9 INTERPOLACE A APROXIMACE

Transkript

1 9 INTERPOLACE A APROXIMACE Iterpolce proxce fukcí eo experetálích dt zhrue řdu techk Účele e provést áhrdu fukce f(x) zdé hodot {x y} = vhodou proxuící fukcí g(x) Z proxuící fukc g(x) se čsto volí leárí koce -tce eleetárích fukcí g(x) g(x) c g (x) Příklde eleetárích fukcí g(x) sou polyoy rcoálí fukce podíly polyoů trgooetrcké fukce expoecálí fukce td Aproxuící fukce souvsí se zdáí dé úlohy ovlvňue stupeň proxce Te se oyčeě vydřue ko vzdáleost ez proxuící fukcí g(x) proxovou fukcí f(x) resp dskrétí hodot y Zvláští přípde proxce e terpolce: př terpolc závslostí se sestroue fukce g(x) tk y procházel zdý ody {x y} = splňovl přto podíky týkící se eího tvru Př terpolc fukcí usí ýt v defových odech ξ = zvých uzlové ody terpolce fukce f(x) g(x) spoté ve fukčích hodotách hodotách zvoleých dervcí f () (ξ ) g () (ξ ) 0 r Zde f ozčue -tou dervc r e xálí dervce v -té uzlu ve které sou oě () proxová proxuící fukce totožé Iterpolce se v techcké prx využívá pro () zespotěí telárích údů příkld teplotí závslost fyzkálě checkých kostt ko sou rozpustost hustot otový souč reltví pertvt souč rozpustost td; () áhrdu složtých fukcí f(x) eo fukcí které elze přío vyčíslt Příklde sou Besselovy fukce fukce G ekoečé řdy td; (c) uerckou dervc tegrc; (d) kresleí grfu závslost zdé tulkou Předpoklde terpolce závslost sou deterstcké hodoty souřdce x odpovídící hodoty ose y V prx e všk čstěší přípd kdy x sou voleé (stvo

2 vé) hodoty (př čs teplot) y sou odpovídící experetálě zěřeé hodoty (př kocetrce sorce pětí proud td) Expere-tálí hodoty y sou pk ztížey áhodý chy Př proxc závslost se předpokládá dtví půsoeí chy typu y g(x ) % g Pokud e druh fukce g(x) přede zá přechází úloh proxce úlohu (e)leárí regrese Pokud se volí g(x) ve tvru leárí koce eleetárích fukcí de o úlohu leárí regrese Rověž úloh proxce fukce se převádí úlohu regrese kde se všk součty hrzuí tegrály Aproxce se v techcké prx využívá k () vyhlzováí závslostí t k elc áhodých chy g Pokud se dt y pouze hrzuí hodot g(x ) x - x = = - de o úlohu číslcové fltrce + Vyhlzeí se užíví k určeí vyhlzeých hodot g(x) eo ke kresleí grfů; () áhrdě rozsáhlých souorů dt fukce oshuící éě pretrů k účelů uchováí forcí o dtech př v pět počítče; (c) uercké dervc tegrc experetálích dt ztížeých áhodý chy; (d) tvorě specálích eprckých odelů regresího typu ko e sple-regrese V řdě techckých úloh e terpolce proxce dílčí část postupu zprcováí dt V této kptole sou uvedey vyré evíce užívé techky proxce terpolce fukcí resp závslostí Vedle klsckých postupů sou uvedey postupy které využíví po částech defových fukcí (pecewse-fukcí) 9 Klscké terpolčí postupy Úlohou terpolce e lezeí fukce g(x) tk y pro hodot x < x < < x (v přípdě závslostí) eo pro uzlů ξ < ξ < < ξ (v přípdě fukcí) pltl úvodí rovce Protože pltí x = ξ udee ozčovt uzly tké syole x Mez ezáěší postupy ptří polyocká terpolce která hledá polyo g(x) splňuící úvodí podíku f () (ξ ) g () (ξ ) Hledý polyo e stupě evýše r % & Pokud e poždvke shod pouze ve fukčích hodotách sou r = 0 = -tce odů e terpolová edozčě polyoe ( - )ího stupě Z úvodí podíky se seství leárích rovc ze kterých se vypočtou odpovídící koefcety c

3 3 9 Lgrgeov Newtoov terpolčí forule Forule se užíví pro přípd r = 0 kdy se kostruue polyo stupě evýše = - terpoluící uzlových odů kdy pltí y = f(x ) = g(x ) Iterpolčí polyo splňuící tyto podíky lze vyádřt ko leárí koc všech y hodot L (x) y g (x) kde g(x) sou polyoy stupě ( - ) tkové že g (x ) 0 pro všech g (x ) Tyto podíky zšťuí že L (x) e terpolčí polyo ( - ) stupě Fukce g(x) e zázorě or 9 Or 9 Jedoduchý Lgrgeův polyo Polyoy g(x) splňuící tyto podíky lze vyádřt ve tvru g (x) w (x & x )(x & x ) (x & x & )(x & x % ) (x & x ) w k (x & x ) kde orlzčí koefcet w e rove polyo á poto tvr L (x) w k y w k (x & x ) (x & x ) y k Lgrgeův terpolčí x & x x & x Tto forulce Lgrgeov terpolčího polyou se hodí pouze pro lá edoduché ručí výpočty Pro výpočty s využtí počítče se doporučue tzv rycetrcká reprezetce ve tvru

4 4 L (x) y w x & x w x & x pro x x L (x) y pro x x Tto reprezetce terpolčího polyou e uercky stlí víc lze pro růzá děleí uzlů x = určt orlzčí koefcety w lytcky V přípdě že yl Lgrgeův terpolčí polyo použt pro terpolc -tce fukčích hodot f(x ) záé fukce f(x) pltí pro chyu terpolce v lovolé odě x vzth f(x) & L & (x) f () (α)! (x & x ) kde x < α < x Nevýhodou trdčího vyádřeí terpolčího polyou v Lgrgeově tvru e poždvek opětové přepočítáí všech čleů př přdáí dlšího odu x + y + Z tohoto hledsk e př postupé přdáváí uzlů výhoděší Newtoov terpolčí forule pro kterou pltí & P (x) k (x & x k ) k Přdáí odu x + y + pk vede k terpolčíu polyou P % (x) P (x) % % k (x & x k ) k Z této rovce vychází př doszeí z x = x pro koefcet + vzth % % % w y y % k (x & x ) Pro osttí koefcety k k = polyou P + pltí k % k w y k (x & x ) k% Koefcety k se zýví postupé dferece fukce f(x) ultá postupá dferece e = y Osttí postupé dferece lze defovt rekuretě Pro prví postupou dferec pltí y x & x % y x & x y & y x & x [x x ]f

5 5 Pro druhou postupou dferec e 3 [x 3 x ]f & [x x ]f x 3 & x y 3 & y x 3 & x & y & y x & x x 3 & x pro -tou postupou dferec pltí + % [x % x ]f & [x x ]f x % & x ( (x & x ) 0 0 ( 3 (x & x ) ( 3 (x & x ) 0 d d & (x & x ) (x & x ) 0 d & d Př sestvováí postupých dferecí se s výhodou sestvue tulk eíž dgoálu tvoří koefcety Tk sou defováy vzthy ez koefcety Newtoovy k forule koefcety w k y k = d k Lgrgeovy forule Př zlost koefcetů k ůžee stovt 3 koefcety d k řešeí soustvy leárích rovc 3 Postup efektvího výpočtu d = z této soustvy rovc e popsá v prác N eho zákldě yl odvoze lgortus pro efektví výpočet orlzčích koefcetů w = který lze vyádřt posloupostí vzthů: () () = k = 0 k = () (-) k = k /(x k - x ) k = - (k+) (k) () = - = 3 k () w = Užtí tohoto schétu e počet opercí potřeých pro vyčísleí polyou v Lgrgeově 3 tvru shodý s počte opercí pro vyčísleí koefcetů v Newtoově tvru Vytvářeí postupých dferecí Dt Prví dferece Druhé dferece (-)í dferece x y [x x ] f x y [x 3 x x ] f [x 3 x ] f x 3 y 3 [x 4 x 3 x ] f [x 4 x 3] f

6 6 x y 4 4 [x x x ] f - x y 9 Hertovská terpolce Př této terpolc se poždue y terpolčí polyo H se svou prví dervcí souhlsl ve všech uzlových odech s dou fukcí eí prví dervcí To zeá že r = = terpolčí polyo e stupě ( - ) Ozčíe-l hodoty dervcí v uzlových odech x ko y ůžee psát H (x) y h (x) % kde h (x) [ & (x & x ) g ) (x )] g (x) h (x) (x & x ) g (x) V těchto vztzích sou g (x) eleetárí Lgrgeovy polyoy Pro Hertovskou terpolc e vhodé použít rycetrckého tvru y ) h (x) H (x) w x & x w w & v x & x y % w y ) x & x w x & x w x & x &v pro x x H (x) y pro x x Pro koefcety v pltí 3 v w x & x V prác e uvede efektví lgortus sultáího postupého určováí koefcetů w v 93 Rcoálí terpolce Př této proxc e terpoluící fukce R (x) defová ko podíl polyou stupě l (v čttel) polyou stupě l (ve eovtel) R l (x) P (x) P l (x) Tto proxce hrzue klsckou polyockou terpolc stupě ( + l) S výhodou se používá rcoálí proxce typu Pdé

