Národní informační středisko pro podporu jakosti

Save this PDF as:

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Národní informační středisko pro podporu jakosti"

Transkript

1 Národí iformačí středisko pro podpor jakosti

2 Kozltačí středisko statistických metod při NIS-PJ Výpočet koeficietů reglačích diagramů pro obecé riziko Ig. Václav Chmelík, CSc Ústav strojíreské techologie, ČVUT Praha Ig. Jiří Toar Ústav strojíreské techologie, ČVUT Praha 5. červa 006

3 Shewhartův reglačí diagram patří mezi hlaví, a také i ejvíce požívaé ástroje statistické reglace. Celá jeho teorie a metodika je rámcově shrta a popsáa v ormě Shewhartovy reglačí diagramy ČSN ISO 858. Základí předpoklad pro požití Shewhartova reglačího diagram: Předpokládá se ormálí rozděleí sledovaého zak jakosti N(, ) se středí hodoto a rozptylem. Za statisticky zvládtý proces se považje te, kde parametry a se v čase eměí. Jestliže tedy, sledovaý zak jakosti má eormálí rozděleí, msí být požity jié diagramy, ebo modifikovaé Shewhartovi diagramy. To je jeda ze zásadích chyb, která bývá opomíáa.

4 LSL USL LSL USL LSL USL LSL USL 0,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0, ,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0, ,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0, , 0,7 0, 0, 0,6 0, 0,5 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0, 0, ,7 0, 0, 0, 0,6 0,5 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0,0 0,0 -,0-3,0 -,0 -,0 0,0,0,0 3,0, T T T T

5 Reglačí diagramy se skládají z : cetrálí přímk (CL cetral lie): charakterizjící poloh středí hodoty výběrové charakteristiky v daém proces; reglačí meze (UCL, LCL pper, lower cotrol limit): přímky ohraičjící prostor přípstého áhodého kolísáí hodot příslšé výběrové charakteristiky. Reglačí meze jso vypočítáy tak, že se připoští riziko,to jest riziko, že se vyskyte áhodě hodota výběrové charakteristiky ad UCL, resp. pod LCL (mimo reglačí meze), za předpoklad, že proces je statisticky zvládt.

6 Pricip Shewhartova reglačího diagram: výběrová charakteristika Horí reglačí (zásahová) mez UCL Horí varová (výstražá) mez Cetrálí (středí) přímka CL σ 3σ Dolí varová (výstražá) mez Dolí reglačí (zásahová) mez LCL σ 3σ číslo podskpiy

7 Norma ČSN ISO 858: Shewhartovy reglačí diagramy zahrje dva základí typy Shewhartových reglačích diagramů: reglačí diagramy při kotrole měřeím (RD měřeím) : (, R); (, s); (Me, R); (x i, MR); x x požívají se vždy ve dvojici, prví pro popis polohy a drhý charakterizjící mělivost reglačí diagramy při kotrole srováváím (RD srováváím): ( p ); ( p ); ( c ); ( ). V obo případech se važjí dva přístpy: základí hodoty jso staovey ( techické reglačí meze). (hodoty parametrů μ, σ jso dáy předem) základí hodoty ejso staovey ( přirozeé reglačí meze); (hodoty parametrů μ, σ msíme odhadot z daého proces)

8 Vzorce pro výpočet reglačích mezí jso vedey v ČSN ISO 858: Shewhartovy reglačí diagramy v tablce a 3, příslšé koeficiety pro jejich výpočet v tablce a. Statistika Základí hodoty ejso staovey Základí hodoty jso staovey Cetrálí přímka UCL a LCL Cetrálí přímka UCL a LCL X X X X A R A s 3 X 0 ebo μ 0 X 0 ± Aσ 0 R R D R, D 3 R R 0 ebo d σ 0 D σ 0 ebo D σ 0 s s B s, B 3 s s 0 ebo C σ 0 B σ 0 ebo B σ 0 X i X i X i E R X 0 ebo μ 0 X 0 ± 3σ 0 MR MR D R, D 3 R R 0 ebo d σ 0 D σ 0 ebo D σ 0

9 Rozděleí važovaých výběrových charakteristik je vždy aproximováo ormálím rozděleím a reglačí meze jso staovey ve vzdáleosti ± 3 směrodaté odchylky od středí hodoty (a každo stra) požité výběrové charakteristiky. Číslo 3 je kvatil ormovaého ormálího rozděleí odpovídající rizik = 0,0035 plaého poplach, takto zvoleé Walterem Shewhartem. Z tohoto rozděleí (ormovaého ormálího) vyplývá, že pro riziko = 0,0035 leží 99,7% případů vitř mezí a % mimo meze (eboli 3 případy z 000 se vyskytjí mimo meze).

10 v iterval -, + leží 68,6 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 5,87 %, t.j. 3,7 % (37 00 ppm). v iterval -, + leží 95, % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x,8 %, t.j.,56 % (5 600 ppm). v iterval - 3, + 3 leží 99,73 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 5 %, t.j. 0,7 % ( 700 ppm). v iterval -, + leží 99,99 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 0,003 %, t.j. 0,006 % (60 ppm). v iterval - 5, + 5 leží 99,9999 % všech pozorováí, mimo teto iterval leží x 0,00003 %, t.j. 0,00006 % (0,6 ppm).

11 Obecé vztahy pro staoveí cetrálí přímky a reglačích mezí Obecě aproximjeme rozděleí pravděpodobosti výběrových charakteristik (statistik) ormálím rozděleím. Cetrálí přímka odpovídá úrovi středí hodoty výběrové charakteristiky a reglačí meze jso staovey symetricky ve vzdáleosti - směrodaté odchylky od cetrálí přímky. ( - je kvatil ormovaého ormálího rozděleí) Ozačíme-li požito statistik, potom: CL = E( ) UCL = E( ) + - LCL = E( ) - D x D x Takto staoveé reglačí meze pracjí s rizikem plaého poplach, riziko že se áhodě vyskyte hodota výběrové charakteristiky mimo staoveé meze (ad UCL ebo pod LCL).

