VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ - ECHNICKÁ UNIVERZIA OSRAVA Fkl srojní NELINEÁRNÍ SYSÉMY ANALÝZA Milš Víčková Anonín Víčk Osrv 9

2 Lkor: Prof. RNDr. Ing. Miloš Šd Ph.D. Coprigh : Prof. Ing. Milš Víčková CSc. Prof. Ing. Anonín Víčk CSc. Dr.h.c. NELINEÁRNÍ SYSÉMY. ANALÝZA ISBN On-lin

3 Přdmlv Učbní Nlinární ssém jso věnován zákldním vlsnosm nlýz nlinárních dnmických ssémů z hldisk omického řízní. Hlvní důrz j kldn n jdnodchos názornos. obshjí plně řšné příkld kré voří ndílno sočás probírné ori. Přdpokládá s znlos ori omického řízní v rozsh skrip: Víčková M. Víčk A. Zákld omické rglc.. rozšířné vdání. Osrv 4 příp. jiných podobných čbních ů. Vzhldm k om ž čbní pojdnávjí o zákldch nlinárních ssémů njso v nich váděn přsné důkz ni odkz n požio lirr. Pro prohlobní rozšířní problmik nlinárních ssémů jso doporčn níž vdné pblikc: ČELIKOVSKÝ M. Nlinární ssém. Nkldlsví ČVU Prh 6 HUBA M. Nlinárn ssém. Vdvľsvo SU Brislv 3 KHALIL H. Nonlinr ssms. hird diion. Prnic-Hll Nw Jrs NOSKIEVIČ P. Modlování idnifikc ssémů. Monn Osrv 999 RAZÍM M. ŠECHA J. Nlinární ssém. Vdvlsví ČVU Prh 997 SASRY S. Nonlinr Ssms. Anlsis Sbili nd Conrol. Springr-Vrlg Nw York 999 Učbní jso rčn pro sdn kří s zbývjí orií omického řízní.

4 4 Obsh Obsh Přdmlv... 3 Obsh... 4 Sznm zákldního znční smbolů... 5 Úvod.... Ssém jjich zákldní vlsnosi.... Někré zvlášnosi v vlsnosch nlinárních ssémů Nlinární ssém řízní... 8 Mmické modl nlinárních ssémů Spojié svové modl Zákldní spojié svové modl Vlsnosi rovnovážných svů mzních cklů Klsické modl nlinárních ssémů Zákldní nlinri Zákldní zpojní sických nlinri Anlýz nlinárních dnmických ssémů Anlýz v svové fázové rovině Npřímá Ljpnovov mod Přímá Ljpnovov mod Krhové kriérim sbili Popovovo kriérim sbili Mod kvivlnního přnos Eprimnální idnifikc sosv modo rlé Lirr... 69

5 Sznm zákldního znční smbolů 5 Sznm zákldního znční smbolů i b b i c d konsn i M mplid rglční odchlk koficin lvé srn difrnciální rovnic koficin mnohočln v jmnovli přnos koficin chrkrisického mnohočln mplid první hrmonické mplid kmiů mzního ckl A( modg(j G(j modl kmiočového přnos grfické vjádřní A( mplidová kmiočová chrkrisik A b i b B mic ssém (dnmik řád n [p (n n (n n] koficin prvé srn linární difrnciální rovnic koficin mnohočln v čili přnos koficin viskózního řní konsn B mic vsp p (n r C mic výsp p (m n C ingrční konsn D mic přvod p (m r rglční odchlk vkor rglčních odchlk dimnz n ( rvlá rglční odchlk E nrgi E(s L- obrz rglční odchlk f f obcná fnkc vkorová obcně nlinární fnkc dimnz n f kmioč g( g g obcná nlinární fnkc implsní fnkc grviční zrchlní vkorová obcně nlinární fnkc

6 6 Sznm zákldního znční smbolů G(s přnos G M (s G R (s G S (s přnos měřicího čln přnos rgláor přnos sosv G (s rnsformovný přnos G (j j ( P( + jq( A( kmiočový přnos grfické vjádřní G(j mplidofázová kmiočová chrkrisik G (j P ( + jq ( Popovov chrkrisik m G N ( h( h H I J m m kvivlnní přnos přchodová fnkc vkorová obcně nlinární fnkc Hrwizov mic jdnoková mic j imginární jdnok k i k K K P K A K K K H l m m n momn srvčnosi koficin přnos (zisk zsílní pro rnsformci konsn zsílní linárního rgláor zsílní rgláor váh proporcionální složk rgláor zsílní Ajzrmnov hpoéz zsílní Klmnov hpoéz zsílní pro Hrwizův skor délk spň mnohočln v čili přnos dimnz výspního signál řád drivc vspního signál hmonos momn řní spň chrkrisického mnohočln spň mnohočln v jmnovli přnos dimnz vkor svových proměnných řád ssém N chrkrisický mnohočln mnohočln v jmnovli přnos (kořn pól

7 Sznm zákldního znční smbolů 7 P rálná smrická kldně dfininí mic řád n [p (n n (n n] P( RG(j P m ( rálná čás kmiočového přnos rálná čás Popovov chrkrisik Q( ImG(j imginární čás kmiočového přnos Q m ( Q r R imginární čás Popovov chrkrisik rálná smrická kldně dfininí mic řád n [p (n n (n n] dimnz vspního signál rádis vkor (průvodič polárních sořdnic množin rálných čísl s + j komplní proměnná nzávisl proměnná v Lplcově rnsformci s i pól linárního dnmického ssém kořn mnohočln N(s vlsní čísl mic Q (spojiý čs priod d D I i p doprvní zpoždění drivční čsová konsn ingrční čsová konsn (srvčná čsová konsn priod sálných kmiů kční vličin řízní vspní vličin (vsp npěí vkor vspních vličin (vsp dimnz r U(s L-obrz kční vličin v v porchová vličin (porch V( Ljpnovov fnkc w žádná vličin W(s L-obrz žádné vličin w vkor žádných vličin (dimnz m svová fázová vličin (sv fáz obcný signál vkor svových (fázových vličin (sv fáz dimnz n

8 8 Sznm zákldního znční smbolů rovnovážný sv rglovná vličin výspní vličin (výsp Y(s L-obrz rglovné vličin vkor výspních vličin dimnz m z vkor (pomocných svových vličin z rovnovážný sv R s β sklon přímk úhl vchýlní kvdl rálná konsn úhl sklon čn svové rjkori rálná čás komplní proměnné s sklon přímk konsn (ε obls počáčních svů přírůsk konsn kldné číslo obls svů ( Hvisidův jdnokový skok f Im s M úhlový kmioč úhlová rchlos imginární čás komplní proměnné s úhlový kmioč kmiů mzního ckl ( rg G(j fáz kmiočového přnos grfické vjádřní ( fázová kmiočová chrkrisik λ ξ τ fázové zpoždění první hrmonické úhl (rgmn polárních sořdnic rálná konsn koficin poměrného lmní čs Horní ind * opimální doporčný invrzní rnsponovný

9 Sznm zákldního znční smbolů 9 Dolní ind w žádný rnsformovný rnsformc počáční hodno Smbol. (oální drivc podl čs odhd norm (zobcněná vzdálnos bsolní hodno Rlční znménk přibližně rovno po zokrohlní rovno ˆ korspondnc mzi originálm obrzm implikc kvivlnc zárovň konjnkc Grfické znčk (jdnonásobný pól dvojnásobný pól nlinární ssém (prvk čln linární ssém (prvk čln jdnorozměrový signál (vličin mnohorozměrový signál (vličin sočový čln (vplněný sgmn oznčj znménko mins

10 Sznm zákldního znční smbolů Zkrk rg rgmn sign proimc sign cons konsn d drminn dim dimnz (rozměr grd grdin Im imginární imginární čás lim limi R rálný rálná čás s nscní sign znménko znménková fnkc

11 Úvod Úvod. Ssém jjich zákldní vlsnosi Prosřdí v krém žijm (j. vš co nás obklopj voří objkivní rli. J zřjmé ž objkivní rli ovlivňj náš živo proo j důlžié poznáv zná jjí njdůlžiější vlsnosi. Věšino s sosřdím n jjí rčié čási kré jso z ní včlněn kré bdm dál nzýv ssém. Ssém (S ovlivňjí objkivní rli svými výsp [ m ] objkivní rli ovlivňj zs o ssém pomocí vspů [ r ] viz obr... Vniřní podmínk v krých s ssém nlézá jdnoznčně vjdřjí sv [ n ]. b r S n m S Obr.. Schém ssém: složkové b vkorové Z obr.. vidím ž vsp výsp sv můžm vjádři složkově r ; m n nbo kompkně vkorově. Ssém krých vsp výsp jso sklár jso jdnorozměrové v opčném přípdě jso mnohorozměrové. Abchom mohli vží kldných vlsnosí ssémů sočsně polči příp. odsrni jjich záporné vlsnosi msím důkldně pozn zná o jjich vlsnosi. Njlpší cso jk o vlsnosi pozn j mí k dispozici jjich mmický modl. S mmickým modlm lz pk provádě njrůznější primn bz rizik poškozní nbo zniční skčného ssém. Eprimnování s modlm s nzývá simlc. Získáním dkváního mmického modl dného ssém s zbývá idnifikc krá můž bý primnální nlická. U nlinárních ssémů s njčsěji nlicko cso získá mmický modl jho prmr s přsní primnálně. Všchn činnosi s modlm j. vorb získávání modl (idnifikc primnování s modlm (simlc přsňování ověřování modl (vrifikc vlidc s nzývjí modlováním.

12 Úvod Vlmi čso bdm pojm ssém modl vzájmně změňov smozřjmě poz v ěch přípdch kd nmůž dojí k nporozmění. Uvžjm jdnorozměrový (j. s jdním vspm jdním výspm ssém popsný obcně občjno nlinární difrnciální rovnicí g[ ( n ( m ( ( ( ( ( ( ]. (. d( ( d d( ( d ( i ( j při počáčních podmínkách ( ( ( ( i d ( ( ; i 3 n i d j d ( ( ; j 3 m j d ( n ( m ( ( ( n ( m (.b (.c kd ( j vspní vličin (signál proměnná vsp ( výspní vličin (signál proměnná výsp g obcně nlinární fnkc n řád ssém. Pokd plí n m (. pk mmický modl vhovj silné podmínc fzikální rlizovlnosi. V přípdě n m (.3 vhovj poz slbé podmínc fzikální rlizovlnosi. Pokd plí n m (.4 mmický modl j fzikálně nrlizovlný d nvjdřj vlsnosi rálného ssém. Fzikální rlizovlnos vjdřj zv. kzli (příčinnos - příčin nmůž přdcház násldkům. Mmický modl (. v krém vspjí drivc (.b popisj dnmický ssém s pměí. Z difrnciální rovnic (. pro lim lim ( i ( j ( ; ( ; i n j m j možné získ rovnici (pokd isj

13 Úvod 3 kd f ( (.5 lim lim (. ( (.6 Rovnic (.5 vjdřj sicko chrkrisik dného dnmického ssém (. viz npř. obr..3. Sická chrkrisik popisj závislos mzi výspní vspní vličino v sálném sv. Pokd v rovnici (. nvspjí drivc j. g [ ( ( ] nbo g ( pk j o mmický modl sického ssém bz pměi. Hlvní pozornos bd věnován spojiým dnmickým ssémům j. dnmickým ssémům s spojiým čsm. diivi S + S + S b homogni S S c linri S + S S + Obr.. Ssém vhovj podmínc: diivi b homogni c linri

14 4 Úvod Pro sdim vlsnosí ssémů j vlmi důlžiá linri jjich mmických modlů. Ssém nbo jho modl j linární pokd splňj podmínk diivi (obr.. homogni (obr..b. Obě o podmínk moho bý vjádřn sočsně (obr..c kd jso libovolné konsn. Linri ssém j ková jho vlsnos kd vážném soč vspů odpovídá sjně vážný soč výspů. Vlmi důlžio vlsnosí linárního ssém nbo jho modl j ž kždá jho lokální vlsnos j sočsně jho globální vlsnosí. Příkld. Sický ssém j popsán linární lgbricko rovnicí. spně ( k + (.7 ( kd čs k konsn. Řšní: Zvolm npř. ( ( pk v sold s obr.. můžm psá ( ( ( k + ( k + ( + ( ( + k + ( + ( + ( ( + k + ( + (. ( Vidím ž pro mmický modl (.7 z hldisk dfinic linri nní linární (i kdž má vr linární lgbrické rovnic. Mmický modl (.7 bd linární poz pro viz obr..3. ( k ( b ( k ( ( ( ( k + ( ( k( ( ( Obr..3 Mmický modl sického ssém: nlinární b linární příkld. Z výš vdného j zřjmé ž linárního ssém sická chrkrisik (pokd isj msí vžd procház počákm sořdnic.

15 Úvod 5 Příkld. Dnmický ssém j popsán linární difrnciální rovnicí. řád d ( k ( ( (.8 d příp. kvivlnní linární ingrální rovnicí ( d ( k + (.8b kd k jso konsn. Řšní: J řb ověři linri dného ssém. Mmický modl (.8 popisj ingráor. Pro ověřní linri zvolím sjné vsp jko v příkldě. j. ( (. Pk v sold s obr.. dosnm ( ( k + ( + ( ( k + ( ( + k + ( + ( + ( ( + k + ( + (. ( Podobně jko v přdchozím příkldě. vidím ž mmický modl (.8 pro nvhovj podmínkám linri viz obr..4. V omo přípdě nisj ni sická chrkrisik. Závěr můž bý zobcněn. U linárního ssém (modl msím vžd vžov nlové počáční podmínk. V opčném přípdě nmůžm s ním prcov jko s linárním ssémm (modlm. b ( ( ( d ( ( ( d Obr..4 Mmický modl ingráor: nlinární b linární příkld. Všchn ssém kré nsplňjí podmínk linri jso nlinární. J d zřjmé ž linární ssém voří poz nprno čás všch ssémů proož rálný svě j nlinární přdsvjí linární ssém vžd jn rčio proimci skčných ssémů. ori nlinárních ssémů j ovřná nikd nbd zvřná. Z ohoo důvod pro nlinární ssém nisjí obcné přísp mod. Známé

16 6 Úvod přísp mod řší poz někré problém o poz pro rčio skpin nlinárních ssémů. Dál s bdm zbýv dnmickými ssém s sosřděnými prmr j. kovými ssém jjichž vlsnosi s djí vjádři pomocí občjných difrnciálních rovnic s přípdným doprvním zpožděním. Výjimčně s bdm ké zbýv diskréními ssém popsnými občjnými difrnčními rovnicmi. Vsp výsp sv bdm mmických modlů ké nzýv vspními výspními svovými proměnnými vličinmi nbo signál. Nlinární ssém (modl prvk bdm oznčov zdvojnými obdélník proměnné (vsp výsp sv d. mlými písmn bz rgmn (proož rgmnm můž bý spojiý nbo diskréní čs komplní proměnná s nbo z d.. Z důvod přhldnosi rgmn bdm rovněž vncháv v složiějších vzzích m kd nmůž dojí k oml. Vzhldm k om ž ori linárních ssémů j vlmi dobř proprcovná s mnoh obcnými přísp j snh zsopi nlinární ssém jjich linárními proimcmi. Bohžl nlinárních ssémů isj clá řd jvů kré linární ori ndovd pops ni vsvěli.. Někré zvlášnosi v vlsnosch nlinárních ssémů Jk již blo řčno linárních ssémů kždá lokální vlsnos j sočsně globální vlsnosí. U nlinárních ssémů om k nní. Věšin vlsnosí j lokální j. ýkjí s rčiého bod nbo oblsi v svovém prosor. Nní formo příkldů si kážm někré vlsnosi kré vspjí nlinárních ssémů kré bdo v dlším vsvěln podrobněji. U nlinárních ssémů nlz změňov pořdí prvků zpojných sériově (příkld.3 můž vsopi zv. únik v končném čs (příkld.4 v svovém prosor můž vznikno zvřná křivk zv. mzní ckls jjíž vr nzálží n počáčních podmínkách (příkld.5 můž isov víc řšní (příkld.6 nmsí isov žádné řšní (příkld.7 můž vsopi bifrkc (příkld.8 při hrmonickém vsp s moho n výsp objvi nižší nbo všší hrmonické (příkld.9 nlinární ssém řízní můž bý sbilizován při srovném řízní (příkld. pod. Vlmi důlžié j ž nlinárních ssémů v věšině přípdů rí svůj význm někré mmické modl jko npř. obrzové kmiočové přnos implsní přchodové fnkc. Příkld.3 J řb rči odzv ingráor s nscním n vsp nbo výsp (obr..5 pro skokové změn vsp

17 Úvod 7 ( (. Sická nlinri nscní j dfinován vzhm (obr..6 s nbo s (.9 sign sign (.. Vzh (. popisj nlinri idální dvopolohové rlé (znménkovo fnkci. s b s Obr..5 Ingráor s nscním n: vsp b výsp příkld.3 s b sign Obr..6 Sická nlinri: nscní b idální dvopolohové rlé Řšní: J zřjmé ž pro ingráor s nscním n vsp plí (obr..7 ( sign.