7 7 R(x) % % x & x x & x 3 4 % x & x 5 6 % Místo tohoto zápsu se používá zkráceá for R(x) % x & x x & x % 3 x & x & % Pro určeí koefcetů tk y R(x) terpolovl zdou fukc v uzlech se používá rekuretích forulí R (x) % x & x R (x) R (x) % x & x R 3 (x) R (x) % x & x R % (x) R (x) Z předpokldu že R + (x) 0 dostáváe že R (x ) pro Pro terpolc usí eště pltt oezeí že R (x ) y Z této rovce přío plye že = y Z předešlých rovc lze tké určt že pltí R % (x ) x & x R (x ) & % % Využtí této rovce lze pro = - počítt R +(x) pro = + + určovt + = R +(x +) Títo postupe se edoduše určí koefcety Pdé terpolce Pokud vyde R (x) pro = - rovo ule elze teto postup použít + 9 Sple terpolce Užíváí polyoálích terpolčích forulí á řdu evýhod Jsou totž složey z eleetárích fukcí defových celé reálé ose což vede u terpolčích forulí

8 8 vyšších řádů ke vzku řdy lokálích x flexích odů které eodpovídí průěhu fukce f(x) č telové závslost {x y} = Př terpolc fyzkálích závslostí se stává že chováí v sté tervlu se výrzě lší od ech chováí v tervlech sousedích Jde o závslost tzv esoctví povhy Z těchto úvh plye že pro účely terpolce le proxce ude výhoděší volt lokálě defové fukce které udou v ístech vzáeého styku t v uzlech spoté ve fukčích hodotách hodotách zdých dervcí Vhodé terpolčí fukce tohoto typu sou složey z polyockých úseků pltí pro ě že sou ze třídy C [ ] Oecě sou fukce třídy C [ ] tervlu [ ] spoté v prvích dervcích fukčích hodotách N or 96 sou schetcky zázorěy 0 fukce třídy C C C odpovídící prví druhé dervce Z or 96 plye že hldké sou všechy fukce od třídy C Pro fukce třídy C pltí že -tá dervce e leárí loeá závslost ( + ) dervce e po částech kosttí ( + ) dervce e po částech ulová t eí defová v uzlových odech ξ 0 Or 96 Příkldy fukcí C C C ech dervcí: H zčí hldká S zčí spotá křvk Využtí uvedeých vlstostí fukcí ze třídy C [ ] ůžee defovt oecě polyocký sple S (x) s uzly = ξ < ξ < ξ 3 < < ξ = Teto sple e kždé úseku [ξ ξ ] = - reprezetová polyoe xálě -tého stupě Pokud + (l) e v ěké odě x ěkterá dervce S sple S (ξ ) závsí () řádu polyou přčež se ovykle volí kucký sple = 3; (ξ ) espotá de o defektí sple Vlstost () počtu polohách uzlů ξ < ξ < < ξ ; (c) defektech v uzlových odech Z defektích sple se oezíe klscké sple které í álí defekt rove k = - t ptří do třídy C [ ] Pro účely Hertovské terpolce e výhodé použít sple - defektu k = který ptří do třídy C [ ] Defekt k = uožňue zdt podíky terpolce defekt k = eště víc podíky týkící se hodot prvích dervcí - Klscké sple polyoy S (x) ze třídy C [ ] e ožo defovt ěkolk způsoy Needodušší e pro kždý tervl I 0 [ξ ξ ] = - defovt lokálí +

9 9 polyo P (x) c 0 % c k (x & ξ ) k k pro x 0 I Teto záps e redudtí protože P(x) oshue v kždé ( + ) tervlu pretrů c k celkově pk ( + ) pretrů Neefektvěší e vyádřeí sple S (x) ko leárí koce ázových B-spl-e s álí podporou Bázový B-sple B e defová v ( + ) uzlových odech ξ - < ξ -+ < < ξ ko orlzová -tá poěrá dferece usekutého polyou Využtí forálího zápsu postupé dferece ůžee psát g(ξ) (ξ & x) & % B (ξ & ξ & )[ξ & ξ ] g používá rekuretí forule B (x) Zčíá se od B (x) pro které pltí V prx se pro výpočet orlzových B-sple x & ξ & ξ & & ξ & B && (x) % ξ & x ξ & ξ &% B & (x) pro ξ & # x # ξ B (x) 0 de Bázové B-sple -tého řádu í zívé vlstost: () sou kldé pouze v tervlu ξ - < x < ξ všude de ýví ulových hodot B (x) > 0 pro ξ & < x < ξ B (x) 0 de ; () sou orlzové t B (x) pro všech ξ < x < ξ ; () (c) tervlu (ξ - ξ ) e B (x) sple polyo stupě ( - ) s uzlový ody (ξ - ξ -+ ξ ) To zeá že v kždé tervlu e ez dvocí uzlových odů vyádře spo - polyoe stupě xálě ( - ) ptří do třídy fukcí C [ξ - ξ ] Tto vlstost pltí pokud sou všechy uzlové ody ξ vzáe růzé 9 Kucké sple Kucké sple zývé tké křvítkové fukce ptří k ezáěší předstvtelů sple polyoů Jech zákldí výhodou e že sou spoté v prvích dvou dervcích což uožňue sestroeí hldké křvky v prví dervc (or 96) Používí se hoě ve všech olstech počítčové grfky v systéech CAD/CAM pro proxc fukcí kde í řdu vhodých vlstostí Pltí že př proxc fukce f(x) kucký sple S 3(x) e zště álí () () or f (x) - S (x) Dále S (x) splňuí podíku 3 3 [S 3 (x)] dx 6

10 0 což zeá že stý způsoe lzuí celkovou křvost terpoluící fukce Fyzkálě s lze sple předstvt ko deálí elstcký osík se zedtelou hotostí který e ztíže eo podepře v uzlových odech {x y} = Teto osík zue tvr odpovídící u potecálí eerge Iterpolčí kucký sple lze sestrot př volě = 3 přío z defce Nuercky evýhoděší e všk použtí B-sple B 4(x) zázorěých or 99 Pro lustrc e výhodé vyít přío z defce S (x) ko polyocké fukce třídy C [ ] Kucký sple e pk defová podík () podíkou terpolce t S 3 (x ) y () podík spotost ve fukčích hodotách hodotách prví druhé dervce () () Fukce S(x) S (x) S (x) sou spoté v celé tervlu [ ]; (3) (c) podíkou po částech kosttí třetí dervce S (x) všude kroě uzlových odů x = ; (4) (d) podíkou ulové čtvrté dervce S (x) = 0 všude kroě uzlových odů x = Z těchto podíek plye že S 3(x) e v kždé tervlu I 0 [x + x] defová kucký polyoe Pro edozčé určeí všech čtveřc koefcetů c ž c ve všech 4 ( - ) tervlech I e poto uté sestvt 4( - ) ezávslých podíek Z podíek spotost plye že P (x ) P & (x ) P () (x ) P () & (x () ) P (x ) P () & (x ) pro všech = - což vede 3( - ) vzeých rovc Z podíky terpolce vychází dlších rovc Celkově vede použtí podíek defce S 3(x) k sestveí (4-6) leárích rovc Dvě rovce pro edozčé určeí S 3(x) všk eště scházeí Tyto vzeé rovce se využíví pro defc okrových podíek určuících chováí sple v ístě x x Čsto ýví voley tzv přrozeé okrové podíky S () 3 (x ) S () 3 (x ) 0 Odpovídící podíky pro prví dervce d S () 3 (x ) d S () 3 (x ) 3 í tvr d 05 3(y & y ) h & d d 05 3(y & y & ) h & & d & Název "přrozeé" zde vysthue fyzkálí sysl prostého podepřeí kdy vě posledí podpory x resp x zuíá osík příkový tvr Oecě lze defovt okrové podíky typu I kdy se určuí d d okrové () () podíky typu II kdy se určuí druhé dervce S 3 (x ) S 3 (x ) Přehled růzých typů okrových podíek které ovlvňuí chováí sple S 3(x) pouze lokálě e uvede v prác () () Ozče druhé dervce kuckého sple M = S 3 (x) prví dervce d = S 3 (x) Pro určeí kuckého sple postčue lezeí dervcí d d Vyádříe-l - koefcety c ž c poocí dervcí d d M M ůžee z podíky spotost druhých dervcí v ístě x dospět po úprvách ke vzthu α d & % β d % γ d % δ &