12 REGULAČNÍ DIAGRAMY MĚŘENÍM DIAGRAMY PRO MĚŘÍTELNÉ ZNAKY

13 Idividálí hodoty x i Rozděleí idividálích hodot sledovaého zak jakosti je ormálí N (, ) se středí hodoto a rozptylem (směrodato odchylko ). Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = = 0 + A*() 0 ; LCL = = 0 - A*() 0. Koeficiet A*() = - kde - je (- ) - kvatil ormovaého ormálího rozděleí. Shewhartovy reglačí diagramy pracjí s rizikem = 0,0035 vzhledem ke každé z obo mezí, tedy - = 3.

14 Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí výběrového průměr x a průměrého klozavého rozpětí dvo sosedích pozorováí / d (). Potom R CL = = x ; UCL = + - R/ d () x E () R ; x LCL = - - = x R/ d() x E()R. Koeficiet E () = - d (). V ČSN ISO 858 je vede pro = 0,0035 koeficiet E () = 3/d () =,66. Pozámka: V praxi se obvykle soběžě při reglaci pomocí idividálích hodot požívá pro sledováí variability klozavých rozpětí dvo sosedích hodot. Koeficiet d () plye z rozděleí výběrových rozpětí, viz dále.

15 Výběrové průměry x Rozděleí výběrových průměrů je ormálí se středí hodoto rozptylem / (směrodato odchylko / ), tedy N(, /). a Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = / = 0 + A() 0 ; LCL = / = 0 + A() 0. Koeficiet: A() = - /

16 Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí průměr výběrových průměrů x a průměré směrodaté odchylky podskpi s / C () resp. průměrého výběrového rozpětí / d (). R Koeficiety C () a d () plyo z rozděleí výběrových směrodatých odchylek a výběrových rozpětí. Potom CL μ x ; UCL μ α σ / x α s / C () x A 3 ()s ; LCL μ α σ / x α s / C () x A 3 ()s. Koeficiet A 3 () = / C (). resp. CL x ; UCL / x R / d () x A ()R ; LCL / x R / d () x A ()R. Koeficiet A () = / d ().

17 Výběrové mediáy Me Rozděleí výběrových mediáů je možo pro praktické aplikace považovat za ormálí se středí hodoto a rozptylem c / (směrodato odchylko c / ), tedy N(, c /). Koeficiet c je v literatře tabelová. Pro zámé hodoty obo parametrů 0 a 0 je CL = 0 ; UCL = c / = 0 + A* () 0 = 0 + A () R 0 ; LCL = c / = 0 - A* () 0 = 0 - A () R 0 ; Koeficiet A * () = - c / eí v ČSN ISO 858 važová. Uvádí se koeficiet A (), který předpokládá ahrazeí 0 daým výběrovým rozpětím R 0 a vyžití vztah 0 = R 0 / d (). Potom koeficiet A () = - c / d ()

18 Pro ezámé hodoty obo parametrů msí být tyto parametry odhadty pomocí průměr výběrových mediáů Me a průměrého výběrového rozpětí podskpi / d (). Potom R CL Me ; UCL Me Rc / d () Me A ()R LCL Me Rc / d () Me A ()R c Koeficiet A() / d(). Pro e příliš praktický případ se mže požít odhad bylo třeba ahradit koeficiet A () koeficietem A vzorec pro výpočet mezí UCL, LCL Me A s. s / C() c α, potom by / C a

19 Výběrové směrodaté odchylky s Rozděleí výběrových směrodatých odchylek je prakticky ormálí se středí hodoto E(s) a rozptylem D(s). E(s) = D(s) = Když ozačíme E(s) = C () je D(s) =. Pro zámo hodot parametr 0 je C CL = 0 C () ; UCL = 0 (C () + - C () ) = 0 B 6 () ; LCL = 0 (C () - - C () ) = 0 B 5 (). Koeficiety B 6 () C () C () ; B 5 () C () C (). V případě že je zámá (průměrá) směrodatá odchylka podskpi s 0 ktero chceme vyžít, platí vztah s 0 = 0 C ().

20 Pro ezámo hodot parametr odhadt / C (). s msí být teto parametr Potom σc () CL s ; UCL σc () σ α C () s α C () /C () ; LCL σc () σ α C () s α C () /C (). Pro koeficiety B () C C () () ; B 3 () C C () () ; jso LCL = s B 3 () a UCL = s B (). Pokd koeficiet B 3 () < 0, klade se B 3 () = 0.

21 Výběrové rozpětí R Rozděleí výběrových rozpětí možo pro praktické účely považovat za ormálí se středí hodoto E(R) a rozptylem D(R). E(R) = d () D(R) = (d 3 ()) Koeficiety d () a d 3 () byly odvozey a jso tabelováy v literatře. Pro zámo hodot parametr 0 je CL = 0 d () ; UCL = 0 (d () + - d 3 ()) = 0 D () ; LCL = 0 (d () - - d 3 ()) = 0 D (). Koeficiety D() d() d3() ; D () d() d3(). V případě že je zámé (průměré) výběrové rozpětí podskpi R 0 které chceme vyžít, platí vztah sosedích hodot je d () =,8. 0 = R 0 / d (). Pro klozavá rozpětí dvo

22 Pro ezámo hodot parametr odhadt / d (). R msí být teto parametr Potom CL d() R ; UCL d () d 3 () R d 3 ()/ d () ; LCL d () d 3 () R d 3 ()/ d (). Pro koeficiety D D 3 () () d3() d () d3() d () ;. jso LCL = R D 3 () a UCL = R D (). Pokd koeficiet D 3 () < 0, klade se D 3 () = 0.

