4. Fourierovy řady Studijní text. 4. Fourierovy řady. A. Základní pojmy

Transkript

1 4. Fourierovy řdy Studijní text 4. Fourierovy řdy A. Zádní pojmy Při řešení tehniýh úoh se čsto setáváme s periodiými funemi. Nejjednodušším netriviáním přídem periodiýh funí jsou zádní goniometrié fune sinus osinus. Lze proto očeávt, že periodiá fune se dá proximovt buď ineární ombiní onečného počtu goniometriýh funí, nebo přímo neonečnou funční řdou, jejíž čeny jsou goniometrié fune. V dšíh úvháh se omezíme n periodié fune s periodou 2 (zobenění n přípd funí s ibovonou periodou je sndné, bude nznčeno v závěru pitoy). Protože zádními goniometriými funemi s touto periodou jsou fune os x, sin x, de je přirozené číso, uvedeme nejprve násedujíí pojmy. Definie 4.1. funční řdu (Trigonometriá řd poynom) Trigonometriou řdou rozumíme neonečnou ( os x + b sin x) = os x + b 1 sin x + 2 os 2x + b 2 sin 2x +..., (4.1) de, b jsou onstnty. Přitom n-tý částečný součet řdy (4.1) S n (x) = n ( os x + b sin x) = os x + b 1 sin x + + n os nx + b n sin nx se nzývá trigonometriý poynom stupně n. Poznmenejme, že nutý čen této řdy os x + b sin x = je zveden v obvyejším tvru /2 (početní důvod této formání změny bude uveden později). Definie 4.2. Dá-i se nějá fune f(x) vyjádřit trigonometriou řdou (4.1), tže ptí f(x) = ( os x + b sin x), (4.2) de, b jsou vhodné onstnty, říáme, že jsme funi f(x) rozvinui v trigonometriou řdu. Poznám 4.3. Neperiodié fune ze rozvinout v trigonometriou řdu (4.1) pouze v nějém intervu déy 2. Mimo tento interv nbývá totiž fune definovná řdou (4.1) hodnot periodiy se opujííh, ož u neperiodié fune není. Předmětem této pitoy bude zejmén posouzení něterýh zádníh otáze, teré s proximí pomoí trigonometriýh řd souvisejí (npř. výpočet oefiientů, b, probém onvergene výše uvedené řdy dné funi f(x) pod.) Ortogonit trigonometriého systému. Uzuje se, že při výpočtu oefiientů, b obeně v úvháh o proximi trigonometriými řdmi je zásdní vstností tzv. ortogonit (omost) systému funí {os x, sin x}. Zveďme proto násedujíí pojmy. Definie 4.4. Řeneme, že fune f(x) je v intervu, b integrovtená s vdrátem (s druhou moninnou), jestiže integrá f 2 (x) dx existuje má onečnou hodnotu. Sndno prověříme, že tuto vstnost má npř. ždá fune spojitá nebo espoň po částeh spojitá v, b. ÚM FSI VUT v Brně 22

