Plates of variable thickness and their applications in optics

Transkript

1 ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fkl svební Ke fzk Desk poměnné lošťk jejch plkce v opce Ples of vble hckness n he pplcons n opcs plomová páce Sjní pogm: Sjní obo: Svební nženýsví Konskce pozemních sveb Veocí páce: pof. RND. Anonín Mkš, CSc, Ing. Mn Hoák, Ph.D. (konsln Flp Šmejkl Ph 6

2

3 Česné pohlášení Pohlšj, že jsem přeloženo pác vpcovl smosně že jsem vel veškeé požé nfomční zoje v sol s Meockým poknem o ecké přípvě vsokoškolských závěečných pcí. V Pze ne 6..7 Flp Šmejkl 3

4 Poěkování Děkj svém veocím Pof. RND. Anonín Mkšov, CSc., z oboné veení vsřícnos př psní éo plomové páce. Tké ěkj Ing. Mn Hoákov, Ph.D., Pof. Ing. Mln Jáskov, DSc., z ocho opově n mé oz ohleně řešené poblemk. Dále pk ěkj svém kolegov Ing. Pe Pokoném z ocho pomoc př měřeních výpočech ýkjících se řešené poblemk. V neposlení řě ěkj svým očům z skvělé pomínk, keé m opřávjí nejen ke s. V Pze ne 6..7 Flp Šmejkl 4

5 Absk V pác je přesven eoe osově soměných esek poměnné lošťk s vážením znebáním vlv smkové efomce po mlé půhb eoe osově soměných membán konsnní poměnné lošťk po velm velké půhb. To eoe jso pk plkován n příklech půhbů opckých čoček vlsní ího půhbů membánových kplnových čoček z poží ůzných nmeckých meo. Dále je pk řešen poblemk opmlzce lošťk membán z účelem osžení výsleného přeepsného efomovného v. V závě páce jso výslek výpoč půhb kplnové čočk s konsnní lošťko poovnán s epemenálním měřením. Klíčová slov efomce, půhb, membán, esk, čočk, opmlzce Absc The hess pesens he heo of smmec slbs h vble hckness, h o ho he nflence of she efomon, fo smll eflecons, n he heo of smmec membnes h consn n vble hckness fo ve lge eflecons. These heoes e hen pple on emples of self-egh eflecon of opcl lenses n eflecon of pesse ce membne lq lens b mens of vos nmecl mehos. Fhemoe, he poblem of opmzon of he membne hckness o ge he pescbe efome shpe fe pplng consn pesse s scsse. In he ls p of hs hess, he esls of nmecl clclon of he consn hckness membne eflecon e compe h epemenll mese vles on el specmen. Ke os efomon, eflecon, membne, slb, opcl lens, opmzon 5

6 Obsh Obsh Úvo... 8 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Teoe osově soměných esek poměnné lošťk Tenké esk Sřeně lsé esk.... Teoe osově soměných membán poměnné lošťk Včně konzsenní ovození záklních feencálních ovnc bez vlv přepěí 3.. Zobecnění membánových vzhů po počáeční přepěí Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Nmecké meo výpoč půhb enké osově soměné esk Řešení meoo Rnge-K Řešení meoo cenálních feencí Řešení pomocí pogm ANSYS Nmecké meo výpoč půhb lsší osově smecké esk Řešení po lsší esk meoo cenálních feencí Poovnání výsleků Příkl půhbů čoček vlsní ího Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Nmecké meo výpoč půhb osově soměné membán bez přepěí Meo ř opmlzce jejích koefcenů Meo konečných pvků Poovnání nmeckých meo Opmlzce lošťk membán Epemenální měření v kplnové membán

7 5. Obecný pops epemenálního měření v kplnové membánové čočk Sovnání epemenálního měření eoeckého moel Aplkce vbných nměřených výsleků v opce Závě Le Seznm pblkcí o

8 Úvo Úvo Poblemk řešeno v éo plomové pác lze ozěl n vě záklní čás. V pvní z nch je ozpcován klscká lneání eoe mechnk po mlé půhb enkých lsých osově soměných esek poměnné lošťk zížených plošným zížením. To eo lze v p vží npříkl v obls opcké meologe, k je př výobě opckých pvků velm ůležé mě přesně změř jejch pme, mez něž pří ké v jenolvých ploch ěcho pvků. Ochlk o přeepsného (nomnálního v měřené ploch je způsoben neokonlosí výob ále pk vlsním půhbem (půhbem vlvem vlsní íh kovýcho opckých pvků (npř. čočk, poože ř měřících zřízení vžje, b bl npř. konolovná čočk př měření mísěn v hozonální poloze. Dosáhne-l le půhb způsobený vlsní ího čočk hono věších, než je přesnos ného měřícího zřízení, vneseme o měření chb, keá může mí z násleek nespávné čení někeých opckých pmeů éo čočk. Velkos elevnních změn v ploch váběného opckého pvk opo nomnálním (nvhovném v, keé se pojeví v kvlě zobzení kového pvk, se v p vsoce přesné opk pohbje ve zlomcích vlnové élk bílého svěl, j. řáově v nnomeech č esíkách nnomeů. Z oho je vě, že msíme bý schopn č vlv ůzných fkoů (npř. vlsní íh pvk, chcení pvk v přísoj, po. s opovíjící přesnosí. Jením z cílů éo páce je e z poží vhoné eoe výpočeních meo ověř, jký je skečný vlv půhb opcké čočk zížené vlsní ího jkým způsobem eno vlv přípně mnmlzov. Dhá čás páce se poobně zbývá eoí velkých půhbů osově soměných membán poměnné lošťk, ve keé je jž nné vžov geomecké, přípně meálové nelne. To eoe nchází v obls opk plnění npříkl př moelování zv. kvních opckých pvků, keé jso schopn přeem efnovným způsobem měn své pme, ím opcké zobzení. Jením z nejozšířenějších pů pvků jso membánové kplnové čočk [8-3], keých je opě nné mě č eoeck epemenálně v membán př velkých efomcích s přesnosí v opovíjící požvkům v opce. Dlším cílem éo páce je e řešení ovozených nelneáních feencálních vzhů z poží vhoných výpočeních meo ále pk ověření fnkčnos eoeckého moel poovnáním spočených výsleků s epemenálním měřením membánového vzok. 8

9 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk. Teoe osově soměných esek poměnné lošťk V éo kpole bo ovozen záklní feencální ovnce popsjící mlé půhb osově soměných esek. Osově soměno esko je mšlen esk, jejíž v, zížení okjové pomínk jso osově soměné. Pojmem mlý půhb v omo přípě mslíme půhb, jehož velkos je mlá v poovnání s lošťko esk h. Pomínk osové smee úloh znčně zjenošje výslené feencální ovnce možňje řeš poblém půhb poze jko fnkc jené poměnné (polomě. V náslejících kpolách be nejpve přesven klscká (zv. Kchhoffov eoe po esk s poměnno lošťko osečně enké n o, b nch bl znebán smková efomce ve smě kolmém n ovn esk ( h, ke je chkescký ozmě esk (npř. élk, šířk, polomě po Dále pk be o eoe ozšířen po sřeně lsé esk ( h, ke půhb o 5 5 smkové efomce jž není znebelný. Too poblemko se poobně zbývá le [-5]... Tenké esk Teoe enkých esek vžívá náslejících přepoklů:. Mez efomcem npěím plí Hookův zákon, e vžjeme homogenní, zoopní lneáně elscký meál.. Sřencová ploch neefomovné esk je ovnná. 3. V ůslek efomce výsk neposvných popo nevznkjí žáné membánové síl sřencová ploch zůsává nezefomovná ve směech. Too plí po půhb, ke << h. h 4. Pomě mez lošťko khové esk jejím poloměem je v ozmezí 5 5 9

10 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk 5. Uvžjeme, že přímá spojnce vo boů kolmá ke sřencové ploše pře efomcí, zůsává přímo kolmo po efomc (zv. Benoll-Nveov hpoéz 6. Npěí σ zz kolmé ke sřencové ploše je znebelně mlé v poovnání s ohbovým npěím σ, nebo σ je vžováno ovno nle. Tké svslá efomce ε zz je vžován ovn nle e svslý půhb se po lošťce esk nemění. Ačkolv se ále v éo pác beme zbýv poze osově soměným eskm, zčneme po názonos obecnějším přípem nsfomcí vzhů po ohýbno obélníkovo esk z kézského sořncového ssém o poláního sořncového ssém (, násleným zjenošením ěcho vzhů po příp osově smeckého půhb. Znménková konvence požá v náslejících vzzích je pná z Ob... Ob.. Znménková konvence [5] Půhb je klný ve smě os z, nočení ϕ je klné, pok v jeho ůslek oje ke klném posn n povch esk s klno sořncí z nočení ϕ je klné, pok v jeho ůslek oje ke klném posv z. Znménk vnřních ohbových momenů kocího momen Ob... m vnřních posovjících sl q n povch esk s klno sořncí m m (ále jen m Z le [-5] jso po enké obélníkové esk znám náslející vzh. m, vnřního q jso znázoněn v pvé čás zϕ, zϕ, (. ϕ ε z, ϕ ε z, ϕ ϕ γ z, (.

11 ke, Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk jso vooovné posn se směech os (Ob.., ε, poměná převoření, γ je smkové převoření v ovně esk (Ob..4 ϕ, nočení efomovného půřez, po keé plí (Ob..3 ϕ g( ϕ, g( ϕ ε jso nomálová ϕ jso úhl ϕ, (.3 Ob.. Znázonění posnů [5] Ob..3 Vzh mez půhbem nočením

12 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Ob..4 Smková efomce v ovně esk [5] Užím Hookov zákon po ovnno npjos osneme vzh po nomálová npěí σ, σ smkové npěí τ v ovně esk ( E ε ε σ, ( E ε ε σ, ( E γ τ. (.4 Doszením vzhů po nomálová smková převoření (. o vzhů po nomálová smková npěí (.4 vjářením fnkcí nočení ϕ ϕ le vzhů (.3, osáváme E z σ, E z σ, E z τ. (.5 Inegcí vzhů (.5 po lošťce esk pk osáváme vzh po výslence nomálových smkových npěí, e vnřní ohbové kocí momen n jenok élk (knm/m D z z E z z m h h h h σ, (.6 D z z E z z m h h h h σ, (.7

13 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk m h h E ( σ z z z z D, (.8 h h ke E je mol pžnos, je Possonovo číslo, h je lošťk esk zv. ohbová esková hos. 3 E h D je ( Uvážením momenových pomínek ovnováh n nekonečně mlém ílk esk (Ob..5 osáváme po momen ve smě nočení ϕ m m m m m m q p. (.9 Znebáním člen s pk osáváme m m q (. obobně po momenovo pomínk ovnováh ve smě nočení ϕ m m q, (. ke q q jso vnřní posovjící síl vzžené n jenok élk ( kn/m. Ob..5 Momenové pomínk ovnováh [5] 3

14 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk 4 Ze vzhů (.6 - (.8 ovnc (. (. lze pk vjář výslené vzh po vnřní posovjící síl ( D D D m m q, (. ( D D D m m q, (.3 ke jž vžjeme nekonsnní lošťk ( h,, e nekonsnní eskovo hos ( D,. Nní jž zbývá jen nps výsleno slovo pomínk ovnováh ve svslém smě, le Ob..5 plí p q q, (.4 e p q q. (.5 Doszením (. (.3 o (.5 osáváme výsleno eskovo ovnc po enké esk poměnné lošťk v kézském sořncovém ssém ( p D D D.(.6 Vzhleem k om, že se v éo pác omezjeme poze n khové esk, je vhoné po jejch memcký pops vol polání sosv sořnc (Ob..6.

15 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Ob..6 Khová esk v poláním sořncovém ssém Sořnce v omo přípě znčí vzálenos ného bo o počák sořncového ssém, sořnce čje úhel nočení spojnce počák ného bo konsn znčí polomě khové esk. Nní je nné výše ovozené vzh po enké esk v kézském sořncovém ssém přensfomov o poláního sořncového ssém, ke plí cos, sn,, n, (.7 e cos, sn, (.8 sn, cos. (.9 Užím pvl po evc složené fnkce můžeme evce pole jenolvých poměnných v kézském sořncovém ssém přeps o poměnných v poláním sořncovém ssém jko cos sn, (. 5

16 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk 6, sn cos sn sn cos sn cos sn cos sn sn cos cos sn cos (., cos sn (., cos cos sn cos cos sn sn cos sn cos cos sn sn cos sn (.3 cos sn cos sn cos cos cos sn sn cos cos sn cos sn cos sn (.4 poobně po poměnno eskovo hos plí D D D D D sn cos, (.5 D D D D D cos sn. (.6 Nní je řeb výše ovozené vnřní momen m, m, m vnřní posovjící síl q q přensfomov n vnřní ální momen m, ngencální momen m, kocí momen m, ální posovjící síl q ngencální posovjící síl q. Jk je pno z Ob..6, v přípě, že položíme e, plí

17 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk 7 m m, m m, m m, q q, q q. (.7 Doszením o vzhů (.-(.6 z získáváme ϕ, κ, ϕ, κ, (.8 ke ϕ, ϕ jso ální ngencální nočení κ, κ jso ální ngencální křvos., (.9 D D, D D, (.3 e z (.6-(.8 (. (.3 D m, D m, (.3 ( D m, (.3 ( D D D q, (.33 ( D D D q. (.34 Výše veené obecné vzh lze v nšem přípě znčně zjenoš ím, že se omezíme n příp osově soměné úloh. Poom lze přepoklá, že půhbová fnkce be osově soměná e všechn výz obshjící evc pole poměnné bo nlové. Ze vzhů (.3-(.34 po vnřní síl plí

18 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk m ϕ ϕ D D ϕ m D, D ϕ m (.35 D q D, q. (.36 Vzhleem k osové sme můžeme nní vžov poze vě pomínk ovnováh (Ob..7, o slovo pomínk ovnováh ve svslém smě p q ( q q, (.37 keá má po znebání člen v ke p ( je plošné zížení khové esk ( q p q, (.38 kn/m, momenovo pomínk ovnováh ve smě ϕ p m ( m m m q, (.39 keá má po znebání člen v m m m q. (.4 Doszením vzhů po ální ngencální momen (.35 o momenové pomínk ovnováh (.4 osáváme 3 3 D D D D q. (.4 D 8

19 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Sbscí ϕ o vzh (.4 pk osneme ϕ D ϕ D ϕ D D q D. (.4 Ob..7 Rovnováh sl n elemenáním ílk khové esk [3] Řešením ovnce (.4 je fnkce álního nočení ϕ (, ze keé lze výsleno půhbovo fnkc spočí pole vzh ( ϕ ( ξ ξ C, (.43 ke C je negční konsn, keo lze č z půhbové okjové pomínk ξ je pomocná negční poměnná ( ξ. K vřešení poblém půhb je e řeb zná okjové pomínk, keé se lší po ůzné p ložení, bo poobněj vsvělen v kpole 3 n konkéních příklech. V přípě osově soměné úloh lze ké vží skečnos, že měná posovjící síl q je v kžé vzálenos po celém obvoě konsnní, poo můžeme psá (Ob..8 e A π q p A, (.44 9

20 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk q π π pξ ξ pξ ξ. (.45 Ob..8 Půběh ální posovjící síl q Výslené feencální ovnce (.4 (.4 vzh (.43 (.45 popsjící mlé půhb osově soměných esek poměnné lošťk lze nléz npř. v leře [-4]... Sřeně lsé esk V leře zbývjící se eoí půhb esek [-6] lze bez poblém nléz ovození feencálních ovnc po enké khové esk ( h / / 5 konsnní poměnné lošťk. V přípě, k pořebjeme řeš poblém lsých khových esek ( / 5 h / / 5, ke jž hje svo ol smková efomce, lze ješě npříkl v [3,6] nléz ovnce popsjící o poblemk po esk konsnní lošťk. Poze výjmečně je le popsován příp lsé khové esk poměnné lošťk ovozený v náslející kpole n záklě eoe po lsé obélníkové esk v [5]. Teoe sřeně lsých esek vžívá sejných přepoklů, jko eoe enkých esek s ěmo ozíl:. Pomě mez lošťko khové esk jejím poloměem je / 5 h / / 5. Uvžjeme, že přímá spojnce vo boů kolmá ke sřencové ploše pře efomcí, zůsává přímo po efomc, le nemsí jž bý kolmá ke sřencové ploše, jko je om klscké (Kchhoffov eoe po enké esk. Z přepokl, že se opě omezíme poze n osově smecké esk, lze po ální nočení ϕ poží sejný vzh, jko v přípě enkých esek, e feencální ovnc

21 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk (.4. Abchom získl půhbovo fnkc (, je nné s věom, že j jž nelze č poho negcí pole vzh (.43, le je řeb vzí v úvh vlv ální smkové efomce γ, po keo plí (Ob..9 ke je ální posn (Ob.. γ ϕ, (.46 z z ϕ. (.47 Posovjící síl q lze nní vjář v závslos n smkové efomc jko q D s ( γ Ds ( ϕ, (.48 5 ke D s ( G h( je smková esková hos 6 meál. E G je smkový mol pžnos ( Vjářením ze vzh (.48 získáváme q D ( s ϕ, (.49 e q ( ϕ ( ξ C D ( s ξ ξ, (.5 ke C je negční konsn získná z půhbové okjové pomínk ξ je pomocná negční poměnná.

22 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Ob..9 Gfcké znázonění svslé smkové efomce [5] Ob.. Závslos álního posn n sořnc z [5] Poblém půhb sřeně lsé osově soměné esk s poměnno lošťko je ím řešen.

23 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk. Teoe osově soměných membán poměnné lošťk Pojem membán v omo přípě znmená velm enko esk, jejíž ohbová hos je znebelně mlá zížení je e přenášeno poze nomálovým slm. V éo kpole bo nejpve ovozen feencální vzh popsjící velm velké půhb osově soměných (vem, zížením okjovým pomínkm membán poepřených n okj bez vlv přepěí z pncp mnm poencální enege. S výjmko znebání eskové hos membán nebo bán v poz žáná lší zjenošení, což povee ke skečnos, že výslené feencální vzh nebo snno řešelné. To poblemk je popsován v leře [,4,7-9,33-4], le věšno jso bán v poz ješě lší zjenošení (npř. mlé úhl nočení, keá př velm velkých půhbech jž způsobjí nepřesnos eoe. V lší čás be pk posp ovození zobecněn po příp počáečního přepěí membán... Včně konzsenní ovození záklních feencálních ovnc bez vlv přepěí Záklní přepokl vžovné v náslejícím ovození: Uvžjeme enko khovo membán bez ohbové hos s obecně nekonsnní lošťko h ( poloměem, zíženo konsnním hosckým lkem p, keý působí vž kolmo k ploše membán Uvžjeme Sn Vennův-Kchhofův meálový moel, keý je nejjenošším příklem hpeelsckého meál. Teno meálový moel je ozšíření lneáního zákon pžnos, ve keém jso efomce npěí vžovná v eo mlých převoření nhzen Geenovým-Lgngeovým převořením (ze znčeno ε hým Polovým-Kchhoffovým npěím (ze znčeno σ. Zčněme e vzh po velčn λ v nglčně nzývno sech. V češně je o velčn něk nzýván jko požení [45], le eno emín může snno vés k neoozmění. Obecně plí [,] ln λ n, (.5 L ke ne n znčí smě, n L n je půvoní élk segmen v ném smě l n je élk ohoo segmen po efomc. Užím vzh (.5 můžeme nps λ (ální smě le Ob.. jko ( l λ ( (.5 L 3

24 λ (ngencální smě le Ob.. jko Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk ( l λ, (.53 L ke je posn v álním smě je posn ve smě kolmém n ovn membán, e půhb. Ob.. Gfcké znázonění λ Ob.. Gfcké znázonění λ Geenovo-Lgngeovo převoření v jenolvých směech se vpoče z poměů élek segmenů pře po efomc le vzh [,] ( λ ε n n. (.54 Po ální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření plí e le (.5 (.5 ( ( ε λ, (.55 4

25 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk ( ε λ. (.56 Zpíšeme-l nní Sn Vennův-Kchhofův meálový zákon po ovnno npjos v mcové fomě, osneme E σ ( ( E ε ε ε σ D ε, (.57 σ ε E ε ε ke D je mce hos pžného meál po ovnno npjos. Npšme nní obecný vzh po celkovo poencální eneg popsovného ssém, plí E E n, (.58 p E e ke E n je vnřní efomční enege (páce vkonná vnřním slm E e je páce vkonná vnějším slm n výslených posnech. Po vnřní efomční eneg plí obecně ke En U n V, (.59 V U n je hso efomční enege (měná efomční enege n jenok počáečního (neefomovného objem V znázoněná n Ob..3. Ob..3 Hso efomční enege 5

26 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk Zpíšeme-l vzh po měno efomční eneg v mcové fomě, osneme Doszením vzh (.57 o vzh (.6 pk osáváme U U ε T n σ. (.6 E ( ε ε ( E ( ( ( ε ε ε ε ε ε. (.6 E ε ε n Uvžjme nní osově smecko membán poměnné lošťk h ( v neefomovném sv znázoněno n Ob..4. Ob..4 Gfck znázoněný moel membán v řez (vlevo v pohle sho (vpvo V omo přípě se nám ojný negál ve vzh (.59 po vnřní efomční eneg zjenoší n jenochý negál E E U n π h ε ε ε ε π. (.6 ( ( h n Pác vkonno vnějším slm (hosckým lkem působícím n membán vjář jko (Ob..5 E e lze E e pv, (.63 6

27 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk ke V je výslený objem efomovné membán ohnčený její efomovno sřencovo plocho, po keý plí (Ob..6 V π ( (. (.64 Ob..5 Gfcké znázonění páce vkonné zížením Ob..6 Gfcké znázonění výpoč objem Doszením (.6 (.63 o vzh (.58 osáváme výslený vzh po celkovo poencální eneg E p E ε ε ε ( ( h pv ε π. (.65 7

28 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk K získání konečných feencálních vzhů popsjících chování né konskce (membán vžjeme pncp mnm poencální enege. Plí-l E p (, δ E (, > po všechn lbovolně velké nenlové příůsk δ (.66 p δ, δ z sočsného splnění geomeckých okjových pomínek (bo poobněj pobán v lších kpolách, je celková poencální enege mnmální. Lze okáz [], že po splnění pomínk ovnováh konskce sčí, kž vžjeme poze pvní mocnn příůsků δ, δ, δ, δ (všší mocnn znebáme výslený výz položíme oven nle. Poom plí δe p π E π ( ε δε δε ε ε δε ε δε ( σ δε σ δε h pδv h pδv, (.67 ke δ E p je vce celkové poencální enege vce objem δ V je [ δ( ( δ ( ( ] δ V π δ. (.68 Vce álního ngencálního elvního převoření můžeme vjář z (.55 (.56 jko δε δε ve vzh (.69 ( δε δ δ δ δ δ, (.69 δ δ δ δε. (.7 Doszením vzhů (.68, (.69 (.7 o (.67 osneme δe p π p π σ ( δ ( δ δ σ h [ δ( ( δ ( ( δ ]. (.7 Užím pvl po negc pe pes můžeme výše veený vzh (.7 zps ve v 8

29 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk δe π π p [ hσ (( δ δ ] π p[ ( δ ] p π ( hσ ( δ ( hσ [( ( δ ( δ ]. δ hσ δ (.7 Pvní v člen vzh (.7 po vc poencální enege sovsí s okjovým pomínkm nemsí bý e bán v poz př čování feencálních ovnc ovnováh. Nebeeme-l v poz pvní v člen vzh (.7, je zřejmé, že b pllo msí bý splněn pomínk δ E δ, δ, (.73 p ( ( h hσ p ( σ, (.74 hσ. (.75 ( p( ( Vzh (.74 (.75 voří výsleno sosv feencálních ovnc, jejchž řešením jso fnkce půhb membán ( fnkce vooovného posn ( po zížení konsnním lkem, keý působí sále kolmo k ploše membán. V přípě mlých posnů v álním smě, <<, můžeme velkos álního posn zneb opo velkos, ké velkos evce álního posn <<. Tko můžeme výslené feencální vzh zjenoš o fom σ, (.76 ( h hσ p σ, (.77 ( h p ve keé je lze nléz npř. v [,4,7-9,33-4]. V ůslek výše zmíněných zjenošjících přepoklů lze ovšem ké přepoklá, že se změní vzh (.55 (.56. Ab e blo zjenošení ovnc včně konzsenní, je vhoné celý posp ovození povés s výše veeným zjenošjícím přepokl znov. Vzh (.55 (.56 po ální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření se poé změní n 9

30 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk ε, (.78 ε (.79 jejch příůsk (.69 (.7 e n δε δ δ, (.8 δ δε. (.8 Vzh (.64 po výslený objem efomovné membán se změní n jeho příůsek (.68 n V π (.8 δ V π δ. (.83 Po oszení (.78-(.83 o vzh (.67 po vc poencální enege osáváme δ δ E ( p π σ δ δ σ h π p δ. (.84 Užím pvl po negc pe pes můžeme výše veený vzh (.84 zps ve v δe π p [ hσ ( δ δ ] π ( hσ δ ( hσ p π δ δ hσ δ. (.85 Pvní člen vzh (.85 po vc poencální enege sovsí s okjovým pomínkm nemsí bý e bán v poz př čování feencálních ovnc ovnováh. Nebeeme-l v poz pvní člen vzh (.85, je zřejmé, že b pllo (.73 msí bý splněn pomínk δ E δ, δ, p ( h hσ σ, (.86 ( h p σ. (.87 Výslené vzh (.86 (.87 voří zjenošeno sosv feencálních ovnc popsjící půhb posn osově soměné membán. Je obé s povšmno, že př omo 3

31 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk včně konzsenním ovození není ve vzh (.86 příomen n člen (.76. p n ozíl o.. Zobecnění membánových vzhů po počáeční přepěí Vzhleem k om, že je v p éměř nemožné elzov vžovno membán bez jkéhokolv přepěí, je vhoné mí možnos oo přepěí o výpoč zvés z účelem eálnějšího chování memckého moel př poovnávání spočených výsleků s epemen. Přepokláejme nní, že je membán ve svém počáečním (nezíženém sv přepjá její počáeční sech je λ >. To sce je znázoněn n Ob..7 Ob..8. Ob..7 Gfcké znázonění λ s vžováním přepěí Po počáeční sech λ plí Ob..8 Gfcké znázonění λ s vžováním přepěí λ R, R λ R, (.88 λ ke R je půvoní élk elemen pře přeepním je élk elemen po přeepní. Užím vzh (.5 (.88 můžeme nps λ (ální smě le Ob..7 jko ( ( λ λ λ R ( (.89 3

32 Teoe osově soměných esek membán poměnné lošťk 3 λ (ngencální smě le Ob..8 jko ( ( R λ λ λ. (.9 Po ální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření plí po oszení (.89 (.9 o (.54 ( ( ( ~ ε ε λ λ λ λ ε, (.9 ( ( ~ ε ε λ λ λ λ ε, (.9 ke ε ~ ε ~ znčí ální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření spočené pole vzoců (.55 (.56, e bez vžování přepěí, ( λ ε je počáeční Geenovo- Lgngeovo převoření. Dosíme-l (.9 (.9 o Sn Vennov-Kchhofov meálového zákon po ovnno npjos (.57, osneme ( ( ( ( ~ ~ ~ ~ ε ε ε λ ε ε ε λ ε ε ε ε σ σ E E E E E E σ, (.93 ke člen ε σ E opovíá počáečním přepěí. Sbscí (.9 (.9 o vzh (.65 po celkovo poencální eneg osáváme ( ( ( ( ( (, ~ ~ ~ ~ ~ ~ 4 pv h E h E h E pv h E E p π ε π ε ε ε λ π ε ε ε ε λ π ε ε ε ε (.94 ke po objem V plí (.64 ( ( V π. V přípě, že bchom chěl získ výslené feencální ovnce s vážením vlv přepěí, blo b nné pokčov obobným pospem, jko v přechozí kpole. V éo pác s le vsčíme poze s výsleným vzhem (.94 po celkovo poencální eneg, poože výpoče konkéního příkl s vlvem přepěí be poveen opmlzční meoo přímo mnmlzcí ohoo vzh v omo přípě e není nné zná výslené feencální ovnce.

33 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk 3 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk V éo kpole be kázán jen z možných plkcí eoe popsné výše v. n poblém půhb opckých čoček zížených vlsní ího []. Př výobě opckých pvků je velm ůležé mě přesně změř jejch opcké pme, mez něž pří v jenolvých ploch ěcho pvků. V přípě čoček omezených sféckým nebo sféckým plochm se přesné měření v ěcho ploch pováí ůzným způsob, z nchž nejpřesnější jso nefeomecká měření [3]. Ochlk o přeepsného (nomnálního v měřené ploch je způsoben neokonlosí výob ále pk vlsním půhbem (půhbem vlvem vlsní íh éo čočk (obecně opckého pvk př jejím měření. Esjí e čá omezení (lm n o, s jko přesnosí jsme schopn č v ploch měřené čočk. V pác [4] blo poobně pojenáno o vlv vlsního půhb plnplelní esk n přesnos nefeomeckých měření. Cílem éo kpol je povés poovnání několk nmeckých meo řešení feencální ovnce po půhb enké osově smecké esk poměnné lošťk (půhb čočk vlsní ího, o po čočk volně loženo n okj po čočk khově poepřeno n ném vnřním polomě. Dále pk be jen z ěcho meo pož po výpoče půhb lsší čočk eoí, ke není znebán vlv smk, eno výsleek be poovnán s výslekem získným klscko eoí po enké esk. 3. Nmecké meo výpoč půhb enké osově soměné esk Čočk můžeme z hlesk eoe pžnos povžov z khovo osově soměno esk poměnné lošťk, jejíž půhb v ůslek její íh be mnohonásobně menší, než je její lošťk. Jk je známo ( ovozeno v kpole.., můžeme ální nočení ϕ čočk pops náslejícím ovncem (vzh jso po snnější oenc veen znov, plí (.4 (.45 ϕ D ϕ D ϕ D D q, D q p (.35 m ϕ D ϕ, 33

34 ke ϕ ( Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk ( E h D. 3 ( Přepokláejme nní, že čočk má obě ploch sfécké (Ob. 3., e můžeme její lošťk h ( pops ovncí ( ( / R R ( ( / h( h R, (3. R ke h je lošťk čočk posře, R je polomě honí sfécké ploch plí R >, pok je honí ploch čočk vpoklá R je polomě olní sfécké ploch plí R >, pok je olní ploch čočk vá. Uvžjeme-l poze zížení vlsní ího čočk, můžeme po plošné zížení p ( psá p( h( g, (3. ke je hso meál, ze keého je čočk voben, g je íhové zchlení. Užím vzh (3. jeho oszením o vzh po eskovo hos D ( osáváme D( D( 3 3 R ( / R R ( / R. (3.3 h( Doszením (3. o vzh (.45 můžeme posovjící síl q zps jko ke q g h( g [ I( I( ], (3.4 I ( h( ( h R R R ( / R 3 ( R R ( / R 3 3 R ( R I. (3.6 3 Užím ěcho vzhů příslšných okjových pomínek pk můžeme ovnc (.4 nmeck řeš. Okjové pomínk nám chkezjí způsob ložení měřené čočk. Npříkl v přípě volného ložení čočk n okj (Ob. 3. mjí okjové pomínk v (z přepokl možnos vooovného posn v popoách 3 ( R, (3.5 34

35 ze smee poom vplývá Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk (, m (, (3.7 ϕ (. (3.8 Ob. 3. Schém čočk volně poepřené n okj Ob. 3. Schém čočk volně poepřené vnř 35

36 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk V přípě, že čočk není poepřen n okj, le n zvoleném polomě s (Ob. 3., vznkne v boě s nespojos v posovcí síle msíme hleno fnkc půhb ozěl n fnkc ( plící n nevl, ] fnkc ( plící n nevl [, ]. Okjové pomínk se pk změní n [ s (, ϕ, m (. (3.9 ( s s ( Dále je nno přeeps pomínk návznos v boě s, pk mjí v s ϕ (, m ( m (. (3. ( ϕ s s s s Půběh posovjící síl q ( po nevl, ] zůsne sejný jko po čočk po obvoě poepřeno. V boě [ s s oje ke skokové změně posovjící síl v ůslek ekce v popoře půběh posovjící síl n nevl [, ] se změní n (, plí q g ( I [ I ( (], ( [ I( I( ] q s q g. (3. Rozíl posovjících sl q ( q ( se pk ovná honoě popoové ekce. s s V lší čás s kážeme řešení ovnce (.4 pomocí ůzných nmeckých meo. Abchom mohl poovn ůzné nmecké meo, beme vžov čočk mjící náslející pme: polomě křvos R 6 mm, R 6 mm, sřeovo lošťk h 5 mm půmě mm ( je polomě čočk. Čočk je zhooven ze skl Scho N-BK7, 9 jehož pme jso: Possonovo číslo. 6, Yongův mol E 8 P objemová hso 3 5 kg/m. Dále beme vžov hono íhového zchlení g 9.8 m/s vlnovo élk svěl 633 nm půhb čočk. 3.. Řešení meoo Rnge-K Rovnc (.4 můžeme psá ve v λ, v jejíchž násobcích be váěn výslený ϕ q ( D( ϕ D( ϕ f (, ϕ, ϕ, (3. D( D( D( po keý lze njí evní řešení pomocí meo Rnge-K [5] čvého řá, popsné vzh ϕ n n n ϕ ϕ ( k k k3, (

37 Celý nevl [, ] Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk ϕ n ϕ n ( k k k3 k4, 6 k f, ϕ, ϕ ( n n n, k k, f n, ϕ n ϕ n ϕ n, k k, 3 f n, ϕ n ϕ n k ϕ n, 4 k 4 f n, ϕ n ϕ n k, ϕ n k3. je ozělen n m ponevlů o élce. Nše řešení b mělo splňov okjové pomínk (3.7 (3.8 v přípě ložení n okj čočk, nebo pk okjové pomínk (3.9 pomínk návznos (3. v přípě ložení n vnřním polomě. Uvžjme nní příp klobového poepření n okj esk zčněme výpoče npř. v, ke víme, že ϕ (. Tím jsme se osl o sce, že nám v počáečním boě chbí nfomce o hono evce ϕ, ϕ. To můžeme vřeš k, že vpočeme fnkční hono ( ϕ ( násleně z ěcho hono ální momen m ( pole vzh (.35 po vě ůzné vhoně zvolené počáeční hono ϕ ( z výslených vo ůzných hono ( číme nepolcí kovo počáeční hono ϕ (, b pll m momenová okjová pomínk (3.7. Zvolme e počáeční hono npř. ϕ ( ϕ (. Po výpoč řešení osneme po volené počáeční hono ϕ ( ϕ ( hono momenů m ( m (. Z výše zmíněné momenové okjové pomínk (3.7 lze pk lneání nepolcí č spávno počáeční hono ϕ ( jko ϕ ( ϕ ( ϕ ( ( m ( ϕ. (3.4 m( m ( Po řešení poepření čočk vnř polomě můžeme poží přechozí ovnce bez význé, je opě ozělen n m ponevlů o élce změn. Uvžjeme nní, že celý nevl [ ] nevl [, ] je ozělen n p ponevlů o élce s, pk n nevl [, ] požjeme posp oožný s řešením čočk poepřené n okj. Abchom vpočel hono, s, sejný posp s ím fnkce ϕ n celém nevl [ ], požjeme n zbývjící čás [ ] ozílem, že v boě se změní půběh posovcí síl z q ( n q ( le vzoce s (3. jko počáeční hono ϕ ( ϕ ( požjeme konečné hono z pvního s nevl. Poblém neznámé počáeční hono s ϕ můžeme vřeš pospem veeným výše. s 37

38 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Jkmle známe řešení ovnce (.4, e fnkc ϕ (, můžeme ze vzh (.43 č negcí neznámo fnkc ( z poží půhbových okjových pomínek (3.7, nebo (3.9. Ob. 3.3 Ob. 3.4 lsjí výslek po poepření čočk n okj n vnřním polomě získné výpočem v posřeí Mlb. Kok po Rnge-Kov meo bl zvolen,5mm. Ob. 3.3 Půběh řešení Rnge-Kovo meoo po poepření n okj čočk Ob. 3.4 Půběh řešení Rnge-Kovo meoo po poepření n vnřním polomě s 38

39 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Řešení meoo cenálních feencí Meo cenálních feencí [6] spočívá ve vjáření jenolvých evcí hlené fnkce v ném boě jko lneáních kombncí fnkčních hono v boech okolních. Pvní ho evc hlené fnkce ( ϕ můžeme zps jko (, ( O O ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ,(3.5 ke ϕ je hono hlené fnkce v ném boě (,, N, e nevl [, ] je ozělen n N sbnevlů, ϕ ϕ jso hono hlené fnkce v okolních boech - (Ob. 3.5, je vzálenos mez jenolvým bo ( O oznčje velčn řá (v omo přípě chb pomce. Ob. 3.5 Meo konečných feencí Sbscí vzhů (3.5 o ovnce (.4 osáváme záklní ovnc po řešení ohoo poblém meoo konečných feencí N C B A 3...,,, ( ( ( ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ, (3.6 ke hono D D A ( ( (, D D B ( ( (, ( ( ( D q C (3.7 moho bý spočen pole vzoců (3.3 ž (3.6. Okjovo pomínko (3.8 je án hono hlené fnkce φ( v boě, o hono e není nno zhnov mez hlené neznámé (poo v (3.6. Užím vzh (.35 má momenová okjová pomínk (3.7 v

40 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk 4 ( ( N N N N D m ϕ ϕ ϕ. (3.8 Ačkolv φn nepří mez neznámé hono n nevl, keý řešíme, vskje se o hono v poslení ovnc, ke N, je e nné j vjář z momenové okjové pomínk (3.8 jko N N N N ϕ ϕ ϕ, (3.9 násleně poé os o poslení ovnce. Po lsc fomljme sosv ovnc (3.6 mcově. Řešením jso hono fnkce ϕ v jenolvých boech nevl (, ], plí C Af, (3. ke A je gonální mce sosv z poso R NN, ke pvk δ hlvní gonál po hono, ke,, N, bo án vzh. ( (, ( N N N N N N B A B < δ δ (3. Pvk honí velejší gonál α, ke,, N, poé bo án vzhem A ( α (3. pvk olní velejší gonál β, ke,, N, můžeme zps jko., ( A N N < β β (3.3 Dále ve vzh (3. f znčí slopcovo mc z poso R N vpočíávných hono φ,,, N, C je slopcová mce pvé sn sosv z poso R N, jejíž pvk jso án honom C(, ke,, N.

41 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk 4 Výslená sosv ovnc má e v ( ( ( ( ( ( ( ( O O O O O O A B A A B A A B ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( N N N N N N N N N N N C C C C C C B A A B A M M M M O O O ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ (3.4 Řešením sosv (3.4 získáme hono půběh fnkce φ, poé lze nmecko negcí (npříkl lchoběžníkovo meoo [5,6] spočí hono fnkce pole vzh (.43 ( ( C ξ ξ ϕ, ke C je negční konsn, keo lze č z půhbové okjové pomínk. Dopos bl posp výpoč po čočk poepřeno n okj čočk poepřeno n lbovolném vnřním polomě s sejný s ím ozílem, že př poepření n okj lze veko pvé sn ovnce po všechn hono spočí ze vzh (3.4, le př poepření n vnřním polomě je nno poží vzh (3.. Inegční konsn C lze č z půhbové okjové pomínk (3.9, poé plí s C ( ξ ξ ϕ. (3.5 Po příp ložení n okj plí s vzh po negční konsn C se změní n C ( ξ ξ ϕ. (3.6

42 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk N Ob. 3.6 víme výslený půběh půhb né čočk poepřené n okj po,5mm spočený v posřeí Mlb. N Ob. 3.7 je pk znázoněn výslený půběh půhb né čočk poepřené n polomě s, 678 po,5 mm. Ob. 3.6 Půběh řešení meoo konečných feencí po poepření n okj čočk Ob. 3.7 Půběh řešení meoo konečných feencí po poepření čočk n polomě s 4

43 3..3 Řešení pomocí pogm ANSYS Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Z účelem ověření spávnos výsleků osžených přechozím nmeckým meom bl zvolená čočk vmoelován ve 3D konečně pvkovém sofe ANSYS [7]. Bl pož čřsěnné pvk o élce hn cc mm. Výslená konečně-pvková síť je vkeslen n Ob. 3.8 (pvk jso po přehlenos obázk věší. Okjové pomínk požé po výpoče jso znázoněn n Ob Výslek výpoč po čočk poepřeno n okj ( s jso vkeslen n Ob. 3. po čočk poepřeno n polomě s, 678 n Ob. 3.. Ob. 3.8 Konečně-pvková síť vořená čřsěn Ob. 3.9 Okjové pomínk požé po výpoče pogmem ANSYS (pohle sho n sřencovo ploch čočk, os z směřje o ovn obázk 43

44 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3. Výsleek řešení pogmem ANSYS po poepření n okj čočk Ob. 3. Výsleek řešení pogmem ANSYS po poepření čočk n vnřním polomě s 44

45 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Závěem lze říc, že po eno příkl opcké čočk se výslek obo nmeckých meo éměř přesně shojí s konečně-pvkovým řešením pogm ANSYS (vz. Tb. 3. že po výpoče půhb ko enké čočk lze bez poblém poží klscko eo po enké esk popsno v kpole... Tb. 3. Poovnání výsleků jenolvých nmeckých meo výpoč půhb enké čočk Způsob ložení Meo výpoč m po klobové ložení n okj čočk m po klobové ložení n polomě s, 678 Meo Rnge-K,756 λ,6 nm,587 λ,5 nm Meo cenálních feencí,757 λ,3 nm,597 λ, nm ANSYS,7665 λ,8 nm,63 λ,3 nm 3. Nmecké meo výpoč půhb lsší osově smecké esk Násleně s kážeme výpoče lsší čočk meoo konečných feencí pole eoe popsné v kpole.., ke je jž bán v úvh vlv smk, poovnáme eno výsleek s řešením po enké esk konečně-pvkovým řešením pogm ANSYS. V omo přípě beme vžov čočk mjící náslející pme: polomě křvos R 6 mm, R 6 mm, sřeovo lošťk h mm půmě mm ( je polomě čočk. Čočk je zhooven ze skl Scho N-BK7, jehož pme jso: 9 Possonovo číslo. 6, Yongův mol E 8 P objemová hso 3 5 kg/m. Dále beme vžov hono íhového zchlení g 9.8 m/s vlnovo élk svěl λ 633 nm, v jejíchž násobcích be váěn výslený půhb čočk. 3.. Řešení po lsší esk meoo cenálních feencí Jk je zmíněno v kpole.., řešení po lsší esk se o klsckého řešení lší vzhem mez nočením půřez ϕ půhbem. Posp po výpoče hono fnkce ϕ je e sejný jko v 3... Výsleno půhbovo fnkc pk získáme ze vzh (.5 ( ( ξ q ϕ D ( ξ s ξ ( ξ C, 45

46 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk ke C je negční konsn, keo lze č z půhbové okjové pomínk (3.9 jko C s q D s ( ξ ( ξ ϕ ( ξ ξ. (3.7 Po příp ložení n okj plí s, vzh po negční konsn C se změní n C q D s ( ξ ( ξ ϕ ( ξ ξ. ( Poovnání výsleků N Ob. 3.3 Ob. 3.4 víme poovnání výsleků získných výpočem né úloh meoo cenálních feencí (,5 mm z klscké eoe po enké esk eoe po lsší esk s výslek z pogm ANSYS, ke bl pož čřsěnné pvk o élce hn cc mm. Výslená konečně-pvková síť je vkeslen n Ob. 3. (pvk jso po přehlenos obázk věší. Okjové pomínk požé po výpoče jso znázoněn n Ob Ob. 3. Konečně-pvková síť vořená čřsěn 46

47 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3.3 Poovnání výsleků výpoč po čočk poepřeno n okj (moá čá splývá se žlo Ob. 3.4 Poovnání výsleků výpoč po čočk poepřeno n vnřním polomě s 47

48 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk N Ob. 3.4 s lze všmno, že půhbová fnkce získná konečně-pvkovým výpočem v pogm ANSYS (moá je v okolí popo nesnně zvlněná opo lším věm křvkám. Too je způsobeno snglo v mísě poepření, keé je ve 3 moelováno jko křvk n sřencové ploše (kžnce o polomě s, e v omo mísě vznkjí velká koncenovná npěí, keá veo k velkým efomcím konečných pvků spojených s popoo. Výslek výpoč půhb lsší čočk z poží ůzných eoí jso shn v Tb. 3.. Tb. 3. Poovnání výsleků výpoč půhb lsší čočk z poží ůzných eoí Způsob ložení Teoe m po klobové ložení n okj čočk m po klobové ložení n polomě s, 678 Tenké esk,36 λ 9,3 nm, λ,7 nm Tlsší esk,35 λ 9,65 nm,4 λ,53 nm 3D FEM ANSYS,3 λ 9,64 nm,44 λ,54 nm Závěem lze říc, že půhb lsších čoček vlsní ího jž je ovlvněn smkovo efomcí poo je vhoné j ve výpočech bá v úvh z účelem osžení eálnějších výsleků. Poíváme-l se le n poblém z hlesk eálného vlv půhb čočk vlsní ího n přesnos nefeomeckých měření jejích ploch, je nné konsov, že osželná přesnos ěcho měření [4] je λ / 5 λ / (,6nm 6,3nm, e b půhb čočk msel oshov lespoň ěcho hono, b bl výslek měření ovlvněn. Z přechozích příklů vo ůzných opckých čoček je zřejmé, že ž mmální půhb lsší čočk poepřené n okj může míně ovlvn přesnos měření ( m,3λ 9,6nm > 6,3nm že v přípě enké čočk poepřené n okj je půhb vlsní ího nposo nepřjelný,77 λ nm 6, 3nm. ( m >> 3..3 Příkl půhbů čoček vlsní ího Ukžme s nní n několk lších příklech, k jk velkým půhbům měřených ploch sfécké čočk oje v přípě, že je čočk volně ložen n popěném kožk. Ob. 3.5 Čočk ložená vpklo plocho n popěném kožk R >, R < (spojná 48

49 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3.6 Čočk ložená vo plocho n popěném kožk R <, R > (ozplná N Ob. 3.5 je veen příkl spojné čočk mjící obě ploch vpklé n Ob. 3.6 je veen příkl ozplné čočk mjící obě ploch vé. Náslející příkl bo spočen meoo cenálních feencí z poží eoe po lsší esk. Příkl. Uvžjme spojno čočk (Ob. 3.5 mjící náslející pme: R 3 mm, R 3 mm, mm půmě čočk je D mm. Abchom mohl poso vlv mechnckých pmeů opckých skel n půhb čoček z nch zhoovených, be čočk voben ze ří ůzných opckých skel, jejchž mechncké pme jso veen v Tb Půhb ploch čočk je po ůzná ložení n Ob. 3.7 Ob. 3.8 veen v násobcích vlnové élk He-Ne lse (λ633 nm. Tb. 3.3 Mechncké pme skel požých po výpoče sklo E [GP] [g/cm 3 ] SF N-BK N-LF

50 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3.7 Půhb sřencové ploch bkonvení spojné čočk o půmě Dmm poepřené n okj zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF Ob. 3.8 Půhb sřencové ploch bkonvení spojné čočk o půmě Dmm ložené n kožk o vnřním půmě.678d zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF 5

51 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Jk je z Ob. 3.7 Ob. 3.8 pno, je v přípě poepření čočk n okj její mmální půhb m,44λ λ/7 (sklo SF57, zímco př ložení n kožk o vnřním půmě.678d je její mmální půhb poze m,4λ λ/7 (sklo SF57. Po osní vě skl je půhb menší. Jk je z ěcho výsleků pno, nemsíme př měření poloměů éo čočk přhlíže k efomc jejích ploch vlvem vlsní íh, je-l čočk př měření ložen n kožk o vnřním půmě.678d. Příkl. Uvžjme ozplno čočk (Ob. 3.6 mjící náslející pme: R 3 mm, R 3 mm, mm půmě čočk je D mm. Čočk je opě zhooven ze ří ůzných skel, jejchž mechncké pme jso veen v Tb Půhb ploch čočk je po ůzná ložení n Ob. 3.9 Ob. 3. veen v násobcích vlnové élk He-Ne lse (λ633 nm. V přípě poepření čočk n okj je její mmální půhb přblžně m,48λ λ/ (sklo SF57, zímco př ložení n kožk o vnřním půmě.678d je mmální půhb poze m,39λ λ/5 (sklo SF57. Po osní vě skl je půhb menší. Jk je z ěcho výsleků pno, nemsíme př měření poloměů éo čočk přhlíže k efomc jejích ploch vlvem vlsní íh, je-l čočk př měření ložen n kožk o vnřním půmě.678d. Ob. 3.9 Půhb sřencové ploch bkonkávní ozplné čočk o půmě Dmm poepřené n okj zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF 5

52 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3. Půhb sřencové ploch bkonkávní ozplné čočk o půmě Dmm ložené n kožk o vnřním půmě.678d zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF Pozsvme se nní n půběh půhbových fnkcí vkeslených n Ob. 3.. N pvní pohle b čenář mohl přjí zvlášní zb n půhbové fnkc n popoo. Poíváme-l se le n poovnání výpoč ohoo příkl z poží eoe po enké esk eoe po lsší esk (s vžováním vlv smk n Ob. 3., můžeme jsně vě, že onen zb je způsoben vlvem smk, poože v přípě znebání smkové efomce je půhbová fnkce hlká n celém nevl. 5

53 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3. Vlv smk n půběh půhbové fnkce Příkl 3. Uvžjme ozplno čočk mjící náslející pme: R 5 mm, R 5 mm, 5 mm půmě čočk je D 5 mm. Čočk je opě zhooven ze ří ůzných skel, jejchž mechncké pme jso veen v Tb Půhb ploch čočk je po ůzná ložení n Ob. 3. Ob. 3.3 veen v násobcích vlnové élk He-Ne lse (λ633 nm. V přípě poepření čočk n okj je její mmální půhb přblžně m,λ λ/8 (sklo SF57, zímco př ložení n kožk o vnřním půmě.678d je mmální půhb poze m,λ λ/ (sklo SF57. Po osní vě skl je půhb menší. Jk je z ěcho výsleků pno, nemsíme př měření poloměů éo čočk přhlíže k efomc jejích ploch vlvem vlsní íh n v jenom přípě ložení. 53

