Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Co je to statistika? Statistické hodnocení výsledků zkoušek. Úvod statistické myšlení. Úvod statistické myšlení. Popisná statistika"

Transkript

1 Co e to statistika? Statistické hodoceí výsledků zkoušek Petr Misák Statistika e ako bikiy. Odhalí téměř vše, ale to edůležitěší ám zůstae skryto. (autor ezámý) Statistika uda e, má však ceé údae.. (Zdeěk Svěrák) Statistika e auka, která ám říká ak získat přesé iformace z epřesých čísel. (Ja Hedl) Nevěřím statistice, kterou sem sám ezfalšoval. (Podvržeý výrok Wistoa Churchilla rozšířil Joseph Goebbels.) Statistiky už máme atolik sofistikovaé, že z ich lze doložit prakticky cokoliv. (Ja Keller) Statistické myšleí bude edoho de pro zdatého občaa právě tak ezbyté, ako e schopost číst a psát. (H. G. Wells) Úvod statistické myšleí Jasé vymezeí problému, který má být řeše. Staoveí rozhoduící veličiy akostí vlastosti azpůsobu eího zišťováí. Zabezpečeí stálých podmíek při eím zišťováí. Uvědoměí si, že výsledky měřeí vykazuí istou (často e částečě odstraitelou) variabilitu. Vytvářeí podskupihomogeích výsledků, zahruících pouze áhodou promělivost. Respektovat áhodé odebíráíedotek do áhodých výběrů, tak aby každá edotka v souboru mělasteou pravděpodobost, že může být vybráa do výběru. Úvod statistické myšleí Studium ee celkové variability, ale i variability uvitř podskupi a variability mezi podskupiami (v čase). Prováděí dostatečého počtu pozorováí. Vážeí rizikchybých závěrů, čiěých a základě eúplé iformace z áhodých výběrů. Prezetováí datpřehledě, ve zhuštěé formě číselě, ebo graficky. Charakterizováí dat číselě, udáím polohya číselé ose a míry promělivosti variability. Uvědoměí si ee variability studovaé áhodé veličiy, ale i z í odvozeé variability vypočítaých statistik výběrových charakteristik. Úvod statistické myšleí Popisá statistika A B Iformace obsažeé ve velkém počtu dat se eví lidskému pozorovateli ako epřehledé. Úkolem popisé statistiky e tuto iformaci zhustit do saděi vímatelé formyrůzých tabulek, grafů, číselých a iých charakteristik. 1

2 Popisá statistika Popisá statistika Hromadé evy evy, které vzikaí za určitých podmíek opakovaě u velkého počtu prvků (statistických edotek) Příklad: sériová a hromadá výroba, výsledky laboratorích zkoušek, výsledky kotrol kvality, ekoomické výsledky, vlastosti lidí. Statistické edotky elemetárí edotky statistického pozorováí Příklad: zaměstaci v podiku, výrobky, poskytovaé služby, eshodé výrobky, stroe, zařízeí, měřidla, lidé, zvířata, věci, události. Statistický soubor možia všech statistických edotek, u ichž zkoumáme příslušé statistické zaky Jedorozměrý statistický soubor u každé statistické edotky zišťueme pouze ede statistický zak Vícerozměrý statistický soubor u každé statistické edotky zišťueme dva a více statistických zaků Základí soubor statistický soubor všech edotek, který e předmětem sledováí a o ěmž chceme provádět závěry Popisá statistika Popisá statistika Statistické zaky kvalitativí (sloví, kategoriálí) kvatitativí (číselé, umerické) meé (omiálí) měřitelé (kardiálí) pořadové (ordiálí) pořadové (ordiálí) spoité espoité (diskrétí) Statistické zkoumáí Statistické zkoumáí shromažďováí dat Statistické zkoumáí lze zpravidla rozdělit do tří etap: 1. shromažďováí dat(příprava a sběr). zpracováí dat 3. rozbor dat(vyhodoceí) 1. zadáí úkolu. volba edotky (zkušebí místo, část kostrukce, ) 3. vymezeí souboru (kterých edotek se zkoumáí týká) 4. určeí statistického zaku (rozměr, obem, hmotost, pevost v tlaku, ) 5. způsob měřeí (hodoceí) zaku (kvatitativí, kvalitativí, spoité, ) 6. sběr dat (kdo a akým způsobem data zišťue a evidue)

