Matematika pro radiologické asistenty

Transkript

1 Matematika pro radiologické asistety Studií materiál Jaa Musilová a Michal Lec. Základí pomy.... Úvod.... Reálá čísla Eulerovo číslo Mocia Fukce, eí limita a spoitost Některé elemetárí fukce Polyomy Racioálí fukce lomeá Epoeciálí fukce a logaritmus Goiometrické fukce Počítáí s vektory Soustavy lieárích rovic, matice Triviálí příklady Matice Matice a řešeí soustavy rovic Shrutí Gaussovy elimiačí metody Limita a derivace Motivace rychlost a zrychleí Fukce, eí limita a spoitost Derivace fukce, teča Pravidla pro počítáí derivací Přibližé vyádřeí diferecovatelé fukce Řešeí dvou edoduchých difereciálích rovic Rovice radioaktivího rozpadu Rovice harmoického oscilátoru... 45

2 8. Stručě o itegrálu Neurčitý itegrál primitiví fukce Určitý (Riemaův) itegrál Pravděpodobost Náhodé evy a eich pravděpodobost Kombiatorika Pravděpodobosti složeých evů Měřeí a zpracováí dat Měřeé hodoty veliči sou áhodé Náhodá veličia s diskrétím rozděleím Náhodá veličia se spoitým rozděleím Jaký průměr? Přechod od Beroulliova ke Gaussovu rozděleí Základí pomy. Úvod Fyzika ako eaktí věda má svů azyk matematiku. Ve Feymaově kize Feyma s Tips o Physics se o tom píše: Matematika e překrásý předmět, má své vstupy a výstupy, ale my se sažíme zistit, co obsahue to miimum, které musíme zát pro pot eby fyziky. Přístup, který teď zvolím se eohlíží a matematiku a sledue pouhou účelost. Nepokouším se proikat do matematiky. Nedřív se musíme aučit derivovat tak, ako když počítáme 3 krát 5 ebo 5 krát 7.. No dobře, Feyma mluví o studetech ižeýrství. Jak e tomu tedy s potřebou matematikou pro studety bakalářského studia oboru Radiologický asistet? Určitě se daí zalosti matematiky potřebé pro pochopeí pricipů diagostických ebo terapeutických metod, se kterými se bude v prai radiologický asistet setkávat hodě redukovat. Ale třeba to zmíěé derivováí se obeví mohokrát, byť v podobě edoduché formě, ako a ilustračím obrázku.

3 Rozpad ader t N ~ 4,8 a cm 3 t+ t U Th + He N + N N ~,4 5 a cm 3 = s N dn t l = 9 λ N, = λ N ( t ), λ =, τ = 4, 47 let dt τ. Reálá čísla Počátek představ o možiě reálých čísel e v úvahách o operacích sečítáí a odečítáí přirozeých čísel, t. čísel,,3, Velmi brzo dodeme k tomu, že abychom zůstali při odečítáí v této možiě, bylo by třeba zavádět epohodlá omezeí. Možia přirozeých čísel byla proto velmi brzo rozšířea o záporá celá čísla a ulu a možiu celých čísel. Ale opět při operacích ásobeí a děleí e možo zůstat v možiě celých čísel e při zavedeí epohodlých omezeí. Možia celých čísel byla proto rozšířea a možiu racioálích čísel, tvořeou všemi růzými podíly celých čísel (se zákazem uly ve meovateli) Stále však emáme všecha reálá čísla. Pokud maí být odmociy z reálých kladých čísel opět reálá čísla, emohou být tato čísla pouze racioálí, t. vyádřitelé ve tvaru zlomku. Vezmeme velmi edoduchý příklad: druhou odmociu ze dvou. Platí erovosti

4 7 4, > >, , > >, , > >, Vidíme, ak se iterval ohraičeý dvěma zlomky (t. racioálími čísly) zmešue, ale číslo zlomkem vyádřit ede, říkáme, že e to číslo iracioálí. Iracioálími čísly sou mimo ié Ludolfovo číslo π (podle Ludolpha va Ceulea), Eulerovo číslo e (podle Leoharda Eulera). Číselá osa (uspořádaá možia reálých čísel R ) e tvořea podle velikosti uspořádaými racioálími a iracioálími čísly..3 Eulerovo číslo Všiměme si hodot poslouposti 3 +, +, +,, +, 3 ebo +, + +, + + +,, + + +,!!!!! 3!!! v ásleduící tabulce + + k = k!, 5,5 4, 44465, , , , , , , , ,78888 Vidíme, že se čley poslouposti blíží (u prví pomalei, u druhé rychlei) limití hodotě. Tato hodota e iracioálí číslo, které e azýváo Eulerovým číslem (taktéž základem přirozeých logaritmů) a začeí se e. Přibližé hodoty dvou základích čísel elemetárí matematiky sou π 3, e,

5 Číslo e e tedy limití hodota koečé řady pro e = k = Faktoriál uly e defiová ako! =, proto můžeme užít kompaktěšího zápisu k! + = k! k! k = k =.4 Mocia Základem sou mociy s celočíselými koeficiety. tá mocia e krát opakovaé ásobeí čísla sebou samým Je hed vidět, že Je-li =, dostáváme Je-li =, dostáváme obecě Další důležité pravidlo e tedy =, =, = = = = + + = = = = = = k = = Steými úvahami odvodíme pravidla k ( ) k, = k + k k y = y = Velkým zobecěím e zavedeí té odmociy ako čísla, pro které platí k

6 Běžě užívaé začeí e = =, = = = Defiičí obor té odmociy eí triviálí, vždy sou to však všecha ezáporá reálá čísla. Nyí máme připraveo zobecěí mocitele a racioálí čísla ako k k k = = Posledí zobecěí mocitele e mít a eho místě libovolé reálé číslo, toto zobecěí může počkat až po defiici epoeciálí a logaritmické fukce.. Fukce, eí limita a spoitost S istou dávkou matematické epřesosti lze říci, že fukce vyadřue závislost určité veličiy (závisle proměé) a veličiách iých (ezávisle proměých). Příkladem mohou t být iž zmíěé závislosti souřadic částice a čase. Uvažume yí o případu edé reálé ezávisle proměé t a edé reálé závisle proměé. Píšeme f ( t) = a čteme e fukcí t. Symbol f, tzv. fukčí předpis, určue pravidlo, kterým sou hodotám t přiřazey hodoty. Někdy píšeme e ( t) = (teto zápis bývá ve fyzice častěší). Hodoty, kterých může abývat proměá t, tvoří defiičí obor fukce začeý D f. Obor D f e buď zadá současě s uvedeím pravidla f, ebo e automaticky chápá ako možia všech hodot t, pro ěž lze podle pravidla f vyčíslit hodotu. Např. pro = t musí být t, eboť záporé hodoty elze odmocňovat. Říkáme, že f e defiováa a možiě D f. Hodoty, ichž bude abývat proměá, probíhá-li t defiičí obor D f, tvoří obor hodot fukce, H f. V roviě souřadic t (vodorová osa) a (svislá osa) vytvoří body o souřadicích t, f ( t) ozačovaý ako G f. Na ásleduících obrázcích sou čtyři příklady. graf fukce,

7 Na prvím obrázku e graf fukce f (, ) = t. Defiičím oborem e celá reálá osa D =, obor hodot fukce e H =, ). Na druhém obrázku e graf fukce = t. Defiičím oborem e kladá reálá poloosa [, ) f D =, obor hodot fukce e H =, ). Na třetím obrázku (alevo) e graf fukce = t +. Defiičím oborem e celá reálá f f osa D = (, ), obor hodot fukce e taktéž celá reálá osa (, ) f obrázku e graf fukce t = t H =. Na čtvrtém Tato fukce eí defiováa v bodě t =, e tedy eím defiičím oborem sedoceí itervalů D = (,) (, ) a oborem hodot (, ) (, ) f fukce má v bodě t = limitu můžeme defiovat ovou fukci ( t )( t + ) t lim = lim = lim( t + ) = t t t t t f f H =. Protože však tato

8 t t = t t = a tato fukce už má ako defiičí obor i obor hodot celou reálou osu. Toto e příklad, kdy dodefiováím původí fukce dosáheme toho, že ová fukce má širší defiičí obor, často pak celou reálou osu 3. Některé elemetárí fukce 3. Polyomy Fukci f = a + a + a + + a + a kde koeficiety sou reálá čísla ( a, a R ) azýváme polyomem -tého stupě (předpokládáme a ). Pomocí součtového symbolu zkracueme zápis a Při tomto zápisu bereme v úvaho, že = k k = f a k = pro všecha. Vezměme polyomy eižších stupňů (pro vytvořeí grafu fukce v roviě -y začíme y = f ( ) ) y = a, y = a + b, y = a + b + c Grafem polyomu stupě ula e přímka vedeá rovoběžě s osou ve vzdáleosti a, grafem polyomu stupě eda e přímka se směricí a (podle předpokladu e a ako koeficiet u evyšší mociy růzý od uly), která protíá osu y v bodě b a osu v bodě b a. Grafem polyomu stupě dva e parabola, která protíá osu y v bodě c, protíá osu ve dvou bodech (pokud b > 4a c ), dotýká se osy v bodě b ( a) (pokud b = 4a c ) ebo leží celá ad ebo pod osou (pokud b < 4a c ). Uvedeé tři případy sou a obrázcích.

9 Zmííme se eště o polyomu, který vziká z mociy dvočleu + a = + a + + a + a kde! =,! ( ),! k ( k ) = =! k! S výrazy typu kombiačího čísla ebo faktoriálu se také setkáme při úvahách o pravděpodobosti. 3. Racioálí fukce lomeá y = a + a + + a + a + a m m bm + bm + + b + b + b, =, m = epřímá úměra y = a ( c) () () () y = + () y = Epoeciálí fukce a logaritmus Připomeňme, že sme zapsali Eulerovo číslo ako ekoečou řadu e Nyí defiueme epoeciálí fukci ako = k = k!

