(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "(Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applications)"

Transkript

1 Základy datové aalýzy, modelového vývojářství a statistického učeí (Teorie statistiky a aplikace v programovacím jazyce Visual Basic for Applicatios) Lukáš Pastorek POZOR: Autor upozorňuje, že se jedá o rozpracovaou, eupraveou a erecezovaou verzi pomocého studijího materiálu, z čehož vyplývá výskyt možých chyb a dalších edostatků v textu

2 Tato publikace byla podpořea gratem Fodu rozvoje vysokých škol Miisterstva školství, mládeže a tělovýchovy ČR v roce 2013 Učebí materiál avazuje zejméa a eoceitelou učebici L Cyhelského: Úvod do teorie statistiky z 80 let, ze které byly převzaty, ásledě upravey a doplěy matematické vztahy a důkazy v části o kvatitativí proměé a publikaci H Řezaková a T Löster: Úvod do statistiky

3 Obsah Část 1 Poslouposti, sumy a produkty 1 Kapitola 1 Posloupost 2 Kapitola 2 Suma 5 Kapitola 3 Produkt 27 Část 2 Úvod do teorie popisé statistiky 33 Kapitola 4 Úvodí statistické defiice 34 Kapitola 5 Druhy statistických zaků (proměých) 35 Kapitola 6 Rozděleí četostí 37 Kapitola 7 Kvatily a momety 39 1 Kvatily 39 2 Momety 40 Část 3 Kvatitativí proměá 47 Kapitola 8 Míry polohy 48 1 Průměry 48 2 Aritmetický průměr 48 3 Harmoický průměr 55 4 Geometrický průměr 59 5 Kvadratický průměr 63 6 Aritmetický střed 66 7 Modus 66 8 Mediá 66 9 Vztah mezi aritmetickým průměrem, mediáem a modem Vztahy mezi průměry 67 Kapitola 9 Míry variability 70 1 Kvatilové míry variability 70 2 Mometové Míry variability 74 3 Ostatí míry variability 85 Kapitola 10 Míry šikmosti 92 1 Defiice zešikmeých rozděleí 92 2 Nároky a míry šikmosti 92 iii

4 iv OBSAH 3 Kvatilové míry šikmosti 92 4 Mometová míra šikmosti 94 5 Ostatí míry šikmosti 100 Kapitola 11 Míry špičatosti Nároky a míry špičatosti Kvatilové míry špičatosti Mometová míra špičatosti Ostatí míry špičatosti 108 Část 4 Ordiálí proměá 109 Kapitola 12 Míry polohy 110 Kapitola 13 Míry variability Variačí rozpětí Mezikvartilové rozpětí Ordiálí rozptyl Normalizovaý ordiálí rozptyl 116 Část 5 Nomiálí proměá 121 Kapitola 14 Míry polohy 122 Kapitola 15 Míry variability Nároky a ukazatele Wilcoxove míry Ostatí ukazatele variability a kocetrace 131 Část 6 Stručý přehled ukazatelů síly závislosti mezi proměými 139 Kapitola 16 Měřeí síly souvztažosti mezi dvěma kvatitativími proměými Kovariace Pearsoův korelačí koeficiet Spearmaův koeficiet pořadové korelace 142 Kapitola 17 Měřeí síly asociace mezi dvěma kvalitativími proměými Kotigečí tabulka Pearsoův Chí-kvadrát (Empirická středí čtvercová kotigece) Pearsoův koeficiet kotigece Čuprovův koeficiet kotigece Cramerův koeficiet kotigece 150 Kapitola 18 Měřeí síly závislosti kvatitativí a kvalitativí proměé Jedofaktorová aalýza rozptylu Poměr determiace 153 Část 7 Úvod do teorie časových řad 155 Kapitola 19 Základí defiice 156

5 OBSAH v Kapitola 20 Základí charakteristiky časové řady Obecá úroveň časové řady Absolutí míry dyamiky Relativí míry dyamiky - ukazatele tempa růstu 161 Kapitola 21 Úvod do vyrováváí hodot časové řady Prosté klouzavé průměry Cetrovaé klouzavé průměry 164 Část 8 Úvod do teorie hospodářských idexů 167 Kapitola 22 Úvodí defiice 168 Kapitola 23 Idividuálí jedoduché idexy 170 Kapitola 24 Idividuálí složeé idexy Složeý idex celkové hodoty Složeý objemový idex Idex promělivého složeí 172 Kapitola 25 Souhré idexy - Idexy stálého složeí a struktury Objemové souhré idexy - Idexy stálé struktury Ceové souhré idexy - Idexy stálého složeí 175 Literatura 177

6

7 Část 1 Poslouposti, sumy a produkty

8 KAPITOLA 1 Posloupost Defiice 01 Posloupostí azýváme každé zobrazeí možiy všech kladých celých čísel N do možiy všech reálých čísel R (ekoečá posloupost) ebo zobrazeí eprázdé podmožiy všech kladých celých čísel N do eprázdé podmožiy všech reálých čísel R (koečá posloupost) [2] Pozámka: My se budeme zabývat pouze koečými posloupostmi, což je dáo eexistecí ekoečých posloupostí (ekoečě velikých datových souborů) v aalytické ebo programátorské praxi Tudíž, pod posloupostí budeme chápat spíš reálou fukci jedé reálé proměé, jejímž defiičím oborem je podmožia všech kladých celých čísel N Defiice 02 Koečou posloupost v Defiici 01 můžeme symbolicky zadefiovat ásledově: (1) A {a i } im a m, a m+1,, a, přičemž platí, že (2) i U!a i R : i a i, kde i je všeobecé ozačeí pro pomocý idex (vzor obrazu), který ám umožňuje rozlišit čley poslouposti, m je počátečí idex, m N je koečý idex, N, m U je možia všech idexů, pro kterou platí U {i i m, m + 1,, }, a m je prví čle poslouposti, a i je i-tý čle poslouposti, ozačující se jako obecý čle poslouposti (obraz), a je koečý čle poslouposti, A je možia všech čleů poslouposti, pro kterou platí A {a i (a i R) (i U)} Pozámka: Součástí každého zpracováí a datové aalýzy v jakémkoliv aalytickém programovém balíku je přiřazeí symbolů jedotlivým údajům Programy epracují s reálými ázvy ale pouze s jejich přesým algoritmickým ozačeím Takto se zabezpečí jedozačá idetifikace a vyloučí se možost jakékoliv záměy Asociovaé idexy můžeme chápat jako uikátí klíče, které překládají běžé ozačeí v 2

9 1 POSLOUPNOST 3 lidském jazyce do matematického jazyka algoritmů Tímto způsobem se trasformují reálá data a abstraktí matematické kostrukty a otevírá se možost jejich exaktího matematického a algoritmického zpracováí Pozámka: Pro symbolické ozačeí můžeme samozřejmě použít i jiých písme Pozámka: Nejvíce se setkáme se situací, kdy bude m 1, tudíž, (3) {a i } a 1, a 2,, a Například, mějme soubor, který obsahuje iformace o vládích výdajích v jedotlivých čleských státech EU, Isladu a Norska v roce 2010 Státy a jejich výdaje: Německo (136,354 mil EUR), Česká republika (65,724 mil EUR), Slovesko (26,328 mil EUR), Údaje a jejich ozačeí musí přejít důkladým předefiováím v programu Program hodoty zadefiuje ásledově: Stát i Německo i 1 Česká republika i 2 Slovesko i 3 Vládí výdaje v i-tém státě x i Vládí výdaje v Německu x Vládí výdaje v České republice x Vládí výdaje a Slovesku x Pozámka: Čley poslouposti emusí být pouze samostaté hodoty ale také fukce, které pracují s původími hodotami a trasformují je Příklad 1 Mějme datový soubor X, který obsahuje hodoty x i Hodoty jsou zapsáy v tomto pořadí X (14500, 48000, 17000, 16000, 28000, 35000) Vypište všechy čley poslouposti {a i } i3, když víte, že a i x i Řešeí: X {x i i 1, 2,, } x x x x x x

10 4 1 POSLOUPNOST (4) {a i } i3 {a i } 6 i3 {a 3, a 4, a 5, a 6 } {x , x , x , x } { , , , } {22000, 21000, 33000, 40000} Řešeí ve VBA: Kód může vypadat ásledově Sub Posloupost() For i 3 To 6 Cells(i, 2) Cells(i, 1) Ed Sub Nové hodoty program vypsal do druhého sloupce do odpovídajících řádků otevřeého listu sešitu