18 8 Úvod Bd-li nscní n výsp pk lz psá (obr..7b ( sign. ( ( b ( ( Obr..7 Odzv ingráor n skokové změn s nscním n: vsp b výsp příkld.3 Z obr..7 vplývá ž nlinárních ssémů při změně pořdí jjich prvků dochází k podsném rozdíl v jjich odzvách d i jjich vlsnosí. J ké zřjmé ž nlinárních ssémů rí svůj význm přchodová fnkc (chrkrisik proož jjí průběh závisí n vlikosi skokové změn. Příkld.4 J dán nlinární dnmický ssém bz vsp

19 Úvod 9 3 ( ( (. J řb rči jho odzv n počáční podmínk j. řšní dné difrnciální rovnic pro zdno počáční podmínk. Řšní: Lz psá. ( d d d d d d ( ( Obr..8 Únik v končném čs příkld.4 Bl vži vzh \ d R n C n n n. (. J zřjmé ž plí (obr..8

20 Úvod lim ( lim. Z obr..8 vplývá ž pro nsává únik odzv. Nproi om linárních ssémů všchn odzv (sbilní i nsbilní rvjí nkončně dloho proož jso dán vžd vážným sočm ponnciálních fnkcí. Příkld.5 J dán nlinární dnmický ssém popsný sosvo dvo difrnciálních rovnic ( ( + (. krého j řb rči řšní pro různé počáční podmínk (sv ( (. Řšní: Úloh bl řšn pomocí počíč (nlick bd řšná dál bl získán průběh pro kázné n obr..9. Obr..9 Svový porré nlinárního dnmického ssém příkld.5

21 Úvod Křivk vcházjící z různých počáčních podmínk s nzývjí svové rjkori sv ( pro konkréní s nzývá zspjící nbo zobrzjící bod sobor průběhů svových rjkorií pro různé počáční podmínk s nzývá svový porré dného nlinárního dnmického ssém. Orinc svových rjkorií kzj směr růs čs. Z svového porré n obr..9 vplývá ž všchn svové rjkori čkoliv vcházjí z různých počáčních podmínk s přibližjí k zvřné křivc srvávjí n ní (plí o pro náš přípd. o zvřná křivk s nzývá mzní ckls odpovídjí m sbilní priodické kmi. K sjném závěr můžm přijí kdž prvoúhlé sořdnic původního ssém zsopím polárními sořdnicmi (obr.. r + r cos rcg r sin kd r j rdisvkor (průvodič φ rgmn. (.3 r Proož plí Obr.. Zvdní polárních sořdnic r cos r sin r sin + r cos proo po doszní do rovnic původního ssém úprvě s dosn r r( r r( r r sin r ( cos cos r (. sin Odčním drhé rovnic od první rovnic s získá vzh sin cos r + ( cos sin z krého vplývá ž můž bý splněn poz pro.

22 Úvod Obdržli jsm mmický modl nlinárního dnmického ssém rnsformovný do polárních sořdnic. ( ( ( r r r r r (.4 Z první rovnic vplývá ž pro r dosnm v polárních sořdnicích kržnici o poloměr ( r j. vznikn mzní ckls. Drhé řšní r ( odpovídá rovnovážném sv (kvilibri v počák sořdnic. Proož svové rjkori s od něho vzdljí jd o nsbilní rovnovážný sv. Sosv rovnic (.4 můžm sndno vřši ( ln d d ( ( ( r r K K K r r r r r r r r r r + +. ( d d ( ( K r + Obdržli jsm řšní v polárních sořdnicích K r + ( ( (.5 po doszní do (.3 v prvoúhlých sořdnicích K K sin ( cos ( + + (.6 J zřjmé ž pro K z obo řšní (.5 (.6 s obdrží rovnic kržnic o poloměr j. vznikn mzní ckls. Pro jiné hodno vznikn spirál krá s pro K r přibližj k mzním ckl zvniř pro K r spirál s bd přibližov k mzním ckl z vnějšk viz obr.. 9. J d zřjmé ž mzní ckls j sbilní. Příkld.6 U nlinárního dnmického ssém ( ( (

23 Úvod 3 j řb rči odzv n zdno počáční podmínk. Řšní: Podobně jko v příkldě.4 lz psá d d ( d d d d ( 4 (. Při ingrci bl poži vzh (.. Obdržné řšní nní jdiné proož nlinární difrnciální rovnici popisjící dný ssém vhovj pro počáční podmínk ( rovněž řšní (. Vidím d ž z počáční podmínk vcházjí dvě rozdílná řšní co linární difrnciální rovnic nní možné. Obr.. Dvě rozdílná řšní příkld.6 Příkld.7 J zřjmé ž nlinárního dnmického ssém ( sign ( ( kd

24 4 Úvod sign pro pro nisj žádné řšní proož žádná spojiě difrncovlná fnkc nvhovj dné difrnciální rovnici. Přso kové podobné dnmické ssém mjí vliký význm pro robsní řízní v zv. klozvých módch. Uvdný nlinární ssém můž npř. popisov jdnodchý rglční obvod s ingrční sosvo idálním dvopolohovým rgláorm kd ( ( j rglční odchlk. Příkld.8 J řb provés podrobno nlýz logisického modl růs poplc ( ( ( ( b (.7 kd ( j vlikos poplc dného drh v čs (npř. poč jdinců konsn růs poplc (npř. poč jdinců z čsovo jdnok b idální vlikos poplc (npř. poč jdinců. Uvdný modl j spojiý proo při inrprci výsldků j řb brá v úvh npř. zokrohlní n njbližší nižší clé číslo. Řšní: Můžm psá ( d ( b b d b ( + d b b d ( ln b b b (. (.8 b + + ( b Průběh řšní pro různé počáční podmínk (n obr.. j zznčn poz jdn počáční podmínk jso n obr.. Jso o vlsně rozšířné svové rjkori (rozšířné o čs. Jjich průmě n os vváří v podsě jdino svovo rjkorii n přímc (pro n. Z obr.. vplývá ž rozšířné svové rjkori pro > s sbíhjí k hodnoě b (smpoick sbilní rovnovážný sv viz obr..b. J zřjmé ž rovnovážný sv j nsbilní. N obr..b jso vlsnosi obo rovnovážných svů b vjádřn pomocí šipk. U linárních dnmických ssémů isj vžd jdiný rovnovážný sv.

25 Úvod 5 Uvžjm nní logisický modl růs poplc v vr ( ( ( c b (.9 kd c j vlikos odbírné poplc (npř. poč jdinců z čsovo jdnok. Svová rjkori v rovině n pro různé hodno c jso n obr..3. Pro c svová rjkori odpovídá vzh (.7. b b Obr.. Logisický modl růs poplc: rozšířné svové rjkori b svové rjkori příkld.8 b 4 b c b b c 4 b c 4 b c 4 Obr..3 Svové rjkori logisického modl růs poplc v rovině pro různé hodno c příkld.8

26 6 Úvod Z průběhů svových rjkorií vplývá ž pro poplc s sálí n hodnoě b b c + 4. b b c vlikos 4 smpoick sbilní rovnovážné sv b b b 4 c Obr..4 Bifrkční grf pro logisický modl růs poplc (.6 příkld.8 Kriický přípd nsává pro c b 4 kd smpoick sbilní nsbilní rovnovážný sv splno v jdiný nsbilní rovnovážný sv. Pro c b 4 již nvznikn žádný rovnovážný sv násldj ksrofický pokls poplc ž do jjího zánik. Pro c b 4 vspj zv. bifrkc j. kvliivní změn vlsnosí dného ssém (modl při sbmnší změně bifrkčního prmr c. Názorně s o dá vjádři pomocí bifrkčního grf viz obr..4. Příkld.9 Vspm nlinárního sického ssém j hrmonický průběh ( sin kd j mplid ω úhlový kmioč. J řb rči výspní průběh. nsbilní rovnovážné sv

27 Úvod 7 Řšní: Vžijm vzh dosnm sin ( cos (. ( ( cos. Vidím ž čkoliv úhlový kmioč n vsp j ω n výsp s objvil dvojnásobný úhlový kmioč j. ω. éo vlsnosi s vžívá v rmální rglci kd sická chrkrisik rmální sosv v okolí rém můž bý zsopn kvdricko fnkcí (prbolo. spně. Objví-li s n výsp při hrmonickém vsp poz. hrmonická pk blo dosžno rém. U linárních ssémů s n výsp objví vžd průběh s sjným úhlovým kmiočm jk n vsp l obcně s jino mplido jiným fázovým úhlm. Příkld. Nlinární ssém ( ( ( ( j řb sbilizov konsnním (srovným vspm. Řšní: Uvžjm ž konsnní vsp má hodno ( pk lz psá ( ( ( ( (. ( Obdržný ssém j popsán linární homognní difrnciální rovnicí proo nno posčjící podmínko smpoické sbili j (obr..5. Nsbilní linární ssém nmůž bý sbilizován konsnním vspm. ( ( ( ( Obr..5 Ssém s konsnním vspm příkld.

28 8 Úvod.3 Nlinární ssém řízní Nlinární ssém moho bý jdnorozměrové nbo mnohorozměrové vznčjí s ím ž lspoň jdn jjich prvk (čln j nlinární. Cíl řízní mnohorozměrových nlinárních ssémů řízní bývá sjný jko linárních ssémů řízní s ím ž njčsěji j formlován v vr w (. kd j vkor rglčních odchlk w vkor žádných vličin vkor výspních (řízných vličin. Nzávisl proměnno v vzh (. můž bý spojiý nbo diskréní k čs (k diskréní rlivní čs vzorkovcí priod. Plnění cíl řízní (. zrčj jk sldování vkor žádných vličin w vkorm výspních vličin k i odsrnění přípdně polční ngivního vliv n řízní vkor porchových vličin v změn vlsnosí řízného podssém. w Linární rgláor v Nlinární sosv b w Nlinární rgláor v Linární sosv c w Nlinární rgláor v Nlinární sosv Obr..6 Srkr nlinárních rglčních obvodů Dál bdm obcně požív (přdvším svových modlů pojm ssém podssém prvk d. Klsické pojm požívné v pri jko rglční

29 Úvod 9 obvod rgláor rglovná sosv čln bdm požív v přípdě jiných nž svových modlů. Njčsěji s bdm zbýv jdnorozměrovými nlinárními rglčními obvod pro kré cíl řízní (. bd sklární. Nlinární rglční obvod moho mí jdn z srkr n obr..6.

30 3 Mmické modl nlinárních ssémů Mmické modl nlinárních ssémů. Spojié svové modl.. Zákldní spojié svové modl Mzi vlmi obcné mmické modl nlinárních dnmických ssémů pří svové modl kré pro spojiý čs mjí vr ( f [ ( ( ] ( svová rovnic (. ( h[ ( ( ] výspní rovnic (.b kd [ n ] j vkor svových proměnných (sv dimnz n počáční sv dimnz n [ r ] vkor vspních proměnných (vsp dimnz r f [f f f n ] vkorová obcně nlinární fnkc dimnz n [ m ] vkor výspních proměnných (výsp dimnz m h [h h h m ] vkorová obcně nlinární fnkc dimnz m. Počáční sv ( bdm vžov pokd nbd řčno jink njčsěji pro. Pokd vkorové fnkc f h bdo linární z hldisk sv vsp pk mmický modl (. bd mí vr ( A( ( + B( ( ( (. ( C( ( + D( ( (.b kd A j čvrcová mic ssém (dnmik řád n [p (n n] B mic vsp p (n r C mic výsp p (m n D mic přvod p (m r. Mmický modl (. j vlmi obcný popisj -vrinní (nscionární nlinární dnmický ssém. Mmický modl (. popisj -vrinní (nscionární linární dnmický ssém. Pokd vkorové fnkc f nzávisí plicině n čs pk jd o - invrinní (scionární nlinární dnmický ssém (obr.. ( f [ ( ( ] ( (.3 ( h[ ( ( ] (.3b podobně pokd mic A B C D mmického modl (. nzávisí n čs pk odpovídjící linární dnmický ssém j -invrinní (scionární (obr..b ( A( + B( ( (.4

31 Mmické modl nlinárních ssémů 3 ( C( + D(. (.4b Názorně j o kázáno n obr... Pod znkm ingrál v blokových schémch n obr.. j řb si přdsvi digonální mici v kré n digonál jso výrz ( d i n. i Pokd v svové výspní rovnici dnmických ssémů (. (.4 nvspj vsp ( pk jd o ssém bz vspů (nbzné ssém. Vspj-li vsp ( v výspních rovnicích dnmických ssémů (modlů (.b (.4b pk o modl jso slbě fzikálně rlizovlné. V opčném přípdě jso silně fzikálně rlizovlné. J d zřjmé ž běžné svové modl jso njméně slbě fzikálně rlizovlné. ( f ( ( ( h ( ( b ( B ( ( C ( A D Obr.. Dnmický -invrinní ssém: nlinární b linární Výspní rovnic fzikálně nrlizovlných -invrinních ssémů moho mí vr ( h[ ( ( ( ] (.5

32 3 Mmické modl nlinárních ssémů rsp. ( C( + D( + D ( + (.6 kd D j mic p (mr d. ( f [ ( ( ] ( h[ ( ( ] -vrinní nlinární dnmický ssém f h nzávisí plicině n čs f h jso linární vzhldm k ( f [ ( ( ] ( h[ ( ( ] -invrinní nlinární dnmický ssém ( A( ( + B( ( ( C( ( + D( ( -vrinní linární dnmický ssém f h jso linární vzhldm k mic A B C D nzávisí n čs ( A( + B( ( C( + D( -invrinní linární dnmický ssém Obr.. Svové modl spojiých dnmických ssémů Dnmické -invrinní ssém s čso nzývjí scionární. Dnmické -invrinní ssém bz vsp (nbzné ( f [ ( ] ( (.7 ( h[ ( ] (.7b rsp. ( A( ( (.8

33 Mmické modl nlinárních ssémů 33 ( C( (.8b s nzývjí onomní. Výspní rovnic (.7b (.8b nmjí vliv n dnmické vlsnosi ssémů (.7 (.8 d ni n jjich sbili proo při jjich nlýz s věšino nvžjí. Pokd dnmické ssém (.7 (.8 jso řízn pomocí zpěné vzb j. vkor řídicích proměnných ( j fnkcí vkor svových proměnných ( přípdně vkor výspních proměnných ( pk při konsnním vkor žádných proměnných w( s rovněž obdrží onomní dnmický ssém. Z ohoo důvod s onomními dnmickými ssém bdm zbýv podrobněji. Při zkomání vlsnosí dného rovnovážného sv z nlinárního ssém z ( g[ z( ] z( z (.9 j vhodné ho přsno do počák nových sořdnic j. kd ( z( z ( z ( (. ( f [ ( ] ( (. f [ ( ] g[ ( + z ] ( z( z. (.b N závěr jšě jdno přhldně shrňm zákldní vr svových mmických modlů: f ( nonomní (bzný -vrinní f ( nonomní (bzný -invrinní f ( onomní (nbzný -vrinní f ( onomní (nbzný -invrinní... Vlsnosi rovnovážných svů mzních cklů Při nlýz vlsnosí onomních dnmických ssémů zkomám chování (průběh svových rjkorií vcházjících z zdných počáčních svů (podmínk j. zkomám vlsnosi jjich odzv n různé počáční sv (podmínk. U onomních dnmických ssémů (.7 (.8 moho ns pro sálné sv rovnovážné (klidové priodické (pohbové.