10 y k = e = k = k! Pro epoeciálí fukci se často užívá také ozačeí ep( ). Při zápisu prvích ěkolika čleů řady máme Vezměme souči dvou epoeciálích fukcí ep( ) = + + +!! y y ep( ) ep( y) = =!!!! + y + y + y = ep +!! ( y) Toto e velmi důležitá vlastost: epoeciálí fukce součtu e rova součiu epoeciálích fukcí edotlivých sčítaců ( y) ( ) ( y) ( k ) ( ) ep + = ep ep ep = ep Z defiice epoeciálí fukce pomocí ekoečé řady plye ep( ) =. Dále vidíme, že fukčí hodoty abývaí pouze kladých hodot. Pro > e zřemé z defiice pomocí řady (všechy čley sou kladé a prvím čleem e edička), že dokoce ( ) < vydeme ze vztahu a protože ep( ) ep( ) = ep( ) = > ep ( ) k > ep >. Pro e kladé, e ako v předešlém případě ep( ) kladé a větší ak eda. Rozdíl e v tom, že yí < < ep( ) <. Fukce Graf epoeciálí fukce e a obrázku. ( y) ( ) ( ) ( y) ep e rostoucí. Pro y > e ep + ep = ep ep >

11 Přirozeý logaritmus e iversí fukcí k epoeciálí fukci. To zameá, že zobrazuemeli fukcí přirozeý logaritmus číslo, které sme získali zobrazeím čísla epoeciálí fukcí, dostaeme opět číslo, resp. v opačém pořadí zobrazueme-li epoeciálí fukcí číslo, které sme získali zobrazeím čísla logaritmickou fukcí, dostaeme opět číslo ( ) l ep =, ep l = Z defiice e zřemé, že defiičím oborem fukce logaritmus sou ezáporá čísla. Protože ep( ) =, musí být l( ) =. Ozačíme-li si = ep( ξ ) a y ep( η ) =, můžeme psát ( ) l + l y = ξ + η = l ep ξ + η = l ep ξ ep η = l y Dostáváme tak důležitý vztah: logaritmus součiu e rove součtu logaritmů edotlivých součiitelů ( y) = ( ) + ( y) ( k ) = k ( ) l l l l l Jak z této vlastosti plye (položme y = ), platí l ( ) = l a logaritmus e rostoucí fukce, pro > kladá, pro < < záporá. Graf logaritmické fukce e a obrázku.

12 Mociu s libovolým reálým mocitelem defiueme pomocí vztahu ( ) ( ) a = ep l a = ep l a Kromě přirozeého logaritmu lze defiovat také logaritmus při libovolém základu pomocí vztahu ( log ) log a = a, a = a Působeí fukce přirozeý logaritmus a obě stray druhého výrazu dává l log a ( ) l( a) = l( ) log a ( ) = l Nečastěi e užívá dekadický logaritmus (t. logaritmická fukce se základem a = ), mohdy proto eí ai základ zmiňová, mluví se prostě o logaritmu. Graf dekadického logaritmu log( ) s vyzačeím log = a ( ) ( a) log = log = e a obrázku.

13 Na obrázku e zázorěo ěkolik příkladů umocěí pevého základu a a odpovídaící iverzí operace. y = z, = lo g y, z >, z z,5,, 3 log, log, log, log,5 3 y = = 3.4 Goiometrické fukce Vycházíme z pravoúhlého troúhelíku a obrázku. Goiometrické fukce sou pro úhly z itervalu (, π ) defiováy ako poměry stra tohoto troúhelíku: Je přímo vidět, že si θ = y, cos θ =, tg θ = y, cotgθ = r r y siθ cosθ tg θ =, cotgθ = = cosθ siθ tgθ a z Pythagorovy věty

14 y + y = r + = ( cosθ ) + ( siθ ) = r r V kraích hodotách itervalu e si = tg =, cos =, cotg = π π π π cos = cotg =, si =, tg = O zaméku fukcí sius a kosius ve čtyřech kvadratech dává představu ásleduící obrázek: Průběh fukcí sius a kosius a itervalech [ π, π ] a [ ],π e a obrázcích:

15 Na dalších obrázcích e a těchže itervalech zobraze průběh fukcí tages a kotages: Vzhledem k vlastostem průmětů průvodičů bodů a edotkové kružici a periodě π a této kružici můžeme pro goiometrické fukce psát řadu užitečých vztahů. Pro kosius tak máme siθ = si π + θ = si π θ = si θ = si π + θ = π π cos θ = cos + θ a pro kosius cosθ = cos π + θ = cos π θ = cos θ = cos π + θ = π π si θ = si + θ Fukce tages a kotages sou periodické s periodou π, takže tgθ = tg π + θ = tg θ cotgθ = cotg π + θ = cotg θ Již sme uvedli důležitý vztah (všiměte si trochu iého zápisu druhé mociy) θ θ si + cos = Pro úpravy výrazů s goiometrickými fukcemi sou epostradatelé tzv. součtové vzorce. Pro fukce součtu či rozdílu dvou úhlů platí

16 si α ± β = siα cosβ ± cosα siβ cos α ± β = cosα cosβ siα siβ Pro součet ebo rozdíl fukcí dvou úhlů pak platí α + β α β α + β α β siα + siβ = si cos, cosα + cosβ = cos cos α β α + β α + β α β siα siβ = si cos, cosα cosβ = si si Na obrázku sou příklady goiometrických fukcí obecého lieárího argumetu α = a + b. cos, cos( ) cos, cos cos, co, cos π 3 s 4. Počítáí s vektory (V tšia obrázk p evzata z u ebice HRW: Fyzika.) Vektor e zadá směrem a velikostí. Je tedy zobraze orietovaou úsečkou (vyzačeí šipkou). Vektory můžeme ásobit reálými čísly. Absolutí hodota ásobitele udává, kolikrát se změí délka vektoru, zaméko pak, zůstae-li orietace steá ebo zda se změí a opačou. Vektory můžeme sčítat a odečítat (odečteí vektoru b od vektoru a e totéž ako přičteí vektoru b k vektoru a. Grafické zázorěí e a ásleduících dvou obrázcích. Všiměme si, že i když budeme uvažovat vektory ve třech rozměrech ašeho prostoru, vždy ademe roviu (tedy dvourozměrý prostor), ve které leží uvažovaé dva vektory a obrázky

17 tedy můžeme pohodlě malovat v této roviě. Sečítáí vektorů e komutativí (ezáleží a pořadí sčítaců). Odečteí vektoru e, ak iž bylo řečeo, totéž ako přičteí vektoru opačě orietovaého: Početě e sadou cestou rozklad vektorů do složek kartézské soustavy ( a = a cos θ, a = asiθ ), takže pro součet vektorů e y c = a + b, c = a + b, c = a + b y y y Ve třech rozměrech začíme tři základí edotkové vektory (pravotočivé) kartézské soustavy i,, k a libovolé dva vektory zapíšeme ako

18 a = a i + a + a k, b = b i + b + b k y z y z Běžý způsob zápisu vektoru pomocí eho složek e a = a, a, a ( y z ) Lieárí kombiace vektorů a a b (prví vektor ásobíme ěakým reálým číslem α a přičteme k ěmu druhý ásobeý číslem β) e opět vektor c = α a + β b, c = α a + β b, α a + β b, α a + β b ( y y z z ) Při ásobeí vektorů rozezáváme dva druhy součiů skalárí a vektorový. Pro skalárí souči e a b = a bcosϕ Velikost vektoru e podle tohoto vztahu odmociou ze skalárího součiu vektoru se sebou samým, protože a a = a cos = a

19 Stadardí začeí velikosti vektoru a e a. Pouze tam, kde emůže doít k záměě (ako v ašich vztazích zde), stačí psát e a. Jsou-li dva vektory avzáem kolmé, e eich skalárí souči rove ule, protože π a b = ab cos = Pro edotkové avzáem kolmé vektory kartézské soustavy tak máme i i = = k k =, i = k = k i = Potom můžeme skalárí souči dvou libovolých vektorů zapsat ve složkách ako a b = a i + a + a k b i + b + b k = a b + a b + a b y z y z y y z z Vektorový souči vektorů a a b vytváří vektor c, který e kolmý k roviě, v íž leží tyto vektory a má velikost c = a bsiϕ Vektorový souči vektoru se sebou samým dává ulový vektor, protože pro velikost máme c = a si = Vektorový souči dvou avzáem kolmých edotkových vektorů má opět edotkovou velikost, protože π c = si = Pro základí vektory kartézské soustavy tedy můžeme psát i i = = k k =, i = k, k = i, k i = Potom můžeme vektorový souči dvou libovolých vektorů zapsat ve složkách ako

20 a b = ( a i + ay + az k ) ( b i + by + bz k ) = ( y z y z ) + ( z z ) + ( y y ) a b b a i a b b a a b b a k ebo ve stadardím zápisu a b = a b b a, a b b a, a b b a 5. Soustavy lieárích rovic, matice 5. Triviálí příklady ( y z y z z z y y ) V edé emeovaé emocici byli zvyklí a dodávku ampulí s lékem, který se přidával do ifuzí. Ampule měly vždy obem V a kocetrace účié látky v í byla p% obemových. Persoál měl příkaz vrchí sestry dávat do ifuze o výsledém obemu W vždy edu ampuli léku. Jedou dodala lék iá firma a ampule měly obem dvoásobý, t. V, kocetrace účié látky byla také dvoásobá. Vrchí sestra přikázala dávat do ifuzí poloviu obsahu ampule. Co myslíte, e to správý příkaz? Řešeí: Zavedeme ozačeí: obemy budou v cm 3 (ml), tedy W obem ifuze (v obou případech steý) a V obem ampule prví firmy. p bude kocetrace účié látky v obemových procetech v prvím případě. Obem účié látky a kocetrace sou p U p V U = V q = =, W W p V U p V U = q = = = q W W Závěr: Sad ebyla dvoásobá dávka smrtelá. Obecěší úloha e taková: Předpokládeme, že druhá firma dodala ampule o obemu = ml s kocetrací účié látky p=5 % (obemových). Do akého obemu základu ifuze maí sestry vmíchat edu ampuli, aby dosáhly předepsaé kocetrace q=5 %? Ozačme obem ifuze (ezámá místo obemu W z předchozí úlohy). Obem účié látky v ampuli e p ω = Ω Rovice pro ezámy obem (lieárí rovice pro ezámou veličiu ) e pak Řešeí: ω q = q + ( q p) Ω = + Ω p 5 = Ω ml = ml = 8 ml q 5

