Kombinatorika a grafy I

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kombinatorika a grafy I"

Transkript

1 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Kombiatoria a grafy I láta z II semestru iformatiy MFF UK podle předáše Odřeje Pagráce Zpracoval: Ja Zaatar Štětia Obsah Asymptoticá otace Odhad fatoriálu Odhady biomicých oeficietů Největší ombiačí číslo3 Částečě uspořádaé možiy3 Pricip iluze a exluze5 Vytvořující fuce6 Biárí stromy6 Halleova věta, Systém růzých reprezetatů7 Koečá projetiví rovia8 Kostruce KPR9 Bloová schémata0 Toy v sítích0 Míra souvislosti v grafech -souvislost Ramseyovy věty3

2 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (předáša, 309) Asymptoticá otace Def: Mějme f, g:nr, pa: () f O g c 0, 0 N 0 : f c g, tedy existuje c 0 taové, že od ějaého 0 pro všecha platí f c g, aebo taé: () f og lim sup lim sup f g =0 f g (3) f g g O f (4) f g g o f (5) f g f O g g Píšeme taé f =O g, ale e O g= f Odhad fatoriálu Úvod: Fatoriál!= 3 Pro 4 je! (důaz mi) Platí c R 0 N 0 : c! (hrubý odhad zespoda) Tvrz:! Důaz: BÚNO uvažme sudé Dolí odhad: Spárujeme od oců, vidíme, že pro je Tedy platí = Horí odhad: Aalogicy, použijeme AG-erovost ( a b ab = a tedy = )pro QED Mějme N, pa e e! e e Důaz: Vezmeme l!=ll l Dolí odhad: l! Taže platí x dx=[ x l x x ]!=! e = e e l! l!! e l = e Horí odhad: Platí l x dx l!, což se rová: l x dx=[ x l x x] = l a tedy! e l = e e=e e, QED Odhady biomicých oeficietů Úvod: =!!! =, tedy BÚNO můžeme počítat s 0 : 0 =!

3 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Pro je e Důaz: Doážeme silější tvrzeí, že e i Víme, že i x i =x a taé i x i i xi x x x i= 0 Tedy x i x = i xi i e x = x x e x x i= volme x= i= 0 i x i vždy e = e i= 0 i = e QED Úvod: Def: BÚNO uvažujme sudé / / e / = Pro m platí Důaz: = e Defiujeme P m = 3 5 m 4 6 m Rozšíříme P m = 3 5 m 4 6 m Horí odhad: Dolí odhad: m m m m m m, chceme Největší ombiačí číslo / průměr (odlišost o ostatu!) m P m m m m! 4 6 = 4 6 m m m! = m m m 4 = 3 m m m m = P m m = = P m m m 3 5 m = m m = m P m m P m 4 m P m 4 m = m, QED (předáša, 309) Částečě uspořádaá možia (ČUM) je X,, de X je eprázdá možia a je relace, terá je reflexiví, atisymetricá a trazitiví Částečě uspořádaé možiy Př: Hasseho diagramy {,,0},dělitelost Def: Mějme částečě uspořádaou možiu X,, pa a X je miimálí, poud pro všecha x X platí x a x=a, ejmeší, a x, maximálí, a x x=a a ejvětší, x a Def: f : X X ', de X,, X ', ' jsou dvě částečě uspořádaé možiy, je vořeí, poud () f je prosté () pro všecha x, y X platí x y, právě dyž f x ' f y Poz: X, je lieárí pro všecha x, y X platí x y ebo y x 3

4 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Nechť X, je ČUM, potom existuje její vořeí do X, Důaz: Chceme vořeí f : X X, položíme f x={y ; y X, y x} () předpoládejme f x= f y Pa platí x x x f x, x f x x f y x y Aalogicy y f x, y f x y x x y y x x= y, tedy f je prosté () předpoládejme x y Pa pro všecha z X platí z f x z x z y z f y f x f y echť f x f y Pa pro všecha z X platí z x z f x z f y z y Položíme z :=x a pa x y QED Def: R X je řetěžec, poud pro všecha r, r R platí r r r r A X je atiřetězec, poud pro všecha a, a A, a a platí a a a a Def: Déla je X, =max { R ; R řetězec v X, } Šířa je X, =max { A ; A atiřetězec v X, } O dlouhém a široém Mějme X, ČUM, X = Potom X, X, Důaz: Ozačíme X ={x X ; x miimálí v X, } X l (předpoládejme, že máme defiováo X,, X l ) l Položme X ' l = X X i i = (poud X ' l =, iteraci uočíme a položíme t :=l ) Zísáme X l ={x X ' l ; xmiimálí v X ' l, } X,, X t, zjevě atiřetězce () Pro t platí X i X, () X,, X t tvoří rozlad X (3) t X, : Mějme R řetězec Nechť x, y R, x, y X, x y Pa x y y x, SPOR Doážeme t= X, Volme x t libovolý v X t Pa máme x x t, de x i X i a tedy x X Z toho plye, že existuje x X taové, že x x x t Tato lze postupovat až do x, tedy x x t t X i i= t X, =t X, = X, X, QED Erdös-Szeresova (opaováí) Libovolá posloupost růzých čísel obsahuje mootóí podposloupost dély Důaz: Máme x,, x, X ={,, } Defiujeme i j i j x i x j Toto je částečé uspořádáí Víme, že lesající podposloupost ebo rostoucí podposloupost QED Spererova B = / Důaz: Poz: B = B Mějme 0, pa A= {,, } je atiřetězec v B a platí B a B / Stačí ám tedy už je doázat, že B / Vezměme A libovolý atiřetězec, chceme A / Položme R:= možia všech maximálích řetězců R R je tvořea,{x },{x,x }, a R =! Víme A R Počítejme počet p dvojic M,R, de M A,R R,M R : () Každý R je ejvýše jedou ve dvojici M,R, tedy p R =! () Fixujme M A: M ={m,,m }, M = Máme R R,M R {x,, x }={m,,m } Počet R s touto vlastostí je!! Tedy p= M! M!!, M A M A (Víme, že M! M!!! M = M A / = M M / ) 4

5 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey = A / / A / B QED (předáša 309) PIE = J {,, } A i = J {,, } J i J Pricip iluze a exluze A i Důaz prví: iducí Pro a platí Idučí ro i = Ai = i= A i A = A i A A i A i = = J i J A i A QED J {,, } Důaz druhý: pomocí biomicé věty x y = Nechť x i = x přispívá pravé straě J i J A i A = j {,, } J A i J {,, } i J A J A i J {,, } i J x J y J J A i a je prvem právě moži A i,,a i, BÚNO A i =A,, A i = A J {,, } Ai A = J, to má být rovo i i = 3 4 i= J ' A i J ' {,, } i J ' Platí 0= 0 3 počet podmoži sudé veliosti počet podmoži liché veliosti QED J = J {,, } J i J A i Přílad:Pravděpodobost, že permutace,, emá pevý bod Permutace bez pevého bodu je bijece p:{,, }{,, }, de i: pi i Počet všech permutací je! Ozačme P možiu všech permutací a V možiu permutací bez pevého bodu Pa V = P V = P A i perms pevým bodem i= A i =! Pravděpodobost, de A i ={ p ; p i=i} J J {,, } A i i J ={ p i J : p i=i }! i i! e =! J {,,} J J!= i!= i i! i i! (předáša 8309) Úloha: i =? = x x = (a) x = =0 x (b) =0 x l=0 xl =0 = =0, a=b x x i =0 Úloha: Úloha: i i liché 0 sudé = i =? = x x = (a) x l xl i i = i i =? x = i xi derivace =0 (b) x = x = i i xi =0 l=0 x 5

