Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Dana Chromíková Vícerozměrné míry rizika Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Studijní program: matematika Studijní obor: pravděpodobnost, matematická statistika a ekonometrie Studijní plán: ekonometrie 2010

2 Ráda bych poděkovala všem, kteří mě podporovali při psaní diplomové práce. Hlavní poděkování patří mému vedoucímu diplomové práce RNDr. Ing. Milošovi Kopovi, Ph.D. za veškeré rady, jak matematické, tak i stylistické, za cenné konzultace, za trpělivost a drahocenný čas, který mi věnoval. Prohlašuji, že jsem svou diplomovou práci napsala samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. Souhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 3. srpna 2010 Bc. Dana Chromíková 2

3 Obsah Úvod 6 1 Jednorozměrné míry rizika Jednoperiodický model Definice a základní vlastnosti Příklady Value-at-risk Průměrný value-at-risk Optimalizace jednoperiodického modelu Mean-risk model Optimalizace portfolia Scénářový přístup Vícerozměrné míry rizika Víceperiodický model Role a reprezentace informace Definice a základní vlastnosti Konstrukce vícerozměrných měr rizika Separabilní funkcionály Skalarizační funkcionály SEC funkcionály Víceperiodická polyedrická míra rizika Optimalizace portfolia ve víceperiodickém modelu Mean-risk model Optimalizace portfolia Scénářový přístup Empirická studie Data Generování scénářů Nastavení parametrů Úlohy Výsledky

4 5.5.1 Porovnání investičních strategií Investiční strategie v závislosti na transakčních nákladech Závěr 52 Literatura 54 4

5 Název práce: Vícerozměrné míry rizika Autor: Dana Chromíková Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. vedoucího: Milos.Kopa@mff.cuni.cz Abstrakt: V této práci se budeme věnovat víceperiodickým mírám rizika a budeme pro ně formulovat víceperiodické modely. Víceperiodické modely berou v úvahu možnost reinvestice a tím zachycují lépe reálnou situaci než jednoperiodické modely. Nejprve shrneme základní poznatky o jednoperiodických mírách. Dále v práci definujeme víceperiodické míry rizika a uvedeme několik způsobů jejich konstrukce zobecněním jednoperiodických měr rizika. Formulujeme víceperiodický mean-risk model optimalizace portfolia s použitím různých rizikových měr, ve kterých budeme uvažovat transakční náklady a nebudou povoleny prodeje na krátko. S pomocí scénářového přístupu provedeme studii na reálných datech a porovnáme optimální strategie pro jednoperiodický a víceperiodický model. Dále se budeme zabývat závislostí počáteční optimální strategie na velikosti transakčních nákladů. Klíčová slova: míra rizika, rizikový funkcionál, mean-risk model, víceperiodický model optimalizace portfolia, průměrný Value-at-risk Title: Multidimensional risk measures Author: Bc. Dana Chromíková Department: Department of Probability and Mathematical Statistics Supervisor: RNDr. Ing. Miloš Kopa, Ph.D. Supervisor s address: Milos.Kopa@mff.cuni.cz Abstract: This thesis deals with multiperiod risk measures and multiperiod models with these risk measures in the objective are formulated. Multiperiod models consider the possibility of an intermediate actions within the investment horizont and represent the real situation in a better way than one-period models. First the basic properties for one-period risk measures are summarized. Then multiperiod risk measures are defined and several ways of construction concrete risk measures are discussed as extension of one-period risk measures. Multiperiod portfolio selection mean-risk models with different risk measures are formulated, transaction costs are included and short sales are not allowed. Using scenario approach the analysis on real data is performed and optimal strategies for one-period and multiperiod models are compared. A transaction costs effect on optimal strategy is examined. Keywords: risk measure, risk functional, mean-risk model, multiperiod portfolio optimization, average Value-at-risk 5

6 Úvod Ekonomické aktivity vedou k náhodnému výsledku, který můžeme ovlivnit naším chováním, neboli rozhodnutím. Rozhodnutí se snažíme volit takovým způsobem, aby nám výsledek ekonomické aktivity přinášel co největší zisk a zároveň abychom podstupovali co nejmenší riziko. Riziko je kvantifikováno pravděpodobnostním funkcionálem, který se nazývá míra rizika. Tvar rizikové míry závisí na našich rizikových preferencích. Problematice rozložení investic se věnuje mnoho článků a bylo navrženo několik typů rizikových měr. Průlom v této problematice udělal H. Markowitz v [10], který zohlednil investorův vztah k riziku a použití jeho modelu vedlo k rozdělení investice mezi několik aktiv, tedy k diverzifikaci portfolia. Klasický Markowitzův model kvantifikuje riziko jako rozptyl portfolia. Jiný přístup je založen na maximalizaci očekávaného užitku, kde užitková funkce popisuje investorův postoj k riziku. Tomuto přístupu se v této práci věnovat nebudeme. Dále byly navrženy další míry rizika, například semivariance [11], value-at-risk [12], průměrný value-at-risk [17], aj. Value-at-risk je rozšířená míra rizika, kterou předepisují používat bankovní směrnice, například ke kvantifikaci tržního a kreditního rizika. Průměrný value-at-risk je často navrhován jako alternativa k value-at-risk, protože má lepší vlastnosti, kterými se zabývají články [17] a [18]. Zde je ukázáno, že jej lze vyjádřit jako optimální hodnotu konvexní optimalizační úlohy. Také je koherentní mírou rizika podle článku [1], kde se autoři zabývají axiomatickou definicí míry rizika. Avšak všechny tyto míry rizika jsou založeny na jednoperiodickém modelu, kde nebereme v úvahu posloupnost výnosů z aktiv, peněžní toky a možnost obměny investic během investičního horizontu. Z tohoto důvodu byly navrženy víceperiodické míry rizika, které jsou definovány jako rizikové funkcionály pro náhodný proces. Jeden z možných způsobů, jak definovat víceperiodickou míru rizika je zobecnění jednoperiodické míry rizika, jak je popsáno například v [13] a [14]. Jiný způsob konstrukce víceperiodické míry rizika je ukázán v [5], kde je definována víceperiodická polyedrická míra rizika jako optimální hodnota úlohy lineárního víceperiodického stochastického programování. Jako příklad víceperiodické polyedrické míry rizika je zde uvedeno víceperiodické rozšíření průměrného value-at-risk. V článku [2] se autoři zabývají rozšířením definice koherentní míry rizika pro víceperiodický případ. Úlohy, ve kterých optimalizujeme vzhledem ke dvěma kritériím - maximalizujeme střední hodnotu zisku a minimalizujeme míru rizika, nazýváme mean-risk modely. V této práci budeme formulovat mean-risk modely pro různé víceperiodické míry rizika. Takovéto modely mají aplikace v různých oblastech, například v pojišt ovnictví či 6

7 energetice. My budeme aplikovat mean-risk modely na problém optimálního výběru akciového portfolia, kde budeme maximalizovat střední hodnotu konečného majetku investora a zároveň budeme minimalizovat míru rizika pro ztráty z tohoto portfolia, dostaneme tedy úlohu stochastického programování. Dále provedeme praktické srovnání optimálních řešení pro mean-risk modely s víceperiodickými mírami rizika a pro mean-risk modely s jednoperiodickými mírami rizika. V první kapitole této práce shrneme základní poznatky o jednorozměrných mírách rizika a jejich základních vlastnostech. Zároveň uvedeme příklady jednorozměrných měr rizika. Ve druhé kapitole zformulujeme jednoperiodický mean-risk model. Ve třetí kapitole formulujeme definici vícerozměrné míry rizika a jejích základních vlastností. Uvedeme několik možných způsobů konstrukce vícerozměrných měr rizika jako zobecnění jednorozměrné míry rizika. Konkrétně zobecníme průměrný value-at-risk několika různými způsoby na víceperiodickou míru rizika. Ve čtvrté kapitole budeme formulovat víceperiodický mean-risk model, který bude realistický z hlediska předpokladů - budeme předpokládat zákaz prodejů na krátko a budeme uvažovat transakční náklady. V tomto modelu budeme uvažovat víceperiodické míry vytvořené ve třetí kapitole. V páté kapitole spočteme na konkrétních datech optimální řešení pro jednoperiodický i víceperiodický mean-risk model s využitím scénářového přístupu a získané výsledky pro oba typy úloh porovnáme. V této práci budeme všechny objekty, které definujeme pro jednorozměrný případ, ve vícerozměrném případě značit tučně. 7