21 Nepatrě složitěší úloha e tato: Do ifuze o celkovém obemu W= ml se přidávaí dvě účié látky. Prví z ich e v ampulích o obemu V = ml v kocetraci p =3 % (obemových), druhá v ampulích o obemu V =4 ml v kocetraci p =5 %. Výsledá kocetrace obou účiých látek v ifuzi má být q=5 % a poměr eich kocetrací q q = p =,5 (eda ku dvěma). Kolik ml roztoku a kolik ml roztoku e třeba dát do ifuze? Řešeí zázam úlohy: Ozačme hledaý obem roztoku a y hledaý obem roztoku (máme tedy dvě ezámé, a y). Obem účié látky v obemu bude =, obem účié látky v obemu y bude U p v ifuzi pak budou q = U = p, q U p y = = W W W W Pro aše dvě ezámé máme dvě podmíky q q + q = q, = p q U = p y. Kocetrace látek Přepíšeme tyto podmíky pomocí ezámých veliči a y a zámých hodot p, p, W, q a p a soustavu dvou lieárích rovic o dvou ezámých p + p y = qw p p y = p Řešeí soustavy rovic: Odečteme druhou rovici od prví a vyřešíme vzhledem k y, potom dosadíme toto řešeí do druhé rovice (samozřemě e možé dosadit i do prví rovice, řešeí pro musí být steé). Dostaeme tak p qw qw =, y = 33, y = 4 p p p p ( + ) ( + ) 5. Matice Tabulku tvořeou m řádky a sloupci čísel azýváme maticí dimese m A ( a ) a a a a a a am am a m ik = Matice steé dimese m můžeme sečítat a ásobit číslem ( c ik ) ( a ik ) ( b ik ) ( aik b ik ) ( c ) ( a ) ( a ) C = A + B = + = + C = α A = α = α ik ik ik

22 Matici A dimese m můžeme zprava vyásobit maticí B dimese s a získat tak matici C dimese m s C = A B ( cik ) = aip bpk p = ebo můžeme matici A dimese m vyásobit zleva maticí B dimese s m a získat tak matici C dimese s m C = B A ( cik ) = bip apk p = Vidíme, že pro sčítáí zůstává komutativita (ezávislost a pořadí) sčítaců zachováa i u matic, u ásobeí to pro součiitele obecě eplatí. Především: ásobit můžeme e matice, které maí steý počet řádků ebo sloupců. Ale i pro čtvercové matice (dimese ) e komutativita spíše výimkou. Obrazě vyádřeo, prvky matice součiu vytváříme takto: v prvím řádku sou postupě prví řádek levé matice krát prví sloupec pravé matice, prví řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice až prví řádek levé matice krát posledí sloupec pravé matice, v druhém řádku sou postupě druhý řádek levé matice krát prví sloupec pravé matice, druhý řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice až druhý řádek levé matice krát posledí sloupec pravé matice atd. až po posledí řádek matice součiu, kde sou postupě posledí řádek levé matice krát prví sloupec pravé matice, posledí řádek levé matice krát druhý sloupec pravé matice až posledí řádek levé matice krát posledí sloupec pravé matice. Souči řádek krát sloupec pak zameá, že sečteme souči prvího prvku řádku s prvím prvkem sloupce se součiem druhého prvku řádku s druhým prvkem sloupce atd. až po souči posledího prvku řádku s posledím prvkem sloupce. Příklad pro čtvercové matice dimese : Počítáme A =, = B

23 + + A B = = = B A = = = A A = = + = B B = = = + + Při počítáí se ám obevila (e áhodě, příklad e tak vybrá) edotková matice ( δ ik ) E = = t. čtvercová matice, která má a diagoále edičky a ostatí prvky sou rovy ule. Symbol δ ik e Kroeckerovo delta, pro které δ ik = i = k i k Násobeí edotkovou maticí poechává původí matici ezměěou. Vezměme edotkovou matici dimese, matici A dimese m a matici B dimese s. Potom e C = A E c = a δ = a, C = E B c = δ b = b ik ip pk ik ik ip pk ik p = p = Obecě emusí být všechy řádky matice lieárě ezávislé (t. pro ěaký řádek e v takovém případě možé aít lieárí kombiaci zbývaících řádků, že e rova tomuto řádku). Totéž platí, uvažueme-li místo řádků o sloupcích. Hodost matice e defiováa ako maimálí počet lieárě ezávislých řádků. Hodost matice hrae podstatou roli při úvahách o počtech řešeí soustavy lieárích rovic. 5.3 Matice a řešeí soustavy rovic Uvažume soustavu m lieárích rovic o ezámých a + a + + a = b a + a + + a = b a = + a + + a = b m m m m

24 kde a i, b i ( i m, ) sou koeficiety soustavy rovic (t. zámá čísla) a sou ezámé. Všechy -tice { },,,, které vyhovuí rovicím, tvoří řešeí soustavy rovic. Se soustavou rovic sou spoey matice soustavy a rozšířeá matice soustavy a a a b a a a b am am am b m Ekvivaletí úpravy soustavy rovic sou ty úpravy, které eměí eich řešeí. Je to zaisté ásobeí libovolé rovice eulovým číslem a také přičteí ásobku libovolé rovice k ié libovolé rovici. U matic soustavy sou to tytéž úpravy prováděá s řádky matic. Máme proto tyto ekvivaletí úpravy matice soustavy: () ásobeí všech prvků v libovolém řádku eulovým číslem () přičteí k - ásobku prvků v libovolém řádku k iému libovolému řádku Hodost matice sme defiovali ako počet lieárě ezávislých řádků. Převedeme-li ekvivaletími úpravami matici a schodovitý tvar (v daém řádku e vlevo více sloupců s ulami ež v řádku ad ím), e pak hodost přímo dáa počtem eulových řádků. Nelépe bude ukázat příklady. Musíme ich však zvolit celou řadu, protože máme také velký výběr situací: aký e počet rovic a počet ezámých a aké sou hodosti matice soustavy a rozšířeé matice soustavy (budeme začit h( A ) a h( B ) ). Příklad ( m = = 3): + y + 3 z = + y z = + y + z = 3 Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé a () prví rovici vyásobeou ( ) přičteme k třetí (t. odečteme i) + y + 3 z = 5 y + 5 z = 5 y z = Další úpravy sou (3) druhou rovici ásobíme 5 (t. dělíme i 5) a (4) druhou rovici (po předchozí úpravě) přičteme k třetí rovici

25 + y + 3 z = 3 y + z = z = Dostali sme tak ekvivaletí soustavu rovic, která má steé řešeí ako původí. Řešeí ademe dosazováím odzadu. Soustava má edié řešeí =, y=, z=. Matice i rozšířeá matice sou ve steém schodovitém tvaru a maí tři eulové řádky hodost obou matic ( h( A) h( B) 3 = = ) e rova počtu ezámých, dostáváme edié řešeí. Příklad ( m = = 3): + y + 3 z = 3 + y z = y + z = Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé a () prví rovici vyásobeou 3 přičteme k třetí + y + 3 z = 3 5 y + 5 z = y + z = Další úpravy sou (3) druhou rovici ásobíme 5 (t. dělíme i 5), (4) třetí rovici ásobíme (t. dělíme i ) a akoec (5) druhou rovici vyásobeou ( ) přičteme k třetí (t. odečteme i) + y + 3 z = 3 y + z = = Ekvivaletí soustava rovic má steé řešeí ako původí. Nademe e sado dosazováím odzadu. V tomto případě zůstává eda volá ezámá, eistue tedy ekoečě moho řešeí = z, y= z, z libovolé. Matice i rozšířeá matice sou ve steém schodovitém tvaru a maí dva eulové řádky hodost obou matic ( h( A) h( B) ezámých, dostáváme ekoečě moho řešeí. Příklad 3 ( m = = 3): = = ) e meší ež počet + y + 3 z = + y z = + 3 y + z =

26 Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé a () prví rovici přičteme k třetí + y + 3 z = 5 y + 5 z = 5 5 y + 5 z = Další úpravy sou (3) druhou rovici vyásobeou ( ) přičteme k třetí (t. odečteme i) a (4) druhou rovici ásobíme 5 (t. dělíme i 5) + y + 3z = y + z = = I toto e ekvivaletí soustava rovic. Zevě emá řešeí, eboť žádou volbou proměých edosáheme =5. Matice soustavy i rozšířeá matice sou ve schodovitém tvaru, ale hodost matice soustavy ( h( A ) = ) e meší ež hodost rozšířeé matice ( h( B ) = 3). Příklad 4 ( m =, = 3): + y + 3z = + y z = 3 Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé a () upraveou druhou rovici vyásobíme 5 (t. vydělíme 5) + y + 3z = y + z = 3 Ze schodovitého tvaru matic vidíme, že hodosti sou steé a meší ež počet ezámých h A = h B = ), dostáváme ekoečě moho řešeí = z, y= z, z libovolé. ( Příklad 5 ( m =, = 3): + y + 3 z = 4 y 6 z = Stačí provést úpravu () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé + y + 3 z = 3 = Ekvivaletí soustava rovic zevě emá řešeí, eboť žádou volbou proměých edosáheme =-. Matice soustavy i rozšířeá matice sou ve schodovitém tvaru, ale hodost matice soustavy ( h( A ) = ) e meší ež hodost rozšířeé matice ( h( B ) = ).

