8. Laplaceova transformace

Transkript

1 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce 8 Llceov rsformce Defiice 8 (Llceov rsformce) Nechť f je komlexí fukce jedé reálé roměé j f Zobrzeí L keré éo fukci řiřdí komlexí fukci komlexí roměé F j F vzhem L [ f ] F F( ) f ( ) e d (8) se zývá Llceov rsformce Fukce f se zývá vzor ebo ředmě ro fukci F fukce F se zývá (Llceův) obrz fukce f iegrál ve výrze (8) se zývá Llceův iegrál Jsou možé rkicky užiečé i jié zůsoby záisu souvislosi (koresodece) L [ f ] = F říkld L [ f ()] = F L [ f ]( ) = F( ) L [ f ()]( ) = F( ) f F f ( ) F( ) Pozámk 8 Llceov rsformce je výzmý ásroj oisu sudi či lýzy jevů vlsosí u ichž hrjí důležiou úlohu lieárí difereciálí rovice Llceov rsformce eí je dlší v řdě meod určeých k řešeí lieárích rovic čso zásdím zůsobem ovlivňuje zůsob ohledu yo jevy říkld v lieárích obvodech V ozdí ermíů jkými jsou říkld řeosová fukce obrzová imedce dmice k yických v eorii obvodů lieárích sysémů je eochybě uo vidě Llceovu rsformci V oborech ve kerých je Llceovy rsformce hojě užíváo roměá je vždy zcel zásdě komlexí veliči ouo skuečosí je ovlivě úhel ohledu zkoumé jevy vžiá ermiologie Budeme edy ředoklád že j kde ozčuje o řdě reálou imgiárí čás roměé Podobě fukci f je výhodé uvžov komlexí Jelikož v éo chvíli umíme zcháze je s reálými fukcemi jedé reálé roměé v ásledujícím odsvci se blíže odíváme vlsosi fukcí komlexích Komlexí fukce reálé roměé Jsou o fukce f : A B kde A B j f Tkové fukce lze vždy zs ve vru f ( ) f( ) j f( ) kde f f zmeá o řdě reálou imgiárí čás komlexí fukce f edy f f jsou reálé fukce reálé roměé Nříkld máme-li f () e ( j ) k f ( ) e cos( ) f ( ) e si( ) Limi komlexí fukce reálé roměé Nechť f Limiu kové fukce defiujeme ásledově Říkáme že komlexí číslo b je limiou fukce f ro budeme sá lim f ( ) b (8) rávě když lim f ( ) b (8) []

2 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Defiicí (8) je ovšem roblém limiy (8) komlexí fukce reálé roměé řevede zámou limiu reálé fukce reálé roměé eboť bsoluí hodo f () b je reálá fukce Pro bsoluí hodou lí zámé erovosi Použijeme-li ozčeí f ( ) f( ) j f( ) b b j b lí: f ( ) b f ( ) b f ( ) b f ( ) b f ( ) b f ( ) b f ( ) b Podle defiice limiy (8) z ěcho vzhů vylývá důležiý závěr: Komlexí číslo b je limiou fukce f ro rávě když b je limiou fukce f ro b je limiou fukce f ro j lí lim f ( ) j f ( ) lim f ( ) j lim f ( ) (84) Sojios komlexí fukce reálé roměé Je-li fukce f defiová ějkém okolí bodu říkáme že f je sojiá v bodě rávě když lim f ( ) f ( ) Podle (84) ovšem odud vylývá že fukce f je sojiá v bodě rávě když reálá i imgiárí čás fukce f jsou sojié v bodě j f je sojiá v f je sojiá v & f je sojiá v Derivce komlexí fukce reálé roměé Derivce komlexí fukce reálé roměé je defiová sejou formulí jkou je defiová derivce reálé fukce j f( ) lim f ( ) f ( ) (85) Vzhledem k omu že dosáváme f ( ) f ( ) f( ) f( ) f ( ) f ( ) j roože lí (84) f ( ) f ( ) j f ( ) (86) Příkld 8 Derivujme e kde je komlexí číslo = + j Doseme odle (86) e e (cos( ) j si( )) e cos( ) je si( ) e cos( ) j e si( ) j e si( ) e cos( ) e cos( ) e si( ) e cos( )( j) e si( )( j ) e (cos( ) j si( ))( j) e []

3 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce egrál komlexí fukce reálé roměé Je-li fukce F rimiiví fukcí ke komlexí fukci reálé roměé f j lí-li F f k odle (86) dosáváme F( ) j F( ) f ( ) j f ( ) edy reálá čás fukce F je rimiiví fukcí k reálé čási fukce f F( ) f ( ) imgiárí čás fukce F je rimiiví fukcí k imgiárí čási fukce f F( ) f ( ) Plí edy Příkld 8 Předokládejme oě = + j Vyočěme f ( ) jf ( ) d f ( ) d j f ( ) d e d (cos( ) si( )) egrcí er res doseme: e d Plí: e j d e cos( ) d j e si( ) d e cos( ) d e cos( ) e si( ) d (87) e si( ) d e si( ) e cos( ) d (88) Z rovic (87) (88) můžeme hledé iegrály vyočí doseme Máme edy e cos( ) d e ( cos( ) si( c e si( ) d e ( si( ) cos( c e d ( cos( ) si( e j e ( si( ) cos( e ( cos( ) si( j( si( ) cos( j e (( jcos( ) j( jsi( e (cos( ) j si( e C Pozámk 8 Z říkldů 8 8 je ré že jsme klidě ři derivováí iegrováí mohli zomeou že je komlexí číslo derivov či iegrov k jko kdyby bylo reálé Dosli bychom srávý výsledek řiom mohem sději To eí áhod Při budováí eorie komlexích fukcí komlexí roměé (exoeciál v ředchozích výočech je komlexí fukce komlexí roměé) se rozšiřují defiičí obory elemeárích fukcí reálé roměé k by se reálé ose rozšířeé fukce shodovly s ůvodími Exisuje obecá meod zvá lyické rodloužeí jk rozšířeí defiičích oborů elemeárích fukcí rovés by si održely co ejvíce vlsosí ze svých reálých oborů Meod je sdo likovelá jsou-li fukce defiováy mociými řdmi říkld ro kždé lí: e! ()! si( ) ( ) ( )! cos( ) ( ) ()! sih( ) ( )! cosh( ) []

4 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Jejich lyická rodloužeí komlexí roviu jsou dá jedoduše záměou reálé roměé z komlexí roměou z j e z z! z si( z) ( ) ()! z ( )! cosh( z) z ( )! cos( z) ( ) z ()! sih( z) Je důležié že ko vziklé řdy kovergují v celém oboru hed odud lyou důležié jz j z j z vzhy lé ro libovolé z : e cos( z) j si( z) si( z) ( e e ) cos( ) ( j z j z z e e ) sih( ) ( z z z e e ) cosh( ) ( z z z e e ) sih( jz) j si( z) cosh( jz) cos( z) Zůsávjí v losi zámé vzorce z reálého oboru říkld e si( z w) si( z)cos( w) cos( z)si( w) cos ( z) si ( z) cosh ( z) sih ( z) cos( z w) cos( z)cos( w) si( z)si( w) si( z) si( z)cos( z) j e e zw z w cos( z) cos ( z) si ( z) d Tyo vzorce se edy emusíme zovu uči sčí chvíli zomeou že z w jsou komlexí čísl Věšiu fukcí se kerými se sekáváme v memické lýze lze lyicky rodlouži ro komlexí hodoy roměé Pro exoeciálu goiomerické fukce se o rovede jedoduše jejich řdy kovergují v celém ro jié je o složiější hodě srosí dělá logrimus jeho mocié řdy ikdy ekovergují v celém oboru U kových fukcí lyická rozšířeí emusí bý jedozčá Neí o chyb meody rozšiřováí je o vlsos fukcí hovoříme zde o mohozčých fukcích iemův iegrál komlexí fukce reálé roměé iemův iegrál je i v řídě komlexích fukcí reálé roměé defiová sejým zůsobem jko ro fukce reálé oiž jko limi iegrálích součů ( f Dm ) f ( i) xi ro oslouos sále se zjemňujících děleí Dm { x x} j ro mx x kde xi xi xi i xi xi body x i voří dělící body iervlu iegrce b Proože i i i doseme koec vzorec b ( f j f )( i) xi f( i) xi j f ( i) xi i i i b b b b f ( ) d f( ) j f ( ) d f ( ) d j f ( ) d (89) b Jesliže f ( ) d F ( b ) F ( ) ( ) ( ) ( ) f d F b F k můžeme sá b f ( ) d F ( b ) F ( ) (8) [4]

5 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce kde F( ) F( ) j F( ) je komlexí rimiiví fukce reálé roměé ro fukci f Můžeme edy i v řídě iegrálů komlexích fukcí reálé roměé ouží Newoovu- Leibizovu formuli z sejých ředokldů jko v reálé lýze b Budou-li exisov ob iegrály f () d b f () d roože ( f j f )( i ) xi f j f ( i) xi dosáváme důležiou erovos zámou i i i z reálé lýzy f ( ) d f ( ) d b b kde b (8) Defiičí obor L ředměy sdrdího yu egrál (8) v omo odsvci budeme chá jko souče iegrálu z reálé j ásobek iegrálu z imgiárí čási odle (89) Později budeme odle ozámky 8 bohě využív možosi zomeu že je komlexí yí je ejrve ořeb vyjsi ro jké fukce iegrál (8) koverguje K omu v uo chvíli máme k disozici je ozky z reálé lýzy Ozčíme-li reálou imgiárí čás fukce f symboly f f j f = f + j f k odle (84) (89) lí: (8) F( j) e f ( )cos( ) f si( ) d j e f ( )cos( ) f si( ) d egrály v (8) jsou již ám zámé iemovy evlsí iegrály z reálých fukcí Kždé zobrzeí edy i Llceov rsformce má ějký defiičí obor Do ohoo oboru budou ři fukce ro keré iegrály (8) kovergují lesoň ro ějké j lesoň ro ějké budou exisov koečé limiy odovídjících iegrálů z (8) j lim e ( ) d (8) Aby limi měl smysl musí exisov iegrály e ( ) d ro kždé > Z eorie iemov iegrálu vylývá že exisece kových iegrálů bude zjišě omezíme-li se fukce f o úsecích sojié iervlu ) j fukce keré jsou kždém iervlu koečé délky sojié s výjimkou ejvýše koečě moh bodů esojiosi ve kerých exisují koečé jedosré limiy (body esojiosi druhu) Dále je řeb zjisi by iegrály kovergovly j limi (8) exisovl byl koečá Budeme-li víc uvžov zv fukce exoeciálího růsu j kové ro ěž exisují reálé kosy M omezující rychlos jejich růsu erovosí f ( ) Me ( ) (84) [5]

6 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce k iegrály v (8) kovergují ro > dokoce bsoluě Plí oiž e f ( )cos( ) f ( )si( ) d e f ( ) f ( ) d Obdobě e f () d e f ( )cos( ) f ( )si( ) d e f ( ) f ( ) d e f () d e f ( )cos( ) f ( )si( ) d M e Me d ro > (85) e f ( )cos( ) f ( )si( ) d M e Me d ro > (86) egrály edy z uvedeých odmíek exisují jsou koečé j exisuje Llceův obrz fukce f N zákldě vzhů (8) (85) ebo (86) můžeme odhdou i velikos obrzu M F( j) e f ( ) d (87) Právě uvedeé výsledky jsou moivcí ro defiici řídy fukcí zvých ředměy sdrdího yu sručě fukce keré budou voři defiičí obor Llceovy rsformce Defiice 8 ( fukce) Fukci f zýváme ředměem sdrdího yu sručě fukci rávě když: () Fukce f je o čásech (úsecích) sojiá v ) j ro libovolé b je f sojiá iervlu b s výjimkou ejvýše koečě moh bodů iervlu b V kždém bodě esojiosi fukce f exisují jedosré koečé limiy (v ěcho bodech fukce f emusí bý defiová) () Exisují kosy M kové že lí: D( f ) f ( ) Me Číslo se zývá idex růsu fukce f fukce f slňující uo odmíku se zývá fukce exoeciálího řádu s idexem růsu () Dále oždujeme los vlsosi: f ( ) Slňuje-li fukce f odmíky () () () budeme sručě sá f Jediá odmík defiice 8 kerá ikerk evylývá z oždvků exiseci kovergeci Llceov iegrálu je odmík () K zvedeí éo odmíky vedou ásledující důvody: [6]

7 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Exisuje vyjádřeí iverzí Llceovy rsformce odobou iegrálí formulí jko (8) viz (8) u íž uomicky vychází ulové hodoy vzorů ro záoré rgumey Někerá rvidl Llceovy rsformce se formulují výrzě jedodušeji ro fukce ulové ro záorý rgume ř vě o rslci Podmíkou ( f ( ) ) je sdrdizováo chováí ředměů sdrdího yu ro záorý rgume umožňuje vyslovi vrzeí: Jesliže f g jsou sojié ) k lí L[ f ] L [ g] f g Příkld 8 Sove Llceův obrz fukce f () e Podle defiice 8 lí ro L [ e ]( ) e e d e ( ) d e ( ) ( ) lim e ( ) Při hledáí rimiiví fukce k exoeciále e jsme mohli ouží výsledek z říkldu 8 ebo odle ozámky 8 chvíli zomeou že je komlexí číslo Zbývá vyočí limiu ( ) lim e j j odle (84) máme lim ( ) cos( ) si( ) e j ozložme fukci reálou imgiárí čás Ozčíme-li ( ) lim e ( ) lime cos( ) j e lim ( ) si( ) Tyo limiy exisují jsou koečé z odmíky ouze okud < j ro e( ) e( ) k jsou ulové Máme edy ro e( ) e( ) L [ e ]( ) (88) Pozámk 8 Téměř všechy elemeárí fukce ovšem eslňují odmíku () defiice 8 roože jsou éměř vždy eulové ro záoré hodoy roměé To skuečos ovšem evdí ři výoču Llceových obrzů kových fukcí roože Llceův iegrál je závislý chováí ředměu ouze iervlu ( ) Mohlo by všk vzikou edorozuměí budeme-li kové ředměy osouv Je-li f ředmě sdrdího yu oom fukce f ( ) ro > je ulová v kždém bodě < jk ukzuje obrázek [7]

8 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce f () f ( ) Pro účely osouváí fukcí je vhodé jsě vyjádři kde je osuuá fukce ulová V kových siucích se dobře hodí zv Hevisidov fukce (čso zvá éž jedokový skok) Je defiová vzhy ro H( ) ro Nyí je zcel jsé co zmejí výrzy H() ( )H() ( )H( ) ( )H( ) Nkreslee! Nříkld ve výrzu L [si( ) H( )] je ovšem možo Hevisidovu fukci vyech ve výrzu L [si( ) H( )] o všk už uděl elze Obor hodo obrzy ředměů sdrdího yu Vě 8 (vlsosi obrzů) Nechť f je ředmě sdrdího yu ozčme ifimum možiy idexů růsu j if{ M D( f )( f ( ) Me )} Pk lí () Obrz F L [ f] je defiová Llceovým iegrálem v oloroviě e( ) > () e( ) F( ) f ( ) e d lim F( ) (89) () V oloroviě e( ) > má fukce F všechy derivce lí ( ) F ( ) ( ) L [ f ( )]( ) (8) Tvrzeí () je důsledkem erovosí (85) (86) vrzeí () lye z (87) Důkz vrzeí () je složiější lze ho jí v lieruře ř [] Pozámk 84 Tvrzeí () věy 8 ukzuje že můžeme změi ořdí derivováí odle iegrováí odle j lí: d d d F( ) f ( ) e d d L [ f ( )]( ) d f d () e d d f () e d d f ( )( ) e d [8]

9 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Pozámk 85 d Ve věě 8 se vyskyl derivce komlexí fukce odle komlexí roměé F d ( ) T je defiová sejou formulí jko v reálé lýze edy F( z) F( ) F( h) F( ) F( ) lim lim (8) z z h h Díky omu vzhledem k ozámce 8 můžeme oužív zámých vzorců ro derivci souču součiu komozice odílu fukcí rověž derivce elemeárích fukcí lyicky rozšířeých komlexí roviu jsou dáy zámými vzhy Bude-li zme roměou komlexích fukcí k lí ( ) ( e ) e (si( )) cos( ) (g( )) cos ( ) d (cos( )) si( ) Přeci je má derivce komlexích fukcí komlexí roměé (8) ěco čím se zásdě liší od derivce reálé fukce reálé roměé řesože jsou obě defiováy sejou formulí Plí ásledující možá řekvivá vě Vě 8 (derivce odle komlexí roměé) Má-li fukce F derivci v kždém bodě oevřeé souvislé odmožiy má m již derivce všech řádů (Souvislá moži je ková moži kerá se edá vyjádři jko sjedoceí dvou disjukích erázdých oevřeých moži) Příči sočívá v om že v komlexí roviě máme mohem věší volos ve zůsobu jkým se bod z může blíži k (res h blíži k ) ve výrze (8) Výsledek ovšem emůže závise všech ěcho zůsobech blížeí okud edy limi exisuje je řeb oho sli více ež v řídě fukcí reálé roměé To co je uo ro exiseci derivce odle komlexí roměé sli víc dovoluje vyslovi ( dokáz!) Věu 8 Zákldí vlsosi Llceovy rsformce Vě 84 (lieri Llceovy rsformce) Lieri Nechť f g Poom f g f lí L [ f g] L [ f ] L [ g] L[ f] L [ f] Jesliže f g k fukce f + g je ulová ro f + g je o úsecích sojiá ) je defiová skoro všude v Dále f ( ) g( ) f ( ) g( ) M e M e Me kde M M M f mx{ } mx{ } j f + g je exoeciálího řádu Je edy g Podobě se dokáže f [9]

10 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Lieri Llceovy rsformce je již důsledkem lieriy určiého iegrálu L [ f g]( ) ( )( ) f g e d g() e d L [ f]( ) [ g]( ) L [ f]( ) ( )( ) f e d ( ( ) ( )) f g e d L f () e d L[ f ] L [ g] ( ) j L [ f g] L[ f] L [ g] f () e d d L [ f]( ) f () e L [ f] ( ) edy L[ f] L [ f] Pozámk 86 Llceov rsformce je edy lieárí zobrzeí L : L [ ] ro Llceovu rsformci lí edy rici suerozice jesliže L [ f] F L [ g] G oom L [ f g] F G kde Vě 85 (o osuuí rslci) () Posuuí ředměu Nechť f Pk lí L[ f ( )H( )]( ) e L [ f ( )]( ) (8) L[ f ( )H( )]( ) e L [ f ( )]( ) (8) () Posuuí obrzu Nechť f Pk lí L[ e f ( )]( ) L [ f ( )]( ) (84) () L [ f ( )H( )]( ) f ( )H( ) e d f ( x) ( )H( ) e dx x ( ) d dx x ( ) x e f () e dx e L [ f ( )]( ) Formule (8) vylývá z (8) je-li liková fukci g( ) f ( )H( ) () L [ e f ( )]( ) e f ( ) e d ( ) f () e d [ f ( )]( ) L []

11 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Příkld 84 Již dříve odvozeý vzh L [ e ]( ) můžeme yí ké odvodi omocí věy e o rslci obrzu Vyočěme ejrve L [H( )]( ) L []( ) e d ro e( ) Poom lí: [ L e ]( ) L [ e H( )]( ) L [H( )]( ) Příkld 85 Sove Llceův obrz obdélíkového imulsu zdého grficky A f b Zdý imuls lze vyjádři omocí Hevisidovy fukce Plí f ( ) A(H( ) H( b)) Obrz imulsu doseme sdo oužiím věy o rslci vzoru Doseme L [ A(H( ) H( b))]( ) AL [H( )]( ) AL [H( b)]( ) Ae L [H( )]( ) b Ae [H( )]( ) L Ae b Ae b A ( e e ) Příkld 86 L [si ]( ) L [sih ]( ) L [cos ]( ) [cosh ]( ) L j j L [si ]( ) [ j ( e e )]( ) j( j) j L j j L [ e ]( ) j j L [ e ]( ) j j j j []

12 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce L [sih ]( ) [ ( L e e )]( ) L [ e ]( ) [ e ]( ) L ( ) L [cos ]( ) [ ( j j L e e )]( ) j L [ e ]( ) j [ e ]( ) j( j) L j j L [cosh ]( ) [ ( L e e )]( ) L [ e ]( ) [ e ]( ) L ( ) Vě 86 (změ měřík) Nechť f Pk lí L[ f ( )]( ) L [ f ( )]( ) x ( ) L [ f ( )] f ( ) e d d dx x ( ) f ( x) e x dx x f ( x) e dx L [ f( )]( ) Příkld 87 L [si( )]( ) L [sih( )]( ) L [cos( )]( ) L [cosh( )]( ) L [si( )]( ) [si( )]( ) L ( ) L [cos( )]( ) [cos( )]( ) L ( ) obdobě se vyočou osí obrzy Vě 87 (derivce iegrce obrzu) () Nechť f( ) f Poom lí: () L[ f ( )]( ) d L [ f ( )]( ) (85) () d L L f q dq (86) f () [ ]( ) [ ( )]( ) Vzh (85) je důsledkem věy 8 vzh (86) je možo odvodi z (85) Plí f () d f () f () L [ f ( )]( ) L [ ]( ) L [ ]( ) je edy L [ ]( ) rimiiví fukcí (ž d []

13 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce d zméko) k fukci L [ f ( )]( ) Proože d L [ f ( )]( q) dq L [ f ( )]( ) je A f () L [ ]( ) L [ f ( )]( q) dq c Podle věy 8 všk f () lim L [ ]( ) odud lye e( ) A A L [ f ( )]( q) dq c j c L [ f ( )]( q) dq k ovšem f () L [ ]( ) A A A L[ f ( )]( q) dq L [ f ( )]( q) dq L [ f ( )]( q) dq Příkld 88 Plí L [ ]( )! dukcí vzh lí ro = Nechť lí ro Poom d d ( d L [! ]( )) d ( ) L [ ( )! ]( ) L! [ ]( ) Příkld 89 Nechť A k lí Ae A ( )! ( ) Podle ředchozího říkldu s využiím věy o osuuí doseme: L [ Ae ( )! ]( ) AL e [ ( )! ]( ) A [ L ( )! ]( ) ( ) A Vě 88 (derivce iegrce vzoru) () Nechť f f echť f je sojiá ( ) Pk lí L[ f ( )]( ) L [ f ( )]( ) f ( ) (87) () Nechť f Pk lí: [ f ( ) d]( ) [ ( )]( ) f L L (88) () Bez újmy obecosi ředokládejme že derivce f má ouze jede bod esojiosi ( ) Podle defiice Llceovy rsformce lí L [ f ( )]( ) f ( ) e d yí likov meodu iegrce er res Doseme f ( ) e f ( )( ) e d f ( ) e d f ( ) e d N kždý z iegrálů můžeme f ( ) e f ( )( ) e d f ( ) e d f ( ) e d []

14 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce f ( ) e ( ) ( ) ( f ( )) e f f e d f ( ) f ( ) e d L [ f ( )]( ) f ( ) f () e d () Jesliže f k g( ) f ( ) d je sojiá ( ) dále g f g Podle rávě dokázého bodu () lí L[ g( )]( ) L [ g( )]( ) g( ) j L[ f ( )]( ) L [ f ( ) d]( ) edy lí (88) Pozámk 87 Věu 87 lze sdo zobeci Jesliže ( ) k lí f f f ( ) ( ) jsou sojié f f f L L ( ) ( ) ( ) [ f ]( ) [ f ]( ) f ( ) f ( ) f ( ) f ( ) Příkld 8 Hledejme řešeí difereciálí rovice x x x f () Předokládejme že f Poom iervlu ( ) můžeme rovici řeši Llceovou rsformcí Řešeím bude fukce x ková že x její derivce x budou sojié ( ) ro druhou derivci lí x Plí-li rovice x x x f () (89) k doseme L[ x x x] L [ f ( )] Ozčíme-li X : L [ x] F : L [ f ] k s využiím lieriy L věy 87 či ozámky 87 můžeme rovici řes do vru X x( ) x ( ) ( X x( )) X F j ( ) X F x( ) x ( ) x( ) F( ) x( ) x( ) x( ) odud doseme X( ) (8) Řešeí (8) je řešeím rovice (89) v obrzové roviě Llceovy rsformce Později se učíme vyhled odovídjící ředmě Vě 89 (obrz eriodické fukce) Nechť f je eriodická fukce Periodici zmeá že exisuje kldé číslo T zvé eriod ro keré lí: [4]

15 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce D( f ) ( f ( ) f ( T )) Pk exisuje Llceův obrz fukce f Llceův iegrál z fukce f koverguje ro f ( ) f ( ) H( ) H( T ) lí e( ) > Ozčíme-li T L [ ft ( )]( ) L [ f ( )]( ) T e Je-li fukce eriodická k je omezeá s ulovým idexem růsu j Llceův iegrál koverguje ro e( ) > Dále lí L [ f]( ) f () e d T lim f ( ) e ( k ) T x (( k ) T kt ) d dx x ( T) T ( k) T x lim e f ( x) e dx k d kt lim ( ) T lim ( ( ) ) f e d ( k) T k ( x( k) T ) f x k T e dx k T e x lim ft ( x) e dx T e L [ ft ]( ) ro e() > T e Defiice 8 (kovoluce) Nechť jsou dáy fukce f g Kovoluce je biárí oerce : defiová dále uvedeou iegrálí formulí: f g( ) f ( ) g( ) d (8) Pozámk 88 Vzhledem k omu že fukce f g jsou ulové ro záoré hodoy svých rgumeů ro iegrál (8) můžeme sá ekvivleě f g( ) f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d f ( ) g( ) d (8) Dále z defiice kovoluce sdo vylývjí zákldí vzhy: f g g f f ( g h) f g f h f ( g) ( f g) f ( g h) ( f g) h Vě 8 (Llceův obrz kovoluce) Nechť jsou dáy fukce f g Pk lí L [ f g] L [ f ] L [ g] [5]

16 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce L [ f g]( ) f g( ) e d f ( ) g( ) d e d ( ) ( ) f ( ) g( ) e d d () f ( ) g( ) e d d f ( ) g( ) e d d Urvme viří iegrál x ( ) d dx x ( ) ( x ) x g( x) e dx e g( x) e dx e L [ g]( ) Pro obrz kovoluce edy máme [ f g]( ) () g( ) e d x e g( x) e dx L ( ) [ ]( ) f e L g d L [ g]( ) f ( ) e d L[ g]( ) L [ f ]( ) V rovosech () ouži Fubiiho vě Zěá (iverzí) Llceov rsformce V říkldě 8 jsme lezli řešeí difereciálí rovice v roviě obrzů Llceovy rsformce Nyí se odívejme jk k ěmu jí odovídjící vzor j jk k dé fukci F kerá ří do možiy obrzů Llceovy rsformce F L [ ] jí f k by F L [ f] Proože Llceov rsformce je zobrzeí jehož hodoy jsou určováy iegrálem eí řešeí éo úlohy jedozčé Pro kždou dvojici fukcí f f lí L[ f ] L [ f ] rávě když se fukce liší v ejvýše sočeě moh izolových bodech j { f ( ) f ( )} je ejvýše sočeá izolová moži v V moh likcích Llceovy rsformce je všk o odlišos fukcí eodsá roo i v éo souvislosi se hovoří o iverzí Llceově rsformci Následující vě ukzuje že ředmě k fukci F F L [ ] lze vyjádři odobým iegrálem jkým je defiová Llceov rsformce Jeho výzm zůsává více v roviě eoreické využií kového iegrálu musíme odsuou do doby ež se sezámíme s křivkovými iegrály z komlexích fukcí komlexí roměé Pomocí ěj je možé odvodi ěkeré důležié vzory fukcí keré ejsou rcioálí Llceovu rsformci je všk možé oužív i bez jkéhokoliv iegrováí s využiím slovíku koresodecí v om sočívá její síl i výzm v oborech kde je oužívá Vě 8 (Zěá Llceov rsformce) Nechť F L [ ] je defiová v oloroviě e( ) echť > Pk lí: kde ro fukci f lí: j j f ( ) F( ) e d : lim F( ) e d j j (8) j j f f ( ) ( f ( ) f ( )) [6]

17 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Zěá Llceov rsformce rcioálích fukcí Zákldem je koresodece odvozeá v říkldu 89 skuečos že rcioálí ryze lomeou fukci můžeme rozloži souče rciálích zlomků Pokud je rcioálí fukce obrzem ějkého ředměu sdrdího yu k vzhledem k odmíce (89) je o již rcioálí fukce ryze lomeá Plí A Ae H( ) ( ) ( )! A b ( b) ( b) e Ae H( b) (84) ( ) ( )! Příkld 8 Njděme ředmě k fukci F( ) Proože ( )( ) ( )( )( ) kde j lí A B C kde A B C ( )( ) 6 ( ) j Poom odle (84) máme ro > f () e Be Be 6 e e ( j ) e (cos( ) jsi( )) ( j ) e e 6 ( j ) e e e ( cos( ) si( )) Plí edy e H( ) e ( cos( ) si( ))H( ) S využiím koresodecí ro sius kosius odvozeých v říkldu 87 je možé se vyhou komlexí rimeice fukci F rozložíme souče rciálích zlomků v reálém oboru viz dlší říkld Příkld 8 Njděme ředmě k fukci F( ) V reálém oboru lí k jedolivým zlomkům jdeme vzory e H( ) ( ) 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( ) ( ) ( ) e cos( )H( ) Máme edy vzor f ( ) e H( ) e cos( ) si( ) H( ) e si( )H( ) [7]

18 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Podobě lze osuov i v řídech s vyšší mociou kvdrického ireducibilího olyomu ve jmeoveli rciálího zlomku lze odvodi rekureí formule Pozámk 89 Ozčme F ( ) : ( ) ( ) G( ) : (85) k ro jejich vzory f ( ) F ( ) g ( ) G ( ) lze sá: f () cos( ) g () A A A A ( )!! si( ) (86) kde ro mice Ak k lí A k k dvojý fkoriál ()!! je defiová vzhem ( )!! ( ) 64 j říkld 6!! Formuli (86) lze sdo odvodi výočem derivcí fukcí (85) Plí k k d d Fk ( ) ( k) G k k k( ) kgk ( ) ( ) ( ) d G ( d k ) k kf ( ) k( ) d Odud lze vyočí Fk ( ) k d Gk( ) (87) Gk ( ) Fk ( ) ( ) Gk ( ) (88) k k Zěá Llceov rsformce formulí (87) (88) s využiím Věy 86 dává fk ( ) fk( ) g ( ) k k g ( ) k k řičemž f ( ) cos( ) g ( ) si( ) Odud doseme (86) V obecějším řídě fukcí F ( ) : ( ) G ( ) : využijeme věu o ( ) změě měřík f ( ) F ( ) f ( ) (( ) ) ( ) g ( ) G ( ) ( ) (( ) ) g ( ) Příkld 8 [8]

19 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Sovme ředmě k obrzu F( ) ( 5) Nejrve výrz urvme by byl zřejmá souvislos s fukcemi v rekureích formulích ozámky 89 Doseme: ( 5) (( ) 4) ( ) 5 (( ) 4) (( ) ) (( ) ) e f ( ) e g ( ) Fukce f g určíme z rekureí formule (86) Doseme: f() cos( ) ()!! g() si( ) = cos( ) si( ) Odud dosáváme 4 f g Máme výsledek ( ) 8 ( cos( ) si( )) ( ) 8 ( cos( ) ( )si( )) f ( ) e 5 ( ( ) cos( ) si( )) ( cos( ) ( ( ) )si( )) H( ) e [ (4 ) cos( ) ( 5)si( )]H( ) Příkld 84 Řešme očáečí úlohu x 4 x f ( ) x() x() kde fukce f je zdá grficky: f Z obrázku vylývá vyjádřeí ro fukci f Plí f ( ) (H( ) H( )) Pro Llceův obrz zdé rovice máme ( ) ( ) 4 ( ) X x x X F kde F( ) L [ (H( ) H( ))] e L [ ]( ) e ( ) ( e e ) ( e e ) e ( ) e L [ ]( ) Pro řešeí X v obrzové roviě můžeme sá: X ( 4) ( e e ) ( e e ) j X ( e e ) ( e e ) 4 ( 4) ( 4) [9]

20 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Ozčme G ( ) : 4 G ( ) : ( 4) ( 4) G ( ) : odovídjící vzory o řdě g G g G g G Pomocí ěcho vzorů zišme řešeí difereciálí rovice Doseme s využiím věy 84 o osuuí x( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) g ( ) (89) Nyí koečě sovme fukce g Plí G ( ) 4 (cos( ) si( )) H( ) g ( ) G ( ) ( 4) ( cos( )) H( ) g ( ) 4 4 G ( ) ( 4) ( si( )) H( ) g ( ) 4 8 Fukci g jsme mohli ké sovi iegrcí g( ) g( ) d odle věy 87 eboť G ( ) G ( ) Doszeím lezeých fukcí g do (89) doseme hledé řešeí očáečí úlohy: x( ) (cos( ) si( )) H( ) ( ( ) si(( ))) H( ) ( ( ) si(( ))) H( ) ( cos(( ))) H( ) ( cos(( ))) H( ) N dále uvedeém obrázku je kresle růběh lezeého řešeí x() jeho rví i druhé derivce kresle je i růběh x( ) 4 x( ) kerý jk je vidě se shoduje s rvou srou difereciálí rovice Z obrázku je rověž ro že druhá derivce řešeí x () je esojiá ve sejých bodech ve kerých je esojiá rvá sr difereciálí rovice f() má sejé skoky esojiosi []

21 8 748 :9 Josef Hekrdl Llceov rsformce Elemeárí slovík koresodecí Nechť e! si( ) cos( ) e sih( )! ( ) cosh( ) A e ( ) ( )! H( ) Elemeárí rvidl Llceovy rsformce f ( ) F( ) f ( ) F( ) f ( ) H( ) e F( ) f ( ) H( ) e L [ f ( )]( ) f ( ) F( ) f() F( q) dq f ( ) F( ) f ( ) ro f ( ) F( ) f ( ) f ( ) ro f sojiou iervlu ( ) f f sojié iervlu ( ) F( ) f( ) d f g L[ f ] L [ g] Lierur [] Z Pírko J Vei Llceov rsformce SNTL/ALFA Prh 97 [] J Tkdlec Difereciálí rovice Llceov rsformce skri FEL ČVUT []