IMPLEMENTACE ALGORITMŮ EKVALIZACE PŘENOSOVÉHO KANÁLU V FMT MODULACI

Transkript

1 VYSOKÉ UČENÍ TECNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECNIKY A KOMUNIKAČNÍC TECNOLOGIÍ ÚSTAV TELEKOMUNIKACÍ FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION DEPARTMENT OF TELECOMMUNICATIONS IMPLEMENTACE ALGORITMŮ EKVALIZACE PŘENOSOVÉO KANÁLU V FMT MODULACI IMPLEMENTATION OF TE CANNEL EQUALIZATION ALGORITMS USED IN FMT MODULATION DIPLOMOVÁ PRÁCE MASTER'S TESIS AUTOR PRÁCE AUTOR VEDOUCÍ PRÁCE SUPERVISOR Bc. LIBOR KREJČA Ig. PAVEL ŠILAVÝ, Ph.D. BRNO 21

2 VYSOKÉ UČENÍ TECNICKÉ V BRNĚ Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií Ústav telekomuikací Diplomová práce magisterský avazující studijí obor Telekomuikačí a iformačí techika Studet: Bc. Libor Krejča ID: Ročík: 2 Akademický rok: 29/21 NÁZEV TÉMATU: Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci POKYNY PRO VYPRACOVÁNÍ: V prostředí programu Matlab realizujte aplikaci pro aalýzu ekvalizérů pro FMT modulaci. Aplikace bude simulovat FMT přeosovou techologii. Bude obsahovat FMT modulátor, demodulátor a model přeosového kaálu. Aplikace bude kofigurovatelá pomocí grafického rozhraí GUI. Umoží zejméa aalýzu růzých algoritmů výpočtu koeficietů DFE ekvalizérů, změu řádu jedotlivých filtrů ekvalizérů. Parametrem vyhodoceí bude dosažeý odstup SNR, přeosová rychlost a dosažeé chyba miimalizace, vše v závislosti a parametru zpožděí výpočtu vzájemé korelačí matice. Aplikaci kocipujte tak, aby bylo možo sado doplit další algoritmy výpočtu. Vlastí aalýzy by aplikace měla počítat automatizovaě. Například pro zadaé rozsahy řádu filtrů a typ přeosového kaálu vypočítat automatizovaě dosažeé přeosové rychlosti, odstup SNR a miimum. DOPORUČENÁ LITERATURA: [1] Bigham, Joh A. C.. ADSL, VDSL, ad multicarrier modulatio, Joh Wiley & Sos, Ic., New York, 2. ISBN [2] Cherubii G., Eleftheriou E., Olcer S., Cioffi.M.. Filter bak modulatio techiques for VDSL. IEEE Commuicatio Magazie, May 2, pp [3] Beveuto, N., Tomasi, S., Tomba, L. Equalizatio methods i DMT ad FMT Systems for Broadbad Wireless Commuicatios. I IEEE Tras. o Comm., vol. 5, o. 9., 22. s Termí zadáí: Termí odevzdáí: Vedoucí práce: Ig. Pavel Šilhavý, Ph.D. prof. Ig. Kamil Vrba, CSc. Předseda oborové rady UPOZORNĚNÍ: Autor diplomové práce esmí při vytvářeí diplomové práce porušit autorská práva třetích osob, zejméa esmí zasahovat edovoleým způsobem do cizích autorských práv osobostích a musí si být plě vědom ásledků porušeí ustaoveí 11 a ásledujících autorského zákoa č. 121/2 Sb., včetě možých trestěprávích důsledků vyplývajících z ustaoveí části druhé, hlavy VI. díl 4 Trestího zákoíku č.4/29 Sb.

3 ABSTRAKT Cílem diplomové práce je ávrh aplikace pro aalýzu ekvalizérů v modulaci FMT. Pro aalýzu je využit model přeosového kaálu s FMT. Přeosová cesta je modelováa testovacím vedeím, které odpovídá účastickým přípojkám techologie DSL, z toho důvodu jsou také v růzých částech textu popsáy ěkteré pricipy u DSL. Prví část práce se obecě zabývá problematikou a pricipy vícetóových modulací, podroběji je rozebráa modulace realizovaá bakou filtrů (FMT). Jsou popsáy růzé metody ávrhu baky filtrů a porováy jejich vlastosti. Druhá část práce se zaměřila a ekvalizaci přeosového kaálu s FMT. Podrobě jsou odvozey a popsáy ekvalizéry s miimalizací středích kvadratických odchylek (MMSE), problematika lieárích ekvalizérů je vždy rozšířea a ekvalizéry se zpětou vazbou (DFE), které jsou součástí avržeé aplikace. Pro výpočet koeficietů ekvalizéru je v aplikaci využito také iteračích eboli adaptivích algoritmů ávrhu ekvalizérů a bázi MMSE. V posledí části jsou prezetováy dosažeé výsledky s ekvalizéry DFE. Aplikace opatřeá grafickým rozhraím a srovávající aprogramovaé algoritmy ekvalizace je realizováa v prostředí MATLAB. Umožňuje vyhodoceí dosažeého odstupu sigál-šum, dosažeé miimalizace středí kvadratické odchylky a přeosové rychlosti v závislosti a zpožděí mezi origiálím a zkresleým sigálem. Odstup sigál-šum je také zázorě v subkaálech pro daé zpožděí a lze zobrazit graf dosažitelé miimalizace v závislosti a růzých řádech filtrů u ekvalizéru DFE. KLÍČOVÁ SLOVA Vícetóová modulace, FMT, ekvalizér, DFE, MMSE, adaptiví filtr, RLS, LMS

4 ABSTRACT The objective of Diploma thesis is desig of aalysis tool for equalizers used i FMT modulatio. The model of trasmissio chael was desiged for simulatios with FMT. The trasmissio path is modeled by test loop, which correspods to DSL lie. For this reaso, some priciples of DSL techology is described i the thesis. The priciples of multicarrier modulatio are itroduced i first part. The multicarrier modulatio with filter bak (FMT) is described i detail.the differet methods of desig the fiter bak are give ad compared. Chael equalizatio are itroduced i secod part. The attetio was focused o miimum mea square error filterig (MMSE). Decisio feedback chael equalizer (DFE) is exteded from liear MMSE equalizer. DFE equalizers were programmed i aalysis tool. For computatio of equalizer coeficiets was used also equalizers based o adaptive algorithms ad MMSE. The last part describes the results of DFE equalizers used i commuicatio system with FMT modulatio. Aalysis tool was programmed i MATLAB with a graphical user iterface. It allows to show mea square error, sigal-to-oise ratio ad trasmissio speed depedece o delay betwee origial ad distorted sigal. Sigal-to-oise ratio is displayed also i idividual subchaels ad users ca display mea square error depedece o differet orders of DFE filters. KEYWORDS Multicarrier modulatio, FMT, equalizer, DFE, MMSE, adaptive filter, RLS, LMS

5 KREJČA, L. Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci. Bro: Vysoké učeí techické v Brě, Fakulta elektrotechiky a komuikačích techologií, s. Vedoucí diplomové práce Ig. Pavel Šilhavý, Ph.D.

6 Prohlášeí Prohlašuji, že svoji diplomovou práci a téma Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci jsem vypracoval samostatě pod vedeím vedoucího diplomové práce a s použitím odboré literatury a dalších iformačích zdrojů, které jsou všechy citováy v práci a uvedey v sezamu literatury a koci práce. Jako autor uvedeé diplomové práce dále prohlašuji, že v souvislosti s vytvořeím této diplomové práce jsem eporušil autorská práva třetích osob, zejméa jsem ezasáhl edovoleým způsobem do cizích autorských práv osobostích a jsem si plě vědom ásledků porušeí ustaoveí 11 a ásledujících autorského zákoa č. 121/2 Sb., včetě možých trestěprávích důsledků vyplývajících z ustaoveí 152 trestího zákoa č. 14/1961 Sb. V Brě de podpis autora Poděkováí Děkuji vedoucímu diplomové práce Ig. Pavlu Šilhavému, Ph.D. za užitečou metodickou pomoc a ceé rady při zpracováí diplomové práce. V Brě de podpis autora

7 Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci 21 OBSA ÚVOD VÍCETÓNOVÉ MODULACE OFDM A DMT Ortogoálí frekvečí multiplex (OFDM) Popis OFDM sigálu Vysílač a přijímač modulace OFDM Vlastosti modulace OFDM Diskrétí vícetóová modulace (DMT) Vysílač a přijímač modulace DMT Bitová alokace u modulace DMT VÍCETÓNOVÁ MODULACE S BANKOU FILTRŮ (FMT) Vysílač modulace FMT Přijímač modulace FMT Využití modulace FMT u techologie DSL METODY EKVALIZACE PŘENOSOVÉO KANÁLU Lieárí ekvalizér Struktura lieárího ekvalizéru Odvozeí lieárího ekvalizéru Ekvalizér DFE Struktura DFE ekvalizéru Odvozeí DFE ekvalizéru Výpočet DFE a základě lieárího ekvalizéru ADAPTIVNÍ VÝPOČET KOEFICIENTŮ EKVALIZÉRU Rekurziví optimálí adaptace (RLS) Stochasticky gradietí adaptace (LMS) Další variaty LMS algoritmu Stochasticky gradietí adaptace s kostatím modulem (CMA) ANALÝZA ALGORITMŮ EKVALIZACE V FMT MODULACI Základí popis avržeé aplikace Výsledky DFE v komuikačím systému s FMT Kovergečí vlastosti iteračích algoritmů Vlastosti DFE u techologie DSL...6

8 Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci Vliv řádu filtrů DFE a vlastosti ekvalizace Vliv překryvé baky filtrů a vlastosti DFE ZÁVĚR...69 POUŽITÁ LITERATURA...71 SEZNAM POUŽITÝC ZKRATEK...74 SEZNAM POUŽITÝC VELIČIN A SYMBOLŮ...75 SEZNAM PŘÍLO...76 PŘÍLOY...77

9 Implemetace algoritmů ekvalizace přeosového kaálu v FMT modulaci 21 ÚVOD Postupem času vziká potřeba zvyšovat přeosovou kapacitu a přeášet větší možství iformací, což zameá zvýšit šířku pásma kaálu. Proto je saha o co ejefektivější využití šířky dostupého pásma za pomoci ových modulačích techik a metod zpracováí sigálu. Současé digitálí komuikačí systémy velmi často využívají vícetóové modulace (MCM Multicarrier Modulatio). Tyto modulačí techiky umožňují velice efektiví využití dostupého kmitočtového pásma. Modulace s více osými se achází u řady bezdrátových techologií, apř. u pozemího vysíláí digitálí televize či bezdrátové sítě WLAN (Wireless local area etwork), u metalických vedeí alezeme MCM především u techologie DSL (Digital subscriber lie). Modulace FMT (Filtered multitoe) patří do skupiy modulací typu MCM. Je to vhodá variata k používaým modulacím OFDM (Orthogoal frequecy divisio multiplex) ebo DMT (Discrete multitoe). Její využití se může předpokládat především u techologie VDSL (Very-high-speed digital subscriber lie) ebo bezdrátových techologií. Oproti ostatím vícetóovým modulacím se FMT mimo jié odlišuje tím, že je potřeba vždy provést ekvalizaci. Proces ekvalizace je tedy ezbytou součástí komuikačího systému. Prví část práce se zabývá problematiku modulací MCM s detailím zaměřeím a modulaci FMT a realizaci modelu komuikačího systému s FMT. Součástí modelu musí být ekvalizér, proto se druhá část zabývá hlavími typy ekvalizérů a možostmi jejich ávrhu resp. algoritmy, které lze v přijímačích využít. U FMT se z důvodů výrazého zkresleí sigálu již ve vysílači a přijímači předpokládá asazeí ekvalizérů s rozhodovací zpětou vazbou (DFE). Vybraé algoritmy DFE ekvalizérů jsou testováy a modelu komuikačího systému. Výsledky simulačích výpočtů jsou závěrem zhodocey a jsou prezetováy dosažeé parametry a vlastosti jedotlivých algoritmů ekvalizace, to umožňuje vytvořeá aplikace. Simulace jsou vytvořey tak, aby odpovídali přeosům po metalickém vedeí, kokrétě přeosům u DSL, protože to je jeda z variat, kde by bylo možé využít modulaci FMT. 9

