Využití aproximačních funkcí pro kaskádní syntézu filtrů

Transkript

1 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů I. MOTIVACE Lieárí obvody rektčími rvky jou oáy itegrodifereciálími rovicemi. Použití Llceovy trformce vede ři ulových očátečích odmíkách k zvedeí obrzových imedcí: Z R R Z L L Z C C kde σ j je komlexí kmitočet. Pro j řechází Llceov trformce ve Fourierovu trformci řešíme utáleý hrmoický tv běžými metodmi. Přeo truktury obr. je tk urče vzthem U U C RC ; RC R C RC MI - červe

2 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů U U db R C U U -db Obr. Píví dolí rout. řádu -dbdec Zveďme ormový komlexí kmitočet σ j Σ j; Σ σ ;. Potom ltí ro trukturu obr.: U U ; U U j ; j U U Pro >> je U U ; U U db log, tomu odovídá ymtot e trmotí - dbdec. Přeo truktury obr. [Pučochář] je defiová vzthem MI - červe

3 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů U U K K K K ; ; Q K Q Q Q RC C U U db R R log [ K Q Q ] C K log K Q U R f K-.R f U m Q m -dbdec Obr. Dolí rout Slle-Key,. řádu Sdo lze určit, že ro K < budou reálé čáti ólů řeoové fukce kldé, ytém bude etbilí díky dkritické kldé zěté vzbě ře kcitu. MI - červe

4 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro >> je obr. m U U m. K ; U U db log K log, tomu odovídá ymtot e trmotí - dbdec. Extrém fukce je defiová Přeo truktury obr. je defiová vzthem kkádí řzeí U U U U i U U i K Q C R R R d C C d U U R f K-.R f U i Obr. Kkádí řzeí dolí routi Slle-Key. řádu dolí routi. řádu MI - červe

5 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro modul řeou vyjádřey v db tedy ltí U U db log K log Q log Výledek ro áhodě vybré rmetry filtrů je kvlittivě zázorě lou črou obr.. U U db K db m -dbdec -6dBdec -dbdec Obr. Modul řeou ro trukturu obr. MI - červe 5

6 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Je zřejmé, že volbou rmetrů dílčích filtrů obr. zde w Q ; w můžeme dohovt růzé růběhy výledé modulové chrkteritiky truktury. Budeme-li yí ormovt vůči ějkému kmitočtu ejčtěji, obdržíme ormový řeo ro trukturu obr. v odobě U K U Pro >> je U U K ; U U db log K 6 log, tomu odovídá ymtot e trmotí -6 dbdec viz obr.. Všechy dolí routi tbilí lze ot ormovou řeoovou fukcí... P Kott K v čitteli vzthu eovlivňuje tvr modulu řeou. Většiou je ouze výledkem zvoleé obvodové relizce zíké oždové roximčí fukce. Polyom je muí být urwitzův olyom. P... MI - červe 6

7 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů II. URWITZŮV POLYNOM Vltoti urwitzov olyomu jou odrobě oáy ř. v [urwitz, Blbi, Lm, Kvil, Čjk,...]. Muí ltit, že i > ro všech i všech i jou eulová. To je odmík utá, ikoli otčující. Všechy kořey olyomu P óly řeoové fukce muí ležet v levé otevřeé oloroviě Σ j. Exitují kritéri, která umožňují ro zdý olyom P tovit, zd e jedá o urwitzův olyom říkld Routh urwitzovo kritérium tbility, ř. [urwitz, Routh, Bru,...]. Pro urwitzův olyom ltí P j Re P j j Im P j fázová chrkteritik ImP j Φ P rctg ReP j Pro j je Re P j udou fukcí [ j ; j ;...] Im P j je lichou fukcí [ j ; j 5 j ; j 5 j ;...]. Proto P j Re P j j Im P j P j P j P j Re P Im P P j Alytické rodloužeí okrčováí kvdrát modulu lze át v odobě P P P. Zjímvý zůob oiu řeou je v [Blbi, tr. 9, 7,,...]. Přeoová fukce je ve tvru α je logritmu modulu ormové řeoové fukce Φ je rgumet řeoové ormové fukce Φ j ex α j MI - červe 7

8 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 8 [ ] j A G j j j j j j j j j j G - fukce G ex ex ex Φ Φ Φ j j j j j j j j A - fukce A Alytickým rodloužeím ; j j zíkáme vzth ex A j A Φ l l P P Φ - fázová chrkteritik G G - kvdrát modulu řeou Nyí můžeme určit kuiové zožděí jko fukci P, P-: Φ... l P P P P P P d d d d D Záme-li Φ d d D, otom ro je Φ Φ D d d d d d d D

9 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III. APROXIMACE DOLNÍC PROPUSTÍ DP Nejčtěji hledáme řeoové fukce obvodu, které: roximují oždovou řeotí modul modulovou chrkteritiku obvodu filtru. b roximují zožděí Budeme e zbývt ouze DP. Pomocí frekvečí trformce lze zíkt řeoy ro horí rout P, ámovou rout PP ámovou zádrž PZ. III. Poi vltotí oždvků DP Z ředchozích úvh je zřejmé, že ideálí DP by vyždovl - filtr by byl ekoečě ložitý, tedy techicky erelizovtelý. Modulová chrkteritik modul řeou reálé dolí routi je obr.. j PROPUSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε IDEÁLNÍ DP REÁL. DP PÁSMO ÚTLUMU Obr. Modul řeou ormové dolí routi MI - červe 9