11 kde α h & β γ h & % h h δ 3 y & y & % y % & y S () T S () T h & Záps předstvue trdgoálí soustvu ( - ) leárích rovc pro ezáé d d Př použtí okrových podíek pk dostáváe soustvu leárích rovc s ezáý kdy e tce koefcetů trdgoálí Pro eí řešeí lze využít př kopktích lgortů vycházeících z Gussovy elce Zákldí prolée př použtí kuckých sple pro rekostrukc závslostí e ech tedece k přektáváí př áhlých zěách křvost terpolové závslost Pro odstrěí této evýhody e vhodé použít tzv sple pod pětí (expoecálí sple) která uožňuí lokálí řízeí tvru terpoluící fukce poocí pretru pětí Sple pod pětí sou řešeí dferecálí rovce 4 h S (4) T (x) & λ S () T (x) 0 pro x = x = Syol λ ozčue pretr pětí Te ůže ýt oecě v kždé uzlové odě ý rove λ Řešeí uvedeé dferecálí rovce e sple pod pětí s těto vlstost: () v kždé tervlu I 0 [x x] e + () S T(x) e ze třídy fukcí C [ ] S T (x) % x % exp(λ x) % exp(&λ x) (c) pltí podík terpolce S T(x ) = y = (d) (x ) = (x ) = 0 t pltí přrozeé okrové podíky Pro hrčí hodoty pretru pětí λ pltí že () pro λ 6 0 e S T(x) klscký kucký sple; () pro λ 6 4 e S T(x) leárí sple t loeá čár spouící uzlové ody () Pro prktcké účely se využívá toho že rozdíl S T (x) - λ S(x) T e v kždé tervlu I leárí fukcí x Po dvoí tegrc lze pk S T(x) vyádřt ve tvru S T (x) y % t % y ( & t) % M % sh(µ t) & t % sh(µ ) λ % M λ sh(µ ( & t)) sh(µ ) & ( & t) () kde t = (x - x )/h µ = λ h Syoly M = S T (x) ozčuí druhé dervce Z této rovce e ptré že () S T(x) e vzhlede k M = - leárí;

12 () př zlost M = - e S T(x) edozčě určeo pro zvoleá λ = Uveďe že fukce sh(x) cosh(x) lze vyádřt využtí fukce exp(x) ve tvru sh(x) = 05 [exp(x) - exp(-x)] cosh(x) = 05 [exp(x) + exp(-x)] Alogcky ko u klsckých kuckých sple lze z podíky spotost prvích dervcí () S (x) v uzlových odech lézt trdgoálí soustvu leárích rovc T α % M & % (β % % β % & ) M % α % % M % δ% α % % sh(µ ) & µ kde h µ sh(µ ) β % µ cosh(µ ) & sh(µ ) µ sh(µ ) h δ % y % & y & y & y & h h & Řešeí této soustvy rovc lze provést steě edoduše ko u klsckých polyockých sple Sosttý prolée souvseící s použtí sple pod pětí e vol 5 pretrů pětí Retrop využívá ve své proceduře testu zd druhé postupé dferece [x - x x +] y = y souhlsí co do zék s druhou dervcí M Pokud vyde že (M y )(M % y % )>0 rozlšuí se dv přípdy: ) e-l y = y = 0 volí se λ = 5/h ; + doszue se λ 0 Neí-l tto podík splě ) e-l y = y volí se λ 4 % (0 % *y h % & y * x(*y *; *y % *)) & + 93 Aproxce fukcí Př proxc fukce f(x) vhodou proxuící fukcí g(x) e tře řešt dvě zákldí úlohy: () výěr typu fukce g(x); () výěr krtér pro vyádřeí lízkost fukcí f(x) g(x) - S ohlede edoduchost zprcováí se čsto volí g(x) ve tvru g(x) = x t polyocká proxce Blízkost fukcí f(x) g(x) se vydřue poocí ory ve zvoleé LP-prostoru pro kterou pltí S P w(x) [f(x) & g(x)] P w(x) *f(x) & g(x)* P dx V této rovc e w(x) vhodá váhová fukce tervl # x # určue olst ve které se hledá proxce fukce f(x) fukcí g(x) Koefcety c se pk hledí tk y ylo SP álí Př volě p = de o L-proxc lzue se tegrál solutích odchylek ez f(x) g(x); př volě p = se lzue tegrál čtverců odchylek de o L-proxc odpovídící krtéru etody eeších čtverců pro dskrétí dt /P

13 Koečě př volě p 6 4 de o xí (Čeyševovu) proxc lzuící krtéru S 4 x[w(x) *f(x) & g(x)*] x 0 [ ] Mlzce krtér S vede oecě úlohu eleárí optlzce Zde se oezíe P L -oru Jde o spotou log úlohy leárí regrese která e podroě popsá v kp 6 Uvžue pro edoduchost w(x) = Pro odhd koefcetů c ž c se podoě ko v dskrétí přípdě vychází z lytcké lzce S 3 δs δc 0 Po doszeí održíe soustvu orálích rovc ve tvru fg dx g dx g g dx g g dx fg dx g g dx g dx g g dx c c fg dx g g dx g g dx g g dx c c fg dx g g dx g g dx g dx Je použto ozčeí f = f(x) g = g(x) Pokud áe lytcké vyádřeí fukce f(x) zvolíe vhodě g(x) ůžee určt edotlvé tegrály lytcky řešt pk soustvu leárích rovc o ezáých steě ko v dskrétí přípdě (vz odd 96) Př polyocké proxc e výhodé provést trsforc ezávsle proěé tk y yl tegrčí oor v rozezí [- ] Toho lze docílt volou x ( x & & & Úlohou e pk určeí koefcetů polyou g(x ( ) x (& tk y yl ve syslu ory L elépe proxová fukce f % % & x ( v tervlu [- ] Př

14 4 sestvováí tce koefcetů uvedeé tcové rovce lze využít záých tegrálů x dx & x % dx 0 % &

15 5 Pro (-) sudé přechází tto tcová rovce do tvru % 0 0 I 0 I % 3 % 0 % 3 0 % 5 & 3 I I & I 05 x ( % kde f % & x ( dx ( & V této rovc sou oprot předešlé rovc všechy koefcety děley dvě tk y došlo ke zedodušeí tce koefcetů Pro zvoleý stupeň polyocké proxce lze určt koefcety ž ko leárí koce záých tegrálů Odoě lze postupovt pro ( - ) lché V tulce sou pro = uvedey výrzy pro koefcety Koefcety proxčích polyoů g(x*) růzých stupňů ( - ) 3 I 3I (3 I 0 & 5 I ) 5 3 3I 4 (3 I & I 0 ) (3 I 0 & 5 I ) 5 4 (5 I & 7 I 3 ) 5 4 (3 I & I 0 ) 5 64 (5 I 0 & 70 I % 63 I 4 ) 5 4 (5 I & 7 I 3 ) 05 3 (4 I & 45 I 4 & 5 I 0 ) (5 I 3 & 3 I ) (5 I 3 & 3 I ) (3 I 0 & 30 I % 35 I 4 )

16 6 Postčue-l tedy proxce polyoe xálě čtvrtého stupě lze určt eho koefcety přío z tulky Pro vyádřeí kvlty proxce se počítá středí kvdrtcká odchylk 7 SE (f(x) & g(x)) dx & f (x) dx & & I & 94 Aproxce telárích závslostí Úloh proxce závslostí zdých tulkou {x y} = se od úlohy proxce fukcí lší pouze v to že ísto tegrálu se v rovc k vyádřeí krtér S P užívá suy Pro záé g(x) p = de o úlohu eleárí eo leárí regrese která e podroě popsá v kp 8 kp 6 94 Polyocká proxce V kp 6 e poedáo o odhdu pretrů v polyockých odelech hledáí vhodého stupě polyou využtí ortogoálích polyoů dé posloupost hodot x x x Jde vždy o etodu eeších čtverců odchylek t L -proxc V řdě úloh proxce etod eeších čtverců odchylek evyhovue poždue se lzce xálí odchylky Toho lze př polyocké proxc docílt využtí ortogoálích Čeyševových polyoů Čeyševovy polyoy T (x) lze geerovt podle rekuretí forule x % T % (x) xt (x) & T & (x) 8 Pltí že T 0(x) = T (x) = Čeyševovy polyoy í tyto zákldí vlstost : - () koefcet u xálí ocy x e rove - pro $ eo pro = 0 () Čeyševovy polyoy sou syetrcké kole počátku t pltí T (&x) (&) T (x) (c) Čeyševův polyo T (x) á v tervlu [- ] právě ulových odů T (x) = 0 * v ístech x které se zýví čeyševovské uzlové ody + (d) Čeyševův polyo T (x) á v tervlu [- ] právě ( + ) extréů x pro které pltí cos( π) ; T (x % ) (&) pro 0 (e) př zvedeí váhové fukce w(x) = / & x sou Čeyševovy polyoy vzáeě ortogoálí celé tervlu [- ]

