VLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE
|
|
- Milada Tesařová
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 VLIV ZMĚNY FÁZE VLNOVÉHO POLE NA ZMĚNU BARVY INTERFERENČNÍHO POLE V METODĚ POLARIZAČNÍ INTERFEROMETRIE A.Mikš J.Novák katedra fyziky Fakulta stavebí ČVUT v Praze 1 Úvod Abstrakt Měřeí malých dráhových resp. fázových rozdílů v optice se ejčastěji provádí iterferometrickými metodami. Při malých hodotách změy fáze bývá problematika vyhodocováí začě obtížá a je uto mít k dispozici fiačě velmi ákladá měřící zařízeí. Práce stručě popisuje avržeou metodu pro vyhodocováí malých fázových změ s použitím iterferece polychromatického světla a kolorimetrických metod. Čláek pojedává o aalýze vlivu změy optického dráhového rozdílu (resp. fáze vlového pole) a změu barvy iterferečího pole při užití metody polarizačí iterferometrie pro vyhodocováí fázových změ. S problematikou určeí fáze vlového pole se lze setkat v řadě oblastí vědy a techiky. V oblasti optické průmyslové metrologie se tyto metody používají apř. při kotrole kvality optických sousta tvaru povrchů deformací určováí topografie ploch drsosti povrchů apod.). Jiou oblastí ve které se setkáváme s problematikou vyhodocováí fáze vlového pole je oblast optické mikroskopie kde jde zejméa o měřeí optických a jiých vlastostí pozorovaého předmětu. V praxi se využívá moha typů metod které pracují a růzých fyzikálích způsobech. Nejčastěji používaými jsou metody iterferometrické jež jsou založey a dvousvazkové ebo vícesvazkové iterfereci moochromatických i polychromatických vlových polí [1-5]. Tyto měřící a vyhodocovací metody dosahují vysoké přesosti. Pro vyhodoceí změy fáze se využívá širokého spektra vyhodocovacích metod [351-1]. Měřeí malých fázových rozdílů v optice se ejčastěji provádí iterferometrickými metodami a a základě deformace iterferečích proužků můžeme určit změu fáze vyšetřovaého vlového pole. Při malých hodotách změy fáze bývá problematika vyhodocováí začě obtížá a je uto mít k dispozici začě ákladá měřící zařízeí. V práci je stručě popsá pricip jedoduché metody využívající iterferece polychromatického zářeí. Změa fáze se v iterferečím poli projeví změou barvy přičemž každé barvě můžeme přiřadit určitou hodotu změy fáze a tuto pak pomocí kolorimetrických metod vyhodotit. Metoda je vzhledem ke své jedoduchosti vhodá pro praktické využití v řadě oblastí vědy a techiky jako je apř. oblast topografie ploch drsost ploch a mikroskopie. Vyhodocovací metoda Pro vyhodocováí fáze vlového pole je možé využít též pricipu polarizačí iterferometrie. Pricip polarizačí iterferometrie je založe a iterfereci polarizovaých paprsků [13489]. Nejsáze toho dosáheme pomocí dvojlomých optických prvků [18] umístěých mezi polarizátorem a aalyzátorem. Pro ormovaou itezitu světla prošlého touto optickou soustavou pak platí [1489] ϕ( ) I ( α β ) = cos ( β α) si αsi β si (1) kde α je úhel mezi směrem kmitů propuštěých polarizátorem a jedím z hlavích směrů dvojlomého prvk β je úhel mezi směrem kmitů propuštěých aalyzátorem a jedím z hlavích
2 směrů dvojlomého prvk u a v jsou pravoúhlé souřadice vyšetřovaého bodu iterferečího pole je vlová délka světla a ϕ( ) je fázový rozdíl iterferujících vlových polí platí π ϕ( u ) = δ( ) () kde δ() je dráhový rozdíl iterferujících vlových polí. Volíme-li vzájemou polohu polarizátoru a aalyzátoru tak aby jejich propusté směry byly avzájem kolmé tj. β - α = π/ a úhel α = π/4 potom má vztah (1) pro itezitu I tvar I( ) = si ϕ( ) = si πδ( ). (3) Hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( poté určíme ze vztahů ( = x( ) W ( ) I( )d Y ( = y( ) W ( ) I( )d (4) Z ( = z( ) W ( ) I( )d. Barevé souřadice (xy) barvy iterferečího pole v bodě ( poté určíme ze vztahů ( x( = ( + Y ( + Z( Y ( y( = ( + Y ( + Z(. Jak je z předchozích vztahů patro jsou barevé poděty závislé a dráhovém rozdílu δ = δ() a můžeme tedy a základě jejich hodot teto dráhový rozdíl určit záme-li jeho závislost a vlové délce světla. Položme yí δ = δ + δ A( ) (5) kde δ je kostatí čle daý astaveím měřícího zařízeí a δ A () je fukcí souřadic a vlové délky světla. Volíme-li apř. δ = 565 m pak pro δ = A bude mít iterferečí pole purpurovou barvu. Pro eulovou hodotu δ A v ěkterém místě iterferečího pole dojde ke změě této purpurové barvy a to i pro velmi malé hodoty δ A. Proto se této barvě také říká citlivá barva [1] eboť okem můžeme sado rozpozat i velmi malé hodoty δ A. Růzé způsoby experimetálího uspořádáí je možo ajít v kihách [1]. Detekovaé iterferečí pole je tedy zabarveo v závislosti a velikosti dráhového rozdílu mezi iterferujícími vlami. Pro měřeí je možo použít apříklad ásledujícího iterferometru (obr.1). Rovoměrě osvětleá štěrbia S je vyšetřovaým objektivem O zobrazea do roviy lokalizace iterferečích proužků Wollastoova hraolu W který je umístě mezi dvěma zkřížeými polarizátory P 1 a P. V důsledku dvojlomu dojde ve Wollastoově hraolu k rozděleí vstupujícího vlového pole a dvě pole která jsou vůči sobě úhlově pootočea a která spolu ásledě iterferují. Vziklý iterferečí obrazec pozorujeme pomocým mikroskopem složeým z objektivu O 1 a okuláru O buď vizuálě ebo s pomocí CCD kamery. Mikroskop je zaostře a roviu výstupí pupily VP. Předpokládejme yí že máme fyzikálě dokoalou optickou soustav ze které vystupuje ideálí kulová vloplocha Σ. Wollastoův hraol ám provede úhlový střih a jelikož půjde o iterfereci dvou kulových vl úhlově otočeých kolem společého střed bude se zoré pole jevit rovoměrě zabarveé použijeme-li bílého světla eboť mezi oběma vloplochami bude kostatí dráhový rozdíl a pro ulový dráhový rozdíl bude zoré pole temé. V případě že bude vyšetřovaá
3 optická soustava zatížeá aberacemi ebude již vystupující vloplocha plochou kulovo ale ějakou obecou plochou. V zorém poli yí uvidíme iterferečí proužky které ám charakterizují změu dráhového rozdílu mezi oběma iterferujícími vlami. V případě velmi malých aberací apř. u kvalitích mikroskopových objektivů je deformace vloplochy velmi malá a tudíž již euvidíme iterferečí proužky a iterferečí pole bude erovoměrě zabarveé. Vlivem malého ekostatího dráhového rozdílu mezi iterferujícími vlami se změí barva pozorovaého iterferečího pole (obr.). VP 1 y O Σ VP O rovia detekce W O 1 CCD Z S P 1 P pozorovací mikroskop Obr.1: Střihový iterferometr pro testováí kvality optických soustav Obr.: Změa barvy iterferečího pole v závislosti a změě dráhového rozdílu Změu barvy iterferečího pole můžeme vypočítat s pomocí vztahů (3) (4) a (5). V tabulce 1 jsou uvedey hodoty barevých souřadic (xy) které odpovídají růzým dráhovým rozdílům δ A. Pozorovaá barva bude záviset a hodotě kostatího dráhového rozdílu δ. Pro aši aalýzu jsme zvolili δ = 545 m a ormalizovaý zdroj A.
