NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží."

Transkript

1 NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Bylo uvedeno, že rozdíl F (b) F () funkčních hodnot primitivní funkce k f má jistý geometrický smysl, to velikost plochy mezi osou x grfem f n intervlu (, b) (pro nezápornou spojitou funkci). Později se ukáže, že má tento rozdíl mnoho jiných plikcí pro zjišt ování globální hodnoty pomocí součtu mličkých nekonstntních hodnot. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu: Ploch pod první částí grfu funkce se bere s kldným znménkem, ploch nd druhou částí se záporným. Získá se celková elektrická náročnost. Proto je pro počítání ploch podobných záležitostí vhodná následující definice, kde se n rozdíl od geometrické interpretce nepředpokládá, že f je spojitá nezáporná. 1

2 Definice je vhodná pro integrci funkcí, které mjí primitivní funkci. Tím jsou vynechány jednoduché funkce typu signum, monotónní funkce se skoky pod. V dlší kpitole bude proto uveden znčně obecnějsí definice. Výpočet těchto obecnějších integrálů bývá le většinou sveden k výpočtu integrálů z této kpitoly (nebo jsou použity nějké triky). Proto je následujícímu speciálnímu integrálu věnován větší pozornost. DEFINICE. DEFINICE URČITÉHO INTEGRÁLU Necht funkce f je definován n intervlu (, b) jsou splněny následující tři podmínky: 1. f má n (, b) primitivní funkci F ; 2. existují lim x + F (x) = F ( + ), lim x b F (x) = F (b ); 3. rozdíl F (b ) F ( + ) má smysl. Pk se rozdíl F (b ) F ( + ) nzývá Newtonův integrál funkce f n (, b). Znčení b F (b ) F ( + ) = (N) f(x) dx, kde se nzývá dolní mez b horní mez integrálu. Rozdíl F (b ) F ( + ) se čsto znčí symbolem [F (x)] b x= nebo jen [F (x)] b, [F ] b,. Dále se formálně definuje b (N) f(x) dx = (N) f(x) dx, pro b >, b c (N) f(x) dx = pro libovolné c. c V této kpitole budou probírány jen Newtonovy integrály, proto bude slovo,,newtonův" písmeno,,n" u integrálu někdy vynecháváno. N rozdíl od neurčitého integrálu z kpitoly o primitivních funkcích se tento integrál nzývá určitý, protože jeho hodnotou není množin funkcí, le jedno určité číslo. Předchozí definice říká, kdy má integrál smysl. Jeho hodnot může být i nevlstní. Pokud je hodnot b f(x) dx vlstní, říká se, že integrál konverguje. Množin všech funkcí, které mjí konvergentní integrál n intervlu (, b), se znčí N(, b). POZOROVÁNÍ. Necht existuje b f(x) dx. 2

3 Jestliže c < d b, pk existuje d c f(x) dx. Jestliže < c < d < b, pk f N(c, d). Pro kždé c (, b) je Pro kždé x (, b) je b c b f(x) dx = f(x) dx + f(x) dx c d dx x f(t) dt = f(x). Z kpitoly o primitivních funkcí je známo, že kždá spojitá funkce n intervlu tm má primitivní funkci (viz větu o konstrukci primitivní funkce). Následující tvrzení popisuje jednoduché přípdy, kdy nvíc existuje i integrál. VĚTA. (Integrál spojité funkce) 1. Kždá spojitá omezená funkce n omezeném intervlu náleží do N(, b). 2. Kždá spojitá nezáporná funkce f n intervlu (, b) má integrál b f(x) dx ( ten je nezáporný). Důkz. Necht F je primitivní funkce k f n (, b) (t existuje). Zbývá ukázt, že existují limity F v krjních bodech rozdíl těchto limit má smysl. To je zřejmé, pokud je f spojitá n [, b] (pk je i F spojitá n [, b]). Pro důkz prvního tvrzení stčí dokázt, že existuje vlstní lim F (x) (pro bod b je důkz obdobný), což x + znmená, že pro libovolnou posloupnost x n z (, b) klesjící k je posloupnost {F (x n )} cuchyovská. To vyplývá z věty o střední hodnotě: F (x n ) F (x m ) sup{ f(x) ; x (, b)} x n x m. Důkz je též sndný pro druhé tvrzení, nebot F je neklesjící (její derivce je nezáporná) tedy má limity v krjních bodech, což je supremum, resp. infimum, hodnot F tedy i jejich rozdíl má smysl je nezáporný. Nyní bude upřesněn geometrická interpretce z kpitoly o primitivních funkcích. VĚTA. (Newton versus Riemnn) Necht f je spojitá funkce n kompktním intervlu [, b] pro kždé n N je zvoleno nějké rozdělení = x < x 1,n <... < x kn,n = b intervlu [, b] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n. Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je k n b lim f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) = f(x) dx. n i=1 Důkz. Necht ε je libovolné kldné číslo. Podle věty o stejnoměrné spojitosti funkce n kompktním intervlu existuje n N tk, že f(x) f(y) < ε jkmile x y < 1/n x, y [, b]. Nyní se vezme libovolné rozdělení = x < x 1,m <... < x km,m = b popsné ve znění věty, které má délky intervlů nejvýše 1/n. 3

4 V motivčním úvodu bylo ukázáno, že b f(x) dx = k m i=1 f(c i )(x i,m x i 1,m ) pro nějké body c i (x i 1,m, x i,m ) (uvědomte si, že předpokld nezáporné funkce byl v motivci použit jen n geometrické znázornění ploch, nikoli n výpočet sumy). Pltí tedy b f(x) dx k m f(c i,m )(x i,m x i 1,m ) i=1 k m f(c i ) f(c i,m ) (x i,m x i 1,m ) ε(b ). i=1 Příslušné obdélníčky n obrázku odpovídjí k n f(c i,n )(x i,n x i 1,n ). i=1 Pro nespojité funkce nemusí chrkterizce v předchozí větě pltit, le přesto může limit uvedených součtů existovt. Tímto způsobem se dá definovt jiný druh integrálu (tzv Riemnnův, viz Poznámky). Poznámky 1: 1. Uvědomte si, že určitý integrál je číslo (možná závislé n prmetru). kdežto neurčitý integrál je množin funkcí. Tto skutečnost je nznčen slovy,,určitý",,neurčitý". Je zřejmé, že v oznčení integrálu není důležité jk je oznčen proměnná, tj., b f(x) dx = b f(t) dt pod. Pokud nemůže dojít k omylu, může se proměnná vynecht píše se jen b f. Stejně tk nehrje roli, jestli je f definován v krjních bodech nebo ne, pokud no, zd je tm spojitá. 4

5 V krjních bodech jsou potřeb jen limity. 2. Newtonův integrál b f neexistuje (neboli nemá smysl), jestliže bud f nemá n (, b) primitivní funkcí, nebo tm má primitivní funkci F, le t bud nemá limitu v jednom z krjních bodů, nebo tyto limity existují jejich rozdíl nemá smysl (tj. limity jsou nevlstní se stejnými znménky). Všechny tyto přípdy mohou nstt. U spojité funkce f nemůže nstt první přípd. 3. Vlstnost b f(x) dx = c f(x) dx + b cf(x) dx se nzývá ditivní vlstnost integrálu. Indukcí lze tvrzení dokázt pro konečně mnoho sčítnců (n konečně mnoh disjunktních intervlech pokrývjících (, b) ž n konečně mnoho bodů). 4. Geometrický popis integrálu dává možnost jk definovt plochu nějkých oblstí v rovině, to množin bodů, které se ncházejí mezi osou x grfem funkce. Protože integrál ze záporné funkce je záporné číslo, ploch uvedené množiny je integrál z bsolutní hodnoty dné funkce. Odečítáním lze počítt plochy mezi grfy dvou funkcí. 5. Riemnnův integrál. Necht funkce f je definován n kompktním intervlu [, b]. Jestliže vždy existuje limit součtů ve větě o geometrickém popisu integrálu, nzývá se tto limit Riemnnův integrál funkce f n [, b], znčení (R) b f(x) dx. Uvedené součty se nzývjí Riemnnovy součty. Dokázná vět říká, že pro spojité funkce existují Newtonův i Riemnnův integrál jsou si rovny. Existují všk funkce, které mjí jeden integrál nemjí druhý. Pokud má funkce ob integrály, jsou si rovny. Z definice Riemnnov integrálu je vidět, že ji lze jen výjimečně použít k výpočtu integrálu. Nvíc v této definici vznikjí problémy, pokud f není definován v krjních bodech, nebo je neomezená, nebo celý intervl je neomezený. Proto bude v dlším textu pro výpočet integrálu používán jen Newtonův integrál. Nicméně je dobré mít n pměti přístup k integrálu přes Riemnnovy součty, protože ty dávjí návod, jk integrál používt v plikcích (viz kpitolu o plikcích integrálu). V definici Riemnnov integrálu lze změnit způsob konvergence dostne se velmi obecný integrál, který nezávisle popsli Kurzweil Henstock v letech Známější je Lebesgueův integrál, který je obecnější než Riemnnův speciálnější než Kurzweilův integrál. Existují funkce, které mjí Newtonův integrál nemjí Lebesgueův integrál obráceně. Zmíněné obecné integrály lze sestrojit i pomocí zobecněných primitivních funkcí (viz následující kpitol). Konec poznámek 1. 5

6 Příkldy 1: 1. Spočtěte pomocí definice: π sin x dx = 2, e x dx = 1, xe x2 dx = 1 2, e x π/2 cos(bx) dx = 2 + b 2 pro >, cos x cos 3 x dx = 4 π/ Pomocí derivce integrálu spočtěte d dx x e t dt, s d dx cos x sin x cos(πt 2 ) dt, lim x + x cos t2 dt x, lim x + x tg t dt tg x. sin t dt Ukžte, že je-li f kldná spojitá funkce n [, + ), je následující funkce proměnné y rostoucí: y xf(x) dx y. f(x) dx 3. Spočtěte plochu mezi grfem funkce x 3 4x osou x n intervlu ( 2, 2) plochu mezi grfy funkcí x 2, 2x 1 n intervlu (, 2). 4. Zkuste spočítt x 2 dx pomocí limity Riemnnových součtů. Konec příkldů 1. Otázky 1: 1. Zjistěte, zd existují Newtonovy integrály z následujících funkcí: 1. sign x n ( 1, 1); 2. cos x x 2 n (, 1); 3. x n (, + ); 4. 1 x2 n ( 1, 1). Existují Riemnnovy integrály z předchozích 4 funkcí, použijeme-li příslušné uzvřené intervly, pokud je to možné? 2. Zjistěte u následujících funkcí, zd existují Newtonův i Riemnnův integrál nebo jen jeden, nebo žádný. 1. Dirichletov funkce n [, 1]; 2. Riemnnov funkce n [, 1]; 3. sign x n [ 1, 2]; 4. f n [, 1], kde f() =, f(x) = ( 1) n pro x (1/n + 1, 1/n], n N; 5. f() =, f(x) = sin(1/x) pro x > n [, 1]. 3. Uved te příkld spojité nezáporné funkce n (, 1), která tm má nevlstní Newtonův integrál. Uved te příkld spojité omezené funkce n (, + ), která tm má nevlstní Newtonův integrál. Uved te příkld spojité neomezené funkce n (, 1), která tm má vlstní Newtonův integrál. 4. Ukžte, že ve větě o existenci integrálu lze předpokld spojitosti funkce nhrdit předpokldem existence primitivní funkce. 5. Zformulujte dokžte tvrzení o ditivitě integrálu pro libovolný konečný počet integrálů. 6. Uved te příkld, že rovnost tvrzení o ditivitě integrálu nepltí, předpokládá-li se pouze, že má prvá strn smysl. 7. Uved te příkld spojité funkce f n (, b), která tm nemá Newtonův integrál, le má vlstní Newtonovy integrály d c f(x) dx pro libovolná c, d (, b). 8. Je-li f lichá f existuje, pk f =. Ukžte, že bez předpokldu o existenci integrálu nemusí tvrzení pltit že nestčí předpokládt, že f má primitivní funkci. 6

7 Je-li f sudá f existuje, pk f = 2 f. Ukžte, že nestčí předpokládt existence f (stčí, pokud je f vlstní nebo pokud má f primitivní funkci). Konec otázek 1. Cvičení 1: Příkld. Spočtěte Řešení. Pomocí definice spočteme π sin x dx. π sin x dx = [ cos x] π = lim ( cos x) lim x π ( cos x) = 2. x + Tdy se už nikdo nikoho neptá, jk se počítjí limity, pozná spojitost, hledá primitivní funkce sčítjí celá čísl.... SORRY. Příkld. Dokžte, že Riemnnov funkce má Riemnnův integrál n intervlu [, 1]. Řešení. Necht je dáno ε (, 1). Pouze v konečně mnoh "zlobivých" bodech intervlu [, 1] je Riemnnov funkce větší než ε/2. Oznčme si jejich počet k. Zjevně k >. Zvolme n tk mlé, by 2kn < ε/2. Vezměme rozdělení = x < x 1,n <... < x kn,n = 1 intervlu [, 1] tkové, že délky jednotlivých intervlů nepřeshují 1/n. Pk pro libovolně zvolená čísl c i,n [x i 1,n, x i,n ] je lim n k n i=1 f(c i,n )(x i,n x i 1,n ) < ε. PROČ? 7

8 Jsně. N intervlech neobshujících "zlobivé" body je funkce nejvýš rovn ε/2, to v součtu přes intervl [, 1] dá nejvýš ε/2. N intervlech obshujících "zlobivé" body je funkce nejvýš rovn 1, to v součtu přes mximálně 2k intervlů šířky nejvýš 1/n dá nnejvýš 2kn < ε/2, jk jsme si chytře zřídili. Dokázli jsme, že k ε jsme nšli n tk, že příslušný součet uvžovný v limitě leží v intervlu (, ε). A to je nulová limit jko Brno. A ten integrál je si nulový. Příkld. Oznčme Spočtěte S n = 1 n n n. lim S n. n 8

9 Řešení. Npíšeme S n = 1 n n k= k n vidíme, že se jedná o riemnnovský součet příslušný funkci n intervlu [, 1] při dělení n n dílků. Tedy podle věty Newton versus Riemnn pltí lim n S n = 1 f(x) = x x dx = [log(1 + x)]1 = log 2. Tedy, když zdvojnásobíme počet sčítnců v divergentní hrmonické řdě, zvedne se částečný součet si o log 2. Příkld. Spočtěte lim x x cos t2 dt x. Řešení. Funkce v čitteli i jmenovteli splňují předpokldy l Hospitlov prvidl typu /. Můžeme tedy počítt lim x x cos t2 dt x l H = cos x 2 lim x 1 = 1. Nebát se počítt. Příkld. Spočtěte d dx ( x 2 ) 1 + t 2 dt. Řešení. Necht F je primitivní funkce k f. Uvědomme si, že b f(t) dt = [F (t)] b = F (b) F (). 9

10 Tedy d db ( ) b f(t) dt = f(b). Podobně ϕ(x) f(t) dt = [F (t)] ϕ(x) = F (ϕ(x)) F (). Tedy podle věty o derivování složené funkce ( ) d ϕ(x) f(t) dt = f(ϕ(x))ϕ (x). dx V nšem přípdě Konec cvičení 1. d dx ( x 2 ) 1 + t 2 dt = 1 + x 4 2x. Učení 1: 1 x dx? = x2 2. Hnb!!! 1 x dx C = 1 2? 1

11 Až n konstntu? sin x dx = ±1. Primitivní funkce tkhle osciluje, le integrál to nedává... rcsin x dx =... 11

12 Definiční obor již pokořil nejednoho zálesák. Konec učení 1. Definice integrálu dává i návod, jk integrál počítt. VLASTNOSTI URČITÉHO INTEGRÁLU Zjistí se primitivní funkce, spočtou se její limity v krjních bodech jejich rozdíl je hledný integrál. Jk je vidět z předchozí kpitoly, čsto je třeb při výpočtu primitivní funkce používt mnoh substitucí pk je nutné se vrcet pomocí inverzních funkcí k původní proměnné těchto substitucí. Nebo při několik použitích integrce po částech se ve výsledku může hromdit mnoho funkcí. Následující vlstnosti určitých integrálů nznčují jiný možný postup, totiž, že není třeb se vrcet při substituci k výchozí proměnné, nebo při integrci po částech lze spoň průběžně doszovt některé hodnoty zkrcovt tím zápis. Který z uvedených dvou postupů je lepší, není možné obecně stnovit. Volb postupu závisí n zkušenosti řešitele. Následující vlstnosti budou uvedeny jen pro přípdy, kdy je Newtonův integrál vlstní. Obecnější přípdy budou zmíněny v Poznámkách. VĚTA. (Vlstnosti Newtonov integrálu) 1. Jestliže f, g N(, b), α, β R, pk αf + βg N(, b) pltí. b b b (αf + βg) = α f + β g 12

13 2. Necht c (, b). Náleží-li f do N(, c) i do N(c, b) je spojitá v bodě c, pk f N(, b) b c b f = f + f c. 3. Je-li g, h N(, b) h f g n (, b) f má primitivní funkci n (, b), pk f N(, b) b b b h(x) dx f(x) dx g(x) dx. 4. Je-li f N(, b), je b f(x) dx = lim bn n n f(x) dx, kde n b n b lim n =, lim b n = b. 5. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, g resp., n (, b). Potom b b F g = [F G] b fg dx, jestliže prvá strn má smysl je vlstní. 6. Necht f má primitivní funkci n svém definičním oboru. Potom b β f(x) dx = f(ϕ(t))ϕ (t) dt, α je-li jedn strn konečná, kde ϕ má derivci n (α, β), zobrzuje tento intervl do D(f), přičemž ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b. Důkz. 1. Důkz prvního tvrzení proved te smi. 2. Uvedené podmínky znmenjí, že primitivní funkce F 1, F 2 k f n (, c), (c, b) resp., mjí v c vlstní limity. Posunutím npř. F 2 o rozdíl těchto limit dodefinováním příslušné hodnoty v c vznikne primitivní funkce k f n (, b), pokud je f spojitá v c (kde je potřeb spojitost?). Zbytek důkzu je zřejmý. 3. Necht F, G, H jsou primitivní funkce pro f, g, h. Z rovností F (b ) = (G F )(b ) + G(b ) = (F H)(b ) + H(b ) vyplývá, že F (b ) existuje je vlstní (uvědomte si, že funkce G F F H jsou neklesjící). Podobně pro F ( + ). 4. Pro f N(, b) plyne výsledek přímo z definice Newtonov integrálu. 5. Necht H je primitivní funkce k fg n (, b). Pk F G H je primitivní funkce k F g n (, b). Zbytek důkzu je zřejmý. 6. Necht F je primitivní funkce k f n D(f). Pk F ϕ je primitivní funkce k (f ϕ)ϕ n α, β. Jestliže má b f(x) dx smysl, plyne rovnost z věty o limitě složené funkce. Pokud existuje β α f(ϕ(t))ϕ (t) dt, rovná se [F ϕ] β α, což je totéž jko [F ] b. Předchozí vět tvoří zákld pro počítání určitých integrálů, tedy počítání délek, povrchů, objemů všehomír. DŮSLEDEK. Necht funkce f, g jsou definovány n intervlu (, b). 13

14 1. b f(x) dx, pokud f N(, b), f(x) n (, b); 2. inf f(x) (b ) b f(x) dx sup f(x) (b ), pokud f N(, b) (, b) je omezený; x (,b) x (,b) 3. b f(x) dx b f(x) dx, pokud f, f N(, b). Celkem užitečné odhdy. Poznámky 2: Následující poznámky k jednotlivým vlstnostem uvedeným ve větě se týkjí oslbení předpokldů n existenci místo konvergence n možnost předpokládt smysl jen jedné strny při rovnostech. Vlstnost 1. Existence (nebo i konvergence) integrálu n levé strně nemá vliv n existenci prvé strny. Vezme-li se libovolná funkce f n (, b) zvolí se α = 1, β = 1, g = f, pk integrál n levé strně je roven bez ohledu n existenci f nebo smyslu rozdílu f f. Má-li smysl prvá strn, má smysl i levá strn rovnjí se. Vlstnost 2. Sndno se nleznou příkldy, kdy rovnost nepltí, jestliže prvá strn má smysl, le je nevlstní nebo f není spojitá v c. Důležitost této vlstnosti bude vidět v dlší kpitole, kde bude zobecněn Newtonův integrál. Vlstnost 3. K této vlstnosti lze jen dodt smozřejmý fkt, že existence uvedených integrálů nvzájem nesouvisí musí se předpokládt. Njděte příkld, kdy b h(x) dx =, b g(x) dx = + b f(x) dx neexistuje. Pokud se předpokládá existence b f(x) dx, pk vlstnost 3 pltí i pro nevlstní hodnoty integrálů (nvíc se zřejmým zjednodušením, npř. je-li b h(x) dx = + není pro rovnost b f(x) dx = + nutná funkce g). 14

15 Vlstnost 4. Tto vlstnost je důležitá nepltí pro některé jiné integrály (npř. pro Riemnnův nebo Lebesgueův integrál). Pltí i opčné tvrzení, tj. jestliže lim bn n n f(x) dx pro libovolná n b n b s vlstností lim n =, lim b n = b, pk existuje b f(x) dx = A. Je-li intervl (, b) omezený, stčí podmínku předpokládt jen pro jednu volbu posloupností { n }, {b n }. Vlstnost 5. Stčí předpokládt smysl prvé strny, nemusí být vlstní. Vlstnost 6. Existují příkldy, kdy f nemá primitivní funkci pro vhodnou funkci ϕ splňující předpokldy konverguje β α f(ϕ(t)ϕ (t) dt. Předpokld existence primitivní funkce pro f je tedy podsttný. Pokud je f definován n větším intervlu I obshujícím (, b) ϕ zobrzuje (α, β) do I, přičemž stále pltí ϕ(α + ) =, ϕ(β ) = b nebo, b prohozené, substituční vět pltí. Pokud se pro výpočet určitého integrálu používá substituce, bývá výhodnější použít substituci pro určitý integrál než pro neurčitý. Jsou jednodušší předpokldy není nutné se vrcet k původní proměnné pomocí inverzní funkce. N to myslete i o půlnoci! Ve třetím tvrzení Důsledku mohou nstt ob přípdy, kdy jeden z uvedených integrálů existuje druhý neexistuje. Musí se tedy předpokládt smysl obou strn. Bývá výhodnější použít integrci po částech pro Newtonův integrál než pro neurčitý integrál to zvláště v přípdech, kdy tímto použitím výpočet nekončí jsou nutné dlší úprvy. 15