23 Vhodý způsob zjedodšeí výpočt koeficiet apř. pomocí tablkového editor MS Excel. Ukázky tablek sočiitelů pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky při zvoleém libovolém rizik plaého poplach v případech že základí hodoty jso zámy ( A ; A ; B 5 ; B 6 ; D ; D ) a v případech že základí hodoty ejso zámy ( A ; A 3 ; A ; B 3 ; B ; D 3 ; D ) a pomocých koeficietů ( C ; d ; d 3 ). Pozámka: Výpočet provede v sobor Koeficiety.xls,

24 Sočiitele pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky = 0,05 (v případě že základí hodoty jso staovey) = 0,0500 A A B5 B6 D D C d () d 3 () c,3859,86-836,979-0,59,7989 0,79788,80 0,855,000 3,36 0,775-0,07,79-0,083 3,3 0,8863,699 0,888,60 0,9800 0,598 0,593, ,7833 0,93,0589 0,8798,09 5 0,8765 0,5 0,7,6088 0,635,097 0,93999,36 0,86,98 6 0, ,553 0,87,96 0,9553,53 0,880,36 7 0, ,06,5,07,337 0,95937,70 0,833, 8 0,6930 0,8 0,53,788,06,5 0,96503,87 0,898,59 9 0,6533 0,690 0,875,5,3867,5533 0,9693,9700 0,8078,3 0 0, ,575,78,556,60 0,9766 3,0779 0,797,75 0,590 0,89 0,59,078,695,757 0, ,76 0,7873,9 0,5658 0,066 0,567,390,736,78 0, ,58 0,7785,90 3 0,536 0,009 0,5837,375,856,856 0,979 3,3356 0,770,33 0,538 0,837 0,600,365,97,907 0, ,07 0,7630,95 5 0,506 0,803 0,65,393,990,953 0,983 3,7 0,756,37 6 0,900 0,667 0,687,338,065 5,00 0,9838 3,533 0,799,0 7 0,75 0,60 0,608,38,97 5,065 0,985 3,588 0,7,38 8 0,60 0,53 0,658,390,97 5,0879 0,985 3,603 0,7386,07 9 0,96 0,50 0,669,305,5 5,63 0,986 3,6887 0,7335, , 0,67,307,3073 5,637 0, ,7355 0,787, 0,77 0,6797,955,3585 5,973 0, ,7779 0,7 0,79 0,6876,888,087 5,307 0,9887 3,897 0, ,087 0,6950,85,59 5,6 0, ,8580 0,759 0,00 0,708,766,999 5,93 0,9899 3,8956 0, ,7083,70,5 5,39 0,9896 3,9308 0, ,735,76,785 5,35 0,99,0860 0, ,7559,95,880 5,556 0,9968,30 0, ,77,8 3,00 5,6336 0,9936,30 0, ,9 0,7860,07 3, 5,7088 0,9933,50 0, ,77 0,797,9 3,99 5,776 0,999,980 0,65

25 Sočiitele pro výpočet reglačích mezí a cetrálí přímky = 0,05 (v případě že základí hodoty ejso staovey) = 0,0500 A A3 A B5 B6 D D C d () d 3 () c,86,7370,86,979-0,59,7989 0,79788,80 0,855, ,668,769 0,775-0,07,79-0,083 3,3 0,8863,699 0,888,60 0,760,0637 0,598 0,593, ,7833 0,93,0589 0,8798, ,935 0,5 0,7,6088 0,635,097 0,93999,36 0,86, , ,553 0,87,96 0,9553,53 0,880,36 7 0,739 0, ,06,5,07,337 0,95937,70 0,833, 8 0,78 0,8 0,53,788,06,5 0,96503,87 0,898,59 9 0,00 0,670 0,690 0,875,5,3867,5533 0,9693,9700 0,8078,3 0 0,0 0, ,575,78,556,60 0,9766 3,0779 0,797,75 0,863 0,6059 0,89 0,59,078,695,757 0, ,76 0,7873,9 0,736 0,5788 0,066 0,567,390,736,78 0, ,58 0,7785,90 3 0,630 0,5550 0,009 0,5837,375,856,856 0,979 3,3356 0,770,33 0,537 0,530 0,837 0,600,365,97,907 0, ,07 0,7630,95 5 0,57 0,55 0,803 0,65,393,990,953 0,983 3,7 0,756, ,98 0,667 0,687,338,065 5,00 0,9838 3,533 0,799, ,88 0,60 0,608,38,97 5,065 0,985 3,588 0,7,38 8 0,69 0,688 0,53 0,658,390,97 5,0879 0,985 3,603 0,7386,07 9 0,9 0,559 0,50 0,669,305,5 5,63 0,986 3,6887 0,7335,39 0 0,73 0, 0, 0,67,307,3073 5,637 0, ,7355 0,787, 3 0,6797,955,3585 5,973 0, ,7779 0,7 0,09 0,9 0,6876,888,087 5,307 0,9887 3,897 0, , ,6950,85,59 5,6 0, ,8580 0,759 0,07 0,0 0,708,766,999 5,93 0,9899 3,8956 0,7 5 0, ,7083,70,5 5,39 0,9896 3,9308 0, , ,735,76,785 5,35 0,99,0860 0, , ,7559,95,880 5,556 0,9968,30 0, , ,77,8 3,00 5,6336 0,9936,30 0, ,066 0,938 0,7860,07 3, 5,7088 0,9933,50 0, ,066 0,786 0,797,9 3,99 5,776 0,999,980 0,65

26 REGULAČNÍ DIAGRAMY SROVNÁVÁNÍM DIAGRAMY PRO DISKRÉTNÍ ZNAKY

27 Reglačí diagramy srováváím V ČSN ISO 858 se važjí pro reglaci srováváím ásledjící statistiky: p - podíl eshodých jedotek v podskpiě rozsah ; statistika má biomické rozděleí se středí hodoto rozptylem p( p)/ ; p a p - počet eshodých jedotek v podskpiě rozsah ; statistika má biomické rozděleí se středí hodoto rozptylem p( p) ; p a c - počet eshod v podskpiě rozsah ; statistika má Poissoovo rozděleí se středí hodoto rozptylem c ; c a - počet eshod a jedotk v podskpiě rozsah ; statistika má Poissoovo rozděleí se středí hodoto rozptylem /. a

28 Přehled vzorců reglačích mezí reglačích diagramů srováváím. Statistika CP UCL a LCL p p p( p)/ p p p p p( p ) c c c c / V případě, že základí hodoty jso staovey, ahradí se ve výrazech průměry p ; p ; c ; staoveými hodotami p 0 ; p 0 ; c 0 ; 0.