2 4. Fourierovy řdy Studijní text Definie 4.5. Nehť f(x), g(x) jsou fune integrovtené s vdrátem v, b. P výrz f(x)g(x) dx, nzýváme sárním součinem funí f(x), g(x) v intervu, b. Je-i uvedená hodnot sárního součinu nuová, tj. p fune f(x), g(x) nzveme ortogonání v, b. f(x)g(x) dx =, Poznám 4.6. ) Ptí: jestiže fune f je integrovtená s vdrátem v intervu, b, potom je té bsoutně integrovtená, tj. f(x) dx < integrovtená, tj. f(x) dx <. b) Jsou-i fune f g integrovtené s vdrátem v, b, potom součin těhto funí je integrovtený v témže intervu, tj. sární součin je onečný. Definie 4.7. Nehť fune f je integrovtená s vdrátem. Nezáporné číso f = nzýváme normou fune f n intervu, b. f 2 (x) dx Definie 4.8. Nehť je dán (onečný nebo neonečný) systém funí ϕ 1 (x), ϕ 2 (x),..., ϕ n (x),..., teré jsou v intervu, b integrovtené s vdrátem. Říáme, že tyto fune tvoří v intervu, b ortogonání systém, jsou-i ždé dvě různé fune tohoto systému ortogonání, tj. ptí Obvye přitom předpoádáme ϕ i (x)ϕ j (x) dx =, i j, ϕ i 2 = [ϕ i (x)] 2 dx, i = 1, 2,..., tj. do ortogonáního systému nezhrnujeme fune nuové nebo soro všude nuové. Vět 4.9. (Neonečný) trigonometriý systém funí {1, sin x, os x, sin 2x, os 2x,..., sin nx, os nx,... } je ortogonání v ibovoném intervu déy 2, tj. v intervu, + 2. Ortogonit tohoto systému se doáže počtářsým ověřením přísušnýh vzorů (pro ždé dvě různé fune f(x), g(x) z tohoto systému musí ptit +2 f(x)g(x) dx =, de je ibovoné reáné číso). Sndno ze spočítt, že 1 = 2, os x =, sin x =. Dvojnásobe ( tedy určitá symetrie) u fune ϕ (x) = 1 je důvodem, proč ve vzthu (4.1) vystupuje nutý čen ve tvru /2. Poznmenejme, že v množině všeh integrovtenýh funí s vdrátem existují i jiné (neonečné) ortogonání systémy než systém trigonometriý! ÚM FSI VUT v Brně 23

3 4. Fourierovy řdy Studijní text Poznám 4.1. Prinip rozvoje funí do Fourierovýh řd je násedovný: předpoádejme, že funi f ze vyjádřit jo ineární ombini (neonečného) ortogonáního systému {ϕ } n nějém intervu ; b, tj. f(x) = ϕ (x). Násobme nyní rovnost funí ϕ m integrujme n intervu ; b, tj. ( b ) f(x)ϕ m (x) dx = ϕ (x)ϕ m (x) dx. Předpoádejme dáe, že řd ϕ (x) onverguje stejnoměrně f(x) n ; b. Potom je možné změnit zn sume integre, tj. f(x)ϕ m (x) dx = Protože fune ϕ jsou ortogonání, dostáváme f(x)ϕ (x) dx = Koefiienty se nzývjí Fourierovy oefiienty. ϕ (x)ϕ m (x) dx. ϕ 2 (x) dx = 1 ϕ 2 f(x)ϕ (x) dx. N zádě ortogonity trigonometriého systému funí v ibovoném intervu déy 2 této poznámy ze odvodit násedujíí větu, pode teré se určí hodnoty oefiientů, b ve vyjádření (4.2). Vět (Určení oefiientů, b ) Konverguje-i trigonometriá řd (4.1) stejnoměrně integrovtené funi f(x) v intervu, + 2, potom ptí = 1 +2 f(x) dx, = 1 +2 f(x) os x dx, b = 1 +2 f(x) sin x dx, = 1, 2,.... (4.3) Definie (Fourierov řd) Nehť fune f(x) je integrovtená v intervu, + 2. P trigonometriou řdu ( os x + b sin x), (4.4) de oefiienty, b jsou vyjádřeny vzthy (4.3), nzýváme Fourierovou řdou fune f(x) v intervu, + 2 znčíme ji symboem Φf. Píšeme přitom f Φ f. (4.5) Zápis (4.5) oznčuje, že funční řd Φ f ptří funi f(x). Poud řd Φ f onverguje funi f(x), potom píšeme f(x) = Φ f (x) Poznám Přiřzení Fourierovy řdy Φ f dné funi f(x) vyjádřené vzthem (4.5) je proztím formání. Připomeňme, že vzore pro oefiienty, b byy odvozeny z předpodu stejnoměrné onvergene této řdy. Dosud vš nevíme, zd uvedená řd vůbe onverguje (příp. jý je její součet). Lze niméně uázt, že mezi všemi trigonometriými poynomy (4.2) dnou funi proximuje v jistém smysu nejépe ten poynom, jehož oefiienty jsou dány právě vzthy (4.3); tento nejepší poynom je tedy právě částečný součet Fourierovy řdy. ÚM FSI VUT v Brně 24