17 T + * (f) pokud se defue ( + ) odů x které sou ulový ody Čeyševov polyou (x) pltí že % 0 pro k T (x ( ) T k (x ( ) 05 ( % ) pro k 0 % pro k 0 Tto rovce pltí pro všech k = 0 ukzue že Čeyševových uzlech sou Čeyševovy polyoy vzáeě ortogoálí (g) ze všech polyoů -tého stupě které í koefcet u ocy x rove á - orlzový Čeyševův polyo T (x)/ álí hodotu ory S 4 v tervlu [- ] Poocí Čeyševových polyoů lze proxuící fukc g(x) vyádřt ve tvru g(x) 0 c T (x) pro & # x # Pro zštěí ortogolty fukcí T(x) se edříve určí Čeyševovy uzly dvoufázový postupe: * () pro zvoleé se určí uzlové ody x = 0 - v tervlu {- } () využtí vzthu Z = 05 ( + ) + 05 ( - ) x se určí Čeyševovy uzly Z v tervlu [ ] + * * * * * Pro hodoty Z se ásledě určí uď fukčí hodoty f(z ) eo hodoty závslost y Vzhlede k ortogoltě edotlvých T(x) pro Čeyševovy uzly lze určt koefcety c sdo ze vzthů f(z ( c 0 ) T c (x ( ) f(z ( ) Oě rovce odpovídí použtí klscké etody eeších čtverců 94 Úseková regrese Použtí klsckých polyoů ko proxčích odelů e evhodé př proxc fyzkálích závslostí které esou soctví povhy Pro koplkověší průěhy s ěkolk extréy í víc tedec osclovt č výrzě zkreslovt proxovou závslost V těchto přípdech e výhoděší použít po částech defových fukcí Kroě zdých odů {x y } = kde se předpokládá že y sou áhodé velčy (ěřeé hodoty) se eště určuí uzlové ody ξ = k (resp eště ξ 0 ξ k+) Uzlové ody tvoří hrce tervlů kde sou defováy edotlvé fukce V kždé tervlu I ohrčeé uzlový ody ξ ξ lze proxuící fukc g(x) vyádřt odele g(x) - tkže pltí: g(x) = g (x) pro x ε I g(x) = g (x) pro x ε I g(x) = g k+(x) pro x ε I k+ 7

18 8 Fukce g(x) sou lokálě defováy pouze tervlech I Kvlt proxce závsí počtu polohách edotlvých uzlových odů ξ typu fukcí g(x) to ze které třídy C á ýt proxuící fukce g(x) Úlohu lze převést úlohu eleárí regrese kde se hledá počet uzlových odů ech polohy koefcety všech lokálě defových fukcí g(x) etodou eeších čtverců eo oecě xálí věrohodost Tkto defová úloh e zčě rozsáhlá proto se používá řd zedodušeí Or 96 Zdáí úsekové regrese Oyčeě s užvtel volí počet uzlových odů čsto ech polohy přede zákldě průěhu proxové závslost Pokud sou víc g(x) = k + leárí vzhlede k pretrů (polyoy) de vlstě o úlohu leárí regrese s oezeí defový podík spotost ve fukčích hodotách hodotách dervcí s ohlede třídu C g (l) (ξ ) g (l) % (ξ ) k l 0 Jk ylo ukázáo v odd 9 splňuí podíku spotost ve fukčích hodotách hodotách dervcí sple polyoy ( + ) stupě S + (x) které sou defováy ko polyoy xálího stupě ( + l) Z proxuící fukc g(x) lze použít vhodou defc sple S (x) hledt eho koefcety etodou eeších čtverců + 0 Pro lustrc vydee z předpokldu že fukce g(x) e poždová ze třídy C Jko g(x) použee vyádřeí leárího sple ve tvru usekutého polyou g(x) β % β x % k β % (x & ξ ) % Pokud pltí dtví odel ěřeí y g(x ) % g chyy g sou ezávslé steě rozděleé áhodé velčy s kosttí rozptyle lze získt odhdy pretrů β = k + lzcí krtér etody eeších čtverců U [y & g(x )] Př zlost počtu poloh uzlových odů ξ de o úlohu leárí

19 regrese Dervcí krtér U podle edotlvých pretrů lze dospět k soustvě orálích rovc M Z Soustv předstvue (k + ) leárích rovc vzhlede k hledý k+ Struktur tce M vektoru Z e všk ovlvě specálí type fukce g(x) Prví řádek tce M á tvr [ x (x & ξ ) % (x & ξ k ) % ] druhý řádek e [ x x x (x & ξ ) % x (x & ξ k ) % ] V dlších řádcích á oecě prví prvek tvr M % (x & ξ ) % k druhý prvek á tvr M % x (x & ξ ) % k Dlší prvky M sou l++ M l%% (x & ξ ) % (x & ξ l ) % k l k Vektor Z á složky Z [ y y x y (x & ξ ) % y (x & ξ k ) % ] T Jedotlvé složky tce M vektoru Z sou ovlvěy tké tí že se prcue s usekutý polyoy Pro zlepšeí uercké stlty se doporučue trsforce souřdc x do tervlu [ ] Pokud se poždue proxce ze třídy C lze volt kvdrtcký sple pro proxc ze třídy C kucký sple td Pro všechy odely tohoto typu lze sestvt tc M vektor Z lézt odhdy pretrů β β +k+ proxčího sple S (x) Z uerckého hledsk všk eí použtí reprezetce sple ve tvru usekutých polyoů přílš vhodé protože pro větší počet uzlových odů e tce M šptě podíěá Výhoděší e použtí B-sple reprezetce Deostrue s použtí této reprezetce sple příkldu kdy á ýt g(x) ze třídy 0 C Př použtí leárích B-sple e tře defovt eště přídvé ody ξ 0 ξ k+ (vz or 96) Aproxuící odel á pk tvr Z k% g(x) B (x) kde B (x) sou kokrétě defováy ve vzorové úloze 96 zkresley or 97 Zveďe zkráceé ozčeí N = B (x) Po doszeí g(x) do krtér U lytcké lzc dospěee opět k soustvě rovc M = Z V toto přípdě á vektor Z složky y N k % Mtce M á vzhlede k lokálí defovost leárích B-sple trdgoálí strukturu Pro eí prví řádek pltí M = Σ N M = Σ N N M = 0 = 3 k + V -té řádku sou eulové pouze dgoálí prví poddgoálí resp ddgoálí prvky pro 9

20 0 které pltí M = Σ N M + = Σ N N + M - = Σ N N - Koečě v posledí (k+) řádku sou eulové pouze posledí dv prvky M k%k% N k% N k% M k%k% N k% Trdgoálí soustv rovc se dá řešt kopktí lgorty Pro přípd C- proxce vede použtí kvdrtckých B-sple (vz or 98) k tc M s pětdgoálí strukturou Přípd C -proxce vede př použtí kuckých B-sple (vz or 99) k tc M se seddgoálí strukturou Tké př volě C -proxce pro větší e výhodé použtí B-sple reprezetce Přehled dlších ožostí použtí sple regrese způso 0 sttstcké lýzy těchto specálích leárích odelů e popsá v Eukově prác Sosttý prolée e vol uzlových odů ξ V progru ADSTAT e ožé vyrt ez 4 ltertv: () kosttí děleí uzlových odů () uístěí uzlových odů tk y v kždé tervlu I yl steý počet experetálích odů (c) volou poloh uzlových odů užvtele (d) hledáí uzlového odu progre to regresí optlzcí Vol uzlových odů: Př volě uzlových odů užvtele lze v přípdě kucké sple regrese kdy e proxčí fukce ze třídy C použít ásleduící rácová prvdl : I Nevhoděší e volt co eéě uzlových odů s tí že v kždé tervlu I y ělo ýt eéě 4 ž 5 odů II V tervlu I y ěl ýt xálě ede extré (u eo xu) ede flexí od III Pokud e v I extré ěl y ležet přlžě uprostřed IV Pokud e v tervlu I flexí od ěl y ležet v lízkost uzlového odu Jstou evýhodou odelů ve tvru sple polyoů e př hledáí vhodého počtu poloh uzlových odů opkové řešeí etody eeších čtverců Tyto odely sou vhodé př terktví prác s orzovkou počítče kde užvtel sdo geerue růzé způsoy rozístěí uzlových odů tk y yl s výsledke spokoe V ěkterých přípdech se všk poždue edoprůchodová etod kdy se edotlvé uzlové ody zřzuí postupě podle zvoleého sttstckého krtér: v těchto přípdech se volí k tříd fukcí C tk krtéru regrese Deostrue s tkový postup přípdu kdy á ýt proxuící fukce ze třídy C sou splěy podíky pro užtí etody eeších čtverců Pro úsekovou regres se pk používá polyoů stupě ( + 3) t pátého Pro zvoleé ξ lze odpovídící polyo p (x) vyádřt ve tvru p (x) 6 β H & Z k β k (x & ξ ) k& Pro odhd pretrů β ž β lze použít etody eeších čtverců což vede k řešeí 6 soustvy rovc kde vektor Z á složky Z x εi y (x & ξ ) & 6