27 Příklad 6 ( m = 4, = 3): + y + 3 z = 3 + y z = + y + z = + y = 3 3 Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé, () prví rovici vyásobeou ( ) přičteme k třetí (t. odečteme i) a (3) prví rovici přičteme ke třetí + y + 3 z = 3 5 y + 5 z = y z = 4 y + 3 z = Další úpravy sou: (3) druhou rovici vyásobíme 5 (t. vydělíme 5), (4) upraveou druhou rovici přičteme k třetí rovici, (5) upraveou druhou rovici vyásobeou ( 4) přičteme k třetí a koečě (6) upraveou třetí rovici odečteme od čtvrté + y + 3 z = 3 y + z = z = = Řešeí této ekvivaletí soustavy rovic ademe dosazováím odzadu. Soustava má edié řešeí =, y=, z=. Matice i rozšířeá matice sou ve steém schodovitém tvaru a maí tři eulové řádky hodost obou matic ( h( A) h( B) 3 = = ) e rova počtu ezámých, dostáváme edié řešeí. Příklad 7 ( m = 4, = 3): + y + 3 z = 3 + y z = + 3 y + z = y + 4 z = 3 4 Provedeme úpravy: () prví rovici vyásobeou přičteme k druhé, () prví rovici přičteme k třetí a (3) prví rovici vyásobeou ( 3) přičteme ke čtvrté + y + 3 z = 3 5 y + 5 z = y + 5 z = y 5 z =

28 Při dalších úpravách (4) přičteme druhou rovici ke čtvrté, (5) odečteme druhou rovici od třetí a akoec (6) vyásobíme tuto rovici 5 (dělíme 5) + y + 3 z = 3 y + z = = = Soustava má ekoečě moho řešeí = z, y = z, z libovolé. Počet schodů, t. počet eulových řádků obou matic e steý, eich hodosti h( A) h( B) edičku meší ež počet ezámých = 3. Příklad 7 ( m = 4, = 3): + y + 3 z = y 3 z = + 4 y + 6 z = y 9 z = = =, což e hodota o Provedeme úpravy, v tomto příkladu velmi edoduché: () prví rovici přičteme ke druhé, () prví rovici vyásobeou (-) přičteme ke třetí a (3) prví rovici vyásobeou 3 přičteme ke čtvrté + y + 3 z = = = = Hodosti matic sou shodé h( A) h( B) 3 = = a sou o meší ež počet ezámých = 3. Soustava má ekoečě moho řešeí = y 3z, y a z libovolé. 5.4 Shrutí Gaussovy elimiačí metody V předchozí části byl a příkladech ukázá způsob řešeí soustavy rovic převodem matice soustavy rovic a rozšířeé matice (t. k matici soustavy přidáváme sloupec pravých stra) a schodovitý tvar. Tomuto způsobu říkáme Gaussova elimiačí ( likvidačí ) metoda. Zavedli sme poem hodost matice (počet eulových řádků eího schodovitého tvaru) a ozačeí h( A ) pro hodost matice soustavy a h( B) pro hodost rozšířeé matice.

29 Soustava m rovic o ezámých má řešeí právě tehdy, e-li h( A) = h( B) = h, t. počet eulových řádků e steý (schodovité tvary maí steý počet schodů). Počet volých ezámých e d = h To zameá, že soustava má edié řešeí (esou žádé volé ezámé) pro d =, tedy v případě, kdy hodosti matic sou steé a rovu počtu ezámých. 6. Limita a derivace 6. Motivace rychlost a zrychleí Všiměme si úseku traektorie částice (říkáme také hmotého bodu) mezi blízkými body A a B, ve kterých se částice achází v čase t a t + t. Některé veličiy se vztahuí k edomu časovému okamžiku, ié k itervalu mezi dvěma časovými okamžiky. V ašem příkladu máme: polohový vektor částice v časovém okamžiku t r t = t, y t, z t polohový vektor částice v časovém okamžiku t + t r t t t t y t t z t t ( + ) = ( + ), ( + ), ( + )

30 rychlost částice v časovém okamžiku t v t = v t, v t, v t rychlost částice v časovém okamžiku t + t ( y z ) v t t v t t v t t v t t ( y z ) ( + ) = ( + ), ( + ), ( + ) vektor posuutí částice v časovém itervalu [ t, t + t] r = r t + r t = t + t y t + y t z t + z t [ ],, t, t + vektor průměré rychlosti částice v časovém itervalu [ t, t + t] v r ( t + ) r ( t) ( t + ) ( t) y ( t + ) y ( t) z ( t + ) z ( t) =,,, = [ t t +] vektor změy rychlosti částice v časovém itervalu [ t, t + t] v = v t + v t = v t + v t v t + v t v t + v t [ ],, t, t + y y z z vektor průměrého zrychleí částice v časovém itervalu [ t, t + t] a v ( t + ) v ( t) v ( t + ) v ( t) vy ( t + ) vy ( t) vz ( t + ) vz ( t) =,,, = [ t t + ] Vektor průměré rychlosti vystihue přibližě, ak rychle měil hmotý bod svou polohu během časového itervalu [ t, t t] traektorii z místa r ( t) +. Během tohoto itervalu se částice přemístila po ěaké v čase t do místa r ( t + ) v čase t + t. Za steou dobu t by se také mezi těmito místy přemístila částice pohybuící se rovoměrě přímočaře průměrou rychlostí, eboť r ( t + ) r ( t) r ( t) + v t = r [ ] ( t) + t = r t + t, t + Náhrada skutečého pohybu bodu po křivce v časovém itervalu [ t, t t] + pohybem rovoměrým přímočarým bude přirozeě tím přesěší, čím bude iterval [ t, t t] + kratší. Provádíme tzv. limití přechod. Co se však přitom děe se souřadicemi vektoru průměré rychlosti? Přestože se meovatelé i čitatelé zlomků ( + ) ( + ) ( + ) t t t y t t y t z t t z t,, stávaí libovolě blízkými ule, eich podíly abývaí rozumých hodot a blíží se při zmešuících se t ke koečým číslům - svým limitím hodotám. Ty iž, a rozdíl od

31 veliči průměrých, ezávisí a délce časového itervalu t, ale pouze a eho počátečím okamžiku t a udávaí tak souřadice tzv. vektoru okamžité rychlosti hmotého bodu. Píšeme v t = lim v t, t + [ ] Pozámka: Z předcházeícího výkladu e zřemé, že velikost vektoru průměré rychlosti v v [ t, t + ] [ t, t + ] e ěco iého ež průměrá hodota velikosti vektoru okamžité rychlosti, která se v běžé řeči ozačue slovím spoeím průměrá rychlost. Jedoduchý příklad limitího přechodu e zázorě a obrázku. Jde o rovoměrý pohyb po kružici π t π t r ( t) = R cos, Rsi T T Pro průměrou rychlost dostáváme (při úpravách používáme zámých vztahu pro goiometrické fukce) r ( t + ) r ( t) R π ( t + t) π t π ( t + ) π t v = = cos cos,si si [ t, t + ] = T T T T π si ( t t) ( t t) R T π + π + si,cos T T Velikost vektoru průměré rychlosti e pak π [ ] ( [ ] ) ( [ ] ) si v = v t, t t + v T t, t t y = R + + t, t + Zvolíme-li poloměr R= m a periodu T=4 s, dostáváme pro zkracuící se itervaly hodoty velikosti vektoru průměré rychlosti dává přesou hodotu v = π ms - v [, ] uvedeé v tabulce. Výpočet limity pro, proto pro lepší zviditelěí toho, ak se hodoty blíží k přesé hodotě uvádíme v tabulce π ásobky velikosti vektoru průměré rychlosti. t[ s] π v [, ],93,9745 4,9936 8,9984 ms -

32 6, Fukce, eí limita a spoitost Fukce vyadřue závislost určité veličiy (závisle proměé) a veličiách iých (ezávisle proměých). Příkladem mohou být iž zmíěé závislosti souřadic částice a čase. Uvažume yí o případu edé reálé ezávisle proměé t a edé reálé závisle proměé. Píšeme f ( t) = a čteme e fukcí t. Symbol f, tzv. fukčí předpis, určue pravidlo, kterým sou hodotám t přiřazey hodoty. Někdy píšeme e ( t) = (teto zápis bývá ve fyzice častěší). Hodoty, kterých může abývat proměá t, tvoří defiičí obor fukce začeý D f. Obor D f e buď zadá současě s uvedeím pravidla f, ebo e automaticky chápá ako možia všech hodot t, pro ěž lze podle pravidla f vyčíslit hodotu. Např. pro = t musí být t, eboť záporé hodoty elze odmocňovat. Říkáme, že f e defiováa a možiě D f. Hodoty, ichž bude abývat proměá, probíhá-li t defiičí obor D f, tvoří obor hodot fukce, H f. V roviě souřadic t (vodorová osa) a (svislá osa) vytvoří body o souřadicích t, f ( t) ozačovaý ako G f. graf fukce, Defiice: Fukce g e iversí fukcí k fukci f, estliže eí defiičí obor obsahue obor hodot fukce f a platí Jako příklady uveďme g ( f ( t) ) = t ( ) t = t t = t ep l t = t, l ep t = t,,, ( ) si arcsi t = t, arcsi si t = t U posledího vztahu e třeba isté opatrosti, protože fukce sius e periodická. Následuící obrázky ukazuí příklady grafů fukcí, které v určitém bodě ( t = ) limitu vůbec emaí (plý kroužek = bod patří do defiičího oboru fukce, prázdý kroužek = bod epatří do defiičího oboru fukce). Jedá se postupě o fukce