4 4. Fourierovy řdy Studijní text B. Bodová stejnoměrná onvergene Fourierovy řdy V tomto oddíe uvedeme podmíny, při jejihž spnění je součet Fourierovy řdy fune f(x) roven f(x), příp. podmíny zručujíí stejnoměrnou onvergeni této řdy. Funi f(x) nzveme po částeh spojitou n intervu, b, má-i n tomto intervu onečný počet bodů nespojitosti, přičemž všehny tyto body jsou body nespojitosti prvního druhu (tj. existují zde onečné různé jednostrnné imity). Vět (Dirihetov) Nehť f(x) je periodiá fune s periodou 2, tj. f(x + 2) = f(x) pro všehn x (, ), nehť f(x) je v intervu, po částeh spojitá má zde po částeh spojitou derivi. P její Fourierov řd Φ f onverguje v ždém bodě x (, ) ritmetiému průměru imity zprv imity zev fune f(x), tže ptí: (1) Φ f (x) = f(x) v ždém bodě x (, ), v němž je f(x) spojitá; (2) Φ f (x) = 1 2 [im x x f(x) + im x x+ f(x)] v ždém bodě x (, ), v němž je f(x) nespojitá. Poznám (O onvergeni rozvoje neperiodié fune) Předpoádejme, že f(x) je po částeh spojitá n intervu, má zde po částeh spojitou derivi (nepoždujeme tedy, by f(x) by periodiá s periodou 2; nemusí tedy ni ptit f() = f()). P se tvrzení Dirihetovy věty změní tto: (1) Φ f (x) = f(x) v ždém bodě x (, ), v němž je f(x) spojitá; (2) Φ f (x) = 1 2 [im x x f(x) + im x x+ f(x)] v ždém bodě x (, ), v němž je f(x) nespojitá; (3) Φ f () = Φ f () = 1 2 [im x + f(x) + im x f(x)]. Vstnosti (1) (3) tedy udávjí, jé funi onverguje Fourierov řd Φ f n uzvřeném intervu,. N intervu (, ) p zřejmě Φ f onverguje tzv. 2-periodiému rozšíření této fune. Příd Stnovme Fourierovu řdu fune f(x) = x v intervu (, ) užme, jé funi tto řd onverguje n (, ). Řešení. Pode vzorů (4.3) je: Tedy = 1 = 1 x os x dx = 1 b = 1 = x dx = 1 [ x sin x x sin x dx = 1 2 os [ x 2 2 ] [ ] = ( 1) x os x = =, ] sin x dx = =, + 1 os x b = ( 1) dx = ( x 2 sin x 1 2 sin 2x + 1 ) 3 sin 3x... Φ f. (4.6) Stnovii jsme tedy hodnotu součtu Fourierovy řdy Φ f fune f(x) = x v intervu (, ). K určení hodnoty součtu dné řdy v rjníh bodeh x = ± ze postupovt buďto pode vzthu (3) uvedeného v poznáme z Jordnovou větou, nebo přímým doszením těhto rjníh bodů do vyjádření (4.6). V obou přípdeh ihned dostáváme, že hodnot součtu řdy je pro x = ± nuová. K posouzení onvergene řdy (4.6) funi f(x) = x stčí ověřit ptnost předpodů poznámy z Dirihetovou větou (neboť f(x) = x není periodiá). Vzhedem e spojitosti fune f(x) ptí x = 2 ( 1) +1 ( sin x = 2 sin x 1 2 sin 2x + 1 ) 3 sin 3x..., (4.7) ÚM FSI VUT v Brně 25

5 4. Fourierovy řdy Studijní text de x (, ), pro tto x tedy onverguje dná řd funi f(x) = x. Součet této řdy n (, ) je p určen 2-periodiým rozšířením z intervu,. Grf tohoto rozšíření ( tedy i grf součtu přísušné Fourierovy řdy Φ f ) n intervu (, ) je zhyen n obr y 3 3 x Obr. 4.1: Součtová fune N závěr tohoto přídu ještě grfiy iustrujme onvergeni Fourierovy řdy e svému součtu. Místo dné neonečné řdy uvžujme pouze její n-tý částečný součet s n (x) (uvžujeme tedy prvníh n čenů této řdy předstvujííh trigonometriý poynom stupně n). Pro různé hodnoty n (n = 1, 2, 3, 4, 5) p dostáváme násedujíí grfiá vyjádření: y s 1 s 2 s 3 s x y s x Obr. 4.2: Grf vybrnýh částečnýh součtů Z obr. 4.2 je dobře vidět, že je-i částečný součet této řdy vyššího stupně, zčínjí se přísušné fune v bodeh x = (2 + 1) trht grfy těhto částečnýh součtů se vsutu bíží nespojité součtové funi znázorněné n obr. 1. Nyní se budeme zbývt otázou, dy Fourierov řd fune f(x) onverguje stejnoměrně n,. Především zdůrzněme, že stejnoměrnou onvergeni ze očeávt pouze u Fourierovýh řd spojitýh funí (čeny této řdy jsou totiž spojité fune sin x, os x, jejihž součtem musí být v přípdě stejnoměrné onvergene opět spojitá fune). Vět (Jordnovo ritérium stejnoměrné onvergene) Nehť f(x) je periodiá fune s periodou 2, terá je n intervu, spojitá má po částeh spojitou derivi. Potom Fourierov řd Φ f onverguje funi f(x) stejnoměrně pro všehn x (, ). Poznám (O stejnoměrné onvergeni rozvoje neperiodié fune) Není-i f(x) periodiá, vš spňuje ob zbývjíí předpody předházejíí věty, p ze doázt stejnoměrnou onvergeni Fourierovy řdy Φ f funi f(x) n ibovoném intervu, b (, ). Je-i nví f() = f(), p stejnoměrná onvergene Φ f f(x) ptí přímo n intervu,. ÚM FSI VUT v Brně 26

6 4. Fourierovy řdy Studijní text Poznám (O sudé ihé funi) Vrťme se ještě jednou výpočtu Fourierovýh oefiientů, b ve výše uvedeném přídu. Sutečnost, že hodnoty oefiientů jsou pro všehn přirozená nuové, totiž není náhodná. Lze sndno zjistit, že se jedná o důsede ihosti fune f(x) n intervu (, ). Tento poznte nyní zobeníme do násedujíího tvrzení: Nehť fune f(x) je n (, ) integrovtená. Je-i zde f(x) sudá, tj. f( x) = f(x) pro všehn x (, ), potom přísušná Fourierov řd je osinová, tže b = ( = 1, 2,... ), = 1 f(x) os x dx = 2 Je-i f(x) n tomto intervu ihá, tj. f(x) os x dx ( =, 1, 2,... ). f( x) = f(x) pro všehn x (, ), potom přísušná Fourierov řd je sinová, tže = ( =, 1, 2,... ), b = 1 f(x) sin x dx = 2 f(x) sin x dx ( = 1, 2,... ). Sinová osinová řd. Nehť fune f(x) je definován n intervu (, ). V něterýh úoháh poždujeme, by přísušná Fourierov řd by pouze sinová řd, resp. pouze osinová řd. Z předházejíí poznámy pyne, že tomuto účeu je třeb dodefinovt funi f(x) n interv (, ) jo funi ihou, resp. sudou, poté sestrojit přísušnou Fourierovu řdu. Příd 4.2. Vyjádřeme funi f(x) = os x, x (, ) jo součet sinové osinové Fourierovy řdy. Řešení. ) Uvžujme nejprve řdu osinovou. Dnou funi dodefinujeme jo funi sudou, tj. pro x (, ) deme f(x) = f( x) = os( x) = os x. Potom dostáváme b = pro = 1, 2,... = 2 os x dx =, = 2 os x os x dx = 1 (os( + 1)x + os( 1)x) dx = = 1 [ ] sin( + 1)x sin( 1)x + =, 1, = 2 Odtud dostáváme vyjádření os 2 x dx = 1 os x = os x, (1 + os 2x) dx = 1. x (, ). Fourierov řd tedy má jediný nenuový čen shodný s původní funí. b) Nyní uvžujme řdu sinovou. Funi f(x) dodefinujeme jo funi ihou, tj. pro x (, ) ptí f(x) = f( x) = os( x) = os x. P dostáváme = pro =, 1, 2,... b = 2 = 1 os x sin x dx = 1 [ ( 1) ( 1) (sin( + 1)x + sin( 1)x) dx = 1 [ os( + 1)x + 1 ] { = 2[( 1) + 1], pro ihá, 1, ( 2 = 4 1) ( 2 1), pro sudá ; ] os( 1)x 1 = ÚM FSI VUT v Brně 27