21 tce H á prvky H l x εi (x & ξ ) l& (x & ξ ) & l 6 6 Př kostrukc osttích polyoů e tře vzít v úvhu oezeí plyoucí z poždvku spotost ve fukčích hodotách hodotách prvích dvou dervcí v uzlových odech Polyo p (x) pro tervl (ξ # x # ξ ) 0 I e uté vyádřt ve tvru k k- k k (x & ξ p k (x) k& ) l d l p k& (x) 6 % β l0 l! dx /0 l r (x & ξ & ) r& r4 x/ξ k& V této rovc sou pouze tř ezáé pretry β β β Pretry lze určt etodou eeších čtverců Ozče prví sčítce této rovce ko K(x) Forálě lze pk odhd pretrů vyádřt ve tvru k k H k & Z h kde á yí pouze tř složky k Vektor Z á prvky k Z x εi k [y (x & ξ k& ) & K(x ))] tce H á prvky k H l x 0I k (x & ξ k& ) l& (x & ξ k& ) & pro l = Pro výpočet koefcetů polyou p (x) postčue zlost pouze předchozích uzlů ξ ξ k k- vol ového uzlu ξ k K určeí vhodého počtu polohy ξ k exstue řd postupů vycházeících z růzých krtérí Zákldí sttstcké krtéru sledue y evzkl eáhodý tred v rezduích v tervlu I V přípdě že v rezduích ê q& ê ê % # q p p eí tred ělo y pltt ê q & p kde p e dex eešího q dex evětšího odu v tervlu I k Tedy x p = (x ) pro x ε I k Podoě lze defovt x q Z dlších krtérí popsých v kp 6 u výěru vhodého odelu se čsto používá MEP eo AIC sttstk

22 Úseková regrese progre NCSS000 Model úsekové regrese: Úseková regrese v čsto užívé softwre NCSS000 e kostruová kocí příek kvdrtckých prol př úsekový polyocký regresí odel leárí-leárí se týká odelu o dvou leárích rovcích když kždá pltí v é úseku proěé x Modelů e celá řd: odel kde větve sou () leáríleárí () leárí-kvdrtcká (c) kvdrtcká-leárí (d) kvdrtcká-kvdrtcká (e) leárí-leárí-leárí Uzlové ody (ody zvrtu): od zvrtu eusí ýt užvtel zá čsto ývá cíle výpočtu Přechod edé větve křvky do druhé v odu zvrtu ůže ýt () ostrý () vtří hldký přechod uvtř průsečíku křvek (c) věší hldký le vě průsečíku křvek 3 Proěé: proěé x y ohou ýt přede trsforováy ocou 05 trsforcí př závsle proěá y e přede trsforová do tvru /y /y /y l y y y ezávsle proěá x do tvru /x /x /x l x x x 4 Tulk regresích odelů větví prokládé křvky: Model: leárí-leárí větve: Regresí odel: y = A + B x + C (x - D) sg (x - D) Rovce: y = + x x < ξ y = + x x > ξ Odhdové pretry: A = ( + )/ = A + D C = A - D C B = ( + )/ = B - C = B + C C = ( - )/ ξ = D D = ξ Model: leárí-kvdrtcké větve: Regresí odel: y = A + B x + C x + (x - D) sg (x - D)[C(x + D) + E] Rovce: y = + x x # ξ y = + x + c x x > ξ Odhdové pretry: A = ( + )/ = A + D C + D E = A - D C - D E B = ( + )/ = B - E = B + E C = c / ξ = D c = C D = ξ E = ( - )/ 3 Model: kvdrtcké-leárí větve: Regresí odel: y = A + B x + C x + (x - D) sg (x - D)[E - C(x + D)] Rovce: y = + x + c x x # ξ y = + x x > ξ Odhdové pretry: A = ( + )/ = A - D C + D E = A + D C - D E B = ( + )/ = B - E = B + E C = c / ξ = D c = C D = ξ E = ( - )/ 4 Model: kvdrtcké-kvdrtcké větve: Regresí odel: y = A + B x + C x + (x - D) sg (x - D)[E (x + D) + F] Rovce: y = + x + c x x # ξ y = + x + c x x > ξ

23 3 Odhdové pretry: A = ( + )/ = A - E D + D F = A + E D - D F B = ( + )/ = B - F = B + F C = (c + c )/ ξ = D D = ξ c = C - E c = C + E E = (c - c )/ F = ( - )/ 5 Model: leárí-leárí-leárí větve: Regresí odel: y = A + B x + C (x - D) sg (x - D) + E (x - F) sg (x - F) Rovce: y = + x x < ξ y = + x ξ < x # ξ y = x x > ξ Odhdové pretry: A = ( + 3)/ = A + DC + EF = A - DC - EF 3 = A - DC + EF B = ( + 3)/ = B - C - E = B + C - E 3 = B + C + E C = ( - )/ ξ = D ξ = F D = ξ E = ( 3 - )/ F = ξ 95 Nuercké vyhlzováí Účele uerckého vyhlzováí e odstrěí áhodých šuů g Poždue se y vyhlzuící fukce g(x) ěl pouze oecé vlstost ko e spotost ve zvoleé počtu dervcí Nede v prvé slov syslu o lezeí kokrétího fukčího tvru proxuící fukce g(x) le o lezeí rekostruové ezšuové závslost předevší k zorzeí uercké dervc tegrc Pro uercké vyhlzeí lze použít předevší sple vyhlzováí pro které e chrkterstcké že uzlové ody ξ sou totožé s souřdce x zdých experetálích dt {x y} = S vyhlzuící sple úzce souvsí tzv epretrcká regrese kdy fukce g(x) e vhodě vážeá leárí koce velč y = s vh závslý vzdáleostech x - x V řdě přípdů postčue pouze lezeí posloupost vyhlzeých hodot g(x ) z původích hodot y Pro ekvdsttí děleí experetálích odů ose x kdy h = x + - x = kost = - de o úlohu číslcové fltrce T e vhodá pro předzprcováí sgálů z růzých ěřcích přístroů V techcké prx e výhodé využtí těchto postupů všude t kde ezávsí typu vyhlzovcí fukce g(x) kde e tře získt závslost s odstrěou šuovou složkou (chy g ) Čsto de o úlohy dervce eo tegrce dt ztížeých áhodý chy

24 4 95 Sple vyhlzováí Př kostrukc vyhlzuících sple se vychází z poždvku y se fukce g(x) přlžovl co evíce k experetálí dtů to ve syslu zvoleé Lp-ory (kp 6) Jsou-l chyy g ezávslé steě rozděleé áhodé velčy s kosttí rozptyle e vhodé volt L-oru vedoucí ke krtéru etody eeších čtverců U(g) w [y & g(x )] kde w sou váhy edotlvých odů závslé ech "přesost" vyádřeé př přes rozptyly Dlší poždvke e y vyhlzuící fukce yl dosttečě hldká spotá ve zvoleé počtu dervcí Oeze se ečstěší přípd kdy se poždue y g(x) yl dvkrát dferecovtelá tz ze třídy C [ ] kde = x = x Jk ylo uvedeo v odd 9 e ožo krtéru hldkost vyádřt tegrále I(g) [g () (x)] dx () kde g (x) e druhá dervce vyhlzuící fukce Itegrál I(g) souvsí s orou druhé dervce ozčue se ko ír hldkost v křvost fukce g(x) Účele e lézt tkovou fukc g(x) která y ěl dosttečě lou hodotu U(g) t yl v lízkost experetálích dt přto ěl lou hodotu I(g) t yl dosttečě hldká eí průěh y eěl ýt děrě zvlěý Pro stoveí optálí vyhlzuící fukce g(x) ůžee sestvt dvě zákldí lzčí úlohy: I Jde o lzc odfkového součtu čtverců odchylek K U(g) % α I(g) kde 0 # α # 4 e pretr vyhlzeí který "řídí" poěr ez hldkostí g(x) eí přlížeí k experetálí odů II Př splěí podíky U(g) = S se hledá vyhlzuící fukce g(x) lzuící tegrál I(g) Pro dé S exstue tkový pretr vyhlzeí α = α(s) že řešeí úlohy I e zároveň řešeí úlohy II Důvode zvedeí úlohy II e fkt že pretr S á výz rezduálího součtu čtverců souvsí přío s odhde rozptylu áhodých chy g V řdě prcí ylo odvozeo že fukce g(x) ze třídy C [ ] která pro dé α lzue K z výše uvedeé rovce á ásleduící vlstost : Fukce g(x) e kždé tervlu I ε [x x] polyoe třetího stupě + Ve všech ístech x čl uzlových odech e fukce g(x) spotá ve fukčích hodotách hodotách prvích dvou dervcí což se zpíše rovcí g (k) (x & ) g (k) (x % ) & k kde g(x ) e lt v odě x zprv g(x ) e lt v odě x zlev 3 Ve třetí dervc e vyhlzuící fukce espotá pltí pro že g (3) (x % ) & g (3) (x & ) w α [y & g(x )]