11 KAPITOLA 2 Suma Defiice 03 Necht je dáa posloupost uspořádaých hodot v datovém souboru {a t } m, kde m, N, m Operaci, která sčítá daé čley této poslouposti, ozačujeme jako sumaci Pozámka: Operaci sumace ozačujeme velkým řeckým písmeem Σ (Sigma), které voláme i jako sumačí zak ebo sumači operátor Defiice 04 Předchozí defiice můžeme symbolicky zapsat s pomocí sumačiho operátora ve tvaru (5) přičemž platí, že +c im+c a i c { a m + a m a když m 0 jiak (6) (i c) t a i c a t, kde c je kostata, c Z 0 Pozámka: Symbol i azýváme sumačí idex (sumačí idex může být ozače samozřejmě i jiým písmeem) Povětšiou se setkáme v této učebici s případy, kdy bude v defiicích kostata c rova ule, c 0 a m 1, tudíž, sumačí idex i bude totožý s pomocým idexem v poslouposti t V ašem případě bude (7) i t a i a t Získame tak méě komplikovaý a více zámý zápis (8) a i a 1 + a a Třeba však podotkout, že je to jeom jede případ, i když ejrozšířeější V případě vývoje modelů emusí být sumace počíající prvím čleem souboru vždy žádoucí Z hlediska lepšího osvojeí si statistických defiic a vět, však zůstaeme v ásledujících kapitolách při koceptu sumace od prvího čleu v souboru Pozámka: Dolí symbol m při sumačím zaku im+c začí, který čle souboru budeme brát jako prví sčítaec, jelikož a m+c c a m Každý ásledující sčítaec (ásledující 5

12 6 2 SUMA čle poslouposti) má idex o jedotku větší, ež čle přičteý v předchozím kroku, (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) Horí symbol, +c, odkazuje a člea souboru, kterého přičteme jako posledího (a +c c a ) Pricip sumace, tudíž spočívá v iterativím (opakovaém) přičítáí ových sčítaců k předchozím výsledkům sčítáí Pozámka: V případě, že je horí idex meší ež dolí idex, výsledek je tzv prázda suma rová ule Příklad 2 Na základe dat z Příkladu 1 určete 3 a) x i ; b) c) 3 x i + x 4 ; 3 x i x 1 Řešeí: Postup je ásledový (9) (10) a) b) 3 x i (a 1 + a 2 + a 3 ) ( ) 79500; Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ( 3 ) x i + x 4 (x 1 + x 2 + x 3 ) + x 4 x 1 + x 2 + x 3 + x 4 4 x i Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, 1)

13 2 SUMA 7 Suma Suma + Cells(4, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub (11) c) ( 4 ) x i x 1 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 ) x 1 x 2 + x 3 + x 4 4 x i i2 Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 4 Suma Suma + Cells(i, 1) Suma Suma - Cells(1, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 01 Když k < l <, platí l (12) a i a i a i, Důkaz l a i a i ik ik ik ik il+1 (a k + a k a ) (a k + a k a l ) (13) (a k + a k a l + + a ) (a k + a k a l ) (a k + a k a l + a l+1 + a ) (a k + a k a l ) a l a a i il+1 Příklad 3 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 6 x i 2 x i ; Řešeí: 6 x i 2 x i (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 1 + x 2 ) (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 6 x i i3

14 8 2 SUMA Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo jié spracováí Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 6 Suma1 Suma1 + Cells(i, 1) If i 2 The Suma2 Suma1 ElseIf i <> 2 The Ed If Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 02 Když k < l <, platí l 1 (14) a i a i a i, Důkaz a i a i ik il ik il ik (a k + a k a ) (a l + a l a ) (15) (a k + a k a l + a l a ) (a l + a l a ) (a k + a k a l 1 + a l + a l a ) (a l + a l a ) l 1 a k + + a l 1 a i ik

15 Příklad 4 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 6 x i 6 x i ; Řešeí: i3 2 SUMA 9 (16) 6 6 x i x i i3 (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 2 (x 1 + x 2 ) x i Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) Suma Suma1 - Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 03 Když K je kostata, platí (17) (Ka i ) K a i, (18) Důkaz (Ka i ) Ka 1 + Ka Ka K (a 1 + a a ) K a i Příklad 5 Na základe dat z Příkladu 1 určete: a) (Kx i )

16 10 2 SUMA b) (Kx i ) i3 Řešeí: a) (Kx i ) K 6 (x i ) K (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) 2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle For to 6 Suma Suma + 2* Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 2 * ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub b) (Kx i ) K 6 (x i ) K (a 3 + a 4 + a 5 + a 6 ) i3 i3 2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i3 to 6 Suma Suma + 2* Cells(i, 1) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 2 * ApplicatioSum(Rage("A3:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 04 Platí (19) (a i + b i ) a i + b i,

17 2 SUMA 11 (20) Důkaz (a i + b i ) a 1 + b 1 + a 2 + b a + b (a 1 + b 1 ) + (a 2 + b 2 ) + + (a + b ) (a 1 + a a ) + (b 1 + b b ) a i + b i Příklad 6 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 4 (x i + x i+1 ); i2 Řešeí: (21) (x i + x i+1 ) x i + x i+1 i2 i2 i2 (x 2 + x 3 + x 4 ) + (x 3 + x 4 + x 5 ) ( ) + ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 4 Suma Suma + ( Cells(i, 1)+ Cells(i+1, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 0 Suma2 0 For i 2 To 4 Suma1 Suma1 + Cells(i, 1) Suma2 Suma2 + Cells(i+1, 1) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

18 12 2 SUMA Veta 05 Když > m, platí m (22) a i + a i a i, im+1 (23) Důkaz m a i + a i im+1 a 1 + a a m + a m+1 + a m a a 1 + a a a i Příklad 7 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 4 x i + 6 i2 Řešeí: x i i5 (24) 4 6 x i + x i i2 i5 (x 2 + x 3 + x 4 ) + (x 5 + x 6 ) x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A5:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A6")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 06 Když k < l < m <, platí m m (25) a i + a i a i + a i, ik il ik il

19 2 SUMA 13 Důkaz m a i + a i ik il (a k + a k a l + + a m ) + (a l + a l a m + + a ) a k + a k a l + + a m + a l + a l a m + + a (26) a k + a k a l + + a m + (a l + a l a m ) + + a a k + a k a l + + a m + + a + (a l + a l a m ) (a k + a k a l + + a m + + a ) + (a l + a l a m ) m (a k + a k a ) + (a l + + a m ) a i + a i Příklad 8 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 5 x i + 6 i2 Řešeí: x i i4 ik il (27) 5 6 x i + x i i2 i4 (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 ) + (x 4 + x 5 + x 6 ) (x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) + (x 4 + x 5 ) 6 5 x i + x i i2 i4 ( ) + ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A5")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A4:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A2:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A4:A5")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma)

20 14 2 SUMA Ed Sub Veta 07 Když k < m < l <, platí m (28) a i + a i Důkaz (29) m a i + a i ik il ik il a i ik (a k + a k a m ) + (a l + a l a ) (a k + a k a m + a l + + a ) l 1 im+1 (a k + a k a ) (a k + a k a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + + a l + + a ) (a k + a k a m + + a l + + a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) + (a k + a k a m + a l + + a ) (a k + a k a m + a m+1 + a l 1 + a l + + a ) (a m+1 + a l 1 ) (a k + a k a ) (a m+1 + a l 1 ) l 1 a i ik im+1 a i Příklad 9 Na základe dat z Příkladu 1 určete: 2 x i + 6 Řešeí: x i i5 a i, (30) 2 6 x i + x i (x 1 + x 2 ) + (x 5 + x 6 ) 6 x i i5 i3 4 x i (x 1 + x 2 + x 3 + x 4 + x 5 + x 6 ) (x 3 + x 4 ) (x 1 + x 2 ) + (x 5 + x 6 ) ( ) Sub Suma()

21 2 SUMA 15 Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A2")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A5:A6")) SumaSuma1+Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma1 ApplicatioSum(Rage("A1:A6")) Suma2 ApplicatioSum(Rage("A3:A4")) SumaSuma1-Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 08 Když K je kostata, platí (31) K K, Důkaz (32) K K + K + + K K Příklad 10 Na základe dat z Příkladu 1 určete: Řešeí: (33) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 5 Suma Suma MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma()

