jestliže položíme x = x i a h = x, pak x 2 i (x) 2 + f (x)(x i x) x 2 i (x) 2 + f (x)(x i x) (x K ) 2 (x) 2 x K x. Rovost astae pouze pro x i = x, tedy pro x = x 2 =... = x. Věta 5. Pro soubory kladých dat je x () x H x G x x K x () a rovost astae pouze v případě, že x = x 2 =... = x Charakteristiky (míry) rozptýleosti. Rozpětí datového souboru (rage) je hodota R = x max x mi. Hodota se po uspořádáí souboru sado spočítá, ale její hodota je citlivá a zavlečeé chyby. Vychází pouze ze dvou hodot a igoruje iformaci z ostatích hodot souboru. V ěkterých případech proto používáme jako charakteristiku tohoto druhu hodotu x 90 x 0. Provedeme vlastě ořezáí souboru, když vyecháme hodoty meší ež x 0 a větší ež x 90, tedy 0% ejmeších a 0% ejvětších hodot.odstraíme tím vliv případých chybých hodot, které leží a hraicích souboru. Podobou charakteristikou je mezikvartilové rozpětí (iterquartile rage) IQR = x 75 x

12 Středí kvadratická odchylka (MSD) (mea of squared deviatio) je průměr čtverců odchylek od průměru a je defiová vztahem s 2 = (x i x) 2. Rozptyl (dispersio, variace) je defiová vzrcem S 2 = MSD = (x i x) 2 a směrodatá odchylka (stadard deviatio) S je odmociou z rozptylu. Věta 6. Vlastosti rozptylu a MSD a vzorce pro výpočet.. Je ( )S 2 = (x i x) 2 = x 2 i 2x x i + (x) 2 = = S 2 = x 2 i 2x x i + x x i = x 2 i (x) 2 x 2 i (x) 2, s 2 = x 2 (x) Je-li y i = bx i + a, i, pak s 2 y = b 2 s 2 x, s y = b s x ; S 2 y = b 2 S 2 x, S y = b S x Věta 7. Fukce S(α) = (x i α) 2 abývá svého miima s 2 pro α = x. Důkaz: Je S (α) = 2(x i α)( ) = 0 (x i α) = 0 x = α. Pro soubory, které obsahují velké možství dat je výhodější charakteristiky polohy a rozpětí odhadovat. Uvedeme ěkteré jedoduché odhady a o dalších pojedáme později. Pomocé tvrzeí (Cauchyova erovost): Pro tice čísel (a, a 2,..., a k ) a (b, b 2,..., b k ) je k a i b i 2 k a 2 k i b 2 i. 27

13 Jestliže iterpretujeme tice čísel jako aritmetické vektory v R k, pak lze uvedeou erovici přepsat do tvaru ( a. b) 2 a 2. b 2. Ta ale platí, eboť skalárí souči dvou vektorů je rove a. b = a. b. cos ( a, b). Protože je fukce kosius omezeá v absolutí hodotě jedičkou, uvedeá erovice platí. Ve vztahu platí rovost pouze v případě, že je kosius úhlu ulový a to astae, je-li b = α a, t.j. b i = αa i, i. Věta 8. Pro soubor x i, i platí max{ x i x ; i } s. Důkaz: Položme v tvrzeí pomocé věty a = (x x,..., x i x, x i+ x,..., x x) a b = (,,..., ). Potom je j i(x j x) Protože je 2 ( ) j i(x j x) 2 = ( ) j= j x) = 0 (x i x) = j=(x (x j x) j i tak z předchozí erovice vyplývá, že (x j x) 2 (x i x) 2 (x i x) 2 ( ) (x j x) 2 ( )(x i x) 2 (x i x) 2 j= j= (x j x) 2 = ( )s 2 =. ( )2 S 2 ( )S 2. Odmocěím získáme dokazovaou erovici. Tato erovice platí pro všechy hodoty idexu i, i, platí tedy i pro tu kde abývá fukce maximuma. Věta 9. Pro rozpětí souboru platí s 2 R2 4, S2 R2 4( ) tedy S R 2. 28

14 Důkaz: Ozačme m = 2 (x () + x () ). Je tedy x i m R 2, i. Fukce S(α) z věty 7 abývá svého miima pro α = x a tedy je s 2 = S(x) S(m) = (x i m) 2 R2 4. Ze vztahu S 2 = s2 dostaeme uvedeý odhad. Průměrá odchylka (mea of absolute deviatio) d a od bodu a je pro soubor dat x i defiováa vztahem d a = x i a. Nejčastěji se používá průměrá odchylka od aritmetického průměru x ebo mediáu x. K tomu ás vede ásledující vlastost. Věta 0. Fukce d a abývá svého miima pro mediá a = x. Důkaz: Je-li a < x (), pak je d a = (x i a) = x a, tedy d (a) = a tudíž je fukce d a klesající v itervalu (, x () ). Obdobě pro a > x () je d a = a x, tedy d (a) = a tudíž je fukce d a rostoucí v itervalu (x (), ). Nechť je x (j) < a < x (j+) pro ějaké j. Potom je Je tedy d a = x (i) ) + (a i=j+ (x (i) a). d (a) = 2j (j + ( j)( )) =. Derivace fukce d a je záporá a tedy fukce je klesající pro 2j < 0 a je kladá, tedy fukce je rostoucí, pro 2j > 0. Je-li = 2m + liché číslo, pak 2j < = 2m + j < m +, tedy fukce d a je klesající v itervalu (, x (m+) ) a 2j > 2m + j > m +, je tedy fukce d a rostoucí v itervalu (a (m+), ). Nabývá tedy svého miima v bodě x (m+) což je mediá x. Je-li = 2m sudé číslo, pak má fukce d a derivaci ulovou a tedy je kostatí v itervalu (x (m), x (m+) ). Hodota v tomto itervalu je její miimum a střed itervalu je mediá x. Situaci pro rozsahy,2 a 3 zázoríme a obrázcích, a kterých je patrá idea důkazu. 29

15 y x d a a y x x 2 d a a y Obr.7.9 Obr. 7.0 x x 2 x 3 d a a Obr.7. Pokud používáme jako charakteristiku polohy mediá x = x 0,5, pak místo směrodaté odchylky s používáme jako charakteristiku rozptylu mezikvartilové rozpětí IQR = x 0,75 x 0,25. V tomto itervalu leží 50% hodot souboru. Omezujeme tím vliv případých extrémích hodot, které mohou být zatížeé chybou. Pětičíselá charakteristika (five-umber summary)souboru je pětice čísel x mi, x 25, x 50, x 75, x max, a které jsou založey krabicové grafy. Relativí variabilita Můžeme také používat charakteristiky relativí variability, které jsou defiováy jako poměr směrodaté odchylky a ěkterého průměru. Nejčastěji se používá variačí koeficiet, který je defiová vztahem V = s x. Určuje ám jakou částí se podílí směrodatá odchylka a aritmetickém průměru dat. Je-li V > 0, 5 pak se jedá o esourodý soubor. Variačí 30

16 koeficiet má tyto vlastosti, které pro jedoduchost budeme uvažovat pro kladá data. Věta. Ozačme x soubor dat {x i }, i, bx = {bx i }, b > 0 a x ± a = {x i ± a}, a > 0. Potom pro variačí koeficiet V platí: a) V (bx) = V (x); b) V (x + a) < V (x); c) V (x + a) < V (x) < V (x a), 0 < a < x. Pozameejme, že s(bx) = bs(x), s(x + a) = s(x) a bx = bx, x + a = x + a. Odtud dostaeme, že V (bx) = s(bx) bx Dále je s(x + a) V (x + a) = x + a a obdobě pro 0 < a < x je V (x a) = s(x a) x a = bs(x) bx = V (x). = s(x) x + a < s(x) x = s(x) x a > s(x) x = V (x) = V (x). Jako aproximace se používá relativí kvartilová odchylka Q r je defiováa vztahem Q r = x 0,75 x 0,25 x 0,75 + x 0,25 Jié charakteristiky Koeficiet šikmosti (skewess) A 3 = s 3 a koeficiet špičatosti (kurtosis) A 4 = s 4 (x i x) 3 (x i x) 4 3 Pro data, která jsou rozložea symetricky kolem hodoty x je A 3 = 0. Hodoty A 3 blízké ule odpovídají rozděleí, které se blíží symetrickému. Je-li A 3 > 0, pak je rozložeí dat sešikmeé vpravo, meší hodoty ež průměr x jsou k ěmu více ahuštěy ež hodoty větší. Pro A 3 < 0 je 3