25 () 4 V rozezí (- 4 ] [ 4) sou druhé dervce g (x) = 0 To zeá že fukce g(x) e o tervl ( ) leárí Všechy fukce vyhovuící těto podíká sou kucké sple S 3 (x) s uzly x které sou př zlost pretru vyhlzeí α edozčě určey podíkou 3 hrzuící klsckou podíku terpolce u terpolčích sple Pokud se v rovc I(g) hrdí - druhá dervce -tou dervcí vychází ko optálí g(x) ve třídě C [ ] polyocký sple S -(x) stupě ( - ) Podík pk pltí pro ( k - ) dervc Místo krtér etody eeších čtverců U(g) lze použít á krtér Pokud se ísto čtverců použe pole rostoucí fukce (vz kp 6) rezultuí roustí vyhlzuící sple Podoě ko př sple terpolc lze zde řídt hldkost vyhlzuící fukce zvedeí pretrů pětí ρ Pro vyhlzuící sple pod pětí lze ísto rovce z podíky 3 psát [g (3) (x % ) & ρ g () (x % )] & [g (3) (x & ) & ρ g () (x & )] w α [y & g(x )] 3 Detlí postup kostrukce vyhlzuících sple pod pětí e uvede v prác Ukže postup kostrukce kuckého vyhlzuícího sple ež lzue rovc K př záé hodotě pretru vyhlzeí α Needodušší e hledt vyhlzeé fukčí () hodoty g(x ) = g druhé dervce g (x) = M Př zlost těchto hodot e ožé určt koefcety kuckých polyoů které procházeí ody {x g} = V odd 9 ylo ukázáo že pro druhé dervce M u klsckých terpolčích sple pltí soustv leárích rovc M 0 M 0 5 h & 6 M & % h % h & 3 M % h 6 M % g % h % g & h & h & % g & h & & V tcové zápsu á tto soustv tvr A A AM Dg A & h & 6 A h % h & A 3 % h 6 D & h & D & h & h & D % h kde tce A tce D sou trdgoálí vektor g = (g g ) e vektor vyhlzeých hodot Mtce A á prvky Osttí prvky této tce sou ulové Mtce D á prví posledí řádek slože ze sých ul Dále e

26 6 Osttí prvky této tce sou opět ulové S využtí fktu že třetí dervce kuckého sple v tervlu I e rov g (3) (x) M % & M h e ožo podíku 3 vyádřt ve tvru g y & vd T M kde v = (α/w α/w (A % DvD T ) M Dy T T α/w ) e vektor pretrů vyhlzeí y = (y y ) e vektor původích evyhlzeých hodot Po doszeí z g ůžee lézt vektor druhých dervcí M ze soustvy leárích rovc Soustv e pětdgoálí á edozčé řešeí K určeí M lze použít kopktích lgortů podoě ko u sple terpolce Př zlost hodot druhých dervcí M lze určt vyhlzeé hodoty g přío doszeí dle vzthu g y & v L kde L M & M h L M & M & h & L (M h % & M ) & h & (M & M & ) & Z této rovce plye že vyhlzuící sple e leárí odhd protože pltí g H(α) y Mtce H(α) vyde dle vzthu H(α) [E & vd T A & D] & 5 Resch určl tc E - H(α) v kopktí tvru E & H(α) Q (Q T Q % p T ) & Q T kde Q e ( - ) dezoálí trdgoálí tce která vzke vyecháí prvího T posledího sloupce tce D Mtce T e ( - ) ( - ) dezoálí trdgoálí tce která vzke vyecháí prvího posledího sloupce řádku tce A vyásoeí osttích prvků tce A dvě Pretr p = /α pltí pro přípd steých vh w = = Mtce H(α) á řdu vlstostí shodých s proekčí tcí H 6 defovou v kp 6 Pro eí dgoálí prvky pltí dle Euk 0 # H (α) # odgoálí prvky sou & # H (α) # pro

27 7 Nvíc pltí že H (α) Podoě ko u klscké proekčí tce e zde H (α) = pokud H 0 pro všech Chováí tce H(α) souvsí úzce s proekčí tcí * * H pro regresí příku (vz kp 6) Proekčí tce H závsí pouze hodotách x = Pltí že A Pro α 6 0: H (α) 6 H (α) 0 Dále plye že v toto přípdě sou y = g(x ) Vyhlzuící fukce g(x) e totožá s klscký terpolčí kucký sple S (x) 3 který e ehldší B Pro α 6 4: H (α) 6 H ( H (α) H ( Vyhlzuící fukce g(x) e totožá s regresí příkou proxuící experetálí ody ve syslu eeších čtverců odchylek Pro přípd že se použe -tá dervce α 6 4 e výsledke regresí polyo stupě ( - ) Vyhlzuící fukce se proto ozčuí ko zoecěé polyocké regresí odely 4 Späthův lgortus Späth použl př kostrukc lgortu pro vyhlzuící kucký sple postup který vychází z rovce pro g Vyhlzuící sple vyádřl ve tvru lokálích kuckých polyoů k řešeí pětdgoálí soustvy leárích rovc využl kopktí vrty Choleského etody V progru SPÄTH sou použty lokálí pretry vyhlzeí β = w /α tkže pltí () pro β 6 0 = e potlče podík hldkost rezultue fukce g(x) ko regresí přík; () pro β 6 4 prochází vyhlzuící sple ode {x y} Pokud e β 6 4 = rezultue fukce g(x) ko kucký terpolčí sple S (x) 3 Volou β lze proto řídt lokálí přlížeí vyhlzuící fukce k experetálí odů 5 Reschův lgortus: Resch řešl lzc I(g) z podíky U(g) = S to využtí etody Lgrgeových ultplkátorů což vede k lzc fukcoálu K I(g) % p (U(g) % Z & S) kde p e Lgrgeův ultplkátor Z e poocá proěá Mlzce fukcoálu K vede ke kuckéu vyhlzuícíu sple což e pro záé p úloh hledáí řešeí soustvy leárích rovc s pětdgoálí tcí koefcetů Optálí p pro zdé S se hledá tertví řešeí eleárí rovce Newtoovou etodou Přesto že e teto lgortus 5 koplkověší e v prx rozšířeěší V progru Resche se vedle hodoty S zdáví váhy edotlvých odů w Pltí že ) čí e S větší tí více se vyhlzuící fukce g(x) líží k regresí příce ) čí sou váhy w větší tí více se vyhlzuící fukce g(x) líží k experetálí odů

28 8 Vol pretru vyhlzeí α Sosttý prolée e vol pretru vyhlzeí α pretru S s ohlede to y ve zvoleé sttstcké syslu vyhlzuící fukce g(x) co elépe proxovl experetálí dt Jsou-l vhodě vyráy váhy w ež odpovídí recproký hodotá rozptylů v edotlvých odech e ožo volt pretr S v tervlu ( % ) & ( % ) # S # ( % ) % ( % ) Doré výsledky poskytue vol S = + K určeí optálího pretru α e ečstě používá středí kvdrtcká chy predkce MEP(α) která e defová vzthe MEP(α) T(α) CEP(α) (y & g(x )) ( & H (x)) Místo krtér MEP(α) lze užít zoecěou středí kvdrtckou chyu predkce CEP(α) kde se hrzue H (α) středí hodotou H (α) Tr(H(α)) kde Tr() e stop tce Rovce pro MEP(α) pk přechází tvr CEP(α) (y & g(x )) ( & T(α)) Optálí pretr vyhlzeí α e pk tkový pro který ývá CEP(α) své álí hodoty S využtí této rovce lze krtéru CEP(α) vyádřt pouze ko fukc hodot {x y} = ve tvru (E & H(α)) y & Tr(H(α)) Postčue lézt pouze tce H(α) protože čttel v této rovc e rezduálí součet čtverců odchylek ê = y - g(x) který lze pro dý pretr vyhlzeí α sdo vyčíslt Efektví postup vyčísleí stopy tce E - H(α) e popsá v Hutchsoových de Hoogových 78 prcích Př ekvdsttí děleí odů ose x e ožo T(α) vyádřt ve tvru T(α) ( % αλ ) & Kostty λ lze s álí ztrátou přesost vypočítt ze vzthů λ λ 0 λ π 4 ( & 5) 4 h 3 3 4

29 Př zlost T(α) lze vypočítt CEP(α) vhodou uerckou etodou hledt eho 9 u Zoecěí tohoto postupu pro lovolé děleí odů ose x vrhl Slver Velč T(α) se zde určue podle vzthu T(α) % % π4 & 3 α ( & 5)4 c 0 kde kostt c 0 se počítá z přlžého vzorce c 0 ˆf /4 (t) dt &4 & 3 3 &4 ˆf /4 (x ( ) Zde ˆf(t) e odhd hustoty prvděpodoost určeý z hodot x = Postup lze forulovt ve dvou krocích: x ( ( & ) ( & 05) () Určí se hodoty % 3 Mezí hodoty 3 9 x & x & x x % x & x [ ] se počítí podle vzthů

30 30 () Vypočtou se odhdy hustoty prvděpodoost ˆf(x ( ) & x π exp & 05 Pretr určue hldkost odhdu hustoty prvděpodoost Pro prktcké přípdy -/5 postčue vol = 06 s kde s e sěrodtá odchylk počítá z hodot x = Uvedeý postup e sce přlžý le pro prktcké učely postčue Pretr c 0 ezávsí 9 α lze e určt pouze edou V Slverově prác e ukázáo že př volě T(α) vychází CEP(α) větší ež př použtí přesého vzthu rozdíl e všk výrzěší pouze pro 3 lé α V é Slverově prác e uvedeo k rozšířt teto přístup přípd 3 ekosttích vh w Využtí proxce prvků H (α) ve tvru x ( H (α) α &/4 &3/4 &3/ ˆf &3/4 (x ) e ožé kostruovt přlžé pásy spolehlvost predkce Pro 95% pásy spolehlvost pltí L (x ) g(x ) ± 96 ˆσ H (α) Tuto rovc lze použít pro kostrukc pásů spolehlvost pro lovolé x Vlstě to zeá vyčíslt pouze ˆf(x) Zývá eště lézt odhd rozptylu ˆσ Byl vrže vzth (y & g(x )) σ ( & T(α)) kde T(α) sou logcky ko u leárí regrese stupě volost odpovídící vyhlzuícíu sple Pro určeí ˆσ se doszue α ež lzue krtéru CEP(α) Velč T(α) se pk vyčíslí 95 Nepretrcká regrese Vyhlzuící sple e leárí kocí všech ěřeí Exstue tková váhová fukce G (x α x) pro kterou e g(x) y G α (x x ) Váhová fukce závsí kokrétích hodotách x pretru vyhlzeí α Předpokládee že lokálí hustot souřdc ose x e f(x) tkže počet odů v tervlu dx e f(x) dx Z předpokldu že α eí přílš velké přílš lé x e dosttečě 3 vzdáleé od koců tervlu [ ] pltí podle Slver že pro dosttečě velká e G α (x x ) f(x ) δ(x ) K x & x h(x ) Syole K(Z) e ozče tzv ádrová fukce která á pro teto přípd tvr

31 3 K(Z) exp &*Z* s *Z* Pretr δ(x ) určue lokálí vyhlzeí pltí pro ě vzth δ(x ) α /4 &/4 f &/4 (x ) % 4 π 3 Z tohoto zápsu vyhlzuícího sple plyou ásleduící důležté závěry : () Vlv odu {x y} se proevue pouze lokálí chováí vyhlzuící fukce g(x) pro dosttečě lízká x k hodotě x () Z posledí rovce pro δ(x ) plye že pretr δ(x ) e úěrý čtvrté odocě α Velké zěy α se proto přílš eproeví velkost lokálího vyhlzeí δ(x ) V dlší výkldu předpokládee že souřdce experetálích odů ose x sou leárě trsforováy tkže x = 0 x = dále pltí x + > x = - Pro ekvdsttě rozděleá dt se vyhlzuící epretrcký regresí odel vydřue ve tvru p(x) δ y K x & x δ Pro eekvdsttě rozděleá dt se používá odfkový vyhlzuící epretrcký regresí odel p(x) y x & x & δ K x & x δ kde ádrová fukce K(Z) usí ít tyto vlstost: () e ezáporá K(Z) $ 0 () e syetrcká kole uly K(Z) = K(-Z) (c) á vlstost hustoty prvděpoost t 4 K(Z) dz &4 4 K (Z) dz < 4 &4 Optálí K(Z) s ohlede lzc středí kvdrtcké chyy predkce e ve tvru K(Z) 075 ( & Z ) % kde ( - Z ) + e eulové e pro *Z* < Přehled dlších 3 druhů ádrových fukcí e uvede v prác Bedettové K určeí optálího pretru vyhlzeí δ ozčeého ko šířk pásu lze použít k krtér MEP tk krtér CEP eo 33 řdy dlších Pro odfkový vyhlzuící epretrcký regresí odel p(x) á krtéru středí kvdrtcké chyy predkce tvr MEP(δ) y % K(0) δ & δ K δ y % & p(x )

32 3 953 Číslcová fltrce Číslcová fltrce uožňue průěžou elc šuové složky ve zprcovávých sgálech V techcké prx se tková úloh vyskytue př dgtlzc údů ze zpsovčů u spektrofotoetrů chrotogrfckých přístroů polrogrfů td Vychází se z dt y ěřeých po ekvdsttích to oyčeě čsových eo délkových tervlech s = x - + x Uvžue se zde dtví odel ěřeí Z y Z ( % g * kde Z sou skutečé deterstcké hodoty g sou áhodé chyy Použtí číslcové * fltrce se získá sekvece fltrových hodot Z které "rekostruue" ezáé velčy Z : Leárí číslcový fltr e ožo oecě vyádřt ve tvru &4 c y & % d Z & kde kostty c d určuí typ fltru Pro erekurzví fltry pltí že všech d = 0 3 Pokud e lespoň edo d 0 de o fltr rekurzví Klscké dgtálí fltry které sou áhrdou logových fltrů sou fyzkálě relzovtelé Tyto fltry používí pro určeí fltrových hodot pouze hodot y - pro > 0 které yly získáy ž do dého čsového okžku x Pro tyto fltry e vždy c = 0 pro všech < 0 Pokud se př výpočtu fltrové hodoty používí "udoucí" úde y k = +k de o fyzkálě erelzovtelé fltry ozčové ko "soothers" Nerekurzví fltry () Z erekurzívích fltrů pro účely předzprcováí experetálích dt doporučue 34 Mret opkové použtí edoduchého Mretov fltru Z 4 (y & % y % y % ) () Doré vyhlzovcí vlstost á Hppeho fltr 35 Z & (y & % y % ) % 4(y & % y % ) % 6 y který yl využt pro předzprcováí chrotogrfckých ěřeí Rekurzví fltry Rekurzíví fltry se oyčeě používí k vyhlzováí čsových řd vstupů do číslcových regulátorů () Needodušší e expoecálí fltr Z Ky % ( & K) Z & kde K e stupeň zesíleí fltru 0 < K < () Mez rekurzíví ptří tké dvoustupňový Holtův fltr defový vzthy

33 33 Z Kq % ( & K) Z & q Ky % ( & K) q & kde K e kostt zesíleí Společou evýhodou rekurzívích fltrů e utost voly pretru zesíleí dlších kostt Roustí eleárí fltry Pro přípd kdy lze v dtech očekávt hrué eáhodé chyy (outlers) sou vhodé roustí eleárí fltry Jsou to vrty roustích vyhlzovcích 36 etod 37 () Mez eedodušší ptří eleárí fltry L-typu zložeé pohylvých edáech Medá S(v ) lchého stupě e defová vzthe S(v ) ed(y &u y y %u ) kde u = (v - )/ syol ed() ozčue střed podle velkost setříděých hodot y Užívá se edáu třetího stupě (v = 3) pátého stupě (v = 5) Medáy lchého stupě lze koovt s pohylvý rtetcký průěry () Jedoduchý fltr 53H e dá výrze Z S(5 &) 4 % S(5 &) % S(5 ) 4 K zštěí dokolešího vyhlzeí se edáy používí opkově (c) Z této skupy e eedodušší fltr 3T pro který e Z ed[s(3 &) S(3 &) S(3 )] 38 Dlší vrty pohylvých edáů oshue Velleovy práce N zákldě sulčí stude ylo zštěo že ez evhoděší ptří fltr 53H který e dosttečě roustí přto eposkytue "děrě" vyhlzeé úseky Leárí regresí fltry Swtzkého-Golye Pozorost e věová tké leárí 45 regresí fltrů Ty sou čsto užíváy př pod ázve vyhlzeí Swtzkého-Golye Tyto fltry sou fyzkálě erelzovtelé lze e vyádřt ve tvru Z N &N c y & kde hodot N ozčue řád fltru (N+) e délk fltru která určue počet ěřeých dt y - ež yl užt k rekostrukc hodoty Z Fltr stupě d odpovídá polyockéu regresíu odelu stupě d Pokud e d $ N pltí že exstue pouze ede fltr stupě d pro který pltí že c = osttí c = 0 To zeá že Z = y edochází poto k fltrc 0 k V těchto přípdech prochází polyocký odel vše hodot y Pro d < N exstue - ekoečě oho fltrů řádu N stupě d to v závslost kokrétích hodotách (N - d) stvtelých pretrů c k Z leárí regresí fltr pro krtéru eeších čtverců odchylek se ozčue tkový fltr kteréu odpovídá eeší součet čtverců koefcetů c = -N 0 N Výsledek

