Teorie řízení. Analýza vlastností spojitých lineárních systémů

Transkript

1 Teorie řízení VOŠ SPŠ KunáHor Anlýz vlsnosí sojiých lineárních sysémů Sickévlsnosi oisují chování sysému v usáleném svu nevysihují řechodový děj nejčsější meodou oisu je sická chrkerisik Příkld: chrkerisik eloměru SiC

2 Dynmickévlsnosi sojiých lin. sysémů chrkerizují sysém ři změně svu vysihují řechodovéděje v sysému i usálený sv Meody vnějšího oisu dynmických vlsnosí vnější ois -relce mezi vsuem výsuem sysému diferenciální rovnice obrzový oeráorový řenos frekvenční řenos frekvenční chrkerisik řechodová fce řechodová chrkerisik imulsní fce imulsní chrkerisik 3 Memický ois diferenciální rovnicí diferenciální rovnice je nejobecnější meodou oisu ro lineární sysém lí: sysém je fyzicky relizovelný z odmínky: m n ideální deriváor nelze relizov Klidový usálený sv okud exisuje ro lí je usálená hodno 4

3 Diferenciální rovnice inegrčního článku Příkld : Sesve diferenciální rovnici inegrčního RC článku u u i du R i C C R i d C ir du u u du C RC u u d R d výsledná rovnice inegrčního článku : dy T y d u 5 Diferenciální rovnice derivčního článku Příkld : u u uc ur id u i C R du du u u d u RC u RC RC d d výsledná rovnice derivčního článku : y du T y T d d 6 3

4 Mechnický sysém Příkld 3 : Sesve diferenciální rovnici mechnického sysému vořeného hmoným bodem, ružinou lumičem. Pro jednolivésíly lí: direkivní síl ružiny k uhos ružiny F D k y dy lumicí síl F b b d b součiniel viskózního lumení d y kcelerční síl Fm m m d Podle D Almberov rinciu lí: F Fm Fb FD d y dy m b k y F d d 7 Význm konsn z říkldu 3 Aby konsny diferenciální rovnice měly vyovídcí hodnou o vlsnosech sysému, je řeb rovnici urvi do vru: T vlsní eriod kmiů ξ koeficienu oměrného lumení Úrvou rovnice orovnáním s obecným vzhem sysému. řádu dosneme m d y b dy y F k d k d k Odezv n skok vsuní veličiny ξ > eriodický sysém ξ mezní eriodický < ξ < kmivý 8 4

5 Elekromechnický sysém Příkld 4 : Sesve diferenciální rovnici ss moorku s buzením ermnenním mgneem. Elekrické schém ss. mooru u R i u e ue ke ω R i k u e ω Mechnická čás mooru dω k m i J M z d J R dω ke ω u km d 9 Obrzový řenos Definice Obrzový řenos je definován jko odíl Llceov obrzu výsuního signálu y k L-obrzu vsuního signálu u ři nulových očáečních odmínkách. L-obrzy získáme z originálů Llceovournsformcí. Y s F s U s Ys Us s nebo L-obrz výsuního signálu L-obrz vsuního signálu Llceůvoeráor 5

6 Důvody oužií L-rnsformce L-rnsformce řevádí originální funkci z čsové oblsi do oblsi oeráorové funkce komlexníroměnné řevádí diferenciální rovnice n lgebrické schém řešení roblému osného diferenciální rovnicí je n obr. Definice L-rnsformce Přímá rnsformce x Xs Zěná rnsformce Xs x x Xs s c originální čsová fce L-obrz originální fce Llceůvoeráor konsn 6

7 Lineri Zákldní vlsnosi L-rnsformce kde,, jsou libovolné konsny, mohou bý i komlexní Derivce v čsovéoblsi Pro nulové očáeční odmínky: ro. derivci lí dx L s X x d Inegrál v čsovéoblsi 3 Výh ze slovníku L-rnsformcí Originální funkce Obrz /s δ /s e ±. s m 4 7

8 Obrzový řenos lineárního sysému obrzový řenos získáme L-rnsformcí diferenciální rovnice m m Ys bm s bm s... b Fs Us n n n s n s... kořeny olynomu v čieli se nzývjí nuly řenosu kořeny olynomu ve jmenoveli se nzývjí óly řenosu n n chrkerisická rovnice: n s n s... ob olynomy lze ns ve vru součinu kořenových činielů: bm s-n s-n s-nn Fs n s- s-... s-n i jsou-li óly nuly řenosu reálné, k řenos sysému lze vyjádři omocí čsových konsn: b st st... stm T Fs i -/n i sτ sτ... sτn τ i -/ i... n i nuly řenosu óly řenosu 5 Příkld 5 : Příkldy - obrzový řenos Vyočěe obrzový řenos inegrčního článku osného diferenciální dy rovnicí: T y u d Provedeme L-rnsformci: T s Y s Y s U s Y s T s U s Y s F s U s T s Příkld 6 : Vyočěe obrzový řenos mechnického sysému z říkldu 3. Diferenciální rovnice: m d y b dy y u k d k d k L-rnsformce: m b s Ys s Ys Ys Us k k k Ys Fs k Us m b s s k k 6 8