17 rozděleí sešikmeé vlevo, větší hodoty jsou více ahuštěy k průměru ež hodoty ižší. Je-li A 4 blízké ule, říkáme, že jedá o soubor s ormálí špičatostí. Při A 4 < 0 mluvíme o souborech plochých a při A 4 > 0 mluvíme o souborech špičatých. Příklad: Uvedeme výpočty uváděých charakteristik pro soubor dat z tabulky Tab. 7.. Je x = 4 44 = 3, 43, R = 7 = 6 a s2 = 3, 565, s =, 875. Pro kvatily dostaeme: x 0 = x 2 =, x 90 = x 3 = 5, x 25 = x 4 = 2, x 50 = x 3 = 5, x 75 = x = 5. Mezikvartilové rozpětí IQR = x 75 x 25 = 5 2 = 3. Variačí koeficiet V = s, 875 = = 0, 597. x 3, 43 Sheppardovy korekce V případě výpočtů číselých charkteristik ze setříděého souboru opravujeme ěkteré výběrové momety, abychom potlačili vliv chyb, které vzikou při ahrazeí dat průměrem příslušé třídy. Ozačme: {x, x 2,..., x } původí datový soubor; {z, z 2,..., z k } setříděý soubor; j, j k absolutí četost j té třídy; p j = j, j k relativí četost j té třídy; h rozpětí třídy. Výběrové momety původího souboru M r = M r = x r i, r tý obecý momet; (x i x) r, r tý cetrálí momet; x = M = x i ; Výběrové momety setříděého souboru 32

18 m r = m r = k j= k j= z r j j = k j= Opraveé hodoty M = m = x; z r j p j, r tý obecý momet; (z j x) r j = k (z j x) r p j, r tý cetrálí momet; j= M 2 = m 2 h2 2, M 2 = m 2 h2 2 ; M 3 = m 3 h2 4 m, M 3 = m 3 ; M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h4 240, M 4 = m 4 h2 2 m 2 + 7h Písmekové charakteristiky V ěkterých aplikacích se používají ozačeí charakteristik polohy a variability pomocí písme. Ozačujeme tak kvatily, které mají po řadě hodoty p = 2 a ěkteré veličiy, které charakterizují rozptýleí hodot souboru. M mediá x = x 0,5, tedy 0, 5 kvatil; F kvartily; F D dolí kvartil x 0,25 ; F H horí kvartil x 0,75 ; E oktily; E D dolí oktil, kvatil x /8 ; E H horí oktil, kvatil x 7/8 ; D sedecily; D D dolí sedecil, kvatil x /6 ; D H horí sedecil, kvatil x 5/6. R F = F H F D = IQR je mezikvartilové rozpětí. B D, B H vitří hradby souboru, kde B D = F D, 5R F, B H = F H +, 5R F. Pozameejme, že pro ormovaé ormálí rozděleí N(0; ) je B H B D 4, 2 a P (X < B D X > B H ) =. 0, 04. (I D, I H ) iterval spolehlivosti pro mediá, kde I D = M,57R F a I H = M +,57R F, přičemž je počet prvků v souboru Grafická zázorěí I. Graf dat x () B D F D M F H B H x () 33

