FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ
|
|
- Drahomíra Tesařová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - SPOJITOST A LIMITY FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY Níže procvičujeme pouze výpočet it, o spojitosti se ezmiňujeme. To proto, že vyšetřeí spojitosti uce je možo vždy převést výpočet ity (viz Breviář, odst..). Limitu zdé uce v zdém odě (i evlstím) reálé osy můžeme počítt ěolierým způsoem: přímo pomocí deiice, pomocí vět o lgeře it, pomocí poročilejších vět (př. L Hospitlov prvidl). V této pitole se soustředíme prví dvě možosti, L Hospitlovu prvidlu věujeme pitolu smosttou. Nezytou teorii je možo lézt v Breviáři v odst... Při výpočtu ejčstěji používých it se ovyle postupuje ásledově. Nejdříve se určí ity ejjedodušších ucí přímo z deiice, v dlším se teto záldí souor it užije výpočtu it ompliovějších pomocí vět o lgeře it, erovostech mezi itmi eo pomocí prostředů poročilejších (př. již zmíěého L Hospitlov prvidl). V ásledujícím je teto přirozeý postup ilustrová ěoli řešeých příldech i eřešeých cvičeích. VÝPOČET LIMIT POMOCÍ DEFINICE Použití deiice ity vede ovyle techicy velmi ompliový prolém vyždující zprvidl vysoce etriviálí zlosti o erovostech. Níže se můžeme proto zývt je pouze těmi ejjedoduššími příldy. Ty slouží ilustrci, j deiici použít. Jejich propočteí v žádém přípdě estčí to, yste se deiice it učili tivě používt. VLASTNÍ LIMITA VE VLASTNÍM BODĚ Jý je ovylý postup při důzu tvrzeí, že uce má v odě itu A, tj. ( ) = A?. Doplíme orétí údje ze zdáí příldu do deiice, tj. orétí tvr uce orétí hodoty čísel A do výroové ormy > 0 δ > 0 : D 0 < < δ ( ) A <, jejíž prvdivost máme doázt. Tj. máme uázt, že pro liovolé umíme lézt δ t, y yl prvdivá v deiici se vysytující implice.. V poždovém důzu vyjdeme z výrzu ( ) A, terý uprvujeme t, ž jej převedeme prostředictvím poslouposti erovostí ( ) A α výrz α, de α je ějé ldé číslo.. Poud se ám to povede, jsme hotovi, protože p již stčí je volit δ < / α, př. δ = ( / α ) / eo δ = ( / α) / td. Při tové volě totiž pltí > αδ > α ( ) A, tedy i ( ) A <. PŘÍKLAD 5 6 = 9. Dožte, že ( ) Řešeí Při řešeí příldu postupujeme podle progrmu vytýčeého v předcházející pozámce. J jsme zjistili, čemu je uvedeá it rov? Prostým doszeím. Fuce z tohoto příldu je spojitá, it v ějém odě jejího deiičího ooru je proto rov její učí hodotě v tomto odě. Protože se udete většiou setávt s ucemi spojitými, uvedeý jedoduchý postup výpočtu ity ude ovyle ugovt.