6 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Dosadíme x= : i i= = Opa: Biomicá věta x y = i xi y i Def: Př: Multiomicá věta: x x p = Zobecěá biom věta: x r = r,, p Z 0 ; i =0 p,, p x x p p, de i xi, de r r r r r i = ; i i! r Vytvořující fuce,, p =!! p! 0 = Uvažme posloupost reálých čísel a 0 Vytvořující fuce je mociá řada a x= a i x i Poud existuje R taové, že pro všecha i je a i i, potom mociá řada ax= a i x i overguje pro x, x = x x 3 overguje a, (posloupost,,,, ) Postup: Operace s mociými řadami a 0,a,a, ax= b 0,b,b, bx= i =0 ai x i Sčítáí: a xb x a 0 b 0, a b, Násobeí R : a x a 0, a, 3 Přidáí ul a začáte: x a x 0,, 0, a 0, a, 4 Posuutí doleva: a x x a i x i a, a, 5 Dosazeí x za x: a x 0 a 0, a, a, b i x i 6 Dosazeí x za x: ax a 0,0,,0,a,0,,0,a, 7 Derivováí (itegrováí): a ' x a, a,3 a 3, x at dt C,a 0, 0 a, 3 a, 8 Násobeí: a x b x= c i x i, de c = a i b i i =0 c 0 =a 0 b 0, c =a 0 b a b 0, c =a 0 b a b a b 0, Př: Def: Fiboacciho posloupost (zatím vyecháo) Biárí strom (reuretí defiice) (a) prázdý (0 vrcholů) (b) s jedím vrcholem (oře) (c) oře a uspořádaá dvojice biárích stromů Biárí stromy Úloha: Hledáme b počet biárích stromů s vrcholy b 0,b,b, má vytvořující fuci b x= b i x i i =0 6

7 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Pro :b = počet dvojic B L, B P, de B L, B P jsou biárí stromy a V B L V BP = b = =0 b b * bx b x=c 0 c xc x =b 0 b xb x, de c = b i b i i =0 ± * b x=x b x x b 4 x x b x=0 b, x= 4 x b x= x Zbývá tedy b x= 4 x= 4 x = =0 x lim b x=, to emůže být součet overgetí řady 4 x x 4 x :=b x Koeficiet u x 0 je = V 4 x je ultý absolutí čle 0 To lze vydělit x a dostáváme bx= = tedy b = 3 4 =! čleů 3 =! (Catalaova čísla) Opa: Teorie pravděpodobosti, zde vyecháo 4 x = 4 i 4i x, = = =!!! = Def: Halleova věta, Systém růzých reprezetatů Mějme možiový systém M=M i ;,,, de M i je oečé Systém růzých reprezetatů je prosté zobrazeí f :{,, } M i, de pro všecha,, je f i M i Př: M ={,,3}; M ={,4,5}; M 3 ={,5}; M 4 ={,3,5} Def: Mějme graf G=V, E F E se azývá párováí v grafu G, poud pro všecha v V ; f, f ' F :v f v f ' f =f ' Úloha: Máme M možiový systém, G bipartití graf s partitami {,, } a M i a e E G e={i, x}, x M i M=M i ;,, emá SRR, poud existuje I {,, } taové, že M i I Druhý případ: 7

8 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Halleova I {,,}: I M=M i ;,, má SRR M i i I Halleova podmía Důaz: jasé matematicou iducí dle M i = : () Předpoládejme, že J {,,}, J, J = j J M j Položme J ' ={,,} J ; M J =M j ; j J ;M J ' =M j ' ; j ' J ' Pozorováí:,,: M i M J splňuje Halleovu podmíu a j J M j Dle idučího předpoladu: M J má SRR Položíme M'=M i M j j J M i ' I ' J ' : M i I ' i' = i I ' J M i j J M j M' splňuje Halleovu podmíu ;i J ', pa M j ' j J ' I ' J J = I ' J J = I ' () Předpoládejme, že x M i taové, že existuje právě jedo j, že i= x M j (BÚNO j= ) Zvolíme x jao reprezetata M a položíme M'=M i ;,, Dle předpoladu věty pro I {,, } platí HP a M i dle idučího předpoladu existuje SRR pro M' (3) eastae-li () ai (): x budiž libovolý prve M Položíme M i ' = M i pro,, M i {x}pro i= M'=M i ' ;,, splňuje Halleovu podmíu: Mějme I {,,} Protože eastala (): I M i i I a M i I i' M i i I, tedy I M i I i' Zbývá ověřit M i ', ale protože eastala (), ta i : x M i x M ' i a M i '= M i Zároveň M i ' = a dle idučího předpoladu má M' SRR a te je SRR pro M ( M i ' M i ) QED Tvrz: Nechť G je bipartití graf s partitami V, V a E 0, pro všecha x V, y V platí, že deg x deg y Pa existuje párováí F v G taové, že porývá V Důaz: V ={x,, x },V ={y,, y } Položme M= M i ;,, ta, že M i ={y j ; {x i, y j } E }, J {,, }, S J ={y V ; j J :{x j, y} E }= j J M j Chceme, aby platila Halleova podmía: J S J Počet hra G[{x ; j J } S ]= j j deg x j deg y j J y S J Ozačme =mi {deg x j ; j J }, =mi {deg y; y S J } Platí 0 : j J deg x j J ; y S J deg y S J J S J J S J Halleova podmía platí, QED Př: Def: Latisé čtverce a obdélíy Latisý čtverec řádu je matice A řádu taová, že pro všecha i, j:a i, j {,, } a pro všecha i, r, s, r s:a i, r a i,s a r,i a s, i Úloha: Odhad počtu latisých čtverců: =! L! Def: Latisý obdélí řádu je matice A ' typu, terá splňuje podmíy latisého čtverce Tvrz: Každý latisý obdélí lze doplit a latisý čtverec Důaz: rozšíříme o řáde : A '=a i, j ;,, ; j=,, Hledáme a doplňující A ' a latisý obdélí Položíme M j ={,,} {a, j,,a, j }, M= M j ; j=,, a f :{,,}{,,} SRR pro M Defiujeme a, j = f j Toto je oretí rozšířeí A ' (předáša 7409) Koečá projetiví rovia Otestujeme již je Halleovu podmíu: J j J M j, J {,, } : Defiujeme G bipartití graf s partitami {x,, x },{ y,, y }, de {x i, y i } E j M i Platí:,,:deg x i = M i = =a j=,, :deg y j = M i = =b, b a Dle předchozího tvrzeí existuje SSR pro M, QED Def: Koečá projetiví rovia je dvojice X,P, de X je oečá eprázdá možia, P X a platí axiomy (P0) č X : č =4; P P: P č (P) P, P P, P P P P = 8

