Statistická analýza dat

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Statistická analýza dat"

Transkript

1 INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Statstcká aalýza dat Učebí texty k semář Autor: Prof. RNDr. Mla Melou, DrSc. Datum: Cetrum pro rozvoj výzkumu pokročlých řídcích a sezorckých techologí CZ.1.07/.3.00/ TENTO STUDIJNÍ MATERIÁL JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY

2

3 OBSAH Obsah Iteraktví aalýza jedorozměrých dat Úvod Postup teraktví aalýzy dat Exploratorí dagostky v aalýze jedorozměrých dat Mocá a Boxova-Coxova trasformace dat Itervalový odhad parametrů Aalýza malých výběrů Test správost výsledku Závěr aalýzy jedorozměrých dat Lteratura Metodologe počítačové aalýzy rozptylu, ANOVA Úvod Základí pojmy Jedofaktorová aalýza rozptylu Techka víceásobého porováí Ověřeí ormalty chyb Ověřeí kostatost rozptylu (homoskedastcty) Dvoufaktorová aalýza rozptylu Vyvážeé modely Souhr: Postup př aalýze rozptylu Doporučeá lteratura: Itervalové odhady a míry přesost v kalbrac Úvod Druhy kalbrace

4 3.3. Rozptyl predkce cílové velčy x* Kalbračí přímka Neleárí model kalbračí křvky Itervalové odhady cílové velčy x Přesost kalbrace Závěry kalbrace Doporučeá lteratura Výstavba regresího modelu regresím trpletem Úvod Základí předpoklady metody ejmeších čtverců (MNČ): Regresí dagostka Krtka dat Statstcká aalýza rezduí Obrazce v dagostckých grafech: Grafy detfkace vlvých bodů: Krtka modelu Krtka metody Postup výstavby leárího regresího modelu *1, Doporučeá lteratura: Přílohy... 57

5 1. INTERAKTIVNÍ ANALÝZA JEDNOROZMĚRNÝCH DAT 1.1. Úvod Otázka spolehlvost a správého vyhodoceí expermetálích dat se v době osobích počítačů octá u každého měřeí dat a prvím místě. V kotrolí laboratoř, ať už vodohospodářské, chemcké, bologcké, fyzkálí č jakékolv jé, tvoří základ expermetálí práce měřeí a přístroj. V laboratořích des představují strumetálí metody spojovací čláek mez přírodovědým a techckým obory, protože moderí počítačem řízeé přístroje používá každá laboratoř. Navíc a každém psacím stole laboratoře acházíme počítač, většou ejvyšší kvalty, kapacty a rychlost, vybaveý moderím software. Je proto eomluvtelé vyhodocovat aměřeá data zjedodušeým, aproxmatvím postupy pozůstalým z dob kalkulaček. Kotrolí orgáy, komsař akredtačích komsí ale především kokurečí pracovště v zahračí se předháějí př vyhodocováí dat v užíváí špčkového software s rgorózím matematckým postupy, ve kterých eí žádého zjedodušeí č zaedbáí ějakých statstckých předpokladů. Výsledky dosažeé těmto áročějším postupy se pak berou za valdí a jedě správé a přjatelé třeba v okružím testu. Ukažme s zde proto jede z ovějších postupů teraktví statstcké aalýzy dat, který je založe a dagostkováí v dalogu s osobím počítačem čl a teraktví aalýze a který abízí užvatel hlubší pohled do všech tajemství, ukrytých v expermetálích datech. S tímto problémem souvsí obvykle vhodý software, který zajstí bezproblémové a přátelské prostředí a echá data promluvt. Nezapomeňme přtom a důležté pravdlo, že úroveň užívaého software des prozrazuje úroveň celého pracovště. 1.. Postup teraktví aalýzy dat Obecý postup áročější statstcké aalýzy jedorozměrých dat lze vyjádřt ásledujícím schématem. Iteraktví přístup uvedeý postup ulehčuje, protože větša statstckého software obsahuje uvedeé statstcké dagostky a testy. 1. Průzkumová (exploratorí) aalýza dat (EDA) vyšetřuje především stupeň symetre a špčatost rozděleí, lokálí kocetrac dat a odhaluje také vybočující a podezřelá data. 3

6 . Ověřeí základích předpokladů o výběru dat se týká ověřeí ormalty, ověřeí ezávslost, ověřeí homogety a koečě určeí mmálí četost aalyzovaých dat. 3. Trasformace dat ásleduje v případě porušeí ěkterého z předpokladů o výběru. Patří sem mocá, expoecálí trasformace a Boxova- Coxova trasformace. 4. Vyčísleí ejlepších odhadů parametrů polohy, rozptýleí a tvaru se týká vyčísleí jedak klasckých odhadů (artmetcký průměr a rozptyl), jedak robustích odhadů (medá, uřezaé průměry, wsorzovaý rozptyl) a koečě adaptvích M-odhadů. Retrasformovaý průměr po trasformac dat se přesto obvykle jeví jako ejlepší odhad středí hodoty Exploratorí dagostky v aalýze jedorozměrých dat Prvím krokem v aalýze jedorozměrých dat je průzkumová, exploratorí aalýza. Jejím cílem je odhalt statstcké zvláštost v datech a ověřt předpoklady o výběru pro ásledé rgorózí statstcké zpracováí. Jedě tak lze zabrát prováděí umerckých výpočtů bez hlubších statstckých souvslostí. Obr. 1-1 Kostrukce barerově-číslcového schématu dkujícího vybočující hodoty: a) dagram rozptýleí s medáem M, kvartly F D (dolí) a F H (horí), vtří hradby B D (dolí) a B H (horí), vější hradby V D (dolí) a V H (horí); b) oblast vybočujících hodot: A přlehlé (B PD je blízké B D a B PH je blízké B H ), B začí oblast vějších a C vzdáleých bodů. Z růzých typů výběru se v laboratoř ejvíce uplatňuje reprezetatví áhodý výběr, {x }, = 1,...,, který má čtyř základí vlastost: 4

7 (1) Jedotlvé prvky výběru x jsou vzájemě ezávslé. () Výběr je homogeí, tj. všecha x pocházejí ze stejého rozděleí pravděpodobost s kostatím rozptylem. (3) Předpokládá se také, že jde o ormálí rozděleí pravděpodobost. (4) Všechy prvky souboru mají stejou pravděpodobost, že budou zařazey do výběru. Před vlastí aalýzou je vždy ezbyté ověřt platost základích předpokladů, tj. ezávslost, homogetu a ormaltu výběru. Využívá se k tomu robustích kvatlových charakterstk, které umožňují sledováí lokálího chováí dat a které jsou vhodé pro malé ebo středě velké výběry. Vychází se z pořádkových statstk výběru x (1) x ()... x (). Platí, že středí hodota -té pořádkové statstky je rova 100P procetímu kvatlu výběrového rozděleí F -1 (P ) = Q(P ), kde F(x) ozačuje dstrbučí fukc a Q(P ) kvatlovou fukc výběru. Symbol P = /( + 1) ozačuje pořadovou pravděpodobost. Přpomeňme, že 100P procetí výběrový kvatl je hodota, pod kterou leží 100P procet prvků výběru. Optmálí hodoty P závsí a předpokládaém rozděleí výběru. Pro ormálí rozděleí se doporučuje volba P = ( - 3/8)/( + 1/4). Vyeseím hodot x () prot P, = 1,...,, se získá hrubý odhad kvatlové fukce Q(P). Ta je verzí k fukc dstrbučí a jedozačě charakterzuje rozděleí výběru. V průzkumové aalýze se často používá specálích kvatlů L pro pořadové pravděpodobost P = -, = 1,,..., které se také azývají písmeové hodoty. Tabulka 1-1. Ozačeí písmeových hodot -tý kvatl Pořadová pravděpodobost P Symbol písmeové hodoty L Hodota kvatlu u Pj 1 Medá -1 = 1 / M 0 Kvatty - = 1 / 4 F Oktly -3 = 1 / 8 E Sedecly -4 = 1 / 16 D

8 Symbol u P ozačuje kvatl ormovaého ormálího rozděleí N(0, 1). Kromě medáu ( = 1) exstují pro každé > 1 dvojce kvatlů, a to dolí a horí písmeová hodota L D a L H. Dolí písmeová hodota je pro pořadovou pravděpodobost P = -, zatímco horí je pro P = Počet písmeových hodot závsí a rozsahu výběru. Pro velkost výběru lze určt L písmeových hodot včetě medáu dle vztahu L = 1.44 l ( + 1). Obr. 1- Kvatlové grafy (robustí --- a klascké) pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí Úlohy E.10, (b) asymetrckého rozděleí Úlohy E.07. Kvatlový graf (osa x: pořadová pravděpodobost P, osa y: pořádková statstka x () ) umožňuje přehledě zázort data a saděj rozlšt tvar rozděleí, který může být symetrcký, seškmeý k vyšším ebo žším hodotám. Ke sadějšímu porováí s ormálím rozděleím se do tohoto grafu zakreslují kvatlové fukce ormálího rozděleí N ˆ ˆ u, pro 0P 1, a to: (1) klasckých odhadů parametrů polohy a rozptýleí ˆ x a ˆ = s, a () robustích odhadů ˆ x0.5 a ˆ / R F P P Obr. 1-3 Kostrukce (a) dagramu rozptýleí a (b) rozmítutého dagramu rozptýleí pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. 6

9 Dagram rozptýleí (osa x: hodoty x, osa y: lbovolá úroveň, obyčejě y = 0) představuje jedorozměrou projekc kvatlového grafu do osy x, zatímco rozmítutý dagram rozptýleí představuje týž graf, ale body jsou vhodě rozmítuté ve směru y-ové osy. I př své jedoduchost teto dagram ázorě ukazuje a lokálí kocetrac dat a dkuje podezřelá a vybočující měřeí. Obr. 1-4 Kostrukce (a) krabcového grafu, a (b) vrubového krabcového grafu z dat dagramu rozptýleí pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. Prázdá kolečka dkují vybočující hodoty. Krabcový graf (osa x: úměrá hodotám x, osa y: lbovolý terval) umožňuje vedle zázorěí robustího odhadu polohy, medáu M také posouzeí symetre v okolí kvatlů a posouzeí symetre u koců rozděleí a často detfkac odlehlých dat. Jde o obdélík délky RF FH FD x0.75 x0.5 s vhodě zvoleou šířkou, která je úměrá hodotě. V místě medáu je vertkálí čára. Od obou protlehlých stra tohoto obdélíku pokračují úsečky. Ty jsou ukočey přlehlým hodotam B PH a B PD, ležícím uvtř vtřích hradeb ejblíže k jejch hracím B H, B D, tj. B F 1.5R a B F 1.5R. Pro data H H F D D F pocházející z ormálího rozděleí platí B H - B D = 4.. Prvky výběru mmo vtří hradby jsou považováy za podezřelá měřeí (kroužky). Obdobou je vrubový krabcový graf, který umožňuje posouzeí varablty medáu, vyjádřeou robustím tervalem spolehlvost ID M IH. 7

10 Obr. 1-5 Grafy polosum pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. Graf polosum (osa x: pořádkové statstky x (), osa y: Z x 1 x 1 0.5( ) dagostkuje tak, že pro symetrcké rozděleí je grafem horzotálí přímka, určeá rovcí x0.5 M. Obr. 1-6 Grafy symetre pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. Graf symetre (osa x: u P / pro P /( 1), osa y: Z 0.5( x 1 x ) je obdobou předešlého grafu, u kterého symetrcká rozděleí vykazují horzotálí přímku. Pokud tato přímka emá ulovou směrc, je směrce odhadem y x0.5 M parametru škmost, asymetre. 8

11 Obr. 1-7 Kostrukce grafu rozptýleí s kvatly pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. Graf rozptýleí s kvatly (osa x: P, osa y: x ) představuje vlastě kvatlový graf, který se získá spojeím bodů {x (), P } leárím úseky a pro symetrcká rozděleí abývá tato kvatlová fukce sgmodálího tvaru. Pro rozděleí seškmeá k vyšším hodotám je kovexě rostoucí a pro rozděleí seškmeá k žším hodotám kokávě rostoucí. Do kvatlového grafu se zakreslují tř obdélíky F, E a D: (1) Kvartlový obdélík F: a ose x pravděpodobost P = - = 0.5 a = () Oktlový obdélík E: a y oktly E D a E H a a ose x P 3 = -3 = 0.15 a = (3) Sedeclový obdélík D: a y sedecly D D, D H a a x P 4 = -4 = a = Tato pomůcka může dagostkovat určté aomále: (a) Symetrcké umodálí rozděleí výběru obsahuje obdélíky symetrcky uvtř sebe. (b) Nesymetrcká rozděleí mají pro rozděleí seškmeé k vyšším hodotám vzdáleost mez dolím hraam obdélíků F, E a D výrazě kratší ež mez jejch horím hraam. (c) Odlehlá pozorováí jsou dkováa tím, že a kvatlové fukc mmo obdélík F se objeví áhlý vzrůst. 9

12 Obr. 1-8 Jádrové odhady hustoty pravděpodobost pro výběry z rozděleí (a) ormálího, symetrckého rozděleí, (b) asymetrckého rozděleí. Čárkovaě je zázorěa hustota Gaussova rozděleí s parametry x a s a plou čarou jádrový odhad hustoty pravděpodobost emprckého rozděleí výběru. Jádrový odhad hustoty pravděpodobost (osa x: x, osa y: hustota pravděpodobost) a hstogram patří k ejužívaějším pomůckám a hstogram pak k ejstarším dagramům hustoty pravděpodobost. U hstogramu jde o obrys sloupcového grafu, kde jsou a ose x jedotlvé třídy, defující šířky sloupců, a výšky sloupců odpovídají emprckým hustotám pravděpodobost. Kvaltu hstogramu ovlvňuje ve začé míře volba počtu tříd L a všech délek tervalů Δ x j. Pro přblžě symetrcká rozděleí výběru lze vyčíslt L podle vztahu L t( ) 0.4 možé užít výraz L, kde fukce t(x) ozačuje celočíselou část čísla x, ebo je t(.46( 1) ). Obr. 1-9 Grafy Q-Q pro porováí rozděleí výběru ormálího rozděleí s teoretckým rozděleím. Kvatl-kvatlový graf (graf Q-Q) (osa x: Q T (P ), osa y: x () ) umožňuje posoudt shodu výběrového rozděleí, charakterzovaého kvatlovou fukcí Q E (P) s kvatlovou fukcí zvoleého teoretckého rozděleí Q T (P). Za odhad 10