4 Tabulka 1: BAREVNÉ SOUŘADNICE PRO DRÁHOVÝ ROZDÍL δ A (δ = 545 NM ZDROJ A) δ A [m] x y barva světle purpurová purpurová tmavě purpurová modrá modrozeleá světle zeleá světle žlutozeleá žlutozeleá Dráhový rozdíl mezi iterferujícími vlami můžeme alézt zpětou aalýzou pozorovaého iterferečího pole. Zabývejme se yí případem kdy itezita světla I je kvadratickou fukcí dráhového rozdílu δ A. Podle vztahu (3) tedy platí I πδ si πδ πδ + π( A/ + B + C)si = si + π ( A/ + B + C) cos πδ. (6) Dosazeím do (4) dostáváme pro hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( vztahy = + + A 1 + B + C 3 + A 11 + B + C 33 + AB 1 + AC 13 BC 3 + AY1 + BY + CY3 + A Y11 + B Y + C Y33 + ABY1 + ACY13 BCY3 + AZ1 + B Z + C Z3 + A Z11 + B Z + C Z33 + AB Z1 + AC Z13 BC Z3. Y = Y + Z = Z + Pro koeficiety ve vztazích (7) platí (7) πδ x( ) W ( ) πδ 1 = π si d = x( ) W ( )si d πδ πδ 3 = π x( ) W ( )si d = π x( ) W ( )si d x( ) W ( ) πδ 11 = π cos d = π πδ x( ) W ( )cos d (8) πδ x( ) W ( ) πδ 33 = π x( ) W ( )cos d 1 = π cos d πδ πδ 13 = π x( ) W ( )cos d 3 = π x( ) W ( )cos d. Vztahy platící pro Y resp. Z získáme záměou hodot x () za y () resp. z () v předchozích vztazích. Jak je ze vztahů (8) patro pro daou hodotu δ a spektrálí rozděleí eergie W() světla zdroje se hodoty uvedeých koeficietů eměí. Vztahy (7) ám umožňují vypočítat hodoty fukcí A = A( B = B( a C = C( v bodě (. Mohem jedodušší je pro výpočet A B a C užít ěkterou z optimalizačích metod [4]. Abychom to mohli provést defiujme si fukci jejíž miimum máme alézt ve tvaru
5 g( A B C) Z = ( ) + ( Y Y ) + ( Z ) (9) kde Y Z jsou změřeé hodoty barevých podětů v bodě o souřadicích ( a (ABC) Y(ABC) a Z(ABC) jsou pravé stray rovic (7). Užitím optimalizačích metod a fukci g(abc) získáme požadovaé hodoty ABC. 3 Citlivost změy barvy iterferečího pole a změu fáze V práci je zkoumáa závislost fázové změy resp. změy dráhového rozdílu a změu barvy iterferečího pole. Pro aalýzu byly použity růzé barevé systémy (YZ LAB LUV). Nyí budeme chtít určit hodotu kostatího dráhového rozdílu δ který je ejcitlivější a změu fáze vlového pole. Zabývejme se problémem závislosti vzdáleosti dvou bodů v diagramu chromatičosti a dráhovém rozdílu δ. Jsou-li x(δ δ A ) a y(δ δ A ) trichromatické souřadice bodu v diagramu chromatičosti odpovídající dráhovému rozdílu δ = δ + δ A x(δ ) a y(δ ) trichromatické souřadice bodu odpovídající dráhovému rozdílu δ = δ potom pro vzájemou vzdáleost těchto bodů v diagramu chromatičosti platí [ x( δ ) x( δ δ )] + [ y( δ ) y( δ δ )] ρ. (1) ( δ δ A) = A A Jak je ze vztahu (9) patro závisí tato vzdáleost a hodotách δ a δ A. Pro daou hodotu δ A bude existovat taková hodota δ = δ (δ A ) kdy bude tato vzdáleost abývat maximálí hodoty. Na obr.3 je zázorěa závislost δ a dráhovém rozdílu δ A = A = 1 m. Jak je z obrázku patro bude vzdáleost bodů ρ δ δ ) maximálí pro δ = 544 m. ( A Obr.3: Graf závislosti ρ δ δ ) pro δ A = A (CIE YZ) ( A Nevýhodou barevého systému CIE YZ je to že stejé lieárí vzdáleosti dvou bodů v růzých částech barevého trojúhelíka stejým subjektivě vímaým rozdílům vjemu barvy. Pokud je tedy uté změu barvy charakterizovat subjektivě apř. při pozorováí iterferečího obrazce lidským okem potom je vhodé použít barevé systémy CIE LUV resp. CIE LAB které v celém barevém
6 prostoru přisuzují stejým subjektivě vímaým rozdílům vjemů barvy přibližě stejé vzdáleosti. Při použití přibližě rovoměré soustavy CIE LUV máme 3 L = 116( Y / ) 1/ 16 pro ( Y / ) > 8856 L = Y 933( Y / Y ) pro ( Y / Y ) 8856 u = 13L ( u u ) v = 13L ( v v ) Y 4 u = + 15Y + 3Z 9Y v = + 15Y + 3Z u 4 = + 15Y + 3Z v 9Y = + 15Y + 3Z kde YZ jsou trichromatické složky barevého podětu a Y Z jsou trichromatické složky ormalizovaého světla použitého pro výpočet (apř. zdroj A) upraveé tak aby pro dokoalý rozptylovač světla bylo = 1. Pro vystižeí subjektivího rozdílu barvy se poté používá výpočtu vzdáleosti Y E uv = ( L ) + ( u ) + ( v ). S použitím předchozích vztahů byla provedea aalýza vlivu změy dráhového rozdílu δ a dráhovém rozdílu δ A. Na obr.4 je zázorěa závislost δ a dráhovém rozdílu δ A = A = 1 m. Jak je z obrázku patro bude vzdáleost E δ δ ) maximálí pro δ = 547 m. uv ( A Obr.4: Graf závislosti E uv ( δ δ A ) pro δa = A (CIE LUV)