29 Výstražé reglačí meze Praxe často požadje vedle reglačích mezí (chápaých jako zásahové ještě žší meze, které by v předstih sigalizovaly možost vzik zvláští příčiy variability. Pravděpodobost áhodého překročeí těchto výstražých mezí se obvykle volí větší, mezi 0,0 až 0,05. V literatře se ěkdy važjí ve vzdáleosti ± (příslšé výběrové charakteristiky) od cetrálí přímky. Pravděpodobost áhodého překročeí, takto staoveých výstražých mezí, je 0,075. Pravděpodobost, že se áhodě vyskyto dva výběrové body za sebo ad horí, ebo pod dolí výstražo mezí je již velmi malá, rová 0,0005, což je pod úroví běžého rizika 0,0035. Navržeý postp možňje také staovit výstražé meze pro libovolo pravděpodobost jejich áhodého překročeí a vypočítat pravděpodobost p(m;k; ) že bdo překročey m-krát během k podskpi. Tato pravděpodobost je rova p(m;k;α) k m α m ( α) k m.

30 ) Ukázka výpočt výstražých mezí v Excel - sobor Koeficiety.xls Příklad: Pro výstražé meze, místěé od CL, je pravděpodobost, že pade jede výběrový bod mimo jed ebo drho mez rova 0,075; pravděpodobost, že tam pado dva za sebo je rova 0, ; pravděpodobost, že během 5 podskpi pade pět výběrových bodů mimo jed ebo drho mez je rova 0,00003.

31 Modifikace: Modifikovaý postp pracje s pravděpodobostí, že během kotroly k podskpi dojde právě k m překročeí výstražých mezí, ale zásahové (reglačí) meze ebdo překročey. Ozačíme-li Z pravděpodobost áhodého překročeí zásahové meze a V pravděpodobost áhodého překročeí příslšé výstražé meze, potom važovaá pravděpodobost je rova p[m; k; (- Z ) - (- W )] = k m m αz αv αz α V k m.

32 ) Ukázka výpočt v Excel - sobor Koeficiety.xls Příklad: Pro výstražé meze, místěé od CL, a pro zásahové meze místěé 3 od CL je pravděpodobost, že pade jede výběrový bod mimo jed ebo drho výstražo mez, ale ikoliv mimo zásahovo mez, rova 0,00; pravděpodobost, že tam pado dva za sebo je rova 0,00058; pravděpodobost, že během 5 podskpi tam pade 5 výběrových bodů je rova 0,00055.

33 Reglačí diagram výběrových průměrů s reglačími (zásahovými) mezemi a s výstražými mezemi. Po šedesáté podskpiě došlo ke změě středí hodoty proces z 5,0 a 5,35. Při kotrole 68 podskpiy bylo poršeo kriterim ve vztah k výstražým mezím (tři body z šesti mezi výstražo a zásahovo mezí odpovídá rizik 0,00). Při kotrole 7 podskpiy došlo k překročeí reglačí meze. Proces byl poté seříze. 6,5 6,0 5,5 5,0,5,0 3,

34 Závěr: Uvedeé výsledky možňjí rozšířit platěí Shewhartových reglačích diagramů pro libovolě zvoleá rizika plaých poplachů i výpočet výstražých mezí, které možňjí zvýšit účiost reglačích diagramů při detekci zvláštích příči variability. Umožňjí vyhodotit rizika plyocí z chybějícího sigál, vyhodotit operačí charakteristik reglačího diagram, případě zvážit požití etradičích, adstavbových reglačích diagramů. Obecý výpočet koeficietů Shewhartových reglačích mezí ajde své vyžití i v případech, kdy je vhodé aplikovat modifikovaé, rozšířeé, reglačí meze. Nto podotkot, že statistické reglačí diagramy Shewhartova typ jso vhodé při detekci velkých posů středí hodoty, řádově ěkolika směrodatých odchylek. Pro detekci meších posů středí hodoty je třeba aplikovat reglačí diagramy doplěé výstražými mezemi, případě reglačí diagramy typ kmlovaých sočtů (CUSUM), ebo diagramy expoeciálě vážeých klozavých průměrů (EWMA).

35

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů

Odhady parametrů 1. Odhady parametrů Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

Deskriptivní statistika 1

Deskriptivní statistika 1 Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí

Více

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení.

Intervalové odhady parametrů některých rozdělení. 4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:

Více

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:

Odhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů: Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy

Více

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý.

Pevnost a životnost - Hru III 1. PEVNOST a ŽIVOTNOST. Hru III. Milan Růžička, Josef Jurenka, Zbyněk Hrubý. evost a životost - Hr III EVNOT a ŽIVOTNOT Hr III Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý zbyek.hrby@fs.cvt.cz evost a životost - Hr III tatistické metody vyhodocováí dat evost a životost - Hr III 3 tatistické

Více

P2: Statistické zpracování dat

P2: Statistické zpracování dat P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu

Více

V. Normální rozdělení

V. Normální rozdělení V. Normálí rozděleí 1. Náhodá veličia X má ormovaé ormálí rozděleí N(0; 1). Určete: a) P (X < 1, 5); P (X > 0, 3); P ( 1, 135 < x ); P (X < 3X + ). c) číslo ε takové, že P ( X < ε) = 0,

Více

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson

STATISTIKA. Statistika se těší pochybnému vyznamenání tím, že je nejvíce nepochopeným vědním oborem. H. Levinson STATISTIKA Statistika se těší pochybému vyzameáí tím, že je ejvíce epochopeým vědím oborem. H. Leviso Charakterizace statistického souboru Statistický soubor Prvek souboru Zak prvku kvatitativí teplota,

Více

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ

VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojího ižeýrství Ústav strojíreské techologie ISBN 978-80-214-4352-5 VYSOCE PŘESNÉ METODY OBRÁBĚNÍ doc. Ig. Jaroslav PROKOP, CSc. 1 1 Fakulta strojího ižeýrství,