13 kvatlové fukce výběru se užívají pořádkové statstky x (). Př shodě výběrového rozděleí se zvoleým teoretckým rozděleím musí platt přblžá rovost kvatlů x () = Q T (P ), kde P je pořadová pravděpodobost. Pokud je rozděleí výběru shodé se zvoleým teoretckým rozděleím, je závslost x () a Q T (P ) leárí a výsledá závslost se azývá graf Q-Q. Těsost leárí závslost expermetálím body lze posoudt korelačím koefcetem a využít ho jako rozhodčí krtérum př hledáí typu rozděleí Mocá a Boxova-Coxova trasformace dat Pokud se a základě aalýzy dat zjstí, že rozděleí výběru dat se systematcky odlšuje od rozděleí ormálího, vzká problém, jak data vůbec vyhodott. Často je pak ejlepším řešeím vhodá trasformace dat, která vede ke stablzac rozptylu, zesymetrčtěí rozděleí a ěkdy k ormaltě rozděleí. Zesymetrčtěí rozděleí výběru je možé provést užtím prosté mocé trasformace x ( 0) l x pro ( 0) y g( x), x ( 0) která však ezachovává měřítko a eí vzhledem k expoetu λ všude spojtá a proto se hodí pouze pro kladá data. Optmálí odhad expoetu λ se hledá s ohledem a optmalzac charakterstk asymetre (škmost) a špčatost. Pro přblížeí rozděleí výběru k rozděleí ormálímu vzhledem k škmost a špčatost je vhodá Boxova-Coxova trasformace x 1 ( 0) y g( x), pro l x ( 0) která je použtelá rověž pouze pro kladá data. Rozšířeí této trasformace a oblast, kdy rozděleí dat začíá od prahové hodoty x 0, spočívá v áhradě x rozdílem (x - x 0 ), který je vždy kladý. 11

14 Graf logartmu věrohodostí fukce (osa x: λ, osa y: l L). Pro odhad parametru λ v Boxově-Coxově trasformac lze užít metodu maxmálí věrohodost s tím, že pro ˆ je rozděleí trasformovaé velčy y ormálí, N(, ( y)). Po úpravách bude logartmus věrohodostí fukce ve tvaru y l ( ) l L s ( y) ( 1) l x, 1 kde s ( y ) je výběrový rozptyl trasformovaých dat y. Průběh věrohodostí fukce l L(λ) lze zázort ve zvoleém tervalu, apř. 3 3, a detfkovat maxmum křvky, jejíž souřadce x dkuje odhad ˆ. Dva průsečíky křvky l L(λ) s rovoběžkou s osou x dkují 100(1-α)% terval spolehlvost parametru λ. Čím bude terval spolehlvost +λ D, λ H, šrší, tím je mocá ebo Boxova-Coxova trasformace méě výhodá. Pokud obsahuje terval +λ D, λ H, hodotu λ = 1, eí trasformace ze statstckého hledska příosem. Zpětá trasformace: Po vhodé trasformac se vyčíslí y, s ( y ) a potom pomocí zpěté trasformace využtím Taylorova rozvoje v okolí y se odhadou retrasformovaé parametry polohy a rozptýleí x a ( ) Uvedeý postup vede vesměs k ejlepším odhadům polohy R s x původích dat. s ( x R) a je zvláště vhodý v případech asymetrckého rozděleí výběru. R x R a rozptýleí 1.5. Itervalový odhad parametrů Představuje terval, ve kterém se bude se zadaou pravděpodobostí č statstckou jstotou (1 - α) acházet skutečá hodota čl "pravda" daého parametru μ. Nezámý parametr μ odhadujeme dvěma číselým hodotam L D a L H, které tvoří meze tzv. tervalu spolehlvost čl kofdečího tervalu. Iterval spolehlvost pokryje parametr μ s předem zvoleou, statstckou jstotou čl dostatečě velkou pravděpodobostí P = (1 - α), což lze vyjádřt vztahem P(L D < μ < L H ) = 1 - α, azvaou koefcet spolehlvost (čl kofdečí koefcet, statstcká jstota). Je obyčejě rove 0.95 ebo Parametr α se azývá hlada výzamost. Iterval spolehlvost vyjadřuje tvrzeí: Statstcká 1

15 jstota, s jakou bude "pravda" μ ležet v áhodých mezích L D, L H je rova právě 1 - α. Vlastost tervalu spolehlvost: (1) Čím je rozsah výběru větší, tím je terval spolehlvost užší. () Čím je odhad přesější a má meší rozptyl, tím je terval spolehlvost užší. (3) Čím je vyšší statstcká jstota (1 - α), tím je terval spolehlvost šrší. Kostrukce tervalových odhadů: Postup kostrukce tervalu spolehlvost středí hodoty μ ormálího rozděleí N(μ, σ ): 1. Velký výběr 30: Když ejlepším bodovým odhadem středí hodoty μ je výběrový průměr x s rozděleím N(, / ), pak v tervalu x 1.96 / leží přblžě 95% hodot áhodých velč výběru o rozsahu a 100(1-α)%í terval spolehlvost středí hodoty μ bude vyčísle vztahem x1.96 x 1.96, kde hodota 1.96 je 100(1-0.05/) = 97.5%í kvatl ormovaého ormálího rozděleí u Malý výběr 30: v prax obvykle ezáme směrodatou odchylku σ ale pouze její odhad s a je-l t 1-α/ ( - 1) je 100(1 - α/)%í kvatl Studetova rozděleí bude 100(1 - α)%í terval spolehlvost středí hodoty μ rove s x t1 / ( 1) x t1 / ( 1) s Meze tervalu spolehlvost závsí vedle chyby s a rozsahu výběru. Pro větší rozsahy výběru ( > 30) lze použít místo kvatlu t 1-α/ kvatlu ormovaého ormálího rozděleí u 1-α/ a 100(1 - α)%í oboustraý terval spolehlvost rozptylu σ se vypočte dle ( 1) s ( 1) s, ( 1) ( 1) 1 / / kde je horí a ( 1) / dolí kvatl rozděleí. Robustí terval ( 1) 1 / spolehlvost medáu se přblžě vyčíslí 13

16 0.707s 0.707s x0.5 u1 / med x0.5 u1 / 1.6. Aalýza malých výběrů Předem je třeba s uvědomt, že závěry z malých výběrů jsou vždy zatížey začou mírou ejstoty. Malých rozsahů proto užjeme je tam, kde skutečě eí možé zvýšt počet měřeí. Horův postup pro malé výběry, 4 0 je založeý a pořádkových statstkách. Nejprve se určí hloubka pvotu je H = (t(( + 1)/))/ ebo H = (t(( + 1)/ + 1)/, pak dolí pvot jako x D = x (H) a horí pvot dle x H = x (+1-H). Odhadem parametru polohy je potom pvotová polosuma P L = (x D + x H )/ a a odhadem parametru rozptýleí je pvotové rozpětí R L = x H - x D. Lze defovat áhodou velču k testováí T L = P L /R L, která má přblžě symetrcké rozděleí, jehož vybraé kvatly jsou dostupé v tabulce 1-1. Potom se 95%í terval spolehlvost středí hodoty vypočte vztahem P R t ( ) P R t ( ). L L L,0.975 L L L, Test správost výsledku Testy hypotéz o parametrech μ a σ ormálího rozděleí: soubor s N(μ, σ ), výběr rozsahu a vypočteme průměr x a směrodatou odchylku s. Testy správost výsledku měřeí lze provést pomocí tervalu spolehlvost dle pravdla: pokud 100(1 - α) %í terval spolehlvost parametru μ obsahuje zadaou hodotu μ 0, elze a hladě výzamost α zamítout hypotézu H 0 : μ = μ Závěr aalýzy jedorozměrých dat V postupu statstckého vyhodoceí výsledků měřeí slouží průzkumová aalýza dat EDA jako výhodá pomůcka k vyšetřeí zvláštostí statstckého chováí dat. Z ejdůležtějších pomůcek jsou to vedle kvatlového grafu a grafu rozptýleí s kvatly dagram rozptýleí a rozmítutý dagram rozptýleí, krabcový graf, vrubový krabcový graf, graf polosum a symetre, kvatl- 14