2 -. - Spojitost ity d ) Nejdříve dosdíme ze zdáí do deiice > 0 δ > 0 : D 0 < < δ (5 6) 9 <. d ) V dlším rou se sžíme převést výrz (5 6) 9. Tetorát to jde sdo (5 6) 9 = 5 5 = 5( ) = 5. d ) Vidíme tedy ezprostředě, že α z oecého ávodu je rovo 5 že doočeí důzu stčí volit δ < / 5, př. δ = /0. CVIČENÍ K PŘÍKLADU. Dožte pomocí deiice vlstí ity ve vlstím odě ásledující rovosti ) ( ) = 5 d) ( ) = 0 g) ( + q) = + q ) (0 + 0) = 0 e) 5 = 5 c) ( 6 ) = 8 ) = () () h) ( + q) = + q, 0 i) c = c Dožte, že PŘÍKLAD = 6 Řešeí I v tomto příldě se udeme držet oecého ávodu. ) Nejprve opět doszeí zdáí do deiice:. > 0 δ > 0 : 0 < < δ 6 < D. ) Jo dlší ro tedy máme uprvovt výrz 6. Postup je sdě 6 = ( )( + ) = +. Zísý mezivýslede ás svádí položit α = + poždovt δ < / +. Tto to ovšem ejde, musí ýt ostt, emůže proto záviset ezávislé proměé. Řešeí tohoto příldu vyžduje přece je poěud jemější úvhy oproti těm, s imiž jsme vystčili v příldu předcházejícím. Musíme si uvědomit, že při výpočtu ity v odě = ás podle deiice zjímá chováí itové uce je ějém mlém reduovém oolí tohoto odu. V Breviáři jsme tové oolí psli ve tvru (, ) (, + ). Volme yí př. =. N sjedoceí itervlů (, ) (, + ) (, ) (, 5) je uce ( ) = určitě deiová (do jejího deiičího ooru ptří dooce celý itervl (,5)) prví předpold deiice ity ve vlstím odě je proto splě. Omezíme-li se v dlším je t, terá ptří do uvedeého sjedoceí, můžeme psát < < 5, tedy i 7 < + < 9. Pltí proto zcel jistě + < 9 my můžeme porčovt ve výše zpočtých úprvách 6 erovostí Zde máme mysli osttí uci () = 5. V cvičeích i jsou,, q c osttí prmetry.
3 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé = = + < 9. ) Tím jsme ovšem hotovi, protože yí už můžeme podle všech prvidel volit α = 9 δ < / 9. Tže opět př. (áhodou!) δ = /0. CVIČENÍ K PŘÍKLADU. Dožte pomocí deiice vlstí ity ve vlstím odě ásledující rovosti ) ( ) = d) ) (5 ) = 5 ( 0) = g) ( + + ) = e) ( ) = h) c) ( + ) = ) ( + ) = j) = 8 l) = 6 ) = m) ( ) = = i) ( + p + q) = + p + q,, p 0 () Osttí typy it I pro osttí typy it evlstí, v evlstích odech či jedostré se používá postup velmi podoý tomu, s ímž jsme se sezmovli v předcházejícím tetu příldech vlstích it ve vlstích odech. Následující příldy mjí sloužit je jo vyré ilustrce použití tohoto postupu při výpočtu osttích typů it, v žádém přípdě si eldou z cíl porýt všechy možosti. PŘÍKLAD (evlstí it ve vlstím odě) Dožte, že 0 + = +. 5 Řešeí ) Nejdříve musíme opět dosdit ze zdáí do oecé deiice. T pro evlstí itu + uce ve vlstím odě zprv zí ( ) = + právě, dyž K > 0 δ > 0 : D 0 < < δ ( ) > K. + Po doszeí ze zdáí vidíme, že máme doázt pltost tvrzeí K > 0 δ > 0 : D 0 < < δ > K. ) I yí ude výchozím odem šich úvh druhá z erovostí, / > K. Tu můžeme vzhledem e ldému zméu i K psát též ve tvru < / K, z ějž vidíme, že poud pro zdé ldé K zvolíme δ t, že ude pltit δ < / K, jsme hotovi, eoť < δ < < > K. K K ) N závěr tedy zvolme jedu z eoečě moh možostí, j split podmíu δ < / K. Npř. δ = / K.,, p q jsou osttí prmetry. 5 Všiměte si, že tetorát se poprvé setáváme s jedostrou itou. Pmtujete si, j se změí deiice oproti itě ooustré?
