KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ. POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ.

Transkript

1 KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ. POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ. Teto text je zaměře a modely koečě zpožděí, podroběji je pak rozebráo polyomicky rozděleé zpožděí. Občas bývá rozumé zahrout do modelu eje současé, ale i miulé hodoty určitých proměých. Například pokud předpokládáme, že dovoz do země závisí eje a HDP v současém období, ale i a HDP v miulém období, ebo a dovozu v miulém období, ebo a obojím, je vhodé to v modelu ějak zohledit. Z modelu statického se tak stae model dyamický. V případě, že do modelu zahreme zpožděé hodoty vysvětlující proměé, azývá se to model rozděleých zpožděí (distributed lag). Pokud zahreme zpožděé hodoty vysvětlovaé proměé, jde o autoregresí model (autoregressive mode). A koečě, pokud zahreme obojí, říká se tomu autoregressive-distributed-lag, ADL model. Musíme však ějakým způsobem určit délku zpožděí a jeho strukturu. Na to eexistuje striktí postup, můžeme vyjít z ekoomické hypotézy či si pomoci iformačími kritérii (Akaikeho AIC, Haa- Qui, Schwarz), a hledáme model, kde budou tato kritéria co ejmeší. Pro určeí struktury zpožděí potřebujeme mít k dispozici dodatečou iformaci, jak by to ejspíš mohlo vypadat, tedy jestli by třeba koeficiety mohly trvale klesat apod. Často můžeme předpokládat, že váhy jsou geerováy ějakou zámou pravděpodobostí fukcí. Máme-li ějaké iformace o délce zpožděí, můžeme použít modely koečě rozděleého zpožděí, kdy do modelu zahreme třeba je dvě ebo tři zpožděé proměé. Zpožděé vlivy vysvětlujících proměých tak trvají pouze určitý čas a pak jejich vliv vyprchá. Co se týče struktury koeficietů, čili určeí vah parametrů, můžeme předpokládat: že trvale rovoměrě klesají (druhé pozorováí má meší vliv ež prví, třetí ež druhé atd.) aritmeticky rozděleé zpožděí že váhy ejprve lieárě rostou a pak lieárě klesají obráceé V že jejich forma eí lieárí (klesají, rostou, klesají ) aproximace polyomem ízkého stupě Jestliže emáme iformace o délce zpožděí, vyjdeme většiou z modelu ekoečě rozděleých zpožděí. Opět je potřeba určit, jak mohou vypadat váhy parametrů (reakčí koeficiety) zpožděých vysvětlujících proměých. ejčastěji předpokládáme, že klesají geometrickou řadou geometrické zpožděí také si ale můžeme myslet, že maximálí efekt má jiá vysvětlující proměá ež ta z posledího období Pascalovo rozděleí další možosti: racioálě rozděleé zpožděí, gama rozděleé zpožděí, expoeciálě rozděleé zpožděí

2 Modely ekoečě rozděleého zpožděí jsou podroběji rozebráy v otázce Modely rozděleých zpožděí. Friedmaova spotřebí fukce a permaetí důchod. KONEČNĚ ROZDĚLENÁ ZPOŽDĚNÍ Obecý tvar modelu koečě rozděleých zpožděí je ásledující: Y t = α + β 0X t + β 1X t-1 + β 2X t-2 β X t- + u t To zameá, že současá hodota vysvětlovaé proměé je závislá a současých a miulých hodotách vysvětlujících proměých. Při splěí GM předpokladů můžeme takovýto model odhadout metodou ejmeších čtverců. Parametry β mají ásledující iterpretaci. Představme si, že X bylo kostatí a pak se v období t zvýšilo o jedotku, ale v dalších obdobích se vrátilo zpět a svou původí úroveň. β 0 ám říká, jak se v průměru změí Y t. Říká se mu běžý multiplikátor. β 1 ám říká, jak se v průměru změí Y t+1. Říká se mu dyamický multiplikátor (zpožděý o jedo období). β i ám říká, jak se v průměru změí Y t+i. Říká se mu dyamický multiplikátor (zpožděý o i období). Představme si, že X bylo kostatí a pak se v období t zvýšilo o jedotku a už zůstalo vyšší. β 0 ám říká, jak se v průměru změí Y t. Říká se mu běžý multiplikátor. β 0 +β 1 ám říká, jak se v průměru změí Y t+1. Říká se mu středědobý kumulativí multiplikátor. β 0 +β 1 + β i ám říká, jak se v průměru změí Y t+i. Říká se mu středědobý kumulativí multiplikátor. i=0 β i ám říká, jaká bude celková průměrá změa Y t+q. Říká se mu celkový multiplikátor. Co když se ale etrefíme s délkou zpožděí? Jestliže je skutečé zpožděí *, pak a) při specifikaci < * ebudou kvůli vypuštěí relevatích vysvětlujících proměých odhady parametrů estraé b) při > * ebudou kvůli přítomosti irelevatích proměých odhady parametrů vydaté