19 Obr. 7.2 II. Krabicový graf Šířku obdélíka volíme úměrou hodotě x () B D B H x () M F D F H Obr. 7.3 III. Vrubový krabicový graf hodotě Šířku obdélíka volíme úměrou x () B D B H x () M F D I D I H F H Obr. 7.4 Krabicové grafy jsou vhodé pro porváí dvojice souborů, kdy případé rozdíly jsou okamžitě patré z rozměrů krabic. IV. Histogram V. Graf polosum k testováí symetrie. Na osu x vyášíme hodoty x(i) a a osu y hodoty polosum y i = 2 (x (i) + x (+ i) ). Pro symetrické rozděleí leží body kolem přímky y = M. VI. Kvatil=kvatilový Q Q graf je grafem kvatilové fukce. Na osu x vyášíme hodoty P i kvatilů Q(P i ), P i = i + a a osu y hodoty y = x (i). VII. Pravděpodobostí P P graf je grafem distribučí fukce. Na osu x vyášíme hodoty x (i) a a osu y hodoty P i = i +. Oba grafy slouží k testováí shody rozděleí, kde porováváme průběhy pro dva soubory. Používáme je ve dvojici, kdy využíváme toho, že 34

20 Q Q graf je citlivější a chyby v okrajových datech souboru a P P graf je aopak citlivý a chyby v okolí mediáu. VIII. Rakitový graf je kvatilový Q Q graf, ve kterém porováváme rozděleí s ormálím rozděleím. Na osu x vyášíme P i kvatil x Pi ormálího rozděleí a a osu y hodoty y = x(i). Parametry příslušéo ormálího rozděleí odhademe pomocí hodot ˆµ = M, ˆσ = 3 4 (F H F D ). Odpovídající kvatily určíme pomocí vzorců ( ) ( x(i) ˆµ U i = Φ, x Pi = Φ ˆσ 2 (U i + U i+ ) V případě ormálího rozděleí leží body a přímce. ), U 0 = 0, U + =. 7.. Vícerozměré soubory Sledujeme-li dva zaky, pak soubor dat má charakter uspořádaých dvojic {(x i, y i ), i }. Prví otázkou, kterou obvykle řešíme je popis závislosti prvího a druhého zaku. Jako charakteristiku polohy volíme dvojici (x, y). Za charakteristiku variability obvykle volíme směrodaté odchylky s x, s y. Jako míru statistické závislosti volíme koeficiet korelace Koeficiet korelace (covariace, coefficiet of variatio) r xy dvou souborů {x i } a {y i }, i je defiová vztahem r xy = (x i x)(y i y) s x.s y Vlastosti ( koeficietu korelace ) a) r xy = ( x iy i ) xy /(s x.s y ); b) r xy = r yx ; r xx = ; c) r xy ; d) pro y i = ax i + b je r xy = sga. e) r xy = ± y = ax + b. Důkaz: a) Pro čitatel zlomku dostaeme (x i x)(y i y) = (x i y i x i y xy i + xy) = (x i y i xy). 35

21 Odtud dostaeme odvozovaý vzorec. b) Tvrzeí jsou zřejmá. c) Z Cauchyovy erovosti dostaeme (x i x)(y i y) 2 (x i x) 2. (y i y) 2 = 2 s 2 x.s 2 y a odtud plye příslušé tvrzeí. d) Pro soubor y = ax + b je podle: s y = a s x a y = ax + b. Dále je x i y i = x i (ax i + b) = a x i y i + bx. Je tedy r xy = ( a (x i) 2 (x) 2 a s x.s x ) + bx bx = a a = sga. Druhá část tvrzeí plye z Cauchyovy erovosti, kde rovost astává pouze v případě, že y i y = a(x i x), tedy pro y i = ax i + b. Vztah ve dvojici (x i, y i ), který jsme použili lze jedoduše graficky zázorit. Do roviy vyeseme body o souřadicích (x i x, y i y). Závislost podobá lieárí závislosti y = ax+b se projeví tak, že kladé hodotě x bude odpovídat kladá hodota y a záporé hodotě x záporá hodota y pro a > 0. V obrázku je to oblast I, která odpovídá kladým hodotám čitatele ve vzorci pro koeficiet korelace. Čím budou body bliže přímce y = ax, tím bude hodota r xy blíže. Pro a < 0 bude závislost opačá, body ležet v oblasti II a hodota bude bližší. V případě ezávislosti hodot x a y budou body rozmístěy rovoměrě v obou částech I i II a hodota koeficietu korelace bude blízká ule, záporé a kladé hodoty v součtu se vyrovají. II y I I II x Obr

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications) Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla

Geometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.

MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D. MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu.

Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. 2. URČITÝ INTEGRÁL 2. Určitý itegrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se sezámili s pojmem eurčitý itegrál, který daé fukci přiřazoval opět fukci (přesěji možiu fukcí). V této kapitole se

Více

STATISTIKA. Základní pojmy

STATISTIKA. Základní pojmy Statistia /7 STATISTIKA Záladí pojmy Statisticý soubor oečá eprázdá možia M zoumaých objetů schromážděých a záladě toho, že mají jisté společé vlastosti záladí statisticý soubor soubor všech v daé situaci

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika)

Kvantová a statistická fyzika 2 (Termodynamika a statistická fyzika) Kvatová a statistická fyzika (Termodyamika a statistická fyzika) Boltzmaovo - Gibbsovo rozděleí - ilustračí příklad Pro ilustraci odvozeí rozděleí eergií v kaoickém asámblu uvažujme ásledující příklad.

Více

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN

OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Úloha obchodího cestujícího OKRUŽNÍ A ROZVOZNÍ ÚLOHY: OBCHODNÍ CESTUJÍCÍ. FORMULACE PŘI RESPEKTOVÁNÍ ČASOVÝCH OKEN Nejprve k pojmům používaým v okružích a rozvozích úlohách: HAMILTONŮV CYKLUS je typ cesty,

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má

Více

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum

Pravděpodobnost a statistika - absolutní minumum Pravděpodobost a statistika - absolutí miumum Jaromír Šrámek 4108, 1.LF, UK Obsah 1. Základy počtu pravděpodobosti 1.1 Defiice pravděpodobosti 1.2 Náhodé veličiy a jejich popis 1.3 Číselé charakteristiky

Více

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů.

Cvičení 3 - teorie. Teorie pravděpodobnosti vychází ze studia náhodných pokusů. Cvičeí 3 - teorie Téma: Teorie pravděpodobosti Teorie pravděpodobosti vychází ze studia áhodých pokusů. Náhodý pokus Proces, který při opakováí dává ze stejých podmíek rozdílé výsledky. Výsledek pokusu

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

Příklad statistické zpracování dat z dotazníku

Příklad statistické zpracování dat z dotazníku Příklad statistické zpracováí dat z dotazíku Proměá POČET ČLENŮ DOMÁCNOSTI - kardiálí, espojitá proměá, - otázka otevřeá. Frequecy Table for pocet_cleu_dom Value Frequecy Frequecy Frequecy Frequecy,3667,3667

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

8 Průzkumová analýza dat

8 Průzkumová analýza dat 8 Průzkumová aalýza dat Cílem průzkumové aalýzy dat (také zámé pod zkratkou EDA - z aglického ázvu exploratory data aalysis) je alezeí zvláštostí statistického chováí dat a ověřeí jejich předpokladů pro

Více

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ

3.1 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ 3 OBSAHY ROVINNÝCH ÚTVARŮ Představa obsahu roviého obrazce byla pro lidi důležitá od pradávých dob ať již se jedalo o velikost a přeměu polí či apříklad rozměry základů obydlí Úlohy a výpočet obsahu základích

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU

SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU SEMESTRÁLNÍ PRÁCE Z PŘEDMĚTU Matematické modelováí (KMA/MM Téma: Model pohybu mraveců Zdeěk Hazal (A8N18P, zhazal@sezam.cz 8/9 Obor: FAV-AVIN-FIS 1. ÚVOD Model byl převzat z kihy Spojité modely v biologii

Více

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů

Číslicové filtry. Použití : Analogové x číslicové filtry : Analogové. Číslicové: Separace signálů Restaurace signálů Číslicová filtrace Použití : Separace sigálů Restaurace sigálů Číslicové filtry Aalogové x číslicové filtry : Aalogové Číslicové: + levé + rychlé + velký dyamický rozsah (v amplitudě i frekveci) - evhodé

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Úvod do zpracování měření

Úvod do zpracování měření Laboratorí cvičeí ze Základů fyziky Fakulta techologická, UTB ve Zlíě Cvičeí č. Úvod do zpracováí měřeí Teorie chyb Opakujeme-li měřeí téže fyzikálí veličiy za stejých podmíek ěkolikrát za sebou, dostáváme

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv

Integrace hodnot Value-at-Risk lineárních subportfolií na bázi vícerozměrného normálního rozdělení výnosů aktiv 3. meziárodí koferece Řízeí a modelováí fiačích rizik Ostrava VŠB-U Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra Fiací 6.-7. září 006 tegrace hodot Value-at-Risk lieárích subportfolií a bázi vícerozměrého ormálího

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Zpracování náhodného výběru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Zpracování náhodného výběru popisná statistika Ing. Michal Dorda, Ph.D. Základní pojmy Úkolem statistiky je na základě vlastností výběrového souboru usuzovat o vlastnostech celé populace. Populace(základní

Více

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:

Laboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb: ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy

Více

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14

PříkladykecvičenízMMA ZS2013/14 PříkladykecvičeízMMA ZS203/4 (středa, M3, 9:50 :20) Pozámka( ):Pokudebudeuvedeojiakbudemevždypracovatsprostoryadtělesem T= R.Ve všech ostatích případech(tj. při T = C), bude těleso explicitě specifikováo.

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

Úvod do lineárního programování

Úvod do lineárního programování Úvod do lieárího programováí ) Defiice úlohy Jedá se o optimalizaí problémy které jsou popsáy soustavou lieárích rovic a erovic. Kritéria optimalizace jsou rovž lieárí. Promé v této úloze abývají reálých

Více

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz

Obsah. Opravy pro toto vydání: opravy2.proflakace.cz Obsah Úvod... 5 Základí pojmy... 7. Tříděí dat... 7. Míry úrově polohy... 8.3 Míry variability... 8 Počet pravděpodobosti.... Průik a sjedoceí jevů.... Náhodá veličia... 6.3 Rozděleí áhodé veličiy... 8

Více

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ

4 DOPADY ZPŮSOBŮ FINANCOVÁNÍ NA INVESTIČNÍ ROZHODOVÁNÍ 4 DOPADY ZPŮSOBŮ FACOVÁÍ A VESTČÍ ROZHODOVÁÍ 77 4. ČSTÁ SOUČASÁ HODOTA VČETĚ VLVU FLACE, CEOVÝCH ÁRŮSTŮ, DAÍ OPTMALZACE KAPTÁLOVÉ STRUKTURY Čistá současá hodota (et preset value) Jedá se o dyamickou metodu

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková

Střední průmyslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. 2. část. Ing. Danuše Mlčková Středí průmslová škola zeměměřická GEODETICKÉ VÝPOČTY. část Ig. Dauše Mlčková Úvod Tet avazuje a. část, je urče pro studet. až 4. ročíku středích průmslových škol se zaměřeí a geodézii. Jedá se o přepracovaou

Více

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie

Veterinární a farmaceutická univerzita Brno. Základy statistiky. pro studující veterinární medicíny a farmacie Veteriárí a farmaceutická uiverzita Bro Základy statistiky pro studující veteriárí medicíy a farmacie Doc. RNDr. Iveta Bedáňová, Ph.D. Prof. MVDr. Vladimír Večerek, CSc. Bro, 007 Obsah Úvod.... 5 1 Základí

Více

Měřící technika - MT úvod

Měřící technika - MT úvod Měřící techika - MT úvod Historie Už Galileo Galilei zavádí vědecký přístup k měřeí. Jeho výrok Měřit vše, co je měřitelé a co eí měřitelým učiit platí stále. - jedotá soustava jedotek fyz. veliči - símače

Více

Číselné charakteristiky a jejich výpočet

Číselné charakteristiky a jejich výpočet Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz charakteristiky polohy charakteristiky variability charakteristiky koncetrace charakteristiky polohy charakteristiky

Více

4.5.9 Vznik střídavého proudu

4.5.9 Vznik střídavého proudu 4.5.9 Vzik střídavého proudu Předpoklady: 4508 Miulá hodia: Pokud se v uzavřeém závitu měí magetický idukčí tok, idukuje se v ěm elektrické apětí =. Př. 1: Vodorově orietovaá smyčka se pohybuje rovoměrě

Více

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich.