10 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Modul řeou modelujeme roximujeme čto omocí chrkteritické fukce ϕ j ε ϕ ϕ tk vltě vždy roximuje ulu ro v itervlu ž, ro > muí hodot chrkteritické fukce rychle růt. Pro ormový filtr rimárě oždujeme řeo ε řeo. Modul řeou je rávě ϕ ε ε ε tk defiuje oždovou řeot v ámu routoti je to ekudárí rmetr filtru ro ormový tvr. Pltí: log log ε ; log log ε ε Útlum ovoleý, oždový v routé ámu; v db ozčíme α log ε Potom α ε log ε ; α log ε ε α ε α MI - červe

11 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Modul řeou je rávě ϕ?, roto ε ϕ ; log log ε ε ϕ ; log log ϕ Poždový útlum v db ozčíme α log α Potom α log ε ϕ ; α log ε ϕ ε ϕ ϕ α α Primárí oždvky filtr ormový tedy jou: α ; α. Sekudárí rmetry filtru jou zcel obecě: ε - defiuje chybu zvlěí v ámu routoti ϕ - defiuje odtu modulu řeou v routém ámu ámu útlumu k - defiuje oždovou trmot v ámu řechodovém MI - červe

12 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe III. Mximálě lochá modulová chrkteritik Vyjděme ejdříve z elemetárího oiu řeou ro :... : j j j j Jedié, co lze zjitit, je lěí odmíky. Odud ±. Volit ovšem muíme kldé zméko, rotože ouze tehdy e bude jedt o urwitzův olyom mohočle. Pro tuto odmíku bude ltit ; j : 6... j Zjitit lze lěí odmíek:. Tyto odmíky jou lěy ro. Pltí tedy 6 ; j

13 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Zkotrolujme, zd je lěo Routh-urwitzovo kritérium tbility: míu lu b b b b b c Aby edošlo ke zmékové změě ve louci ; ; b; c, muí ltit ro ro i > jediá odmík: > Při uvedeých odmíkách tedy ltí. >, odmík je lě, jedá e o urwitzův olyom. Pro je... j 6 8 Přeo j obdržíme ro,6;,, le tké ro,89;, ro Pomocí Routh-urwitzov kritéri do určíme, že ro edochází ke změě zmék ve louci ; ; b ; c; d. MI - červe

14 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů míu lu b b b b c b c b b c d c c... Tuto odmíku lňuje ouze řešeí,6;,, tkže tbilí řeo ro je defiová fukcí,6,,6 Je zřejmé, že zíkáváme moduly řeou tyu j kde je řád filtru fukce. Jedá e o Butterworthovy olyomy [Butterworth]. MI - červe

15 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro vyšší řády již bude obtížé kotrolovt, které koeficiety i z možých řešeí lňují odmíky ro vytvořeí urwitzov olyomu. Proto e volí vhodější otu odvozeí mximálě loché chrkteritiky omocí chrkteritické fukce ϕ. III.. Mximálě lochá modulová chrkteritik určeá omocí chrkteritické fukce Vyjdeme ze vzthu j j j ε ϕ Alytickým okrčováím v komlexí roviě je vzth j ; j ε ϕ j Při Butterworthově roximci [Butterworth, uelm, Lm,...] je ϕ ejčtěji ε. Potom j - j - j j j db db - ro >> je j j log db db - tomu odovídá ymtot dbdec MI - červe 5

16 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů - rvích derivcí j ro je rovo ule. Póly fukce zjitíme z rovoti j j j Pro udá tedy ltí j ex[ j π kπ ] k k k k ex j π co π j i π k,,..., Kořey leží v komlexí roviě kružici e tředem v očátku komlexí roviy, ltí totiž. Póly řeou muí mít reálé čáti záoré. To bude dodržeo ro k π π ; π, kde je coα <. Odud k π π k k π π k k MI - červe 6

17 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Protože e muí jedt o celá číl, ltí k k. mi Sdo můžeme změit idexovou roměou ubtitucí k μ, kde μ,,...,. mx Potom můžeme ro kořey reálou čátí záorou át ve tvru co π j i π co π π ji π π V itervlu π ; π ovšem ltí co α π i α; i α π coα, tedy kořey urwitzov olyomu óly řeou jou určey ři Butterworthově roximci vzthem π π i jco ; μ,,..., Zbývjící kořey k, jejichž reálá čát je kldá, říluší fukci. Po vyáobeí kořeových čiitelů komlexě družeými kořey obdržíme ro udá vzth MI - červe 7

18 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů i π Pro lichá ltí j ex[ j kπ ] k kπ ex j kπ co k,,..., kπ j i Póly řeou muí oět mít reálé čáti záoré. To bude dodržeo ro k π π ; π, kde je coα <. Odud k π π k π k π k Protože e muí jedt o celá číl, ltí k k. mi mx MI - červe 8

19 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 9 I yí můžeme změit idexovou roměou ubtitucí k - μ, kde μ,,...,. Potom můžeme ro kořey reálou čátí záorou át ve tvru π π j i co i co π π π π j tejě jko ro udá, ltí i ro lichá j co i π π ; μ,,..., Pro lichá ovšem exituje jede reálý koře, kdy π π ;. Vytkeme-li kořeový čiitel, zbývjí kořey ro μ,,...,,,...,, tedy komlexě družeých kořeů. Proto ltí ro lichá, že i π

20 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe Zbývjící kořey k, jejichž reálá čát je kldá, i yí říluší fukci. III.. Póly řeou určeé omocí chrkteritické fukce; obecě ε Vyjdeme oět ze zákldího vzthu j ε ε. Stčí udělt ubtituci ε ltí všechy dříve odvozeé vzthy. Pro udá [ ] i i i ε ε π ε ε π ε ε π ; i ε π ε [ ] ε

