TLUMENÍ TLAKOVÝCH A PRŮTOKOVÝCH PULZACÍ

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ ECHNICKÉ V BNĚ FAKULA SONÍHO INŽENÝSVÍ ENEGEICKÝ ÚSAV ODBO HYDAULICKÝCH SOŮ V. KAPLANA Ing. Vladmír HABÁN LUMENÍ LAKOVÝCH A PŮOKOVÝCH PULZACÍ PESSUE AND FLOW PULSAION DAMPING eze dertační práce PhD he obor: Kontrukční a procení nženýrtví školtel: oponent: Prof. Ing. Frantšek Pochylý, CSc. Prof. Ing. arolav Bláha, DrSc. Prof. Ing. Pavel Šťáva, CSc. Ing. Vllbald Kolarčík, CSc. datum obhajoby: 6. 4.

2 Vladmír Habán, ISBN ISSN 3 498

3 OBSAH Úvod... 5 Snžování ampltudy tlakových a průtokových pulzací Využtí dpace čát netaconární mechancké energe ytému Sérově řazené hydraulcké prvky Využtí plynového akumulátoru Plynový akumulátor a érový odpor Porovnání měření a výpočtu Dynamcký tlumč Určení přídavné hmotnot Laděná odbočka (Helmholtzův rezonátor) Dpace pulzační energe v trubc Odvození vztahu pro Laplaceův obraz rychlot kapalny Stanovení paměťové funkce rychlot tekutny Měření netaconárního rychlotního proflu Porovnání výledků měření výpočtem Paměťová funkce třední rychlot tekutny Výpočet dervace rychlot na poloměru Určení ztrátového oučntele... 4 Výpočet tlakových a průtokových pulzací Závěr Summary Použtá lteratura Currculum vtae... 3

4 Základní označení Symbol roomer pop c [m. - ] vektor rychlot d [m] průměr potrubí D [W] dpační funkce E [kg.m -. - ] modul pružnot materálu potrubí E [] energe F(ζ,t) [] paměť rychlot tekutny F d (t) [] paměť dervace rychlot tekutny F (t) [] paměť tření rychlot tekutny K [kg.m -. - ] modul pružnot kapalny m [kg] hmotnot n [] jednotkový vektor p [kg.m -. - ] tlak P přenoová matce úeku potrubí q [m 3. - ] netaconární ložka průtoku Q [m 3. - ] průtok [m] poloměr trubce přenoová matce hydraulckého prvku [ - ] parametr Laplaceovy tranformace podle čau S o [m ] průřez nedeformovaného potrubí t [] Ča v o [m. - ] rychlot zvuku w tavový vektor Y(ζ,) [] Laplaceův obraz pamět rychlot tekutny Y d () [] Laplaceův obraz pamět dervace rychlot tekutny Y () [] Laplaceův obraz pamět třední rychlot tekutny Γ(t) [] paměť ztrátového oučntele Π j δ j nevratný tenzor napětí Kroneckerův tenzor ϕ k [m - ] potencál rychlot v závlot na ložkách rychlot tělea [m. - ] knematcká vkozta kapalny σ [kg.m -. - ] netaconární ložka tlaku ψ() [ - ] Laplaceův obraz pamět ztrátového oučntele

5 ÚVOD Předpokládáme, že hydraulcký ytém je ložen z pružných trubc obahujících tlačtelnou tekutnu a lokálně umítěných hydraulckých prvků, pod kterým rozumíme např. rozvětvení, odtředvé čerpadlo, turbínu, plynový akumulátor, hydraulcký odpor, dynamcký tlumč a podobně. Ladění hydraulckých ytémů mmo rezonanční pámo je velm problematcké, protože hydraulcký ytém mění vé parametry v závlot na čae. Zejména rychlot zvuku v závlot na teplotě, tlaku a na množtví obaženého vzduchu a nečtot v tekutně. V hydraulckých obvodech, tejně jako u mechanckých outav jou nebezpečné dva tavy, přechodové a vynucené kmtání. K omezování ampltud tlaku a průtoku pro každý z nch je nutno přtupovat rozdílně a to jak př matematckém řešení, tak př mechance tlumení. Návrh tlumení má však význam jen v kombnac e ytémem. e nutno uvážt, který tvar kmtu chceme tlumt a k čemu má tlumč loužt. Metody pomocí kterých lze dynamku tekutnového ytému řešt, lze rozdělt na metody používané pro řešení ve frekvenční oblat a na metody pro řešení v čaovém protoru. K řešení ve frekvenční oblat lze výhodou použít metodu přenoových matc. ato metoda je založena na Laplaceově tranformac podle čau v lnearzovaných rovncích kontnuty, rovnováhy a okrajových podmínkách. V této lneární teor, na rozdíl od teore nelneární, lze patřovat základní nprac k ovlvňování dynamckých vlatnotí hydraulckého ytému. K řešení dynamckých jevů v čaovém protoru e dne nejčatěj používají metody charaktertk, metoda Lax-Vendroffova. Prncpem těchto numerckých metod je, rozdělení trubc, ze kterých je ytém ložen na malé úeky, náledně e pro každý úek trubce etaví rovnce kontnuty a rovnce rovnováhy, které e přílušnou numerckou metodou řeší. yto numercké metody jou vhodné pro řešení vodního rázu, nutné pro řešení nelneárního ytému. Řešení vlatních frekvencí a tvarů kmtu, zvláště př vyšších frekvencích, je pomocí těchto numerckých metod téměř nemožné. Pro vyšší frekvence vychází dělení trubce na přílš krátké úeky, doby výpočtu utálených ampltud tlaku a průtoku pro jednu frekvenc e proto neúměrně prodlužují a pro zjštění frekvenčně ampltudové charaktertky je nutno počítat utálené kmtání pro celou paletu frekvencí v rozahu, kde hledáme nebezpečné rezonanční kmtání. Z těchto důvodů je opět výhodné použtí metody přenoových matc a přechodové kmtání v čaové oblat řešt rozvojem podle vlatních tvarů kmtu nebo využtím zpětné Laplaceovy tranformace[]. Pokud dokážeme numercky modelovat a náledně řešt kmtání v hydraulckém obvodu, můžeme optmalzovat a zvolt vhodnou metodu pro tlumení tlakového a průtokového kmtání v tomto obvodu. K omezování ampltudy tlakových a průtokových pulzací, za předpokladu harmoncké budící funkce ať tlakové, průtokové nebo míšené v daném bodě potrubního ytému, je možno přtoupt náledujícím způoby:. Využtím dpace čát netaconární mechancké energe ytému. a) érově řazených hydraulckých prvků b) paralelně řazených hydraulckých prvků c) trubce. Využtím plynového akumulátoru 3. Využtím dynamckého tlumče 5

6 SNIŽOVÁNÍ AMPLIUDY LAKOVÝCH A PŮOKOVÝCH PULZACÍ. Využtí dpace čát netaconární mechancké energe ytému.. Sérově řazené hydraulcké prvky yto prvky dobře tlumí netaconární tlakové a průtokové pulzace. Mohou však způobt velké tlakové ztráty př taconárním průtoku. Nejčatěj používané jou clony, armatury, pecální regulační odpory. Intenta tlumení je závlá na poloze hydraulckého odporu vzhledem k tvaru kmtu, který hodláme tlumt. Lze e o tom převědčt buď přímým výpočtem tvaru kmtu tlaku a průtoku (např. dle metodky výpočtu uvedené v kaptole 6), nebo analýzou přípěvku zmíněného prvku k dynamcké tabltě ytému. uto analýzu u tohoto jednoduchého prvku lze provét z porovnání energí která do uzlu přtéká a která z uzlu odtéká. Obr. Předpokládejme, že trubcí vtéká do hydraulckého prvku příkon E a z hydraulckého prvku do trubce + vtéká E +. ozdíl těchto příkonů je možno vyjádřt vztahem () a je roven dpační funkc D: E (L,t) E + (,t) D () Příkon lze vyjádřt oučnem tlaku a průtoku v daném čaovém okamžku doazením do vztahu () dotaneme vztah (): Zavedeme-l tavový vektor w ( L,t) Q ( L,t) p (,t) Q (,t) D p () Q w a matc je možno po doazení do pát: p (,t) w ( L,t) w + (,t) w (,t) D L + Uvážíme-l přechodovou matc hydraulckého prvku, která popuje vztah mez tavovým vektory před a za hydraulckým prvkem dle vztahu w+ (,t) w ( L,t) lze po doazení do vztahu (3) pát: w ( L,t) w ( L,t) w (,t) w (,t) D Po úpravě dotaneme: w ( L,t) ( ) w ( L,t) D Po doazení přechodové matce pro odpor ve tvaru do vztahu (5) zíkáme: b (3) (4) (5) 6

7 w b b ( L,t) w ( L,t) D ( Q ( L,t) p ( L,t) ) b Q p ( L,t) ( L,t) D Po roznáobení matcového vyjádření dle vztahu (6) dotaneme vztah (7) pro výpočet dpační funkce odporu. D b Q Ze vztahu (7) plyne, že největší tlumení mají tyto prvky na těch tvarech kmtu, které mají v mítě prvku kmtnu průtoku, na tvary kmtů které mají v mítě odporu uzel průtoku nemá hydraulcký odpor žádný vlv. (6) (7). Využtí plynového akumulátoru Plynový akumulátor je vždy charakterzován tatckou pružnou, ať mechanckou č plynovou a odporem. Obr. Přechodová matce akumulátoru má tvar: C V p C V p p kde V objem akumulátoru p tlakování akumulátoru p třední hodnota tlaku př provozu e možno ho využt k přeladění ytému a tím ke nížení ampltudy tlakových pulzací vynuceného kmtání hydraulckého obvodu nebo, což je čatější, ke nížení ampltud přechodového kmtání, př šíření tlakové vlny od zdroje pulzací. V obou případech bývá vhodné umíťovat plynový akumulátor blízko zdroje pulzací. Záadně však mmo uzel tlaku toho tvaru kmtu, u kterého chceme nížt ampltudu pulzací. Plynový akumulátor může být kontruován tak, aby oučaně plnl funkc paralelního odporu..3 Plynový akumulátor a érový odpor edná e o tlumení tlakových pulzací na tejném prncpu jako v případě amotného hydraulckého odporu. Výhodné použtí je pro případ, že v hlavní větv je nulový taconární průtok a kontrukce odporu neumožňuje navrhnout tak velký odpor aby utluml př tomto průtoku tlakové pulzace, např. mpulzní potrubí k tlakovým nímačům, kde potřebujeme měřt 7

8 tatckou hodnotu tlaku, ale na měřeném tlaku jou velké ampltuty tlakových pulzací především na nízkých frekvencích. Schematcky je tento tlumč zobrazen na Obr. 7. Pro zjednodušený vypočet tlumení uvažujeme tlumč dle obr. 3 v mítě tlakové buzení a v mítě podmínka nulového průtoku. Obr. 3 Stavový vektor průtok, tlak v Laplaceových obrazech je možno pro míto pát v závlot na tavovém vektoru v mítě dle matcového zápu 8. q C q (8) σ ξ σ Po doazení zvolených okrajových podmínek a roznáobení přenoových matc odporu a akumulátoru dotaneme: + Cξ C q (9) σ ξ σ Řešením těchto dvou rovnc obdržíme: C q σ σ σ () + Cξ + Cξ Předchozí rovnce vyjadřuje přeno mez mítem a. Pokud ná zajímá poměr abolutních hodnot ampltud tlaku mez mítem a př harmonckém buzení, lze ho vyjádřt pomocí vztahu. σ σ + ωcξ + ( ωcξ) ().3. Porovnání měření a výpočtu V laboratoř VU FSI Brno byl tento prncp tlumení tlakových pulzací expermentálně ověřen. Měřící trať je znázorněna na obr. 4. rať pozůtávala z ocelové trubky o délce m vntřním průměrem 5,5 mm a tloušťkou těny mm. ednu okrajovou podmínku tvořl pulzátor, opatřený frekvenčním měnčem, druhou okrajovou podmínku větrník, realzovaný trubkou o délce 34 mm e tejnou větlotí. Uprotřed trubky byl vložen odpor. Netaconární tlaky byly nímány v mítech P - P4, přčemž P a P3 byly umítěny těně před a za odporem. 8

9 Odpor byl realzován dle obr. 5. Obr. 4 Obr. 5 e-l S průřez komůrky, S průřez páry, L délka páry a n počet pár, je možno odvodt přblžný vztah pro pokle tlaku za tlumčem v závlot na průtoku ve tvaru (). ρl p p + ρq n n Q 3 SS S S () πdh Př nžších frekvencích, řádově jednotek Hz e uplatní pouze. člen př Q. ento člen charakterzuje tlakové ztráty způobené třením v tenké páře a platí pro taconární průtok. Př netaconárním průtoku budou ztráty třením větší v důledku netaconárního rychlotního proflu. ento rychlotní profl je pro kruhovou trubc odvozen v kaptole 5. Př našem měření e ukázalo že hodnota odporu byla dva krát větší než př výpočtu podle vztahu. Měření a výpočet pro trať dle obr. 9 a parametry frekvence odpor 4. 9 Pa./m 3 větrník C4,3. - m 3 /Pa jou znázorněny na obr. 6. ečky v grafu označují měřené ampltudy tlaku v daném mítě, čára předtavuje vypočtené hodnoty tlakových ampltud po délce potrubí. Ampltuda tlaku (kpa) Poloha (m) Obr. 6 9

10 .4 Dynamcký tlumč ž v úvodu této práce bylo zmíněno, že právné naladění hydraulckého ytému je velm problematcké, neboť muíme vždy počítat e změnou fyzkálních vlatnotí pracovní tekutny v závlot na provozních podmínkách. Proto e není možno u běžných trojů vždy vyhnout rezonančnímu kmtání. uto nenáz odtraní dynamcký tlumč, který e aplkuje mmo uzel tlaku přílušného tvaru kmtu tak, že vzhledem ke vému naladění pohlcuje čát mechancké energe ytému a tím nžuje ampltudu tlakových a průtokových pulzací. Hydraulcký ytém tímto tlumčem e nemůže na zvoleném tvaru kmtu dotat do rezonance. lumč typu A vz tr. však může mít negatvní vlv na velkot pulzací př přechodovém kmtání. Proto navrhujeme dvouhmotovou kontrukc dle obr. B, přčemž první hmotnot je zanedbatelná vůč druhé a tuhot k << k. ím plní tlumč zároveň funkc plynového akumulátoru. lumč typu A lumč typu B Analýzou na měřícím pracovšt bylo zjštěno, že dynamcký tlumč je vhodné umíťovat do kmtny tlaku nebo uzlu průtoku přílušného tvaru kmtu, který chceme dynamckým tlumčem utlumt. Př umítění dynamckého tlumče do uzlu tlaku ztrácí dynamcký tlumč účnnot. Př jeho použtí je vždy nutno uvědomt, že dynamcký tlumč louží především k odtranění reonance v hydraulckém ytému. Vždy dojde k přeladění ytému Přechodová matce dynamckého tlumče má obecně tvar: Pro tlumč typu A platí: ψ() φ() S ψ () ; S- průřez válce M Pro tlumč typu B platí: ( + ) S ψ ( ) ω ; M ω k Φ ; ( ) + ω + k M k (3) ω M (4) Φ ; (5) ( ) + ω Protože v hydraulckých ytémech jou budící frekvence poměrně nízké, ladí e dynamcký tlumč na nízkou frekvenc. Z toho vychází poměrně vyoké hmotnot kmtající v dynamckém tlumč. Navrhujeme proto využít ke kontrukc tlumče efektu přídavných hmotnotí od tekutny, vznkajících př netaconárním pohybu tělea v tekutně.

11 .4. Určení přídavné hmotnot Přídavnou hmotnot je možno řešt pomocí teore uvedené v []. Zde uvedeme jen základní vztahy a výledky pro jeden případ výpočtu. Přídavná hmotnot půobící na pít ve válc kruhového průřezu bude určena v závlot na velkot vůle dle obr. 3. Předpokládá e, že proudění je potencální a rychlot pohybu tekutny lze vyjádřít c grad Φ, (6) vztahem: ( ) Obr. 7 Vzhledem k okrajovým podmínkám na hranc tělea je vhodné potencál rychlot vyjádřt v závlot na ložkách rychlot tělea. edy: k ( x ) u ( t) Φ ϕ (7) j Vykonává-l pít pohyby pouze ve měru oy válce lze jednoduše pát: ϕ( x j ) u ( t) Funkc ϕ ( x j ) lze určt řešením Laplaceovy rovnce: okrajovým podmínkam na nehybné hranc válce: ϕ n x a okrajovým podmínkam na hranc tělea: ϕ n n x Přídavnou hmotnot lze pak určt ze vztahu: Z defnce (8) plyne, že k Φ (8) ϕ (9) ( x ) () () m ρ ϕ j n d () S v ϕ předtavuje rychlot tekutny vztaženou na x jednotku rychlot tělea. Na obr. 8 je znázorněno pole v př pohybu pítu ve měru oy.

12 Obr. 8 Na jev přídavné hmotnot kapalny, e lze podívat z pohledu energetckého. Pokud e pohybuje těleo v kapalně, je celková energe outavy těleo-kapalna ložena z energe pohybujícího e tělea a z energe proudící kapalny, vyvolané pohybem tělea, dle vztahu: E + E E K C Po doazení za jednotlvé knetcké energe dotaneme vztah (4) m v + V ρ v K dv ( m + m ) v Ze vztahu (4) je možno počítat přídavnou hmotnot dle vztahu (5). m P V ρ v v K dv Užtečnot vztahu(5) je především v jednoduchém poouzení dříve zanedbaných vlvů a zvoleného typu proudění na vypočtenou přídavnou hmotnot. Výraz () pro přídavnou hmotnot od tekutny dle obr. 7, je znázorněn v závlot na mezeře mez pítem a válcem na obr. 9. P (3) (4) (5) 5 Př. Hmotnot (kg) Mezera (mm) Obr. 9

13 Z obr. vdíme, že přídavná hmotnot prudce narůtá př zmenšovaní vůle mez pítem a válcem. U kutečné kapalny bude mít podtatný vlv na pohyb pítu dpace energe v tenké páře. Práce věnovaná tomuto tématu byla publkována v [7],[8]..4. Laděná odbočka (Helmholtzův rezonátor) lumení pomocí laděné odbočky funguje na tejném prncpu jako dynamcký tlumč. Laděná odbočka tejně jako dynamcký tlumč př umítění na potrubí přeladí potrubní ytém tak, že v mítě tohoto prvku vznkne uzel tlaku. ejí výhodou je jednoduchá kontrukce, jde o potrubí délky /4 vlny tlumené frekvence, které paralelně přpojíme k potrubnímu ytému. Použtí je však reálné pouze pro vyšší frekvence, pro nízké frekvence, vychází odbočka přílš dlouhá. Délku odbočky lze počítat ze vztahu (6) a L (6) 4 f Příklad výpočtu kde a rychlot zvuku (m. - ) f frekvence naladění ( - ) Předpokládáme hydraulcký ytém dle obr. v uzlu tlakové buzení a v uzlu průtokovou podmínku Q. Délka trubce je m. Budeme předpokládat buzení úhlovou frekvencí ω rad. - to je f5,9 -. ychlot zvuku am. -. Délka laděné odbočky podle vztahu 5 L5,77m. Obr. Vynucený tvar kmtu tlaku pro podmínky příkladu a případ, že na potrubí není laděná odbočka je znázorněn na obr.. Na obr. je uvedena F-A charaktertka tlaku pro polohu uzlu. Z tohoto obrázku je zřejmé, že vlatní frekvence jou dotatečně vzdáleny od budící frekvence..4. lak (kpa) Poloha (m) Obr. 3

14 5 p (kpa) ω (rad. - ) Obr. Ampltuda tlaku v uzlu v závlot na poloze odbočky l dle obr. 6 je znázorněna na obr lak v uzlu (kpa) Poloha odbočky (m) Obr. 3 Z obr. 3 plyne, že tlumení je na poloze odbočky lně závlé. Odbočku nemíme umítt do míta, kdy e jedna čát ytému odbočkou naladí na budící frekvenc. Buď čát od pulzátoru a odbočka, nebo odbočka a potrubí k uzlu. ato analýza závlot na poloze odbočky je ložtá a vede k modelování celého hydraulckého ytému a zkoumání útlumu odbočky v závlot na poloze odbočky. Pokud je ytém bez odbočky buzen na vlatní frekvenc, je určení polohy odbočky jednodušší, největší tlumení dotaváme př umítění odbočky do kmtny tlaku, původního ytému bez odbočky. ento prncp tlumení tlakových pulzací byl použt na tepelné elektrárně Dětmarovce na odřovací jednotce. Útlum tlakových pulzací na fhz, byl nížen na / původní hodnoty. Vz lt.6 3 DISIPACE PULZAČNÍ ENEGIE V UBICI rubce obahující tekutnu je ama o obě zdrojem ztrát způobených tvarem rychlotního proflu proudící tekutny jak př taconárním, tak př netaconárním lamnárním turbulentním proudění. Dalším zdrojem ztrát v trubc je př netaconárním průtoku tlačtelné tekutny druhá vkozta tekutny, případně tlumení materálu trubce. 4

