(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

Transkript

1 Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá o rozpracovaou, eupraveou a erecezovaou verzi pomocého studijího materiálu, z čehož vyplývá výskyt možých chyb a dalších edostatků v textu

2 Tato publikace byla podpořea gratem Fodu rozvoje vysokých škol Miisterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR v roce 2013 Učebí materiál avazuje zejméa a eoceitelou učebici L Cyhelského: Úvod do teorie statistiky z 80 let, ze které byly převzaty, ásledě upravey a doplěy matematické vztahy a důkazy v části o kvatitativí proměé a publikaci H Řezaková a T Löster: Úvod do statistiky

3 Obsah Část 1 Poslouposti, sumy a produkty 1 Kapitola 1 Posloupost 2 Kapitola 2 Suma 5 Kapitola 3 Produkt 27 Část 2 Úvod do teorie popisé statistiky 33 Kapitola 4 Úvodí statistické defiice 34 Kapitola 5 Druhy statistických zaků (proměých) 35 Kapitola 6 Rozděleí četostí 37 Kapitola 7 Kvatily a momety 39 1 Kvatily 39 2 Momety 40 Část 3 Kvatitativí proměá 47 Kapitola 8 Míry polohy 48 1 Průměry 48 2 Aritmetický průměr 48 3 Harmoický průměr 55 4 Geometrický průměr 59 5 Kvadratický průměr 63 6 Aritmetický střed 66 7 Modus 66 8 Mediá 66 9 Vztah mezi aritmetickým průměrem, mediáem a modem Vztahy mezi průměry 67 Kapitola 9 Míry variability 70 1 Kvatilové míry variability 70 2 Mometové Míry variability 74 3 Ostatí míry variability 85 Kapitola 10 Míry šikmosti 92 1 Defiice zešikmeých rozděleí 92 2 Nároky a míry šikmosti 92 iii

4 iv OBSAH 3 Kvatilové míry šikmosti 92 4 Mometová míra šikmosti 94 5 Ostatí míry šikmosti 100 Kapitola 11 Míry špičatosti Nároky a míry špičatosti Kvatilové míry špičatosti Mometová míra špičatosti Ostatí míry špičatosti 108 Část 4 Ordiálí proměá 109 Kapitola 12 Míry polohy 110 Kapitola 13 Míry variability Variačí rozpětí Mezikvartilové rozpětí Ordiálí rozptyl Normalizovaý ordiálí rozptyl 116 Část 5 Nomiálí proměá 121 Kapitola 14 Míry polohy 122 Kapitola 15 Míry variability Nároky a ukazatele Wilcoxove míry Ostatí ukazatele variability a kocetrace 131 Část 6 Stručý přehled ukazatelů síly závislosti mezi proměými 139 Kapitola 16 Měřeí síly souvztažosti mezi dvěma kvatitativími proměými Kovariace Pearsoův korelačí koeficiet Spearmaův koeficiet pořadové korelace 142 Kapitola 17 Měřeí síly asociace mezi dvěma kvalitativími proměými Kotigečí tabulka Pearsoův Chí-kvadrát (Empirická středí čtvercová kotigece) Pearsoův koeficiet kotigece Čuprovův koeficiet kotigece Cramerův koeficiet kotigece 150 Kapitola 18 Měřeí síly závislosti kvatitativí a kvalitativí proměé Jedofaktorová aalýza rozptylu Poměr determiace 153 Část 7 Úvod do teorie časových řad 155 Kapitola 19 Základí defiice 156

5 OBSAH v Kapitola 20 Základí charakteristiky časové řady Obecá úroveň časové řady Absolutí míry dyamiky Relativí míry dyamiky - ukazatele tempa růstu 161 Kapitola 21 Úvod do vyrováváí hodot časové řady Prosté klouzavé průměry Cetrovaé klouzavé průměry 164 Část 8 Úvod do teorie hospodářských idexů 167 Kapitola 22 Úvodí defiice 168 Kapitola 23 Idividuálí jedoduché idexy 170 Kapitola 24 Idividuálí složeé idexy Složeý idex celkové hodoty Složeý objemový idex Idex promělivého složeí 172 Kapitola 25 Souhré idexy - Idexy stálého složeí a struktury Objemové souhré idexy - Idexy stálé struktury Ceové souhré idexy - Idexy stálého složeí 175 Literatura 177

6

7 Část 1 Poslouposti, sumy a produkty

8 KAPITOLA 1 Posloupost Defiice 01 Posloupostí azýváme každé zobrazeí možiy všech kladých celých čísel N do možiy všech reálých čísel R (ekoečá posloupost) ebo zobrazeí eprázdé podmožiy všech kladých celých čísel N do eprázdé podmožiy všech reálých čísel R (koečá posloupost) [2] Pozámka: My se budeme zabývat pouze koečými posloupostmi, což je dáo eexistecí ekoečých posloupostí (ekoečě velikých datových souborů) v aalytické ebo programátorské praxi Tudíž, pod posloupostí budeme chápat spíš reálou fukci jedé reálé proměé, jejímž defiičím oborem je podmožia všech kladých celých čísel N Defiice 02 Koečou posloupost v Defiici 01 můžeme symbolicky zadefiovat ásledově: (1) A {a i } im a m, a m+1,, a, přičemž platí, že (2) i U!a i R : i a i, kde i je všeobecé ozačeí pro pomocý idex (vzor obrazu), který ám umožňuje rozlišit čley poslouposti, m je počátečí idex, m N je koečý idex, N, m U je možia všech idexů, pro kterou platí U {i i m, m + 1,, }, a m je prví čle poslouposti, a i je i-tý čle poslouposti, ozačující se jako obecý čle poslouposti (obraz), a je koečý čle poslouposti, A je možia všech čleů poslouposti, pro kterou platí A {a i (a i R) (i U)} Pozámka: Součástí každého zpracováí a datové aalýzy v jakémkoliv aalytickém programovém balíku je přiřazeí symbolů jedotlivým údajům Programy epracují s reálými ázvy ale pouze s jejich přesým algoritmickým ozačeím Takto se zabezpečí jedozačá idetifikace a vyloučí se možost jakékoliv záměy Asociovaé idexy můžeme chápat jako uikátí klíče, které překládají běžé ozačeí v 2

9 1 POSLOUPNOST 3 lidském jazyce do matematického jazyka algoritmů Tímto způsobem se trasformují reálá data a abstraktí matematické kostrukty a otevírá se možost jejich exaktího matematického a algoritmického zpracováí Pozámka: Pro symbolické ozačeí můžeme samozřejmě použít i jiých písme Pozámka: Nejvíce se setkáme se situací, kdy bude m 1, tudíž, (3) {a i } a 1, a 2,, a Například, mějme soubor, který obsahuje iformace o vládích výdajích v jedotlivých čleských státech EU, Isladu a Norska v roce 2010 Státy a jejich výdaje: Německo (136,354 mil EUR), Česká republika (65,724 mil EUR), Slovesko (26,328 mil EUR), Údaje a jejich ozačeí musí přejít důkladým předefiováím v programu Program hodoty zadefiuje ásledově: Stát i Německo i 1 Česká republika i 2 Slovesko i 3 Vládí výdaje v i-tém státě x i Vládí výdaje v Německu x Vládí výdaje v České republice x Vládí výdaje a Slovesku x Pozámka: Čley poslouposti emusí být pouze samostaté hodoty ale také fukce, které pracují s původími hodotami a trasformují je Příklad 1 Mějme datový soubor X, který obsahuje hodoty x i Hodoty jsou zapsáy v tomto pořadí X (14500, 48000, 17000, 16000, 28000, 35000) Vypište všechy čley poslouposti {a i } i3, když víte, že a i x i Řešeí: X {x i i 1, 2,, } x x x x x x