8 Kapitola 1 Jednorozměrné míry rizika V této kapitole se budeme zabývat jednorozměrnými neboli jednoperiodickými mírami rizika, které kvantifikují riziko v jednoperiodickém modelu. Tento model se zabývá ekonomickými aktivitami vedoucími pouze k jedné náhodné ztrátě na konci jednoho předem daného období. Jednorozměrnou míru rizika definujeme jako pravděpodobnostní funkcionál pouze jedné náhodné veličiny, a to náhodné ztráty na konci uvažovaného období. Dále budeme definovat základní vlastnosti jednorozměrné míry rizika. Pro jednorozměrné míry rizika panuje mezi odborníky relativně velká shoda o požadovaných vlastnostech, které zajišt ují dobrou ekonomickou interpretaci a řešitelnost optimalizačních úloh. V poslední části kapitoly se zaměříme na nejčastěji používané jednorozměrné míry rizika - value-at-risk a průměrný value-at-risk. 1.1 Jednoperiodický model Jednoperiodický model popisuje ekonomickou aktivitu, kdy investor provede rozhodnutí a sleduje realizaci náhodného vektoru. Na základě provedeného rozhodnutí a realizace náhodného vektoru určí svoji ztrátu. Investorovo rozhodnutí budeme značit x a může se jednat například o alokaci portfolia. Náhodný vektor, který má vliv na velikost ztráty, budeme značit ρ. Jedná se například o úrokovou míru, výnos, atd. Investorovu ztrátu definujeme následovně. Definice 1.1 [18] Ztrátovou funkci Y definujeme jako funkci Y = g(x, ρ) závislou na rozhodnutí x X R N+1 a náhodném vektoru ρ, kde ρ = (ρ 0,..., ρ N ) je reálný náhodný vektor se složkami definovanými na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) s hodnotami v (E, B(E)), kde B(E) značí borelovskou σ-algebru generovanou metrickým prostorem E, E R. Protože ztráta je funkcí náhodných veličin, je i ztráta náhodná veličina, jejíž rozdělení závisí na rozhodnutí x. Pokud budeme chtít explicitně uvést, že náhodná ztráta je funkcí rozhodnutí x, budeme ji značit Y (x). Množinu náhodných ztrát budeme značit Y. Má-li ztráta záporné znaménko, jedná se o zisk, proto náhodná veličina I = Y = = g(x, ρ) vyjadřuje náhodný zisk. 8

9 Předpoklady 1.2 Podobně jako v [18] budeme dále předpokládat, že: 1. g(x, ρ) je spojitá v x pro ρ(ω), kde ω Ω, a měřitelná v ρ pro všechna x X 2. E[ g(x, ρ) ] < pro všechna x X Díky těmto předpokladům je Y L 1 (Ω, A, P ). Investor preferuje nižší hodnoty Y před vyššími, protože Y reprezentuje jeho ztrátu. Tedy se investor snaží zvolit takové rozhodnutí x, aby jeho ztráta Y (x) na konci období byla co nejmenší s co nejmenším rizikem. Riziko budeme popisovat pomocí jednorozměrné neboli jednoperiodické míry rizika, kterou definujeme v následující kapitole. 1.2 Definice a základní vlastnosti V této kapitole definujeme jednoperiodickou míru rizika jako pravděpodobnostní funkcionál, který dává hodnoty odpovídající investorovým (manažerovým) preferencím. Investorovy preference funkcionál popisuje tím způsobem, že vyšší hodnoty funkcionálu představují vyšší riziko, tzn. vyšší nebezpečí, že dosáhneme vyšších hodnot ztráty Y. Rizikově averzní investor proto preferuje nižší hodnoty tohoto funkcionálu před vyššími. V úlohách, kde minimalizujeme riziko, budeme minimalizovat i jednoperiodickou míru rizika. Definice 1.3 [7] Necht Y Y L 1 (Ω, A, P ) je náhodná ztráta. Potom pravděpodobnostní funkcionál R : Y R je nazýván jednoperiodická míra rizika, jestliže splňuje následující vlastnosti pro všechna Y, Z Y: (R1) Ekvivariance vůči posunutí R(Y + c) = R(Y ) + c pro všechna c R. (R2) Monotonie Y Z s.j. R(Y ) R(Z) Nyní definujeme jednoperiodické míry rizika, které splňují navíc další vlastnosti než jen (R1) a (R2). Další vlastnosti jsou požadovány kvůli ekonomické interpretaci a řešitelnosti optimalizačních úloh. Definice 1.4 [13] Jednoperiodickou míru rizika nazýváme konvexní, jestliže splňuje pro všechna Y, Z Y a pro λ 0, 1 : (R3) Konvexita R(λY + (1 λ)z) λr(y ) + (1 λ)r(z). Konvexní jednoperiodickou míru rizika budeme nazývat rizikový funkcionál. Definice 1.5 [1] Jednoperiodickou míru rizika nazýváme pozitivně homogenní, jestliže splňuje pro všechna Y Y a pro λ 0: 9

10 (R4) R(λY ) = λr(y ) Axiomatickou definicí jednoperiodické míry rizika se zabývá práce [1], ve které autoři definovali koherentní jednoperiodickou míru rizika. Definice 1.6 [1] Jednoperiodickou míru rizika nazýváme koherentní, jestliže splňuje (R1), (R2), (R4) a pro všechna Y, Z Y: (R3 ) Sub-aditivita R(Y + Z) R(Y ) + R(Z). Vlastnost (R3 ) znamená, že diverzifikací portfolia nezvýšíme jeho riziko. Následující věta popisuje vztah mezi koherentní jednoperiodickou mírou rizika a rizikovým funkcionálem. Věta 1.7 Jednoperiodická míra rizika je pozitivně homogenní rizikový funkcionál, právě když je koherentní jednoperiodickou mírou rizika. Tzn. vlastnosti konvexita (R3) a pozitivní homogenita (R4) jsou ekvivalentní sub-aditivitě (R3 ) a pozitivní homogenitě (R4). Důkaz: 1. (R3) + (R4) (R3 ) + (R4) Položme Z = 1 λ λ Z, kde λ (0, 1. Platí: λr(y + Z) (R4) = R(λY + λz) = R(λY + (1 λ)z ) (R3) λr(y ) + (1 λ)r(z ) (R4) = λ(r(y ) + R( 1 λ λ Z )) = λ(r(y ) + R(Z)). 2. (R3 ) + (R4) (R3) + (R4) Položme Y = λy, Z = (1 λ)z, kde λ 0, 1. Platí: R(λY + (1 λ)z ) = R(Y + Z) (R3 ) R(Y ) + R(Z) = R(λY ) + R((1 λ)z ) (R4) = λr(y ) + (1 λ)r(z ). Další možnost, jak kvantifikovat riziko v jednoperiodickém modelu, je pomocí deviačního rizikového funkcionálu. Definice 1.8 [13] Necht Y Y L 1 (Ω, A, P ) je náhodná ztráta. Potom pravděpodobnostní funkcionál D : Y R je nazýván deviační rizikový funkcionál, jestliže splňuje následující vlastnosti pro všechna Y, Z Y: (D1) Invariance vůči posunutí D(Y + c) = D(Y ) pro všechna c R. (D2) Monotonie Y Z s.j. E(Y ) + D(Y ) E(Z) + D(Z) 10

