6 TEORIE NELINEÁRNÍHO ÍZENÍ

Transkript

1 6 TEORIE NELINEÁRNÍHO ÍZENÍ 6. Nliárí sstém Liárí sstém ízí jso popsá liárími dirciálími rovicmi. Tto sstém dovdm pom r jdod it, al v skt osti jso j r ito aproimací, bo kadý zikálí sstém j v podstat liárí. Mohé liárí sstém j vak moo v r ité oblasti a za r itých podmík vt ovat jako liárí s dostat o psostí. Al í to moé vch sstém. Proto s msím také számit alspo s základ tori pro vt ováí liárích sstém. S liárostí a liárostí prvk sstém i sstém samých jsm s ji számili v kapitol.: Statické a damické vlastosti rgla ích l. P ipom m: J-li statická charaktristika rgla ího l bo obc prvk sstém p ímka, jdá s o liárí l i prvk sstém. Ní-li p ímka, jdá s o liárí l. Liárí sstém má vch prvk liárí; jd liárí prvk zamá liárost clého sstém. Nliárí sstém j sobor jdotlivých prvk, z ich alspo jd j liárí. Nliárí rgla í obvod j takový, kd alspo jd z jho prvk j liárí. tia rgla ích l má liárí staticko charaktristik. Ovm ktré z ich j moo vaovat jako podstat liárí a jié slab liárí. P i matmatickém rozbor s slab liárí charaktristik ahrazjí p ímkami a l s í jako liárí l. Praktick vkazjí l p i takovéto áhrad odchlk od liárích l. Za podstat liárí charaktristik pokládám takovo, ktro lz matmatick popsat v clém rozsah zm vstpí vli i jdo rovicí p ímk. Taková charaktristika m poz sstávat z dvo abo víc pímkových úsk. Eistj jt jda zvlátost ktrých liárích charaktristik jdoza á závislost výstpí vli i a vstpí. ascí pásmo citlivosti hstrz rlé Obr. 6. Statické charaktristik liárích rgla ích l moho být b k ivk s obcým pr b hm abo s vsktjí v tvar tzv. tpických liarit (vlmi astý p ípad). Tpické liarit jso zázor a obr. 6. to jso základí tpické liarit a a obr. 6. to jso kombiac t chto základích tpických liarit. ascí + + pásmo citlivosti Obr. 6. rlé + + pásmo citlivosti rlé +pásmo citlivosti+ hstréz 6

2 liárích obvodch platí pricip sprposic. Z toho dvod m být alza odzva a libovolý vstpí sigál jako sma rakcí a poslopost skok bo impls. Odzva liárího obvod a skokovo zm jj charaktrizj, bo í závislá a vlikosti skok. Násldkm platosti pricip sprpozic j také poitlost trapolac. Zámé chováí liárího obvod p i daém jdotkovém skok dovolj dlat záv r o charaktr rakc a skok v tí i mí vlikosti. Dokoc ktrých liárích obvod m zm a vlikosti vstpího skok zm it stabilí p chodový d j v stabilí bo aopak. Frkv í mtod, ktré bl vvit pro liárí sstém jso pro liárí sstém poitlé. J-li toti a vstp sisová i obc harmoická kc, í sisová kc a výstp. Tím í moo poít rkv ího pos, ktrý pro liárí sstém p dpokládá sisové vstpí i výstpí kmit. A rkv í pos j východiskm vch rkv ích mtod, po íaj rkv ími charaktristikami. U liárích sstém lz poít Laplacov trasormac, lz zavést pojm p os, a tím s výpo t liárích obvod stává dalko sloit jí, bl výpo t liárích obvod. Pro í liárích obvod istj ai ivrsálí mtoda, ai zcla p sá mtoda. Pro jjich í istj víc mtod, z ich kadá j vhodá pro jiý tp obvod, pro jio liarit a pro r zé cíl výpo t. ch mtod jso p iblié, jjich p sost závisí a vlikosti krok výpo t, délc volých itrval, Obc m m rozd lit mtod í liárích obvod a mrické, simla í a graické i graicko-aaltické. Nmrické mtod jso v podstat mrické mtod í dirciálích rovic. matmatic istj clá ada mrických mtod pro í dirciálích rovic, ktré s zhrba dají rozd lit a jdokrokové a víckrokové (jdokrokové po ítají k í hodot v daém bod z jdé p dcházjící, víckrokové z kolika p dcházjících k ích hodot). U t chto mtod j zcla lhostjé, jstli s jdá o liárí i liárí dirciálí rovic. Ds istj clá ada sotwarových prodkt, ktré mo jí í dirciálích rovic. Uivatl msí v bc ovládat mrické mtod pro í dirciálích rovic, pokd j tímto sotwar vbav. Co vak m t msí, jso základ í liárích rgla ích sstém, ab pochopil zvlátosti, ktré s liárích sstém vsktjí a ktré mají ádo aalogii sstém liárích. Nvýhodo mrických mtod j skt ost, dávají í poz pro jd paramtr a jd po át í podmík a mo jí clkový p hld o tom, pro ktré paramtr j obvod stabilí a pro ktré stabilí a pro s kd chová tak a jid práv opa. Simla í mtod mají sv j základ také v mrickém í dirciálích rovic, al pracjí tpick simla ím zp sobm a po íta i. Na po íta i s sstavj simla í modl rgla ího obvod z blok p íslého simla ího jazka, a jho vstp s p ivádí vstpí kc a sldj odzva. Njzám jím simla ím jazkm pro modlováí rgla ích sstém j prodkt MATLAB a jho simla í dopl k SIMULINK pls tzv. toolbo pro ízí, idtiikaci atd., ktré jso poívá v clém sv t. Tto program jso samoz jm jak pro liárí, tak i pro liárí sstém a také pro zz ízí a pro moho dalích aplikací. O ich bd jt mlvo v dalím. Základm graických mtod j mtoda stavové rovi. Má sic dostatk v tom, j poitlá poz pro obvod drhého ád (p jdm-li do prostor, p jd v mtod stavového prostor, mo jící it obvod ttího ád). Al výsldk í dávají clkový obraz 6

3 chováí sstém a m m j obdrt pro clo ad po át ích podmík, pro r zé vstpí kc, pro r zé liarit i paramtr liarit. Základm mtod j graické í liárí rovic prvího ád. t j vlastosti obvod v tzv. stavové rovi, jjími so adicmi jso vt ovaá vli ia (j ast ji rglovaá) a jjí drivac. ýsldk s dají rozí it i a obvod vích ád j drhý. Mzi graické i graicko-aaltické mtod m m za adit i rkv í mtod í liárích sstém, p dvím mtod kvivaltího p os. Tato mtoda rozi j poití rkv ích charaktristik i a liárí sstém. Ekvivaltí pos pdpokládá liarizaci v rkv í oblasti. Dostam ho za p dpoklad, vstpí vli ia liárího l j sisová a výstpí m být ahraza prví harmoicko rozklad v Forirov ad. P i poití mtod kvivaltího p os s vívá liárích rkv ích mtod, al v jjich poití jso ktré zvlátosti. Nzastpitlé místo má mtoda kvivaltího p os p i vt ováí atooscilací v liárích obvodch. 6. Mtoda stavové rovi 6.. Základí vztah mtod Kdbchom m li liárí sstém o p os ízí podl (.) a rovici ízí (.) a G w Y s s W s t... a bm s a s t m... b s b... a s a a t b w t b w ( ) ( m) m... t b w t bla b to rovic bzého sstém, kd vstp j samoz jm ídicí vli ia w. Kdbchom ji poloili rov l, dostam rovici atoomího liárího sstém ( ) a t... a t a t (6.) Zd jso koicit a, a, a kostatími koicit. Bdo-li al místo t chto koicit kc, ap. t t t t t t dostam rovici atoomího liárího sstém atoomího liárího rgla ího obvod. Nliárí obvod vajm vsm s atoomí s lovo bdící kcí a bzí pak ahrazjm ktro lovo po át í podmíko. matmatic s p vádí liárí dirciálí rovic (6.) sbstitcí a sostav dirciálích rovic prvého ád (6.) 6