34 34 Mmické modl nlinárních ssémů Uvžjm njdřív linární onomní dnmický ssém (.8. Oznčm lim ( (. pk pro rovnovážný sv plí j. lim ( (.3 A. o rovnic má jdiné řšní (.4 zn. ž linární onomní dnmický ssém má jdiný rovnovážný sv (.4 v počák svových sořdnic (obr..3. no rovnovážný sv s nzývá kvilibrm. Rovnovážný sv j singlárním svm (bodm v svovém prosor proož jím můž procház nkončně mnoho svových rjkorií. Nproi om rglárním svm (bodm můž procház poz jdiná svová rjkori (smozřjmě pro dný dnmický ssém dný počáční sv. V přípdě priodického sálného sv plí ( + ( p kd p j priod sálných kmiů. V přípdě priodického sálného sv linárního onomního dnmického ssém vznikn v svovém prosor poz jdiná zvřná křivk krá j jdnoznčně rčn počáčním svm ( (obr..3b. n b n ( Obr..3 Usálný sv v svové rovině: rovnovážný b priodický

35 Mmické modl nlinárních ssémů 35 ( n b ( n ( ( ( Obr..4 Usálný sv v rozšířném svovém prosor: rovnovážný (klidový b priodický V rozšířném svovém prosor (o čs rovnovážném sv odpovídá čsová os (.4. priodickém sálném sv (priodickém pohb odpovídá nměnící s nkončná spirál zčínjící v počáčním sv ( (obr..4b. Obr..3.4 plí pro n j. pro svovo rovin. U nlinárního onomního dnmického ssém (.7 pro s dosn lim ( (.5 f (. (.6 J zřjmé ž o nlinární rovnic nmsí mí řšní můž mí víc řšní dokonc i nkončný poč řšní. Vplývá z oho ž nlinární onomní dnmický ssém nmsí mí žádný rovnovážný sv můž mí několik izolovných rovnovážných svů dokonc můž mí i nkončný poč rovnovážných svů kré moho voři sovislo nbo nsovislo obls v svovém prosor. V přípdě priodického sálného sv nlinárního onomního dnmického ssém vznikn v svovém prosor zvřná křivk zv. mzní ckls k kré s svové rjkori sbíhjí (obr..9 nbo od ní odbíhjí přípdně s někré sbíhjí jiné odbíhjí pro různé počáční sv (v okolí éo zvřné křivk j. mzní ckls nzávisí n počáčních svch. Obcně nlinárního onomního dnmického ssém můž vznikno několik mzních cklů přičmž věší mzní ckls můž obshov mnší vniřní mzní ckls v krém vžd vspj klidový rovnovážný sv (obr..5.

36 36 Mmické modl nlinárních ssémů n Mzní ckl Rovnovážný sv Obr..5 Mzní ckl rovnovážný sv v svové rovině Vlsnosi rovnovážných svů mzních cklů rčjí vlsnosi clého onomního dnmického ssém. Njdůlžiější vlsnosí rovnovážných svů mzních cklů j sbili. U nlinárních dnmických ssémů již nvsčím s dfinicí sbili pro linární dnmické ssém. Poměrně vlmi obcný přísp k sbiliě bl nvržn A. A. Ljpnovm. Sbili v smsl Ljpnov Rovnovážný sv j lokálně sbilní (v smsl Ljpnov kdž pro libovolné ε > isj kové δ(ε > ž plí (obr..6 ( pro (.7 kd j libovolná norm. U sbilního rovnovážného sv svová rjkori ( zůsává v jho blízkém okolí (obr..6. Pokd svová rjkori ( s od rovnovážného sv vzdlj isj kový čsový okmžik ž plí ( pro (.8 pk rovnovážný sv j nsbilní (obr..6b. Asmpoická sbili v smsl Ljpnov Rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní (v smsl Ljpnov kdž j lokálně sbilní (.7 nvíc plí (obr..6c lim (. (.9

37 Mmické modl nlinárních ssémů 37 b c ( ( ( ( Obr..6 Rovnovážný sv: sbilní b nsbilní c smpoick sbilní Inrprc rovnovážného sv v rozšířném svovém prosor pro n n j n obr..7.8 viz ké příkld.8. ( n NESABILNÍ SABILNÍ Obr..7 Inrprc rovnovážného sv v rozšířném svovém prosor pro n ( n ASYMPOICKY SABILNÍ NESABILNÍ SABILNÍ ( ASYMPOICKY SABILNÍ Obr..8 Inrprc rovnovážného sv v rozšířném svovém prosor pro n

38 38 Mmické modl nlinárních ssémů Eponnciální sbili Rovnovážný sv j lokálně ponnciálně sbilní kdž isjí kové rálné konsn α λ > ž plí ( ( ( pro. (. Z ponnciální sbili vplývá smpoická sbili. Opčné vrzní nplí j. ponnciální sbili j přísnější nž sbili smpoická. Pokd obls počáčních svů ( můž bý rozšířn n clý svový prosor pk jso o globální vlsnosi dného rovnovážného sv. J zřjmé ž v omo přípdě můž isov poz jdiný rovnovážný sv. V přípdě jdiného rovnovážného sv jho vlsnos můžm vzáhno n clý ssém. Z ohoo důvod linárního dnmického ssém hovořím o sbiliě či nsbiliě jko o vlsnosi ohoo ssém n o vlsnosi jho jdiného rovnovážného sv. Jk již blo dřív řčno nlinárních dnmických ssémů moho vspov mzní ckl. Pro jdnodchos bdm vžov onomní nlinární dnmický ssém pro n j. svovo rovin. Rovnovážné sv moho bý obklopn jdním i víc mzními ckl. Uvniř mzního ckl můž vspov dlší mzní ckls nbo msí isov rovnovážný sv příp. clá obls rovnovážných svů. Zákldní drh mzních cklů s jdním rovnovážným svm v svové rovině (n jso n obr..9 kd j kázán rovněž jjich zjdnodšná fzikální inrprc pomocí ročního ěls kličk. Nsbilní oblsi mzních cklů n obr..9 c d jso znčn šdě.

39 Mmické modl nlinárních ssémů 39 b c d Obr..9 Mzní ckl v svové rovině: sbilní s nsbilním rovnovážným svm b polosbilní s sbilním rovnovážným svm c polonsbilní s nsbilním rovnovážným svm d nsbilní s sbilním rovnovážným svm Příkld. U dnmického ssém z z z z + z ( z z ( z 4 (. j řb rči rovnovážný sv rjkorii vcházjící s zdného počáčního sv. Řšní: Njdřív rčím rovnovážný sv z z z [] z z Zvdm nové svové proměnné v sold s (.9 (.. (.

40 4 Mmické modl nlinárních ssémů z z z z z z dosnm svový modl dnmického ssém (. v jdnodšším vr s rovnovážným svm ( ( z z (.3 [ ] []. (.4 Vdělním drhé rovnic v (.3 první rovnicí s dosn d d ( d d d ( d ( + ( + [ ] ( [ ] ( ( + ( 5. (.5 Svová rjkori pro vvoří kržnici o poloměr 5 s sřdm v rovnovážném sv [ v nových sořdnicích přípdně v [] ] z v původních sořdnicích z viz obr... ( z ( Obr.. Průběh svové rjkori příkld.

41 Mmické modl nlinárních ssémů 4 Orinci svové rjkori rčím n zákldě rovnic z kré vplývá ž z počáčního sv ( [ ] j. pro ( msí s rosocím čsm kls ( proo orinc svové rjkori vcházjící z počáčního sv ( bd zprv dolv shor dolů. I kdž svová rjkori voří zvřno křivk (v nšm přípdě kržnici nní o mzní ckls proož pro jiný počáční sv ( rsp. z ( s dosn jiná zvřná křivk (kržnic. Rovnovážný sv rsp. z j zv. sřd podrobněji viz podkp..3.. J zřjmé ž pro libovolný počáční sv ( rjkori zůsn vžd v blízkosi jdiného rovnovážného sv proo rovnovážný sv p sřd j globálně sbilní (v smsl Ljpnov. o globální vlsnos rovnovážného sv lz rozšíři n clý ssém j. dný dnmický ssém (. rsp. (.3 j globálně sbilní (v smsl Ljpnov. Příkld. N obr.. j svový porré nlinárního dnmického ssém s mmickým modlm [( [( + + 3( 3( ] + ] +. (.6 Vzhldm k složiosi mmického modl svový porré včně orinc svových rjkorií bl získán pomocí počíč. J řb rči vlsnosi obo mzních cklů jdiného rovnovážného sv. Řšní: Svové rjkori v okolí rovnovážného sv s do něho sbíhjí proo rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní j o zv. ohnisko. Svové rjkori s od vniřního mzního ckl vzdljí proo jd o nsbilní mzní ckls. K vnějším mzním ckl s z obo srn svové rjkori sbíhjí proo jd o sbilní mzní ckls. Dnmický ssém (.6 bd podrobněji nlzován v příkld..

42 4 Mmické modl nlinárních ssémů Obr.. Svový porré s dvěm mzními ckl příkld.. Klsické modl nlinárních ssémů Jdnorozměrové nlinární dnmické ssém lz pops pomocí linární dnmické čási vjádřné přnosm nlinární sické čási vjádřné sicko chrkrisiko viz obr... f ( G Hmmrsinův modl G f ( Winrův modl f ( G f ( Hmmrsinův-Winrův modl Obr.. Zákldní klsické modl nlinárních dnmických ssémů

43 Mmické modl nlinárních ssémů 43 Pro výš vdné modl nlinárních dnmických ssémů isjí spciální mod nlýz snéz idnifikc kré vžívjí někré přísp z linární ori. Npř. n obr..3 j rčkový měřicí přísroj s ncilivosí omzním vsp popsný Hmmrsinovým modlm. Čsová konsn m vjdřj srvčnos pohbového úsrojí měřicího přísroj koficin lmní ξ m j nsvn n hodno (opimálně 77. měřná vličin s + s + m m m změřná vličin Obr..3 Rčkový měřicí přísroj s ncilivosí omzním vsp vjádřný Hmmrsinovým modlm Podobně rgláor PI s omzním výsp můž bý vjádřn v vr Winrov modl (obr..4 kd K P j zsílní rgláor I j ingrční čsová konsn. rglční odchlk K P + I s kční vličin Obr..4 Rgláor PI s omzním výsp vjádřný Winrovým modlm.. Zákldní nlinri Vjmnov pops všchn nlinri nní možné proož v podsě všchn rálné ssém procs v nich probíhjící jso nlinární. Uvdm si poz někré zákldní smrické nlinri požívné přdvším v klsických mmických modlch nlinárních dnmických ssémů. Ncilivos (obr..5 Ncilivos (pásmo ncilivosi j sická nlinri krá vspj éměř v všch rálných ssémch kd dochází k pohb. Bývá způsobn schým řním rčkových zpisovcích přísrojů přkrím pnmických hdrlických šopákových vnilů d. Grfické vjádřní nlinri nzývám čso chrkrisiko npř. n obr..5 j chrkrisik ncilivosi.

44 44 Mmické modl nlinárních ssémů k( k( + pro pro pro (.7 rcgk rcgk Obr..5 Ncilivos Ncilivos j popsán vzhm (.7. Úsčk [ ] vjdřj zv. pásmo ncilivosi. o nlinri někd spciálně zvádím z důvod omzní mlých šmů oscilcí. Nscní (obr..6 Nscní vspj éměř všch rálných ssémů. Projvj s omzno (končno hodnoo výspní vličin. Vspj npř. zsilovčů přvodníků zřízní s zrážkmi d. Čso nlinri p omzní spciálně zvádím n vsp měřicích jiných přísrojů z důvod zbránění jjich přížní násldného zniční. Nscní lz vjádři níž vdnými vzh (.8 nbo (.8b: B B pro k B k pro (.8 k B B pro k B k pro k (.8b B Bsign( pro k

45 Mmické modl nlinárních ssémů 45 rcgk B k B B B rcgk k Obr..6 Nscní Vzhldm k důlžiosi nlinri p nscní j dfinován fnkc nscní (srion viz obr..6 vzh (.9 kž o nlinri můžm rovněž pops vzhm k Bs. (.8c B Idální (dvopolohové rlé (obr..7 Nlinri idální rlé (.9 j vlmi důlžiá o jk z orického k i prkického hldisk (dvopolohová rglc řízní v klozvých módch d.. V mmic j dfinován fnkcí signm (znménkovo fnkcí viz obr..6b vzh (.. B pro (.9 B pro B B Obr..7 Idální rlé Pro hodno výspní hodno čso nbývá dfinován viz vzh (.9 proo lz psá

46 46 Mmické modl nlinárních ssémů Bsign( B. (.9b Proož nlinri idální rlé j nspojiá v bodě čso s nhrzj spojio nhldko nlinrio nscní Bs nbo spojio hldko nlinrio (ε j mlé kldné číslo Bsign( B (.3 + (sign pproim sign. Spojié náhrd fnkc sign jso kázán pro ε 5 n obr..8. J zřjmé ž plí Obr..8 Spojié náhrd fnkc sign s sign( (.3 sign ( sign(. (.3 Obě proimc j. s sign( mjí pro sjno čn s sklonm.

47 Mmické modl nlinárních ssémů 47 Idální řípolohové rlé (obr..9 Idální řípolohové rlé (.33 j měl vvořn nlinri krá s požívá v rglci. Jdnolivé poloh pk moho npř. znmn: opní nopní ni nchlzní chlzní oáčk vlvo sop oáčk vprvo d. Idální řípolohové rlé j vlsně idální (dvopolohové rlé s pásmm ncilivosi. Idální řípolohové rlé můžm pops jdnodchým vzhm B B Bsign( pro pro pro pro pro B B (.33 (.33b Obr..9 Idální řípolohové rlé Výš vdné nlinri jso jdnoznčné nmjí pměť. Jso o sické nlinri njčsěji rprznjí sicko čás (chrkrisik v klsických modlch nlinárních dnmických ssémů. Násldjící nlinri obshjí zv. hsrzi. Jso njdnoznčné mjí pměť. Právě isnc pměi signlizj ž njd o čisě sické nlinri l ž jso o nlinri mjící rčio dnmik projvjící s kromě pměi isncí drivc podl čs v jjich mmických modlch. Příkld.3 Mmický modl nlinárního sického ssém j dán rovnicí (. (.34 J řb plicině nlick i grfick vjádři závislos výspní vličin n vspní vličině (sicko chrkrisik.

48 48 Mmické modl nlinárních ssémů Řšní: Proož v rovnici (.34 vspj jdnoznčná nlinri bsolní hodno (obr.. j řb vžov dv přípd. Obr.. Absolní hodno V omo přípdě rovnic (.34 bd. Jjí řšní j + + pro ( + pro ( ] (.35 pro inrvl ( s jdná o sbilní horní věv viz obr.. pro inrvl (] j o nsbilní čás. b Rovnic (.34 pk bd + +. Jjí řšní j + pro ( pro ( (.36 pro inrvl ( s jdná o nsbilní čás pro inrvl ( j o sbilní spodní věv (obr...

49 Mmické modl nlinárních ssémů 49 Obr.. Nlinri p hsrz příkld.3 Závislosi výspní vličin n vspní vličině (.35 (.36 jso kázán n obr... Plno čro jso oznčn sbilní úsk (věv čárkovno čro nsbilní úsk (věv. J zřjmé ž pro hodno vspní vličin dochází k skokovým změnám z jdné sbilní věv n drho. Npř. při priodickém průběh vspní vličin s mplido věší nž s vvoří zvřná smčk zv. hsrz obshjící nsbilní úsk. V rozmzí vspní vličin ( hodno výspní vličin závisí n jjí přdchozí hodnoě j. n jjí hisorii. Dochází zd k rčiém rozpor ssém j sický l má pměť. V okolí hodno vspní vličin hodno výspní vličin závisí njnom n jjí hisorii l i n jjí čsové změně j. d d příp. d d. Znov j zd rčiý rozpor ssém j sický l pro rčié hodno vspní vličin jho vlsnosi závisí n drivci d d příp. d d (isnc čsových drivcí j vlsnos dnmických ssémů. Vidím ž dnmik s projvj poz m kd sická chrkrisik ssém j njdnoznčná. Vlkým problémm j ž isj mnoho drhů hsrzí s njrůznějšími vlsnosmi kré jso popisován mmickými modl s různo srkro složiosí. Věšin orů hsrzi zhrnj mzi sické chrkrisik l vhodnější j hovoři o nlinriě p hsrz (nlinri s hsrzí. Dvopolohové rlé s hsrzí (obr.. Mmický modl (dvopolohového rlé s hsrzí (.37 j núplný modl krý popisj jho vlsnosi npř. pro hrmonický vsp. Věšino jd o měl vvořno nlinri krá má široké požií v rglci při prkické rlizci řízní v klozvém mód.

50 5 Mmické modl nlinárních ssémů pro pro pro pro B B B B (.37 Obr.. Dvopolohové rlé s hsrzí J zjímvé ž rlé s hsrzí můž bý vvořno zpěnovzbním zpojním sických jdnoznčných nlinri viz obr..4 v podkpiol... v příkldě.6. řípolohové rlé s hsrzí (obr..3 Rovněž o nlinri j měl vvořn. Má požií v rglčních obvodch přdvším v klimizčních zřízních srvomchnismch d. Jjí mmický modl (.38 j ké núplný popisj jjí vlsnosi npř. pro hrmonický vsp. pro pro pro pro pro pro B B B B (.38 B B -

51 Mmické modl nlinárních ssémů 5 B B Obr..3 řípolohové rlé s hsrzí B B B Obr..4 Rlizc dvopolohového rlé s hsrzí pomocí kldné zpěné vzb Rlizc řípolohového rlé s hsrzí pomocí kldné zpěné vzb j n obr..5. B B B Obr..5 Rlizc řípolohového rlé s hsrzí pomocí kldné zpěné vzb

52 5 Mmické modl nlinárních ssémů Vůl (obr..6 Nlinri vůl vspj v njrůznějších mchnismch kd jdn čás přdává pohb jiné čási. Jso o přdvším ozbné pákové přvod klobové mchnism d. Nlinri vůl j zvlášní p nlinri jjíž vlsnosi vsihj obr..6b čásčně i núplný mmický modl (.39. k( kons k( + pro pro pro k (.39 b rcg k rcg k Obr..6 Nlinri vůl: chrkrisik b inrprc Rlizc hsrz nlinri vůl j n obr..7 z krého j rovněž zřjmá jjí dnmik. Sklon obo věví j k k j vliké číslo ( k. k k s Obr..7 Rlizc nlinri vůl pomocí záporné zpěné vzb Jk již blo řčno v příkld.3 isj mnoho různých hsrzí. U někrých dochází k nspojiosm (npř. obr....3 l věšin

53 Mmické modl nlinárních ssémů 53 hsrzí nspojiosi nobshj. Důlžié j ž hsrz vváří zvřno smčk krá nzmizí ni při vlmi mlých kmiočch vspní priodické vličin. S hsrzí s skávám kždého rálného ssém sjně jko s ncilivosí nscním... Zákldní zpojní sických nlinri Při nlýz snéz zákldních zpojní sických jdnoznčných nlinri s požívjí jk nlické k i grfické mod. U nlických mod s přdpokládá ž sické nlinri jso jdnoznčné prosé j. msí pli ( f f (. (.4 U grfických mod s z důvod jdnodchosi věšino přdpokládá ž nlinri jso liché j. f ( f ( (.4 proo při konsrkci výsldné sické nlinri lz vžov kždé nlinri poz jjí polovin v prvním kvdrn. Prllní zpojní Pro prllní zpojní ří nlinri v sold s obr..8 plí f + f ( + f ( f (. (.4 ( 3 3 b f ( f ( f 3( ( f f ( ( f f 3 3 ( Obr..8 Prllní zpojní sických nlinri: blokové schém b konsrkc výsldné sické nlinri Z vzh (.4 vplývá přímo grfická konsrkc výsldné sické nlinri (obr..8b. Pro zvolno hodno vspní vličin sčm

54 54 Mmické modl nlinárních ssémů pořdnic 3 s vžováním příslšných znménk sočového zl dosnm k výsldno hodno. J zřjmé ž vdn mod můž bý poži pro libovolný poč sických nlinri. Příkld.4 J dán sická nlinri f( (.43 + j řb nvrhno vhodno prllní sicko nlinri ( f k b výsldná sická nlinri bl linární s sklonm j. f (. Řšní: f (. (.44 Pro prllní zpojní nlinri lz psá f(. (.45 + J zřjmé ž plí proo zdání blo splněno. Sériové zpojní Pro sériové zpojní ří jdnoznčných sických nlinri v sold s obr..9 lz psá f3( f( f( f f f. (.46 ( 3 Ssrojní výsldné sické nlinri j zřjmé z obr..9b. Pro zvolno hodno vspní vličin pospně rčím hodno odpovídjící hodno. Při věším poč nlinri ssrojím njdřív dílčí výsldné nlinri pk prv výsldno sicko nlinri. Při mnším poč nž 3 zsopím nlinri linární závislosi npř. drho nlinri.

55 Mmické modl nlinárních ssémů 55 f ( f f ( 3 ( b f 3 ( f ( f ( f ( Příkld.5 Obr..9 Sériové zpojní sických nlinri: blokové schém b konsrkc výsldné sické nlinri Pro sicko nlinri (.43 z příkld.4 j. j řb + nvrhno sériovo sicko nlinri f ( krá zjisí výsldno linární sicko chrkrisik (.44 j.. Řšní: kd V sold s vzhm (.46 můžm psá f f f (. Zvolím-li f f ( ( f ( f ( (

56 56 Mmické modl nlinárních ssémů j invrzní fnkc (fnkc f j prosá lz d k ní vvoři fnkci invrzní pk dosnm f(. (.47 Sndno s přsvědčím ž plí f f ( +. + Zpěnovzbní zpojní psá Pro zpěnovzbní zpojní sických nlinri v sold s obr..3 lz f ( f ( f ( f ( (.48 Vzh (.48 kzjí n posp řšní zpěnovzbního zpojní j. njdřív s rčí závislos f ( pk prv f (. Konsrkc výsldné sické nlinri pro záporno zpěno vzb j kázán n obr..3b. Njdřív s vkrslí nlinri přímé věv f invrzní nlinri zpěnovzbní věv f ( pro zvolno hodno výsldné vličin sčm úsk dosnm odpovídjící hodno vspní vličin ( + pro záporno zpěno vzb. b f ( Obr..3 Zpěnovzbní zpojní sických nlinri: blokové schém b konsrkc výsldné sické nlinri pro záporno zpěno vzb Příkld.6 f ( f + J řb káz ž zpojní s kldno zpěno vzbo n obr..4.5 skčně rlizj dvopolohové řípolohové rlé s hsrzí obr...3. f ( ( ( f (

57 Mmické modl nlinárních ssémů 57 Řšní: Vzhldm k om ž obě rléové nlinri s skládjí z přímkových úsků kldná zpěná vzb j linární konsrkc výsldných nlinri j vlmi sndná (sčí vžd rči bod npř. pro B vědomi si ž v prvém přípdě v drhém přípdě vží sřdovo smrii viz obr..3. Nsbilní úsk rléových nlinri s hsrzí jso čárkovné. b B B B B - B B Obr..3 Konsrkc rléových nlinri s hsrzí: dvopolohové rlé b řípolohové rlé Zpojní s záporno zpěno vzbo lz poží pro rlizci invrzní sické nlinri viz obr..3. k f ( Obr..3 Blokové schém s záporno zpěno vzbo pro rlizci invrzní fnkc V sold s obr..3 vzh (.48 můžm psá Pro + + k k dosnm f (

58 58 Mmické modl nlinárních ssémů k f ( f (. (.49 Obdržli jsm důlžio vlsnos záporné zpěné vzb při dosčně vsoké hodnoě koficin přnos (zsílní k v přímé věvi zpojní s záporno zpěno vzbo rlizj invrzi zpěné vzb. Zpojní n obr..3 blo požio při vkrslní fnkc (.34 viz obr... Proož invrzní fnkc j njdnoznčná vznikl hsrz. Blo požio zpěnovzbní zpojní n obr..33 pro prmr k s. Vspní vličin měl hrmonický průběh s mplido 4. Čárkovně j n obr..33 oznčná mlá srvčnos řšící problém lgbrické smčk při číslicové simlci. o srvčnos při nlýz zpojní nmsí bý vžován. k s + ( Obr..33 Rlizc invrzní fnkc (.34 Zpojní s záporno zpěno vzbo lz rovněž s výhodo poží k linrizci i vlmi silné nlinri krá můž bý i s hsrzí. k f ( Obr..34 Linrizc nlinri pomocí záporné zpěné vzb N zákldě obr..34 vzhů (.48 můžm psá Pro + k k dosnm f ( +.

59 Mmické modl nlinárních ssémů 59 k f (. (.5 Obdržli jsm očkávný výsldk. Záporná zpěná vzb j jdnoková proo jjí invrz j rovněž jdnok. Příkld.7 J řb linrizov nlinri vůl s prmr vdnými n obr..35b. k s + b 5 45 Řšní: Obr..35 Linrizc: blokové schém zpěnovzbního zpojní b linrizovná nlinri Pro linrizci blo požio blokové schém n obr..35 pro k s. Při hrmonické vspní vličině s mplido bl získán éměř linární závislos viz obr..36 kd j sočsně zobrzn i původní nlinri. Mlá srvčnos (oznčn čárkovně n obr..35 j poži pro odsrnění problém lgbrická smčk. Obr..36 Výsldk linrizc příkld.7

60 6 Mmické modl nlinárních ssémů Někd j řb blokové schém s nlinrio prvi. Proož nplí princip linri (sprpozic nlz poží posp známé z linární ori. N obr..37 j kázáno přsní informčního zl přd nlinri n obr..38 z nlinri. V omo přípdě z důvod isnc invrz f ( s přdpokládá ž fnkc f ( j prosá. f ( f ( f ( Obr..37 Přsní informčního zl přd nlinri f ( f ( f ( Obr..38 Přsní informčního zl z nlinri V přípdě ž rglovná sosv j popsán v vr Hmmrsinov nbo Winrov modl (obr.. pk z přdpokld ž linární dnmická čás j popsán přnosm G S (s nlinární sická čás proso fnkcí f j možné vží vlsnosí invrzní fnkc f viz obr..39. f ( f ( f [ f ( ] f ( f ( f [ f ( ] Obr..39 Sériové zpojní prosé fnkc f jjí invrz f

61 Mmické modl nlinárních ssémů 6 Npř. pro sosv s Hmmrsinovým modlm lz poží schém n obr..4. Hmmrsinův modl sosv w G R (s f ( f ( (s G S Obr..4 Rglční obvod s sosvo popsno Hmmrsinovým modlm Z obr..4 j zřjmé ž pro volb rgláor jho sřízní lz poží libovolno mod z linární ori proož plí Y( s GR( s GS ( s. W ( s + G ( s G ( s R S V přípdě Winrov modl sosv j možné poží schém rglčního obvod n obr..4. Winrův modl sosv w w f ( w G R (s G S (s f ( f ( Obr..4 Rglční obvod s sosvo popsno Winrovým modlm Proož plí ( ( viz obr..39 lz pro rglční obvod n obr..4 psá Y ( s GR ( s GS ( s W ( s + G ( s G ( s R S j. i v omo přípdě lz pro volb rgláor jho sřízní poží libovolno mod pro linární rglční obvod. Smozřjmě j řb jšě zjisi b ( w( vhodno nlinrio w f ( w

62 6 Mmické modl nlinárních ssémů krá můž bý vjádřn npř. v vr grf nbo blk podl krého opráor nsví v závislosi n žádné hodnoě ( w hodno ( w. J zřjmé ž pro Hmmrsinův Winrův modl s požij kombinc obo příspů. Pro konvnční rgláor s omzním výsp s čso požívá Winrův modl viz npř. obr..4. Pokd rgláor obshj ingrční složk nlinri p nscní (obr..6 způsobj pokrčování ingrc i při dosžní nscní zv. windp krý njnom podsně zhoršj kvli rglc l můž bý příčino i nsbili. Podsného snížní pokrčjící ingrc lz dosáhno opřním kré s nzývá niwindp. Njčsěji požívné opřní proi pokrčjící ingrci j kázáno n obr..4. Obr..4 Rgláor I s opřním niwindp N obr..4 I j ingrční čsová konsn konsn. Pro rgláor I s opřním niwindp plí. ( ( ( ] ( ( [ ( ( s U s s E s s U s U s U s E s s U I I I Z ěcho vzhů vplývá ž B s U s s E s B s E s s U I I I ( pro ( ( ( pro ( ( j. pro B ( s rgláor chová jko ingrční pro B ( s ingráor změní n proporcionální čln s srvčnosí. řád. B B B B I s

63 Mmické modl nlinárních ssémů 63 Fnkc opřní niwindp podsně sníží přkroční mzní hodno nscní. Názorně o kzj obr..43 kd bl poži hodno I s s. Průběh rglční odchlk bl obdélníkový s priodo 5 s. Rgláor PID s opřním niwindp j n obr..44. Obr..43 Průběh vličin pro rgláor I s opřním niwindp bz něho s D K P I s Obr..44 Rgláor PID s opřním niwindp.3 Anlýz nlinárních dnmických ssémů V podkpiol. bl popsán zákldní vlsnosi nlinárních dnmických ssémů. Nní s bdm věnov podrobněji nlinárním onomním j. nbzným -invriním ssémům jjichž obcné (svové složkové vjádřní má vr

64 64 Mmické modl nlinárních ssémů. ( ( ( ( ( ( n n n n n n n f f f (.5 Vlmi výhodný j vr v krém kždá svová složk j drivcí přdchozí složk j.. ( ( ( ( 3 n n n n f (.5 V omo přípdě sv s nzývá fáz všd míso pojm svový s požívá pojm fázový npř. fázový modl fázový prosor fázová rjkori d. Pojm sv j obcnější nž pojm fáz j. kždá fáz j svm l opčně o nplí. Někd přdvším v mmické lirř pojm sv fáz s nrozlišjí. Výhodo fázového vjádřní j sndné rční orinc fázové rjkori přdvším pro n npř. mchnických ssémů inrprc fázových složk: poloh rchlos zrchlní rv. Přvdní (rnsformc svového vjádřní n fázové vjádřní nmsí bý jdnodché vžd možné. Příkld.8 Nlinární dnmický ssém j popsán svovým modlm ( ( 3 z z z z z z z z z z + + (.53 krý j řb přvés n fázový modl. Řšní: Zvolím npř. z z z z + dosnm. ( ( ( 3 z z z (.54 Úspěšnos přvdní svového modl n fázový modl závisí n jho složiosi n vhodné volbě nových svových složk (proměnných.