3 Příklad: podívej se a ásledující odhad modelu, pomocí ěhož šikový ekoometr jméem Bob odhadl závislost své měsíčí útraty za kulturu (Y) a výši svého měsíčího platu (X) s požitím modelu koečě rozděleých zpožděí. čas běžý multiplikátor Y t = ,08X t + 0,04X t-1 + 0,02X t-2 + 0,01X t-3 dyamické multiplikátory středědobé kumulativí multiplikátory celkový multiplikátor t = 0 0,08 t = 1 0,04 0,12 t = 2 0,02 0,14 t = 3 0,01 0,15 Při své běžé výši platu, která čií Kč (Bob pracuje a part-time, e že by si ekoometrové vydělávali tak málo, zároveň ještě studuje), Bob průměrě utratí za kulturu Kč měsíčě. Když Bob dostae v prosici bous ke své výplatě ve výši Kč, tak v prosici utratí za kulturu v průměru o 80 Kč více = běžý multiplikátor. V ledu už Bob žádý bous edostae, protože práci fláká, eboť se pilě připravuje a zkoušky. Přesto i v ledu utratí díky prosicovému měsíčímu bousu v průměru o 40 Kč více za kulturu = dyamický multiplikátor zpožděý o jedo období. Kdyby ale Bob dostal bous ve výši Kč jak v prosici, tak v ledu, utratil by v ledu za kulturu v průměru o 120 Kč více ež obvykle = středědobý kumulativí multiplikátor. Bobův šéf se rozhodl, že mu trvale zvýší plat o Kč. Díky tomu bude Bob v průměru utrácet o 150 Kč více za kulturu ež dříve = celkový multiplikátor. Přesé odhady parametrů může být těžké získat, protože mezi zpožděými hodotami vysvětlující proměé bývá silá koliearita, v modelu se často vyskytuje autokorelace, a směrodaté chyby odhadutých parametrů bývají tedy vysoké (to zameá, že odhady mají velkou variabilitu a při jiém výběru můžou vyjít úplě jiak). Může ale pomoci to, když do modelu zahreme apriorí iformaci o tvaru zpožděí. To zameá, že přijmeme určitý předpoklad o tom, jak ejspíš působí vysvětlující proměá a vysvětlovaou (zda její vliv s rostoucím časem stále klesá, ebo ejprve roste a pak klesá apod.). Na základě tohoto předpokladu zavedeme určitou restrikci parametrů a odhademe tzv. omezeý model, z ěhož pak můžeme parametry původího modelu zpětě dopočítat.

4 ARITMERICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ: Jestliže předpokládáme, že váhové koeficiety klesají aritmetickou řadou, můžeme je defiovat jako β i = ( + 1 i)β pro i = 0,1, β i = 0 pro i >. Dosadíme-li to do vztahu Y t = α + β 0X t + β 1X t-1 + β 2X t-2 β qx t-q + u t, dostaeme: Y t = β i=0 ( + 1 i)x t i + u t Y t = βz t + u t Například pro = 3 (vliv mají 3 zpožděé hodoty vysvětlující proměé) platí: β 0= ( )β = 4β ; β 1= ( )β = 3β; β 2= 2β; β 3= 1β ; β 4= 0; β 5= 0; Y t = α + β 0X t + β 1X t-1 + β 2X t-2 +β 3X t-3 +u t Y t = α + 4βX t + 3βX t-1 + 2βX t-2 +1βX t-3 +u t Y t = α + β(4x t + 3X t-1 + 2X t-2 +1X t-3) +u t Y t = α + βz t +u t, kde Z t = 4X t + 3X t-1 + 2X t-2 +1X t-3 Model Y t = α + βz t + u t je sadé odhadout klasickou MNČ. Tak získáme β a dopočítáme β i. OBRÁCENÉ V Jestliže předpokládáme, že váhové koeficiety klesají aritmetickou řadou, můžeme je defiovat jako β i. = (i + 1)β pro 0 i /2 β i = ( + 1 i)β pro i 1 + /2 Dosadíme-li to do vztahu Y t = α + β 0X t + β 1X t-1 + β 2X t-2 β qx t-q + u t,, dostaeme: /2 Y t = β[ i=0 (i + 1)X t i + i=1+/2 ( + 1 i)x t i ] + u t Y t = βz t + u t Například pro = 4 (vliv mají 4 zpožděé hodoty vysvětlující proměé) platí: β 0= (0 + 1)β = 1β; β 1= (1 + 1)β = 2β; β 2= (2 + 1)β =3β; β 3= ( ) = 2β; β 4= ( ) = 1β; β 5= 0; Y t = α + β 0X t + β 1X t-1 + β 2X t-2 +β 3X t-3 + β 4X t-4 +u t Y t = α + 1βX t + 2βX t-1 + 3βX t-2 +2βX t-3 + 1β 4X t-4 +u t Y t = α + β(1x t + 2X t-1 + 3X t-2 +2X t-3 + 1X t-4 ) +u t Y t = α + βz t +u t, kde Z t = 1X t + 2X t-1 + 3X t-2 +2X t-3 +1X t-4 Opět, model Y t = α + βz t + u t je sadé odhadout klasickou MNČ. Tak získáme β a dopočítáme β i.

5 POLYNOMICKY ROZDĚLENÉ ZPOŽDĚNÍ Jestliže by ám pomohlo specifikovat pružější formu váhových koeficietů, můžeme využít model Almoové. Teto model, azývaý model polyomicky rozdělých zpožděí, předpokládá, že průběh vah v čase se dá aproximovat polyomem ízkého řádu, obecě: β i = a 0 + a 1i + a 2i a ri r Jak vybrat polyom? Pro teto polyom by mělo platit, že je meší ež délka zpožděí, ale větší ež počet bodů zvratů křivky. Když váhy rostou a pak klesají (jako je tomu u obráceého V), tak je dobrý polyom 2. řádu. Jestliže má trajektorie β cyklický charakter, tak je dobrý polyom 3. řádu. Příklad bude ukázá pro polyom 2. řádu. Pak tedy apriorím omezeím vah bude: β i = a 0 + a 1i + a 2i 2 pro i = 0,1 (kde je délka zpožděí) Tedy: Y t = α + a 0X t + (a 0 + a 1 + a 2)X t-1 + (a 0 + a a 2)X t- + u t Y t = α + a 0 i=0 X t i + a 1 i=0 ix t i + a 2 i=0 i 2 X t i + u t Defiují se tři ové proměé: Z 0t = i=0 X t i ; Z 1t = i=0 ix t i ; Z 2t = i=0 i 2 X t i A přepíšeme model jako Y t = α + a 0Z 0t + a 1Z 1t + a 2Z 2t + u t. To je omezeý model koečě rozděleého zpožděí, protože + 1 ezámých váhových koeficietů je redukováo je a r + 1 koeficietů (zde pro r = 2 máme 3 koeficiety). Zpožděé hodoty X jsou ahrazey jejich lieárími kombiacemi (proměými Z). Příklad pro = 4: β i = a 0 + a 1i + a 2i 2 b 0 = a 0 + 0a 1 + 0a 2 = a 0 b 1 = a 0 + 1a 1 + 1a 2 b 2 = a 0 + 2a 1 + 4a 2 b 3 = a 0 + 3a 1 + 9a 2 b 4 = a 0 + 4a a 2 Z 0t = X t + X t-1 + X t-2 + X t-3 + X t-4 Z 1t = 1X t-1 + 2X t-2 + 3X t-3 + 4X t-4 Z 2t = 1X t-1 + 4X t-2 + 9X t X t-4 Proměé Z si tedy dopočítáme z X, odhademe a 0, a 1, a 2 a dopočítáme b. Výhodou je sížeí multikoliearity. Problémem v praxi bývá ezalost délky zpožděí. Chce to vyzkoušet a porovat modely s růzou délkou zpožděí apříklad pomocí iformačích kritérií. Zároveň ale ezáme ai te ejlepší polyom. Ideálí je udělat to dvoustupňově, tedy určit si ejprve délku zpožděí, a pak pro daou délku určit polyom.