11 (D3) Konvexita D(λY + (1 λ)z) λd(y ) + (1 λ)d(z). Vztah deviačního rizikového funkcionálu s rizikovým funkcionálem je následující: deviační rizikový funkcionál splňuje (Di), právě tehdy když R(Y ) = E(Y ) + D(Y ) splňuje (Ri) pro i {1, 2, 3}. Příklad 1.9 Deviační rizikový funkcionál je například rozptyl, směrodatná odchylka a semivariance. Poznámka 1.10 Pomocí jednoperiodických měr rizika je možné riziko kvantifikovat ekvivalentně jak pro ztrátu na konci investičního období, tak pro zápornou hodnotu celkového kapitálu investora, resp. bohatství, na konci investičního období. Ekvivalenci myslíme v tom smyslu, že v optimalizačních úlohách, kde minimalizujeme jednoperiodickou míru rizika, dostaneme stejná optimální řešení. Důkaz: Kapitál na konci investičního období označme K, platí pro něj následující rovnost: K = K 0 Y, kde K 0 značí kapitál investora na počátku investičního období a Y značí náhodnou ztrátu na konci investičního období. K je tedy náhodná veličina. Protože jednoperiodická míra rizika splňuje ekvivarianci vůči posunutí (R1), dostaneme: Protože K 0 je konstanta, platí: R( K) = R(Y K 0 ) = R(Y ) K 0. min x R( K(x)) = min R(Y (x)) x Optimalizační úlohy s použitím ztráty nebo záporné hodnoty kapitálu na konci investičního období povedou tedy ke stejným výsledkům při řešení optimalizačních úloh. Důsledek 1.11 Podle poznámky 1.10 lze jednoperiodické míry uvádět jak pro náhodnou změnu kapitálu - ztrátu, tak pro celkový kapitál. V této práci uvádíme jednoperiodické míry rizika pro náhodnou ztrátu z důvodu dobré interpretovatelnosti jednotlivých měr. 1.3 Příklady Value-at-risk Value-at-risk (značíme VaR) je často používaná jednoperiodická míra rizika, která není rizikovým funkcionálem, protože není konvexní. Používají jej například finanční instituce pro kvantifikaci tržního a kreditního rizika. VaR můžeme interpretovat jako maximální možnou ztrátu portfolia za jednu periodu na pevné hladině spolehlivosti. To znamená, že náhodná ztráta větší než VaR nastane jen s malou pravděpodobností 1 α. 11

12 Definice 1.12 [18] Value-at-risk na hladině α náhodné ztráty Y budeme značit VaR α (Y ). Definujeme jej následovně kde α (0, 1). VaR α (Y ) = min{ζ : P (Y ζ) α}, Minima je v definici vždy dosaženo, protože distribuční funkce je neklesající a zprava spojitá. VaR α (Y ) je roven α-kvantilu rozdělení ztráty Y. Obvykle volíme α = 0.95 nebo α = Pokud budeme chtít zdůraznit, že VaR je funkcí rozhodnutí x, budeme používat značení VaR α (x). Následující věta a poznámka popisují vlastnosti VaR. Věta 1.13 Value-at-risk splňuje: ekvivarianci vůči posunutí (R1) monotonii (R2) pozitivní homogenitu (R4) Důkaz: Viz [13]. Poznámka 1.14 Nevýhody value-at-risk: nesplňuje (R3 ) a (R3) (kromě ztráty s normálním rozdělením, viz [1]). Nesplnění těchto vlastností způsobuje, že diverzifikace portfolia vzhledem k VaR může vést ke zvýšení rizika a že při optimalizaci se mohou objevit problémy s lokálními extrémy. VaR je tedy jednoperiodická míra rizika, která není rizikový funkcionál a tedy ani koherentní jednoperiodická míra rizika. nebere v úvahu ztráty, které jsou větší než VaR Průměrný value-at-risk Průměrný value-at-risk (značíme AVaR z anglického average value-at-risk) je často navrhován jako alternativa k VaR. Někdy je také nazýván podmíněný value-at-risk (CVaR) nebo tail value-at-risk (TVaR). Pro ztrátu se spojitým rozdělením interpretujeme AVaR jako průměr ztráty za podmínky, že ztráta je větší než nebo rovna VaR. V následující definici zobecníme předchozí interpretaci i pro ztrátu s nespojitým rozdělením. Při nespojitém rozdělení ztráty může nastat situace, kdy ve VaR α (Y ) bude pravděpodobnostní atom a tedy interval [VaR α (Y ), ) bude mít větší pravděpodobnost než 1 α. Z tohoto důvodu zavedeme α-chvost rozdělení ztráty, který je definován jako α část rozdělení distribuční funkce ztráty Y reškálované z [α, 1] na [0, 1]. 12

13 Definice 1.15 [18] Průměrný value-at-risk na hladině α je průměr ztráty Y na α-chvostu rozdělení definovaným { 0 pro u < VaRα G α (u) = pro u VaR α G(u) α 1 α kde G(u) = P (Y u) značí distribuční funkci ztráty Y. Budeme jej značit AVaR α (Y ). Poznámka 1.16 G α (u) je distribuční funkce, protože je neklesající, zprava spojitá a lim u G α (u) = 1. α-chvost rozdělení je tedy v předchozí definici správně definován. Pokud budeme potřebovat explicitně vyjádřit, že AVaR je funkcí rozhodnutí x, budeme používat značení AVaR α (x). V práci [18] autoři ukázali, že AVaR může být reprezentován jako optimální hodnota konvexní optimalizační úlohy. Pro vyjádření této reprezentace nejprve definujeme pomocnou funkci F α (x, ζ) = ζ α E[(g(x, ρ) ζ)+ ], kde t + = max{0, t}, a označme kde α (0, 1). VaR + α (Y ) = inf{ζ : P (Y ζ) > α}, Věta 1.17 F α (x, ζ) jako funkce ζ R je konečná a konvexní, a tedy spojitá. Platí a navíc AVaR α (x) = min ζ R F α(x, ζ) arg min ζ R F α(x, ζ) [VaR α (x), VaR + α (x)], což je neprázdný uzavřený interval, který se může redukovat na jediný bod. Vždy dostaneme AVaR α (x) = F α (x, VaR α (x)). Důkaz: Viz. [18]. Z této věty vyplývá řada vlastností, které AVaR splňuje. Věta 1.18 Průměrný value-at-risk je ekvivariantní vůči posunutí (R1) monotónní (R2) konvexní (R3) pozitivně homogenní (R4) 13

14 koherentní jednoperiodická míra rizika je-li funkce ztráty g(x, ρ) konvexní v x, je F α (x, ζ) konvexní v (x, ζ) a AV ar α (x) je konvexní v x spojitý vzhledem k α (0, 1). Důkaz: Viz [13] a [18]. Další výhoda AVaR je uvedena v následujícím tvrzení, které říká, že úlohu minimalizovat AVaR α (x) přes různá rozhodnutí x můžeme transformovat v mnohem snadněji řešitelný problém minimalizovat F α (x, ζ) v (x, ζ). Věta 1.19 min AVaR α(x) = min F α(x, ζ) x X (x,ζ) X R a navíc ( ) x arg min AVaR α(x), ζ arg min F α(x, ζ) x X ζ R (x, ζ ) arg min F α(x, ζ). (x,ζ) X R Důkaz: Viz [18]. Poznámka 1.20 Vztah mezi VaR a AVaR je následující pro všechna α (0, 1). VaR α (Y ) AVaR α (Y ) 14