3 Statistické zkoumáí zpracováí dat 1. Výpočet popisé statistiky, ástroe matematické statistiky. Grafické zázorěí Grafy dávaí rychlou a přehledou představu edak o rozložeí dat uvitř souboru a edak o tredech (časová řada). Statistické zkoumáí popisá statistika Tříděí edorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem Uspořádáme data sledovaého kvatitativího zaku do rostoucí poslouposti. Ke každé variatě zaku přiřadíme počty příslušých edotek, které azýváme četosti. Hodoty zazameáme do tzv. tabulky četostí. Statistické zkoumáí popisá statistika Variata zaku i absolutí f i Četost relativí f i / Kumulativí četost absolutí F i relativí F i / 1 f 1 f 1 / F 1 = f 1 f 1 / f f / F = f 1 + f f 1 / + f / f f / Celkem k = 1 f = k = 1 f = 1 F = f = k = 1 k fk F = = 1 k = 1 Popisá statistika charakteristiky polohy Určuí umístěí souboru a číselé ose. výběr o rozsahu : 1,,..., Aritmetický (výběrový) průměr eroztříděý soubor 1 = i roztříděý soubor i = 1 1 * f = 1 = Popisá statistika charakteristiky polohy Mediá hodota kokrétí prostředí edotky statistického souboru uspořádáí podle velikosti: (1), (),..., () prostředí hodota; pro liché ɶ = průměr dvou prostředích hodot; pro sudé Modus hodota v eíž okolí se vyskytue evíce hodot ečetěší hodota souboru Popisá statistika charakteristiky variability Rozptyl = s 1 1 ( = i ) i i = 1 i = 1 Výběrový rozptyl: s 1 1 = = ( i ) i 1 i = 1 1 i = 1 Směrodatá odchylka a výběrová směrodatá odchylka s = s s = s 3

4 Popisá statistika charakteristiky variability Variačí koeficiet s V = Jde o relativí míru variability (uvádí se též v %). Má smysl pouze pro zak, který abývá pouze kladých ebo záporých hodot. Popisá statistika charakteristiky souměrosti Koeficiet šikmosti (asymetrie) A = 1 i ( ) 3 i= 1 s 3 ukazue, ak sou hodoty kolem aritmetického průměru rozložey; symetrické rozložeí má koeficiet šikmosti rove ule. Popisá statistika charakteristiky souměrosti Korelačí koeficiet 1 r = ( i )( yi y ) i= 1 s( ) s( y) ukazue míru lieárí závislosti dvou veliči -1 r 1 r - sledovaé veličiy sou ekorelovaé r 1- sledovaé veličiy sou korelovaé Výpočty v MS EXCEL Výběrový průměr - PRŮMĚR(číslo1; číslo; ) Výběrový mediá - MEDIAN(číslo1; číslo; ) Výběrový modus - MODE(číslo1; číslo; ) Směrodatá odchylka stat. souboru - SMODCH(číslo1; číslo; ) Výběrová směrodatá odchylka - SMODCH.VÝBĚR(číslo1; ) Výběrový rozptyl - VAR.VÝBĚR(číslo1; číslo; ) Maimálí hodota - MAX(číslo1; číslo; ) Miimálí hodota - MIN(číslo1; číslo; ) Počet hodot - POČET(číslo1; číslo; ) Výpočty v MS EXCEL Výpočty v MS EXCEL 4