4 ... (6.) a a Tto sbstitci lz také chápat jako zavdí stavových vli i. Prví stavová vli ia j výstpí vli ia sstém, dalí stavové vli i,,, jso drivac výstpí vli i,,. Tímto jsm p vdli liárí dirciálí rovici atoomího obvod (6.) -tého ád, kd a, a, a jso kc, a dirciálích rovic prvého ád. Této sostav lz p i adit jdodcho gomtricko itrprtaci. Prom é,, M [,, ] zastpjící bod bdm povaovat za so adic tzv. zastpjícího bod M v rozm rém prostor. Kadém bod tohoto prostor odpovídá r itý stav sstém. Proto s tto prostor azývá M[,, ] stavový prostor. Prom é,, mají v kadém asovém okamik r ité hodot a r jí td poloh zastpjícího bod M v kadém asovém okamik obr. stavová 6.. Podl toho, jak s prom é s asm m í, m í s i trajktori poloha zastpjícího bod. Kivka, ktro pitom bod opisj, s azývá stavová trajktori. Obr. 6. Stavový prostor Stavovo trajktorií rozmím k ivk v stavovém prostor, ktrá spojj vch bod [,, ], jimi sstém postp p i svém pohb prochází. as sstém s v této itrprtaci stává závisl prom o paramtrického vjád í stavové trajktori. P jdm-li z rozm rého stavového prostor do = -rozm rého prostor, p jdm do stavové rovi. Rovic (6.) p jd do jdodché rovic ktrá s j ast ji vsktj v tvar a a... a a a t a t a (6.4) t g (6.5) kd (), g( ) jso liárí kc prom ých a. Toto rovicí jd popsat vlmi moho liárích sstém, a proto ji bdm povaovat za výchozí rovici pro dmostraci mtod stavové rovi. Zd raz m, v této rovici í plicit vjád as. Sbstitci zavdm podl (6.) a toto sbstitcí p vdm rovici (6.6) a sostav rovic prvího ád d d g a pod lím drhé rovic prví dostam d d g (6.6) (6.7) (6.8) 64

5 Obr. 6.4 M Stavová trajktori Toto j rovic stavové trajktori v dirciálím tvar. Kdbchom ji dovdli v it, získali bchom skt o rovici k ivk v stavové rovi a toto kivko b bla stavová trajktori. Rovic (6.8) í sic obc aaltick itlá, lz al poitím ktrých graických kostrkcí jjí í získat a tímto ím j práv stavová trajktori. Podl obr. 6.4 j stavová trajktori kivka v stavové rovi. Jak sovisí stavová trajktori s ím p vodí rovic (6.5)? Clý postp í rovic (6.5) j a obr liárí sstém. ád rovic: g asový pr b h rglovaé vli i (t): p ímé í í moé t p vod do asové domé: sbstitc: stavová trajktori: sostava rovic. ád: d d g graické kostrkc dirciálí tvar rovic stavové trajktori: d d g moost posozí stabilit Obr. 6.5 Postpp i í liárího sstém mtodo stavové rovi Proto í moé p ímé aaltické ai graické í výchozí liárí dirciálí rovic drhého ád (6.5), p vdm tto rovicí sbstitcí (6.6) a sostav dirciálích rovic prvího ád (6.7). T bývají základm mrického í sstém. Pi í mtodo stavové rovi pvdm tto sostav a jd dirciálí rovici prvého ád (6.8). Tto rovici dovdm it graick a to tak, graickými kostrkcmi akrslím jjí í a to j práv stavová trajktori. Ta j ovm v so adicích, ili v stavové rovi. Stavová trajktori ám sic moí r it stabilit daého liárího sstém, al to j v tio málo. Obvkl chcm í v tvar asového pr b h rglovaé vli i (t), ktré j moé z stavové trajktori získat. Tímto problémm s zabývají mtod vjád í as v stavové rovi. 6.. Kostrkc stavové trajktori a) Mtoda izoklí Mtodo izoklí m m obc it liárí dirciálí rovic prvího ád, (6.9) Toto rovicí j r o, libovolém bod [,] j p i aza sm ric, tj. sm ric t k í rovic (6.9), kdb toto í daým bodm [,] procházlo. 65

6 Podl mtod izoklí volím postp za kostat,, a v rovi akrslím k ivk i, (6.) podl obr Tto k ivk azývám izoklíami, bo jso to gomtrická místa bod o stjé sm rici (k í daé dirciálí rovic). Kadé í rovic (6.9) td partiklárí í ktré prochází ktrým bodm izoklí, msí mít v tomto bod sm rici, ktrá odpovídá daé izoklí a j a í vza a krátkými úsk. Proto a kado izoklí akrslím krátké úsk o daé sm rici d i (6.) d d 4 d (j-li ap. i =, j sm ric vda pod úhlm, d kd tg, a td arctg 6, 5. d A D Mám-li sstrojit í rovic (6.9), B procházjící bodm A r ým po át í podmíko, C postpjm ásldov : bodm A vdm rovob k s jblií sm ricí (a jblií Obr. 6.6 izoklí ) a to a do bod B, ktrý lí prost d mzi dv ma izoklíami. Z tohoto bod vdm rovob k s sm ricí odpovídající dalí izoklí atd. Jso-li izoklí dostat hsté, j lomá ára ahraditlá pllo k ivko a ta j partiklárím ím dirciálí rovic (6.9). Aplikjm í tto matmaticko mtod izoklí a í rovic (6.8) d d J z jmé, í provádím v so adicích, tj. v stavové rovi. Za drivaci pokládám postp kostat, g,, a krslím izoklí o rovici Po át ím bodm sstrojjm popsaým zp sobm trajktori. P íklad 6.: t liárí rgla í obvod podl obr. 6.7, kd dvopolohovým rglátorm tp idálí rlé rgljm itgra í rglovao sostav. Sstrojt odzv rglovaé vli i a jdotkový skok ídicí vli i a vstp obvod. í: rovici Z p os rglovaé sostav získám jjí,5, 5 g d d i (6.) í rovic (6.8) a to j stavová G S s s,5,5s - Obr. 6.7 Z vztah = w vplývá = w, co dosadím do rovic sostav, abchom získali rovici rgla ího obvod (rovici d lím hodoto,5) w 66

7 w, 8 Proto j w(t) =, j w = w = a td, 8 Zavdím sbstitc =, = dostam rovic,8 a jjich pod lím dostam rovici stavové trajktori v dirciálím tvar d d, 8 Ak í vli ia j = pro ( ili ) a = - pro ( ili ). Tím pádm s rovic stavové trajktori rozpad a dv rovic : : d d d d,8,8 ím samostat v pravé a lvé polovi stavové rovi. Izoklí jso polop ímk rovob é s oso a clá kostrkc stavové trajktori j a obr. 6.8 pro po át í bod [;] (podl zadáí ím odzv a jdotkový skok ídicí vli i w a proto msí být rgla í odchlka () = () = a () = () = j to vid t z obr. 6.8). Zjistím, k ivka, kd rglátor p píá j osa (p píací k ivka). Na í dochází vd k ostrém zlom stavové trajktori. w d d d d,8,8 = =5 = =- -,6 -,4 -, =- =-5 = =- =, =-,4 =-,,8,6,4,,,4,6,8 -, -,4 -,6 -,8 - -, -,4 p píací k ivka =- =-5 =- =,6 =,8 = =, = = =5 = Obr. 6.8 =-,8,6,4, -, -,4 -,6 t [s] 4 67