6 PŘÍKLAD (Zdroj: 9. cvičeí ECON2300 Uiversity of Queeslad) Následující výstup zachycuje odhad modelu závislosti počtu akrů pěstovaé cukrové třtiy a farmě paa Doalda (A) a ceě cukrové třtiy (P) v Bagladéši. Kokrétě jde o ásledující model (model 1): l(a t ) = α + β 0 l(p t ) + β 1 l(p t 1 ) + β 2 l(p t 2 ) + β 3 l(p t 3 ) + β 4 l(p t 4 ) + u t Pracujeme tedy s proměým ve tvaru logaritmů a jde o model koečě rozděleých zpožděí, kdy má vliv současá a čtyři předchozí hodoty vysvětlující proměé. Odhad modelu v E-views vypadá ásledově: Zkuste si a ásledující otázky ejprve odpovědět sami: 1) Pozor a to, jak se iterpretují zlogaritmovaé proměé. Kokrétě zde se parametr β 0 iterpretuje tak, že: a) když se současá cea zvede o jedotku, zvede se počet akrů také o 0,77 jedotek b) když se současá cea zvede o jedotku, zvede se počet akrů o 0,77 % c) když se současá cea zvede o 1 %, zvede se počet akrů o 0,77 jedotek d) když se současá cea zvede o 1 %, zvede se počet akrů o 0,77 % 2) Jaký podíl variability vysvětlovaé proměé se podařilo modelem vysvětlit? 3) Kolik parametrů je dle modelu, epočítáme-li úrovňovou kostatu, statisticky výzamých a 5% hladiě výzamosti? 4) Co ejspíš způsobilo statistickou evýzamost ěkterých parametrů? Odpovědi: 1) Správě je d), protože vysvětlující i vysvětlovaá proměá jsou ve tvaru logaritmů. 2) Podařilo se ám vysvětlit 29,8 % variability vysvětlovaé proměé. Zjistíme to z koeficietu determiace. 3) Pouze jede (β 0), jehož p-hodota je meší ež 0,05.

7 4) Příčiou je pravděpodobě multikoliearita. Je těžké modelem zachytit odděleý vliv jedotlivých proměých. Pomoci by mohlo to, kdybychom využili apriorí iformaci o vahách parametrů. Pak bychom mohli sestavit omezeý model s meším počtem proměých, což by mohlo vyřešit problém multikoliearity. Model eí ic moc, usoudil farmář Doald. Odhadl tedy ový model s apriorím omezeím vah. Rozhodl se, že použije aproximaci vhodým polyomem. Délku zpožděí echal opět stejou, čili = 4, a a β i aproximoval vztahem: β i = α 0 + iα 1 Zde je model (model 2) a jeho odhad: l(a t ) = α + α 0 z t0 + α 1 z t1 + u t, kde z t0 = l(p t ) + l(p t 1 ) + l(p t 2 ) + l(p t 3 ) + l(p t 4 ) z t1 = l(p t 1 ) + 2l(P t 2 ) + 3l(P t 3 ) + 4l(P t 4 ) Čemu se dle tohoto modelu budou rovat parametry β i? β 0= α 0 + 0α 1 = 0,42 β 1 = α 0 + 1α 1 = 0,32 β 2 = α 0 + 2α 1 = 0,22 β 3 = α 0 + 3α 1 = 0,12 β 4= α 0 + 4α 1 = 0,02 Odhaduté modely tedy vypadají ásledově: l(a t) = α + β 0 l(p t ) + β 1 l(p t 1 ) + β 2 l(p t 2 ) + β 3 l(p t 3 ) + β 4 l(p t 4 ) Model 1: l(a t) = 3,82 + 0,77 l(p t ) 0,21 l(p t 1 ) 0,003 l(p t 2 ) + 0,59 l(p t 3 ) 0,01 l(p t 4 ) Model 2: l(a t) = 3,82 + 0,42 l(p t ) + 0,32 l(p t 1 ) + 0,22 l(p t 2 ) + 0,12 l(p t 3 ) + 0,02 l(p t 4 ) Ai druhý model eí ikterak skvělý. Nicméě vidíme, že odhaduté parametry mají hodoty smysluplější hodoty. Druhý model získaý s využitím apriorí iformace o vahách parametrů bychom preferovali před prvím.

8 ZDROJE Hušek, R: Ekoometrická aalýza. Nakladatelství Oecoomica, Praha Berry, K., Wei, S.: Distributed Lag Models. Uversity of Wyomig, Uiversity of Queeslad, ECON2300 (lecture 9 ad tutorial 9), Australia 2012.