15 Kapitola 2 Optimalizace jednoperiodického modelu Nejjednodušší forma optimalizační úlohy pro jednoperiodické modely je jednokriteriální problém, ve kterém minimalizujeme míru rizika přes množinu přípustných rozhodnutí X : min R(g(x, ρ)), (2.1) x X kde R je jednoperiodická míra rizika a Y = g(x, ρ) je ztrátová funkce. Předpokládáme, že R(g(x, ρ)) > pro všechna x X. V této úloze musí být rozhodnutí x učiněno před tím, než je známa realizace náhodné veličiny ρ, jedná se tedy o neanticipativní úlohu. Poznamenejme, že předpokládáme, že rozdělení ρ je známo před učiněním rozhodnutí. Při řešení finančních optimalizačních úloh není minimalizace rizika jediným cílem, který sledujeme. Často uvažujeme ještě další kritéria. V této kapitole se proto budeme zabývat jednoperiodickými úlohami s více kritérii. 2.1 Mean-risk model Kritérium, které v jednoperiodických úlohách uvažujeme současně s minimálním rizikem, je maximální zisk, a proto v úlohách společně s minimalizací rizika maximalizujeme střední hodnotu zisku. Optimalizační úlohy s takovýmito protichůdnými cíli se řeší pomocí vícekriteriálního programování. Při řešení těchto úloh hledáme eficientní řešení, které je mezi přijatelnými řešeními nejlepší vzhledem k uvažovaným kritériím. Tuto vlastnost popisuje následující definice: Definice 2.1 Rozhodnutí x je eficientní vzhledem ke střední hodnotě zisku E[ Y ] a jednorozměrné míře rizika R, jestliže neexistuje jiné rozhodnutí x X, pro které je E[ g(x, ρ)] E[ g(x, ρ)] a současně R(g(x, ρ)) R(g(x, ρ)) a alespoň jedna z nerovností je ostrá. Podle [4] můžeme eficientní portfolio najít řešením jedné z následujících úloh: 15

16 Úloha 2.2 Maximalizovat očekávaný zisk upravený o riziko: max E[ g(x, ρ)] δr(g(x, ρ)), x X kde parametr δ je parametr modelující investorův vztah k riziku. Úloha 2.3 Minimalizovat riziko při dané minimální hranici pro očekávaný zisk µ min z portfolia: min R(g(x, ρ)) x X za : E[ g(x, ρ)] µ min Úloha 2.4 Maximalizovat očekávaný zisk při dané maximální hladině rizika q max, které je investor ochoten podstoupit: max E[ g(x, ρ)] x X za : R(g(x, ρ)) q max Poznámka 2.5 Předchozí tři úlohy můžeme porovnat z praktického a z výpočetního hlediska: 1. Při praktickém řešení těchto úloh bychom museli pro jednotlivé úlohy určit parametry δ, µ min a nebo q max. Nejsnadněji lze určit parametr µ min při řešení úlohy 2.3. Tento parametr určuje minimum pro očekávaný zisk v daném období, který lze snadno vyčíslit. Parametry δ a q max určují abstraktní hodnoty, které se obtížně vyčíslují. Z praktického hlediska je tedy nejlepší vybrat úlohu Jestliže budeme předpokládat, že množina X je určena lineárními podmínkami, jsou úlohy 2.2 a 2.3 úlohami s nelineární účelovou funkcí a lineárními podmínkami. Úloha 2.4 je úlohou s lineární účelovou funkcí a nelineárními podmínkami. Z výpočetního hlediska je jednodušší řešit úlohy, kde se nelinearita objevuje v účelové funkci a podmínky jsou lineární, než úlohy s lineární účelovou funkcí a nelineárními podmínkami. Proto z výpočetního hlediska je nejvýhodnější vybrat úlohu 2.2 nebo Optimalizace portfolia V této sekci budeme řešit úlohu o tom, jak má investor vybrat optimální portfolio. Ukážeme si několik způsobů výběru optimálního portfolia, které se liší uvažovanou mírou rizika, pomocí které budeme riziko minimalizovat. Budeme uvažovat následující požadavky na trh a chování investorů: investor si mezi portfolii se stejným rizikem vybere takové, které má největší střední hodnotu zisku (=nejmenší střední hodnotu ztráty) 16

17 investor si mezi portfolii se stejnou střední hodnotou zisku vybere takové, které má nejnižší riziko všechna uvažovaná aktiva jsou nekonečně dělitelná všechna uvažovaná aktiva jsou likvidní investiční horizont je jedno časové období žádný investor nemůže ovlivnit výnos svou investicí všechny nezbytné informace jsou k dispozici všem investorům ve stejný čas existují transakční náklady, jejichž velikost je přímo úměrná velikosti provedené transakce nejsou povoleny prodeje na krátko Budeme uvažovat investici do (N + 1) aktiv na předem dané časové období. Jako nulté aktivum budeme značit bezrizikové aktivum, což může být například hotovost uložená na termínovaný vklad. Portfolio určuje vektor x = (x 0,..., x N ) T, x X, kde x n značí množství kapitálu investovaného do n-tého aktiva, n {0,..., N}. Množina X je určena podmínkami: K = (1 + c) N n=0 x n (investujeme celý kapitál a uvažujeme transakční náklady) x n 0, n {0,..., N} (zakazujeme prodej na krátko a půjčování hotovosti) kde K značí kapitál na počátku období a c jsou procentuelně udané transakční náklady. Tedy X je konvexní polyedr. Předpokládáme, že výnosy z n-tého uvažovaného aktiva, n {1,..., N}, popisuje náhodná veličina ρ n. Výnos aktiva n definujeme následovně: ρ n = P n Pn 0, Pn 0 kde Pn 0 je hodnota n-tého aktiva na počátku investičního období a P n je jeho hodnota na konci investičního období. Výnos z bezrizikového aktiva je ρ 0. Budeme značit náhodný vektor ρ = (ρ 1,..., ρ N ) T se střední hodnotou r = E ρ = (r 1,..., r N ) T a ρ = (ρ 0, ρ T ) T a r = Eρ = (r 0, r T ) T. Náhodná ztráta z portfolia určeného vektorem x je: náhodný zisk z portfolia je Y = ρ T x = I = Y = ρ T x = 17 N ρ n x n, n=0 N ρ n x n n=0

18 a střední hodnota zisku z tohoto portfolia je r T x = N r n x n. n=0 V předchozí kapitole jsme uvedli úlohy, kterými lze nalézt eficientní portfolio, jestliže chceme maximalizovat zisk a současně minimalizovat jeho riziko, které je vyjádřeno jednoperiodickou mírou rizika R(g(x, ρ)). Dále budeme eficientní portfolio hledat pomocí úlohy 2.3, kterou upravíme pomocí výše uvedených podmínek a vztahů. Úloha 2.6 Mean-risk model: min x R( ρ T x) za : r T x µ min požadovaný minimální očekávaný zisk K = (1 + c) N n=0 x n investujeme celý kapitál a uvažujeme transakční náklady x 0 zákaz prodeje na krátko Poznámka 2.7 Jestliže uvažujeme ztrátovou funkci ve tvaru Y = g(x, ρ) = ρ T x a R je rizikový funkcionál, tzn. konvexní jednoperiodická míra rizika, je účelová funkce předchozí úlohy R( ρ T x) konvexní v proměnné x a tedy úloha 2.6 je optimalizační úloha s konvexní účelovou funkcí a lineárními podmínkami. Důkaz: Označme R ρ (x) = R( ρ T x) funkci proměnné x. Chceme ukázat, že platí R ρ (λx+(1 λ)x ) λr ρ (x)+(1 λ)r ρ (x ) pro všechna x, x X, λ 0, 1 a libovolné pevné ρ na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ). R ρ (λx + (1 λ)x ) = R( λρ T x (1 λ)ρ T x ) Položme Y = ρ T x a Z = ρ T x a z vlastnosti (R3) dostaneme: R( λρ T x (1 λ)ρ T x ) = R(λY + (1 λ)z) (R3) λr(y ) + (1 λ)r(z) = = λr( ρ T x) + (1 λ)r( ρ T x ) = λr ρ (x) + (1 λ)r ρ (x ) Dále si uvedeme tvary úlohy 2.6 při použití jednoperiodických měr rizika uvedených v kapitole 1.3. Úloha 2.8 Mean-VaR model: za : min x VaR( ρ T x) r T x µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 18

19 Úloha 2.9 Mean-AVaR model: za : min x AVaR( ρ T x) r T x µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 Podle věty 1.19 můžeme mean-avar model zapsat ekvivalentně jako následující úlohu. Úloha 2.10 Mean-AVaR model: min x,ζ { ζ α E[( ρt x ζ) + ] } za : r T x µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 ζ R 2.3 Scénářový přístup Při řešení praktických úloh aproximujeme rozdělení náhodných veličin diskrétním rozdělením a pracujeme tedy s náhodnými veličinami, které nabývají konečně mnoha hodnot. Tato metoda se nazývá scénářový přístup. Označme S počet scénářů, pravděpodobnost scénáře s označme p s pro s {1,..., S}. Předpokládejme, že vektor náhodných výnosů z aktiv (ρ 0,..., ρ N ) nabývá hodnot ρ s = (ρ s 0,..., ρ s N ) při scénáři s s pravděpodobností p s pro s {1,..., S}. Střední hodnota zisku z uvažovaných aktiv je tedy r = S s=1 ps ρ s. Uvedeme tvar úloh 2.8 a 2.10 za použití scénářového přístupu, tzn. za předpokladu, že rozdělení náhodného vektoru ρ je diskrétní. Mean-VaR model přepíšeme podle [9] na úlohu celočíselného lineárního programování. Použijeme pomocné proměnné δ a ζ s, s {1,..., S}. M bude značit dostatečně velkou konstantu: Úloha 2.11 Mean-VaR model: za : S s=1 M max i,j yj i min yj i. i,j min δ δ,x,ζ s N n=0 ps ρ s nx n µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 ρ s x δ + Mζ s s {1,..., S} S s=1 ζs = (1 α)s ζ s {0, 1} s {1,..., S} 19

20 Úloha 2.12 Mean-AVaR model: { min x,ζ ζ α } S p s ( ρ st x ζ) + s=1 za : S N s=1 n=0 ps ρ s n x n µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 ζ R Tuto úlohu můžeme ekvivalentně zapsat s použitím pomocných proměnných u s, s {1,..., S}, následujícím způsobem a obdržíme úlohu lineárního programování. Úloha 2.13 Mean-AVaR model: min x,ζ,u 1,...,u s { ζ α } S p s u s s=1 za : S N s=1 n=0 ps ρ s n x n µ min K = (1 + c) N n=0 x n x 0 ζ R u s 0 s {1,..., S} u s N n=0 ρs n x n ζ s {1,..., S} 20

21 Kapitola 3 Vícerozměrné míry rizika Dosud jsme uvažovali ekonomické aktivity, které vedly pouze k jedné náhodné ztrátě ve fixovaném investičním období. V praxi však nedochází ke změně majetku pouze na konci investičního období. Většinou máme možnost nakupovat a prodávat aktiva, dostáváme zisky z aktiv, musíme splácet závazky, atd. také během investičního období. Tyto toky peněz nám rozdělí investiční období na několik časových period, na jejichž konci dochází ke změně investorova majetku. Při kvantifikaci rizika pomocí jednoperiodické míry rizika nebereme v úvahu finanční toky a možnost rozhodovat se vícekrát, proto je potřeba rozšířit jednoperiodický model a riziko vyjádřit pomocí vícerozměrné neboli víceperiodické míry rizika, která bude zohledňovat posloupnost ztrát ekonomické aktivity. Pro dlouhodobé investování je víceperiodické nastavení preferovanější než jednoperiodické, protože jednorozměrné modely neberou v úvahu budoucí důsledky investičního rozhodování. Zobecněním jednorozměrné míry rizika definujeme víceperiodickou míru rizika, která kvantifikuje riziko pro proces náhodných veličin. Při zobecnění na víceperiodický případ již nemusí platit ekvivalence z poznámky 1.10 a proto budeme pracovat bud s procesem peněžních toků, resp, ztrát, jako například v [13], [15], [16], nebo s procesem celkového kapitálu, jako například v [1], [2], [5], [6]. Tyto procesy mohou být snadno transformovány jeden na druhý. V této práci budeme dále definovat víceperiodické míry rizika pro proces kapitálu. 3.1 Víceperiodický model Víceperiodický model popisuje takovou ekonomickou aktivitu, při které se investorův majetek mění několikrát během investičního období. V této práci budeme vyšetřovat procesy s diskrétním časem, tedy modely, kde není možné spojité rozhodování či kontrola. Budeme uvažovat T časových period, na jejichž konci dochází ke změně majetku investora. Čas budeme dále značit horním indexem. Investor se rozhoduje v následujícím pořadí: na počátku v čase t = 0 má kapitál K 0 a provede rozhodnutí x 0, během první periody pozoruje náhodný vektor ρ 1 a na konci periody v čase t = 1 určí svůj kapitál K 1 a provede rozhodnutí x 1. Stejným principem postup pokračuje každou časovou periodu. 21

22 V poslední periodě T investor pozoruje náhodný vektor ρ T a v čase t = T určí svůj konečný kapitál K T. Rozhodnutí x T již nemusí provádět, protože už jím neovlivní svůj konečný kapitál. Během investičního období tedy investor může provést T rozhodnutí mající vliv na jeho kapitál v následujících periodách. Tato rozhodnutí budeme značit x = (x 0,..., x T 1 ), jedná se například o alokaci portfolia na počátku a jeho přeskupení během investičního období. Posloupnost náhodných vektorů, které mají vliv na bohatství investora v následujících obdobích, budeme značit ρ = (ρ 1,..., ρ T ). Jedná se například o úrokovou míru, která se může v investičním období měnit, výnosy, atd. Indexy rozhodnutí a náhodných vektorů se tedy liší o jedničku, protože v čase 0 investor musí učinit rozhodnutí, ale nepozoruje náhodný vektor, zatímco v čase T pozoruje náhodný vektor, ale nemusí dělat rozhodnutí. Víceperiodickou míru rizika budeme definovat pro záporné hodnoty kapitálu na konci jednotlivých období. Zápornou hodnotu kapitálu v období t, t {1,..., T }, budeme značit Y t a platí pro něj vztah Y t = K t. Následující diagram zobrazuje výše popsaný postup pro T = 3. t = 0: Perioda 1: t = 1: Perioda 2: t = 2: Perioda 3: t = 3: Y 1 Y 2 Y 3 rozhodnutí pozorování rozhodnutí pozorování rozhodnutí pozorování x 0 ρ 1 x 1 ρ 2 x 2 ρ 3 Definice 3.1 Definujme náhodný proces kapitálu Y = (Y 1,..., Y T ), kde Y t Y L 1 (Ω, A, P ), t {1,..., T }, a Y t = g(x 0, ρ 1,..., x t 1, ρ t ), t {1,..., T } značí záporný kapitál v čase t, který závisí na: 1. rozhodnutích x i X R N+1, i {1,..., t 1} 2. na náhodných vektorech ρ i, kde ρ i = (ρ i 0,..., ρ i N ), i {1,..., t}, je reálný náhodný vektor se složkami definovanými na pravděpodobnostním prostoru (Ω, A, P ) s hodnotami v (E, B(E)), kde B(E) značí borelovskou σ-algebru generovanou metrickým prostorem E, E R Budeme předpokládat, že hodnoty Y t v jednotlivých časech t, kde t {1,..., T }, jsou již diskontované. Z tohoto důvodu nemusí být období, během kterých pozorujeme jednotlivé toky peněz, ekvidistantní intervaly, protože jejich různou délku můžeme zohlednit právě v diskontování. Investor se snaží, stejně jako v jednoperiodickém modelu, volit takovou posloupnost rozhodnutí x, aby měl za investiční období co největší zisk s co nejmenším rizikem, které kvantifikujeme pomocí víceperiodické míry rizika. 22

23 3.2 Role a reprezentace informace Navíc od jednoperiodického modelu je ve víceperiodické situaci investorovi během investičního období dostupná informace o vývoji uvažovaných náhodných veličin, která se s rostoucím časem může zvětšovat. Zahrnutí této informace je důležitá součást měření víceperiodického rizika. Jeden ze způsobů, jak modelovat postupně se odkrývající informaci, je filtrace. Definice 3.2 Filtrace F = (F 0,..., F T ) je rostoucí posloupnost σ-algeber na měřitelném prostoru (Ω, A), které splňují: F 0 = {, Ω} F T = A F t 1 F t pro všechna t {1,..., T } Definice 3.3 Říkáme, že náhodný proces Y = (Y 1,..., Y T ) je adaptovaný filtraci F = (F 0,..., F T ), jestliže Y t je F t -měřitelné pro t {1,..., T }. Budeme značit Y F. V minulé sekci jsme popsali, že rozhodnutí x t, t {0,..., T 1} jsou činěna v pevně daném pořadí vzhledem k pozorování náhodných vektorů ρ t, t {1,..., T }. x t je proto F t -měřitelné pro t {0,..., T 1}, a vektor rozhodnutí x je adaptován filtraci F, tuto skutečnost budeme značit x F. Stejně tak i náhodný proces kapitálu Y definovaný v 3.1 je adaptovaný filtraci F. Poznámka 3.4 Ekvivalentní způsob, jak modelovat informaci v případě, že náhodný proces Y má diskrétní rozdělení s konečným počtem realizací, je pomocí stromů. Strom reprezentuje filtraci a proces adaptovaný filtraci je reprezentován hodnotami na jeho uzlech. 3.3 Definice a základní vlastnosti Podobně jako v jednoperiodickém případě budeme definovat víceperiodickou míru rizika, jejíž vyšší hodnoty znamenají vyšší riziko. Na rozdíl od jednoperiodického případu bude víceperiodická riziková míra přiřazovat reálnou hodnotu nejen procesu kapitálu ale i filtraci, která zohledňuje postupně se vyvíjející informaci. Dále popíšeme její typické vlastnosti. Definice 3.5 [13] Zobrazení R(Y, F) : Y R, kde Y T t=1 L 1(Ω, F t, P ) je lineární prostor náhodných procesů Y = (Y 1,..., Y T ) adaptovaných filtraci F, nazýváme víceperiodická míra rizika, jestliže splňuje následující vlastnosti pro všechna Y, Z Y: (VR0) Informační monotónnost Jestliže F t F t pro všechna t {0,..., T }, potom R(Y, F 0,..., F T ) R(Y, F 0,..., F T ). 23

24 (VR1) Predikční ekvivariance vůči posunutí R(Y 1,..., Y t + C t,..., Y T, F) = R(Y 1,..., Y T, F) + E(C t ) pro všechny F t 1 -měřitelné funkce C t, t {1,..., T }. (VR2) Monotónnost Jestliže Y t Z t s.j. pro všechna t {1,..., T }, potom R(Y 1,..., Y T, F) R(Z 1,..., Z T, F). Podmínka (VR0) znamená, že větší množství informace nezvýší riziko, (VR1) a (VR2) jsou rozšířením jednoperiodických axiomů (R1) a (R2). Podmínka (VR1) je relativně silná a lze nahradit slabšími podmínkami: (VR1 ) Slabá ekvivariance vůči posunutí [13] pro c t R, t {1,..., T }. R(Y 1,..., Y t + c t,..., Y T, F) = R(Y 1,..., Y T, F) + c t (VR1 ) Ekvivariance vůči stejnému posunutí ve všech periodách [5] pro c R. R(Y 1 + c,..., Y T + c, F) = R(Y 1,..., Y T, F) + c Definice 3.6 [13] Víceperiodickou míru rizika nazýváme konvexní, jestliže splňuje: (VR3) Konvexita (Y 1,..., Y T ) R(Y 1,..., Y T, F) je konvexní pro všechny filtrace F. Konvexní víceperiodickou míru rizika budeme nazývat víceperiodický rizikový funkcionál. Podmínka (VR3) je rozšířením jednoperiodického axiomu (R3) a víceperiodický rizikový funkcionál je tedy rozšířením rizikového funkcionálu. Definice 3.7 [5] Víceperiodická míra rizika je pozitivně homogenní, jestliže splňuje pro všechna Y, Z Y a λ > 0: (VR4) Pozitivní homogenita R(λY 1,..., λy T, F) = λr(y 1,..., Y T, F) 24

25 3.4 Konstrukce vícerozměrných měr rizika Separabilní funkcionály Jednoduchý způsob konstrukce víceperiodické míry rizika je součet jednoperiodických rizikových funkcionálů ve všech uvažovaných obdobích. Tento tvar víceperiodické míry rizika je navrhován v [13]. Definice 3.8 [13] Separabilní funkcionál R SEP je funkcionál ve tvaru R SEP = T γ t R(Y t ), kde R : Y R je jednoperiodický rizikový funkcionál a γ t {1,..., T }. t=1 0 pro všechna t Podmínka informační monotónnosti (VR0) platí pro separabilní funkcionál s rovností pro všechny filtrace. Separabilní funkcionál tedy formálně neporušuje tuto podmínku, ale nebere do úvahy informaci vyvíjející se v čase. Dále splňuje slabou ekvivarianci vůči posunutí (VR1 ), monotónnost (VR2) a konvexitu (VR3). Ekvivariance vůči posunutí (VR1) platí v případě, že pro všechna t {1,..., T } a všechny F t 1 -měřitelné C platí R(Y t + C) = R(Y t ) + E(C). Separabilní funkcionál je tedy víceperiodický rizikový funkcionál, který obecně splňuje pouze slabou ekvivarianci vůči posunutí. Příklad 3.9 Separabilní funkcionál je například AVaR SEP (Y ) = T γ t AVaR αt (Y t ), kde γ t 0 a α t jsou hladiny spolehlivosti pro t {1,..., T } Skalarizační funkcionály t=1 Další způsob, jak definovat víceperiodickou míru rizika, je aplikovat jednoperiodický rizikový funkcionál na transformaci náhodného procesu. Tento způsob konstrukce je navrhován v [14]. Definice 3.10 [14] Skalarizační funkcionál R SKAL je víceperiodická míra rizika ve tvaru R SKAL = R(f(Y )), kde R je rizikový funkcionál a f : Y L 1 (Ω, A, P ) je po složkách monotónní a konvexní zobrazení. Podmínka informační monotónnost (VR0) platí pro skalarizační funkcionál s rovností pro všechny filtrace stejně jako v případě separabilního funkcionálu. Skalarizační funkcionál dále splňuje monotónnost (VR2) díky předpokladu, že zobrazení f je po složkách monotónní, a konvexitu (VR3) díky předpokladu, že zobrazení f je konvexní. Splnění vlastnosti (VR1), resp. (VR1 ) závisí na tvaru funkce f. 25

26 Příklad 3.11 Skalarizační funkcionál je například: 1. AVaR SKAL,1 (Y ) = AVaR α ( T t=1 Y t ), kde f(y ) = T t=1 Y t 2. AVaR SKAL,2 (Y ) = AVaR α ( 1 T T t=1 Y t ), kde f(y ) = 1 T T t=1 Y t 3. AVaR SKAL,3 (Y ) = AVaR α (max t {1,...,T } Y t ), kde f(y ) = max t {1,...,T } Y t Skalarizační funkcionál AVaR SKAL,1 splňuje slabou ekvivarianci vůči posunutí (VR1 ), AVaR SKAL,2 a AVaR SKAL,3 splňují ekvivarianci vůči stejnému posunutí ve všech periodách (VR1 ). Tyto funkcionály jsou tedy víceperiodické rizikové funkcionály, které splňují pouze slabší podmínky ekvivariance vůči posunutí SEC funkcionály Jeden ze způsobů, jak definovat víceperiodickou míru rizika, aby zahrnovala i informaci vyvíjející se v čase, je aplikovat postupně rizikový funkcionál na podmíněné rozdělení kapitálu v čase t {1,..., T }. Podmíněné rozdělení popisuje situaci, že jsme již pozorovali nějakou informaci. Nejprve uvedeme definici takto zkonstruované jednoperiodické míry rizika, která bude zahrnovat již pozorovanou informaci, a následně ji rozšíříme na víceperiodickou. V této kapitole vycházíme z [13]. Definice 3.12 [13] Necht (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor a F je σ-algebra obsažená v A. Necht Y = L 1 (Ω, A, P ) a Y = L 1 (Ω, F, P ), tedy Y Y. Zobrazení R( F) : Y Y nazýváme podmíněné rizikové zobrazení (s pozorovanou informací F), jestliže jsou následující podmínky splněny pro všechna Y, Z Y, Y Y a λ [0, 1]: (PR1) Predikční ekvivariance vůči posunutí R F (Y + Y ) = R F (Y ) + Y (PR2) Monotónnost Y Z s.j. R F (Y ) R F (Z) (PR3) Konvexita R F (λy + (1 λ)z) λr F (Y ) + (1 λ)r F (Z) Zobrazení E[R(Y F)] nazýváme očekávaný podmíněný rizikový funkcionál. Výsledkem podmíněného rizikového zobrazení je náhodná veličina, tedy toto zobrazení není riziková míra. Míru rizika proto definujeme jako střední hodnotu podmíněného rizikového zobrazení. Jestliže R splňuje vlastnosti (R1), (R2) a (R3) (viz definice 1.3 a 1.4) a R(c) = c pro konstanty c R, potom očekávaný podmíněný rizikový funkcionál E[R(Y F)] splňuje ekvivarianci vůči posunutí (R1), predikční ekvivarianci vůči posunutí (VR1), monotónnost (R2) a konvexitu (R3) a tedy je jednoperiodický rizikový funkcionál. Víceperiodickou míru rizika zkonstruujeme jako součet středních hodnot podmíněného rizikového zobrazení ve všech periodách t {1,..., T }. 26

27 Definice 3.13 [13] Víceperiodická riziková míra je nazývána SEC funkcionál (SEC - separable expected conditional), jestliže je ve tvaru R SEC = T γ t E[R(Y t F t 1 )], t=1 kde E[R( F)] je očekávaný podmíněný rizikový funkcionál a γ t 0 pro všechna t {1,..., T }. Příklad 3.14 SEC funkcionál je například součet očekávaných podmíněných AVaR ve všech obdobích: T AVaR SEC (Y ) := γ t E[AVaR αt (Y t F t 1 )], kde γ t 0 pro t {1,..., T }. t=1 AVaR SEC splňuje informační monotónnost (VR0), ekvivarianci vůči posunutí (VR1), monotónnost (VR2)a konvexitu (VR3), a je tedy víceperiodickým rizikovým funkcionálem Víceperiodická polyedrická míra rizika Další možný způsob, jak zkonstruovat víceperiodickou míru rizika, je podle práce [5], kde autoři definují víceperiodickou míru rizika tak, že náhodnému procesu Y přiřadí infimum úlohy lineárního víceperiodického stochastického programování. Definice 3.15 [5] Víceperiodická míra rizika R P OL : T t=1 L p(ω, F t, P ) R, kde p 1,, je nazývána víceperiodická polyedrická míra rizika, jestliže existují k t N, c t R kt, t {0,..., T }, w t,τ R k t τ, t {0,..., T }, τ {0,..., t}, polyedrická množina V 0 R k 0 a polyedrický kužel V t R kt takové, že R P OL (Y ) = inf v t,t {0,...,T } E [ T t=0 c t, v t ] v t L p (F t ; R kt ) v t V t t {0,..., T } t τ=0 w t,τ, v t τ = Y t t {0,..., T } (3.1) kde, značí skalární součin na R kt, t {0,..., T }, a L p (F t ; R kt ) značí Banachův prostor náhodných veličin na pravděpodobnostním prostoru (Ω, F t, P ). Y 0 je v definici konstanta. Parametry v (3.1) lze volit takovým způsobem, aby Y 0 nepřispívalo do polyedrické míry. Označení polyedrická míra rizika je použito z důvodu, že pro konečnou množinu náhodných jevů Ω je funkcionál R P OL definovaný v předchozí definici na konečně dimenzionálním Y polyedrický, tj. po částech lineární. Následující příklady jsou inspirovány článkem [6], ale používáme značení konzistentní s touto prací. Složky vektorů v a v t budeme značit horním indexem v závorce. 27

28 uvedená v příkladu 3.9 je vícepe- Příklad 3.16 Víceperiodická míra rizika AVaR SEP riodická polyedrická míra rizika. AVaR SEP (Y ) = = T t=1 γ t AVaR αt (Y t ) } T t=1 γ t min ζt R {ζ t α t E[(Y t ζ t ) + ] { T } = min (ζ1,...,ζ T ) R T t=1 γ t(ζ t α t E[(Y t ζ t ) + ]) v 0 R T +1 = min T vt t=1 γ t(v (t) α t E[v (2) t ]) v t L 1 (F t ; R 2 ), t {1,..., T } v (1) t v (2) t v t R + R +, t {1,..., T } Věta 1.17 = = Y t + v (t) 0, t {1,..., T } AVaR SEP je víceperiodická polyedrická míra rizika s parametry k 0 = T + 1, k t = 2 pro t {1,..., T }, V 0 = R T +1, V t = R + R + pro t {1,..., T }, c 0 = (0, γ 1,..., γ T ), c t = γ (0, t 1 α t ) pro t {1,..., T }, Y 0 = 0, w 0,0 = 0, w t,0 = (1, 1), w t,t = e t+1 pro t {1,..., T }, w t,τ = 0 pro τ {1,..., t 1} a t {2,..., T }, kde e t označuje t-tou standardní bázi prostoru R T +1. Příklad 3.17 Víceperiodická míra rizika AVaR SKAL,1 uvedená v příkladu 3.11 je víceperiodická polyedrická míra rizika. AVaR SKAL,1 (Y ) = = AVaR α ( T { t=1 Y t ) = min ζ R ζ + 1 = min v0,v (v Věta 1.17 = min vt 1 α E[( T 1 α E[v(2) ]) (v α E[ T t=1 v(2) } t=1 Y t ζ) + ] v 0 R v L 1 (F T ; R 2 ) v R + R + t ]) v (1) v (2) = T t=1 Y t + v 0 v 0 R v t L 1 (F T ; R 2 ), t {1,..., T } v (1) t v (2) t = Y t + v (1) t 1, t {1,..., T } v t R R +, t {1,..., T 1} v T R + R + Příklad 3.18 Víceperiodická míra rizika AVaR SKAL,3 uvedená v příkladu 3.11 je víceperiodická polyedrická míra rizika. 28

29 AVaR SKAL,3 (Y ) = = AVaR α (max t {1,...,T } Y t ) Věta 1.17 { = min ζ R ζ + 1 = min v0,v = min vt E[(max 1 α t {1,...,T } Y t ζ) + ] } v 0 R 1 α E[v(2) ]) v L 1 (F T ; R 2 ) v (1) v (2) = min t {1,...,T } ( Y t ) + v 0 v R + R + v 0 R v t L 1 (F T ; R 3 ), t {1,..., T } T ]) v (2) 1 v (3) 1 = 0 v (2) t v (3) t v (2) t 1 = 0, t {2,..., T } v (1) t v (2) t v 0 = Y t, t {1,..., T } v t R + R + R +, t {1,..., T } (v (v α E[v(2) Příklad 3.19 Víceperiodická míra rizika AVaR SEC uvedená v příkladu 3.14 je víceperiodická polyedrická míra rizika. AVaR SEC (Y ) = = T t=1 γ te[avar αt (Y t F t 1 )] [ ( )] T t=1 γ te min ζt(f t 1 ) ζ t (F t 1 ) α t E[( K t ζ t (F t 1 )) + F t 1 ] [ ] = min T ζt(f t 1 ) t=1 γ te ζ t (F t 1 ) α t E[( K t ζ t (F t 1 )) + F t 1 ] v 0 R = min T vt t=1 γ te[v (1) t α t v (3) t ] v t L 1 (F t ; R 3 ), t {1,..., T } v (3) t v (2) t = Y t + v t 1, (1) t {1,..., T } v t R R + R +, t {1,..., T } Věta 1.17 = 29

30 Kapitola 4 Optimalizace portfolia ve víceperiodickém modelu V případě jednoperiodického optimalizačního modelu je nejjednodušší formou optimalizační úlohy jednokriteriální problém, ve kterém minimalizujeme riziko. Stejně tak i v případě víceperiodického modelu můžeme formulovat jednokriteriální úlohu, jejímž cílem je minimalizace rizika pomocí víceperiodického rizikového funkcionálu přes množinu přípustných posloupností rozhodnutí t=0 T 1 X t. Úloha 4.1 min x T 1 t=0 X t R(Y, F) (4.1) za : Y t = g(x 0, ρ 1,..., x t 1, ρ t ), t {1,..., T } x F kde R je víceperiodická míra rizika a Y je náhodný proces. Omezení x F znamená, že se jedná o neanticipativní úlohu, tzn. že před rozhodnutím x t neznáme realizaci ρ i, i {t + 1,..., T } pro všechna t {0,..., T 1}. Stejně jako v jednoperiodické úloze ani ve víceperiodických úlohách není jediným cílem minimalizace rizika, ale uvažujeme i další kritéria. Proto se budeme dále zabývat víceperiodickými úlohami s více kritérii. 4.1 Mean-risk model Dalším cílem, který ve víceperiodických úlohách nejčastěji sledujeme společně s minimalizací rizika, je maximalizace očekávaných hodnot kapitálu na konci jednotlivých period uvažovaného investičního období. Speciálním případem tohoto kritéria je maximalizace očekávané hodnoty celkového kapitálu na konci celého investičního období. Tuto úlohu řešíme pomocí vícekriteriálního programování, kdy hledáme eficientní řešení vzhledem k uvažovaným kritériím. Následující definice popisuje tuto vlastnost v případě uvažovaného víceperiodického modelu. 30

31 x Definice 4.2 Rozhodnutí x = (x 0,..., x (T 1) ) je eficientní vzhledem k očekávanému kapitálu E[ Y t ], t {1,..., T }, a víceperiodickému rizikovému funkcionálu R, jestliže neexistuje jiné rozhodnutí x = (x 0,..., x T 1 ) t=0 T 1 X t, pro které je a současně E[ Y t (x)] E[ Y t (x x )], t {1,..., T }, R(Y 1 (x 0 ),..., Y T (x 0,..., x T 1 ), F) R(Y 1 (x 0 ),..., Y T (x 0,..., x (T 1) ), F) a alespoň jedna z nerovností je ostrá. Vzhledem k tomu, že řešíme vícekriteriální úlohu, můžeme eficientní portfolio najít řešením jedné z následujících úloh: Úloha 4.3 Maximalizovat součet středních hodnot kapitálu v časech t {1,..., T } upravený o riziko: T max E[ Y t ] δr(y, F), x T 1 t=0 X t kde parametr δ je parametr modelující investorův vztah k riziku. t=1 Úloha 4.4 Minimalizovat riziko při dané minimální hranici µ min,t pro očekávaný kapitál v každém čase t {1,..., T }: min x T 1 t=0 X t R(Y, F) za : E[ Y t ] µ t min, t {1,..., T } Úloha 4.5 Maximalizovat střední hodnoty kapitálu v časech t {1,..., T } při dané maximální hladině rizika q max, které je investor ochoten podstoupit: max x T 1 t=0 X t T E[ Y T ] t=1 za : R(Y, F) q max Poznámka 4.6 Předchozí tři úlohy můžeme porovnat z praktického a z výpočetního hlediska. Stejně jako v jednoperiodickém případě (viz. poznámka 2.5) je z praktického hlediska nejlepší vybrat úlohu 4.4 a za předpokladu, že množina t=0 T 1 X t je určena lineárními podmínkami, je z výpočetního hlediska nejlepší vybrat úlohu 4.3 nebo 4.4. Poznámka 4.7 V některých aplikacích lze uvažovat i úlohy, ve kterých se neklade podmínka na očekávaný kapitál v každém čase t {1,..., T }, ale pouze na očekávaný konečný kapitál E[ Y T ]. V těchto úlohách nám nevadí, že se v některém období dostane kapitál pod určitou hranici, zajímá nás pouze stav na konci investičního období. 31

32 4.2 Optimalizace portfolia V této sekci se budeme zabývat optimálním výběrem a přeskupováním portfolia během investičního horizontu rozděleného na T časových period. Ukážeme si, jak vybrat optimální portfolio pomocí minimalizování víceperiodické míry rizika. Budeme uvažovat následující požadavky na trh a chování investorů: investor si mezi portfolii se stejným rizikem vybere takové, které má největší střední hodnotu konečného kapitálu investor si mezi portfolii se stejnou střední hodnotou kapitálu vybere takové, které má nejnižší riziko všechna uvažovaná aktiva jsou nekonečně dělitelná všechna uvažovaná aktiva jsou likvidní investiční období je rozděleno na T časových period, během kterých může investor prodat a nakoupit aktiva žádný investor nemůže ovlivnit jednotkový výnos aktiv svou investicí všechny nezbytné informace jsou k dispozici všem investorům ve stejný čas existují transakční náklady, jejichž velikost je přímo úměrná velikosti provedené transakce nejsou povoleny prodeje na krátko Stejně jako v jednoperiodickém modelu budeme uvažovat investici do (N + 1) různých aktiv, kde jako nulté aktivum budeme označovat bezrizikové aktivum. Investiční horizont je rozdělen na T period. V každém z nich může investor přeskupit své portfolio, tedy může prodat a nakoupit aktiva. Předpokládáme, že výnos z n-tého aktiva, n {1,..., N}, na konci každé periody t, t {1,..., T } je náhodná veličina ρ t n, kde ρ t n = P n t Pn t 1 Pn t 1 je výnos aktiva n v čase t a Pn t je hodnota n-tého aktiva v čase t. Výnos z bezrizikového aktiva v čase t je ρ t 0. Budeme značit ρ t = (ρ t 1,..., ρ t N ) a ρt = (ρ t 0, ρ tt ) T. Dále budeme používat následující značení: K t... kapitál investora v čase t {0,..., T } ρ t n... náhodný výnos z aktiva n {1,..., N} v čase t {1,..., T } ρ t 0... nenáhodný výnos z aktiva 0 v čase t {1,..., T }, např. úrok na termínovaném vkladu b t n... celková částka, za kterou nakoupíme aktivum n {0,..., N} v čase t {0,..., T 1} s t n... celková částka, za kterou prodáme aktivum n {0,..., N} v čase t {0,..., T 1} 32