15 Řešení dynamky tekutnových ytémů je založeno na tředních hodnotách tlaku a rychlot po průřezu trubce. Z tohoto důvodu je velm obtížné nalézt adekvátní matematcký model vntřního tlumení tekutny. Základní výledky doavadního řešení byly publkovány v [3], ale jou většnou zaměřeny na pulzační proudění vyvolané harmonckým gnálem. My jme e pokul o obecnější řešení pro tvary gnálů nejen harmonckých, ale Laplaceovky tranformovatelných. Základem metody je tedy Laplaceova tranformace. 3. Odvození vztahu pro Laplaceův obraz rychlot kapalny Ze zkušenotí je známo, že zejména pulzační proudění je charakterzováno lamnárním rychlotním proflem. Matematcký pop lamnárního netaconárního rychlotního proflu vychází z řešení Naver-Stokeových rovnc pro dvojrozměrný (rotačně ymetrcký) model proudění. Obr. 4 Na základě lneární teore je možno pát základní rovnce ve válcových ouřadncích ve tvaru: c p c c + (7) t ρ x r r r Integrujme nyní rovnc (7) pře nterval <,L>, určující délku trubce na takto zíkanou rovnc aplkujme Laplaceovu tranformac, jetlže jme označl: L {} c u ; L{ p p } σ -počátek a konec trubce. r-poloměr trubce σ u u Po Laplaceově tranformac dotaneme: u + (8) ρ L r r r Řešení rovnce (8) lze nalézt ve tvaru Beelovych funkcí uvažováním okrajovych podmínek, nulové dervace rychlot v oe trubce a nulové rychlot na hranc trubce. Na základě toho lze pát: u ς ρ L ( ς,) σ() Ve vztahu byly zavedeny tyto ymboly: Beelova funkce r ς Bezrozměrný poloměru trubce (9) 5

16 ρ L σ () Parametr Laplaceovy tranformace Hutota kapalny Vzdálenot tlakových odběrných mít Laplaceuv obraz tlakové dference Zavedeme-l ymbolem Y( ς,) Laplaceův obraz pamět tekutny ς ( ) Y ς, lze výraz (9) uvažováním výrazu (3) pát ve tvaru (3) u ( ς,) Y( ς,) () σ ρ L Pokud má tlakové buzení harmoncký průběh je možno počítat netaconární rychlot pomocí rozvoje vztahu (3) pře rezduum tlakové funkce, takto dotaneme komplexní funkc rychlot v závlot na poloměru. Zde je možno zobrazt ampltudu rychlotí a fázové pounutí rychlot vůč tlaku. Zde e zaměříme na výpočet rychlotí pomocí paměťové funkce. Paměťovou funkc F ς, t lze vyjádřt náledovně: tekutny ( ) F ( ς,t) L { Y( ς,) } F( ς,t) L ς Na základě defnce této funkce je možno pát vztah pro rychlot ve tvaru konvolučního ntegrálu: c t ( ς, t) (,( )) ( ) (3) (3) (3) F ς tτ p τ dτ (33) ρ L Význam tohoto výrazu počívá v tom, že př známé (změřené) tlakové dferenc jme chopn vypočítat tvar netaconárního rychlotního proflu tekutny př lamnárním netaconárním proudění, lbovolným průběhem netaconarty. 3. Stanovení paměťové funkce rychlot tekutny Navrhujeme použtí rezduové věty a zpětnou Laplaceovu tranformac provét pomocí rozvoje funkce Y( ς,) podle rezduí. Beelova funkce komplexní proměnné má nulové body pouze pro reálný argument. Pro není rezduum, jde o neurčtý výraz po jehož výpočtu dotaneme konečnou hodnotu. je plněno, pokud K k, kde K k muí být reálné čílo. 6

17 Hodnoty prvních dvacet nulových bodů K k jou uvedeny v tabulce Pro výpočet nulových bodů k bude platt k K K k k k (34) Potom je možno pát vztah pro paměťovou funkc tekutny ve tvaru nekonečné řady: F ( ς,t) k ( Kk ς) ( K ) k K k t e K k Zde může být vhodné zavét bezrozměrný čaový parametr τ tak, aby paměťová funkce nebyla závlá na vkoztě a na poloměru trubce. t τ Potom je možno paměťovou funkc pro parametr τ pát ve tvaru: ( K k ς) ( K ) ( ) K k τ e F ς, τ (37) k k K k ato nekonečná řada rychle konverguje. Pro výpočet potačuje prvních členů. Průběh paměťové funkce rychlot v závlot na bezrozměrném parametru τ, je znázorněn na obr. 5. Nejníže položená křvka je pro ζ, to je pro ou trubce měrem nahoru, náledují křvky pro parametr ζ vždy o, větší, tím e potupně dotaneme k okraj trubce. Na hranc trubce (ζ) je průběh paměťové funkce rychlot tekutny náledující, pro t je F- a pro všechna t> je F. (35) (36) 7