22 16 2 SUMA Dim Suma As Sigle Suma 5*1000 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 09 Když K je kostata, platí (34) K ( m + 1)K, im Důkaz (35) K im m 1 K K K (m 1)K ( m + 1)K Příklad 11 Na základe dat z Příkladu 1 určete: i2 Řešeí: (36) i2 ( ) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 5 Suma Suma MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (5-2+1)*1000 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 010 Když c je libovolé celé číslo a > m, platí m+c (37) a i a j+m c, im jc

23 Důkaz Mějme sumu poslouposti uvedeé sumaci ásledovým způsobem: 2 SUMA 17 a i Chceme přetrasformovat idexy v im (1) Dolí idex ové přetrasformovaé sumy ozačující dolí hraici je rove j c, kde c je libovolě zvoleé celé číslo (2) Nová suma poslouposti musí mít idetický počet sčítacích čleu jako původí suma (3) Suma musí sčítat idetické čley poslouposti jako původí suma Aby měli sumy stejý počet čleů, musí platit mezi idexy původí a ové sumy ásledující vztahy (38) m x c, (39) x m + c, kde x je ezámý horí idex u ové sumy rovy m+c jc x jc Tudíž, idexy u ové sumy jsou Aby se ová suma odvolávala a sčítaí původích čleů poslouposti musí platit (40) a m + a m a a c+y + a c+1+y + + a m+c+y, kde y je ezáme celé číslo Z rovice (40) vyplývá, že y m c Rovice (40) se tedy dá přepsat do tvaru m+c (41) a i a j+m c, 4 x i i2 Řešeí: im jc Příklad 12 Na základe dat z Příkladu 1 určete: (42) 4 x i i2 (4 2+7) j7 x j x j 5 j7 x (7 5) + x (8 5) + x (9 5) x 2 + x 3 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

24 18 2 SUMA ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 7 To Suma Suma + ( Cells(i+2-7, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 011 Když c je libovolé celé číslo a > m, Věta 010 se dá zapsat i jako +c (43) a i a i c, im jm+c Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu Věty 010 Příklad 13 Na základe dat z Příkladu 1 přetrasformujte sumaci předchozí Věty, když víte, že m 2, 4 a c 5 x i podle im Řešeí: (44) 4 x i i2 (4+5) j2+5 x j 5 9 x j 5 j7 x (7 5) + x (8 5) + x (9 5) x 2 + x 3 + x Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma ApplicatioSum(Rage("A2:A4")) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2+5 To 4+5 Suma Suma + ( Cells(i-5, 1)) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 012 Platí (45) s s a ij im jr jr im a ij

25 2 SUMA 19 Důkaz (46) im jr s a ij (a ir + a i(r+1) + + a is ) im a mr + a m(r+1) + + a ms + a (m+1)r + a (m+1)(r+1) + + a (m+1)s a r + a (r+1) + + a s s a mj + jr s a (m+1)j + jr s + s a j jr s (a mj + a (m+1)j + + a j ) jr a ij jr im Příklad 14 Mějme matici A ve tvaru 2 3 s hodotami symbolicky ozačeými jako a ij, kde i je pořadové číslo řádku a j je pořadové číslo sloupce, ve kterém se prvek a ij achází, (47) A ( ) Vypočítejte 3 2 a ij

26 20 2 SUMA Řešeí: (48) 2 3 a ij 2 (a i1 + a i2 + a i3 ) ( ) + ( ) + ( ) ( ) + ( ) 3 a 1j + a 2j 1930 Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 2 For j 1 To 3 Suma Suma + Cells(i, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For j 1 To 3 For i 1 To 2 Suma Suma + Cells(i, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 013 Platí (49) ( im a i ) s jr b j im jr s (a i b j ) (50) Důkaz ( ) ( ) s a i b j im jr

27 2 SUMA 21 (a m + a m a ) (b r + b r b s ) a m b r + a m b r a m b s + a m+1 b r + a m+1 b r a m+1 b s a b r + a b r a b s ( ) [a i (b r + b r b s )] s a i b j im im jr ( ) s a i b j s (a i b j ) im jr im jr Příklad 15 Mějme vektor v s prvkami a i a vektor u s prvkami b i, (51) v ( 120, 360, 720 ), (52) u ( 200, 170, 360 ) Vypočítejte Řešeí: (53) a i b j a i 3 b j ( ) ( ) 120 ( ) ( ) ( ) b j b j b j b j + 3 b j b j 3 (120 b j b j b j ) 3 [( ) b j ] [( 3 3 ) ] a i b j Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) Suma2 Suma2 + Cells(2, i) ( 3 3 ) a i b j 3 3 a i b j

28 22 2 SUMA Suma Suma1 * Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 For j 1 To 3 Suma Suma + Cells(1, i) * Cells(2, j) Next j MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 014 Platí (54) i 1 ( m + 1) (m + ) 2 im Důkaz (55) i m + (m + 1) + ( 1) + +, im Počet čleů předchozí sumace je m i im [m + (m + 1) + + ( 1) + ] + [m + (m + 1) + + ( 1) + ] [m + (m + 1) + + ( 1) + ] + [ + ( 1) + + (m + 1) + m] (56) m + (m + 1) + + ( 1) ( 1) + + (m + 1) + m m + + (m + 1) + ( 1) + + ( 1) + (m + 1) + + m (m + ) + (m ) + + ( 1 + m + 1) + ( + m) (m + ) + (m + ) + + (m + ) + (m + ) ( m + 1)(m + ) (57) 2 i ( m + 1)(m + ) im (58) im i 1 ( m + 1)(m + ) 2

29 2 SUMA 23 Příklad 16 Určete: 6 i i2 Řešeí: (59) 6 i 1 2 ( )(2 + 6) i2 Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 2 To 6 Suma Suma + i MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (1 / 2) * ( ) * (2 + 6) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 015 Platí (60) i 1 ( + 1) () 2 Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu Věty 014 Příklad 17 Určete: 6 i Řešeí: (61) 6 i 1 2 (6 + 1)(6) Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma 0 For i 1 To 6 Suma Suma + i MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

30 24 2 SUMA ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle Suma (1 / 2) * (6 + 1) * (6) MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub Veta 016 Platí (62) ( ) 2 a i im im ji+1 jm+1 im im jm a i a j + j 1 a i a j + a i a j (a i ) 2 im (a i ) 2 im Důkaz (63) ( ) 2 ( ) ( ) a i a i a i im im im (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) (a m + a m+1 + a m a 2 + a 1 + a ) (64) a m a m + a m a m+1 + a m a m a m a 2 + a m a 1 + a m a + a m+1 a m + a m+1 a m+1 + a m+1 a m a m+1 a 2 + a m+1 a 1 + a m+1 a + a m+2 a m + a m+2 a m+1 + a m+2 a m a m+2 a 2 + a m+2 a 1 + a m+2 a a 2 a m + a 2 a m+1 + a 2 a m a 2 a 2 + a 2 a 1 + a 2 a + a 1 a m + a 1 a m+1 + a 1 a m a 1 a 2 + a 1 a 1 + a 1 a + a a m + a a m+1 + a a m a a 2 + a a 1 + a a Výše uvedeý sumačí rozvoj se dá zkrátit do zápisu im jm a i a j Platí, že součiy čleů a diagoále se dají zapsat s pomocí sumačího zaku jako (65) a m a m +a m+1 a m+1 +a m+2 a m+2 + +a 2 a 2 +a 1 a 1 +a a Zároveň platí, že součiy pod touto diagoálou jsou zrcadlovým obrazem součiů ad diagoálou a aopak Tudíž, každý souči se opakuje dva krát Když, vyjmeme pouze horí poloviu těchto součiů, im a i 2

31 2 SUMA 25 (66) a m a m+1 + a m a m a m a 2 + a m a 1 + a m a + + a m+1 a m a m+1 a 2 + a m+1 a 1 + a m+1 a a m+2 a 2 + a m+2 a 1 + a m+2 a a 2 a 1 + a 2 a + + a 1 a, výraz se dá upravit s použitím sumačích zaků počítaých pro každý řádek apříč sloupci a (67) jm+1 a m a j + j 2+1 jm+1+1 a 2 a j + a m+1 a j + j 1+1 jm+2+1 a 1 a j a m+2 a j im ji+1 a i a j ebo a posloupost sum počítaých pro každý sloupec apříč řádky a (68) m 1 im m+2 1 a i a m im im 2 1 a i a m a i a 1 + a i a im im j 1 a i a 2 + im jm+1 Když vezmeme v potaz duplicitu součiů ad a pod diagoálou, sumu z rovice (65), suma všech součiů v maticovém zápisu (65) se musí rovat 2 1 a i a j + im (a i ) 2 ebo 2 j 1 im jm+1 a i a j + im Příklad 18 Mějme vektor v s prvkami a i (69) v ( 120, 360, 720 ), ( 3 ) 2 Vypočítejte a i Řešeí: a i a j im ji+1 (a i ) 2 (70) 2 ( 3 3 ) a i 2 +1 j 1 a i a j + 3 ji+1 a i a j + 3 (a i ) 2 3 (a i )