17 kvatlový graf, jádrový odhad hustoty pravděpodobost a hstogram k určeí tvaru rozděleí. U malých výběrů 4 0 poskytuje správé odhady středí hodoty Horův postup pvotů. Pvotová polosuma a pvotové rozpětí umožňují vyčíslt tervalový odhad středí hodoty a avíc jsou oba odhady dostatečě robustí vůč asymetr rozděleí malého výběru a vůč odlehlým hodotám. Studetův t-test správost aalytckého výsledku je ekvvaletí vůč tervalu spolehlvost. Nachází-l se totž hodota μ 0 (tj. pravda, správá hodota, orma, stadard) v tervalu spolehlvost [L D ; L H +, je staoveí správé. Exploratorí aalýza předurčí volbu, zda k testu správost využjeme tervalový odhad artmetckého průměru v případě symetrckého rozděleí ebo retrasformovaého průměru v případě asymetrckého rozděleí. Iteraktví statstcká aalýza př užtí vhodého software umožňuje jedozačě vyšetřt správost aalytckého výsledku Lteratura [1] M. Melou, J. Mltký: Statstcké zpracováí expermetálích dat, Plus Praha 1994 (1. vydáí), East Publshg 1996 (. vydáí), Academa Praha 004 (3. vydáí). [] M. Melou, J. Mltký: Kompedum statstckého zpracováí dat, Academa Praha 00. [3] ADSTAT, TrloByte Statstcal Software s. r. o., Pardubce

18 . METODOLOGIE POČÍTAČOVÉ ANALÝZY ROZPTYLU, ANOVA.1. Úvod Aalýza rozptylu, ozačovaá ANOVA (z aglckého Aalyss of Varace), se v techcké prax používá buď jako samostatá techka ebo jako postup umožňující aalýzu zdrojů varablty u statstckých modelů. ANOVA jako samostatá techka umožňuje posouzeí výzamost zdrojů varablty v datech, vlvu přípravy vzorků a výsledek aalýzy, vlvu typu přístroje, ldského faktoru a obsluhy a výsledek měřeí. Podstatou aalýzy rozptylu je rozklad celkového rozptylu dat a složky objasěé, jež představují zámé zdroje varablty a složku eobjasěou, áhodou čl šum. Následě se testují hypotézy o výzamost jedotlvých zdrojů varablty. Podle kokrétího uspořádáí expermetu exstuje řada varat aalýzy rozptylu. Přehled základích techk lze alézt v řadě čláků 1, a moografí 3-6. Často se ANOVA vyskytuje v techcké prax v souvslost s techkam pláovaých expermetů. Omezíme se zde a jedodušší techky, vhodé k řešeí běžých vodohospodářských úloh... Základí pojmy Hstorcky se aalýza rozptylu začala rozvíjet zejméa př vyhodocováí dat v zemědělství. Její termologe je proto poěkud specálí. Vedle kvaltatvích faktorů se vyskytují také faktory kvattatví, jako jsou fyzkálí a chemcké velčy. Jedotlvé faktory se vyskytují a jstých úrovích Z 1, Z, Z 3, jež se ozačují jako zpracováí. Tyto úrově mohou být opět kvaltatví ebo kvattatví. Zdrojem varablty výsledků měřeí y j jsou jedotlvé úrově faktoru. Tomu odpovídá jedoduchý model y, kde μ je skutečá 16 = + j hodota výsledků aalýz a ε j pak ozačuje áhodou chybu. Velča μ se skládá ze složky odpovídající celkovému průměru μ ze všech úroví faktoru a efektu -té úrově daého faktoru α, tj., kde μ je středí hodota = + pro -tou úroveň. Účelem aalýzy rozptylu je testováí shody jedotlvých úroví, čl ulové hypotézy H 0 : μ 1 = μ = μ 3, ebo jak vyjádřeo výzamost efektů α čl ulové hypotézy H 0 : α 1 = α = α 3 = 0. Pokud jsou předmětem zájmu j

19 pouze rozdíly mez daým úrověm, jde o modely s pevým efekty. Pokud jsou jedotlvé úrově pouze výběrem z koečého č ekoečého souboru, jde o modely s áhodým efekty. Výběr mez pevým a áhodým efekty závsí a vlastím záměru aalýzy rozptylu a může se podle ěho mět. Je-l sledová pouze jede faktor, jde o jedofaktorovou aalýzu rozptylu, čl tříděí dle jedoho faktoru. Často se však sleduje vlv ěkolka faktorů, kdy jde o vícefaktorovou aalýzu rozptylu. Jako u jedofaktorové aalýzy rozptylu, můžeme provést rozklad μ j a celkovou středí hodotu, složky α odpovídající efektům faktoru Z, složky β j odpovídající efektům faktoru L a terakce τ j, = j. Čle τ j ozačuje efekt terakce úroví Z a L j. Používá se j j v případech, kdy elze objast varabltu y jk pouze adtvím působeím jedotlvých faktorů. Pro vlastí zpracováí modelů aalýzy rozptylu je důležté, zda je př všech kombacích faktorů provede stejý počet měřeí čl opakováí. Kombace úroví jedotlvých faktorů, apř. Z L j se pak ozačuje jako cela. Pro stejý počet opakováí ve všech celách se expermety ozačují jako vyvážeé, zatímco pro estejý počet opakováí jako evyvážeé. Postupy aalýzy evyvážeých expermetů jsou komplkovaější a avíc může př extrémích rozdílech mez počty opakováí dojít př malých odchylkách od základích předpokladů, apř. ormalty, ke začému zkresleí výsledků testů Jedofaktorová aalýza rozptylu Př tříděí podle jedoho faktoru se zkoumá jeho vlv a výsledek expermetu. Pro případ dvou úroví jde o porováí dvou výběrů. Zajímavý bude obecější případ, kdy daý faktor A má celkem K růzých úroví A 1,..., A K. Na každé úrov A je provedeo měřeí,y j }, j = 1,...,. Celkový počet měřeí je N = K Přehledější je uspořádáí dat v Tabulce -1. = 1 17