4 -. - Spojitost ity PŘÍKLAD (vlstí it v evlstím odě) Dožte, že = 0. Řešeí ) I v tomto přípdě zčeme doszeím do oecé deiice. Připomeňme si ejdříve její tvr pro oecou uci () itu A: ( ) = A právě, dyž > 0 M > 0 : D > M ( ) A <. Po doszeí tedy máme uázt, že pltí > 0 M > 0 : D > M <. ) Jo už trdičě, vycházíme ze druhé erovosti, terou můžeme vzhledem e ldosti přepst / <. A protože i je podle předpoldu ldé, pltí též / <, odud vidíme, že vhodá vol M je / < M. P totiž můžeme psát > M > < < split t implici vysytující se ve výše uvedeé deiici. ) K uočeí důzu opět vyerme jedu z eoečě moh možostí, j split podmíu / < M. T př. M = 5/. PŘÍKLAD 5 (evlstí it v evlstím odě) Dožte, že (5 ) =. Řešeí Nyí už je stručě, postup je ž droé změy stejý jo v předcházejících dvou příldech. ) Oecá deiice zí ( ) = právě, dyž K < 0 M < 0 : D < M ( ) < K po doszeí (5 ) = právě, dyž K < 0 M < 0 : D < M 5 < K. ) Ze druhé erovosti, 5 < K, vyplývá < K / 5, je tedy tře volit M < K / 5. P totiž K K < M < < 5 < K. 5 5 ) Jed z možých vole vedoucích e splěí podmíy M < K / 5 je pro záporé M i K př. M < K.
5 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 5. Dožte pomocí odpovídjících deiic ásledující rovosti ) 0 = ) 0 + = c) = + + d) = + 0 e) = 0 0 ) = 0 g) = h) = 0 i) ( 6 ) = j) (, ) = + ) (,5 ) = l) (6 ) = + Výpočet it pomocí vět o lgeře it PŘÍKLAD 6 Pomocí vět o itě součtu, rozdílu součiu vypočítejte ( + 6 ). Řešeí Nejdříve použijeme větu o itě součtu rozdílu 6 ( + 6 ) = ( ) ( ) + (6 ) ždý sčítec p opově větu o itě součiu ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) = = ( ) = = = = ( )( )( )( ), ( )( ) ( )( ) ( )( )( ) (6 ) = ( 6)( ). ( ) = = ( ) = Noec tedy můžeme psát, ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( + 6 ) = + 6. K doočeí výpočtu potřeujeme určit ity z prvé stry posledí rovosti. Přímo pomocí deiice (viz též cvičeí i příldu ) ychom sdo doázli, že pltí proto i =, =, 6 = 6 =, ( ) ( ) ( ) ( + 6 ) = + 6 = 5. 6 Npoprvé vše podroě rozepisujeme, později už udeme stručější. I vy si zpočátu vše podroě rozepisujte vždy se ptejte, jou větu jste v dém rou použili.
6 -.6 - Spojitost ity CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6. Určete ásledující ity d) e) ) ( 6 ) ) ( )( ) c) ( + ) ( + 6) 6 ) g) h) ( ) / ( ) + ( + ). Pomocí pricipu mtemticé iduce dožte pltost tvrzeí pomocí tohoto vzthu dále ( ) = ( ) =. si. Z předpoldu, že = 0 určete ásledující ity 7 ) 0 si tg ) 0 si( + ) si c) 0, cos = 0 cos d) 0 si, si = 0, cos = e =, 0 + cos cos e) 0 si ) 0 cos 0 e g) 0 + e 0 PŘÍKLAD 7 Pomocí vět o itě součtu, rozdílu součiu vypočítejte Řešeí Přímočrou plicí vět o itě podílu, součtu součiu (proveďte podroě smi!) ychom tetorát zísli = = = Tedy výrz, terý eí i v rámci rozšířeých prvidel pro počítáí s reálými čísly deiová. Použití vět o lgeře it je le podle Breviáře přípusté pouze tehdy, dojdeme-li pomocí ich doře deiovým výrzům. V opčém přípdě (jo je teto) eí možo příslušé věty použít tto přímočře ez dlších úvh. Řešeí se ízejí v podsttě dvě. Jed je možo použít vět soistiovějších (jou je př. vět L Hospitlov, o teré se 7 Návod: Limitové výrzy uprvte ejdříve t, y se v ich vysytovly je z dřívějš zámé ity ity ze zdáí, p užijte lgericých vět. Symolem ozčujeme osttí prmetr.
7 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé ještě zmííme v jedé z ásledujících pitol), eo itovou uci před použitím lgericých vět uprvit. V tomto příldě se vydáme druhou cestou. Potřeá úprv je sdě. Protože hodot = je ořeem polyomů ve jmeovteli i v čitteli, musí ýt o dělitelé lieárím dvojčleem. Sdým výpočtem 8 zísáme Můžeme proto též psát ( ) ( ) ( ) ( ) + : = +, + 6 : = +. ( )( ) ( )( ) + = +, + 6 = +, tedy i 9 ( + )( ) ( )( ) = = = = = Po zčeé úprvě jsme tedy zísli výrz, jehož itováí vedlo, po použití vět o lgeře it, doře deiovému podílu dvou celých čísel. Poud ychom poprvé euspěli, museli ychom se uď vrátit výrzu původímu pousit se o úprvy jié, eo dále uprvovt zísý výrz t dlouho, ž y ylo použití lgericých vět přípusté. Bohužel e vždy se to musí povést. CVIČENÍ K PŘÍKLADU 7. Určete ásledující ity ) 6 + ) 0 c) d) () e) ( + ) ) 0 g) h) 7 i) (0) () PŘÍKLAD 8 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí s eoečy vypočítejte ( ) Řešeí Nejdříve se pousíme o ezprostředí použití v zdáí vrhových vět. Poud dosteme iterpretovtelý výslede, jsme hotovi, ji udeme muset vyzoušet ěco jiého. Tže 8 O děleí polyomů viz. př. J. POLÁK, Přehled středošolsé mtemtiy. 9 Při přechodu od druhé e třetí itě využíváme toho, že podle deiice je, můžeme tedy rátit výrzem, závěr (ozčeo..., podroě doplňte smi) používáme příslušé lgericé věty. 0 Při výpočtu této ity využijte tu, že odmoci je spojitá uce svém deiičím ooru, tedy že = pro liovolé ldé že lze psát =. V cvičeí (e), () i je osttí prmetr I třetí všechy vyšší odmociy jsou svém deiičím ooru spojité uce.
8 -.8 - Spojitost ity ( ) ( ) ( ) ( ) = = Pomocí deiice sdo zjistíme, že což po doszeí dává =, 6 = 6, = = +, ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = = = + + = +. Pomocí lgericých vět jsme tedy dospěli výsledu ( ) = +. CVIČENÍ K PŘÍKLADU 8. Určete ásledující ity c) d) + 6 ) ( + 0) ) ( ) e) [( + 6)( 0) ] ) ( ) Ne vždy je možo při počítáí it, v ichž se vysytují eoeč, postupovt t přímočře, j jsme si to uázli v příldě 8 v vzujících cvičeích. V ásledujících dvou příldech stííme dv užitečé triy, j si pordit, rzíme-li při itováí eurčité výrzy. PŘÍKLAD 9 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí + +. s eoečy vypočítejte ( ) Řešeí Postup stíěý v příldu 8 tetorát euguje, po použití vět ze zdáí ychom dospěli edeiovému výrzu +. Ověřte! Nštěstí je možo teto prolém oejít vhodou lgericou úprvou. Stčí, dyž si uvědomíme, že + + = + +, což zmeá, že z itového polyomu máme vytout ejvyšší mociu ezávislé proměé. P lze totiž ez potíží psát Proveďte. Využíváme ásledujících rovostí (viz Breviář, odst..): ( + ) ( + ) = +, c ( + ) = + ostt, + + c = +., de c je ldá
9 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé Pltí tedy ( + + ) = + + = + + = = ( ) ( ) ( ) + + = + + = ( ) ( ) = = + [ ] = +. + ( ) + + = +. PŘÍKLAD 0 Pomocí vět o itě součtu součiu pomocí prvidel pro počítáí + s eoečy vypočítejte. + 6 Řešeí Ai tuto itu emůžeme jít hruou silou. Dříve, ež použijeme věty o lgeře it, musíme provést droou úprvu itového výrzu. Tetorát tri, terý vede cíli, spočívá ve vytutí ejvyšší mociy ezávislé proměé z čittele i jmeovtele itového zlomu. V tomto orétím příldě vytýáme ( ) + + = = = = ( + ) = = + + = = = ( + ). ( ) Ačoliv se v mezivýsledcích vysytovl ezříd eoeč, výsledá it je oečá 6 + =. CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9 A 0. Určete ásledující ity ) ( + 0) c) 6 + e)