32 26 2 SUMA Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3 Suma Suma + Cells(1, i) Suma Suma^2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For i 1 To 3-1 For j i + 1 To 3 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) * Cells(1, j) Next j For i 1 To 3 Suma2 Suma2 + Cells(1, i) * Cells(1, i) Suma 2 * Suma1 + Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub ebo Sub Suma() Dim Suma As Sigle For j 1+1 To 3 For i 1 To j - 1 Suma1 Suma1 + Cells(1, i) * Cells(1, j) Next j For i 1 To 3 Suma2 Suma2 + Cells(1, i) * Cells(1, i) Suma 2*Suma1 + Suma2 MsgBox ("Suma:"& vbtab & Suma) Ed Sub

33 KAPITOLA 3 Produkt Defiice 05 Necht je dáa stejá posloupost {a t } m, kde m, N, m Operaci, která zásobí daé čley této poslouposti, ozačujeme jako produkt Pozámka: Produkt ozačujeme velkým řeckým písmeem P i (Pí), které voláme i jako multiplikačí zak ebo multiplikačí operátor Defiice 06 Produkt defiujeme s pomocí multiplikačího operátora ásledově: (71) +c im+c a i c { a m a m+1 a když m 1 jiak Pozámka: Symbol i azýváme multiplikačí idex, který bude spoluurčovat všechy čley poslouposti, které spolu zásobíme Dolí idex m při multiplikačím zaku,, začí, který čle poslouposti budeme brát jako prví ásobeec Každého im+c ásledujícího člea poslouposti budeme chápat jako ásobitele, přičemž bude mít pomocý idex o jedotku větší, ež ásobitel z předchozího kroku, (a m a m+1 a m+2 a 2 a 1 a ) Každý ásledující ásobitel opětově přeásobí výsledek ásobeí získaý v předchozím kroku Horí idex, +c, odkazuje a člea poslouposti, který bude vystupovat jako posledí ásobitel V případě, že je horí idex meší ež dolí idex, výsledek je tzv prázdý produkt rový jedé Tak jako v případě sumace, se ejvíce setkáme se situací, kdy bude kostata c rova ule, c 0 a m 1, tudíž, multiplikačí idex i bude totožý s pomocým idexem v poslouposti V ašem případě bude (72) i t a i a t Získame tak více zámý zápis (73) Příklad 19 Určete: a i a 1 a 2 a a) 3 x i ; 27

34 28 3 PRODUKT b) c) 3 x i x 4 ; 4 x i /x 1 ; Řešeí: Postup je ásledový (74) (75) (76) a) b) c) 3 x i (a 1 a 2 a 3 ) ; Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 3 Produkt Produkt * Cells(i, 1) MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub ( 3 ) x i x 4 (x 1 x 2 x 3 ) x 4 x 1 x 2 x 3 x 4 Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 3 Produkt Produkt * Cells(i, 1) ProduktProdukt* Cells(4, 1) MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub 4 x i x 1x 2 x 3 x 4 x 2 x 3 x 4 x 1 x 1 Sub Produkt() Dim Produkt As Sigle Produkt 1 For i 1 To 4 Produkt Produkt * Cells(i, 1) ProduktProdukt/ Cells(1, 1) 4 x i i2 4 x i ;

35 3 PRODUKT 29 MsgBox ("Produkt:"& vbtab & Produkt) Ed Sub Veta 017 Když k < l <, platí (77) a i ik l a i ik a i, il+1 (78) Důkaz a i ik l a i ik a k a k+1 a a k a k+1 a l a ka k+1 a l a a k a k+1 a l a ka k+1 a l a l+1 a a k a k+1 a l a l+1 a il+1 a i Veta 018 Když k < l <, platí a i l 1 ik (79) a i, a i ik il (80) Důkaz a i ik a i il a ka k+1 a a l a a ka k+1 a l a a l a a l 1 ka k+1 a l 1 a l a a k a k+1 a l 1 a i a l a ik Veta 019 Platí (81) a i b i a i ik ik ik b i, (82) Důkaz a i b i (a k a k+1 a ) (b k a k+1 b ) ik ik ik a i b i

36 30 3 PRODUKT Veta 020 Platí (83) Důkaz (84) ik ik a i b i a i ik, b i ik a i b i a ka k+1 a b k b k+1 b a i ik b i ik Veta 021 Když K je kostata, platí (85) Ka i K ( k+1) ik ik a i, (86) Důkaz Ka i (Ka k ) (Ka k+1 ) (Ka ) ik KK K a k a k+1 a K ( k+1) a i ik Veta 022 Když K je kostata, platí speciálí případ (87) Ka i K a i, ik Důkaz Postupujeme aalogicky jako při důkazu předchozí věty Veta 023 Když K je kostata, platí (88) (89) Důkaz ( ) K a i ik ik a K i, ( ) K a i (a k a k+1 a ) K ik a K k a K k+1 a K a K i ik

37 3 PRODUKT 31 Veta 024 Když k < m <, platí m (90) (91) Důkaz m a i ik im+1 a i ik im+1 a i a i a i, ik (a k a k+1 a m ) (a m+1 a m+2 a ) a k a k+1 a a i ik Veta 025 Když k < l < m <, platí m (92) a i (93) Důkaz m ik a i il ik a i il m a i a i, ik il a i (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a m a ) (a k a k+1 a m a ) (a l a l+1 a m ) Veta 026 Když k < m < l <, platí (94) (95) Důkaz m ik a i il m ik a i il a i a i ik l 1 im+1 a i, a i (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a k a k+1 a m ) (a l a l+1 a ) m a i a i (a ka k+1 a m a l a ) (a k a k+1 a m a l a ) (a ka k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a ka k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a k a k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a ka k+1 a m ) (a l a l+1 a ) (a ka k+1 a m a m+1 a l 1 a l a ) (a m+1 a l 1 ) a i ik l 1 im+1 ik a i il

38 32 3 PRODUKT

39 Část 2 Úvod do teorie popisé statistiky

40 KAPITOLA 4 Úvodí statistické defiice Defiice 07 Statistický soubor je eprázdá možia objektů, u kterých se sleduje miimálě jeda stejá vlastost Defiice 08 Statistická jedotka je objekt statistického souboru Defiice 09 Statistický zak (proměá, veličia) je sledovaá vlastost statistických jedotek Defiice 010 Datový soubor je matice typu m, (, m N) ozačovaá jako x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2, x y z kde každý i-ty řádek (i-ty vektor typu 1 m), 1 i, je asociovaý právě s jedou statistickou jedotkou ze statistického souboru a každý m-tý prvek vektorů (sloupec hodot matice), 1 j m, je asociovaý právě s jedím statistickým zakem Defiice 011 Datový soubor, který je ve tvaru 1, kde je počet statistických jedotek, ozačujeme jako jedorozměrý datový soubor Pozámka: V jedorozměrém datovém souboru jsou statistické jedotky charakterizováy jediým statistickým zakem Defiice 012 Datový soubor, který je ve tvaru m, kde m > 1, se ozačuje jako vícerozměrý (mohorozměrý, multidimezioálí) datový soubor Pozámka: Ve vícerozměrém datovém statistickém souboru jsou statistické jedotky charakterizováy více ež jediým statistickým zakem Pozámka: Z matematického hlediska můžeme statistické jedotky považovat za body ve vícerozměrém prostoru, kde polohu bodu v prostoru, defiuje vektor, jehož každý prvek začí hodotu v daém rozměru (prvek vektoru hodota v jedé dimezi hodota jedé sledovaé vlastosti) Sloupce datového souboru jsou hodoty jedotlivých statistických zaků a řádky jsou hodoty jedotlivé statistické jedotky 34