33 cost t < cost t cost t < f ( t) =, f ( t) = t =, f ( t) = cost t > cost t cost t > Ve všech případech maí fukce v bodě t = limitu L zleva (t se blíží k ule ze stray záporých čísel) a limitu L zprava (t se blíží k ule ze stray kladých čísel). Píšeme lim f t = L =, lim f t = L = + t t t t Protože L L, limita eeistue. Ve všech případech e fukce v bodě t = espoitá. V prvím případě (levý obrázek) e však spoitá zleva. Platí zde (v ašem příkladu f zprava. Platí zde tedy (v ašem příkladu f t = f lim f t = ). Obdobě ve třetím případě (pravý obrázek) e fukce spoitá + t = f lim f t = ). Přesá defiice limity e ásleduící: Defiice: Číslo L se azývá limitou fukce f ( t) (akkoli malé) číslo = v bodě t, estliže pro libovolě zvoleé ε > dokážeme aít takový iterval ( t δ, t δ ) +, δ >, že platí (a) fukce f ( t ) e defiováa ve všech bodech možiy ( t δ, t ) ( t, t + δ ) (b) pro všecha čísla t ( t δ, t ) ( t, t + δ ) e Píšeme pak lim f ( t) t t = L. Možia ( t δ, t ) ( t, t δ ) f t L < ε + se azývá δ-okolí bodu t. Všiměte si, že díky defiici δ- okolí, která vyechává bod t, může eistovat limita fukce i v bodě, kde tato fukce eí

34 defiováa. Defiici limity můžeme číst i takto Číslo L e limitou fukce f ( t) v bodě t, estliže se fukčí hodoty evzdaluí od L více ež o ε, pohybue-li se proměá t dostatečě blízko bodu t. Číslo ε e přitom zvoleo libovolě (malé) předem. Způsob alezeí čísla δ při zvoleém ε ukazue předchozí obrázek. δ e meší z čísel δ, δ. Graf fukce e záměrě zvole složitě, takže fukčí hodota (plý kroužek) v bodě t se erová limitě fukce (prázdý kroužek) v tomto bodě fukce eí spoitá. Přesá defiice spoitosti e edoduchá: Defiice: Fukce f ( t) = se azývá v bodě t spoitá, e-li lim f ( t) f ( t ) t t Uvedeme eště dvě edoduchá pravidla pro počítáí s limitami: (a) Je-li lim f t = F, lim g t = G t t t t =. potom lim f t ± g t = F ± G, lim f t g t = F G t t t t a pokud pro t z ěakém δ-okolí bodu t platí g t a také G, potom f t lim t t g t F = G

35 (b) Předpokládeme, že fukce f ( t) = e v bodě t spoitá. Dále uvažume o fukci y = g, defiovaé a možiě D g obsahuící obor hodot fukce f. Předpokládeme, že fukce g ( ) e spoitá v bodě = f ( t ). Pak e i složeá fukce y F ( t) g f ( t) v bodě t. Fukce f a g představuí vitří resp. věší složku složeé fukce. = = spoitá 6.3 Derivace fukce, teča Poem tečy ke grafu fukce e možé zavést pomocí limitího přechodu pro sečy grafu. Na obrázku vidíme tři sečy, přitom platí (začíme t = t t, t = t t, t3 = t3 t ) erovosti t > t > t3. Ve zkratce můžeme psát seča teča. Teča ke grafu fukce v bodě t, f ( t ), pro t B = t + t f t + e limitím případem sečy spouící body A t, f ( t ). = a Směrice sečy e tgα = ( + ) f t t f t Směrice tečy e limitou směrice sečy pro

36 ( + ) f t t f t lim tgα = lim Teču ke grafu fukce = f ( t) v bodě t, f ( t ) limita. Tato limita se azývá derivace fukce f ( t ) lze tedy zkostruovat, eistue-li tato f t v bodě t = t a začí se ( + ) f t t f t = lim Rovice tečy (t. přímky procházeící bodem t, f ( t ) Derivace fukce f ( t) = v obecém bodě t f = f t + f t t t ( t) ( + ) f t t f t = lim f t ) e se směricí e sama také fukcí proměé t. Derivace fukce f ( t ) se ezkráceě zapisue ako d f ( t) dt Výrazy, které teď můžeme zapsat v limitě ako derivace, sme viděli u výpočtu rychlosti a zrychleí: v ( t) = ( v ( t), vy ( t), vz ( t) ) = ( ( t), y ( t), z ( t) ) a t = a t, a t, a t = v t, v t, v t = t, y t, z t ( y z ) ( y z ) ( ) Používáme běžého začeí derivace edou čárkou v horím pravém ideu (ebo edou tečkou ad symbolem), druhou a třetí derivaci pak začíme dvěma a třema čárkami (ebo tečkami), vyšší derivace maí římskou číslici v horím pravém ideu 3 4 d f t d f t d f t d f t ( IV ) 3 4 d f t d f t d f t d f t = f ( t), = f ( t), = f 3 ( t), = f t, 4 dt dt dt dt ( IV ) = fɺ t, = ɺɺ f t, = ɺɺɺ f t, = f t, 3 4 dt dt dt dt 6.4 Pravidla pro počítáí derivací Začeme přehled podrobým rozborem dvou příkladů, velmi edoduchého a poěkud komplikovaěšího. Příklad : vezměme fukci

37 Při výpočtu derivace máme z defiice f ( t) = f t = at a( t + ) at at + at t + a( ) at = lim = lim = a t t + lim = lim a t + t = at Podstatým krokem při výpočtu bylo užití metody vykráceí epohodlého výrazu. Příklad : vezměme fukci Opět z defiice f ( t) = f ( t) = sit si cos t + si( t + ) sit = lim = lim = si t cos t + si lim = lim lim cos( t + t) = cost Opět podstatým krokem při výpočtu bylo užití metody vykráceí epohodlého výrazu tetokrát sme využili toho, že pro malé hodoty argumetu e fukčí hodota siu rova tomuto argumetu t = ( t) 3 si 6+. Můžeme si ukázat výpočet limity si t lim = takto: Podle obrázku platí (si t červeě, délka oblouku t modře, tg zeleě)

38 cos si tg si si si si cos, V dalším už uvedeme e výsledky pro edůležitěší elemetárí fukce: mociu, sius a kosius a epoeciálu a logaritmus. r r f t t, f t r t, r = = R f t = si t, f t = cos t, f t = cos t, f t = sit t t t t f t = e, f t = e, f t = a, f t = a l a, f ( t) = l t, f ( t) =, f ( t) = log at, f ( t) = t t l a Pro derivaci součtu či rozdílu fukcí platí ± = ± f t g t f t g t Pro derivaci fukce ásobeé kostatou c R platí Pro derivaci součiu dvou fukcí platí Pro derivaci podílu dvou fukcí platí Pro derivaci složeé fukce platí = c f t c f t = + f t g t f t g t f t g t g ( t) f t f t g t f t g t = g t, ( ) F t = g f t F t = g f t f t Připomeňme si, že čárkou začíme derivaci fukce podle argumetu. Aby bylo pravidlo pro derivováí složeé fukce zcela asé, rozepišme si složeou fukci ako Potom =, = F t g f t d g ( ) d f ( t) d F t = dt d dt ( ) F t g f t f t

39 Zobrazeí složeou fukcí včetě defiičích oborů a oborů hodot e ukázáo a obrázku. Důkazy pravidel pro derivováí sou většiou edoduché, apříklad ebo ( + ) ( + ) c f t t c f t f t t f t c f ( t) = lim = c lim = c f t f t g t ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) ( + ) + f t g t f t g t f t t g t t c f t g t = lim = f t t f t g t t f t g t t g t lim + lim = lim f t + f t g t + g t lim g ( t + t) + f ( t) lim = Podle těchto pravidel pak dokážeme aít derivace i velmi složitých výrazů. Pro dobré pochopeí e vhodé všimout si vitří kosistece těchto pravidel. Příklad 3. Nepochybě e derivace kostaty rova ule. Zapsáo z defiice e pro souči f t = = t kostaty c a fukce c c c = lim = c lim = c = [ ] Příklad 4. Víme, že derivace fukce sius e rova fukci kosius. Podle pravidla o derivaci složeé fukce (α e kostata) ( t + α ) = ( t + α )( t + α ) = ( t + α ) si cos cos Zvolíme-li α = π, dostáváme s použitím součtových vzorců pro goiometrické fukce pravidlo [ cost] = sit. Příklad 5. Derivace fukce g ( t ). Použieme vztah pro derivaci podílu fukcí, přitom f ( t ) =. Máme

40 g t g t g t = = g ( t) g t g t Příklad 6. Obecěším případem složeé fukce ež fukce v Příkladu 4 e F ( t) = g ( at + b), kde a, b R sou libovolé reálé kostaty. Potom = ( + )[ + ] = ( + ) F t g at b at b a g at b Příklad 7: Fukce tages e podílem siu a kosiu. Podle pravidla o derivováí podílu máme ( tgt) sit cost cost sit sit cost + sit = = = = cost cost cost cost Příklad 8: Fukce kotages e podílem kosiu a siu. Podle pravidla o derivováí podílu máme ( cotgt ) ( sit) + ( cost) cost sit sit cost cost = = = = sit sit sit sit Příklad 8: Derivace iversí fukce. Budeme iversí fukci chápat ako složeou fukci, t. dt d dt F t = t t = t F t = = d dt = d d dt Například pro výpočet derivace fukce arcsi dostáváme d ( t) = si t, t ( ) = arcsi, = cost = ( sit) = dt ( arcsi ) a podobě pro výpočet derivace fukce arccos ( arccos) = d ( t) = cos t, t ( ) = arccos, = sit = ( cost ) = dt = 6.5 Přibližé vyádřeí diferecovatelé fukce V ásleduící části budeme ezávisle proměou začit a fukce této proměé pak y = f ( ). Obrázek ám a příkladu fukce = ukazue možosti přibližého y vyádřeí fukce v okolí určité zvoleé hodoty ezávisle proměé, v tomto případě =.

41 Modrá barva vyzačue graf fukce, zeleá seču spouící fukčí hodoty v = a 4 + = a červeá teču ke grafu fukce v bodě =. Rovice fukce, sečy a tečy sou y y y f = 4 + 3, s = 8 3, t = 4 5 Takto vypadaí rovice dost odlišě, ale přepíšeme-li e v proměé ξ = =, máme y ξ ξ y ξ y ξ f = , s = 3 + 8, t = Vidíme, že ačkoliv může seča a vybraém malém itervalu (v ašem případě 4 ) dobře aproimovat fukci, teča v bodě e vhoděší aproimací fukce a celém okolí bodu, v obecém bodě tohoto okolí se liší od fukce až čley, které sou úměré druhé mociě vzdáleosti od bodu Pro obecou fukci y f ( ), t. úměré f. derivaci fukce v tomto bodě, tedy rovice tečy e = sme ukázali, že směrice tečy v bodě e rova t = + ( ) y f f S ozačeím = můžeme v okolí bodu psát kde pro chybu aproimace platí f ε y = y + t ( ), lim ε, = Bez dalších úvah přimeme ásleduící tvrzeí: Je-li fukce v bodě a eho okolí dostatečě hladká (má všechy derivace), e možé i zapsat ako ekoečou řadu (Taylorův rozvo)

42 y ( ) = f ( ) + f ( ) + = f =! Pro zkráceí zápisu píšeme ( ) ( ) ( ) f f f f f f =, =, =, Některé fukce e možé takovou řadou i defiovat (musíme však ukázat, že řada kovergue). V dalších příkladech si ukážeme Taylorův ěkterých elemetárích fukcí. Příklad. Naděme Taylorův rozvo fukce f ( ) ep( ) = v okolí bodu = (potom = ). Pro epoeciálu e ep( ) = ep( ) a bude tedy pro derivace libovolého řádu ( ) =. Dále e f f fukci f = ep =, takže dostáváme Tailorovu řadu pro epoeciálí 3 4 ep( ) = = ! 6 4 = Příklad. Naděme Taylorův rozvo fukce f ( ) l( ) = v okolí bodu = (potom = ). Pro logaritmus e prví derivace l ( ) =, druhá derivace pak l =, třetí derivace 3 l = atd. Dále e derivaci f eboli ( ) ( ) ( )!( ) =. V Taylorově řadě zkrátíme ( ) ( ) = ( ) l = = ( ) 3 4 ( ) l + = = Příklad 3. Naděme Taylorův rozvo fukce f ( ) si( ) = ). Pro derivace siu máme ásleduící schéma ( si) = cos si = cos = si si = cos = si = cos ( IV ) si = cos = si = cos = si f = l = a pro -tou!! = a máme koečě = v okolí bodu = (potom

43 Vidíme, že pro derivace lichého řádu k, k,,, pro derivace sudého řádu,,,, + = máme ( k + ) k k = e ( k ) cos =, dostáváme pro Taylorův rozvo fukce sius si = = +! 6 ( ) = ( + ) Příklad 4. Naděme Taylorův rozvo fukce f ( ) cos( ) = ). Pro derivace siu máme ásleduící schéma ( cos) = si cos = si = cos cos = si = cos = si ( IV ) k si = cos a si = si. Protože si = a cos = si = cos = si = cos = v okolí bodu = (potom Vidíme, že pro derivace lichého řádu k, k,,, pro derivace sudého řádu,,,, + = máme ( k + ) k k = e ( k ) cos =, dostáváme pro Taylorův rozvo fukce kosius 4 cos = = +! 4 ( ) = ( ) k cos = cos a cos = cos. Protože si = a Příklad 5. Velmi edoduchý a zapamatováí e Taylorův rozvo fukce f ( ) ( ) okolí bodu =. Pro derivace máme k k = v!,,, 3 = = = + ( ) a v = tedy zůstávaí z derivací pouze faktoriály, e tedy 3 = = = 7. Řešeí dvou edoduchých difereciálích rovic 7. Rovice radioaktivího rozpadu Statistická podstata procesu rozpadu e vyádřea tvrzeím, že pro vzorek s N radioaktivími ádry e rychlost rozpadu d N dt úměrá N

44 d N t = λ N t dt Kostata rozpadu λ má charakteristickou hodotu pro každý radiouklid. Jak vidíme z rovice, eí rozměr v soustavě SI e převráceá sekuda (s - ). Jak ademe řešeí rovice? Nechceme-li užívat pomu itegrálu (což by byl stadardí postup), zavedeme eprve ovou proměou = λ t, v této proměé má rovice tvar d N d = N Vzpomeeme si, že toto platí právě pro epoeciálí fukci, t. ( ) d ep = ep d Nakoec uvážíme, že derivace součiu kostaty a libovolé fukce e souči této kostaty s derivací fukce. Takže i epoeciála vyásobeá kostatou vyhovue aší rovici. Máme tedy řešeí N ( ) N ( ) = ep eboli ( ) = ( λ ) N t N ep t Ozačeí kostaty ideem ula má důvod: N e počet ader v počátečím čase t =, eboť ( ) ep( ) N = N = N. Radiouklidy bývaí také charakterizováy poločasem rozpadu τ. Souvislost této charakteristiky s kostatou rozpadu e edoduchá. Z defiice poločasu e ( ) N N N τ = N = N ep( λτ ) = Vykráceí rovice eulovou kostatou N a logaritmováí dává pak hledaý vztah mezi poločasem rozpadu τ a rozpadovou kostatou λ l τ = λ Při logaritmováí sme použili skutečosti, že logaritmus a epoeciála sou iversí fukce, t. l ep( ) =. Dále pak toho, že logaritmus mociy čísla e součiem mocitele a a logaritmu základu, t. l( ) a l( ) = v ašem případě =, a =. Místo tohoto obecého vzorce sme mohli uvážit, že logaritmus převráceé hodoty čísla e rove záporě vzatému logaritmu čísla l( ) l( ) =, což vidíme z rovostí

45 Obrázek ukazue průběh fukce ep( λ t) (červeá). l l l = = = + l ( ) pro - λ = s (zeleá), - λ = s (modrá) a - λ = s 7. Rovice harmoického oscilátoru Budeme pro edoduchost uvažovat e pohyb a přímce. Předpokládeme, že částice hmotosti m má stabilí rovovážou polohu v =. Pokud e z této polohy vychýlea, bude přitahováa zpět silou tím větší, čím větší e výchylka. V eedodušším přiblížeí bude závislost síly a výchylce lieárí F = k kde k > e kostata. Zaméko míus vyadřue působeí síly směrem k rovovážé poloze. Je-li částice vychýlea z počátku ve směru orietace osy ( > ), působí síla v opačém směru ( F < ) a podobě e-li částice vychýlea z počátku proti směru orietace osy ( < ), působí síla ve směru orietace osy ( F > ). Druhý Newtoův záko pak říká, že m d t dt = k t Rovici vydělíme m a kladou kostatu k m ozačíme d t dt = ω t ω

46 Této rovici říkáme rovice harmoického oscilátoru. Zavedeme si ovou proměou τ = ω t, ve které bude mít rovice tvar d ( τ ) dτ = Vzpomeeme si, že toto platí ak pro fukci sius, tak pro fukci kosius. Rovici vyhovuí také tyto fukce vyásobeé kostatu a steě tak eich součet (říkáme, že rovice pro ( τ ) fukci ( τ ) e lieárí). Máme tedy řešeí ( τ ) Asi( τ ) B cos( τ ) = si( ω ) + cos( ω ) t A t B t = + eboli kde A a B sou zatím eurčeé kostaty. Rovice radioaktivího rozpadu byla prvího řádu, obsahovala proto ediou kostatu tu sme určili ako počet ader v čase t =. Rovice harmoického oscilátoru e druhého řádu, budeme tedy pro určeí dvou kostat potřebovat dvě podmíky. Jedou z ich může být výchylka v čase t =, kterou si ozačíme. Protože si= a cos =, dostáváme = B =. Druhou podmíkou může být počátečí rychlost, t. rychlost v čase t =, kterou si ozačíme v. Rychlost e okamžitá časová změa výchylky, tedy derivace fukce ( t ). Potřebé derivace dobře záme, můžeme tedy psát Po dosazeí si= a cos d t v( t) = = ω Acos ω t ω B ω t dt = dostáváme si v = ω A= v. Koečě tedy můžeme psát v t t t ω = si( ω ) + cos( ω ) Nad získaým výsledkem e vždy velmi dobré provést co evíce kotrolích úvah. U ašeho řešeí především musí souhlasit rozměry čleů. Složitěší kotrolou e limití přechod pro ω. Potom e totiž výchozí rovice rovicí pohybu volé částice a eí řešeí musí být rovoměrý pohyb t v t = + ω = Provedeme potřebé limity (tyto případy záme) ( ω t) si lim = t, limcos( ω t) = ω ω ω a zistíme, že aše řešeí skutečě přechází pro ω a řešeí, popisuící rovoměrý pohyb.

47 8. Stručě o itegrálu 8. Neurčitý itegrál primitiví fukce Často se vyskytue úloha, kdy máme zistit, zda ěaká fukce f ( ) vzikla derivací ié fukce a takovou fukci F ( ) aít. Defiice. Na otevřeém itervalu ( a, b ) e defiováa fukce f ( ). Fukci F ( ) azveme primitiví fukcí k fukci f ( ) a ( a, b ), e-li F ( ) a (, ) tam derivaci a pro všecha ( a, b) platí F ( ) f ( ) =. a b defiováa, má Bez důkazu uveďme, že ke každé spoité fukci f ( ) primitiví fukce eistue. Vzhledem k tomu, že derivace kostaty e ula, e primitiví fukce (říkáme také eurčitý itegrál) určea až a kostatu F = f d + C V edoduchých případech ademe primitiví fukci tak, že předpisy pro derivaci fukce čteme odzadu. Tak apříklad = d = si = cos cos d = si + C d l( ) = = l( ) + C Příklady se liší v tom, že prví dva platí a celé reálé ose, ve třetím uvažueme pouze kladou poloosu, přesěi iterval (, ). Rozšířeí a celou reálou osu dostaeme, vezmeme-li v argumetu logaritmu absolutí hodotu proměé a derivueme ako složeou fukci tedy dl dl d d = = = ± ( ± ) = d d d d d l( ) = l( ) C = + Z vlastostí derivací vyplývá, že pro primitiví fukce platí ± = ± c f ( ) d = c f ( ) d f g d f d g d

48 Velmi účiou metodou hledáí primitiví fukce e metoda itegrace per partes. Vychází z výrazu pro derivaci součiu fukcí + = f g f g f g Itegrueme-li obě stray rovice, záme hed (z defiice primitiví fukce) itegrál pravé stray, t. f ( ) g ( ). Převedeme druhý itegrál z levé stray a pravou a dostáváme vzorec pro itegraci per partes = f g d f g f g d I když e teto předpis velmi edoduchý, e třeba steě ako u dalších metod itegrace začé představivosti doplěé zkušeostí. Příklad. Naděte primitiví fukci k fukci h( ) si( ) = si = cos g ( ) = g ( ) = f f =. Zvolíme = cos f g Itegrovat kosius umíme, takže ze vzorce pro itegraci per partes pak máme si d = cos + si + C Příklad. Naděte primitiví fukci k fukci h( ) l( ) f = f = g ( ) = l( ) g ( ) = =. Zvolíme f g = Itegrovat kostatu (v ašem případě rovu edé) umíme, takže l l d = + C Na rozdíl od určitého itegrálu, který e stručě poedá v další části, eeistuí pro alezeí primitiví fukce umerické metody. Tabulka eurčitých itegrálů ěkterých elemetárích fukcí shrue ty eedodušší případy, které můžeme sado získat obráceým čteím tabulky pro derivováí fukcí:

49 cos si ep f F ( ) si( ) ( ) cos( ) ( ) ep( ) a l ( a) + + l ( ) a l log ( a) a ( ) a > a a > a Kromě metody itegrace per partes eistue celá řada dalších metod. Zmííme eště metodu substitucí, kdy v itegrálu zavedeme ovou proměou vztahem ϕ ( u) = ϕ ϕ f d f u u du =. Máme potom I když obecě zapsaý itegrad a pravé straě rovice vypadá složitěi, v určitých příkladech tomu může být aopak. Příklad 3. Naděte primitiví fukci k f ( ) ( ) = +. Zavedeme substituci = tgu a máme ( cosu) d = du = du = du = u + C + + ( tgu) ( cosu) cosu + siu cosu Po zpětém dosazeí za u ( u = arctg ) tedy dostaeme d arctg( ) C + = + Několik dalších primitivích fukcí: f F + arcsi + C = arccos + C < l + + C > l C + l

50 8. Určitý (Riemaův) itegrál Obrázek ukazue vše potřebé k defiici určitého itegrálu. Úkolem e spočítat plochu vymezeou grafem y = f ( ) a osou mezi = a a = b. Při fyzikálích aplikacích může mít tato plocha erůzěší výzam. Například při pohybu částice po přímce: e-li čas a y rychlost, počítáme dráhu, e-li poloha a y působící síla, počítáme práci. Na itervalu [ a, b ] vytvoříme děleí itervalu D D a = < < < < = b : Normou děleí azveme velikost maimálího itervalu děleí { i i } ν ( D) = ma i =,,, V každém itervalu, i i vezmeme pak hodotu fukce v ěakém eho vitřím bodě ξ i. Plocha e pak přibližě dáa součet ploch edotlivých obdélíků se straami i i f ( ξ i ), t. i = ( ξi )( i i ) P f a

51 V limitím případě, kdy orma děleí půde k ule dostáváme přesou hodotu, které říkáme určitý itegrál z fukce f ( ) v mezích [ a, b ] i = ν ( D) ( ξi )( i i ) P = lim f = f d Určitý itegrál můžeme počítat buď přibližě umericky (sčítáí ploch moha obdélíčků e eedodušší metodou, ale apříklad pro rychle osciluící fukci ebo tehdy, když ěkterá ebo obě z mezí dou do ekoeča e třeba užít podstatě rafiovaěších způsobů) ebo sme-li schopi alézt k fukci f ( ) primitiví fukci F ( ), využít platosti Leibizovy Newtoovy formule b a = f d F b F a Všiměte si, že primitiví fukce e sice určea až a kostatu, ale protože ve vztahu vystupue rozdíl hodot ve dvou bodech, kostata se vyruší. Příklad. Dva body o hmotostech m a m se přitahuí gravitačí silou podle Newtoova b a zákoa m m k f ( r) = G = r r kde r e vzdáleost hmotých bodů a G Newtoova gravitačí kostata. Protože ak hmotosti, tak kostata sou kladé, e také k >. Změí-li se yí vzdáleost z r a a r b (působeím ěaké věší síly), e práce vykoaá gravitačí silou (primitiví fukcí k opačé zaméko r b b d r W g = f ( r) d r = k = k r r r b ra a r ra r e r + C ). Práce vykoaá věší silou má steou velikost, ale W k = r a r b Je-li koečá vzdáleost větší ež počátečí (t. r b > r a ), e práce vykoaá věší silou kladá bylo třeba překoat vzáemou přitažlivost.

52 9. Pravděpodobost 9. Náhodé evy a eich pravděpodobost Začeme dvěma velmi zámými příklady ze života: Příklad. Házeí micí áhodý pokus: sou celkem dvě možosti áhodé evy (orel, hlava). Sledueme ev A: pade orel eda z možostí e přízivá, p =. Příklad. Házeí kostkou áhodý pokus: e celkem šest možostí áhodých evů (,, 3, 4, 5, 6). Sledueme ev A: pade šestka eda z možostí e přízivá, p = 6. Defiice pravděpodobosti: Pravděpodobost astoupeí evu A e podílem počtu případů M, v ichž ev A astal (čitatel), a počtu N všech možých případů (meovatel). Příklad s edou kostkou (všech možých případů e N = 6 ): a) Jaká e pravděpodobost, že při hodu kostkou pade sudé číslo? Přízivé sou ty případy, kdy pade dvoka ebo čtyřka ebo šestka, tedy M = 3. Pravděpodobost e p = 3 6=. b) Jaká e pravděpodobost, že pade číslo dělitelé třemi? Přízivé sou ty případy, kdy pade troka ebo šestka, tedy M =. Pravděpodobost e p = 6= 3. c) Jaká e pravděpodobost, že pade číslo meší ež tři? Přízivé sou ty případy, kdy pade edička ebo dvoka, tedy M =. Pravděpodobost e p = 6= 3. Příklad se dvěma kostkami (všech možých případů e N = 36, každá ze 6 možostí, které mohou padout a prví kostce, se ezávisle kombiue s každou ze 6 možostí a druhé kostce): a) Jaká e pravděpodobost, že při hodu dvěma kostkami (současě) pade součet sedm? Přízivé sou ty případy, kdy pade edička a prví a šestka a druhé kostce, ebo aopak, dvoka a prví a pětka a druhé kostce, ebo aopak, troka a prví a čtyřka a druhé kostce, ebo aopak), tedy M = 6. Pravděpodobost e p = 6 36= 6. b) Jaká e pravděpodobost, že souči paduvších čísel bude lichý? Přízivé sou ty případy, kdy pade edička a prví kostce a edička ebo troka ebo pětka a druhé kostce, troka a prví kostce a edička ebo troka ebo pětka a druhé kostce, pětka a prví kostce a

53 edička ebo troka ebo pětka a druhé kostce, tedy M = 9. Pravděpodobost e p = 9 36= 4. Jakých hodot může pravděpodobost v pricipu abývat? Z defiice e zřemé, že hodoty budou v itervalu mezi ulou a edičkou p Kraím hodotám odpovídaí ev emožý ev s ulovou pravděpodobostí a ev istý ev s edotkovou pravděpodobostí. 9. Kombiatorika V moha aplikacích provádíme výběry k prvků z možiy obsahuící prvků podle istých pravidel. Typy pravidel sou uvedey v tabulce Příkladem může být vytvářeí barevých sigálů, kdy šest barev ( = 6 ) zaplňue tři místa ( k = 3 ): Počet možých výběrů e v ásleduící tabulce: Pro triviálí případ = k = máme vždy ediou možost (připomeňme si, že z defiice! =,! =,! =, 3! = 6, 4! = 4, 5! =, 6! = 7, ).

54 Určeí vzorce pro variace opakováím: Kolika způsoby lze z prvků vybrat prví? Je to způsobů. Kolika způsoby lze z prvků vybrat druhý? Opět e způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat prví dva prvky? Je to = způsobů. Pokračueme až k otázce kolika způsoby lze vybrat k prvků? Je to = k k způsobů. Určeí vzorce pro variace bez opakováí: Kolika způsoby lze z prvků vybrat prví? Je to způsobů. Kolika způsoby lze ze zbývaících prvků vybrat druhý? Je to způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat prví dva prvky? Je to ( ) způsoby lze ze zbývaících ( k ) způsobů. Pokračueme steě až akoec, kdy se ptáme kolika prvků vybrat k-tý? Je to k + způsobů. Kolika způsoby lze tedy vybrat k prvků? Je to ( ) ( ) ( k + ) eboli ( k ) Určeí vzorce pro kombiace bez opakováí:!! prvků. Zatímco pro variace bylo pořadí vybraých prvků podstaté, pro kombiace e podstatý pouze výběr těchto prvků. Musíme proto počet způsobů pro variace podělit tím, kolika způsoby lze uspořádat k eopakuících se prvků, což e k! Proto e C k ( ) Určeí vzorce pro kombiace s opakováím: Vk! = = k! k! k! ( ) Jak vypadaí kombiace s opakováím k barevých kuliček při výběru z možých barev? Obrázek ilustrue edu z možostí pro případ = 7, k = 4. Obecě dostaeme počet kombiací takto: máme přihrádek, t. přepážek mez imi a k kuliček, celkem tedy m = + k prvků (pozic), z ich vybíráme k pozic pro kuličky, t. ( ) ( + k ) ( ) m!! Ck ( ) = Ck ( m) = = k! m k! k!! Při variacích ebo kombiacích bez opakováí musí být přirozeě k ( vybraý prvek evracíme do losováí ). Pro k = sou samozřemě počty možostí s opakováím žádé totiž eí a bez opakováí steé, pro k > e V ( ) < V ( ) a C ( ) C ( ) k k k <. k