5 Statistické zkoumáí zpracováí dat grafické zázorěí Bodový graf Spoicový graf Histogram Výsečový graf (koláč) Krabicový graf Grafické zázorěí - bodový graf Slouží ke zištěí či ověřeí vzáemé závislosti mezi dvěma kvatitativími zaky Nahrazue výpočty korelačích koeficietů v případech, kdy chceme získat o případé závislosti pouze orietačí iformaci. Glyf (radarový graf) Grafické zázorěí - bodový graf Grafické zázorěí - bodový graf y y y y Silá záporá závislost Slabá záporá závislost Nezávislost Silá kladá závislost Grafické zázorěí spoicový graf Grafické zázorěí dat - histogram slouží k prostému zázorěí četostí polygo četostí počet výskytů sledovaá veličia itervalové děleí 5

6 Číslo měřeí Rychlost [m/s] Číslo měřeí Rychlost [m/s] Grafické zázorěí dat - histogram Příklad: Rychlost prostupu ultrazvukových vl Grafické zázorěí dat - histogram 1. Seřazeí podle velikosti. Výpočet rozpětí R = ma mi = 74 m/s 3. Výpočet délky třídy h= R/počet_tříd= 74/7 = 39,14 4. Sestaveí tříd Grafické zázorěí dat - histogram 7 Grafické zázorěí dat - histogram a) Symetrický histogram zvoovitého tvaru 6 Počet pozorováí Rychlost prostupu ultrazvukových vl [m/s] Grafické zázorěí dat - histogram b) Dvovrcholové histogramy Grafické zázorěí dat - histogram c) Histogramy plochého a hřebeovitého tvaru

7 Grafické zázorěí dat - histogram d) Histogramy asymetrického tvaru Grafické zázorěí dat výsečový graf Grafické zázorěí dat krabicový graf Grafické zázorěí dat krabicový graf Slouží ke zázorěí etrémích hodot a kvartilů(kvartilydělí statistický soubor a 4 části přičemž každá část obsahue 5% edotek). mi ma Grafické zázorěí dat glyf Slouží k určeí vzáemých souvislostí dvou či více obektů. PROŠKOLENÍ ŠETRNOST FIRMY K ŽIVOTNÍMU PROSTŘEDÍ 1,3 KVALITA 1,8,5 1,5 1,5 DODRŽENÍ TERMÍNU,3 PORADENSK Á ČINNOST, sběr údaů, eich popis a aalýzu rozšířeí platosti závěrů z malého počtu vzorků a soubor, z ěhož vzorky pocházeí REAKCE NA ZMĚNY V PRŮBĚHU STAVBY 1,6 KOMUNIKAC E 1,7 zpracováí a vyhodocováí iformací o realitě, která eí zámá JAKOST PROVEDENÍ 1,9 ZPŮSOB JEDNÁNÍ 1,7 7

8 Věrohodost závěrů aalýzy vyžadue, aby: výrobí dávky byly vyrobey za steých podmíek, podmíky pokusubyly specifikováy předem a byly dodržováy během celého pokusu, vzorky byly odebráy áhodě a byly reprezetativí pro soubor, z ěhož sou odebráy. Náhodý pokus e takový pokus, který může dávat růzé výsledky i při dodržeí steých podmíek Náhodý ev e tvrzeí o výsledku áhodého pokusu, o kterém lze po eho uskutečěí edozačě rozhodout, zda e či eí pravdivé. Pravděpodobost míra astoupeí áhodého evu Výsledky áhodého pokusu (realizace áhodé veličiy) tedy ai realizace áhodého evu elze s istotou předpovědět. Náhodá veličia Xe reálá proměá, která abývá áhodě reálých číselých hodot. spoitá diskrétí Náhodá veličia e edozačě určea svou distribučí fukcí: F( ) = P( X < ) Distribučí fukce určue tzv. rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy spoitááhodá veličia spoité rozděleí pravděpodobosti diskrétí áhodá veličia diskrétí rozděleí pravděpodobosti Spoitá áhodá veličia: hustota pravděpodobosti Vlastosti: + 1. f ( ) d = f ( ) = F`( ) F( ) f( t) dt = P( a X b) = P( a < X < b) = P( a X < b) = P( a < X b) = b = f( ) d = F( b) F( a) a P( X = c) = Diskrétí rozděleí pravděpodobosti Biomické rozděleí áhodý výběr s vraceím Hypergeometrické rozděleí áhodý výběr bez vraceí Poissoovo rozděleí Spoité rozděleí pravděpodobosti Rovoměré rozděleí Normálí rozděleí fukčí charakteristiky: středí hodota µ směrodatá odchylka σ Studetovo rozděleí (t rozděleí) 8