41 KAPITOLA 5 Druhy statistických zaků (proměých) Defiice 013 Statistické zaky rozdělujeme primárě a kvatitativí a kvalitativí proměé Kvalitativí zaky dělíme dále a ordiálí a omiálí proměé Pozámka: Použijeme ámi upraveé defiice kvatitativího, ordiálího a omiálího zaku původě sestrojeými T Vitrem Defiice 014 Kvatitativí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které jsou defiováy relace meší (<), větší (>), ebo rová se () a operace rozdílu ( ) Defiice 015 Kvalitativí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří koečě spočitatelou možiu, a které eí defiováa operace rozdílu ( ) Pozámka: Hodoty, které může abýt kvalitativí zak, ozačujeme jako variaty, obměy, třídy ebo kategorie zaku Defiice 016 Ordiálí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které jsou defiováy jeom relace meší (<), větší (>)ebo rová se () Pozámka: V případě ordiálí proměé eumíme říct o jak velké rozdíly mezi hodotami jde, ebo zda jsou tyto rozdíly mezi hodotami kostatí Umíme vyřkout soud jeom o větší ebo meší úrovi, stupi, ebo itezitě zkoumaého zaku Defiice 017 Nomiálí zak je taková proměá, jejíž hodoty tvoří možiu, a které je defiováa výhradě relace rová se () Pozámka: V případě omiálí proměé eí možé hodoty uspořádat ai podle velikosti Pozámka: Nečíselé variaty ordiálího, ebo omiálího zaku jsou převedey a číselé obměy podle pomocého idexu, který je s touto ečíselou variatou asociová Defiice 018 Kvatitativí zak můžeme rozdělit a diskrétí a spojitou proměou 35

42 36 5 DRUHY STATISTICKÝCH ZNAKŮ (PROMĚNNÝCH) Defiice 019 Diskrétí kvatitativí proměá může abývat spočetě koečě, ebo spočetě ekoečě moha hodot (hodoty je možé seřadit do poslouposti) Defiice 020 Spojitá kvatitativí proměá může abývat jakékoli hodoty z koečého ebo ekoečě velkého itervalu Pozámka: S jiým děleím kvatitativí proměé se setkáme v části věovaé časovým řadám a hospodářským idexům Defiice 021 Jedorozměrý datový soubor, ve kterém a) jsou v případě kvatitativí proměé statistické jedotky seřazeé vzestupě podle velikosti hodoty zaku x i, ebo b) jsou v případě ordiálí proměé statistické jedotky seřazeé vzestupě podle itezity variaty zaku x i, ozačujeme jako uspořádaý datový soubor x i1 x i2 x i, přičemž pro kvatitativí proměou platí x i1 x i2 x i

43 KAPITOLA 6 Rozděleí četostí Defiice 022 Četost souboru,, je počet statistických jedotek Defiice 023 Absolutí četost i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i Veta 027 Necht statistický zak x i abývá k variat hodot Pro celkovou četost statistických jedotek platí (96) i Důkaz (97) i k Defiice 024 Relativí četost p i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i k celkové četosti souboru (98) p i i Veta 028 Pro součet relativích četosti k variat zaku platí (99) p i 1 (100) Důkaz p i i 1 i 1 1 Pozámka: Relativí četost i-té statistické jedotky je p i i Defiice 025 Absolutí kumulativí četost N i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku meší aejvýš rovou hodotě kvatitativího zaku x i ebo počet statistických jedotek s kategorií zaku 37

44 38 6 ROZDĚLENÍ ČETNOSTÍ s meší itezitou aejvýš itezitou rovou itezitě i-té kategorie ordiálího zaku i (101) N i j Veta 029 Necht k je počet hodot (kategorií) statistického zaku x a i jsou absolutí četosti těchto hodot ebo kategorií, pak platí (102) N k Důkaz (103) N k j k Defiice 026 Relativí kumulativí četost P i obměy zaku x i v datovém souboru je počet statistických jedotek se sledovaou hodotou zaku x i meší aejvýš rovou hodotě kvatitativího zaku x i ebo počet statistických jedotek s kategorií zaku s meší itezitou aejvýš itezitou rovou itezitě i-té kategorie ordiálího zaku k celkovému počtu statistických jedotek i (104) P i i j j i i p j Veta 030 Necht k je počet hodot (kategorií) statistického zaku x a p i jsou relativí četosti těchto hodot ebo kategorií, pak platí (105) P k 1 Důkaz (106) P k p j j 1 j 1 1 Defiice 027 Jedorozměré rozděleí četostí je uspořádaí, ve které je každé hodotě (obměě, kategorii) zaku přiřazea četost výskytu statistických jedotek s touto hodotou (obměou, kategorii) ve sledovaém datovém souboru Pozámka: Rozděleí četostí může být rozděleí absolutích ebo relativích četostí hodot zaku Defiice 028 Histogram je graf, ve kterém jsou a horizotálí ose umístěy vzestupě (zleva doprava) hodoty (kategorie) statistického zaku podle velikosti hodoty ebo itezity kategorie a a vertikálí ose vzestupě (zdola ahoru) jsou četosti výskytu jedotlivých hodot (kategorií) v datovém souboru

45 KAPITOLA 7 Kvatily a momety 1 Kvatily Defiice 11 Kvatily jsou hodoty, které dělí uspořádaý datový soubor a přibližě stejě četé části Defiice 12 Hodota a se ozačuje jako j- procetí kvatil ( x j ) v případě, že celkově j-procet statistických jedotek má hodotu kvatitativího zaku meší aejvýš rovou hodotě a Defiice 13 Mediá x 50 je hodota, která delí datový soubor a dvě stejě četé části Defiice 14 Kvartily jsou hodoty, které delí datový soubor a čtyři stejě četé části Pozámka: Kvartily jsou tři dolí kvartil je 25-procetí kvatil ( x 25 ), středí kvartil je 50- procetí kvatil ( x 50 ) a je zároveň mediá a horí kvartil je 75-procetí kvatil ( x 75 ) Defiice 15 Decily jsou hodoty, které delí datový soubor a deset stejě četých částí Pozámka: Existuje devět decilů ( x 10, x 20,, x 90 ) Defiice 16 Percetily jsou hodoty, které delí datový soubor a sto stejě četých částí Pozámka: Existuje 99 percetilů ( x 1, x 2,, x 99 ) Pozámka: Hodoty kvatilů eí vhodé počítat v situacích malého počtu statistických jedotek Vypovídající schopost kvatilů je v těchto situacích velmi ízká Může se stát, že stejá hodota bude hodotou dolího i horího kvartilu, ebo ježte extrémější kombiace Pozámka: U diskrétí proměé eexistuje jedotí metodika pro všeobecí kvatilový výpočet, a proto je taky výpočet kvatilů v růzých programových balících růzým způsobem implemetová Může se tudíž stát, že vám v růzých balících vestavěé fukce vrátí růzé hodoty kvatilů pro tetýž soubor (tyto hodoty by ale měli být alespoň podobé) 39

46 40 7 KVANTILY A MOMENTY 2 Momety Defiice 21 Momety charakterizují rozděleí daého statistického zaku pomocí matematických fukcí, kterých vstupími proměými jsou a) hodoty všech statistických jedotek v souboru u vybraého zaku ebo, b) všechy obměy tohoto zaku a jejich četosti ebo, c) středy třídích itervalů a četosti statistických jedotek v jedotlivých itervalových třídách 21 Výpočet mometů z hodot statistických jedotek 211 Obecé momety Defiice 22 Necht máme jedorozměrý statistický soubor o rozsahu, pak defiujeme obecý momet u statistického zaku x jako (x i k) l (107) km x,l, kde k je kostata a mocitel l vyjadřuje stupeň mometu m Momet čteme jako l-tý momet x kolem a Pozámka: Kostata k působí jako výpočetí kotva, od které se počítají vzdáleosti a tudíž se stává počátkem Hodota fukce obsahuje iformaci právě o vzdáleosti od tohoto počátku k Pozámka: l-tý obecý momet kolem uly získáme, když za kostatu k dosadíme ulu (x i 0) l (x i ) l (108) 0m x,l Defiice 23 Prví obecý momet kolem uly defiujeme podle vzorce x i (109) 0m x,1 Pozámka: Prví obecý momet kolem uly voláme aritmetický průměr, přičemž jeho vlastosti více rozebereme v Kapitole Pozámka: Obdobě jako předchozí momet můžeme zapsat druhý, třetí a čtvrtý obecý momet kolem uly (110) 0m x,2 2 x i