10 -.0 - Spojitost ity ) ( ) d) ) ( )( + ) ( + )( + ) g) ( ) = 0 h) = i) = 0 0 j) = ) = 0, de 0,,, jsou ostty, = 0 0 = 0 0 m 0 = m, de 0,,, 0,,, jsou ostty,, 0 m = 0 m = 0 Výsledy: CVIČENÍ K PŘÍKLADU ) ) c) d) 0 e) 6 ) δ g) δ <, δ může ýt liovolé ldé číslo, h) <, i) δ může ýt liovolé ldé číslo. CVIČENÍ K PŘÍKLADU ) ) c) d) 5 e) 5 ) g) 5 h) i) 7 5 δ < +, + p j) ) 9 l) 6, 5 m) 65 δ <. 5
11 Diereciálí počet ucí jedé reálé proměé -. - CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM -5 ) ) c) d) δ <, e) K δ <, ) K δ < +, g) K M <, i) spor, ( 6 ) 0 M <, j) M > 6, ) h) M >, l) K K M >,,, K M >,,5 K + M >. 6 CVIČENÍ K PŘÍKLADU 6 ), d), g),75, ), e), h) c) 0, ) 6, ), d), g) e. ), e) 0, c) cos, ),. 5 CVIČENÍ K PŘÍKLADU 7 ), d) 5, g),,, i). ) 0, e), h) c), ) CVIČENÍ K PŘÍKLADU 8 ) +, c), e), ) +, d) 0, ) +. CVIČENÍ K PŘÍKLADŮM 9 A 0 ) +, c) e), ), d) 0, ), g) > 0 +, = 0 0, < 0 h) je liché < 0 => +, je sudé > 0 => +, je liché > 0 =>, je sudé < 0 => ; i)
12 -. - Spojitost ity j) < m => 0 < m => 0 ) + : = m => > m > 0 => + < 0 => : = m => > m sudé m sudé, > 0 => + sudé m sudé, < 0 => liché m liché, > 0 => + liché m liché, < 0 => sudé m liché, > 0 => sudé m liché, < 0 => + liché m sudé, > 0 => liché m sudé, < 0 => +
8.2.6 Geometrická posloupnost
8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího
VíceNové symboly pro čísla
Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více4. Opakované pokusy a Bernoulliho schema
4 Opové pousy Beroulliho schem Pozám: V ěterých příldech v odstvcích 2 3 jsme počítli prvděpodobosti áhodých jevů, teré byly výsledem opoví áhodého pousu Npř házeí dvěm micemi je stejé jo dv hody jedou
VíceSpojitost a limita funkcí jedné reálné proměnné
Spojitost a limita fukcí jedé reálé proměé Pozámka Vyšetřeí spojitosti fukce je možo podle defiice převést a výpočet limity V dalším se proto soustředíme je problém výpočtu limit Pozámka Limitu fukce v
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceBudeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)
Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VíceP. Girg. 23. listopadu 2012
Řešeé úlohy z MS - díl prví P. Girg 2. listopadu 202 Výpočet ity poslouposti reálých čísel Věta. O algebře it kovergetích posloupostí.) Necht {a } a {b } jsou kovergetí poslouposti reálých čísel a echt
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceContent. 1. Úvodní opakování Mocnina a logaritmus. a R. n N n > 1
Cotet Úvodí opováí Moci logritmus Goiometricé fuce Zobrzeí jeho záldí vlstosti O možiě R 4 O možiě ompleích čísel 5 Oolí bodu (v R v C 6 Číselé poslouposti 6 Záldí vlstosti 6 Limit poslouposti 6 Aritmeti
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceFunkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
Více8.2.7 Vzorce pro geometrickou posloupnost
7 Vzoce po geometicou poloupot Předpoldy: 0, 0 Př : Po geometicou poloupot pltí ; q Uči čle, iž by učovl Mohli bychom pomocí vzoce po -tý čle učit čle p pomocí tejého vzoce učit i Teto potup je ložitější
VíceCílem kapitoly je zavedení význačných pojmů pro matice, jejichž znalost je nutná, mimo jiné, pro řešení soustav lineárních rovnic.
