Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.
|
|
- Miroslava Tomanová
- před 6 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola Neurčitý integrál Začneme obráceným postupem k počítání derivací, tj. hledáním funkcí, jejichž derivaci známe.. Primitivní funkce... Primitivní funkce Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na intervalu J, jestliže F (x) = f(x) pro všechna x J. Všimněme si, že předchozí přiřazení (k funkci přiřadíme její primitivní funkci, pokud existuje) je definováno jen na intervalech. Později budeme schopni definici mírně zobecnit, ale požadavek intervalu zůstane. Protože se jedná o inverzní operaci k derivaci, místo primitivní funkce se někdy používá termín antiderivace. Z definice vyplývají následující pozorování (třetí tvrzení je důsledkem Lagrangeovy věty o střední hodnotě): Pozorování. Nechť F je primitivní funkce k f na intervalu J. Potom:. F je spojitá na J. 2. Pro libovolné c R je F + c primitivní funkce k f na J. 3. Je-li G primitivní funkce k f na J, pak existuje c R tak, že je G = F + c. K dané funkci tedy buď na daném intervalu existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí nebo žádná. Protože všechny existující primitivní funkce se liší o konstantu, stačí najít jen jednu primitivní funkci a všechny ostatní získáme přičítáním reálných čísel (tj., posouváním grafu funkce po ose y). Pro zjednodušení zápisů se tato množina primitivních funkcí k funkci f značí f(x) dx, x J a čte se neurčitý integrál funkce f na J. Aby se zdůraznilo, že se jedná o množinu funkcí, při výpočtech píšeme f(x) dx = F (x) + C nebo f(x) dx = C F (x),. března 204
2 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 2 kde C značí libovolné reálné číslo (je možné použít jiné písmeno). Interval J se často určuje až při výpočtu nebo po výpočtu. První rovnost je vhodnější při řešení diferenciálních rovnic. Každá primitivní funkce F k f na J je dána svou hodnotou v některém bodě J. Např. hledáme primitivní funkci F k f(x) = sin x na (, ) s hodnotou 4 v bodě 0: sin x dx = cos x+c, položíme cos(0) + C = 4 a dostaneme C = 5 hledaná primitivní funkce F (x) je rovna 5 cos x. Symbol se čte integrál, f(x) je integrovaná funkce (občas se používá přejatý výraz integrand). V tuto chvíli budeme chápat symbol dx pouze jako určení proměnné x, podle které integrujeme. Později si ozřejmíme, proč je tam i písmeno d, které s proměnnou x udává nekonečně malou veličinu nebo změnu proměnné x (jak jsme poznali v diferenciálním počtu). Je samozřejmě vhodné udávat proměnnou, podle které se integruje, protože jinak bychom nevěděli jak počítat např. zy. Nicméně, někdy se používá zkrácený zápis f, pokud nemůže dojít k nedorozumění. Jsou i jiné zápisy primitivní funkce. Samozřejmě lze vždy použít zápis pro derivaci, tj. místo 2x dx = x 2 + C psát (x 2 ) = 2x, což nebývá vždy praktické. Zápis d x dx vycházející z antiderivací se používal málo, ale v současné době se podobná značení pro primitivní funkce používají v některých matematických programech. Např. program Mathematica má pro primitivní funkci (kromě příkazu Integrate) příkaz Derivative[ ][f][x]. Toto značení má výhodu pro opakování výpočtu, např. Derivative[ 2][f][x] je primitivní funkce k primitivní funkci k f (navíc lze tohoto zápisu výhodně použít i pro integraci funkcí více proměnných, jak uvidíme později). Ze znalosti derivací elementárních funkcí lze snadno integrovat některé funkce. Uvedeme je v tabulce (neuvádíme tam konstanty C). funkce f(x) interval J f(x) dx na J sin x R cos x cos x R sin x cos 2 x ( π/2 + kπ, π/2 + kπ) tg x sin 2 x (kπ, π + kπ) cotg x x a, a (0, + ), R,... x a+ a+ x (, 0), (0, + ) log x e x R e x a x, a > 0 R a x log a x (, ) arcsin x 2 +x 2 R arctg x Na příkladě funkce /x lze uvést, proč je důležité brát primitivní funkce na intervalu a nikoli na celém definičním oboru, který není intervalem. Vezmeme-li f (x) = log x na (, 0) (0, + ) a f 2 (x) = log x na (, 0), f 2 (x) = +log x na (0, + ), je f (x) = f 2(x) = /x na (, 0) (0, + ). Tyto dvě funkce se ale neliší na svém definičním oboru o konstantu a s tím by byl velký problém pro výpočet určitých integrálů. Ukážeme později, jak lze tuto nevýhodu obejít. Lze samozřejmě těžko očekávat, že každá funkce na nějakém intervalu bude mít na tomto intervalu primitivní funkci. Charakterizovat funkce, které mají primitivní funkci, je velmi obtížné. Uvedeme několik vlastností, která nám pomohou při zjišťování existence primitivní funkce. Nejdříve tři nutné podmínky, z nichž ta prvá je důsledkem tvrzení o vlastnosti derivace z.kapitoly, druhá podmínka na první pohled mnoho neříká a třetí je důsledkem druhé podmínky. Připomeňme, že funkce f je bodovou limitou posloupnosti funkcí {f n } na množině M, jestliže pro každé x M je f(x) = lim n f n (x).
3 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 3... Existence primitivní funkce Nechť f má na intervalu J primitivní funkci. Potom Důkaz. f má na J Darbouxovu vlastnost (tj. zobrazuje intervaly z J na intervaly nebo body); 2. f je bodovou limitou posloupnosti spojitých funkcí; 3. f je spojitá na husté podmnožině J (tj., každý interval v J obsahuje bod spojitosti f). Předchozí tvrzení se používá pro ověření, že zkoumaná funkce nemá primitivní funkci. Např. funkce sgn nemá na intervalu (, ) Darbouxovu vlastnost a tedy nemá na tomto intervalu primitivní funkci (tentýž postup platí pro funkce se skokem). Funkce, která na každém intervalu nabývá všech reálných hodnot, má Darbouxovu vlastnost, ale není spojitá v žádném bodě a tedy nemůže mít primitivní funkci. Uvedené nutné podmínky v.. nejsou postačující. Existují funkce. které splňují uvedené podmínky ale primitivní funkci nemají. Nicméně, spojité funkce na intervalu mají uvedené vlastnosti a mají i primitivní funkce, jak ukážeme v následujícím tvrzení. Existují ale i nespojité funkce, které mají primitivní funkci standardním příkladem nespojité funkce, která má primitivní funkci na R je 2x sin(/x) cos(/x) = ( x 2 sin(/x) ), x 0; f(x) = 0, x = Integrál spojité funkce Každá spojitá funkce definovaná na intervalu má na tomto intervalu primitivní funkci. Důkaz Konstrukce v důkazu je návodem ke grafické integraci funkce (a k přibližnému výpočtu určitého integrálu, jak uvidíme později). Existence ovšem neznamená, že dovedeme příslušnou primitivní funkci napsat. Kdybychom si dříve nezadefinovali funkci arctg, nemohli bychom napsat, čemu se integrál z funkce /( + x 2 ) rovná. Např. funkce sin(x 2 ), sin(x)/x, e x2 jsou spojité na R a mají tam tedy primitivní funkce, ale tyto funkce nelze napsat pomocí námi definovaných funkcí. Tak jako je vhodná geometrická ilustrace derivace, je vhodné mít představu o významu primitivní funkce. Nejdříve uvedeme přepis Lagrangeovy věty o střední hodnotě do řeči primitivních funkcí...3. Lagrangeova věta o střední hodnotě Nechť funkce f má na intervalu J primitivní funkci F a [a, b] J je kompaktní interval. Pak existuje c (a, b) tak, že F (b) F (a) = f(c)(b a). Tvrzení znamená (alespoň za předpokladu f > 0), že rozdíl funkčních hodnot primitivní funkce k f je roven obsahu obdélníku, který má za jednu stranu interval [a, b] a jeho výška je rovna funkční hodnotě funkce f v nějakém bodě intervalu [a, b]. Zvolme nyní libovolně body x 0 = a < x <... < x n < x n = b. Potom F (b) F (a) = n (F (x i ) F (x i )) = i= n f(c i )(x i x i ), kde c i jsou nějaké body z (x i, x i ). Rozdíl F (b) F (a) lze tedy geometricky interpretovat (opět pro f > 0) jako součet obsahů obdélníků nad úsečkami [x i.x i ] a s výškami rovnými funkční hodnotě f v některém bodě těchto úseček. i=
4 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 4 Jestliže zvětšujeme počet dělících bodů x i a zmenšujeme všechny délky intervalů [x i, x i ], budou se součty obsahů příslušných obdélníků opticky blížit k obsahu rovinného obrazce omezeného nad intervalem [a, b] grafem funkce f. Slovo opticky vyjadřuje situaci, kdy se díváme na obrázek a tedy funkce f je hezká, tedy její graf je nakreslitelný. Obecně se může stát, že při jinak zvolených intervalech [x i, x i+ ] a jejich zmenšování dostaneme různá čísla. Nestane se to, pokud je f spojitá...4. Geometrický přístup Nechť f je spojitá funkce na kompaktním intervalu [a, b] a F je na tomto intervalu její primitivní funkce. Zvolme pro každé n N dělení x 0 = a < x <... < x kn < x kn = b a v každém intervalu [x i, x i+ ] bod c i. Nechť lim n max{x i+ x i ; i = 0,..., k n } = 0. potom F (b) F (a) = lim n k n i=0 f(c i )(x i+ x i ). Důkaz Dostáváme tedy následující geometrický význam primitivní funkce. Nechť F je primitivní funkce ke kladné spojité funkci f na kompaktním intervalu [a, b]. Pak rozdíl F (b) F (a) vyjadřuje obsah obrazce vymezeného intervalem [a, b], grafem funkce f a přímkami x = a, x = b. Vrátíme se nyní k významu onoho výrazu dx v integrálu f(x) dx. Rozdíly x i+ x i se často značí symbolem x i. Vysvětlili jsme si v diferenciálním počtu, že pokud se x i+ blíží k x, značíme limitu x jako dx. V uvedené geometrické interpretaci je tedy F (b) F (a) součet nespočetně mnoha obdélníků s nekonečně malou stranou dx a výškou f(x). Ostatně, symbol vznikl úpravou písmene S (z latinského Summa). K tomuto pohledu na integrály se vrátíme později. Velmi často se využívá pro aplikace integrálního počtu..2 Obecná tvrzení pro výpočet primitivních funkcí.2. Linearita Protože přiřazení derivace funkcím je lineární, musí být i opačné přiřazení lineární. Důkaz je tak jednoduchý, že ho nebudeme uvádět..2.. Linearita Jsou-li a, b reálná čísla a F, G jsou primitivní funkce na intervalu J k funkcím f, g resp., je af + bg primitivní funkce k af + bg na J. Symbolicky lze tvrzení znázornit jako (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b g(x) dx,
5 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 5 kde na levé straně je množina funkcí, na pravé straně součet množin funkcí a jedná se tedy o rovnost množin. (Jsou-li M, N množiny funkcí, je M + N = {f + g; f M, g N}.) Linearita umožňuje integrovat polynomy a podobné kombinace funkcí po jednotlivých sčítancích: (3x 2 7x + 4) dx = x x2 + 4x + C, (2 sin x 8x 3 ) dx = 2 cos x 2x 4 + C. POZOR. Integrál součinu nebo podílu není součin nebo podíl integrálů: f f (f g) f g, g g (stačí v obou případech volit f(x) = x, g(x) = ). V některých zvláštních případech lze najít vzorec pro integraci součinu nebo podílu funkcí. Tyto případy jsou speciálním případem věty o substituci a jsou proto uvedeny jen v příkladech. Příklad.2.2 Integrace po částech Za zvláštní případ integrace součinu lze považovat i integraci využívající vzoreček pro derivaci součinu. Postup se nazývá integrace po částech proto, že se u součinu dvou funkcí nejdříve najde primitivní funkce jen jedné z nich a pak se hledá primitivní funkce k součinu té jedné primitivní funkce a derivace druhé funkce. Místo českého termínu se často používá latinský termín integrace per partes Integrace po částech Nechť funkce F, G mají derivace na intervalu J. Pak platí: funkce H je na J primitivní k F.G právě když F.G H je na J primitivní k F.G Důkaz plyne přímo ze vzorce (F.G) = F.G + F.G. Symbolicky lze integraci per partes zapsat jako F (x)g (x) dx = F (x)g(x) F (x)g(x) dx existuje-li jedna strana, kde se opět jedná o rovnost množin funkcí. Vzorec lze zapsat i následujícím způsobem, kde G je primitivní funkce k funkci g: fg = fg f G. Není vždy jednoduché určit, kterou z obou výchozích funkcí máme integrovat a kterou derivovat. Chce to trochu praxe. Použití integrace po částech je zhruba trojího druhu. Ten první způsob jsme již zmínili: integrál z F.G může být jednodušší než integrál z F.G. Např. v x sin x dx zvolíme F (x) = x, G (x) = sin x musíme tedy znát primitivní funkci k funkci, kterou pokládáme za G, což je v našem případě snadné: G(x) = cos x. Dále máme F (x) =, takže dostáváme x sin x dx = x( cos x).( cos x) dx = x cos x + cos x dx = x cos x + sin x + C. Konstantu přidáváme až na konec, nepřidává se v průběhu počítání, tj. nepíšeme G(x) = cos x + C (i když to samozřejmě je možné).
6 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 6 Někdy je nutné postup opakovat (viz druhý hlavní řádek v následující tabulce, x 2 sin x dx). Pak je nutné volit stejné pořadí při volbě funkce, kterou derivujeme, tj. pokud volíme F (x) = x 2, musíme při opakování postupu volit F (x) = x a nikoli F (x) = cos x. V posledním řádku tabulky je uveden důležitý příklad primitivní funkce, která se počítá dvojím použitím integrace per partes. Nedostaneme pak sice hned výsledek, ale dostaneme rovnici, v níž je neznámou hledaná primitivní funkce. Druhý způsob může být chápán jako obrácený postup k prvnímu způsobu. Zdánlivě integrál na pravé straně uděláme složitější. Máme vypočítat log x dx. Uděláme z log x součin. log x a položíme F (x) = log x, G (x) =, takže F (x) = /x, G(x) = x. Tím jsme se zbavili transcendentní funkce a musíme doufat, že integrál na pravé straně spočítáme: log x dx = x log x x. x dx = x log x = dx = x log x x + C. Podobně se počítá primitivní funkce k arctg x. Třetí způsob je získání rekurentního vzorce pro některé integrály, např. pro I n (x) = x n e x dx, n N, kde položíme F (x) = x n, G (x) = e x : I n (x) = x n e x dx = x n e x nx n e x dx = x n e x = ni n (x). V příkladech jsou uvedeny složitější a důležité příklady. funkce f(x) interval J f(x) dx na J.2.3 Substituce x sin x R x cos x + sin x x 2 sin x R x 2 cos x + 2x sin x + 2 cos x xe x R e x (x ) log x (0, + ) x(log x ) arctg x R x arctg x log( x 2 + ) e ax sin(bx) R e ax a 2 +b 2 (a sin(bx) b cos(bx)) Z derivace známe ještě jeden důležitý vzorec, a to pro výpočet derivace složené funkce: ( F (ϕ(x)) ) = F (ϕ(x))ϕ (x). To znamená, že k funkci F (ϕ(x))ϕ (x) je primitivní funkce F (ϕ(x)). Toto jednoduché, ale důležité tvrzení uvedeme jako tvrzení:.2.3. Integrace pomocí substituce Nechť funkce f(y) má na intervalu J primitivní funkci F (y) a funkce ϕ(x) má na intervalu I derivaci a zobrazuje I do J. Potom složená funkce (F ϕ)(x) je primitivní k f(ϕ(x))ϕ (x) na intervalu I. Symbolicky a srozumitelněji lze tvrzení vyjádřit jako f((ϕ(x))ϕ (x) dx = F (ϕ(x)) + C, tj. f((ϕ(x))ϕ (x) dx = f(y) dy, a dosadíme y = ϕ(x).
7 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 7 Tímto způsobem lze počítat integrály funkcí, které jsou vyjádřeny jako f((ϕ(x))ϕ (x), známe-li primitivní funkci k f. Např. hledáme primitivní funkci k sin 2 x cos x. Víme, že cos x je derivace funkce sin x, takže stačí položit f(y) = y 2, y = ϕ(x) = sin x. V následujícím zápisu musíme mít na paměti, že y je funkce x; sice přejdeme v určitém kroku z proměnné x na proměnnou y, ale posléze se k x vrátíme, tj. za y musíme dosadit ϕ(x). sin 2 x cos x dx = y 2 dy = y 3 /3 + C = sin3 x 3 + C. Následující zápis (nebo jeho různé modifikace) je přesnější, ale po získání zkušenosti se příliš nepoužívá. [ ] [ ] sin 2 x cos x dx = sin x = y = y 2 dy = y 3 /3 + C = y = sin x = sin3 x + C. 3 Někdy nebývá na první pohled jasné, že funkce, kterou chceme integrovat je tvaru f((ϕ(x))ϕ (x) viz např. třetí nebo poslední řádek v následující tabulce. funkce f interval prim.funkce k f substituce 2x sin x 2 R cos x 2 y = x 2 xe x2 R e x2 /2 y = x 2 x +x 4 R (arctg x 2 )/2 y = x 2 log x x (0, + ) (log 2 x)/2 y = log x x log 2 x (0, + ) / log x y = log x tg x ( π/2, π/2) + kπ log cos x y = cos x I když není integrovaná funkce tvaru f(ϕ(x))ϕ (x) nebo tento tvar nepoznáme, dá se substituce (tj. vzorec pro derivaci složené funkce) použít, ale postupujeme z druhé strany. Integrovaná funkce je f(x) a my za x dosadíme funkci ϕ(t). Pokud najdeme primitivní funkci G(t) k f(ϕ(t))ϕ (t) a známe inverzní funkci k ϕ(t), bude hledaná primitivní funkce k f(x) rovna G(ϕ (x)) Integrace pomocí substituce 2 Nechť f je funkce na intervalu J a ϕ zobrazuje interval I na interval J a má na I vlastní nenulovou derivaci. Je-li G(t) primitivní funkce na I k f(ϕ(t))ϕ (t), je G(ϕ (x)) primitivní funkce k f(x) na J. Důkaz Opět je výstižnější symbolický zápis: f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, a dosadíme t = ϕ (x). Můžeme poznamenat, že tvrzení.2.4 platí obecněji. Místo ϕ (x) 0 stačí existence funkce ψ na J takové, že ϕ ψ je identita na J (místo ϕ se pak použije ψ). Nemusí být vůbec snadné najít vhodnou substituci ϕ pro daný integrál f(x) dx. Chce to praxi v počítání. V příští části uvedeme obecné situace, kdy se nemusí substituce hledat, je pro velkou třídu funkcí už známa. Následující tabulka uvádí několik případů substituce. V některých případech se místo funkce x = ϕ(t) zadává její inverzní funkce t = ϕ (x). Při substituci x = ϕt do integrálu f(x) dx musíme všechna x v integrálu nahradit funkcí proměnné t. Uvědomme si, že výraz pro f může být složitý a proměnná x se může vyskytovat na mnoha místech. Musíme nahradit i x ve výrazu dx; je vhodné si pamatovat, že dx = dϕ(t) = ϕ (t) dt, což se dá chápat jako vynásobení rovnosti dx dt = ϕ (t) jmenovatelem dt.
8 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 8 funkce f interval prim.funkce k f substituce sin(2x 3) R 2 cos(2x 3) 2x 3 = t x x 2 (, ), (, ) arctg x 2 x 2 = t 2 4 x 2 ( 2, 2) arcsin(x/2) x = 2 sin t 2x 2 +3 R 6 arctg(x 2/3) x = t 3/2 (2x 2 +3) 2 R x 6(2x 2 +3) arctg(x 2/3)) x = tg(t) 3/2 Uvedli jsme nejobecnější pravidla pro výpočty primitivních funkcí. V následující sekci uvedeme méně obecné, ale užitečné postupy, které se dají použít na výpočty primitivních funkcí dosti velkých tříd funkcí. Samozřejmě existuje hodně metod, které jsou vhodné jen pro malou třídu funkcí. Některé uvádíme v příkladech Příklad Na toto místo můžeme zařadit i dříve slibované speciální případy integrace součinu nebo podílu, a to funkcí ff, f /f Příklad
9 KAPITOLA. NEURČITÝ INTEGRÁL 9.3 SHRNUTÍ.3. DEFINICE Funkce F se nazývá primitivní k funkci f na intervalu J, jestliže F (x) = f(x) pro všechna x J..3.2 TVRZENÍ Nechť F je primitivní funkce k f na intervalu J. Potom:. F je spojitá na J. 2. Pro libovolné c R je F + c primitivní funkce k f na J. 3. Je-li G primitivní funkce k f na J, pak existuje c R tak, že je G = F + c. Nechť f má na intervalu J primitivní funkci. Potom. f má na J Darbouxovu vlastnost (tj. zobrazuje intervaly z J na intervaly nebo body); 2. f je bodovou limitou posloupnosti spojitých funkcí; 3. f je spojitá na husté podmnožině J (tj., každý interval v J obsahuje bod spojitosti f). Každá spojitá funkce definovaná na intervalu má na tomto intervalu primitivní funkci. Nechť f je spojitá funkce na kompaktním intervalu [a, b] a F je na tomto intervalu její primitivní funkce. Zvolme pro každé n N dělení x 0 = a < x <... < x kn < x kn = b a v každém intervalu [x i, x i+ ] bod c i. Nechť lim n max{x i+ x i ; i = 0,..., k n } = 0. potom F (b) F (a) = lim n k n i=0 f(c i )(x i+ x i ). (af(x) + bg(x)) dx = a f(x) dx + b F (x)g (x) dx = F (x)g(x) f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt g(x) dx, F (x)g(x) dx
PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceSeznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.
INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace
VíceKapitola 7: Integrál.
Kapitola 7: Integrál. Neurčitý integrál. Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f(x) x I nazýváme primitivní funkcí k funkci
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceIntegrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody)
Integrální počet - I. část (neurčitý integrál a základní integrační metody) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 6. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 23 Obsah
Více(5) Primitivní funkce
(5) Primitivní funkce Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (5) Primitivní funkce 1 / 20 Def: Primitivní funkce Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu (a,
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceJe založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =
0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si
VíceNeurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
VíceKapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20
Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)
VíceSeznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat.
.. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceDerivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010
Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceFunkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 12. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 216/21 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 216/21 1 / 15 Integrování jako inverzní operace příklady inverzních
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceLimita funkce. FIT ČVUT v Praze. (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39
Limita funkce FIT ČVUT v Praze 3.týden (FIT) Limita funkce 3.týden 1 / 39 Definice funkce. Zobrazení (f, D f ), jehož definiční obor D f i obor hodnot H f je podmnožinou množiny reálných čísel, se nazývá
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceBakalářská matematika I
1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE. Bude hodně metod :-)
PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceIntegrální počet funkcí jedné proměnné
Integrální počet funkcí jedné proměnné Neurčité integrály Určité a nevlastní integrály Geometrické aplikace určitého integrálu. p.1/?? Neurčité integrály Příklad 7.1.1 Vhodnou metodou vypočítejte neurčitý
VíceManagement rekreace a sportu. 10. Derivace
Derivace Derivace Před mnoha lety se matematici snažily o obecné vyřešení úlohy, jak sestrojit tečnu k dané křivce a také yzici zápolili s problémem určení rychlosti nerovnoměrného pohybu K zásadnímu obratu
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLimita a spojitost LDF MENDELU
Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
Vícepouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na
Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
Více7.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P7.1a]
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-8:P7.a] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceZimní semestr akademického roku 2015/ ledna 2016
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Zimní semestr akademického roku 015/016 5. ledna 016 Obsah Cvičení Předmluva iii
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
Více3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim
3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508
VíceDiferenciál funkce. L Hospitalovo pravidlo. 22. a 23. března 2011
Diferenciál funkce Derivace vyšších řádů L Hospitalovo pravidlo Jiří Fišer 22. a 23. března 2011 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT2 Přednáška č. 6 22. a 23. března 2011 1 / 18 y ω(h) dy O x Obrázek:
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/20
Kapitola 1: Reálné funkce 1/20 Funkce jedné proměnné 2/20 Definice: Necht M R. Jestliže každému x M je přiřazeno jistým předpisem f právě jedno y R, říkáme, že y je funkcí x. x... nezávisle proměnná (neboli
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceLimita a spojitost funkce
Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
VíceANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ
ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,
VíceMatematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze
Matematika vzorce Ing. Petr Šídlo verze 0050409 Obsah Jazyk matematiky 3. Výrokový počet.......................... 3.. Logické spojky...................... 3.. Tautologie výrokového počtu...............
VíceKapitola 1: Reálné funkce 1/13
Kapitola 1: Reálné funkce 1/13 Číselné množiny 2/13 N = {1, 2, 3, 4,... }... přirozená čísla N 0 = N {0} = {0, 1, 2, 3, 4,... } Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4,... }... celá čísla Q = { p q p, q Z}... racionální
VíceI. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta
I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta 343 I. 7. Diferenciál funkce a Taylorova věta Věta 26. Funkce f má v bodě x 0 diferenciál (je diferencovatelná v x 0 ) právě tehdy, když existuje vlastní derivace
VíceELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE SPECIÁLNÍ ELEMENTÁRNÍ FUNKCE
ELEMENTÁRNÍ KOMPLEXNÍ FUNKCE Všechny základní reálné funkce reálné proměnné, s kterými jste se seznámili na začátku tohoto kurzu, lze rozšířit i na komplexní funkce komplexní proměnné. U některých je rozšíření
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
VíceKapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14
Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou
VíceMatematika (KMI/PMATE)
Úvod do matematické analýzy Funkce a její vlastnosti Funkce a její vlastnosti Veličina Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Funkce a její
VíceMatematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16
Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VíceMENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
Více7. Aplikace derivace
7. Aplikace derivace Verze 20. července 2017 Derivace funkce se využívá při řešení úloh technické praxe i teorie. Uvedeme několik z nich: vyčíslení hodnot funkce, výpočet limity, vyšetřování průběhu funkce
Více7B. Výpočet limit L Hospitalovo pravidlo
7B. Výpočet it L Hospitalovo pravidlo V prai často potřebujeme určit itu výrazů, které vzniknou operacemi nebo složením několika spojitých funkcí. Většinou pomohou pravidla typu ita součtu násobku, součinu,
Více0.1 Funkce a její vlastnosti
0.1 Funkce a její vlastnosti Veličina - pojem, který popisuje kvantitativní (číselné) vlastnosti reálných i abstraktních objektů. Příklady veličin: hmotnost (m) čas (t) výše úrokové sazby v bance (i) cena
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceMatematická analýza 1b. 9. Primitivní funkce
Matematická analýza 1b 9. Primitivní funkce 9.1 Základní vlastnosti Definice Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže
VíceNejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. y + y = 4 sin t.
1 Variace konstanty Nejdřív spočítáme jeden příklad na variaci konstant pro lineární diferenciální rovnici 2. řádu s kostantními koeficienty. Příklad 1 Najděte obecné řešení rovnice: y + y = 4 sin t. Co
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Limita funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
VíceDiferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36
Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic
VíceMatematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )
Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
Více1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.
VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:
Více- funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte. V obou případech vyzkoušejte Taylorovy řady
Vzorové řešení domácího úkolu na 6. 1. 1. Integrály 1 1 x2 dx, ex2 dx spočítejte přibližně následují metodou - funkce, které integrujete aproximujte jejich Taylorovými řadami a ty následně zintegrujte.
Více8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice
9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky
VícePřednáška 3: Limita a spojitost
3 / 1 / 17, 1:38 Přednáška 3: Limita a spojitost Limita funkce Nejdříve je potřeba upřesnit pojmy, které přesněji popisují (topologickou) strukturu množiny reálných čísel, a to zejména pojem okolí 31 Definice
VíceDerivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace
Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceObyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých
Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.
VíceVI. Derivace složené funkce.
VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,
VíceKapitola 8: Dvojný integrál 1/26
Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet
Více