10 Vícetóové modulace OFDM a DMT 1. VÍCETÓNOVÉ MODULACE OFDM A DMT Modulačí formáty s více osými vlami (MCM) přeášejí modulačí sigál, tj. sigál s vysokou bitovou rychlostí, který se v sériově-paralelím převodíku převádí a N pomalejších složek s delší periodou (N-krát delší). Ty se poté modulují a N subosých vl s vhodými rozestupy. Nejčastěji používaými variatami jsou ortogoálí frekvečí multiplex (OFDM) a diskrétí vícetóová modulace (DMT). Relativě ovým typem se stala modulace s bakou filtrů (FMT). V této kapitole, jež je úvodem k vícetóovým modulacím, jsou popsáy pricipy OFDM a DMT, s těmito typy vícetóových modulací se des ejčastěji setkáme. Modulaci FMT bude věováa větší pozorost v samostaté kapitole Ortogoálí frekvečí multiplex (OFDM) Jestliže subosé vly vytvářejí ortogoálí soustavu, jak tomu je u ortogoálího frekvečího multiplexu, mohou rozestupy být velmi malé a tím se dosáhe velké spektrálí účiosti systému. Modulačí spektra, defiovaá při modulaci efiltrovaým pravoúhlým sigálem fukcí sic, se výrazě překrývají. Každá vla se achází a frekveci, kde spektra ostatích subosých procházejí ulou, edochází přitom k jejich vzájemým iterferecím mezi osými vlami (ICI Itercarrier iterferece). Uplatěí OFDM se achází především v pozemí radiokomuikaci, která vyžaduje vyšší přeosové rychlosti (apř. televizí vysíláí DVB Digital video broadcastig, sítě WLAN), [2] Popis OFDM sigálu Matematicky můžeme OFDM sigál v časové oblasti popsat pomocí rovic (lit. [1]) s N 1 ( t) = e S Rect ( t T ) = m= t j2πm T m, TS A S (1.1) 1 t < TS Rect T ( t) =, (1.2) S ostatí t 1

11 Vícetóové modulace OFDM a DMT kde m je číslo osé, pořadí symbolu, A m, jsou -té vyslaé symboly a m-té osé modulovaý apř. BPSK, QPSK ebo QAM, atd. Rect Ts popisuje pravoúhlé oko o délce T S, což odpovídá délce trváí OFDM symbolu. Převede-li se vztah (1.1) do diskrétí podoby s miimálím možým vzorkovacím kmitočtem f =, dostaeme rovici (lit. [1]) vz N /TS TS s i N = N 1 = m= i j2πm N A m, e RectT ( t TS ), (1.3) S kde i ozačuje pořadí vzorku. Vyjádří-li se apř. symbol s = (ultý symbol), potom bude popsá rovicí (lit. [1]) i N N = 1 T j2πm S s i A m, e. (1.4) N m= Vztah (1.4) v podstatě vyjadřuje iverzí diskrétí Fourierovu trasformaci (IDFT Iverse Discrete Fourier Trasform), toho se využívá při praktické realizaci, jež byla umožěa díky vývoji efektivích algoritmů FFT (Fast Fourier Trasform) a IFFT (Iverse Fast Fourier Trasform). Po provedeí IFFT bude sigál obecě komplexí, aby jej bylo možo přeášet fyzickým kaálem, musí být čistě reálý, může se tedy použít buď kvadraturí modulátor ebo ermitovsky symetrický vstupí vektor hodot. Druhý způsob má evýhodu, že je potřeba dvojásobý počet osých kmitočtů. Vzdáleosti kmitočtů subosých vl vychází f = 1/ T, z toho vyplývá, že kmitočty ortogoálích subosých vl se acházejí a kmitočtech (lit. [1]) S k f k = f + k = 1,2,..., N 1, (1.5) T S kde f je kmitočet, a kterém se achází prví subosá vla. Na obrázku 1.1 můžeme vidět ukázku spektra s šesti ortogoálími subosými vlami. Spektrum subosé vly vychází z fukce sic, jelikož sigál je v časové oblasti defiová za pomoci pravoúhlého oka, jak bylo uvedeo v (1.1) ebo (1.3). 11

12 Vícetóové modulace OFDM a DMT Obr. 1.1 Spektrum ěkolika ortogoálích subosých vl Vysílač a přijímač modulace OFDM Na obrázku 1.2 je zázorěa pricipielí struktura modulátoru OFDM. Data se rozdělí v sériově-paralelím převodíku do paralelích větví, potom pomocí vhodého kostelačího diagramu jsou data mapováa a ásledě modulováa a příslušý osý kmitočet subosé. Nakoec se výstupy ve všech větvích sečtou. Realizačě je tato struktura áročá a v praxi se epoužívá. Obr. 1.2 Struktura vysílače OFDM, [3] 12

13 Vícetóové modulace OFDM a DMT Mapováí v obrázku 1.2 zahruje modulátor BPSK, QPSK v případě, kdy se využívají modulátory s ižším počtem modulačích stavů (apř. v pozemích mobilích aplikacích). U těchto modulací se dosahuje velké eergetické účiosti. V aplikacích s co ejvětším využití spektra (velké přeosové rychlosti) se obvykle využije modulace s vyšším počtem modulačích stavů, jako je QAM (16-QAM, 64-QAM, atd.), [2]. Při velkém počtu osých by bylo zapotřebí velké možství modulátorů a demodulátorů, prakticky je mohem výhodější ahradit modulátory implemetací IDFT (IFFT a procesoru), to zameá, že se defiuje OFDM sigál ve spektrálí oblasti, kde diskrétí spektrum budou vyjadřovat příslušé subosé, po provedeí IDFT se získá časový průběh OFDM sigálu, ke kterému se připojí cyklický prefix CP, v přijímači je pak odstraě v S/P převodíku. Tato kocepce realizace je zobrazea a obrázku 1.3, reálý OFDM sigál se získá D/A převodem výstupu u vysílače a obrázku 1.3a. Obr. 1.3 Realizace OFDM a) vysílače, b) přijímače, [3] 13

14 Vícetóové modulace OFDM a DMT Na obrázku 1.4a je uvedea čiost sériově-paralelího převodíku, lze vidět, že perioda vstupího datového toku je výrazě prodloužea, to čií OFDM sigál odolý vůči mezisymbolovým přeslechům ISI (Itersymbol iterferece). Další zvýšeí odolosti vůči ISI příp. ICI se docílí vložeím ochraého itervalu GI (Guard iterval) ebo cyklickým prefixem CP (Cyclic prefix). U GI eí přeášea žádá iformace. CP se vytvoří tak, že posledích ěkolik vzorků sigálu se zkopíruje a začátek (obr. 1.4b). V případě GI i CP však dochází ke ztrátě eergetické účiosti a v přeosové rychlosti, [2]. Obr. 1.4 a) S/P převod vstupího bitového toku, b) Vytvořeí cyklického prefixu, [2] Potlačeí ISI a ICI je jeda z hlavích úloh, které je uto řešit. Pokud máme ideálí přeosový kaál, jsou všechy subkaály ortogoálí a edochází k iterferecím. U reálého kaálu ideálí přeosovou charakteristiku emáme, čímž ztrácíme ortogoalitu a dojde ke vziku iterferecí ISI a ICI. Obvykle potom je zapotřebí pomocí filtru v přijímači zkrátit délku vlivu impulsí odezvy reálého kaálu a hodotu meší, ež je délka CP. Na druhou strau uto pozameat, že připojeím CP k přeášeému symbolu se sižuje odstup sigálšum SNR (Sigal-to-oise ratio), jelikož CP epřeáší žádou iformaci. Pokud by byla délka impulsí odezvy reálého kaálu velmi dlouhá, došlo by ke začé ztrátě výkoosti a velkému zpožděí, protože CP se prodlužuje a délku impulsí odezvy kaálu. Přeosem po reálém kaále dochází k růzým změám amplitudy a fáze jedotlivých subosých, to lze apravit jedím komplexím ásobeím v přijímači u každé subosé, [2]. 14

15 Vícetóové modulace OFDM a DMT Vlastosti modulace OFDM Vícetóové modulace obecě jsou odolé vůči mezisymbolovým iterferecím ISI, jelikož je datový tok převede a N pomalejších paralelích složek, čímž jsme prodloužili dobu trváí jedoho symbolu. OFDM má dobrou přirozeou odolost vůči ISI a ICI, průchodem sigálu přeosovým kaálem je však sigál v daém prostředí aruše amplitudovým a fázovým zkresleím, iterferece se zde projeví, [2]. Lieárí zkresleí komuikačího kaálu korigujeme v přijímači ekvalizérem, což má za ásledek sížeí bitové chybovosti BER (Bit error rate). Metody ekvalizace jsou u velkých přeosových rychlostí realizačě velmi složité. Protože u OFDM máme datový tok rozděle do N pomalejších kaálů, které jsou avíc velmi úzké, ekvalizace se výrazě zjedoduší. Kaálové kódováí postačuje u OFDM jedodušší, jelikož jsou shluky chyb rozptýley do paralelích subkaálů, kde postihují relativě malé úseky podstatě delších symbolů, [2]. Důležité u OFDM je, že kmitočty subosých vl musí být velmi přesé, esmí docházet k jitteru (frekvečí offset). Obálka časového průběhu OFDM sigálu má charakter gaussovského šumu. Zesilovače tím pádem musí mít velký dyamický rozsah, tj. potřebujeme AD a DA převodíky mohabitové. Velmi často OFDM využívá v růzých bezdrátových aplikacích, apř. pro distribuci televizího vysíláí DVB-T, [2]. 1.2 Diskrétí vícetóová modulace (DMT) Diskrétí vícetóová modulace byla vybráa jako modulačí schéma pro DSL (přeos dat po telefoích přístupových sítí tvořeými měděými páry vodičů). Stejě jako OFDM využívá ortogoality mezi subosými vlami. Modulace DMT využívá v jedotlivých subkaálech růzou bitovou alokaci a to především z hlediska poměru SNR. U ADSL (Asymetric digital subscriber lie) používáme QAM s kostelací, kde se ejčastěji přeáší 2 až 15 bitů v subkaálu (2 2 -QAM až QAM), [4]. Použitím odlišého počtu stavů v subkaálech je saha optimalizovat přeos vzhledem k parametrům přeosového kaálu. Jestliže tedy máme u subkaálu velký SNR, může se přiřadit k příslušé subosé vlě velký počet stavů. Oproti OFDM je situace komplikovaější tím, že příchozí bity je uto rozdělit do bloků odpovídajících trváí jedoho symbolu, a potom tyto bloky rozdělit do dalších bloků dat (subbloků), které budou přiřazey k jedotlivým osým. Počet bitů v každém subbloku 15

