( ) ( ) Úpravy algebraických výrazů. Mocniny a odmocniny. a a. b b. b a 1 = 1, ( 1) = 1, ( 1) = 1
|
|
- Tereza Kopecká
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Úrvy lgebrických výrzů Mociy odmociy Pro kždé reálé r, s kždé > 0, b > 0 (res ro kždé celé r, s kždé 0, b 0 ltí: r 0 s rs, r r ( b b r r r r s r+ s b b r s rs b : b Dále ltí +, (, ( Je-li N, 0, eistuje rávě jedo číslo 0 tk, že zčí se Je-li číslo < 0, > 0 liché, má rovice r íšeme Neí-li liché, symbol ro < 0 edeiujeme r r Toto číslo se zývá -tá odmoci z čísl rávě jedo reálé řešeí, totiž číslo < 0 Místo POZOR: sudé odmociy jsou deiováy ouze ro ezáorá čísl, liché odmociy jsou deiováy ro všech reálá čísl (tedy i ro záorá! Pltí + 0 0,,, b b,, b b m m m m,,, b b m m Pro > 0, N, r Z deiujeme r r Potom ltí: r r r r r r Pro všech > 0, b > 0 ro všech r Q, s Q ltí: r r r r s r+ s r s r s r r r rs, (, ( b b,, r s b b POZOR! (, le!
2 Umocňováí rozkld dvojčleů ± b ± b + b, ± b ± 3 b + 3 b ± b, ± b ± 4 b + 6 b ± 4 b + b, obecě (Newtoov biomická vět: Čísl ( k ( ± ± ( k k k k b b ; k 0 jsou tzv biomické koeiciety (kombičí čísl,! k ( k! k! Jejich hodoty lze sdo jít omocí Psclov trojúhelíku: mocitel dvojčleu biomické koeiciety ( zčátku koci kždého řádku je jedičk, dlší čísl jsou vždy součtem ejbližších dvou čísel o řádek výš Pro rozkld dvojčleů ltí: b ( + b( b 3 3 ± b ( ± b( b + b 4 4 b ( + b( b( + b + b elze rozložit 3 k k k b ( + b( b + b + ( b + + b b b ( + b( b + b + ( b + + k k k Rozkld olyomu P b b kořeové čiitele: Pltí-li P 0 0, zývá se číslo 0 koře olyomu P (, výrz 0 kořeový čiitel ltí P ( Q 0 Polyom -tého stuě má (v oboru komleích čísel rávě kořeů Jsou-li,,, (e utě růzé kořey (reálé ebo komleí olyomu P (, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále 0 ( Pro kořey olyomu druhého stuě + + ltí zámý vzorec b ± b 4c, ; P b c k ± k c je-li koeiciet b sudý, b k, můžeme oužít vzorec, Zřejmě ltí P + b + c ( (, tedy ro je ( ( ( + + b ( +, c ; jik ltí ( ( ( + + b ( +, c obecě ro olyom P ltí 0 ( 0
3 Fukce IDA: Fukce (zobrzeí : A B, y je odmoži krtézského součiu A B (relce z A do B, ro kterou ltí: A! y B : (, y Jsou-li možiy A, B koečé, můžeme říslušé možiy A, B, jejich krtézský souči A B i ukci A B zdt výčtem rvků; jsou-li tyto možiy ekoečé, oíšeme říslušé řiřzeí omocí ředisu (výrokovou ukcí, ř {(, } y y Obvykle rozumíme ukcí rávě teto řiřzovcí ředis tk, jk se ukce deiovl středí škole: Středí škol: Fukce je ředis, který řiřzuje kždému rvku ějké možiy (deiičího oboru možiy (oboru hodot H Tímto zůsobem budeme chát ojem ukce v ředmětu IMA tedy i v tomto semiáři D rvek jié Fukcí (jedé roměé obvykle rozumíme tkové zobrzeí, kdy deiičí obor i obor hodot jsou číselé možiy Budeme se věovt řevážě reálým ukcím jedé reálé roměé, tedy zobrzeím : D H, D R, H R Je-li ukce zdá ějkým ředisem, řičemž eí elicitě zdá její deiičí obor, rozumíme jím možiu všech R, ro která má říslušý ředis smysl Tuto možiu zýváme řirozeým deiičím oborem ukce Gr ukce jedé roměé je moži bodů v roviě dá vzthem Γ (, y D y { } tedy rávě t moži, omocí íž se deiuje ukce v ředmětu IDA Rovost ukcí: Přímo z deiice ojmu ukce lye, že ltí g, jestliže D Dg : g Zúžeí ukce: Zúžeí ukce možiu M (ebo též rciálí ukce je ukce dé ředisem : M M M D M s deiičím oborem D M Některé tyy ukcí: Fukce je rostoucí res klesjící možiě M, ltí-li, M < ( < ( res < ( > ( eklesjící res erostoucí možiě M, ltí-li, M < ( ( res < ( ( Fukce je rostá, ltí-li, D : ( ( Fukce je sudá res lichá, ltí-li ( res ( D eriodická, jestliže 0tk, že ltí ( + D
4 Fukce je ohričeá (shor res zdol, je-li její obor hodot ohričeý (shor res zdol, tedy ltí-li k R y H : y k res k y Vytvářeí ových ukcí z dých ukcí, g, ϕ (vzthy ltí ro všech z deiičích oborů vziklých ukcí složeá ukce iverzí ukce ϕ (čti o ϕ je dá vzthem ( ϕ ( ϕ, má iverzí ukci je ukce s deiičím oborem rovým oboru hodot ukce s vlstostí y ( y - je rostá jsou vzájem souměré odle římky y Gry ukcí (osy 3 kvdrtu součet, rozdíl, souči odíl ukcí ukce ± g, g, s vlstostmi g ± g + g, g g, g g Elemetárí ukce Polyomy jsou ukce zdé omocí ředisu tvru P řičemž je stueň olyomu, i 0 je koeiciet u i-té mociy i je bsolutí čle 0 Číslo 0, ro které ltí P 0 0, je koře olyomu Je-li 0 koře olyomu P 0, zývá se výrz 0 kořeový čiitel, řičemž ltí P ( 0 Q Vlstosti olyomů - olyom -tého stuě má v oboru komleích čísel rávě kořeů - jsou-li,,, (e utě růzé kořey olyomu P (reálé ebo komleí, ltí P ( ( ( - rozkld kořeové čiitele dále ( - 0 Fukčí hodoty olyomu určujeme omocí Horerov schémtu Určeí P ( α ro b P : i i 0 i 0 b α b + b i α b + i i b0 α b + P( α α b0 + 0 α i Přitom ltí α ( i 0 P ( b + b + + b + + b + b + P( α Je-li α koře olyomu P, tedy ltí P ( α 0, dostáváme v dolím řádku tbulky koeiciety olyomu, který vzike o vytkutí kořeového čiitele α
5 Seciálí řídy: Lieárí ukce je ukce tvru k + q, D R, H R (ro k 0 Grem je římk: (0 k 0 + q q - úsek ose y k k tgϕ - směrice q 0 k + q růsečík k s osou Kvdrtická ukce je ukce tvru b c + +, D R, grem je rbol: b b b b b y + b + c y c y c rovice tvru y b k ( ; V [, b] je vrchol rboly k >, je rbol otevřeá horu, v itervlu (, ukce klesá, v itervlu (, k <, je rbol otevřeá dolů, v itervlu (, ukce roste, v itervlu (, Je-li 0 je-li 0 roste; klesá y y k > 0 otevřeá horu V, 0 ( 0 vrchol [0, 0] y y 0 (, vrchol V [, 0], k > 0, otevřeá horu y + y + ( +, vrchol V [, ], k > 0, otevřeá horu y y ( 0, vrchol V [0, ], k < 0, otevřeá dolů Rcioálí lomeé ukce P jsou ukce tvru R, Qm kde P res Qm ( jsou olyomy stuě res m Rcioálí ukce je ryze lomeá ro < m eryze lomeá ro m