7 4 Přesost vyhodoceí změy fáze Předpokládejme yí že položíme koeficiety B = C = ve vztahu (6). Potom pro ormalizovaou hodotu itezity iterferečího pole můžeme psát πδ πδ πδ πδ I = si si + π( A / ) si + π ( A / ) cos. (11) Vztahy (7) se poté zjedoduší ásledově = + Y Y + AY + A Z = Z + A Z + A. (1) + A 1 A 11 = 1 Y11 1 Z11 Z předchozích vztahů lze již zpětě vypočítat dráhový rozdíl A calc pro hodoty barevých podětů Y Z odpovídající dráhovému rozdílu δ A = A pro ormalizovaý zdroj A a kostatí dráhový rozdíl δ = 545 m. Výsledky počítačové simulace jsou zázorěy v tabulce kde A calc je vypočítaá hodota dráhového rozdíl která odpovídá barevým podětům Y a Z (přesě vypočtey pro dráhový rozdíl A) a δa je relativí chyba vypočteých hodot. Jak je možo pozorovat z tabulky použitá kvadratická aproximace vyhovuje velmi dobře pro dráhový rozdíl A 5 m (chyba meší ežli 5 %). Tabulka : VÝPOČET DRÁHOVÉHO ROZDÍLU S POUŽITÍM KVADRATICKÉ APROIMACE B=C= A [m] Y Z A calc [m] δa [%] Závěr V práci byla stručě popsáa jedoduchá metoda vyhodoceí malých fázových změ vlového pole využívající iterferece polychromatického zářeí. Změa fáze se v iterferečím poli projeví změou barvy. Každé barvě můžeme přiřadit určitou hodotu změy fáze a tuto změu pak pomocí kolorimetrických metod vyhodotit. Je provedea podrobá teoretická aalýza vlivu změy fáze vlového pole a změu barvy iterferečího pole s užitím výpočetího prostředí MATLAB. Práce byla podpořea v rámci projektu MSM68477 Miisterstva školství ČR. Literatura [1] M.Fraco Optical Iterferometry Academic Press N.Y [] M.Fraco S.Mallick Polarizatio Iterferometers: Applicatios i Microscopy ad Macroscopy Wiley-Itersciece N.Y [3] D.Malacara Optical Shop Testig Joh Wiley & Sos N.Y [4] M.Bor E.Wolf Priciples of Optics Pergamo Press N.Y [5] A.Mikš Iterferometrické metody vyhodocováí sférických ploch v optice. I: Jemá mechaika a optika. 1 roč. 46 č. 1 s [6] A.Mikš Aplikovaá optika 1 Vydavatelství ČVUT Praha. [7] M.Jiráček A.Mikš V.Opočeský J.Růžek P.Scheufter M.Spěvák P.Stýblo M.Urba Techické základy fotografie. Komora fotografických živostí Praha. [8] Č.Strouhal Vl.Novák Optika JČMF Praha [9] J.Fuka B.Havelka Optika SPN Praha [1] K.Creath Progress i Optics Vol.VI E.Wolf Ed. Elsevier Sciece Publisher Amsterdam [11] P. de Groot Applied Optics (1995).
8 [1] K.G.Larki B.F.Oreb J. Opt. Soc. Am. A (199). [13] J.Schwider Progress i Optics Vol.I E.Wolf Ed. Elsevier Sciece Publisher Amsterdam 199. [14] Novák J.: Five-step phase-shiftig algorithms with ukow values of phase shift. Optik. 3 Vol. 114 No. p [15] Novák J.: Aalýza vícekrokových algoritmů pro metodu elektrooptické holografie. Jemá mechaika a optika. 3 roč. 48 č. 4 s [16] Novák J.: Aalysis of Phase Evaluatio Algorithms i a Iterferometric Method for Static Deformatio Measuremet. Acta Polytechica Vol.4 No.4 p [17] Novák J.: New Phase Shiftig Algorithms Isesitive to Liear Phase Shift Errors. Acta Polytechica Vol.4 No.4 p [18] Novák J.: Vícekrokové algoritmy ezávislé a lieárí chybě fázového posuvu. Jemá mechaika a optika. roč. 47 č s [19] Novák J.: Aalýza chyb při měřeí deformací metodou elektro-optické holografie. Jemá mechaika a optika. roč. 45 č. 6 s [] Mikš A. Novák J.:Iterferometric method for deformatio measuremet of structures i idustry. Proc. of SPIE Vol.536 SPIE p.-4. [1] Novák J. Mikš A.: Compariso of multiframe phase-shiftig algorithms with ukow value of phase shift. Proc. of SPIE Vol.5144 SPIE 3 p [] McCamy C.S.: Simulatio of Daylight for Viewig ad Measurig Color. Color Res. Appl. 19 pp (1994). [3] Malacara D.: Color Visio ad Colorimetry: Theory ad Applicatios. SPIE Vol. No.: PM15 (4). [4] Gill P.E. Murrey W.: Numerical Methods for Costraied Optimizatio. Academic Press N.Y [5] [6] Prof.RNDr.Atoí MikšCSc katedra fyziky FSv ČVUT Praha. tel: fax: miks@fsv.cvut.cz Ig.Jiří NovákPhD katedra fyziky FSv ČVUT Praha. tel: fax: ovakji@fsv.cvut.cz
UŽITÍ MATLABU V KOLORIMETRII. J.Novák, A.Mikš. Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha
UŽITÍ MATLABU V KOLORIMETRII J.Novák A.Mikš Katedra fyziky FSv ČVUT Praha Kolorimetrické metody jsou velmi často používáy jako diagostické metody v řadě oblastí vědy a techiky. V čláku jsou ukázáy příklady
VíceANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU
ANALÝZA VLIVU NUMERICKÉ APERTURY A ZVĚTŠENÍ NA HODNOTU ROZPTYLOVÉ FUNKCE BODU A.Mikš, J.Novák, P. Novák katedra fyziky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Práce se zabývá aalýzou vlivu velikosti umerické
VícePOČÍTAČOVÁ SIMULACE VLIVU CHYB PENTAGONÁLNÍHO HRANOLU NA PŘESNOST MĚŘENÍ V GEODÉZII. A.Mikš 1, V.Obr 2
POČÍTAČOVÁ SIMULACE VLIVU CHYB PENTAGONÁLNÍHO HRANOLU NA PŘESNOST MĚŘENÍ V GEODÉZII A.Mikš 1, V.Obr 1 Katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT, Praha Katedra vyšší geodézie, Fakulta stavební ČVUT, Praha Abstrakt:
VíceGRADIENTNÍ OPTICKÉ PRVKY Gradient Index Optical Components
Nové metody a postupy v oblasti přístrojové techiky, automatického řízeí a iformatiky Ústav přístrojové a řídicí techiky ČVUT v Praze, odbor přesé mechaiky a optiky Techická 4, 66 7 Praha 6 GRADIENTNÍ
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
VíceInterference. 15. prosince 2014
Iterferece 15. prosice 014 1 Úvod 1.1 Jev iterferece Mějme dvě postupé vly ψ 1 z,t) = A 1 cosωt kz +ϕ 1 ) a ψ z,t) = A cosωt kz +ϕ ). Uvažujme yí jejich superpozici ψ = ψ 1 +ψ a podívejme se, jaká bude
VíceOdhady parametrů 1. Odhady parametrů
Odhady parametrů 1 Odhady parametrů Na statistický soubor (x 1,..., x, který dostaeme statistickým šetřeím, se můžeme dívat jako a výběrový soubor získaý realizací áhodého výběru z áhodé veličiy X. Obdobě:
VíceL A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATED RA F YZIKY L A B O R A T O R N Í C V I Č E N Í Z F Y Z I K Y Jméo TUREČEK Daiel Datum měřeí 8.11.2006 Stud. rok 2006/2007 Ročík 2. Datum odevzdáí 15.11.2006 Stud.
Více3. Lineární diferenciální rovnice úvod do teorie
3 338 8: Josef Hekrdla lieárí difereciálí rovice úvod do teorie 3 Lieárí difereciálí rovice úvod do teorie Defiice 3 (lieárí difereciálí rovice) Lieárí difereciálí rovice -tého řádu je rovice, která se
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
VíceVÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ
VÝUKOVÝ SOFTWARE PRO ANALÝZU A VIZUALIZACI INTERFERENČNÍCH JEVŮ P. Novák, J. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán výukový software pro
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 9: Polarizace. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Datum měřeí: 9. 3. 00 Úloha 9: Polarizace Jméo: Jiří Slabý Pracoví skupia: 4 Ročík a kroužek:. ročík,. kroužek, podělí 3:30 Spolupracovala: Eliška Greplová Hodoceí:
VíceNáhodný výběr 1. Náhodný výběr
Náhodý výběr 1 Náhodý výběr Matematická statistika poskytuje metody pro popis veliči áhodého charakteru pomocí jejich pozorovaých hodot, přesěji řečeo jde o určeí důležitých vlastostí rozděleí pravděpodobosti
VíceFYZIKA 4. ROČNÍK. Disperze světla. Spektrální barvy. β č β f. T různé f různá barva. rychlost světla v prostředí závisí na f = disperze světla
Disperze světla. Spektrálí barvy v = = f T v = F(f) růzé f růzá barva rychlost světla v prostředí závisí a f = disperze světla c = = F ( f ) idex lomu daého optického prostředí závisí a frekveci světla
Více8. Analýza rozptylu.
8. Aalýza rozptylu. Lieárí model je popis závislosti, který je využívá v řadě disciplí matematické statistiky. Uvedeme jeho popis a tvrzeí, která budeme využívat. Setkáme se s ím jedak v aalýze rozptylu,
Vícezákladním prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polynomiální n
Petra Suryková Modelováí křivek základím prvkem teorie křivek v počítačové grafice křivky polyomiálí Q( t) a a t... a t polyomiálí křivky můžeme sado vyčíslit sado diferecovatelé lze z ich skládat křivky
VíceModelování jednostupňové extrakce. Grygar Vojtěch
Modelováí jedostupňové extrakce Grygar Vojtěch Soutěží práce 009 UTB ve Zlíě, Fakulta aplikovaé iformatiky, 009 OBSAH ÚVOD...3 1 MODELOVÁNÍ PRACÍCH PROCESŮ...4 1.1 TERMODYNAMIKA PRACÍHO PROCESU...4 1.
VíceDeskriptivní statistika 1
Deskriptiví statistika 1 1 Tyto materiály byly vytvořey za pomoci gratu FRVŠ číslo 1145/2004. Základí charakteristiky souboru Pro lepší představu používáme k popisu vlastostí zkoumaého jevu určité charakteristiky
VíceLaboratorní práce č. 10 Úloha č. 9. Polarizace světla a Brownův pohyb:
ruhlář Michal 8.. 5 Laboratorí práce č. Úloha č. 9 Polarizace světla a Browův pohyb: ϕ p, C 4% 97,kPa Úkol: - Staovte polarizačí schopost daého polaroidu - Určete polarimetrem úhel stočeí kmitavé roviy
VíceMezní stavy konstrukcí a jejich porušov. Hru IV. Milan RůžR. zbynek.hruby.