7 4. Fourierovy řdy Studijní text Ptí tedy b 1 = 2 os x = os x sin x dx = 1 8 (4 2 sin 2x, 1) sin 2x dx =. x (, ). Poznám (Fourierov řd v obeném přípdě) N závěr této pitoy si uážeme, j ze výše odvozené výsedy sndno využít nezení Fourierovýh řd funí s obenou periodou 2. Budeme tedy dáe uvžovt periodié fune f(x) s periodou 2, přípdně fune definovné n obeném intervu déy 2, tj. n intervu, + 2. P obeněji ptí, že neonečný systém funí 1, sin x, os x, sin 2x, os 2x,..., sin nx, os nx,... je ortogonání v ibovoném intervu, + 2 déy 2. Přísušná Fourierov řd p má tvr f(x) ( os x + b sin x ), de fune f(x) je integrovtená n, + 2. Pro Fourierovy oefiienty přitom ptí = 1 +2 f(x) dx, = 1 +2 f(x) os x dx, b = 1 +2 f(x) sin x dx, = 1, 2,.... Poznmenejme, že výsedy uvedené v této pitoe pro interv, ze nyní sndno přeformuovt pro interv, + 2. Příd Určeme Fourierovu řdu Φ f, terá je periodiým prodoužením fune f(x) = x 2 n intervu 1, 1. Řešení. Pomoí předházejííh vzorů (de = 1, = 1) vzhedem sudosti dné fune dostáváme b = 1 = 2 x 2 dx = 2 { 1 [ ] 1 } 3, = 2 x 2 2 sin x 1 sin x os x dx = 2 x 2x dx = { [ ] 1 } os x 1 os x = 2 2x dx = 4( 1) 2 2. Odtud doszením do vzthu (4.4) dostáváme x 2 = ( 1) 2 2 os x, x 1, 1, (4.8) přičemž onvergene řdy je n dném intervu stejnoměrná. Vně tohoto intervu p nezená Fourierov řd stejnoměrně onverguje funi, terá je periodiým prodoužením fune f(x) = x 2, x 1, 1, terá je znázorněn n obr y Obr. 4.3: Periodié prodoužení prboy x ÚM FSI VUT v Brně 28

8 4. Fourierovy řdy Studijní text Užití Fourierovýh řd. Kromě řdy význmnýh uptnění v teorii obyčejnýh priáníh difereniáníh rovni, terá budou uveden později, ze Fourierovy řdy využít té e stnovení součtu něterýh čísenýh řd. Jestiže npř. do vzthu (4.8) dosdíme x =, dostáváme vyjádření = ( 1) 2 2 ( 1) +1 2 = Zvoíme-i x = 1, p dostáváme 1 = ( 1) = 2 6. Shrnutí pozntů o Fourierovýh řdáh Fourierovy řdy jsou imitou posoupnosti trigonometriýh poynomů, teré mjí část soženou z osinů část ze sinů. Používjí se především při studiu jevů s periodiým hrterem. Výhodou těhto řd je sutečnost, že poždvy dené n jejih onvergeni rozvíjené funi jsou sbší než v přípdě rozvojů do Tyorovýh řd (nepoždujeme npř. existeni deriví všeh řádů dné fune v dném bodě; nepoždujeme doone ni spojitost rozvíjené fune). Rovněž výpočet oefiientů může být (zejmén při použití numeriýh metod) jednodušší záežitostí než u řd Tyorovýh. Rozvojů funí do Fourierovýh řd se s úspěhem používá především hedání (periodiýh) řešení obyčejnýh priáníh difereniáníh rovni. ÚM FSI VUT v Brně 29