9 hustota pravděpodobosti distribučí fukce F( ) f( t) dt = Kvatil e hodota, která rozdělue soubor hodot určitého statistického zaku a dvě části, eda obsahue ty hodoty, které sou meší (ebo steé) ež teto kvatil, a druha část aopak obsahue hodoty, které sou větší (ebo steé) ež kvatil. X spoitá áhodá veličia s distribučí fukcí F() eí P-kvatil(P*1%kvatil) e číslo P, pro které platí: P= F( P ) Používaí se tyto kvatily: mediá (prostředí kvatil):,5 dolí kvartil:,5 horí kvartil:,75 decily:,1,,, percetily:,1,,, Náhodý výběr statistický soubor ( 1,, ) získáme -krát opakováím áhodého pokusu > pozorováí áhodé veličiy = pozorovaá hodota áhodého výběru (X 1,, X ) Realizací áhodého výběru získáme obecě růzé statistické soubory. Statistika(výběrová charakteristika) = fukce áhodého výběru T(X 1,, X ) odhady parametrů rozděleí Skutečou hodotu parametrů rozděleí pravděpodobosti áhodé veličiy obvykle ezáme. Odhadueme i pomocí statistického souboru Odhad: Nestraý Straý(vychýleý) Bodový odhad parametru e pozorovaá hodota t = T( 1,, ) a statistickém souboru ( 1,, ) 9

10 odhady parametrů rozděleí Bodové odhady: Středí hodota aritmetický průměr Směrodatá odchylka výběrová směrodatá odchylka Rozptyl druhá mocia výběrové směrodaté odchylky odhady parametrů rozděleí Itervalový odhad (iterval spolehlivosti, kofidečí iterval) pro parametr εse spolehlivostí 1 α, kde α ;1 e iterval <t 1; t >, kde hodoty t 1 a t sou daé statistickým souborem Spolehlivost 1 αvolíme,95 ebo,99 Itervalový odhad středí hodoty ormálího rozděleí: s s t1 α / ; + t1 α / 1 1 Při sledováí áhodých veliči sme často ucei ověřit určité předpoklady či doměky o eich vlastostech pomocí eích pozorovaých hodot. Statistická hypotézahe tvrzeí o vlastostech rozděleí pravděpodobosti pozorovaé áhodé veličiy X. Postup ímž ověřueme daou hypotézu, se azývá test statistické hypotézy. H: η= η ulová hypotéza H A : η η alterativí hypotéza volíme dle požadavků úlohy Hypotéza: Dvoustraá Jedostraá Pro testováí hypotézy H: η= η proti ěaké zvoleé alterativí hypotéze se kostruue vhodé testovací kritériumt(x 1,,X ). Obor hodot testovacího kritéria T se za předpokladu, že platí hypotéza H, rozdělí a dvě podmožiy: Kritický obor W α Obor ezamítutí W α Hladia výzamosti α pravděpodobost toho, že testovací kritérium abude hodotu z kritického oboru. Rozhodutí o hypotéze Jestliže pozorovaá hodota testovacího kritéria t= T( 1,, ) a statistické souboru ( 1,, ) pade do kritického oboru, zamítáme hypotézuh současě ezamítáme alterativí hypotézu H A. Chyby Chyba prvího druhu hypotéza H platí a my i zamítáme. Pravděpodobost této chyby e hladia výzamosti α. Chyba druhého druhu Hypotéza H eplatí a my i ezamítáme. Pravděpodobost této chyby se azývá síla testu. 1