Více

Dynamická pevnost a životnost Statistika

Dynamická pevnost a životnost Statistika DŽ statistika Dyamická pevost a životost tatistika Mila Růžička, Josef Jreka, Zbyěk Hrbý mechaika.fs.cvt.cz zbyek.hrby@fs.cvt.cz DŽ statistika tatistické metody vyhodocováí dat DŽ statistika 3 tatistické

Více

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat

Přednášky část 7 Statistické metody vyhodnocování dat DŽ ředášky část 7 tatistické metody vyhodocováí dat Mila Růžička mechaika.fs.cvt.cz mila.rzicka@fs.cvt.cz DŽ tatistické metody vyhodocováí dat Jak velké rozptyly lze očekávat mezi dosažeými pevostmi ebo

Více

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL

1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,

Více

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti

8. Odhady parametrů rozdělení pravděpodobnosti Pozámky k předmětu Aplikovaá statistika, 8 téma 8 Odhady parametrů rozděleí pravděpodobosti Zaměříme se a odhad středí hodoty a rozptylu a to dvěma způsoby Předpokládejme, že máme áhodý výběr X 1,, X z

Více

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU)

ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) ZÁKLADNÍ STATISTICKÉ VÝPOČTY (S VYUŽITÍM EXCELU) Základy teorie pravděpodobosti měřeí chyba měřeí Provádíme kvalifikovaý odhad áhodá systematická výsledek ejistota výsledku Základy teorie pravděpodobosti

Více

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.

Mezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby. ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém

Více

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.

odhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti. 10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé

Více

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu

Cvičení 6.: Bodové a intervalové odhady střední hodnoty, rozptylu a koeficientu korelace, test hypotézy o střední hodnotě při známém rozptylu Cvičeí 6: Bodové a itervalové odhady středí hodoty, rozptylu a koeficietu korelace, test hypotézy o středí hodotě při zámém rozptylu Příklad : Bylo zkoumáo 9 vzorků půdy s růzým obsahem fosforu (veličia

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národní informační středisko pro podporu kvality Nestandardní regulační diagramy J.Křepela, J.Michálek REGULAČNÍ DIAGRAM PRO VŠECHNY INDIVIDUÁLNÍ HODNOTY xi V PODSKUPINĚ V praxi se někdy setkáváme s požadavkem

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí střediso pro podporu vality Problémy s uazateli způsobilosti a výoosti v praxi Dr.Jiří Michále, CSc. Ústav teorie iformace a automatizace AVČR Uazatel způsobilosti C p Předpolady: ormálí

Více

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního souboru. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Ig. Mchal Dorda, Ph.D. Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl σ atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt

Více

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci

Pravděpodobnostní model doby setrvání ministra školství ve funkci Pravděpodobostí model doby setrváí miistra školství ve fukci Základí statistická iferece Data Zdro: http://www.msmt.cz/miisterstvo/miistri-skolstvi-od-roku-848. Ke statistickému zpracováí byla vzata pozorováí

Více

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti

Přednáška VI. Intervalové odhady. Motivace Směrodatná odchylka a směrodatná chyba Centrální limitní věta Intervaly spolehlivosti Předáška VI. Itervalové odhady Motivace Směrodatá odchylka a směrodatá chyba Cetrálí limití věta Itervaly spolehlivosti Opakováí estraé a MLE Jaký je pricip estraých odhadů? Jaký je pricip odhadů metodou

Více

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

14. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ

UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ 3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,

Více

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací

Při sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací 3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2014. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu

Cvičení 6.: Výpočet střední hodnoty a rozptylu, bodové a intervalové odhady střední hodnoty a rozptylu Cvičeí 6: Výpočet středí hodoty a rozptylu, bodové a itervalové odhady středí hodoty a rozptylu Příklad 1: Postupě se zkouší spolehlivost čtyř přístrojů Další se zkouší je tehdy, když předchozí je spolehlivý

Více

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ

TESTOVÁNÍ STATISTICKÝCH HYPOTÉZ TESTOVÁNÍ STATISTICKÝC YPOTÉZ je postup, pomocí ěhož a základě áhodého výběru ověřujeme určité předpoklady (hypotézy) o základím souboru STATISTICKÁ YPOTÉZA předpoklad (tvrzeí) o parametru G základího

Více

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.).

Pro statistické šetření si zvolte si statistický soubor např. všichni žáci třídy (několika tříd, školy apod.). STATISTIKA Statistické šetřeí Proveďte a vyhodoťte statistické šetřeí:. Zvolte si statistický soubor. 2. Zvolte si určitý zak (zaky), které budete vyhodocovat. 3. Určete absolutí a relativí četosti zaků,

Více

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou

veličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou 1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i

Více

Závislost slovních znaků

Závislost slovních znaků Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví

Více

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ

MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ PŘÍSPĚVKY THE SCIENCE FOR POPULATION PROTECTION 0/008 MOŽNOSTI STATISTICKÉHO POSOUZENÍ KVANTITATIVNÍCH VÝSLEDKŮ POŽÁRNÍCH ZKOUŠEK PRO POTŘEBY CERTIFIKACE A POSUZOVÁNÍ SHODY VÝROBKŮ STATISTICAL ASSESSMENT

Více

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D.

Odhady parametrů základního. Ing. Michal Dorda, Ph.D. Odhady parametrů základího souboru Úvodí pozámky Základí soubor můžeme popsat jeho parametry, apř. středí hodota μ, rozptyl atd. Př praktckých úlohách ovšem zpravdla elze vyšetřt celou populac, provádíme

Více

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007

Popisná statistika. Zdeněk Janák 9. prosince 2007 Popisá statistika Zdeěk Jaák jaak@physics.mui.cz 9. prosice 007 Výsledkem měřeí atmosférické extikce z pozorováí komet a observatoři Skalaté Pleso jsou tyto hodoty extikčích koeficietů ve vlové délce 46

Více

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů

4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů 4. B o d o v é o d h a d y p a r a m e t r ů Na základě hodot áhodého výběru z rozděleí určitého typu odhadujeme parametry tohoto rozděleí, tak aby co ejlépe odpovídaly hodotám výběru. Formulujme tudíž

Více

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013.