47 (111) 0m x,3 (112) 0m x,4 212 Cetrálí momety 2 MOMENTY 41 3 x i 4 x i Defiice 24 Cetrálí momety ozačujeme momety, které mají za kostatu zvoleý aritmetický průměr a defiujeme je všeobecým vztahem (x i x) l (113) xm x,l Veta 21 Prví cetrálí momet kolem průměru je vždy rove ule (114) xm x,1 0 (115) Důkaz xm x,1 (x i x) x i x x i x x x 0 Defiice 25 Druhý cetrálí momet kolem průměru voláme rozptyl a ozačujeme jako s 2 x Veta 22 Pro rozptyl platí (116) xm x,2 s 2 (x i x) 2 x x 2 i x i 2 x 2 x 2 Důkaz xm x,2 s 2 (x i x) 2 ( x 2 x i 2x i x + x 2) 2 x 2 i 2x i x x 2 x 2 i x i (117) + 2x + x2 x 2 i x 2 i 2xx + x 2 x 2 x 2 0 m x,2 0 m 2 x,1 2x 2 + x 2 x 2 i x 2

48 42 7 KVANTILY A MOMENTY Pozámka: Rozptyl je rozdíl průměru čtverců hodot a čtverce aritmetického průměru Teto odvozeý tvar ozačujeme jako výpočetí tvar rozptylu a obecý vzorec pro druhý cetrálí momet považujeme za základí tvar rozptylu Pozámka: Obdobě můžeme zapsat třetí a čtvrtý cetrálí momet (x i x) 3 ( x 3 i 3x 2 i x + 3x ix 2 x 3) (118) xm x,3 x 3 i x 2 i x i 3x + 3x 2 x x 3 3xx 2 + 3x 2 x x 3 x 3 3xx 2 + 2x 3 0 m x,3 3 ( 0 m x,1 ) ( 0 m x,2 ) + 2 ( 0 m x,1 ) 2 (119) xm x,4 x 4 i (x i x) 4 x 3 i ( x 4 i 4x 3 i x + 6x2 i x2 4x i x 3 + x 4) x 2 i x i 4x + 6x 2 4x 3 + x4 x 4 4xx 3 + 6x 2 x 2 4x 3 x + x 4 x 4 4xx 3 + 6x 2 x 2 3x 4 0 m x,4 4 ( 0 m x,1 ) ( 0 m x,3 ) + 6 ( 0 m x,1 ) 2 ( 0 m x,2 ) 3 ( 0 m x,1 ) 4 Pozámka: Jelikož se počítají jeom rozdíly hodot zaku od průměru (kostaty), edochází ke ztrátě iformace o měrý jedotce Tudíž průměr, rozptyl a jié cetrálí momety jsou vyjádřey v stejých jedotkách jako původí hodoty 213 Normovaé momety Defiice 26 Normovaé momety jsou matematické fukce, kterých vstupími proměými jsou bezrozměré hodoty všech statistických jedotek v souboru u vybraého bezrozměrého zaku (směrodaté proměé) Veta 23 Necht každou hodotu zaku x i přetrasformujeme pomocí vzorce u i pak pro prvý ormovaý momet kolem uly platí, x i x s x (120) 0m u,l u 0 Důkaz (121) 0 m u,l u u i x i x s x 1 s x (x i x) 1 s x (x i x) 0

49 2 MOMENTY 43 Veta 24 Platí (122) 0m u,l (u i 0) l (u i u) l u m u,l Důkaz (123) (u i 0) l (u i u) l (124) (u i 0) l (u i 0) l Pozámka: V důsledku ulovosti průměru vypočteého z ormovaých hodot, ám předchozí věta říká, že obecé momety ormovaého zaku se rovají cetrálím mometům tohoto zaku Veta 25 Necht každou hodotu zaku x i přetrasformujeme pomocí vzorce u i pak pro druhý ormovaý momet kolem uly (a průměru) platí, x i x s x (125) xm u,2 1 Důkaz (126) u 2 i (u i u) 2 0m u,2 1 (x i x) 2 s 2 1 x s 2 s 2 x 1 x ( ) 2 x i x s x Pozámka: Z předchozích vět rověž vyplývá, že případě ormalizace původí proměé dle vzorce xi x s x získáme ovou proměou, která má průměr ula a rozptyl rove jedé Veta 26 Třetí a čtvrtý momet ormovaého statistického zaku se azývají mometové Míry šikmosti a špičatosti a vypočítají se dle vzorců (127) ( u 3 i (u i u) 3 0m u,3 1 (x i x) 3 1 s 3 ( x m x,3 ) x xm x,2 xm x,2 ) 3 x i x s x xm x,3 xm x,2 xm x,2

50 44 7 KVANTILY A MOMENTY (128) u 4 i 0m u,4 1 (x i x) 4 s 4 x ( ) 4 (u i u) 4 x i x s x 1 ( x m x,2 ) 2 ( xm x,4 ) x m x,4 ( x m x,2 ) 2 22 Výpočet mometů z rozděleí četostí obmě zaku Veta 27 Necht máme hodoty všech statistických jedotek zaku x h v jedorozměrém souboru X, a je počet statistických jedotek v souboru Zároveň, echt je zadáo rozděleí četostí všech možých hodot (variat, obmě) tohoto zaku, x j, kde j 1, 2,, k Symbol k ozačuje počet vyskytujících se obmě zaku a j ozačuje absolutí a p j relativí četost této j-té obměy Pak, pro obecí momety kolem uly platí (129) 0m x,l x l h h1 j x l j i a pro obecí momety kolem průměru platí (130) 0m x,l (x h x) l h1 p j x l j j (x j x) l i p j (x j x) l Důkaz V úvodu důkazu se soustředíme jeom a rovost čitatelů s absolutími četostmi, jelikož podíl 1 je kostata, pro který platí 1 1 i Každá statistická jedotka abývá ěkterou z obmě zaku x j Pomocí dolí idex h sa přetrasformuje z iformace, o kterou pořadovou jedotku v souboru sa jedá, a iformaci o pořadovém čísle jedotky s j-tou obměou (kolikátá hodota s j-tou obměou to je) Tudíž tuto trasformaci můžeme zapsat jako (131) h ij x h x ij Sumu hodot statistických jedotek, které abyli prví obměu zaku zapíšeme jako (132) 1 x i1 x 11 + x x i1 + + x 11 1 x i1, sumu hodot statistických jedotek, které abyli druhou obměu zaku zapíšeme jako (133) 2 x i2 x 12 + x x i2 + + x 22 2 x i2,

51 2 MOMENTY 45 sumu hodot statistických jedotek, které abyli j-tu obměu zaku zapíšeme jako (134) j x ij x 1j + x 2j + + x ij + + x jj j x ij, sumu hodot statistických jedotek, které abyli posledí k-tu obměu zaku zapíšeme jako (135) k x ik x 1j + x 2k + + x ik + + x k k k x ik Pro sumu všech těchto tříd a hodot statistických jedotek v každé třídě v souboru platí, že j (136) x h x ij j x j h1 Aalogicky můžeme přistupovat ke všem obecím mometům kolem uly a průměru V případě obecích mometů kolem uly je každá statistická jedotka s j-tou obměou umocěa vzorcem x l ij a suma těchto umocěých hodot ve vybraé j j-té třídě se rová x l ij V případě obecích mometů kolem průměru je umocě každý rozdíl každé statistické jedotky s j-tou obměou od celkového průměru v souboru, (x ij x) l j a suma vybraé j-té třídy je rova (x ij x) l Symbolem j můžeme ozačit počet umocěých statistických jedotek s j-tou obměou ebo počet rozdílů každé statistické jedotky s j-tou obměou od průměru v souboru Následové vztahy můžeme symbolicky zapsat j (137) x l h x l ij j x l j (138) h1 (x h x) l h1 j (x ij x) l j (x ij x) l Pro relativí četosti pak můžeme jedoduše zavést ásledující vztahy j (x ij x) l j (x ij x) l (139) i j (x ij x) l p j (x ij x) l (140) j x l ij i j xl ij p j x l ij

52 46 7 KVANTILY A MOMENTY Pozámka: Jelikož přiřazeí hodot statistických jedotek do itervalů v případě itervalového rozděleí četostí můžeme chápat rověž přes kocept obmě a četostí, ebudeme výpočtu mometů z itervalových četostí věovat větší pozorost Zároveň je však uté připomeout, že v případě itervalů, jsou ve výpočtu všechy statistické jedotky s hodotami v itervale ahrazey hodotami středů v daém třídím itervale