55 Příklad. Jaká e pravděpodobost hlaví výhry ve Sportce? Tah sportky představue výběr šesti ze čtyřiceti devíti čísel. 49! M N = C6 = M = p = 6!43! N 8 ( 49 ),, 7 Příklad. Jaká e pravděpodobost páté cey ve Sportce? Ze šesti tažeých e třeba uhodout tři čísla. 6 ( 49 ) 49!, 3 ( 6) 3 ( 43 ) 6! 43! M N = C = M = C C =, p =, 8 6!43! 3!3! 3!4! N Příklad 3. Jaká e pravděpodobost, že ve hře typu Šace milio uhodete správě tažeou skupiu cifer? (Z každého ze šesti bubů obsahuících cifry,,,., 9 se áhodě vybere eda.) M N = V6 ( ) =, M =, p = = N Pravděpodobosti složeých evů Někdy e třeba určit pravděpodobosti evů, které sou ěakým způsobem složey z evů edodušších. Uvažume o dvou evech A a B, eichž pravděpodobosti sou zámy, p( A ) a p( B ). Defiume ové evy C a D ako: ev C e ev, kdy evy A a B astaou současě, ev D e ev, kdy astae ev A ebo B (v pricipu zahrue i možost, že astaou oba). Za určitých podmíek lze pravděpodobosti evů C a D určit pomocí pravděpodobostí p( A ) a p( B ). Nezávislé evy Jaká e pravděpodobost, že při současém hodu dvěma kostkami pade a obou šestka? Uvědomíme si, že to, co pade a edé kostce, e ezávislé a výsledku druhé kostky. Máme tedy ev A, kdy a prví kostce pade šestka p( A ) = 6 a ev B, kdy a druhé kostce pade šestka p( B ) = 6. Jev C pak odpovídá tomu, že evy A a B astaou současě. Máme N = 6 6= 36 možostí a právě ede přízivý případ M =. Je tedy M p C p A p B N = = = = Pravděpodobost současého ástupu ezávislých evů e rova součiu pravděpodobostí těchto evů. Neslučitelé evy

56 Jaká e pravděpodobost, že při hodu kostkou pade ěkteré ze dvou evyšších čísel, t. pade šestka ebo pětka? Uvědomíme si, že skutečosti, že šestka i pětka padou při steém hodu, sou eslučitelé. Máme tedy ev A, kdy a kostce pade šestka p( A ) = 6 a ev B, kdy a kostce pade pětka p( B ) = 6. Jev C pak odpovídá tomu, že astae buď ev A ebo ev B. Máme N = 6 možostí a dva přízivé případy M =. Je tedy M p C p A p B N = = = + = + Pravděpodobost ástupu ěkterého z evů, z ichž každé dva sou eslučitelé, e rova součtu pravděpodobostí těchto evů. Ozačíme-li pravděpodobost evu A p( A ), e pravděpodobost evu opačého A (t. ev A eastae) p( A ) = p( A). Pro součet pravděpodobostí evu A a opačého evu A platí p( A) + p( A ) = Příklad 4. Jaká e pravděpodobost, že ve skupiě k osob maí alespoň dvě arozeiy ve steý de? Rok má = 365 dí. Určíme eprve pravděpodobost evu A, že každá z osob má arozeiy v iý de. Počet případů možých pro teto ev e V k (variace s opakováím v pricipu může mít každá z osob arozeiy v kterýkoli de). Počet případů přízivých e k M = V (variace bez opakováí echceme, aby se arozeiový de zopakoval u více osob). Jev, který ás zaímá, e opačým evem k evu A, eho pravděpodobost e tedy Vk! p( A ) = p( A) = = V k! Je-li ve skupiě pouze ede člověk ( k = ), emohou připadout dvoe arozeiy a steý de skutečě dostáváme v tomto případě p( A ) = =. Pro skupiu apříklad 4 osob e pak p( A ),=,89, tedy skoro 9%. Beroulliův pokus k Neprve zavedeme pomy a začeí. Nastae-li předem defiovaý ev A (apříklad pade šestka ), azveme to zdarem, v opačém případě ezdarem. Pravděpodobost zdaru ozačíme p (v příkladu s kostkou p = 6), pravděpodobost ezdaru e p (v příkladu s kostkou tedy 56). -krát ezávisle provedeme pokus (apříklad hod kostkou). Bude ás zaímat ev B, kdy právě při provedeích z celkového počtu provedeí pokusu astae zdar. S touto základí situací souvisí další evy ev A, kdy pro =,,, astae zdar při k

57 -tém provedeí pokusu, ev B k, kdy pro k = +, +,, astae při k-tém provedeí pokusu ezdar a koečě ev C, kdy evy A až A a evy B + až B astoupí současě, t. právě při prvích opakováích pokusu astae zdar, při zbývaících ezdar. Pravděpodobost evu C spočteme sado ako souči pravděpodobostí ezávislých evů (apříklad hodů kostkou) = = ( ) p C p A p A p B p B p p + Pro pravděpodobost evu B ám ale ezáleží a tom, v akém pořadí došlo k požadovaým zdarům ze všech opakováí pokusu. Možostí, kdy zdar astal právě při ze všech opakováí pokusu, e (kombiace) C ( ) Výsledá pravděpodobost evu B e tedy C! =! ( )!! p( B) = C ( ) p( C) = p p!! -krát větší ež pravděpodobost evu C, t. ( ) ( ) Na obrázcích e závislost pravděpodobosti evu B a při hodech micí pro = 3 a =. Někoho možá překvapí, že při zvyšuícím se se pravděpodobost steého počtu zdarů a ezdarů (pro = e to při = 5 ) eblíží edé poloviě, ale klesá. Je to proto, že počítáme pravděpodobost, kdy e počet zdarů a ezdarů přesě steý. Při velkých hodotách pak rozdíl třeba o edičku ebo dvoku v počtech zdarů a ezdarů má téměř steou pravděpodobost ako když sou počty steé, ak vidíme z obrázku už při poměrě malém = e pravděpodobost pro = 4 a = 6 e o málo meší ež maimálí pro = 5.

58 . Měřeí a zpracováí dat. Měřeé hodoty veliči sou áhodé Uvozovky v adpisu sou upozorěím a to, že při měřeí (ať už e eho podstatou cokoliv) závislosti hodoty měřeé veličiy (závisle proměá) a hodotách ié veličiy (ezávisle proměá) se mohou uplatňovat také áhodé vlivy, ikoliv sad to, že aměříme cokoliv. Tedy za steých podmíek (t. při steých hodotách ezávisle proměých veliči) můžeme dostat při opakovaých měřeích růzé hodoty měřeé veličiy (závisle proměé). Základem pro matematický popis této situace e poem áhodé veličiy.. Náhodá veličia s diskrétím rozděleím Náhodá veličia X a eí (diskrétí) rozděleí e veličia, která abývá hodot ( ) s pravděpodobostmi ( p p p ),,, dvou růzých hodot,,,. Protože evy, kdy veličia X abývá současě sou eslučitelé, musí být p + p + + p =. Rozděleím áhodé veličiy rozumíme soubor všech dvoic(, p ) pro =,,,. V části o pravděpodobosti sme se setkali s výrazem pro Beroulliovo rozděleí! =, p = q ( q), q, =,,,!! ( ) Samozřemě platí pro součet pravděpodobostí p = q ( q) = ( q) + q = = = V případě, že pravděpodobost zdaru a ezdaru v edom pokusu e steá ( q = ) dostáváme biomické rozděleí! =, p =, =,,,!! ( ) Na obrázku e Beroulliovo rozděleí pro = a dvě hodoty q: q = 6 (házeí kostkou, červeě) a q = (házeí micí, modře) pro lepší viditelost sou body spoey plou křivkou. Maimum e v obou případech u středí hodoty = q (středí hodotu defiueme dále), t. = pro házeí kostkou a = 5 pro házeí micí. Na příkladu

59 střelce, který vystřelí -krát a terč si ukážeme, ak zistit rozděleí eperimetálě. Dosažeé počty bodů při edotlivých výstřelech představuí hodoty áhodé veličiy. Jaké sou pravděpodobosti edotlivých hodot? Pro = 5 apříklad: Při růzých počtech výstřelů se pravděpodobosti budou obecě měit. Pro rostoucí budeme pozorovat eich ustalováí. Která hodota elépe reprezetue rozděleí? Náhodou veličiu samozřemě edokoalei reprezetue zadáí eího rozděleí. To e ovšem poěkud epraktické. U střelce sme viděli, že eho kvalita e reprezetováa hodotou blízkou devítce. Realizovala se ečastěi, má evětší váhu. Vhoděší reprezetativí hodotou bude aritmetický průměr všech hodot včetě ásobosti Obecě pak = = = = 8, p = 5 = = p, p = = = Takto defiovaá hodota e vážeým průměrem edotlivých hodot a azývá se středí hodotou áhodé veličiy. Výpočet středí hodoty áhodé veličiy, která má Beroulliovo rozděleí eí komplikovaý:

60 ! ( )! = = ( ) ( ) = q q = q q q!!!! a s ozačeím i =, m = pak m m! i m i m = q q ( q) = q( q + q) = q i! m i! i = ( ) Před zavedeím další charakteristiky rozděleí uvedeme další příklad, tetokrát se dvěma střelci, z ichž každý vystřelí -krát a terč. Zvolme opět = 5 : Na obrázku sou zobrazea rozděleí obou střelců (pro prvého bílými, pro druhého modrými sloupečky). Výpočtem zistíme, že oba dosáhli středí hodoty 5. Čím se tedy eich výsledky liší? Je to rozptyl ebo z ěho vypočteá směrodatá odchylka. Jak se k této charakteristice dostaeme? Uvažume áhodou veličiu Y f ( X ) veličia Y rozděleí =. Má-li veličia X rozděleí (, ) p, má y, p = f, p. Jaká veličia by tedy mohla charakterizovat odchýleí hodot od středí hodoty? Needodušší možost Y = X eí vhodá, protože pro libovolé rozděleí e y = : y = y p = p = p p = = = = = =