Ilustrativní příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 2013. Ilustratví příklad ke zkoušce z B_PS_A léto 0. Jsou dáa data výběrového souboru výšky že vz IS/ Učebí materály/ Témata 8, M. Kvaszová. č. výška č. výška 89 5 90 7 57 8 5 58 5 8 9 58 0 8 0 8 8 9 8 8 95

Více

13 Popisná statistika

13 Popisná statistika 13 Popisá statistika 13.1 Jedorozměrý statistický soubor Statistický soubor je možia všech prvků, které jsou předmětem statistického zkoumáí. Každý z prvků je statistickou jedotkou. Prvky tvořící statistický

Více

Pravděpodobnostní modely

Pravděpodobnostní modely Pravděpodobostí modely Meu: QCEpert Pravděpodobostí modely Modul hledá metodou maimálí věrohodosti (MLE Maimum Likelihood Estimate) statistický model (rozděleí) který ejlépe popisuje data. Je přitom k

Více

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta strojního inženýrství. Matematika IV. Semestrální práce VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Fakulta troího ižeýrtví Matematika IV Semetrálí práce Zpracoval: Čílo zadáí: 7 Studií kupia: Datum: 8.4. 0 . Při kotrole akoti výrobků byla ledováa odchylka X [mm] eich rozměru

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy

} kvantitativní znaky. korelace, regrese. Prof. RNDr. Jana Zvárov. Obecné principy Měřeí statistické závislosti, korelace, regrese Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. MĚŘENÍZÁVISLOSTI Cílem statistické aalýzy vepidemiologii bývá eje staovit, zda oemocěí závisí a výskytu rizikového faktoru,

Více

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt

Mendelova univerzita v Brně Statistika projekt Medelova uverzta v Brě Statstka projekt Vypracoval: Marek Hučík Obsah 1. Úvod... 3. Skupové tříděí... 3 o Data:... 3 o Počet hodot:... 3 o Varačí rozpětí:... 3 o Počet tříd:... 4 o Šířka tervalu:... 4

Více

7.2.4 Násobení vektoru číslem

7.2.4 Násobení vektoru číslem 7..4 Násobeí vektor číslem Předpoklady: 703 Tetokrát začeme hed defiicí. Násobek lového vektor číslem k je lový vektor. Násobek elového vektor = B Ačíslem k je vektor C A, přičemž C je bod, pro který platí:

Více

3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI

3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI 3. VYBRANÉ ZÁKONY ROZDĚLENÍ POUŽÍVANÉ VE SPOLEHLIVOSTI Po úspěšém a aktivím absolvováí této KAPITOLY Budete umět: rozpozat průběh a vlastosti, uvést základí vztahy charakteristik rozděleí spojité áhodé

Více

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc

Statistika. Statistické funkce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Statistika Statistické fukce v tabulkových kalkulátorech MSO Excel a OO.o Calc Základí pojmy tabulkových kalkulátorů Cílem eí vyložit pojmy tabulkových kalkulátorů, ale je defiovat pojmy vyskytující se

Více

Regulační diagramy (RD)

Regulační diagramy (RD) Regulační diagramy (RD) Control Charts Patří k základním nástrojům vnitřní QC laboratoře či výrobního procesu (grafická pomůcka). Pomocí RD lze dlouhodobě sledovat stabilitu (chemického) měřícího systému.

Více

Testování statistických hypotéz

Testování statistických hypotéz Testováí statstckých hypotéz - Testováí hypotéz je postup, sloužící k ověřeí předpokladů o ZS (hypotéz a základě výběrových dat (tj. hodot z výběrového souboru. - ypotéza = určtý předpoklad o základím

Více

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE

ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta dopraví Statistika Semestrálí práce Zdražováí pohoých hmot Jméa: Martia Jelíková, Jakub Štoudek Studijí skupia: 2 37 Rok: 2012/2013 Obsah Úvod... 2 Použité

Více

Variabilita měření a statistická regulace procesu

Variabilita měření a statistická regulace procesu Variabilita měří a statistická rgulac procsu Ig. Darja Noskivičová, CSc. Katdra kotroly a řízí jakosti, VŠB-TU Ostrava Abstrakt: Efktivost využití statistických mtod pro aalýzu a řízí procsů j odvislá

Více

Intervalové odhady parametrů

Intervalové odhady parametrů Itervalové odhady parametrů Petr Pošík Části dokumetu jsou převzaty (i doslově) z Mirko Navara: Pravděpodobost a matematická statistika, https://cw.felk.cvut.cz/lib/ee/fetch.php/courses/a6m33ssl/pms_prit.pdf

Více

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina;

2. Náhodná veličina. je konečná nebo spočetná množina; . Náhodá veličia Většia áhodých pokusů koaých v přírodích ebo společeských vědách má iterpretaci pomocí reálé hodoty. Při takovýchto dějích přiřazujeme tedy reálá čísla áhodým jevům. Proto je důležité

Více

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky

i 1 n 1 výběrový rozptyl, pro libovolné, ale pevně dané x Roznačme n 1 Téma 6.: Základní pojmy matematické statistiky Téma 6.: Základí pojmy matematické statistiky Vlastosti důležitých statistik odvozeých z jedorozměrého áhodého výběru: Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí se středí hodotou μ, rozptylem σ a distribučí

Více

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví

vají statistické metody v biomedicíně Literatura Statistika v biomedicínsk nském výzkumu a ve zdravotnictví Statistika v biomedicísk ském výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Literatura Edice Biomedicísk ská statistika vydáva vaá a Uiverzitě

Více

vají statistické metody v biomedicíně

vají statistické metody v biomedicíně Statistika v biomedicísk ském m výzkumu a ve zdravotictví Prof. RNDr. Jaa Zvárov rová,, DrSc. EuroMISE Cetrum Ústav iformatiky AV ČR R v.v.i. Proč se používaj vají statistické metody v biomedicíě Biomedicísk

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBNOT A TATITIKA Přpomeutí pojmů,, P m θ, R θ R - pravděpodobostí prostor - parametrcký prostor - parametrcká fukce,, T - áhodý vektor defovaý a pravděpodobostím prostoru,, P θ s hustotou f x,

Více

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných

Přednáška VIII. Testování hypotéz o kvantitativních proměnných Předáška VIII. Testováí hypotéz o kvatitativích proměých Úvodí pozámky Testy o parametrech rozděleí Testy o parametrech rozděleí Permutačí testy Opakováí hypotézy Co jsou to hypotézy a jak je staovujeme?