6 Seciálí říd: + b d Lieárí lomeá ukce je ukce tvru,, b, c, d R,, c 0 c + d c b d + b c b d řičemž y y d eboli d c d c c + c c + můžeme urvit tvr c ( c grem je hyerbol s vrcholem V [, b] symtotmi, y b y b k ; Nříkld ro ( y 5 je grem hyerbol y + 5, V, symtoty, y, která má vrchol [, ] je rostoucí itervlech (, (, rostá celém deiičím oboru Mocié ukce jsou ukce tvru, kde R Přitom mohou stt tyto možosti: 0 - jedá se o kosttu b je řirozeé číslo, N Potom se jedá o seciálí říd olyomu r c je celé záoré číslo, r, r N Potom, D R { 0 } r d je řevráceá hodot řirozeého čísl, Potom, D 0, ro sudé, D R ro liché q q e je rcioálí číslo, Potom je složeá ukce, q je ircioálí číslo Potom D 0, ro > 0 D (0, ro < 0 Gry mociých ukcí : q
7 Eoeciálí ukce jsou ukce tvru, kde > 0; D R, H (0, Fukce je rostoucí ro >, klesjící ro 0 < < ; ro se jedá o kosttu ( Gry všech eoeciálích ukcí rocházejí bodem [0,] Logritmické ukce ři zákldu, kde 0 < < ebo k ukcím, tedy ltí >, jsou ukce tvru log ; D ( o, log H R jik řečeo log je číslo, ěž je třeb zákld umocit, bychom dostli číslo Jsou iverzí Logritmická ukce ři zákldu e,78888 se stručě zývá logritmická ukce (řirozeý logritmus zčí se l : log e Logritmickou ukci ři zákldu 0 (dekdický logritmus zčíme log : log0 logb l Je-li > 0, b > 0, řičemž, b, ltí log, seciálě log logb l Všechy logritmické ukce rocházejí bodem [,0] Gry eoeciálích ukcí Gry logritmických ukcí Goiometrické ukce ebo tké trigoometrické ukce reálého rgumetu (úhlu v obloukové míře jsou ukce si, cos, tg, cotg Lze je zvést omocí jedotkové kružice tkto: je-li délk oblouku jedotkové kružici mezi bodem [,0] růsečíkem této kružice s olořímkou, která vychází z očátku souřdic, je si rove druhé souřdici tohoto růsečíku, cos jeho rví souřdici Zřejmě ltí zákldí trigoometrická idetit + (z Pythgorovy věty si cos
8 Dále deiujeme si cos tg, cotg cos tg si { k π k Z} { kπ k Z} D D R, D R ( +,, D R, si cos tg cotg Fukce si cos jsou eriodické s eriodou π, si je lichá, cos sudá, ukce tg cotg jsou liché ukce eriodické s eriodou π Gry ukcí ( si ( cos ( tg ( cotg Hodoty goiometrických ukcí ro ěkteré rgumety: 0 π / π 3 π / π π / 6 π / 4 π / 3 si / / 3 / cos / / / tg 0 eí de 0 eí de 0 3 / 3 3 cotg eí de 0 eí de 0 eí de 3 3 /3 Užitečé vzthy: π si si( π si( π + si( π, 0, ltí : cos cos( π cos( π + cos( π, tg tg( π, cotg cotg( π
9 Vyjádřeí goiometrické ukce dého rgumetu omocí jié goiometrické ukce téhož rgumetu: si cos ± si tg si cotg si cos tg cotg ± tg ± si ± cos + tg + cotg ± ± si cos + tg ± si si ± cos cos ± cos cos tg tg ± cotg + cotg cotg cotg Následující idetity ro goiometrické ukce ltí vždy ro ty rgumety, ro které mjí obě stry smysl: Součtové vzorce: tg ± tg y si( ± y si cos y ± cos si y tg( ± y tg tg y cotg cotg y cos( ± y cos cos y si si y cotg( ± y cotg ± cotg y Pro souči goiometrických ukcí ltí: si si y cos( y cos( + y si cos y si( + y + si( y cos cos y cos( y + cos( + y cos si y si( + y si( y Goiometrické ukce ásobků rgumetů: tg tg si si cos cos cos si + tg + tg 3 si 3 3si 4si cos 3 4 cos 3cos tg cotg tg cotg tg cotg tg cotg cotg tg Goiometrické ukce olovičích rgumetů: ( cos si cos cos si + si si tg + cos si + cos ( + cos si cos cos + + cos + si + si cotg cos si cos Mociy ukcí si cos : 3 si cos si 4 3si si 3 cos + cos cos 3cos + cos 3 3 4
10 Alytická geometrie Vektorem v roviě (res v rostoru rozumíme možiu všech rovoběžých souhlsě orietových stejě dlouhých úseček Zvolíme-li jedu kokrétí z těchto úseček, ř u AB, mluvíme o umístěí vektoru do očátečího bodu A Jestliže vektor umístíme do očátku souřdé soustvy [0,0] (res [0,0,0], otom souřdice kocového bodu jsou souřdice vektoru u Je-li vektor umístě v bodě A, u AB, A [, ], B [ b, b ] (res A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], B A b, b u b, b, b otom ro souřdice vektoru u ltí u (res Ze vzthu u B A lye B A + u Oerce s vektory u ( u, u, v ( v, v (res ( u, u, u, ( v, v, v Velikost vektoru u u + u (res u v : 3 3 u u + u + u 3 Očý vektor u ( u, u (res u ( u, u, u3 k-ásobek vektoru ku ( ku, ku (res k ( ku, ku, ku u, k R 3 O vektorech u k uříkáme, že jsou kolieárí 3 3 Rovost vektorů u v ( u v u v (res ( u v u v u3 v3 Součet vektorů u + v ( u + v, u + v (res u + v ( u + v, u + v, u3 + v3 Rozdíl vektorů u v ( u v, u v (res u v ( u v, u v, u3 v3 Lieárí kombice vektorů ku + kv ( ku + kv, ku + kv (res ku + kv ( ku + kv, ku + kv, ku3 + kv3, k, k R Sklárí souči vektorů u v uv + uv ( R (res u v uv + uv + u3v3 ( R, u v u v cosϕ, kde ϕ ( u, v, ϕ 0, π Vektorový souči vektorů u ( u, u, u, v ( v, v, v 3 3 (ouze v rostoru! je vektor (( uv3 u3v, ( u3v uv3, ( uv uv u v i j k u u u 3 v v v 3, který je kolmý roviu, v íž leží vektory u, v ro jeho velikost ltí u v u v siϕ (lošý obsh kosodélík tvořeého vektory u, v řičemž trojice vektorů u, v, u v tvoří rvotočivý systém (viz obrázek Přímk v roviě Prochází-li římk body A, B, otom ro bod X tedy ro ěkteré t R ltí X A t ( B A, eboli u v je vektor X A kolieárí s vektorem B A, X A + t ( B A, t R rmetrická rovice římky zdé dvěm body A, B Pro jedotlivé složky ro A [, ], B [ b, b ]: + t ( b, t R y + t( b
11 Prochází-li římk bodem A [, ] rovoběžě s vektorem s ( s, s, který se zývá směrový vektor římky, otom ro bod X je vektor X A kolieárí s vektorem s, tedy ro ěkteré t R ltí X A t s, eboli X A + t s, t R rmetrická rovice římky zdé bodem A směrovým vektorem s Pro jedotlivé složky je-li A [, ] s (, : s s + t s y + t s, t R Obecá rovice římky : + by + c 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí rmetru: dále t s s s t s s s ( s ( y 0 s y t ss y t s s s s y + s s 0 s, b s ( s s ( y ( s s ( X A,, 0, 0, tedy ro libovolý bod X římce + by + c 0 je olohový vektor X A Normálový vektor římky o rovici by c je vektor (, b Pro b 0 můžeme obecou rovici římky řevést směricový tvr kolmý vektor (, b b ( libovolý jeho ásobek c y k + q římk je grem lieárí ukce (viz kitol ukce 0 + by0 + c Vzdáleost bodu A [ 0 y0 ] od římky : + by + c 0: d(, A + b Odchylk římek : + b y + c 0, q : + b y + c 0 je rov úhlu jejich ormálových vektorů, ltí tedy Přímk rovi v rostoru (, b (, b + b b cos ϕ, ϕ 0, (, b (, b + b + b Alogickou úvhou, omocí které jsme odvodili rmetrickou rovici římky v roviě, odvodíme Prmetrické rovice římky zdé dvěm body A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ] : + t ( b, y + t( b, z + t b, t R π zdé bodem A [,, 3 ] směrovým vektorem s ( s, s, s3 : + t s, y + t s, z + ts t R 3 3 Přímku v rostoru lze zdt jko růsečici dvou rovi; obecá rovice římky v rostoru eeistuje! Jestliže z rmetrických rovic vyjádříme rmetr t vziklé vzthy orováme, dosteme tk zvé y z 3 koické rovice římky s s s 3 Třemi body A, B, C, které eleží v římce, je zdá rovi ρ, ro jejíž libovolý bod X je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů B A C A, ltí tedy X A t ( B A + t ( C A, t, t R X A + t B A + t C A rmetrická rovice roviy ρ zdé třemi body A, B, C eboli
12 ve složkách ro A [,, 3 ], B [ b, b, b3 ], C c, c, c3 : y + t ( b + t ( c t, t R z + t ( b + t ( c Prochází-li rovi ρ bodem A [,, 3] rovoběžě se dvěm ekolieárímii vektory u ( u, u, u3, v v, v, v, otom ro bod X ρ je vektor X A ěkterou lieárí kombicí vektorů u, v, tedy ro 3 ěkterá t, t R ltí X A t u + t v, eboli X A + t u + t v rmetrická rovice roviy ρ zdé bodem A ve složkách ro A [,, 3 ], u ( u, u, u, v ( v, v, v : Obecá rovice roviy ρ : + by + cz + d 0 se odvodí z rmetrických rovic elimicí ( Pltí tedy (,, ( 3 ( 3 b c k u v u v, u v u v, u v u v k u v ; teto vektor je kolmý směrové [ ] t ( b + t ( c dvěm ekolieárími vektory u, v + t u + t v y + t u + t v z + t u + t v 3 3 rmetrů: t u + tv v v ( v ( y t ( uv u v ( uv3 u3v y t u + tv v y tu + tv v 3 v3 ( y v ( z 3 t ( uv3 u3 v ( uv uv z 3 tu3 + tv3 v u v u v + y u v u v + z u v u v ( vektory roviy ρ, tedy (, b, c t, t R ormálový vektor roviy ρ Vzdáleost bodu A [ 0 y0, z 0 ] od roviy ρ : + by + cz + d 0 : d( ρ, A Kuželosečky jsou rovié křivky, které dostly solečý ázev roto, že vzikou jko řez kužele roviou odle toho, jký má tto rovi sklo vzhledem k ose res ovrchové římce kuželu, dosteme rbolu rovi je rovoběžá s ovrchovou římkou (která rochází vrcholem kuželu, b elisu rovi svírá s osou b kružici rovi je kolmá d hyerbolu rovi je rovo viz obrázek (který ochází z Wikiedie u kuželu úhel ( 0, π π osu kuželu ( ϕ, ϕ, oběžá s osou kuželu ( ϕ 0 + by + cz b + c
13 Elis je křivk, jejíž kždý bod má od dých dvou bodů v roviě stejý součet vzdáleostí Elis má dvě ohisk, ozčme je E F Elis obshuje dv hlví vrcholy A B dv vedlejší vrcholy C D Střed elisy, obrázku vrchol S, leží ve středu úsečky EF, tedy mezi ohisky Přímk, která rochází hlvími vrcholy ( tké ohisky, se zývá hlví os elisy, římk která rochází vedlejšími vrcholy, se zývá vedlejší os elisy Úsečk, která sojuje libovolý hlví bod střed elisy, se zývá hlví oloos N obrázku se jedá o úsečky AS BS Úsečk, která sojuje libovolý vedlejší bod střed elisy, se zývá vedlejší oloos N obrázku se jedá o úsečky CS DS Rovice elisy se středem v očátku souřdic osmi v souřdých osách má tvr y +, b S m, osy jsou rovoběžé se souřdými osmi, má rovice tvr je-li střed elisy v bodě [ ] ( m ( y + b V řídě b r dostáváme kružici s rovicí y r m + y r + res Hyerbol je kuželosečk, ro jejíž kždý bod ltí, že bsolutí hodot rozdílu vzdáleostí od dvou evě dých bodů je vždy stejá Bodům F F se říká ohisk Bod S se zývá střed hyerboly chází se ve středu úsečky F F Přímk F F se zývá hlví os hyerboly Kolmice k této ose v bodě S se zývá vedlejší os hyerboly Průsečíky hyerboly s hlví osou se zývjí vrcholy hyerboly, obrázku vrvo to jsou body A B Úsečky AS BS se zývjí hlví oloosy hyerboly Jejich délku zčíme Délku vedlejší oloosy hyerboly zčíme b Vzdáleost ohisk od středu se zývá ecetricit, zčíme ji e Pltí vzth e + b Přímky,, rocházející středem hyerboly rodloužeé úhloříčky obdélíku vytvořeého omocí oloos viz obrázek jsou symtoty hyerboly Rovice hyerboly se středem v očátku souřdic hlví osou v ose o res v ose o y má tvr y y res, b b
14 je-li střed hyerboly v bodě S [ m, ] ( m ( y ( y ( m hlví os je rovoběžá s osou o res s osou o y má rovice tvr res b b Prbol je křivk, která má od dé římky od dého bodu, který té římce eleží, kosttí vzdáleost Bod F se zývá ohisko rboly Přímk d se zývá řídící římk rboly Přímk FD se zývá os rboly, je kolmá k řídící římce rochází ohiskem Bod V se zývá vrchol rboly chází se ve středu úsečky FD Délku úsečky FD zýváme rmetrem rboly Jedá se o vzdáleost ohisk od řídící římky Rovice rboly U rboly rozlišujeme celkem čtyři růzé řídy Jk je orietová os rboly, tj jestli je os svislá (rovoběžá s osou y, jko obrázku, ebo jestli je os vodorová (rovoběžá s osou o Dále k rozlišujeme říd, kdy je rbol otevřeá horu ebo dolů levo ebo rvo Nechť má rbol V m, vrchol [ ] Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá horu Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + Prbol má osu rovoběžou s osou o y je otevřeá dolů Potom má rovici: m ( y y ( ohisko má souřdice F m, + 3 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dorv Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m +, 4 Prbol má osu rovoběžou s osou o je otevřeá dolev Potom má rovici: ( y ( m ohisko má souřdice F m, V řídech je rbol grem kvdrtické ukce, v řídech 3 4 se ejedá o gry ukcí (viz mtemtikcz
15 Komleí čísl Deiujeme imgiárí jedotku i jko číslo, jehož druhou mociou je, i Komleím číslem se zývá výrz z + y i kde, y R Přitom se zývá reálá složk, y imgiárí složk čísl z; íšeme Re z, y Im z Komleí čísl, jejichž imgiárí složk je ulová, ztotožíme s reálými čísly Komleí čísl, jejichž reálá složk je ulová, se zývjí ryze imgiárí Pro očítáí s komleími čísly ltí ásledující rvidl : Rovost komleíchčísel : Sčítáí (odčítáí Násobeí Děleí + y i + y i y y ( + ± ( + ( ± + ( ± y i y i y y i ( + ( + ( + ( + y i y i y y y y i y i + y y y y i yi + y + y Absolutí hodotu komleího čísl z deiujeme ředisem z + y i + y Komleě sdružeé číslo kčíslu z ječíslo z y i Pltí:, z z y i y i z z y i y i y z z + z z + z, z z z z z z z z, z z z z, + + z z Zázorěí komleích čísel Komleí čísl zázorňujeme jko body v roviě, které říkáme Gussov rovi ebo rovi komleích čísel Vodorová os souřdic se zývá reálá os, svislá imgiárí os [ ] Komleí číslo z + y i zázorňujeme jko bod, y Přitom zřejmě (odle Pythgorovy věty je z rov [ y] vzdáleosti bodu, od očátku souřdic z z
16 Úhel ϕ (v oboukové míře, který svírá růvodič obrzu čísl z s kldým směrem reálé osy, se zývá rgumet komleího čísl z zčí se rg z y rctg > 0 y rctg + π < 0, y > 0 rg z y rctg π < 0, y < 0 π y > 0 ± 0, y < 0 Nechť z + y i, ϕ rg z Výrz ( cosϕ siϕ z z + i se zývá goiometrický tvr komleího čísl z Je vhodý ro ásobeí umocňováí komleíchčísel : ( ( cosϕ siϕ ( cosϕ siϕ z z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ ( cosϕ + siϕ ( cosϕ + siϕ z z z + i z + i z z i z z z i z ( cos( ϕ ϕ i si( ϕ ϕ + ( ( ϕ ϕ ( ϕ ϕ z z cos + isi z cos + isi, kde Z Předchozí vzth se zývá Moivreov vět Řešeí rovice z, kde z je komleí číslo celé, je dáo rávě všemi čísly ϕ + kπ ϕ + kπ z cos + i si, k 0,,, Souhr těchto čísel zýváme -tou odmociou z čísl z Jestliže oložíme e iϕ cosϕ + isi ϕ ( Eulerův vzorec, dosteme eoeciálí tvr komleího čísl z z e iϕ Vzthy ro ásobeí umocňováí komleích čísel v eoeciálím tvru vyývjí z vlstostí eoeciálí ukce ( 0 0
Základní pojmy. Autorkou následujícího textu je RNDr. Vlasta Krupková, CSc. (UMAT FEKT VUT v Brně), které patří velký dík.
Zákldí ojmy Autokou ásledujícího tetu je RND Vlst Kuková, CSc (UMAT FEKT VUT v Bě), kteé tří velký dík Úvy lgebických výzů Mociy odmociy Po kždé eálé, s kždé 0, b 0 (es o kždé celé, s kždé 0, b 0 ) ltí:
VíceZákladní elementární funkce.
6. předášk Zákldí elemetárí fukce. Defiice: Elemetárími fukcemi zveme všech fukce, které jsou vtvoře koečým počtem zákldích opercí ze zákldích elemetárích fukcí. Zákldí operce s fukcemi jsou:. Sčítáí dvou
Více8. Elementární funkce
Moderí techologie ve studiu plikové fzik CZ.1.07/2.2.00/07.0018 8. Elemetárí fukce Historie přírodích věd potvrzuje, že většiu reálě eistujících dějů lze reprezetovt mtemtickými model, které jsou popsá
VíceAnalytická geometrie
Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceVEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ
VEKTOROVÁ LGEBR NLYTICKÁ GEOMETRIE V ROVINĚ Délk úsečk, střed úsečk,, B Délk úsečk B : B C, BC Střed úsečk : B S s, s souřdice středu: s, s Vektor Vektor = oži všech souhlsě orietových rovoěžých úseček
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY DUBNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T DUBNA 08 : 8. dub 08 D : 884 P P P S M. M. M. : 0 : 5,5 % : 0 : 7,8 : -7,5 M.. P : -6,0 : 9,7 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 09 T á D P č P č ů ú P ů ě S á :. úor 09 : 004 : 0 M. M. M. á : 9, % ě č M.. P ů ě ž ó : 0 ž ž ó : 0 ó : -7,5 ž ó : -,8 ó : 4,4 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 :. břez 08 D : 0 P P P : 0 M. M. M. :,8 % S : 0 : 7,5 : -7,5 M. P : -,0 : 0,6 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY ÚNORA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T ÚNORA 08 :. úor 08 D : 96 P P P : 0 M. M. : 0 : 0 M. :,4 % S : -7,5 M. P : -,8 : 4,5 Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90 miut
VícePOLYNOM. 1) Základní pojmy. Polynomem stupně n nazveme funkci tvaru. a se nazývají koeficienty polynomu. 0, n N. Čísla. kde
POLYNOM Zákldí pojmy Polyomem stupě zveme fukci tvru y ( L +, P + + + + kde,,, R,, N Čísl,,, se zývjí koeficiety polyomu Číslo c zveme kořeem polyomu P(, je-li P(c výrz (-c pk zýváme kořeový čiitel Vlstosti
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2018
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY Mtemtik T BŘEZNA 08 : 9. břez 08 D : 897 P P P : 0 M. M. M. :, % S : 0 : 0 : -7,5 M. P : -, : 0, Zopkujte si zákldí iformce ke zkoušce: Test obshuje 0 úloh jeho řešeí máte 90
VíceM - Posloupnosti VARIACE
M - Poslouposti Autor: Mgr Jromír Juřek - http://wwwjrjurekcz Kopírováí jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleo pouze s uvedeím odkzu wwwjrjurekcz VARIACE Teto dokumet byl kompletě vytvoře,
VíceAnalytická geometrie
7..06 Alytická geometrie Vektory Prmetrické vyjádřeí přímky roviy Obecá rovice droviy Vektorový prostor Nechť jsou dáy ásledující mtemtické objekty: ) ) ) 4) Číselé těleso T. Neprázdá moži V. Zobrzeí Zobrzeí
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 09 D : 30. břez 09 M. možé skóre: 30 Počet řešitelů testu: 85 M. dosžeé skóre: 30 Počet úloh: 30 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost: 9, % Mi. dosžeé skóre: -,8 Správé
VíceDIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ. 1) Pojem funkce, graf funkce
DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem ukce, gra ukce De: Fukcí reálé proměé azýváme pravidlo, které každému reálému číslu D přiřazuje právě jedo reálé číslo y H Toto pravidlo začíme ejčastěji
Více6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.1. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI
6. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI A ŘADY 6.. ČÍSELNÉ POSLOUPNOSTI V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme posloupost reálých ebo komplexích čísel; defiici vlstí evlstí limity poslouposti; defiici pojmů souvisejících
VíceVlastnosti posloupností
Vlstosti posloupostí Nekoečá posloupost je fukce defiová v oboru přirozeých čísel Z toho plye, že kždá posloupost má prví čle (zčíme ), koečé poslouposti mjí i čle posledí Př Vypište prví čtyři čley poslouposti
Více11.1 Úvod. Definice : [MA1-18:P11.1] definujeme pro a C: nedefinujeme: Posloupnosti komplexních čísel
KAPITOLA : Číselé řdy MA-8:P.] Ozčeí: R {, +} R R C {} C rozšířeá komplexí rovi evlstí hodot, číslo, bod U ε {x C x < ε } pro C, ε > 0 U K {x C x > K } pro K 0 defiujeme pro C: ±, je pro 0, edefiujeme:
VíceSprávnost vztahu plyne z věty o rovnosti úhlů s rameny na sebe kolmými (obr. 13).
37 Metrické vlastosti lieárích útvarů v E 3 Výklad Mějme v E 3 přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým vektorem v Zvolme libovolý bod M a veďme jím přímky p se směrovým vektorem u a q se směrovým
Více7. Analytická geometrie
7. Aaltická geoetrie Studijí tet 7. Aaltická geoetrie A. Příka v roviě ϕ s A s ϕ s 2 s 1 B p s ϕ = (s1, s 2 ) sěrový vektor přík p orálový vektor přík p sěrový úhel přík p k = tgϕ = s 2 s 1 sěrice příkp
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na VŠB TU Ostrava-
Okruhy z učiv středoškolské mtemtiky pro příprvu ke studiu VŠB TU Ostrv- I Zákldí poztky z logistiky teorie moži: výrok prvdivostí hodot výroku, egce, disjukce, kojukce, implikce, ekvivlece, složeé výroky,
VíceKomplexní čísla. Definice komplexních čísel
Komplexí čísla Defiice komplexích čísel Komplexí číslo můžeme adefiovat jako uspořádaou dvojici reálých čísel [a, b], u kterých defiujeme operace sčítáí, ásobeí, apod. Stadardě se komplexí čísla zapisují
Více1. Číselné obory, dělitelnost, výrazy
1. Číselé obory, dělitelost, výrazy 1. obor přirozeých čísel - vyjadřující počet prvků možiy - začíme (jsou to kladá edesetiá čísla) 2. obor celých čísel - možia celých čísel = edesetiá, ale kladá i záporá
VíceSTŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ 30, p. o. MATEMATIKA
STŘEDNÍ ŠKOLA ELEKTROTECHNICKÁ, OSTRAVA, NA JÍZDÁRNĚ, p. o. MATEMATIKA Ig. Rudolf PŠENICA 6 OBSAH:. SHRNUTÍ A PROHLOUBENÍ UČIVA... 5.. Zákldí možiové pojmy... 5.. Číselé možiy... 6.. Itervly... 6.. Absolutí
Více1. LINEÁRNÍ ALGEBRA. , x = opačný vektor
. LINEÁRNÍ LGEBR Vektorový prostor.. Defiice Nechť V e moži které sou defiováy operce sčítáí + : t. zobrzeí V V V ásobeí i : t zobrzeí R V V. Možiu V zýváme vektorovým prostorem, sou-li splěy ásleduící
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY BŘEZNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T BŘEZNA 9 D : 8. břez 9 Mx. možé skóre: Počet řešitelů testu: Mx. dosžeé skóre: Počet úloh: Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, %Správé Mi. dosžeé skóre: -, odpovědi jsou
VíceDefinice obecné mocniny
Defiice obecé mociy Zavedeí obecé mociy omocí ity číselé oslouosti lze rovést ěkolika zůsoby Níže uvedeý zůsob využívá k defiici eoeciálí fukce itu V dalším budeme otřebovat ásledující dvě erovosti: Lemma
Vícep = 6. k k se nazývá inverze v permutaci [ ] MATA P7 Determinanty Motivační příklad: Řešte soustavu rovnic o dvou neznámých: Permutace z n prvků:
ATA P Determity otivčí příkld: Řešte soustvu rovic o dvou ezámých: x + x = b x + x = b Permutce z prvků: Je dá moži = {,,, }, kde N Kždá uspořádá -tice [ k, k, k ] vytvořeá z všech prvků možiy se zývá
VíceSTEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.
VícePRACOVNÍ SEŠIT ČÍSELNÉ OBORY. 1. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ČÍSELNÉ OBORY vytvořil: RNDr. Věr Effeberger expertk olie příprvu SMZ z mtemtiky školí rok 204/205
VíceDUM č. 19 v sadě. 13. Ma-1 Příprava k maturitě a PZ algebra, logika, teorie množin, funkce, posloupnosti, řady, kombinatorika, pravděpodobnost
projekt GML Bro Doces DUM č. 9 v sdě. M- Příprv k mturitě PZ lgebr, logik, teorie moži, fukce, poslouposti, řdy, kombitorik, prvděpodobost Autor: Jrmil Šimečková Dtum:.0.0 Ročík: mturití ročíky Aotce DUMu:
VíceMatematika přehled vzorců pro maturanty (zpracoval T. Jánský) Úpravy výrazů. Binomická věta
Matematika přehled vzorců pro maturaty (zpracoval T. Jáský) Úpravy výrazů a r. a s = a r+s a r = ar s as a r s = a r.s a. b r = a r b r a b r = ar b r a. b a b = a b = a. b ( a) m = a m m a m. = a a k.
VíceAlgebraický výraz je číselný výraz s proměnou. V těchto výrazech se vyskytují vedle reálných čísel také proměnné. Například. 4a 4,5x + 6,78 7t.
ročík - loeý lgebrický výrz, lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Loeý lgebrický výrz Lieárí rovice s ezáou ve jeovteli Doporučujee žáků zopkovt vzorce tpu ( + pod úprvu výrzu souči Loeý výrz Číselé výrz
VíceKuželosečky jako algebraické křivky 2. stupně
Kuželosečk Pretrické iplicití vjádřeí kuželoseček P. Pech: Kuželosečk, JU České Budějovice 4, 59s Kuželosečk jko lgerické křivk. stupě Kuželosečk je oži odů v roviě, jejichž souřdice (, ) vhovují v ějké
Víceu, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,
Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou
Více11. přednáška 16. prosince Úvod do komplexní analýzy.
11. předáška 16. prosice 009 Úvod do komplexí aalýzy. Tři závěrečé předášky předmětu Matematická aalýza III (NMAI056) jsou věováy úvodu do komplexí aalýzy. Což je adeseá formulace eboť časový rozsah ám
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c) x b) 6 x c) 5) Rovnice y = je rovnicí a) elipsy b) paraboly c) přímky d) kružnice e) hyperboly
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 009 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk : 6 6 c) 6 e) ) Nerovice < má řešeí < > c)
Vícea) 1 b) 0 c) 1 d) 2 x e) 2x
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vžd právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li 0, pk 0 c) e) ) Výrz lze uprvit tvr c) e) ) Nerovice má řešeí c) e) ) Rovice 0 má právě jedo
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! a) a b) a c)
FSI VUT v Brě zdáí č. str. MATEMATIKA 06 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Je-li > 0, pk c) e) ) Je-li > 0, pk 6 c) 6 9 e) 9 ) Rovice má řešeí v itervlu ; )
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti sttických mometů souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme že jste
VíceCílem kapitoly je zvládnutí řešení determinantů čtvercových matic.
temtk I část I Determty mtc řádu Determty mtc řádu Cíle Cílem ktoly je zvládutí řešeí ermtů čtvercových mtc Defce Determtem (řádu ) čtvercové mtce řádu jejímž rvky j jsou reálá (oř komlexí) čísl zýváme
VíceOkruhy z učiva středoškolské matematiky pro přípravu ke studiu na Fakultě bezpečnostního inženýrství VŠB TU Ostrava
Okruhy z učiv sředoškolské memiky pro příprvu ke sudiu Fkulě ezpečosího ižeýrsví VŠB TU Osrv I Úprvy lgerických výrzů, zlomky, rozkld kvdrického rojčleu, mociy se záporým epoeem, mociy s rcioálím epoeem,
VíceAbstrakt. Co jsou to komplexní čísla? K čemu se používají? Dá se s nimi dělat
Komplexí čísla Hoza Krejčí Abstrakt. Co jsou to komplexí čísla? K čemu se používají? Dá se s imi dělat ěco cool? Na tyto a další otázky se a předášce/v příspěvku pokusíme odpovědět. Proč vzikla komplexí
Víceprávě jedna správná. Zakroužkujte ji! ax + ay bx by ax ay bx + by d) a b 4) Řešením nerovnice x 3x e) nemá řešení
FSI VUT v Brě zdáí č.. str. MATEMATIKA 0 Příjmeí jméo: Z uvedeých odpovědí je vždy právě jed správá. Zkroužkujte ji! ) Pro všechy přípusté hodoty pltí: + y y b) y + y c) + b b + y b by y b + by d) b +
VíceSeznámíte se s použitím určitého integrálu při výpočtu hmotnosti, statických momentů, souřadnic těžiště a momentů setrvačnosti.
Mtemtik II 5 Fzikálí plikce 5 Fzikálí plikce Cíle Sezámíte se s použitím určitého itegrálu při výpočtu hmotosti, sttických mometů, souřdic těžiště mometů setrvčosti Předpokládé zlosti Předpokládáme, že
VíceKomplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla. z 2 z 1
Komplexí čísla, komplexě sdružeá čísla, opačá komplexí čísla, absolutí hodota (modul) komplexího čísla Defiice komplexího čísla Komplexí číslo je uspořádaá dvojice reálých čísel = (, ) (, ). je reálá,
VíceNekonečné řady. 1. Nekonečné číselné řady 1.1. Definice. = L L nekonečnou posloupnost reálných čísel. a) Označme { a }
Nekoečé řdy. Nekoečé číselé řdy.. Defiice ) Ozčme { } { } = L L ekoečou posloupost reálých čísel.,,,,, Nekoečá číselá řd je součet tvru = + + + L+ + L. Jedotlivá čísl,,, L,, L se zývjí čley řdy, čle obvykle
Vícec) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je transcendentí. xp 1 (p 1)! (x 1)p (x 2) p... (x d) p e x t f(t) d t = F (0)e x F (x),
a) Vyslovte a dokažte Liouvillovu větu o šaté aroximovatelosti algebraického čísla řádu d b) Defiujte Liouvillovo číslo c) Pomocí Liouvillovy věty dokažte, že Liouvillovo číslo je trascedetí 2 a) Defiujte
VíceFunkční řady. 3. Kovové pásmo, napínané na obou koncích, se prověsí do řetězovky x Určete funkci s(x), x D
Fukčí řdy. Těžké dokole ohebé epružé pásmo jehož průřez se měí tk že proti přetržeí klde stálý odpor po zvěšeí zujme tvr řetězovky stálé pevosti. Řetězovk je vyjádře rovicí ( ) = l cos >. Určete deiičí
VíceMarie Dostálová Eliška Gardavská Radka Hamříková Věra Janků Miloslava Tannenbergová
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA ZÁKLADY MATEMATIKY Mrie Dostálová Elišk Grdvská Rdk Hmříková Věr Jků Miloslv Tebergová Vtvořeo v rámci projektu Operčího progrmu Rozvoje lidských zdrojů
Více3. ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI. 3.1 Základní elementární funkce. Nejprve uvedeme základní elementární funkce: KONSTANTNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ FUNKCE A POSLOUPNOSTI Základí elemetárí fukce Nejprve uvedeme základí elemetárí fukce: KONSTANTNÍ FUNKCE Nechť a je reálé číslo Potom kostatí fukcí rozumíme fukce f defiovaou předpisem ( f
VícePřehled často se vyskytujících limit posloupností. = ek. = 1 lim n n! = = C = α 0+
Neurčité výrzy (lgebr s posloupostmi divergujícími k ekoeču), zvedeí pojmu číselé řdy, defiice POSLOUPNOST ČÁSTEČNÝCH SOUČTŮ, součet řdy, TVRZENÍ O NUTNÉ PODMÍNCE KONVERGENCE ŘADY, kokrétí příkldy výpočtu
VíceKapitola 1. Nekonečné číselné řady. Definice 1.1 Nechť {a n } n=1 je posloupnost reálných čísel. Symbol. a n nebo a 1 + a 2 + a
Kpitol Nekoečé číselé řdy Defiice. Nechť { } je posloupost reálých čísel. Symbol ebo + 2 + 3 +... zýváme ekoečou číselou řdou. s = i= i = + 2 +... + zveme -tý částečý součet řdy {s } posloupost částečých
Více1.8.1 Mnohočleny, sčítání a odčítání mnohočlenů
.8. Mohočley, sčítáí odčítáí mohočleů Předpokldy: 7 Mohočle = zvláští typ výrzů. Jk je pozáme? Mohočley obshují pouze přirozeé mociy ezámých (jedé ebo více) kostty. Př. : Rozhodi, které z ásledujících
Více1.3. POLYNOMY. V této kapitole se dozvíte:
1.3. POLYNOMY V této kapitole se dozvíte: co rozumíme pod pojmem polyom ebo-li mohočle -tého stupě jak provádět základí početí úkoy s polyomy, kokrétě součet a rozdíl polyomů, ásobeí, umocňováí a děleí
Více1. ČÍSELNÉ OBORY 10. Kontrolní otázky 24. Úlohy k samostatnému řešení 25. Výsledky úloh k samostatnému řešení 25. Klíč k řešení úloh 26
Zákld mtemtik Číselé oor ČÍSELNÉ OBORY 0 Některé pojm z mtemtické logik 0 Výroková logik 0 Moži vzth mezi imi Možiové operce Grfické zázorěí moži Číselé oor Čísl ázv jejich chrkteristik Chrkteristik číselých
VícePosloupnosti a řady. Obsah
Poslouposti řdy Poslouposti řdy Obsh. Poslouposti... 8. Úvod do posloupostí... 8. Aritmetická geometrická posloupost... 9. Limit poslouposti... 9. Řdy... 0. Nekoečá geometrická řd... 0 Strák 7 Poslouposti
VíceDigitální učební materiál. III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Příjemce podpory Gymnázium, Jevíčko, A. K.
Digitálí učeí mteriál Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.080 Název projektu Zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Číslo ázev šlo klíčové ktivit III/ Iovce zkvlitěí výuk prostředictvím ICT Příjemce podpor Gmázium,
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uverzt Krlov v Prze Pedgogcká kult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICKÉ ALGEBRY POLYNOM / CIFRIK Zdáí: Vyšetřete všem probrým prostředky polyom Vyprcováí: Rcoálí kořey Podle věty: Nechť p Q je koře polyomu q
Více9. Racionální lomená funkce
@ 9. Rcioálí loeá fukce Defiice: Nechť P je poloická fukce -tého stupě... ) ( P kde R... A echť Q je poloická fukce -tého stupě... ) ( Q kde R... Rcioálí loeá fukce R je dá podíle ) ( ) ( ) ( Q P R pro
VíceUniverzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta
Uivezit lov v Pze Pedgogiká fkult SEMINÁRNÍ PRÁCE Z POLYNOMICÉ ALGEBRY ZVOLENÝ POLYNOM / CIFRI Zdáí: Zvol olyom f ( x) stuě 6 tkový y 6 f ( ) { 87868}. Uči všehy kořey s ásoostí. Vyováí: Zdáí vyhovuje
VíceMatematika NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY KVĚTNA 2019
NÁRODNÍ SROVNÁVACÍ ZKOUŠKY T KVĚTNA 09 Dtum koáí koušky:. květ 09 M. možé skóre: 0 Počet řešitelů testu: 80 M. dosžeé skóre: 0 Počet úloh: 0 Mi. možé skóre: -7,5 Průměrá vyechost:, % Mi. dosžeé skóre:
VícePRACOVNÍ SEŠIT ALGEBRAICKÉ VÝRAZY. 2. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online
Připrv se státí mturití zkoušku z MATEMATIKY důkldě, z pohodlí domov olie PRACOVNÍ SEŠIT. temtický okruh: ALGEBRAICKÉ VÝRAZY vtvořil: RNDr. Věr Effeberger epertk olie příprvu SMZ z mtemtik školí rok 04/05
VíceI. TAYLORŮV POLYNOM. Taylorovy řady některých funkcí: Pro x R platí: sin(x) =
Taylorovy řady ěkterých fukcí: I. TAYLORŮV POLYNOM Pro R platí: si) = 2+ = ), cos) = 2 2+)! = ), 2)! e = =.! Pro, : log + ) = = ) Pro, ) a a R: + ) a = a ) =, kde ) a = a a ) a 2) a +).!. Nalezěte Taylorův
Vícemnožina všech reálných čísel
/6 FUNKCE Základí pojmy: Fukce sudá a lichá, Iverzí fukce Nepřímá úměrost, Mociá fukce, Epoeciálí fukce a rovice Logaritmus, logaritmická fukce a rovice Opakováí: Defiice fukce, graf fukce Defiičí obor,
VíceKKKKKKKKKKKKKK. (i = 1,..., m; j = 1,..., n) jsou reálná čísla a x j jsou neznámé, se nazývá soustava m lineárních rovnic o
SOUSTAVY LINEÁRNÍCH ROVNIC Zákldí pojmy Defiice Soustv rovic m m m b b b m kde ij bi (i m; j jsou reálá čísl j jsou ezámé se zývá soustv m lieárích rovic o ezámých stručě soustv lieárích rovic Čísl ij
Více= + nazýváme tečnou ke grafu funkce f
D E R I V A C E F U N KCE Deiice. (derivace Buď ukce,!. Eistuje-li limitu derivací ukce v bodě a začíme ji (. lim ( + lim Deiice. (teča a ormála Přímku o rovici y ( v bodě, přímku o rovici y ( (, kde (
Více1.2. MOCNINA A ODMOCNINA
.. MOCNINA A ODMOCNINA V této kpitole se dozvíte: jk je defiová oci s přirozeý, celý, rcioálí oecý reálý epoete jké jsou její vlstosti; jk je defiová přirozeá odoci, jké jsou její vlstosti jk se dá vyjádřit
Více6 Stabilita lineárních diskrétních regulačních obvodů
6 Stbilit lieárích diskrétích regulčích obvodů Pro diskrétí systémy pltí stejá defiice stbility jko pro systémy spojité. Systém je stbilí, když se po odezěí vstupího sigálu vrátí zpět do rovovážého stvu.
Více( + ) ( ) ( ) ( ) ( ) Derivace elementárních funkcí II. Předpoklady: Př. 1: Urči derivaci funkce y = x ; n N.
.. Derivace elemetárích fukcí II Předpoklady: Př. : Urči derivaci fukce y ; N. Budeme postupovat stejě jako předtím dosazeím do vzorce: f ( + ) f ( ) f f ( + ) + + + +... + (biomická věta) + + +... + f
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 NavMg. studium Kompletní znění testových otázek matematika a statistika
Přijímcí řízeí kdemický rok /4 NvMg studium Kompletí zěí testových otázek mtemtik sttistik Koš Zěí otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď efiičí obor fukce defiové předpisem f
Více6.2. ČÍSELNÉ ŘADY. V této kapitole se dozvíte:
6.2. ČÍSELNÉ ŘADY V této kpitole se dozvíte: jk defiujeme číselou řdu; defiici kovergece řdy jejího součtu; jk vypdá ritmetická, geometrická hrmoická řd jk je to s jejich kovergecí; jk zí utá podmík kovergece
VíceM a t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m a t e m a t i c e
M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i c e P t r i k K v e c k ý M e d e l o v o g y m á z i u m v O p v ě S t u d i j í m t e r i á l - M t i c e v e s t ř e d o š k o l s k é m t e m t i
Více8.2.7 Geometrická posloupnost
87 Geometrická posloupost Předpokldy: 80, 80, 80, 807 Pedgogická pozámk: V hodiě rozdělím třídu dvě skupiy kždá z ich dělá jede z prvích dvou příkldů Větši studetů obou skupi potřebuje pomoc u tbule Ob
Více8.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P8.1] výpočet obsahu plochy pod grafem funkce. (nejdříve jen pro a < b ) a = x 0 < x 1 <... < x n = b.
KPITOL 8: určitý itegrál Riemův itegrál [M-8:P8.] motivce: výpočet oshu plochy pod grfem fukce 8. Úvod ejdříve je pro < ) řekeme, že moži D, je děleím itervlu,, jestliže je koečá, D. Prvky děleí D {x,
VíceMatematika I, část II
1. FUNKCE Průvodce studiem V deím životě, v přírodě, v techice a hlavě v matematice se eustále setkáváme s fukčími závislostmi jedé veličiy (apř. y) a druhé (apř. x). Tak apř. cea jízdeky druhé třídy osobího
Více1.1. Definice Reálným vektorovým prostorem nazýváme množinu V, pro jejíž prvky jsou definovány operace sčítání + :V V V a násobení skalárem : R V V
Předáška 1: Vektorové prostory Vektorový prostor Pro abstraktí defiici vektorového prostoru jsou podstaté vlastosti dvou operací, sčítáí vektorů a ásobeí vektoru (reálým číslem) Tyto dvě operace musí být
Více6. Posloupnosti a jejich limity, řady
Moderí techologie ve studiu aplikovaé fyziky CZ..07/..00/07.008 6. Poslouposti a jejich limity, řady Posloupost je speciálí, důležitý příklad fukce. Při praktickém měřeí hodot určité fyzikálí veličiy dostáváme
VícePosloupnosti na střední škole Bakalářská práce
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ Přírodovědecká fkult Ktedr mtemtiky Poslouposti středí škole Bklářská práce Bro 00 Kteři Rábová Prohlášeí Prohlšuji, že tto bklářská práce je mým původím utorským dílem, které
VíceAnalytická geometrie
MATEMATICKÝ ÚSTAV Slezská uverzt N Rybíčku, 746 0 Opv DENNÍ STUDIUM Alytcká geoetre Té 5.: Shodá zobrzeí Defce 5.. Zobrzeí f eukldovského prostoru E do eukldovského prostoru E se zývá shodé (zoetrcké),
VíceD = H = 1. člen posloupnosti... a 1 2. člen posloupnosti... a 2 3. člen posloupnosti... a 3... n. člen posloupnosti... a n
/9 POSLOUPNOSTI Zákldí pojmy: Defiice poslouposti Vlstosti poslouposti Určeí poslouposti Aritmetická posloupost Geometrická posloupost Užití poslouposti. Defiice poslouposti Př. Sestrojte grf fukce y =.x
VíceMATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ, PH.D.
MATEMATIKA PŘÍKLADY K PŘÍJÍMACÍM ZKOUŠKÁM BAKALÁŘSKÉ STUDIUM MGR. RADMILA STOKLASOVÁ PH.D. Obsah MNOŽINY.... ČÍSELNÉ MNOŽINY.... OPERACE S MNOŽINAMI... ALGEBRAICKÉ VÝRAZY... 6. OPERACE S JEDNOČLENY A MNOHOČLENY...
Více1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE
1. ZÁKLADY VEKTOROVÉ ALGEBRY 1.1. VEKTOROVÝ PROSTOR A JEHO BÁZE V této kapitole se dozvíte: jak je axiomaticky defiová vektor a vektorový prostor včetě defiice sčítáí vektorů a ásobeí vektorů skalárem;
VíceIng. Vladimíra Michalcová, Ph.D. Katedra stavební mechaniky (228)
Stavebí statka - vyučující Dooručeá lteratura Ig. Vladmíra chalcová, h.d. Katedra stavebí mechaky (228) místost: LH 47/ tel.: (59 732) 348 e mal: vladmra.mchalcova@vsb.c www: htt://fast.vsb.c/mchalcova
Více8. Elementární funkce
Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne
VíceI. Exponenciální funkce Definice: Pro komplexní hodnoty z definujeme exponenciální funkci předpisem. z k k!. ( ) e z = k=0
8. Elemetárí fukce I. Expoeciálí fukce Defiice: Pro komplexí hodoty z defiujeme expoeciálí fukci předpisem ) e z = z k k!. Vlastosti expoeciálí fukce: a) řada ) koverguje absolutě v C; b) pro z = x + jy
VícePřijímací řízení akademický rok 2013/2014 Bc. studium Kompletní znění testových otázek matematika
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 c. studium Kompletí zěí testových otázek matematika Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá. Které číslo doplíte místo 8? 6 6 8 C. Které číslo
VíceNapíšeme si, jaký význam mají jednotlivé zadané hodnoty z hlediska posloupností. Zbytek příkladu je pak pouhým dosazováním do vzorců.
8..4 Užití ritmetických posloupostí Předpokldy: 80,80 Př. : S hloubkou roste teplot Země přibližě rovoměrě o 0 C 000 m. Jká bude teplot dě dolu hlubokého 900 m, je-li v hloubce 5 m teplot 9 C? Jký by byl
VíceAritmetická posloupnost
/65 /65 Obsh Obsh... Aritmetická posloupost.... Soustv rovic, součet.... AP - předpis... 5. AP - součet... 6. AP - prvoúhlý trojúhelík... 7. Součet čísel v itervlu... 8 Geometrická posloupost... 0. Soustv
VícePřijímací řízení akademický rok 2012/2013 Kompletní znění testových otázek matematické myšlení
Přijímací řízeí akademický rok 0/0 Kompletí zěí testových otázek matematické myšleí Koš Zěí otázky Odpověď a) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správá odpověď. Které číslo doplíte místo otazíku? 6 8 8 6?.
VíceStřední průmyslová škola sdělovací techniky Panská 3 Praha 1 Jaroslav Reichl
Středí průmyslová škol sdělovcí techiky Pská 3 Prh Jroslv Reichl, 00 Jroslv Reichl OBSAH Poslouposti, Jroslv Reichl, 00 Poslouposti jejich vlstosti 3 Pojem posloupost 3 Připomeutí fukcí 3 Defiice poslouposti
VíceLINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ
LINEÁRNÍ TRANSFORMACE V ROVINĚ Kil Mleček Dgr Szrková FSv ČVUT Prh Thákurov 7 66 9 Prh 6 ČR e-il: kil@tfsvvutz SjF STU Brtislv Ná Slood 7 8 3 Brtislv SR e-il: szrkov@sjfstusk Astrkt V řísěvku je osý geoetriký
Více=, kde P(x) a Q(x) jsou polynomy. Rozklad na parciální zlomky Parciální zlomky jsou speciální racionální lomené funkce. Rozlišujeme 2 typy:
3 předáš INTEGRAE RAIONÁLNÍ LOMENÉ FUNKE Důležiou supiu fucí, eré můžeme (spoň eoreicy) iegrov v možiě elemeárích fucí, voří rcioálí lomeé fuce Kždou rcioálí lomeou fuci vru P( ) f ( ) =, de P() Q() jsou
VíceZákladní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů.
Mtemtik II Výpočet vlstosti určitého itegrálu Výpočet vlstosti určitého itegrálu Cíle Zákldí vět itegrálího počtu (Newto Leiizov) ám umoží výpočet určitých itegrálů Pozáte zákldí vlstosti určitých itegrálů
Více16. Kombinatorika ( 125;250;125 )
6. Kombitorik Dlší dovedosti: - permutce s opkováím - kombice s opkováím (při mi.4-ti hod.dotci) - zákldí pojmy prvděpodobosti - důkzové úlohy zákldě biomické věty Možé mturití otázky: Vrice permutce Kombice
Více8.3.1 Pojem limita posloupnosti
.3. Pojem limit poslouposti Předpokldy: 30, 0 Pedgogická pozámk: Limit poslouposti eí pro studety sdo strvitelým pojmem. Hlvím problémem je podle mých zkušeostí edorozuměí s tím, zd mezi posloupostí její
Více23. Mechanické vlnění
3. Mechaické vlěí Mechaické vlěí je děj, při kterém částice pružého prostředí kmitají kolem svých rovovážých poloh a teto kmitavý pohyb se přeáší (postupuje) od jedé částice k druhé vlěí může vzikout pouze
Vícen=1 ( Re an ) 2 + ( Im a n ) 2 = 0 Im a n = Im a a n definujeme předpisem: n=1 N a n = a 1 + a 2 +... + a N. n=1
[M2-P9] KAPITOLA 5: Číselé řady Ozačeí: R, + } = R ( = R) C } = C rozšířeá komplexí rovia ( evlastí hodota, číslo, bod) Vsuvka: defiujeme pro a C: a ± =, a = (je pro a 0), edefiujeme: 0,, ± a Poslouposti
VíceAnalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii
KM/GVS Geometrické vidění světa (Design) nalytická metoda aneb Využití vektorů v geometrii Použité značky a symboly R, C, Z obor reálných, komleních, celých čísel geometrický vektor R n aritmetický vektor
VícePosloupnosti ( 1) ( ) 1. Různým způsobem (rekurentně i jinak) zadané posloupnosti. 2. Aritmetická posloupnost
Poloupoti Růzým způobem (rekuretě i jik zdé poloupoti Urči prvích pět čleů poloupoti, ve které, + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo:, + + Urči prvích pět čleů poloupoti, je-li dáo: 0,, Urči prvích
Více