8 asový pr b h rgla í odchlk (t) lz zkostrovat mtodami, ktré bdo vd v dalí kapitol, al a obr. 6.8 ji tto pr b h j. Zám-li pr b h (t) j sadé získat pr b h rglovaé vli i (t) podl vztah = w = proto jsm sstrojovali odzv a jdotkový skok ídicí vli i w(t). Pr b h (t) j rov sstroj a obr b) Mtoda pomocých k ivk Rovici izoklí lz vd tak jdod vjád it jako v p dchozím p íklad. Zjméa jstli jso kc g( ) a () sloité abo jso dá primtál získaými charaktristikami. Pak j pro kostrkci stavové trajktori výhodý ásldjící graický zp sob. Jho výhoda spo ívá také v tom, msím krslit clé pol izoklí jako mtod izoklí, al v podstat krslím jom t izoklí, kd stavová trajktori prochází. Mtoda izoklí ám kázala, liárím sstém popsaém rovicí (6.8) m m v stavové rovi sstrojit pol izoklí. kadém bod stavové rovi td istj sm ric k stavové trajktorii, kdb td stavová trajktori (p i vhodé po át í podmíc) procházla. Mtoda pomocých k ivk j práv m toda, ktrá ám tto sm rici v libovolé bod stavovérovi mo j sstrojit. stavové rovi sstro jím dv pomocé k ivk o rovicích g (6.) kd kc g( ) a ( ) vzmm z itatl pravé stra rovic (6.8). Sm rici stavové trajktori v libovolém bod [ ; ] stavové rovi pak sstrojím takto obr. 6.9: [, ] =-g( ) A a B C a Obr. 6.9 =( ) Daým bodm vdm rovob k s so adými osami,. Po adici a = ( ) asm od os a rovob k s oso a dostam bod A. Z pr s ík této rovob k s pomoco k ivko g, oza ím ho jako bod B, spstím kolmici a os oza ím jako bod C. Kolmic k spojici AC pak dává sm rici stavové trajktori v daém bod [ ; ]. Správost kostrkc vpl z vztah tg g g kd tg j sm ric stavové trajktori a ta odpovídá rovici (6.8). Zaméko sm ric j kladé proto, pro pípad a obrázk 6.9 j ( ), g( ). Liard kázal výhod této mtod pro pípad, kd v rovici (6.5) j () liárí kcí, co bývá pom r asto. Tto rovici pak zámo sbstitcí p vdm a tvar 68

9 =-g( ) a = =-g( ) d d g (6.4) m úloh sstrojit stavovo trajktorii obvod popsaého rovicí (6.5) a vhovjící po át í podmíc, zobrazé bodm A v stavové rovi. Sstrojím pomocé Obr. 6. k ivk o rovicích (6.). pípad, () j liárí kc, drho k ivk krslím. bod A sstrojím sm rici stavové trajktori (obco mtodo bo Liardovo kostrkcí). blízkém bod a této sm rici (oza m ho B) zov sstrojm sm rici stavové trajktori. Na i zvolm blízký =-g( ) bod (oza m ho C) a v m Jstli bod A, B, C, B volím dostat blízko sb, j obálka sm ric v t chto B C C bodch stavová trajktori obr. 6.. A A N kd j výhodé, zvlát j-li () liárí kc, ahrazovat sm ric krhovými oblok, jak j to aza o a obr.6.. Stavová trajktori s skládá B C A z krátkých krhových oblo k, opisovaých z bod A, B, jako st d, p ímo v bodch A, B, Bod A, B, Obr. 6. vak jso st d kivosti, mtoda j j pibliá a jjí p sost op t závisí a hstot bod. P íklad 6.: Rgla í obvod podl obr. 6. s skládá zliárího rglátor daého staticko charaktristiko tp ascí a z liárí rglovaé sostav daé p osm G S (s). Nakrslt stavovo trajktorii tohoto obvod pro po át í podmík () =,8 a () =. Rovic rglátor j dáa liárí kcí, r o staticko charaktristiko Bdm-li aplikovat vdo mtod sstrojí sm ric stavové trajktori a tto p ípad zjistím, a pomocá kivka j zd p ímko jdocí po átkm pod Obr. 6. úhlm 45. Kostrkc sm ric s zd rdkj a sstrojí pravoúhlého trojúhlík a pímk í v bc zapot bí sstrojovat. Uvdá kostrkc pro liárí kc () s azývá Liardovo kostrkcí. Ní dovdm sstrojit v libovolém bod stavové =-g( ) = ( ) rovi sm rici k stavové trajktorii (b obco mtodo B D bo Liardovo kostrkcí). Jak í sstrojit stavovo C trajktorii? A í: p os a proto j Rovici rglovaé sostav získám z jjího,, G S s, s s, Obr. 6. w= 69

10 =-g( ) -,4,4, -, -, -,4 Obr. 6.4 =,( ),,4,6,8 Jliko j statická charaktristika licho kcí, j () = -(-) a rovic má tvar, Proto tto obvod í bz (w = ) j = w = - a dosazím tohoto vztah obvod vlast zavírám. Rovic zav ého rgla ího obvod j td, Zavdím sbstitc =, = p vdm tto rovici a tvar, jjí hodot spo ítám jako k í hodot daé kc D(, ) v bod P. Rovic (6.5) pak má tvar (6.7) d d K obvod, daém toto rovicí, bdm sstrojovat stavovo trajktorii mtodo pomocých kivk. Nlz poít Liardov kostrkc, po vad,.() í liárí kcí. Stavová trajktori pro po át í podmík () =,8 a () = j zkostrováa a obr c) Mtoda p vést a tvar Mtoda p dpokládá, lz rovici (6.5) g D Fkc D(, ) j obcá liárí kc prom ých,. Pro blízké okolí zvolého bod P ji ahradím kostato D, (6.6) Zavdím sbstitc =, = p vdm tto rovici a tvar, (6.5) d d (6.8) To, jak blo o, j dirciálí tvar rovic stavové trajktori a p ímo dává jjí sm rici. P dchozí mtodo pomocých k ivk jsm dovdli tto P [, ] sm rici v libovolém bod stavové trajktori sstrojit. 9 + A toto j také cíl mtod. Kostrkc clé stavové trajktori pak bd stjá jako mtod pomocých k ivk. Q R Na obr. 6.5 j zp sob sstrojí sm ric v obcém bod P stavové rovi. Tato sm ric j vjád a pomocí výraz, ktrý j spo ítá v výpo tovém bod P [, ]. Na os j ralizová Obr

11 výraz + tak, za p dpoklad j a opa o stra jak as úsk. Dostávám tak bod Q, a jho spojici QP j práv kolmá hldaá sm ric. Správost kostrkc dokám výpo tm sm ric pímk, ktro vdávám za sm rici stavové trajktori: tg 9 tg (6.9) a to j podl rovic (6.8) skt sm ric stavové trajktori. a itgrovat P dpokládám-li pro jblií okolí bod P kostatí, lz rovici (6.8) pravit pro po át í podmík,. d d r (6.) To j rovic kric o polom r r = QP a st d Q [-, ]. Stavovo trajktorii sstrojím z krátkých krhových oblok tak, za m z daého po át ího bod. Ur ím hodot a z st d [-, ] opím krátký oblo k. Na m zvolím dalí blízký bod a k m r ím zov, opím dalí oblo k a tak postpjm dál a postp sstrojjm stavovo trajktorii. ýhodo této mtod j to, oblok o st d [-, ] jso skt oskla í kric. P íklad 6.: Sstrojt stavovo trajktorii liárího rgla ího obvod popsaého dirciálí rovicí,,58 í: Rovici pravím a tvar (6.5),,58 Fkci D,,,58 pokládám vd pro kadý výpo tový bod za kostat. Ta j po zavdí prom ých,, -,5, 58 Kostrkc stavové trajktori j a obr. 6.6 a to pro po át í podmík,. ýpo t pro prvích st výpo tových bod j v tablc tab.6..,5,5 - -,5,5,5 - Obr ,,,66,4,8,6,6,5,8 Tab ,,8, 5,,94, 6,,68,5 ýpo t 7