10 4 1 POSLOUPNOST (4) {a i } i3 {a i } 6 i3 {a 3, a 4, a 5, a 6 } {x , x , x , x } { , , , } {22000, 21000, 33000, 40000} Řešeí ve VBA: Kód může vypadat ásledově Sub Posloupost() For i 3 To 6 Cells(i, 2) Cells(i, 1) Ed Sub Nové hodoty program vypsal do druhého sloupce do odpovídajících řádků otevřeého listu sešitu

11 KAPITOLA 2 Suma Defiice 03 Necht je dáa posloupost uspořádaých hodot v datovém souboru {a t } m, kde m, N, m Operaci, která sčítá daé čley této poslouposti, ozačujeme jako sumaci Pozámka: Operaci sumace ozačujeme velkým řeckým písmeem Σ (Sigma), které voláme i jako sumačí zak ebo sumači operátor Defiice 04 Předchozí defiice můžeme symbolicky zapsat s pomocí sumačiho operátora ve tvaru (5) přičemž platí, že +c im+c a i c { a m + a m a když m 0 jiak (6) (i c) t a i c a t, kde c je kostata, c Z 0 Pozámka: Symbol i azýváme sumačí idex (sumačí idex může být ozače samozřejmě i jiým písmeem) Povětšiou se setkáme v této učebici s případy, kdy bude v defiicích kostata c rova ule, c 0 a m 1, tudíž, sumačí idex i bude totožý s pomocým idexem v poslouposti t V ašem případě bude (7) i t a i a t Získame tak méě komplikovaý a více zámý zápis (8) a i a 1 + a a Třeba však podotkout, že je to jeom jede případ, i když ejrozšířeější V případě vývoje modelů emusí být sumace počíající prvím čleem souboru vždy žádoucí Z hlediska lepšího osvojeí si statistických defiic a vět, však zůstaeme v ásledujících kapitolách při koceptu sumace od prvího čleu v souboru Pozámka: Dolí symbol m při sumačím zaku im+c začí, který čle souboru budeme brát jako prví sčítaec, jelikož a m+c c a m Každý ásledující sčítaec (ásledující 5

12 6 2 SUMA čle poslouposti) má idex o jedotku větší, ež čle přičteý v předchozím kroku, (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) Horí symbol, +c, odkazuje a člea souboru, kterého přičteme jako posledího (a +c c a ) Pricip sumace, tudíž spočívá v iterativím (opakovaém) přičítáí ových sčítaců k předchozím výsledkům sčítáí Pozámka: V případě, že je horí idex meší ež dolí idex, výsledek je tzv prázda suma rová ule Příklad 2 Na základe dat z Příkladu 1 určete 3 a) x i ; b) c) 3 x i + x 4 ; 3 x i x 1 Řešeí: Postup je ásledový (9) (10) a) b) 3 x i (a 1 + a 2 + a 3 ) ( ) 79500; Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ( 3 ) x i + x 4 (x 1 + x 2 + x 3 ) + x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 x i Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, 1)

13 2 SUMA 7 Suma Suma + Cells(4, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub (11) c) ( 4 ) x i x 1 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) x 1 x 2 + x 3 + x 4 4 x i i2 Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 4 Suma Suma + Cells(i, 1) Suma Suma - Cells(1, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 01 Když k < l <, platí l (12) a i a i a i, Důkaz l a i a i ik ik ik ik il+1 (a k + a k a ) (a k + a k a l ) (13) (a k + a k a l + + a ) (a k + a k a l ) (a k + a k a l + a l+1 + a ) (a k + a k a l ) a l a a i il+1 Příklad 3 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 6 x i 2 x i ; Řešeí: 6 x i 2 x i (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 1 + x 2 ) (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 6 x i i3

14 8 2 SUMA Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo jié spracováí Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 6 Suma1 Suma1 + Cells(i, 1) If i 2 The Suma2 Suma1 ElseIf i <> 2 The Ed If Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 02 Když k < l <, platí l 1 (14) a i a i a i, Důkaz a i a i ik il ik il ik (a k + a k a ) (a l + a l a ) (15) (a k + a k a l + a l a ) (a l + a l a ) (a k + a k a l 1 + a l + a l a ) (a l + a l a ) l 1 a k + + a l 1 a i ik

15 Příklad 4 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 6 x i 6 x i ; Řešeí: i3 2 SUMA 9 (16) 6 6 x i x i i3 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 2 (x 1 + x 2 ) x i Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 03 Když K je kostata, platí (17) (Ka i ) K a i, (18) Důkaz (Ka i ) Ka 1 + Ka Ka K (a 1 + a a ) K a i Příklad 5 Na základe dat z Příkladu 1 určete: a) (Kx i )

16 10 2 SUMA b) (Kx i ) i3 Řešeí: a) (Kx i ) K 6 (x i ) K (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle For to 6 Suma Suma + 2* Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 2 * ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub b) (Kx i ) K 6 (x i ) K (a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) i3 i3 2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i3 to 6 Suma Suma + 2* Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 2 * ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 04 Platí (19) (a i + b i ) a i + b i,

17 2 SUMA 11 (20) Důkaz (a i + b i ) a 1 + b 1 + a 2 + b a + b (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) + + (a + b ) (a 1 + a a ) + (b 1 + b b ) a i + b i Příklad 6 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 4 (x i + x i+1 ); i2 Řešeí: (21) (x i + x i+1 ) x i + x i+1 i2 i2 i2 (x 2 + x 3 + x 4 ) + (x 3 + x 4 + x 5 ) ( ) + ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 4 Suma Suma + ( Cells(i, 1)+ Cells(i+1, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 0 Suma2 0 For i 2 To 4 Suma1 Suma1 + Cells(i, 1) Suma2 Suma2 + Cells(i+1, 1) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

18 12 2 SUMA Veta 05 Když > m, platí m (22) a i + a i a i, im+1 (23) Důkaz m a i + a i im+1 a 1 + a a m + a m+1 + a m a a 1 + a a a i Příklad 7 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 4 x i + 6 i2 Řešeí: x i i5 (24) 4 6 x i + x i i2 i5 (x 2 + x 3 + x 4 ) + (x 5 + x 6 ) x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A5:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 06 Když k < l < m <, platí m m (25) a i + a i a i + a i, ik il ik il

19 2 SUMA 13 Důkaz m a i + a i ik il (a k + a k a l + + a m ) + (a l + a l a m + + a ) a k + a k a l + + a m + a l + a l a m + + a (26) a k + a k a l + + a m + (a l + a l a m ) + + a a k + a k a l + + a m + + a + (a l + a l a m ) (a k + a k a l + + a m + + a ) + (a l + a l a m ) m (a k + a k a ) + (a l + + a m ) a i + a i Příklad 8 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 5 x i + 6 i2 Řešeí: x i i4 ik il (27) 5 6 x i + x i i2 i4 (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + (x 4 + x 5 + x 6 ) (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 4 + x 5 ) 6 5 x i + x i i2 i4 ( ) + ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A5")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A4:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A4:A5")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma)