9 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (P) x, x X, x x! P P: x, x P Tvrz: X,P je KPR, potom P, P P: P = P Důaz: P P Dle (P0) existuje č={a,b, c,d }, de platí: (a) existuje jede bod P P aebo (b) body jsou a P, P po dvou, BÚNO P =ab,p =cd Uvažme přímy Q =ac,q =bd Dle (P) existuje y X : y Q Q y P P Oidexujeme P ={x, x,, x }, položíme R i = yx i,,, R i P = x' i x, jia R i P SPOR, i j x' i x' j, jia R i R j SPOR, tedy P P Aalogicy doážeme P P P = P, QED Def: Řád KPR X,P je rove P pro P P Tvrz: X,P je KPR řádu, potom platí: (0) P P: P = () x X : {P P; x P } = () X = (3) P = Důaz: (0) z defiice () Vezměme libovolý x X Dle (P0) existuje a,b, c č {x}, že ab ac={a} x ab x ac P P: x P, ozačíme toto P={a 0,,a } a P i =a i x ;,, Ať Q P: x Q Q P =, tedy existuje i: a i Q {x,a i } P i Q P i =Q () Vezměme libovolou P P,P={x 0,, x },a P libovolý Položme P i =ax i ;,, i = P i = = (3?) Ať je b X Pro b=a o, jia: Položíme Q=ab P i Q={x i } a zároveň a,x i Q Q= P i, QED Def: Dualita je A,M, de M A M,B je duálí systém pro B={{M M; a M }, a A} Tvrz: Duálí systém e KPR řádu je KPR řádu Poz, jao důslede má (3) v předchozím tvrzeí Důaz: X,PP,T ; T=T x ; x X ; T x ={P P; x P } (P0)* P,,P 4 P růzé, tž x X : T x {P,,P 4 } X,P je KPR č X :č ={a, b, c, d } P =ab; P =bc ; P 3 =cd ; P 4 =da, ať x P P P 3 Pa x P P x =b ; x P P 3 x=c, SPOR Žádé tři přímy emají jede společý průsečí (P)* x, y X,x y: T x T y = (P) T x T y ={P P; x P, z P}! P P: x, y P (P)* (P) P, P P,P P! x: x P P P,P T x Ať P,P T y pro x y y P P SPOR QED? Př: Kostruce KPR Nechť = p e, de p je prvočíslo, e Potom existuje KPR řádu Důaz: Existuje F těleso s právě prvy X ={ x, y ; x, y F} {*, y; y F } {*,*} (P0) č={0,0, 0,,,0,,}, P P: č P (P) P = P, P =P P:, F : P ={ x, x ; x F } {*, } F : P ={, y; y F } {*, *} P * ={*, y ; y F } {*, *} = *, P P x = x x= = x, x P P, QED Def: Latisé čtverce A, B řádu jsou ortogoálí: A B i, j,i ', j ',i, j i ', j' a i, j,b i, j a i ', j ',b i ', j ' Tvrz: A,, A m budiž avzájem po dvou ortogoálí latisé čtverce řádu, pa m Důaz: Mějme A B latisé čtverce řádu, S ; A '=a ' i, j i, j =,a' i, j =a i, j Potom A ' B BÚNO je prví řáde A i =,, pro i,,m, tedy apř A i, a pro i j: A i, A j, m, QED 9

10 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey (předáša 5409) Pro existuje KPR řádu, právě dyž existuje vzájemě ortogoálích latisých čtverců řádu Důaz: Mějme A,,A ortogoálí latisé čtverce řádu, X,P KPR řádu Zde platí ásledující: X = P = ; P P: P = ; x X : {P P; x P } = Zvolíme r, s libovolé body, P=rs, ostatí body ozačíme l,,l Budiž P,, P přímy tž r P i, s P i,,, a Q,,Q přímy tž s Q i,r Q i,,,, Ozačme i, j=,,: x i, j = P i Q j průsečí Dále ostruujeme přímy dle latisého čtverce: a=,, ; b=,, L a,b ={l a } {x i, j ; A a i, j =b} Ověříme axiomy: (P0) č={x,,x,, x,,x, } (z obr) (P) P s ostatími OK P i Q j dle defiice OK P i L a, b :! j : A a i, j =b OK L a,b Lc,d : a=c La,b Lc,d ={l a } a c A a A c! i, j: x i, j : A a i, j =b ; A c i, j =d OK (P) Zřejmé QED Mějme mociu prvočísla, potom existují A,, A avzájem ortogoálí latisé čtverce řádu Důaz: Mějme K omutativí těleso řádu Ozačme prvy t 0 =0,t =,, t, =,, ;i, j=0,, a budiž A i, j =t t i t j Je A latisý čtverec? V i-tém řádu jsou prvy t t i t 0,t t i t,,t t i t růzé, v j-tém sloupci jsou prvy t t 0 t j,, t l t t j růzé, ještě zbývá ověřit ' A A' Ať i, j,i', j' : A i, j, A ' i, j = A i', j ', A ' i ', j ' růzé t t i t j =t t i' t j ' ; t ' t i t j =t ' t i ' t j ' 0 Bloová schémata Def: Nechť X je oečá možia, B X ;,,t, Z, t,, pa X,B je bloové schéma typu t,,, poud platí () X = () B B: B = (3) T X t existuje přesě moži B i,,,, že B i B, T B i t i t t ' =t i ' t t ' t i =t i ' ; t j =t j' i=i ' ; j= j ', SPOR QED Př: () Triviálí bloové schéma: X =,B= X,= t t () KPR řádu K,P je zároveň bloové schéma typu,, (3) Bloové schéma typu,, existuje, právě dyž Ať existuje bloové schéma typu t,,, potom jsou ásledující zlomy celočíselé: t t,,, t t t t Důaz: X,B dle zadáí, platí B = t t Zvolme S X, S =s t a počítejme počet dvojic T, B taových, že S T X t, T B B : (a) S lze a T rozšířit s t s způsoby, T je v blocích (b) libovolé B taové, že S B, obsahuje s t s růzých T X t taových, že S T B Tedy počet bloů obsahujících S je (a) (b), s t s s = t s s ts t s! s ts t s! celé číslo s=0,,t QED Def: Steierovsé systémy trojic jsou bloová schémata typu t=,=, =3 Př: Faova rovia, KPR řádu KPR řádu 3 bez bodů jedé přímy afií rovia (předáša 409) Toy v sítích Def: Síť je G, s,t,c, de G je orietovaý graf V, E, 0

11 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey s, t V, s t (s: source, zdroj, start, t: target, spotřebič, sto) a c: E R 0 + (apacita) Def: To je f : E R 0 + taová, že e E : f e ce a v V,v s,t : x,v E Veliost tou je f = s, x : Pro všechy sítě existuje to f s, x x, s f x, s= x, t f x,v= v, x E f x, t t, x f t, x f v, x Poz, Def: Pro aždou síť existuje maximálí to do odvoláí uvažujeme BÚNO G souvislý (v rámci této předášy) Řez mezi s a t je R E taová, že v síti G ', s,t,c' eexistuje žádá orietovaá cesta ze s do t, de G '=V,E R Def: Je-li A V, s A, t a, ozačme R A,V A:={e E ;e=a,b, a A, b A} Potom R A,V A je řez a azývá se elemetárí řez Def: Mějme G,s,t,c síť, f to, ať s=v 0, e, v,, v, e, v =t je eorietovaá cesta ze s do t, že i j :v i v j ; e i =v i, v i e i =v i,v i Tato cesta je easyceá (vylepšující), je-li f e i ce i pro e i =v i, v i a f e i 0 pro e i =v i, v v, asyceá jia Lemma:Mějme G,s,t,c síť, f to f je maximálí, právě dyž eexistuje vylepšující cesta ze s do t Důsl: Důaz: Ať s=v 0,e,v,,v,e,v =t je vylepšující cesta Položme = mi {c e i f e i }0, e i =v i,v i = mi { f e i }0 ; =mi{, }0 a oečě e i =v i,v i f ' e= f e, poud e e i,,,, f e, poud e=e i =v i,v i, f e, poud e=e i =v i,v i Platí, že f ' je to, f ' = f f, SPOR A={v V ; vylepšující cesta ze s do v}, s A,t A, potom R A, V A je řez e R,e= a,b,a A,b A f e=ce (jia by max f mi c R f to R řez Nechť G,s,t,c je síť, pa max f to Již máme Pro spor ať f je maximálí to, R miimálí řez, ale f c R f =mi R řez c R šlo prodloužit vylepšující cestu do b) c R= c e= e R e R f e f (*) Ať R' je libovolý řez a f' je libovolý to, potom f ' c R ' Protože f = c R, ta f je max QED (*) Nerovost: f x, v= f = v A Alg: Ford-Fulerso (pro ce Z e ) e: f e=0 Existuje-li vylepšující cesta ze s do t, zvětšíme to podél cesty a opaovat () 3 To je maximálí, oec e =a,b v, x f a, b c R f v, x x, v e= b ',a ' v A v, x f b ', a ' c R 0 f v, x v A x, v Platí e=b,a,b A,a A f e=0 a tedy f e= f e R A={v V ; vylepšující cesta ze s do v}, s A, t A a R A, V A je řez c R A, V A= f c R, SPOR QED f x, v Důsl: Je-li G,s,t,c síť s celočíselými apacitami, potom existuje celočíselý maximálí to Je-li G, s,t,c síť a e:ce Q, potom existuje maximálí to