20 Tabulka -1. Uspořádáí dat pro jedofaktorovou aalýzu rozptylu Úroveň faktoru A 1 A... A... A K Celek y 11 y 1... y 1... y K1 y 1 y... y... y K Opakováí Měřeí y 1 1 y... y... y KK Průměry ˆ 1 ˆ... ˆ... ˆ K ˆ Počet K N Sloupcový průměr ˆ představuje součet prvků sloupce pro A děleý počtem opakováí, ˆ = y. Celkový průměr ˆ je součet všech hodot děleý 1 j = 1 1 celkovým počtem dat ˆ = K vztah j K = 1 ˆ. Pro výpočet odhadů efektů α lze pak použít ˆ = ˆ - ˆ. Př zavedeí μ vzke přeurčeý model, obsahující o jede parametr více. Proto se př odhadu efektů α používá ještě jeda omezující 18

21 podmíka K = 1 zjedodušeou podmíku K = 0. Pro případ vyvážeých expermetů lze použít = 1 = 0. Vlastí aalýza rozptylu, tj. rozklad celkového rozptylu, závsí také a tom, zda jde o modely s pevým ebo áhodým efekty. Základím předpokladem statstcké aalýzy je fakt, že áhodé chyby ε j jsou ezávslé a áhodé velčy s ormálím rozděleím N(0, σ ). Středí hodota chyb je rova ule a rozptyl σ je kostatí. Součet čtverců odchylek od celkového průměru ˆ, defovaý vztahem využtím μ a dvě složky K S c K se rozloží s j = 1 j = 1 = ( y - ˆ ) S = [( y - ˆ ) + ( ˆ - ˆ )] = S + S c j A R = 1 j = 1, kde S A představuje součet čtverců odchylek mez jedotlvým úrověm daého faktoru S A K = ( ˆ - ˆ ) a S R je rezduálí součet čtverců odchylek uvtř = 1 jedotlvých úroví, S R K = ( y - ˆ ) = 1 j = 1 j. Jedotlvé součty čtverců resp. složky rozptylu se zapsují do tabulky, která má pro jedofaktorovou aalýzu rozptylu s pevým efekty tvar Tabulky -. Tabulka -. Tabulka aalýzy rozptylu pro jedoduché tříděí u modelu s pevým efekty Počet stupňů Součet čtverců volost Mez úrověm SA K - 1 Průměrý čtverec S A K - 1 Očekávaá hodota + K = 1 e K - 1 Rezduálí SR N - K S R N - K e Celkový Sc N

22 Posledí sloupec tabulky obsahuje očekávaou hodotu průměrého čtverce. Nevychýleým odhadem rozptylu chyb e je průměrý rezduálí čtverec S R e = N - K. Cílem je především testováí, zda jsou efekty α ulové, tedy zda jedotlvé úrově daého faktoru vedou ke statstcky evýzamým rozdílům ve výsledcích. Nulová hypotéza H 0 : α = 0, = 1,..., K, se ověřuje prot alteratví hypotéze H A : α 0, = 1,..., K. Př testováí se využívá faktu, že velča S A / e má χ -rozděleí s (K - 1) stup volost a velča S R / e má ezávslé χ -rozděleí s (N - K) stup volost. Jejch podíl má pak F-rozděleí s (K - 1) a (N - K) stup volost. Testovací Fsherova statstka F e má tvar S A (N - K) F e =. Př platost ulové hypotézy H 0 má F e statstka Fsherovo F- S R (K - 1) rozděleí s (K - 1) a (N - K) stup volost. Vyjde-l F e větší ež kvatl Fsherova rozděleí F 1-α (K - 1, N - K), je uté ulovou hypotézu H 0 a hladě výzamost α zamítout a efekty považovat za eulové a statstcky výzamé Techka víceásobého porováí Pokud vyjde vlv jedotlvých efektů jako statstcky výzamý, jsou rozdíly mez průměry μ, μ j, j rověž výzamé. Pro hlubší aalýzu se používá řady metod, apříklad Scheffého metoda víceásobého porováí 5, pro kterou se zamítá hypotéza H 0 : μ = μ j pro všechy dvojce (, j), pro které platí 1 1 ˆ ˆ ˆ - j (K - 1) F 1-(K -1, N - K) +, j kde ˆ je rezduálí rozptyl ˆ e. Teto vztah se používá pro všechy možé dvojce dexů (, j). V ěkterých případech je třeba testovat pouze zvoleý leárí kotrast q defovaý vztahem C, pro které platí velča q ˆ = K = 1 K K C 0 C > 0 = 1 = 1 q = K C se zámým kostatam = 1 =,. Odhadem leárího kotrastu q je C ˆ. Mají-l výsledky měřeí y j ormálí rozděleí N(μ, σ ), lze 0

23 testovat ulovovu hypotézu H 0 : q = 0 pomocí statstky F = ˆ qˆ q K 1 C. Př platost ulové hypotézy H 0 má tato testovací statstka F-rozděleí s 1 a (N - K) stup volost. Hypotéza H 0 se zamítá, pokud F q je větší ež kvatl F 1 - α (1, N - K). Dosavadí postupy aalýzy rozptylu jsou správé je za předpokladu, když jedotlvé hodoty y j jsou vzájemě ezávslé, a když chyby ε j mají ormálí rozděleí s kostatím rozptylem. V prax však bývá důležté tyto předpoklady rověž ověřt..3.. Ověřeí ormalty chyb Pro posouzeí ormalty chyb lze použít především raktové grafy. Výhodé je v těchto grafech užtí stadardzovaých rezduí eˆ S = ˆ eˆ j V případě platost předpokladů klascké aalýzy rozptylu mají stadardzovaá rezdua přblžě ormálí rozděleí N(0, 1). Pokud platí podmíka, že ε j N(0, σ ), vzke v raktovém grafu leárí závslost s ulovým úsekem a jedotkovou směrcí. Obr. -1. Raktový graf pro Jackfe rezdua V řadě případů je možé zlepšt rozděleí dat ve smyslu přblížeí k ormaltě s využtím vhodé trasformace. Častým případem je, že data jsou zeškmeá směrem k vyšším hodotám. Pak je vhodé použít apř. posuutou logartmckou trasformac y * = l (y + C) 1. Optmálí hodota C se volí tak, aby rezdua byla přblžě symetrcká se špčatostí blízkou hodotě Gaussova

24 rozděleí tj. třem. Pro účely detfkace vybočujících hodot je však výhodé použít Jackkfe rezduí e Jj, která jsou defováa vztahem eˆ = eˆ N - K - 1 N - K - eˆ Jj Sj Sj Za předpokladu ormalty vykazují tato rezdua Studetovo rozděleí s (N - K - 1) stup volost. Oretačě platí, že pokud ê Jj > 10, lze daou hodotu y j považovat za velm slě vybočující Ověřeí kostatost rozptylu (homoskedastcty) Předpoklad kostatost rozptylu (homoskedastcty) lze ověřt stejým metodam jako u leárích regresích modelů. U evyvážeých pláů je třeba uvažovat s ekostatostí rozptylu klasckých rezduí způsobem estejého počtu měřeí a jedotlvých úrovích. Pokud je k dspozc dostatečý počet opakováí př jedotlvých úrovích daého faktoru, lze kromě průměru ˆ počítat také výběrové rozptyly s. Předpoklad kostatost rozptylu lze pak ověřt a základě grafu s vs. ˆ. Pokud vzke áhodý shluk bodů, lze považovat předpoklad shody rozptylů u všech úroví za přjatelý. Jak je možé použít vhodou trasformac stablzující rozptyl..4. Dvoufaktorová aalýza rozptylu Př dvoufaktorové aalýze rozptylu se provádí expermety a růzých úrovích dvou faktorů A a B. Kombace úroví faktorů tvoří typckou mřížkovou strukturu, jejímž elemetem je tzv. cela. Platí, že (, j)-tá cela odpovídá kombac úrově A faktoru A a B j faktoru B. Schematcky je mřížková struktura zázorěa v Tabulce -3: V každé cele je obecě j pozorováí. Často se však setkáváme s případem bez opakováí, kdy v každé cele je pouze jedé pozorováí, j = 1. Pro případ aalýzy rozptylu bez opakováí dojde ke j j j zjedodušeí zápsu y = +, kde μ j lze rozložt tak, že kromě řádkových α a sloupcových ß j efektů se zde vyskytuje také terakčí čle τ j. Teto čle je pak důsledkem růzých kombací sloupcových a řádkových efektů.