9 Zěná L-rnsformce je řechodem z oblsi oeráorové do čsové meody Z - -rnsformce výoče odle vzorce složié rozkld n jednoduché výrzy oužií slovníku L-obrzů Příkld 7 Vyočěe odezvu výsuu inegrčního článku n jednokový skok vsuního signálu. Čsová konsn T,s. Řešení: dy Diferenciální rovnice:, y u d Y Obrzový řenos: s F s U s, s Obrz výsuu: Y s Fs Us U s, s s s Y s s, s s s 7 Příkld 7 Provedeme rozkld n rciální zlomky: óly řenosu:, - A B Y s s s s s A s B s s s s s A B B A B o roznásobení: A s B s B s s s s Y s s s L e s s y e 8 9

10 Grf funkce,,,5,,,3,4,5 y,,8,39,63,86,95,98,99,,8,6,4,,,,3,4,5,6 9 Příkld 8 Příkld 8 Vyočěe odezvu n jednokový skok sysému osného diferenciální rovnicí: y 3y y x Řešení: Fs s 3s óly: - - Fs s s chrkerisická rovnice: Ys Fs Us s 3s s s s rozkld n rciální zlomky: A B C Y s s s s 3 s 3s s s s s L e s s s e Výoče omocí Excel

11 Frekvenční řenos Definice Frekvenční řenos F jω lze formálně urči z řenosu sysému v Llceově rnsformci doszením jω. j ω -komlexní oeráor -kruhová frekvence Sysém sbilní definice Y jω F jω U jω Y jω U jω -Fourierůvobrz výsuu -Fourierůvobrz vsuu Frekvenční chrkerisik Definice Frekvenční chrkerisik je grfickým vyjádřením frekvenčního řenosu ro měnící se ω, jωϕ ω F jω F jω e Re Zůsoby zobrzení [ F jω ] j Im [ F jω ] V komlexní rovině křivk s rmerem ω V logrimických souřdnicích dvě chrkerisiky vodorovnáos hodno log ω svisláos. mliud řenosu v db logrimická mliudová chrkerisik. fáze řenosu ve suních fázová frekvenční chrkerisik

12 Frekvenční chrkerisik v komlexní rovině Záis [ F jω ] j Im [ F j ] F jω Re ω Zobrzení Sočeme řenos ro několik hodno kruhové frekvence Počáeční bod: ω limf jω ω Koncový bod: ω limf jω ω Dlší hodnoy ω jejich oče volíme Zkreslíme do komlexní roviny n osy vynášíme reálnou imginární čás řenosu 3 Příkld 9 Příkld 9 Nkreslee frekvenční chrkerisiku v komlexní rovině ro sický sysém rvního řádu s řenosem: Řešení: F jω jωt ro ω je limf jω K ω ro ω je lim F jω ω Výrz jω T je v komlexní rovině olořímk, inverzíolořímky je ůlkružnice s růměrem určeným konsnou K. 4

13 Frekvenční chrkerisik v logrimických souřdnicích Záis F jω F jω e jωϕ ω Zobrzení vlsnosi sysému určeny dvěm funkcemi dvě chrkerisiky závislos bsoluní hodnoy řenosu n frekvenci, růběh fáze oužijeme logrimické měříko logf j ω logf jω jϕ ω vyjádříme mliudu v decibelech db F jω logf jω db logrimické měříko Výhodné, když řenos sysému F jω F jω F jω KF j n ω Použiím log. měřík vě o logrimech můžeme sá: F jω F j F j F db ω db ω K db n jω db ϕ ω ϕ ω ϕ ω K ϕn ω 5 Frekvenční chrkerisik v logrimických souřdnicích zákldní chrkerisiky I Amliudová fázováchrkerisik kresleno omocí symo Mximální chyb je v oblsi ω bod zlomu činí3 db Přenos sysému Amliudová fázová chrkerisik F jω jω F jω jωt 6 3