12 6.. jád í as v stavové rovi Paramtr sstém s m í v as, po íaj asm t =. Uvajm-li jako sstém rgla í obvod, m í s v as jho jdotlivé vli i, ás obvkl jvíc zajímá, jak s mí s asm rglovaá vli ia. U liárího sstém, ktrý ím mtodo stavové rovi a sstrojjm stavovo trajktorii ám chbí údaj o as, v ktrém s sstém popisovaý poloho zastpjícího bod a stavové trajktorii achází obr Poz j jasý po át í bod, d j za íá v as t =.Jak vjád ím as t, v ktrémpjd obvod z bod A do bod B a stavové trajktorii? jd m z sbstitc (6.6) t= ; odkd m m vjád it d (6.) a jstli chcm vjád it as, dostam jd ív d (6.) a potom itgrací t B t A Tato rovic dává p ír stk as t v daém itrval, kd j st dí hodota a tomto itrval, jak j aza o a obr S toto mtodo s dá pom r jdod stavová trajktori okótovat asm. Pokd s ám poda í okótovat stavovo trajktorii asm, í problém ji p vést a asový pr b h rglovaé vli i. Sta í si v domit, so adic stavové rovi jso vlast, rglovaá vli ia a jjí drivac. To ám íká sbstitc (6.6). A s tímto pozáím í ádý problém p vést stavovo trajktorii, kd j vza as, do asového pr b h (t) obr A j dobré si jasit pr b h as v stavové rovi. P ipom m, gomtrická itrprtac stavové trajktori j pohb zastpjícího bod v této rovi. Zastpjící bod zd zastpj sstém rspktiv jho stav. B A d (6.) Podl tohoto vztah bchom mohli spo ítat as, v ktrém p jd sstém z bod A do bod B. Graick b to zamalo sstrojit kivk pvraté hodot v závislosti a a plaimtrick r it ploch pod toto k ivko z A do B. To j spí tortická variata praktická. N kd s v vztah (6.) p jd od hodot ko malým - - t= t= t Obr. 6.8 = t= t [s] Obr. 6.9 = t= t A t= t A =? B Obr. 6.7 t B =? t C =? C malých k hodotám ko (6.4) 7

13 J al moé a v prai vlmi poívaé p vést a asový pr b h rglovaé vli i stavovo trajktorii, ktrá í okótovaá asm (úloha a obr. 6.9 bla p r a hodot jsm v bc poívali). Poijm k tom mtod, ktrá b s také dala azvat mtodo izoklí, proto tam op t bdo vstpovat gomtrická místa bod o kostatí sm rici. tomto p ípad to al bd sm ric asového pr b h (t) a ikoli sm ric stavové trajktori. Ab s to pltlo spdcházjící mtodo izoklí, tak zd rad ji tto ázv poívjm. jdm z skt osti, kadý bod stavové trajktori j dá hodotami a boli a. P i p vád í z stavové rovi do so adic t bdm sic zát hodot t a jako a obr. 6.9 (s výjimko t = ), al bdm zát hodot a. Pro volé hodot si a vodorovo p ímk (to j izoklía!) krátkými úsk vza ím sm rici, odpovídající ( =d/d= / ). Pak za íám v bod t = aprokládám k ivk (t) tak, ab stál bl jjí sm r shodý s sm ricmi. Postp bd lép patrý z p íklad 6.4. P íklad 6.4: Sstrojt stavovo trajktorii liárího sstém, ktrým j liárí rgla í obvodorovici,5,5 - =, í: Sbstitcí (6.5) p vdm rovici obvod a rovici stavové trajktori d d,5, = 5 t [s] = pro po át í podmík dao bodm [-; ]. Tto Obr. 6. trajktorii sstrojt mtodo graické kostrkc s pomocými kivkami. Potom pv t sstrojo stavovo trajktorii a asový pr b h rglovaé vli i. Pomocé k ivk bdo mít rovic,5 Msím poít obco mtod, lz poít Liardov kostrkc. ýsldá stavová trajktori pro daé po át í podmík j a obr. 6.. Aa tomto obrázk j také vda plá kostrkc asového pr b h rglovaé vli i podl vdé mtod. K as v stavové rovi si jt km, sm r stavové trajktori j moý poz v sm r r i k hodiových a ikd aopak. J to proto, v horí polovi stavové rovi j podl rovic (6.) d, a proto má stavová trajktori sm r zlva doprava, bo zv tovat. Naopak v dolí polovi j s rostocím asm s msí 7

14 a stavová trajktori má sm r zprava dolva. d Podob j moo kostatovat, v okamik, kd stavová trajktori prochází oso, msí ji procházt kolmo, sm ric msí být kolmá a os, proto a os j = a tdí 6.. Siglárí bod d g g d jd m z rovic liárího obvod drhého ád (6.5) z í dostam rovici stavové trajktori (6.8) v dirciálím tvar d g d P ipom m si graické í této rovic mtodo izoklí. Drivaci a lvé stra rovic jsm poloili rov kostat i arovic bla rovicí izoklí. Prorzá i jsm dostali clo ad izoklí a a ich bla vd vza a sm ric, ktrá platila a clé izoklí. Tak jsm mohli kostatovat, kadém bod stavové rovi j pi aza jda r itá sm ric. Samoz jm mslím sm ric k stavové trajktorii, kdb ta daým bodm procházla za daých po át ích podmík. g Ní tom tak p s. Eistjí bod, v ktrých istj ádá sm ric a bod, v ktrých j sm ric ko moho. Jso to takové bod, kd j itatl i jmovatl v rovici (6.8) so as rov l g (6.5) Takovýchto bod m mít sstém ko ý i ko ý po t, m mít jd takový bod abo i ádý. t chto bodch í jdoza diováa hodota sm ric d /d k stavové trajktorii, a tím pádm m tímto bodm procházt ko moho trajktorií abo ádá trajktori. Tto bod s azývají siglárí bod sstém. okolí siglárích bod jso moé jr z jí p ípad, pokd s tý istc a jdoza osti í a tvar stavových trajktorií. Z hldiska pozd jího vt ováí stabilit sstém a chováí sstém mají tto bod vlmi d litý výzam. Siglárí bod, odpovídající sstém popsaém rovicí (6.5) a tím pádm i (6.8) msí samoz jm lt a rálé os, po vad pro platí =. Ovm pro obcý liárí sstém drhého ád tom tak í a siglárí bod moho lt obc i mimo rálo os. Rovici (6.8) jsm získali pod lím obo rovic v sostav rovic (6.7) d d a to zamá, v siglárích bodch bd so as také g 74