ováí - Hru IV /6 ováí Hru IV Mila RůžR ůžička, Josef Jureka,, Zbyěk k Hrubý zbyek.hruby hruby@fs.cvut.cz ováí - Hru IV /6 ravděpodobostí úavové diagramy s uvažováím předpětí R - plocha ve čtyřrozměrém
Víceveličiny má stejný řád jako je řád poslední číslice nejistoty. Nejistotu píšeme obvykle jenom jednou
1 Zápis číselých hodot a ejistoty měřeí Zápis číselých hodot Naměřeé hodoty zapisujeme jako číselý údaj s určitým koečým počtem číslic. Očekáváme, že všechy zapsaé číslice jsou správé a vyjadřují tak i
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
VíceGeometrická optika. Zákon odrazu a lomu světla
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Je vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým epotřebujeme zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
Více1. Základy měření neelektrických veličin
. Základy měřeí eelektrických veliči.. Měřicí řetězec Měřicí řetězec (měřicí soustava) je soubor měřicích čleů (jedotek) účelě uspořádaých tak, aby bylo ožě split požadovaý úkol měřeí, tj. získat iformaci
VíceZávislost slovních znaků
Závislost slovích zaků Závislost slovích (kvalitativích) zaků Obměy slovího zaku Alterativí zaky Možé zaky Tříděí věcé sloví řady: seřazeí obmě je subjektiví záležitostí (podle abecedy), možé i objektiví
VícePři sledování a studiu vlastností náhodných výsledků poznáme charakter. podmínek různé výsledky. Ty odpovídají hodnotám jednotlivých realizací
3. Náhodý výběr Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých realizací
Více12. N á h o d n ý v ý b ě r
12. N á h o d ý v ý b ě r Při sledováí a studiu vlastostí áhodých výsledků pozáme charakter rozděleí z toho, že opakovaý áhodý pokus ám dává za stejých podmíek růzé výsledky. Ty odpovídají hodotám jedotlivých
VíceP2: Statistické zpracování dat
P: Statistické zpracováí dat Úvodem - Statistika: věda, zabývající se shromažďováím, tříděím a ásledým popisem velkých datových souborů. - Základem statistiky je teorie pravděpodobosti, založeá a popisu
VíceVaR analýza citlivosti, korekce
VŠB-TU Ostrava, Ekoomická fakulta, katedra fiací.-. září 008 VaR aalýza citlivosti, korekce Fratišek Vávra, Pavel Nový Abstrakt Práce se zabývá rozbory citlivosti ěkterých postupů, zahrutých pod zkratkou
Více2. Měření základních optických vlastností materiálů. index lomu a disperze propustnost, absorpce kvalita optických prostředí
. Měřeí základích optických vlastostí materiálů idex lomu a disperze propustost, absorpce kvalita optických prostředí .1. Měřeí idexu lomu a disperze Sellmeierův vztah i ( ) = 1+ i B C i Coruův vzorec
VíceInovace předmětu K-Aplikovaná fyzika (KFYZ) byla financována z projektu OPVK Inovace studijních programů zahradnických oborů, reg. č.
Iovace předmětu K-Aplikovaá fyzika (KFYZ) byla fiacováa z projektu OPVK Iovace studijích programů zahradických oborů, reg. č.: CZ..07/..00/8.00 Připravil: Roma Pavlačka K-Aplikovaá fyzika Optika a zářeí
VíceVYHODNOCENÍ LABORATORNÍHO MĚŘENÍ DEFORMACÍ VLNOPLOCHY S UŽITÍM MATLABU
VYHODNOCENÍ LABORATORNÍHO MĚŘENÍ DEFORMACÍ VLNOPLOCHY S UŽITÍM MATLABU J.Novák P.Novák A.Mikš katedra zik Fakulta stavebí ČVUT v Praze Abstrakt Čláek se zabývá použití sstéu MATLAB pro počítačové vhodocováí
Více2 IDENTIFIKACE H-MATICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNOT
2 IDENIFIKACE H-MAICE POPISUJÍCÍ VEDENÍ Z NAMĚŘENÝCH HODNO omáš Novotý ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V PRAZE Faulta eletrotechicá Katedra eletroeergetiy. Úvod Metody založeé a loalizaci poruch pomocí H-matic
VíceGeometrická optika. Vznikají tak dva paprsky odražený a lomený - které spolu s kolmicí v místě dopadu leží v jedné rovině a platí:
Geometrická optika Je auka o optickém zobrazováí. Byla vybudováa a 4 zákoech, které vyplyuly z pozorováí a ke kterým ejsou potřeba zalosti o podstatě světla: ) přímočaré šířeí světla (paprsky) ) ezávislost
VíceREALIZACE BAREVNÉHO KONTRASTU DEFEKTŮ V OPTICKÉ PROSTOVĚ-FREKVENČNÍ OBLASTI SPEKTRA
REALIZACE AREVNÉHO KONTRASTU DEFEKTŮ V OPTICKÉ PROSTOVĚFREKVENČNÍ OLASTI SPEKTRA. Úvod Antonín Mikš Jiří Novák Fakulta stavební ČVUT katedra fyziky Thákurova 7 66 9 Praha 6 V technické praxi se často vyskytuje
VíceANALÝZA MĚŘENÍ TVARU VLNOPLOCHY V OPTICE POMOCÍ MATLABU
ANALÝZA MĚŘENÍ TVARU VLNOPLOCHY V OPTICE POMOCÍ MATLABU J. Novák, P. Novák Katedra fyziky, Fakulta stavební, České vysoké učení technické v Praze Abstrakt V práci je popsán software pro počítačovou simulaci
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Více6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI
6. FUNKCE A POSLOUPNOSTI Fukce Dovedosti:. Základí pozatky o fukcích -Chápat defiici fukce,obvyklý způsob jejího zadáváí a pojmy defiičí obor hodot fukce. U fukcí zadaých předpisem umět správě operovat
VíceNejistoty měření. Aritmetický průměr. Odhad směrodatné odchylky výběrového průměru = nejistota typu A
Nejstoty měřeí Pro každé přesé měřeí potřebujeme formac s jakou přesostí bylo měřeí provedeo. Nejstota měřeí vyjadřuje terval ve kterém se achází skutečá hodota měřeé velčy s určtou pravděpodobostí. Nejstota
VíceZáklady statistiky. Zpracování pokusných dat Praktické příklady. Kristina Somerlíková
Základy statistiky Zpracováí pokusých dat Praktické příklady Kristia Somerlíková Data v biologii Zak ebo skupia zaků popisuje přírodí jevy, úlohou výzkumíka je vybrat takovou skupiu zaků, které charakterizují
VíceVliv komy na přesnost měření optických přístrojů. Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha
Vliv komy na přesnost měření optických přístrojů Antonín Mikš Katedra fyziky, FSv ČVUT, Praha V práci je vyšetřován vliv meridionální komy na přesnost měření optickými přístroji a to na základě difrakční
Víceodhady parametrů. Jednostranné a oboustranné odhady. Intervalový odhad střední hodnoty, rozptylu, relativní četnosti.