Mtemtik I část I Cíle Cílem kpitoly je zvedeí výzčýh pojmů pro mtie jejihž zlost je utá mimo jié pro řešeí soustv lieáríh rovi Předpokládé zlosti Předpokldem dorého zvládutí látky je zejmé zlost opere
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9009 Příkld : Spočtěte itu poslouposti 3 + + + 4 + 50 + 00 + 0 0 3 + + Řešeí:Ozčíme : +, b : 4 + 50 + 00 Zlomek,tvořící + 0 0,rozšířímevýrzem ++,čežvytkemeejvyššímociu
VíceZnegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:
. cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.
Vícek(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln
Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =
VíceVerze z 17. května 2018.
Verze z 7. květ 8. Úvodí pozámk Tto sbírk byl sepsá se záměrem vytvořit sezm výpočetích postupů triků pro řešeí úloh, které se probírjí ve druhém semestru kurzu mtemtické lýzy. Sezm, v ěmž s devdesátiprocetí
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
VícePetr Šedivý Šedivá matematika
LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VícePřibližné řešení algebraických rovnic
Přblžné řešení lgebrcých rovnc Algebrcou rovncí stupně n nzýváme rovnc =, tj n n x x x =, de n N, x C, oefcenty P n,,, n R, Budeme prcovt s tzv normovou lgebrcou rovncí ( = ) n n x x x = Řešením (ořenem)
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceNejistoty v mìøení II: nejistoty pøímých mìøení
V úvodí èásti [] volého cylu èláù yl uvede struèý pøehled proletiy ejistot v ìøeí, pøilíže historicý vývoj v této olsti zèey dùvody výhody používáí souèsé odifice v širších souvislostech eziárodí etrologie
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají
Vícen 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1
3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
Více8.1.2 Vzorec pro n-tý člen
8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
Více9. Číselné posloupnosti a řady
9 548 5: Josef Herdl Číselé poslouposti řdy 9 Číselé poslouposti řdy Defiice 9 (číselá posloupost Fuce se zývá číselá posloupost : (9 Jestliže pro obor hodot R ( poslouposti pltí R ( budeme řít že posloupost
Více1.2. NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN
2 NORMA A SKALÁRNÍ SOUČIN V této kapitole se dozvíte: axiomatickou defiici ormy vektoru; co je to ormováí vektoru a jak vypadá Euklidovská orma; axiomatickou defiici skalárího (také vitřího) součiu vektorů;
Více1. Přirozená topologie v R n
MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu
Více( x) ( lim ( ) ( ) 0
357 :33 Jose Herdla Poslouposti a řady ucí Poslouposti a řady ucí Bodová overgece poslouposti ucí Deiice (odová overgece) Nechť je posloupost ucí : S, S Říáme, že posloupost ucí overguje uci a odově a
VíceŘešení soustav lineárních rovnic
Řešeí sousv lieáríc rovic Sousv lieáríc rovic Sousvou m lieáríc rovic o ezámýc rozumíme sousvu : Kde ij i R M m m Čísl ij zýváme koeficiey sousvy čísl i soluí čley Uvedeou sousvu udeme zči Sm m M m Homogeí
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ listopadu 2015
Cvičeí k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikovaé matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičeí Zimí semestr akademického roku 2015/2016 20. listopadu 2015 Předmluva
VíceJsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.
Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
Více8.1.3 Rekurentní zadání posloupnosti I
8.. Rekuretí zadáí poslouposti I Předpoklady: 80, 80 Pedagogická pozámka: Podle mých zkušeostí je pro studety pochopitelější zavádět rekuretí posloupost takto (sado kotrolovatelou ukázkou), ež dosazováím
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
Vícef k nazýváme funkční řadou v M.
6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a) fx) x 5x+4 4 x b) fx) x x +4x+ c) fx) 3x 9x+ x +6x 0 d) fx) x 7x+0 4 x. Řešeí a) Nulové body čitatele a jmeovatele
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
Více8.2.4 Užití aritmetických posloupností
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jká by byl
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
Více3 Integrální počet funkcí jedné reálné proměnné
- 36 - Itegrálí počet fukcí jedé proměé 3 Itegrálí počet fukcí jedé reálé proměé 3. Prmtví fukce, eurčtý tegrál Defce Nechť f je reálá fukce jedé reálé proměé. Fukc F zveme prmtví fukcí k fukc f tervlu
Více3. cvičení - LS 2017
3. cvičeí - LS 07 Michal Outrata Defiičí obor, průsečíky os, kladost/záporost fukce a fx x 5x+4 4 x b fx x x +4x+ c fx 3x 9x+ x +6x 0. Řešeí a Nulové body čitatele a jmeovatele jsou { 4}. Aby vše bylo
VíceZS 2018/19 Po 10:40 T5
Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si
Více3.4.3 Množiny bodů dané vlastnosti I
3.4.3 Množiny odů dné vlstnosti I Předpoldy: 3401 Něteé z těchto množin už známe. J je definován užnice ( ; )? Množin všech odů oviny, teé mjí od středu vzdálenost. Předchozí vět znmená dvě věci: Vzdálenost
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceHyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná
Hyperol Hyperol je množin odů, které mjí tu vlstnost, že solutní hodnot rozdílu jejich vzdáleností od dvou dných různých odů E, F je rovn kldné konstntě. Zkráceně: Hyperol = {X ; EX FX = }; kde symolem
VíceŘídicí technika. Obsah. Laplaceova transformace. Akademický rok 2019/2020. Připravil: Radim Farana
kdemický rok 9/ Připrvil: Rdim Fr Řídicí techik Oh (L-trformce) předtvuje velmi účiý átroj při popiu, lýze ytéze pojitých lieárích ytémů řízeí. Účelem trformce je převét ložitý prolém z protoru origiálů
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
VícePosloupnosti. a a. 5) V aritmetické posloupnosti je dáno: a
Poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) Prví čle ritmetické poslouposti je 8 diferece Určete prvích pět čleů této poslouposti ) V ritmetické
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VícePřednáška 7, 14. listopadu 2014
Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.
Více4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.
4.4. Sinová vět Předpokldy Trigonometrie řešení úloh o trojúhelnííh. Prktiké využití změřování měření vzdáleností, tringulční síť Tringulční síť je prolém měřit vzdálenosti dvou odů v krjině změříme velmi
Více( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306
7.3.8 Nerovnice pro polorovinu Předpokldy: 736 Pedgogická poznámk: Příkld 1 není pro dlší průěh hodiny důležitý, má smysl pouze jko opkování zplnění čsu při zpisování do třídnice. Nemá smysl kvůli němu
VíceZformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):
Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při
VíceŘešení písemné zkoušky z Matematické analýzy 1a ZS ,
Řešeí písemé zkoušky z Mtemtické lýzy ZS008-09,9..009 Příkld : Spočtěte limitu poslouposti lim + ) 7 + 8 5 + ) 4 4 +) 5). Ozčme : + 7 +, b 8 : 5 +) 4 4 +) 5,zjímáástedy lim b. Máme 7 8 + 7 + + 7 ) + 8
Více56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25
56. ročník Mtemtické olympiády Úlohy domácí části I. kol ktegorie 1. Njděte všechny dvojice (, ) celých čísel, jež vyhovují rovnici + 7 + 6 + 5 + 4 + = 0. Řešení. Rovnici řešíme jko kvdrtickou s neznámou
Více