14 Frekvenční chrkerisik v logrimických souřdnicích zákldní chrkerisiky II Amliudová fázováchrkerisik kresleno omocí symo Mximální chyb je v oblsi ω Přenos sysému Amliudová fázová chrkerisik F jω jtξω T ω bod zlomu činí3 db F jω e jωt 7 Frekvenční chrkerisik v logrimických souřdnicích využií zákldních chrkerisik Vyjádříme funkci F jω jko odíl součinu kořenových činielůčiele jmenovele m j k F jω K n j k ω ω k ω ω bk sesrojíme mliudovou fázovou chrkerisiku ro jednolivé kořenové činiele využií zákldních chrkerisik výsledná chrkerisik souče mliudových fázových chrkerisik jednolivých kořenových činielů 8 4

15 Příkld Příkld Nkreslee frekvenční chrkerisiku ro sysém s řenosem: Řešení: F jω K jωt jω jωt jωt 3 9 Příkld -Pokrčování Řešení: 3 5

16 Frekvenční chrkerisik - měření Zůsob měření frekvenčních chrkerisik u elekrických sysémů Amliudová frekvenční chrkerisik -n vsu řiojíme sinusový signál měříme zesílení Fázová frekvenční chrkerisik -využií generáoru dvouknálového osciloskou G u u F jω Oscilosko Použií Lissjousových obrzů: -vsu X osciloskou výsu generáoru, vsu Y osciloskou výsu sysému -n osciloskou elis -měníme frekvenci generáoru odečíáme fázový osun 3 Imulsní chrkerisik Definice Imulsní chrkerisik je grfické vyjádření čsové odezvy sysému n Dircůvimulz ři nulových očáečních odmínkách. Dircův imulz -definice δ δ δ d, ro Llceůvobrz Dircov imulzu je roven jedné: { } L δ 3 6

17 Vzh mezi imulzní řechodovou chrkerisikou Přechodová chrkerisik H F Imulzní chrkerisik G F H G V čsové oblsi Přechodová chrkerisik h Imulzní chrkerisik g h L g L { H } { G } lí vzhy: h g g dh d 33 Příkld Příkld Pomocí vzhu imulzní řechodové chrkerisiky určee nlyické vyjádření řechodové chrkerisiky ro sysém s řenosem: Řešení: G F F, L { G } L e h τ e dτ e τ [ e ] e e τ dτ e τ 34 7

18 Vniřní ois sysému Vniřní ois sysému cháeme jko relci mezi vsuní veličinou u, svem sysému x výsuní veličinou y. Hovoříme k o svových rovnicích sysému. x& f x, u, y g x, u, kde: x je n-rozměrný svový vekor, y je výsu sysému f jsou n-rozměrovénelineárnívekorové funkce, g je sklární funkce. 35 Vniřní ois sysému Je-li dynmický sysém lineární -invrinní k lí: x & A x B u y C x D u kde: A je mice sysému rozměru n x n, B je mice řízení rozměru n x r, C, D jsou výsuní mice rozměrů m x n m x r. Je-li lineární sysém scionární, oom jsou mice A, B, C D konsnní, j, nezávislé n čse. 36 8

19 Vniřní ois sysému říkld Úrvou výše uvedených rovnic dosneme římo svové rovnice mooru: di R k x& i ω d L L Svové veličiny jsou: i u L d k x& ω i m z d J J dϕ x& 3 ω d x x ω x ϕ Řídící veličiny jsou: u u u m Výsuní veličin je: y x 3 ϕ z 3 39 Vniřní ois sysému říkld Z uvedených svových rovnic můžeme okmžiě vyjádři mice A, B, C D i ω ϕ R L k A J k L L B J C [ ] D [ ] Chceme nočení hřídele φ jko výsu. 4

20 Regulovnésousvy Regulovná sousv je zřízení, kde se rovádí regulce nsvení kční veličiny jko vsuní veličiny se udržuje okmžiá hodno regulovné veličiny jko výsuní veličiny regulovné sousvy n oždovné hodnoě. 4 Regulovnésousvy Příkldy regulovných sousv: -nádrž svodou, kde se udržuje říokem výšk hldiny - vzdušník, kde se zínáním vyínáním komresoru udržuje lk, ořebný ro ovládání hšení oblouku lkovzdušných vyínčů Pro návrh regulčního obvodu musíme zná dynmické vlsnosi, vyjádřené chováním výsuu ři změnách n vsuu. Nejnázorněji se dynmické vlsnosi vyjdřují řechodovou chrkerisikou. Dlší důležiou vlsnosí regulovných sousv je čsové zoždění signálu ři růchodu sousvou. Čsové zoždění vzniká, lní-li se nějká kci objemová, eelná, elekrická řes hydrulický, eelný nebo elekrický odor. Příkldy kci: - k nlnění nádrže n určiou výšku hldiny je řeb určiého čsu; - n ohřáí rosoru n oždovnou elou je řeb určiého čsu; 4

21 Regulovnésousvy Regulovné sousvy se rozdělují odle chování výsuu ři skokové změně n vsuu n: Sické Asické 43 Regulovnésousvy -Sické Jsou chrkerisické ím, že o skokové změně n vsuu se výsu usálí n nové hodnoě omocí reguláoru. Sické regulovné sousvy si můžeme rozděli odle vlivu kci odle zoždění ři růchodu signálu sousvou n: - bezkciní nulého řádu - jednokciní rvního řádu - dvoukciní druhého řádu - vícekciní vyšších řádu - s dorvním zožděním 44

22 Regulovnésousvy Sické Bezkciní bez zoždění Vyskyují se zřídk. Jko říkld uveďme odorovou záěž sbilizáoru j. reguláoru něí. K zvěšení odolnosi roi rozkmiání se u ěcho sousv uměle zvádí servčnos ve formě elekrolyického kondenzáoru. Jednokciní zoždění rvého řádu Regulují se velmi dobře n konsnní hodnou regulovné veličiny, nejsou náchylné ke kmiání jsou málo cilivé ke krákodobým oruchám. Mjí nejvěší schonos uoregulce ze všech regulovných sousv. Tyo jednokciní sousvy jsou yické ro regulci eloy menších ecí, ro regulci oáček moorů lku lynů. 45 Regulovnésousvy Sické Příkld jednokciní sousvy Nádrž vody svolným výokem N nádrži svolným výokem je možno definov rinci smoregulce. Srůsem výšky hldiny se zvyšuje hydrosický lk ím i výoková rychlos zvyšuje se odékjící množsví. Až se říok výok vyrovnjí, hldin se usálí. 46 3

23 Regulovnésousvy Sické Příkld jednokciní sousvy Žehličk Akční veličin oný říkon; Regulovná veličin elo ěles; Ulňuje se ouze jedn kci žehlícího ěles. 47 Regulovnésousvy Sické Dvoukciní zoždění druhého řádu vícekciní Tyo sousvy lumíme, bychom olčili jejich kmiání. Znčné fázové osuny zůsobené sousvmi vyšších řádů velmi znesndňují regulci, neboť nedovolují zvedení silné záorné vzby, roože se ři celkovém fázovém osunu 8 mění v kldnou zěnou vzbu. Jsou-li slněny odmínky vzniku oscilcí, regulční sysém se rozkmiá. Příkldem sojení kci různého chrkeru je ěžké kolo hmonos, jehož oáčky jsou regulovány servomoorem řes dlouhý, relivně slbý hřídel j. oddjnos. U velkých ecí s mohunou vyzdívkou se ulňuje eelný odor vyzdívky rozložený v celém objemu s eelnou kciou vyzdí odobně jko elekrické servčné členy RC zojené ve velkém oču z sebou. Tková ec má chrker kmivého členu vyššího řádu. Čím je řád sousvy vyšší, ím je regulce obížnější. 48 4

24 S dorvním zožděním Regulovnésousvy Sické U servčných členů rvního řádu s čsovou konsnou T můžeme oměr τ/t dosdi do uvedených vzhů míso Tu/Tn, bychom si učinili o obížnosi regulce řibližnou ředsvu. Dovoluje o odobnos řechodových chrkerisik sousv obou yů. V rxi se snžíme zmenši dorvní zoždění n minimum, okud je o možné, zvěši servčnos sousvy k, by čsová konsn byl mnohem věší než dorvní zoždění. 5 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi Vyjdřují závislos vsuních výsuních veličin vneusáleném svu v okmžiku, kdy se yo veličiny mění. K vyjádření dynmických vlsnosí RS i keréhokoliv členu obvodu se oužívá několik zůsobů: diferenciální rovnice memické řešení b řechodová chrkerisik zjišťuje se výočem, vrxi se všk dává řednos jejímu měření c frekvenční řenos d frekvenční chrkerisiky v komlexní rovině nebo vlogrimických souřdnicích 5 6

25 7 53 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi Diferenciální rovnice: ideální bez servčnosi: u b y b se servčnosí I. řádu: ' u b y y c se servčnosí II. řádu: ' 4 ' ' 4 ' ' ' / ' ' ' K u y y y T K b T u b y y y u b y y y ξ ξ T... čsová konsn dob kmiu nelumeného obvodu K... zesílení ξ... [ksí] lumení 54 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi Přenos v LT Llceově rnsformci: ideální bez servčnosi : b se servčnosí I. řádu: K b U Y F U b Y / T K U Y F K U Y T K b T U b Y Y U b Y Y