65 Mmické modl nlinárních ssémů 65 Příkld.9 Dnmický ssém j popsán nlinární difrnciální rovnicí n-ého řád z ( n z( z f ( z z z z z ( z ( n z ( n ( z Dný modl j řb vjádři fázově. ( n. (.55 Řšní: Zvolím dosnm z z n 3 f ( n n n z ( n ( n ( ( n z z z ( n. ( Anlýz v svové fázové rovině Mod svové nbo fázové rovin dovolj nlzov vlsnosi dnmických ssémů popsných sosvo dvo difrnciálních rovnic. řád f ( f ( ( ( přípdně difrnciální rovnicí. řád (.57 z f z z z( z z ( (.58 ( z kro lz vžd přímo zps fázově (viz příkld.9 j. pro s dosn f ( ( ( z z. z z (.59 J zřjmé ž fázové vjádřní (.59 j spciálním přípdm svového vjádřní (.57 pro f (. Svovo rjkorii ( [ ( ( ] pro můžm získ složkově řšním sosv rovnic (.57 obdržím prmrické řšní s prmrm. ( (.6 (

66 66 Mmické modl nlinárních ssémů Elimincí prmr (čs získám rovnici svové rjkori (. (.6 Rovnici svové rjkori (.6 můžm čso získ přímo. Vdělním drhé rovnic první rovnicí v (.57 s dosn difrnciální rovnic. řád svové rjkori proož d f( (.6 d f ( d d. d d Řšním difrnciální rovnic (.6 s obdrží přímo rovnic svové rjkori (.6 pro dný počáční sv ( [ ]. Bohžl o difrnciální rovnic bývá čso silně nlinární jjí nlické řšní nlz vžd sndno rči. Čso pro posozní vlsnosí dnmických ssémů. řád dobř posloží přibližný průběh svové (fázové rjkori získný rčním náčrm. Z difrnciální rovnic (.6 n zákldě jjí prvé srn lz pro kždý bod [ ] získ směrnici čn svové rjkori (krá ímo bodm prochází. čn v dném bodě s znázorní kráko úsčko s sklonm α (obr..45 s přípdno orincí. Pokd s o čn (úsčk rčí pro clo síť bodů v dfiniční oblsi prvé srn difrnciální rovnic (.6 k s obdrží jjí směrové pol. Rční získání směrového pol j prcné. Někré grfické klklčk mjí o fnkci zbdovno jko slop (dircion vcor fild. Pro zdný počáční sv lz průběh svové rjkori (v mmic s požívá pojm ingrální křivk přibližně nčrno. [ ] Obr..45 Úsčk rprznjící čn svové rjkori v bodě [ ]

67 Mmické modl nlinárních ssémů 67 Pro rční vkrslní svové (fázové rjkori nbo svového (fázového porré j znčně výhodnější mod izoklín. Izoklín j gomrické míso bodů v nichž čn svových rjkorií mjí sjný sklon. Rovnici izoklín získám z difrnciální rovnic svové rjkori (.6 pro konsnní sklon j. pro konsnní směrnici čn svové rjkori d gi d f( g i (.63 f ( f ( g. (.64 i Z rovnic izoklín (.64 pro dný úhl sklon čn svové rjkori α i nbo jjí směrnic g i s dosn odpovídjící izoklín. Izoklín s moho proín poz v singlárních bodch j. v rovnovážných svch. Podobně jko směrového pol pro dno izoklín sklon čn znázorním krákými úsčkmi s přípdno orincí. Při ssrojování průběh svové (fázové rjkori nbo svového (fázového porré modo izoklín pospjm k ž v dfiniční oblsi fnkcí f ( f ( rčím hlvní izoklín pro kré j. pro kré j nlová změn v čs pro : f f ( (.65 ( f f (. (.66 ( J zřjmé ž izoklín (.65 rčj čn kolmé n os (nlová rchlos izoklín (.66 rčj zs čn kolmé n os (nlová rchlos viz obr..46. Průsčík hlvních izoklín (.65 (.66 rčj rovnovážný sv (obcně nmsí isov. Izoklín (.65 rozdělj orinci (směr svových rjkorií zlv doprv nopk j. f(. (.67 Čsový přírůsk msí bý vžd kldný čs nlz vrái proo orinc svových rjkorií bd zlv doprv. Podobně pro

68 68 Mmické modl nlinárních ssémů f( (.68 j orinc svových rjkorií j zprv dolv. ( f ( ( f ( Obr..46 Hlvní izoklín pro Izoklín (.66 rozdělj orinci svových rjkorií shor dolů nopk j. pro f( (.69 j orinc svových rjkorií j zdol nhor. Podobně pro f( (.7 j orinc svových rjkorií j shor dolů. Pro fázové vjádřní modl dnmického ssém f ( (.7 rovnic (.65 má jdnodchý vr. V omo přípdě plí jdnodché prvidlo: v horní polorovině fázové rovin ( orinc fázových rjkorií j zlv doprv v dolní polorovině ( zprv dolv. Fázové rjkori n rozdíl od svových rjkorií v rglárních bodch proínjí os vžd pod prvým úhlm (kolmo. Poz v rovnovážných

69 Mmické modl nlinárních ssémů 69 svch j. singlárních bodch moho os proín pod libovolným úhlm. U fázového vjádřní (.7 rovnovážné sv vžd lží n os (pokd isjí. Proož pro blízké okolí rovnovážných svů vlsnosi nlinárního dnmického ssém popisjí přibližně odpovídjící vlsnosi linrizovného dnmického ssém v ěcho rovnovážných svch lz pro klsifikci rovnovážných svů nlinárního dnmického ssém poží klsifikci rovnovážných svů linárního dnmického ssém. Uvžjm nlinární dnmický ssém [viz (.57] f ( f ( s rovnovážnými sv i ( ( [ i i] i Linrizjm nlinární dnmický ssém v rovnovážných svch dosnm rsp. kd c b d i (.7 i (.73 A (.73b i f A i i c i i b d i f b. i f c i f d i (.73c (.73d Vlsnosi rovnovážného sv i linrizovného nlinárního dnmického ssém jso dán jho dvěm pól s s j. kořn chrkrisického mnohočln Ni ( s d( si A ( s s ( s i s. s c b ( s ( s d cb s d (.74

70 7 Mmické modl nlinárních ssémů Jso možné o přípd: Ob pól jso rálné záporné rovnovážný sv j smpoick sbilní zl. Svové rjkori s nspiráloviě blíží k rovnovážném sv (obr..47. b Ob pól jso rálné kldné rovnovážný sv j nsbilní zl. Svové rjkori s nspiráloviě vzdljí od rovnovážného sv (obr..47b. c Ob pól jso rálné jdn j záporný drhý kldný rovnovážný sv j nsbilní sdlo. Svové rjkori s njdřív blíží k rovnovážném sv pk s od něj vzdljí (obr..47c. d Ob pól jso komplní s záporno rálno čásí rovnovážný sv j smpoick sbilní ohnisko. Svové rjkori s spiráloviě blíží k rovnovážném sv (obr..47d. Ob pól jso komplní s kldno rálno čásí rovnovážný sv j nsbilní ohnisko. Svové rjkori s spiráloviě vzdljí od rovnovážného sv (obr..47. f Ob pól jso rz imginární rovnovážný sv j sbilní sřd. Svové rjkori voří zvřné křivk okolo rovnovážného sv. o křivk závisí n počáčních svch (obr..47f. Výš vdné přípd jso nsinglární jso z prkického hldisk důlžié proož jdnoznčně rčjí vlsnosi dného rovnovážného sv. Pro úplnos si vdm zákldní singlární přípd: g Jdn pól j rálný záporný drhý j nlový rovnovážný sv j dgnrovný sbilní zl. V omo přípdě rovnovážný sv nní jdiný bod l j vořn nkončně mnoh bod kré voří přímk (čkovná čár n obr..48g k kré s sbíhjí svové rjkori. h Jdn pól j rálný kldný drhý j nlový rovnovážný sv j dgnrovný nsbilní zl. V omo přípdě rovnovážný sv nní jdiný bod l j vořn nkončně mnoh bod kré voří přímk (čkovná čár n obr..48h od kré s svové rjkori vzdljí. i Ob pól jso nlové rovnovážný sv j dgnrovný zl. V omo přípdě rovnovážný sv j rovněž vořn nkončně mnoh bod kré voří přímk (čkovná čár n obr..48i. Svové rjkori probíhjí prllně s oo přímko l n jjích opčných srnách mjí opčno orinci. Pro počáční sv ncházjící s n éo přímc svové rjkori o přímk nopsí. Z výš vdného z obo obr vplývá ž pokd pól dnmického ssém pro n jso rálné pk rovnovážný sv j nsbilní

71 Mmické modl nlinárních ssémů 7 sdlo sbilní nbo nsbilní zl krý v přípdě nlového jdnoho nbo obo pólů můž bý dgnrovný. Jso-li pól komplní (vžd msí bý komplně sdržné pk rovnovážný sv j sbilní nbo nsbilní ohnisko v přípdě nlové rálné čási rovnovážný sv j sbilní sřd. Im s b Im s s s R s s R c Asmpoick sbilní zl Im s i d Nsbilní zl s Im s i i s s R s R Nsbilní sdlo Im s s s R i i f Asmpoick sbilní ohnisko Im s s s R i Nsbilní ohnisko Sbilní sřd Obr..47 Poloh dvojic pólů linrizovného dnmického ssém odpovídjící průběh svových rjkorií (nsinglární přípd Příkld. Mmický modl linárního dnmického ssém má v fázovém vjádřní vr. (.75

72 7 Mmické modl nlinárních ssémů J řb rči směrové pol pro izoklín pro. g Im s h Im s s s R s s R Dgnrovný sbilní zl Dgnrovný nsbilní zl i Im s s R Dgnrovný zl Obr..48 Poloh pólů linrizovného dnmického ssém odpovídjící průběh svových rjkorií (singlární přípd Řšní: Vdělním drhé rovnic první rovnicí (.75 s získá difrnciální rovnic fázových rjkorií d d. (.76 Jjím řšním [viz příkld. vzh (.5] pro počáční sv ] získám rovnici svové rjkori [ + +. (.77 J o kržnic s sřdm v počák sořdnic poloměrm +. (.78 Pro kždý počáční sv dosnm zvřno křivk kržnici jjíž poloměr (.78 j dán ímo počáčním svm. Rovnovážný sv j sbilní sřd. Proož jd o fázové vjádřní orinc fázové rjkori j zřjmá j.

73 Mmické modl nlinárních ssémů 73 v směr pohb hodinových rčičk (horní polorovin zlv-doprv dolní polorovin zprv-dolv. Směrové pol Pro rční směrového pol ssvím blk (b.. pro kždý bod [ ] s krokm vpočm n zákldě (.76 hodno d d g kd α j úhl sklon čn fázové rjkori g směrnic čn (viz obr..49. Směrové pol s fázovo rjkorií pro [ ] j n obr..49. b.. Hodno směrnic g příkld g Při vznčování orinc úsčk kré rprznjí čn j vhodné si vědomi hodno g pro dné úhl α viz b... α b.. Znménko g g + +

74 74 Mmické modl nlinárních ssémů Izoklín Obr..49 Směrové pol s fázovo rjkorií příkld. Rovnici izoklín dosnm z (.76 g. (.79 g Vidím ž izoklín jso přímk procházjící počákm sořdnic s směrnicí g j. úsčk rprznjící čn fázových rjkorií jso kolmé n odpovídjící izoklín (sočin jjich směrnic j rovn. Ssvím blk b..3 pro význčnější úhl α rčím rovnic izoklín. Izoklín jso n obr..5 s fázovo rjkorií pro [ ]. J zřjmé ž mod izoklín j méně prcná možňj sndnější nčrní fázové (svové rjkori věšino bývá ké rchljší.

75 Mmické modl nlinárních ssémů 75 b..3 Rovnic izoklín příkld. g Rovnic izoklín Příkld. Obr..5 Izoklín s fázovo rjkorií příkld. Pro linární dnmický ssém popsný svovým modlm

76 76 Mmické modl nlinárních ssémů 4 + j řb nkrsli svový porré. (.8 Řšní: Dnmický ssém j linární proo chrkrisický mnohočln bd 4 N( s d si s 5 s. s + 4 s( s + 5 s + Ob pól jso rálné jd d o zl proož jdn pól j nlový dochází k dgrdci. Z sálného sv 4 + j zřjmé ž rovnovážné sv voří přímk (.8. (.8 o rovnic rovněž popisj hlvní spolčno izoklín pro krá rozdělj svovo rovin n dvě polorovin. Nd přímko (.8 z vzhů (.8 dosnm sočsně zn. ž svové rjkori bdo směrov zlv doprv shor dolů. Podobně pod oo přímko (.8 z vzhů (.8 dosnm zn. ž svové rjkori bdo směrov zprv dolv zdol nhor. Svové rjkori s d vžd bdo blíži k přímc rovnovážných svů (.8. Rovnic izoklín s získá z (.8 vdělním drhé rovnic první rovnicí j. g. (.83 Vidím ž všchn čn k svovým rjkoriím mjí sjno směrnici (.83. Proož sočin směrnic přímk rovnovážných svů (.8 směrnic čn s rovná proo svové rjkori jso kolmé n přímk rovnovážných svů (čkovná čár viz obr..5. Z obrázk vplývá ž přímk rovnovážných svů j dgnrovný sbilní zl.

77 Mmické modl nlinárních ssémů 77 Příkld. Obr..5 Svový porré dnmického ssém příkld. Pro nlinární dnmický ssém. řád + (.84 j řb nkrsli přibližný svový (fázový porré. Řšní: Mmický modl nlinárního dnmického ssém (.84 j řb zps svově. Zvolím-li svové proměnné obdržím fázový modl j.. Z sálného sv rčím rovnovážné sv [ ] [ ] (.85 (.86. (.87 Nlinární ssém (.85 zlinrizjm (

78 78 Mmické modl nlinárních ssémů. A A (.88 Nní rčím p vlsnosi obo rovnovážných svů ] [ Chrkrisický mnohočln pro rovnovážný sv má vr. ( ( d ( + s s s s s s s s s N I Pól jso rálné opčného znménk proo rovnovážný sv j nsbilní sdlo. b ] [ Chrkrisický mnohočln pro rovnovážný sv má vr j. j j j( ( d ( + + s s s s s s s s s N I Pól jso rz imginární proo rovnovážný sv j lokálně sbilní sřd. Určím jšě hlvní izoklín [viz (.65 (.66] kré jso dán vzh (.86 j.. Přsný fázový porré získný n počíči j n obr..5. Proož jd o fázový modl (.85 orinc fázových rjkorií v horní polorovině fázové rovin j zlv doprv v dolní polorovině zprv dolv.

79 Mmické modl nlinárních ssémů 79 Obr..5 Fázový porré nlinárního dnmického ssém příkld. Mod svové nbo fázové rovin můž bý s úspěchm poži při nlýz vlsnosí jdnodšších nlinárních rglčních obvodů. V omo přípdě j výhodné povžov z svovo proměnno rglční odchlk proož lz sndno ověři plnění cíl rglc [viz (.] (. (.89 Proož mod svové rovin vždj onomní ssém (nbzný - invrinní proo s přdpokládá ž vspní vličin (žádná porchová způsobí rčiý počáční sv dál již npůsobí přípdně jso konsnní. Příkld.3 J řb provés nlýz dnmických vlsnosí jdnodchého rglčního obvod (srvomchnism s nlinárním P rgláorm (obr..53 ( K[ + ( ] ( (.9 kd j nzáporná konsn K zsílní linárního rgláor. Znční n obr..53: j rglční odchlk w žádná vličin kční vličin výsp z rglovné sosv výspní vličin v v porchové vličin k koficin přnos sosv [s - ] K P zsílní nlinárního rgláor.

80 8 Mmické modl nlinárních ssémů w ( K P v k s v b Obr..53 Rglční obvod s nlinárním P rgláorm: blokové schém b sická chrkrisik nlinárního rgláor příkld.3 Řšní: Přdpokládá s ž někrá vspní vličin (nzálží n om zd jd o žádno vličin nbo někro z porchových vličin způsobí počáční sv ( dál již npůsobí proo pro lz povžov všchn vspní vličin z nlové. Pro nlinární rglční obvod n obr..53 lz psá w K( + k ( + v + v. (.9 Po vžování w v v pro vzájmném doszní úprvě dosnm nlinární difrnciální rovnici. řád ( + k K + (. (.9 Zvolím-li svové v nšm přípdě fázové proměnné (.93

81 Mmické modl nlinárních ssémů 8 pk fázovo rjkorii můžm vkrsli přímo viz obr..54. Linární P rgláor k K 3 k K Nlinární P rgláor b Obr..54 Rglční obvod s nlinárním P rgláorm: průběh fázových rjkorií b čsové odzv příkld.3

82 8 Mmické modl nlinárních ssémů Z obr..54 vplývá ž nlinární P rgláor odsrní rglční odchlk podsně rchlji z důvod všší počáční rchlosi. Rovněž j zřjmé ž rglční obvod s nlinárním P rgláorm j smpoick sbilní (má jdiný rovnovážný sv. Nlinární difrnciální rovnici (.9 můžm vřši nlick j. ( d ( + ln + k K ( k K d ( k K. (.94 kk + ( J zřjmé ž pro linární P rgláor ( dosnm k K (. (.95 Odzv rglčního obvod pro nlinární linární P rgláor n počáční rglční odchlk pro k s K 5 jso n obr..54b. Poznámk: Pro nnlové vspní vličin (w v v rglční obvod s nlinárním P rgláorm n obr..53 v sold s (.9 (.9 popisj nlinární difrnciální rovnic. řád d d[ w( v ( ] k K[ ( ] ( k v( + +. (.96 d d Z éo difrnciální rovnic vplývá ž porchová vličin v ( působící n výsp sosv má n rglční odchlk ( sjný vliv jko žádná vličin w( (ž n znménko. Plí o pro všchn rglční obvod s jdnokovo zpěno vzbo. Dál j zřjmé ž při skokové změně žádné vličin w( j vspm impls d w( w ( pro w( w ( (.97 d kd ( j Dircův jdnokový impls ( Hvisidův jdnokový skok. Drivci skok v vzh (.97 j řb cháp jko zobcněno drivci. Impls (.97 způsobí sic nnlovo počáční odchlk l rvlá rglční odchlk ( bd nlová.

83 Mmické modl nlinárních ssémů 83 Nproi om skoková změn porchové vličin v( v ( způsobí rvlo rglční odchlk rčno vzhm Příkld.4 3 ( + ( v. (.98 K N obr..55 j zjdnodšné blokové schém srvomchnism s srvomoorm přvodovko. Srvomoor j npájn sřídvým npěím z zsilovč (P rgláor s zsílním K P [V rd ]. Srvomoor s přvodovko j popsán nlinární difrnciální rovnicí. řád d ( d ( J + m sign k( (.99 d d kd ( j úhlová výchlk výspního hřídl [rd] J momn srvčnosi pohbjících s čásí rdkovný n výspní hřídl [kg m ] m momn řní (obr..55b [kg m s rd] ( npěí [V] k koficin přnos srvomoor s přvodovko [kg m s V rd]. Nlinri vjádřn výrzm d ( m sign (. d j způsobn Colombovým schým řním (obr..55b. J řb nkrsli svovo rjkorii pro skokovo změn žádné vličin w( w (. w zsilovč Srvomoor s přvodovko b momn m m Obr..55 Srvomchnisms: zjdnodšné blokové schém b nlinri řní příkld.4

84 84 Mmické modl nlinárních ssémů Řšní: V sold s obr. 55 vzhm (.99 můžm psá ( w( ( ( w( ( (. d [ w( ( ] J + m d d[ w( ( ] sign kk d P ( (. Skoková změn žádné vličin w( způsobí počáční rglční odchlk ( w (.3 proo pro > po úprvě dosnm proož ( d ( d( J + m sign + kk ( P d d w ( (.4 d( d( sign sign. d d Zvolím-li z svové proměnné modl kk J P m J sign k dosnm fázový ( ( w. (.5 Difrnciální rovnici fázové rjkori získám vdělním drhé rovnic první rovnicí rsp. d d d d kk P m + sign J J (.6 kk P m J J (.6b kd znménko + plí pro znménko pro. Difrnciální rovnici fázové rjkori (.6b lz řši nlick ( ( d ( kk P J ( m k K P d

85 Mmické modl nlinárních ssémů 85 pro ( kk P m J k K kk P m ( r J kk P P ( + (.7 kk P m w J k K P r kd r j délk poloos lips (pro os m (.8 k K P jso sřd lips. Horní znménko plí pro dolní znménko pro. Fázová rjkori zčíná v počáčním sv skládá s z poslopnosi polovin lips přičmž kždá přdchozí lips rčí počáční sv n os pro násldjící lips d. o ž posldní lips (zspjící bod pdn do inrvl rovnovážných svů m m. (.9 kk P kk P K změně lips dochází n os j o zv. přpíncí křivk (obr..56. Zvolím-li vhodně prmr srvomchnism npř. k KP - m s J k K pk dosnm rovnic kržnic o poloměr r 5 P 5rd (. + ( r (. j. fázová rjkori s skládá z poslopnosi půlkržnic viz obr..56. Přibližný průběh fázové rjkori můžm rči modo izoklín. Hlvní izoklín získám z fázových rovnic (.5 m 5 pro kk P m 5 pro. kk P (.

86 86 Mmické modl nlinárních ssémů Dlší izoklín získám z rovnic izoklín viz [(.6b pro (.] 5 5 g. (.3 g Ssvím b..4 pro význmnější úhl α sklon čn fázových rjkorií doplním o hlvní izoklín (.. b..4 Rovnic izoklín příkld.4 g Rovnic izoklín pro 5 pro pro 5 pro 5 Izoklín fázová rjkori jso n obr..56. Přpíncí přímk Obls rovnovážných svů Obr..56 Fázová rjkori nlinárního srvomchnism příkld.4

87 Mmické modl nlinárních ssémů 87 Z obr..56 vplývá ž nlinární srvomchnisms má jdino sovislo obls rovnovážných svů (.9 proo j globálně smpoick sbilní. Dál j zřjmé ž momn srvomoor nsčí k přkonání momn řní m ž vznikn rvlá rglční odchlk m (. (.4 k K P Snížní rvlé rglční odchlk ( zlpšní sldování změn žádné vličin w lz dosáhno zvýšním hodno koficinů k K P snížním momn řní m. Příkld.5 N obr..57 j blokové schém obvod dvopolohové rglc. J řb provés jho nlýz z přdpokld ž žádná vličin w( s v okmžik změní skokm z hodno n hodno w >. Doprvní zpoždění. d w k d s s + v b B Zpno Vpno w Obr..57 Obvod dvopolohové rglc: blokové schém b dvopolohové rlé s hsrzí příkld.5 Řšní: Odvod dvopolohové rglc n obr..57 můžm pops vzh obr..57b. ( ( w( ( ( ( v ( ( + ( k d +

88 88 Mmické modl nlinárních ssémů U nlinárních rglčních obvodů j čso výhodnější sldov průběh rglční odchlk ( nž průběh výspní vličin ( proo po doszní úprvě dosnm d( d[ w( v ( ] + ( + w( v( k d d ( d. (.5 Proož pro < jso w( v ( ( pro plí w( w v ( w můžm pro > psá rsp. pro d + ( k ( (.6 ( d + ( k (. (.6b ( Njdřív bdm vžov sosv bz doprvního zpoždění (.6b. Pro věší názornos bdm sočsně všřov čsový průběh rglční odchlk ( (obr..58 i průběh fázové rjkori (obr..59. V inrvl (zpno kční vličin ( B (. Řšním difrnciální rovnic (.6b dosnm čsový průběh rglční odchlk ( kb. Odpovídjící fázovo rjkorii získám přímo pro z difrnciální rovnic (.6b pro ( B j. ( kb. V okmžik rglční odchlk nbd hodno ( proo nsopí skoková změn (přpní kční vličin z ( B n (. Řšním difrnciální rovnic (.6b pro ( novo počáční podmínk ( dosnm čsový průběh rglční odchlk v inrvl (vpno j. + ( (. ( Fázovo rjkorii obdržím z difrnciální rovnic (.6b pro ( (.

89 Mmické modl nlinárních ssémů 89 V okmžik rglční odchlk dosáhn hodno ( v oméž okmžik kční vličin s skokm změní (přpn z hodno ( n ( B. Čsový průběh rglční odchlk v inrvl 3 (zpno získám řšním difrnciální rovnic (.6b pro ( B novo počáční podmínk ( k B + ( ( +. ( Obr..58 Dvopolohová rglc: průběh rglční odchlk b průběh kčních vličin příkld.5

90 9 Mmické modl nlinárních ssémů Z sjné difrnciální rovnic získám přímo fázovo rjkorii ( kb. Obr..59 Průběh fázových rjkorií pro příkld.5 d d V okmžik 3 nsopí zs skoková změn kční vličin z ( B n (. J zřjmé ž jk čsový průběh rglční odchlk k i průběh fázové rjkori s priodick opkj. Změn průběhů (přpní vsopí pro. (.7 Vzh (.7 popisj zv. přpíncí křivk. V nšm přípdě jso o přímk (obr..59. Fázová rjkori vvořil zvřno křivk j. sbilní mzní ckls. V obvodě dvopolohové rglc vznikno sbilní priodické kmi. Jjich mplid j dán polovino šířk hsrz dvopolohového rgláor. Podobně bchom mohli všřov čsový průběh rglční odchlk fázové rjkori pro sosv s doprvním zpožděním j. (.6. V omo přípdě přpní nsopí v okmžik odchlk dosáhn hodno (. d kdž rglční + d

91 Mmické modl nlinárních ssémů 9 Dlší přpní nsopí v okmžik v krém rglční odchlk dosáhn hodno ( + d. Odd vplývá ž přpíncími křivkmi bdo rovněž přímk +. (.8 Vličin (obr lz přibližně rči nlick l přsněji rchlji s rčí simlcí. Při simlci n obr bl poži hodno prmrů: w 5 B k 5 s d s. Jk z čsových průběhů k i z průběhů fázových rjkorií vplývá ž doprvní zpoždění znčně snižj kvli dvopolohové rglc. Njčsěji s vždj splnění podmínk d. (.9 Dvopolohová rglc j (pokd j požilná vsoc robsní. Jkokoliv rglční odchlk (způsobno žádno nbo porchovo vličino dokonc i změno vlsnosí sosv vžd odsrňj mimálním kčním záshm j. ( B nbo (..3. Npřímá Ljpnovov mod Npřímá (první linrizční Ljpnovov mod spočívá v ověřní sbili nlinárního dnmického ssém v zvolném rovnovážném sv n zákldě linární proimc nlinárního dnmického ssém v omo rovnovážném sv. Eisj mnoho různých dfinicí sbili nlinárních dnmických ssémů příspů k jjím ověřování. Njdůlžiější njrozšířnější j Ljpnovov ori sbili krá zvádí pojm smpoická sbili (v smsl Ljpnov sbili (v smsl Ljpnov nsbili kré již bl dfinován vsvěln v podkpiol... J vžován onomní nlinární dnmický ssém ( f [ ( ] ( (. kd j vkor svových proměnných sv dimnz n f obcně nlinární vkorová fnkc dimnz n. J o ssém -invrinní bz vsp. N no p ssém lz sndno přvés i ssém zpěnovzbního řízní ( f[ ( ( ] (. kd j vkor řídicích proměnných řízní dimnz r

92 9 Mmické modl nlinárních ssémů ( f[ ( ] (.b proož můžm psá f ( f [ ( ] ( ( f [ ( ]. (. Podobně i v přípdě řízného ssém (. řízní ( (j. vsp pro mohlo ssém přivés do počáčního sv ( pk pro můž bý konsnní j. ( přípdně již npůsobí j. ( ; můžm d psá Pro ( f. (.3 [ ( ] ( f [ ( ] f [ ( ] s dosn vzh (.. Přdpokládá s ž obcně nlinární vkorové fnkc f f mjí odpovídjící dimnzi. Pro plí kd (. ( f ( (.4 Řšním rovnic (.4 dosnm rovnovážné sv (bod kvilibri. Vlsnosi rovnovážných svů bl pro n podrobně nlzován v podkpiol... Uvžjm onomní nlinární dnmický ssém (. linrizjm ho v rovnovážném sv dosnm ( A ( ( (.5 A f ( f f f n f f f n f n f n f n n (.5b ( ( (.5c

93 Mmické modl nlinárních ssémů 93 kd A j Jcobiov mic prvních prciálních drivcí vkorové fnkc f podl vkor v rovnovážném sv ( přírůsk vkor sv. Proož s při linrizci požívá lorův rozvoj o linrizc s čso nzývá lorov nbo podl mic (.5b Jcobiov. J řb si vědomi ž při běžné linrizci s Jcobiov mic počíá v prcovním bodě nproi om při ověřování sbili s Jcobiov mic počíá v rovnovážném sv (viz ké podkpiol Pro kždý rovnovážný sv s rčí chrkrisický mnohočln N ( s d( si A (.6 libovolno modo s rčí poloh všch jho kořnů j. vlsních čísl mic A s s s n. Pokd plí: R s i (i n pk dný rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní. b Alspoň pro jdno i plí R s i (i n pk dný rovnovážný sv j lokálně nsbilní. c Alspoň pro jdno i j R s i pro zbývjící i R s i (i n pk nlz rozhodno zd ssém v dném rovnovážném sv j (smpoick sbilní či nsbilní j řb o sbiliě rovnovážného sv rozhodno n zákldě jiné mod. Příkld.6 N obr..6 j fzické kvdlo kd m z j hmonos závží [kg] m hmonos č [kg] l délk č [m] b koficin viskózního řní [kg m rd - s - ] α úhl vchýlní kvdl od svislé os [rd]. J řb ssvi mmický modl kvdl ověři sbili. b l l l ( cos α m m z Obr..6 Zjdnodšné schém fzického kvdl příkld.6

94 94 Mmické modl nlinárních ssémů Řšní: Vjdm z Nwonov zákon pro roční pohb j. z rovnováh momnů k os oáční: d ( d( J mgl sin ( b (.7 d d J J z + J J z mzl J ml (.7b 3 m m z + m (.7c l mzl + m l (.7d m + m z kd J j clkový momn srvčnosi kvdl vzhldm k os oáční J z momn srvčnosi závží vzhldm k os oáční J momn srvčnosi č vzhldm k os oáční m clková hmonos kvdl l vzdálnos ěžišě kvdl od os oáční. j. Mmický modl kvdl (.7 vjádřím svově (fázově d (.8 d mgl sin J Rovnovážné sv rčím pro j. mgl sin J b J b J. k k. (.9 [ k ] pro k (.3 Nlinární mmický modl (.9 linrizjm A (.3 A mgl b cos J J. (.3b

95 Mmické modl nlinárních ssémů 95 Po vžování rovnovážných svů (.3 dosnm A mgl k b k (.3 ( J J Ssvím chrkrisický mnohočln N ( s d( si A s s + b J + mgl J mgl J ( s ( k k s + z krého vplývá ž jho dv kořn (chrkrisická čísl mic b J A (.33 pro sdá k bdo komplně sdržná s záporno rálno složko pro lichá k bdo rálná l vzájmně opčného znménk. Rovnovážné sv [ k ] pro k (.34 jso lokálně smpoick sbilní ohnisk rovnovážné sv [ (k + ] pro k (.34b jso lokálně nsbilní sdl. vr Pokd vžjm b j. chrkrisický mnohočln (.33 bd mí mgl k ( s s + ( (.35 J N pk pro sdá k bdo kořn rz imginární první Ljpnovovo modo nlz rozhodno o sbiliě rovnovážných svů. N zákldě svového porré n obr..6 můžm konsov ž rovnovážné sv (.34 bdo lokálně sbilní sřd. Pro lichá k bdo kořn chrkrisického mnohočln (.35 rálné s opčnými znménk j. rovnovážné sv (.34b bdo lokálně nsbilní sdl. Názorně j o vidě n obr..6.6 kd jso zobrzn svové (fázové porré kvdl pro mgl J s - b kg m rd- s- (obr..6 b (obr..6. Věšino nás zjímá činnos kvdl v rozmzí Pro mlé výchlk plí. sin sin (.36

96 96 Mmické modl nlinárních ssémů proo nlinární modl fzického kvdl (.9 lz v okolí zsopi jho linární proimcí Obr..6 Svový (fázový porré fzického kvdl pro b příkld.6 Obr..6 Svový (fázový porré fzického kvdl pro b příkld.6

97 Mmické modl nlinárních ssémů 97 mgl J viz ké (.3 (.3 pro [. b J ] ( Přímá Ljpnovov mod Přímá (drhá Ljpnovov mod j vlmi obcná l sočsně i náročná. Vždj rčio zkšnos spočívjící v volbě vhodné zv. Ljpnovov fnkc V[(] V( krá můž bý inrprován jko nrgi dného ssém (příkld.7. Znčně vhodnější j jjí inrprc jko zobcněná vzdálnos (norm od všřovného rovnovážného sv. Věšino s přdpokládá ž rovnovážný sv j v počák sořdnic j. viz (.9 (.. Uvžjm fnkci V( krá vhovj v oblsi D svového prosor X ěmo poždvkům (přdpokládá s ž obls D obshj počák : V( > pro všchn D mimo b V( pro pk fnkc V( j kldně dfininí v oblsi D. Pokd: V( pro všchn D b V( pro pk fnkc V( j kldně smidfininí v oblsi D. V omo přípdě fnkc V( můž bý nlová i pro. Dál plí j-li fnkc V( kldně (smidfininí pk fnkc [ V(] j záporně (smidfininí. Vlmi čso s jko Ljpnovov fnkc požívjí kvdrické form n n V ( Q q (.38 i j kd čvrcová mic Q j rálná smrická j. Q Q. Pro rálno smricko mici Q jjí vlsní čísl s jso dán kořn mnohočln d( s I Q. ij i j s sn jso rálná

98 98 Mmické modl nlinárních ssémů Pk pro kvdricko form (.38 plí (i n: V( j kldně dfininí s b V( j kldně smidfininí s c V( j záporně dfininí s d V( j záporně smidfininí s. i i Mici Q nzývám sjně jko odpovídjící kvdricko form j. kldně dfininí kldně smidfininí d. Pokd kvdrická form V( nvhovj výš vdným podmínkám pk j spol s příslšno micí Q indfininí. Pokd fnkc V( vhovj podmínc i i V ( (.39 pk j rdiálně nomzná (nohrničná kd vlikos vkor. j norm (zobcněná J zřjmé ž kvdrická form (.38 j rdiálně nomzná. Uvžjm nní oální drivci fnkc V( podl čs [viz (.] dv ( V V ( d V V d V ( d f f( ( f V. n fn( (.4 Vidím ž V ( závisí n prvé srně rovnic (. popisjící dný onomní nlinární dnmický ssém zn. ž oální drivc fnkc V( podl čs j. V ( bd různá pro různé dnmické ssém. oální drivc fnkc V( podl čs j. V ( přdsvj d čsovo drivci fnkc V( podél rjkori (. Pokd fnkc V( bd kldně dfininí spojiě difrncovlná v oblsi D (D obshj svového prosor X pk můž bý kndidám n Ljpnovov fnkci. Přdpokládjm ž pro Ljpnovov fnkci V( v oblsi D plí:

99 Mmické modl nlinárních ssémů 99 V( j kldně dfininí V ( j záporně smidfininí pk dný rovnovážný sv j lokálně sbilní (v smsl Ljpnov; b V( j kldně dfininí V ( j záporně dfininí pk dný rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní (v smsl Ljpnov; c V( j kldně dfininí V ( j kldně dfininí pk dný rovnovážný sv j lokálně nsbilní. Pokd Ljpnovov fnkc V( j rdiálně nomzná obls D j clý svový prosor X pk výš vdné vlsnosi jso globální můžm j vzáhno n clý dnmický ssém j. njnom n rovnovážný sv. J zřjmé ž v omo přípdě dnmický ssém můž mí poz jdiný rovnovážný sv. Zjímvá j gomrická inrprc oální drivc Ljpnovov fnkc V( podl čs [viz (.4] kd V V ( V ( grd V( (.4 j grdin Ljpnovov fnkc V( krý j kolmý n jjí hldin (viz obr..63 V ( c i (kons. (.4 Proož V ( j sklárním sočinm grdv ( j. lz psá V ( grd V( cos (.43 kd α j úhl mzi vkor grdv (. Z vzh (.43 vplývá 3 V ( cos (.44 zn. ž vkor proíná hldin (.4 Ljpnovov fnkc V( směrm dovniř k mnším hodnoám c i viz obr..63. Vlmi názorná j inrprc záporné dfininosi oální drivc ( V Ljpnovov fnkc podl čs v přípdě ž Ljpnovov fnkc vjdřj zobcněno vzdálnos.