16 Vícetóové modulace OFDM a DMT eí předem defiová a staoví se až při iicializaci spojeí, pro SNR jsou rozhodující parametry vedeí, přeosová rychlost, vysílaý výko a BER (u ADSL je zapotřebí 1-7 ), [5]. Sigál DMT a OFDM mají podobé vlastosti, proto problematiky ISI a ICI, požadavky a A/D a D/A převodíky aj. jsou u DMT stejé jako v případě OFDM Vysílač a přijímač modulace DMT Na obrázku 1.5 je zobrazeo blokové schéma DMT vysílače. Podobě jako u OFDM využívá algoritmu IFFT. Data jsou zde po sériově-paralelím převodu přivedea do kostelačího (blokového) kodéru, jeho fukce spočívá v tom, že vstupí bitovou posloupost erovoměrě rozdělí mezi osé vly. Jak je posloupost bitů rozdělea záleží především a SNR v příslušém subkaále pro příslušý vysílací výko. Po rozděleí bitů jsou a výstupu komplexí hodoty diskrétí spektra DMT sigálu, IFFT provádí N prvkovou iverzí diskrétí Fourierovu trasformaci, kde a výstupu poté dostaeme 2N reálých hodot DMT sigálu. V obrázku je vyzačeo i vytvořeí CP, apř. u ADSL systému se používá CP délky 8 pro upstream a 32 pro dowstream, [4]. Přijímač realizujeme zcela aalogickým způsobem podobě jako u OFDM. A, S/P A 1, IFFT P/S + CP A N-1, Obr. 1.5 Realizace DMT s cyklickým prefixem, [5] 16

17 Vícetóové modulace OFDM a DMT Bitová alokace u modulace DMT Kostelačí kodér rozděluje bity jedotlivým osým vlám tím způsobem, že ze vstupí poslouposti ejdříve přidělí bity k těm osým vlám, které mají přiřazey ejmeší počet bitů a osou vlu, poté rozděluje bity postupě ke zbývajícím osým vlám. Všechy osé vly musí být zakódováy s počtem bitů, které jim byly přiděley. Příklad takového rozděleí ilustruje obrázek 1.6, kde máme DMT s šesti vlami. Použije-li se avíc trellis kódováí, zlepší se SNR až o 6 db, čímž se zvýší počet bitů a osou vlu, [4]. Obr. 1.6 Rozděleí bitů k osým vlám (subkaálům), [5] U sytému DSL se vypočítá počet alokovaých bitů podle rovice (viz [4]) b i SNRi + σ code Γ σ margi Γ = 1 log2 CP, (1.6) kde σ code zameá zisk použitého kódováí (přibližě 4 db), σ margi je požadovaá rezerva (obvykle 6 db) a Г je ztráta ze SNR pro daou chybovost systému (při chybovosti BER = 1 7 je 9,8 db). Г CP představuje ztrátu použitím cyklické předpoy (,28 db při délce CP 32 vzorků a 255 osých kmitočtů). Přibližě lze říci, že pokud se zlepší SNR přibližě o 3 db, zvýší se počet alokovaých bitů o 1. 17

18 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) 2. VÍCETÓNOVÁ MODULACE S BANKOU FILTRŮ (FMT) Variatou k modulaci OFDM příp. DMT vzikla modulace využívající baky filtrů FMT (Filtered MultiToe). Její podstatý rozdíl je v tom, že kmitočtová pásma subosých vl se epřekrývají, jsou od sebe ostře ohraičea. Subpásma sytetizujeme pomocí baky filtrů. Lze ji uplatit třeba u DSL techologie. Přeosová rychlost u DSL je velmi závislá a délce vedeí účastické přípojky, v [7] bylo ukázáo, že pro delší vedeí dosahujeme s FMT vyšších přeosových rychlostí ež v případě DMT. FMT je založea a M paralelích větvích s filtry, které jsou kmitočtově posuutou verzí prototypové dolí propusti (uiformí baka filtrů). Prototypový filtr má strmé kmitočtové odděleí, potom vliv mezikaálových iterferecí ICI je zaedbatelý a osé kmitočty lze považovat za prakticky ortogoálí ezávisle a délce přeosového kaálu, to zameá, že eí potřeba použít cyklický prefix CP. Kmitočtová pásma subkaálů jsou od sebe oddělea pásmovými propustmi se strmými přechody, lze tedy říci, že osé kmitočty jsou ve frekvečí oblasti ortogoálí. V subkaálech se musí provést ekvalizace, aby se potlačili vziklé iterferece ISI. 2.1 Vysílač modulace FMT Baka filtrů, jež je základem FMT, se skládá z frekvečě posuutých verzí prototypové dolí propusti, jejíž ideálí kmitočtová charakteristika je a obrázku 2.1, ta se prakticky aproximuje FIR filtrem (filtr s koečou impulsí odezvou). Parametr T je perioda vstupích symbolů a M počet subkaálů. ( f ) 1 1 2M f T M Obr. 2.1 Ideálí kmitočtová charakteristika prototypové dolí propusti, [6] 18

19 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) FIR filtr se avrhe ějakou zámou metodou, apř. Metoda okéka, Remezův algoritmus, díky íž získáme reálé koeficiety symetrické impulsí charakteristiky, které aproximují ideálí kmitočtovou charakteristiku. Přechodová pásma filtrů musí být velmi strmá, aby byly sousedí subkaály od sebe kmitočtově striktě odděley, tím dosáheme potlačeí přeslechů mezi subkaály. U filtrů eí vyžadováa podmíka perfektí rekostrukce, protože toho lze dosáhout pouze, pokud ebude přeosovým kaálem sigál zkresle, [6]. Kmitočtově posuuté verze prototypové dolí propusti lze určit dle rovice z lit. [6] 1 j2π i M ( ) = h( ) e =,1,..., M 1 i =,1,..., M 1 hi γ, (2.1) M kde M je počet subkaálů baky filtrů a M γ délka prototypové dolí propusti. Parametr γ se azývá překryv a jeho obvyklá hodota u FMT se pohybuje mezi 8 až 2, [6]. Schéma realizace kmitočtově posuuté verze filtru lze vidět a ásledujícím obrázku 2.2. i j2π M e Obr. 2.2 Kmitočtově posuutá verze prototypu h i (), [6] Spektrum avržeé baky filtrů podle (2.1) je zobrazeo a obrázcích 2.3 a 2.4. V obrázku 2.3 máme prvích 6 subkaálů baky filtrů, která má celkem 64 subkaálů. Prototypová dolí propust byla vytvořea Parks-McClella algoritmem, jež ahrazuje klasický Remezův algoritmus (u Remezova algoritmu je výsledek obdobý). Jedotlivé subkaály se začíají překrývat až v 75 db a epropustá pásma jedotlivých filtrů jsou pod 85 db, což zameá, že ICI bude srovatelé s okolím šumem a eí potřeba se jím zabývat (epotřebujeme použít CP). Obrázek 2.4 zobrazuje taktéž prvích 6 subkaálů baky filtrů se stejými parametry jako u obr. 2.3, prototypová dolí propust byla vytvořea metodou ejmeších čtverců. Můžeme si všimout, že je zde větší potlačeí složek v epropustých pásmech filtrů a to až 15 db a kmitočtech osých vl. 19

20 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Frekvečí charakteristika baky filtrů, Parks-McClella 2 Modul (db) ft/m ( ) Obr. 2.3 Prvích 6 frekvečích charakteristik subkaálů vytvořeé Parks-McClella algoritmem pro M = 64, γ = 12 Frekvečí charakteristika baky filtrů, metoda ejm. čtverců 2 Modul (db) ft/m ( ) Obr. 2.4 Prvích 6 frekvečích charakteristik subkaálů vytvořeé metodou ejmeších čtverců pro M = 64, γ = 12 2

21 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Jiou možostí je avrhout prototyp dolí propusti resp. baku filtrů ěkterou z okékových metod. Na obrázku 2.5 jsou uvedey 4 příklady baky filtrů s použitím ěkterých typů okéek. Celkově si lze všimout, že tyto metody edosahují tak velkého potlačeí složek v epropustých pásmech jako předcházející metody a obr. 2.3 a 2.4. Jejich výpočet je ale výrazě jedodušší. U ammigova oka (obr. 2.5a) klesají postraí laloky pomaleji ež u jiých okéek, avšak apř. u Blackmaova oka (obr. 2.5c) je strmost přechodového pásma meší. Okékových metod máme více a může záležet a použitém sigálu (kostelaci) ebo jiých faktorech, zda daé okéko bude vyhovovat. Frekvečí charakteristiky baky filtrů avržeé metodou okéka a) b) Modul (db) Modul (db) ft/m ( ) ft/m ( ) c) d) Modul (db) Modul (db) ft/m ( ) ft/m ( ) Obr. 2.5 Prvích 6 frekvečích charakteristik subkaálů vytvořeé metodou okéka pro M = 64, γ = 12, ω ( 2M ) m = 1. Použito oko a) ammigovo, b) aovo, c) Blackmaovo, d) Kaiserovo ( β = 5, 5 ) 21

22 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Přímá implemetace FMT baky filtrů je a obrázku 2.6. Modulačí (ejčastěji QAM) symboly, jež reprezetují m-tou část vstupího slova, se ejdříve advzorkují v poměru M, tím se ám změí perioda sigálu z T a T/M. Potom se každý symbol filtruje v příslušém subkaálovém filtru, který odpovídá obr Nadvzorkovaé a filtrovaé symboly jsou akoec sečtey, kmitočet výstupího sigálu je M/T. Nuto pozameat, že se filtruje dle vzorkovací periody M/T, což eí výhodé, [6]. Obr. 2.6 Přímá realizace FMT vysílače, [6] Efektivě lze realizovat vysílač s pomocí iverzí diskrétí Fourierovy trasformace (IDFT). Nejdříve rozděleím impulsí charakteristiky prototypové dolí propusti do M fází se určí polyfázové kompoety (viz [6]) h m ( k) = h( km + m). (2.2) Odvodí-li se sigál a výstupu vysílače z obrázku 2.6, získáme rovici (lit. [6]) i= k = 2πi( km ) j M M 1 1 x( ) = Ai ( k) h( km )e, (2.3) M Rovice (2.3) se ásledě přepíše a tvar 22

23 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) M 1 1 x( ) h( km ) Ai ( k)e M k = i= 2πi j M =. (2.4) Změí-li se v rovici (2.4) symbolika = lm + m, můžeme získat rovice a výstupu m jedotlivých větví. Nahradí se tedy x( lm + m) = x ( l) a h( lm + m) = h ( l), kde hodota m =,1,,M 1, [6]. Touto modifikací se získá rovice (lit. [6]) m x m M 1 m 1 l) = h ( l k) Ai ( k)e k = M i= 2πi j M (, (2.5) v íž výraz ve složeých závorkách je v podstatě IDFT a může se rovice zjedodušit a tvar x m k = m ( l) h ( l k) a ( k) =, (2.6) m kde a m (k) je výsledkem IDFT{ ( k) } A i. IDFT se prakticky realizuje algoritmem IFFT. Efektivě se realizuje FMT vysílač dle obrázku 2.7. Výhodou je, že filtrováí provádíme se vzorkovacím kmitočtem 1/T a e M/T, jak tomu bylo u přímé realizace. Výsledý sigál má stejě jako u přímé realizace kmitočet M/T, [6]. Obr. 2.7 Efektiví realizace FMT vysílače, [6] 23