15 d ; d (6.6) To zamá, jso v m rchlosti zm v jdotlivých osách lové sstém j v rovováém stav. siglárích bodch jso spl podmík rovováh sstém. Bd ovm zált a tom, zdali stavová trajktori má sm r do siglárího bod v tom p ípad bd tto rovováý stav stabilí a sstém s bd chovat v okolí tohoto rovováého stav jako stabilí sstém. Abo bd mít stavová trajktori sm r od siglárího bod a v tom p ípad s bd jdat o stabilí rovováý stav a stabilí sstém v okolí tohoto siglárího bod. Na toto avám v kapitol o stabilit liárích sstém. Siglárí bod jso td takové, kd í r a sm ric stavové trajktori. zl (stabilí) zl (stabilí) zl (stabilí) zl (stabilí) sdlo st d ohisko ohisko (vd (stabilí) (stabilí) stabilí) Obr. 6. Nprochází jím jda, al v tio ko é moství stavových trajktorií. Podl pr b h stavových trajktorií siglárím bodm s azývají siglárí bod zl, sdlo, st d a ohisko. Ohisko m m diovat jako siglárí bod, k ktrém sm jí spirálí trajktori (bo s od ho vzdaljí), zl jako bod, k ktrém sm jí asmptotické ár, sdlo, kolm ho jso hprbolické trajktori, ktré jím procházjí a st d, kolm ho jso trajktori kric bo lips. Zázor í j a obr. 6.. P íklad 6.5: Ur t siglárí bod sstém, popsaého rovicí í:, Zavdím sbstitc =, = p jd rovic v sostav dvo rovic, Pro siglárí bod msí so as platit =, =, td ;, Této sostav rovic vhovjí dva bod, ktré jso ím sostav, a to [. ] a [-, ]. To jso siglárí bod sstém. 75

16 6. Stabilita liárích sstém 6.. Obc o stabilit Stabilita j jd lit jí vlastostí rgla ích obvod, a liárích bo liárích. Stabilita liárích obvod j iroký pojm, ktrý s odlij od stabilit sstém liárích. Stabilita liárích sstém j vlastost t chto sstém a závisí a jjich okamitém stav ai a vstpích sigálch i po át ích podmíkách. tio s stabilita liárího sstém dij jako jho schopost vrátit s do rovováého stav, jstli sko ilo p sobí sigál, ktrý jj z tohoto stav vvdl. Pro liárí sstém j tato diic ji posta jící a to z moha d vod, ktré bdo v dalím vd (ap. rovováých stav j liárích sstém víc odpovídají jim siglárí bod). Njd ív o rozsah platosti stabilit liárích sstém. Liárí sstém j stabilí bo stabilí pro jakékoliv po át í podmík. Toto m za jistých okolostí platit i pro liárí sstém. tomto p ípad pak mlvím o globálí stabilit ( kd té o stabilit v vlkém). Sstém j globál stabilí, j-li stabilí provch po át í podmík. U liárích sstém s vak ast ji stkávám s stabilito p i malých výchlkách, p i malých po át ích podmíkách, poz v jistém okolí rovováého stav. tomto p ípad pak mlvím o lokálí stabilit ( kd o stabilit v malém). Sstém j stabilí lokál, j-li stabilí pro po át í podmík vit libovol malé oblasti kolm rovováého stav. Jli sstém stabilí globál, j atomatick stabilí i lokál. Naopak to platí. Poadavk a lokálí stabilit j slabí. T si vim m stálých stav liárích sstém, to j stav sstém pro as jdocí k ko (t ). Na rozdíl od liárích sstém, ktré mají poz jdiý stálý stav (abo s v bc staljí a jso stabilí), moho liárích sstém vzikot dva tp stálých stav : rovováé stálé stav (také zvaé klidové stav) priodické stálé stav (priodická í rprztovaá mzími ckl) Rovováý stálý stav s vza j lovými rchlostmi v jdotlivých osách j to stav klid, jdotlivé vli i s m í. Priodický stálý stav s vza j kmit o kostatí amplitd a rkvci (zam jm tto stav s stavm a hraici stabilit liárích sstém to í stálý stav, jakokoliv malo zm o paramtr s obvod dosta do stabilího bo stabilího stav). Jstli vt jm stabilit liárího sstém, pak vtio mlvím o stabilit sstém, al o stabilit jho rovováých stav, ktré moho být b stabilí abo stabilí. asto s stabilita sstém v rovováém stav vsv tlj a p íklad kvadla. Kvadlo podl obr. 6. má dv klidové poloh jd, j-li t it kvadla v klid kolmo pod bodm pv í a drho, j-li t it kvadla kolmo ad bodm pv í. Prví poloha j stabilí, drhá stabilí, bo pi malém vchýlí astává pohb kvadla dol z této Obr. 6. poloh. Mlvit o stabilit jié poloh kvadla má smsl, bo v í kvadlo m z stat. J 76

17 td zjmé, má smsl mlvit poz o stabilit klidových stav, v ktrých sstém bz p sobí v jích pod t m z stat. Toto jso tzv. rovováé stav sstém. U rovováých stav jso drivac stavových vli i lové. To jsm kostatovali v kapitol o siglárích bodch rovic (6.6) a toto tvrzí pochopitl m m zobcit a sstém i vích ád d d d ; ; ;... (6.7) a t mto stav m odpovídají siglárí bod sstém. Nliárí sstém má tolik rovováých stav, kolik istj í sostav rovic (6.7). U liárích sstém j sostava (6.7) liárí sostavo, má jdo í a proto liárích sstém istj poz jd rovováý stav. U liárích sstém jich m být la ili ádý, jd, dva i víc ataké ko é moství. Td ap. sstém drhého ád j v rovováz j v stálém stav v jdotlivých osách lové, tj. platí-li rovic (6.6) d ; jso-li rchlosti T mto stálým stav m odpovídají bod stavové rovi, v ktrých jso diová sm ric stavové trajktori. T mito bod m procházt a ko moho trajktorií a jso to td siglárí bod. Mají-li stavové trajktori v okolí siglárího bod sm r dovit, sp j sstém k stav klid a tto rovováý stav tto siglárí bod j stabilí. Naopak, jstli stavové trajktori opotí siglárí bod, dostávají s z stav klid a tto rovováý stav -tto siglárí bod j stabilí. Samoz jm toto m m kostatovat té o sstém bo rgla ím obvod, al bd zl zl to jom lokálí stabilita sstém i (stabilí) (stabilí) obvod, proto tto m mít jt jié siglárí bod jié rovováé stav. Jako píklad si z obr. 6. vbrm dva siglárí bod dva rovováé stav a to dva tp zl stabilí a stabilí. Mám j zov vd a obr. 6.. Jstli s p i Obr. 6. í sstém vskt siglárí bod stabilí zl, jdo vch stavové trajktori do tohoto bod, rovováý stav j stabilí, sstém j lokál stabilí pro okolí tohoto siglárího bod. Pokd s vskt siglárí bod tp stabilí zl, vcházjí vch trajktori z tohoto siglárího bod, rovováý stav j stabilí a sstém j lokál stabilí pro okolí tohoto siglárího bod. Drhým tpm stálých stav liárích sstém jso priodické stálé stav (priodická í). Jso to stálé vlastí kmit boli atooscilac. stavové rovi jso rprztová zav ými trajktorimi, ktré s azývají mzí ckl. Mzí ckl moho být stabilí, stabilí bo té polostabilí a polostabilí obr U stabilího mzího ckl sm jí trajktori z blízkého okolí k tomto ckl, stabilího s z obo stra od ho vzdaljí. U polostabilího mzího ckl s trajktori z v jí stra p iblijí a z vit í vzdaljí k po átk a p s aopak j to polostabilího mzího ckl.. t í mzích ckl v sstém j vlmi d lité pro prai. rgla í d 77

18 tp mzích ckl stabilí stabilí polostabilí polostabilí Obr. 6.4 tchic í zpravidla ádý mzí ckls ádocí (výjimko jso zd p íklad dvopolohové rglac hli ka), i kd lz kd p ipstit kmit s malo amplitdo, ktré jso a závad iosti sstém. U ktrých mchaických sstém zlpjí tto malé kmit clkové chováí, ap. sijí vliv schého t í. Naproti tom s t chto kmit vívá v oscilátorch, kd poadjm mzí ckls s dostat o (a prom o) amplitdo. Oba tp stálých stav (rovováé stav a ji odpovídající siglárí bod i priodické stálé stav) td moho být stabilí bo stabilí. U liárího sstém j proto t ba rozliovat stabilit rovováého stav a stabilit priodického í. Obco mlk stabilit rovováých stav stabilí O ormloval rský matmatik Ljapov. Podl Ljapova j rovováý stav stabilí, stabilí kd stavová trajktori za íající v jaké oblasti O O stavové rovi z sta vit jaké oblasti O (libovol vlké) obr asmptotick Dál j podl Ljapova rovováý stav stabilí asmptotick stabilí, kd j stabilí podl p dcházjící diic a avíc s stavová trajktori stálí v rovováém stav (daém ktrým Obr. 6.5 siglárím bodm). J-li oblast O po át ích stav ohrai á, pak hovo ím o stabilit lokálí (v malém), j-li ohrai á o stabilit globálí (v vlkém). Toté platí o stabilit asmptotické. U liárího rgla ího obvod, pokd j stabilí, jd vd o globálí asmptoticko stabilit jdiého rovováého stav. P íklad 6.6: Mtodo stavové rovi s pr b hm stavové trajktori vt t stabilit liárího rgla ího obvod podl obr. 6.6 pro skokovo zm ídicí vli i w. í: Rovic rglovaé sostav j Proto = w a proto = ( w ) Pro jdotkový skok w = p i t j w = w = rovic rgla ího obvod j Zavdm-li ; j (w ) a G S s = s s Obr. 6.6 w w t 78

19 jso rovic sstém,5,5 a rovic stavové trajktori a z í získaá rovic obcé izoklí d d d d Pr b h izoklí j a obr Po át í stav jsm r ili z úvah, pro t = j = ; w = a z pr b h (t) j Z pr b h stavové trajktori pro po át í stav [; ] pl, s dostává do rovováého stav, ktrým j po átk so adic, tj. bod [; ]. J td tto rovováý stav asmptotick stabilí. Rovováý stav odpovídající siglárím bod [; ] j jdiým rovováým stavm sstém, jak pl z í rovic,5,5 = = =- =-,5 =5 ktré kazj, sstém má dalí - =-,5 siglárí bod mimo [; ]. Proto = Obr. 6.7 pro libovolé po át í stav s stavové trajktori vd dostao do rovováého stav daého siglárím bodm [; ], j tto globál asmptotick stabilí. O stabilit daého liárího obvod td d lám tto záv r: Obvod má jdiý rovováý stav daý siglárím bodm [ ; ] a tto rovováý stav j globál asmptotick stabilí. 6.. t ováí stabilit t ovat stabilit liárích sstém sstrojováím stavové trajktori b blo stj obtíým úkolm, jako po ítat ko charaktristické rovic liárích sstém. M pot bjm rchljí a mé pracé mtod pro r í stabilit liárích sstém. a) Mtoda liarizac p dcházjící kapitol blo kázáo, rovováé stav liárích sstém moho být stabilí bo stabilí podl toho, bdo-li s stavové trajktori v stavové rovi s asm t blíit kpíslém siglárím bod bo s od j vzdalovat. =5 = - = =-5 =- = = 79

20 Stabilit rovováých stav v smsl Ljapova m m pro daý liárí sstém vt it tak, jho rovic liarizjm v okolí kadého rovováého stav a zji jm stabilit áhradího liárího sstém. Bdm op t vaovat poz jdodchý liárí rgla í obvod, ktrý jsm vaovali p i í mtodo stavové rovi o rovici (6.5) a ktrý sbstitcí (6.6) p vdm a rovici (6.8) d g d Bz odvozí viz ap.[] vdm, tto obvod m m v kadém jho siglárím bod [, ] liarizovat. P i této liarizaci ahradím jho rovici liárí rovicí Stabilit zliarizovaého obvod bdm r ovat jako liárího sstém. To zamá, ko charaktristické rovic msí mít záporo rálo ást a to r jm kritérii stabilit platými pro liárí obvod. Z stabilit zliarizovaého obvod szjm a stabilit p íslého rovováého stav sstém a také a chováí liárího sstém a a pr b h stavových trajktorií v blízkém okolí píslého siglárího bod, v ktrém bla liarizac provda. Zd raz m: Rovováý stavliárího sstém bd stabilí j thd, bdo-li ko charaktristické rovic lt v lvé komplí polorovi. g g g (6.8),, Chováí sstém a tp siglárích bod (pr b h stavových trajktorií) jso stjé. t í stabilit zliarizovaého obvod platí i pro liárí obvod. Ovm poz v okolí siglárího bod, j to td lokálí stabilita. J to vt í stabilit daého rovováého stav. Má-li charaktristická rovic ko s kladými rálými ástmi, j rovováý stav sstém (siglárí bod) stabilí. Má-li ktrý ko lovo rálo ást, í moé podl liárího p iblíí staovit, zda p vodí liárí sstém má vaovaý rovováý stav stabilí abo stabilí. P íklad 6.7: t t stabilit rovováých stav liárího obvod podl obr í: Z rovic sostav, dostam dosazím pro w =,5 a z toho pl rovic obvod,5 G S s s,s =,5+,5,,5,5 Obr. 6.8 w= 8

21 Zavdm sbstitci = ; = a pak j a rovic stavové trajktori 5, 5 d d 5, 5 Pro siglárí bod, rspktiv rovováé stav (RS) platí 5,5,5 Z t chto rovic r ím siglárí bod. ; j ;.. Siglárí bod.-. odpovídají rálým rovováým stav m. tomto p ípad má proto vt ovaý liárí obvod poz jdiý rovováý stav [, ]. Jho stabilit r ím liarizací liárí dirciálí rovic vtomto bod. Spo ítám parciálí drivac adosadím do ich so adic siglárího bod[, ] g ; 5,5 ; ; g 5,5 5 7,5 ; ; ; 5 Tto drivac dosadím do rovic (6.8) 5 a dostali jsm zliarizovao rovici daého liárího obvod v siglárím bod [, ] rovováém stav tohoto sstém. Mám za úkol vt it stabilit tohoto rovováého stav. Rovic j liárí, a proto sstavím charaktristicko rovici s s 5 a r ím jjí ko 9,47 s, 5 5,5 Ko jso rálé záporé. Rovováý stav j stabilí. Bliím rozborm bchom mohli zjistit, s jdá o rovováý stav tp zl. Proto j to jdiý siglárí bod sstém, jdá s o globál asmptotick stabilí rovováý stav. (Samoz jm jsm ko msli ai po ítat, proto bla spl a tá a pro rovici drhého stp posta jící podmíka kladosti koicit.) P íklad 6.8: t t stabilit liárího obvod zpíklad 6.5, jho rovic j í:, p íklad 6.5 bla sstava sostava rovic prvího ád 8

22 , a z í bl r siglárí bod liárího sstém a to [, ] a [-, ]. Spo ítjm jt rovici stavové trajktori, d d sdlo -,5 a m m provád t liarizaci. Za m siglárím bodm [, ]. P íslé drivac jso Obr. 6.9, g,, ; ; -,5 -,5 stabilí ohisko,5 Obr.6.9 ; g ;, ; Zliarizovaá rovic liárího sstémvsigl árím bod [, ] dosazím do (6.8)j, Charaktristická rovic má záporý koicit, a proto jso vch ko v lvé komplí polorovi. A proto j p íslý siglárí bod rovováý stav stabilí. ; [ char. rov.: s, s ] Tté drivac jak v p dchozím spo ítám pro siglárí bod [-, ] g ;,, ;, ; g, ; ; Zliarizovaá rovic liárího sstém v siglárím bod [-, ] dosazím do (6.8) j ;, [ char. rov.: s,s ] Charaktristická rovic má záporé koicit, a proto jso vch ko v lvé komplí polorovi. A proto j p íslý siglárí bod rovováý stav stabilí. Podrob jím rozborm bchom zjistili, siglárí bod [, ] odpovídá stabilím ohisk a siglárí bod [-, ] odpovídá sdl (to j stabilí vd). A p i jt podrob jím rozbor bchom mohli vt it pr b h stavových trajktorií v clé stavové rovi, kd oba 8