20 14 2 SUMA Ed Sub Veta 07 Když k < m < l <, platí m (28) a i + a i Důkaz (29) m a i + a i ik il ik il a i ik (a k + a k a m ) + (a l + a l a ) (a k + a k a m + a l + + a ) l 1 im+1 (a k + a k a ) (a k + a k a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + + a l + + a ) (a k + a k a m + + a l + + a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) (a m+1 + a l 1 ) (a k + a k a ) (a m+1 + a l 1 ) l 1 a i ik im+1 a i Příklad 9 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 2 x i + 6 Řešeí: x i i5 a i, (30) 2 6 x i + x i (x 1 + x 2 ) + (x 5 + x 6 ) 6 x i i5 i3 4 x i (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) (x 3 + x 4 ) (x 1 + x 2 ) + (x 5 + x 6 ) ( ) Sub Suma()

21 2 SUMA 15 Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A5:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A3:A4")) SumaSuma1-Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 08 Když K je kostata, platí (31) K K, Důkaz (32) K K + K + + K K Příklad 10 Na základe dat z Příkladu 1 určete: Řešeí: (33) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 5 Suma Suma MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma()

22 16 2 SUMA Dim Suma As Sigle Suma 5*1000 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 09 Když K je kostata, platí (34) K ( m + 1)K, im Důkaz (35) K im m 1 K K K (m 1)K ( m + 1)K Příklad 11 Na základe dat z Příkladu 1 určete: i2 Řešeí: (36) i2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 5 Suma Suma MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (5-2+1)*1000 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 010 Když c je libovolé celé číslo a > m, platí m+c (37) a i a j+m c, im jc

23 Důkaz Mějme sumu poslouposti uvedeé sumaci ásledovým způsobem: 2 SUMA 17 a i Chceme přetrasformovat idexy v im (1) Dolí idex ové přetrasformovaé sumy ozačující dolí hraici je rove j c, kde c je libovolě zvoleé celé číslo (2) Nová suma poslouposti musí mít idetický počet sčítacích čleu jako původí suma (3) Suma musí sčítat idetické čley poslouposti jako původí suma Aby měli sumy stejý počet čleů, musí platit mezi idexy původí a ové sumy ásledující vztahy (38) m x c, (39) x m + c, kde x je ezámý horí idex u ové sumy rovy m+c jc x jc Tudíž, idexy u ové sumy jsou Aby se ová suma odvolávala a sčítaí původích čleů poslouposti musí platit (40) a m + a m a a c+y + a c+1+y + + a m+c+y, kde y je ezáme celé číslo Z rovice (40) vyplývá, že y m c Rovice (40) se tedy dá přepsat do tvaru m+c (41) a i a j+m c, 4 x i i2 Řešeí: im jc Příklad 12 Na základe dat z Příkladu 1 určete: (42) 4 x i i2 (4 2+7) j7 x j x j 5 j7 x (7 5) + x (8 5) + x (9 5) x 2 + x 3 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

24 18 2 SUMA ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 7 To Suma Suma + ( Cells(i+2-7, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 011 Když c je libovolé celé číslo a > m, Věta 010 se dá zapsat i jako +c (43) a i a i c, im jm+c Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu Věty 010 Příklad 13 Na základe dat z Příkladu 1 přetrasformujte sumaci předchozí Věty, když víte, že m 2, 4 a c 5 x i podle im Řešeí: (44) 4 x i i2 (4+5) j2+5 x j 5 9 x j 5 j7 x (7 5) + x (8 5) + x (9 5) x 2 + x 3 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2+5 To 4+5 Suma Suma + ( Cells(i-5, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 012 Platí (45) s s a ij im jr jr im a ij

25 2 SUMA 19 Důkaz (46) im jr s a ij (a ir + a i(r+1) + + a is ) im a mr + a m(r+1) + + a ms + a (m+1)r + a (m+1)(r+1) + + a (m+1)s a r + a (r+1) + + a s s a mj + jr s a (m+1)j + jr s + s a j jr s (a mj + a (m+1)j + + a j ) jr a ij jr im Příklad 14 Mějme matici A ve tvaru 2 3 s hodotami symbolicky ozačeými jako a ij, kde i je pořadové číslo řádku a j je pořadové číslo sloupce, ve kterém se prvek a ij achází, (47) A ( ) Vypočítejte 3 2 a ij

26 20 2 SUMA Řešeí: (48) 2 3 a ij 2 (a i1 + a i2 + a i3 ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) 3 a 1j + a 2j 1930 Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 2 For j 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For j 1 To 3 For i 1 To 2 Suma Suma + Cells(i, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 013 Platí (49) ( im a i ) s jr b j im jr s (a i b j ) (50) Důkaz ( ) ( ) s a i b j im jr

27 2 SUMA 21 (a m + a m a ) (b r + b r b s ) a m b r + a m b r a m b s + a m+1 b r + a m+1 b r a m+1 b s a b r + a b r a b s ( ) [a i (b r + b r b s )] s a i b j im im jr ( ) s a i b j s (a i b j ) im jr im jr Příklad 15 Mějme vektor v s prvkami a i a vektor u s prvkami b i, (51) v ( 120, 360, 720 ), (52) u ( 200, 170, 360 ) Vypočítejte Řešeí: (53) a i b j a i 3 b j ( ) ( ) 120 ( ) ( ) ( ) b j b j b j b j + 3 b j b j 3 (120 b j b j b j ) 3 [( ) b j ] [( 3 3 ) ] a i b j Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) Suma2 Suma2 + Cells(2, i) ( 3 3 ) a i b j 3 3 a i b j

28 22 2 SUMA Suma Suma1 * Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 For j 1 To 3 Suma Suma + Cells(1, i) * Cells(2, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 014 Platí (54) i 1 ( m + 1) (m + ) 2 im Důkaz (55) i m + (m + 1) + ( 1) + +, im Počet čleů předchozí sumace je m i im [m + (m + 1) + + ( 1) + ] + [m + (m + 1) + + ( 1) + ] [m + (m + 1) + + ( 1) + ] + [ + ( 1) + + (m + 1) + m] (56) m + (m + 1) + + ( 1) ( 1) + + (m + 1) + m m + + (m + 1) + ( 1) + + ( 1) + (m + 1) + + m (m + ) + (m ) + + ( 1 + m + 1) + ( + m) (m + ) + (m + ) + + (m + ) + (m + ) ( m + 1)(m + ) (57) 2 i ( m + 1)(m + ) im (58) im i 1 ( m + 1)(m + ) 2

29 2 SUMA 23 Příklad 16 Určete: 6 i i2 Řešeí: (59) 6 i 1 2 ( )(2 + 6) i2 Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 6 Suma Suma + i MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (1 / 2) * ( ) * (2 + 6) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 015 Platí (60) i 1 ( + 1) () 2 Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu Věty 014 Příklad 17 Určete: 6 i Řešeí: (61) 6 i 1 2 (6 + 1)(6) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 6 Suma Suma + i MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