11 Obvyklým výstupem většiy softwarů, které umožňuí testovaí statistických hypotéz, eí přímo zamítutí či ezamítutí hypotézy, ale tzv. P - hodota. P -hodota udává mezí hladiu výzamosti, při které bychom daou hypotézu eště zamítali. Hypotézu H zamítáme a hladiě výzamosti, estliže P -hodota e meší ež α. Studetův t-test Hypotézy: zda ormálí rozděleí, z ěhož pochází áhodý výběr, má určitou kokrétí středí hodotu, přičemž rozptyl e ezámý; Zda dvě ormálí rozděleí se steým (třeba i ezámým) rozptylem, z ichž pocházeí dva ezávislé áhodé výběry maí steé středí hodoty (případě lišící se o určitou hodotu). Studetův t-test Studetův t-test Jedovýběrový H : µ = µ Párový testue se rozdíl středích hodot, steý rozsah Dvouvýběrový dva výběry, růzý rozsah Studetův t-test Studetův t-test 11

12 ANOVA (AalysisOfVariace) ANOVA (AalysisOfVariace) Srováváme, zda rychlost prostupu ultrazvukových vl e ve třech růzých částech ŽB kostrukce steá. Obecě srováváme a více skupi Proč esrovat po dvoicích? -> roste šace, že uděláme chybu prvího druhu. => e výhoděší testovat pouze edu hypotézu Hypotéza: H : µ 1 = µ = µ 3 =... = µ k. Předpoklad homogeity variace (a ormality). H A : eí pravda, že sou všechy středí hodoty steé (tedy alespoň eda se liší od ostatích) ANOVA (AalysisOfVariace) Needodušší variata: Sigle Factor ANOVA Model: X i = μ+α i + ε i áhodá variabilita N(,σ ) ANOVA (Aalysis Of Variace) příklad : Porováí tří částí kostrukce rychlost šířeí ultrazvukových vl Společá středí hodota posuutí i-té skupiy proti společému průměru H e tedy možé vyádřit α i = pro všecha i (iými slovy -posuutí mezi skupiami eí, e tam e áhodá variabilita) 1

13 Testy dobré shody Testováí a fitováí rozděleí pravděpodobosti Testy dobré shody Testováí a fitováí rozděleí pravděpodobosti Aderso Darlig Rya Joier(Shapiro Wilk) Kolmogorov- Smirov Regresí aalýza Hledáí a zkoumáí závislostí proměých, eichž hodoty získáme při realizaci eperimetu. apř.: vztah mezi epřímou a přímou metodou zkoušeí y Proložeí bodového diagramu Regresí aalýza Závislost mezi veličiami X a Y vyadřue regresí fukce: y = ϕ(; β), kde β= (β 1,, β m ) sou regresí koeficiety Regresí aalýza Pro určeí ezámých regresích koeficietů β= (β 1,, β m ) miimalizueme tzv. reziduálí součet čtverců: S* = yi ϕ ( i, β ) i = 1 => Metoda emeších čtverců Lieárí regresí fukce: m = ( ) y β f = 1 13

14 Dotazy? Děkui za pozorost! Petr Misák 14

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

8. cvičení 4ST201-řešení

8. cvičení 4ST201-řešení cvičící 8. cvičeí 4ST01-řešeí Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST01 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Co je to statistika? Úvod statistické myšlení. Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek. Petr Misák

Co je to statistika? Úvod statistické myšlení. Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek. Petr Misák Základy statistického hodnocení výsledků zkoušek Petr Misák misak.p@fce.vutbr.cz Co je to statistika? Statistika je jako bikiny. Odhalí téměř vše, ale to nejdůležitější nám zůstane skryto. (autor neznámý)

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství

Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Základní statistické metody v rizikovém inženýrství Petr Misák Ústav stavebního zkušebnictví Fakulta stavební, VUT v Brně misak.p@fce.vutbr.cz Základní pojmy Jev souhrn skutečností zobrazujících ucelenou

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá

1. Rozdělení četností a grafické znázornění Předpokládejme, že při statistickém šetření nás zajímá jediný statistický znak x, který nabývá Statitická šetřeí a zpracováí dat Statitika e věda o metodách běru, zpracováí a vyhodocováí tatitických údaů. Statitika zkoumá polečeké, přírodí, techické a. evy vždy a dotatečě rozáhlém ouboru údaů. Matematická

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE

1 ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE ROVNOMĚRNOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí rovoměrosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d.