5 Funkce. jsou si navzájem rovny právě tehdy, když se rovnají jejich. Fukce. Základí pojmy V kpt.. jsme mluvili o zobrazeí mezi možiami AB., Připomeňme, že se jedá o libovolý předpis, který každému prvku a A přiřadí ejvýše jede prvek b B. Jsou-li A, B číselé možiy, azýváme

Více

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1

Číselné řady. 1 m 1. 1 n a. m=2. n=1 Číselé řady Úvod U řad budeme řešit dva typy úloh: alezeí součtu a kovergeci. Nalezeí součtu (v případě, že řada koverguje) je obecě mohem těžší, elemetárě lze sečíst pouze ěkolik málo typů řad. Součet

Více

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model

pravděpodobnostn podobnostní jazykový model Pokročilé metody rozpozáváířeči Předáška 8 Rozpozáváí s velkými slovíky, pravděpodobost podobostí jazykový model Rozpozáváí s velkým slovíkem Úlohy zaměřeé a diktováíči přepis řeči vyžadují velké slovíky

Více

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu.

KVALIMETRIE. 16. Statistické metody v metrologii a analytické chemii. Miloslav Suchánek. Řešené příklady na CD-ROM v Excelu. KVALIMETRIE Miloslav Sucháek 16. Statistické metody v metrologii a aalytické chemii Řešeé příklady a CD-ROM v Excelu Eurachem ZAOSTŘENO NA ANALYTICKOU CHEMII V EVROPĚ Kvalimetrie 16 je zatím posledí z

Více

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT

2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT 2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic

Více

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k

35! n! n k! = n k k! n k! k! = n k Do školí jídely přišla skupia 35 žáků. Určete kolika způsoby se mohli seřadit do froty u výdeje obědů. Řešeí: Počet možostí je 1 2... 35=35! (Permutace bez opakováí) Permutací bez opakováí z -prvkové možiy

Více

Statistika. Poznámky z přednášek

Statistika. Poznámky z přednášek Statistika Pozámky z předášek Materiál obsahuje pozámky ze předášek plus to co se musíme doučit včetě ukázkových příkladů, které se objevily a předášce, ebo z aplikace etstorage. J.T. OBSAH Úvodí stráka

Více

Neparametrické metody

Neparametrické metody I. ÚVOD Neparametrické metody EuroMISE Cetrum v Neparametrické testy jsou založey a pořadových skórech, které reprezetují původí data v Data emusí utě splňovat určité předpoklady vyžadovaé u parametrických

Více

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM

ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Rožovský, J., Litschma, T. (ed): Semiář Extrémy počasí a podebí, Bro,. březa 4, ISBN 8-8669-2- Marie Budíková, Ladislav Budík Summary Aalysis of precipitatio maxima ANALÝZA SRÁŽKOVÝCH MAXIM Database of

Více

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY

Statistické metody ve veřejné správě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Statitické metody ve veřejé právě ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Ig. Václav Friedrich, Ph.D. 2013 1 Kapitola 2 Popi tatitických dat 2.1 Tabulka obahuje rozděleí pracovíků podle platových tříd: TARIF PLAT POČET TARIF

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test, varianta B) Přijímací řízeí pro akademický rok 24/5 a magisterský studijí program: PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test, variata B) Zde alepte své uiverzití číslo U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15

MĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15 VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test)

PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemný test) Přijímací řízeí pro akademický rok 2007/08 a magisterský studijí program: Zde alepte své uiverzití číslo PODNIKOVÁ EKONOMIKA A MANAGEMENT (2-letý) (písemý test) U každé otázky či podotázky v ásledujícím

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D.

veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Vybraná rozdělení spojitých náhodných veličin, deskriptivní statistika Ing. Michael Rost, Ph.D. Třídění Základním zpracováním dat je jejich třídění. Jde o uspořádání získaných dat, kde volba třídícího

Více