23 siglárí bod mají domiatí postaví. Na obr. 6.9 j stavový obraz skt ého liárího sstém, abchom s ím mohli a výsldk korotovat. b) Ljapovova mtoda Tato mtoda mo j poszovat stabilit i asmptoticko stabilit v malém i v vlkém (lokálí bo globálí) obcého liárího sstém a asto s za íá poívat i pro vt ováí stabilit liárích sstém. Pricip mtod j v vhldáí Ljapov kc k daém sstém. Jstli ji pro daý sstém alzm, j tto stabilí abo stabilí. Pokd ji al alzm, zamá to, j sstém stabilí poz jsm sp li s vt ováím stabilit. hldáí Ljapov kc j komplikovaá zálitost a zd ji objdm poíváím ztablovaých kcí. Njd ív si vdm základí pot bé po jm o diitosti kcí. íkám, kc () j pozitiv diití v itrval a () a, kd v tomto itrval platí (). Obdob j v tomto itrval gativ diití, kd v m platí (). P itom v po átk m kc abývat i lové hodot. Jstli jso k í hodot () v tomto itrval kd kladé a jid záporé, j kc () idiití (diití) v daém itrval. pozitiv diití () gativ diití () pozitiv smidiití () gativ smidiití () () (mimo po átk) () (mimo po átk) () () idiití () Obr. 6. Pokd b pro kci () platilo v daém itrval () abo (), bd daá kc pozitiv smidiití abo gativ smidiití. Schématick j to zázor o a obr. 6. pro itrval (-, + ). Rozi m tto pojm a kc víc prom ých. Fkci (,,, ) azývám pozitiv diití, jstli má lovo hodot poz v po átk a mimo po átk abývá poz kladých hodot. Fkci (,,, ) azývám gativ diití, jstli má lovo hodot poz v po átk a mimo po átk abývá poz záporých hodot. Fkci (,,, ) azývám pozitiv (gativ ) smidiití, jstli abývá poz kladých (záporých) hodot abo lovo hodot. Diitost kc (,,, ) m být b v r ité oblasti kolm po átk abo m platit v clém prostor. Pokd vdm poz, kc (,,, ) j tak bo oak diití, p dpokládám diitost v clém prostor (globálí). P íklad 6.9: Ur t diitost t chto kcí 8

24 a) b),, 4, ) d) ) c),,, í: a) pozitiv diití b) pozitiv smidiití, bo kd j = - j (, ) =, td i mimo po átk c) idiití d) gativ smidiití, bo kd j = j (, ) = pro jakékoliv ) pozitiv smidiití, bo kd j = j (, )= pro jakékoliv ) a prví pohld lz rozhodot; sad ím rovostí. 4 Ní k vlastí Ljapovov mtod. Mtoda j aprosto obcá, pro sstém jakéhokoliv ád. Bdm td p dpokládat obcý liárí sstém tého ád popsaý sostavo rovic prvího ád,,...,,,...,...,,..., Pokd b bl popsá jdo liárí rovicí vího ád, j té jj sbstitcí (6.) (6.9) p vést a tto sostav rovic prvího ád (6.9). Dál p dpokládjm, tto liárí sstém má siglárí bod (rovováý stav) v po átk so adicového sstém, tz. pro = == = j ím bod [,, ]. Kdb obvod m l siglárí bod v po átk (to j obc poz vlastostí liárích obvod ), j moé poít vhodé trasormac a do po átk ho posot. dalím bdm zkomat stabilit tohoto rovováého stav. Ljapovova mtoda pdpokládá alzí vhodé spojité kc (tzv. Ljapovov kc) (,,..., ) (6.) prom ých,,,, ktré jso zárov prom ými daého sstém (6.9). Tato kc msí být pozitiv diití a mít spojité prví parciálí drivac. Podl diitosti kc a jjí drivac d/ podl as lz pak poszovat stabilit rovováého stav sstém (rovováý stav odpovídá podl p dpoklad siglárím bod vpo átk). Drivaci kc (,,..., ) podl as získám jako drivaci sloé kc di p i m za drivac d d d i d... (6.) dosadím pravé stra z rovic sstém (6.9). 84

25 TY: d... (6.) Asmptotická stabilita: Eistj-li Ljapovova kc taková, jjí drivac podl as j gativ diití, j rovováý stav asmptotick stabilí. Stabilita: Eistj-li Ljapovova kc taková, jjí drivac podl as j gativ smidiití, j rovováý stav asmptotick stabilí. Nstabilita: Eistj-li Ljapovova kc taková, jjí drivac podl as j pozitiv diití bo smidiití, j rovováý stav asmptotick stabilí. Smbolick zapsáo: : RS stabilí stabilí Ljapovov v t o stabilit dávají poz posta jící podmík, ikoliv té a posta jící. Jstli pro jako kci j jjí drivac idiití kc, pak to zamá, obvod j stabilí. Lz j kostatovat, poks o r í stabilit s zda il a j té volit jio kci. RS RS asmptotick stabilí Uvdé v t o stabilit jso b spl v r ité oblasti kolm po átk a pak j rovováý stav lokál stabilí, asmptotick stabilí i stabilí v daé oblasti. Nbo platí podmík pdcházjících vt v clém prostor a rovováý stav j globál stabilí, asmptotick stabilí i stabilí. Daé v t dávají posta jící podmík stabilit, al kazjí cst k alzí kc. Nistj pro liárí sstém obcý zp sob, jak kci alézt. Jd o to, abchom r ili tak, ab oa sama i jjí drivac d/ bl diití kc.. rovic sstém omzí kc a +b +c= - a +b r ( ) q +c= r sdé q liché a +b r ( ) q +c t = r sdé q,t liché 4 a +b(m r + s )( ) q +c t = r,s sdé q,t liché 5 a +b(m r + s )[( ) q +( ) k ]+c t = r,s sdé k,q,t liché c a c t a t Tab. 6. Tablka Ljapovových kcí pro obvod. ád Obc pro liárí sstém istj víc matmatických mtod, ktré mo jí grováí Ljapovov kc vd pro r ito skpi sstém. ch jso vak sloité a tortické áro é. Proto zd vádím v tab. 6. ztablovaé Ljapov kc pro jobc jí skpi rgla ích obvod. ád. podstat b sta ilo vést rovici.5, bo sstém.-4 jso zjdodím tohoto sstém. Uvdím vch p ti kci j prác s tablko p hld jí. 85