25 Tabulka -3. Uspořádáí dat pro dvoufaktorovou aalýzu rozptylu B 1 B... B M A A cela A B A N Nejjedodušším je Tukeyův model terakce, vyjádřeý tvarem j = C j, kde C je kostata. Složtější jsou řádkově leárí modely terakcí, vyjádřeé tvarem j = C R ebo sloupcově leárí modely terakcí ve tvaru j j = C K j. Kompletější je adtvě-multplkatví model terakcí = C. Uvedeé vztahy obsahují kromě sloupcových a řádkových j j W kostat δ j a γ obecé kostaty C R, C K, C W. Omezme se zde pouze a ejjedodušší Tukeyův model terakce. Vzhledem ke své specálí defc obsahuje teto model pouze jede parametr C, a proto se ozačuje jako model eadtvty s jedím stupěm volost. Použtí Tukeyova modelu terakce je výhodé zejméa v případech, kdy je v každé cele pouze jedo pozorováí, obr. -. 3

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných

Metody zkoumání závislosti numerických proměnných Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY

8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 NELINEÁRNÍ REGRESNÍ MODELY 8 Tvorba eleárího regresího modelu Postup tvorby eleárího regresího modelu se dá rozčlet do těchto kroků: Návrh regresího modelu Obvykle se jako eleárí regresí model používá

Více

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle

, jsou naměřené a vypočtené hodnoty závisle Měřeí závslostí. Průběh závslost spojtá křvka s jedoduchou rovcí ( jedoduchým průběhem), s malým počtem parametrů, která v rozmezí aměřeých hodot vsthuje průběh závslost, určeí kokrétího tpu křvk (přímka,

Více

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A

Nejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota

Více

Úvod do korelační a regresní analýzy

Úvod do korelační a regresní analýzy Úvod do korelačí a regresí aalýz Bude ás zajímat, jak těsě spolu souvsí dva sledovaé jev Příklad: vztah mez rchlostí auta a brzdou dráhou vztah mez věkem žáka a rchlostí v běhu a 60 m vztah mez spotřebou

Více

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost

9. Měření závislostí ve statistice. 9.1. Pevná a volná závislost Dráha [m] 9. Měřeí závslostí ve statstce Měřeí závslostí ve statstce se zývá především zkoumáím vzájemé závslost statstckých zaků vícerozměrých souborů. Závslost přtom mohou být apříklad pevé, volé, jedostraé,

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Statistika - vícerozměrné metody

Statistika - vícerozměrné metody Statstka - vícerozměré metody Mgr. Mart Sebera, Ph.D. Katedra kezologe Masarykova uverzta Fakulta sportovích studí Bro 0 Obsah Obsah... Sezam obrázků... 4 Sezam tabulek... 4 Úvod... 6 Pojmy... 7 Náhodé

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

Chyby přímých měření. Úvod

Chyby přímých měření. Úvod Chyby přímých měřeí Úvod Př zjšťováí velkost sledovaé velčy dochází k růzým chybám, které ovlvňují celkový výsledek. V pra eestuje žádá metoda měřeí a měřcí zařízeí, které by bylo absolutě přesé, což zameá,

Více

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností

4.2 Elementární statistické zpracování. 4.2.1 Rozdělení četností 4.2 Elemetárí statstcké zpracováí Výsledkem statstckého zjšťováí (. etapa statstcké čost) jsou euspořádaá, epřehledá data. Proto 2. etapa statstcké čost zpracováí, začíá většou jejch utříděím, zpřehleděím.

Více

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad

11. Časové řady. 11.1. Pojem a klasifikace časových řad . Časové řad.. Pojem a klasfkace časových řad Specfckým statstckým dat jsou časové řad pomocí chž můžeme zkoumat damku jevů v čase. Časovou řadou (damcká řada, vývojová řada) rozumíme v čase uspořádaé

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

P1: Úvod do experimentálních metod

P1: Úvod do experimentálních metod P1: Úvod do epermetálích metod Chyby a ejstoty měřeí - Každé měřeí je zatížeo určtou epřesostí, která je způsobea ejrůzějším egatvím vlvy, vyskytujícím se v procesu měřeí. - Výsledek měřeí se díky tomu

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Úvod do teorie měření

Úvod do teorie měření Uverzta Jaa Evagelsty Purkyě v Ústí ad Labem Přírodovědecká fakulta Úvod do teore měřeí Prof. Chlář emář 0 Průměr, rozptyl a směrodatá odchylka X = X = ( X X ) = = = Výpočty pomocí vzorců a pomocí statstckých

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

11. Popisná statistika

11. Popisná statistika . Popsá statstka.. Pozámka: Př statstckém zkoumáí ás zajímají hromadé jevy a procesy, u kterých zkoumáme zákotost, které se projevují u velkého počtu prvků. Prvky zkoumáí azýváme statstcké jedotky. Př

Více

Přednáška č. 2 náhodné veličiny

Přednáška č. 2 náhodné veličiny Předáša č. áhodé velčy Pozámy záladím pojmům z počtu pravděpodobost Pozáma 1: Př výpočtu pravděpodobost áhodého jevu dle lascé defce je uté věovat pozorost způsobu formulace vybraého jevu. V ásledující

Více

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru

1.1 Rozdělení pravděpodobnosti dvousložkového náhodného vektoru Lekce Normálí rozděleí v rově V této lekc se udeme věovat měřeí korelačí závslost dvojce áhodých velč (dvousložkového áhodého vektoru) Vcházet udeme z ormálího rozděleí pravděpodoost áhodého vektoru v

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Lineární regrese ( ) 2

Lineární regrese ( ) 2 Leárí regrese Častým úolem je staoveí vzájemé závslost dvou (č více) fzálích velč a její matematcé vjádřeí. K tomuto účelu se používají růzé regresí metod, pomocí chž hledáme vhodou fuc f (), apromující

Více

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Statsta statstcé údaje o hromadých jevech čost, terá vede zísáí statstcých údajů a jejch zpracováí teore statsty - věda o stavu, vztazích a vývoj

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2

Interpolační křivky. Interpolace pomocí spline křivky. f 1. f 2. f n. x... x 2 Iterpolace pomocí sple křvky dáo: bodů v rově úkol: alézt takovou křvku, která daým body prochází y f f 2 f 0 f x0 x... x 2 x x Iterpolace pomocí sple křvky evýhodou polyomálí terpolace změa ěkterého z

Více

[ jednotky ] Chyby měření

[ jednotky ] Chyby měření Chyby měřeí Provedeme-l určté měřeí za stejých podmíek vícekrát, jedotlvá měřeí se mohou odlšovat (z důvodu koečé rozlšovací schopost měř. přístrojů, áhodých vlvů apod.). Chyba měřeí: e = x x x...přesá

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č.