21 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro lichá obdržíme tejým otuem ε [ ] ε Pro ε doteme ředchozí vzthy. Teto tvr záiu je velmi vhodý ro kkádí relizci filtrů řzeí dílčích filtrů. řádu ro udá, řzeí jedoho filtru rvího řádu dílčích filtrů. řádu ro lichá. III.. Potřebý řád Butterworthov filtru α α Zcel obecě bylo odvozeo ε ϕ, kde jα je oždový útlum v db ovoleá chyb v db ro rovo ž. Pro Butterworthovu roximci tedy ltí α α je α α α α α log α log muí být celé čílo. MI - červe

22 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro obecé hodoty α je ε. Pro ltí j. ε Potřebujeme-li i yí určit ormovou frekveci okle řeou rávě db, muí ltit ε ε Pro α db je rávě α log ε log ;. III.. Odhd chyby v routém ámu V měřicích řetězcích může být důležité určeí chyby modulu vůči ideálí hodotě ro <<. Pro ejběžější ituci, kdy e volí ε to odovídá chybě cc % ltí ro <<,5 Defiujme chybu modulu E,5,5 E %,5 5 MI - červe

23 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Frekveci E, které je chyb rávě E% do určíme ze vzthu Pro < E bude ři Butterworthově roximci chyb meší. E E % 5 III. Izoextremálí roximce Čebyševov - ledáme olyom, který e tejoměrou odchylkou roximuje ulu v routém ámu. - Chrkteritická fukce ϕ je tvoře Čebyševovými olyomy. Pro je Pro je C C co coh rcco rgcoh MI - červe

24 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů BOX Fukce rcco je defiová ouze ro,. Předokládejme [V Vlkeburg], že ro ltí rcco jz co co jz j jz ex j jz ex z ex z ex co jz coh z coh z z rgcoh C rcco co jz co jrgcoh coh rg coh co Potuě tk obdržíme C C corcco corcco C co rcco x rcco cox co x i x co x co x co x MI - červe

25 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů BOX [ x] cox co x i x i x; co[ x] cox co x i x i x [ x] co[ x] cox co x [ x] cox co x co[ x] co co co x rcco co rcco co rcco co rcco co rcco co rcco co rcco co rcco [ ] [ ] [ ] [ ] N zákldě elemetárích úvh v BOX je zřejmé, že ltí tvrzeí [Lm, uelm,...] tedy ro říkld: C C C C C C Pro modul řeoové fukce yí ltí C C C j j j ε C MI - červe 5

26 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Z uvedeých vltotí je zřejmé, že ro lichá C j ro udá C ro všech C j ε j ε III.. Mxim miim řeou v ámu routoti Mxim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce bývá ulových hodot. Proto muí ltit co rcco MAX rcco rcco MAX rcco MAX π ; π π MAX π co ;... MAX co π μ,,..., ro udé μ,,..., ro liché. Miim v ámu routoti vzikjí tm, kde chrkteritická fukce hodot ±. Proto muí ltit co rcco MiN ± rcco MAX MIN π rcco ; π ; π;... MI - červe 6

27 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů rcco MIN π MIN co π III.. Frekvece ro okle řeou o db V teorii filtrů je důležité zát frekveci, které je okle řeou rávě db, což v šem řídě zmeá, že muí rávě ltit tedy j ε C Muí tedy ltit ejme již v routém ámu; >, že ε coh rg coh coh rgcoh ε rgcoh; ε rgcoh rg coh ε rgcoh rgcoh ε coh coh rg coh ; ε ε MI - červe 7

28 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro říkld určeme:,5,79 α,5 db; ε,9 ; coh rg coh coh rgcoh,868 coh ε Nyí do určíme, že ro α, 5 ltí:,79,79,79 coh,897 ; coh, 675 ; coh, 9;,79,79,79 5 coh,59 ; 6 coh, ; 7 coh, Stejě určíme:,5,966 α, db; ε,5887; coh rg coh,965 coh ;, 76 ;, 99 ;,5 ; 5, 8 ; 6, ; 7, 7. III.. Potřebý řád filtru α α Zcel obecě bylo odvozeo ε ϕ, kde jα e oždový útlum v db α je ovoleá chyb zde zvlěí v ámu routoti v db ro rovo ž. Pro Čebyševovu roximci tedy ltí yí již ejme v routém ámu; >, že α MI - červe 8

29 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C α α coh rgcoh α α rgcoh α rgcoh rg coh α α rgcoh α rgcoh muí být celé čílo. III.. Určeí ólů řeoové fukce ro Čebyševovu roximci [Blbi, Guillemi, uelm, V Vlkeburg,...] Potu je hodý jko u Butterworthovy roximce. Pouze řešeí roblému je oěkud ložitější, hledáme óly v ámu routoti, kde ltí, že < : ε ϕ j ε ϕ j ε C j MI - červe 9

30 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Zvedeme ubtituci kde u, v jou již reálá číl. Potom muí ltit co C j co rcco j ± j ε rcco j u jv u jv co u coh v j i u ih v ± j ε BOX co x ex jx ex jx ; i x ex jx ex jx j co x jv ex v ex v coh v i x jv ex v ex v j j ex v ex v j ih v Zíkáme ytém rovic co u coh v i u ih v ± ε Pro reálé v vždy ltí coh v, roto mohou být rovice lěy ouze ro co u tedy muí ltit ro lichá k u k π, odkud určíme, že k,, 5,..., -. π u k k MI - červe

31 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro tyto hodoty u k ovšem bývá fukce i ouze hodot ±. Stčí roto řešit rovici ih v ± ε Řešeím je vzth Nyí muí ltit v ± rgih ε rcco j u jv co j co u jv j co u jv [ cou co jv i u i jv ] j k i u k ih v j co u k coh v Teto výledek obhuje kořey kldou i záorou čátí. urwitzův olyom reálá čát záorá tvoří kořey ro v > [ř. Dvídek] ih v i π j coh v co π Ottí kořey tvoří fukci. MI - červe

32 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Ozčíme-li ve hodě ředchozí ymbolikou Σ ih v i π ; π coh v co otom do určíme, že Σ π ; π ih v i coh v co Odud určíme, že π π Σ ih v coh v i co Kořey μ olyomu reálé čáti kořeů záoré leží elie, v levé čáti komlexí roviy. Kořey kldou reálou čátí, áležející olyomu -, leží tejé elie v rvé čáti komlexí roviy. Reektujeme-li vltoti komlexě družeých kořeů, zíkáme ro udá vzth ε Σ Σ Σ V ěkterých zdrojích e ro udá rcuje e vzthem B Σ Σ Σ MI - červe

33 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Dod je zřejmý z kvlittivího zobrzeí obr. 5. j PROPUSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO j PROPUSTNÉ PÁSMO PŘECODOVÉ PÁSMO ε ε B PÁSMO ÚTLUMU ε PÁSMO ÚTLUMU Obr. 5 Kvlittiví orováí modulů B ro Obr. 6 Kvlittiví zobrzeí modulu řeou ro Pro lichá ltí ih v ih v Σ Σ Σ Kvlittiví zobrzeí ro je obr. 6. MI - červe

34 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů III. Srováí Butterworthovy Čebyševovy roximce Vltoti modulů řeoových fukcí ro zkoumé roximce jou zřejmé z uvedeého. Nebylo všk ouzováo kuiové zožděí fáze zkoumých roximcí. Fázové vltoti zde eloužily jko kritérium. Přitom ři řeou igálů imulového chrkteru hrje kuiové zožděí vážou roli ideálě by mělo být kottí. Tomu odovídá lieárí závilot fáze frekveci. Z hledik kuiového zožděí je vhodější roximce Butterworthov ež Čebyševov ři jik rovtelých rmetrech modulu řeou. To je zřejmé ze zázmu řeou imulů dolích routí obr. 7 obr. 8. Obr. 7 Přeo imulu, Butterworthův filtr 5. řádu, dolí rout kz [TEXAS] Obr. 8 Přeo imulu, Čebyševův filtr 5. řádu, zvlěí db, dolí rout kz [TEXAS] MI - červe

35 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Skuiové zožděí D Butterworthových filtrů růzého řádu je obr. 9. D [] Obr. 9 MI - červe 5

36 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Příkld kuiových zožděí D Čebyševových filtrů je kvlittivě obr.. D [] Obr. Exitují i roximce, kde e otimlizuje kuiové zožděí D. MI - červe 6

37 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů IV. MAXIMÁLNĚ PLOCÝ PRŮBĚ SKUPINOVÉO ZPOŽDĚNÍ Kritériem ro roximci je yí růběh kuiového zožděí D. Vyjděme z elemetárích dříve uvedeých vzthů. Pro : j j j ImP j Φ rctg rctg Re P j D d dφ d rctg d x rctgx D... Pro dožeí mximálě lochého růběhu kuiového zožděí můžeme zjitit hodu koeficietů u tejých moci v čitteli jmeovteli, ro tedy: Volíme-li ormové zožděí D, muí ltit MI - červe 7

38 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 8 Pltí tedy, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro Pro : j j j rctg Φ ; 6... d d D Φ Oět volíme ormové zožděí D, muí ltit: ; ; ; ; ; ; 6 7

39 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Řešeím kvdrtické rovice zjitíme, že může bývt hodoty 6. Pro 6 je 6 5. Pltí tedy, že kuiové zožděí má mximálě lochý růběh ro Pro je, ejedá e tedy o urwitzův olyom. Předvedeý otu je ro větší hodoty obtížý. Vhodější otu vyrcovl [Storch], viz ř. i [Blbi, Guillemi,...]. Sdo určíme, že ormový řeo má modul ezávile jeho fáze ex j ex j ex j Φ Skuiové zožděí ormové hodotu ro tuto řeoovou fukci je D dφ d což je ideálí tv z hledik kuiového zožděí. Pltí ovšem McLuriov řd ex x Ideálí řešeí by tedy bylo relizováo ekoečě ložitým ytémem. x k k! MI - červe 9

40 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pokud e omezíme ouze řdu koečé délky omezeou, ořezou ukázlo e [Ivero], že již ro 5 obhuje rovice ex x x k k! k x k! vždy komlexě družeé kořey, jejichž reálá čát je kldá, ejedá e tedy o urwitzův olyom. Tkové ytémy by ebyly tbilí, tedy emá myl je relizovt. Zde e využije jié vltoti urwitzov olyomu. Předokládejme, že máme olyom řádu P S L k Polyom S tvoří čley e udou mociou ; olyom L tvoří čley lichou mociou. Nutou otčující odmíkou ro urwitzův olyom je, že všechy koeficiety v rozvoji odílu S L řetězové zlomky jou kldé. Vrťme e yí k řeou ex!! 5 6 5! 5! 6!... k 6!! 6!...! 5!... coh ih Záme tedy udou i lichou čát oždového řeou můžeme určit odíl MI - červe

41 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe !!... 6!!! ih coh !!... 5!!... 5!!... 6!!! ih coh zbytek zbytek... 6! 5!... 5!!... 6!!!... 5!!... 6!!! zbytek... 6! 5!... 6! 5!... 6! 5!... 5!! ih coh zbytek zbytek ! 5!... 5!! 6 5 zbytek ! 5! ih coh 6 zbytek

42 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pokud yí oždujeme roximci řádu, je oledím čleem řetězového zlomku čle. Řetězový zlomek tk roximuje lieárí růběh fáze mximálě lochý obdobě jko tomu bylo modulem řeou u Butterworthovy roximce. Po elemetárích úrvách zíkáme udou lichou čát urwitzov roximčího olyomu, jejich oučtem obdržíme Beelovy olyomy. Pro tedy ltí coh ih Tedy Poždový řeo lieárí fází je tedy P Pro ltí coh ih Tedy Poždový řeo lieárí fází je tedy P Zíké výledky e hodují výledky zíkými elemetárími otuy. MI - červe

43 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů V [Blbi] je uvede ro Beelovu roximci obecý vzth ve tvru b k b b k k! k k! k! k b B rověž e uvádí rekuretí vzth, ř. [LAM, uelm,...] B B B Pro tk říkld zjitíme z rekuretího vzthu, že B B B 7 ebo!!!!! b 5; b 5; b 5; b ; b!!!!!!!!!! Výledek je hodý. Pokud chceme zíkt i yí vzthy vhodé ro kkádí relizci, muíme určit kořey rovic B b B oět rozložit oučiy dílčích fukcí druhého řádu ro udé. Pro liché ouze řibude jede dílčí čle rvího řádu tb. z rktických důvodů budeme dále ro kkádí relizce oužívt obecě zái ouvilot ředchozími formmi záiu je zřejmá: MI - červe

44 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů k Ak k k ro udé b b k A b b bk Ak b ro liché k k k b b b -,, - -, 85, , ,79 9,,7 579,87 8 5, ,7 9,7 8,69 9 8,56 5 Tb. odoty dílčích fukcí ro Beelovu roximci Rozáhlé tbulky jou říkld v [Joho]. Zákldí výběr vhodý ro běžou rxi je říkld v [Pučochář; OZ v el.], včetě řdy řešeých říkldů. Viz i tbulky. MI - červe

45 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Útlumové chrkteritiky Beelových filtrů řevráceá hodot řeou jou obr.. Obr. α db Frekvece okleu řeou o db jou uvedey v tbulce. řád filtru 5,6,75,, Tb. Beelovy filtry frekvece okleu řeou o db MI - červe 5

46 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Průběhy kuiového zožděí jou obr.. D [] Obr. MI - červe 6

47 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Přeo imulu ro Beelův Thomoův filtr 5. řádu dolí rout kz [TEXAS] je obr.. Obr. Přeo imulu, Beelův filtr 5. řádu, dolí rout kz [TEXAS] Je zřejmé, že chováí Beelových Thomoových filtrů v čové oblti je ejleší. MI - červe 7

48 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů b b b -,5 65,56 - -,66 56,66 56, ,5 76,6 59,86 68,56 5,6, 96,5 78,586 5, Tb. Čebyševovy filtry DP zvlěí α, 5 db b b b -,97 7, 5 - -,9 7,9 7, ,79 7,986 55,67 79, ,89 9,78 97,988 5,68,9 98 Tb.b Čebyševovy filtry DP zvlěí α db b b b -,8 86, ,68 9,68 9, ,9 775,98 675,56, 568 5,8 8, 9,95 67,5,9 5 Tb.c Čebyševovy filtry DP zvlěí α db Řád filtru zvlěí v ámu routém α,5 db db db,9,8,7,68,95,,9,5,8 5,59,, Tb. d -db frekvece Čebyševových filtrů b b b -,, - -,,, - - -,765 67,,87 759, 5,,68,,68, Tb. Butterworthovy filtry MI - červe 8

49 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů IV. FREKVENČNÍ TRANSFORMACE [Novák,...] V ředchozí čáti byl oá řd jedodušších i ložitějších úvh, které vedly k roximci vltotí dolích routí DP odle růzě toveých kritérií. Je výhodé lézt zůob, jk využít roximce DP i ro řešeí jiých oužívých tyů filtrů. Zákldí trformce byl defiová zčátku mteriálu. Byl defiová komlexí ormový kmitočet, zde rerezetuje chrkteritickou vltot celého filtru. σ j Σ j ro který byly odvozey všechy vltoti ormových DP. Jedá e ouze o změu měřítk, k techicky otřebým hodotám e vrátíme zákldí ubtitucí deormlizce, odormováí, ormová DP deormlizová DP Nříkld z ormové dolí routi. řádu liché tk obdržíme ředokládáme jedotkový řeo b b b b b b b b Kkádí relizce bude obhovt jedu dolí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu dolí rout. řádu DP chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo DP běžým techickým záiem modelem Q MI - červe 9

50 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 5 Rověž je zřejmé, že muí ltit b b Q Q. Pro dílčí olyomy DP. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je k b k čiitel jkoti je k k k b Q Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu dolí rout. Trformce DP horí rout P Použijeme ubtituci Jko říkld oět oužijme ormovou DP. řádu DP rototy: b b b b b b b b b b b