53 Část 3 Kvatitativí proměá

54 KAPITOLA 8 Míry polohy Defiice 07 Míra polohy je v jedorozměrém souboru číslo, jež a) zastupuje jedotlivé hodoty uvažovaého statistického zaku, b) udává cetrálí polohu daého rozděleí, c) charakterizuje obecou velikost zkoumaého jevu, d) umožňuje jedoduché srováí polohy dvou ebo více rozděleí Pozámka: Míry polohy voláme taky míry úrově ebo středí hodoty Defiice 11 Průměr je statistika, pro kterou platí: 1 Průměry a) V situaci, když jsou všechy hodoty zaku x i v souboru X rové kostatě k, průměr x je rove této kostatě (141) x i X : x i k x k b) Průměr může abýt hodoty jeom v rozmezí mezi miimálí hodotou x mi a maximálí hodotou zaku, x max, včetě těchto hodot (142) x x mi, x max c) Zvětšeí kterékoli hodoty x i v souboru X, při zachovái ostatích hodot v původí úrovi, zákoitě způsobí, že ový průměr abude hodoty větší ežli původí průměr d) Zmešeí kterékoli hodoty v souboru, při zachovái ostatích hodot v původí úrovi zákoitě způsobí, že ový průměr abude hodoty meší ežli původí průměr e) Průměr je fukcí všech hodot zaku ve výběrovém souboru (143) x f (x 1, x 2,, x ) f) Průměr ezávisí a pořadí hodot zaku ve výběrovém souboru (144) x f (x 1, x 2,, x i,, x j,, x ) f (x 1, x 2,, x j,, x i,, x ) 21 Obecá defiice 2 Aritmetický průměr 48

55 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 49 Defiice 21 Aritmetický průměr zaku vypočteý ze všech hodot statistických jedotek x i v souboru i 1, 2,, defiujeme jako podíl sumy hodot tohoto vybraého zaku a počtu těchto hodot v souboru x i (145) x Pozámka: Z defiice vyplývají ásledující úpravy (146) x i x, x 1 + x x (147) x 1 + x x x + x + + x (148) (x 1 + x x ) (x + x + + x) 0 (149) (x 1 x) + (x 2 x) + + (x x) 0 O aritmetickém průměru jako o hodotě můžeme říct, že se jedá o polohu, která kompezuje odchylky hodot souboru od sebe sama Tudíž se ejedá o středí hodotu v pravém smyslu slova, ale o kompezačí míru, která distribuuje celkovou sumu hodot rovým dílem mezi vše čley (jedotky v souboru) Pozámka: Obecí defiici aritmetického průměru ozačujeme i jako prostý aritmetický průměr Pozámka: Aritmetický průměr je ajpoužívaejší a ejuiverzalejší míra polohy mezi všemi druhy průměrů a jiých mír polohy Navíc má matematické vlastosti, které se ukázali klíčové v oblasti iferečí statistické idukce Řešeí ve VBA: V případě, že máme data v Excelu ve tvaru, kde prví sloupec jsou idetifikátory statistických jedotek, prví řádek je rezervová ázvům sloupců a hodoty statistického zaku jsou ve druhém sloupci počíaje druhým řádkem, pak program může vypadat ásledově Sub Prumer() Dim Prumer As Sigle Defiice promeych kvuli rezervaci pameti Dim Suma As Sigle Dim x i() As Sigle Dim As Iteger Dim i As Iteger Vypocet: ApplicatioCoutA(Colums(2)) - 1 ebo ApplicatioCoutA(Rage("B:B")) - 1 ReDim x i(1 To ) Suma 0 For i 1 To x i(i) Cells(i + 1, 2)

56 50 8 MÍRY POLOHY Suma Suma + x i(i) Prumer Suma / MsgBox ("Prumer:"& vbtab & Prumer) Ed Sub 22 Vážeý aritmetický průměr Veta 21 Necht máme zadáo rozděleí četostí všech možých hodot (variat, obmě) zaku x j v jedorozměrém souboru X, kde j 1, 2,, k Symbol k ozačuje počet obmě zaku x j a j ozačuje absolutí a p j relativí četost této j-té obměy Pak můžeme aritmetický průměr, vypočte za těchto podmíek, ozačovat za vážeý aritmetický průměr a zapsat jako (150) x j x j 1 x x k x k j j 1x x k x k 1 x x k x k p 1 x 1 + p 2 x p k x k Důkaz Důkaz této vlastosti je obsaže v důkazu věty 27 a straě 44 Pozámka: V případě, že je jakýkoli vážeý průměr počítá z absolutích četostí voláme ho také jako vážeý průměr počítaý z absolutích četostí a v případě výpočtu s užitím relativích četostí jako vážeý průměr počítaý z relativích četostí Pozámka: Podíly absolutích četostí s celkovou četostí i a relativí četosti p i vystupují ve výpočtu jako váhy, které přiřazujeme každé obměě zaku x i Tímto způsobem se ve výsledé hodotě průměru číselě ejvíce projeví vliv silě zastoupeých obmě a jejich hodot Řešeí ve VBA: V případě, že máme data v Excelu ve tvaru, kde prví sloupec jsou variaty statistického zaku, které zak může abýt, prví řádek je rezervová ázvům sloupců a četosti jedotlivých obmě jsou ve druhém sloupci počíaje druhým řádkem, pak program může vypadat ásledově Sub Prumer() Dim Prumer As Sigle Defiice promeych kvuli rezervaci pameti Dim Suma As Sigle Dim As Iteger Dim k As Iteger Dim i As Iteger Dim x i() As Sigle

57 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 51 Dim i() As Sigle Vypocet: ApplicatioSum(Colums(2)) k ApplicatioCoutA(Colums(2)) - 1 ReDim x i(1 To k) ReDim i(1 To k) Suma 0 For i 1 To k i(i) Cells(i + 1, 2) x i(i) Cells(i + 1, 1) Suma Suma + i(i) * x i(i) Prumer Suma / MsgBox ("Prumer:"& vbtab & Prumer) Ed Sub 23 Výpočet celkového průměru z průměrů dílčích souborů Veta 22 Necht máme hodoty všech statistických jedotek zaku x h v jedorozměrém souboru X, a je počet statistických jedotek v souboru Zároveň, echt je teto soubor rozděle do k skupi (podsouborů) Symbol j ozačuje absolutí a p j relativí četost hodot v j-té skupiě (podsouboru) Pak pro celkový průměr platí (151) x x h h1 j x j j p j x j Důkaz Každá statistická jedotka patří do ěkteré z k skupi Pomocí dolí idex h se přetrasformuje z iformace, o kterou pořadovou jedotku v souboru sa jedá, a iformaci o pořadovém čísle jedotky v j-té skupiě (kolikátá hodota v j-té skupiě to je) Tudíž tuto trasformaci můžeme zapsat jako (152) h ij x h x ij h1 Pro sumu hodot, které patří do prví skupiy, platí (153) 1 x i1 x 11 + x x i1 + + x 11, pro sumu hodot, které patří do druhé skupiy platí (154) 2 x i2 x 12 + x x i2 + + x 22, pro sumu hodot, které patří do j-té skupiy platí (155) j x ij x 1j + x 2j + + x ij + + x jj,

58 52 8 MÍRY POLOHY pro sumu hodot, které patří do k-té skupiy platí (156) k x ik x 1j + x 2k + + x ik + + x k k Pro sumu všech těchto tříd a hodot statistických jedotek v každé třídě platí, že (157) x h h1 j x ij Pro výpočet (dílčího) průměru v j-té skupiě platí, že (158) x j j x ij j, tudíž se dá suma hodot v j-té skupie vyjádřit také jako (159) j x ij j x j, Vztah v rovici 157 se tedy dá vyjádřit (160) x h h1 Pro celkový průměr souboru platí (161) x x h h1 j x ij j x ij j x j j j x j j Pro relativí četosti pak můžeme jedoduše zavést ásledující vztahy (162) x j x j j j x j j x j p j x j Pozámka: Předcházející věta ám říká, že celkový vážeý průměr je možé vyjádřit ejeom v případě hodot zaku uspořádaých v tabulce četostí ale také v případě existece libovolých dílčích skupi, ze kterých je celkových soubor sestave Tehdy je celkový průměr vážeým průměrem z dílčích průměrů Váhy přiřazeé jedotlivým skupiám jsou četosti hodot, ze kterých byli jedotlivé dílčí průměry vypočtey