10 Cvičeí 10 Statistický soubor. Náhodý výběr a výběrové statistiky aritmetický průměr, geometrický průměr, výběrový rozptyl,...). Bodové odhady parametrů. Itervalové odhady parametrů. Jedostraé a oboustraé
VíceMĚŘENÍ PARAMETRŮ OSVĚTLOVACÍCH SOUSTAV VEŘEJNÉHO OSVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGULÁTORU E15
VŠB - T Ostrava, FE MĚŘENÍ PARAMETRŮ OVĚTLOVACÍCH OTAV VEŘEJNÉHO OVĚTLENÍ NAPÁJENÝCH Z REGLÁTOR E5 Řešitelé: g. taislav Mišák, Ph.D., Prof. g. Karel okaský, Cc. V Ostravě de.8.2007 g. taislav Mišák, Prof.
VíceLABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY. Měření objemu tuhých těles přímou metodou
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE KATEDRA FYZIKY LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY Jméo: Petr Česák Datum měřeí:.3.000 Studjí rok: 999-000, Ročík: Datum odevzdáí: 6.3.000 Studjí skupa: 5 Laboratorí skupa:
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Bodové a itervalové odhady Nechť X je áhodá proměá, která má distribučí fukci F(x, ϑ). Předpokládejme, že záme tvar distribučí fukce (víme jaké má rozděleí) a ezáme parametr
Více6 Intervalové odhady. spočteme aritmetický průměr, pak tyto průměry se budou chovat jako by pocházely z normálního. nekonečna.
6 Itervalové odhady parametrů základího souboru V předchozích kapitolách jsme se zabývali ejprve základím zpracováím experimetálích dat: grafické zobrazeí dat, výpočty výběrových charakteristik kapitola
VíceÚstav fyzikálního inženýrství Fakulta strojního inženýrství VUT v Brně GEOMETRICKÁ OPTIKA. Přednáška 10
Ústav yzikálího ižeýrství Fakulta strojího ižeýrství VUT v Brě GEOMETRICKÁ OPTIKA Předáška 10 1 Obsah Základy geometrické (paprskové) optiky - Zobrazeí cetrovaou soustavou dvou kulových ploch. Rovice čočky.
Více1 Základy Z-transformace. pro aplikace v oblasti
Základy Z-trasformace pro aplikace v oblasti číslicového zpracováí sigálů Petr Pollák 9. říja 29 Základy Z-trasformace Teto stručý text slouží k připomeutí základích vlastostí Z-trasformace s jejími aplikacemi
VíceTéma: 11) Dynamika stavebních konstrukcí
Počítačová podpora statických výpočtů Téma: ) Dyamika stavebích kostrukcí Katedra stavebí mechaiky Fakulta stavebí, VŠB V Techická uiverzita Ostrava Rozděleí mechaiky Statika Zabývá se problematikou působeí
VíceStředoškolská technika 2015 ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA
Středoškolská techika 05 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT ŘEŠENÍ DOKONALÉHO TVARU MOSTNÍHO NOSNÍKU Z HLEDISKA POTENCIÁLNÍ ENERGIE - ŘETĚZOVKA Duša Köig Středí průmyslová škola strojická
VíceMATEMATICKÁ INDUKCE. 1. Princip matematické indukce
MATEMATICKÁ INDUKCE ALEŠ NEKVINDA. Pricip matematické idukce Nechť V ) je ějaká vlastost přirozeých čísel, apř. + je dělitelé dvěma či < atd. Máme dokázat tvrzeí typu Pro každé N platí V ). Jeda možost
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
VíceÚloha III.S... limitní
Úloha III.S... limití 10 bodů; průměr 7,81; řešilo 6 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat postup kostrukce itervalových odhadů středí hodoty v případě obecého rozděleí měřeých dat (postačí vlastími
VíceUPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ
3..- 4.. 2009 DIVYP Bro, s.r.o., Filipova, 635 00 Bro, http://www.divypbro.cz UPLATNĚNÍ ZKOUŠEK PŘI PROHLÍDKÁCH MOSTŮ autoři: prof. Ig. Mila Holický, PhD., DrSc., Ig. Karel Jug, Ph.D., doc. Ig. Jaa Marková,
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více5 PŘEDNÁŠKA 5: Jednorozměrný a třírozměrný harmonický oscilátor.
5 PŘEDNÁŠKA 5: Jedorozměrý a třírozměrý harmoický oscilátor. Půjde o spektrum harmoického oscilátoru emá to ic společého se spektrem atomu ebo se spektrálími čarami atomu. Liší se to právě poteciálem!
VíceSTUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6
Středoškolská techika 00 Setkáí a prezetace prací středoškolských studetů a ČVUT STUDIUM MAXWELLOVA ZÁKONA ROZDĚLENÍ RYCHLSOTÍ MOLEKUL POMOCÍ DERIVE 6 Pavel Husa Gymázium Jiřího z Poděbrad Studetská 66/II
Více1. Definice elektrického pohonu 1.1 Specifikace pohonu podle typu poháněného pracovního stroje 1.1.1 Rychlost pracovního mechanismu
1. Defiice elektrického pohou Pod pojmem elektrický poho rozumíme soubor elektromechaických vazeb a vztahů mezi pracovím mechaismem a elektromechaickou soustavou. Mezi základí tři části elektrického pohou
Vícejako konstanta nula. Obsahem centrálních limitních vět je tvrzení, že distribuční funkce i=1 X i konvergují za určitých
9 Limití věty. V aplikacích teorie pravděpodobosti (matematická statistika, metody Mote Carlo se užívají tvrzeí vět o kovergeci posloupostí áhodých veliči. Podle povahy kovergece se limití věty teorie
VíceProrážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedené materiály jsou doplňkem přednášek předmětu 154GP10
Prorážka DOC. ING. PAVEL HÁNEK, CSC. Uvedeé materiály jsou doplňkem předášek předmětu 154GP10 014 HLAVNÍ PROJEKČNÍ PRVKY Směr pokud možo volit přímý tuel. U siličích t. miimálí poloměr 300 m, u železičích
Více5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC
5.5. KOMPLEXNÍ ODMOCNINA A ŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A BINOMICKÝCH ROVNIC V této kaptole se dozvíte: jak je defováa fukce přrozeá odmoca v kompleím oboru a jaké má vlastost včetě odlšostí od odmocy v reálém
VíceVÝUKA OPTIKY V MATLABU. Antonín Mikš, Jiří Novák katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v Praze
VÝUKA OPTIKY V MATLABU Antonín Mikš, Jiří Novák katedra fyziky, Fakulta stavební ČVUT v Praze 1. Úvod Optika je vědní obor zabývající se vznikem, šířením, interakcí s látkou a detekcí optického záření
VíceOBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCHU POTISKOVANÝCH MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝCH PLOCH
OBRAZOVÁ ANALÝZA POVRCU POTISKOVANÝC MATERIÁLŮ A POTIŠTĚNÝC PLOC Zmeškal Oldřich, Marti Julíe Tomáš Bžatek Ústav fyzikálí a spotřebí chemie, Fakulta chemická, Vysoké učeí techické v Brě, Purkyňova 8, 62
VíceIntervalové odhady parametrů některých rozdělení.
4. Itervalové odhady parametrů rozděleí. Jedou ze základích úloh mtematické statistiky je staoveí hodot parametrů rozděleí, ze kterého máme k dispozici áhodý výběr. Nejčastěji hledáme odhady dvou druhů:
VíceOdhady parametrů polohy a rozptýlení pro často se vyskytující rozdělení dat v laboratoři se vyčíslují podle následujících vztahů:
Odhady parametrů polohy a rozptýleí pro často se vyskytující rozděleí dat v laboratoři se vyčíslují podle ásledujících vztahů: a : Laplaceovo (oboustraé expoeciálí rozděleí se vyskytuje v případech, kdy
VíceMěření indexu lomu pevných látek a kapalin refraktometrem
F Měřeí idexu lomu pevých látek a kapali refraktometrem Úkoly : 1. Proveďte kalibraci refraktometru 2. Změřte idex lomu kapali 1-3 3. Změřte idex lomu ezámých vzorků optických skel Postup : 1. Pricip měřeí
VíceFUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - 6. - PRVNÍ DIFERENCIÁL TAYLORŮV ROZVOJ FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ PRVNÍ DIFERENCIÁL PŘÍKLAD Pomocí věty o prvím difereciálu ukažte že platí přibližá rovost
VíceAnalýza a zpracování signálů. 4. Diskrétní systémy,výpočet impulsní odezvy, konvoluce, korelace
Aalýza a zpracováí sigálů 4. Diskrétí systémy,výpočet impulsí odezvy, kovoluce, korelace Diskrétí systémy Diskrétí sytém - zpracovává časově diskrétí vstupí sigál ] a produkuje časově diskrétí výstupí
VíceSTUDIUM DEGRADACE TISKU NA TENKÝCH POLYMERNÍCH VRSTVÁCH
STUDIUM DEGRADACE TISKU NA TENKÝCH POLYMERNÍCH VRSTVÁCH Jiří Stačík, 5. ročík Vedoucí práce: doc. Ig. Michal Veselý, CSc. Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta chemická, ústav fyzikálí a spotřebí chemie,
Vícen-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti
-rozměré ormálí rozděleí pravděpodobosti. Ortogoálí a pozitivě defiití symetrické matice. Reálá čtvercová matice =Ha i j L řádu se azývá ortogoálí, je-li regulárí a iverzí matice - je rova traspoovaé matici
Víceje vstupní kvantovaný signál. Průběh kvantizační chyby e { x ( t )}
ČÍSLICOVÉ ZPRACOVÁNÍ ZVUKOVÝCH SIGNÁLŮ Z HLEDISKA PSYCHOAKUSTIKY Fratišek Kadlec ČVUT, fakulta elektrotechická, katedra radioelektroiky, Techická 2, 66 27 Praha 6 Úvod Při číslicovém zpracováí zvukových
Více1 Uzavřená Gaussova rovina a její topologie
1 Uzavřeá Gaussova rovia a její topologie Podobě jako reálá čísla rozšiřujeme o dva body a, rozšiřujeme také možiu komplexích čísel. Nepřidáváme však dva body ýbrž je jede. Te budeme začit a budeme ho
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
VícePopisná statistika - zavedení pojmů. 1 Jednorozměrný statistický soubor s kvantitativním znakem
Popisá statistika - zavedeí pojmů Popisá statistika - zavedeí pojmů Soubor idividuálích údajů o objektech azýváme základí soubor ebo také populace. Zkoumaé objekty jsou tzv. statistické jedotky a sledujeme
Více1 POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL
Elea Mielcová, Radmila Stoklasová a Jaroslav Ramík; Statistické programy POPISNÁ STATISTIKA V PROGRAMU MS EXCEL RYCHLÝ NÁHLED KAPITOLY Žádý výzkum se v deší době evyhe statistickému zpracováí dat. Je jedo,
VíceMetody zkoumání závislosti numerických proměnných
Metody zkoumáí závslost umerckých proměých závslost pevá (fukčí) změě jedoho zaku jedozačě odpovídá změa druhého zaku (podle ějakého fukčího vztahu) (matematka, fyzka... statstcká (volá) změám jedé velčy
VíceIAJCE Přednáška č. 12
Složitost je úvod do problematiky Úvod praktická realizace algoritmu = omezeí zejméa: o časem o velikostí paměti složitost = vztah daého algoritmu k daým prostředkům: časová složitost každé možiě vstupích
Více5. Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu
5 3.3.8 8:44 Josef Herdla lieárí difereciálí rovice -tého řádu 5. Lieárí difereciálí rovice -tého řádu (rovice s ostatími oeficiety) ( ), a,, a (5.) ( ) ( ) y a y a y ay q L[ y] y a y a y a y, q je spojitá
VíceMatematika 1. Katedra matematiky, Fakulta stavební ČVUT v Praze. středa 10-11:40 posluchárna D / 13. Posloupnosti
Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Matematika 1 Katedra matematiky, Fakulta stavebí ČVUT v Praze středa 10-11:40 posluchára D-1122 2012 / 13 Úvod Opakováí Poslouposti Příklady Úvod Opakováí Poslouposti
VíceBezpečnostní technika
Bezpečostí techika Modul pro hlídáí otáčeí a kotrolu zastaveí BH 5932 safemaster Grafické zázorěí fukce splňuje požadavky ormy EN 60204-1, kocepčí řešeí se dvěma kaály, vstupy pro iiciátory (símače) pp,
Více1. Měření ve fyzice, soustava jednotek SI
1. Měřeí ve fyzice, soustava jedotek SI Fyzika je vědí obor, který zkoumá zákoitosti přírodích jevů. Pozámka: Získáváí pozatků ve fyzice: 1. pozorováí - sledováí určitého jevu v jeho přirozeých podmíkách,
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 8. Modely časových řad I.
Lieárí a adaptiví zpracováí dat 8. Modely časových řad I. Daiel Schwarz Ivestice do rozvoje vzděláváí Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK BOX Cíl, motivace Popis a idetifikace systémů BLACK
VíceZákladní požadavky a pravidla měření
Základí požadavky a pravidla měřeí Základí požadavky pro správé měřeí jsou: bezpečost práce teoretické a praktické zalosti získaé přípravou a měřeí přesost a spolehlivost měřeí optimálí orgaizace průběhu
VíceExperimentální Analýza Napětí
Experimetálí Aalýza Napětí 004 SENDER BEAM VIBRATINS: DAMPING AND ITS MDE KMITÁNÍ ŠTÍHÉH NSNÍKU: ÚTUM A JEH MDE Petr Fratík Experimetal results of free vibratio measuremet of sleder steel catilever beam
VíceObsah. 1 Mocninné řady Definice a vlastnosti mocninných řad Rozvoj funkce do mocninné řady Aplikace mocninných řad...
Obsah 1 Mocié řady 1 1.1 Defiice a vlastosti mociých řad.................... 1 1. Rozvoj fukce do mocié řady...................... 5 1.3 Aplikace mociých řad........................... 10 1 Kapitola 1
VíceIterační metody řešení soustav lineárních rovnic
Iteračí metody řešeí soustav lieárích rovic Matice je: diagoálě domiatí právě tehdy, když pozitivě defiití (symetrická matice) právě tehdy, když pro x platí x, Ax a ij Tyto vlastosti budou důležité pro
VícePosouzení struktury strojní sestavy pomocí teorie hromadných obsluh
Projekt zpracová s podporou FRVŠ. Posouzeí struktury strojí sestavy pomocí teorie hromadých obsluh 1 Základí údaje Ve stavebí praxi se velmi často vyskytuje požadavek rychle a objektivě posoudit strukturu
VíceNEPARAMETRICKÉ METODY
NEPARAMETRICKÉ METODY Jsou to metody, dy předmětem testu hypotézy eí tvrzeí o hodotě parametru ějaého orétího rozděleí, ale ulová hypotéza je formulováa obecěji, apř. jao shoda rozděleí ebo ezávislost
Více14. Testování statistických hypotéz Úvod statistické hypotézy Definice 14.1 Statistickou hypotézou parametrickou neparametrickou. nulovou testovanou
4. Testováí statistických hypotéz Úvod Při práci s daty se mohdy spokojujeme s itervalovým či bodovým odhadem parametrů populace. V mohých případech se však uchylujeme k jiému postupu, většiou jde o případy,
Více8.2.1 Aritmetická posloupnost
8.. Aritmetická posloupost Předpoklady: 80, 80, 803, 807 Pedagogická pozámka: V hodiě rozdělím třídu a dvě skupiy a každá z ich dělá jede z prvích dvou příkladů. Př. : V továrě dokočí každou hodiu motáž
VíceUniverzita Tomáše Bati ve Zlíně
Uiverzita Tomáše Bati ve Zlíě LABORATORNÍ CVIČENÍ Z FYZIKY II Název úlohy: Iterferece a teké vrstvě Jméo: Petr Luzar Skupia: IT II/ Datum měřeí: 3.říja 007 Obor: Iformačí techologie Hooceí: Přílohy: 0
VíceÚloha II.S... odhadnutelná
Úloha II.S... odhadutelá 10 bodů; průměr 7,17; řešilo 35 studetů a) Zkuste vlastími slovy popsat, k čemu slouží itervalový odhad středí hodoty v ormálím rozděleí a uveďte jeho fyzikálí iterpretaci (postačí
VíceDERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROM
Difereciálí počet fukcí jedé reálé proměé - - DERIVACE FUNKCÍ JEDNÉ REÁLNÉ PROMĚNNÉ ÚVODNÍ POZNÁMKY I derivace podobě jako limity můžeme počítat ěkolikerým způsobem a to kokrétě pomocí: defiice vět o algebře
Více1.7.4 Těžiště, rovnovážná poloha
74 ěžiště, rovovážá poloha Předpoklady: 00703 Př : Polož si sešit a jede prst tak, aby espadl Záleží a místě, pod kterým sešit podložíš? Proč? Musíme sešit podložit prstem přesě uprostřed, jiak spade Sešit
VíceGenerování dvojrozměrných rozdělení pomocí copulí
Pravděpodobost a matematcká statstka eerováí dvojrozměrých rozděleí pomocí copulí umbelova copule PRAHA 005 Vpracoval: JAN ZÁRUBA OBSAH: CÍL PRÁCE TEORIE Metoda verzí trasformace O copulích Sklarova věta
VíceS polynomy jste se seznámili již v Matematice 1. Připomeňme definici polynomické
5 Itegrace racioálích fukcí 5 Itegrace racioálích fukcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se aučili počítat eurčité itegrály úpravou a základí itegrály, metodou per partes a substitučí
VíceObsah. skentest. 1. Úvod. 2. Metoda výpočtu Základní pojmy
Obsah sketest 1. ÚVOD... 1 2. METODA VÝPOČTU... 1 2.1. ZÁKLADNÍ POJMY... 1 2.2. SOUŘADNICOVÉ SYSTÉMY... 2 2.3. PŘÍPRAVEK... 3 2.4. POSTUP VÝPOČTU... 4 3. PROGRAM SKENTEST... 5 3.1. VSTUPNÍ SOUBOR... 5
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobost a aplikovaá statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 4. KAPITOLA STATISTICKÉ CHARAKTERISTIKY 16.10.2017 23.10.2017 Přehled témat 1. Pravděpodobost (defiice, využití, výpočet pravděpodobostí
Více