T e c h n i c k á z p r á v a. Pokyn pro vyhodnocení nejistoty měření výsledků kvantitativních zkoušek. Technická zpráva č. Evropská federace árodích asocací měřcích, zkušebích a aalytckých laboratoří Techcká zpráva č. /006 Srpe 006 Poky pro vyhodoceí ejstoty měřeí výsledků kvattatvích zkoušek T e c h c k á z p r á v a EUROLAB

Více

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC

5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC 5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém

Více

APLIKOVANÁ STATISTIKA

APLIKOVANÁ STATISTIKA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA MANAGEMENTU A EKONOMIKY VE ZLÍNĚ APLIKOVANÁ STATISTIKA FRANTIŠEK PAVELKA PETR KLÍMEK ZLÍN 000 Recezoval: Haa Lošťáková Fratšek Pavelka, Petr Klímek, 000 ISBN 80 4

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz:

Test dobré shody se používá nejčastěji pro ověřování těchto hypotéz: Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cvčeí 1 TESTOVÁNÍ NEPARAMETRICKÝCH HYPOTÉZ Dosud jsme se zabýval testováím parametrcký hypotéz, což jsou hypotézy o parametrech rozděleí (populace). Statstckým hypotézám

Více

1. Základy měření neelektrických veličin

1. Základy měření neelektrických veličin . Základ měřeí eelektrckých velč.. Měřcí řetězec Měřcí řetězec (měřcí soustava) je soubor měřcích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, ab blo ožě splt požadovaý úkol měřeí, tj. získat formac o velkost

Více

Optimalizace portfolia

Optimalizace portfolia Optmalzace portfola ÚVOD Problémy vestováí prostředctvím ákupu ceých papírů sou klasckým tématem matematcké ekoome. Celkový výos z portfola má v době rozhodováí o vestcích povahu áhodé velčy, eíž rozložeí

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Jednoduchá lineární regrese

Jednoduchá lineární regrese Jedoduchá leárí regrese Motvace: Cíl regresí aalýz - popsat závslost hodot velč Y a hodotách velč X. Nutost vřešeí dvou problémů: a) jaký tp fukce se použje k popsu daé závslost; b) jak se staoví kokrétí

Více

2. Vícekriteriální a cílové programování

2. Vícekriteriální a cílové programování 2. Vícerterálí a cílové programováí Úlohy vícerterálího programováí jsou úlohy, ve terých se a možě přípustých řešeí optmalzuje ěol salárích rterálích fucí. Moža přípustých řešeí je přtom defováa podobě

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY. Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. 2. upravené vydání. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. upraveé vydáí Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 008 OBSAH: Úvod... 3 Parametrcké testy o shodě středích hodot... 4. Jedovýběrový t-test...

Více

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy

UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesné výchovy UNIVERZITA JANA EVANGELISTY PURKYNĚ V ÚSTÍ NAD LABEM PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra tělesé výchovy VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ STATISTICKÉ POSTUPY V ANTROPOMOTORICE Zdeěk Havel Davd Chlář 0 VYBRANÉ NEPARAMETRICKÉ

Více

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková

Základy statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují

Více

8. Zákony velkých čísel

8. Zákony velkých čísel 8 Zákoy velkých čísel V této část budeme studovat velm často užívaá tvrzeí o součtech posloupost áhodých velč Nedříve budeme vyšetřovat tvrzeí azývaá souhrě ako slabé zákoy velkých čísel Veškeré úvahy

Více

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc.

Metody statistické analýzy. doc. Ing. Dagmar Blatná, CSc. Metody statstcké aalýzy doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. Bakoví sttut vysoká škola, a.s. Praha 0 METODY STATISTICKÉ ANALÝZY Autor: Recezet: Vydal: Tsk: Vydáí: doc. Ig. Dagmar Blatá, CSc. doc. Ig. Jří Trešl,

Více

12. Neparametrické hypotézy

12. Neparametrické hypotézy . Neparametrcké hypotézy V této část se budeme zabývat specálí částí teore statstckých hypotéz tzv. eparametrckým hypotézam ebo jak řečeo eparametrckým statstckým testy. Neparametrcké se azývají proto,

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DA prof. Ig. Jří Holčík, CSc. INVESICE Isttut DO bostatstky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a aalýz IV. LINEÁRNÍ KLASIFIKACE pokračováí Isttut bostatstky a aalýz (SUPPOR VECOR MACHINE SVM) SEPARABILNÍ

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Uverzta Karlova v Praze Pedagogcká fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z OBECNÉ ALGEBRY DĚLITELNOST CELÝCH ČÍSEL V SOUSTAVÁCH O RŮZNÝCH ZÁKLADECH / Cfrk C. Zadáí: Najděte pět krtérí pro děltelost v jých soustavách

Více

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor

1 Měření závislosti statistických znaků. 1.1 Dvourozměrný statistický soubor 1 Měřeí závlot tattckých zaků 1.1 Dvourozměrý tattcký oubor Př aalýze ekoomckých kutečotí á čato ezajímají jedotlvé velč jako takové, ale vztah mez m. Ptáme e, jak záví poptávka a ceě produktu, plat zamětaců

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvaltěí výuky prostředctvím IC éma III..3 echcká měřeí v MS Excel Pracoví lst 5 Měřeí teploty. Ig. Jří Chobot VY_3_INOVACE_33_5 Aotace Iovace a zkvaltěí

Více

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY

ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ZÁKLADY PRAVDĚPODOBNOSTI A STATISTIKY Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 OBSAH: ÚVOD... 4. CO JE STATISTIKA?... 4. STATISTICKÁ DATA... 5.3 MĚŘENÍ

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

Téma 11 Prostorová soustava sil

Téma 11 Prostorová soustava sil Stavebí statka,.ročík bakalářského studa Téma Prostorová soustava sl Prostorový svazek sl Statcký momet síly a dvojce sl v prostoru Obecá prostorová soustava sl Prostorová soustava rovoběžých sl Katedra

Více

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu.