30 24 2 SUMA ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (1 / 2) * (6 + 1) * (6) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 016 Platí (62) ( ) 2 a i im im ji+1 jm+1 im im jm a i a j + j 1 a i a j + a i a j (a i ) 2 im (a i ) 2 im Důkaz (63) ( ) 2 ( ) ( ) a i a i a i im im im (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) (64) a m a m + a m a m+1 + a m a m a m a 2 + a m a 1 + a m a + a m+1 a m + a m+1 a m+1 + a m+1 a m a m+1 a 2 + a m+1 a 1 + a m+1 a + a m+2 a m + a m+2 a m+1 + a m+2 a m a m+2 a 2 + a m+2 a 1 + a m+2 a a 2 a m + a 2 a m+1 + a 2 a m a 2 a 2 + a 2 a 1 + a 2 a + a 1 a m + a 1 a m+1 + a 1 a m a 1 a 2 + a 1 a 1 + a 1 a + a a m + a a m+1 + a a m a a 2 + a a 1 + a a Výše uvedeý sumačí rozvoj se dá zkrátit do zápisu im jm a i a j Platí, že součiy čleů a diagoále se dají zapsat s pomocí sumačího zaku jako (65) a m a m +a m+1 a m+1 +a m+2 a m+2 + +a 2 a 2 +a 1 a 1 +a a Zároveň platí, že součiy pod touto diagoálou jsou zrcadlovým obrazem součiů ad diagoálou a aopak Tudíž, každý souči se opakuje dva krát Když, vyjmeme pouze horí poloviu těchto součiů, im a i 2

31 2 SUMA 25 (66) a m a m+1 + a m a m a m a 2 + a m a 1 + a m a + + a m+1 a m a m+1 a 2 + a m+1 a 1 + a m+1 a a m+2 a 2 + a m+2 a 1 + a m+2 a a 2 a 1 + a 2 a + + a 1 a, výraz se dá upravit s použitím sumačích zaků počítaých pro každý řádek apříč sloupci a (67) jm+1 a m a j + j 2+1 jm+1+1 a 2 a j + a m+1 a j + j 1+1 jm+2+1 a 1 a j a m+2 a j im ji+1 a i a j ebo a posloupost sum počítaých pro každý sloupec apříč řádky a (68) m 1 im m+2 1 a i a m im im 2 1 a i a m a i a 1 + a i a im im j 1 a i a 2 + im jm+1 Když vezmeme v potaz duplicitu součiů ad a pod diagoálou, sumu z rovice (65), suma všech součiů v maticovém zápisu (65) se musí rovat 2 1 a i a j + im (a i ) 2 ebo 2 j 1 im jm+1 a i a j + im Příklad 18 Mějme vektor v s prvkami a i (69) v ( 120, 360, 720 ), ( 3 ) 2 Vypočítejte a i Řešeí: a i a j im ji+1 (a i ) 2 (70) 2 ( 3 3 ) a i 2 +1 j 1 a i a j + 3 ji+1 a i a j + 3 (a i ) 2 3 (a i )

32 26 2 SUMA Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(1, i) Suma Suma^2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3-1 For j i + 1 To 3 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) * Cells(1, j) Next j For i 1 To 3 Suma2 Suma2 + Cells(1, i) * Cells(1, i) Suma 2 * Suma1 + Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For j 1+1 To 3 For i 1 To j - 1 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) * Cells(1, j) Next j For i 1 To 3 Suma2 Suma2 + Cells(1, i) * Cells(1, i) Suma 2*Suma1 + Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

33 KAPITOLA 3 Produkt Defiice 05 Necht je dáa stejá posloupost {a t } m, kde m, N, m Operaci, která zásobí daé čley této poslouposti, ozačujeme jako produkt Pozámka: Produkt ozačujeme velkým řeckým písmeem P i (Pí), které voláme i jako multiplikačí zak ebo multiplikačí operátor Defiice 06 Produkt defiujeme s pomocí multiplikačího operátora ásledově: (71) +c im+c a i c { a m a m+1 a když m 1 jiak Pozámka: Symbol i azýváme multiplikačí idex, který bude spoluurčovat všechy čley poslouposti, které spolu zásobíme Dolí idex m při multiplikačím zaku,, začí, který čle poslouposti budeme brát jako prví ásobeec Každého im+c ásledujícího člea poslouposti budeme chápat jako ásobitele, přičemž bude mít pomocý idex o jedotku větší, ež ásobitel z předchozího kroku, (a m a m+1 a m+2 a 2 a 1 a ) Každý ásledující ásobitel opětově přeásobí výsledek ásobeí získaý v předchozím kroku Horí idex, +c, odkazuje a člea poslouposti, který bude vystupovat jako posledí ásobitel V případě, že je horí idex meší ež dolí idex, výsledek je tzv prázdý produkt rový jedé Tak jako v případě sumace, se ejvíce setkáme se situací, kdy bude kostata c rova ule, c 0 a m 1, tudíž, multiplikačí idex i bude totožý s pomocým idexem v poslouposti V ašem případě bude (72) i t a i a t Získame tak více zámý zápis (73) Příklad 19 Určete: a i a 1 a 2 a a) 3 x i ; 27

34 28 3 PRODUKT b) c) 3 x i x 4 ; 4 x i /x 1 ; Řešeí: Postup je ásledový (74) (75) (76) a) b) c) 3 x i (a 1 a 2 a 3 ) ; Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 3 Produkt Produkt * Cells(i, 1) MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub ( 3 ) x i x 4 (x 1 x 2 x 3 ) x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 3 Produkt Produkt * Cells(i, 1) ProduktProdukt* Cells(4, 1) MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub 4 x i x 1x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 1 Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 4 Produkt Produkt * Cells(i, 1) ProduktProdukt/ Cells(1, 1) 4 x i i2 4 x i ;

35 3 PRODUKT 29 MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub Veta 017 Když k < l <, platí (77) a i ik l a i ik a i, il+1 (78) Důkaz a i ik l a i ik a k a k+1 a a k a k+1 a l a ka k+1 a l a a k a k+1 a l a ka k+1 a l a l+1 a a k a k+1 a l a l+1 a il+1 a i Veta 018 Když k < l <, platí a i l 1 ik (79) a i, a i ik il (80) Důkaz a i ik a i il a ka k+1 a a l a a ka k+1 a l a a l a a l 1 ka k+1 a l 1 a l a a k a k+1 a l 1 a i a l a ik Veta 019 Platí (81) a i b i a i ik ik ik b i, (82) Důkaz a i b i (a k a k+1 a ) (b k a k+1 b ) ik ik ik a i b i

36 30 3 PRODUKT Veta 020 Platí (83) Důkaz (84) ik ik a i b i a i ik, b i ik a i b i a ka k+1 a b k b k+1 b a i ik b i ik Veta 021 Když K je kostata, platí (85) Ka i K ( k+1) ik ik a i, (86) Důkaz Ka i (Ka k ) (Ka k+1 ) (Ka ) ik KK K a k a k+1 a K ( k+1) a i ik Veta 022 Když K je kostata, platí speciálí případ (87) Ka i K a i, ik Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu předchozí věty Veta 023 Když K je kostata, platí (88) (89) Důkaz ( ) K a i ik ik a K i, ( ) K a i (a k a k+1 a ) K ik a K k a K k+1 a K a K i ik

37 3 PRODUKT 31 Veta 024 Když k < m <, platí m (90) (91) Důkaz m a i ik im+1 a i ik im+1 a i a i a i, ik (a k a k+1 a m ) (a m+1 a m+2 a ) a k a k+1 a a i ik Veta 025 Když k < l < m <, platí m (92) a i (93) Důkaz m ik a i il ik a i il m a i a i, ik il a i (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a m a ) (a k a k+1 a m a ) (a l a l+1 a m ) Veta 026 Když k < m < l <, platí (94) (95) Důkaz m ik a i il m ik a i il a i a i ik l 1 im+1 a i, a i (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) m a i a i (a ka k+1 a m a l a ) (a k a k+1 a m a l a ) (a ka k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a ka k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a k a k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a ka k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a ka k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a m+1 a l 1 ) a i ik l 1 im+1 ik a i il

38 32 3 PRODUKT

39 Část 2 Úvod do teorie popisé statistiky

40 KAPITOLA 4 Úvodí statistické defiice Defiice 07 Statistický soubor je eprázdá možia objektů, u kterých se sleduje miimálě jeda stejá vlastost Defiice 08 Statistická jedotka je objekt statistického souboru Defiice 09 Statistický zak (proměá, veličia) je sledovaá vlastost statistických jedotek Defiice 010 Datový soubor je matice typu m, (, m N) ozačovaá jako x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2, x y z kde každý i-ty řádek (i-ty vektor typu 1 m), 1 i, je asociovaý právě s jedou statistickou jedotkou ze statistického souboru a každý m-tý prvek vektorů (sloupec hodot matice), 1 j m, je asociovaý právě s jedím statistickým zakem Defiice 011 Datový soubor, který je ve tvaru 1, kde je počet statistických jedotek, ozačujeme jako jedorozměrý datový soubor Pozámka: V jedorozměrém datovém souboru jsou statistické jedotky charakterizováy jediým statistickým zakem Defiice 012 Datový soubor, který je ve tvaru m, kde m > 1, se ozačuje jako vícerozměrý (mohorozměrý, multidimezioálí) datový soubor Pozámka: Ve vícerozměrém datovém statistickém souboru jsou statistické jedotky charakterizováy více ež jediým statistickým zakem Pozámka: Z matematického hlediska můžeme statistické jedotky považovat za body ve vícerozměrém prostoru, kde polohu bodu v prostoru, defiuje vektor, jehož každý prvek začí hodotu v daém rozměru (prvek vektoru hodota v jedé dimezi hodota jedé sledovaé vlastosti) Sloupce datového souboru jsou hodoty jedotlivých statistických zaků a řádky jsou hodoty jedotlivé statistické jedotky 34

41 KAPITOLA 5 Druhy statistických zaků (proměých) Defiice 013 Statistické zaky rozdělujeme primárě a kvatitativí a kvalitativí proměé Kvalitativí zaky dělíme dále a ordiálí a omiálí proměé Pozámka: Použijeme ámi upraveé defiice kvatitativího, ordiálího a omiálího zaku původě sestrojeými T Vitrem Defiice 014 Kvatitativí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které jsou defiováy relace meší (<), větší (>), ebo rová se () a operace rozdílu ( ) Defiice 015 Kvalitativí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří koečě spočitatelou možiu, a které eí defiováa operace rozdílu ( ) Pozámka: Hodoty, které může abýt kvalitativí zak, ozačujeme jako variaty, obměy, třídy ebo kategorie zaku Defiice 016 Ordiálí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které jsou defiováy jeom relace meší (<), větší (>)ebo rová se () Pozámka: V případě ordiálí proměé eumíme říct o jak velké rozdíly mezi hodotami jde, ebo zda jsou tyto rozdíly mezi hodotami kostatí Umíme vyřkout soud jeom o větší ebo meší úrovi, stupi, ebo itezitě zkoumaého zaku Defiice 017 Nomiálí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které je defiováa výhradě relace rová se () Pozámka: V případě omiálí proměé eí možé hodoty uspořádat ai podle velikosti Pozámka: Nečíselé variaty ordiálího, ebo omiálího zaku jsou převedey a číselé obměy podle pomocého idexu, který je s touto ečíselou variatou asociová Defiice 018 Kvatitativí zak můžeme rozdělit a diskrétí a spojitou proměou 35

42 36 5 DRUHY STATISTICKÝCH ZNAKŮ (PROMĚNNÝCH) Defiice 019 Diskrétí kvatitativí proměá může abývat spočetě koečě, ebo spočetě ekoečě moha hodot (hodoty je možé seřadit do poslouposti) Defiice 020 Spojitá kvatitativí proměá může abývat jakékoli hodoty z koečého ebo ekoečě velkého itervalu Pozámka: S jiým děleím kvatitativí proměé se setkáme v části věovaé časovým řadám a hospodářským idexům Defiice 021 Jedorozměrý datový soubor, ve kterém a) jsou v případě kvatitativí proměé statistické jedotky seřazeé vzestupě podle velikosti hodoty zaku x i, ebo b) jsou v případě ordiálí proměé statistické jedotky seřazeé vzestupě podle itezity variaty zaku x i, ozačujeme jako uspořádaý datový soubor x i1 x i2 x i, přičemž pro kvatitativí proměou platí x i1 x i2 x i

43 KAPITOLA 6 Rozděleí četostí Defiice 022 Četost souboru,, je počet statistických jedotek Defiice 023 Absolutí četost i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i Veta 027 Necht statistický zak x i abývá k variat hodot Pro celkovou četost statistických jedotek platí (96) i Důkaz (97) i k Defiice 024 Relativí četost p i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i k celkové četosti souboru (98) p i i Veta 028 Pro součet relativích četosti k variat zaku platí (99) p i 1 (100) Důkaz p i i 1 i 1 1 Pozámka: Relativí četost i-té statistické jedotky je p i i Defiice 025 Absolutí kumulativí četost N i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku meší aejvýš rovou hodotě kvatitativího zaku x i ebo počet statistických jedotek s kategorií zaku 37

44 38 6 ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ s meší itezitou aejvýš itezitou rovou itezitě i-té kategorie ordiálího zaku i (101) N i j Veta 029 Necht k je počet hodot (kategorií) statistického zaku x a i jsou absolutí četosti těchto hodot ebo kategorií, pak platí (102) N k Důkaz (103) N k j k Defiice 026 Relativí kumulativí četost P i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i meší aejvýš rovou hodotě kvatitativího zaku x i ebo počet statistických jedotek s kategorií zaku s meší itezitou aejvýš itezitou rovou itezitě i-té kategorie ordiálího zaku k celkovému počtu statistických jedotek i (104) P i i j j i i p j Veta 030 Necht k je počet hodot (kategorií) statistického zaku x a p i jsou relativí četosti těchto hodot ebo kategorií, pak platí (105) P k 1 Důkaz (106) P k p j j 1 j 1 1 Defiice 027 Jedorozměré rozděleí četostí je uspořádaí, ve které je každé hodotě (obměě, kategorii) zaku přiřazea četost výskytu statistických jedotek s touto hodotou (obměou, kategorii) ve sledovaém datovém souboru Pozámka: Rozděleí četostí může být rozděleí absolutích ebo relativích četostí hodot zaku Defiice 028 Histogram je graf, ve kterém jsou a horizotálí ose umístěy vzestupě (zleva doprava) hodoty (kategorie) statistického zaku podle velikosti hodoty ebo itezity kategorie a a vertikálí ose vzestupě (zdola ahoru) jsou četosti výskytu jedotlivých hodot (kategorií) v datovém souboru

45 KAPITOLA 7 Kvatily a momety 1 Kvatily Defiice 11 Kvatily jsou hodoty, které dělí uspořádaý datový soubor a přibližě stejě četé části Defiice 12 Hodota a se ozačuje jako j- procetí kvatil ( x j ) v případě, že celkově j-procet statistických jedotek má hodotu kvatitativího zaku meší aejvýš rovou hodotě a Defiice 13 Mediá x 50 je hodota, která delí datový soubor a dvě stejě četé části Defiice 14 Kvartily jsou hodoty, které delí datový soubor a čtyři stejě četé části Pozámka: Kvartily jsou tři dolí kvartil je 25-procetí kvatil ( x 25 ), středí kvartil je 50- procetí kvatil ( x 50 ) a je zároveň mediá a horí kvartil je 75-procetí kvatil ( x 75 ) Defiice 15 Decily jsou hodoty, které delí datový soubor a deset stejě četých částí Pozámka: Existuje devět decilů ( x 10, x 20,, x 90 ) Defiice 16 Percetily jsou hodoty, které delí datový soubor a sto stejě četých částí Pozámka: Existuje 99 percetilů ( x 1, x 2,, x 99 ) Pozámka: Hodoty kvatilů eí vhodé počítat v situacích malého počtu statistických jedotek Vypovídající schopost kvatilů je v těchto situacích velmi ízká Může se stát, že stejá hodota bude hodotou dolího i horího kvartilu, ebo ježte extrémější kombiace Pozámka: U diskrétí proměé eexistuje jedotí metodika pro všeobecí kvatilový výpočet, a proto je taky výpočet kvatilů v růzých programových balících růzým způsobem implemetová Může se tudíž stát, že vám v růzých balících vestavěé fukce vrátí růzé hodoty kvatilů pro tetýž soubor (tyto hodoty by ale měli být alespoň podobé) 39

46 40 7 KVANTILY A MOMENTY 2 Momety Defiice 21 Momety charakterizují rozděleí daého statistického zaku pomocí matematických fukcí, kterých vstupími proměými jsou a) hodoty všech statistických jedotek v souboru u vybraého zaku ebo, b) všechy obměy tohoto zaku a jejich četosti ebo, c) středy třídích itervalů a četosti statistických jedotek v jedotlivých itervalových třídách 21 Výpočet mometů z hodot statistických jedotek 211 Obecé momety Defiice 22 Necht máme jedorozměrý statistický soubor o rozsahu, pak defiujeme obecý momet u statistického zaku x jako (x i k) l (107) km x,l, kde k je kostata a mocitel l vyjadřuje stupeň mometu m Momet čteme jako l-tý momet x kolem a Pozámka: Kostata k působí jako výpočetí kotva, od které se počítají vzdáleosti a tudíž se stává počátkem Hodota fukce obsahuje iformaci právě o vzdáleosti od tohoto počátku k Pozámka: l-tý obecý momet kolem uly získáme, když za kostatu k dosadíme ulu (x i 0) l (x i ) l (108) 0m x,l Defiice 23 Prví obecý momet kolem uly defiujeme podle vzorce x i (109) 0m x,1 Pozámka: Prví obecý momet kolem uly voláme aritmetický průměr, přičemž jeho vlastosti více rozebereme v Kapitole Pozámka: Obdobě jako předchozí momet můžeme zapsat druhý, třetí a čtvrtý obecý momet kolem uly (110) 0m x,2 2 x i

47 (111) 0m x,3 (112) 0m x,4 212 Cetrálí momety 2 MOMENTY 41 3 x i 4 x i Defiice 24 Cetrálí momety ozačujeme momety, které mají za kostatu zvoleý aritmetický průměr a defiujeme je všeobecým vztahem (x i x) l (113) xm x,l Veta 21 Prví cetrálí momet kolem průměru je vždy rove ule (114) xm x,1 0 (115) Důkaz xm x,1 (x i x) x i x x i x x x 0 Defiice 25 Druhý cetrálí momet kolem průměru voláme rozptyl a ozačujeme jako s 2 x Veta 22 Pro rozptyl platí (116) xm x,2 s 2 (x i x) 2 x x 2 i x i 2 x 2 x 2 Důkaz xm x,2 s 2 (x i x) 2 ( x 2 x i 2x i x + x 2) 2 x 2 i 2x i x x 2 x 2 i x i (117) + 2x + x2 x 2 i x 2 i 2xx + x 2 x 2 x 2 0 m x,2 0 m 2 x,1 2x 2 + x 2 x 2 i x 2

48 42 7 KVANTILY A MOMENTY Pozámka: Rozptyl je rozdíl průměru čtverců hodot a čtverce aritmetického průměru Teto odvozeý tvar ozačujeme jako výpočetí tvar rozptylu a obecý vzorec pro druhý cetrálí momet považujeme za základí tvar rozptylu Pozámka: Obdobě můžeme zapsat třetí a čtvrtý cetrálí momet (x i x) 3 ( x 3 i 3x 2 i x + 3x ix 2 x 3) (118) xm x,3 x 3 i x 2 i x i 3x + 3x 2 x x 3 3xx 2 + 3x 2 x x 3 x 3 3xx 2 + 2x 3 0 m x,3 3 ( 0 m x,1 ) ( 0 m x,2 ) + 2 ( 0 m x,1 ) 2 (119) xm x,4 x 4 i (x i x) 4 x 3 i ( x 4 i 4x 3 i x + 6x2 i x2 4x i x 3 + x 4) x 2 i x i 4x + 6x 2 4x 3 + x4 x 4 4xx 3 + 6x 2 x 2 4x 3 x + x 4 x 4 4xx 3 + 6x 2 x 2 3x 4 0 m x,4 4 ( 0 m x,1 ) ( 0 m x,3 ) + 6 ( 0 m x,1 ) 2 ( 0 m x,2 ) 3 ( 0 m x,1 ) 4 Pozámka: Jelikož se počítají jeom rozdíly hodot zaku od průměru (kostaty), edochází ke ztrátě iformace o měrý jedotce Tudíž průměr, rozptyl a jié cetrálí momety jsou vyjádřey v stejých jedotkách jako původí hodoty 213 Normovaé momety Defiice 26 Normovaé momety jsou matematické fukce, kterých vstupími proměými jsou bezrozměré hodoty všech statistických jedotek v souboru u vybraého bezrozměrého zaku (směrodaté proměé) Veta 23 Necht každou hodotu zaku x i přetrasformujeme pomocí vzorce u i pak pro prvý ormovaý momet kolem uly platí, x i x s x (120) 0m u,l u 0 Důkaz (121) 0 m u,l u u i x i x s x 1 s x (x i x) 1 s x (x i x) 0

49 2 MOMENTY 43 Veta 24 Platí (122) 0m u,l (u i 0) l (u i u) l u m u,l Důkaz (123) (u i 0) l (u i u) l (124) (u i 0) l (u i 0) l Pozámka: V důsledku ulovosti průměru vypočteého z ormovaých hodot, ám předchozí věta říká, že obecé momety ormovaého zaku se rovají cetrálím mometům tohoto zaku Veta 25 Necht každou hodotu zaku x i přetrasformujeme pomocí vzorce u i pak pro druhý ormovaý momet kolem uly (a průměru) platí, x i x s x (125) xm u,2 1 Důkaz (126) u 2 i (u i u) 2 0m u,2 1 (x i x) 2 s 2 1 x s 2 s 2 x 1 x ( ) 2 x i x s x Pozámka: Z předchozích vět rověž vyplývá, že případě ormalizace původí proměé dle vzorce xi x s x získáme ovou proměou, která má průměr ula a rozptyl rove jedé Veta 26 Třetí a čtvrtý momet ormovaého statistického zaku se azývají mometové Míry šikmosti a špičatosti a vypočítají se dle vzorců (127) ( u 3 i (u i u) 3 0m u,3 1 (x i x) 3 1 s 3 ( x m x,3 ) x xm x,2 xm x,2 ) 3 x i x s x xm x,3 xm x,2 xm x,2

50 44 7 KVANTILY A MOMENTY (128) u 4 i 0m u,4 1 (x i x) 4 s 4 x ( ) 4 (u i u) 4 x i x s x 1 ( x m x,2 ) 2 ( xm x,4 ) x m x,4 ( x m x,2 ) 2 22 Výpočet mometů z rozděleí četostí obmě zaku Veta 27 Necht máme hodoty všech statistických jedotek zaku x h v jedorozměrém souboru X, a je počet statistických jedotek v souboru Zároveň, echt je zadáo rozděleí četostí všech možých hodot (variat, obmě) tohoto zaku, x j, kde j 1, 2,, k Symbol k ozačuje počet vyskytujících se obmě zaku a j ozačuje absolutí a p j relativí četost této j-té obměy Pak, pro obecí momety kolem uly platí (129) 0m x,l x l h h1 j x l j i a pro obecí momety kolem průměru platí (130) 0m x,l (x h x) l h1 p j x l j j (x j x) l i p j (x j x) l Důkaz V úvodu důkazu se soustředíme jeom a rovost čitatelů s absolutími četostmi, jelikož podíl 1 je kostata, pro který platí 1 1 i Každá statistická jedotka abývá ěkterou z obmě zaku x j Pomocí dolí idex h sa přetrasformuje z iformace, o kterou pořadovou jedotku v souboru sa jedá, a iformaci o pořadovém čísle jedotky s j-tou obměou (kolikátá hodota s j-tou obměou to je) Tudíž tuto trasformaci můžeme zapsat jako (131) h ij x h x ij Sumu hodot statistických jedotek, které abyli prví obměu zaku zapíšeme jako (132) 1 x i1 x 11 + x x i1 + + x 11 1 x i1, sumu hodot statistických jedotek, které abyli druhou obměu zaku zapíšeme jako (133) 2 x i2 x 12 + x x i2 + + x 22 2 x i2,

51 2 MOMENTY 45 sumu hodot statistických jedotek, které abyli j-tu obměu zaku zapíšeme jako (134) j x ij x 1j + x 2j + + x ij + + x jj j x ij, sumu hodot statistických jedotek, které abyli posledí k-tu obměu zaku zapíšeme jako (135) k x ik x 1j + x 2k + + x ik + + x k k k x ik Pro sumu všech těchto tříd a hodot statistických jedotek v každé třídě v souboru platí, že j (136) x h x ij j x j h1 Aalogicky můžeme přistupovat ke všem obecím mometům kolem uly a průměru V případě obecích mometů kolem uly je každá statistická jedotka s j-tou obměou umocěa vzorcem x l ij a suma těchto umocěých hodot ve vybraé j j-té třídě se rová x l ij V případě obecích mometů kolem průměru je umocě každý rozdíl každé statistické jedotky s j-tou obměou od celkového průměru v souboru, (x ij x) l j a suma vybraé j-té třídy je rova (x ij x) l Symbolem j můžeme ozačit počet umocěých statistických jedotek s j-tou obměou ebo počet rozdílů každé statistické jedotky s j-tou obměou od průměru v souboru Následové vztahy můžeme symbolicky zapsat j (137) x l h x l ij j x l j (138) h1 (x h x) l h1 j (x ij x) l j (x ij x) l Pro relativí četosti pak můžeme jedoduše zavést ásledující vztahy j (x ij x) l j (x ij x) l (139) i j (x ij x) l p j (x ij x) l (140) j x l ij i j xl ij p j x l ij

52 46 7 KVANTILY A MOMENTY Pozámka: Jelikož přiřazeí hodot statistických jedotek do itervalů v případě itervalového rozděleí četostí můžeme chápat rověž přes kocept obmě a četostí, ebudeme výpočtu mometů z itervalových četostí věovat větší pozorost Zároveň je však uté připomeout, že v případě itervalů, jsou ve výpočtu všechy statistické jedotky s hodotami v itervale ahrazey hodotami středů v daém třídím itervale

53 Část 3 Kvatitativí proměá

54 KAPITOLA 8 Míry polohy Defiice 07 Míra polohy je v jedorozměrém souboru číslo, jež a) zastupuje jedotlivé hodoty uvažovaého statistického zaku, b) udává cetrálí polohu daého rozděleí, c) charakterizuje obecou velikost zkoumaého jevu, d) umožňuje jedoduché srováí polohy dvou ebo více rozděleí Pozámka: Míry polohy voláme taky míry úrově ebo středí hodoty Defiice 11 Průměr je statistika, pro kterou platí: 1 Průměry a) V situaci, když jsou všechy hodoty zaku x i v souboru X rové kostatě k, průměr x je rove této kostatě (141) x i X : x i k x k b) Průměr může abýt hodoty jeom v rozmezí mezi miimálí hodotou x mi a maximálí hodotou zaku, x max, včetě těchto hodot (142) x x mi, x max c) Zvětšeí kterékoli hodoty x i v souboru X, při zachovái ostatích hodot v původí úrovi, zákoitě způsobí, že ový průměr abude hodoty větší ežli původí průměr d) Zmešeí kterékoli hodoty v souboru, při zachovái ostatích hodot v původí úrovi zákoitě způsobí, že ový průměr abude hodoty meší ežli původí průměr e) Průměr je fukcí všech hodot zaku ve výběrovém souboru (143) x f (x 1, x 2,, x ) f) Průměr ezávisí a pořadí hodot zaku ve výběrovém souboru (144) x f (x 1, x 2,, x i,, x j,, x ) f (x 1, x 2,, x j,, x i,, x ) 21 Obecá defiice 2 Aritmetický průměr 48