1. JEV JISTÝ a. je jev, který nikdy nenastane b. je jev, jehož pravděpodobnost = ½ c. je jev, jehož pravděpodobnost = 0 d. ZÁPOČTOVÝ TEST. JEV JISTÝ a. je jev, který ikdy eastae b. je jev, jehož pravděpodobost ½ c. je jev, jehož pravděpodobost 0 d. je jev, jehož pravděpodobost e. je jev, který astae za jistých okolostí f.

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p)

0,063 0,937 0,063 0, P 0,048 0,078 0,95. = funkce CONFIDENCE.NORM(2α; p(1 p) . Příklad Při průzkumu trhu projevilo 63 z dotázaých zákazíků zájem o iovovaý výrobek, který má být uvede a trh se zákazíky. Odvoďte a odhaděte proceto a počet zájemců v populaci s 95% spolehlivostí. Následě

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Neparametrické testy hypotéz čast 2 SP3 Neparametrcké testy hypotéz PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Neparametrcké testy hypotéz čast Lbor Žák SP3 Neparametrcké testy hypotéz Lbor Žák Neparametrcké testy hypotéz - úvod Neparametrcké testy statstckých

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004.

1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodá veličia Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 45/004. Náhodá veličia Většia áhodých pokusů má jako výsledky reálá čísla. Budeme tedy dále áhodou veličiou rozumět proměou, která

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II.

BAKALÁŘSKÁ STA I. + II. Statistika I. - Teorie ) Statistika - Číselé údaje o hromadých jevech. Praktická čiost - sběr, zpracováí a vyhodocováí statistických údajů - Teoretická disciplía - metody k odhalováí zákoitostí při působeí

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Tetováí tatitických hypotéz CHEMOMETRIE I, David MILDE Jedá e o jedu z ejpoužívaějších metod pro vyloveí závěrů o základím ouboru, který ezkoumáme celý, ale pomocí áhodého výběru. Př.: Je obah účié látky

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy

8. cvičení 4ST201. Obsah: Neparametrické testy. Chí-kvadrát test dobréshody Kontingenční tabulky Analýza rozptylu (ANOVA) Neparametrické testy cvičící 8. cvičeí 4ST1 Obsah: Neparametricé testy Chí-vadrát test dobréshody Kotigečí tabuly Aalýza rozptylu (ANOVA) Vysoá šola eoomicá 1 VŠE urz 4ST1 Neparametricé testy Neparametricétesty využíváme,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění:

Testujeme hypotézu: proti alternativě. Jednoduché třídění: Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Y,, Y je áhodý výběr z N(μ, σ ) Testujeme hypotézu: proti alterativě H : μ = μ = = μ H : e všechy středí hodoty μ,, μ jsou si rovy Jedoduché

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah:

Teorie chyb a vyrovnávací počet. Obsah: Teorie chyb a vyrovávací počet Obsah: Testováí statistických hypotéz.... Ověřováí hypotézy o středí hodotě základího souboru s orálí rozděleí... 4. Ověřováí hypotézy o rozptylu v základí souboru s orálí

Více

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závislostí ve statistice Měřeí závislostí ve statistice se zabývá především zkoumáím vzájemé závislosti statistických zaků vícerozměrých souborů. Závislosti přitom mohou být apříklad

Více

Aplikovaná statistika v průmyslu

Aplikovaná statistika v průmyslu Aplikovaá statistika v průmyslu Úvod... Popisá statistika... 3. Základí pomy... 3. Jedorozměrý statistický soubor s kvatitativím zakem... 4.3 Dvourozměrý statistický soubor s kvatitavími zaky... 5.4 Statistické

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y

L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.

Více

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika

REGRESNÍ DIAGNOSTIKA. Regresní diagnostika 4.11.011 REGRESNÍ DIAGNOSTIKA Chemometrie I, David MILDE Regresí diagostika Obsahuje postupy k posouzeí: kvality dat pro regresí model (přítomost vlivých bodů), kvality modelu pro daá data, splěí předpokladů

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více