59 2 ARITMETICKÝ PRŮMĚR 53 Veta 23 Průměr, který se počítá za situace když, je počet skupi k rový počtu hodot v celém souboru, všechy absolutí četostí přiřazeé k jedotlivým skupiám se rovají číslu jeda, j : j 1 a dílčí skupiový průměr se rová jedié statistické jedotce, která dílčí soubor tvoří, x j : x j x 1j, se ozačuje jako výše uvedeý prostý aritmetický průměr a jeho předpis je stejý jaký obecá defiice aritmetického průměru Tudíž vážeý průměr je jeom jiá úprava prostého průměru, když předpokládáme erovoměrou strukturu a rozděleí obmě, ebo skupi hodot (163) Důkaz x j x j j 1x j j x j j 1 x ij j 1 j x j j x j j x i, 24 Další vlastosti aritmetického průměru Veta 24 Když k je kostata a ozačuje počet hodot statistických jedotek zaku x i v souboru, pak platí x i + k (164) x + k (165) Důkaz x i + k x 1 + k + x 2 + k + + x + k x 1 + x x + k x i + k x + k x 1 + x x + k Pozámka: Věta ám říká, že přičteme-li ke každé hodotě v souboru stejou kostatu, průměr se změí také o tuto kostatu Veta 25 Když k je kostata růzá od uly a ozačuje počet hodot statistických jedotek zaku x i v souboru, pak platí kx i (166) kx

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). Pedagogická praxe - jarí semestr 206 Statistické šetřeí V rámci pedagogické praxe proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat.

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti

Parametr populace (populační charakteristika) je číselná charakteristika sledované vlastnosti 1 Základí statistické zpracováí dat 1.1 Základí pojmy Populace (základí soubor) je soubor objektů (statistických jedotek), který je vymeze jejich výčtem ebo charakterizací jejich vlastostí, může být proto

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

1. Základy počtu pravděpodobnosti:

1. Základy počtu pravděpodobnosti: www.cz-milka.et. Základy počtu pravděpodobosti: Přehled pojmů Jev áhodý jev, který v závislosti a áhodě může, ale emusí při uskutečňováí daého komplexu podmíek astat. Náhoda souhr drobých, ezjistitelých

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a

6. P o p i s n á s t a t i s t i k a 6. P o p i s á s t a t i s t i k a 6.. Pozámka: Při statistickém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákoitosti, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice

Matematika I. Název studijního programu. RNDr. Jaroslav Krieg. 2014 České Budějovice Matematika I Název studijího programu RNDr. Jaroslav Krieg 2014 České Budějovice 1 Teto učebí materiál vzikl v rámci projektu "Itegrace a podpora studetů se specifickými vzdělávacími potřebami a Vysoké

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/

Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a Státním rozpočtem ČR InoBio CZ.1.07/2.2.00/ Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a Státím rozpočtem ČR IoBio CZ..07/2.2.00/28.008 Připravil: Ig. Vlastimil Vala, CSc. Metody zkoumáí ekoomických jevů Kapitola straa 3 Metoda Z řeckého

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost I

8.2.1 Aritmetická posloupnost I 8.2. Aritmetická posloupost I Předpoklady: 80, 802, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Čley posloupostí pak při kotrole vypíšu

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

Sekvenční logické obvody(lso)

Sekvenční logické obvody(lso) Sekvečí logické obvody(lso) 1. Logické sekvečí obvody, tzv. paměťové čley, jsou obvody u kterých výstupí stavy ezávisí je a okamžitých hodotách vstupích sigálů, ale jsou závislé i a předcházejících hodotách

Více

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti

1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi

Více

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM

DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře

Více

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor

8. Základy statistiky. 8.1 Statistický soubor 8. Základy statistiky 7. ročík - 8. Základy statistiky Statistika je vědí obor, který se zabývá zpracováím hromadých jevů. Tvoří základ pro řadu procesů řízeí, rozhodováí a orgaizováí, protoţe a základě

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

2.4. INVERZNÍ MATICE

2.4. INVERZNÍ MATICE 24 INVERZNÍ MICE V této kapitole se dozvíte: defiici iverzí matice; základí vlastosti iverzí matice; dvě základí metody výpočtu iverzí matice; defiici celočíselé mociy matice Klíčová slova této kapitoly:

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t.

Tržní ceny odrážejí a zahrnují veškeré informace předpokládá se efektivní trh, pro cenu c t tedy platí c t = c t + ε t. Techická aalýza Techická aalýza z vývoje cey a obchodovaých objemů akcie odvozuje odhad budoucího vývoje cey. Dalšími metodami odhadu vývoje ce akcií jsou apř. fudametálí aalýza (zkoumá podrobě účetictví

Více

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1

Matice. nazýváme m.n reálných čísel a. , sestavených do m řádků a n sloupců ve tvaru... a1 Matice Matice Maticí typu m/ kde m N azýváme m reálých čísel a sestaveých do m řádků a sloupců ve tvaru a a a a a a M M am am am Prví idex i začí řádek a druhý idex j sloupec ve kterém prvek a leží Prvky

Více

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA

2 EXPLORATORNÍ ANALÝZA Počet automobilů Ig. Martia Litschmaová EXPLORATORNÍ ANALÝZA.1. Níže uvedeá data představují částečý výsledek zazameaý při průzkumu zatížeí jedé z ostravských křižovatek, a to barvu projíždějících automobilů.

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015

Zimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015 Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic

Přednáška 7: Soustavy lineárních rovnic Předáška 7: Soustavy lieárích rovic 7.1. Příklad (geometrie v roviě) Rozhoděte o vzájemé poloze přímky p : x y 1 a přímky a) a : x y 3, b) b : 2x 2y 3, c) c :3x 3y 3. Jak víme ze středí školy, lze o vzájemé

Více

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I

8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I 8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace

Analýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená.

jsou reálná a m, n jsou čísla přirozená. .7.5 Racioálí a polomické fukce Předpoklad: 704 Pedagogická pozámka: Při opisováí defiic racioálí a polomické fukce si ěkteří studeti stěžovali, že je to příliš těžké. Ve skutečosti je sstém, kterým jsou

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat

Abstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí

Více

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN

1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN 2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde

POLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti

Více

9.1.12 Permutace s opakováním

9.1.12 Permutace s opakováním 9.. Permutace s opakováím Předpoklady: 905, 9 Pedagogická pozámka: Pokud echáte studety počítat samostatě příklad 9 vyjde tato hodia a skoro 80 miut. Uvažuji o tom, že hodiu doplím a rozdělím a dvě. Př.

Více

STATISTIKA PRO EKONOMY

STATISTIKA PRO EKONOMY EDICE UČEBNÍCH TEXTŮ STATISTIKA PRO EKONOMY EDUARD SOUČEK V Y S O K Á Š K O L A E K O N O M I E A M A N A G E M E N T U Eduard Souček Statistika pro ekoomy UČEBNÍ TEXT VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMIE A MANAGEMENTU

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické

S polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické 5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí

Více

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN

Vzorový příklad na rozhodování BPH_ZMAN Vzorový příklad a rozhodováí BPH_ZMAN Základí charakteristiky a začeí symbol verbálí vyjádřeí iterval C g g-tý cíl g = 1,.. s V i i-tá variata i = 1,.. m K j j-té kriterium j = 1,.. v j x ij u ij váha

Více

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( )

f x a x DSM2 Cv 9 Vytvořující funkce Vytvořující funkcí nekonečné posloupnosti a0, a1,, a n , reálných čísel míníme formální nekonečnou řadu ( ) DSM Cv 9 Vytvořující fukce Vytvořující fukcí ekoečé poslouposti a0, a,, a, reálých čísel mííme formálí ekoečou řadu =. f a i= 0 i i Příklady: f = + = + + + + + ) Platí: (biomická věta). To zameá, že fukce

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů.

Náhodu bychom mohli definovat jako součet velkého počtu drobných nepoznaných vlivů. Náhodu bychom mohli defiovat jako součet velkého počtu drobých epozaých vlivů. V rámci přírodích věd se setkáváme s pokusy typu za určitých podmíek vždy astae určitý důsledek. Např. jestliže za ormálího

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY

DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY DISKRÉTNÍ MATEMATIKA PRO INFORMATIKY URČENO PRO VZDĚLÁVÁNÍ V AKREDITOVANÝCH STUDIJNÍCH PROGRAMECH IVAN KŘIVÝ ČÍSLO OPERAČNÍHO PROGRAMU: CZ..07 NÁZEV OPERAČNÍHO PROGRAMU: VZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Více