12 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey f :{,, } M i a i {,,}: f i M i SRR odpovídá párováí veliosti X = M i ; i, x E x M i Budiž f celočíselý to f, E {e ; f e=} je párováí SRR existuje, právě dyž existuje celočíselý to veliosti Úloha: Kapacita a vrcholech Míra souvislosti v grafech Def: Mějme graf G=V, E, N G je vrcholově -souvislý, poud V a pro U V : U je G U souvislý G je hraově -souvislý, poud pro F E : F je G F souvislý U V je vrcholový řez, je-li G U esouvislý F E je hraový řez, je-li G F esouvislý Vrcholová souvislost je V G=mi { U ;U vrcholový řez }, poud G K, jia V K = Hraová souvislost je E G =mi { F ; F hraový řez} Lemma:Mějme G=V, E,e E, pa E G E G e E G Důaz: Uvažme F miimálí hraový řez F ' =F {e} je řez G e, ale emusí být miimálí F F ' F E G e F ' F E G Lemma:Mějme G=V, E,e E, pa V G V G e V G Důaz: Uvažme U V miimálí řez G G U eí souvislý Položme H :=G e V H V H e Vezměme U' miimálí řez H, V H = U ' H U má ompoety C,,C r,r e={x, y} a může astat: () x U ' ebo y U ' Položme F'' miimálí řez G e, F ' ' {e} je řez G F ' ' {e} = F ' ' = E G e, QED EG e E He U ' He U ' =H U ' () i: x, y C i ompoeta grafu H e U ' graf esouvislý (3) x C, y C, r = a máme dvě možosti: buď C = C = He K ; V H =, V H e= aebo C C {x},c ompoety H e U ' {x }, QED Tvrz: V G E G Důaz: iducí dle E () E V G esouvislý, V G= E G =0 a dooce platí pro aždý G esouvislý () G souvislý, E G, F miimálí hraový řez F e F Položíme G ' :=G e, dle IP V G' E G ' Platí E G' = E G a V G Lemma V G ' E G ' = E G, QED IP -souvislost Tvrz: Graf G=V, E je -souvislý, právě dyž u,v V ružice v G, terá obsahuje i v Tvrz: Ušaté lemma Každý -souvislý graf lze sísat z ružice přidáím uší, de ucho je cesta, terá má s původím grafem společé právě ocové vrcholy Důaz: G je -souvislý V 3,e={u,v} E, E G V G G e souvislý cesta z u do v v G e Pe ružice G' maximálí podgraf G vzilý přidáváím uší e ružici Ať existuje e' E E G' Možosti: () e' ={x, y }, x, y V G' e' ucho v OK () x V G ', y V G ' G x souvislý Buď P' cesta z y do V G v G Pa P 'e ' je ucho OK (3) x, y V G cesta z x do V G ' v G Buď e'' posledí hraa této cesty, e' '={a,b},a V G ',b V G' Převedeo a případ () QED Ford-Fulersoova Mějme G=V, E, N Pa E G u, v V, u v hraě disjutích cest z u do v Důaz: Ať F je miimálí řez F a u, v jsou v růzých ompoetách G F

13 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey Existují P,, P hraě disjutí cesty z u do v: i: P i F e i P i F :i j e i e j a tedy {e,,e } F, {e,, e } =, SPOR Mějme G' síť, zdrojem budiž u, spotřebičem v, c, f maximálí celočíselý to v G' eobsahující ružice dély, R miimálí řez f = R Položme F ={{x, y}; x, y R} f R f a ajdeme P,, P disjutí cesty uv () = : hray s f = obsahují to z u do v, tedy miimálí to je cesta z u do v () : hray s f = obsahují to z u do v P cesta z u do v Na P astavíme f =0, jia f f = f a postup iducí QED Meger Mějme G=V, E, N Pa V G u, v V, u v vrcholově disjutích cest z u do v (až a ocové vrcholy) Důaz: Ať U je miimálí vrcholový řez U, u, v v růzých ompoetách G U Existují P,, P vrcholově disjutí cesty z u do v a i: P i U v i P i U :i j v i v j Pa {v,,v } U, {v,,v } =, SPOR Symetricá orietace v G, x V, x u, v : Zdroj u u ' ', spotřebič v v',c, F ={ x', x ' ' ; x V {u, v}}, f maximálí to v síti, R maximálí řez, že e R F ajdeme e' :e=x ' ', y' Buď x u :e' = x', x' ' jeda z ich ebo y v:e' = y', y' ' Předpolad: {u,v} E, jia totéž v G e {u, v} Položíme R' =R bez hra e R F, ale s e' R' R, R' řez R ' = R, R ' F U ={x;x ', x' ' R ' } U řez v G U = F QED Ramseyovy věty N N N G=V, E, V =N : K G E G iduovaě R budiž miimálí taové N Důaz: Uážeme R 4 Vezměme G=V, E, V =, v libovolý vrchol z V V V {v }, že Vezměme v libovolý vrchol z V V V {v }, že Dále iducí v i z v i : Tvrz: Pro 4 je R = buď v V :{v,v } E V V = 3 ebo v V :{v,v } E buď v V :{v,v } E V V 4 ebo v V :{v, v } E V i V i {v i }, že buď v V i :{v,v i } E V i V i i ebo v V i :{v,v i } E (pro v u v i víme, že je s imi (e)spoje) Kočíme s v a máme posloupost v,,v taovou, že i ji buď {v i,v j } E v i ozačíme ebo {v i,v j } E v i ozačíme Existuje zaméo a existuje i,,i taové, že G [{v i,,v i }] je K pro aebo E pro Důaz: Mějme N =,G áhodý graf s N vrcholy a {u,v} E s pravděpodobostí (ezávisle) -prvová podmožia vrcholů iduuje K s pravděpodobostí, E stejě ta Pravděpodobost, že G má iduovaý podgraf K :=P N a E :=P N K ebo E :=P I P P = = N N! =! N! N = = = Pravděpodobost, že G emá iduovaý podgraf K ebo E : P N = P I 0 graf s vrcholy bez K, E QED r N,, r N N N c : E K {,,r } i 0 {,,r } U V K u,u U :c {u, u }=i 0 U i 0 Česy: Pro aždé r N a všechy r-tice,, r N existuje přirozeé číslo N, že pro libovolé obarveí c hra grafu K pomocí r barev existuje barva i 0 a podmožia vrcholů U taová, že hraa mezi aždými dvěma jejími vrcholy má barvu i 0 a počet vrcholů je alespoň i0 Uf Důaz: Ozačme miimálí taové N jao R,, r, R r r Doážeme R,, r R,, i, i, i, r iducí dle i : r i= () == r = stačí N = (existuje-li i, aby i = N =, triviálí) Tedy dále platí i: i Ať v je libovolý vrchol, V i ={u V ; r, c{u, v}=i} V i R,, i, i, i,, r, použijeme IP: 3