55 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 49 Defiice 21 Aritmetický průměr zaku vypočteý ze všech hodot statistických jedotek x i v souboru i 1, 2,, defiujeme jako podíl sumy hodot tohoto vybraého zaku a počtu těchto hodot v souboru x i (145) x Pozámka: Z defiice vyplývají ásledující úpravy (146) x i x, x 1 + x x (147) x 1 + x x x + x + + x (148) (x 1 + x x ) (x + x + + x) 0 (149) (x 1 x) + (x 2 x) + + (x x) 0 O aritmetickém průměru jako o hodotě můžeme říct, že se jedá o polohu, která kompezuje odchylky hodot souboru od sebe sama Tudíž se ejedá o středí hodotu v pravém smyslu slova, ale o kompezačí míru, která distribuuje celkovou sumu hodot rovým dílem mezi vše čley (jedotky v souboru) Pozámka: Obecí defiici aritmetického průměru ozačujeme i jako prostý aritmetický průměr Pozámka: Aritmetický průměr je ajpoužívaejší a ejuiverzalejší míra polohy mezi všemi druhy průměrů a jiých mír polohy Navíc má matematické vlastosti, které se ukázali klíčové v oblasti iferečí statistické idukce Řešeí ve VBA: V případě, že máme data v Excelu ve tvaru, kde prví sloupec jsou idetifikátory statistických jedotek, prví řádek je rezervová ázvům sloupců a hodoty statistického zaku jsou ve druhém sloupci počíaje druhým řádkem, pak program může vypadat ásledově Sub Prumer() Dim Prumer As Sigle Defiice promeych kvuli rezervaci pameti Dim Suma As Sigle Dim x i() As Sigle Dim As Iteger Dim i As Iteger Vypocet: ApplicatioCoutA(Colums(2)) - 1 ebo ApplicatioCoutA(Rage("B:B")) - 1 ReDim x i(1 To ) Suma 0 For i 1 To x i(i) Cells(i + 1, 2)

56 50 8 MÍRY POLOHY Suma Suma + x i(i) Prumer Suma / MsgBox ("Prumer:"& vbtab & Prumer) Ed Sub 22 Vážeý aritmetický průměr Veta 21 Necht máme zadáo rozděleí četostí všech možých hodot (variat, obmě) zaku x j v jedorozměrém souboru X, kde j 1, 2,, k Symbol k ozačuje počet obmě zaku x j a j ozačuje absolutí a p j relativí četost této j-té obměy Pak můžeme aritmetický průměr, vypočte za těchto podmíek, ozačovat za vážeý aritmetický průměr a zapsat jako (150) x j x j 1 x x k x k j j 1x x k x k 1 x x k x k p 1 x 1 + p 2 x p k x k Důkaz Důkaz této vlastosti je obsaže v důkazu věty 27 a straě 44 Pozámka: V případě, že je jakýkoli vážeý průměr počítá z absolutích četostí voláme ho také jako vážeý průměr počítaý z absolutích četostí a v případě výpočtu s užitím relativích četostí jako vážeý průměr počítaý z relativích četostí Pozámka: Podíly absolutích četostí s celkovou četostí i a relativí četosti p i vystupují ve výpočtu jako váhy, které přiřazujeme každé obměě zaku x i Tímto způsobem se ve výsledé hodotě průměru číselě ejvíce projeví vliv silě zastoupeých obmě a jejich hodot Řešeí ve VBA: V případě, že máme data v Excelu ve tvaru, kde prví sloupec jsou variaty statistického zaku, které zak může abýt, prví řádek je rezervová ázvům sloupců a četosti jedotlivých obmě jsou ve druhém sloupci počíaje druhým řádkem, pak program může vypadat ásledově Sub Prumer() Dim Prumer As Sigle Defiice promeych kvuli rezervaci pameti Dim Suma As Sigle Dim As Iteger Dim k As Iteger Dim i As Iteger Dim x i() As Sigle

57 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 51 Dim i() As Sigle Vypocet: ApplicatioSum(Colums(2)) k ApplicatioCoutA(Colums(2)) - 1 ReDim x i(1 To k) ReDim i(1 To k) Suma 0 For i 1 To k i(i) Cells(i + 1, 2) x i(i) Cells(i + 1, 1) Suma Suma + i(i) * x i(i) Prumer Suma / MsgBox ("Prumer:"& vbtab & Prumer) Ed Sub 23 Výpočet celkového průměru z průměrů dílčích souborů Veta 22 Necht máme hodoty všech statistických jedotek zaku x h v jedorozměrém souboru X, a je počet statistických jedotek v souboru Zároveň, echt je teto soubor rozděle do k skupi (podsouborů) Symbol j ozačuje absolutí a p j relativí četost hodot v j-té skupiě (podsouboru) Pak pro celkový průměr platí (151) x x h h1 j x j j p j x j Důkaz Každá statistická jedotka patří do ěkteré z k skupi Pomocí dolí idex h se přetrasformuje z iformace, o kterou pořadovou jedotku v souboru sa jedá, a iformaci o pořadovém čísle jedotky v j-té skupiě (kolikátá hodota v j-té skupiě to je) Tudíž tuto trasformaci můžeme zapsat jako (152) h ij x h x ij h1 Pro sumu hodot, které patří do prví skupiy, platí (153) 1 x i1 x 11 + x x i1 + + x 11, pro sumu hodot, které patří do druhé skupiy platí (154) 2 x i2 x 12 + x x i2 + + x 22, pro sumu hodot, které patří do j-té skupiy platí (155) j x ij x 1j + x 2j + + x ij + + x jj,

58 52 8 MÍRY POLOHY pro sumu hodot, které patří do k-té skupiy platí (156) k x ik x 1j + x 2k + + x ik + + x k k Pro sumu všech těchto tříd a hodot statistických jedotek v každé třídě platí, že (157) x h h1 j x ij Pro výpočet (dílčího) průměru v j-té skupiě platí, že (158) x j j x ij j, tudíž se dá suma hodot v j-té skupie vyjádřit také jako (159) j x ij j x j, Vztah v rovici 157 se tedy dá vyjádřit (160) x h h1 Pro celkový průměr souboru platí (161) x x h h1 j x ij j x ij j x j j j x j j Pro relativí četosti pak můžeme jedoduše zavést ásledující vztahy (162) x j x j j j x j j x j p j x j Pozámka: Předcházející věta ám říká, že celkový vážeý průměr je možé vyjádřit ejeom v případě hodot zaku uspořádaých v tabulce četostí ale také v případě existece libovolých dílčích skupi, ze kterých je celkových soubor sestave Tehdy je celkový průměr vážeým průměrem z dílčích průměrů Váhy přiřazeé jedotlivým skupiám jsou četosti hodot, ze kterých byli jedotlivé dílčí průměry vypočtey

59 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 53 Veta 23 Průměr, který se počítá za situace když, je počet skupi k rový počtu hodot v celém souboru, všechy absolutí četostí přiřazeé k jedotlivým skupiám se rovají číslu jeda, j : j 1 a dílčí skupiový průměr se rová jedié statistické jedotce, která dílčí soubor tvoří, x j : x j x 1j, se ozačuje jako výše uvedeý prostý aritmetický průměr a jeho předpis je stejý jaký obecá defiice aritmetického průměru Tudíž vážeý průměr je jeom jiá úprava prostého průměru, když předpokládáme erovoměrou strukturu a rozděleí obmě, ebo skupi hodot (163) Důkaz x j x j j 1x j j x j j 1 x ij j 1 j x j j x j j x i, 24 Další vlastosti aritmetického průměru Veta 24 Když k je kostata a ozačuje počet hodot statistických jedotek zaku x i v souboru, pak platí x i + k (164) x + k (165) Důkaz x i + k x 1 + k + x 2 + k + + x + k x 1 + x x + k x i + k x + k x 1 + x x + k Pozámka: Věta ám říká, že přičteme-li ke každé hodotě v souboru stejou kostatu, průměr se změí také o tuto kostatu Veta 25 Když k je kostata růzá od uly a ozačuje počet hodot statistických jedotek zaku x i v souboru, pak platí kx i (166) kx