51 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Kkádí relizce bude obhovt jedu horí rout rvího řádu chrkteritickým kmitočtem b jedu horí rout. řádu P chrkteritickým kmitočtem b - orováme-li řeo P běžým techickým záiem modelem Q Rověž je zřejmé, že muí ltit Q b Q b b b b. Pro dílčí olyomy P. řádu tedy bude vždy ltit, že jim odovídjící chrkteritická dílčí frekvece je čiitel jkoti je k b k Q b k k k Je li liché, ltí ro řeo rvího řádu dílčí b Tyto rmetry otřebujeme zát ro techickou relizci rvků kkádího řeoového řetězce tyu horí rout. Porováím zjitíme, že óly řeoových fukcí DP P e obecě liší. Pouze ro Butterworthovu roximci, kde b k ro ε e oloh ólů řeoových fukcí eliší. MI - červe 5

52 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Trformce DP ámovou rout PP Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme ámovou rout. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Q Elemetárími úrvmi doějeme ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: Q kde výrz Q defiuje oždovou šířku roouštěého ám. Je zřejmé, že ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. Trformce DP ámovou zádrž PZ Vezměme z zákld ormový řeo dolí routi oždujme zádrž. řádu model běžě oužívý v techické rxi. Muí otom ltit rovot Q Elemetárími úrvmi doějeme i yí ke vzthu, který je v litertuře ro tuto trformci uvádě: MI - červe 5

53 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Q kde výrz Q defiuje oždovou šířku zdržového ám. Je zřejmé, že i ři tomto dozeí do řeou DP rototyu e řád filtru zdvojáobí roti ůvodímu řádu DP rototyu. MI - červe 5

54 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů V. PŘÍKLAD APROXIMACE A REALIZACE Poždujeme DP, α, db f kz. Je oždová útlum α db f, 58 kz. Určíme π ;,58, 58. Rozhodeme e ro Čebyševovu roximci viz čl. III. Potřebý řád filtru je α rg coh α rgcoh, rgcoh, rgcoh,58,9 Volíme liché. ε α,,67 v rg ih ε rg ih,67,6769 π π ih v i j coh v co π π,798i j,768 co 6 6 MI - červe 5

55 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů π π ;,798i j,768 co,66 j, ; π π,798i,768 co,798 6 j 6 ; π π,798i 6 j,768 co 6,66 j, P,798,798,66,798,885 Přeoová fukce ro ormlizový filtr tedy je j,786,66 j,786,798,798,885,798,885 Čiitel jkoti dílčího filtru. řádu je viz k. IV coh rg coh,67,96 Q b,885,798,555 MI - červe 55

56 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Deormlizový řeo filtru oždových vltotí: π π f 6,8,798 6,8,798 6,8,58,58,885 6,8,798 6,8,885 6,8 9 5,65,58 5,65 9 Pro relizci oždových vltotí mezí frekvecí celého filtru řádu chrkteritickou dílčí frekvecí 9 5,65 7,7 rd čiitelem jkoti 555 Miim mxim π π co co 6 π f 6,8 rd tedy otřebujeme jedu dolí rout.,58 rd jedu dolí rout. řádu chrkteritickou frekvecí dílčí Q,. Přeo oklee o db frekveci f, f 9 kz. π co 6 MAX ;,8665 ; co ; MAX MAX π co co π π 6 MIN ; ; co π,5 ; Zkotrolujme ze zákldí fukce tbulk 5. C MIN co MIN MI - červe 56

57 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C C ε j ε C POZNÁMKA db MAX,5-7,59. -,9665 -,db MIN,8665 -,7. -6, db MAX 7,59. -,9665 -,db MIN Tb.5 Rozložeí miim mxim Poždovou řeoovou fukci lze relizovt řdou růzých zojeí. Pokud možo volíme truktury bez idukčotí, tzv. truktury RC. Relizujme ejdříve řeo zojeím z obr.. Při volbě této truktury emůžeme libovolě volit řeo K ro ízké kmitočty, te je urče oždovým čiitelem jkoti. To všk eí v techické rxi obvykle závdu. Pro dílčí filtr. řádu muí ltit ; Q K RC Zvolme R k, otom C R 7,7 7, 9 Dále muí ltit, že K Q, 559 ; volíme-li hodotu rezitoru R f, otom ro dožeí oždového čiitele jkoti ltí ro rezitor K R Q R R k,555 k,559 k. f f f F. MI - červe 57

58 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Poždovou chrkteritickou frekveci C R,58 R R k,9f. d d d d Výledé chém je obr..,58 relizujeme rvky d Cd R ;. Pltí Rd Cd. Zvolme R d, otom 7,9 F k k k 7,9 F,9 F U U k,559 k U i Obr. Čebyševov dolí rout e zvlěím, db; f kz MI - červe 58

59 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Této truktuře odovídá řeoová fukce K,559, ,65,58 5,65 9,58,58 ovšem ouze tehdy, je-li výtu dolí routi eztíže vtuí imedce áledující truktury je ekoečě velká. Rověž muí ltit, že zdroj igálu U má ulovou výtuí imedci. V očém řídě by e tto imedce řdil do érie R to by vedlo ke změě vltotí filtru. 7,9 F k k k OZ 7,9 F OZ,9 F k,559 k R R b Obr. 5 Čebyševov dolí rout e zvlěím, db; f kz vrit oddělovcím zeilovčem MI - červe 59

60 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Z ceu jedoho oerčího zeilovče OZ můžeme trukturu dále urvit iž e měí rozložeí ólů řeoové fukce obr. 5. Nyí již může být výtu filtru ztíže, rotože oerčí zeilovč má ideálě ekoečý vtuí odor eovlivňuje oměry v obvodu k,9f. Nvíc váší do truktury dlší zeíleí ideálě frekvečě ezávilé: R R. Struktuře obr. 5 odovídá řeoová fukce K,559 b 9 5,65,58,559 9,58 5,65,58 R b R Ještě i zojeí obr. 5 lze mírě urvit změit ořdí v kkádě řeo truktury e již eměí obr. 6. 7,9 F k,9 F OZ k k OZ 7,9 F R R b k,559 k Obr. 6 Čebyševov dolí rout e zvlěím, db; f kz jiá vrit oddělovcím zeilovčem MI - červe 6