16 Kdo má prxi, ví svoje. Konec poznámek 2. Příkldy 2: 1. Spočtěte integrály (po částech nebo substitucí) 1 π π/2 1 lg x dx, x sin x dx, cos 3 x sin x dx, 1 x x dx, 2. Kde je chyb v následujícím výpočtu pomocí substituce tg x = t π dx cos 2 x = 1 dt 1 + 3/(1 + t 2 ) 1 + t 2 =? 3. Kde je chyb v následující úprvě π/2 cos x cos 3 x dx = π/2 π/2 π/2 (poslední integrovná funkce je lichá). 4. Vypočtěte Konec příkldů rctg x dx. π/2 cos x(1 cos 2 x) dx = cos x sin x dx =, π/2 cos x 3 11 x dx, x dx, sin 11 x dx Otázky 2: 1. Uved te příkld situce, kdy má smysl c f(x) dx + b c f(x) dx pro nějké c (, b), le integrál b f(x) dx neexistuje. V jkých přípdech tto situce může nstt? 2. Njděte příkld funkce f n (, 1), která je nulová ž n několik bodů, kde má hodnotu 1 příkld rostoucí funkce ϕ zobrzující intervl (, 1) n sebe, která má všude derivci t je rovn nule ve vhodných bodech tk, že f(ϕ(t))ϕ (t) je nulová funkce. 3. Njděte příkldy funkcí f, že existuje pouze jeden z integrálů f, f. Konec otázek 2. Cvičení 2: Zkusíme per prtes pro určitý integrál 16

17 Příkld. Spočtěte I n = x n e x dx, n. Řešení. Pro n = dostneme přímým výpočtem I = e x dx = [ e x ] = 1. Pro n N počítáme pomocí per prtes I n = + x n e x dx P P = f(x) = x n g(x) = e x f (x) = nx n 1 g (x) = e x P = P x R x R + x n 1 e x dx = ni n 1. P P = [ x n e x ] + + n Dostli jsme rekurentní vzth I n = ni n 1. Tedy mtemtickou indukcí dostneme I n = n!. Hezké. Substituování je hrčk, pokud umíte substituovt. Podíváme se n to. Příkld. Spočtěte 3 2x 3 1 x 2 dx. Řešení. Substituce je zřejmá: 3 2x 3 1 x 2 dx S = = 1 x 2 = t S : 2x dx = dt x (, 3), t (1, 8) [ 3 ] 8 4 t 4 3 = = S 3 t dt = 1 17

18 Tímto zápisem ušetříme "vrcení substituce". Je to to smé. Nešlo použít x = sin t? Nešlo, jko zkušený jenom vypdáš. Joke. Příkld. Spočtěte 1 x + x dx. 18

19 Řešení. Počítáme x + x dx 1 x = sin t S = S : dx = cos t dt = S x ( 1, ), t ( π/2, π) π = (sin t + sin t ) cos t dt = (sin t sin t) cos t dt + π/2 π/2 π/2 π + (sin t + sin t) cos t dt + (sin t + sin t) cos t dt = π/2 = =. Všimněte si, že jsme zbytečně integrovli přes intervl [ π/2, π] místo [ π/2, ]. Tím jsme použili hodnoty integrovné funkce v intervlu [, π], který nemá co do činění se zdným integrálem. Jeho vliv se ukázl nulový (1-1=). N intervlu [, π/2] jsme si něco nhrbli, le n [π/2, π] jsme to museli vrátit. To je život. To se u substituce v Newtonově integrálu smí. Jenom musíme mít zručeno, že funkce f, která se integruje je k dispozici pro integrování všude tm, km se dostne t substituce. Konec cvičení 2. Učení 2: 19

20 t dt =. Do- 1 log x 1 x dx = S [log x = t] = S vedu. Nedovedu. Konec učení 2. EXISTENCE A KONVERGENCE URČITÉHO INTEGRÁLU Jk bylo uvedeno n zčátku kpitoly, rozlišuje se podobně jko u řd existence konvergence integrálu. Podobně se též zvádí bsolutní konvergence; oproti řdám se přidává podmínk existence primitivní funkce, by příslušné výrzy měly vůbec smysl: DEFINICE. Newtonův integrál b f(x) dx konverguje bsolutně, jestliže f má n (, b) primitivní funkci f N(, b), konverguje nebsolutně, jestliže f N(, b), f / N(, b). POZNÁMKA. Stejně jko u řd lze i v tomto přípdě očekávt, že bsolutně konvergentní integrál konverguje. VĚTA. (Absolutní konvergence) Absolutně konvergentní integrál je konvergentní. Důkz. Necht F, G jsou primitivní funkce k f, f resp., n (, b) necht b f(x) dx konverguje. Protože f + f 2 f f + f má primitivní funkci F + G, která je neklesjící, existuje b (f(x) + f(x) ) dx podle vlstnosti (3) tento integrál konverguje. Použitím vlstnosti (1) se dostne konvergence integrálu b f(x) dx. Opk nepltí. 2

21 Pltí pro nezáporné funkce, smozřejmě. VĚTA. (Kritéri konvergence) 1. Je-li f omezená spojitá n omezeném intervlu (, b), konverguje integrál b f(x) dx bsolutně. 2. Srovnávcí kritérium: Necht funkce f je spojitá n (, b) f g n (, b). Jestliže g N(, b) pk i f N(, b). 3. Necht funkce f, g, g jsou spojité g je nvíc monotónní n [, b). Dirichletovo kritérium: Jestliže f má omezenou primitivní funkci n (, b) N(, b). Abelovo kritérium: Jestliže f N(, b) g je omezená, pk f g N(, b). 4. Integrální kritérium konvergence řd: lim x b g(x) =, pk fg Necht f je spojitá nerostoucí n [k, ). Pk f N(k, + ) právě když n=k f(n) konverguje. Důkz. 1. Důkz plyne z věty o Newtonově integrálu spojité funkce. 2. Konvergence b f(x) dx plyne z existence (viz věty o Newtonově integrálu spojité funkce) z vlstnosti (3). 3. Jsou splněny předpokldy pro použití integrce per prtes: b b f(x)g(x) dx = [F (x)g(x)] b F (x)g (x) dx. Bod nečiní potíže. Protože je g monotónní omezená, má v b vlstní limitu. V přípdě Dirichletov kritéri je F omezená lim x b g(x) = tedy lim x b F (x)g(x) =. V přípdě Abelov kritéri existuje vlstní lim x b F (x) tedy i lim x b F (x)g(x). Zbývá ukázt konvergenci b F (x)g (x) dx. V obou přípdech je F omezená tedy F g K g n [, b). Protože g je monotónní, nemění g znménko b g (x) dx konverguje právě když konverguje b g (x) dx. Poslední integrál se ovšem rovná lim g(x) g(). x b 4. Podle tvrzení druhého důsledku, je pro kždé přirozené n > k n n+1 n f(n) f(x) dx f(n + 1). i=k k i=k Z těchto nerovností plyne výsledek limitováním všech výrzů pro n. 21

22 N st je způsobů konvergence, kritéri si musíme pečlivě volit. Následující důsledky (první je důsledkem srovnávcího kritéri, druhý Abelov kritéri) uvádějí ekvivlence pro konvergenci integrálů. DŮSLEDEK. 1. (nelimitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže existují kldná čísl K, L tk, že n [, b) pltí Kf(x) g(x) Lf(x), pk f N(, b) právě když g N(, b). f(x) 2. (limitní tvr) Necht f, g jsou spojité nezáporné n [, b). Jestliže lim x b g(x) právě když g N(, b). (, ), pk f N(, b) Ještě je tu "symetrická verze" Abelov kritéri. DŮSLEDEK. Necht n [, b) jsou funkce f, g, g, h, h spojité g(x)/h(x) konverguje pro x b monotónně k nenulovému vlstnímu číslu. Pk pk fg N(, b) právě když fh N(, b). Poznámky 3: 22

23 Pro zjištění konvergence integrálu b f pro funkci f spojitou n (, b) je vhodný následující postup : 1. Jestliže jsou body, b vlstní f v nich má vlstní limity, b f konverguje podle prvního tvrzení věty. 2. Pokud nenstne přípd v 1, rozdělí se (je-li to nutné) (, b) nějkým vnitřním bodem n dv intervly, by pouze jeden z krjních bodů nových intervlů byl šptný, tj. bud to byl nevlstní bod nebo vlstní integrovná funkce v něm neměl vlstní limitu. Necht je dobrý bod b šptný.. Jestliže f nemění o b zlev znménko, je vhodné se snžit použít srovnávcí kritérium, npř. srovnt f s (x b) p. b. Jestliže f mění u b zlev nekonečněkrát znménko, je vhodné použít Dirichletovo nebo Abelovo kritérium. Je nutné si uvědomit, že srovnávcí kritérium Abelovo kritérium mjí (viz Důsledky) formulce s ekvivlencí to není u Dirichletov kritéri. Integrální kritérium se spíše používá pro zjištění konvergence řdy pomocí známé konvergence integrálu. Konec poznámek 3. Příkldy 3: 1. Funkce e x2 má n (, + ) jediný šptný bod, to +. U tohoto bodu je funkce kldná. Ke srovnání se použije nerovnost e x2 e x pro x 1, tkže lze z funkci g ze srovnávcího kritéri zvolit g(x) = { e x 2, pro x 1; e x, pro x 1. 23

24 2. V integrálu + (x + x 4 ) 1/3 dx se intervl (, + ) rozdělí npř. bodem 1. V intervlu (, 1) je šptný bod, kde funkce nemění znménko v Důsledku srovnávcího kritéri lze z g volit x 1/3 tto funkce má n (, 1) konvergentní integrál. V intervlu (1, + ) je šptným bodem nevlstní bod, u kterého funkce nemění znménko v Důsledku srovnávcího kritéri lze z g volit x 4/3 tto funkce má n (1, + ) konvergentní integrál. Podle ditivní vlstnosti integrálu je i původní integrál konvergentní. 3. V integrálu + sin x x dx je šptná jedině horní mez u ní funkce stále mění znménko. Použije se Dirichletovo kritérium. Z funkci f se vezme sin x, která má omezenou primitivní funkci cos x. Z funkci g se vezme 1/x, která monotónně konverguje k v +. Výsledkem je konvergence původního integrálu. 4. Zjistěte, pro jké prmetry (reálná čísl α, β,...) konvergují integrály π 1 cos x x α dx, + + x α rctg β sin x x dx, x α dx. 5. Ukžte, že integrál + e x x p 1 dx konverguje pro p >. 6. Ukžte, že integrál + x β rctg(αx) dx konverguje pro α = nebo β ( 2, 1). 7. Podle integrálního kritéri ověřte pro která p konvergují řdy n p, 1/(n lg p n). Nezpomínejte ověřit podmínky kritéri (monotónnost!). Konec příkldů 3. Otázky 3: 1. Dokžte podrobně ob důsledky srovnávcího Abelov kritéri. 2. Njděte příkld, že integrální kritérium nepltí, vynechá-li se v předpokldech podmínk monotónnosti funkce f. Mně to někdy vynechává různé věci. Konec otázek 3. 24

25 Cvičení 3: Budeme zkoumt konvergenci integrálů. Příkld. Zjistěte konvergenci x 3 dx. Řešení. Integrovná funkce f je spojitá n intervlu [, ). Tím je zručen existence primitivní funkce F n [, ) existence konečné hodnoty F (+). Zbývá zjistit existenci konečnost F ( ). Budeme zkoumt konvergenci integrálu pomocí srovnávcího kritéri n [1, ). Zvolíme g(x) = 1 x3. Funkce g je spojitá n intervlu [1, ). Tím je zručen existence primitivní funkce G n [1, ). Spočteme Tedy g N(1, ). 1 1 x 3 dx = [ ] 1 2x 2 1 Funkce f g jsou n okolí obě nezáporné. Spočítáme limitu lim x f(x) g(x) = lim x 1 1+x 3 1 x 3 = ( 1 2 ) = 1 2. = lim x x 3 l H = x 3 Pomocí limitní verze srovnávcího kritéri f N(1, ) právě když g N(1, ). Tedy f N(1, ) existuje konečná limit F ( ). Tedy f N(, ). Bylo předem vidět, že funkce se chová u nekonečn jko 1/x 3 o té je známo, že její integrál u nekonečn konverguje. Místo počítání limity f/g stčilo udělt odhd f g. 25

26 Já bych tu f prostě zintegrovl (mám moře čsu). Celkově to bylo moc upovídné. Stčí říct, že u nuly je to spojité u nekonečn se to chová jko konvergentní 1/x 3. A si n požádání npst... Existuje velice užitečná škál funkcí, se kterými neznámé funkce srovnáváme: U nekonečn nezlobí velké exponenty: U nuly nezlobí mlé exponenty: α > 1 1 xα N(1, ). α < 1 1 xα N(, 1). 26

27 Funkce 1/x zlobí všude: Funkce 1/x 2 zlobí u nuly: Funkce 1/ x zlobí u nekonečn: 27

28 Funkce logritmus exponenciál jsou hodné, (pokud nemusí jink zlobit). Podíváme se n bsolutní konvergenci. Absolutní tref... Příkld. Zjistěte, pro které hodnoty prmetru α konverguje (bsolutně) integrál π sin x x α dx. 28

29 Řešení. Funkce f(x) = sin x α x n intervlu [π, ) spojitá, oznčme si její primitivní funkci F. Bude nás zjímt chování f F u nekonečn. Budeme zkoumt 3 přípdy: PŘÍPAD 1: Pro α > 1 máme triviální odhd f(x) 1 x α bsolutní konvergenci hledného integrálu podle srovnávcího kritéri (pro α > 1 je 1/x α N(π, )). PŘÍPAD 2: Pro α máme odhd F ((n + 1)π) F (nπ) = = (n+1)π nπ (n+1)π nπ sin x x α sin x x α dx = (n+1)π dx sin x dx = 2. nπ Tedy funkce F nemá konečnou limitu v nekonečnu integrál nekonverguje. Of topic : Má F nevlstní limitu? PŘÍPAD 3: Pro α (, 1] je funkce f rovn součinu dvou činitelů: První činitel je sin x má omezenou primitivní funkci n [π, ). Druhý činitel je funkce 1/x α, která je n [π, ) spojitá monotónní s limitou. Podle Dirichletov kritéri pro konvergenci integrálu má funkce f konvergentní integrál n [π, ). 29

30 V přípdě 3 zbývá zkusit, zd je konvergence bsolutní. Oznčme G(x) = x π f(t) dt. Odhdneme G((n + 1)π) G(nπ) = (n+1)π sin x nπ x α dx 1 (n+1)π ((n + 1)π) α sin x dx nπ 2 (n + 1)π. Tedy monotónní funkce G nemá konečnou limitu: G(nπ) 2 ( 1 π ) n, pro n. Tedy f N(π, ). Pro α (, 1] integrál z f konverguje n [π, ) nebsolutně. Jde jenom o pozornost zkušenost. Když Dirichletovo kritérium nic neříká, musíme to zkusit jink, nebo oveřit divergenci. 3

31 Tkhl vypdá funkce pro α = 1. Nebsolutní konvergence. Kopečky se u nekonečn skoro vyrovnávjí: To smé pltí i pro dlší dv obrázky, kde se grf funkce s klesjícím α pěkně "nfukuje". 31

32 O co vlstně u té bsolutní nebsolutní konvergence jde? Jde o konečnou plochu kopečků, které dělá funkce nd pod osou. Když mjí kldné kopečky konečnou plochu záporné tké, jde o bsolutní konvergenci. Když mjí kldné kopečky nekonečnou plochu záporné tké, jde o nebsolutní konvergenci. 32

33 Tento obrázek ukzuje hory jezer. Komise měl zjistit, jestli mjí větší objem hory než jezer. Zčl zlev hory bourt zsypávt jezer. V nekonečnu to zjistí... Jestli mjí hory i jezer nekonečný objem, bude záležet n tom, jk jsou hory jezer rozmístěn. Absolutní konvergenci řd jsem úspěšně zpomněl, le tohle mi něco připomíná. V příkldu π sin x x α dx. se pomocí α různým způsobem nfukovly kopečky funkce sinus. Výpočty nebyly jednoduché. 33

34 Já místo funkce sinus používám šikovné trojúhelníčky, které utíkjí k nekonečnu. Šikovnou volbou velikosti trojúhelníčků sestrojíme funkci, která má (ne)bsolutně konvergentní integrál u nekonečn: Šikovnou volbou velikosti trojúhelníčků sestrojíme funkci, která má (ne)bsolutně konvergentní integrál u nuly nebo nekonečn podle potřeby: Příkld. Zjistěte, zd konverguje (bsolutně) integrál + sin e x dx. 34

35 Řešení. Integrál převedeme substitucí e x = t n sin t t dt. U nuly jde integrovná funkce spojitě dodefinovt, u nekonečn podle Dirichlet. Tedy nebsolutní konvergence jko minule. Konec cvičení 3. Učení 3: Není nebsolutně nekonvergentní? Ach ty definice... Konec učení 3. 35

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

NEWTONŮV INTEGRÁL. V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování. Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží. Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží.

V předchozích kapitolách byla popsána inverzní operace k derivování. Zatím nebylo jasné, k čemu tento nástroj slouží. NEWTONŮV INTEGRÁL V předchozích kpitolách byl popsán inverzní operce k derivování Ztím nebylo jsné, k čemu tento nástroj slouží Uvžujme trmvj, která je poháněn elektřinou při brždění vyrábí dynmem elektřinu:

Více

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL

OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonov nebo Riemnnov integrálu se definují různým způsobem dostnou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jko zobecnění Newtonov integrálu,

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu.

integrovat. Obecně lze ale říct, že pokud existuje určitý integrál funkce podle různých definic, má pro všechny takové definice stejnou hodnotu. Přednášk 1 Určitý integrál V této přednášce se budeme zbývt určitým integrálem. Eistuje několik definic určitého integrálu funkce jedné reálné proměnné. Jednotlivé integrály se liší v tom, jké funkce lze

Více

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí

10 Určitý integrál Riemannův integrál. Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nazýváme dělením intervalu [a,b], jestliže platí 10 Určitý integrál 10.1 Riemnnův integrál Definice. Konečnou posloupnost {x j } n j=0 nzýváme dělením intervlu [,b], jestliže pltí = x 0 < x 1 < < x n = b. Body x 0,...,x n nzýváme dělícími body. Normou

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje.

4. přednáška 22. října Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když každá cauchyovská posloupnost bodů v M konverguje. 4. přednášk 22. říjn 2007 Úplné metrické prostory. Metrický prostor (M, d) je úplný, když kždá cuchyovská posloupnost bodů v M konverguje. Příkldy. 1. Euklidovský prostor R je úplný, kždá cuchyovská posloupnost

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Primitivní funkce Definice. Nechť funkce f je definován n neprázdném otevřeném intervlu I. Řekneme, že funkce F : I R je primitivní funkce k f n intervlu

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace

6. Určitý integrál a jeho výpočet, aplikace Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál výpočet, plikce T. Slč, MÚ MFF UK ZS 2017/18 ZS 2017/18) Aplikovná mtemtik 1, NMAF071 6. Určitý integrál 1 / 13 6.1 Newtonův integrál Definice 6.1 Řekneme,

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL

INTEGRACE KOMPLEXNÍ FUNKCE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL INTEGRAE KOMPLEXNÍ FUNKE KŘIVKOVÝ INTEGRÁL N konci kpitoly o derivci je uveden souvislost existence derivce s potenciálním polem. Existuje dlší chrkterizce potenciálného pole, která nebyl v kpitole o derivci

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26

LDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) Určitý integrál ZVMT lesnictví 1 / 26 Určitý integrál Zákldy vyšší mtemtiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu http://kdemie.ldf.mendelu.cz/cz

Více

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek

Integrál a jeho aplikace Tomáš Matoušek Integrál jeho plikce Tomáš Mtoušek Křivk Definice.(Vektorováfunkce) Funkci ϕ:r R n,kteráreálnémučíslupřiřzuje n-tici reálných čísel(vektor), nzýváme funkcí vektorovou. Lze ji tké popst po složkáchjko ϕ(t)=(ϕ

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4)

Obecně: K dané funkci f hledáme funkci ϕ z dané množiny funkcí M, pro kterou v daných bodech x 0 < x 1 <... < x n. (δ ij... Kroneckerovo delta) (4) KAPITOLA 13: Numerická integrce interpolce [MA1-18:P13.1] 13.1 Interpolce Obecně: K dné funkci f hledáme funkci ϕ z dné množiny funkcí M, pro kterou v dných bodech x 0 < x 1

Více

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál)

Integrální počet - IV. část (aplikace na určitý vlastní integrál, nevlastní integrál) Integrální počet - IV. část (plikce n určitý vlstní integrál, nevlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednášk z AMA Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 4 Obsh

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 25. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 6 6 4

Více

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním

Až dosud jsme se zabývali většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrazeními s definičním Limit funkce. Zákldní pojmy Až dosud jsme se zbývli většinou reálnými posloupnostmi, tedy zobrzeními s definičním oborem N. Nyní obrátíme svou pozornost n širší třídu zobrzení. Definice.. Zobrzení f, jehož

Více

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t

KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY. Křivka v prostoru je popsána spojitými funkcemi ϕ, ψ, τ : [a, b] R jako množina bodů {(ϕ(t), ψ(t), τ(t)); t KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY Má-li se spočítt npř. spotřeb betonu n rovný plot s měnící se výškou, stčí spočítt integrál z této výšky podle zákldny plotu. o když je le zákldnou plotu nikoli rovná úsečk, le křivá

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci

Matematika 1A. PetrSalačaJiříHozman Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Mtemtik 1A. PetrSlčJiříHozmn Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická Technická univerzit v Liberci petr.slc@tul.cz jiri.hozmn@tul.cz 21.11.2016 Fkult přírodovědně-humnitní pedgogická TUL ZS 2016-2017 1/

Více

4. cvičení z Matematiky 2

4. cvičení z Matematiky 2 4. cvičení z Mtemtiky 2 14.-18. březn 2016 4.1 Njděte ity (i (ii (iii (iv 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y 1 2 z 2 y 2 z yz 1 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 2 2 y 2 (,y (0,0 2 +y 3 (i Pro funkci f(, y = 2 +(y 1 2 +1 1 2 +(y

Více

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x.

ZÁKLADY. y 1 + y 2 dx a. kde y je hledanou funkcí proměnné x. VARIAČNÍ POČET ZÁKLADY V prxi se čsto hledjí křivky nebo plochy, které minimlizují nebo mximlizují jisté hodnoty. Npř. se hledá nejkrtší spojnice dvou bodů n dné ploše, nebo tvr zvěšeného ln (má minimální

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou

f dx S(f, E) M(b a), kde D a E jsou Přehled probrné látky z MAII, LS 2004/05 1. přednášk 21.2.2005. Opkování látky o primitivních funkcích ze závěru zimního semestru (23.-25. přednášk). Rozkld rcionální funkce n prciální zlomky. Popis hledání

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Určitý integrál Petr Hsil Přednášk z mtemtiky Podpořeno projektem Průřezová inovce studijních progrmů Lesnické dřevřské fkulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem n discipĺıny společného zákldu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018

NMAF061, ZS Písemná část zkoušky 16. leden 2018 Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, le co nejpřesněji odůvodněte. Pokud používáte nějké tvrzení, nezpomeňte ověřit splnění předpokldů. Jméno příjmení: Skupin: Příkld 1 3 4 5 6 Celkem bodů Bodů 7 6

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

5.5 Elementární funkce

5.5 Elementární funkce 5.5 Elementární funkce Lemm 5.20. Necht x R. Potom existuje kldné C R (závisející n x) tkové, že pro kždé n N h ( 1, 1) pltí (x + h) n x n nhx n 1 h 2 C n. Definice. Exponenciální funkci exp definujme

Více

Diferenciální počet. Spojitost funkce

Diferenciální počet. Spojitost funkce Dierenciální počet Spojitost unkce Co to znmená, že unkce je spojitá? Jký je mtemtický význm tvrzení, že gr unkce je spojitý? Jké jsou vlstnosti unkce v bodě? Jké jsou vlstnosti unkce v intervlu I? Vlstnosti

Více

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu

Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervalu 10.1.6 Spojitost funkce v bodě, spojitost funkce v intervlu Předpokldy: 10104, 10105 Př. 1: Nkresli, jk funkce f ( x ) dná grfem zobrzí vyznčené okolí bodu n ose x n osu y. Poté nkresli n osu x vzor okolí

Více

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková

Text m ºe být postupn upravován a dopl ován. Datum poslední úpravy najdete u odkazu na staºení souboru. Veronika Sobotíková Tento text není smosttným studijním mteriálem. Jde jen o prezentci promítnou n p edná²kách, kde k ní p idávám slovní komentá. N které d leºité ásti látky pí²u pouze n tbuli nejsou zde obsºeny. Text m ºe

Více

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE

DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE DOPLŇKOVÉ TEXTY BB0 PAVEL SCHAUER INTERNÍ MATERIÁL FAST VUT V BRNĚ DERIVACE A INTEGRÁLY VE FYZICE Obsh Derivce... Definice derivce... Prciální derivce... Derivce vektorů... Výpočt derivcí... 3 Algebrická

Více

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055)

Učební text k přednášce Matematická analýza II (MAI055) Učební text k přednášce Mtemtická nlýz II (MAI055) Mrtin Klzr 20. červn 2007 Přednášk pokrývá v letním semestru následující látku:. Riemnnův integrál. 2. Posloupnosti řdy funkcí, mocninné řdy Fourierovy

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl................................................ 5. Funkce jejich zákldní vlstnosti....................................3

Více

Riemannův určitý integrál.

Riemannův určitý integrál. Riemnnův určitý integrál. Definice 1. Budiž

Více

Křivkový integrál funkce

Křivkový integrál funkce Kpitol 6 Křivkový integrál funkce efinice způsob výpočtu Hlvním motivem pro definici určitého integrálu funkce jedné proměnné byl úloh stnovit obsh oblsti omezené grfem dné funkce intervlem n ose x. Řd

Více

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n,

množina, na které je zavedena určitá struktura. Zejména, součet každých dvou prvků X = [x 1,..., x n ] R n, Náplní předmětu bude klkulus R n R (přípdně R m ). Proč se zbývt funkcemi více proměnných? V prxi je čsto třeb uvžovt veličiny, které závisejí n více než jedné proměnné, npř. objem rotčního kužele závisí

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban

Limity, derivace a integrály Tomáš Bárta, Radek Erban Limity, derivce integrály Tomáš Bárt, Rdek Erbn Úvod Definice. Zobrzení(téžfunkce) f M Njemnožinuspořádnýchdvojic(x, y) tková,žekekždému xexistujeprávějedno y,žedvojice(x,y) f.tj.kždývzor xmáprávějedenobrz

Více

Řešené příklady k MAI III.

Řešené příklady k MAI III. Řešené příkldy k MAI III. Jkub Melk 28. říjn 2007 1 Obsh 1 Metrické prostory 2 1.1 Teoretickéotázky.... 2 1.2 Metriky..... 4 1.3 Anlýzmnožin... 4 1.3.1 Uzávěry... 4 1.3.2 Zkoumejtenásledujícímnožiny....

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5

I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 5 Preklkulus 7. Reálná čísl................................................ 7. Funkce jejich zákldní vlstnosti...................................

Více

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f.

je daná funkce. Množinu všech primitivních funkcí k f na I nazveme neurčitým f(x)dx nebo f. MATEMATICKÁ ANALÝZA INTEGRÁLNÍ POČET PŘEDNÁŠEJÍCÍ ALEŠ NEKVINDA. Přednášk Oznčme R = R {, } jko v minulém semestru. V tomto semestru se budeme zbývt opčným úkonem k derivování. Primitivní funkce. Definice.

Více

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1

Definice. Nechť k 0 celé, a < b R. Definujeme. x < 1. ϕ(x) 0 v R. Lemma [Slabá formulace diferenciální rovnice.] x 2 1 9. Vriční počet. Definice. Nechť k 0 celé, < b R. Definujeme C k ([, b]) = { ỹ [,b] : ỹ C k (R) } ; C 0 ([, b]) = { y C ([, b]) : y() = y(b) = 0 }. Důležitá konstrukce. Shlzovcí funkce (molifiér, bump

Více

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály.

Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Mtemtik II.5. Nevlstní integrály.5. Nevlstní integrály Cíle V této kpitole poněkud rozšíříme definii Riemnnov určitého integrálu i n přípdy, kdy je integrční oor neohrničený (tj. (, >,

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

8. cvičení z Matematiky 2

8. cvičení z Matematiky 2 8. cvičení z Mtemtiky 2 11.-1. dubn 2016 8.1 Njděte tři pozitivní čísl jejichž součin je mximální, jejichž součet je roven 100. Zdání příkldu lze interpretovt tké tk, že hledáme mximální objem kvádru,

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

8. Elementární funkce

8. Elementární funkce Historie přírodních věd potvrzuje, že většinu reálně eistujících dějů lze reprezentovt mtemtickými model, které jsou popsán tzv. elementárními funkcemi. Elementární funkce je kždá funkce, která vznikne

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

Definice limit I

Definice limit I 08 Definice limit I Předpokld: 006 Pedgogická poznámk: N úvod je třeb upozornit, že tto hodin je ze strn studentů snd nejvíce sbotovnou látkou z celé studium (podle rekcí 4B009) Jejich ochot brát n vědomí

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

II. 5. Aplikace integrálního počtu

II. 5. Aplikace integrálního počtu 494 II Integrální počet funkcí jedné proměnné II 5 Aplikce integrálního počtu Geometrické plikce Určitý integrál S b fx) dx lze geometricky interpretovt jko obsh plochy vymezené grfem funkce f v intervlu

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Newtonův a Riemannův integrál

Newtonův a Riemannův integrál Kpitol Newtonův Riemnnův integrál Motivem této kpitoly je konstrukce obecného postupu, kterým bychom zjistili obsh obrzce M f {(, y); (, b), y (, f())}, kde f je dná nezáporná funkce, b R. Množin M se

Více

Obsah rovinného obrazce

Obsah rovinného obrazce Osh rovinného orzce Nejjednodušší plikcí určitého integrálu je výpočet oshu rovinného orzce. Zčneme větou. Vět : Je-li funkce f spojitá nezáporná n n orázku níže roven f ( ) d. ;, je osh rovinného orzce

Více

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }.

6.1. Limita funkce. Množina Z má dva hromadné body: ±. Tedy Z ={+, }. 6.1. Limit funkce Číslo R nzveme hromdným bodem množiny A R, pokud v kždém jeho okolí leží nekonečně mnoho bodů z množiny A. Body z A, které neptří mezi hromdné body A, se nzývjí izolovné. Alterntivně

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 67. ročník mtemtické olympiády Úlohy krjského kol ktegorie A 1. Pvel střídvě vpisuje křížky kolečk do políček tbulky (zčíná křížkem). Když je tbulk celá vyplněná, výsledné skóre spočítá jko rozdíl X O,

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

12.1 Primitivní funkce

12.1 Primitivní funkce Integrání počet. Primitivní funkce Již jsme definovli pojem derivce funkce, k funkci f(x) jsme hledli její derivci f (x). Nyní chceme ukázt opčný postup, tzn. k funkci f (x) njít funkci f(x). Přesněji,

Více

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1). A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu

Více

Přednáška 9: Limita a spojitost

Přednáška 9: Limita a spojitost 4 / XI /, 5: Přednášk 9: Limit spojitost V minulých přednáškách jsme podrobněji prozkoumli důležitý pojem funkce. Při řešení konkrétních problémů se nše znlosti (npř. nměřená dt) zpisují jko funkční hodnoty

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět.

vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět. POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu kždé kpitoly tetu, která by vám měl pomoci k rychlejší orientci při studiu Pro zvýrznění jednotlivých částí tetu jsou

Více

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné

Matematika II: Pracovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Mtemtik II: Prcovní listy Integrální počet funkce jedné reálné proměnné Petr Schreiberová, Petr Volný Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Ostrv 8 Obsh Neurčitý integrál.

Více

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze

2. Pokud nedojde k nejasnostem, budeme horní a dolní součty značit pouze 8. Určitý integrál 8.1. Newtonův integrál Definice 8.1 Buďte,b R. Řekneme,žeNewtonůvintegrálzfunkce fnintervlu(,b) existuje(znčímejej(n) f(x)dx),jestliže 1.existuje primitivní funkce F k f n intervlu(,

Více

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce

f konverguje a g je omezená v (a, b), pak také konverguje integrál b a fg. Dirichletovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce 1. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Abelovo kritérium. Necht < a < b +, necht f : [a, b) R je funkce spojitá na [a, b) a funkce g : [a, b) R je na [a, b) spojitá

Více

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný

Matematická analýza pro fyziky II. Robert Černý & Milan Pokorný Mtemtická nlýz pro fyziky II Robert Černý & Miln Pokorný 29. ledn 2017 2 Obsh 8 Číselné řdy 7 8.1 Zákldní pojmy............................. 7 8.2 Řdy s nezápornými členy....................... 12 8.3

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak

Věta (princip vnořených intervalů). Jestliže pro uzavřené intervaly I n (n N) platí I 1 I 2 I 3, pak Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná čísl C komplení čísl: { + jy :, y R}, j R \ Q ircionální čísl, π, e, ) Tvrzení Mezi kždými dvěm

Více

Kapitola 1. Taylorův polynom

Kapitola 1. Taylorův polynom Kpitol Tylorův polynom Definice. Budeme psát f = o(g) v R, je-li lim x ( f )(x) =, f = O(g) g v R, je-li ( f ) omezená n nějkém U (). g Příkld. lim x (x + x + 3) 5 (x 5 x 3 + 7x 9) = lim x + o(x ) x x

Více

Funkce signum nemá primitivní funkci na celém R, ale funkce x je spojitá a primitivní k signum na (, 0) Vztah

Funkce signum nemá primitivní funkci na celém R, ale funkce x je spojitá a primitivní k signum na (, 0) Vztah OBECNÝ URČITÝ INTEGRÁL Zobecnění Newtonova nebo Riemannova integrálu se definují různým způsobem a dostanou se někdy různé, někdy stejné pojmy. V tomto textu bude postup volen jako zobecnění Newtonova

Více

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ).

Poznámka. Využití: věty o limitách, popisy intervalů: (, 0) = {x R : < x < 0} = {x R : x < 0}, (, + ) = R (otevřené i s ± ). v 8--7 Reálná čísl N přirozená čísl: {,, 3, } Z celá čísl: {, ±, ±, ±3, } Q rcionální čísl: { b : Z, b N} R reálná č: délky, doplnění it, suprem/infim, řezy R \ Q ircionální čísl, π, e, ) C komplení čísl:

Více

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ

ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE

URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE URČITÝ INTEGRÁL FUNKCE Formulce: Nším cílem je určit přibližnou hodnotu určitého integrálu I() = () d, kde předpokládáme, že unkce je n intervlu, b integrovtelná. Poznámk: Geometrický význm integrálu I()

Více

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce

Primitivní funkce. Definice a vlastnosti primitivní funkce Obsh PŘEDMLUVA OBSAH 5 I. PRIMITIVNÍ FUNKCE 7 Definice vlstnosti primitivní funkce............ 7 Metody výpočtu primitivních funkcí............. Rcionální funkce................... 7 Ircionální funkce...................

Více

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady: 4.4. Sinová vět II Předpokldy 44 Kde se stl hy? Námi nlezené řešení je správné, le nenšli jsme druhé hy ve hvíli, kdy jsme z hodnoty sin β určovli úhel β. β je úhel z intervlu ( ;π ). Jk je vidět z jednotkové

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávcí mteriál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zářeh, náměstí Osvoození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo název klíčové ktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek pro

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

( a) Okolí bodu

( a) Okolí bodu 0..5 Okolí bodu Předpokldy: 40 Pedgogická poznámk: Hodin zjevně překrčuje možnosti většiny studentů v 45 minutách. Myslím, že nemá cenu přethovt do dlší hodiny, příkldy s redukovnými okolími nejsou nutné,

Více

Větu o spojitosti a jejich užití

Větu o spojitosti a jejich užití 0..7 Větu o spojitosti jejich užití Předpokldy: 706, 78, 006 Pedgogická poznámk: Při proírání této hodiny je tře mít n pměti, že všechny věty, které studentům sdělujete z jejich pohledu neuvěřitelně složitě

Více

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ

STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE POSLOUPNOSTI A ŘADY FUNKCÍ STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Ztím ebylo v těchto textech věováo příliš pozorosti kovergeci fukcí, t jko limit poslouposti ebo součet řdy. Jik byl kovergece poslouposti fukcí ebo řdy brá jko bodová kovergece.

Více