24 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Pro srováí obou metod realizace lze určit složitost obou zapojeí podle počtu komplexích ásobeí za dobu jedoho výstupího vzorku. Výpočetí áročost se získá pomocí rovic z literatury [6]: přímá M (( γ / 2) + 1), efektiví log 2 M + γ / 2. V tabulce 2.1 je vypočteo pro srováí ěkolik hodot počtu komplexích ásobeí v závislosti a počtu subkaálů a a překryvu. Vidíme, že složitost u efektiví implemetaci se zvyšuje s počtem subkaálůči velikostí překryvu je miimálě oproti přímé realizaci. Přímá realizace Efektiví realizace M = 64 M = 256 γ = γ = γ = γ = Tab. 2.1 Počet komplexích ásobeí u přímé a efektiví realizace, [6] 2.2 Přijímač modulace FMT Přijímací baka filtrů (obr. 2.8) je dáa komplexí kojugací (komplexě sdružeá čísla) vysílací baky filtrů. Po filtraci jsou sigály podvzorkováy a původí kmitočet 1/T. Na výstupu se získají odhady modulačích symbolů, které vstupovaly do vysílače. Provede-li se iverzí Fourierova trasformace komplexě sdružeých kmitočtových charakteristik filtrů, lze zjistit, že komplexí kojugace se ám v časové oblasti projeví obráceím časové osy, [6]. Matematicky bude tvrzeí vypadat G ( f ) = ( f ) g ( ) = h ( ). (2.7) i i i i Impulsí charakteristiky přijímací baky filtrů se zapíší (lit. [6]) i 1 j2π ( ) M gi( ) = h( ) e = Mγ + 1,..., i =,1,..., M 1 (2.8) M 24

25 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Nastává ovšem problém, že takovéto filtry jsou ekauzálí. Aby byly filtry kauzálí, muselo by se zavést miimálí zpožděí M γ 1. Vhodější ovšem bude zavést zpožděí M γ, to později umoží efektiví realizaci, [6]. Obr. 2.8 Přímá realizace FMT přijímače, [6] Po zavedeí zpožděí bude impulsí charakteristika vypadat ásledově i 1 j2π M gi ( ) = h( Mγ )e = 1,2,..., Mγ i =,1,..., M 1. (2.9) M A jelikož impulsí charakteristiky h i () jsou symetrické, může se vzorec (2.9) upravit a tvar i 1 j2π M gi ( ) = h( 1) e = 1,2,..., Mγ i =,1,..., M 1. (2.1) M Symboly a výstupu přijímače se vypočítají dle rovice z [6] 1 B ( k) y( km ) h( 1) e i Mγ Mγ = y( km ) gi( ) = = 1 M = 1 j2π i M. (2.11) 25

26 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Následě se může rovice (2.11) upravit změou symboliky (viz [6]), zavede-li se = lm + t, l =,1,..., γ 1, t = 1,2,..., M a v expoetu a koci rovice se změí p + 1 = ( M p 1), dostaeme vzorec (lit. [6]) B ( k) = i 1 M M 1 p= γ 1 l = y(( k l) M p 1) h( lm + p) e - j2π i M ( M p 1), (2.12) čímž se získal výpočet výstupích symbolů za pomoci diskrétí Fourierovy trasformace (DFT). Toho se využije při efektiví realizaci přijímače, kde bude DFT realizováo pomocí algoritmu FFT. Z rovice (2.12) lze zjistit, že pro k = 1 potřebujeme vstup [y() y(1) y(m-l)]. To zameá, že filtry (polyfázové kompoety prototypové dolí propusti) v přijímači budou v obráceém pořadí, ež jak tomu bylo u vysílače. Výsledé zapojeí efektiví realizace přijímače je a ásledujícím obrázku 2.9. Nuto pozameat, že přijímač dle rovice (2.12) ebude mít prví výstupí vzorek při k = ýbrž při k = 1. Obr. 2.9 Efektiví realizace FMT přijímače, [6] 26

27 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) 2.3 Využití modulace FMT u techologie DSL VDSL (Very-high-speed Digital Subscriber Lie) je techologie přeosu dat v přístupových sítích, využívající stávajících metalických vedeí. Využívá vícetóové modulace DMT a současě představuje další krok v techologii DSL. Například u ovější VDSL2 je dosažitelá přeosová rychlost až 1 Mbit/s, ovšem při délce vedeí do 3 m. Délka vedeí je pro přeosovou rychlost DSL rozhodující. U DMT, jak již bylo uvedeo v kapitole 1.2, dochází k iterferecím ISI a ICI. U DSL techologií je dalším výzamým problémem echo, NEXT (Near-ed crosstalk) a FEXT (Far-ed crosstalk), eboli přeslech a blízkém a vzdáleém koci vedeí. Tyto problémy se projeví sížeím přeosové kapacity sytému. Pokud by se využila modulace FMT, kde jsou kaály kmitočtově odděley, výzamě se omezí vliv iterferecí, echa a self-next (NEXT přeslech způsobeý impedačími eliearitami a vlastí lice). Nemusí se použít cyklický prefix, který je u DSL dá délkou impulsí odezvy metalického vedeí a může se pohybovat v desítkách vzorků. Další výhoda je, že eí zapotřebí sychroizace přeosu a obou kocích liky, a chyby sychroizace bývá DMT citlivé, [7]. Protože je požadová přeos v obou směrech, využijeme duplexího schématu FDD (Frequecy Divisio Duplex), metoda FDD se jedoduše vytvoří rozděleím subosých a dopředý a zpětý přeos. VDSL má jak symetrický tak asymetrický přeos dat podle toho, jaká přeosová rychlost se v daém směru využívá. Techika, která dovoluje změu přeosové kapacity pro dowstream resp. upstream, se azývá Zipper. Duplexí techika Zipper umožňuje dostupost libovolé osé dowstreamu resp. upstreamu. Při aplikaci FMT je Zipper výhodý, protože filtrací v přijímači a vysílači se elimiuje echo a NEXT, [4]. Obrázek 2.1 zázorňuje model přeosového kaálu, je zde použita efektiví realizace FMT modulace, přeosovou cestu reprezetuje zkreslující systém s impulsí charakteristikou c() a aditiví šum v(). Jestliže se požaduje a výstupu vysílače reálý sigál, musí vstupující modulačí symboly A (k) až A M-1 (k) splňovat podmíku ermitovské symetrie, toho se dosáhe tak, že a A 1 (k) až A M/2-1 (k) jsou přicházející QAM symboly a další symboly AM i( k) = Ai ( k), kde i = 1,2,,M/2 1, A ( k) = AM / 2 ( k) =. To zameá, že pokud budou [ ] je M kaálová baku filtrů, bude M/2 1 posloupostí symbolů, které esou užitečou iformaci, aby se získalo M posloupostí reálých hodot po provedeí iverzí diskrétí Fourierovy trasformace. 27

28 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) Obr. 2.1 Model přeosového kaálu s FMT modulací Na ásledujícím obrázku 2.11 je vidět ukázka spektra FMT sigálu a výstupu vysílače (sigál x() a obr. 2.1), je zde použita baka filtrů s parametry M = 64, γ = 12, prototypová dolí propust je avrhuta metodou Parks-McClella. V grafu je zobrazea prví polovia symetrického spektra sigálu, protože byl využit vstupí vektor splňující ermitovskou symetrii,. a 32. subkaál je evyužitý, kaály 33 až 64 (druhá polovia symetrického spektra) ejsou zobrazey. V grafu a obr je prvích 5 subkaálů, vidíme, jak jsou jedotlivé subkaály kmitočtově odděley. Spektrum FMT sigálu a výstupu vysílače Modul (db) ft/m Obr Spektrum FMT sigálu 28

29 Vícetóová modulace s bakou filtrů (FMT) 2 Spektrum FMT sigálu a výstupu vysílače - detail 4 6 Modul (db) ft/m Obr Spektrum FMT sigálu, prvích 5 subkaálů 29

30 Metody ekvalizace přeosového kaálu 3. METODY EKVALIZACE PŘENOSOVÉO KANÁLU Kaálovým ekvalizérem je saha miimalizovat zkresleí sigálu přeosovým kaálem. Kaálové zkresleí určuje, jak velká šířka pásma se může využít a jakou kapacitu kaál bude mít. Útlum a fázové zpožděí sigálu se s kmitočtem měí, a proto je výhodé rozdělit kmitočtové pásmo do moha malých subkaálů, kde lze mohem lépe korigovat zkresleí, ekvalizace u systémů s MCM je tedy mohem jedodušší ež u systémů využívající je jedu osou. Efektivitu kaálového ekvalizéru charakterizuje odstup sigál-šum (SNR) a jeho výstupu a počet iterací, tj. doba a složitost výpočtu, pro dosažeí optimálího odhadu impulsí charakteristiky filtru v ekvalizéru. U FMT modulace je zkresleí způsobeo avíc dvojásobou filtrací ve vysílači a přijímači, bude-li přeosový kaál ideálí, stejě se musí provést ekvalizace. V podstatě by ekvalizér měl být systém s iverzí kmitočtovou charakteristikou, prakticky se realizuje jako adaptiví filtr, [2, 9]. Ekvalizace se provádí v časové oblasti (TEQ Time domai equalizer) ebo v kmitočtové oblasti (FEQ Frequecy domai equalizer). Úlohou TEQ je zkrátit délku impulsí odezvy kaálu a délku kratší ebo shodou s cyklickou předpoou. lavími typy jsou lieárí ekvalizér (LE) a ekvalizér DFE (Decisio feedback chael equalizer), speciálím typem DFE je Tomlisoův prekodér. Kapitola je zaměřea a pricip ekvalizérů a základě miimalizace středích kvadratických odchylek mezi origiálím sigálem a jeho odhadem a výstupu, tj. metody MMSE (Miimum mea square error). Jiou metodou je apř. Zero Forcig, te spočívá v dekorelaci v přijímači pomocí iverzí impulsí charakteristiky k přeosovému kaálu. Metod kostrukce a ávrhu DFE lze v literatuře (apř. [8]) ajít ěkolik, mohou se lišit též podle druhu použité modulace, [4, 9]. Dále lze ekvalizéry rozlišit a Symbol spaced (SS) a Fractioaly spaced (FS). Rozdíl je v tom, že u SS ekvalizérů je vytvoře výstupí vzorek (symbol) a jsou astavováy váhy každou vzorkovací periodu, to zameá, že vzorkovací resp. symbolová perioda vstupího a výstupího sigálu je stejá. FS ekvalizéry pracují obdobě, jediý rozdíl je v tom, že výstupí vzorek je produková až po příchodu ěkolika vstupích vzorků, [1]. Kapitola se zaměřuje pouze a SS ekvalizéry. 3

31 Metody ekvalizace přeosového kaálu 3.1 Lieárí ekvalizér Lieárí ekvalizér (LE) odpovídá adaptivímu FIR (Fiite impulse respose) filtru, tj. modely typu MA (Movig Average). Filtry IIR (Ifiite impulse respose) se většiou epoužívají, jedak ejsou vhodé pro AR (Autoregressive) kaály a potom po každém výpočtu koeficietů filtru by se musela řešit jeho stabilita, tím by se výrazě zvýšila výpočetí složitost. Dále pak mají FIR filtry (tj. typu MA) dobré vlastosti z pohledu složitosti adaptačích algoritmů, [11]. Výstup ekvalizéru závisí pouze a přijatém sigálu. To zameá, že výstup je lieárí kombiací vstupích vzorků, což je podstatý rozdíl oproti DFE, [5] Struktura lieárího ekvalizéru Blokové schéma struktury LE je a obrázku 3.1. Váhy (koeficiety filtru) se astavují dle vstupích hodot a vypočteé chyby pomocí ěkterého ze zámých algoritmů, apř. LMS, RLS aj. Rozhodovací obvod zajišťuje zaokrouhleí a ejbližší hodotu použitého kostelačího schématu. Chyba se počítá z origiálího a zkresleého sigálu. To lze buď podle zalosti použité kostelace ebo pomocí tréikové sekvece (záleží a použitém algoritmu), která je spuštěa a začátku resp. před vlastím přeosem dat. Aplikuje-li se LE u vícetóových modulací, do každé výstupí větve přijímače se vloží vlastí ekvalizér. Obr. 3.1 Struktura lieárího ekvalizéru, [1] 31

32 Metody ekvalizace přeosového kaálu Odvozeí lieárího ekvalizéru Následujícím odvozeím je defiová výpočet optimálích hodot koeficietů LE z hlediska miimalizace středích kvadratických odchylek mezi origiálím sigálem a výstupem ekvalizéru (MMSE). Na obrázku 3.2 je azače komuikačí řetězec s jedotlivými sigály, které jsou při odvozeí použity. V případě modulace FMT je impulsí charakteristika přeosového kaálu dáa kovolucí impulsí charakteristiky filtru ve vysílači, přijímači a impulsí charakteristiky přeosové cesty. Z hlediska dosažeí miimálí chyby a tím pádem i optimálího odhadu koeficietů filtru ekvalizéru je zapotřebí zahrout zpožděí mezi výstupem a vstupím origiálím sigálem, v obrázku 3.2 je zázorěo blokem, za filtrem ekvalizéru je umístě rozhodovací obvod. e() x() y() z() xˆ ( ) v() Obr. 3.2 Schéma pro odvozeí lieárího ekvalizér, [19] Jestliže = [ w( ) w( 1) K w( L 1) ] T w bude impulsí charakteristika filtru resp. ekvalizéru, kde L je řád filtru a ( K ) T začí traspozici vektoru, potom výstup filtru je dá diskrétí kovolucí [11, 12] z L 1 [ ] ( ) = w ( i) y( i) = w ( ) w ( 1) w ( L 1) i= y( ) ( 1) y K = w y, (3.1) M y( L + 1) 32

33 Metody ekvalizace přeosového kaálu kde = [ y( ) y( 1 ) K y( L+1) ] T y je vektor posledích L hodot vstupího (měřeého) sigálu. Protože se uvažuje komplexí sigál i koeficiety, ve vzorci (3.1) vyjadřuje ( K komplexí kojugaci a ( K ) ermitovskou eboli komplexí traspozici. V případě reálých sigálů stačí pouze klasická traspozice, čehož si lze všimout v ěkterých publikací, apř. [11]. Dále pro určeí optimálího odhadu koeficietů se defiuje chybový sigál, který je základem koceptu MMSE filtrace. Chybový sigál dle obr. 3.2 vyjadřuje rovice ) e ( ) x( ) z( ) = x( ) w y =. (3.2) Kritérium optimality z hlediska MMSE je pro diskrétí sigál defiováo jako (lit. [11]) 2 { e( ) } = E x( ) 2 { w y } mi m = E,, (3.3) LE kde je vidět, že jediá veličia, kterou můžeme měit, aby se dosáhlo miima fukce, je vektor koeficietů filtru. Rovici (3.3) lze ásledě rozepsat a odvodit fukci, u které se bude hledat miimum (viz [12]) m LE = E 2 { e( ) } = E e( ) e ( ) { } = E{ ( x( ) w y )( x ( ) y w) }= { x( ) x ( ) } E{ x( ) y w} E{ x ( ) w y } E{ w y y w} = E + (3.4) Koeficiety filtru ezávisí a parametru, tj. předpokládá se eměost v čase, proto se mohou vyjmout z výpočtu středích hodot. Úpravou (3.4) se získá vztah (viz [12]) m LE = E 2 { x( ) } E x( ) { y } w w E{ x ( ) y } + w E{ y y } w = = δ r w w r w R w, (3.5) x xy yx + { } 2 kde = E x( ) yy δ x se azývá rozptyl origiálího sigálu, xy r a r yx jsou vektory vzájemých korelací mezi origiálím a zkresleým sigálem závislé a parametru zpožděí. R yy je autokorelačí matice zkresleého sigálu, zahrující vliv přeosové fukce kaálu a šumu. Pro vektory vzájemých korelací lze odvodit ásledující vzájemý vztah 33

34 Metody ekvalizace přeosového kaálu xy { x( ) y } = E y x ( ) ( { }) r r = E =. (3.6) yx Autokorelačí matice je ermitovsky symetrická, tj. R yy = R yy. Miimum fukce se ajde, pokud všechy parciálí derivace rovice (3.5) se položí rovo ule. Požaduje se tedy, aby gradiet fukce byl rove ule, tj. m LE =. Odvodíme-li gradiet rovice (3.5), dle [12] dostaeme m LE w = 2r yx + 2 R yy w =, (3.7) ze které se určí optimálí hodoty koeficietů lieárího ekvalizéru (lit. [12]) 1 w = R yy r. (3.8) yx Dosadí-li se rovice (3.8) do (3.5) získáme hledaou miimalizaci (lit. [12]) m LE = δ x r xy R 1 yy ryx ( R r ) r + ( R r ) R R r = yy yx yx yy yx yy yy yx x xy 1 yy = δ r R r. (3.9) yx Ke stejému výsledu se dostae, pokud by se využilo Pricipu ortogoality (lit. [11, 12]), který spočívá v tom, že chyba odhadu musí být ekorelovaá (statisticky ortogoálí) se sigálem a vstupu filtru, potom dosáheme miima (3.3). Matematicky se pricip vyjádří dle [12] rovicí { y e ( ) } =, E, (3.1) jejíž levá straa vyjadřuje zmíěou korelaci a ze které se odvodí (lit. [11, 12]) E { y ( x( ) w y ) } = E x ( ) { y } E{ y y } w = r R w = yx yy, (3.11) jež odpovídá rovici (3.8), která byla určea pomocí gradietu fukce m LE. 34

35 Metody ekvalizace přeosového kaálu matice Nuto pozameat, že koeficiety ekvalizéru se vypočítají pouze, pokud autokorelačí R yy bude regulárí, to astae pokud determiat matice bude růzý od uly, jiak elze ajít řešeí. Dalším předpokladem pro alezeí řešeí je stacioarita problému (sigálu i šumu), v opačém případě ebudou koeficiety resp. filtr časově ivariatí. Řešeí eí vázáo a kokrétí model zkresleí, ai a ezávislost sigálu a šumu, [11]. 3.2 Ekvalizér DFE Decisio Feedback Chael Equalizer (DFE) se odlišuje od LE tím, že ve výpočtu je zahrut eje současý ale i předcházející dekódovaý vzorek ebo vzorky. Teoreticky tedy lze dosáhout lepšího výsledku ež u LE. Zalost předcházejícího dekódovaých vzorků se využije k miimalizaci zbývajících ISI, DFE jsou proto vhodé pro systémy s velkými ISI, resp. velkým amplitudovým zkresleím. Dopředý filtr DFE je lieárí ekvalizér potlačující ISI, zpětovazebí filtr dále miimalizuje ISI bez přídavého šumu, [5]. Obecá struktura s jedotlivými filtry je a obrázku 3.3. DFE má jedu evýhodou, pokud dojde k chybému dekódováí symbolu, potom jsou také ásledující vzorky zatížey chybou, tz. že chyby se vyskytují ve shlucích, [5]. Obr. 3.3 Blokové schéma DFE ekvalizéru, [5] Struktura DFE ekvalizéru Vitří strukturu lze vidět a obrázku 3.4, struktura se od LE liší v tom, že se přidá zpětovazebí filtr. Pro výpočet vah se mohou použít stejé algoritmy jako v případě LE, tj. LMS, RLS aj. (viz kapitola 4). Jsou součástí MMSE metod. 35

36 Metody ekvalizace přeosového kaálu Obr. 3.4 Struktura DFE ekvalizéru, [1] Odvozeí DFE ekvalizéru Podobě jako v kapitole lze odvodit výpočet optimálího odhadu koeficietů ekvalizéru DFE a základě MMSE. Stejě jako v případě LE se uvažuje dopředý a zpětovazebí filtr jako systémy FIR. Na obrázku 3.5 je akresleo zapojeí se sigály, které jsou použity při odvozeí. Nejdříve se defiuje = [ w( ) w( 1) K w( L 1) ] T w jako impulsí charakteristika dopředího filtru a = [ b( ) b( 1) K b( K 1) ] T b impulsí charakteristikou zpětovazebího filtru, kde L a K jsou řády jedotlivých filtrů. Výstup před rozhodovacím obvodem je poté dá rovicí a uvedeým omezeím (lit. [2]) z b ( ) r( ) + s( ) = w ( i) y( i) + xˆ ( ) b ( j) xˆ ( j) ( ) = 1 L 1 K 1 = i = j =, (3.12) 36

37 Metody ekvalizace přeosového kaálu e() x() y() r() z() xˆ ( ) v() s() Obr. 3.5 Schéma pro odvozeí koeficietů DFE, [2] který se může upravit dle [2] a tvar z b ( ) w y + x( ) ( ) = 1 ˆ b ˆ = x, (3.13) kde se vyskytují vektory hodot měřeého sigálu y = [ y( ) y( 1 ) y( L +1) ] T K a odhadu origiálího sigálu x ˆ = [ xˆ ( ) xˆ ( 1) K xˆ ( K + 1) ] T. Následě je zapotřebí defiovat chybu eboli odchylku od skutečé hodoty a kritérium optimality z pohledu MMSE. Rovice chyby vyzačeé v obr. 3.5 v kombiaci s (3.13) a s uvažováím omezeí vychází (lit [2]) e b ( ) x( ) z( ) = x( ) w y xˆ ( ) ( ) = 1 = + b x ˆ. (3.14) Bude-li se dále předpokládat, že se dosáhlo správého odhadu, tj. x( ) = xˆ ( ) resp. x = xˆ, může se dle [2] zjedodušit vztah (3.14) a e b ( ) b ( ) = 1 = x w y. (3.15) Kritérium optimality LE, jež již bylo defiováo v (3.3), bude u DFE 37

38 Metody ekvalizace přeosového kaálu m DFE 2 2 { e( ) } = E{ b x w y } mi = E,. (3.16) Kritérium optimality se použije pro odvozeí fukce, kde lze hledat miimalizaci (lit. [13]): m DFE = E 2 { e( ) } = E e( ) e ( ) { }= { } = E ( b x w y )( b x w y ) ( b x w y )( x b y w) E{ }= = = b R b b R w w R b + w R w, (3.17) xx xy yx yy kde R je autokorelačí matice vstupího sigálu, R a R jsou korelačí matice mezi xx xy yx vstupím a výstupím sigálem přeosového kaálu závislé a parametru zpožděí. R yy je autokorelačí matice výstupího sigálu, jež zahruje vliv přeosové fukce kaálu h ch a aditivího šumu v(). Mezi korelačími maticemi lze určit vztah R { x y } = ( E{ y x }) = E R. (3.18) xy = yx Nalezeí miima fukce m DFE se může buď vypočítáím gradietu, tj. m DFE =, ebo využitím Pricipu ortogoality, který byl defiová v (3.1). Gradiet rovice (3.17) vychází (lit. [2]) m w LE = 2 R b + 2 R yx yy w =, (3.19) z čehož se odvodí vztah pro výpočet koeficietů dopředého filtru (lit. [13, 2]) -1 w = R R b. (3.2) yy yx Dosazeím (3.2) do (3.17) se určí potřebá miimalizace (lit. [13, 2]) m DFE -1-1 = b R b b R w b R R R b + b R R R w = xx xy xy yy yx xy yy yy = b R xx b b R xy R -1 yy R yx b = b -1 ( R R R R ) b = b R b xx xy yy yx X Y, (3.21) 38

39 Metody ekvalizace přeosového kaálu kde R X Y = R R R R. Aby se vyhulo triviálímu řešeí rovice (3.21), musíme xx xy -1 yy yx se provést omezeí. Použije se omezeí zavedeé v (3.12), tj. b() = 1. Rovice (3.21) s omezeím se potom přepíše a (lit. [2]) T ( f 1) m λ, (3.22) DFE = b R X Yb + LM b kde λ LM je Lagrageův multiplikátor a f je vektor ul o délce K s jedičkou a ulté pozici, f [ ] T = 1 K 1. Rovice (3.22) pak odpovídá Lagrageově fukci (viz [18]), kde hledaá miimalizace je fukcí koeficietů zpětovazebího filtru a Lagrageova operátoru. Řešeí takovéto fukce (tj. miimum fukce) alezeme, když parciálí derivace budou rovy ule: m DFE b m λ DFE LM = = λ LM -1 2R X Yb + LMf = b = R X Yf T T 1 T + f b 1 = f b = 1 b = f λ 2, (3.23). (3.24) Z (3.23) a (3.24) se určí Lagrageův multiplikátor 2 2 λ LM = 1 b =, (3.25) R f f R f -1 X Y T -1 X Y kterým se po dosazeí do rovice (3.23) získá výpočet koeficietů zpětovazebího filtru, v podstatě se provedla lieárí kombiace rovic (3.23) a (3.24), vektor koeficietů je (viz [13, 2]) b 1 2 R f -1 = R X Yf 2 f R f =. (3.26) f T -1 X Y -1 X Y T -1 R X Yf Za předpokladu (3.23) a (3.24) bude dosažeo miimum Lagrageovy fukce. Dosazeím (3.24) a (3.26) do (3.22) se ajde hledaá miimalizace (lit. [13, 2]) 39

40 Metody ekvalizace přeosového kaálu T ( f b) -1 R X Yf b R X Y + LM ( 1 1) = = T -1 T -1 f R X Yf f R X Yf 1 m DFE = λ. (3.27) f R f T -1 X Y Výpočet DFE a základě lieárího ekvalizéru Možým přístupem k řešeí DFE je obecě přímo převést problém DFE a problematiku LE. To později umoží ávrh adaptivích algoritmů výpočtu v kapitole 4. Chybový sigál a obrázku 3.5 bude dá rovicí e ( ) x( ) z( ) = x( ) w dfeu =, (3.28) kde w dfe je vektor koeficietů a u vektor vstupího sigálu DFE. Vektory jsou dle [22] defiováy: w y w dfe =, u = b, (3.29) xˆ 1 kde w a b jsou vektory koeficiety filtrů, y je vektor posledích L vzorků a x 1 je předchozí vektor posledích K vzorků a výstupu DFE, tj. x ˆ = [ xˆ ( 1) xˆ ( 2) K x( K) ] T ˆ ˆ 1 blokem rozhodováí. Využije-li se Pricipu ortogoality, odvodíme vzorec pro výpočet koeficietů (viz [22]), za { e ( ) } = x( ) E u E u r ux R uu w dfe = { ( ) } w u dfe =, w dfe = R r, (3.3) 1 uu ux čímž se získal ekvivalet vzorce (3.8) pro DFE ekvalizér. 4

41 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů 4. ADAPTIVNÍ VÝPOČET KOEFICIENTŮ EKVALIZÉRU V předcházející kapitole 3 byl uvede kocept ekvalizace resp. adaptiví filtrace a základě miimalizace středích kvadratických odchylek (MMSE), jejíž sahou je miimalizovat chybu mezi origiálím sigálem a výstupem ekvalizéru. Byly odvozey rovice popisující optimálí odhad koeficietů pro lieárí ekvalizér (LE), viz (3.8), a ekvalizér DFE, viz rovice (3.2) a (3.26). Následý problém spočívá ve velké výpočetí áročosti vztahů, apříklad je zapotřebí v každém taktu, tj. vždy po příchodu vzorku, počítat iverzí matici a také uchovávat pro výpočet všechy předcházející vzorky, což by kladlo velké ároky a paměť (adaptiví verze MMSE filtru). Výhodější výpočet koeficietů poskytují algoritmy, které výpočetě efektivě aproximují hodoty optimálích koeficietů. Také tyto algoritmy obvykle vyžadují dodatečé iformace v podobě tzv. tréovacího sigálu, který se přivádí do ekvalizéru společě s pozorovaým (měřeým) sigálem. Tréovací sigál poté úzce souvisí s požadovaým výstupem ekvalizéru, v ejjedodušším případě jde přímo o požadovaý výstup, [11]. Tato kapitola popisuje algoritmy adaptivího resp. iteračího výpočtu vycházející z koceptu MMSE, které lze považovat za rozšířeé. Jsou to algoritmy RLS (Recursive Least Squares) ekvalizér s rekurziví optimálí adaptací, LMS (Least Mea Squares) ekvalizér se stochasticky gradietí adaptací, CMA (Costat Modulus Algorithm) tzv. slepá ekvalizace, evužívá tréovacího sigálu ale předem zámé iformace o přeášeém sigálu (zámé kostelace). 4.1 Rekurziví optimálí adaptace (RLS) Rekurziví optimálí adaptace eboli algoritmus RLS je rekurziví variatou výpočtu optimálích koeficietů odvozeých dle MMSE v kapitole 3, jež dosahuje sížeí výpočetích ároků. Následě je defiová algoritmus pro případ LE a poté pricip rozšíře pro ekvalizér DFE. Mějme chybu odhadu e() defiovaou dle (3.2). Chybová fukce, která se bude miimalizovat, je potom defiováa dle [12, 14] jako i ( ) = λ e( ) i= 1 2 ε, (4.1) 41

42 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů kde λ se ozačuje jako koeficiet zapomíáí (forgettig factor) a může abývat hodot: < λ 1. Prakticky se hodota pohybuje blízko 1, pokud bude λ = 1, bude (4.1) odpovídat klasickému koceptu MMSE s rostoucí pamětí, jelikož odhad se provádí bez zapomíáí. V podstatě se jedá o expoeciálí váhováí. Provede-li se miimalizace této fukce, získá se rovice optimálího odhadu koeficietů (viz [12], [14]) yy ( ) w( ) r ( ) R, (4.2) = yx kde autokorelačí matice a vektor vzájemých korelací jsou dle [12] vyjádřey 1 R = + r i 1 i ( ) λ y y = λ λ y y + λ y y = λ R ( ) y y yy i i i i yy 1 i= 1 i= 1 yx 1 i 1 i ( ) = λ x ( i ) y = λ λ x ( i ) y + λ x ( ) y = i= 1 i i= 1 ( ) + x ( ) y i, (4.3) = λ ryx 1. (4.4) Lze říci, že rovice (4.3) a (4.4) představují určitou verzi časového průměrováí. Dále lze pozameat, že vstupí data resp. hodoty jedotlivých sigálů před časem i = 1 jsou považovaé za ulové, vychází se tedy pouze z posledích souborů hodot. Váhováa je vždy předcházející autokorelačí matice ebo vektor vzájemých korelací k ěmuž je přičtea korekce pro aktuálí hodoty matice či vektoru. Aby se mohly vypočítat koeficiety w(), je potřeba určit iverzí aukorelačí matici. K výpočtu iverzí matice se využije matematického tvrzeí, jež je v literatuře zámé jako Woodburyho idetita (Woodbury s idetity), jehož pricip je (viz [12]): Nechť A, B jsou pozitivě defiití matice s rozměrem M M, jež přísluší rovici A 1 1 = B + CD C, (4.5) kde D je další pozitivě defiití matice s rozměrem N M a C je matice M N. Podle tvrzeí pak iverzí matici k A lze vyjádřit A 1 ( + C BC) C B = B BC D. (4.6) 1 42

43 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů Tvrzeí se může ásledě aplikovat a rekurziví rovici (4.3), v rovici (4.5) budou 1 jedotlivé proměé odpovídat veličiám: A = ( ), = λ R ( 1) R yy B, C = y, D = 1. Pomocí této substituce veliči se rozepíše vzorec (4.6) podle [12] pro iverzí aukorelačí matici yy R -1 yy ( ) = λ R ( 1) λ R ( 1) y 1+ y λ R ( 1) yy yy ( y ) y λ R ( 1) = yy -1 ( 1) y y R yy ( 1) -1 - λ y R yy ( 1) y -2-1 λ R -1-1 yy = λ R yy ( 1). (4.7) 1 1+ yy Podle literatury [12] resp. [14] se zavede ová kovece začeí, pro iverzí autokorelačí matici P() a pro vektor zisku k() se bude používat -1 ( ) ( ) P =, (4.8) k ( ) R yy ( 1) y P( 1) y -1 λ P =, (4.9) λ y které v kombiaci s (4.7) dají rovici (viz [12]) -1-1 ( ) = λ P ( 1) λ k ( ) y ( 1) P, (4.1) P jež se v literatuře azývá Riccatiho rovice (Riccati equatio). Úpravou rovice (4.9) s využitím (4.1) se získá (viz [12]) -1-1 ( ) = λ P( 1) y λ k( ) y P( ) y = [ λ P( 1) λ k( ) y P( 1) ] y = P( ) y = R yy ( ) y k 1 =. (4.11) Nyí s použitím defiovaých rovic se může odvodit odhad koeficietů. Optimálí odhad koeficietů dle rekurziví rovice (4.2) se rozepíše pomocí (4.4) a (4.8) a (viz [12]) w -1 ( ) = R ( ) ryx ( ) = P( ) ryx ( ) = λ P( ) ryx ( ) + P( ) x ( ) y 1 yy, (4.12) 43

44 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů kde za P() v prvím čleu a pravé straě (4.12) se dosadí rovice (4.1) a odvodíme s pomocí (4.11) vztah (viz [12]) [ ] r ( ) + P( ) x ( ) y = -1-1 ( ) = λλ P( ) λ k( ) y P( 1) w 1 1 yx 1 ( 1) k( ) y R ( 1) r ( ) + P( ) x ( ) y = 1 = R 1) r 1 yy ( yx yy yx ( 1) k( ) y w( ) + k( ) x ( ) = = w 1 [ y ] ( 1) + k( ) x( ) w ( ) = w 1, (4.13) kde výraz v hraatých závorkách je aktuálí chyba způsobeá předchozím odhadem koeficietů, obecě se ejedá o chybu defiovaou v (3.2). Jestliže se chyba dle [12] zapíše ( ) = x( ) w ( 1) y ξ, (4.14) potom rekurziví rovice pro odhad koeficietů je (viz [12]) ( ) = w( 1) + k( ) ξ ( ) w. (4.15) Výsledý algoritmus pro LE shruje tabulka 4.1. Pro iicializaci iverzí autokorelačí matice je využita kostata δ, jež by měla mít relativě malou hodotu srovatelou přibližě s,1δ y, kde δ y je rozptyl měřeého sigálu. Při použití dlouhých posloupostí dat, tz. dlouhé tréovací poslouposti, je vliv hodoty této kostaty a výsledek zaedbatelý, viz [12]. Pro defiici algoritmu u DFE lze jedoduše využít vztahu (3.3), zde je výpočet DFE převede a ekvivaletí rovici, jež sloužila pro odvozeí algoritmu RLS v tab Korelačí fukce v (3.3) budou tedy aproximováy stejým způsobem. Jestliže koeficiety filtrů a vstupí sigály jsou defiováy dle (3.29), potom algoritmus RLS pro DFE je zázorě v tabulce 4.2. K iicializaci vektoru koeficietů je použit ulový vektor a pro iverzí autokorelačí fukci jedotková matice. Rozměry vektoru a matice se liší podle řádů filtrů ekvalizéru. 44

45 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů Algoritmus RLS pro lieárí ekvalizér a bázi MMSE ( ) L 1 ( ) δ I L w = P =, kde δ je malá kladá kostata pro = 1, 2, vypočti -1 λ P( 1) y k( ) = λ y P 1 y ξ w P ( ) ( ) = x( ) w ( 1) y ( ) = w( 1) + k( ) ξ ( ) -1-1 ( ) = λ P ( 1) λ k ( ) y ( 1) P Tab. 4.1 Shrutí algoritmu RLS pro LE w dfe ( ) = L+ K 1 P( ) = δ I L+ K Algoritmus RLS pro DFE a bázi MMSE, kde δ je malá kladá kostata pro = 1, 2, vypočti -1 λ P( 1) u k( ) = λ u P 1 u ξ w P ( ) ( ) = x( ) w dfe ( 1) u dfe ( ) = w dfe ( 1) + k( ) ξ ( ) -1-1 ( ) = λ P ( 1) λ k ( ) u ( 1) P Tab. 4.2 Shrutí algoritmu RLS pro DFE, [22] 4.2 Stochasticky gradietí adaptace (LMS) U algoritmu RLS bylo přistupováo k problému aproximačím přístupem. Vycházelo se z optimálího teoretického filtru a aproximovali se ezámé korelačí fukce. V ásledující části bude přistupováo k úloze způsobem optimalizačím. V rovici (3.5) byla defiováa fukce miimalizace m LE z hlediska MMSE, z výrazu lze zjistit, že je kvadratickou fukcí vektoru koeficietů w. Úloha se formuluje tak, že se bude hledat v L-rozměrém prostoru koeficietů bod s miimálí hodotou, tj. bod defiovaý dle (3.9). V procesu optimalizace podle LMS se ejdříve zvolí počátečí bod v prostoru koeficietů (áhodě ebo a základě předběžého odhadu) a poté postupými kroky se bude přibližovat 45

46 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů k optimálímu bodu. Jestliže proces koverguje, dosáhe se ebo alespoň přiblíží optimálímu bodu, [11]. Na obrázku 4.1 je proces zázorě v prostoru koeficietů při L = 2. Pro dosažeí optimálího bodu se využije metody estrmějšího sestupu, kterou lze defiovat jako (viz [11]) ( + 1) = w( ) µ mle w, (4.16) kde kostata µ určuje velikost kroku (step-size) a tedy rychlost adaptace algoritmu. Kovergece algoritmu je a této kostatě závislá. Záleží i a typu sigálu, pro růzé sigály a stejou kostatu se kovergece může chovat jiak. Prakticky se hodota kostaty zkouší, pro malou hodotu bude adaptace pomalá (dlouhá doba adaptace), pro velkou kostatu emusí algoritmus kovergovat (estabilita) ebo se edosáhe dostatečé blízkosti optimálího bodu. Existuje variata LMS s proměou velikostí kroku, v ašem případě se omezíme pouze a kostatí velikost. Gradiet fukce v (4.16) byl již defiovaý v (3.7), dosazeím do (4.16) se získá ( + 1 ) = w( ) + µ ( 2r + R w) w, (4.17) yx 2 yy kde korelačí a autokoralčí fukci, tj. souborové středí hodoty, se mohou odhadout pouze z jediého čleu. Souborové středí hodoty potom budou zatížey áhodou chybou. Takový gradiet fukce se ozačuje stochastickým gradietem. Jde o hrubý avšak evychýleý odhad (po určité době koverguje ke stejému výsledu jako gradiet), [11]. Obr. 4.1 Proces optimalizace koeficietů při L = 2, [11] 46

47 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů Stochastický gradiet se určí jako (lit. [11, 12]) [ y w]= ( ) y + 2y y w = y x ( ) m ˆ LE mle = 2x 2 [ x( ) w y ] = 2 e ( ) = 2y y. (4.18) Dosazeím stochastického gradietu do (4.16), se defiuje iteračí výpočet koeficietů lieárího ekvalizéru podle LMS (lit. [11, 12]) ( 1) = w( ) + 2µ e ( y w + ). (4.19) Protože chyby jsou v každém kroku iterace ezávislé, skutečě se budeme pohybovat k optimálímu bodu, jelikož se při velkém počtu kroků budou kompezovat. Rychlost sestupu bude závislá a statistických vlastostech zpracovávaých sigálů, délce filtru L a a volbě kostaty µ, [11]. Z rovice (4.19) je zřejmé, že se jedá o rekurzi v čase, tz. pouze 1 krok iterace v každém vzorkovacím taktu. odota 2 v (4.19) se prakticky emusí uvádět, lze ji totiž zahrout do kostaty µ, tj. 2 µ µ. Stejě jako u algoritmu RLS je důležitá stacioarita problému, to již vyplývá z defiice stochastického gradietu. To, že se epohybujeme po optimálí cestě, je dáo použitím pouze odhadů gradietu. Doba adaptace je u LMS větší, avšak kostrukčě, tj. hardwarově, je LMS jedodušší (v podstatě se jedá o ejjedodušší strukturu adaptivího filtru). Algoritmus LMS pro LE shruje tabulka 4.2 (použité sigály viz obrázek 3.2). Algoritmus LMS pro lieárí ekvalizér a bázi MMSE ( ) L w = pro = 1, 2, vypočti z = w e ( ) ( ) y ( ) = x( ) z( ) ( + 1) = w( ) + µ e ( y w ) Tab. 4.3 Shrutí algoritmu LMS pro LE 47

48 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů Algoritmus LMS pro LE jedoduše rozšíříme a případ DFE. Řekěme, že sigál a výstupu je dá vztahem (viz obr. 3.5) z( ) = u, (4.2) w dfe kde w dfe a u jsou vektory defiovaé v (3.29). Rozměry obou vektorů jsou (L+K) 1, kde L a K jsou řády jedotlivých filtrů. S využitím (4.2) a defiice (3.29) upravíme algoritmus LMS pro LE, který je zázorě v tab. 4.3, pro případ ekvalizéru DFE. Algoritmus je pro DFE shrut v tabulce 4.4. ( ) = L+ K Algoritmus LMS pro DFE a bázi MMSE w dfe pro = 1, 2, vypočti z( ) = w dfe ( ) u e = x z ( ) ( ) ( ) dfe ( + 1) = w dfe ( ) + µ e ( u w ) Tab. 4.4 Shrutí algoritmu LMS pro DFE, [22] Zvoleí vhodé hodoty kostaty µ má velký vliv a čiost ekvalizéru. Z lit. [12] lze zjistit, že algoritmus v tabulce 4.3 resp. 4.4 bude kovergovat pokud 2 <µ <, (4.21) α max kde α max je ejvětší vlastí hodota autokorelačí matice R yy resp. R uu. Tato hodota je obvykle prakticky edostupá. Buď tedy lze zjistit hodotu kostaty experimetálě, ebo vlastí hodotu určit pouze jako odhad a vzorec (4.21) podle lit. [12] upravit a 2 <µ <, (4.22) tr( ) R yy 48

49 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů kde tr( R ) je suma všech prvků v hlaví diagoále autokorelačí matice, matematicky by to yy bylo zapsáo 2 { } L 1 L 1 ( yy ) = E{ y( i) y ( i) } = E y( i) tr R, (4.23) i= i= kde by bylo zapotřebí počítat souborové středí hodoty ebo případě využít pouze odhad z posledí realizace, který by ovšem mohl být zatíže chybou. Podle zkušeostí je však citlivost a volbu µ malá v širokých mezích, proto by šlo využít pouze odhadu z posledí realizace Další variaty LMS algoritmu V literatuře lze alézt růzé modifikace LMS algoritmu. Protože algoritmus je závislý a volbě velikosti kroku ebo a vlastostech zpracovávaého sigálu, avrhly se úpravy algoritmu tak, aby se tato závislost zmešila. Jeda skupia těchto algoritmů se zaměřuje také a sazší hardwarovou implemetaci, lze je ozačit jako zjedodušeé ebo zamékové LMS algoritmy, do skupiy patří: sig LMS, siged-regressor LMS, sig-sig LMS. Další skupia spočívá v ormalizaci sigálu či proměou velikostí kroku, zde lze uvést: ormalized LMS, variable step-size LMS. Liší se především v rekurzivím výpočtu koeficietů filtru, jež bude k prvím 4 metodám uvede. Algoritmus variable step-size LMS je více odlišý od klasického LMS, případě jej lze ajít jako ostatí algoritmy v literatuře [16]. Z lit. [16] lze zjistit, že kovergece siged-regressor LMS prakticky odpovídá klasickému LMS, ovšem u dalších dvou zamékových metod je kovergece výrazě pomalejší. Koeficiety filtru se u jedotlivých metod vypočítají jako (viz [16]): Sig LMS Výpočet koeficietů je dá rovicí ( 1) = w( ) + µ sig( e ( ) y w + ), (4.24) x sig x =. x kde sig (...) je zaméková fukce, která je defiováa jako ( ) 49

50 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů Siged-Regressor LMS Koeficiety se vypočítají podle rovice w ( 1) = w( ) + µ e ( ) sig( y ) +. (4.25) Sig-Sig LMS Koeficiety se vypočítají podle rovice w ( 1) = w( ) + µ sig( e ( ) ) sig( y ) +. (4.26) Normalized LMS Tato metoda se zaměřuje a rozptyl sigálu vstupujícího do filtru. Rekurziví výpočet koeficietů filtru je w + +. (4.27) y y ( 1) = w( ) µ e ( ) y Jestliže bude šum v kaále rove ule, tj. v() =, potom optimálí velikost kroku je µ opt = 1, viz [15, 16]. V případě reálého přeosového kaálu, kdy šum eí ulový, již tvrzeí eplatí. Nuto pozameat, že v praktický aplikacích je uté, aby u uvedeých metod edošlo při výpočtu k děleí ulou, to lze ošetřit přičteím vhodé hodoty ke jmeovateli (děliteli) v rovicích. 4.3 Stochasticky gradietí adaptace s kostatím modulem (CMA) CMA (Costat Modulus Algorithm) algoritmus využívá toho, že ěkteré modulačí techiky mají kostatí modul sigálu (FSK, PSK, QPSK aj.). Jestliže dojde ke zkresleí sigálu přeosovým kaálem, bude kostatí modul aruše. Úkolem CMA je potom ajít takové koeficiety ekvalizéru, které by obovily kostatí modul bez zalosti origiálího sigálu. Často se achází CMA v literatuře také pod ázvem blid equalizatio (slepá 5

51 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů ekvalizace). Základem tedy je kostatí modul sigálu a vstupu (viz obrázek 4.2), tj. x( ) = R,, kde R je kostata vztahující se k použité kostelaci. x () y() z() xˆ ( ) v() Obr. 4.2 Zapojeí pro odvozeí CMA Využije-li se zámého pricipu MMSE, může se zapsat fukce (kritérium optimality) z lit. [17], která se bude miimalizovat, jako ( z( ) ) 2 R = E w y R mi m = E,. (4.28) Pro výpočet koeficietů lze použít metodu stochastického gradietu, jež byla uvedea u algoritmu LMS. Rekurziví výpočet koeficietů pak probíhá dle (4.16), ejdříve se určí gradiet (4.28). Jestliže z ( ) = z( ) z ( ) = w y y w 2, potom odvozeím se získá (viz [17]) m = E 2 2 ( ( ) ) 2 z R w y R = 2E z( ) w 2 {( z( ) R) 2y y w} = 4E z( ) 2 {( R) z ( ) } 2 ( R) ( w y y w R) = = 2E y. (4.29) w Po zavedeí stochastického gradietu, tj. odhadu z jedié realizace, se vztah (4.29) zjedoduší a tvar (lit. [17]) m m = 4 ( z( ) R) y z ( ) ˆ 2. (4.3) Dosazeím (4.3) do (4.16) získáme výpočet koeficietů (lit. [17]) 51

52 Adaptiví výpočet koeficietů ekvalizérů w ( 1) = w( ) µ z( ) 2 ( ) z ( ) y + R, (4.31) kde byla hodota 4 v (4.3) zahruta do kostaty určující velikosti kroku. Pokud srováme (4.31) s rovicí výpočtu koeficietů v tabulce 4.3, zjistíme, že algoritmus bude totožý s LMS, pouze se bude odlišovat ve výpočtu chyby, chyba bude odpovídat (lit. [17]) 2 ( R z( ) ) z( ) e( ) =. (4.32) Algoritmus CMA tedy bude totožý s LMS, jež byl uvede v tabulce 4.3 resp. 4.4 s tím, že pro výpočet chyby použijeme (4.32). U CMA lze aplikovat podobé modifikace jako u algoritmu LMS (viz kapitola 4.2.1). Výhodou CMA je poměrě jedoduchý algoritmus, jelikož se shoduje s LMS, a také te fakt, že eí zapotřebí tréovací poslouposti. Ovšem použitelý je pouze u kostelací s kostatím modulem sigálu, proto u složitější QAM kostelací (více jak 4-QAM) je prakticky evyužitelý. 52

53 Aalýza algoritmů ekvalizace v FMT modulaci 5. ANALÝZA ALGORITMŮ EKVALIZACE V FMT MODULACI V prostředí MATLAB byla realizováa aplikace umožňující vyhodoceí algoritmů ekvalizace. Aplikace je kofigurovatelá pomocí grafického uživatelského rozhraí. V prví části kapitoly je popsáa avržeá aplikace a dále ukázáy výsledky, kterých lze dosáhout. Při ávrhu je uvažováo asazeí modulace FMT u DSL přeosové techologie, proto jsou ěkteré parametry a výpočty přizpůsobey pro DSL. Prostředí MATLAB bylo zvoleo z důvodů výhodého využití u vědecko-techických výpočtů a ávrhů metod zpracováí sigálů. 5.1 Základí popis avržeé aplikace Aplikace obsahuje FMT modulátor (vysílač), FMT demodulátor (přijímač), model přeosové cesty resp. vedeí a ekvalizér v každé výstupí větvi demodulátoru. Ekvalizéry mají za úkol potlačit zkresleí způsobeé průchodem přeosovým kaálem, tj. modulátorem, vedeím a demodulátorem. Grafické rozhraí aplikace lze vidět a obrázku 5.1. Oko aplikace je logicky rozděleo do ěkolika částí. Prví (horí) část obsahuje ávrh baky filtrů, kterou je defiová modulátor a demodulátor. Lze avrhovat prototypový filtr dolí propusti metodami: Metoda ejmeších čtverců, Parks-McClella, Metodou okéka Bartlett, Bartlett-aig, Blackma, Blackma-arris, Bohma, Chebyshev, Flat Top, Gaussovo, ammigovo, aovo, Kaiserovo, Nuttall, Parze, pravoúhlé, trojúhelíkové, Tuckey. Při výběru metody či okéka jsou vždy samostatě aktualizováy mezí kmitočty, potřebé pro ávrh prototypu. Dle empirických vztahů je provede výpočet a v případě potřeby může uživatel mezí kmitočty upravit sám. Aktualizace mezích kmitočtů jsou též prováděy po zadáí velikosti baky filtrů ebo délky polyfázového kompoetu. Baka filtrů využívá symetrický vstupí vektor hodot jako u DMT modulace v případě DSL, proto je uté pozameat, že počet aktivích subkaálů je M/2-1, kde M je počet astaveých subkaálů baky filtrů. 53

54 Aalýza algoritmů ekvalizace v FMT modulaci Obr. 5.1 Grafické rozhraí aplikace 54

55 Aalýza algoritmů ekvalizace v FMT modulaci Řád polyfázového kompoetu se doporučuje 8 až 2 (viz [6]). Parametr okéka slouží pro astaveí Kaiserova, Gaussova, Chebyshevova a Tuckeyho oka, parametr je samostatě aktualizová vhodě zvoleými hodotami a lze jej v případě potřeby změit ručě. Další parametry slouží pro vykresleí áhledu baky filtrů a kotrole správého astaveí. Druhá část aplikace se věuje defiici sigálu procházející komuikačím systémem a volbě přeosové cesty. Vstupem komuikačího systému je QAM sigál se zvoleou kostelací. Na vstupu modulátoru jsou přiváděy poslouposti QAM symbolů o defiovaé délce, čím větší délka sigálů tím se obvykle dosáhe lepšího výsledku, ovšem výrazě se zvyšuje výpočetí áročost. Kmitočet sigálu začí symbolovou rychlost, výchozí astaveí hodoty odpovídá DSL systému. Přeosová cesta je tvořea vedeím a zdrojem šumu, jako testovací vedeí lze zvolit z ěkolika typů defiovaých v doporučeí ANSI T (Příloha A, lit. [21]), viz obrázek 5.2. Kromě předefiovaých charakteristik vedeí se může astavit i vlastí testovací vedeí. Testovací vedeí je pak ve výpočtech aproximováo IIR filtrem, k jehož ávrhu je zapotřebí zadat délku impulsí charakteristiky. Zdroj šumu reprezetuje parametr AWGN. Kmitočtovou charakteristiku lze zobrazit, ovšem použita je je část, která přibližě odpovídá šířce kaálu komuikačího systému, jež je dáa velikostí baky filtrů a kmitočtem sigálu. Předastaveé testovací vedeí umožňují maximálí velikost baky filtrů 512 při kmitočtu sigálu 4312,5 z. Pro větší baku filtrů je uto upravit ebo zadat vlastí testovací vedeí. Po zaškrtutí Ideálí přeos. cesta budou ekvalizéry korigovat zkresleí způsobeé pouze bakou filtrů v přijímači a vysílači. Obr. 5.2 Oko astaveí přeosové cesty 55

56 Aalýza algoritmů ekvalizace v FMT modulaci Posledí třetí část aplikace se již věuje volbě a ávrhu DFE ekvalizéru. Aplikace umožňuje porovávat algoritmy: LMS RLS Optimálí výpočet dle kritéria MMSE Základí kocept, tj. MMSE, zahruje všechy algoritmy, LMS a RLS jsou iteračí algoritmy, které se saží iteračím způsobem přiblížit optimálímu odhadu, kovergece tedy lze zobrazit pouze pro LMS a RLS. Parametry algoritmů lze astavovat v okě, které je ukázáo a ásledujícím obrázku 5.3. V případě rozšířeí programu o další algoritmy se mohou do oka přidat další potřebé parametry. Obr. 5.3 Oko astaveí parametrů algoritmů Protože přítomé algoritmy vyžadují iformace z origiálí (ezkresleé) poslouposti, je zapotřebí zadat počet vzorků tréovacího sigálu, tz. počet prvích vzorků z celkového počtu, které budou použity pro tréováí. Z toho důvodu je v programu hlídáo, zda tréovací posloupost eí delší ež celkový počet vzorků. Délky všech impulsích charakteristik musí být větší ež 1. V případě 1 by programy ebyly fukčí. Taktéž jsou omezey délky posloupostí sigálů, protože při velmi krátkých délkách elze dosáhout dobrých výsledků, pro sigál je miimum 1 a pro tréovací sigál 5 vzorků. Počty bodů grafů jsou astavey a miimálí hodotu 1, aby bylo dosažeo rozumého rozlišeí kmitočtových charakteristik. Program kotroluje zda jsou správě zadáváy celočíselé hodoty. V případě popsaých omezeí program vždy odpoví chybovým hlášeím při špatém zadáí parametru. 56

57 Aalýza algoritmů ekvalizace v FMT modulaci Jak již bylo zmíěo v úvodu kapitoly, uvažovalo se s testováím modulace FMT a ekvalizérů u DSL systému. Pro výpočet přeosových rychlostí je uto vypočítat počet bitů v jedotlivých subkaálech. Bitovou alokaci program počítá pomocí rovice (1.6), vstupí hodoty jsou předastavey tak, aby odpovídali DSL s tím, že cyklický prefix (CP) eí zapotřebí (beze ztrát způsobeých použitím CP). Nastaveí parametrů lze případě změit v okě, které zázorňuje obrázek 5.4. Obr. 5.4 Oko astaveí výpočtu bitové alokace Po výpočtu bitové alokace se přeosová rychlost určí dle rovice z [4] Rcelk = fsymb b i, (5.1) i= 1 kde je počet aktivích subkaálů, b i počet alokovaých bitů v i-tém subkaálu a f symb je symbolový kmitočet a vstupu modulátoru. Vlastí astaveí může uživatel uložit pro případé další využití ebo zpětě ačíst, profil se ukládá ve formátu MAT (datový soubor MATLABu). Připojeo je avíc i tlačítko s ápovědou, shrující důležitá pravidla práce s aplikací. Dále je možost zavřít všechy grafy, které byly doposud aplikací vytvořey, to je provedeo i při ukočeí aplikace. 57