54 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3. Půhb sřencové ploch bkonkávní ozplné čočk o půmě D5mm poepřené n okj zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF Ob. 3.3 Půhb sřencové ploch bkonkávní ozplné čočk o půmě D5mm ložené n kožk o vnřním půmě.678d zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF 54

55 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Příkl 4. Uvžjme ozplno čočk mjící náslející pme: R 5 mm, R 5 mm, 5 mm půmě čočk je D 5 mm. Čočk je opě zhooven ze ří ůzných skel, jejchž mechncké pme jso veen v Tb Půhb ploch čočk je po ůzná ložení n Ob. 3.4 Ob. 3.5 veen v násobcích vlnové élk He-Ne lse (λ633 nm. V přípě poepření čočk n okj je její mmální půhb přblžně m,36λ λ/3 (sklo SF57, zímco př ložení n kožk o vnřním půmě.678d je mmální půhb poze m,36λ λ/3 (sklo SF57. Po osní vě skl je půhb menší. Jk je z ěcho výsleků pno, nemsíme př měření poloměů éo čočk přhlíže k efomc jejích ploch vlvem vlsní íh, je-l čočk př měření ložen n kožk o vnřním půmě.678d. Obobné výslek, jko jso veen v přecházejících příklech, získáme po čočk jných vů. V éo čás páce bl poveen poobná nlýz vlv půhb čoček jejch vlsní ího n přesnos měření jejch ploch. Jk je pno z veené nlýz, můžeme e obecně říc, že po elmnc vlv půhb čočk způsobeného její ího je nno o čočk lož vpklo (vo plocho n položní kožek mjící vnřní (vnější půmě menší, než půmě měřené čočk. Ve všech příklech bl hono půmě položního kožk volen.678d, ke D je půmě měřené čočk, poože lze ovo [4], že po příp plnplelní čočk (khové esk konsnní lošťk poepřené n ko zvoleném půmě je půhb způsobený její vlsní ího mnmální, e se o kožk po pkcká měření jž vžívjí. Po čočk s půměem menším nebo ovným mm be poom jejch půhb menší než λ/5, což je po kálně osželno přesnos měření nposo osčjící. Je jsné, že po kžý příp opcké čočk poměnné lošťk lze njí opmální půmě položního kožk k, b půhb způsobený její vlsní ího bl mnmální, le po pkcké vží je eno posp zbečně komplkovný. 55

56 Aplkce výpoč půhb osově soměných esek poměnné lošťk Ob. 3.4 Půhb sřencové ploch bkonvení spojné čočk o půmě D5mm poepřené n okj zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF Ob. 3.5 Půhb sřencové ploch bkonvení spojné čočk o půmě D5mm ložené n kožk o vnřním půmě.678d zhoovené ze ří ůzných skel (SF57, N-BK7, N-LF 56

57 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 4 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán V posleních leech ochází k pkém ozvoj plňování zv. kvních opckých pvků, keé jso schopn přeem efnovným způsobem měn své vnřní nebo vnější pme, ím opcké zobzení. Esje velká ř způsobů, jk vlsnos ěcho komponen mofkov. Jením z nejozšířenějších pů pvků jso membánové kplnové čočk [8-3]. To pvk se zpvl sklájí z membán pevně pevněné n svých okjích, keá kje komo s kplno, jko je schemck nznčeno n Ob. 4.. Změno objem kpln oje k efomc membán změně opckých vlsnosí né čočk (Ob. 4. b. Ob. 4. Schém kplnové membánové čočk b možný pncp změn objem kpln Abchom bl schopn spávně č zobzovcí vlsnos kplnových membánových čoček, msíme velm obře zná v membán po efomc. Výpočem membán s vážením velkých efomcí npěí se zbývá npř. le [,4,7-9,33-4]. Ievní výpoče ovozených feencálních ovnc ké výpoče ozvojem v ř přesvl Golbeg Pfko [34,35]. Mofkc meo konečných feencí po nelneání sosv feencálních ovnc popsjících efomce npěí membán kázl Ko Peone [36,37]. Pe řeší sosv ří feencálních ovnc Rnge-Kovo meoo čvého řá [38]. Výpoče řm nlcké vzh po výpoče jejch koefcenů převel Fche [9]. Řešení pomocí čení npěí Neon-Rphsonovo meoo povel Kelk kol. [39]. Ovození nového zobecněného řešení poží opmlzčních meo kázl Mkš Novák [4]. Řešení meoo konečných pvků blo požo v [4]. 57

58 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ve výše zmíněných pcích vcházejí jejch oř z ůzných přepoklů okjových pomínek, e jejch řešení jso ůzná. V kpole.. éo páce bl ovozen sosv feencálních ovnc popsjící velké půhb osově soměné membán bez ohbové hos, ke nejso bán v úvh žáná lší zjenošení (pomce. V éo kpole be o sosv řešen věm ůzným nmeckým meom (meoo ř opmlzcí jejích koefcenů meoo konečných pvků n konkéním příkl bo poovnán získné výslek. Dále pk be přesven poblemk opmlzce lošťk membán z účelem osžení výsleného přeepsného efomovného v př zném lk. 4. Nmecké meo výpoč půhb osově soměné membán bez přepěí V kpole.. bl nejpve ovozen sosv feencálních ovnc popsjící posn půhb osově soměné membán, ke nejso bán v poz žáné zjenošjící přepokl, e řešení éo sosv be ále popsováno, jko obecné. V lší čás kpol.. bl zveen zjenošjící přepokl. Výslená sosv feencálních ovnc (.86 (.87 ovozen včně konzsenním způsobem z ěcho přepoklů její řešení bo poo ále nzýván jko zjenošené. Abchom mohl poovn ůzné nmecké meo, beme vžov membán mjící náslející pme: lošťk h, mm půmě mm ( je polomě membán. Elscké pme meál membán jso: Possonovo číslo, 4 Yongův mol E,97 MP vžov hono lk působícího n membán p,97 kp. 4.. Meo ř opmlzce jejích koefcenů 4... Obecné řešení. Dále beme Dříve, než zčneme s řešením feencálních ovnc, je v přípě poží meo ř opmlzce jejích koefcenů vhoné né ovnce nomlzov k, že hlené fnkce bo fnkcem bezozměné poměnné, po keo plí,,,. (4. 58

59 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 59 Sbscí (4. o vzhů (.55 (.56 po ální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření osáváme ε, (4. ε (4.3 po ální ngencální npěí pk z (.57 plí E σ, (4.4 σ E. (4.5 Výslené feencální ovnce (.74 (.75 moho bý po poměnno psán jko ( p h h F σ σ, (4.6 ( σ p h F. (4.7 Vzh (4.6 (4.7 voří sosv vo feencálních ovnc hého řá o vo neznámých fnkcích ( (. Kžá z ěcho fnkcí se v ovncích vskje v pvní hé evc, z čehož lze so, že k vřešení éo sosv je nné zná celkem čř okjové pomínk. Vzhleem k om, že membán je n okj neposvně poepřen, lze po ( psá (, (. (4.8 V přípě osové soměnos úloh lze přepoklá, že půhbová fnkce ( be kéž osově soměná pole os z (sá, e její evce v boě be nlová, plí. (4.9

60 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Dále pk můžeme přepoklá, že fnkce vooovného posn ( be soměná pole počák (lchá, poože její velkos je po kžé po celém obvo membán sejná její smě je vž oožný se směem os, e její hono v boě be ké nlová. Plí (. (4. Po řešení feencálních ovnc esje ř ůzných meo, z nchž meo ř je poměně jenochá ává velm obé výslek. Obecný pncp meo ř je náslející. Hleno fnkc f (ξ s vjáříme ve fomě ř K f ( ξ c g ( ξ, (4. ke fnkce g (ξ volíme k, b co nejlépe vhovovl nšem poblém. Po volb ěcho fnkcí je vž obé, kž o ném poblém máme nějké lší nfomce vplývjící z pos řešeného poblém, npř. že fnkce f (ξ je smecká po. Neznámé velčn, keé je nno č, jso koefcen c. Npř. v nšem přípě víme, že půhb membán ( je soměný vzhleem k ose z že vooovný posn ( je soměný vzhleem k počák, e můžeme hle řešení ovnc (4.6 (4.7 ve v mocnnných ř [ ] ( b, (4. c. (4.3 ( Výhoo nám zvolených vů hlených fnkcí ( ( je, že jso omck splněn okjové pomínk (4.8 (4.9, e ž zbývá jen spln okjovo pomínk (4.. Po pvní hé evce fnkcí (4. (4.3 plí b (, b ( (, (4.4 c (, c ( (. (4.5 6

61 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Převeďme nní eno poblém n opmlzční úloh s omezením (vázný eém o náslejícím způsobem. Přepokláejme, že poče členů ř be K, poom můžeme hlené fnkce (4., (4.3 jejch evce (4.4 (4.5 přeps o vů j K [ ] b, (4.6 j j K c, (4.7 j j K b (, b ( ( j K j j, (4.8 K c j j K j (, c ( ( ke velčn,, přčemž j,,..., L, ke L je poče ělení nevl,. j j, (4.9 Doszením vzhů (4.6-(4.9 o (4.6 (4.7 osáváme fnkce F j F j. Zveďme s nní mení fnkc (cílovo fnkc npř. ve v F g L [ F j F j ] j (4. hleejme kové hono koefcenů b c, b hono mení fnkce Fg bl mnmální př sočsném splnění okjové pomínk (4.. Dný poblém, j. čení fnkcí svslého půhb vooovného álního posn membán, je ím řešen. Dlším poněk elegnnějším způsobem řešení ohoo poblém meoo opmlzce je přímé hleání mnm fnkce po celkovo poencální eneg (.65. E p E ε ε ε ( ( h pv ε π, ke V je objem efomovné membán (.64 V π ( (. 6

62 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Dosíme-l (.64 o (.65 požjeme-l bezozměno poměnno le (4., osneme E p ( ( E ε ε ε ε π π ( h p (4. Doszením vzhů (4., (4.3, (4., (4.3, (4.4 (4.5 o (4. zveením konečného poč členů ř K získáme výslený výz po celkovo poencální eneg. Opmlzční úloh v omo přípě opě spočívá v hleání kových hono koefcenů c, po keé je hono výz po celkovo poencální eneg mnmální z sočsného splnění okjové pomínk (4.. Dný poblém, j. čení fnkcí svslého půhb vooovného álního posn membán, je ím řešen. b Je ůležé poznmen, že n ozíl o přechozího řešení mnmlzcí mení fnkce, k výsleek opmlzce znčně závsí n obře zvolených počáečních honoách koefcenů b, c spávný výsleek není vž zčen (je nné opmlzční lgoms ps mnohoká s ůzným počáečním honom b, c n konc vb výsleek, keý vel k nejmenší honoě mení fnkce, řešení mnmlzcí výz po celkovo poencální eneg vee vž spolehlvě ke sejném výslek nezávsle n počáečních honoách koefcenů b c, což je způsobeno ím, že mení fnkce má pvěpoobně velm mnoho lokálních mnm, ve keých může opmlzční lgoms snno vízno, le fnkce po celkovo poencální eneg je konvení n celém nevl, má e poze jeno lokální mnmm, keé je záoveň mnmem globálním Zjenošené řešení Př řešení zjenošených feencálních ovnc beme pospov sejně jko v kpole 4... Zčněme e vjářením všech pořebných vzhů po poměnno žím (4.. Rální ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření (.78 (.79 mjí poom v ε, (4. po ální ngencální npěí pk pole (.57 plí ε (4.3 6

63 σ E Aplkce výpoč půhb osově soměných membán, (4.4 E σ. (4.5 Výslené feencální ovnce (.86 (.87 moho bý po poměnno psán jko F ( hσ hσ 3, (4.6 F4 hσ p. (4.7 Okjové pomínk zůsávjí smozřejmě sejné, jko v obecném řešení, e (4.8, (4.9 (4. (, (,, (. Doszením vzhů (4.6-(4.9 o (4.6 (4.7 osáváme fnkce nní opě mení fnkc (cílovo fnkc ve v F 3 j F 4 j. Zveďme s F s L [ F j F4 j ] j 3 (4.8 hleejme kové hono koefcenů b c, b hono mení fnkce Fs bl mnmální př sočsném splnění okjové pomínk (4.. Dný poblém, j. čení fnkcí svslého půhb vooovného álního posn membán po zjenošený příp, je ím řešen. Jko v přípě obecného řešení, ze lze řešení njí přímo mnmlzcí výz po celkovo poencální eneg (.65. E p E ε ε ε ( ( h pv ε π, 63

64 ke V je zjenošený objem efomovné membán (.8 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán V π. Dosíme-l (.8 o (.65 požjeme-l bezozměno poměnno le (4., osneme E p E ( ( ε ε ε ε π h p π (4.9 Doszením vzhů (4., (4.3, (4., (4.3, (4.4 (4.5 o (4.9 zveením konečného poč členů ř K získáme výslený výz po celkovo poencální eneg ve zjenošeném přípě. Opmlzční úloh opě spočívá v hleání kových hono koefcenů b c, po keé je hono výz po celkovo poencální eneg mnmální z sočsného splnění okjové pomínk (4.. Dný poblém, j. čení fnkcí svslého půhb vooovného álního posn membán po zjenošený příp, je ím řešen. N Ob. 4. Ob. 4.3 lze vě výslené půběh fnkcí po zvolený příkl, ke K6. Úloh bl vřešen pogmem Mlb výše popsno meoo ř n záklě mnmlzce vzhů po celkovo poencální eneg. N Ob. 4.4 je pk znázoněn závslos ochlk půhb obecného zjenošeného řešení vjářená v násobk vlnové élk He-Ne lse λ,633mm. Vzhleem k om, že přesné opcké ploch se běžně vábí s přesnosí n λ / 4, je nno konsov, že ozíl mez obecným zjenošeným řešením, keý oshje ž / λ 8, je po opcké účel zcel nevhovjící, poo se nále beme zbýv m poze obecným řešením, jehož spávnos ověříme v lší kpole meoo konečných pvků. N Ob. 4.5 Ob. 4.6 je ále znázoněn závslos mmálního půhb m mmálního álního posn, m n poč členů ř K po obecné řešení. Věší význm má v omo přípě le závslos výsleného efomovného objem membán n poč členů ř znázoněná n Ob Z ěcho gfů Tb. 4. je zřejmé, že výslené řešení př zvšování poč členů ř velm chle osáhne přesnos n pě plných cfe, le ále se jž nezpřesňje nemá e význm vžov více členů ř, než cc K6. Tb. 4. Závslos m,, m V n poč členů ř K m [mm],9539,95873,95886,95875,95889,m [mm],5478,53777,5378,5378,53787 V [mm3] 5,55 5, ,5984 5,5984 5,

65 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4. Půhb membán po obecný zjenošený příp Ob. 4.3 Rální posn membán po obecný zjenošený příp 65

66 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4.4 Ochlk obecného zjenošeného řešení Ob. 4.5 Závslos m n poč členů ř 66

67 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4.6 Závslos, m n poč členů ř Ob. 4.7 Závslos objem efomovné membán V n poč členů ř 67

68 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 4.. Meo konečných pvků Po poovnání výsleků získných meoo ř v přechozí kpole bl sejný příkl spočen meoo konečných pvků v pogm OOFEM [44], km bl z ímo účelem mplemenován pvek zložený n eo popsné v kpole.. Pme požé v náslejícím ovození konečného pvk jso zobzen n Ob. 4.8, ke l je élk pvk, ( ; Ob. 4.8 Membánový pvek ξ je lokální sořnce ného pvk, R je vooovná vzálenos počáečního zl pvk o počák sořncového ssém, je vooovná vzálenos lbovolného bo pvk o počák sořncové sosv v závslos n ξ,,, jso neznámé posn v zlech pvk. Dle Ob. 4.8 můžeme vzh mez lokální sořncí ξ globální sořncí zps jko R ξ, l ξ. (4.4 l Npšme nní neznámé posn v zlech pvk jko veko, plí. (4.5 Z poží lneáních bázových fnkcí n ( ξ ( ξ n, po keé plí (Ob. 4.9 n ( ξ ( ξ, ( ξ ( ξ n (4.6 n n ξ, ξ l n n ξ. (4.7 ξ l 68

69 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 69 Ob. 4.9 Bázové fnkce můžeme vooovný posn svslý posn (půhb v lbovolném boě pvk pops fnkcem ( n n n, ( n n n (4.8 evce ěcho velčn b n n, b n n. (4.9 Sbscí (4.9 o vzh (.55 po ální Geenovo-Lgngeovo převoření osáváme ( A b b b b b b T T T T T ε, (4.3 ke l b b b b A T T (4.3 A sbscí (4.8 o vzh (.56 po ngencální Geenovo-Lgngeovo převoření osáváme n n n n n T T T T ε. (4.3

70 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 7 Oznčme nní veko příůsků,,, δ δ δ δ jko δ, plí e δ δ δ δ δ. (4.33 Poom můžeme příůsk vooovného posn δ půhb δ v lbovolném boě pvk pops fnkcem ( n δ δ δ δ δ δ n n, ( n δ δ δ δ δ δ n n (4.34 evce ěcho velčn b δ δ δ δ δ δ n n, b δ δ δ δ δ δ n n. (4.35 Doszením (4.8, (4.9, (4.34 (4.35 o vzhů po příůsk álního ngencálního Geenov-Lgngeov převoření (.69 (.7 osáváme ( A b A b b b b b b T T T T T T δ δ δ δ δ δ δε, (4.36 n n n n n T T T T δ δ δ δε. (4.37 Vzh (4.36 (4.37 můžeme zps ve vekoovém v jko B n n A b ε T T T δ δ δε δε δ. (4.38 Dosďme nní (4.4, (4.8, (4.9, (4.34 (4.35 o vzh (.68 po vc objem efomovné membán, plí ( ( ( ( ( ( [ ] ξ δ ξ δ δ ξ π δ l V b n n n b n b b n T T T T T T. (4.39

71 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Nní jž zbývá jen sesv výsleno sosv nelneáních ovnc po neznámé hono posnů půhbů v jenolvých zlech pvk. Z kpol. víme, že b bl ná konskce (pvek v ovnováze, msí bý vce poencální enege ovn nle. Se znlosí éo pomínk můžeme vzh po vc poencální enege (.67 psá ve v [( σ δε σ δε h] pδv π. (4.4 Sbscí (.57, (4.4, (4.38 (4.39 o (4.4 osáváme π l T T [ ε D Bδ h( ξ ] pπ l T T T T T T [( ( ξ n ( b b δ n ( b nδ n ( ( ξ n bδ] ξ ξ. (4.4 Vzhleem k om, že ovnos pvé levé sn ovnce (4.4 msí pl po lbovolné δ, můžeme psá π l T T [ ε D B h( ξ ] pπ l T T T T T T [( ( ξ n ( b b n ( b n n ( ( ξ n b ] ξ ξ. (4.4 Vzh (4.4 pk voří výsleno sosv nelneáních ovnc po neznámé posn v jenolvých zlech pvk. Sosv nelneáních ovnc po celo membán osneme obvklo loklzcí příspěvků o jenolvých pvků. T lze poom př přeepsání vhoných okjových pomínek řeš npříkl Neon-Rphsonovo eční meoo. Neon Rphsonov meo vžje mc hos, keo ze ovšem váě nebeme její fomlc lze nléz npříkl v [4]. N Ob. 4. Ob. 4. lze vě výslené půběh fnkcí po zvolený příkl, ke poče konečných pvků je N4. Úloh bl vřešen konečně-pvkovým pogmem OOFEM z poží výše popsného pvk jená se e o obecné (nezjenošené řešení. N Ob. 4., Ob. 4.3 Ob. 4.4 je ále znázoněn závslos mmálního půhb m, mmálního álního posn, m objem efomovné membán V n poč konečných pvků N v logmckém měřík. Z ěcho gfů Tb. 4. lze so, že po osžení velm přesného řešení b blo nné konečně-pvkovo síť ješě zjemn. 7

72 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4. Půhb membán po obecný příp Ob. 4. Rální posn membán po obecný příp 7

73 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4. Závslos m n poč konečných pvků (logmcké měříko Ob. 4.3 Závslos, m n poč konečných pvků (logmcké měříko 73

74 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Ob. 4.4 Závslos V n poč konečných pvků (logmcké měříko Tb. 4. Závslos,, m V n poč konečných pvků m Poče pvků N m [mm] 3,578,96495,959384,958534,95889,9585,m [mm],3774,4467,5357,53795,5386,5389 V [mm3] 484,585 49,8678 5,3756 5,58 5,5449 5, Poovnání nmeckých meo V kpole 4.. blo přesveno řešení obecných zjenošených feencálních ovnc popsjících efomce elscké membán meoo ř opmlzcí jejích koefcenů. Blo konsováno, že v přípě zjenošeného příp ochází k přílš velkým nepřesnosem že je e nno se nále zbýv výhně obecným řešením. V kpole 4.. blo pk obecné řešení znov spočeno meoo konečných pvků bl kázán konvegence mmálních hono půhb, álního posn efomovného objem př zjemňování konečně-pvkové síě. N Ob. 4.5 je znázoněn závslos ochlk půhb ěcho vo obecných řešení vjářené v násobcích vlnové élk He-Ne lse 74

75 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán λ,633mm. Ochlk je spočen pole vzoce / λ ( opm fem / λ, ke opm je výsleek obecného řešení spočený meoo ř spočený meoo konečných pvků. fem je výsleek obecného řešení Ob. 4.5 Ochlk obecného řešení půhbové fnkce spočeného meoo ř o řešení spočeného meoo konečných pvků Vzhleem k om, že se o vě řešení mmálně lší poze o m / λ, 55 konsov, že po nám požovné přesnos se výslek shojí. 4. Opmlzce lošťk membán, můžeme Jením z možných požvků n osově soměné membánové kplnové čočk v opce může bý ké jejch schopnos vvoř př zné velkos lk přesně přeepsný efomovný v k, b vznklá čočk měl né opcké pme. Tohoo požvk ovšem jž nelze osáhno poze z přepokl konsnní lošťk membán, e je nné, b se lošťk po polomě měnl. Sc v omo přípě komplkje ké skečnos, že výslený efomovný v membán není án poze půhbovo fnkcí, le ké fnkcí álního posn (Ob Dále v éo kpole beme jž všechn vzh váě po bezozměno poměnno polomě k, jko v

76 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán 76 Ob. 4.6 Skečný efomovný v membán Dle Ob. 4.6 můžeme vzh mez fnkcí efomovného v membán ( ζ g fnkcem půhb ( álního posn ( psá jko ( ( ζ g, (4.46 ke ( / ζ je pomocná fnkční poměnná. Náš poblém e v omo přípě spočívá v řešení feencálních ovnc (4.6 (4.7 s neznámým fnkcem (, ( ( h k, b př konsnním mol pžnos E, Possonově čísle lk p splnl o fnkce výslený přeepsný efomovný v ( ζ g le vzh (4.46 z sočsného splnění ných okjových pomínek. To úloh lze opě vřeš npříkl žím meo ř opmlzce jejích koefcenů. Pospjme e obobným způsobem, jko v kpole 4..., požjme jž říve popsné vzh (4.4, (4.5, (4.6 (4.7 E σ, σ E, ( p h h F σ σ, ( σ p h F.

77 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Vzhleem k om, že nní se v feencálních vzzích (4.6 (4.7 vskje řeí neznámá h, je k vřešení poblém nné zná lší ovnc. To je fnkce půběh lošťk ( v omo přípě vzh (4.46 psný ve v ( ζ ( F. ( g Okjové pomínk po fnkce ( ( zůsávjí sále sejné, o (4.8, (4.9 (4. (, (,, (. Nní je řeb pookno, že řeí neznámá fnkce h ( se v feencálních vzzích (4.6 (4.7 vskje v nlé pvní evc, e je nno jí přeeps jen okjovo pomínk. Ze můžeme opě vží osové soměnos úloh přepoklá, že fnkce h ( je soměná pole os z (sá, e její evce v boě be nlová, plí h. (4.48 Neznámé fnkce ( ( beme opě hle ve říve zmíněných vech (4., (4.3 [ ] ( b, ( jejch evce e ve vech (4.4 (4.5 b c (, b ( (, c (, c ( ( Přeepsná fnkce výsleného v g (ζ, keá se vskje ve vzh (4.47 může bý vjářen jko ( ( g( ζ g /. (

78 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Fnkc h ( můžeme pk vzhleem k její osové soměnos hle ve v sé mocnnné ř její evc e ve v h( h (4.5 (. (4.5 Tv (4.5 má opě výho, že omck splňje okjovo pomínk (4.48. Převeďme nní eno poblém n opmlzční úloh s ohnčením (vázný eém o náslejícím způsobem. Přepokláejme, že poče členů ř be K, poom můžeme hlené fnkce (4., (4.3 jejch evce (4.4 (4.5 přeps o vů (4.6-(4.9 j K [ ] b, j j K c, j j K b (, b ( ( j K j j, K c j j K j (, c ( ( j, fnkc (4.49 o v ( g j g j, j / (4.5 hleno fnkc (4.5 její evc (4.5 o vů K h j, (4.53 j h j K ( j, (4.54 ke velčn, přčemž j,,..., L, ke L je poče ělení nevl,. j 78

79 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Doszením vzhů (4.6-(4.9 (4.5-(4.54 o (4.6, (4.7 (4.47 osáváme fnkce F j F 3 j. Zveďme s nní mení fnkc (cílovo fnkc ve v F j, F g L [ F j F j F3 j ] j (4.55 hleejme kové hono koefcenů b, c, b hono mení fnkce Fg bl mnmální př sočsném splnění okjové pomínk (4.. Dný poblém, j. čení fnkcí h svslého půhb (, vooovného álního posn ( lošťk membán ( k, b ve výslek vořl fnkce ( ( přeepsný efomovný v g (, je ím řešen. Uvžjme nní poobný příkl, jko v přechozí kpole. Mějme membán o půmě mm ( je polomě membán s mechnckým pme E,97 MP, 4 zíženo hosckým lkem p,97 kp. Z přechozí kpol víme, že přeepíšeme-l membáně konsnní lošťk h,mm, be její mmální půhb m,958mm. Poovnejme nní výslený efomovný v éo membán npříkl se sfécko plocho o sejné mmální výchlce (Ob Ob. 4.7 Poovnání skečného efomovného v membán se sfécko plocho 79

80 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán Z Ob. 4.7 je zřejmé, že výslený efomovný v membán se po eno konkéní příkl význě lší o sfécké ploch. Ukžme s nní, jk b se msel měn lošťk membán po jejím polomě, b její výslený efomovný v opovíl sfécké ploše o mmální výchlce m,958mm se sočsným zchováním všech osních pmeů membán. Přeepsná fnkce g ( ζ opovíá v omo přípě meán sfécké ploch, e plí ( R ζ R g ζ, (4.56 ke R je polomě křvos, keý lze vjář z mmální požovné výchlk ve vchol m jko m R. (4.57 m Vřešíme-l eno poblém pomocí výše popsné eoe v pogm Mlb, osneme výslený požovný půběh lošťk membán znázoněný n Ob Ob. 4.8 Spočený půběh lošťk Spočěme nní úloh převeeno v kpole 4.. s ím ozílem, že beme bá v úvh nekonsnní půběh lošťk (Ob. 4.8 vkesleme výslený ozíl přeepsné 8

81 Aplkce výpoč půhb osově soměných membán efomovné ploch spočené efomovné ploch g / λ [ g( / ( ]/ λ vjářený v násobk vlnové élk He-Ne lse (λ633 nm (Ob Ob. 4.9 Ochlk výsleného spočeného v membán o přeepsného v Z mmální ochlk g / λ, 6 lze so, že opmlzce lošťk oo meoo m z poží zvoleného oov lgom má poze omezeno přesnos, ncméně je osčjící po převeení fnkčnos meo. Dále je v Tb. 4.3 po zjímvos veeno, jk se výslený spočený v membán s ko nvženo poměnno lošťko (Ob. 4.8 lší o sfé po ůzné hono lků. Posození je poveeno honoo RMSE ( oo men sqe eo v češně nzývno jko sření kvcká ochlk. Tb. 4.3 Ochlk výsleného v o sfé Tlk p [kp] Polomě křvos R [mm] RMSE [mm],495 8,79,3,985,68,643,97 8,49,686 3,94 5,44,9 7,88,733,493 8

82 Epemenální měření v kplnové membán 5 Epemenální měření v kplnové membán Ve spolpác se Skpno plkovné opk [46] blo poveeno epemenální měření v kplnové membánové čočk [47], jehož výslek moho bý ále vžíván k nlýzám vlsnosí kvních opckých pvků ohoo p k návhům opckých sosv, keé bo moc vblně přeem efnovným způsobem měn vlsnos zobzení. V náslejících pokpolách be sčně popsán posp měření, be poveeno poovnání hono mmálního půhb nměřených n přepjé volné membáně s honom spočeným eoeckým moelem v závslos n působícím lk nkonec bo čen vbné záklní chkesk zobzovcích vlsnosí éo čočk. 5. Obecný pops epemenálního měření v kplnové membánové čočk Schém měřené membánové čočk [47] je kázáno n Ob. 5.. Záklní čás čočk voří komo. Pomocí vspního venl je o ní přváěn kpln (v nšem přípě eslovná vo požím přesné lkové pmp. Přílčná čás čočk píncím šob píná pžno membán (Slg 84 [48,49], keá se efomje v závslos n množsví přváěné kpln o komo čočk. Dhá sn čočk je vořen plnplelní esko. Množsví kpln lze eglov pošěcím venlem. Po epemen bl pož komo o půmě D 3 mm membán lošťk h.5 mm. Tv membán bl měřen pomocí zřízení n měření opogfe ploch [5,5] (Ob. 5. se čřm spn volnos. Záklem je chomcký konfokální senzo [5-53], keý je možno polohov pomocí kokových mooů ve vo nvzájem kolmých směech (os z náče (kolem os. Vzoek je pomocí měřcího solk ále oován, ím je možné získ po čení opogfe celé ploch. 8

83 Epemenální měření v kplnové membán Ob. 5. Schém fnkčního vzok kplnové čočk Ob. 5. Zřízení n měření opogfe ploch [5] b snímek měřeného vzok membánové čočk n měřícím solk 5. Sovnání epemenálního měření eoeckého moel Po ověření spávnos moel přesvného v kpole. po půhb membán kplnové čočk způsobený hosckým lkem blo poveeno epemenální měření mmálního půhb membán v závslos n velkos hosckého lk. Bl měřen v příp 83