34 34 fltrce poocí tohoto fltru odpovídá postupu kdy e sekvece N+ odů { y - } = -N 0 N prolože polyoe stupě d ve syslu etody eeších čtverců z Z se ere hodot tohoto regresího polyou v ístě = 0 Teto postup se ozčue v ltertuře ko pohylvé eeší čtverce (ovg lest squres) Schetcky e pro d = (t regresí proly) N = (t délk fltru rov 5) zázorě or 93 Or 93 Prcp čost fltru stupě délky 5 Pro relzc číslcových fltrů lze přío použít etodu eeších čtverců odhdout koefcety regresího polyou lézt predkc (vyhlzeou hodotu) Z Postup e všk edodušší protože lze sdo určt koefcety c vzhlede ke specálí volě souřdc x Pokud e Z polyo stupě d chyy g sou steě rozděleé ezávslé áhodé velčy s ulovou středí hodotou kosttí rozptyle σ pltí v souldu s teorí leárí regrese že N E(Z ) Z ( D(Z ) σ Výsledky Z leárích regresích fltrů sou evychýleé odhdy s álí rozptyle Hodot Z odpovídá solutíu čleu regresího polyou 0 Z 0 % d k k k protože v ístě e = 0 Osttí koefcety k = d pk odpovídí hodotá k prví druhé ž d-té dervce děleé fktorále!! ž d! S ohlede specálí sekvec souřdc ezávsle proěé = -N 0 N pltí že &N N q 0 pro q u % kde u 0 &N Důsledke e že odhd 0 pro polyo stupě d e totožý s odhde 0 pro polyo stupě ( d + ) Regresí fltr sudého stupě e zároveň regresí fltre větší o ede 39 lchý stupeň Thrll ukázl že pro koefcety leárích regresích fltrů c = -N 0 c

35 35 d N stupě d pltí c α q q T Vektor α = (α α ) e dá řešeí soustvy q0 0 d rovc + ) s prvky H α e T kde e = ( 0 0) H e syetrcká tce rozěru (d + ) (d H k N &N %k 0 d Mez koefcety regresích fltrů pltí řd vzthů plyoucích přío z ech defce Tyto vzthy uožňuí sdou kotrolu ech správost Pro koefcety c fltru řádu N stupě d pltí že N pro q 0 q c &N 0 pro q d 40 V prác Broy Zegler sou podroě rozeráy vlstost regresích fltrů Je ukázáo že fltry sou optálí pro sgály které se dí hrdt délce fltru (N + ) Tylorový rozvoe do stupě d Stupeň vyhlzeí regresí fltre ude růst s délkou fltru (N + ) klest s růste stupě fltru d Př dosttečé délce fltru ízké stup d lze očekávt odstrěí hruších chy * V techcké prx se čsto fltrue sgál kde Z e ve tvru píku t ko součet gussovských eo lorezovských křvek Pro vyhlzeí se používá kvdrtckých eo kuckých fltrů kdy e d = Pro optálí vyhlzeí e tře y délk fltru F = (N + 4 ) yl eší ež šířk píku v polově x SPM Proctor Sherwood doporučuí volt F 07 SPM kde SPM e udáo v počtech odů užtých tuto vzdáleost Frk 44 všk doporučue volt délku fltru F př fltrc píku podle vzthu F A PM kde = x - x e skutečá vzdáleost ez fltrový hodot PM e šířk píku + v polově x v edotkách x Pro gussovské píky se doporučue A pro loretzovské A 07 Or 933 Určeí délky fltru př fltrc píku

36 36 Detlí lýz výěru vhodé délky fltru pro růzé stupě regresích fltrů e uvede 40 v prác Broy Zegler Př kostrukc regresích fltrů postčue pro zdá N d určt koefcety c = -N 0 N Prolée e že tce H e pro větší d šptě podíěá Plye že vektor c koefcetů regresího fltru lze sdo určt zákldě koefcetů α specálího regresího polyockého odelu 39 c δ α 0 % d k f k α k % g kde δ = pro = 0 δ = 0 pro 0 Fukce f = Soustv rovc e pk soustvou orálích rovc ze které e α H & e (F T F) & F T δ (3 N % 3 N & ) & 5 ( N & ) ( N % ) ( N % 3) / 3 kde tce F o rozěru (N + ) (d + ) á prvky F = pro = -N N = 0 d Místo proěých e výhoděší použít ortogoálích polyoů pro dé děleí -N 0 N Thrll 39 hrdl pro velká N tyto polyoy Legedrový polyoy odvodl vzthy pro koefcety regresího fltru stupě d Pro kucké kvdrtcké regresí fltry (d = resp 44 3) lze počítt c v závslost velkost N podle vzthu eo přlžě podle Thrllov vzthu 39 c N % & 5 4 N % 9 4 Pro d = 4 resp 5 t regresí fltr čtvrtého pátého stupě e ožo použít vzth 44 c (5N 4 %30N 3 &35N &50N%)&35(N %N&3) %63 4 4(N&3)(N&)(N%)(N%3)(N%5)/5 Regresí fltry lze použít tké pro získáváí vyhlzeých hodot dervcí Koefcety kuckého fltru pro prví dervc í tvr c 5[5(3N 4 %6N 3 &3N%)&7(3N %3N&) 3 ] (N%3)(N%)(N&)(N%)(N%)N(N&) Alytcké vzthy pro přípd d = 6 7 prví ž páté dervce sou uvedey v prác 4 Mdde Regresí fltry euožňuí fltrc prvích N posledích N odů To e ovše př vyhlzováí ešího počtu dt evýhodé Oyčeě všk postčue počítt hodoty prvích posledích N odů zákldě regresích polyoů pro prvích posledích (N + ) odů Doszuí se oecě = 0 Pro přípd kvdrtckého regresího fltru yl 4 odvoze pro výpočet Z() v tervlu -N # # N vzth

37 37 Z(k) N y &N 5(3 &N(N%))k %(N&)N%3)k % N(4N &)(N%3)(N%)/3 % N(N%)[3N(N%)&&5 ] N(4N &)(N%3)(N%)/3 Pro prvích N posledích N odů se počítí hodoty Z(k) pro růzá k t od -N do 0 od 0 do N Osttí ody se vyhlzuí dle cetrálí forule Z(0) = Z Dervcí této rovce dle k se získá závslost pro určeí prvích dervcí Postup využívící této rovce se ozčue vyhlzeí poocí klouzvých prol Př o-le dgtálí fltrc s využtí edoduchých progrovtelých prostředků e vhodé použít fltrů rekurzvích Oecý postup kostrukce rekurzvích regresích fltrů 43 z regresích fltrů erekurzvích e popsá v prác Broy Zegler Příklde rekurzví verze regresího fltru pro d = tzv kvdrtckého fltru o délce fltru 5 t N = 7 e vzth Z Z &3 & 3(Z & & Z & ) & (y %7 & y &0 ) % % 05 (y %6 & y &9 ) & (y %5 & y &8 ) Regresí fltry lze kostruovt poěrě edoduše to s ohlede použtý výpočetí 45 prostředek V ltertuře se většou vychází z původí práce Svtzkého Golye která všk oshue chyy v uercky vyčísleých koefcetech c S proletkou regresích fltrů úzce souvsí techky pohylvých eeších čtverců eo pohylvé regrese kdy se regresí odely určuí lokálě pouze z forcí o sousedích odech vyhlzového odu {x y } Tyto techky se používí př hledáí tredů v rozptylových grfech eo 46 grfech rezduí 96 Postup př terpolc proxc V prví fáz e tře rozhodout o to zd de o úlohu terpolce č proxce Pro terpolc pltí že hodoty y sou eáhodé velčy proxuící fukce prochází vše zdý ody V přípdě proxce sou hodoty y ose x ztížey áhodý chy eo epřesé účele e lezeí proxuící fukce která e potlčue: Postup terpolce proxce Iterpolce fukcí: podle poždvků shodu zdé proxuící fukce lze volt uď klsckou polyockou eo Hertovskou terpolc Polohy uzlů terpolce e vhodé volt podle forule Pro lovolé děleí uzlů terpolce e výhoděší použtí sple terpolce defektu k = (poždvky shodu ve fukčích hodotách) eo defektu k = (poždvky tké shodu v prvích dervcích) Iterpolce závslostí: pro teto přípd se doporučue použtí sple terpolce vhodého stupě (defektu k = ) tk y yly splěy podíky spotost ve fukčích