Výsledky této ásti regresní analýzy jsou asto na výstupu z poítae prezentovány ve form tabulky analýzy rozptylu. Ig. Marta Ltschmaová Statstka I., cveí 4 JEDNODUCHÁ LINEÁRNÍ REGRESE asto chceme prozkoumat vztah mez dvma velam, kde jeda z ch, tzv. ezávsle promá x, má ovlvovat druhou, tzv. závsle promou Y. edpokládá

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Regresí a korelačí aalýza Závslost příčá (kauzálí). Závslostí pevou se ozačuje případ, kdy výskytu jedoho jevu utě odpovídá výskyt druhé jevu (a často aopak). Z pravděpodobostího hledska jde o vztah, který

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

1.1 Definice a základní pojmy

1.1 Definice a základní pojmy Kaptola. Teore děltelost C. F. Gauss: Matematka je královou všech věd a teore čísel je králova matematky. Základím číselým oborem se kterým budeme v této kaptole pracovat jsou celá čísla a pouze v ěkterých

Více

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků

1 Popis statistických dat. 1.1 Popis nominálních a ordinálních znaků 1 Pops statstcých dat 1.1 Pops omálích a ordálích zaů K zobrazeí rozděleí hodot omálích ebo ordálích zaů lze použít tabulu ebo graf rozděleí četostí. Tuto formu zobrazeí lze dooce použít pro číselé zay,

Více

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr

KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr UNIVERZITA PARDUBICE FAKULTA EKONOMICKO-SPRÁVNÍ KVALITA REGRESNÍHO MODELU Radek Fajfr Bakalářská práce 00 Prohlášeí Tuto prác jsem vypracoval samostatě. Veškeré lterárí pramey a formace, které jsem v

Více

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou

LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:

Více

IAJCE Přednáška č. 12

IAJCE Přednáška č. 12 Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

Testy statistických hypotéz

Testy statistických hypotéz Úvod Testy statstckých hypotéz Václav Adamec vadamec@medelu.cz Testováí: kvalfkovaá procedura vedoucí v zamítutí ebo ezamítutí ulové hypotézy v podmíkách ejstoty Testy jsou vázáy a rozděleí áhodých velč

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík

UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT. Josef Tvrdík UČEBNÍ TEXTY OSTRAVSKÉ UNIVERZITY Přírodovědecká fakulta ANALÝZA DAT (OPRAVENÁ VERZE 006) Josef Tvrdík OSTRAVSKÁ UNIVERZITA 00 Obsah: Úvod... 3 Programové prostředky pro statstcké výpočty... 4. Tabulkový

Více

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou

14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou 4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Základní požadavky a pravidla měření

Základní požadavky a pravidla měření Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu

Více

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat

14. Korelace Teoretické základy korelace Způsoby měření závislostí pro různé typy dat 4. Korelace 4. Teoretcké základy korelace 4. Způsoby měřeí závslostí pro růzé typy dat Př prác se statstckým údaj se velm často setkáváme s daty, která jsou tvořea dvojcem, trojcem hodot. Složky takovýchto

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě

Rekonstrukce vodovodních řadů ve vztahu ke spolehlivosti vodovodní sítě Rekostrukce vodovodích řadů ve vztahu ke spolehlvost vodovodí sítě Ig. Jaa Šekapoulová Vodáreská akcová společost, a.s. Bro. ÚVOD V oha lokaltách České republky je v současost aktuálí problée zastaralá

Více

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model

EKONOMETRIE 9. přednáška Zobecněný lineární regresní model EKONOMETRIE 9. předáška Zobecěý lieárí regresí model Porušeí základích podmíek klasického modelu Metoda zobecěých emeších čtverců Jestliže sou porušey ěkteré podmíky klasického modelu. E(u),. E (uu`) σ

Více

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy

Výstup a n. Vstup. obrázek 1: Blokové schéma a graf paralelní soustavy Paralelí soustava Vstup a a Výstup a Vstup a Výstup a a obrázek : Blokové schéma a graf paralelí soustavy paralelí soustava je v bezporuchovém stavu je-l v bezporuchovém stavu prvek (tzv. adbytečé spojeí

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

Momenty a momentové charakteristiky

Momenty a momentové charakteristiky Lekce 3 Momety a mometové charaktertky Pokud jme e v předešlém výkladu zmňoval o ěkteré tattcké charaktertce, zpravdla jme rověž uváděl, zda j řadíme mez více ebo méě důležté. A byly to právě artmetcký

Více

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné

Chyby měření: 1. hrubé chyby - nepozornost, omyl, únava pozorovatele... - významně převyšuje rozptyl náhodné chyby 2. systematické chyby - chybné CHYBY MĚŘENÍ Opakovaé měřeí téže fyzkáí večy evede vždy k přesě stejým výsedkům. Této skutečost bychom se evyhu, kdybychom měřeí provádě s ejvětší důkadostí a precsostí aopak, čím ctvější a přesější jsou

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Lbor Žák SP Záko velkých čísel, cetrálí lmtí věta Lbor Žák Kovergece podle pravděpodobost Posloupost áhodých proměých,,,, koverguje

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 3. ÚKOL JB TEST 3. Úkol zadáí pro statistické testy U každého z ásledujících testů uveďte ázev (včetě autora), předpoklady použití, ulovou

Více

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení.

- metody, kterými lze z napozorovaných hodnot NV získat co nejlepší odhady neznámých parametrů jejího rozdělení. MATEMATICKÁ STATISTIKA - a základě výběrových dat uuzujeme a obecější kutečot, týkající e základího ouboru; provádíme zevšeobecňující (duktví) úudek - duktví uuzováí pomocí matematcko-tattckých metod je

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů

PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cena cenných papírů Semárky, předášky, bakalářky, testy - ekoome, ace, účetctví, ačí trhy, maagemet, právo, hstore... PODNIKOVÁ EKONOMIKA 3. Cea ceých papírů Ceé papíry jsou jedím ze způsobů, jak podk může získat potřebý

Více

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR

Lineární a adaptivní zpracovní dat. 5. Lineární filtrace: FIR, IIR Leárí a adaptví zpracoví dat 5. Leárí fltrace: FIR, IIR Dael Schwarz Ivestce do rozvoje vzděláváí Opakováí 2 Co je to fltrace? Co je to fltr? A jak ho popsujeme? Jaký je vztah Z trasformace a Fourerovy

Více

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek

SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO. Statistika I. distanční studijní opora. Milan Křápek SOUKROMÁ VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ ZNOJMO Statstka I dstačí studjí opora Mla Křápek Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo Dube 3 Statstka I Vydala Soukromá vysoká škola ekoomcká Zojmo. vydáí Zojmo, 3 ISBN

Více

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika

BIVŠ. Pravděpodobnost a statistika BIVŠ Pravděpodobost a statstka Úvod Skrpta Pravděpodobost a statstka jsou učebím tetem pro stejojmeý kurz magsterského studa Bakovího sttutu vysoké školy Kurzy Pravděpodobost a statstka a avazující kurz

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování

Testování hypotéz. 3.1 Základní pojmy a obecný postup při testování Lekce 3 Testováí hypotéz Vlajkovou lodí matematcké statstky jsou techky testováí hypotéz. Formulace hypotéz a jejch ověřováí jsou základím mechasmem postupu ldského pozáí. Pokud jsou formace, potřebé k

Více

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod

11. Regresní analýza. Čas ke studiu kapitoly: 60 minut. Cíl VÝKLAD Úvod . egresí aalýza Čas ke studu kaptoly: 6 mut Cíl Po prostudováí tohoto odstavce udete umět vysvětlt pojem oecý leárí model prcp leárího regresího modelu používat výsledky regresí aalýzy verfkovat regresí

Více

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK

STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH BOHUMIL MINAŘÍK 04 prof. Ig. Bohuml Mařík, CSc. STATISTICKÉ MINIMUM PRO STUDENTY BAKALÁŘSKÉHO STUDIA NA TECHNICKÝCH OBORECH.

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA PODNIKATELSKÁ ÚSTAV FINANCÍ FACULTY OF BUSINESS AND MANAGEMENT INSTITUTE OF FINANCES APLIKACE REGRESNÍ ANALÝZY NA VÝPOČET BODU ZVRATU

Více