Více

Statistika pro metrologii

Statistika pro metrologii Statistika pro metrologii T. Rössler Teto projekt je spolufiacová Evropským sociálím fodem a státím rozpočtem České republiky v rámci projektu Vzděláváí výzkumých pracovíků v Regioálím cetru pokročilých

Více

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR

10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR Středí hodoty, geometrický průměr Aleš Drobík straa 1 10.3 GEOMERTICKÝ PRŮMĚR V matematice se geometrický průměr prostý staoví obdobě jako aritmetický průměr prostý, pouze operace jsou o řád vyšší: místo

Více

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním

Intervalový odhad. nazveme levostranným intervalem pro odhad parametru Θ. Statistiku. , kde číslo α je blízké nule, nazveme horním Lekce Itervalový odhad Itervalový odhad je jedou ze stadardích statistických techik Cílem je sestrojit iterval (kofidečí iterval, iterval spolehlivosti, který s vysokou a avíc předem daou pravděpodobostí

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým rozděleím X ~D(), R má základí rostor Z = { } a ravděodobostí fukci: ( ) 1 0 Charakteristiky: středí hodota: E(X ) roztyl:

Více

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3

,6 32, ,6 29,7 29,2 35,9 32,6 34,7 35,3 Př 7: S 95% polehlivotí odhaděte variabilitu (protředictvím odhadu měrodaté odchylky) a tředí hodotu obahu vitamíu C u rajčat. Záte-li výledky rozboru 0-ti vzorků rajčat: 3 4 5 6 7 8 9 0 9,6 3,4 30 3,6

Více

Iterační výpočty projekt č. 2

Iterační výpočty projekt č. 2 Dokumetace k projektu pro předměty IZP a IUS Iteračí výpočty projekt č. 5..007 Autor: Václav Uhlíř, xuhlir04@stud.fit.vutbr.cz Fakulta Iformačích Techologii Vysoké Učeí Techické v Brě Obsah. Úvodí defiice.....

Více

8. Analýza rozptylu.

8. Analýza rozptylu. 8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,

Více

OVMT Přesnost měření a teorie chyb

OVMT Přesnost měření a teorie chyb Přesost měřeí a teorie chyb Základí pojmy Naměřeé údaje ejsou ikdy absolutě přesé, protože skutečé podmíky pro měřeí se odlišují od ideálích. Při každém měřeí vzikají odchylky od správých hodot chyby.

Více

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i

Tento odhad má rozptyl ( ) σ 2 /, kde σ 2 je rozptyl souboru, ze kterého výběr pochází. Má-li každý prvek i. σ 2 ( i. ( i : ometové míry polohy zahrují růzé druhy průměrů pomocí kterých můžeme charakterzovat cetrálí tedec dat ometové míry polohy jsou jedoduché číselé charakterstky které se vyčíslují ze všech prvků výběru

Více

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter.

Statistika je vědní obor zabývající se zkoumáním jevů, které mají hromadný charakter. Statistika Cíle: Chápat pomy statistický soubor, rozsah souboru, statistická edotka, statistický zak, umět sestavit tabulku rozděleí četostí, umět zázorit spoicový diagram a sloupcový diagram / kruhový

Více

Elementární zpracování statistického souboru

Elementární zpracování statistického souboru Elemetárí zpracováí statistického souboru Obsah kapitoly 4. Elemetárí statistické zpracováí - parametrizace vhodými empirickými parametry Studijí cíle Naučit se výsledky měřeí parametrizovat vhodými empirickými

Více

17. Statistické hypotézy parametrické testy

17. Statistické hypotézy parametrické testy 7. Statistické hypotézy parametrické testy V této části se budeme zabývat statistickými hypotézami, pomocí vyšetřujeme jedotlivé parametry populace. K takovýmto šetřeím většiou využíváme ám již dobře zámé

Více

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika

Pravděpodobnost a aplikovaná statistika Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 6. KAPITOLA CENTRÁLNÍ LIMITNÍ VĚTA 6.11.2017 Opakováí: Čebyševova erovost příklad Pravděpodobost vyrobeí zmetku je 0,5. Odhaděte pravděpodobost,

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodná proměnná vybraná rozdělení S1P áhodá roměá vybraá rozděleí PRAVDĚPODOBOST A STATISTIKA áhodá roměá vybraá rozděleí S1P áhodá roměá vybraá rozděleí Vybraá rozděleí diskrétí P Degeerovaé rozděleí D( ) áhodá veličia X s degeerovaým

Více

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika

České vysoké učení technické v Praze. Fakulta dopravní. Semestrální práce. Statistika České vysoké učeí techické v Praze Fakulta dopraví Semestrálí práce Statistika Čekáí vlaku ve staicích a trase Klado Ostrovec Praha Masarykovo ádraží Zouzalová Barbora 2 35 Michálek Tomáš 2 35 sk. 2 35

Více

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d

b c a P(A B) = c = 4% = 0,04 d Příklad 6: Z Prahy do Athé je 50 km V Praze byl osaze válec auta ovou svíčkou, jejíž životost má ormálí rozděleí s průměrem 0000 km a směrodatou odchylkou 3000 km Jaká je pravděpodobost, že automobil překoá

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

Problémy hodnocení výkonnosti a způsobilosti řízení procesů v rámci nesplnění normality rozdělení dominantního znaku jakosti

Problémy hodnocení výkonnosti a způsobilosti řízení procesů v rámci nesplnění normality rozdělení dominantního znaku jakosti Jiří Zmatlík 1, Pavel Zdvořák Problémy hodoceí výkoosti a zůsobilosti řízeí rocesů v rámci eslěí ormality rozděleí domiatího zaku jakosti Klíčová slova: eshodý rodukt, zaky jakosti měřitelé a zaky jakosti