14 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey i 0 U V i : i 0 i i 0 = i-tému z,, i, i, i,, r i 0 =i U '=U {v} QED?!, r, p N N N X, X N c: X p {,, r} i 0 {,,r } Y X, Y : c Y p i 0 Česy: Pro libovolá přirozeá čísla, r, p existuje N taové, že a libovolé možiě X o veliosti N pro c libovolé obarveí p-tic jejích prvů r barvami existuje barva i 0 taová, že pro i ajdeme Y podmožiu X veliosti alespoň taovou, že a í c je ostatě rovo barvě i 0 Neoečá verze předchozí r, p N X eoečou c: X p {,,r} i 0 {,,r} Y X eoečá :c ^Y p i 0 Česy: Pro libovolá přirozeá čísla r, p a pro libovolou eoečou možiu X a pro c libovolé obarveí p-tic jejích prvů r barvami existuje barva i 0 taová, že ajdeme Y eoečou podmožiu X, že c parcializováo a Y je ostatě rovo i 0 Důaz: Iducí dle p () p=: c: X {,, r} triviálí () p : X ={x,} spočetá, x : c' : X {x } p {,,r} ta, že c' {y,, y p }=c{x, y,, y p } Existuje Y X {x } eoečá, že c' ^ Y p c x Y : c' ' Y {x } p {,,r}: c' ' {y,, y p }=c{x, y,, y p } x i Y i : c i : Existuje Y Y {x } eoečá, že c' ' ^ Y p c A ta dále: Y i {x i } p {,,r}: ci {y,, y p }=c{x i, y,, y p } Existuje Y i Y i {x i } eoečá, že c i ^ Y i p c i Tím dostáváme eoečou posloupost x,x, taovou, že i j p j p j i : c{x i, x j,, x j p }=c i i 0 taové, že pro eoečou I N : c i =i 0 a Y ={x i ;i I } Potom c ^ Y p =i 0 a Y je eoečá QED Poz: Odhady Ramseyových čísel Erdös-Szeeres (935): Rödl (986): Thomaso: Rm, m m ; dolí odhad: R e R c, c log c, c 0 R R Erdös-Szeeres N N N taové, že libovolá N-prvová možia bodů v roviě v obecé poloze (žádé tři eleží a přímce) obsahuje bodů v ovexí poloze Důaz: Iducí dle () =4 : stačí N =5 Poud je ovexí obal pěti bodů 4 ebo 5-úhelí, OK Pro 3-úhelí: () 4 : buď X možia vodů (v obecé poloze) a buď c obarveí X 4 ovexí / eovexí čtveřice Y X : Y = Y 4 stejého typu, dle () ovexí, tedy Y je ovexí Sporem, triagulujeme y bodů, je-li bod v trojúhelíu, spolu s ím tvoří čtveřici, terá eí ovexí N R p=4,r =, QED Schur r N N N c:{,, N }{,, r} x, y {,, N }, x y : cx=c y=cx y Důaz: N :=R,r,3 Položíme c' : {,, N } {,, r}: c' {i, j}=c i j Najdeme : c' {,}=c' {,}=c' {,}=c 0 a x=, y= Potom platí, že c x=c' {,}=c 0 ; c y=c' {,}=c 0 ; c x y=c ' {,}=c 0 Ale může astat x= y budeme hledat čtveřice, N :=R,r,4 a pro x= y použijeme y '= QED N G bez trojúhelíů taový, že G Důaz: 3 Položíme X : X = R,,3,V G = X a 4

15 Kombiatoria a grafy I Asymptoticá otace, ČUM, PIE, Vytvořující fuce, Bi stromy, SRR, KPR, Bloová schémata, Toy v sítích, Ramsey E G ={{{u,v},{x, y}}; uv= x y} G emá trojúhelí, sporem: {x, y },{x, y },{x 3, y 3 }, BÚNO x i y i, x x x 3 x y = x y ; x y = x 3 y 3 ; x y = x 3 y 3 x = x 3 x x 3, SPOR G =? Buď c libovolé obarveí, z z z 3 X, že v ={z, z 3 }, v ={z, z 3 }, v 3 ={z, z } Pa {v,v 3 } E c v =cv Tedy G To by mělo být všecho Poud ajdete ějaé chyby, prosím ozamte mi je obratem a zaatar@gmailcom, pomůžete sobě, mě i všem ostatím, co výpisy užívají Taé se a mě obraťte v případě jaýcholiv requestů a případé chybějící části apod Zaatar 5

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a)

Budeme pokračovat v nahrazování funkce f(x) v okolí bodu a polynomy, tj. hledat vhodné konstanty c n tak, aby bylo pro malá x a. = f (a), f(x) f(a) Předáša 7 Derivace a difereciály vyšších řádů Budeme poračovat v ahrazováí fuce f(x v oolí bodu a polyomy, tj hledat vhodé ostaty c ta, aby bylo pro malá x a f(x c 0 + c 1 (x a + c 2 (x a 2 + c 3 (x a

Více

Diskrétní matematika

Diskrétní matematika Diskrétí matematika Biárí relace, zobrazeí, Teorie grafů, Teorie pravděpodobosti Diskrétí matematika látka z I semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia Obsah Biárí relace2

Více

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce

MATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost

Více

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu

5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu 5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá

Více

Matematická analýza I

Matematická analýza I 1 Matematická aalýza ity posloupostí, součty ekoečých řad, ity fukce, derivace Matematická aalýza I látka z I. semestru iformatiky MFF UK Zpracovali: Odřej Keddie Profat, Ja Zaatar Štětia a další 2 Matematická

Více

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1

n 3 lim 3 1 = lim Je vidět, že posloupnost je neklesající, tedy z Leibnize řada konverguje, ( 1) k 1 k=1 3. cvičeí Přílady. (a) (b) (c) ( ) ( 3 ) = Otestujeme itu 3 = 3 = = 0. Je vidět, že posloupost je elesající, tedy z Leibize řada overguje, ( ) Řada overguje podle Leibizova ritéria, ebot je zjevě erostoucí.

Více

Kapitola 4 Euklidovské prostory

Kapitola 4 Euklidovské prostory Kapitola 4 Euklidovské prostory 4.1. Defiice euklidovského prostoru 4.1.1. DEFINICE Nechť E je vektorový prostor ad tělesem reálých čísel R,, : E 2 R. E se azývá euklidovský prostor, platí-li: (I) Pro

Více

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE

1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE 1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;

Více

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na.

Determinanty Opakování: Permutace na n prvcích je zobrazení p:{1,..., n} {1,..., n}, které je prosté a na. Li algebra determiaty, polyomy, vlast čísla a vetory, charateristicý mohočle, salárí souči, posdef matice, bilieárí a vadraticé formy Lieárí algebra II láta z II semestru iformatiy MFF UK dle předáše Jiřího

Více

6. Posloupnosti a jejich limity, řady

6. Posloupnosti a jejich limity, řady Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme

Více

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených.

