Czech Technical University in Prague Faculty of Electrical Engineering. Fakulta elektrotechnická. České vysoké učení technické v Praze

Transkript

1

2 Metoda uzlových napětí V předchozích přednáškách jsme se seznámili se dvěma základními zákony analýzy elektrických obvodů Kirchhoffovými zákony. Metoda uzlových napětí zobecňuje použití prvního (proudového) Kirchhoffova zákona a zavádí jednoduchý, algoritmický postup sestavení rovnic, nezbytných k výpočtu všech napětí (a odtud i proudů) v obvodu Kroky, nutné k výpočtu napětí v uzlech obvodu: 1. Jeden z uzlů obvodu zvolíme jako referenční (zem, s nulovým potenciálem). Nebudeme se nyní zabývat tzv. zobecněnou metodou uzlových napětí, kde je referenční uzel volen mimo obvod. 2. Napětí v n - 1 zbývajících uzlech označíme U 1, U 2,, U n-1 (U A, U B,, nebo jiným jednoznačným způsobem). Napětí v každém z těchto n - 1 uzlů je vztaženo vzhledem k referenčnímu uzlu. 3. V každém z n 1 uzlů napíšeme rovnici podle prvního Kirchhoffova zákona. Proudy, tekoucí jednotlivými obvodovými prvky, vyjadřujeme podle Ohmova zákona z napětí na těchto prvcích. Tak dostaneme soustavu n 1 rovnic o n 1 neznámých. 4. Některou z metod lineární algebry (Gaussova eliminace, Cramerovo pravidlo, inverzní matice), vypočítáme hodnotu všech proměnných: n 1 uzlových napětí. Opakování uzel = vodivé spojení 2 nebo více obvodových prvků

3 1) Volba referenčního uzlu: Obvykle (zesilovače, apod.) je umístění referenčního uzlu určeno přímo konstrukcí daného obvodu, a ve schématu obvodu bývá přímo vyznačen zem, kostra, nulová ekvipotenciála, uzemnění kostra ekvipotencionalita Pokud není referenční uzel určen přímo konstrukcí obvodu, pak je vhodné zvolit ten uzel, do kterého je zapojeno nejvíce zdrojů napětí zjednoduší se tím výsledné rovnice Referenční uzel bude ve většině případů ve spodní části obvodu 2) Zápis rovnic podle prvního (proudového) Kirchhoffova zákona pro jednotlivé uzly: Proud, tekoucí rezistorem: U H Jak poznáme, ve kterém uzlu je napětí vyšší, a ve kterém nižší? - nepoznáme! Ani nemůžeme, protože neznámá napětí chceme metodou uzlových napětí teprve vypočítat. Stačí, když ve všech uzlech obvodu budeme předpokládat stejnou orientaci všech napětí / proudů. Orientace napětí v jednotlivých uzlech je dána konvencí: Ve všech uzlech obvodu, ve kterých sestavujeme obvodové rovnice metodou uzlových napětí předpokládáme, že napětí v daném uzlu je vyšší, nežli napětí v uzlu sousedním (resp., že všechny proudy, s výjimkou proudových zdrojů, vytékají ven z uzlu). U R U L

4 V obvodu na obrázku je proud vnucen zdrojem proudu, vtéká do uzlu (1) Všechny ostatní proudy (pasivními prvky) v obvodu v obou uzlech z uzlu vytékají Proudy, tekoucí jednotlivými rezistory: V uzlu (1): V uzlu (2): R2 R1 R 2 R2 (1) (2) U 1 R 1 U 2 R 3 U 21 U 12 R3

5 Výsledná soustava rovnic: Soustavu rovnic můžeme zapsat v maticovém tvaru: Řešení např.: Nebo Cramerovým pravidlem (pokud nás zajímá pouze určité napětí): R2 R1 R 2 R2 (1) (2) R 1 R 3 R3

6 R2 R1 R 2 R2 (1) (2) R 1 R 3 R3 Příklad: R 1 = 1 kω, R 2 = 1 kω, R 3 = 3 kω = 10 ma Cramerovo pravidlo: pokud nás zajímá např. napětí U 1, nahradíme první sloupec matice proudovou maticí nverzní matice: v Matlabu: >> G = [0.002, ; , /3000]; >> = [0.01; 0]; >> U = G^-1 * Nebo U = inv(g) *, nebo U = G \

7 (1) R2 (1) R1 R 2 R 1 R 3 V případě, kdy nás nezajímá napětí v uzlu mezi dvěma do série zapojenými rezistory, v našem obvodu v uzlu (2), je samozřejmě možné oba rezistory sloučit a obvod tak zjednodušit (U) (1) (2) R 1 R 3 U R 2 R Zdroj napětí, zapojený do referenčního uzlu V uzlu, ve kterém je zapojen zdroj napětí, napětí počítat nemusíme, neboť ho známe (a navíc bychom ani nemohli vyjádřit proudový Kirchhoffův zákon jaký proud teče zdrojem napětí???) počet obvodových rovnic se v případě metody uzlových napětí snižuje o počet zdrojů napětí, zapojených v obvodu R 1 R1 R2 R 23

8 Matlab: >> G = [1/8 + 1/8 + 1/10, -1/10; -1/10, 1/10 + 1/10]; >> = [40/8-3; 3 + 2]; >> U = G \ ans = Zdroj napětí, který není zapojený do referenčního uzlu plovoucí zdroj Víme, že se počet obvodových rovnic v případě metody uzlových napětí snižuje o počet zdrojů napětí, zapojených v obvodu a že neumíme vyjádřit proud, tekoucí zdrojem napětí. Uvažujme následující obvod: R 1 R2 R3 U 1 2 U 2 (U 1 ) (B) (A) V obvodu jsou celkem 4 uzly. 1 je referenční obvod bude popsán pouze jednou jedinou rovnicí V obvodu jsou 2 zdroje napětí

9 U A + U 2 R 1 R2 R3 U 1 2 V uzlu (A) bychom mohli napsat rovnici: Podobně v uzlu (B): Proudy, tekoucí rezistory vyjádříme z Ohmova zákona; proud, který teče zdrojem napětí U 2 přímo vyjádřit neumíme, ale tento proud je v obou rovnicích rovnice můžeme sloučit do jedné: V případě, kdy zdroj napětí není zapojen do referenčního uzlu, můžeme (resp. musíme) obě jeho svorky obepnout jednou Jordanovo křivkou, tedy zahrnout do jednoho tzv. superuzlu, pro který píšeme pouze jednu rovnici. Napětí v uzlech, do kterých je zdroj napětí zapojen, se liší právě o napětí tohoto zdroje. U 2 (U 1 ) (B) (A) + Jordanova křivka; SUPERUZEL

10 Pravidla pro přímé sestavení matic (1) R 2 R 1 (2) R 4 R 3 (3) R 5 Obvod popisují 3 rovnice: Matice je symetrická podle hlavní diagonály Prvky na hlavní diagonále součet všech vodivostí, zapojených do daného uzlu Ostatní pozice součet vodivostí, zapojených do větve mezi uzly i a j se záporným znaménkem Pravá strana součet zdrojů proudu, zapojených do i-tého uzlu

11 Pravidla pro přímé sestavení matic pokud obvod obsahuje zdroj napětí (U) U R 2 R 1 (1) R 4 R 3 (2) R 5 Obvod popisují pouze 2 rovnice: Zdroje napětí transformované na zdroje proudu, zapojené přes rezistor přímo do i-tého uzlu

12 (1) R 1 (2) R 2 R 3 r R 4 (U v ) Obvody s řízenými zdroji U v = R r Symetrie vodivostní matice je narušena matici není možné sestavit přímo (bez zavedení dalších pravidel)

13 Metoda smyčkových proudů Zatímco uzly jsou v obvodu snadno a jednoznačně identifikovatelné, v případě smyček to platí pouze u jednoduchých obvodů. V případě složitějších obvodů, zvláště těch, které nejsou planární (není možné nakreslit obvodové schéma, aniž by se v něm nekřížily alespoň 2 větve), je k identifikaci smyček potřeba využít teorie grafů. Počet lineárně nezávislých rovnic můžeme stanovit podle vzorce: kde v je počet větví obvodu u je počet uzlů v obvodu N i je počet zdrojů proudu (nezávislých i řízených) Metoda smyčkových proudů zobecňuje použití druhého (napěťového) Kirchhoffova zákona a zavádí jednoduchý, algoritmický postup sestavení rovnic, nezbytných k výpočtu všech proudů (a odtud eventuelně napětí) v obvodu Kroky, nutné k výpočtu proudů ve smyčkách obvodu: 1. dentifikujeme všechny nezávislé smyčky v obvodu. Proudy v těchto n smyčkách označíme 1, 2,, n ( A, B,, nebo jiným jednoznačným způsobem). 2. V každé z těchto n smyček napíšeme rovnici podle druhého Kirchhoffova zákona. Napětí na jednotlivých obvodových prvcích vyjadřujeme podle Ohmova zákona z proudů, které tečou těmito obvodovými prvky. Tak dostaneme soustavu n rovnic o n neznámých. 3. Některou z metod lineární algebry (Gaussova eliminace, Cramerovo pravidlo, inverzní matice), vypočítáme hodnotu všech proměnných: n smyčkových proudů.

14 Je zřejmé, že proudy, tekoucí jednotlivými větvemi mohou, ale nemusí být totožné s proudy smyčkovými proud větví je součtem smyčkových proudů, které danou větví prochází V daném obvodu vyznačíme oba smyčkové proudy; rovnice, popisující tento obvod budou: Konvence: V každé smyčce předpokládáme kladnou orientaci toho smyčkového proudu, pro který právě píšeme danou rovnici Zdroj napětí má záporné znaménko v případě, kdy smyčka vstupuje do jeho záporné svorky a kladné v případě, kdy vstupuje do kladné svorky Soustavu rovnic můžeme opět zapsat v maticovém tvaru: Řešení:

15 U 1 Obvody obsahující zdroje proudu R 1 U 2 1 R 2 2 R 3 Obvod sice obsahuje 3 smyčky, ale sestavíme pouze 2 rovnice: Zdrojem proudu nesmí procházet smyčka, pro kterou sestavujeme rovnici neznáme a neumíme vyjádřit napětí na svorkách proudového zdroje Proud zdroje musí být ale samozřejmě v rovnicích započítán, a to v uzavřené smyčce. Orientaci smyček pro zápis rovnic si můžeme zvolit libovolně; orientace smyčky, ve které započítáváme proud proudového zdroje je ale vnucena zdrojem a musíme tak respektovat jeho orientaci

16 R 2 R 1 1 R 3 R 4 R 5 2 Pravidla pro přímé sestavení matic Obvod popisují 2 rovnice: Matice je symetrická podle hlavní diagonály Prvky na hlavní diagonále součet všech odporů, zapojených do dané smyčky Ostatní pozice součet odporů, zapojených do větve společné smyčkám i a j se záporným znaménkem Pravá strana součet zdrojů napětí, zapojených do i-té smyčky a zdrojů proudu transformovaných na zdroj napětí Zdroj proudu transformovaný na zdroj napětí má v matici kladné znaménko, pokud je orientace jeho smyčky na transformačním rezistoru nesouhlasná s orientací smyčky (i-tá pozice v matici) Vzhledem k tomu, že se zdroje napětí převádí na pravou stranu, otáčí se znaménko oproti zápisu samostatných rovnic tedy kladné, pokud smyčka vstupuje do záporné svorky zdroje, kladná naopak Stejně, jako u metody uzlových napětí i při sestavení rovnic metodou smyčkových proudů naruší řízené zdroje symetrické uspořádání matice bez dalších pravidel není možné odporovou matici přímo sestavit

17 (A) (B) (C) R 1 R 3 U x U (D) R 2 R 4 1 x Příklad: R 1 = 1 kω, R 2 = 2 kω, R 3 = 3 kω, R 4 = 1 kω = 10 ma, U = 12 V V obvodu na obrázku vypočítejte proud x a napětí U x. Počet rovnic metodou uzlových napětí: Vzhledem k tomu, že rezistor R 1 je zapojený do série se zdrojem proudu, stačily by pouze 2 rovnice: Matlab: G = [1/R2 + 1/R3, -1/R3; -1/R3, 1/R3 + 1/R4]; m = [; -U/R4]; Um = G^(-1) * m

18 (A) (B) (C) R 1 R 3 U x U (D) R 2 R 4 1 x Počet rovnic metodou smyčkových proudů: Příklad: R 1 = 1 kω, R 2 = 2 kω, R 3 = 3 kω, R 4 = 1 kω = 10 ma, U = 12 V V obvodu na obrázku vypočítejte proud x a napětí U x. Proud x je proud, který teče větví museli jsme ho vyjádřit jako rozdíl smyčkových proudů Napětí U x je napětí na sériové kombinaci dvou prvků museli jsme ho vyjádřit jako součet napětí na obou prvcích

19 Rekapitulace - stanovení počtu rovnic a nezávislé smyčky Poznali jsme, že pro stanovení nutného počtu rovnic musíme určit: Počet uzlů v obvodu: u Počet větví: v Počet zdrojů napětí: N u Počet zdrojů proudu: N i Počet separátních částí obvodu c v metodě uzlových napětí jsme zvolili jeden z uzlů jako referenční, s nulovým potenciálem; pro tento uzel nebyla sestavena žádná rovnice; v obecném případě si představme obvod, který obsahuje např. transformátor s galvanicky odděleným primárním a sekundárním vinutím v takovém obvodu budou dva referenční uzly, galvanicky oddělené části obvodu se nazývají separátní části V kapitole o smyčkových proudech byla explicitně dosazena hodnota 1 Počet rovnic: Metoda uzlových napětí: Metoda smyčkových proudů: V případě metody uzlových napětí je výběr uzlů jednoznačný, v případě jednoduchých obvodů není problémem ani výběr smyček jak je tomu v případě složitějších obvodů? V tom případě bychom museli zavést dva nové pojmy graf obvodu a strom (tyto pojmy jsou uvedeny pouze pro úplnost, v obvodech, řešených v tomto předmětu /i v následných/ lze obvodové rovnice sestavit i bez této analýzy)

20 R 1 R 3 U R 2 R 4 2 (D) 1 obvodové schéma U R 1 1 (A) (B) (C) (A) (B) příklady stromů obvodu a volby obvodových smyček (D) R 2 R 3 R 4 graf obvodu Strom: minimální počet větví, které spojují všechny uzly obvodu Volba obvodových smyček: zvolíme vždy jednu větev grafu obvodu, která není součástí stromu, ani žádné jiné smyčky kombinací se sousedními větvemi stromu dostaneme uzavřenou smyčku (C) 2