61 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Obrovkou výhodou hor oých filtrů je to, že můžeme velmi do tvovt čiitel jkoti eměí e chrkteritický kmitočet dílčího filtru. řádu. Součě e změou čiitele jkoti e ovšem měí i řeo ízkých kmitočtech. Jiá možá relizce [Pučochář;OZ v elektroice, tr. ] je obr. 7 C R R R C C Obr. 7 Čebyševov dolí rout e zvlěím, db; f kz zeilovče zojey jko ledovče ideálě řeoem ; R, 5 k; C,55 F; C, F; C 9, F Filtr. řádu je defiová rvky R, C. Sledovč ouze imedčě odděluje áledující tueň kkády. Pltí RC. Zvolme R, otom C R b R,58 R R,5 k,55f. MI - červe 6

62 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 6 Pro dílčí filtr. řádu ltí ři dé relizci; rvky,, C C R ledovč C C R Čiitel jkoti eí yí možé tvovt zeíleím zeilovče, je urče oměrem kcit kcit C zvádí kldou zětou vzbu, zvětšováí její hodoty vede ke zvětšováí čiitele jkoti. Pltí C C Q Zvolíme li hodotu R, můžeme určit R C C ; C Q C C ; R Q Q C C C C Q C C R b Q R Q C Dále ltí R Q R R Q C R C R b Q R Q C

63 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Po dozeí oždvků R,5 k zíkáme hodoty uvedeé obr. 7. Pro kotrolu Q,5 C C,5 9,,, 55. Struktuře obr. 7 odovídá řeoová fukce,58,58 9 5,65,58 5,65 9 Přeo truktury je ice rove jedé, mohem obtížější je ovšem tveí čiitele jkoti - muíme tále udržovt kottí ouči C C, ři rktickém tvováí tedy muíme měit obě kcity. R Možé zojeí relizcí filtru. řádu obvodem RLC je obr. 8 U R L U R d C U K U K C C d Obr. 8 Čebyševov dolí rout e zvlěím, db ideálě řeoem ; f kz; K oddělovcí zeilovč; R R d k; C,5 F; L,65 m; C d,9 F MI - červe 6

64 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Pro vytvořeí řeoové fukce. řádu je yí využit obvod RLC, oddělovcí zeilovč ekoečou vtuí ulovou výtuí imedcí zmezuje ovlivňováí řeou čláku RLC áledující dolí routí. řádu. Pomocí elemetárích otuů určíme, že ltí U U K U C C LC K K K K U R L C R L LC Q LC; R L Q Q L R Volíme li hodotu R do určíme: dále C L R Q C L R Q R Q Vyjdeme-li i yí ze zíké roximce 7,7 rd; Q, 555 zvolíme oět R R d k, zíkáme hodoty L,65 m C,5 F, C d je ři dé volbě R R d k tejá jko obr. ž obr. 6. MI - červe 6

65 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Struktuře obr. 8 odovídá řeoová fukce K,58,58 9 5,65,58 5,65 9 Všechy hor uvedeé říkldy relizce tedy vykzují okle řeou, db frekveci kz okle řeou db frekveci kz,9 kz. Nvrhěme tedy i Butterworthův Beelův filtr okleem řeou db této frekveci. Butterworthův filtr. řádu; f f,9 kz zde rávě okle řeou db Z tbulky zjitíme, že b b b b Zřejmě ltí, že π,9 7,7 ; Q. Rozhodeme li e ro relizci omocí truktury obr. 7, můžeme oužít ro ěj uvedeé vzthy: C R R π,9 R R,5 k 8,6 F C R R Q C Q Q Q C Q C Q 7,66 F R R,65 F Poměr kcit je ro dý ty filtru roximci tyický. MI - červe 65

66 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Nyí můžeme určit i řeo f,58 kz. Pltí yí,58,9. Proto můžeme využít vzth j Smozřejmě můžeme dodit f,58 kz římo do vzthu 6 j, 8, db... j j, Je zřejmé, že útlum Butterworthov filtru f,58 kz je meší ež ro filtr Čebyševův. Rozdíl v útlumu by byl ještě větší, kdyby e jedlo o Čebyševův filtr. řádu větším zvlěím v ámu routém. Beelův filtr. řádu; f,9 kz zde rávě okle řeou db Pro Beelův filtr. řádu ltí tbulk, že, 75. Poždujeme li tedy f, 9 kz, muí být f f, tedy f f,9.,75 7, kz; πf 9 rd. Z tbulky zjitíme, že b b, 6,59 5 b b,,6778 6, ,; 6,59,55; Q,55,6778,69 I yí volíme relizci omocí truktury obr. 7. Potu je tejý, jko u Butterworthov i Čebyševov filtru: MI - červe 66

67 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C R R, R R,5 k 6,5 F C,5 k Q R Q R R C Q Q R,5 k R R 8, F, F Nyí můžeme určit i řeo f,58 kz. Pltí yí,58 7,, 5. Vyjděme yí z ormového tvru řeou 5 5 j j 6 j,,5 5,5 58,5 j9,65,9 db j ,5 j9,65 Útlum Beelov filtru f,58 kz je meší ež ro filtr Butterworthův. Normové kuiové zožděí je ro ormový filtr. Pro dé roto yí ltí D dφ d dφ d d d D 9, 66. Výledky ro trukturu obr. 7 jou hruty obr. 9. MI - červe 67

68 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů C R R R C C Obr. 9 Dolí rout. řádu; f, 9 kz okle řeou o db; R 5 C,55 F; C, F; C 9, F - Čebyševov dolí rout e zvlěím, db; f kz b C 8,6 F; C,65 F; C 7,66 F - Butterworthov dolí rout; f,9 kz c C 6,5 F; C, F; C 8, F - Beelov dolí rout; f 7, kz Z odtty oužitých vzthů je zřejmé, že změ chrkteritických frekvecí řelděí zámé truktury je velmi dá, chrkteritiky roximcí jou řitom zchováy. Potřebujeme li hodotu f zvětšit,9 kz tedy deetkrát, tčí zmešit všechy odory R deetkrát. Nebo hodoty všech kcit zmešíme deetkrát. Nebo odory zmešíme dvkrát kodezátory ětkrát odle možotí rktické relizce. Máme li trukturu chrkteritickou frekvecí f f oždujeme ovou frekveci f k f ; f k f, doáheme toho volbou R R k kodezátory eměíme ebo Ci C i k odory eměíme ebo RCi R C i k měíme odory i kodezátory. Pro k meší ež jed ižováí frekvece to mozřejmě vede ke zvětšováí hodot oučátek roti výchozímu tvu. MI - červe 68

69 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů VI. ISTORIE Z kotextu je zřejmé, že ve jmeovteli řeoové fukce muí být vždy urwitzův olyom. Pouze v tom řídě je obvod tbilí tedy i relizovtelý. Tto roblemtik byl tudová již v 9. toletí, tejě jko roblemtik roximcí. MI - červe 69

70 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Str MI - červe 7

71 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 7

72 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 7

73 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 7

74 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Chebyhev, P. L., Théorie de mécime cou ou le om de rllélogrmme, Mém. Acd. Sci. Péterb. 7 85, Alo to be foud i Oeuvre de P. L. Tchebychef, Volume, -, Chele, New York, 96, from where thi er w ced.... MI - červe 7

75 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů MI - červe 75

76 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů Zolotrev, E. I., Prilozheie ellitichekikh fukcij k vorom o fukciykh, jmeee i ibolee otkloyykchikhy ot uly, Oeuvre de E. I. Zolotrev, Volume, Izdt. Akd. Nuk SSSR, Leigrd, 9,. -59 i Rui. The Eglih title i ``Alictio of ellitic fuctio to roblem of fuctio devitig let d mot from zero''. The origil ered i Ziki St-Peterburg Akd. Nuk 877. MI - červe 76

77 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů VII. LITERATURA [Blbi] Blbi, N.: Sytéz elektrických obvodů. SNTL, Prh 965 [Bru] Bru, J., Čížek, V., Kvil, J., Novák, M.: Alýz lieárích obvodů outv. SNTL, Prh 97 [Butterworth] Butterworth, S.: O the Theory of Filter Amlifier. Wirele Egieerig, 9, [Čjk] Čjk, J., Kvil, J.: Teorie lieárích obvodů. SNTL, Prh 979 [Dvídek] Dvídek, V., Liert, M.: Alogové čílicové filtry. ČVUT, Prh [Guillemi] Guillemi, A. E.: Sythei of Pive Network. Joh Wiley & So, Ic., New York, 957 ruky Svjz, Mokv 97 [urwitz] urwitz, A.: Ueber die Bediguge, uter welche eie Gleichug ur Wurzel mit egtive reele Theile beitzt. Mth. A ,. 7-8 [uelm] uelm, L. P., Alle,P. E.: Itroductio to the Theory d Deig of Active Filter. Mc Grw ill, 98 ruky Rdio i vjz, Mokv 98 [Ivero] Ivero, K. E.: The Zero of the Prtil Sum of e z. MTAC, vol. VII 95, July, [Joho] Joho, D., Joho, J., Moore,.: A hdbook of ctive filter. Pretice ll, Ic., Eglwood Cliff, 98 ruky Eergoizdt, Mokv 98 [Kvil] Kvil, J., Čjk, J.: Úvod do ytézy lieárích obvodů. SNTL, Prh 98 [Lm] Lm,, Y F.: Alog d Digitl Filter. Pretice ll, Ic., Eglwood Cliff, 979 MI - červe 77

78 Pučochář, J.: Využití roximčích fukcí ro kkádí ytézu filtrů [Le] Le, A. A.: Otimálí ytéz lieárích obvodů. SNTL, Prh 97 [Novák] Novák, M., Vlček, M.: Sytéz řeoových fukcí elektivích outv. Acdemi, Prh 98 [Pučochář] Pučochář, J.: Oerčí zeilovče v elektroice. BEN, Prh. vydáí 996, 5. vydáí [Pučochář] Pučochář, J.: Lieárí obvody elektroickými rvky. VŠB TU Otrv, [Routh] Routh, E. J.: A tretie o the tbility of give tte of motio. Mcmill d co., Lodo 877 [Storch] Storch, L.: Sythei of Cott Time Dily Ldder Network Uig Beel Polyomil. Proc. IRE, vol. 95, [Thomo] Thomo, W. E.: Dely Network vig Mximlly Flt Frequecy Chrcteritic. Proc. IEE, t., vol , [TEXAS] Tex Itrumet: SBFAC Jue 99 Revied Februry, USER S GUIDE [V Vlkeburg] V Vlkeburg, M. E.: Alog Filter Deig. Oxford Uiverity Pre, 98 MI - červe 78