!!! V uvedených vzorcích se vyskytují čísla n a k tato čísla musí být z oboru čísel přirozených. Kombiatoria Kombiatoria část matematiy, terá se zabývá růzými číselými "ombiacemi". Využití - apř při hledáí počtu možých tipů ve sportce ebo jiých soutěžích hrách, v chemii při spojováí moleul... Záladím

Více

Kombinatorika a Grafy I NDMI011

Kombinatorika a Grafy I NDMI011 Kombiatorika a Grafy I NDMI0 Odhad faktoriálu Prví odhady: Horí odhad: Dolí odhad: 2! i i= i= (! 2 = ( 2 3 Věta. (Stirligova. Faktoriál lze odhadout pomocí fukce! = ( 2π e Nebo-li lim ( 2π e =! Věta.2

Více

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln

k(k + 1) = A k + B. s n = n 1 n + 1 = = 3. = ln 2 + ln. 2 + ln Číselé řady - řešeé přílady ČÍSELNÉ ŘADY - řešeé přílady A. Součty řad Vzorové přílady:.. Přílad. Určete součet řady + = + 6 + +.... Řešeí: Rozladem -tého čleu řady a parciálí zlomy dostáváme + = + ) =

Více

5. Posloupnosti a řady

5. Posloupnosti a řady Matematická aalýza I předášky M. Málka cvičeí A. Hakové a R. Otáhalové Zimí semestr 2004/05 5. Poslouposti a řady 5.1 Limita a hromadé hodoty. Mějme posloupost x ) prvků Hausdorffova topologického prostoru

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Opakováí z miulé hodiy: 8 Hodoty poslouposti + se pro blížící se k ekoeču blíží k a to tak že mezi = posloupostí a číslem eexistuje žádá mezera říkáme že

Více

1. Přirozená topologie v R n

1. Přirozená topologie v R n MATEMATICKÁ ANALÝZA III předášy M Krupy Zií seestr 999/ Přirozeá topologie v R V prví části tohoto tetu zavádíe přirozeou topologii a ožiě R ejprve jao topologii orovaého prostoru a pa jao topologii součiu

Více

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:

1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte: 1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí

Více

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1

n=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1 [M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti

Více

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu):

Zformulujme PMI nyní přesně (v duchu výrokové logiky jiný kurz tohoto webu): Pricip matematické idukce PMI) se systematicky probírá v jié části středoškolské matematiky. a tomto místě je zařaze z důvodu opakováí matka moudrosti) a proto, abychom ji mohli bez uzarděí použít při

Více

1 Základní pojmy a vlastnosti

1 Základní pojmy a vlastnosti Základí pojmy a vlastosti DEFINICE (Trigoometrický polyom a řada). Fukce k = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrický polyom. Řada = (a cos(x) + b si(x)) se azývá trigoometrická řada. TVRZENÍ (Ortogoalita).

Více

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n

je konvergentní, právě když existuje číslo a R tak, že pro všechna přirozená <. Číslu a říkáme limita posloupnosti ( ) n n 1 n n n 8.3. Limity ěkterých posloupostí Předpoklady: 83 Pedagogická pozámka: Tuto a tři ásledující hodiy je možé probrat za dvě vyučovací hodiy. V této hodiě je možé vyechat dokazováí limit v příkladu 3. Opakováí

Více

NEPARAMETRICKÉ METODY

NEPARAMETRICKÉ METODY NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost

Více

Přednáška 7, 14. listopadu 2014

Přednáška 7, 14. listopadu 2014 Předáška 7, 4. listopadu 204 Uvedeme bez důkazu klasické zobecěí Leibizova kritéria (v ěmž b = ( ) + ). Tvrzeí (Dirichletovo a Abelovo kritérium). Nechť (a ), (b ) R, přičemž a a 2 a 3 0. Pak platí, že.

Více

1 Trochu o kritériích dělitelnosti

1 Trochu o kritériích dělitelnosti Meu: Úloha č.1 Dělitelost a prvočísla Mirko Rokyta, KMA MFF UK Praha Jaov, 12.10.2013 Růzé dělitelosti, třeba 11 a 7 (aeb Jak zfalšovat rodé číslo). Prvočísla: které je ejlepší, které je ejvětší a jak

Více

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika

Přijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo

Více

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti

Matematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

Matematika I, část II

Matematika I, část II 1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího

Více

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost

je číselná posloupnost. Pro všechna n položme s n = ak. Posloupnost Číselé řady Defiice (Posloupost částečých součtů číselé řady). Nechť (a ) =1 je číselá posloupost. Pro všecha položme s = ak. Posloupost ( s ) azýváme posloupost částečých součtů řady. Defiice (Součet

Více

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.

11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy. 11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám

Více

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3.

6. KOMBINATORIKA 181. 6.1. Základní pojmy 181 6.1.1. Počítání s faktoriály a kombinačními čísly 182. 6.2. Variace 184. 6.3. Zálady matematiy Kombiatoria. KOMBINATORIKA 8.. Záladí pojmy 8... Počítáí s fatoriály a ombiačími čísly 8.. Variace 8.. Permutace 85.. Kombiace 87.5. Biomicá věta 89 Úlohy samostatému řešeí 9 Výsledy úloh

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8 Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým příladům z IQ testů, teré studeti zají

Více

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel

Komplexní čísla. Definice komplexních čísel Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují

Více

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM

Kombinatorika- 3. Základy diskrétní matematiky, BI-ZDM Kombiatorika- 3 doc. RNDr. Josef Kolář, CSc. Katedra teoretické iformatiky FIT České vysoké učeí techické v Praze c Josef Kolar, 2011 Základy diskrétí matematiky, BI-ZDM ZS 2011/12, Lekce 8 Evropský sociálí

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V

1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být

Více

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n,

1. Nakreslete všechny kostry následujících grafů: nemá žádnou kostru, roven. roven n, DSM2 Cv 7 Kostry grafů Defiice kostry grafu: Nechť G = V, E je souvislý graf. Kostrou grafu G azýváme každý jeho podgraf, který má stejou možiu vrcholů a je zároveň stromem. 1. Nakreslete všechy kostry

Více

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem)

Kapitola 5 - Matice (nad tělesem) Kapitola 5 - Matice (ad tělesem) 5.. Defiice matice 5... DEFINICE Nechť T je těleso, m, N. Maticí typu m, ad tělesem T rozumíme zobrazeí možiy {, 2,, m} {, 2,, } do T. 5..2. OZNAČENÍ Možiu všech matic

Více

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost

Náhodné jevy, jevové pole, pravděpodobnost S Náhodé jevy pravděpodobost Náhodé jevy jevové pole pravděpodobost Lbor Žák S Náhodé jevy pravděpodobost Lbor Žák Základí pojmy Expermet česky též vědecký pokus je soubor jedáí a pozorováí jehož účelem

Více

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER

MATICOVÉ HRY MATICOVÝCH HER MATICOVÉ HRY FORMULACE, KONCEPCE ŘEŠENÍ, SMÍŠENÉ ROZŠÍŘENÍ MATICOVÝCH HER, ZÁKLADNÍ VĚTA MATICOVÝCH HER CO JE TO TEORIE HER A ČÍM SE ZABÝVÁ? Teorie her je ekoomická vědí disciplía, která se zabývá studiem

Více

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet

z možností, jak tuto veličinu charakterizovat, je určit součet 6 Charakteristiky áhodé veličiy. Nejdůležitější diskrétí a spojitá rozděleí. 6.1. Číselé charakteristiky áhodé veličiy 6.1.1. Středí hodota Uvažujme ejprve diskrétí áhodou veličiu X s rozděleím {x }, {p

Více

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie

3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie 3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se

Více

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).

Správnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13). 37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým

Více

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace:

Znegujte následující výroky a rozhodněte, jestli platí výrok, nebo jeho negace: . cvičeí Příklady a matematickou idukci Dokažte:.! . Návody:. + +. + i i i i + + 4. + + + + + + + + Operace s možiami.

Více

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení

Přijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.

Více

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č.

Náhoda. Pravděpodobnost výhry při sázce na barvu: p = 18/37 = 0,486 Průměrný zisk při n sázkách částky č: - n.č + 2.č.n.p = n.č. Náhoda při i hřeh Martigale: Vsadíšřeěme dolar a barvu, terou si vybereš (červeáči čerá) a budeš stále sázet je a i. Roztočíš ruletu a čeáš Poud prohraješ, zdvojásobíš sázu, taže vsadíš příště dolary.

Více

Definice obecné mocniny

Definice obecné mocniny Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma

Více

Kombinatorika a grafy

Kombinatorika a grafy Kombiatorika a grafy Doc. RNDr. Pavel Valtr, Dr. Prof. RNDr. Ja Kratochvíl, CSc. Obsah 1 Základí pojmy 2 2 Aplikace lieárí algebry 3 3 Multigrafy 5 3.1 Chromatický polyom..................................

Více

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin 3. Charateristiy a parametry áhodých veliči Úolem této apitoly je zavést pomocý aparát, terým budeme dále popisovat pomocí jedoduchých prostředů áhodé veličiy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo

Více

Užití binomické věty

Užití binomické věty 9..9 Užití biomické věty Předpoklady: 98 Často ám z biomického rozvoje stačí pouze jede kokrétí čle. Př. : x Urči šestý čle biomického rozvoje xy + 4y. Získaý výraz uprav. Biomický rozvoj začíá: ( a +

Více

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic

Iterační metody řešení soustav lineárních rovnic Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro

Více

1 Seznamová barevnost úplných bipartitních

1 Seznamová barevnost úplných bipartitních Barvení grafů pravděpodobnotní důazy Zdeně Dvořá 7. proince 208 Seznamová barevnot úplných bipartitních grafů Hypergraf je (labě) -obarvitelný, jetliže exituje jeho obarvení barvami neobahující monochromaticou

Více

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...

Obsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad... Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1

Více

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen

8.1.2 Vzorec pro n-tý člen 8.. Vzorec pro -tý čle Předpolady: 80 Pedagogicá pozáma: Myslím, že jde o jedu z velmi pěých hodi. Přílady a hledáí dalších čleů posloupostí a a objevováí vzorců pro -tý čle do začé míry odpovídají typicým

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA. Náhodný vektor nezávislost, funkce náhodného vektoru SP Náhodý vetor ezávislost fuce NV PRAVDĚPODONOST A STATISTIKA Náhodý vetor ezávislost fuce áhodého vetoru Libor Žá Náhodý vetor stochasticá ezávislost Náhodé veličiy... defiovaé a ravděodobostím rostoru

Více

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti

Matematika 1. Ivana Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D Posloupnosti Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Ivaa Pultarová Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti

Více

12. N á h o d n ý v ý b ě r

12. N á h o d n ý v ý b ě r 12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých

Více

8.2.6 Geometrická posloupnost

8.2.6 Geometrická posloupnost 8.. Geometricá posloupost Předpoldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogicá pozám: V hodiě rozdělím třídu dvě supiy ždá z ich dělá jede z prvích dvou příldů. Př. : Poločs rozpdu (dob z terou se rozpde polovi existujícího

Více

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých

jako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých 9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie

Více

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil

ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil ŘADY Jiří Bouchala a Petr Vodstrčil Text byl vytvoře v rámci realizace projektu Matematika pro ižeýry 2. století (reg. č. CZ..07/2.2.00/07.0332), a kterém se společě podílela Vysoká škola báňská Techická

Více

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta

Masarykova univerzita Přírodovědecká fakulta Masarykova uiverzita Přírodovědecká fakulta Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák NEKONEČNÉ ŘADY Bro 00 c Zuzaa Došlá, Vítězslav Novák, Masarykova uiverzita, Bro, 998, 00 ISBN 80-0-949- 3 Kapitola 3 Řady absolutě

Více

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina

Lineární algebra I. látka z. I. semestru informatiky MFF UK. Obsah. Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina 1 Lineární algebra I látka z I semestru informatiky MFF UK Zpracovali: Ondřej Keddie Profant, Jan Zaantar Štětina Obsah Matice2 Grupy4 Grupa permutací4 Znaménko, inverze a transpozice grup5 Podgrupy5 Tělesa6

Více

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze

procesy II Zuzana 1 Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Univerzita Karlova v Praze limití Náhodé limití Katedra pravděpodobosti a matematické statistiky Uiverzita Karlova v Praze email: praskova@karli.mff.cui.cz 9.4.-22.4. 200 limití Outlie limití limití efiice: Řekeme, že stacioárí

Více

20. Eukleidovský prostor

20. Eukleidovský prostor 20 Eukleidovský prostor V této kapitole budeme pokračovat ve studiu dalších vlastostí afiích prostorů avšak s tím rozdílem že místo obecého vektorového prostoru budeme uvažovat prostor uitárí Proto bude

Více

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A );

1 PSE Definice základních pojmů. (ω je elementární jev: A ω (A ω) nebo (A ); 1 PSE 1 Náhodý pokus, áhodý jev. Operace s jevy. Defiice pravděpodobosti jevu, vlastosti ppsti. Klasická defiice pravděpodobosti a její použití, základí kombiatorické vzorce. 1.1 Teoretická část 1.1.1

Více

Nové symboly pro čísla

Nové symboly pro čísla Nové symboly pro čísl V pitole Ituitiví ombitori jsme řešili tyto dv typy příldů. Stále se v ich opují součiy přirozeých čísel, t j jdou z sebou, ědy ž do, ědy sočí dříve. Proto si zvedeme dv ové symboly

Více

66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017

66. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Liberec, března 2017 66. ročí matematicé olympiády III. olo ategorie A Liberec, 26. 29. březa 2017 MO 1. Na hromádce leží 100 očíslovaých diamatů, z ichž 50 je pravých a 50 falešých. Pozvali jsme svérázého zalce, terý jediý

Více

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus

Aplikovaná informatika. Podklady předmětu Aplikovaná informatika pro akademický rok 2006/2007 Radim Farana. Obsah. Algoritmus Podklady předmětu pro akademický rok 006007 Radim Faraa Obsah Tvorba algoritmů, vlastosti algoritmu. Popis algoritmů, vývojové diagramy, strukturogramy. Hodoceí složitosti algoritmů, vypočitatelost, časová

Více

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie

1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie 1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho

Více

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy

1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy 1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá

Více

1. K o m b i n a t o r i k a

1. K o m b i n a t o r i k a . K o m b i a t o r i k a V teorii pravděpodobosti a statistice budeme studovat míru výskytu -pravděpodobostvýsledků procesů, které mají áhodý charakter, t.j. při opakováí za stejých podmíek se objevují

Více

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.

6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna. 6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola

Více

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) =

NMAF061, ZS Zápočtová písemná práce VZOR 5. ledna e bx2 x 2 e x2. F (b) = NAF61, ZS 17 18 Zápočtová písemá práce VZOR 5. leda 18 Jedotlivé kroky při výpočtech stručě, ale co ejpřesěji odůvoděte. Pokud používáte ějaké tvrzeí, ezapomeňte ověřit splěí předpokladů. Jméo a příjmeí:

Více

4. Model M1 syntetická geometrie

4. Model M1 syntetická geometrie 4. Model M1 sytetiká geometrie V této kapitole se udeme zaývat vektory, jejih vlastostmi a využitím v geometrii. Neudeme přitom rozlišovat, jestli se jedá je o roviu (dvě dimeze) eo prostor (tři dimeze).

Více

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N?

Cvičení 1.1. Dokažte Bernoulliovu nerovnost (1 + x) n 1 + nx, n N, x 2. Platí tato nerovnost obecně pro všechna x R a n N? 1 Prví prosemiář Cvičeí 1.1. Dokažte Beroulliovu erovost (1 + x) 1 + x, N, x. Platí tato erovost obecě pro všecha x R a N? Řešeí: (a) Pokud předpokládáme x 1, pak lze řešit klasickou idukcí. Pro = 1 tvrzeí

Více

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme

Více

O Jensenově nerovnosti

O Jensenově nerovnosti O Jeseově erovosti Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikovaé matematiky, Fakulta elektrotechiky a iformatiky, Vysoká škola báňská Techická uiverzita Ostrava Ostrava, 28.1. 2019 (ŠKOMAM 2019)

Více

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové:

Užitečné zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičením z Kalkulu 3 od Kristýny Kuncové: Užitečé zdroje příkladů jsou: Materiály ke cvičeím z Kalkulu 3 od Kristýy Kucové: http://www.karli.mff.cui.cz/~kucova/historie8. php K posloupostem řad a fukcí Ilja Čerý: Iteligetí kalkulus. Olie zde:

Více

TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM.

TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. TOKY V GRAFU MAXIMÁLNÍ TOK SÍTÍ, MINIMALIZACE NÁKLADŮ SPOJENÝCH S DANOU HODNOTOU TOKU, FIXNÍ NÁKLADY, PŘEPRAVNÍ (TRANSHIPMENT) PROBLÉM. Graf je útvar, terý je možo zázorit obrázem v roviě pomocí bodů (uzly

Více

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0

n=0 a n, n=0 a n = ±. n=0 n=0 a n diverguje k ±, a píšeme n=0 n=0 b n = t. Pak je konvergentní i řada n=0 (a n + b n ) = s + t. n=0 k a n a platí n=0 Nekoečé řady, geometrická řada, součet ekoečé řady Defiice Výraz a 0 a a a, kde {a i } i0 je libovolá posloupost reálých čísel, azveme ekoečou řadou Číslo se azývá -tý částečý součet Defiice Nekoečá řada

Více

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu

Od unimodálních posloupností k narozeninovému paradoxu Od uimodálích posloupostí arozeiovému paradoxu Atoí Slaví, Praha Abstrat. Koečá posloupost reálých čísel se azývá uimodálí, poud ji lze rozdělit a elesající a erostoucí úse. V textu se zaměříme především

Více

Petr Šedivý Šedivá matematika

Petr Šedivý  Šedivá matematika LIMITA POSLOUPNOSTI Úvod: Kapitola, kde poprvé arazíme a ekoečo. Argumety posloupostí rostou ade všechy meze a zkoumáme, jak vypadají hodoty poslouposti. V kapitole se sezámíte se základími typy it a početími

Více

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b

Posloupnosti a číselné řady. n + 1. n + 1 + n n + 1 + n. n n + 1 + n. = lim. n2 sin n! lim. = 0, je lim. lim. lim. 1 + b + b 2 + + b n) = 1 b Najděte itu Poslouposti a číselé řady ) + Protože + = + x ) + + =, je + + + + ) + = = 0 + + Najděte itu 3 si! + Protože je si! a 3 = 0, je 3 si! = 0 Najděte itu + a + a + + a + b + b, a

Více

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení

Odhad parametru p binomického rozdělení a test hypotézy o tomto parametru. Test hypotézy o parametru p binomického rozdělení Odhad parametru p biomického rozděleí a test hypotézy o tomto parametru Test hypotézy o parametru p biomického rozděleí Motivačí úloha Předpokládejme, že v důsledku realizace jistého áhodého pokusu P dochází

Více

8.2.1 Aritmetická posloupnost

8.2.1 Aritmetická posloupnost 8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž

Více

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n

Regrese. Aproximace metodou nejmenších čtverců ( ) 1 ( ) v n. v i. v 1. v 2. y i. y n. y 1 y 2. x 1 x 2 x i. x n Regrese Aproxmace metodou ejmeších čtverců v v ( ) = f x v v x x x x Je dáo bodů [x, ], =,,, předpoládáme závslost a x a chceme ajít fuc, terá vsthuje teto tred - Sažíme se proložt fuc = f x ta, ab v =

Více

7. Analytická geometrie

7. Analytická geometrie 7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp

Více

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti

Aritmetická posloupnost, posloupnost rostoucí a klesající Posloupnosti 8 Aritmetická posloupost, posloupost rostoucí a klesající Poslouposti Posloupost je fukci s defiičím oborem celých kladých čísel - apř.,,,,,... 3 4 5 Jako fukci můžeme také posloupost zobrazit do grafu:

Více

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a

Kapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ

VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ Vlastosti úloh celočíselého programováí VLASTNOSTI ÚLOH CELOČÍSELNÉHO PROGRAMOVÁNÍ PRINCIP ZESILOVÁNÍ NEROVNOSTÍ A ZÁKLADNÍ METODY. METODA VĚTVENÍ A HRANIC. TYPY ÚLOH 1. Úloha lieárího programováí: max{c

Více

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr

Náhodný výběr 1. Náhodný výběr Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti

Více

Základy Teorie Grafů. Pavel Strachota, FJFI ČVUT

Základy Teorie Grafů. Pavel Strachota, FJFI ČVUT Zálady Teorie Grafů (pozámy z předáše Pavel Strachota, FJFI ČVUT 30 srpa 006 Disclaimer Vzhledem bezplatému posytutí produtu se a produt evztahuje žádá zárua, a to v míře povoleé záoem Poud eí písemě staoveo

Více

Analytická geometrie

Analytická geometrie Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí

Více

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f

= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (

Více

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018

Matematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018 NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90

Více

ZS 2018/19 Po 10:40 T5

ZS 2018/19 Po 10:40 T5 Cvičeí - Matematická aalýza ZS 08/9 Po 0:40 T5 Cvičeí 008 Řešte erovice v R: 8, log 3 ( 3+3 0 Částečý součet geometrické řady: pro každé q C, q, a N platí 3 Důsledek: +q +q + +q = q+ q si+si+ +si = si

Více

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly.

2. Znát definici kombinačního čísla a základní vlastnosti kombinačních čísel. Ovládat jednoduché operace s kombinačními čísly. 0. KOMBINATORIKA, PRAVDĚPODOBNOST, STATISTIKA Dovedosti :. Chápat pojem faktoriál a ovládat operace s faktoriály.. Zát defiici kombiačího čísla a základí vlastosti kombiačích čísel. Ovládat jedoduché operace

Více

1 Nekonečné řady s nezápornými členy

1 Nekonečné řady s nezápornými členy Nekoečé řady s ezáporými čley Příklad.. Rozhoděte o kovergeci ásledující řady Řešeí. Pro každé N platí Řada tg. tg. diverguje, a proto podle srovávacího kritéria diverguje také řada tg. Příklad.. Určete

Více