100 Mmické modl nlinárních ssémů Podmínk V ( znmná ž pro rosocí čs s vzdálnos od rovnovážného sv zmnšj ž dosáhn rovnovážného sv pro krý plí V( V ( viz obr..64. V ( c c i c i+ i grdv ( α c 3 c c Obr..63 Gomrická inrprc podmínk V ( viz vzh (.43 (.44 V ( Obr..64 Gomrická inrprc podmínk V (

101 Mmické modl nlinárních ssémů Při přímé Ljpnovově modě ověřování sbili rovnovážných svů j řb si vědomi ž n kždá kldně dfininí fnkc msí bý Ljpnovovo fnkcí V( pro dný rovnovážný sv. Pokd zvolná fnkc nvhovj podmínkám lokální (smpoické sbili v dném rovnovážném sv nznmná o ž dný rovnovážný sv nní lokálně (smpoick sbilní. V omo přípdě j nno z kndidá n Ljpnovov fnkci V( zvoli jino kldně dfininí fnkci nbo pro ověřní sbili poží jino mod. Z ohoo důvod přímá Ljpnovov mod j vlmi náročná n zkšnosi znlosi z oblsi nlinárních dnmických ssémů. Nproi om i kdž přímá Ljpnovov mod dává poz posčjící podmínk sbili j vlmi obcná s širokým spkrm vžií. Zd v éo podkpiol jso vdn poz jjí zákldní idj njdůlžiější poznk. Příkld.7 J dáno fzické kvdlo n obr..6 z příkld.6 pro [viz (.9] mgl sin J z přdpokld ž kvdl. Řšní: b J. (.45 kd j konsn omzjící rchlos J řb ověři sbili rovnovážného sv viz obr Z Ljpnovov fnkci zvolím clkovo nrgii kvdl E E E k k + E p J E p mgl( cos kd E k j kinická nrgi kvdl E p ponciální nrgi kvdl. (.46 J zřjmé ž pro clková nrgi kvdl E j kldně dfininí fnkc proo můž bý kndidám n Ljpnovov fnkci V E J + mgl( cos. (.47 ( Bdm vžov kvdlo bz lmní s lmním. Fzické kvdlo bz lmní (b

102 Mmické modl nlinárních ssémů Mmický modl kvdl bz lmní má vr mgl sin. J (.48 N zákldě vzh (.4 rčím oální drivci Ljpnovov fnkc podl čs V ( mgl sin J mgl sin J mgl sin mgl sin. (.49 Proož V( j kldně dfininí V ( j. svová rjkori dná počáčním svm s ni npřibližj ni nvzdlj od rovnovážného sv zn. rovnovážný sv kvdl j lokálně sbilní v smsl Ljpnov. J o sbilní sřd (obr..6. b Fzické kvdlo s lmním (b > Mmický modl kvdl s viskózním řním j dán vzhm (.45. N zákldě vzh (.4 pro sjno Ljpnovo fnkci (.47 mmický modl (.45 dosnm V ( mgl sin J mgl sin J sin mgl sin b J mgl b b. (.5 Vidím ž i v omo přípdě V ( j záporně smidfininí proož pro j V ( l můž bý libovolné v rozmzí. Proo i v omo přípdě můžm poz konsov ž rovnovážný sv j lokálně sbilní v smsl Ljpnov i kdž vím z příkld.6 ž rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní ohnisko. J o rčié zklmání l j řb si vědomi ž Ljpnovov ori dává poz posčjící podmínk pro sbili rsp. smpoicko sbili zvolného rovnovážného sv. Proož v přípdě kvdl s lmním Ljpnovov fnkc (.47 ndává plno odpověď n sbili rovnovážného sv zksm ji zobcni n vr

103 Mmické modl nlinárních ssémů 3 V Q + mgl ( cos (.5 ( kd Q j kldně dfininí smrická mic. Můžm psá (q q q q V ( q q + mgl( cos ( q + q + q + mgl( cos. (.5 Ab mic Q bl kldně dfininí msí pli q q q q q. (.53 N zákldě (.4 dosnm V ( mgl sin J mgl sin + q + q q + q b J q b b mgl q sin J (.54 mgl sin + q q + q q J J J Nní msím zvoli q q q k b V( bl kldně dfininí j. msí pli (.53 V ( bl záporně dfininí j. q b J q q q b. (.55 J Zvolím-li npř. q b [podmínk kldné dfininosi (.53 jso splněn] pk dosnm bmgl V ( sin b. (.56 J Proož pro Ljpnovov fnkc V( j kldně dfininí jjí oální drivc podl čs V ( j záporně dfininí rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní.

104 4 Mmické modl nlinárních ssémů Z příkld j zřjmé ž přímá Ljpnovov mod i pro vlmi jdnodché nlinární dnmické ssém můž bý náročná ké prcná. Příkld.8 J řb nlzov onomní nlinární dnmický ssém 3 z hldisk sbili. (.57 Řšní: Njdřív rčím rovnovážné sv 3 [ ]. (.58 Nlinární dnmický ssém (.57 má jdiný rovnovážný sv. Njdřív požijm npřímo Ljpnovov mod [viz (.5] ( A A 3 ( (. Ssvím chrkrisický mnohočln N (.59 s s d( si A s s. (.6 s ( Proož ob kořn (pól linrizovného ssém jso nlové o sbiliě či nsbiliě rovnovážného sv n zákldě npřímé Ljpnovov mod nmůžm rozhodno. Nní požijm přímo Ljpnovov mod. Z Ljpnovov fnkci zksím ( V + ; (.6 dosnm [viz (.4]

105 Mmické modl nlinárních ssémů 5. ( ( 3 3 V (.6 I kdž fnkc (.6 j kldně dfininí jjí oální drivc podl čs (.6 j indfininí proo j pro dný nlinární dnmický ssém nvhodná. Nní zksím fnkci ; ( 4 + V (.63 dosnm ( V. Pro obdržím ( 3 3 V. (.64 Obr..65 Fázový porré nlinárního dnmického ssém (.57 příkld.8

106 6 Mmické modl nlinárních ssémů Proož fnkc (.63 j kldně dfininí rdiálně nomzná [viz (.39] jjí oální drivc podl čs (.64 j nlová což znmná ž zobcněná vzdálnos (.63 zspjícího bod s od rovnovážného sv nmění j rovnovážný sv sbilní sřd. Vzhldm k om ž rovnovážný sv j jdiný jho vlsnos můžm vzáhno n clý ssém j. nlinární dnmický ssém (.57 j globálně sbilní v smsl Ljpnov. Svový v nšm přípdě fázový porré j n obr..65. Svové (fázové rjkori můžm rči sndno nlick. Z vzh (.57 dosnm d d ( ( ( ( ( 3 d d 4 ( ( ( (.65 Vidím ž pro různé počáční sv [ ( (] dosnm odpovídjící zvřné křivk v sold s obr..65. J zřjmé ž rovnovážný sv j globálně sbilní (v smsl Ljpnov sřd. Příkld.9 J řb ověři sbili nlinárního dnmického ssém 3 3. (.66 Řšní: Podobně jko v přdchozím příkldě.8 njdřív rčím rovnovážné sv 3 3. (.67 Nlinární dnmický ssém (.66 má jdiný rovnovážný sv. Pomocí npřímé Ljpnovov mod pro linrizovný modl dosnm

107 Mmické modl nlinárních ssémů ( ( ( A A Určím chrkrisický mnohočln j d( ( + s s s s s s N A I. (.68 O sbiliě či nsbiliě jdiného rovnovážného sv nlz rozhodno proož kořn (pól linrizovného ssém jso rz imginární j. lží n imginární os. Obr..66 Svový porré nlinárního dnmického ssém (.66 příkld.9 Požijm d přímo Ljpnovov mod. Zvolím Ljpnovov fnkci v vr ( ( V + (.69 dosnm

108 8 Mmické modl nlinárních ssémů ( ( V + +. (.7 Ljpnovov fnkc (.69 j kldně dfininí rdiálně nomzná [viz (.39] jjí oální drivc podl čs j záporně dfininí proo rovnovážný sv j globálně smpoický sbilní. Proož rovnovážný sv j jdiný lz konsov ž nlinární dnmický ssém (.66 j globálně smpoick sbilní. Svový porré nlinárního dnmického ssém j n obr..66. Příkld. J řb provés nlýz vlsnosí nlinárního dnmického ssém z příkld. popsného svovým mmickým modlm [viz (.6]. ] 3( [( ] 3( [( (.7 Řšní: Určím rovnovážné sv ] 3( [( ] 3( [( (.7 Nlinární dnmický ssém (.7 má jdiný rovnovážný sv v počák svových proměnných. V rovnovážném sv dný nlinární ssém zlinrizjm požijm npřímo Ljpnovov mod ( ( ( f f f f A A ] 6 [( ] 3( [( f ] 6 ( [ + f

109 Mmické modl nlinárních ssémů 9 f [ ( + 6] + f [( + 3( + + ] [( + 6 ]. Po doszní úprvě v rovnovážném sv obdržím mici linrizovného ssém A. (.73 Z chrkrisického mnohočln N ( s d( si A s + 4s + 5 s + s s + j (.74 vidím ž pól jso komplně sdržné s záporno rálno čásí proo v jdiném rovnovážném sv vspj lokálně smpoick sbilní ohnisko. Nní požijm přímo Ljpnovov mod. Z Ljpnovov fnkci zvolím dosnm V ( ( + (.75 V V ( f ( ( + [( + 3( + + ]. (.76 Drho čás (drhý činil výrz (.76 můžm prvi. Oznčm z + dosnm j. z 3z + ( z ( z ( + 3( + + ( + ( +. oální drivc Ljpnovov fnkc podl čs d bd V ( ( + ( + ( +. (.76b

110 Mmické modl nlinárních ssémů Nní již lz výrz (.76b sndno nlzov. Proož kldně dfininí Ljpnovov fnkci (.75 můžm povžov z zobcněno vzdálnos od rovnovážného sv (v nšm přípdě j o polovin čvrc klidovské vzdálnosi vplývá: + z vzhů V ( pro V ( pro + (.77 b V ( pro + (.77b c V ( pro + (.77c Proož V ( j lokálně záporně dfininí rovnovážný sv j lokálně smpoick sbilní ohnisko (drh j rčn n zákldě npřímé Ljpnovov mod. b c Proož zobcněná vzdálnos s od rovnovážného sv nmění svová rjkori vvoří zvřné křivk j. mzní ckl + ( (.78b Proož pro + V ( + V ( svová rjkori s od mzního ckl (.78 z obo srn vzdlj proo mzní ckls (.78 j nsbilní. Nproi om pro + V ( + V ( svová rjkori s z obo srn k mzním ckl (.78b přibližj proo mzní ckls (.78b j sbilní. Svový porré nlinárního dnmického ssém (.7 j n obr...

111 Mmické modl nlinárních ssémů Příkld. Uvžjm onomní linární dnmický ssém A ( (.79 kd j vkor sv dimnz n A čvrcová mic ssém (dnmik p (n n. Pomocí přímé Ljpnovov mod j řb vjádři podmínk globální smpoické sbili dného linárního dnmického ssém. Řšní: Požijm Ljpnovov fnkci V( v vr kvdrické form V ( P (.8 kd P j rálná smrická kldně dfininí mic p (n n j. kd P P. Pk můžm psá V V ( A P + P + PA P ( A P + PA V ( Q (.8 A P + PA Q. (.8 Bd-li mic Q kldně dfininí pk V ( bd záporně dfininí proo jdiný rovnovážný sv i clý onomní linární dnmický ssém (.79 bd globálně smpoick sbilní. Mic Q j smrická proož plí Q ( A P + PA ( PA + A P Q. (.83 Rovnic (.8 s nzývá Ljpnovov lgbrická rovnic. Vlsní čísl mic A bdo mí záporné rálné čási (j. rovnovážný sv bd globálně smpoick sbilní hd jn hd kdž pro dno smricko kldně dfininí mici Q isj jdnoznčná smrická kldně dfininí mic P vhovjící Ljpnovově lgbrické rovnici (.8. J zřjmé ž pro běžné ověřní sbili linárních dnmických ssémů přímá Ljpnovov mod nní vhodná z důvod vliké prcnosi.

112 Mmické modl nlinárních ssémů.3.4 Krhové kriérim sbili Můžm-li v rglčním obvodě odděli nlinri od linární dnmické čási pk můžm pro ověřní sbili jdiného rovnovážného sv poží kmiočová kriéri krá vcházjí z Nqisov kriéri sbili pro linární rglční obvod. Jjich nvýhodo j ž dávjí poz posčjící podmínk l jso rlivně jdnodchá v chnické pri oblíbná. Kriéri bdo vdn poz v zákldní podobě. Njdřív zvdm pojm skorová nlinri [α β] viz obr..67. Skorová nlinri [α β] f ( f ( (.84 j v rovině ( vmzn dvojicí přímk s směrnicmi α β j. pro všchn. f f ( (.85 ( f ( f ( Obr..67 Skorová nlinri [α β] Clo nrovnos vnásobím dosnm f ( f (. (.85b Z éo nrovnosi pro vplývá ž skorová nlinri prochází počákm vskj s v prvním řím kvdrn. Nrovnos (.85 s čso zpisj v vr f ( f (. (.85c

113 Mmické modl nlinárních ssémů 3 Vlmi důlžié j ž skorová nlinri vžd prochází počákm sořdnic. J o z důvod isnc poz jdiného rovnovážného sv proo lz přípdno sbili rozšíři n clý zpěnovzbní obvod. Přdpokládá s ž skorovo nlinri můžm v rglčním obvodě odděli od linární dnmické čási popsné přnosm G(s jhož spň čil j mnší nž spň jmnovl v sold s obr..68. V někrých přípdch bdm vspní vličin do nlinri povžov ké oznčov jko rglční odchlk. w G (s Obr..68 Zpěnovzbní obvod s skorovo nlinrio Npř. rglční obvod s skorovo nlinrio (nlinární kční čln pro w ( n obr..69 můž bý sndno rnsformován n obvod n obr..68 pro G( s G ( s G ( s G ( s (.86 R S M kd G R (s j přnos rgláor G S (s přnos sosv G M (s přnos měřicího čln. N pořdí linárních člnů nzálží. w G R (s (s G S G M (s Obr..69 Rglční obvod s skorovo nlinrio Zpěnovzbní nlinární obvod n obr..68 s čso nzývá Lrjho p bývá popsán svově A bf ( c (.87 kd f( j skorová nlinri mísěná v zpěné vzbě (obr..7 kd přnos linární dnmické čási j dán vzhm (svový modl msí bý řidilný pozorovlný

114 4 Mmické modl nlinárních ssémů G( s c ( si A b. (.88 G (s f ( Obr..7 Zpěnovzbní nlinární obvod Lrjho p Z hldisk kmiočových mod ověřování sbili zpěnovzbní obvod n obr při nlových vspch ž n oznční vličin moho bý povžován z kvivlnní. Al pokd npř. v rglčním obvodě n obr..69 žádná vličin w( nbd nlová j. w( w ( ( w pk vznikjí závžné problém. Můž dojí k posní rovnovážného sv z počák sořdnic (při nisnci ingrčního čln v přnos linární čási. V přípdě ingrčního čln j důlžié jho mísění j. zd j přd nlinrio nbo z ní (viz příkld.3.3 d. Npříjmné j ž rálné rglční obvod éměř vžd obshjí ingrční čln nlinri p nscní viz příkld.4. Někré problém lz objí rnsformcí blokového schém n obr..7 v sold s obr..7. G(s (s G G (s k f ( k (s G f ( ( f ( f Obr..7 rnsformc zpěnovzbního obvod

115 Mmické modl nlinárních ssémů 5 J zřjmé ž pro konsnní zsílní k linárních člnů výsldné vlsnosi zpěnovzbního obvod zůsno sjné. V sold s obr..7 lz psá G( s G ( s (.89 + k G( s f ( f ( k. (.9 rnsformovná linární čás G (s má již jiné pól nž původní čás G (s. Dochází k přsování pólů věšino vlvo j. do sbilní oblsi. Z vzh (.9 vplývá ž rovněž dochází k rnsformci skor v krém lží rnsformovná nlinri ( j. f k k. (.9 Pro ověřování sbili zpěnovzbních nlinárních obvodů s skorovými nlinrimi (obr bl formlován hpoéz z nichž dvě moho bý při návrh nlinárních rglčních obvodů žičné. Ajzrmnov hpoéz Nhrdí-li s skorová nlinri [α β] linárním zsílním k A v dném skor j. k A (.9 zpěnovzbní obvod pro oo zsílní k A j smpoick sbilní pk s lz domnív ž i původní zpěnovzbní nlinární obvod bd smpoick sbilní. Klmnov hpoéz Vhovj-li jdnoznčná nlinri nrovnosi d f ( d nhrdí-li s linárním zsílním k K v omo skor j. (.93 k (.94 K zpěnovzbní obvod bd pro oo zsílní k K smpoick sbilní pk s lz domnív ž i původní zpěnovzbní nlinární obvod bd smpoick sbilní. Proož plí (.95

116 6 Mmické modl nlinárních ssémů j zřjmé ž z plnosi Klmnov hpoéz vplývá i plnos Ajzrmnov hpoéz j. Klmnov hpoéz j přísnější. Bohžl i z přdpokld smpoické sbili linární dnmické čási o hpoéz obcně nplí. Mzní hodno α β v nrovnosi k H (.96 pro zsílní k H nhrzjící nlinri pro kré dný zpěnovzbní linární obvod j globálně smpoick sbilní vmzjí zv. Hrwizův skor pro dno linární dnmicko čás G(s. Nní již můžm formlov krhové kriérim sbili. Uvžjm zpěnovzbní nlinární obvod n obr..68 s čsově proměnno skorovo nlinrio (.85 pk plí: Zpěnovzbní nlinární obvod n obr..68 j globálně smpoick sbilní kdž pro: mplidofázová kmiočová chrkrisik ovřného zpěnovzbního obvod G(jω s p nsbilními pól pro lží vně zv. kriické kržnic s sřdm + (.97 lžícím n záporné rálné poloos procházjící bod ( j ( j obklopí ji p/ krá (j. pπ krá v kldném smsl j. proi pohb hodinových rčičk. b mplidofázová kmiočová chrkrisik smpoick sbilního ovřného zpěnovzbního obvod G(jω (j. bz pólů n imginární os pro lží nprvo od vrikální přímk procházjící bodm n záporné rálné poloos. c mplidofázová chrkrisik smpoick sbilního zpěnovzbního obvod G(jω (j. bz pólů n imginární os j vvniř kriické kržnic s sřdm n rálné os procházjící bod ( / j ( / j. no přípd pro můž vznikno npř. rnsformcí (.9. J zřjmé ž pro G o ( s G( s krhové kriérim sbili přjd n klsické Nqisovo kriérim pro linární rglční obvod. Amplidofázová kmiočová chrkrisik ovřného zpěnovzbního (rglčního obvod s čso nzývá Nqisov chrkrisik proo dál no názv bdm požív. Krhové kriérim sbili j poz posčjící podmínko globální smpoické sbili j poměrně konzrvivní.

117 Mmické modl nlinárních ssémů 7 Příkld. V rglčním obvodě n obr..69 s nsbilní sosvo G S ( s (.98 ( s (s + konvnčním rgláorm PI G R ( s KP + (.99 I s * s svilnými prmr K P 5 I* s s přnosm měřicího čln G M ( s j vžován náhrd skorové nlinri kčního čln [/ ] linárním člnm s zsílním (koficinm přnos k 75. J řb ověři sbili dného rglčního obvod. Skorová nlinri můž bý čsově proměnná. Řšní: Njdřív ověřím sbili rglčního obvod pro nominální hodno k 75. V sold s obr plí ( G k G( s k G R ( s G Chrkrisický mnohočln I 3 S M ( s + kkp I M ( s s( s (s + N N( s s + 8 s + (k K s + k K. Ssvím Hrwizov mici dosnm 8 I H I (k k K P I K 8 k KP KP k 3 I P I I P k KP I o o P ( s ( s

118 8 Mmické modl nlinárních ssémů b H 8 I kkp 8 I (kkp 4I kk (k K P I P I kkp I (. (k K I P 3KP 4(3K P. Sbilní obls pro svilné prmr PI rgláor K P I j n obr..7. V nšm přípdě K * P 5 I* s j. nsvné hodno svilných prmrů rgláor PI lží v sbilní oblsi viz obr..7. * P Pro nsvné hodno svilných prmrů K 5 s lz n zákldě nrovnosi (. rči Hrwizův skor. Po doszní (. k H k dosnm I* * P K * I do k H (. 5 j. Hrwizův skor j ( 5. Obr..7 Sbilní obls pro svilné prmr PI rgláor K P I příkld.

119 Mmické modl nlinárních ssémů 9 Pro ověřní sbili rglčního obvod s čsově proměnno skorovo nlinrio [/ ] požijm krhové kriérim. Sřd kriické kržnic lží n záporné rálné poloos j dán vzhm (.97. Průběh Nqisov chrkrisik G(jω j n obr..73 dil jho důlžiější čási okolo kriického bod ( j kriické kržnic j n obr..74. Proož přnos G(s obshj jdn nsbilní pól s (p proo Nqisov chrkrisik G(jω msí obklopi kriický bod ( j (klsické Nqisovo kriérim kriicko kržnici půlkrá. J řb vzí v úvh ž Nqisov chrkrisik G(jω pro j nno spoji s záporno rálno polooso (zznčno čárkovně. Rglční obvod s nsbilní sosvo (.98 rgláorm PI pro K * P 5 I* s skorovo nlinrio [/ ] j globálně smpoick sbilní. Proož plí [viz (.9 (.] k A [ ]; k H [ ] ( 5 ( 5 rglční obvod j globálně smpoick sbilní j rovněž splněn Ajzrmnov hpoéz. Klmnov hpoéz nlz ověři z důvod nznámého průběh skorové nlinri [/ ]. Obr.. 73 Nqisov chrkrisik G(jω příkld.

120 Mmické modl nlinárních ssémů Obr..74 Dil Nqisov chrkrisik G(jω příkld. Přchodové chrkrisik rglčního obvod s nsbilní sosvo sřízného pro nominální hodno k 75 jso n obr..75. I kdž přchodové chrkrisik vkzjí znčné přkmi dochází k jjich poměrně rchlém sální. Obr..75 Přchodové chrkrisik rglčního obvod pro různé hodno k A příkld.

121 Mmické modl nlinárních ssémů Příkld.3 Pomocí krhového kriéri j řb ověři sbili nlinárního zpěnovzbního obvod Lrjho p n obr..7 pro k G ( s (. s( s + čsově proměnno skorovo nlinri [ ] pro prmr: k 5 s 4 5. Řšní: Proož linární čás (. obshj jdn nlový pól požijm rnsformci zpěnovzbního obvod v sold s obr..7 pro k 5. N zákldě vzhů (.89 (.9 dosnm G k G( s s( s + s + k ( kk G s + s( s + ( s + s + kk s k k 5; 4. k + s + f ( 45 f ( 4 k 5 Obr..76 rnsformc skor nlinri příkld.3

122 Mmické modl nlinárních ssémů Obr..77 Nqisov chrkrisik G (s příkld.3 Vzájmná poloh Nqisov chrkrisik kriické kržnic j n obr..77. Proož Nqisov chrkrisik vspj z kriické kržnic nní splněn posčjící podmínk globální smpoické sbili proo nlz o sbiliě či nsbiliě nlinárního zpěnovzbního obvod n obr..68 rozhodno. J zřjmé ž pokd zsopím zpěnovzbní nlinri zsílním k v rozsh k 4 5 zpěnovzbní obvod bd globálně smpoick sbilní. Bl provdn s n sbili s sgmnovo nlinrio (obr f ( sin( +. (.3

123 Mmické modl nlinárních ssémů 3 Obr..78 sovcí sgmnová nlinri příkld.3 Nlinární zpěnovzbní obvod při nlovém vsp do sočového zl pro libovolno počáční podmínk ingrčního čln nlinri (.3 j smpoick sbilní. Nproi om při konsnní hodnoě w vsp do sočového zl nlinární zpěnovzbní obvod j pro někré hodno v vzh (.3 sbilní pro jiné nsbilní. Sbilní j npř. pro hodno w nsbilní pro hodno npř. 7 d. Příkld.4 J dán rglční obvod s nlinrio p nscní n obr..79. Rglovná sosv j proporcionální s srvčnosí. řád k G ( s (.4 ( s + rgláor j proporcionální P přípdně ingrční I. J řb provés nlýz rglčního obvod z hldisk sbili pro K * P 5 přípdně I* 4 s k k s.

124 4 Mmické modl nlinárních ssémů w G R (s (s G S b B B k B B k Řšní: Obr..79 Rglční obvod: schém b nlinri p nscní příkld.4 Proporcionální rgláor P Přnos proporcionálního rgláor P j G ( s (.5 R K P kd K P j zsílní rgláor. Přnos linární čási [viz obr..79 vzh (.4] j dán vzhm G( s G K k P R ( s GS ( s. (.6 ( s + Nscní n obr..79b lz povžov z skorovo nlinri pro k j. ( k ]. J zjímvé ž o skorová nlinri nzávisí n hodnoě B. kd Kmiočový přnos linární čási získám z (.6 (j KPk G G( s RG(j + jim (j j j G (.7 s + P K k ( RG(j (.7b ( + 4

125 Mmické modl nlinárních ssémů 5 KPk ImG(j. (.7c ( + 4 Proož kmiočový přnos linární čási G (j j jdnodchý můžm Nqisov chrkrisik nčrno přibližně podl b..5 ssvné pro někré význčné úhlové kmioč viz obr..8. b..5 Nqisov chrkrisik pro rgláor P příkld.4 RG (j K P k ImG (j K P k Obr..8 Nqisov chrkrisik pro rgláor P příkld.4 Z obr..8 j zřjmé ž n zákldě krhového kriéri pro k nlz o sbiliě či nsbiliě rglčního obvod rozhodno. V skčnosi j rglční obvod globálně smpoick sbilní pro libovolno hodno B. Pln o z skčnosi ž krhové kriérim j poz

126 6 Mmické modl nlinárních ssémů posčjící podmínko. Bohžl hodno B má podsný vliv n kvli rglc. Přnos řízní z přdpokld linri j. dosčně vsoké hodno B j v sold s obr..79 dán vzhm kd G w K ( s ( s + k k P o (.8 + KPkk + ko + k o s + + k o s + ko KPk k (.8b j zsílní ovřného rglčního obvod. Z důvod rvlé rglční odchlk w w ( (.9 + k o bl zvoln hodno K P 5 k k. V omo přípdě rvlá rglční odchlk w ( j mnší nž % skokové změn žádné vličin w. Bohžl sočsně s projví vsoká kmivos proož koficin poměrného lmní [viz vzh (.8 j nízký 4. (. + k o N obr..8 jso pro hodno B 5; 5 zobrzn odzv rglčního obvod ( s rgláorm P n jdnokovo ( w skokovo změn žádné vličin w( w ( n obr..8b odpovídjící průběh vličin ( přd nscním. Vidím ž pokd B j mlé v srovnání s w dochází k ndorglování j. k núměrně vliké rvlé rglční odchlc w (. Při všší hodnoě B s vliv nscní n rglční pochod snižj. Z obr..8 vplývá ž nscní při proporcionální sosvě i rgláor procs sbilizj l zárovň zpomlj. Z hldisk rglc při isnci nscní j vhodné b vsoké zsílní vspovlo z nscním (npř. K P k 5 k jk o kzj obr..8 kd jso zobrzn odzv rglčního obvod ( ( s rgláorm P n jdnokovo skokovo změn ( w žádné vličin w ( w (. Odzv pro B 5 splývjí. Bohžl n vžd j o možné rlizov. Umísění vsokého zsílní přd nbo z nscním nmá žádný vliv n sbili rglčního obvod. k

127 Mmické modl nlinárních ssémů 7 Obr..8 Odzv rglčního obvod s rgláorm P příkld.4

128 8 Mmické modl nlinárních ssémů Obr..8 Odzv rglčního obvod s rgláorm P zsílním z nscním příkld.4

129 Mmické modl nlinárních ssémů 9 b Ingrční rgláor I Přnos ingrčního rgláor I j G R ( s (. s kd I j ingrční čsová konsn. kd I Přnos linární čási [viz obr..79 vzh (.4] j dán vzhm G( s G Po doszní k R ( s GS ( s. (. I s( s + s j dosnm kmiočový přnos k G(j RG(j + ImG(j (.3 + j ( I I k I RG(j (.3b 4 + ( k ( Im I G(j. (.3c [4 + ( ] Podobně jko v přdchozím přípdě pro význmné úhlové kmioč ssvím b..6 n jjím zákldě můžm ssroji přibližno Nqisov chrkrisiko viz obr..83. b..6 Nqisov chrkrisik pro rgláor I příkld.4 RG (j k k I I ImG (j

130 3 Mmické modl nlinárních ssémů b Obr..83 Nqisov chrkrisik pro rgláor I: clkový průběh b dil příkld.4 Z obr..83 vplývá ž z přdpokld linri j. dosčně vsoké hodno B z Nqisov kriéri sbili dosnm k k I. (.4 I Sbilní obls j kázán n obr..84. V nšm přípdě k s I* 4 s. Vidím ž hodno I* 4 s lží s dosčno rzrvo v sbilní oblsi.

131 Mmické modl nlinárních ssémů 3 Obr..84 Sbilní obls pro svilný prmr I rgláor příkld.4 Proož linární čás G(s obshj jdn nlový pól (rgláor I krhové kriérim nlz přímo poží. N obr..85 jso zobrzn průběh výspní vličin ( kční vličin ( přd nscním pro jdnokovo skokovo změn žádné vličin w( w ( ( w v závislosi n hodnoě B. Z obo obrázků j zřjmý záporný vliv B n kvli rglčního pochod dokonc n sbili. Při nízké hodnoě B vzhldm k skok žádné vličin w dochází k ndorglování d k vznik rvlé rglční odchlk w ( krá způsobí nomzný růs kční vličin ( přd nscním viz obr..85 pro B 5 d nsbili.