26 P íklad 6.: Pro daý kokrétí liárí sstém. ád zvolím pozitiv diití Ljapov kci v tvar, a jjí asové drivac a) Rozhod t o stabilit rovováého stav, ktrým jpo átk so adic. í: b),,, Zámo sbstitcí (6.) p vdm rovici a sostav rovic prvího ád ám po dosazí pravých stra rovic sstém vjdo v tvar Sostava má vidt jd siglárí bod jd rovováý stav, a tím j po átk so adic [, ]. Podl tab. 6. zvolím Ljapov kci. 4 (a=b=c=m==q=t=; r=; s=) c) d),, í: a) asmptotick stabilí ( j gativ diití) b) podl zvolé Ljapov kc lz rozhodot o stabilit ( j idiití) c) stabilí ( j gativ smidiití) d) stabilí ( j pozitiv smidiití). Tto vlastosti rovováých stav jso globálí. P íklad 6.: Rozhod t o stabilit liárího rgla ího obvod popsaého rovicí P íklad 6.: Ur t stabilit liárího obvod podl obr. 6.. m, a spo ítám jjí drivaci podl as s dosazím pravých stra sstém Poívao sbstitcí p vdm rovici a sostav, d d Fkc j gativ smidiití (proto pro = j pro libovolé rova l) a rovováý stav j globál stabilí (ikoliv asmptotick stabilí). í: Rovic liárí ásti obvod j Dosadím m = ; = - (w = ) a získám rovici obvod G S s s m m= s Obr. 6. Rovováý stav j vidt po átk so adic. Podl tab. 6. zvolím Ljapov kci. (a=b=c=q=; r=; t=) w= 86

27 4, a spo ítám jjí drivaci podl as s dosazím pravých stra sstém, d d roc 959 v jil rmský v dc A. M. Popov ové kritérim stabilit liárích sstém, ktré j vlmi výhodé pro prai, proto k vt í stabilit s poívá b ých rkv ích charaktristik G s liárí ásti obvod. Kritérim j ds rozpracováo pro sstém s spojitými i diskrétími sstém, pro sstém s v tím po tm liarit a pro dalí sstém. M s k számím s jjdodí vrzí tohoto kritéria pro obvod w= s jdo liarito a s liárí ástí, kd lz do jdoho p os zahrot vch liárí l. Na tto tp lz p vést vlko ást liárích sstém. Obr. 6. Fkc j gativ smidiití (proto pro = j pro libovolé rova l) a rovováý stav j globál stabilí (ikoliv asmptotick stabilí). c) Popovovo kritérim Podl obr. 6. vajm atoomí sstém s liárí ástí dao posm G(s) a liárí ástí, popsao staticko charaktristiko, ktrá lí v. a. kvadrat a prochází po átkm. p ímka: rovic =k Podl obr. 6. ajdm p ímk procházjící sm ric: k po átkm o rovici = k., kd k j sm ric této p ímk tak, ab clá statická charaktristika lla pod toto p ímko. Jiak statická charaktristika m být statická zcla obcá k ivka, ktrá lí v vraovaém sktor. charaktristika To j vlká výhoda Popovova kritéria statická charaktristika m být obcá kivka. dalím bdm p dpokládat, statická charaktristika liárího Obr. 6. prvk j daá hodoto k, co j sm ric vdé p ímkatoto hodoto j zadá liárí l. Popovovo kritérim: Nliárí sstém s liárí ástí dao p osm G(s) a jdoza o liarito, lící pod pímko o sm rici k j globál asmptotick stabilí, istj-li libovolé rálé ísloq pro j pro vcha spl a rovost R j q G Toto j aaltická vrz Popovova kritéria. tio s vak p vádí do graické vrz a stabilita í graick. Odvozí p vod j moo alézt v []. j k (6.) Popovovo kritérim graická vrz: Nliárí sstém, rspktiv liárí rgla í obvod j globál asmptotick stabilí, m m-li vést bodm [-/k, ] libovolo p ímk, ab clá modiikovaá rkv í charaktristika G*(j ) liárí ásti lla vpravo od této p ímk viz obr

28 k Im asmptotick stabilí R G*(j ) Obr. 6.4 k Im stabilí R G*(j ) j stabilí, kd statická charaktristika liárího p ímko o sm rici k =,5. Modiikovaá rkv í charaktristika G*(j ) liárí ásti s sstrojj stj jako ormálí rkv í charaktristika v komplí rovi, jom imagiárí ást j pro kadý bod vásoba p íslo odpovídající hodoto. P íklad 6.: Ur t, zda obvod podl obr. 6. s p osm liárí ásti G s s s s,5s l lí v. a. kvadrat vd pod í: komplí rovi sstrojím modiikovao rkv í charaktristik liárí ásti podl daého p os G(s) obr Im Charaktristik G*(j ) sstrojjm tak, G*(j ) vch imagiárí ásti ásobím, p íslo hodoto. tablc,5,6, k hodotám po ítám hodot R a - R.Im. Jak j z obrázk vid t, bodm,4 -, m m vést pímk, k,5 Obr. 6.5 ab G*(j ) lla pro vcha vpravo od této p ímk. Obvod j proto globál asmptotick stabilí. P íklad 6.4: Staovt, pro jaký sklo k p ímk ohrai jící liárí rléovo charaktristik podl obr. 6. j rgla í obvod stabilí. P os liárí ásti j G s,5s,s,s í: Normálí rkv í pos G(j ) rozd lím a rálo a imagiárí slok. Modiikovaý rkv í p os G*(j ) pak má imagiárí slok - krát v tí,7,4 G * j j,5 Jstli j imagiárí ást G*(j ) rova l, protíá rkv í charaktristika rálo os, a to j p i,8, = = 8 ( = 8,95). Dosadím-li tto rkvci do rálé ásti G*(j ), dostam úsk a rálé os, v ktrém rkv í charaktristika protíá rálo os a tto úsk j,8. Ab podl obr. 6.6 bl obvod asmptotick stabilí, msí platit k,8 k,,5,5,8,,4, G*(j ) =8,95 R R=-,8 Obr. 6.6 Im 88

29 LITERATURA [] Bartsch, H.J.: Matmatické vzorc. SNTL, Praha, 98 Dor, R.C.- Bishop, H.R.: Modr Cotrol Sstms. Addiso-Wsl Pblishig Compa, Nw York, 995 Forsth, W.- Goodall, R.M.: Digital Cotrol. Fdamtals, Thor ad Practic. MacMilla Edcatio Ltd. Lodo, 99 4 Homa, Z.- Mkiska, A.- Kára, J.: Základ atomatického ízí. P íklad, úloh. skriptm UT, Praha, 99 5 Horitr, M. a kolktiv: P íklad a úloh z atomatického ízí. Skriptm UT, Praha, Isrma, R.: Digital Cotrol Sstms. olm. Sprigr-rlag, Brli, Kbík, S.- Kotk,Z.- Strjc,.- tcha, J.: Tori atomatického ízí I. SNTL, Praha, 98 8 Lvi, W.S.: Th Cotrol Hadbook. CRC Prss, Ic. Boca Rato, Florida, Rav, H.R.: Atomatic Cotrol Egirig. McGraw-Hill, Ic. Nw York, 995 Rktors, K. a spolpracovíci: P hld ité matmatik. SNTL, Praha, 98 krák, J.- Tichý,Z.: Základ aplikovaé matmatik I-III. SNTL, Praha, 98 varc, I.: Atomatizac - Atomatického ízí, CERM - Bro, varc, I.: Tori atomatického ízí I. Skriptm UT, Bro, varc, I.: Tori atomatického ízí II. Skriptm UT, Bro, 99 5 varc, I.: Tori atomatického ízí. Sbírka p íklad. Skriptm UT, Bro, 99 6 varc, I.: Základ atomatizac a rglac. Sbírka p íklad. Skriptm UT, Bro, varc, I.- Lacko, B.- N mc, Z.: Atomatizac. Skriptm UT, Bro, av í, P.: Tori atomatického ízí I. Skriptm UT, Bro, ít k, A.: Matmatické mtod atomatického ízí. Trasormac L a Z. Skriptm B, Ostrava, 988 Zítk, P.- Horitr, M.- Hlava, J.: Atomatické ízí. Skriptm UT, Praha, Zítk, P.- ít k, A.: Dopor ovaé za k, zkratk a ázv z oblasti atomatického ízí. Itrí pblikac. B, Ostrava,