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

Obsah. skentest. 1. Úvod. 2. Metoda výpočtu Základní pojmy

Obsah. skentest. 1. Úvod. 2. Metoda výpočtu Základní pojmy Obsah sketest 1. ÚVOD... 1 2. METODA VÝPOČTU... 1 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY... 1 2.2. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY... 2 2.3. PŘÍPRAVEK... 3 2.4. POSTUP VÝPOČTU... 4 3. PROGRAM SKENTEST... 5 3.1. VSTUPNÍ SOUBOR... 5

Více

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace

7. Odhady populačních průměrů a ostatních parametrů populace 7. Odhady populačích průměrů a ostatích parametrů populace Jak sme zišťovali v kapitole. e možé pro každou populaci sestroit možství parametrů, které i charakterizue. Pro účely základího pozáí e evýzaměší

Více

Interval spolehlivosti pro podíl

Interval spolehlivosti pro podíl Iterval polehlivoti pro podíl http://www.caueweb.org/repoitory/tatjava/cofitapplet.html Náhodý výběr Zkoumaý proce chápeme jako áhodou veličiu určitým ám eámým roděleím a měřeá data jako realiace této

Více

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová

PE 301 Podniková ekonomika 2. Garant: Eva KISLINGEROVÁ. Téma Metody mezipodnikového srovnávání. Téma 12. Eva Kislingerová PE 30 Podiková ekoomika Garat: Eva KISLINGEROVÁ Téma Metody mezipodikového srováváí Eva Kisligerová Téma Eva Kisligerová Vysoká škola ekoomická v Praze 003 - Mezipodikové srováváí Poprvé 956- koferece

Více

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Výukový modul III.2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Základy práce s tabulkou Výukový modul III. Iovace a zkvalitěí výuky prostředictvím ICT Téma III..3, pracoví list 3 Techická měřeí v MS Ecel Průměry a četosti, odchylky změřeých hodot. Ig. Jiří Chobot

Více

Zhodnocení přesnosti měření

Zhodnocení přesnosti měření Zhodoceí přesosti měřeí 1. Chyby měřeí Měřeím emůžeme ikdy zjistit skutečou (pravou) hodotu s měřeé veličiy. To je způsobeo edokoalostí metod měřeí, měřicích přístrojů, lidských smyslů i proměých podmíek

Více

Národní informační středisko pro podporu kvality

Národní informační středisko pro podporu kvality Národí iformačí středisko ro odoru kvality Testováí zůsobilosti a výkoosti výrobího rocesu RNDr. Jiří Michálek, Sc Ústav teorie iformace a automatizace AVČR UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI 3 UKAZATELE ZPŮSOBILOSTI

Více

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad

Náhodný výběr, statistiky a bodový odhad Lekce Náhodý výběr, statistiky a bodový odhad Parametr rozděleí pravděpodobosti je ezámá kostata, jejíž přímé určeí eí možé. Nástrojem pro odhad ezámých parametrů je áhodý výběr a jeho charakteristiky

Více

Úloha III.S... limitní

Úloha III.S... limitní Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími

Více

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR

PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR PŘÍKLAD NA PRŮMĚRNÝ INDEX ŘETĚZOVÝ NEBOLI GEOMETRICKÝ PRŮMĚR Ze serveru www.czso.cz jsme sledovali sklizeň obilovi v ČR. Sklizeň z ěkolika posledích let jsme vložili do tabulky 10.10. V kapitole 7. Idexy

Více

Číselné charakteristiky náhodných veličin

Číselné charakteristiky náhodných veličin Číselé charakteristiky áhodých veliči Motivace Doposud jsme pozali fukcioálí charakteristiky áhodých veliči (apř. distribučí fukce, pravděpodobostí fukce, hustota pravděpodobosti), které plě popisují pravděpodobostí

Více

Spolehlivost a diagnostika

Spolehlivost a diagnostika Spolehlvost a dagostka Složté systémy a jejch spolehlvost: Co je spolehlvost? Vlv spolehlvost kompoetů systému Návrh systému z hledska spolehlvost Aplkace - žvotě důležté systémy - vojeské aplkace Teore

Více

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru.

Soustava momentů. k s. Je-li tedy ve vzorci obecného momentu s = 1, získáme vzorec aritmetického průměru. Soutava mometů Momety (Obecé, cetrálí a ormovaé) Do ytému mometových charatert patří ty ejdůležtější artmetcý průměr (mometová míra úrově) a rozptyl (mometová úroveň varablty). Obecý momet -tého tupě:

Více

Český metrologický institut

Český metrologický institut Český metrologický istitt METROLOGICKÝ PŘEDPIS MP 016 MĚŘIDLA TLAKU V PNEUMATIKÁCH SILNIČNÍCH MOTOROVÝCH VOZIDEL POSTUP ZKOUŠENÍ PŘI OVĚŘOVÁNÍ Vydáí: srpe 01 Teto předpis esmí být dále rozmožová za účelem

Více

Metodický postup pro určení úspor primární energie

Metodický postup pro určení úspor primární energie Metodický postup pro určeí úspor primárí eergie Parí protitlaká turbía ORGRZ, a.s., DIVIZ PLNÉ CHNIKY A CHMI HUDCOVA 76, 657 97 BRNO, POŠ. PŘIHR. 97, BRNO 2 z.č. Obsah abulka hodot vstupujících do výpočtu...3

Více

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem

Popisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme

Více

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE

2 STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE STEJNORODOST BETONU KONSTRUKCE Cíl kapitoly a časová áročost studia V této kapitole se sezámíte s možostmi hodoceí stejorodosti betou železobetoové kostrukce a prakticky provedete jede z možých způsobů

Více

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDr. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Fukce RNDr. Yvetta Bartáková Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou Limita poslouposti a fukce VY INOVACE_0 9_M Gymázium, SOŠ a VOŠ Ledeč ad Sázavou A) Limita poslouposti Říkáme, že posloupost a je kovergetí,

Více

Úloha II.S... odhadnutelná

Úloha II.S... odhadnutelná Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí

Více