18 Paměť F (-) ζ.9 ζ Parametr τ (-) Obr Měření netaconárního rychlotního proflu Netaconární rychlotní profl byl měřen pomocí laer-dopplerovkého anemometru (LDA). Souprava etávala z laeru o výkonu 3mV, optckých prvků (ohnková vzdálenot f mm), Braggových cell pro elektrooptcký hft, jednooého lneárního traverzačního zařízení, vyhodnocovacího dvoukanálového proceoru a řídícího počítače třídy PC. Měřeny byly také tlaky pomocí tlakových čdel DMP 33, výrobce BD SENZOS r. o. Uh. Hradště, měřcí rozah 5 kpa (A), přenot ±,5%, proudový výtup ma. Vzorkovací frekvence př měření tlaků byla khz. Synchronzace mez měřením rychlotí a tlaků byla prováděna pomocí optckého čdla na pulzátoru, které optcky nímalo natočení, tento gnál byl přveden do obou měřících počítačů. V dalším vyhodnocování e pracovalo e tředním hodnotam rychlotí a tlaků, které byly vypočteny jako třední hodnoty z více perod, pounutím jednotlvých perod na jednu dle čaové značky (gnál z pulzátoru). Měrná čát trat byla ložena ze kleněné trubce o průměru 5 mm, dvou tlakových čdel vzdálených,35m a zařízení pro měření rychlot LDA. Vz obr. 6. Obr Porovnání výledků měření výpočtem ychlotní profly zíkané výpočtem z tlakové dference dle obr. 9 mají průběh znázorněný na obr. 7 8

19 ychlot (m/) Poloha (mm) Obr. 7 Měřené rychlotní profly pomocí LDA jou znázorněny na obr. 8. ychlot (m/) Poloha (mm) Obr. 8 Na obr. je znázorněn čaový průběh měřené tlakové dference, rychlot měřené pomocí LDA a rychlot vypočtené z tlakové dference pomocí konvolučního ntegrálu (33). v (m/) v LDA -.8 dp v z dp.e+.e-.e- 3.E- 4.E dp (kpa) Ča () Obr. 9 Z porovnání plyne, že netaconární rychlotní profl počítaný z paměťové funkce tekutny e od měřeného lší max. o 3%. ato odchylka může být způobena chybou měření. 9

20 3.3 Paměťová funkce třední rychlot tekutny Pro Laplaceův obraz třední hodnoty rychlot v průřezu trubce je možno pát ntegrál rychlot dle vztahu 38 pře průřez trubce ve tvaru: () ( ) ()dr L r, Y u σ ρ π ς π (38) Po doazení za Y(ζ,) ze vztahu 3 dotaneme: () ()dr L r r u σ ρ (39) Po výpočtu ntegrálu dotaneme: () () L u ρ σ (4) Zavedeme-l ymbolem () Y Laplaceuv obraz pamět třední rychlot tekutny po průřezu: () Y (4) lze paměťovou funkc třední rychlot tekutny ( ),t F ς vyjádřt: () () { } Y L t F () L t F (4) ozvojem pře razdua výrazu 4 můžeme pát vztah pro paměťovou funkc třední rychlot ve tvaru nekonečné řady. () k k t K e 4 t F k (43) Zde K k jou nulové body Beelovy funkce dle tabulky nulových bodů a k vypočteme ze vztahu (34). e vhodné zavét bezrozměrný parametr τ vztahem (36). Po doazení dotáváme: () τ τ k k K K e 4 F k (44)

21 Význam paměťové funkce třední hodnoty rychlot po průřezu je v tom, že ze známé změřené hodnoty tlakové dference jme chopn počítat třední hodnoty rychlot pomocí vztahu: c ρ L t () t F ( t τ) p( τ) dτ Nebo určovat hodnotu průtoku závlého na čae: (45) Q π c π ρ L t () t F ( t τ) p( τ) Průběh paměťové funkce třední hodnoty rychlot v závlot na bezrozměrném parametru τ je znázorněn na obr.. dτ Paměť F (-) Parametr τ (-) Obr. 3.4 Výpočet dervace rychlot na poloměru Př výpočtu dervace na poloměru vyjdeme ze vztahu (9) pro Laplaceův obraz rychlot tekutny, dervac podle r pro poloměr dotaneme: ( r,) u r r ρ σ L Zavedeme-l ymbolem Y d ( ς,) Laplaceův obraz pamět dervace rychlot na poloměru : () (46) Y d () lze paměťovou funkc dervace rychlot na poloměru F d ( t) vyjádřt: F () t L { Y () } (47) (48)

22 Po doazení dotaneme: F d () t L Výpočet zpětné Laplaceovy tranformace provedeme pomocí reduí rozvojem v nekonečnou řadu, redua jou v bodech k. V bodě jdoucí k jde o neurčtý výraz a po výpočtu zjtíme že funkce zde má konečnou hodnotu. F d () t k e k t Dervac rychlot na hranc trubce je možno počítat z konvolučního ntegrálu ve tvaru: ( r,) u r r ρ L t k e k (tτ) p( τ) τ Integrál umy v tomto vztahu lze pát jako umu ntegrálů a dotáváme: ( r,) u r r ρ L t k e k (t τ) p( τ) τ (49) (5) 3.5 Určení ztrátového oučntele Vyjdeme z Naver-Stokeovy rovnce v náledujícím tvaru, dc dt Π x j p + x j (5) kde Π j je ymetrckým tenzorem nevratných napětí. Integrujme tuto rovnc pře obor V trubce. Po ntegrac obdržíme: d dt ρ c dv Πj n j ds + p n ds V S S kde: S S S P Upravíme-l rovnc pro -oa trubce zíkáme: dq p Π j n jds π dt ρ L ρ L P Integrál v tomto vztahu lze vyjádřt náledovně: c( r ) Π j n jds π L η P r Výraz (53) lze tedy zapat ve tvaru: dq dt π c ( r ) p π ρ L r (5) (53) (54) (55)

23 3 Po Laplaceově tranformac podle čau dotaneme: ( ) ( ) L r r u Q q π ρ σ π (56) Po doazení do předešlého vztahu ze vztahu (46) za dervac rychlot a doazení ze vztahu (4) pro třední hodnotu rychlot a př uvažování nulových počátečních podmínek dotaneme: () L q q π ρ σ (57) Zavedeme-l funkc ψ() vztahem(58): () ψ 4 (58) e možno vztah (57) pát ve tvaru: () () 4 L q q π ρ σ ψ (59) Zavedeme-l funkc () () { } L t ψ Γ paměťová funkce ztrátového oučntele pro netaconární průtok, je možno po zpětné Laplaceově tranformac vztahu (59) využtím konvolučního ntegrálu pát: ( ) ( ) t 4 L p d Q t dt dq π ρ τ τ τ Γ (6) Funkc ( ) t Γ určíme z náledujícího vztahu: () Γ L t 4 (6) Zpětnou Laplaceovu tranformac budeme řešt pomocí rezduí rozvojem do nekonečné řady, redua této funkce lze určt po zavedení náledující ubttuce: z Z K (6) řešením rovnce ( ) ( ) Z Z Z K K K (63) Řešení předchozí nalezneme pouze pro K z reálná a prvních nulových bodů je uvedeno v náledující tabulce.

24 Potom je možno počítat funkc Γ z náledující řady po zavedení bezrozměrného čaového parametru τ (36) dotaneme: () Γ τ 4 3 Kz ( Kz ) ( K ) + K ( K ) k z z z e K z τ (64) Γ (-).E+6.E+5.E+4.E+3.E+.E+.E+.E Parametr τ (-) Obr. 4 VÝPOČE LAKOVÝCH A PŮOKOVÝCH PULZACÍ Byl navržen algortmu a provedeno programové zpracování pro výpočet tlakových a průtokových pulzací ve větvených hydraulckých obvodech (program f-achar ), který je založen na metodě přenoových matc. ato metoda řeší lnearzované rovnce lové dq rovnováhy makrokopcké čátce ρ + bq + S p ρsg (65) dt x Q a rovnce kontnuty x + S p K t + p K x Q (66) pomocí Laplaceovy tranformace podle čau. Řešení těchto rovnc pro přímý úek potrubí lze nalézt v závlot na tvaru přenoové matce vz. lt.[]a[]. ( x,) P ( x,) ( ) ( ) x, P x, P P (67) P kde x označuje polohu tavového vektoru v mítě trubce a je parametr Laplaceovy tranformace. 4

25 Příklad: jedná e o model vyokofrekvenčního kmtání ve prále vodní turbíny. Schéma modelu je nakreleno na obr.. Zde pole -6 nahrazují lopatky rozvaděče, pole 7-33 modelují prálu, pole 34 modeluje přvaděč. V uzlech -6 je tlaková okrajová podmínka nuového tlakového buzení. Fáze tlakového buzení je v každém uzlu jná a po obvodu nabývá dvou maxm a mnm. V uzlech 7-33 je průtoková podmínka. V uzlu 34 je tlaková okrajová podmínka kontantního tlaku. Obr. V náledující tabulce vdíme vtupní parametry jednotlvých polí tohoto modelu. l d b v ρ Q g Pole rozvaděče..564.e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály.6.94.e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole prály.676..e-3 Pole prály e-3 Pole prály.7.38.e-3 Pole prály e-3 Pole prály e-3 Pole přvaděče 5.3.E-3 Na obr. 3 vdíme F-A charaktertku uprotřed pole 5 v rozmezí úhlových frekvencí 5-6 rad. -. 5

26 Obr. 3 Na obr. 4 vdíme tvar kmtu tlaku na vlatní úhlové frekvenc 5.85 rad. -. Obr. 4 6

27 5 ZÁVĚ Práce uvádí možnot tlumení tlakových a průtokových pulzací v hydraulckých obvodech. ou zde uvedeny možnot tlumení dříve známé ze zkušenotí, ale doplněny doporučením o umítění tlumčů vzhledem k danému tvaru kmtu tlaku a průtoku. Nově je zavedena tzv. paměťová funkce tekutny, charakterzující jednoznačně lamnární netaconární proudění z hledka tvaru rychlotního proflu. Funkce je odvozena v analytckým tvaru a k určení tvaru rychlotního proflu tačí znát tlakovou dferenc ve dvou mítech trubce. eore byla rovnána expermentem založeným na určování rychlotního proflu pomocí LDA. ozdíl mez naměřeným hodnotam rychlot a vypočteným hodnotam nepřeáhl 3%. Kromě zmíněné paměťové funkce rychlot byla odvozena paměťová funkce třední hodnoty rychlot kapalny po průřezu, paměťová funkce dervace rychlot na hranc trubce, a paměťová funkce ztrátového oučntele na základě které lze pouzovat dpac energe př pulzačním proudění v přímé trubc a určovat hodnotu netaconárního průtoku. Kromě těchto nových teoretckých závěrů byl zpracován oftware pro řešení pektrálních a modálních vlatnotí větvených hydraulckých ytémů, založený na metodě Laplaceovy tranformace a přenoových matc. 7

