FI: JARO 2017 Verze: 9. února 2017

Transkript

1 FI: JARO 7 Verze: 9. únor 7 Přednášky k předmětu MB Autor: Romn Šimon Hilscher Přednášející: Petr Hsil Obsh Přehled přednášek podle strny ukončení iii. Polynomy interpolce.. Interpolce.. Lgrngeův interpolční polynom 3.3. Derivce polynomu 4.4. Hermiteův interpolční polynom 5.5. Interpolce spljny 7.6. Rozkld n prciální zlomky 8. Diferenciální počet.. Reálná čísl.. Supremum infimum v R.3. Intervly.4. Limit.5. Spojitost 6.6. Body nespojitosti.7. Derivce 3.8. Vlstnosti prvidl derivcí 7.9. Derivce elementárních funkcí 3.. Věty o střední hodnotě 37.. L Hospitlovo prvidlo 38.. Derivce implicitně zdných funkcí 4.3. Jednoduché slovní úlohy s derivcemi 4.4. Monotonie funkce extrémy Konvexnost, konkávnost, inflexe Asymptoty 5.7. Celkový průběh funkce Optimlizce Diferenciál funkce 57.. Tylorův polynom Integrální počet Primitivní funkce 7 i

2 3.. Zákldní integrční metody Integrování rcionálních lomených funkcí Riemnnův integrál Vlstnosti Riemnnov integrálu Věty o střední hodnotě Integrál jko funkce horní meze Metody výpočtu určitého integrálu Aplikce určitého integrálu Nevlstní integrály 4 4. Nekonečné řdy 4.. Nekonečné číselné řdy 4.. Nekonečné řdy s nezápornými členy Alternující řdy Absolutně reltivně konvergentní řdy Mocninné řdy Poloměr konvergence mocninné řdy Tylorovy Mclurinovy řdy Aplikce nekonečných řd Řdy funkcí Fourierov řd trnsformce Stejnoměrná konvergence Fourierovy řdy Fourierov trnsformce Vlstnosti Fourierovy trnsformce Elementární diferenciální rovnice Úvod motivce Diferenciální rovnice. řádu Diferenciální rovnice se seprovnými proměnnými Lineární diferenciální rovnice. řádu Aplikce lineárních diferenciálních rovnic. řádu Lineární diferenciální rovnice. řádu 7 Litertur 74 ii

3 iii Přehled přednášek podle strny ukončení Konec. přednášky (..7) ?? Konec. přednášky (.3.7) ?? Konec 3. přednášky (8.3.7) ?? Konec 4. přednášky (5.3.7) ?? Konec 5. přednášky (.3.7) ?? Konec 6. přednášky (9.3.7) ?? Konec 7. přednášky (5.4.7) ?? Konec 8. přednášky (.4.7) ?? Konec 9. přednášky (9.4.7) ?? Konec. přednášky (6.4.7) ?? Konec. přednášky (3.5.7) ?? Konec. přednášky (.5.7) ?? Konec 3. přednášky (7.5.7) ?? Konec dokumentu

4 . Polynomy interpolce Citce z [8, str. 37]: V této kpitole zčneme budovt nástroje umožňujících modelování závislostí, které nejsou ni lineární ni diskrétní. S tkovou potřebou se čsto setkáme, když popisujeme systém vyvíjející se v čse to ne jen v několik vybrných okmžicích, le souvisle, tj. pro všechny možné okmžiky. Někdy je to přímo záměr či potřeb (třeb ve fyzikálních modelech klsické mechniky), jindy je to vhodné přiblížení diskrétního modelu (třeb u ekonomických, chemických nebo biologických modelů). Polynomem nd R rozumíme zobrzení f : R R dné výrzem f(x) = n x n + n x n + + x +, kde i R, i =,..., n, jsou pevně dná čísl (koeficienty). Pokud je n, říkáme, že polynom f je stupně n. Stupeň nulového polynomu není definován. Pro polynomy f stupně n g stupně m, existují jednoznčně určené polynomy q r tkové, že stupeň r je menší než m nebo je r = f = q g + r, viz [8, str. 38]. Je-li pro nějký prvek b R hodnot f(b) =, pk to znmená, že v podílu f(x) = q(x)(x b) + r(x) musí být r =. Jink by totiž nebylo možné dosáhnout f(b) = q(b) + r, kde stupeň r je nulový. Říkáme, že b je kořen polynomu f. Stupeň q je pk právě n. Pokud má q opět kořen, můžeme pokrčovt po nejvýše n krocích dojdeme ke konstntnímu polynomu. Dokázli jsme tedy, že kždý nenulový polynom nd R má nejvýše tolik kořenů, kolik je jeho stupeň. Odtud již sndno dovodíme i následující pozorování. Lemm. Dv polynomy f g nd R jsou si rovny (jko zobrzení), právě když mjí shodné koeficienty. Důkz. Předpokládejme f = g, tj. f g = jko zobrzení. Polynom (f g)(x) tedy má nekonečně mnoho kořenů, což je možné pouze tehdy, je-li nulovým polynomem. Příkld. Uvědomme si, že u konečných polí smozřejmě tkové tvrzení nepltí. Uvžte npř. polynom p(x) = x + x nd Z = {, }. Potom je p() = p() = + =, le p(x) není nulový polynom. Hornerovo schém je prktický nástroj pro výpočet hodnoty polynomu v nějkém bodě (v důsledku i pro výpočet kořenu polynomu podílu po dělení příslušným kořenovým činitelem). Uvžme polynom f(x) = n x n + n x n + n x n + + x + x + pevně zvolený bod x R. Uvžujme postupně hodnoty b := n, b := x b + n, b := x b + n, b 3 := x b + n 3,...,..., b n := x b n +, b n := x b n + = f(x ). Tj. násobíme číslo x koeficientem n přičteme koeficient n, pk to celé vynásobíme číslem x přičteme koeficient n, td. Nkonec tkto získáme hodnotu polynomu f(x) v bodě x. Postup zpisujeme do tbulky tkto n n n n 3... x b := n b b b 3... b n b n = f(x )

5 Zejmén, je-li poslední koeficient b n = f(x ) =, pk je číslo x kořenem polynomu f(x), tj. pltí rovnost f(x) = (x x ) g(x), kde g(x) je polynom stupně n. Součsně dostáváme z Hornerov schémtu koeficienty polynomu g(x), tj. g(x) = b x n + b x n + b x n b n x + b n. Příkld. Uvžujme polynom f(x) = 3x 3 x + x 8. Pk pro jeho hodnotu v bodě x = pltí neboli f() = 6 číslo x = není kořenem tohoto polynomu. Nopk, pro x = máme neboli číslo x = je kořenem tohoto polynomu. Pro polynom f(x) pk pltí, že což lze jednoduše ověřit zpětným roznásobením. f(x) = (x ) (3x + 4x + 9),.. Interpolce. Citce z [8, str. 39]: Čsto je užitečné zdt sndno počíttelný vzth pro funkci, pro kterou máme zdány hodnoty v předem dných bodech x,..., x n. Pokud by šlo o nulové hodnoty, umíme přímo zdt polynom stupně n + f(x) = (x x ) (x x )... (x x n ), který bude mít nulové hodnoty právě v těchto bodech nikde jinde. To le není jediná polynomiální odpověd, protože poždovnou vlstnost má i nulový polynom. Ten je přitom jediný s touto vlstností ve vektorovém prostoru polynomů stupně nejvýše n. Obdobně to dopdne i v obecném přípdě. Vět. Pro kždou množinu různých bodů x,..., x n R předepsné hodnoty y,..., y n R existuje právě jeden polynom f stupně nejvýše n (přípdně nulový polynom), pro který pltí f(x i ) = y i, i =,..., n. Důkz. Oznčme si proztím neznámé koeficienty polynomu f stupně n f = n x n + + x +. Doszením poždovných hodnot dostneme systém n + rovnic pro stejný počet neznámých koeficientů i + x + + (x ) n n = y. + x n + + (x n ) n n = y n. Jk je známo z MB, tento systém lineárních rovnic má právě jedno řešení pokud je determinnt jeho mtice různý od nuly. Musíme tedy vyšetřit tzv. Vndermondův determinnt x (x )... (x ) n x V (x,..., x n ) = (x )... (x ) n , x n (x n )... (x n ) n

6 3 pro který pltí V (x,..., x n ) = i,j=,...,n,i>j (x i x j ), tedy V (x,..., x n ) = (x i x j ), i,j=,...,n i > j protože jsou body x,..., x n (po dvou) různé. Odtud le vyplývá jednoznčná existence hledného polynomu. Protože polynomy jsou jko zobrzení stejné, právě když mjí stejné koeficienty, vět je dokázán. Jednoznčně určený polynom f z předchozí věty nzýváme interpolční polynom pro hodnoty y i v bodech x i. Citce z [7]: N první pohled se může zdát, že reálné nebo přípdně rcionální polynomy, tj. polynomiálně zdné funkce R R nebo Q Q, tvoří hezkou velikou třídu funkcí jedné proměnné. Můžeme jimi proložit jkékoli sdy předem zdných hodnot. Nvíc se zdjí být sndno vyjádřitelné, tkže by s jejich pomocí mělo být dobře možné počítt i hodnoty těchto funkcí pro jkoukoliv hodnotu proměnné x. Při pokusu o prktické využití v tomto směru ovšem nrzíme hned n několik problémů. Prvním z nich je potřeb rychle vyjádřit polynom, kterým zdná dt proložíme. Pro řešení výše diskutovného systému rovnic totiž budeme obecně potřebovt čs úměrný třetí mocnině počtu bodů, což při objemnějších dtech je jistě těžko přijtelné. Podobným problémem je pomlé vyčíslení hodnoty polynomu vysokého stupně v zdném bodě. Obojí lze částečně obejít tk, že zvolíme vhodné vyjádření interpolčního polynomu (tj. vybereme lepší bázi příslušného vektorového prostoru všech polynomů stupně nejvýše n, než je t nejobvyklejší, x, x,..., x n )... Lgrngeův interpolční polynom. Sestrojíme si nejprve pomocné polynomy l i s vlstností { i = j, l i (x j ) = i j. Zřejmě musí být tyto polynomy ž n konstntu rovny výrzům proto (x x )... (x x i )(x x i+ )... (x x n ), l i (x) = j i (x x j) j i (x i x j ). Hledný Lgrngeův interpolční polynom pk je dán jko f(x) = y l (x) + y l (x) + + y n l n (x). Citce z [8, str. 4]: Toto vyjádření má nevýhodu ve velké citlivosti n nepřesnosti výpočtu při mlých rozdílech zdných hodnot x i, protože se v ní těmito rozdíly dělí. (Pozn.: všimněme si le, že přímá konstrukce Lgrngeov polynomu může nhrdit existenční část důkzu v předchozí Větě.) Dlší nepříjemností je velice šptná stbilit hodnot reálných nebo rcionálních polynomů při zvětšující se hodnotě proměnné x. Brzy budeme mít nástroje n přesný popis kvlittivního chování funkcí, nicméně i bez nich je zřejmé, že podle znménk koeficientu u nejvyšší mocniny polynomu se hodnoty velice rychle při rostoucím x vydjí bud do plus nebo do mínus nekonečn. Ani toto znménko koeficientu u nejvyššího stupně se le u interpolčního polynomu při mlých změnách prokládných hodnot nechová stbilně. Viz soubor <interpolce.pdf>.

7 4 Příkld 3. Nlezněte polynom P splňující následující podmínky: P () =, P (3) =, P (4) =, P (5) = 6. Tento příkld jeho řešení je převzt z [8, str ]. Řešení. Řešíme bud přímo, tj. sestvením soustvy čtyř lineárních rovnic o čtyřech neznámých. Předpokládáme polynom ve tvru 3 x 3 + x + x +. Víme, že polynom stupně nejvýše tři splňující podmínky v zdání je dán jednoznčně = = = = 6. Kždá rovnice vznikl z jedné z podmínek v zdání. Druhou možností je vytvořit hledný polynom pomocí fundmentálních Lgrngeových polynomů: (x 3)(x 4)(x 5) P (x) = ( 3)( 4)( 5) + (... ) + + ( ) (x )(x 3)(x 5) (4 )(4 3)(4 5) + 6 (x )(x 3)(x 4) (5 )(5 3)(5 4) = 4 3 x3 x + 3 x 9. Koeficienty tohoto polynomu jsou smozřejmě jediným řešením výše sestvené soustvy lineárních rovnic..3. Derivce polynomu. Derivce polynomu je lineární zobrzení prostoru P n polynomů stupně nejvýše n do prostoru P n polynomů stupně nejvýše n tkové, že kždý polynom x k stndrdní báze je zobrzen n polynom kx k. Tuto operci znčíme. Příkld 4. (x) =, (x ) = x, (x 3 ) = 3x, (x ) = x 99, () =. Z linerity tohoto zobrzení tedy plyne, že derivce polynomu je polynom P (x) = n x n + n x n + + x + x + P (x) = n n x n + (n ) n x n + + x +. Druhá derivce polynomu je opět lineární zobrzení prostoru P n do prostoru P n definovné jko iterce výše uvedeného zobrzení derivce. Tj. polynom x k stndrdní báze je zobrzen n polynom k(k )x k. Tuto operci znčíme. Příkld 5. (x) = () =, (x ) = (x) =, (x 3 ) = (3x ) = 6x, (x ) = (x 99 ) = 99x 98, () = () =.

8 5 Více se o derivcích (nejen polynomů) dozvíte později v tomto semestru..4. Hermiteův interpolční polynom. Citce z [8, str. 43]: Uvžme opět m + po dvou různých reálných hodnot x,..., x m, tj. x i x j pro všechn i j. Budeme chtít zse prokládt pomocí polynomů předem dné hodnoty, tentokrát le budeme vedle hodnot předepisovt i první derivce. Tj. předepíšeme y i y i pro všechn i. Hledáme polynom f, který bude nbývt těchto předepsných hodnot derivcí. Zcel nlogicky jko u interpolce pouhých hodnot obdržíme pro neznámé koeficienty polynomu f(x) = n x n +... systém rovnic + x + + (x ) n n = y + x m + + (x m ) n n = y m + x + + n(x ) n n = y + x m + + n(x m ) n n = y m. Toto je systém m + rovnic pro n + neznámých. Volbou stupně hledného polynomu n = m + bude determinnt tohoto systému rovnic nenulový tudíž bude existovt právě jedno řešení. Nlezený polynom nzýváme Hermiteův interpolční polynom... Příkld 6. Nlezněte polynom P splňující následující podmínky: P () =, P () =, P () = 3, P () = 3. Řešení. Máme m = hledáme polynom stupně n = m+ = 3, tj. P (x) = 3 x 3 + x + x+. Doszením z x = x = do výrzu pro P (x) P (x) dostneme systém P () = =, P () = = 3, P () = =, P () = = 3. Vyřešením tohoto systému dostneme P (x) = x 3 + x 3x + 5. Stejně jko při konstrukci Lgrngeov polynomu lze Hermiteův interpolční polynom zkonstruovt přímo pomocí tzv. fundmentálních Hermiteových polynomů. Podrobnosti viz [8, str. 44]. Nejjednodušší přípd je zdání hodnoty derivce v jediném bodě. Tím určíme beze zbytku polynom stupně n =, tj. f(x) = f(x ) + f (x ) (x x ), tj. právě rovnici přímky zdné hodnotou směrnicí v bodě x.

9 6 Příkld 7. Nlezněte polynom P splňující následující podmínky: P () =, P () = 3. Řešení. P (x) = P () + P () (x ) = + 3(x ) = 3x. Když zdáme hodnotu derivci ve dvou bodech, tj. f(x ) = y, f (x ) = y, f(x ) = y, f (x ) = y pro dv různé body x x, dostneme ještě pořád sndno počíttelný problém. Ukžme si jej ve zjednodušeném provedení, kdy x =, x =. Příkld 8. Hledáme polynom stupně n = m + = 3, tj. f(x) = 3 x 3 + x + x +. Doszením z x = x = do výrzu pro f(x) f (x) dostneme systém f() = = y, f() = = y, f () = = y, f () = = y. Tedy mtice tohoto systému její inverze mjí tvr A =, A = (Vypočtěte si tuto inverzi některou z metod z MB!) Přímým vynásobením A ( 3,,, ) T pk vyjde vektor (y, y, y, y ) T, neboli 3 y y y + y + y = A y y = 3y + 3y y y y, y y tj. f(x) = (y y + y + y ) x 3 + ( 3y + 3y y y ) x + y x + y. Obdobně lze předepisovt libovolný konečný počet derivcí v jednotlivých bodech vhodnou volbou stupně polynomu obdržíme vždy jednoznčné interpolce. Bohužel, u těchto interpolcí pořád zůstávjí problémy zmíněné už v přípdě jednoduchých interpolcí hodnot složitost výpočtů nestbilit. Použití derivcí všk podbízí jednoduché vylepšení metodiky.

10 7.5. Interpolce spljny. Citce z [8, str. 4]: Jk jsme viděli n obrázcích demonstrujících nestbilitu interpolce jedním polynomem dosttečně vysokého stupně, mlé lokální změny hodnot zpříčiňovly drmtické celkové změny chování výsledného polynomu. Nbízí se tedy využití mlých polynomiálních kousků nízkých stupňů, které le musíme umět rozumně nvzovt. Nejjednodušší je propojení vždy dvou sousedních bodů polynomem stupně nejvýše jedn (pozn.: vzniká lomená čár). Tk se nejčstěji zobrzují dt. Z pohledu derivcí to znmená, že budou n jednotlivých úsecích konstntní pk se skokem změní. O něco sofistikovnější možností je předepst v kždém bodě hodnotu derivci, tj. pro dv body budeme mít 4 hodnoty jednoznčně tím určíme Hermiteův polynom 3. stupně, viz výše.... Tkové polynomiální přiblížení po kouskách už bude mít tu vlstnost, že první derivce n sebe budou nvzovt. V prxi le není pouhé nvzování první derivce dosttečné nvíc při nměřených dtech nemíváme hodnoty derivcí k dispozici. Přímo se proto vnucuje pokus využívt pouze zdné hodnoty ve dvou sousedních bodech, le poždovt zároveň rovnost prvních i druhých derivcí u sousedních kousků polynomů třetího stupně. Definice (Kubický spljn). Necht x < x < < x n jsou reálné hodnoty, ve kterých jsou zdány poždovné hodnoty y,..., y n. Kubickým interpolčním spljnem pro toto zdání je funkce S : R R, která splňuje následující podmínky: zúžení S n intervl [x i, x i ] je polynom S i třetího stupně, i =,..., n, S i (x i ) = y i S i (x i ) = y i pro všechny i =,... n, S i(x i ) = S i+(x i ) pro všechny i =,..., n, S i (x i ) = S i+(x i ) pro všechny i =,..., n. Citce z [8, str. 45]: Kubický spljn pro n + bodů sestává z n kubických polynomů, tj. máme k dispozici 4n volných prmetrů (první definiční podmínk). Dlší podmínky přitom zdávjí n + (n ) + (n ) rovností, tj. dv prmetry zůstávjí volné. Při prktickém použití se dodávjí předpisy pro derivce v krjních bodech, tzv. úplný spljn, nebo jsou tyto zdány jko nul, tzv. přirozený spljn. Citce z [8, str. 46]: Výpočet celého spljnu už není bohužel tk jednoduchý jko u nezávislých výpočtů Hermiteových polynomů třetího stupně, protože dt se prolínjí vždy mezi sousedními intervly. Při vhodném uspořádání se všk dosáhne mtice systému, která má nenulové prvky prkticky jen ve třech digonálách, pro tkové existují vhodné numerické postupy, které umožní spljn počítt tké v čse úměrném počtu bodů. Příkld 9. Přirozený kubický interpolční spljn s hodnotmi z Příkldu 3 (interpolce). Řešení je tvru 8 5 x x 3x + 3 x 3, S(x) = 3 x3 8 5 x + 93x 4 3 x 4, x3 + 3x 63 x + 7 x 4. 5

11 8 Obrázek. Srovnání kubického spljnu Lgrngeov interpolčního polynomu. Více ve skriptech [8, Odstvec 5.]..6. Rozkld n prciální zlomky. Jsou-li P (x) Q(x) polynomy, Q(x) (tj. polynom Q není identicky roven nulovému polynomu), potom se výrz R(x) := P (x) Q(x) Je-li st P < st Q, pk R(x) nzýváme ryze lomenou. nzývá rcionální lomenou funkcí. Pokud nemjí polynomy P (x) Q(x) společný kořen (tj. ve funkci R(x) již nejde žádný výrz s proměnnou x pokrátit), potom kždou tkovou ryze rcionální lomenou funkci lze rozložit n součet prciálních zlomků. Tento součet je ž n pořdí jednotlivých zlomků určen jednoznčně. Tvr jednotlivých prciálních zlomků njdeme podle kořenů násobností jmenovtele, tj. podle funkce Q(x). Elementární kořenové činitele polynomu Q(x) lze nd R uvžovt bud lineární (odpovídjící reálným kořenům) nebo kvdrtické (odpovídjící dvojicím komplexně sdružených komplexních kořenů). Je-li α R reálný kořen násobnosti k, potom polynom Q(x) obshuje činitel (x α) k, příslušné prciální zlomky jsou tvru A (x α) k + A (x α) k + A 3 (x α) k + + A k x α. Je-li β ± γi C dvojice komplexně sdružených komplexních kořenů násobnosti k (kždý z nich), potom polynom Q(x) obshuje činitel (x + px + q) k, jehož diskriminnt je záporný, příslušné prciální zlomky jsou tvru B x + C (x + px + q) k + B x + C (x + px + q) k + B 3 x + C 3 (x + px + q) k + + B kx + C k x + px + q. Je nutné vždy zhrnout všechny prciální zlomky (ž do stupně k)!

12 9 Příkld. x + 7x + R(x) = x (x ) 3 (x + x + ) = A x + B (x ) + C 3 (x ) + D x + Ex + F (x + x + ) + Gx + H x + x +. Neznáme koeficienty u prciálních zlomků hledáme bud převodem nzpět n společného jmenovtele porovnáním koeficientů u jednotlivých mocnin (což vede n systém lineárních rovnic), nebo jednodušeji dosdíme z proměnnou x hodnoty kořenů polynomu Q(x). Příkld. x + R(x) = (x ) (x ) = A x + B (x ) + C x = A (x ) + B (x ) + C (x ) (x ) (x ) (x ) Porovnáváme polynomy v čitteli: x + = A (x ) + B (x ) + C (x ) (x ). Volbou x = dostneme A =, volbou x = dostneme B = 3. Dlší kořeny již jmenovtel nemá, zvolíme proto libovolnou jinou jednoduchou hodnotu, npř. x = dostneme 4A B + C =, tj. C =. Je tedy R(x) = x + 3 (x ) x.

13 . Diferenciální počet.. Reálná čísl. Reálná čísl zvedeme v podsttě intuitivně jko obrzy bodů n přímce, kde vyznčíme bod oznčující počátek rozhodneme o kldném směru (doprv). Znčíme R. Mtemticky lze reálná čísl zvést pomocí xiomů, viz [8, Odstvec 5.]. Zejmén si z MB zopkujte pojmy suprem infim, se kterými budeme prcovt... Supremum infimum v R. Necht je dán neprázdná množin A R. Prvek b R nzveme horní závorou množiny A, pokud x A : x b, tj. pokud je prvek b větší (nebo roven) než všechny prvky v množině A. Obdobně se definuje dolní závor množiny A, tj. je to prvek R s vlstností, že x pro všechny x A. Řekneme, že množin A je shor ohrničená (shor omezená), pokud má A lespoň jednu horní závoru. Podobně se definuje zdol ohrničená (zdol omezená) množin A. Množin A je ohrničená (omezená), pokud je A součsně zdol i shor ohrničená. Viz příkldy reálných intervlů. Nejmenší horní závor množiny A se nzývá supremum množiny A. Tj. prvek b R je supremum množiny A, pokud jsou splněny následující dvě podmínky: x A : x b (tj. b je horní závor množiny A), je-li y R horní závor množiny A, potom je b y (tj. b je nejmenší horní závor). Supremum množiny A znčíme jko b = sup A. Obdobně se definuje infimum množiny A, neboli je to největší dolní závor množiny A, znčíme = inf A. Příkld. Je-li A libovolný z intervlů (, ), [, ], [, ) nebo (, ], potom je vždy sup A = inf A =. Má-li množin A největší prvek b (tj. všechny osttní prvky jsou menší než b), potom je b = sup A. Podobně, má-li množin A nejmenší prvek (tj. všechny osttní prvky jsou větší než ), potom je = inf A. Výhod suprem či infim oproti největšímu či nejmenšímu prvku spočívá v tom, že největší či nejmenší prvek nemusí v A existovt, i když je množin A ohrničená, le supremum infimum existují vždy. Axiom. (i) Kždá neprázdná shor ohrničená množin A R má supremum. (ii) Kždá neprázdná zdol ohrničená množin A R má infimum. Tyto xiomy zručují, že v množině reálných čísel nejsou žádné díry. Nvíc lze jednoduše dokázt, že tvrzení (i) (ii) jsou nvzájem ekvivlentní, tj. stčí mít k dispozici jen jeden z nich, ten druhý pk již pltí utomticky.

14 .3. Intervly. Budeme se striktně držet znčení, že uzvřený intervl je oznčen hrntými závorkmi [, b] (krjní body tm ptří), ztímco otevřený intervl je oznčen kultými závorkmi (, b) (krjní body tm neptří). Podobně budeme uvžovt polouzvřené intervly [, b) (, b]. Nekonečné intervly (neohrničené zdol nebo shor) znčíme jko (, ), [, ), (, ), (, b], (, b). Symbol do intervlu nikdy neptří, je to jen znčení, že do intervlu ptří libovolně velké záporné či kldné body. Definiční obor funkce f(x) budeme znčit symbolem D(f), obor hodnot pk symbolem H(f)..4. Limit. V tomto odstvci se budeme podrobně zbývt situcí, kdy se nějké hodnoty funkce (nebo posloupnosti) blíží k nějkému číslu či k ±. To pk přirozeně vede k zvedení pojmu limit. Příkld 3. () K přiblížení pojmu limit může dobře posloužit již známý pojem infim či suprem. V Příkldu jsme ukázli, že = inf(, ), = sup(, ), přitom ni jedno z čísel, v množině (, ) neleží. Uvžujme posloupnost bodů { } { = n, 3, } 4,... (, ) n= pro zvyšující se n. Potom vidíme, že se hodnoty této posloupnosti nekonečně blíží k hodnotě infim (k nule), le nikdy této hodnoty nedosáhnou. Podobně toto pltí pro posloupnost { } { n = n, 3 4, 4 } 5,... (, ) hodnotu suprem (jedničku). n= (b) Nopk, členy posloupnosti { } n = {,,, 3,... } se nekonečně blíží k + (le nikdy této hodnoty nedosáhnou), stejně tk jko členy posloupnosti { } n = {,,, 3,... } se nekonečně blíží k (le nikdy této hodnoty nedosáhnou). (c) Podobně se funkční hodnoty funkce f(x) = x proměnná x zvyšuje k ± (viz obr.). nekonečně blíží k číslu když se nezávislá Intuitivní definice limity: Funkce f(x) má limitu L v bodě x, pokud se funkční hodnoty f(x) libovolně blíží k číslu L, když je x dosttečně blízko k x. Píšeme lim f(x) = L. x x

15 Příkld 4. Uvádíme různé druhy limit vlstní/nevlstní limit ve vlstním/nevlstním bodě. () Pro funkci f(x) = 3x + máme (viz obr.) lim(3x + ) =, lim x 3 (3x + ) =. x (b) Pro funkci f(x) = x lim x máme (viz obr.) x =, lim x x =, lim x x =. Oznčení. R := R {± }. Body x R se nzývjí vlstní body, body x = ± se nzývjí nevlstní body. Definice (Okolí bodu). Bud x R. Okolí O(x ) bodu x je otevřený intervl s vlstností (viz obr.) (x δ, x + δ), je-li x R, O(x ) = (, ), je-li x = ( R), (, b), je-li x = (b R). Množin O(x ) \ {x } (pro x R) se nzývá ryzí (též prstencové) okolí bodu x. Pro x R definujeme prvé okolí bodu x jko intervl [x, x + δ) levé okolí bodu x jko intervl (x δ, x ]. Podobně je prvé ryzí okolí bodu x intervl (x, x +δ) levé ryzí okolí bodu x intervl (x δ, x ). Definice 3 (Limit). Bud x, L R. Funkce f(x) má v bodě x limitu L, píšeme lim x x f(x) = L, pokud pro kždé okolí O(L) bodu L existuje okolí O(x ) bodu x tk, že pro všechn x O(x ) \ {x } je f(x) O(L). () To, že v podmínce () poždujeme, by x x, znmená, že limit nezávisí n hodnotě funkce v bodě x! Interpretce Definice 3 záleží n tom, jestli je x L vlstní nebo nevlstní bod. Definice 4 (Vlstní limit ve vlstním bodě). Bud x, L R. Funkce f(x) má v bodě x limitu L, pokud pro kždé ε > (toto číslo ε určuje okolí O(L) = (L ε, L + ε) bodu L) existuje δ > (toto číslo δ určuje okolí O(x ) = (x δ, x + δ) bodu x ) tkové, že pro všechn x tková, že < x x < δ }{{} x O(x )\{x } je f(x) L < ε. () }{{} f(x) O(L)

16 3 Zkráceně lze Definici 4 přepst jko ε > δ > tk, že x : < x x < δ f(x) L < ε. Příkld 5. Ukžte z definice, že lim x 3 (3x + ) =, viz obr. Řešení. Bud ε > libovolné. Chceme njít číslo δ > tkové, by y < ε, kdykoliv bude < x 3 < δ. Tedy (3x + ) < ε, tj. 3x 9 < ε, tj. ε x 3 < 3. Stčí tedy vzít δ := ε 3, přípdně libovolné jiné δ splňující < δ ε 3. Definice 5 (Vlstní limit v nevlstním bodě). Bud x =, L R. Potom lim f(x) = L, x pokud pro kždé ε > (toto číslo ε určuje okolí O(L) = (L ε, L + ε) bodu L) existuje > (toto číslo určuje okolí O( ) = (, ) bodu ) tkové, že pro všechn x }{{ > } je f(x) L < ε. (3) }{{} x O( ) f(x) O(L) Bud x =, L R. Potom lim f(x) = L, x pokud pro kždé ε > (toto číslo ε určuje okolí O(L) = (L ε, L + ε) bodu L) existuje b < (toto číslo b určuje okolí O( ) = (, b) bodu ) tkové, že pro všechn x }{{ < } b je f(x) L < ε. }{{} (4) x O( ) f(x) O(L) Příkld 6. Ukžte z definice, že lim x x =, viz obr. Řešení. Bud ε > libovolné. Chceme njít číslo > tkové, by y < ε, kdykoliv bude x >. Tedy x < ε, tj. x < ε, tj. x > ε. Stčí tedy vzít := ε, přípdně libovolné jiné splňující ε.

17 4 Příkld 7. Určete limitu posloupnosti n = ( + n) n pro n. Řešení. Ukáže se, že je tto posloupnost rostoucí shor ohrničená tudíž má limitu. Tuto limitu oznčujeme symbolem e nzýváme ji Eulerovým číslem (zákld přirozených logritmů). Je tedy ( + n) n = e. lim n Více ve skriptech [8, str ]. Podobně interpretujeme nevlstní limitu ve vlstním bodě (x R, L = ± ), nevlstní limitu v nevlstním bodě (x = ±, L = ± ). Ve vlstních bodech x se můžeme blížit k bodu x tké jen zprv nebo jen zlev, tj. v Definici 3 použijeme v podmínce () pouze prvé ryzí okolí bodu x nebo pouze levé ryzí okolí bodu x. Dostáváme pk pojmy limity zprv limity zlev: Definice 6 (Limit zprv/zlev). Bud x R, L R. Funkce f(x) má v bodě x limitu zprv rovnu číslu L, píšeme lim f(x) = L, x x + pokud pro kždé okolí O(L) bodu L existuje δ > tk, že pro všechn x (x, x + δ) je f(x) O(L). (5) Funkce f(x) má v bodě x limitu zlev rovnu číslu L, píšeme lim x x f(x) = L, pokud pro kždé okolí O(L) bodu L existuje δ > tk, že pro všechn x (x δ, x ) je f(x) O(L). (6) Příkld 8. () Pro funkci sgn x ( signum =znménko, viz obr.) definovnou jko, pro x >, sgn x :=, pro x <,, pro x =, pltí lim sgn x =, lim x + sgn x =. x (b) Pro funkci x pltí (viz obr.) lim x + x =, lim x x =.

18 5 A kdy limit neexistuje? Pokud má funkce v bodě x jeho okolí následující chování: skok funkce má obě jednostrnné limity vlstní, které jsou le různé (viz Příkld 8()), nekonečný skok funkce má obě jednostrnné limity, přičemž lespoň jedn z nich je nevlstní (tj. ± ), tyto jednostrnné limity jsou le různé (viz Příkld 8(b)), oscilce npř. funkce f(x) = sin x v bodě x =, viz obr. Příkld 9. Funkce q(x) := {, pro x Q (tj. pro x rcionální),, pro x Q (tj. pro x ircionální), nemá limitu v žádném bodě x R, protože v libovolném okolí zvoleného bodu x se ncházejí jk rcionální tk ircionální čísl tedy tto funkce zde nbývá hodnot i ( tedy zde nemůže mít limitu). V následujícím si přiblížíme některé zákldní vlstnosti limit. Vět (Vlstnosti limit). (i) Funkce f(x) má v bodě x R nejvýše jednu limitu. (ii) Má-li f(x) vlstní limitu L R v bodě x R, potom je f(x) n nějkém ryzím okolí bodu x ohrničená. (iii) Limit existuje právě když existují obě jednostrnné limity jsou si rovny, tj. lim f(x) = L lim f(x) = L = lim x x x x + x x f(x). Vět 3 (Vlstnosti limit). Jsou-li lim x x f(x) = L, kde L, M R (pouze vlstní limity!) x R, potom lim x x g(x) = M, [ ] lim f(x) ± g(x) = L ± M, (7) x x lim f(x) g(x) = L M, (8) x x f(x) lim x x g(x) = L, pokud M, (9) M lim f(x) = lim f(x) = L. () x x x x Vět 4 (O třech limitách). Necht x, L R. Je-li g(x) f(x) h(x) n nějkém ryzím okolí bodu x je-li lim g(x) = L = lim h(x), x x x x potom tké existuje limit funkce f(x) je rovn číslu L, tj. lim f(x) = L. x x

19 6 Příkld. Rozhodněte, jestli má funkce x sin x limitu v bodě x =. Řešení. Protože je funkce sin x ohrničená (jedničkou shor mínus jedničkou zdol), pro x pltí nerovnosti x x sin x x. A protože lim x x =, existuje podle Věty 4 tké limit funkce x sin x pltí lim x x sin x =. Poznámk. Všechny vlstnosti limit uvedené ve Větách, 3 4 pltí i pro jednostrnné limity, tj. pro limity zprv zlev. Poznámk. Pro výpočet limit používáme znčení pro typ dné limity, npř. typ, typ k, typ k, typ, td. Typ dné limity zjistíme tk, že dosdíme do dného výrzu přímo limitní hodnotu x = x. Kupříkldu x 4 lim x x + 4 typ 8 =..5. Spojitost. Spojitost funkce je důležitým znkem jejího chování. Uvidíme, že spojité funkce mjí téměř všechny důležité vlstnosti. Funkce f(x) je spojitá v bodě x R, jestliže existuje v tomto bodě vlstní limit L, v bodě x existuje funkční hodnot f(x ) tyto dvě čísl jsou si rovny, tj. pokud lim x x f(x) = f(x ). Spojitost zprv spojitost zlev v bodě x se definuje stejně, le s pomocí jednostrnné limity, tj. lim f(x) = f(x ), x x + lim x x f(x) = f(x ). Příkld. Funkce (viz obr.) x, pro x [, ),, pro x [, ),, pro x =, f(x) :=, pro x (, 3], 5 x, pro x (3, 4),, pro x = 4, je spojitá v kždém bodě x [, 4] kromě x =,,, 4, spojitá zprv v kždém bodě x [, 4] kromě x =, 4, spojitá zlev v kždém bodě x [, 4] kromě x =,,, 4.

20 7 Vět 5 (Vlstnosti spojitých funkcí). (i) Jsou-li funkce f(x) g(x) spojité v bodě x, pk jsou zde spojité i funkce (f ± g)(x), f(x) g(x), f(x) g(x) pro g(x ). (ii) (Vět o záměnnosti limitního přechodu funkce.) Necht x R. Je-li lim x x g(x) = M je-li funkce f(y) spojitá v bodě y = M, potom lim f ( g(x) ) = f ( lim g(x) ) = f(m). x x x x (iii) (Spojitost složené funkce.) Je-li funkce g(x) spojitá v bodě x je-li funkce f(y) spojitá v bodě y = g(x ), potom je složená funkce (f g)(x) = f ( g(x) ) spojitá v bodě x. Všimněte si, že vlstnost () je speciálním přípdem Věty 5(ii), protože je x spojitá funkce. Příkld. Ve Větě 5(ii) může existovt lim x x f ( g(x) ) i v přípdě, že lim x x g(x) neexistuje. Npř. pro g(x) = sgn x f(y) = y pltí, že lim x sgn x neexistuje, le přesto je Příkldy spojitých funkcí: lim f( g(x) ) = lim(sgn x) = lim =. x x x konstntní funkce f(x) = C (v kždém bodě x R), polynom P (x) (v kždém bodě x R), rcionální lomená funkce R(x) = P (x) (v kždém bodě x D(R), tj. v kždém bodě x, kde Q(x) Q(x) ), trigonometrické funkce (všude, kde jsou definovány). Spojitost funkcí lze dobře využít k výpočtu limit prostým doszením. Příkld 3. lim x (x + x) = ( ) + ( ) =, V následujících příkldech uvádíme tzv. zákldní limity. lim cos x = cos =. x Příkld 4. Určete sin x lim x x. Řešení. Doszením z x = dostneme, že tto limit je typu. Pro x (, π ) pltí sin x < x < tg x (viz obr.). A protože je pro tto x hodnot sin x >, je < x sin x < sin x, tj. cos x < cos x x <.

21 8 Jelikož je funkce cos x spojitá (v nule), obě strny nerovnosti se pro x + blíží k, tedy podle věty o třech limitách (Vět 4) je Protože je funkce sin x x sin x lim x + x =. sudá, existuje tké limit zlev je rovn, tj. sin x lim x x = = lim x + sin x x Vět (iii) sin x lim x x =. () Příkld 5. Určete lim x cos x. x Řešení. Doszením z x = dostneme, že tto limit je typu. cos x lim x x ( cos x = lim + cos x ) ( cos x = lim x x + cos x x x ( ) ( sin x sin x = lim = lim sin x x + cos x x }{{ x }{{} x } ) + cos x ) } + {{ cos x } = =. Proto je cos x lim x x =. () Příkld 6. Určete lim x e x. x Řešení. Doszením z x = dostneme, že tto limit je typu. Pomocí nerovnosti (viz obr. níže) + x x + < ex < + x x, pro x (, ),

22 9 () Grf funkce ex x n intervlu [, ]. (b) Grf funkcí ex x, +x x n intrevlu [,.4]. (c) Grf funkcí ex x, +x x n intrevlu [.4, ]. neboli x + < ex < x x, pro x (, ), dostneme z věty o třech limitách (Vět 4), že e x lim =. x + x Podobně, pltí x < ex < x x +, pro x (, ), tedy podle věty o třech limitách (Vět 4) pltí e x lim =. x x Celkově tedy podle Věty (iii) je e x lim =. (3) x x

23 Příkld 7. Určete lim x ln( + x). x Řešení. Z Příkldu 6 máme, že pro mlé x je e x x, tedy je e x + x. Logritmováním obou strn dostneme, že x ln( + x). Tedy pltí, že ln( + x) lim x x =. (4) Příkld 8. Určete lim x x. x Řešení. Doszením z x = dostneme, že tto limit je typu. Pomocí rovnosti x = e ln x = e x ln dostneme tedy je x lim x x e x ln = lim ln = ln, x } x {{ ln } x lim x x = ln. (5) Všimněte si, že nyní je limit (3) speciálním přípdem limity (5) pro = e. Příkld 9. Určete lim x log ( + x). x Řešení. Doszením z x = dostneme, že tto limit je typu. Pomocí rovnosti log ( + x) = ln(+x) ln tedy je log lim ( + x) x x dostneme ln( + x) = lim x }{{ x } ln = ln, log lim ( + x) x x = ln. (6) Všimněte si, že nyní je limit (4) speciálním přípdem limity (6) pro = e.

24 Spojitost n intervlu Bud I D(f). Funkce f(x) je spojitá n intervlu I, je-li spojitá v kždém vnitřním bodě intervlu I ptří-li levý/prvý krjní bod do intervlu I, je v něm f(x) spojitá zprv/zlev. Píšeme f C(I), přípdně f C[, b], pokud I = [, b]. (Písmeno C pochází z nglického continuous=spojitý.) Příkld 3. () f(x) = 4 x (viz obr.), f(x) je spojitá n intervlu [, ], tj. f C[, ]. (b) f(x) = (viz obr.), f(x) je spojitá n intervlu (, ), n intervlu (, ), le není spojitá x n intervlu (, ) (n R). (c) Všimněte si, že spojitost funkce n intervlech (, ) [, ) stále ještě nemusí stčit pro spojitost n celém R. Npř. funkce (viz obr.) {, pro x <, f(x) :=, pro x, je spojitá n kždém z intervlů intervlech (, ) [, ), le není spojitá n R. Vět 6 (Weierstrssov). Je-li funkce f(x) spojitá n intervlu [, b], tj. n uzvřeném konečném intervlu, potom je n tomto intervlu ohrničená nbývá v něm své nejmenší největší hodnoty (viz obr.). Důkz. Je zložen n principu suprem infim. Poznámk 3. Žádná z podmínek ve Větě 6 nemůže být vypuštěn, protože by pk existence nejmenší nebo největší hodnoty v dném intervlu nemusel být zručen, jk ukzují následující příkldy. () Intervl musí být konečný. Npř. f(x) = x n uzvřeném intervlu [, ) nbývá své minimum v bodě x =, le nenbývá zde své mximum. Nvíc je tto funkce neohrničená. (Viz obr.) (b) Intervl musí být uzvřený. Npř. f(x) = n intervlu (, ] nbývá své minimum v bodě x x =, le nenbývá zde své mximum. Nvíc je tto funkce neohrničená. (Viz obr.) (c) Intervl musí být uzvřený. Npř. f(x) = x n intervlu (, ) nenbývá v tomto intervlu své minimum ni své mximum, le tto funkce je ohrničená. (Viz obr.) Vět 7 (Bolznov). Je-li funkce f(x) spojitá n intervlu [, b], tj. n uzvřeném konečném intervlu, potom f(x) nbývá v tomto intervlu všech hodnot mezi svou nejmenší největší hodnotou (viz obr.). Tj. oznčíme-li m := min f(x) M := mx f(x), potom pro kždou hodnotu y [m, M] existuje (lespoň jedno) c [, b] tk, že pltí f(c) = y. Volbou y = v předchozí větě dostneme následující.

25 Důsledek. Je-li funkce f(x) spojitá n intervlu [, b] mjí-li hodnoty f() f(b) různá znménk (tj. f() f(b) < )), pk existuje bod c (, b) tk, že pltí f(c) =, tj. rovnice f(x) = má v intervlu (, b) lespoň jedno řešení (viz obr.). Vět 8 (O spojitosti inverzní funkce). Je-li funkce f(x) spojitá ryze monotónní (tj. stále roste nebo stále klesá ) n intervlu I, potom je tké inverzní funkce f (x) spojitá ryze monotónní n intervlu J := f(i). Z výše uvedené věty plyne spojitost cyklometrických funkcí rcsin x, rccos x, rctg x, rccotg x, dále spojitost logritmických funkcí..6. Body nespojitosti. Rozlišujeme následující typy nespojitosti (v bodech x R):. Odstrnitelná nespojitost existuje vlstní limit lim x x f(x), le tto limit je různá od f(x ) (přípdně f(x ) není vůbec definován). Tento typ nespojitosti lze odstrnit předefinováním (přípdně dodefinováním) hodnoty f(x ). Příkld 3. () Funkce f(x) = x 4 x má v bodě x = odstrnitelnou nespojitost (v podsttě je f(x) = x + pro x ). (b) Funkce f(x) = sin x x má v bodě x = odstrnitelnou nespojitost.. Skok (též nespojitost prvního druhu) existují vlstní jednostrnné limity lim x x + f(x) lim x x f(x), le tyto jednostrnné limity jsou různé (přitom vůbec nezáleží n hodnotě f(x )). Příkld 3. Funkce f(x) = sgn x má v bodě x = nespojitost typu skok. 3. Nespojitost druhého druhu lespoň jedn jednostrnná limit je bud nevlstní nebo neexistuje. Příkld 33. Funkce f(x) = x, mjí v bodě x = nespojitost druhého druhu. f(x) = sin x

26 3.7. Derivce. Jko motivci uved me výpočet následujících limit. Příkld 34. () (b) x lim x x x 4 lim x x typ = lim x typ = lim x (x ) (x + ) x (x ) (x + ) x = lim x (x + ) =. = lim x (x + ) = 4. (c) Příkld 35. () (b) x x lim x x x x lim x lim x x x x x typ = lim (x x ) (x + x ) x x x x typ = lim x typ = lim x x x x x x x = lim x x (x + x ) = x. x = lim x x (x ) = lim x x =. x = lim x x (x ) = lim x x = 4. (c) lim x x x x x x typ = lim x x x x x x x x = lim x x Definice 7 (Derivce). Necht x D(f). Pokud existuje x x x x (x x ) = lim x x =. x x x f(x) f(x ) lim (vlstní nebo nevlstní), (7) x x x x nzýváme tuto limitu derivcí funkce f(x) v bodě x znčíme f (x ). Je-li tto limit nevlstní (tj. ± ), nzývá se f (x ) nevlstní derivcí funkce f(x) v bodě x. Jiná terminologie je diferencovtelnost funkce f(x) v bodě x. Co je to vlstně derivce v bodě x?. Anlyzujme diferenční podíl (viz obr.) f(x) f(x ) x x = tg ϕ = směrnice sečny procházející body M = [x, f(x )] N = [x, f(x)]

27 4. Pokud se x blíží k x (tj. bod N se blíží k bodu M), sečn MN se stává tečnou v bodě M, tedy je f (x ) = lim x x f(x) f(x ) x x = směrnice tečny v bodě M = [x, f(x )]. Příkld 36. Funkce f(x) = má v bodě x x = tečnu, která má směrnici =. A proto je tké f () =, srovnejte s Příkldem 35(). Poznámk 4. (i) Derivce f (x ) (jko limit) je vždy limitou typu. (ii) Pokud nhrdíme limitu ve výrzu (7) jednostrnnými limitmi, dostneme definici derivce zprv derivce zlev v bodě x, tj. f +(x ) = lim x x + f(x) f(x ) x x, f (x ) = lim x x f(x) f(x ) x x. Zřejmě pk f (x ) existuje existují f (x ) f +(x ) tyto jednostrnné derivce jsou si rovny. (iii) Kždá funkce má v libovolném bodě x nejvýše jednu derivci. (iv) Hodnot f (x ) popisuje rychlost změny funkce f(x) v bodě x (růst nebo pokles součsně velikost tohoto růstu nebo poklesu). (v) Položíme-li h := x x, dostneme f f(x) f(x ) f(x + h) f(x ) (x ) = lim = lim x x x x h h. (8) (vi) Aby mohl mít funkce f(x) derivci v bodě x, musí být definován n nějkém okolí bodu x (včetně bodu x )! (vii) f (x ) někdy píšeme jko df dx (x ), nebo jko f (x) x=x. Poznámk 5. Rovnice tečny ke grfu funkce f(x) v bodě [x, f(x )] je pk y y = f (x ) (x x ), kde y = f(x ).

28 5 Příkld 37. Určete směrnici tečny rovnici tečny funkce f(x) = v bodě x x =. Řešení. Z Příkldu 35(b) víme, že f () =, tedy směrnice tečny v bodě x 4 = je =. 4 Protože je f() =, je podle Poznámky 5 rovnice tečny v bodě x = y = 4 (x ), tj. y = 4 x +. Příkld 38. V Příkldech jsme vlstně odvodili vzthy (x ) ( x=x = x, = x) x=x. x Z geometrické vlstnosti, že derivce je směrnice tečny, můžeme tedy odvodit následující prvidl: (x) x=x =, (x + b) x=x =, (k) x=x =. Příkld 39. (x 3 ) x=x = lim x x x 3 x 3 x x = lim x x (x x ) (x + x x + x ) x x = lim x x (x + x x + x ) = 3x. Podobně lze odvodit tkové prvidlo pomocí rozvoje pro x n x n (kde n N), tj. (x n ) x n x n x=x = lim = = nx n, tj. (x n ) x x x x x=x = nx n. (9) Porovnejte tento výsledek s definicí derivce polynomu v Odstvci.3. Příkld 4. Určete derivci funkce f(x) = x v bodech x D(f). Řešení. Zřejmě je D(f) = [, ). Pro x > je x f x (x ) = lim = lim x x x x x x = lim = x x x + x ( x x x x x. x + x x + x ) = lim x x x x (x x ) ( x + x ) Pro x = derivce neexistuje (je to krjní bod definičního oboru, tudíž v něm neexistuje limit existuje zde pouze limit zprv). Vypočtěme tedy derivci zprv: x x f +() = lim = lim x + x x + x = lim x =. x + Funkce f(x) = x tedy má v počátku nevlstní prvostrnnou derivci f +() =, neboli tečn v bodě x = je svislá přímk.

29 6 Pokud se n bod x budeme dívt jko n proměnnou, potom můžeme derivci chápt jko zobrzení, které kždému bodu x přiřdí hodnotu f (x) (pokud je tto hodnot vlstní). Tedy f (x) je opět funkce proměnné x, přičemž pro její definiční obor pltí, že D(f ) D(f). Příkld 4. V Příkldu 4 je D(f) = [, ) D(f ) = (, ), přestože f +() existuje (le jen jko nevlstní derivce). Tedy proztím odvozené vzthy pro derivce můžeme shrnout jko ( ) (x n ) = nx n, n N, = x x, ( x) = x. Má-li funkce f(x) derivci v kždém bodě množiny (npř. intervlu) I, pk říkáme, že f(x) je diferencovtelná n I. Npř. x n je diferencovtelná n R, nebo je diferencovtelná n (, ) n x (, ). Normál ke grfu v bodě x je přímk, která prochází bodem [x, f(x )] je kolmá n tečnu (viz obr.). Je-li směrnice tečny směrnice normály, potom pltí vzth =. Příkld 4. Určete rovnici tečny normály ke grfu funkce f(x) = x 4 v bodě x =. Řešení. Tečn: Protože je směrnice tečny v bodě x = rovn f () = (4x 3 ) x= = 4 protože je f() =, podle Poznámky 5 je rovnice tečny y = 4 (x ), tj. y = 4x 3. Normál: Protože je směrnice normály v bodě x = rovn = = f () 4 (stejně jko tečn) prochází bodem [x, f(x )] = [, ], je rovnice normály protože i normál y = 4 (x ), tj. y = 4 x Příkld 43. Určete zd má funkce f(x) = x v bodě x = derivci. Řešení. f x () = lim x x = lim x x x = lim sgn x... limit neexistuje. x Funkce x nemá v počátku derivci. Pochopitelně, protože míti derivci = míti (právě jednu) tečnu. N druhou strnu, můžeme vypočítt jednostrnné derivce v počátku: f +() = lim x + x x = lim x x + x = lim x x + x = lim =, x f () x = lim x x = lim x x x = lim x x + x = lim ( ) =. x Tedy tyto jednostrnné derivce jsou různé, proto podle Poznámky 4(ii) neexistuje f ().

30 7 Derivce v prxi. Je-li s(t) poloh hmotného bodu n přímce v čse t, potom je výrz celková dráh = s(t) s(t ) celkový čs t t roven průměrné rychlosti z čsový úsek [t, t]. Zřejmě je pk s(t) s(t ) lim = s (t ) t t t t rychlost v okmžiku t, tedy je v(t) = s (t), rychlost je derivce dráhy. Zde je nutné vzít v úvhu, že rychlost v(t) má znménko, tj. v(t) > ve směru pohybu, kdy se s(t) zvětšuje v(t) <, když se s(t) zmenšuje.. Protože je zrychlení (t) změn rychlosti, podobně pltí, že v(t) v(t ) lim = v (t ) t t t t je zrychlení v okmžiku t, tedy je (t) = v (t), zrychlení je derivce rychlosti. 3. Protože pltí, že je 4. Protože pltí, že je výkon = změn práce změn čsu, P (t) = W (t), výkon je derivce práce. elektrický proud = změn elektrického náboje, změn čsu I(t) = Q (t), proud je derivce náboje..8. Vlstnosti prvidl derivcí. V tomto odstvci odvodíme zákldní vlstnosti funkce její derivce prvidl pro počítání derivcí. Vět 9. Má-li f(x) v bodě x vlstní derivci f (x ), potom je funkce f(x) spojitá v bodě x. Důkz. Chceme ukázt, že lim x x f(x) = f(x ). Protože existuje vlstní f (x ) je ( ) f(x) f(x ) lim f(x) = lim [f(x) f(x ) + f(x )] = lim (x x ) + f(x x x x x x x x x }{{ }{{} ) }{{}} f(x ) f (x ) Je tedy f(x) spojitá v bodě x. = f (x ) + f(x ) = f(x ). Z Věty 9 plyne, že pokud je funkce f(x) nespojitá v bodě x, pk v něm nemůže mít derivci.

31 8 Příkld 44. Funkce sgn x je nespojitá v počátku, proto zde nemá (vlstní) derivci. Pozor! Opčné tvrzení k Větě 9 nepltí, tj. ze spojitosti v x neplyne existence derivce v bodě x. Příkldem je funkce x v bodě x =. Pokud má funkce nevlstní derivci v bodě x, tk stále ještě může být spojitá v x. Obecné prvidlo jko ve Větě 9 le k dispozici nemáme. Příkld 45. () Funkce f(x) = 3 x je zřejmě spojitá v bodě x = (dokonce n celém R). Přitom 3 x 3 f 3 x () = lim = lim x x x x = lim x 3 x typ + =. Tto funkce má tedy v počátku nevlstní derivci (tečn je svislá přímk = os y, viz obr.) přitom je spojitá. (b) Funkce f(x) = sgn x je nespojitá v bodě x =. Přitom f +() = lim x + sgn x sgn x f () = lim x sgn x sgn x = lim x + sgn x x = lim x sgn x x = lim x + x = lim x x typ + =, typ =, tedy tké f () = existuje. Tto funkce má tedy v počátku nevlstní derivci přitom je zde nespojitá (nemá tečnu v počátku). Vět (Prvidl pro derivce). Necht mjí funkce f(x) g(x) vlstní derivci v bodě x. Potom pltí následující prvidl. (i) Prvidlo konstntního násobku: [ c f(x) ] = c f (x). (ii) Prvidlo součtu rozdílu: [ f(x) ± g(x) ] = f (x) ± g (x). (iii) Prvidlo součinu: [ f(x) g(x) ] = f (x) g(x) + f(x) g (x). (iv) Prvidlo podílu: [ ] f(x) = f (x) g(x) f(x) g (x). g(x) [g(x)]

32 9 Důkz. Prvidl (i) (ii) jsou triviální z definice derivce (jko limity). Ukážeme prvidlo součinu: (f g) (x ) = lim x x f(x) g(x) f(x ) g(x ) x x f(x) g(x) f(x ) g(x) + f(x ) g(x) f(x ) g(x ) = lim x x x x { f(x) f(x ) = lim g(x) + f(x x x x x }{{ }{{} ) g(x) g(x } ) }{{} x x } g(x ) f(x ) }{{ } f (x ) g (x ) = f (x ) g(x ) + f(x ) g (x ), přičemž jsme použili Větu 9 pro spojitost funkce g(x) v bodě x. Prvidlo podílu se ukáže podobně, jko prvidlo součinu. Příkld 46. (x 3 + 3x + ) = (x 3 ) + 3(x) + () = 3x = 6x + 3, ( ) x + = (x + ) (x ) (x + ) (x ) x (x ) = x (x ) (x + ) x = 4x (x ) (x ), ( ) x x = ( x) x + x (x ) = x x + x x = x x = x 3 5 = x3. Všimněte si, že poslední uvedený příkld má n levé strně ( x 5 ). Příkld 47. Uvžujme soukolí tří ozubených kol, přičemž kolo A má zubů, kolo B má 4 zuby kolo C má 6 zubů (viz obr.). Jestliže kolo A udělá y otáček, kolo B udělá u otáček kolo C udělá x otáček, potom pltí y = 3 u, u = 3 x, tedy je y = 3 u = 3 3 x = x. Velikost změny y ke změně u je zřejmě, velikost změny u ke změně x je zřejmě 3, proto velikost 3 změny y ke změně x je 3 =. 3 Ukázli jsme tedy, že při skládání funkcí se velikost změn (= derivce) násobí. Vět (Derivce složené funkce). Má-li funkce y = f(u) derivci v bodě u := g(x ) funkce u = g(x) derivci v bodě x, potom má složená funkce y = (f g)(x) = f ( g(x) ) derivci v bodě x pltí (f g) (x) = f (u ) g (x ) = f ( g(x ) ) g (x ).

33 3 Příkld 48. Určete derivci funkce x + x. Řešení. Oznčme f(u) = u u = g(x) = x + x. Potom je f (u) = u g (x) = x +. A proto je podle Věty ( x + x ) = (x + ) u = x + u=x +x x + x. Složenou funkci je výhodné derivovt podle prvidl vnější funkce vnitřní funkce: [ ( f g (x) )] ( = f g(x) ) g }{{}}{{} (x) }{{}}{{}. vnější vnitřní derivuj vnější nechej jko rgument vnitřní derivuj vnitřní Příkld 49. ( x3 + x + x + ) = x 3 + x + x + (3x + x + ), [(x + x) ] = (x + x) (x + ) = 4x 3 + 6x + x. Všimněte si, že poslední uvedený příkld lze spočítt i přímo nebo podle prvidl součinu [(x + x) ] = (x 4 + x 3 + x ) = 4x 3 + 6x + x, [(x + x) ] = [(x + x) (x + x)] = (x + ) (x + x) + (x + x) (x + ) = 4x 3 + 6x + x. Druhá derivce funkce f(x) v bodě x se definuje jko derivce funkce f (x) v bodě x, tj. f (x) := [f (x)]. Podobně definujeme n-tou derivci funkce f(x) v bodě x jko derivce funkce f (n ) (x) v bodě x, tj. f (n) (x) := [f (n ) (x)]. Příkld 5. ( ) ( ) x = = ( ) x x = x x [ = x] 4x x. Poslední prvidlo, které budeme pro derivování potřebovt, je prvidlo pro derivci inverzní funkce. Jk již víme, funkce f má inverzní funkci f pouze pokud je f(x) prostá (injektivní v terminologii MB), tedy n zdném intervlu bud stále roste nebo stále klesá (tj. je tzv. ryze monotónní). Složení funkce f její inverze f (v libovolném pořdí) dává identické zobrzení tudíž jsou grfy funkce f její inverze f souměrné podle přímky y = x (tj. podle osy. 3. kvdrntu). Jelikož budeme nyní primárně studovt vlstnosti funkce inverzní f, oznčíme si tuto funkci v proměnné x, tj. inverzní funkce f bude zdán jko předpis y = f (x) n svém definičním oboru

34 3 D(f ) = J. Neznámé vlstnosti (zejmén tedy derivci) inverzní funkce f (x) vyjádříme pomocí derivce původní tudíž známé funkce f, kterou si oznčíme v proměnné y. Tj. původní funkce je dán předpisem x = f(y) n svém definičním oboru D(f) = I = f (J), neboli D(f ) = J = f(i). Příkld 5. Zjímjí nás vlstnosti (npř. derivce) funkce 3 x. Tto funkce je inverzní k funkci x 3. Oznčíme si proto tuto inverzi v proměnné x, tj. f (x) = 3 x, původní funkci v proměnné y, tj. f(y) = y 3. Potom budeme moct vyjádřit derivci funkce 3 x pomocí derivce původní funkce f(y) = y 3, tj. pomocí f (y) = 3y. Vět (Derivce inverzní funkce). Je-li funkce x = f(y) spojitá ryze monotonní n intervlu J je-li y J vnitřní bod tohoto intervlu tkový, že f(y) má derivci (vlstní nebo nevlstní) f (y ) v bodě y, potom má inverzní funkce y = f (x) derivci (f ) (x ) v bodě x := f(y ). Pro tuto derivci pltí následující: (i) Je-li f (y ), potom je (f ) (x ) = f (y ) = f ( f (x ) ). (ii) Je-li f (y ) =, potom je (f ) (x ) nevlstní přitom (f ) (x ) =, pro f(y) rostoucí, (f ) (x ) =, pro f(y) klesjící. Důkz. Oznčme jko ϕ = (známý) směrový úhel tečny ke grfu funkce x = f(y) v bodě [y, x ] vzhledem ke kldnému směru osy y, ψ = (neznámý) směrový úhel tečny ke grfu funkce y = f (x) v bodě [x, y ], vzhledem ke kldnému směru osy x, přičemž pltí, že tg ϕ = f (y ) je známá hodnot my chceme určit neznámou hodnotu tg ψ = (f ) (x ). Vzhledem k tomu, že ϕ + ψ = π (viz obr.), je pro tg ϕ ( ) π tg ψ = tg ϕ = sin( π ϕ) cos( π ϕ) = sin π cos ϕ cos π sin ϕ cos ϕ cos π cos ϕ + sin π = sin ϕ sin ϕ nebot sin π = cos π = cotg ϕ = tg ϕ, =. Je tedy (f ) (x ) = f (y ).

35 3 Je-li tg ϕ = (tečn ke grfu původní funkce x = f(y) je vodorovná), potom je tečn ke grfu inverzní funkce y = f (x) svislá, tj. (f ) (x ) je nevlstní. Poznámk 6. Derivci inverzní funkce lze tké odvodit z prvidl pro složenou funkci (Vět ). Je totiž pro kždé x D(f ) x = f ( f (x) ), tedy derivováním n obou strnách této rovnosti dostneme = [ f ( f (x) )] = f ( f (x) ) (f ) (x), tj. (f ) (x) = f ( f (x) ). Příkld 5. Určete derivci funkce 3 x. Řešení. Oznčme si (viz Příkld 5) Tedy podle Věty je y = f (x) = 3 x, x = f(y) = y 3 f (y) = 3y. ( 3 x) = f (y) = 3y = 3 ( 3 x) = 3 3 x. Všimněte si, že 3 x = x 3 výrz n prvé strně je 3 x Derivce elementárních funkcí. V tomto odstvci odvodíme derivce všech elementárních funkcí. Ze vzthu (9) víme, že pro n N {} je (x n ) = nx n (pro n = derivci funkce x můžeme v tomto vzthu interpretovt jko = () = (x ) = x, přičemž poslední uvedený výrz definujeme jko ). Nyní ukážeme, že stejný vzth pltí pro libovolné (reálné) exponenty, nejen pro přirozená čísl. Tvrzení (Derivce mocniny). Pro libovolný exponent r R pltí, že kdykoliv mjí uvedené výrzy smysl. Důkz. Krok I. (r = n N {}). To jsme již ukázli ve vzorečku (9). (x r ) = rx r, () Krok II. (r = m Z). Necht m je záporné celé číslo, tj. m = n pro nějké n N. Potom x m = x n = tedy derivci funkce x m odvodíme z prvidl pro derivci podílu (Vět (iv)): x n ( ) (x m ) = = xn nx n = nxn = ( n) x (n ) n = ( n) x n = mx m. x n (x n ) x n

36 33 Krok III. (r =, kde q N). Derivci funkce x q q = q x odvodíme z věty o derivci inverzní funkce (Vět, podobně jko v Příkldu 5). Oznčme si y = f (x) = q x x = f(y) = y q. Protože je q N, je podle Kroku I. f (y) = qy q. A tedy podle Věty pltí, že (x r ) = ( q x) = qy q = q ( q x ) q = q x q q = q x q = rx r. Krok IV. (r = p q Q, kde p Z q N). Derivci funkce x p q = ( x q ) p odvodíme z věty o derivci složené funkce (Vět ) z Kroku I. III.: (x r ) = [( x q ) p ] ( ) p = p x q q x q = p q x p q x q q = p q x p + q q = p q x p q = rx r. Nebo lze postupovt v obráceném pořdí, tj. derivovt výrz x p q = (x p ) q jko složenou funkci. Vyzkoušejte si tuto druhou možnost smi. Krok V. (r R). Tento poslední krok plyne npř. z prvidl pro derivování exponenciální funkce, které odvodíme později (viz Důsledek ). Poznámk 7. Výrz x r obecně není definován pro libovolné r R x R. Npř. pro r = je tento výrz definován pouze pro x. Obecně lze s jistotou říci, že rovnost () pltí pro x > ( libovolné r R). Nvíc, pro některé exponenty může rovnost () pltit i pro x. Npř. pro r pltí i pro x =, či pro r celé záporné (tj. pro r =,, 3,... ) rovnost () pltí pro všechn x < (kromě již uvedených x > ). Příkld 53. ( x) = ( ) x = ( x x = x, (viz Příkld 4), ) = (x ) = ( ) x =, (viz Příkld 38), x (x π ) = π x π. Tvrzení (Derivce trigonometrických funkcí). Pro trigonometrické funkce pltí (sin x) = cos x, (cos x) = sin x, () (tg x) = cos x, (cotg x) = sin x. ()

37 34 Důkz. Derivce funkcí sin x cos x vypočteme z definice (Definice 7 vzorec (8)) z použití součtových vzorců: (sin x) sin(x + h) sin x (sin x) (cos h) + (cos x) (sin h) sin x = lim = lim h h h { h = lim ( sin x) cos h +(cos x) sin h } = ( sin x) + (cos x) = cos x, h }{{ h }}{{ h } (cos x) cos(x + h) cos x (cos x) (cos h) (sin x) (sin h) cos x = lim = lim h h h { h = lim ( sin x) sin h (cos x) cos h } = ( sin x) (cos x) = sin x. h }{{ h }}{{ h } Derivce funkcí tg x cotg x odvodíme z prvidl pro derivci podílu (Vět (iv)): ( ) sin x (tg x) (cos x) (cos x) (sin x) ( sin x) = = = cos x + sin x cos x (cos x) cos x ( ) cos x (cotg x) ( sin x) (sin x) (cos x) (cos x) = = = sin x cos x sin x (sin x) sin x = cos x, = sin x. Všimněte si tké, že derivci cotg x lze spočítt z prvidl pro derivci složené funkce (Vět ), protože pltí (cotg x) = [ (tg x) ] = ( ) (tg x) cos x = ( ) tg x cos x = sin x. Dále uvedeme derivce exponenciálních logritmických funkcí. O číslu e více v Příkldu 7. Tvrzení 3 (Derivce exponenciálních logritmických funkcí). Pro exponenciální logritmické funkce pltí (e x ) = e x, ( x ) = x ln, (3) (ln x) = x, (log x) = x ln. (4) Důkz. Derivce funkcí e x x vypočteme z definice (Definice 7) z použití zákldních limit (3) (5): (e x ) = lim h e x+h e x h = lim h e x e h e x h = e x e h lim = e x = e x, h }{{ h } = ( x ) x+h x x h x = lim = lim = x h lim = x ln. h h h h } h {{ h } = ln Všimněte si, že derivci funkce x je tké možné vypočítt z derivce složené funkce pomocí ( x ) = ( e x ln ) = e x ln ln = x ln.

38 35 Derivce funkcí ln x log x vypočteme z definice (Definice 7) z použití zákldní limity (4): ( ) (ln x) ln(x + h) ln x ln x+h ln x + h x = lim = lim = lim h h h h h h x = x = x, x }{{} = ( ) ln x (log x) = = ln ln (ln x) = x ln. Všimněte si, že derivci funkce ln x lze tké spočítt z derivce funkce inverzní (Vět ), nebot pro y = f (x) = ln x pro x = f(y) = e y máme f (y) = e y, tkže podle Věty je (ln x) = f (y) = e = y e = ln x x. Důsledek (Derivce mocniny). Pro libovolné r R pltí (x r ) = rx r, x >. Důkz. Z prvidl pro derivci složené funkce (Vět ) z derivce logritmu plyne, že (x r ) = ( e r ln x) = e r ln x (r ln x) = x r r x = rxr x = rx r. Poznámk 8. V Příkldech 4, 5, 6, 7, 8 9 jsme ukázli, že sin h cos h lim =, lim =, h h h h e h ln( + h) lim =, lim =,. h h h h h log lim = ln, lim ( + h) = h h h h ln. Tyto limity le nevyjdřují nic jiného, než derivce funkcí sin x, cos x, e x, x v bodě derivce funkcí ln x, log x v bodě, nebot (sin x) sin h x= = lim h h =, (cos x) cos h x= = lim h h (e x ) x= = lim h e h h ( x ) x= = lim h h h =, (ln x) x= = lim h ln( + h) h =, =, = ln, (log x) x= = lim h log ( + h) h = ln. Tvrzení 4 (Derivce cyklometrických funkcí). Pro cyklometrické funkce pltí (rcsin x) =, (rccos x x) =, (5) x (rctg x) = + x, (rccotg x) = + x. (6)

39 36 Důkz. Derivce všech těchto cyklometrických funkcí vypočteme z prvidl pro derivování inverzní funkce (Vět ). Pro y = f (x) = rcsin x pro x = f(y) = sin y máme f (y) = cos y, proto podle Věty pltí, že (rcsin x) = f (y) = cos y = cos(rcsin x). Protože le pro libovolné y R je (cos y) + (sin y) = (zejmén tedy pro y = rcsin x), je = [ cos(rcsin x) ] [ ] + sin(rcsin x) = cos (rcsin x) + x, }{{} = x A tedy pltí, že (rcsin x) = cos(rcsin x) = x. cos(rcsin x) =. x Pro y = f (x) = rccos x pro x = f(y) = cos y máme f (y) = sin y, proto podle Věty pltí, že (rccos x) = f (y) = sin y = sin(rccos x). Protože le pro libovolné y R je (cos y) + (sin y) = (zejmén tedy pro y = rccos x), je = [ ] [ ] cos(rccos x) + sin(rccos x) = x + sin (rccos x), }{{} = x A tedy pltí, že (rccos x) = sin(rccos x) =. x sin(rccos x) = x. Pro y = f (x) = rctg x pro x = f(y) = tg y máme f (y) =, proto podle Věty cos y pltí, že (rctg x) = f (y) = cos y = cos (rctg x). Protože le pro libovolné y R je (cos y) + (sin y) = (zejmén tedy pro y = rctg x), je = [ cos(rctg x) ] + [ sin(rctg x) ]. Vydělením obou strn této rovnosti výrzem [ cos(rctg x) ] dostneme ( ) sin(rctg x) cos (rctg x) = + = + [ ] tg(rctg x) = + x, cos(rctg x) }{{} = x cos (rctg x) = + x. A tedy pltí, že (rctg x) = cos (rctg x) = + x.

40 37 Pro y = f (x) = rccotg x pro x = f(y) = cotg y máme f (y) =, proto podle Věty sin y pltí, že (rccotg x) = f (y) = sin y = sin (rccotg x). Protože le pro libovolné y R je (cos y) + (sin y) = (zejmén tedy pro y = rccotg x), je = [ cos(rccotg x) ] + [ sin(rccotg x) ]. Vydělením obou strn této rovnosti výrzem [ sin(rccotg x) ] dostneme ( cos(rccotg x) sin(rccotg x) A tedy pltí, že sin (rccotg x) = ) + = [ ] cotg(rccotg x) + = x +, }{{} = x sin (rccotg x) = + x. (rccotg x) = sin (rccotg x) = + x. Příkld 54. Zkuste si promyslet, jk by se vypočítly derivce funkcí typu [f(x)] g(x), jko npř. x x, x ln x, x sin x, (sin x) x, td... Věty o střední hodnotě. Vět 3 (Rolleov). Necht f(x) je spojitá n [, b], f(x) je diferencovtelná n (, b) necht f() = f(b). Potom existuje (lespoň jeden) bod c (, b) s vlstností f (c) = (tj. tečn v bodě x = c je vodorovná). Důkz. Viz obr. Vět 4 (Lgrngeov). Necht f(x) je spojitá n [, b] f(x) je diferencovtelná n (, b). Potom existuje (lespoň jeden) bod c (, b) s vlstností Důkz. Viz obr. f (c) = f(b) f() b (tj. tečn v bodě x = c je rovnoběžná s přímkou procházející body [, f()] [b, f(b)]). Věty o střední hodnotě mjí celou řdu důsledků týkjících se vlstnosti funkcí. Npř.: Které funkce mjí nulovou derivci? Pouze konstntní funkce. Které funkce mjí stejnou derivci? Právě ty funkce, které se nvzájem liší o konstntu.

41 38 Důsledek 3. Je-li f(x) diferencovtelná n (, b) je-li f (x) = n (, b), potom f(x) c n (, b). Důkz. Pro libovolné dv body x, x (, b), x < x, pltí, že f(x) je spojitá n [x, x ] (podle Věty 9, nebot existuje vlstní f (x)) diferencovtelná n (x, x ). Podle Lgrngeovy věty (Vět 4) je pk pro nějký bod c (x, x ) f(x ) f(x ) = f (c) =, f(x ) = f(x ). x x A protože byly body x x vybrány libovolně v intervlu (, b), musí být nutně f(x) konstntní n intervlu (, b). Důsledek 4. Jsou-li f(x) g(x) diferencovtelné n (, b) je-li f (x) = g (x) n (, b), potom f(x) = g(x) + c n (, b) (f(x) g(x) se liší o konstntu). Důkz. Funkce (f g)(x) je diferencovtelná n (, b) (f g) (x) = f (x) g (x) = n (, b). Podle Důsledku 3 je pk f(x) g(x) c n (, b), tj. f(x) = g(x) + c n (, b)... L Hospitlovo prvidlo. Některé limity typu ± nebo lze řešit pomocí tzv. l Hospitlov ± prvidl. (Přípdně i typu, tyto limity jsou le utomticky rovny.) k ± Vět 5 (L Hospitlovo prvidlo). Bud x R necht je f(x) lim x x g(x) Existuje-li (vlstní nebo nevlstní) limit typu f (x) lim x x g (x) = L, potom existuje tké limit (7) tyto dvě limity jsou si rovny, tj. nebo ± ±. (7) f(x) lim x x g(x) = lim f (x) x x g (x) = L ( R ). (8) Příkld 55. () lim x ln x x + typ ( ) ln x = lim x + = lim x + x x x = lim x +( x) =. typ (ln x) = lim ( x + x) l Hosp.

42 39 (b) lim x + xx typ = lim ln x spojitost ex x + ex = e lim x + x ln x () = e =. Poznámk 9. L Hospitlovo prvidlo říká, že jestliže existuje limit podílu derivcí, potom existuje tké limit podílu funkcí ( tyto dvě limity jsou si rovny)! Nic víc. (i) L Hospitlovo prvidlo nelze použít, pokud limit podílu derivcí neexistuje. Npř. limit podílu funkcí sin x lim ohr. x x typ =, le limit podílu derivcí neexistuje, protože (sin x) lim x (x) = lim x cos x = lim x cos x (neexistuje). (ii) L Hospitlovo prvidlo nelze použít n typ limity cokoliv! Pokud je ve jmenovteli typ, musí pk být i v čitteli typ (by bylo možné l Hospitlovo prvidlo použít). Npř. limit podílu funkcí rctg x lim x rccotg x le limit podílu derivcí je jiná, protože lim x typ (rctg x) (rccotg x) = lim x π + =, +x +x =. Poznámk. (i) Limity typu lze převést n typ následovně: lim x x [f(x) g(x)] typ = lim x x ( f(x) g(x) ) = lim x x g(x) f(x) f(x) g(x) typ. (ii) Limity typu lze převést n typ (viz Příkld 55()) nebo n typ následovně: lim [f(x) g(x)] typ f(x) = lim x x x x typ, g(x) nebo g(x) = lim x x typ. (iii) Limity typu,, lze pomocí exponenciální funkce (viz npř. Příkld 55(b)) převést n typ : lim f(x) g(x) = lim e g(x) ln f(x) = e limx x g(x) ln f(x) x x x x typ nebo. f(x)

43 4.. Derivce implicitně zdných funkcí. Pokud máme zdánu funkci f(x) vzorcem y = f(x), hovoříme o jejím explicitním zdání. Obecnějším zdáním funkce je rovnice F (x, y) =, kde závislá proměnná y předstvuje neznámou funkci. Pokud tuto rovnici nelze (nebo to nepotřebujeme) vyřešit vzhledem k y, pk hovoříme o funkci zdné implicitně. Avšk i v tomto obecnějším přípdě budeme schopni vypočítt y (x) (niž bychom znli explicitní vzorec pro y(x)), to pomocí prvidl pro derivci složené funkce (Vět ). Příkld 56. Rovnice y = x definuje dvě diferencovtelné funkce y = x, y = x y = x, y = x (x > ). Avšk i bez znlosti smotných funkcí y y lze derivováním rovnice y = x spočítt, že (y ) = (x) yy = y = y, což je jediný vzorec pro y obshující jk y tk y. Při derivování implicitně zdných funkcí obshuje výsledná derivce y jk proměnnou x tk proměnnou y (n rozdíl od normálního derivování funkce, kdy je ve výsledku pouze proměnná x). Při derivování implicitně zdných funkcí musíme brát závislou proměnnou (obvykle) y jko funkci proměnné x, tedy jkýkoliv složitější výrz s y musíme derivovt pomocí prvidl pro derivci složené funkce (Vět ), viz Příkld 56. Příkld 57. Určete směrnici tečny ke kružnici x + y = 5 v bodě P = [ 3, 4]. Řešení. Derivováním zdné rovnice podle proměnné x dostneme (x + y ) = (5) x + yy = y = x y. A proto je směrnice tečny v bodě P (=derivce v bodě P ) rovn y = 3 4 = 3 4. V Příkldech bylo možné neznámou funkci y explicitně vypočítt (i když jsme to nepotřebovli) njít tk y původním způsobem. V následujícím příkldu le y již vyjádřit nelze, tudíž je implicitní derivování jediným možným způsobem, jk y njít. Příkld 58. Určete derivci funkce y = f(x), která je zdná rovnicí 4y = x 3 + cos y. Řešení. Derivováním zdné rovnice podle proměnné x dostneme (4y) = (x 3 + cos y) 4y = 3x (sin y) y y = 3x 4 + sin y. Tímto způsobem lze počítt i derivce vyšších řádů.

44 4 Příkld 59. Určete první druhou derivci funkce y = f(x), která je zdná rovnicí 3x 4 4y 3 =. Řešení. Derivováním zdné rovnice podle proměnné x dostneme (3x 4 4y 3 ) = () x 3 y y = x 3 y y = y = x3 y. Opětovným derivováním předposlední uvedené rovnice podle proměnné x dostneme (x 3 y y ) = () 3x (yy y + y y ) = 3x y (y ) y y = y = 3x y (y ) y. Všimněte si, že pro derivci výrzu y y musíme použít prvidlo součinu, protože obě funkce y y jsou funkce proměnné x. Ve výsledku smozřejmě ještě můžeme dosdit z y z předchozího výpočtu, tj. y = 3x y ( ) x3 y = 3x y 3 x 6. y y 5.3. Jednoduché slovní úlohy s derivcemi. Následující slovní úlohy jsou převzty z [9]. Příkld 6. Jk rychle klesá vod ve válcové nádrži, jestliže vytéká rychlostí 3 l/min (viz obr.)? Řešení. Oznčme r poloměr nádrže [m], h(t) výšku vody v nádrži [m], t čs [min], V (t) objem vody v nádrži [m 3 ]. Víme, že V (t) = 3 l/min, tj. V (t) = 3 m 3 /min (objem se zmenšuje, jeho derivce je tedy záporná). Hledáme h (t). Z rovnice pro objem válce určíme derivováním podle t V (t) = π r h(t) V (t) = π r h (t), tj. h (t) = V (t) π r Vod tedy klesá (protože je derivce objemu záporná) rychlostí 3/(π r ) m/min. Pro mlé r bude vod klest rychle, pro velké r bude vod klest pomlu. Npř. pro r = cm, tj. r =. m, je = 3 π r. h (t) = 3/π = 95 m/min, nproti tomu pro r = m je h (t) = 3/( π) =.95 m/min, tj. h (t) = 9.5 mm/min. Příkld 6. Horkovzdušný blón stoupá kolmo vzhůru. Je zchycen rdrem, který je 5 metrů od míst vzletu který v té chvíli udává elevční úhel π, přičemž úhel roste rychlostí.4 rd/min. Jk 4 rychle v tomto okmžiku blón stoupá (viz obr.)? Řešení. Oznčme t čs [min], h(t) výšk blónu nd zemí [m], ϕ(t) vertikální elevční úhel rdru [rd]. Potom víme, že ϕ (t) =.4 rd/min, když je ϕ = π. Hledáme 4 h (t) pro ϕ = π. Z prvoúhlého 4 trojúhelník vidíme, že tg ϕ(t) = h(t), tj. h(t) = 5 tg ϕ(t). 5

45 4 Derivováním podle t určíme tj. v uvedeném okmžiku je h (t) = 5 cos ϕ(t) ϕ (t), h (t) = 5 cos π (.4) = 4 m/min. 4 V dném okmžiku stoupá blón rychlostí 4 m/min. Příkld 6. Policejní uto sleduje uto lupičů. Přijíždí k prvoúhlé křižovtce ze severu, přičemž uto lupičů již ujíždí od křižovtky n východ. Když je policejní uto.6 km od křižovtky uto lupičů.8 km od křižovtky, udává rdr v policejním utě, že se uto lupičů vzdluje od jejich ut rychlostí 4 km/h. Policejní uto jede v té chvíli rychlostí km/h. Určete rychlost ut lupičů v tomto okmžiku. Řešení. Oznčme (viz obr.) x(t) pozici ut lupičů (vodorovně) [km], y(t) pozici policejního ut (svisle) [km], t čs [h], s(t) vzdušnou vzdálenost mezi uty [km]. Potom víme, že s (t) = 4 km/h pro x =.8 km y =.6 km y (t) = km/h (policejní uto se ke křižovtce přibližuje, proto je derivce jejich pozice y(t) záporná). Hledáme x (t) v témže okmžiku. Z rovnice obdržíme derivováním podle t s (t) = x (t) + y (t) s(t) s (t) = x(t) x (t) + y(t) y (t), tj. x (t) = s(t) s (t) y(t) y (t). x(t) Doszením údjů pro dný okmžik dostneme x (.6) + (.8) (t) = 4 (.6) ( ) = 4 km/h..8 Auto lupičů ujíždí v dném okmžiku od křižovtky rychlostí 4 km/h. Příkld 63. Policejní vrtulník letí 3 km nd rovnou cestou v obci rychlostí km/h. Pilot vidí protijedoucí uto rdrem zjistí, že když je uto od něj 5 km dleko, jejich vzdálenost klesá rychlostí 6 km/h. Určete rychlost ut v tomto okmžiku. Řešení. Oznčme (viz obr.) x(t) pozici ut (vodorovná) [km], y(t) pozici vrtulníku (vodorovná) [km], t čs [h], s(t) vzdušnou vzdálenost vrtulníku ut [km]. Potom víme, že y (t) = km/h s (t) = 6 km/h pro s = 5 km (jejich vzdušná vzdálenost se zmenšuje, proto je derivce záporná). Hledáme x (t) v tomto okmžiku. Z rovnice dostneme derivováním podle t [x(t) y(t)] + 3 = s (t) [x(t) y(t)] [x (t) y (t)] = s(t) s (t), tj. x (t) = y (t) + s(t) s (t) x(t) y(t). Pro s = 5 km je x y = 5 3 = 4 km, tedy doszením do výše uvedeného vzthu dostneme pro dný okmžik, že x (t) = + 5 ( 6) = 8 km/h. 4 Auto jede (přibližuje se z pohledu pilot vrtulníku) v obci rychlostí 8 km/h.

46 43 Příkld 64. Žebřík délky 3 metrů je opřený o stěnu domu. Dolní část žebříku zčne klouzt směrem od domu. Když je dolní část žebříku metrů od domu, pohybuje se tto dolní část rychlostí 5 m/s. () Jk rychle se pohybuje horní část žebříku v tomto okmžiku? (b) Jk rychle se mění ploch vymezená žebříkem, zemí stěnou domu v tomto okmžiku? (c) Jk rychle se mění úhel mezi žebříkem zemí v tomto okmžiku? Řešení. Oznčme (viz obr.) x(t) pozici dolní části žebříku (vodorovná) [m], y(t) pozici horní části žebříku (svislá) [m], t čs [s], A(t) plochu mezi žebříkem, zemí stěnou domu, ϕ(t) úhel mezi žebříkem zemí. Potom víme, že x (t) = 5 m/s pro x = m. Hledáme () y (t) pro x = m, (b) A (t) pro x = m, (c) ϕ (t) pro x = m. Z prvoúhlého trojúhelník vidíme, ze pltí rovnice Derivováním podle t obdržíme x (t) + y (t) = 3 = 69. x(t) x (t) + y(t) y (t) =, tj. y (t) = x(t) y(t) x (t). Pro x = m je y = 3 = 5 m, tedy po doszení y (t) = 5 = m/s. 5 Horní část žebříku klesá v dném okmžiku rychlostí m/s. Pro druhou otázku máme rovnici A(t) = x(t) y(t), jejíž derivcí podle t (pozor, jde o derivci součinu) doszením dostneme A (t) = [x (t) y(t) + x(t) y (t)] = [5 5 + ( )] = 9 = 59.5 m /s. Velikost plochy klesá v dném okmžiku rychlostí 59.5 m /s. Pro třetí otázku máme rovnici tg ϕ(t) = y(t) x(t). Derivcí této rovnice podle t dostneme (pozor, n prvé strně jde o derivci podílu) Pro x = ( tedy y = 5) je cos ϕ(t) = 3 ϕ (t) = cos ϕ(t) y (t) x(t) y(t) x (t) x (t) Úhel v dném okmžiku klesá rychlostí rd/s. cos ϕ(t) ϕ (t) = y (t) x(t) y(t) x (t). x (t) doszením do předchozí rovnice plyne, že = ( ) = rd/s. Příkld 65. Člověk výšky 8 cm jde rychlostí.5 m/s k pouliční lmpě, která je 4.8 metrů nd zemí. () Jkou rychlostí se pohybuje špičk jeho stínu? (b) Jkou rychlostí se mění délk jeho stínu, když je ten člověk 3 metry od stojnu lmpy? Řešení. Oznčme (viz obr.) x(t) pozici člověk [m], y(t) pozici špičky jeho stínu [m], t čs [s]. Potom víme, že x (t) =.5 m/s (vzdálenost od lmpy se zmenšuje, proto je tto derivce záporná). Hledáme () y (t), (b) [y(t) x(t)] pro x = 3 m. Z podobnosti prvoúhlých trojúhelníků vyplývá, že 4.8 y(t) =.8, tj. (4.8) [y(t) x(t)] = (.8) y(t), tj. y(t) = (.6) x(t). y(t) x(t)

47 44 Derivováním podle t obdržíme y (t) = (.6) x (t), tj. po doszení y (t) = (.6) (.5) =.4 m/s. Špičk stínu se pohybuje rychlostí.4 m/s (přibližuje se k lmpě). Pro druhou otázku máme y(t) x(t) =.8 y(t) = (.375) y(t), 4.8 tj. po derivování doszení [y(t) x(t)] = (.375) y (t) = (.375) (.4) =.9 m/s. Délk stínu klesá rychlostí.9 m/s ( tto rychlost nezávisí n vzdálenosti člověk od lmpy)..4. Monotonie funkce extrémy. Definice 8 (Monotonie funkce). Funkce f(x) je rostoucí n intervlu I, pokud f(x ) < f(x ) pro kždé x, x I, x < x, klesjící n intervlu I, pokud f(x ) > f(x ) pro kždé x, x I, x < x, neklesjící n intervlu I, pokud f(x ) f(x ) pro kždé x, x I, x < x, nerostoucí n intervlu I, pokud f(x ) f(x ) pro kždé x, x I, x < x. Vět 6 (Monotonie funkce). Necht f(x) má vlstní derivci n otevřeném intervlu I. Potom pltí následující. (i) Funkce f(x) je neklesjící n intervlu I f (x) x I. (ii) Funkce f(x) je rostoucí n intervlu I f (x) x I, přičemž rovnost f (x) = nepltí n žádném podintervlu intervlu I. (iii) Funkce f(x) je nerostoucí n intervlu I f (x) x I. (iv) Funkce f(x) je klesjící n intervlu I f (x) x I, přičemž rovnost f (x) = nepltí n žádném podintervlu intervlu I. Důkz. Všechn tvrzení plynou z (Lgrngeovy) věty o střední hodnotě (Vět 4), nebot f(x ) f(x ) x x }{{} > tedy výrz f(x ) f(x ) má stejné znménko jko f. = f (c), Příkld 66. Funkce f(x) = x + cos x má derivci f (x) = sin x pro kždé x R. Protože je hodnot sin x [, ], je f (x) [, ] tedy je f (x) n celém R. Tedy podle Věty 6(i) je funkce f(x) neklesjící n R. Nvíc, protože rovnost f (x) = znmená, že sin x = tto rovnost evidentně nepltí n žádném podintervlu R, je podle Věty 6(ii) funkce f(x) rostoucí n R.

48 45 Důsledek 5. Necht f(x) má vlstní derivci n otevřeném intervlu I. Potom pltí následující. (i) Jestliže f (x) > x I, potom je funkce f(x) je rostoucí n intervlu I. (ii) Jestliže f (x) < x I, potom je funkce f(x) je klesjící n intervlu I. Tedy pro určení intervlů monotonie funkce f(x) stčí určit body, kdy f (x) mění znménko. Zejmén to jsou body, ve kterých je f (x) = nebo ve kterých f (x) neexistuje. Příkld 67. Určete intervly monotonie funkce f(x) = x x 6x 6 = Řešení. Vypočteme derivci: ( ) f x (x) = = = x 6x 6 x (x 8) (x + ). x 6 <, pro x, 8. (x 8) (x + ) (Viz tbulk.) Tedy je tto funkce klesjící n intervlu (, ), n intervlu (, 8) n intervlu (8, ). Příkld 68. Určete intervly monotonie funkce Řešení. Vypočteme derivci: f(x) = e x3 6x. f (x) = e x3 6x (3x 6) = 3 e x3 6x (x ), pro x R. Vidíme, že f (x) = pouze pro x = ±. N kždém z intervlů (, ), (, ), (, ) určíme znménko derivce npř. výběrem nějkého bodu z tohoto intervlu, protože víme, že se znménko f (x) v těchto intervlech již nemění (viz tbulk). Tedy f(x) je rostoucí n intervlu (, ] n intervlu [, ), f(x) je klesjící n intervlu [, ]. Definice 9 (Lokální extrémy). Funkce f(x) má v bodě x D(f) lokální mximum, pokud f(x) f(x ) pro všechn x z nějkého okolí bodu x, lokální minimum, pokud f(x) f(x ) pro všechn x z nějkého okolí bodu x, ostré lokální mximum, pokud f(x) < f(x ) pro všechn x z nějkého ryzího okolí bodu x, ostré lokální minimum, pokud f(x) > f(x ) pro všechn x z nějkého ryzího okolí bodu x. Následující vět říká, že tečn v bodech lokálních extrémů (pokud tedy existuje vlstní derivce v tkových bodech) musí nutně být vodorovná.

49 46 Vět 7. Existuje-li vlstní derivce f (x ) v bodě x, kde má funkce f(x) lokální extrém, potom je nutně f (x ) =. Body, kde f (x) =, se nzývjí stcionární body funkce f(x). Opčné tvrzení k Větě 7 nepltí, tj. z f (x ) = neplyne extrém v bodě x. Nejjednodušším příkldem je funkce f(x) = x 3, která v počátku nemá extrém, le je f () = 3x x= = (tj. tečn v bodě x = je vodorovná). Důsledek 6. Funkce f(x) může mít lokální extrémy pouze ve svých stcionárních bodech nebo v bodech, kde f (x) neexistuje. Zd v dném stcionárním bodě x nebo v bodě, kde f (x ) neexistuje, je nebo není lokální extrém, můžeme určit z chování znménk f (x) v okolí bodu x. Vět 8 (Lokální extrémy derivce). Necht f(x) je spojitá v bodě x D(f) existuje vlstní derivce f (x) n nějkém ryzím okolí bodu x. (i) Má-li f (x) v levém prvém okolí bodu x opčná znménk, potom je v bodě x lokální extrém. Přitom je-li změn f (x) z do, potom je v bodě x lokální minimum, je-li změn f (x) z do, potom je v bodě x lokální mximum. (ii) Má-li f (x) v levém prvém okolí bodu x stejná znménk, potom není v bodě x lokální extrém. Přitom má-li f (x) v okolí bodu x kldné znménko, potom je f(x) v bodě x rostoucí, má-li f (x) v okolí bodu x záporné znménko, potom je f(x) v bodě x klesjící. Příkld 69. Určete lokální extrémy funkce f(x) = x x, D(f) = R. Řešení. Protože x : f(x) = x x f (x) = x < : f(x) = x x f (x) = x = x =, x 4 ( ) = žádné řešení pro x <. Tedy kndidáti n lokální extrémy jsou: stcionární bod x = 4 x =. bod, kde neexistuje f (x), tj. Volbou npř. x =, x = 9 x = určíme znménko f (x) v kždém z intervlů (, ), (, 4 ) ( 4, ) (viz tbulk). Tedy je ostré lok. mx. v x =, ostré lok. min. v x = 4.

50 47 Vět 9 (Lokální extrémy druhá derivce). Necht x f (x ) =, necht existuje f (x ). je stcionární bod funkce f(x), tj. (i) Je-li f (x ) >, potom je v bodě x ostré lokální minimum. (ii) Je-li f (x ) <, potom je v bodě x ostré lokální mximum. Důkz. (i) f (x ) > f (x ) = znmená, že f (x) roste v bodě x z do hodnot, tedy funkce f(x) smotná klesá pk roste. Tedy je v bodě x ostré lokální minimum. (ii) f (x ) < f (x ) = znmená, že f (x) klesá v bodě x z do hodnot, tedy funkce f(x) smotná roste pk klesá. Tedy je v bodě x ostré lokální mximum. Příkld 7. Stejně jko v Příkldu 69 je ( ) f = x = > ostré lok. min. v x = 4. Poznámk. Obecněji, je-li potom x= 4 f (x ) = f (x ) = = f (k ) (x ) = f (k) (x ), pro k sudé je ostrý lokální extrém v bodě x, přičemž pro f (k) (x ) > je v bodě x ostré lokální minimum, pro f (k) (x ) < je v bodě x ostré lokální mximum, pro k liché není lokální extrém v bodě x, přičemž pro f (k) (x ) > funkce f(x) roste v bodě x, pro f (k) (x ) < funkce f(x) klesá v bodě x. Všechny tyto přípdy si můžete lehce ilustrovt n mocninných funkcích x, x 3, x 4, x 5, td. v bodě x =. Definice (Globální extrémy). Funkce f(x) má v bodě x D(f) globální mximum n množině M D(f), pokud f(x) f(x ) pro všechn x M, globální minimum n množině M D(f), pokud f(x) f(x ) pro všechn x M. Poznámk.

51 48 (i) Místo globální mx/min se tké používá termín bsolutní mx/min. (ii) Globální mx/min nemusí být jediné. Npř. funkce f(x) = x n intervlu [, ] má globální mx v bodech x = x =, kdežto globální min v bodě x =. (iii) Globální mx/min nemusí ni existovt (viz Poznámk 3). (iv) Weierstrssov vět (Vět 6) zručuje existenci globálního mx/min z předpokldu spojitosti funkce f(x) n intervlu [, b]. (v) Pokud víme, že globální extrémy existují, potom musí tyto globální extrémy být ve stcionárních bodech nebo v bodech, kde neexistuje f (x), nebo v krjních bodech dného intervlu. Nemusíme již pk určovt, jestli jsou ve stcionárních bodech lokální extrémy či nikoliv. Poznámk 3. Z Poznámky (v) plyne postup pro nlezení globálních extrémů spojité funkce f(x) n intervlu [, b] (z Weierstrssovy věty víme, že globální mx/min existuje): Njdeme stcionární body funkce f(x) body, kde neexistuje f (x). V těchto bodech v krjních bodech intervlu určíme funkční hodnoty. Vybereme z nich mx min hodnotu. Příkld 7. Určete globální extrémy funkce f(x) = x x, n intervlu [, ]. Řešení. Protože je f(x) spojitá n intervlu [, ], globální extrémy v tomto intervlu existují. Z Příkldu 69 víme, že x = je jediný stcionární bod x = je bod, kde neexistuje f (x), 4 v intervlu [, ]. Máme tedy stcionární body: x =, f( ) 4 4 = 4 4 f (x) x =, f() =, mx krjní body: x =, f( ) = = 3, min x =, f() = =. mx Tedy je globální min 3 v bodě x =, globální mx v bodech x =, x =.

52 49.5. Konvexnost, konkávnost, inflexe. Pojmy konvexnost, konkávnosti inflexních bodů slouží ke studiu toho, jk dná funkce (či přesněji její grf) ztáčí. Tyto pojmy budeme uvžovt pouze pro diferencovtelné funkce. Definice (Konvexnost, konkávnost). Necht má funkce f(x) vlstní derivci n intervlu I D(f). Funkce f(x) se nzývá konvexní n intervlu I, pokud je f (x) neklesjící n I, konkávní n intervlu I, pokud je f (x) nerostoucí n I. Poznámk 4. To, že funkce f (x) je neklesjící n intervlu I (tj. f(x) je konvexní), znmená, že tečny mjí neklesjící směrnici, tj. (viz obr.) grf funkce f(x) ztáčí dolev tečny leží pod grfem. To, že funkce f (x) je nerostoucí n intervlu I (tj. f(x) je konkávní), znmená, že tečny mjí nerostoucí směrnici, tj. (viz obr.) grf funkce f(x) ztáčí doprv tečny leží nd grfem. Příkld 7. () Funkce f(x) = x má derivci f (x) = x, což je funkce rostoucí (tudíž neklesjící) n R. A proto je x konvexní n R (viz obr.). (b) Funkce f(x) = x 3 má derivci f (x) = 3x, což je n intervlu [, ) funkce rostoucí (tudíž neklesjící). A proto je x 3 konvexní n [, ) (viz obr.). (c) Funkce f(x) = x 3 má derivci f (x) = 3x, což je n intervlu (, ] funkce klesjící (tudíž nerostoucí). A proto je x 3 konkávní n (, ] (viz obr.). (d) Funkce f(x) = x + b má derivci f (x) =, což je funkce konstntní (tudíž neklesjící) n R. A proto je x + b konvexní n R. Součsně je konstntní funkce f (x) = nerostoucí n R, proto je x + b tké konkávní n R. Vět (Konvexnost konkávnost druhá derivce). Necht I D(f) je otevřený intervl necht má funkce f(x) druhou derivci f (x) n I. (i) Je-li f (x) > n I, potom je f(x) konvexní n intervlu I. (ii) Je-li f (x) < n I, potom je f(x) konkávní n intervlu I.

53 5 Důkz. (i) Je-li f (x) > n intervlu I, potom je podle Důsledku 5(i) (který plikujeme n funkci f (x)) funkce f (x) rostoucí n intervlu I. Tedy je podle Definice funkce f(x) konvexní n intervlu I. (ii) Je-li f (x) < n intervlu I, potom je podle Důsledku 5(ii) (který plikujeme n funkci f (x)) funkce f (x) klesjící n intervlu I. Tedy je podle Definice funkce f(x) konkávní n I. Tm, kde se mění konvexnost n konkávnost nebo nopk, se ncházejí tzv. inflexní body funkce. Definice (Inflexní bod). Necht má funkce f(x) vlstní nebo nevlstní derivci f (x ). Je-li f (x ) nevlstní, potom nvíc předpokládejme, že je f(x) spojitá v bodě x. Bod x je inflexní bod funkce f(x), pokud v nějkém levém okolí bodu x je funkce f(x) konvexní v nějkém prvém okolí bodu x je funkce f(x) konkávní, nebo nopk (viz obr.) Vět (Vlstnosti inflexních bodů). (i) Pokud existuje vlstní druhá derivce f (x ) v inflexním bodě x, potom je f (x ) =. (ii) Je-li f (x ) = f (x) mění znménko v bodě x, potom je x inflexní bod. (iii) Je-li f (x ) = f (x ), potom je x inflexní bod. Zejmén část (ii) v předchozí větě ukzuje, jk inflexní body njít. Součsně ze změny znménk f (x) (tedy jestli se jedná o změnu z do nebo o změnu z do ) poznáme, kterým směrem grf funkce f(x) v bodě x ztáčí. Příkld 73. Určete monotonii, lokální extrémy, konvexnost/konkávnost inflexní body funkce f(x) = x + sin x n intervlu [, 4π]. Řešení. f (x) = + cos x = implikuje, že cos x =, tedy x = π, 3π jsou stcionární body (v intervlu [, 4π]). Body, kde neexistuje f (x) nejsou. V kždém z intervlů (, π), (π, 3π) (3π, 4π) vybereme jeden bod pro určení znménk f (x) v těchto intervlech (viz tbulk). Tedy f(x) je rostoucí n [, 4π], f(x) nemá lokální extrémy. f (x) = sin x = implikuje, že x =, π, π, 3π, 4π jsou kndidáti n inflexní body. V kždém z intervlů (, π), (π, π), (π, 3π) (3π, 4π) vybereme jeden bod pro určení znménk f (x) v těchto intervlech (viz tbulk). Tedy f(x) je konvexní n [π, π] n [3π, 4π], f(x) je konkávní n [, π] n [π, 3π], f(x) má inflexi v bodech x = π, π, 3π.

54 5 A protože můžeme jednoduše vypočítt funkční hodnoty hodnoty derivce (pro sklon tečny) ve zmiňovných stcionárních, inflexních krjních bodech, f() =, f(π) = π, f(π) = π, f(3π) = 3π, f(4π) = 4π, f +() =, f (π) =, f (π) =, f (3π) =, f (4π) =, můžeme tké nčrtnout grf této funkce n intervlu [, 4π] (viz obr.)..6. Asymptoty. Funkce f(x) může mít jko symptotu svislou přímku (symptot bez směrnice) nebo přímku se směrnicí. Ve druhém přípdě pk rozlišujeme symptoty v v. Definice 3 (Asymptoty funkce). Přímk x = x (svislá přímk) je symptotou bez směrnice funkce f(x), pokud je lespoň jedn jednostrnná limit v bodě x nevlstní, tj. lim f(x) = ± nebo lim x x + x x f(x) = ±. Přímk y = x + b (, b R) je symptotou se směrnicí v, pokud lim [f(x) (x + b)] =, x přípdně je symptotou se směrnicí v, pokud lim [f(x) (x + b)] =. x Příkld 74. () Funkce f(x) = x (b) Funkce f(x) = sin x x má symptotu bez směrnice x = symptotu se směrnicí y = (v ± ). má symptotu se směrnicí y = (v ± ), protože ( ) sin x x sin x = lim ohr. x ± x typ ± =. lim x ± (c) Funkce f(x) = x + b je svou vlstní symptotou (v ± ). Poznámk 5. Je zřejmé, že symptoty bez směrnice mohou být pouze v bodech nespojitosti funkce f(x). Viz npř. Příkld 74(). Smozřejmě ne kždý bod nespojitosti zdává symptotu, viz npř. Příkld 74(b) bod x =. Vět (Asymptoty se směrnicí). Přímk y = x + b je symptotou funkce f(x) v f(x) = lim x x, b = lim [f(x) x]. (9) x Podobně, přímk y = x + b je symptotou funkce f(x) v = f(x) lim x x, b = lim [f(x) x]. (3) x

55 5 Důkz. Býti symptotou v znmená, že Tedy pokud obě strny podělíme výrzem x, dostneme, že A protože výrz b x f(x) x + b pro x. (3) f(x) x + b x pro x. pro x, dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu. Dále, známe-li koeficient, potom z vzorce (3) plyne, že f(x) x b pro x, tj. dostáváme odtud vzoreček pro hodnotu koeficientu b. Podobně to pltí pro x. Poznámk 6. Protože se může sndno stát, že limity v (9) (3) se npř. pro koeficient nebo pro koeficient b liší, používáme ve výpočtu těchto koeficientů znčení Tedy +, b + pro limity v, b pro limity v. f(x) + = lim x x, b + = lim = lim x [f(x) + x], x (3) f(x) x, b = lim x]. x (33) Smozřejmě, pokud lespoň jedn z limit definujících koeficienty, b je nevlstní nebo neexistuje, tk potom dná funkce symptotu v příslušném nebo nemá. Příkld 75. Určete symptoty funkce f(x) = (x )3 (x + ). Řešení. Asymptoty bez směrnice: Protože je funkce f(x) spojitá n intervlech (, ) (, ), symptot bez směrnice může být teoreticky pouze v bodě x = (viz Poznámk 5). Spočteme proto jednostrnné limity v tomto bodě: Tedy (x ) 3 lim x + (x + ) typ 64 + =, lim (x ) 3 x (x + ) x = je symptot bez směrnice. typ 64 + =.

56 53 Asymptoty se směrnicí: + = lim x f(x) x = lim x b + = lim x [f(x) + x] = lim x Tedy = lim x x + 8x 8 (x + ) =. (x ) 3 x (x + ) = =, ( (x ) 3 (x + ) x ) y = x je symptot v. ( ) (x ) 3 x (x + ) = lim x (x + ) (x + ) Výpočty pro b jsou nprosto stejné: = (Viz obr.) b = Tedy f(x) lim x x = lim x lim [f(x) x] = x x + 8x 8 = lim =. x (x + ) (x ) 3 x (x + ) = =, ( (x ) 3 lim x (x + ) x ) y = x je symptot v. ( ) (x ) 3 x (x + ) = lim x (x + ) (x + ).7. Celkový průběh funkce. Příkld 76. Vyšetřete celkový průběh funkce f(x) = x x +, D(f) = R \ { }. Řešení. Určíme definiční obor (pokud již není zdán), první derivci f (x) vše co z ní lze určit, tj. stcionární body, body kde neexistuje f (x), intervly monotonie (rostoucí klesjící f(x)), lokální extrémy (pokud použijeme Větu 8 či Důsledek 5), druhou derivci f (x) vše co z ní lze určit, tj. konvexnost, konkávnost inflexní body, přípdně lokální extrémy (pokud použijeme Větu 9), symptoty bez směrnice se směrnicí, hodnoty funkce f(x) derivce f (x) ve všech význčných bodech (npř, stcionárních inflexních bodech, kde neexistuje f (x) nebo f (x), v krjních bodech, td.), nkonec ze všech těchto informcí sestrojíme grf funkce f(x).

57 54 Příkld 77. Vyšetřete celkový průběh funkce f(x) = + ln x. x Řešení. Definiční obor je D(f) = (, ). První derivce ( ) f (x) = x + ln x = x + x = x =, x tedy x = je jediný stcionární bod. Protože f (x) < n intervlu (, ) f (x) > n intervlu (, ) (viz tbulk), f(x) je klesjící n (, ], f(x) je rostoucí n [, ), f(x) má lokální min v bodě x =. [Vzhledem k okolnostem je zřejmě v bodě x = globální minimum funkce f(x) n intervlu (, ).] Druhá derivce ( f (x) = x + ) = x x 3 x = x =, x 3 tedy x = je jediný kndidát n inflexní bod. Protože f (x) > n intervlu (, ) f (x) < n intervlu (, ) (viz tbulk), f(x) je konvexní n (, ], f(x) je konkávní n [, ), f(x) má inflexi v bodě x =. Asymptoty bez směrnice: ( ) lim x + x + ln x typ + x ln x = lim x + x protože podle Příkldu 55() je lim x + x ln x =. Tedy x = je symptot bez směrnice. typ + =, Asymptoty se směrnicí: Tedy = lim x f(x) x = lim x l Hosp. x = lim x = lim x + ln x x x x =, b = lim x [f(x) x] = lim x = lim x x }{{} = ( x + ln x ln x + lim x x typ ) typ + =.

58 55 Funkce f(x) nemá symptotu v. Hodnoty funkce f(x) derivce f (x) ve všech význčných bodech: f() =, f () =, f() = + ln.9, f () = 4. nkonec ze všech těchto informcí sestrojíme grf funkce f(x): () Grf funkce f(x) = x + ln x n intervlu (, 8]. (b) Grf funkce f (x) = x + x n intervlu (, 8]. (c) Grf funkce f (x) = x 3 x n intervlu (, 8]..8. Optimlizce. V tomto odstvci uvidíme, jk využít znlostí o průběhu funkce či globálních extrémů funkce pro plikce v běžném životě. Příkld 78 (Ppírová krbice). Z krtonu tvru čtverce o strně délky 54 cm vyřízněte v kždém rohu stejný čtverec tk, byste mohli sestrojit krbici (bez vík) s co největším objemem (viz obr.). Řešení. Oznčme jko x (v cm) délku strny čtverců, které musíme vyříznout. Potom má zbývjící podstv rozměry 54 x cm 54 x cm, přičemž výšk krbice bude právě x cm. Pro objem krbice dostneme proto vzth V = V (x) = (54 x) x = (96 6x + 4x ) x = 4 (79x 54x + x 3 ). Délk strny vyřízlých čtverců může být nejvýše 54/ = 7 cm, proto musíme njít mximum funkce V (x) n intervlu [, 7].

59 56 Protože je funkce V (x) spojitá n intervlu [, 7], její mximum existuje (Weierstrssov vět Vět 6). Podle Poznámky 3 musíme njít stcionární body: V (x) = 4 (79 8x + 3x ) = (43 36x + x ) = (7 x) (9 x) =, Body, kde V (x) neexistuje, nejsou. x = 7, x = 9. Body x = 7 x = 9 jsou tedy stcionárními body funkce V (x) v intervlu [, 7], přičemž bod x = 7 je součsně krjním bodem tohoto intervlu. Hodnoty funkce V (x) v těchto bodech jsou stcionární body: x = 7, V (7) = (54 54) 7 =, x = 9, V (9) = (54 8) 9 = 664, mx krjní body: x =, V () =, x = 7, V (7) =. Tedy mximální objem je 664 cm 3 (téměř litrů) pro krbici o rozměrech 36 cm 36 cm 9 cm, tj. v kždém rohu musíme vyříznout čtverec o strně 9 cm. Všimněte si, že mximum můžeme tké ověřit testem s první derivcí (npř. Důsledek 5): pro x [, 9) je V (x) >, tedy V (x) je rostoucí n intervlu [, 9], ztímco pro x (9, 7) je V (x) < tedy V (x) je klesjící n intervlu [9, 7]. Všimněte si tké, že funkce V (x) je konkávní n intervlu [, 8], konvexní n intervlu [8, 7] v bodě x = 8 má inflexní bod. Příkld 79 (Výrob plechovky). Určete rozměry litrové plechovky válcového tvru tk, by spotřeb mteriálu n její výrobu byl co nejmenší. Řešení. Oznčme si jko h (v cm) výšku plechovky jko r (v cm) poloměr jejího dn (či víčk). Potom je n výrobu tkové plechovky potřeb S = S(h, r) = πr }{{} dno + víčko + πrh }{{} stěn cm mteriálu. Protože le musí mít plechovk objem litr = cm 3, musí pltit V = πr h = h = πr, tedy je S = S(r) = πr + πr πr = πr +, pro r >. r Hledáme tedy minimum funkce S(r) pro r (, ). Všimněte si, že dný intervl není uzvřený ni ohrničený, proto pro existenci extrému nelze použít Weierstrssovu větu (Vět 6). Určeme nejdříve stcionární body: S (r) = (πr + r ) = 4πr r = 4πr r =, πr 3 = 5, r = r := 3 5 π 5.4.

60 57 Dále, protože je S (x) = (4πr r ) = 4π + 4 r 3 = 4π + 4 r 3 > pro r >, je funkce S(r) konvexní n celém intervlu (, ). A proto je bod r globální minimum. Odpovídjící výšk plechovky je pk h = πr 5 = π ( π 3 5 ) = 3 ( 5 π π ) = 3 5 π = r.84. Spotřeb mteriálu je tedy minimální, pokud výšk plechovky je rovn průměru podstvy..9. Diferenciál funkce. Diferenciál funkce je pojem, který se pro funkce jedné proměnné využívá pouze pro potřeby integrování (viz následující kpitol) nebo pro přibližné výpočty. Pro funkce více proměnných má mnohem větší význm (viz MB3). Definice 4 (Diferenciál). Necht x D(f) je bod, ve kterém existuje vlstní derivce f (x ) funkce y = f(x). Potom definujeme diferenciál dx (diferenciál nezávislé proměnné) jko dx = x x (pro x blízko x ), diferenciál dy (diferenciál závislé proměnné) jko dy = f (x ) dx. Alterntivní znčení pro dy je df, přípdně df(x ) pokud chceme zdůrznit, že se jedná o diferenciál v bodě x. Uvědomte si, že pokud je x nprvo od x, je dx = x x >, pokud je le x nlevo od x, je dx = x x <. Příkld 8. y = sin x, dy = (sin x) dx = (cos x) dx, y = x + x ln x, dy = ( x + x ln x) dx = (ln x) dx. Co to vlstně ten diferenciál je (neplet te si s diferenciálem v utomobilu)? Pokud se podíváme n rovnici tečny v bodě x (viz Poznámk 5), potom máme y y = f (x ) (x x ), kde y = f(x ), y f(x ) = f (x ) dx = df(x }{{} ). (34) dy

61 58 Vidíme tedy, že diferenciál dy je změn funkčních hodnot n tečně (viz obr.). A protože hodnoty n tečně proximují funkční hodnoty f(x) pro x blízko bodu x, plyne z (34) vzoreček pro přibližné výpočty: f(x) f(x ) + df(x ), tj. f(x) f(x ) + f (x ) (x x ). (35) (Jedná se vlstně o rovnici tečny zpsnou trošku jiným způsobem). Tedy hodnoty funkce f(x) pro x blízko bodu x se přibližně rovnjí hodnotám n tečně v bodě x, přičemž pro tento výpočet musíme znát hodnotu funkce f(x ) derivce f (x ) v bodě x. Diferenciál je tedy přibližná změn funkčních hodnot pro x blízko x. Příkld 8. Pomocí diferenciálu přibližně vypočtěte 85. Řešení. Protože známe 8 = 9, položíme x = 8 x = 85, tj. dx = x x = 4. Tedy pro f(x) = x potom je f (x) =, tedy f(8) = 9 f (8) = x =. Ze vzorce (35) potom 8 8 plyne, že f(85) f(8) + df(8) = f(8) + f (8) dx, = = 83 9 = tj. (Pro srovnání je přesná hodnot 85 = ) Příkld 8. Poloměr kruhu se mění z m n, m. Odhdněte nárůst jeho plochy. Řešení. Obsh kruhu je P = P (r) = πr. Položíme r =, r =., pk dr = r r =. =.. Protože je P (r ) = P () = 4π P (r ) = P () = πr r= = 4π, je podle vzorce (35) P (r) P (r ) + P (r ) dr = 4π + 4π (.) = 44π. dp (r ) = 4π P (r) P (r ). Odhd nárůstu plochy je si 4π m. Přibližný procentuální nárůst plochy (vzhledem k původní ploše) je pk dp (r ) P (r ) = 4π 4π = = %. Tedy ploch vzroste přibližně o %.

62 59.. Tylorův polynom. Viděli jsme, že pro proximci funkce pomocí lineárního polynomu slouží tečn (tedy diferenciál). Lze le použít i proximce vyšších řádů. V tomto obecnějším přípdě potom hovoříme o Tylorově polynomu. Definice 5 (Tylorův polynom). Necht x D(f) je bod, ve kterém existují vlstní derivce f (x ), f (x ),..., f (n) (x ) funkce f(x) ž do řádu n. Tylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě x je polynom definovný jko T (x) := f(x ) + f (x ) (x x ) + f (x ) T (x) = T n (x) = T f n (x) = T f n (x; x ) (x x ) + f (x ) 3! (x x ) f (n) (x ) n! (x x ) n. Alterntivně zpisujeme Tylorův polynom pomocí sumy n f (k) (x ) T (x) = (x x ) k, k! k= přičemž pro k = kldeme! := f () (x) := f(x). Poznámk 7. (i) Tylorův polynom stupně n = se středem v bodě x je tedy polynom tedy jedná se o konstntní funkci. T (x) = f(x ), (ii) Tylorův polynom stupně n = se středem v bodě x je tedy polynom T (x) = f(x ) + f (x ) (x x ). Vidíme tedy, že tento polynom je přesně rovnice tečny (viz Poznámk 5) nebo tké vyjdřuje proximci funkce f(x) pomocí diferenciálu (viz vzorec (35)). Příkld 83. Určete Tylorův polynom stupně n =,,, 3, 4, 5, 6 se středem v bodě x = pro funkci f(x) = sin x. Řešení. Pro funkci f(x) = sin x máme f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (4) (x) = sin x = f(x), f (5) (x) = cos x = f (x), f (6) (x) = sin x = f (x). Hodnoty funkce derivcí v bodě x = tedy jsou f() =, f () =, f () =, f (x) =, f (4) () = = f(), f (5) () = = f (), f (6) () = = f (). Všimněte si, že všechny derivce sudého řádu jsou v bodě x = rovny, tedy sudé mocniny x se ve výsledných polynomech nebudou vyskytovt.

63 6 Příslušné Tylorovy polynomy T n (x) stupňů n =,,, 3, 4, 5, 6 jsou tedy T (x) = f() =, T (x) = T (x) + f () x = x, T (x) = T (x) + f () x = x, T 3 (x) = T (x) + f () x 3 = x 3! 6 x3, T 4 (x) = T 3 (x) + f (4) () 4! T 5 (x) = T 4 (x) + f (5) () 5! T 6 (x) = T 5 (x) + f (6) () 6! x 4 = x 6 x3, x 5 = x 6 x3 + x5, x 6 = x 6 x3 + x5. Aproximce funkce sin x pomocí těchto polynomů: () Grf funkce sin(x) n intervlu [ π, π]. (b) Grf funkcí sin(x) T (x) = x n intervlu [ π, π]. (c) Grf funkcí sin(x), T (x) = x T 3 (x) = x x3 6 n intervlu [ π, π].

64 6 (d) Grf funkcí sin(x), T (x) = x, T 3 (x) = x x3 6 T 5(x) = x x3 6 + x5 n intervlu [ π, π]. Obrázek 4. Ilustrce proximce funkce sin x pomocí Tylorových polynomů. Příkld 84. Určete Tylorův polynom stupně n =,,, 3, 4, 5, 6 se středem v bodě x = pro funkci f(x) = cos x. Řešení. Pro funkci f(x) = cos x máme f (x) = sin x, f (x) = cos x, f (x) = sin x, f (4) (x) = cos x = f(x), f (5) (x) = sin x = f (x), f (6) (x) = cos x = f (x). Hodnoty funkce derivcí v bodě x = tedy jsou f() =, f () =, f () =, f (x) =, f (4) () = = f(), f (5) () = = f (), f (6) () = = f (). Všimněte si, že všechny derivce lichého řádu jsou v bodě x = rovny, tedy liché mocniny x se ve výsledných polynomech nebudou vyskytovt. Příslušné Tylorovy polynomy T n (x) stupňů n =,,, 3, 4, 5, 6 jsou tedy T (x) = f() =, T (x) = T (x) + f () x =, T (x) = T (x) + f () x = x, T 3 (x) = T (x) + f () x 3 = 3! x, T 4 (x) = T 3 (x) + f (4) () 4! T 5 (x) = T 4 (x) + f (5) () 5! T 6 (x) = T 5 (x) + f (6) () 6! Aproximce funkce cos x pomocí těchto polynomů: x 4 = x + 4 x4, x 5 = x + 4 x4, x 6 = x + 4 x4 7 x6.

65 6 () Grf funkce cos(x) n intervlu [ π, π]. (b) Grf funkcí cos(x) T (x) = n intervlu [ π, π]. (c) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x n intervlu [ π, π]. (d) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x T 4(x) = x + x4 4 n intervlu [ π, π]. Obrázek 5. Ilustrce proximce funkce cos x pomocí Tylorových polynomů. Příkld 85. Určete Tylorův polynom stupně n =,,, 3, 4 se středem v bodě x = pro funkci f(x) = e x. Řešení. Pro funkci f(x) = e x máme f(x) = f (x) = f (x) = f (x) = f (4) (x) = e x. Hodnoty funkce derivcí v bodě x = tedy jsou všechny rovny e =.

66 63 Příslušné Tylorovy polynomy T n (x) stupňů n =,,, 3, 4 jsou tedy T (x) = f() =, T (x) = T (x) + f () x = + x, T (x) = T (x) + f () x = + x + x, T 3 (x) = T (x) + f () x 3 = + x + 3! x + 6 x3, T 4 (x) = T 3 (x) + f (4) () 4! x 4 = + x + x + 6 x3 + 4 x4. Aproximce funkce e x pomocí těchto polynomů: () Grf funkce e x n intervlu [ 3, 3]. (b) Grf funkcí e x T (x) = n intervlu [ 3, 3].

67 64 (c) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = + x n intervlu [ 3, 3]. (d) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = + x T (x) = + x + x n intervlu [ 3, 3]. (e) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = + x, T (x) = + x + x T 3(x) = + x + x [ 3, 3]. + x3 6 n intervlu

68 65 (f) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = + x, T (x) = + x + x, T 3(x) = + x + x + x3 T 4 (x) = + x + x + x3 6 + x4 4 n intervlu [ 3, 3]. Obrázek 6. Ilustrce proximce funkce e x pomocí Tylorových polynomů. Příkld 86. Určete Tylorův polynom stupně n =,,, 3, 4 se středem v bodě x = pro funkci f(x) = ln( + x). 6 Řešení. Pro funkci f(x) = ln( + x) máme f (x) = ( + x) = + x, f (x) = ( ) ( + x) = ( + x), f (x) = ( ) ( ) ( + x) 3 = ( + x), f (4) (x) = ( 3) ( + x) 4 = 6 3 ( + x). 4 Hodnoty funkce derivcí v bodě x = tedy jsou f() =, f () =, f () =, f () =, f (4) () = 6. Příslušné Tylorovy polynomy T n (x) stupňů n =,,, 3, 4 jsou tedy T (x) = f() =, T (x) = T (x) + f () x = x, T (x) = T (x) + f () x = x x, T 3 (x) = T (x) + f () x 3 = x 3! x + 3 x3, T 4 (x) = T 3 (x) + f (4) () 4! Aproximce funkce e x pomocí těchto polynomů: x 4 = x x + 3 x3 4 x4.

69 66 () Grf funkce ln(x + ) n intervlu (, 4]. (b) Grf funkcí e x T (x) = n intervlu (, 4]. (c) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x n intervlu (, 4].

70 67 (d) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x T (x) = x x n intervlu (, 4]. (e) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x, T (x) = x x T 3(x) = x x + x3 3 n intervlu (, 4]. (f) Grf funkcí cos(x), T (x) = T (x) = x, T (x) = x x, T 3(x) = x x n intervlu (, 4]. + x3 3 T 3(x) = x x Obrázek 7. Ilustrce proximce funkce ln(x + ) pomocí Tylorových polynomů. + x3 3 x4 4

71 68 Vidíme tedy, že funkce f(x) je proximován Tylorovým polynomem. Můžeme se ovšem ptát, jk vypdá přesné vyjádření funkce f(x) pomocí Tylorov polynomu. Potom nutně musíme zhrnout do výpočtu výrz pro chybu proximce dostneme tzv. Tylorův rozvoj se zbytkem. Vět 3 (Tylorův rozvoj se zbytkem). Necht f(x) má spojité derivce f (x), f (x),..., f (n) (x) n uzvřeném intervlu [, b] necht existuje vlstní derivce f (n+) (x) n otevřeném intervlu (, b). Potom pro kždý bod x (, b) existuje bod c (, x) tk, že pltí rovnost f(x) = T n (x) + R n (x), kde T n (x) je Tylorův polynom stupně n funkce f(x) se středem v bodě. kde R n (x) = f (n+) (c) (n + )! (x )n+, (36) Důkz. Toto důležité tvrzení je důsledkem Rolleovy věty o střední hodnotě (Vět 3). Podrobnosti jsou ve skriptech [8, str ]. Výrz R n (x) ve vzorci (36) se nzývá Tylorův zbytek (se středem v bodě x ) vyjdřuje chybu proximce Tylorovým polynomem T n (x). O odhdu velikosti R n (x) ( tudíž velikosti chyby proximce Tylorovým polynomem) je celá mtemtická teorie. Příkld 87. Pro funkci f(x) = e x Tylorův polynom T n (x) se středem v bodě (viz Příkld 85) je zřejmě pro libovolné x R R n (x) = e c (n + )! xn+, kde c leží mezi x. Všimněte si, že pro x > je vždy e c < e x (nebot c (, x) exponenciální funkce je rostoucí), tedy pltí odhd e x R n (x) (n + )! xn+, x >, ztímco pro x < je vždy e c < (nebot v tomto přípdě je c (x, )), tedy pltí odhd R n (x) (n + )! x n+, x <. V obou dvou přípdech (jk pro x > tk pro x < ) le vidíme, že pro pevně zvolené x se bude s rostoucím n výrz R n (x) blížit k nule, protože lze ukázt, že pro libovolné x R je lim n x n+ (n + )! =. Poznámk 8. S rostoucím n se stupeň Tylorov polynomu zvyšuje, ž se pro n dostáváme v polynomu T n (x) k součtu nekonečně mnoh členů tzv. nekonečné řdě. Více o tomto témtu probereme v Odstvci 4.5.

72 69 Příkld 88. Odhdněte chybu v bodě x = π 4 se středem v bodě x =. Tylorov polynomu stupně n = 6 funkce f(x) = cos x Řešení. Z Příkldu 84 víme, že příslušný Tylorův polynom je T 6 (x) = x + 4 x4 7 x6, přičemž f (6) (x) = cos x. Pro zbytek R 6 (x) pk podle vzorce (36) pltí, že R 6 (x) = f (7) (c) x 7 = sin c x 7, 7! 7! kde číslo c leží mezi x. A protože pro libovolné c R pltí sin c, potom pro x = π máme 4 ( ) π R 6 ( ) 7 π ! 4

73 7 3. Integrální počet Integrální počet se zbývá studiem funkcí jejich plikcí, pokud známe hodnotu derivce. 3.. Primitivní funkce. Zákldní otázkou tohoto odstvce je následující: Známe-li funkci f(x), jk lze njít (pokud vůbec existuje) funkci F (x) tk, že F (x) = f(x)? Příkld 89. Pro jkou funkci F (x) pltí, že F (x) = f(x), kde () f(x) = x, (b) f(x) = cos x. Řešení. () F (x) = x3 3, x 3 3 +, x 3 3 π, nebot F (x) = 3x 3 + = x = f(x), či nejobecněji F (x) = x3 3 + C, kde C je libovolná konstnt. (b) F (x) = sin x, sin x +, sin x π, nebot F (x) = cos x + = cos x = f(x), či nejobecněji F (x) = sin x + C, kde C je libovolná konstnt. Definice 6 (Primitivní funkce). Necht f(x) F (x) jsou funkce definovné n intervlu I. Funkce F (x) je primitivní k funkci f(x) n intervlu I, pokud F (x) = f(x) pro všechn x I. (37) Příkld 9. Z prvidel pro derivování elementárních funkcí (viz Odstvec.9) sndno dostáváme následující tvrzení. () Funkce xn+ n+ je primitivní k funkci xn n R. (b) Funkce ln x je primitivní k funkci n (, ). Funkce ln( x) je primitivní k funkci n x x (, ). Dohromdy zpsáno: Funkce ln x je primitivní k funkci n (, ) n (, ). x (c) Funkce rctg x je primitivní k funkci +x n R. (d) Funkce rcsin x je primitivní k funkci x n (, ). (e) Funkce C (konstntní funkce) je primitivní k funkci n R.

74 7 Kdy k dné funkci f(x) existuje primitivní funkce F (x)? Ne vždy! Vět 4 (O existenci primitivní funkce). Je-li funkce f(x) spojitá n intervlu I, potom k ní existuje n tomto intervlu funkce primitivní. Důkz. Uvedeme později, viz Poznámk 8(ii) v Odstvci 3.4. Poznámk 9. (i) Vět 4 udává postčující podmínku pro existenci primitivní funkce. Spojitost není nutnou podmínkou pro existenci primitivní funkce. Npř. funkce { x sin f(x) := cos, pro x, x x, pro x =, není spojitá v bodě x =, protože lim f(x) = lim x x ( x sin x } {{ } cos x }{{} neexistuje ) neexistuje. N druhé strně, funkce F (x) := { x sin, pro x, x, pro x =, je primitivní k f(x) n celém R, nebot pro x je F (x) = x sin x + x cos ( x x ) = x sin x cos x = f(x), (38) pro x = je F () = lim x F (x) F () x = lim x x sin x x = lim x x sin x = = f(). (ii) Je-li F (x) primitivní k funkci f(x) n intervlu I, potom je F (x) + C tké primitivní k f(x) n intervlu I pro libovolnou konstntu C R. (iii) Jsou-li F (x) G(x) primitivní k funkci f(x) n I, potom existuje konstnt C R tk, že F (x) = G(x) + C pro všechn x I (tedy funkce F (x) G(x) se liší o konstntu n celém intervlu I). (iv) Důsledkem částí (ii) (iii) je, že je-li F (x) primitivní k f(x) n intervlu I, potom { F (x) + C, C R } je množin všech primitivních funkcí k f(x) n intervlu I. Tuto množinu budeme nzývt neurčitý integrál.

75 7 Příkld 9. Protože mjí funkce F (x) = rctg x G(x) = rccotg x stejnou derivci f(x) = +x (viz Tvrzení 4), musí se tyto funkce lišit o konstntu, tj. rctg x = rccotg x + C x R. Konstntu C můžeme určit npř. z hodnot těchto funkcí v bodě x =, rctg =, rccotg = π, C = π, neboli pltí rctg x + rccotg x = π, x R. Definice 7 (Neurčitý integrál). Množin všech primitivních funkcí k funkci f(x) n intervlu I se nzývá neurčitý integrál z funkce f(x) n intervlu I. Tuto množinu budeme znčit (zkráceně) jko f(x) dx := { F (x) + C, C R } = F (x) + C, tedy symbol množiny { } budeme (kvůli stručnosti) vynechávt. Příkld 9. Z prvidel pro derivování elementárních funkcí (Odstvec.9, viz tké Příkld 9) sndno dostáváme následující. x n dx = xn+ + C, n, n + sin x dx = cos x + C, cos x dx = sin x + C, e x dx = e x + C, x dx = x ln + C, dx = ln x + C, (39) x dx = rctg x + C, + x dx = rcsin x + C, x f (x) f(x) dx = ln f(x) + C. Ve vzorci (39) si všimněte, že n prvé strně je v logritmu bsolutní hodnot, nebot pro x > je (ln x) = pro x < je x [ln( x)] = ( ) =. x x

76 Zákldní integrční metody. Vět 5 (Prvidl pro neurčitý integrál). (i) Prvidlo konstntního násobku: c f(x) dx = c f(x) dx. Neboli, je-li F (x) primitivní k f(x), potom je c F (x) primitivní k c f(x). (ii) Prvidlo součtu rozdílu: [f(x) ± g(x) ] dx = f(x) dx ± g(x) dx. Neboli, je-li F (x) primitivní k f(x) je-li G(x) primitivní k g(x), potom je F (x) ± G(x) primitivní k f(x) ± g(x). Důkz. Obě prvidl jsou jednoduchým důsledkem příslušného prvidl pro derivce (viz Vět ): [c F (x)] = c F (x) = c f(x) [F (x) ± G(x)] = F (x) ± G (x) = f(x) ± g(x). Příkld 93. () (x 3 3x + 5) dx = x4 4 x3 + 5x + C, (b) (c) ( ) x (x x 6 dx = ) + x 3 + x 6 dx = x 3 x 3 ( x ) dx = x ln x + C, x ln + x x7 7 + C, (d) ( + 5 ) dx = rcsin x + 5 rctg x + C, x x + = rccos x 5 rccotg x + C. Dlší integrční prvidlo umožňuje integrovt součiny funkcí, přičemž integrál z dného součinu se vhodně převede n integrál z jednoduššího součinu (viz příkldy dále). Vět 6 (Metod per-prtes pro neurčitý integrál). Necht funkce u(x) v(x) mjí derivci n intervlu I. Potom pltí u (x) v(x) dx = u(x) v(x) u(x) v (x) dx.

77 74 Důkz. Tto metod je jednoduchým důsledkem prvidl pro derivci součinu (viz Vět (iii)) prvidl pro integrál součtu (viz Vět 5(ii)): [u v] = u v + u v, [u v] = (u v + u v ) u v + C = u v + u v. Příslušné výpočty pro metodu per prtes budeme stejně jko u typu limity psát ve výpočtu mezi dvě svislé čáry, viz následující příkld. Příkld 94. () x cos x dx u = cos x u = sin x v = x v = = x sin x sin x dx (b) x ln x dx = x sin x ( cos x) + C = x sin x + cos x + C. u = x v = ln x = x ln x u = x v = x x x dx = = x ln x x x dx ln x x 4 + C. (c) ln x dx = ln x dx u = u = x v = ln x v = x = x ln x x dx = x ln x dx = x ln x x + C. x (d) e x sin x dx u = e x u = e x v = sin x v = cos x }{{} oznčme jko I = e x sin x e x cos x dx u = e x u = e x v = cos x v = sin x { } = e x sin x e x cos x e x ( sin x) dx = e x sin x e x cos x e x sin x dx } {{ } = I Tedy pro neznámý integrál I dostáváme rovnici I = e x (sin x cos x) I I = e x (sin x cos x) I = ex (sin x cos x),

78 75 proto je e x sin x dx = ex (sin x cos x) + C. Ve všech příkldech ověřte, že zpětným derivováním výsledku dostnete příslušnou funkci v integrálu. Poznámk. (i) Metod per-prtes vede k cíli zejmén pro integrály typu x n e x dx, x n cos(x) dx, x n sin(x) dx, x n rctg(x) dx, x n rccotg(x) dx, x ln n x dx. (ii) Metod per-prtes vede někdy n rovnici pro neznámý integrál (viz Příkld 94(d)), npř. e x cos(bx) dx, e x sin(bx) dx. (iii) Metod per-prtes vede někdy n rekurentní formuli pro neznámý integrál (viz následující Příkld 95). Příkld 95. Určete K n (x) := (x + ) n dx. Řešení. Zřejmě je K (x) = K (x) = dx = x + C, dx = rctg x + C. x + Neznámý integrál K n (pro n ) vypočítáme metodou per-prtes: K n (x) = (x + ) n dx u = u = x v = (x + ) n v = n(x + ) n x = x (x + ) n x ( n) (x + ) n x dx x = (x + ) + n x dx n (x + ) n+ x x = (x + ) + n + dx n (x + ) n+ ( ) x = (x + ) + n n (x + ) dx n (x + ) n+ x = (x + ) + n [K x n(x) K n n+ (x)] = (x + ) + n K n(x) n K n n+ (x).

79 76 Tedy pltí vzth n K n+ (x) = x (x + ) + (n ) K n(x) K n n+ (x) = n x (x + ) + n K n n (x). n Npř. volbou n = vypočítáme integrál K (x): (x + ) dx = K (x) = x x + + K (x) = x x + + rctg x + C. Dlší dvě integrční metody (Vět 7 Vět 8) jsou zloženy n prvidle pro derivování složené funkce (Vět ). Vět 7 (Substituce pro neurčitý integrál). Necht je funkce f(t) definovná n intervlu I necht ϕ(x) je definovná n intervlu J ϕ(j) I. Je-li funkce F (t) primitivní k funkci f(t) n intervlu I, potom je funkce (F ϕ)(x) primitivní k funkci [(f ϕ)(x)] ϕ (x) n intervlu J, tj. f ( ϕ(x) ) [ ϕ (x) dx = f(t) dt = F (t) = F ( ϕ(x) )]. Neboli v dném integrálu volíme substituci t = ϕ(x). Důkz. Tto metod je jednoduchým důsledkem prvidl pro derivci složené funkce (viz Vět ): [F ( ϕ(x) ) ] = F ( ϕ(x) ) ϕ (x) = f ( ϕ(x) ) ϕ (x) [F ( ϕ(x) ) ] dx = f ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx. }{{ ) } = F ( ϕ(x) Substituční metodu budeme opět zpisovt do nšeho výpočtu mezi dvě svislé čáry. Příkld 96. () x (x + ) dx t = x + dt = x dx = t dt = t dt = t = t + C = x + + C (b) x cos x 3 dx t = x3 dt = 3x dx = 3 cos t dt = 3 sin t + C = 3 sin x3 + C. Poznámk. (i) Ve výpočtu pomocí substituční metody se používá vzoreček pro diferenciál (viz Definice 4), neboli t = ϕ(x) dt = ϕ (x) dx.

80 77 (ii) Substituce uvedená ve Větě 7 je tedy tvru nová proměnná t = funkce stré proměnné x. Integrál po substituci již nesmí obshovt strou proměnnou x musí již být zpsán pouze pomocí nové proměnné t. (iii) Pokud bychom jko novou proměnnou zvolili jiné písmenko, npř. s = ϕ(x), potom je smozřejmě ds = ϕ (x) dx nový integrál bude v proměnné s. Druhá substituční metod je opět důsledkem prvidl o derivci součinu. Vět 8 (Substituce pro neurčitý integrál). