Matematická analýza II Osnova cvičení

Transkript

1 Mtemtická nlýz II Osnov cvičení Cvičení Rovinná křivk její průběh Křivk (prmetrizovná, hldká, regulární, sm sebe protínjící v nejvýše konečně mnoh bodech). Průběh křivky: první druhá derivce vektorové funkce. Monotonie, extrémy, konvexnost konkávnost. Tečný vektor tečn ke křivce..2 Konkrétní křivky Kružnice: x(t) = r cos t, y(t) = r sin t Elips: x(t) = cos t, y(t) = b sin t Cykloid: x(t) = r (t sin t), y(t) = r ( cos t) Epicykloidy, npř. krdioid (r = r 2 ): x(t) = r (2 cos t cos 2t), y(t) = r (2 sin t sin 2t) Hypocykloidy, npř. steroid (r = 4 r 2 ): x(t) = 4 r (3 cos t 4.3 Domácí cvičení + cos 3t 4 ), y(t) = 4 r (3 sin t 4. Odvoďte prmetrizci elipsy, cykloidy, krdioidy. sin 3t 4 ) 2. Ověřte, že steroid má tké prmetrizci x(t) = r cos 3 t 4, y(t) = r sin3 t 4 3. Odvoďte z prmetrického vyjádření implicitní rovnici: elipsy, steroidy. (U kružnice je to sndné, vychází x 2 + y 2 = r 2.) 4. Vyšetřete průběh těchto křivek: ) cykloid b) steroid. 5. Rozmyslete si následující definice tvrzení. Poznámk. Je třeb rozlišovt mezi křivkou K = {[x, y] R 2 ; x = x(t), y = y(t), t J} její prmetrizcí x = x(t), y = y(t), t J (stručně psáno x(t), t J). Vět. Nechť t 0 R lim x(t) = +, resp.. Potom přímk y = kx + q je symptotou t t 0 + křivky K pro x +, resp. x, nebo pro t t 0 +, jestliže pltí y(t) k = lim t t 0 + x(t) R, q = lim ( ) y(t) kx(t) R. t t 0 + Podobně pro t t 0 pro t nevlstní. Definice. Nechť t 0 R je bodem nespojitosti 2. druhu funkce y(t) tkovým, že lespoň jedn jednostrnná limit lim y(t), lim y(t) je nevlstní lim x(t) = x 0 R. Potom přímk t t 0 + t t 0 t t 0 + x = x 0 se nzývá vertikální symptot křivky K = {[x, y] R 2 ; x = x(t), y = y(t), t J}.

2 2 Cvičení Křivky v polárních souřdnicích Zvedení polárních souřdnic, převod mezi souřdnicemi polárními krtézskými. Převod mezi rovnicí křivky v polárních souřdnicích, prmetrickými rovnicemi, implicitní rovnicí. Návod n vyšetřování křivek v polárních souřdnicích. Průběh křivky zdné prmetrickými rovnicemi. Křivky v progrmu Geogebr: Příkld zdání: (sin(t), 2 cos(t)) 2.2 Konkrétní křivky Archimédov spirál: ϱ = φ, > 0 Krdioid: ϱ = 2r ( cos φ) 2.3 Osnov vyšetřování průběhu křivky Přípustné hodnoty prmetru t, periodičnost, průsečíky se souřdnicovými osmi. První derivce: body vrtu (extrémy funkce x(t)) body, v nichž. derivce neexistuje; monotonie, extrémy. Druhá derivce: inflexní body, konvexnost, konkávnost. Asymptoty: limit pro t t 0, přičemž t 0 hledáme tková, by pro t t 0 nstlo: ) y(t) ± (vertikální symptoty) b) x(t) ± (symptoty se směrnicí). Nčrtnutí grfu. 2.4 Domácí cvičení Vyšetřete průběh následujících křivek.. x(t) = ln t t 2, y(t) = t2 ln t 2. x(t) = t + e t, y(t) = 2t + e 2t 3. x(t) = t 3 t 2, y(t) = t(2 t2 ) 3 t 2 4. x(t) = t3 t 3 +, y(t) = 5. x(t) = t 2, y(t) = t 2 t2 t 3 + Průběh křivky z bodu 3 vyprcujte n smosttný ppír (řešení se bude odevzdávt n příštím cvičení). Vyšetřete průběh následujících křivek zdných v polárních souřdnicích.. ϱ(φ) = 2φ, φ 0, 2π) 2. ϱ(φ) = 2 ( cos φ), φ 0, 2π)

3 3 Cvičení Křivky v polárních souřdnicích Odvození rovnice elipsy v polárních souřdnicích pomocí kosinové věty. Je dán křivk: ϱ(φ) = 2 cos 2φ. Vyšetřete její průběh. 2. Její prmetrické rovnice jsou: x(t) = 2 cos 2t cos t, y(t) = 2 cos 2t sin t. Ukžte, že prmetrizce této křivky je tké: x(t) = t 2 + t2 + t 4, y(t) = t 2 t2 + t 4. Vidíme, že se v jedné prmetrizci vyskytují goniometrické funkce, v druhé všk ne. Jk je to možné? Ve sbírce Brtsch: Mtemtické vzorce si prolistujte kpitolu o křivkách. Jk se nzývá křivk vyšetřovná v předchozím bodě? 3.2 Tylorův polynom proximce funkce sinus Aproximce funkce y = sin x Tylorovými polynomy stupně, 3, 5, 7. y = x y = x x3 3! y = x x3 3! + x5 5! y = x x3 3! + x5 5! x7 7!

4 3.3 Aplikce Tylorov polynomu Rozviňte následující funkce do Tylorovy řdy (v bodě x 0 = 0, není-li uvedeno jink):. y = e x 2. y = sin x 3. y = cos x 4. y = ( + x) α, α R 5. y = ln ( + x) 6. y = ( ) + x 7. y = 8. y = ln 9. y = e x2 x x 2 x 0. y = cos x 2. y = cos x 2. y = + x 3. y = + x 2 4. y = 3 2x 5. y = e x 2, x 0, f(0) = 0 6. y = sin x v bodě x 0 = π 6 Vypočtěte se zdnou přesností:. e, , ln 2, 0 3 (2 způsoby) 4. sin, sin, cos 8, 0 3 střed 30 : 7. sin 33, sin 28, ,,2, 0 0., 0,8, 0 Pomocí Tylorov polynomu vypočtěte limity:. lim e x x 5. lim cos x x 2 9. lim cosh x cos x x 2 sin x 2. lim x 6. lim ( ( + x) ln( + x) 2. lim 5. lim x x 4 + 4x cos 3x cos 4x ( x sin x 3. lim sin x x ) x 3 0. lim e x cosh x sin x x 3 4. lim e x sin x x(x + ) x 3 cos x e x lim x 4 ) cos x e x lim x ln 2 ( + x 2 ) ( ) 6. lim x 2 cotg 2 x. lim cos x 2 x 2 sin x 2 4. lim + x 2 8. lim + x 7. lim xcotg x sinh 2 x x 2 + tg x + sin x ln( + 2x 3 ) [8. /8, 9., 0. /3,. /2, 2. /2, 3. /2, 4. /8, 5. /7, 6. 2/3, 7. /3]

5 3.4 Python 3 návod k použití Progrmovcí jzyk Python 3 je možno zdrm stáhnout z oficiálních stránek projektu (verze nebo vyšší). Progrmy mjí příponu.py, otevírjí se v editoru IDLE (je součástí instlce Pythonu): jeden klik prvým tlčítkem myši n soubor s příponou.py zvolit Edit with IDLE). Spuštění progrmu: F5. Stručný přehled zákldů Pythonu: zde v pdf Podrobnější přehled zákldů Pythonu: zde v pdf. Oficiální tutoriál pro zájemce: Progrm v jzyce Python 3: exponenciál # Tylorův polynom funkce y = e x def Tyl_exp(x, n): clen = Tyl_polyn = for k in rnge(, n+): clen = clen * x / k Tyl_polyn = Tyl_polyn + clen return Tyl_polyn print(tyl_exp(/2, 5)) Výstup z progrmu: Domácí cvičení. Vyšetřete průběh křivky ϱ(φ) = 2 cos 2φ splňte i dlší úkoly, které jsou u ní zdány. 2. Prolistujte si kpitolu o křivkách ve sbírce Brtsch (viz výše). 3. Z kpitoly Aplikce Tylorov polynomu : Rozviňte: 6, 3. Vypočtěte se zdnou přesností:, 4, 5. Limity: 3, Nemáte-li oblíbený jiný jednoduchý progrmovcí jzyk, tk se seznmte s jzykem Python 3. Co dělá prográmek uvedený v předchozí kpitole?

6 4 Cvičení Zákldní Tylorovy rozvoje e x = + x + x2 2! + x3 3! + x4 4! + x R sin x = x x3 3! + x5 5! x7 7! + x R cos x = x2 2! + x4 4! x6 6! + x R ln( + x) = x x2 2 + x3 3 x4 + x (, 4 ( ) ( ) ( ) ( ) α α α α ( + x) α = + x + x 2 + x 3 + x 4 + x (, ), α R Progrm v jzyce Python 3: výpočet ln 2 # Výpočet ln 2 pomocí Tylorov polynomu soucet = 0 for k in rnge(, 000): soucet = soucet + (-)**(k-) / k print(soucet) Výstup z progrmu: Tylorovy rozvoje dlších funkcí Rozviňte následující funkce do Tylorovy řdy se středem v bodě x 0 = 0.. y = sinh x 2. y = cosh x 3. y = rctg x pouze po člen obshující x 3 : 4. y = rcsin x 5. y = tg x Rozvoj funkce rcsin odvoďte dvěm způsoby:. Newtonovou metodou inverze řdy invertujte Tylorovu řdu funkce sinus. 2. Jelikož je (rcsin x) =, rozviňte funkci ( x 2 x2 ) /2 tuto řdu zintegrujte. 4.4 Výpočet π pomocí Tylorov rozvoje Nvrhněte výpočet proximcí π pomocí rozvoje rctg do mocninné řdy.. Kolik členů bychom museli sečíst, bychom získli hodnotu s chybou menší než 0 3? 2. Npište progrm (Python 3, Pscl, C, C#), který sečte příslušné množství členů. 3. Dokžte, že rctg 2 +rctg = rctg. Využijte této identity k odvození rozvoje, pomocí 3 něhož lze počítt proximce čísl π efektivněji. 4. Pro zjímvost: rctg = 2 rctg 3 +rctg 7 rctg = 4 rctg 5 rctg Npište progrm, který vypočte proximci π s chybou menší než 0 6 n zákldě uvedeného rozkldu rctg = 4 rctg 5 rctg 239.

7 4.5 Domácí cvičení. Připrvit se n písemnou práci vyšetření průběhu křivky (zdná prmetricky nebo v polárních souřdnicích). 2. Z kpitoly 3.3 Aplikce Tylorov polynomu : Rozviňte: vše. Vypočtěte se zdnou přesností: vše. Limity: Z kpitoly 4.: je třeb znát všechny tyto rozvoje. 4. Z kpitoly 4.2: zkoušet si psát smosttně tkovéto jednoduché prográmky. 5. Z kpitoly 4.3: Z kpitoly 4.4: vše. 5 Cvičení Písemná práce: vyšetření průběhu křivky (zdná prmetricky nebo v polárních souřdnicích). Písemná práce: Tylorův polynom jeho plikce plánován n cvičení. 4. /

8 5. Domácí cvičení. Z kpitoly 3.3 Aplikce Tylorov polynomu limity: vše. 2. Z kpitoly 4.3: N cvičení přineste své vypočtené příkldy k témtu Tylorův polynom jeho plikce. 4. Ověřte, že funkce e : R R + definovná předpisem ( e(x) = lim + x n + n vyhovuje podmínkám: ) n e(x + y) = e(x) e(y) x, y R, e(x) lim =. x 6 Cvičení Njděte Tylorův rozvoj funkce sinus tk, jk to provedl koncem 7. století Isc Newton: inverzí rozvoje funkce rcsin získného pomocí binomického rozvoje funkce y = x 2 (viz kp. 4.3). Některé efektivní metovy výpočtu desetinného rozvoje čísl π. - rozkld rctg - BBP formule (podle utorů: Byley, Borwein, Plouffe) objevená v říjnu 995: π = n=0 ( 4 8n + 2 8n + 4 8n + 5 ) 8n n print("výpočet pí pomocí BBP-formule.") pi = 0 for n in rnge(0, 2): pi += ( 4/(8*n+) - 2/(8*n+4) - /(8*n+5) - /(8*n+6) ) / 6**n print(n, "\t", pi) Dokončení kpitoly Tylorův polynom. Čtení pro zájemce: Eulerovo Introductio in nlysin infinitorum (748), kpitol 8 o goniometrii (dostupný je tké nglický překld) - n těchto stránkách je mnoho dlších překldů: Tylorův polynom test:./2. dubn Domácí cvičení. Zopkovt si tbulku primitivních funkcí k elementárním funkcím (Tomiczek, str. 80). 2. Ze souboru primit_fce.pdf počítt: vše ze str., tj. příkldy, 2, 3, 4.

9 7 Cvičení Hledání primitivních funkcí: per-prtes jednoduché substituce. 7. Domácí cvičení. Ze souboru primit_fce.pdf počítt si příkldy 5, 6, 7, 8 g. 2. Opkovt si n test: Tylorův polynom./2. dubn. 8 Cvičení Písemná práce: Tylorův polynom jeho plikce. Hledání primitivních funkcí: per-prtes jednoduché substituce. Oprvný termín písemné práce Tylorův polynom: úterý 2. květn v 3: Domácí cvičení. Ze souboru primit_fce.pdf si počítt příkldy 8h s, dále n str. 4 5 příkldy g l, s, v, x. 9 Cvičení Integrce rcionálních funkcí. 9. Domácí cvičení. Ze souboru primit_fce.pdf si počítt příkldy n str. 4 5: f, m r, t, u, w. Návody je třeb si rozmýšlet smosttně kždý z nich by měl být zřejmý n zákldě probrné teorie. 2. Njděte primitivní funkci k funkci +x 4, tj. njděte neurčitý integrál dx + x 4. Kořeny polynomu ve jmenovteli njděte stndrdním postupem řešení binomické rovnice x 4 =. Využívejte přitom goniometrického tvru komplexních čísel. 3. Problém: víme, že dx x 2 + = rctg x. Je všk zřejmé, že x 2 + = (x + i) (x i). Kdybychom tedy tuto rcionální funkci rozložili n prciální zlomky, které bychom pk integrovli, co bychom dostli? Byl by to opět funkce rctg? dx (x + i) (x i) =? 0 Cvičení Eulerovy substituce hyperbolické substituce 2. goniometrické substituce

10 Oprvný termín písemné práce Tylorův polynom: úterý 2. květn v 0:30 v učebně M6. Pro ty, kteří v 0:30 nemohou, pltí termín: 3:00 u mne v prcovně (Křižíkov, 4. ptro). 0. Domácí cvičení V souboru sbirk.pdf si n str. 4 6 počítt příkldy: 0 c, d, e, f, g;, b, c, d, g; 2 i, k, l; 3 i, j, k, l. Cvičení Opkování: hledání primitivních funkcí 2. Obshy rovinných útvrů dlší plikce Riemnnov integrálu Místo večerníčku: zákldní myšlenky diferenciálního integrálního počtu. Numerická integrce.. Výpočet π 0 sin x dx obdélníkovou metodou Výpočet obshu plochy pod obloukem sinusovky: π print( Integrál sinu od do b obdélníkovou metodou. ) import mth = 0 b = mth.pi N = 0**6 # intervl <, b> dělíme n N dílů 0 sin x dx.

11 delt = (b - ) / N integ = 0 # sčítáme obshy obdélníků # zákldn = delt, výšk = funkční hodnot ve středu dělicího intervlu for k in rnge(0, N): integ += delt * mth.sin(delt/2 + k*delt) print( integrál od,, do, b, je přibližně roven:, integ) Výstup z progrmu: Integrál sinu od do b obdélníkovou metodou. integrál od 0 do je přibližně roven: Výpočet f obdélníkovou metodou Výpočet obshu jednotkového kruhu: π = 4 0 x 2 dx. Následující progrm je sndno modifikovtelný, stčí předefinovt funkci f při volání funkce integrl zvolit poždovné meze integrce. Počet elementů dělení N je nepovinný prmetr. # Numerická integrce: výpočet f obdélníkovou metodou def f(x): return ( - x*x)**(/2) def integrl(f,, b, N=0**6): delt = (b - ) / N integ = 0 for k in rnge(n): integ += delt * f(delt/2 + k*delt) return integ print( obsh kruhu o poloměru :, 4 * integrl(f, 0, ) ) Výstup z progrmu: obsh kruhu o poloměru : Domácí cvičení V souboru sbirk.pdf si n str. 6 počítt příkldy: 3 m z. Ověřte integrcí: 3x (x 2 2x + 2) 3 dx = 3 4 rctg (x ) x3 9 x x (x 2 2x + 2) 2. Riemnnův integrál jsme n cvičení počítli pomocí Riemnnových součtů (ručně nebo pomocí počítče). Čsto je pohodlnou cestou je využít souvislosti s primitivními funkcemi: (R) f = F (b) F ().. Odvoďte vzorec pro obsh kruhu (y = r 2 x 2 ).

12 2. Odvoďte vzorec pro obsh elipsy. 3. Odvoďte vzorec pro objem koule (rotuje y = r 2 x 2 ). 4. Odvoďte vzorec pro objem kuželu. 5. Vypočtěte obsh rovinného obrzce ohrničeného osou x jedním obloukem cykloidy (x(t) = r (t sin t), y(t) = r ( cos t)). [3πr 2 ] 6. Vypočtěte délku steroidy (x(t) = r cos 3 t, y(t) = r sin 3 t). [6r] 7. Archimédés dokázl, že objem úseče rotčního prboloidu je polovinou objemu jemu opsného válce (má s úsečí společnou podstvu i osu). Podří se Vám tento výsledek odvodit pomocí Riemnnov integrálu? 2 Cvičení Pokuste se dokázt rovnost ( rgsinh x = ln x + ) x 2 + dx přímo z definice funkce sinh x, tj. ne vypočtením integrálu dvěm způsoby x 2 + (jedn z Eulerových substitucí; hyperbolická substituce 2. vět o substituci). N zákldě nlýzy horních dolních (Drbouxových) integrálních součtů rozhodněte, { pro x Q zd existuje Riemnnův integrál (R) χ Q. Funkce χ Q = je tzv. 0 0 pro x Q chrkteristická funkce množiny Q. Obsh kruhu: definice π, ZŠ (krájení koláče), SŠ (obshy opsných vepsných mnohoúhelníků), VŠ (pomocí integrálu). 2. Cvlieriho princip Cvlieriho princip (vrint pro útvry v rovině): Jsou dány dv útvry v rovině. Existuje-li v této rovině přímk p tková, že si jsou vždy délky řezu jedním druhým útvrem rovny pro kždou přímku rovnoběžnou s p, mjí útvry stejný obsh. Cvlieriho princip (vrint pro útvry v prostoru): Jsou dány dv útvry v prostoru. Existuje-li v tomto prostoru rovin ϱ tková, že si jsou vždy obshy řezu 2 jedním druhým útvrem rovny pro kždou rovinu rovnoběžnou s ϱ, mjí útvry stejný objem. Zobecnění Cvlieriho principu (vrint pro útvry v rovině): Jsou dány dv útvry v rovině. Existuje-li v této rovině přímk p tková, že pro kždou přímku p rovnoběžnou s p nstává právě jedn z následujících možností: - je-li průnik p s jedním útvrem prázdný, je tké prázdný průnik p s druhým útvrem, - je-li průnik p s jedním útvrem neprázdný, je tké neprázdný průnik p s druhým útvrem poměr délky řezu jedním útvrem délky řezu druhým útvrem je v tkovém přípdě vždy roven jediné generální konstntě k > 0. Potom mjí tyto dv útvry stejný obsh. Je-li řezem prázdná množin, povžujeme jeho délku z nulovou. 2 Je-li řezem prázdná množin, povžujeme jeho obsh z nulový.

13 Formulce Cvlieriho principu pro útvry v rovině uprvená tk, by ji bylo možno sndno dokázt pomocí Riemnnov integrálu: Jsou dány dv útvry v rovině: U = {[x, y] R; x b, f (x) y f 2 (x)}, U 2 = {[x, y] R; x b, g (x) y g 2 (x)}, kde f, f 2, g, g 2 C(, b ). Jsou-li si délky vertikálních řezů rovny pro kždé x, b, tj. f 2 (x) f (x) = g 2 (x) g (x) x, b, mjí tyto útvry stejný obsh, tj. S(U ) = S(U 2 ). Důkz: S(U ) = f 2 f S(U 2 ) = g 2 ( g. Díky lineritě Riemnnov integrálu u(x) dx v(x) dx = ( ) ) u(x) v(x) dx rovnosti délek řezů, tzn. f 2 (x) f (x) = g 2 (x) g (x) pro kždé x, b, lze psát: S(U ) = f 2 f = (f 2 f ) = (g 2 g ) = g 2 Obsh elipsy pomocí Cvlieriho principu (s využitím nlytické geometrie). g = S(U 2 ). Objem jehlnu (zmínk o 3. Hilbertově problému). Objem kuželu odvození pomocí Cvlieriho principu: porovnání s prvidelným čtyřbokým jehlnem, jehož podstvu tvoří čtverec o strně délky πr. Objem koule pomocí Cvlieriho principu: válec o poloměru podstvy r výšce 2r = koule o poloměru r + dv kužely o poloměru podstvy r výšce r. Obshy řezů ve vzdálenosti v od hldiny ve výšce r: πr 2 = π(r 2 v 2 ) + πv 2. Obshy řezů jsou si rovny, tudíž dle Cvlieriho principu jsou si rovny i objemy těles: V válec = V koule + 2 V kužel, πr 2 2r = V koule πr2 r, V koule = 4 3 πr3.

14 2.2 Aplikce Riemnnov integrálu Obsh plochy pod grfem nezáporné funkce f n intervlu, b (tj. plochy ohrničené zdol osou x, shor grfem funkce f, zlev přímkou x = zprv přímkou x = b) je: S(f;, b) = Odvoďte vzth pro obsh plochy S(f;, b), je-li spojitá nezáporná funkce y = f(x) zdán prmetricky: x = x(t), y = y(t), t α, β, kde funkce x(t) y(t) jsou spojité n, b, x(t) ryze monotónní, x (t) spojitá, y(t) nezáporná, x(α) =, x(β) = b: S(f;, b) = β α f. y(t) x (t) dt. Odvoďte vzth pro obsh plochy ohrničené křivkou zdnou v polárních souřdnicích r = r(φ), φ α, β přímkmi procházejícími počátkem, které s polární poloosou svírjí úhel α β: S(ϱ;, b) = 2 β α ϱ 2 (φ) dφ. Vypočtěte obsh oblsti ohrničené krdioidou (ϱ = 2r ( cos φ)). [6πr 2 ] Vypočtěte délku krdioidy. Vypočtěte délku jednoho oblouku cykloidy. [6r] [8r] Odvoďte vzorec pro povrch koule. Odvoďte vzorec pro objem kulové úseče. Odvoďte vzorec pro obsh kulového vrchlíku. Odvoďte vzorec pro obsh pláště kuželu. Sestvte Riemnnův integrál, pomocí něhož by bylo možno vypočítt délku elipsy. Leží primitivní funkce k integrndu v oboru elementárních funkcí? Vypočtěte souřdnice těžiště následujících útvrů:. trojúhelník ABC, kde bez újmy n obecnosti: A = [0, 0], B = [b, 0], C = [c, c 2 ], 2. půlkruh, 3. útvr ohrničený jedním obloukem cykloidy osou x, 4. útvr ohrničený jedním obloukem steroidy oběm souřdnicovými osmi. 3 Cvičení rektorský den, středeční cvičení odpdá ( přednášk bohužel tké) úterní cvičení se normálně koná (nudit se rozhodně nebudeme ) Poměrně obsáhlý přehled vzorců plikce Riemnnov integrálu: pdf 3. Domácí cvičení (pro obě skupiny) Propočítt si všechny příkldy z kpitol 2.

15 4 Cvičení Nevlstní Riemnnův integrál (zobecněný Riemnnův integrál) Zákldním předpokldem konstrukce Riemnnov integrálu f je omezenost f n uzvřeném (tj. omezeném) intervlu, b. Není-li některý z těchto dvou předpokldů splněn, je z jistých předpokldů možno definici Riemnnov integrálu rozšířit. Integrál nevlstní vlivem meze Je-li f :, + ) R riemnnovsky integrovtelná n kždém intervlu, β pro kždé β (, + ) existuje-li vlstní limit f(x) dx, pk tuto limitu nzveme lim t + nevlstním (Riemnnovým) integrálem funkce f n intervlu, + ) zpisujeme ji f(x) dx. + + f(x) dx := lim t + t t f(x) dx. Integrál nevlstní vlivem funkce Nechť pro funkci f :, b) R pltí: - není n žádném levém prstencovém okolí bodu b omezená, - je riemnnovsky integrovtelná n kždém intervlu, β pro kždé β (, b), t - existuje vlstní limit lim t b f(x) dx. Potom tuto limitu nzveme nevlstním (Riemnnovým) integrálem funkce f n intervlu, b) zpisujeme ji f(x) dx. f(x) dx := lim t b t f(x) dx. Vypočtěte následující nevlstní integrály. + ) dx b) dx c) x2 x 0 + dx + + x 2 d) x dx Pro která α R existují pro která konvergují následující nevlstní integrály? + ) dx b) xα x α dx 0 Zápočtové písemné práce Je třeb splnit 3 dílčí písemné práce (křivky, Tylor, integrály). Kždou z těchto písemných prcí je možno splnit zvlášť. V zápočtovém týdnu je vypsán speciální termín, v němž je možno si splnit kteroukoli ze tří částí. Dlší možností je psát kteroukoli z těchto částí v rámci zkouškového termínu. Vzhledem k tomu, že látk je z velké části změřen n počítání, mohou být součástí zkoušky konkrétní příkldy, n nichž je teorie demonstrován. Neúspěšně řešené příkldy z kterékoli ze tří dílčích zápočtových prcí bude třeb u zkoušky doplnit.