26 8 55 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi Přenos v LT Llceově rnsformci: c se servčnosí II. řádu: T K U Y F K U T Y K U Y Y Y T ξ ξ ξ K b T 4ξ T... čsová konsn K... zesílení ξ... [ksí] lumení 56 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 3 Přechodová funkce: ideální bez servčnosi: K h K F H b se servčnosí I. řádu: T e K h T K F H c se servčnosí II. řádu: 4 T K F H ξ

27 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 4 Přechodová chrkerisik: ideální bez servčnosi: b se servčnosí I. řádu: 57 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 4 Přechodová chrkerisik: c se servčnosí II. řádu: Poměrné lumení může nbýv ěcho hodno: ξ >...sousv je řelumená nekmiá ξ...sousv je n mezi eriodiciy nekmiá <ξ<...sousv lumeně kmiá ξ...člen nelumeně kmiá. Jde o eoreický sv, neboť lumeníje ve skuečnosi vždy věší než nul 58 9

28 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 4 Přechodová chrkerisik: d sdorvním zožděním: -u ideální sousvy -u sousvy se servčnosí I. řádu 59 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 5 Frekvenční řenos: ideální bez servčnosi: F jω K b se servčnosí I. řádu: F jω T K T jω jω T jω T K K T ω j ω T ω c se servčnosí II. řádu: F K jω T jω 4ξ jω d sdorvním zožděním: F j ω T K e j ω jωτ 6 3

29 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: ideální bez servčnosi : -vkomlexní rovině: 6 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: ideální bez servčnosi: -vlogrimických souřdnicích: LAFCH: A[dB] log K LFFCH: Im ω ϕ rc g Re ω 6 3

30 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: b se servčnosí I. řádu: -vkomlexní rovině: 63 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: b se servčnosí I. řádu: -vlogrimických souřdnicích: -LAFCH: A log K log T ω 64 3

31 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: b se servčnosí I. řádu: -vlogrimických souřdnicích: -LFFCH: ϕ rc g ω T 65 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: b se servčnosí II. řádu: -vkomlexní rovině: 66 33

32 Dynmické vlsnosi Regulovnésousvy Sické 6 Frekvenční chrkerisiky: c se servčnosí II. řádu kmivý člen: -vlogrimických souřdnicích: LAFCH: A[ db] log K log T ω log T ω LFFCH: ϕ rc co g ω T rc g ω T 67 Regulovnésousvy Sické LAFCH: LFFCH: 68 34

33 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: d sdorvním zožděním, se servčnosí I. řádu: -vkomlexní rovině: 69 Regulovnésousvy Sické Dynmické vlsnosi 6 Frekvenční chrkerisiky: - LAFCH LFFCH: d sdorvním zožděním, se servčnosí I. řádu: -vlogrimických souřdnicích: Amliudová chrkerisik v logrimických souřdnicích se vlivem dorvního zoždění nezmění. K ůvodní fázi φ všk musíme n kždé frekvenci řičís úhel ωτ, dný dorvním zožděním. 7 35

34 Regulovnésousvy Sické Příkldy sických sousv z rxe: ideální bez servčnosi: b se servčnosí I. řádu: c se servčnosí II. řádu: 7 Regulovnésousvy Asické Jsou chrkerisické ím, že o skokové změně n vsuu se sousv n výsuu neusálí n novou hodnou bez omoci reguláoru. Asické sousvy si můžeme obdobně jko sické rozděli odle zoždění signálu ři růchodu sousvou odle oču kci s ím, že neexisuje bezkciní sická sousv. - bezkciní nulého řádu -NEEXISTUJE - jednokciní rvního řádu - dvoukciní druhého řádu - vícekciní vyšších řádů - s dorvním zožděním 7 36

35 Regulovnésousvy Asické Příkld jednokciní sousvy Nádrž vody s čerdlemn odoku Po znuí říoku výšk hldiny rose nezávisle n lku řed čerdlem Č. Rozdíl od S 73 Regulovnésousvy Asické Dynmické vlsnosi Jednokciní rvního řádu: -memickýois: -řenos:, y b u, y ku k... zesílení sousvy -řechodová chrkerisik: 74 37

36 38 75 Regulovnésousvy Asické Dvoukciní druhého řádu:,,, u b y y T k b b F I Dynmické vlsnosi -memickýois: -řenos: -řechodová chrkerisik: