I Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné 3

Transkript

1 Obsh I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3 Preklkulus 5. Reálná čísl Funkce jejich zákldní vlstnosti Posloupnosti Diferenční sumční počet Elementární funkce Limit funkce Spojité funkce Cvičení Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 53. Derivce Derivce vyšších řádů, diferenciál Obecné věty o derivci Tylorův vzorec Průběh funkce Rovinné křivky Cvičení Integrální počet funkcí jedné proměnné Primitivní funkce Určitý integrál Vlstnosti Riemnnov integrálu Integrál jko funkce horní meze Nevlstní integrály plikce určitého integrálu Numerická integrce Cvičení II Diferenciální integrální počet funkcí více proměnných 3 4 Metrické prostory 5 4. Pojem metriky Podmnožiny metrického prostoru Konvergence Úplné kompktní prostory Zobrzení metrických prostorů Cvičení

2 5 Diferenciální počet funkcí více proměnných 3 5. Spojitost limit Derivce Diferenciál Derivce složené funkce, Tylorův vzorec Průběh funkce více proměnných Implicitní funkce Diferencovtelná zobrzení Diferencovtelné vriety Vázné extrémy Vektorové funkce, sklární vektorová pole Cvičení Integrální počet funkcí více proměnných Jordnov mír v R Závislost míry n trnsformci souřdnic Jordnov mír v R k Riemnnův integrál Vlstnosti Riemnnov integrálu Integrovtelné funkce Fubiniov vět Trnsformce integrálu Integrály závislé n prmetru plikce Riemnnov integrálu Cvičení

3 Část I Diferenciální integrální počet funkcí jedné proměnné 3

4

5 Kpitol Preklkulus. Reálná čísl Přirozená čísl: N = {,, 3,...} Dospějeme k nim při počítání prvků nějké množiny. Lze n nich definovt zákldní početní operce, uspořádání. Celá čísl: Z = {..., 3,,, 0,,, 3,...} výsledek. Doplnění množiny N tk, by operce odčítání měl vždy Rcionální čísl: Q = { m n výsledek. : m Z, n N} Doplnění množiny Z tk, by operce dělení měl vždy Ircionální čísl: I Čísl, která není možno vyjádřit ve tvru m n, kde m Z, n N Ircionální čísl potřebujeme. Npř. log 0 3 I. Sporem. Připusťme, že log 0 3 = m n. Pk 0 m n = 3 0 m = 3 n m 5 m = 3 n Dostli jsme dv různé rozkldy jednoho čísl n prvočinitele. To je spor. Nebo I. Sporem. Připusťme, že = m n. Pk = m n n = m V rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n levé strně rovnosti je v liché mocnině, v rozkldu n prvočinitele čísl stojícího n prvé strně rovnosti (tedy téhož čísl) je v sudé mocnině. To je spor... Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání. (Uspořádání je binární relce, která je (i) reflexivní: ( M) ( ) (ii) ntisymetrická: (, b M) ( b, b = b) (iii) trnsitivní: (, b, c M) ( b, b c c) ) Buď M, M. Řekneme, že je horní (resp. dolní) závor množiny v množině M, jestliže x (resp. x) pro kždé x. Řekneme, že množin je ohrničená shor (resp. zdol), jestliže existuje její horní (resp. dolní) závor. Řekneme, že množin je ohrničená, je-li ohrničená shor i zdol. 5

6 .. Příkldy. Množin = {, +, + + 3,...} je ohrničená zdol (dolní závor je npř. ) není ohrničená shor: Při oznčení n = n je = 4 = > = + 8 = > = + 3. Indukcí lze dokázt, že n > + n číslo + n může být libovolně velké.. Množin B = {, + 4, π 9,...} je ohrničená shor, b 6 později.) pro kždé b B. (Bude dokázáno..3 Definice Buď M, kde M je množin, n níž je definováno uspořádání. Řekneme, že je mximum nebo největší prvek (minimum nebo nejmenší prvek) píšeme = mx ( = min ), jestliže pro kždé x pltí x ( x)...4 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď M. Řekneme, že M je supremum množiny, jestliže je nejmenší horní závorou množiny, t.j. jestliže pltí (s) ( x ) (x ), (s) (( x ) (x b)) b. Píšeme = sup...5 Definice Buď M množin, n níž je definováno uspořádání buď M. Řekneme, že M je infimum množiny, jestliže je největší dolní závorou množiny, t.j. jestliže pltí (i) ( x ) ( x), (i) (( x ) (b x)) b. Píšeme = inf...6 Poznámky. Podmínku (s) v..4 lze nhrdit podmínkou (s ) (p M, p < ) ( x ) (p < x). (p < je definováno jko p součsně p ; v dlším budeme používt i symboly, >.) Nechť M splňuje (s) nechť p M, p <. Pk p není horní závor množiny (jink by podle (s) bylo p). Odtud plyne, že existuje x tkové, že x > p, tedy pltí (s ). Nechť M splňuje (s ) buď b M horní závor množiny. Kdyby b <, pk by existovlo x tkové, že b < x tedy b by nebyl horní závor množiny. Je tedy b.. nlogicky lze dokázt, že podmínku (i) v..5 lze nhrdit podmínkou (i ) (p M, p > ) ( x ) (p > x). 3. Libovolná M má nejvýše jedno supremum nejvýše jedno infimum. 6

7 Nechť = sup, b = sup. b je podle (s) horní závor množiny, tedy b podle (s). nlogicky je horní závor, tedy b. Z ntisymetrie relce plyne = b. nlogicky se ukáže pltnost tvrzení pro infimum. 4. Jestliže existuje mx (min ), pk existuje tké sup (inf ) pltí sup = mx (inf = min ). Nechť = mx. splňuje (s) přímo podle definice mxim..3 Nechť b je horní závor množiny. Pk b x pro kždé x, zejmén tedy b. Což znmená, že pltí (s). Tvrzení pro infimum minimum se dokáže nlogicky...7 Definice Množin reálných čísel je množin R, n níž jsou definovány dvě binárním operce + (sčítání), (násobení) jedn binární relce < (menší než), které splňují podmínky (R) pro všechn, b R pltí + b = b + (komuttivní zákon pro sčítání) (R) pro všechn, b, c R pltí ( + b) + c = + (b + c) (socitivní zákon pro sčítání) (R3) existuje prvek 0 R tkový, že pro všechn R pltí + 0 = (existence neutrálního prvku vzhledem ke sčítání) (R4) ke kždému R existuje prvek R tkový, že + ( ) = 0 (existence opčného prvku) (R5) pro všechn, b R pltí b = b (komuttivní zákon pro násobení) (R6) pro všechn, b, c R pltí ( b) c = (b c) (socitivní zákon pro násobení) (R7) existuje prvek R, 0 tkový, že pro všechn R pltí = (existence neutrálního prvku vzhledem k násobení) (R8) ke kždému R, 0 existuje prvek R tkový, že = (existence inversního prvku) (R9) pro všechn, b, c R pltí (b + c) = ( b) + ( c) (distributivní zákon) (R0) kždé dv prvky z množiny R jsou srovntelné, podrobněji: kždá dvojice prvků, b R splňuje právě jeden ze vzthů < b, = b, b < (zákon trichotomie) (R) jestliže pro, b, c R pltí < b b < c, pk tké < c (trnsitivit relce <) (R) jestliže pro, b R pltí < b, pk pro kždé c R je + c < b + c (monotonie vzhledem ke sčítání) (R3) jestliže pro, b, c R pltí < b 0 < c, pk c < b c (monotonie vzhledem k násobení) (R4) je-li M neprázdná shor (zdol) ohrničená podmnožin množiny R, pk existuje sup M R (inf M R)..8 Poznámky. (R) (R4) (R5) (R8) jsou xiomy komuttivní grupy (R) (R9) jsou xiomy pole (R) (R3) jsou xiomy uspořádného pole (R) (R4) jsou xiomy spojitě uspořádného pole Existuje jediné (ž n isomorfismus) uspořádné pole. xiom (R4) se nzývá xiom spojitosti.. Přímk, n níž je zvolen počátek (obrz reálného čísl 0), jednotková délk orientce (obrz čísl ) se nzývá číselná os. Existuje prosté vzájemně jednoznčné zobrzení množiny reálných čísel n číselnou osu. 7

8 3. Druhá část xiomu (R4) (existence infim) je důsledkem první části osttních xiomů. Nejdříve ukážeme, že pro kždé R je ( ) =. Vyjdeme z (R4): ( ) + ( ( )) = 0 / přičteme zlev + (( ) + ( ( ))) = + 0 / (R), (R3) ( + ( )) + ( ( )) = / (R4) 0 + ( ( )) = / (R), (R3) ( ) = Dále ukážeme, že jestliže < b pk b < : < b / +( ) zprv + ( ) < b + ( ) / (R4) 0 < b + ( ) / +( b) zlev ( b) + 0 < ( b) + (b + ( )) / (R3), (R) b < (( b) + b) + ( ) / (R), (R4) b < 0 + ( ) / (R), (R3) b < Nechť nyní je = M R zdol ohrničená, b její dolní závor. Položme M = { x : x M}. Pk pro kždé x M pltí b x tedy podle druhého kroku důkzu je x b pro kždé x M. To znmená, že M je shor ohrničená podle první části (R4) existuje sup M = s R. Podle (R4) je s R. Ukážeme, že s = inf M: Buď x M libovolné. Pk podle (s) je x s podle pomocných tvrzení n zčátku důkzu je s x. Poněvdž x bylo libovolné, je podmínk (i) splněn. Buď c R tkové, že c x pro kždé x M. Pk x c pro kždé x M podle (s) je s c, tedy ( c) s. Podle prvního kroku důkzu je c s, což znmená, že i podmínk (i) je splněn...9 Příkld Nechť M = { m n : m, n N, m < n}. Ukžte, že sup M =, inf M = 0. Ř.: Pltnost podmínky (s): m n pro m n. Pltnost podmínky (s ): Buď p M, p <. Je-li p 0, pk npř. pro M pltí p <. Nechť tedy p > 0. Položme n = + [ p ]. (Přitom [x] oznčuje celou část z čísl x, t.j. celé číslo z tkové, že x z < x +. Npř. [π] = 3, [ 3 ] =, [ 3.5] = 4 p.) Pk n > p n np > n > np n n > p zřejmě n n M. Pltnost podmínky (i): m n > 0 pro všechn m, n N. Pltnost podmínky (i ): Buď p M, p > 0. Je-li p, pk npř. pro M pltí p <. Položme n = + [ p ]. Pk n > p tedy p > n M. < p. Nechť tedy..0 Definice Množinu R = R {, } nzýváme rozšířená množin reálných čísel, symboly, nzýváme nevlstní reálná čísl (nevlstní body číselné osy). Kldeme < < pro kždé R. Symboly, nejsou čísl, nedefinujeme pro ně početní operce. 8

9 .. Definice Buďte, b R, < b. Uzvřeným intervlem o krjních (koncových, hrničních) bodech, b rozumíme množinu otevřeným intervlem množinu polouzvřenými intervly zprv (resp. zlev) množiny Nekonečné intervly definujeme jko množiny [, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : < x < b}, (, b] = {x R : < x b}, [, b) = {x R : x < b}. [, ) = {x R : x }, (, ) = {x R : x > }, (, b] = {x R : x b}, (, b) = {x R : x < b}, (, ) = R. Je-li J intervl jkéhokoliv typu x 0 J, x 0 není krjní, řekneme, že x 0 je vnitřní bod intervlu J... Definice Okolím (podrobněji (symetrickým) δ-okolím, δ > 0) bodu x 0 R rozumíme intervl (x 0 δ, x 0 + δ). Okolím bodu rozumíme intervl (, ), kde R. Okolím bodu rozumíme intervl (, ), kde R. δ-okolí bodu x 0 R budeme oznčovt symbolem O δ (x 0 ), stručně O(x 0 )...3 Vět Okolí bodů z množiny R mjí tyto vlstnosti: (o) Jsou-li O (x 0 ) O (x 0 ) dvě okolí téhož bodu x 0 R, pk O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu x 0. (o) Jsou-li x, x R, x x, pk existují O(x ) O(x ) tková, že O(x ) O(x ) =.. x 0 R, O (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ ), O (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ ). Položme δ = min{δ, δ }. Pk O(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ) = O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu x 0. x 0 =, O (x 0 ) = (, ), O (x 0 ) = (, ). Položme = mx{, }. Pk O(x 0 ) = (, ) = O (x 0 ) O (x 0 ) je okolím bodu. x 0 =. Pltnost tvrzení ukážeme nlogicky jko v předchozím přípdě.. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt, že x < x. < x < x <. Položme δ = 4 (x x ). Pk O(x ) = (x δ, x +δ), O(x ) = (x δ, x +δ) jsou okolí bodů x, x s poždovnou vlstností. (Volb δ = 4 (x x ) smozřejmě není jediná možná. Stčí volit δ = r(x x ), kde r.) < x < x =. Nechť δ > 0 je libovolné položme = x + δ. Pk O(x ) = (x δ, x + δ), O(x ) = (, ) mjí poždovnou vlstnost. nlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech. 9

10 ..4 Definice Buď x 0 R. Ryzím okolím bodu x 0 rozumíme množinu O(x 0 ) \ {x 0 }. Okolí nevlstního bodu je vždy ryzí. Ryzí okolí bodu x 0 budeme oznčovt O (x 0 )...5 Definice Buď x 0 R, δ > 0. Prvým (resp. levým) δ-okolím bodu x 0 rozumíme intervl [x 0, x 0 + δ) ((x 0 δ, x 0 ]). Ryzím prvým (resp. levým) δ-okolím bodu x 0 rozumíme otevřený intervl (x 0, x 0 + δ) ((x 0 δ, x 0 )). Prvé (resp. levé) δ-okolí bodu x 0 budeme oznčovt P δ (x 0 ), stručně P(x 0 ) (resp. L δ (x 0 ), stručně L(x 0 )). Ryzí prvé (resp. levé) δ-okolí bodu x 0 budeme oznčovt P δ (x 0), stručně P (x 0 ) (resp. L δ (x 0), stručně L (x 0 ))...6 Poznámky. Tké prvá levá okolí, ryzí okolí mjí vlstnosti (o), (o) z věty..3. Sndnou modifikcí důkzu..3.. Buď J R intervl buď x 0 vnitřní bod intervlu J. Pk existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) J. Nechť, b R jsou krjní body intervlu J...7 Vět Jsou-li, b R, položíme δ = min{x 0, b x 0 )}. Pk δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) je poždovné okolí. Jsou-li R b =, položíme δ = (x 0 ). Pk δ > 0 (x 0 δ, x 0 + δ) je opět poždovné okolí. nlogicky ukážeme pltnost tvrzení v osttních přípdech.. Mezi dvěm libovolnými reálnými čísly x, x, x < x leží rcionální i ircionální číslo.. V libovolném okolí libovolného čísl x 0 R leží rcionální i ircionální číslo. (Stručně: Množin Q i množin I je hustá v množině R.). Položme n = [ x x ] +, m = [nx ] +. Pk m Z, n N tedy q = m n Q. Dále pltí m > nx m nx + n > x x x < m n nx nx > nx > nx + Odtud x < m n nx+ n < nx n = x, což znmená, že q je rcionální číslo mezi čísly x x. Položme s = [ x x ] +, r = [ s x ] +. Pk r Z, s N w = r s I, neboť v opčném přípdě by Q, což by byl spor s tvrzením dokázným v úvodu tohoto odstvce. Dále pltí Odtud x < r s čísly x x. r > s x r s x + s > x < r s ( s x + ) s < s x s s x > s x x x + = x, což znmená, že w je ircionální číslo mezi. je důsledkem., neboť mezi čísly x 0 δ x 0 + δ leží rcionální i ircionální číslo. 0

11 . Funkce jejich zákldní vlstnosti.. Definice Funkce f (podrobněji reálná funkce jedné reálné proměnné) je zobrzení z množiny R do množiny R. Množin Dom f = {x R : ( y R)((x, y) f)} se nzývá definiční obor funkce f. (Domin) Množin Im f = {y R : ( x R)((x, y) f)} se nzývá obor hodnot funkce f. (Imge) Je-li f funkce, pk zobrzení f : Dom f Im f je surjekce (zobrzení n). Je-li (x, y) f, píšeme y = f(x), x y, x f y. Prvky z Dom f se nzývjí hodnoty nezávisle proměnné, rgument. Prvky z Im f se nzývjí hodnoty závisle proměnné, funkční hodnot. Pokud není explicitně uvedeno jink, definičním oborem rozumíme největší (vzhledem k množinové inklusi) množinu, pro jejíž prvky lze funkční hodnotu vypočítt... Definice Grfem funkce f rozumíme množinu G = {(x, f(x)) : x Dom f}, kde (x, y) znčí orthogonální krtézské souřdnice bodu v rovině...3 Příkld. f(x) = x = mx{x, x}, Dom f = R, Im f = [0, ). x. f(x) =, x Dom f = (, ), neboť musí pltit x > 0 > x > x Im f = R, neboť pro libovolné r R je r = x x ( x )r = x r = ( + r )x x, = ± r +r Znménko u x musí být stejné jko znménko r u r, tedy x = + r 3. f(x) = [x], kde [x] je celá část z čísl x, to jest celé číslo tkové, že [x] x < [x] +. Dom f = R, Im f = Z. 4. Dirichletov funkce χ(x) = {, x Q 0, x I. Dom χ = R, Im χ = {0, }...4 Definice Buďte f, g funkce, Dom f Dom g. Pk definujeme součet funkcí f, g předpisem: (f + g)(x) = f(x) + g(x) pro x Dom f Dom g, rozdíl funkcí f, g předpisem: (f g)(x) = f(x) g(x) pro x Dom f Dom g, součin funkcí f, g předpisem: ((fg)(x) ) = f(x)g(x) pro x Dom f Dom g, f podíl funkcí f, g předpisem: (x) = f(x) pro x Dom f (Dom g \ {x Dom g : g(x) = 0}), g g(x) bsolutní hodnotu funkce f předpisem f (x) = f(x) = mx{f(x), f(x)} pro x Dom f.

12 ..5 Definice Funkce f se nzývá ohrničená (shor ohrničená, zdol ohrničená), je-li množin Im f ohrničená (shor ohrničená, zdol ohrničená) podmnožin množiny R. Funkce f je ohrničená právě tehdy, když existují, b R tková, že f(x) b pro kždé x Dom f, což nstne právě tehdy, když existuje h R tkové, že f(x) h pro kždé x Dom f. nlogická tvrzení pltí pro funkci ohrničenou shor nebo zdol...6 Definice Funkce f se nzývá sudá, jestliže Funkce f se nzývá lichá, jestliže x Dom f x Dom f, f( x) = f(x). x Dom f x Dom f, f( x) = f(x). Příkldy sudé funkce: x n, kde n N, x, cos x. Příkldy liché funkce: x n+, kde n N, sin x, tg x. Buď f sudá funkce, G její grf, (x, y) G. Pk ( x, y) G. Body (x, y) ( x, y) jsou symetrické podle osy y, grf sudé funkce je symetrický podle osy y. Buď f lichá funkce, G její grf, (x, y) G. Pk ( x, y) G. Body (x, y) ( x, y) jsou symetrické podle počátku souřdného systému, grf liché funkce je symetrický podle počátku souřdného systému...7 Vět Má-li funkce f vlstnost: x Dom f x Dom f, pk ji lze vyjádřit jko součet funkce sudé liché. f(x) = (f(x) + f( x)) + (f(x) f( x)) g(x) = (f(x) + f( x)); g( x) = (f( x) + f(x)) = g(x); g(x) je sudá, h(x) = (f(x) f( x)); h( x) = (f( x) f(x)) = (f(x) f( x)) = h(x); h(x) je lichá...8 Definice Buď p R, p > 0. Řekneme, že funkce f je periodická s periodou p, jestliže x Dom f x + p Dom f, f(x + p) = f(x). Příkldy: sin x, cos x period π, tg x period π, sin x π period, konsttntní funkce f(x) = c R periodou je jkékoliv p (0, ). Buď f funkce periodická s periodou p > 0, n N. Pk f je periodická s periodou np. x Dom f x + p Dom f x + p + p = x + p Dom f x + np Dom f. f(x + np) = f(x + (n )p + p) = f(x + (n )p) = f(x + (n )p + p) = f(x + (n )p) = = f(x). Množin period periodické funkce f je nekonečná, tedy neprázdná zdol ohrničená nulou. Podle..7 (R4) existuje p 0 = inf{p : p je period funkce f}. Pokud p 0 je periodou funkce f, nzýváme ji nejmenší nebo zákldní periodou funkce f. Periodická funkce nemusí mít nejmenší periodu. Npř. periodou Dirichletovy funkce je kždé kldné rcionální číslo...9 Definice Funkce f se nzývá rostoucí v bodě x 0 Dom f, jestliže existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) Dom f pltí x O(x 0 ), x < x 0 f(x) < f(x 0 ) x O(x 0 ), x > x 0 f(x) > f(x 0 ),

13 stručně: jestliže pro x O(x 0 ) \ {x 0 } pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) > 0. Funkce f se nzývá neklesjící v bodě x 0 Dom f, jestliže existuje O(x 0 ) tkové, že O(x 0 ) Dom f pltí x O(x 0 ), x < x 0 f(x) f(x 0 ) x O(x 0 ), x > x 0 f(x) f(x 0 ), stručně: jestliže pro x O(x 0 ) pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) 0. nlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí v bodě x 0 Dom f. Funkce, která je v bodě x 0 Dom f nerostoucí nebo neklesjící, se nzývá monotonní v bodě x 0 Dom f. Funkce, která je v bodě x 0 Dom f rostoucí nebo klesjící, se nzývá ryze monotonní v bodě x 0 Dom f. Funkce rostoucí v bodě x 0 Dom f nemusí být rostoucí v žádném jiném bodě z Dom f...0 Definice Řekneme, že funkce je rostoucí n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x f(x ) < f(x ). Řekneme, že funkce je neklesjící n intervlu J, jestliže J Dom f pro libovolná x, x J pltí x < x f(x ) f(x ). nlogicky definujeme funkci klesjící nerostoucí n intervlu J. Funkce rostoucí nebo klesjící n intervlu se nzývá ryze monotonní n intervlu, funkce nerostoucí nebo neklesjící n intervlu se nzývá monotonní n intervlu. Monotonie v bodě lokální vlstnost Monotonie n intervlu globální vlstnost Slov intervl J v předchozí definici lze nhrdit slovy množin M Dom f... Vět Funkce f je rostoucí n otevřeném intervlu J Dom f právě tehdy, když je rostoucí v kždém bodě tohoto intervlu. Nechť f je rostoucí n J nechť x 0 J. J je otevřený x 0 je vnitřní bod (podle..6.) existuje O(x 0 ) J. Tedy O(x 0 ) Dom f. Je-li x O(x 0 ), x < x 0, je f(x) < f(x 0 ); je-li x O(x 0 ), x > x 0, je f(x) > f(x 0 ). Tedy f je rostoucí v bodě x 0. Nechť f je rostoucí v kždém bodě intervlu J. Připusťme, že f není rostoucí n J. Existují tedy x, x J, že x < x f(x ) f(x ). Oznčme M = {x [x, x ] : f(x) > f(x )}. Pltí ) M, neboť f rostoucí v x ex. O(x ), že pro kždé x > x je f(x) > f(x ). b) M je shor ohrničená, neboť x je horní závor M. Podle..7 (R4) existuje x 0 = sup M x. Předpokládejme x 0 = x. f je rostoucí v bodě x existuje O(x ) = (x δ, x + δ) Dom f, že pro x O(x ), x < x pltí f(x) < f(x ). Podle..6(s ) existuje x M, x > x δ. Poněvdž x M, je x x. Jest x O(x ). Pokud x < x, pk f(x) < f(x ), pokud x = x, pk f(x) = f(x ). Tedy f(x) f(x ). Součsně x M tedy f(x) > f(x ) f(x ). Odtud f(x) > f(x ) spor. Musí tedy být x 0 < x. Poněvdž f je rostoucí v x 0, existuje O(x 0 ), že pro kždé x O(x 0 )\{x 0 } pltí (x x 0 )(f(x) f(x 0 )) > 0. Bez újmy n obecnosti lze předpokládt O(x 0 ) = (x 0 δ, x 0 +δ) [x, x ]. Podle..6(s ) existuje x M, x > x 0 δ tkové, že x x 0. x O(x 0 ) tedy f(x) f(x 0 ). Součsně f(x) > f(x ), neboť x M. Odtud plyne f(x ) < f(x 0 ). Zvolme x O(x 0 ), x > x 0. Pk f(x) > f(x 0 ). Přitom x M, neboť x > x 0 = sup M. Tedy f(x) f(x ). Odtud plyne f(x ) > f(x 0 ). To je spor. 3

14 .. Poznámky. nlogická vět pltí pro neklesjící, klesjící nerostoucí funkci.. Pro uzvřený intervl vět nepltí: Npř. f(x) = sin(x), J = [ π, π ]. f je rostoucí n celém J, le není rostoucí v krjních bodech. 3. Ve druhé části důkzu jsme nevyužili předpokld, že intervl J je otevřený. Pltí tedy: Je-li funkce f rostoucí v kždém bodě libovolného intervlu J, pk je rostoucí n celém intervlu J...3 Definice Buďte f, ϕ funkce nechť pltí Im ϕ Dom f. Pk F = {(x, y) R : ( u R)((x, u) ϕ, (u, y) f)} se nzývá složená funkce. Funkce ϕ se nzývá vnitřní složk funkce F, funkce f se nzývá vnější složk funkce F. x ϕ(x) = u f(u) = f(ϕ(x)) Podmínk Im ϕ Dom f je nutná dosttečná pro existenci složené funkce. Není-li tto podmínk splněn, lze jí někdy dosáhnout vhodným zúžením Dom ϕ...4 Příkldy. ϕ(x) = x, Im ϕ = [0, ) f(u) = sin(u), Dom f = (, ). Tedy Im ϕ Dom f, F (x) = f(ϕ(x)) = sin x. ϕ(x) = x, definujeme Dom f = [, ]. Pk Im ϕ = [0, ]. f(u) = u, Dom f = [0, ). [0, ] [0, ), F (x) = f(ϕ(x)) = x. 3. ϕ(x) = x, Im ϕ = (, 0] f(x) = log u, Dom f = (0, ). Složená funkce neexistuje. Proces skládání funkcí lze opkovt vytvářet funkce vícenásobně složené. Npř.: y = log sin x: y = u u = log v v = w w = sin x..5 Definice Nechť f je funkce, která je bijekcí. Pk se nzývá inversní funkce k funkci f. f = {(y, x) R : (x, y) f} Z definice plyne: Dom f = Im f, Im f = Dom f, x = f (y) y = f(x). Zobrzení f : Dom f Im f je surjekce. by toto zobrzení bylo bijekcí, musí být injekcí (prostým zobrzením), t.j. x, x Dom f, x x f(x ) f(x )...6 Poznámky. Grf inversní funkce f je symetrický s grfem funkce f podle osy prvního třetího kvdrntu.. Je-li funkce f ryze monotonní, pk je prostá. Nechť pro určitost je f rostoucí buďte x, x Dom f, x x. Pokud x < x pk f(x ) < f(x ), pokud x > x pk f(x ) > f(x ) tedy f(x ) f(x ). 4

15 ..7 Vět Nechť funkce f je rostoucí (resp. klesjící) n množině Dom f. Pk funkce f je rostoucí (resp. klesjící) n množině Im f. Nechť f je rostoucí n Dom f buďte y, y Im f, y < y. Oznčme x = f (y ), x = f (y ), t.j. y = f(x ), y = f(x ). Jest x x podle..6.. Kdyby x > x, pk by y = f(x ) > f(x ) = y, což by byl spor. Pltí tedy x = f (y ) < f y = x..3 Posloupnosti.3. Definice Posloupnost je funkce f, pro niž Dom f = N. (t.j. f : N R) Oznčení: f n = f(n), čstěji n, b n,... { n } n=, stručně { n } posloupnost n člen posloupnosti Posloupnosti mohou mít vlstnosti: ohrničenost, monotonie, periodicit (s periodou p N) zvedené v.. Nopk pojmy inversní nebo složená posloupnost nemjí smysl. Pltí: { n } n= je rostoucí ( n N)( n < n+ ) { n } n= je neklesjící ( n N)( n n+ ) podobně..3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má limitu píšeme lim n n =, nebo stručněji lim n =, n, jestliže ke kždému ε R, ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n < ε. Posloupnost, která má limitu, se nzývá konvergentní..3.3 Vět (o jednoznčnosti limity) Libovolná posloupnost má nejvýše jednu limitu. Připusťme, že pro { n } pltí lim n =, lim n = b, b. Nechť pro určitost < b. Položme ε = b. Pk ε > 0. Tedy existuje n N, že n n n < ε existuje n N, že n n n b < ε Položme n 0 = mx{n, n }. Pk pro n n 0 pltí ε < n < + ε, b ε < n < b + ε, tedy b ε < n < + ε poněvdž b ε = b b = b + + ε = + b = + b pltí b Vět < b +, což je spor. Konvergentní posloupnost je ohrničená. Nechť lim n = buď ε > 0. Existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 pltí ε < n < + ε. Buď h = mx{,,..., n0, + ε}, d = min{,,..., n0, ε}. Pk pro kždé n N pltí d n h. 5

16 .3.5 Poznámky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n =, lim b n = b. Jestliže existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n < b n, pk b. Připusťme > b položme ε = b. Pk ε > 0 existují n N, že pro n n je ε < n < + ε, n N, že pro n n je b ε < b n < b + ε. Pro n > n 3 = mx{n, n, n 0 } nyní je ε = + b < n < b n < b + ε = + b spor. Tvrzení zůstne v pltnosti i z předpokldu n b n pro n n 0.. Řekneme, že posloupnost { n } je skorostcionární, jestliže existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 je n =. Řekneme, že posloupnost { n } je stcionární, jestliže pro kždé n N je n =. (Skoro)stcionární posloupnost je konvergentní pltí lim n =. 3. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n = 0 {b n } buď ohrničená posloupnost. Pk lim n b n = 0. {b n } je ohrničená existuje h R, že b n < h pro kždé n N. Buď ε > 0 libovolné. K ε h > 0 existuje n 0 tkové, že pro n n 0 je n = n 0 < ε h. Pro n n 0 pltí n b n = n b n < ε h h = ε, tedy lim nb n = Jestliže posloupnost { n } je monotonní neohrničená, pk lim n = 0. Buď { n } neklesjící ε > 0 libovolné. Poněvdž je { n } neohrničená, existuje n 0 N tkové, že n0 > ε..3.6 Vět Poněvdž { n } je neklesjící, pro kždé n n 0 pltí n n0 > ε > 0. Odtud plyne, že pro n n 0 pltí 0 n = n = < ε, tedy lim = 0. n n Pro nerostoucí posloupnost se důkz provede nlogicky. Buďte { n }, {b n } konvergentní posloupnosti, lim n =, lim b n = b. Pk. existuje lim n pltí lim n =,. existuje lim( n + b n ) pltí lim( n + b n ) = + b, 3. existuje lim n b n pltí lim n b n = b, 4. existuje lim( n b n ) pltí lim( n b n ) = b, 5. pokud b 0, pk existuje lim n b n pltí lim n b n = b.. Buď ε > 0 libovolné. Pk existuje n 0 N, že pro n n 0 je n < ε. Pro n n 0 tedy pltí n n < ε, což znmená lim n =.. Buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí ( n +b n ) (+b) = ( n )+(b n b) n + b n b < ε + ε = ε tedy lim( n + b n ) = + b. 6

17 3. Je-li = 0, plyne tvrzení z.3.4 z Nechť 0 buď ε > 0 libovolné. Podle.3.4 existuje h R tkové, že b n < h pro kždé n N. K ε h > 0 existuje n N tkové, že pro n n je n < ε h. K ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < ε. Pro n n 0 mx{n, n } pltí obě nerovnosti součsně, tedy n b n b = n b n b n + b n b n b n b n + b n b = n b n + b n b < < ε h h + ε = ε + ε = ε. 4. Plyne z., Podle. je lim b n = b podle předpokldu b > 0. Tedy k b > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b, neboli b n > b b = b. Odtud plyne, že pro n n je Buď ε > 0 libovolné. K b ε > 0 existuje n N tkové, že pro n n je b n b < b ε Pro n n 0 = mx{n, n } je b n b = b b n b b n Podle 3. je lim n = lim n lim = b n b n b = b. < b ε b b = ε tedy lim b n = b.. b n < b. Poznmenejme, že z z.3.5. plyne: Jsou-li c R, { n } konvergentní posloupnost s lim n =, pk existuje lim(c n ) = c lim n = c..3.7 Vět (o třech posloupnostech, o sevření) Buďte { n }, {b n }, {c n } posloupnosti tkové, že existuje n N, že pro n n je n b n c n. Jestliže lim n = lim c n =, pk tké lim b n =. Buď ε > 0 libovolné. K němu existuje n N tkové, že pro n n je n < ε, neboli n > ε. Dále existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 je c n < ε, neboli c n < + ε. Pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí ε < n b n c n < + ε, neboli ε < b n < + ε, což znmená lim b n =..3.8 Příkld Pro R, > 0 je lim n =. n Pro = plyne tvrzení z Buď >. Pk n n pro kždé n N, neboli ( ) ( = + α) n, kde α n 0. n n Dále = ( + α n ) n = + nα n + α n + + α n n n + αn n + nα n. Odtud α n n. Celkem 0 α n. Podle je lim = lim n n n lim n = 0 tedy podle je lim α n = 0. Podle je lim n = + lim α n =. Buď 0 < <. Pk b = > tedy lim n b =. všk podle je = lim n b = lim lim n = lim n, z čehož plyne lim n =. 7

18 .3.9 Vět (o monotonních posloupnostech) Je-li posloupnost { n } n= neklesjící shor ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n = sup{ n : n N}. Je-li posloupnost { n } n= nerostoucí zdol ohrničená, pk je konvergentní pltí lim n = inf{ n : n N}. Je-li monotonní posloupnost { n } n= ohrničená, pk je konvergentní. Buď { n } neklesjící shor ohrničená posloupnost. Podle..7(R4) existuje = sup{ n : n N} R. Buď ε > 0 libovolné. Pk ε < podle..6(s ) existuje n0 { n } tkové, že n0 > ε. Poněvdž { n } je neklesjící, je n > ε pro kždé n n 0. Tedy pro n n 0 je ε < n < + ε, neboli lim n =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je důsledkem prvního druhého..3.0 Příkld {( Posloupnost + ) n } je rostoucí konvergentní. n ( n= (Znčíme lim + n) n = e, jest e = ) l S využitím binomické věty vzthu n + < l n, neboli l n + > l pro všechn n, l N dostneme: n ( + ) n+ n+ ( ) n n + = n + k (n + ) k > ( ) n + k (n + ) k = = = = = > = = = k=0 n k=0 n k=0 k=0 k=0 (n + )n(n ) (n k + ) k! n(n ) (n k + ) k! (n + ) k = (n + ) k = n n n k! n + n + n k + = n + k=0 n ( ) ( ) ( k ) k! n + n + n + n k=0 n k=0 n k=0 n k=0 k! k! ( n ) ( n ) n n n n n k + n (n )(n ) (n k + ) k! n(n )(n ) (n k + ) k! ( k n = ) n k = = n n k = k=0 ( n k > ) n k = ( + ) n n {( To znmená, že posloupnost + ) n } je rostoucí. n ( n= Položme n = + n) n+. Pk n 0 s využitím nerovnosti ( + x) m + mx pro x 0, m N (viz..3.8) dostneme: ( ) n + n+ n = ( n+ + = n n + n+ ( + ) n+ = n n + ( ) n+ n+ n n+ = n n + n+ ) n+ n n(n + ) n + ( n ) n+ + n + n = + n ( + n + ) = n n + =. n(n + ) n + n 8

19 Tedy n n+, posloupnost { n } je( nerostoucí, zdol ohrničená nulou. Podle.3.9 je konvergentní. Dále podle pltí lim + ) = tedy podle existuje n ( ( lim + n) n + ) n+ ( lim + ) n+ ( n n = lim ( + ) = ( lim + ) = lim + n+. n) n n.3. Definice Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n = (stručněji lim n =, n ) n jestliže ke kždému h R existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n > h. Řekneme, že posloupnost { n } má nevlstní limitu píšeme lim n = (stručněji lim n =, n n ) jestliže ke kždému h R existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 pltí n < h. Má-li posloupnost { n } nevlstní limitu, řekneme, že je určitě divergentní. Nemá-li posloupnost { n } limitu ni nevlstní limitu, řekneme, že je oscilující. Nhrdíme-li v tvrzeních.3.3,.3.5.,.3.7 slovo limit slovem nevlstní limit, zůstnou tto tvrzení v pltnosti..3. Poznámky. Buď { n } konvergentní posloupnost, lim n = 0. Jestliže existuje n N tkové, že pro kždé n n je n > 0 (resp. n < 0, resp. n 0), pk lim = (resp. lim =, resp. lim n n n = ). Buď h > 0 libovolné. Poněvdž lim n = 0, existuje n N tkové, že pro kždé n n je n < h. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí = > h, tedy lim =. n n n Druhé tvrzení se dokáže nlogicky, třetí je jejich důsledkem.. Nechť lim n =, (resp. lim n = ) nechť posloupnost {b n } je zdol (resp. shor) ohrničená. Pk lim( n + b n ) = (resp. lim( n + b n ) = ). Existuje k R, že b n > k pro kždé n N. Buď h R libovolné. Poněvdž lim n =, existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 je n > h k. Tedy pro n n 0 je n + b n > h k + k = h, což znmená lim( n + b n ) =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky. 3. Nechť lim n = nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > 0 tková, že pro n n je b n > δ (resp. b n < δ). Pk lim n b n = (resp. lim n b n = ). Nechť lim n = nechť {b n } je posloupnost tková, že existují n N, δ > 0 tková, že pro n n je b n > δ (resp. b n < δ). Pk lim n b n = (resp. lim n b n = ). Buď h R libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n je n > h δ. Pro n n 0 = mx{n, n } pltí n b n > h δ δ = h, což znmená lim nb n =. Zbývjící tvrzení se dokáží nlogicky. Předpokld { } b n > δ pro n n nelze zeslbit n b n > 0 pro n n. Npříkld pro { n } = {n}, {b n } = n je podle lim n b n = lim n = Nechť lim n = {b n } je ohrničená posloupnost. Pk lim n = 0 lim b n n = 0. 9

20 Buď ε > 0 libovolné. Existuje n 0 N, že pro n n 0 je n > ε, tedy 0 n = n = n < ε. Druhé tvrzení nyní plyne z Je-li posloupnost { n } neklesjící (resp. nerostoucí) není ohrničená shor (resp. zdol), pk je určitě divergentní lim n = (resp. lim n = ). Buď h R libovolné. Poněvdž { n } není ohrničená shor, existuje n 0 N tkové, že n0 > h. Poněvdž { n } je neklesjící, pro n n 0 je n n0 > h, tedy lim n =. Druhé tvrzení se dokáže nlogicky..3.3 Definice Nechť { n } n= je posloupnost {n k } k= je rostoucí posloupnost přirozených čísel. Posloupnost { n k } k= se nzývá vybrná z posloupnosti { n } n=. Npříkld { n } = {, 4, 6,... }, { n } = {, 4, 9,... }, { n } n=m = { m, m+, m+,... } jsou posloupnosti vybrné z { n }. Poznámk: Sndno ověříme, že posloupnost { n } je rostoucí, klesjící, nerostoucí, neklesjící, ohrničená shor, ohrničená zdol, ohrničená, stcionární právě tehdy, když kždá posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n } má stejnou vlstnost..3.4 Vět lim n n = R právě tehdy, když pro kždou posloupnost { nk } k= vybrnou z posloupnosti { n} n= pltí lim k n k =. Nechť R buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n 0 N tkové, že n < ε pro kždé n n 0. Poněvdž {n k } k= je rostoucí posloupnost přirozených čísel, existuje k 0 N tkové, že n k0 n 0 n k n k0 pro kždé k k 0. Tedy pro kždé k k 0 je nk < ε, což znmená lim =. Pro = nebo = dokážeme tvrzení nlogicky. je triviální. Je-li lim k n k = pro kždou {n k } k=, pltí to zejmén pro n k = k. k n k.3.5 Definice Číslo R nzveme hromdným bodem posloupnosti { n }, jestliže ke kždému n 0 N kždému ε > 0 existuje n n 0 tkové, že n < ε. je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje nekonečně mnoho indexů m N tkových, že m < ε pro kždé ε > 0. Npříkld posloupnost {( ) n } = {,,,,,... } má dv hromdné body..3.6 Vět Číslo R je hromdným bodem posloupnosti { n } právě tehdy, když existuje posloupnost { nk } vybrná z posloupnosti { n }, která konverguje k číslu. 0

21 Nechť je hromdným bodem posloupnosti { n }. K ε =, n 0 = existuje n N, n tkové, že n <. K ε = k n + N existuje n N, n > n tkové, že n <. K ε 3 = 3 k n + N existuje n 3 N, n 3 > n tkové, že n3 < 3. Tímto způsobem postupujeme dále. Výsledkem konstrukce je rostoucí posloupnost přirozených čísel {n k } tkových, že nk < k. k = 0, ke kždému ε > 0 existuje k 0 N tkové, že k 0 = k < ε pro kždé k k 0. Poněvdž lim k Tedy pro k k 0 pltí nk < k < ε, což znmená lim k n k =. Jestliže existuje { nk } tková, že lim n k =, pk ke kždému ε > 0 existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k k 0 tedy pro nekonečně mnoho indexů k pltí nk < ε, což znmená, že je hromdným bodem posloupnosti { n }. Z.3.4 plyne: Je-li lim n = R, pk je jediným hromdným bodem posloupnosti { n }..3.7 Lemm Buď { n } posloupnost M množin hromdných bodů této posloupnosti. Nechť M. Je-li M shor (resp. zdol) ohrničená, pk existuje mx M (resp. min M). Podle..7(R4) existuje = sup M. Buď ε > 0 libovolné. Pk ε < podle..6(s ) existuje hromdný bod m M tkový, že m > ε. Tedy ε = m + ε > 0. Dále m ε = m (m + ε) = ε, m + ε = m + (m + ε) + + ε = + ε, neboť = sup M m. Odtud plyne, že (m ε, m + ε ) ( ε, + ε). Podle definice hromdného bodu leží v (m ε, m + ε ) nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, tedy i v ( ε, + ε) leží nekonečně mnoho členů posloupnosti { n }, což znmená, že je hromdný bod posloupnosti { n }, M tedy podle..6.4 = mx M. Druhá část tvrzení se dokáže nlogicky..3.8 Vět (Bolzno [78 848], Weierstrss [85 897]) Kždá ohrničená posloupnost má lespoň jeden hromdný bod. Buď { n } ohrničená posloupnost, h n H pro kždé n N. Položme M k = { n : n > k}. M k, M k je shor ohrničená (H je její horní závor). Existuje tedy b k = sup M k. Zřejmě b k h pro kždé k N poněvdž M k M k+, pltí b k b k+. Tedy posloupnost {b k } k= je nerostoucí zdol ohrničená. Podle.3.9 je {b k} k= konvergentní, lim b k = b. k Ukážeme, že b je hromdný bod posloupnosti { n }. Buď ε > 0 libovolné. Existuje k 0 N, že pro kždé k k 0 jest b k b < ε, neboli b k < b + ε. Pro k k 0 je tké b k = sup{ n : n k} k. Celkem k b k < b + ε. Připusťme, že b není hromdný bod posloupnosti { n }. Pk v intervlu (b ε, b + ε) leží pouze konečný počet členů této posloupnosti. To vzhledem k poslední nerovnosti znmená, že existuje n 0 k 0 tkové, že pro k n 0 je k b ε. Tedy i b k = sup{ n : n k} b ε. Podle.3.5. je b = lim b k b ε, což je spor. k.3.9 Důsledky. Z kždé ohrničené posloupnosti lze vybrt posloupnost konvergentní. plyne z Je-li množin hromdných bodů posloupnosti prázdná, je posloupnost neohrničená.

22 .3.0 Definice Buď { n } n= posloupnost M množin jejích hromdných bodů. Nechť M. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n = lim sup n = mx M, je-li n { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n = lim inf n = min M. Není-li { n } ohrničená shor, kldeme n lim sup n =, není-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim inf n =. Nechť M =. Je-li posloupnost { n } ohrničená shor, kldeme lim sup n = lim inf n =, je-li { n } ohrničená zdol, kldeme lim sup n = lim inf n =. Není-li { n } ohrničená shor ni zdol, kldeme lim sup n =, lim inf n =. Číslo lim sup n se nzývá limes superior posloupnosti { n } n=, číslo lim inf n se nzývá limes inferior posloupnosti { n } n=. Stručně: lim sup n je největší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená shor, lim inf n je nejmenší hromdný bod posloupnosti { n }, pokud je tto posloupnost ohrničená zdol..3.7 ukzuje, že definice je korektní. nlogickou úvhou jko v důkzu věty.3.8 lze ukázt, že lim sup n = lim k (sup{ n : n > k}), lim inf n = lim k (inf{ n : n > k}). Zřejmě pltí: lim inf n lim sup n. lim inf n = lim sup n právě tehdy, když existuje vlstní nebo nevlstní limit lim n..3. Definice Posloupnost { n } se nzývá cuchyovská, jestliže ke kždému ε R, ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro kždé n n 0 kždé m n 0 pltí m n < ε..3. Vět (Cuchyovo Bolznovo kriterium konvergence) Posloupnost { n } n= je konvergentní právě tehdy, když je cuchyovská. Nechť { n } je konvergentní, lim n =. Buď ε > 0 libovolné. K ε > 0 existuje n 0 N tkové, že pro n n 0 je n < ε pro m n 0 je m < ε. Tedy pro n n 0 m n 0 pltí m n = m + n m + n < ε + ε = ε. Nechť { n } je cuchyovská. K číslu existuje ñ tkové, že pro n ñ pltí n ñ <, tedy ñ < n < ñ +. Položme h = min{,,..., ñ, ñ }, H = mx{,,..., ñ, ñ + }. Pk pro kždé n N je h n H, tedy { n } je ohrničená podle.3.9. existuje vybrná posloupnost { nk } k= tková, že lim k n k = R. Buď ε > 0 libovolné. K ε existuje k 0 N tkové, že pro kždé k k 0 je nk < ε. Součsně existuje n 0 N tkové, že pro m, n n 0 je m n < ε. Buď n n 0 libovolné. Zvolme k k 0 tkové, že n k n 0. Pk n = n nk + nk n nk + nk < ε + ε = ε, tedy lim n =.

23 .4 Diferenční sumční počet.4. Definice Buď { n } n= posloupnost. Posloupnost { n } n= jejíž členy jsou dány vzthem n = n+ n nzýváme (první) diference (vpřed) posloupnosti { n } n=. Zřejmě pltí: Posloupnost { n } je rostoucí (klesjící) právě tehdy, když všechny členy posloupnosti { n } jsou kldné (záporné)..4. Definice Řekneme, že k N je uzel posloupnosti { n }, jestliže k = 0 nebo k k < Vět Buď { n } posloupnost, k N. Jestliže k > k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }; jestliže k < k k k+, pk k je uzel posloupnosti { n }. Nechť k > k, k > k+. Pk k = k+ k < 0, k = k k > 0, tedy ( k )( k ) < 0. Nechť k > k, k = k+. Pk k = k+ k = 0. nlogicky lze ukázt pltnost druhého tvrzení..4.4 Vět Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R. Pk pltí. (c n ) = c n,. ( n + b n ) = n + b n, 3. ( n b n ) = n b n, 4. ( n b n ) = ( n )b n+ + n ( b n ) = ( n )b n + n+ ( b n ), ( ) n 5. Pokud b n b n+ 0, pk = ( n)b n n ( b n ). b n b n+. (c n ) = c n+ c n = c( n+ n ) = c n. b n. ( n + b n ) = ( n+ + b n+ ) ( n + b n ) = ( n+ n ) + (b n+ b n ) = n + b n. 3. Plyne z.. 4. Pltí ( n b n ) = n+ b n+ n b n = n+ b n+ n b n+ + n b n+ n b n = = ( n+ n )b n+ + n (b n+ b n ) = ( n )b n + n+ ( b n ), tkže první vzth pltí. Druhý plyne z prvního z komuttivity násobení. ( ) 5. = = b n b n+ = b n. b n b n+ ( b n ) b n b n+ b n b n+ n Podle 4. nyní je = ( ) n + n = n b n n = ( n)b n n ( b n ). b n+ b n+ b n b n+ b n b n+ b n b n 3

24 .4.5 Definice Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Sumu členů posloupnosti { n } v mezích od m do k definujeme vzthem k i = m + m+ + + k..4.6 Vět i=m Buďte { n }, {b n } posloupnosti, c R, m, k N, m k. Pk k c i = c i=m k ( i ± b i ) = i=m k i, i=m k i ± i=m Plyne přímo z distributivního socitivního zákon..4.7 Vět k b i. Buďte { n } posloupnost, m, k N, m k. Oznčme [ n ] k n=m = k m. Pk pltí k i=m i = [ i ] k+ i=m. k n = ( m+ m ) + ( m+ m+ ) + + ( k k ) + ( k+ k ) = k+ m. i=m Vět ukzuje, že diference sumce jsou v jistém smyslu inversní operátory..4.8 Vět (Sumce per prtes ) Buďte { n }, {b n } posloupnosti, m, k N, m k. Pk pltí Ř.: Podle pltí k i=m k [ n b n ] k+ n=m = ( i b i ) = i=m i b i = [ n b n ] k+ n=m i=m k ( i )b i+. i=m k (( i )b i+ + i b i ) = i=m Příkld: Njděte součet n. n i = i= n i ((i + ) i) = i= = (n + ) 3 = n 3 + 3n + 3n k ( i )b i+ + i=m n i i = [ i 3] n+ n ( i= i ) (i + ) = i= i= n ( (i + ) i ) (i + ) = n 3 + 3n + 3n i= n (i + 3i + ) = n 3 + 3n + 3n i= = n 3 + 3n n(n + ) + 3n n 3 4 n i= i i= k i b i. i=m n (i + )(i + ) = i= n n n 3 i i = i= = n3 + 6n + 4n 3n 3n i= n i. i=

25 Odtud n i= i = n3 + 3n + n 6 = n(n + )(n + ) Vět (Sztolz [84 903]). Nechť { n } n= je posloupnost tková, že lim n = 0 {b n } n= je ryze monotonní posloupnost tková, n že lim b n n = 0. Jestliže lim = c R n, pk tké lim = c. n n b n n b n. Nechť { n } je posloupnost {b n } je neohrničená rostoucí posloupnost. Jestliže lim n tké lim = c. n b n. Nechť pro určitost je {b n } n= klesjící. n c R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n 0 N tkové, že pro kždé k N, k n 0 pltí poněvdž b k+ < b k, pltí c ε < k+ k b k+ b k = k k+ b k b k+ < c + ε, (c ε)(b k b k+ ) < k k+ < (c + ε)(b k b k+ ). Tto nerovnost pltí pro kždé k n 0, tedy pro kždé m, n N, m > n > n 0 pltí: (c ε)(b n b n+ ) < n n+ < (c + ε)(b n b n+ ) (c ε)(b n+ b n+ ) < n+ n+ < (c + ε)(b n+ b n+ ).. (c ε)(b m b m ) < m m < (c + ε)(b m b m ). Seštením těchto nerovností dostneme (c ε)(b n b m ) < n m < (c + ε)(b n b m ). Podle je lim (c ε)(b n b m ) = (c ε)(b n lim b m) = (c ε)b n. m m Podobně lim (c + ε)(b n b m ) = (c + ε)b n, lim ( n m ) = n. Tedy podle.3.5. je m m (c ε)b n n (c + ε)b n. Poněvdž {b n } n= je klesjící lim n b n = 0, je b n > 0 pro kždé n N tedy c ε n b n c + ε. n Tto nerovnost pltí pro kždé n > n 0, což znmená, že lim = c. n b n c =. Buď K R libovolné. Existuje n 0 N tkové, že pro kždé k N, k n 0 pltí k+ k b k+ b k = k k+ b k b k+ > K. Odtud pro kždé m, n N, m > n > n 0 dostneme: k k+ > K(b k b k+ ) / m k=n n m > K(b n b m ) / lim n Kb n / b n n K, b n 5 m n b n = c R, pk

26 n což znmená, že lim =. n b n c =. nlogicky jko předchozí přípd. Je-li {b n } n= rostoucí, provedeme důkz nlogicky.. Nejdříve dokážeme pomocné tvrzení: Jsou-li α, α,..., α k reálná čísl β, β,..., β k kldná reálná čísl, m, M R tková, že pro kždé i {,,..., k} pltí m < α i β i < M, pk Důkz provedem úplnou indukcí vzhledem ke k. m < α β < M je splněno triviálně. m < α + α + + α k β + β + + β k < M. Z indukčního předpokldu m < α + α + + α k β + β + + β k z předpokldu tvrzení < M, neboli m(β + β + + β k ) < α + α + + α k < M(β + β + + β k ) dostneme sečtením dokzovnou nerovnost. mβ k < α k < Mβ k c R. Buď ε > 0 libovolné. Existuje n N tkové, že pro n n pltí c ε < n+ n b n+ b n < c + ε. Poněvdž {b n } je podle předpokldu neohrničená rostoucí, lze bez újmy n obecnosti předpokládt b n 0. Položme α = n+ n, α = n+ n+,..., α k = n n, β = b n+ b n, β = b n+ b n+,..., β k = b n b n. Podle pomocného tvrzení je c ε < n n < c + ε b n b n, neboli n n c b n b n < ε. Dále pltí n c b n = = = = n n + n c b n b n = n n b n b n + n c b n b n b n b n = ( ) n n bn b n c + b n b n c + n c b n b n b n b n b n = ( ) n n bn b n c + (b n b n )c + n cb n b n b n b n b n = ( ) ( n n c b ) n + n cb n b n b n b n b n n n c b n b n b n + n cb n. b n Poněvdž podle je lim = 0 pro n > n je b n n b n b n n N, n > n tkové, že pro n n pltí 0 b n b n b n b n. 6 b n b n, neboli 0, tk existuje

27 n cb n Poněvdž lim n b n = 0, existuje n 3 N tkové, že pro n n 3 pltí n cb n b n < ε. Tedy pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí n c b n < ε + ε = ε, n což znmená, že lim = c. n b n c =. Buďte h R, ε > 0 libovolná čísl. Poněvdž lim n n+ n b n+ b n neboli vzhledem k tomu, že b k+ b k > 0 =, existuje n N tkové, že pro k n je k+ k b k+ b k > (h + ε), k+ k > (h + ε)(b k+ b k ). Sečtením těchto nerovnic pro k od n do n dostneme ( n > (h + ε) b n b n b n b n Poněvdž podle je lim n b n pltí b n b n existuje n 3 N, že pro n n 3 pltí Tedy pro n n 0 = mx{n, n, n 3 } pltí n což znmená, že lim =. n b n c =. nlogicky jko předchozí přípd. n n > (h + ε)(b n b n ) ) + n. b n n = 0 lim = 0, existuje n N, že pro n n n b n <, neboli b n > b n n b n > ε. n b n > (h + ε) ε = h, Poznámky: Předpokld o ryzí monotonii posloupnosti {b n } n= v první části věty obecně nelze vynecht. Je-li npříkld n = n b n = ( )n, pk lim n+ n lim n b n+ b n n b n = n ( ) n n = lim n n n = lim b n = 0, n n n+ n ( ) n+ ( n+ + n ) = lim n n n ( )n+ n + n + = lim n = ( ) n posloupnost {( ) n } n= = {,,,,,,... } je oscilující. 7 ( ) n = 0 podle.3..4, všk n +

28 Jestliže neexistuje vlstní ni nevlstní lim n nelze nic tvrdit o existenci lim. n b n n n+ n b n+ b n osttní předpokldy Sztolzovy věty jsou splněny, Je-li npříkld n = ( )n n, b n =, pk lim n n = 0, {b n } je klesjící lim b n = 0. Přitom n n posloupnost n b n = ( ) n+ (n + ) ( )n n n + n = ( ) n+ n + (n + ) n (n + ) n (n + ) n(n + ) = ( ) n n + n + n + n { } ( ) n n + n + n = { 5 + n, 3 6, 5, 4 0, 6 30, 85 4,... } nemá limitu. le n lim = lim n b n n ( ) n n n ( ) n = lim n n = 0. { } (n!) Příkld: Rozhodněte, zd posloupnost je konvergentní pokud no, určete její limitu. (n)! Ř.: Oznčme n = (n!) (n)!. Pk pro kždé n N pltí n 0 n+ n = ((n + )!) (n)! ((n + ))! (n!) = 4 + 8( + ) 4 + = 5 <, (n + ) (n + )(n + ) = n + (n + ) = n + + 4(n + ) = 4 + 8(n + ) neboli n+ < n. To znmená, že { n } je klesjící, zdol ohrničená posloupnost tedy podle.3.9 existuje = lim n n R. Posloupnost {(n)!} je rostoucí neohrničená, tedy (n!) = lim n (n)! (n!) = lim n (n)! ((n + )!) (n!) = lim n (n + )! (n)! lim n neboli = 4. Odtud = 0..5 Elementární funkce. Polynomy.5. Definice n + n 4n + 6n + = lim n (n!) ((n + ) ) = lim n ((n)!) ((n + )(n + ) ) = + n n + n = 4, Buďte n N {0}, 0,,..., n R, n 0. Polynom (rcionální funkce celistvá) je funkce tvru P (x) = n x n + n x n + + x + 0. Číslo n se nzývá stupeň polynomu, znčíme n = st P. Čísl 0,,..., n se nzývjí koeficienty polynomu. Je-li st P =, polynom se nzývá lineární. Je-li st P =, polynom se nzývá kvdrtický. Je-li st P = 3, polynom se nzývá kubický. 8

29 Je-li st P = 4, polynom se nzývá bikvdrtický. Číslo 0 nzveme nulovým polynomem. Nepřiřzujeme mu stupeň. (, ), st P je lichý Dom P = R, Im P = [, ), st P je sudý, n > 0. (, ], st P je sudý, n < 0 Komplexní čísl: C = { + ib :, b R}, kde i = ( + ib ) + ( + ib ) = ( + ) + i(b + b ) ( + ib ) ( + ib ) = ( b b ) + i( b + b ) Je-li α = + ib C, β C pk ᾱ = ib číslo komplexně sdružené (konjugovné) α = αᾱ = + b bsolutní hodnot (modul) komplexního čísl α + β = ᾱ + β αβ = ᾱ β α n = ᾱ n pro n N α R b = 0 α = ᾱ Množin komplexních čísel s opercemi +, splňuje (R) (R9) z..7. Tvoří tedy pole. Toto pole nelze uspořádt..5. Definice Číslo α C se nzývá kořen (nulový bod) polynomu P, jestliže pltí P (α) = 0. Je-li α kořenem polynomu P, pk lineární polynom x α nzveme kořenovým fktorem polynomu P..5.3 Zákldní vět lgebry Kždý polynom stupně n s komplexními koeficienty má komplexní kořen. Tto vět je známá od 7. století. První (chybný) pokus o důkz publikovl d lembert roku 746, větu dokázl Guss roku Vět Buď P (x) polynom, st P = n. Číslo α C je kořenem polynomu P právě tehdy, když existuje polynom Q, st Q = n tkový, že P (x) = (x α)q(x). Nechť P (x) = n x n + n x n + + x + 0, α je kořenem P. Pk P (x) = P (x) 0 = P (x) P (α) = = n x n + n x n + + x + 0 ( n α n + n α n + + α + 0 ) = = n (x n α n ) + n (x n α n ) + + (x α) + 0 ( ). Pro kždé k N pltí (x k α k ) : (x α) = x k + x k α + x k 3 α + + xα k + α k. Tedy P (x) = n (x α)(x n +x n α+ +α n )+ n (x α)(x n +x n 3 α+ +α n )+ + (x α). Oznčíme Q(x) = n (x n + x n α + + α n ) + n (x n + x n 3 α + + α n ) + + dostneme tvrzení. je zřejmé. P (x), st P = n. Podle.5.3 má P kořen α, tedy P (x) = (x α )Q (x). Je-li st Q, pk Q (x) = (x α )Q (x), tedy P (x) = (x α )(x α )Q (x). nlogicky pokrčujeme po n krocích dostneme P (x) = n (x α )(x α ) (x α n ). Může se stát, že α = α = = α k, k n. Pk (x α )(x α ) (x α k ) = (x α ) k. Celkem P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km, přičemž k, k,..., k m N, k + k + + k m = n. 9

30 .5.5 Definice Číslo α C se nzývá k-násobný kořen polynomu P (x), jestliže P (x) = (x α) k Q(x), kde Q(x) je polynom nemjící kořen α. (-násobný kořen se nzývá jednoduchý.).5.6 Vět (o rozkldu polynomu n kořenové fktory) Nechť P (x) = n x n + n x n + + x + 0 je polynom, st P = n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho nvzájem různé kořeny, přičemž α je k -násobný, α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Pk P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km, k, k,..., k m N, k + k + + k m = n. Důsledek: Polynom stupně n má právě n kořenů, jestliže k-násobný kořen počítáme k krát..5.7 Příkld P (x) = x 5 + x 4 + x 3 x x = x 3 (x + x + ) (x + x + ) = (x 3 )(x + x + ) = ( ( )) ( ( )) = (x )(x + x + )(x + x + ) = (x ) x + i 3 x i Vět Nechť polynom P (x) = n x n + n x n + + x + 0 má reálné koeficienty komplexní kořen α. Pk má tké komplexně sdružený kořen ᾱ násobnosti kořenů α ᾱ jsou stejné. Pro x R je x = x tedy P (x) = ā n x n + ā n x n + + ā 0 = n x n + n x n = P (x). Podle.5.6 je P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km tedy P (x) = n (x ᾱ ) k (x ᾱ ) k (x ᾱ m ) km. Z rovnosti P (x) = P (x) plyne tvrzení. Polynom s reálnými koeficienty se nzývá reálný polynom..5.9 Vět (o rozkldu reálného polynomu v reálném oboru n ireducibilní polynomy) Buď P (x) = n x n + n x n + + x + 0 reálný polynom, st P = n. Nechť α, α,..., α m jsou všechny jeho reálné kořeny, přičemž α je k -násobný,..., α m je k m -násobný. Nechť ± ib, ± ib,..., r ± ib r jsou všechny jeho imginární kořeny, přičemž ± ib je l -násobný,..., r ± ib r je l r násobný. Pk je P (x) = n (x α ) k (x α ) k (x α m ) km [(x ) + b ] l [(x ) + b ] l [(x r ) + b r ] lr, k + k + + k m + l + l + + l r = n. Podle v rozkldu polynomy P (x) vystupuje součin fktorů (x ( j + ib j )) lj (x ( j ib j )) lj = (x ( j + ib j )x ( j ib j )x + ( j + ib j )( j ib j )) lj = = (x j x + j + b j + i( jb j j b j )) lj = (x j x + j + b j )lj = [(x j ) + b j ]lj. Fktory (x j ) +b j se někdy nhrzují kvdrtickým polynomem x +p j x+q j se záporným diskriminntem p j 4q j..5.0 Příkld Viz též.5.7. x 5 + x 4 + x 3 x x = (x ) ( ( x + i 3 nebo x 5 + x 4 + x 3 x x = (x )(x + x + ). )) ( ( x i 3 )) = (x ) ( (x + ) )