28 6 SUMMAY he poblte of preure and flow pulaton dampng n a hydraulc crcut are ntroduced. here are ntroduced the poblte of dampng known from experence formerly, but they are completed by tuatng of aborber accordng to form of preure and flow ocllaton. he memory flow functon ntroduced a a new relaton. h functon characterze the lamnar unteady flow from pont of vew of the form of velocty profle. he functon derved n the analytc form. For determnaton of velocty profle only the knowledge of preure dfference at two pont of ppe neceary. he theory wa compared wth experment - LDA meaurement. he dfference between meaured and computed velocte not over 3%. Bede of memory flow functon wa derved a memory functon of the mean value of velocty n the cro-ecton, the memory functon of velocty dervatve on the ppe boundary and the memory of lo coeffcent. hee functon wa derve on prncple, when the energy dpaton of pulaton flow n traght ppe poble to judge and determne the value of unteady flow. Bede of thee new theoretcal concluon wa the new oftware elaborated for oluton of pectral and modal charactertc of branchng hydraulc ytem, baed on Laplace tranformaton and tranferng matrce method. 8

29 7 POUŽIÁ LIEAUA [] POCHYLÝ, F: Dynamka tekutnových ytémů. Skrptum, VU v Brně, 99 [] POCHYLÝ, F: Matematcký model proudění tekutny v trubc kruhového průřezu. Výzkumná zpráva katedry hydraulckých trojů VU v Brně, 996. [3] ZYMÁK, V: Dynamka pulujícího průtoku, teore, měření, aplkace, zkušenot. Brno, 994 [4] HABÁN, V.: Stanovení taconárního průtoku na základě vodního rázu. Výzkumná zpráva katedry hydraulckých trojů VU v Brně, 996 [5] HABÁN, V., HALUZA, M.: lumení tlakových a průtokových pulací dynamckým tlumčem. GANOVÝ POEK FU377 závěrečná zpráva, Brno FS 997. [6] PIVOŇKA, a kol: ekutnové mechanmy. Praha, SNL 986. [7] KOLAČÍK, V., MAULA,.: lakové pulace v napájecích ytémech tepelných elektráren. Čerpadla, potrubí, armatury, SIGMA 98. [8] PŮLPIEL, L..: Low frequency preure ocllaton n hydraulc ytem of hydropower plant and ar njecton effect, IHA Sympoum, Belgrade, 99. [9] POCHYLÝ, F., KOUNÍK,..: Dynamcký tlumč tekutnových ytémů, Semnář nterakce a zpětné vazby, Praha 995. [] KOUNÍK,.: lakové pulzace v hydraulckých ytémech vodních turbín, dertační práce Brno 997. [] HUŽÍK, L.: Dynamcké vlatnot řetězce érově řazených hydraulckých prvků dertační práce Otrava 996. [] FLOWMASE program, documentaton and help ytem, veron 5., manual k programu flowmater. [3] ŠŤÁVA, P., KOZUBKOVÁ, M..: Aplkovaná mechanka tekutn. Skrptum VŠB Otrava, 995. [4] ŮMA,.: Zpracování gnálů zíkaných z mechanckých ytémů užtím FF, dělovací technka, Praha 997. [5] HABÁN, V.: lumení tlakových a průtokových pulzací, teze k rgorozní prác, Brno 999. [6] KOUNÍK,.: lumení pulzací tlaku v potrubí odřovací jednotky elektrárny dětmarovce, Sborník emnáře nterakce dynamckých ytému okolním protředím a outavy e pětnou vazbou Praha 999, tr [7] MALENOVSKÝ, F.; POCHYLÝ, F.:Úvod k řešení vázaného kmtání tuhého tělea a reálné tekutny. 5. konference meznárodní účatí Výpočtová mechanka 99, Nečtny, 8.-. říjen 999, tr [8] POCHYLÝ, F.; MALENOVSKÝ, E.; UDOLF, P.:HE SMALL VIBAION OF HE IGID BODY IN EAL LIQUID. Proceedng of the Second Internatonal Conference OOLS FO MAHEMAICAL MODELLING Sant-Peterburg, une 4-6, 999, pp

30 [9] EKOYS, K., a polupracovníc.: PŘEHLED UŽIÉ MAEMAIKY I, Praha Prométheu. [] EKOYS, K., a polupracovníc.: PŘEHLED UŽIÉ MAEMAIKY II, Praha Prométheu. 3

31 8 CUICULUM VIAE méno: Ing. Vladmír Habán Datum narození: Obhajoba dertační práce na téma lumení tlakových a průtokových pulzací 999-nyní Odborný atent na Odboru hydraulckých trojů V. Kaplana FS VU v Brně Obhajoba rgorózní práce na téma tlumení tlakových a průtokových pulzací dynamckým tlumčem. 998 Práce na čátečný pracovní úvazek na zkušebně ČKD Blanko. 997 echncký pracovník na Odboru hydraulckých trojů V. Kaplana FS VU v Brně Potgraduální tudum na Odboru hydraulckých trojů V. Kaplana FS VU v Brně. 994 Ukončeno tudum na Odboru hydraulckých trojů V. Kaplana FS VU v Brně. 3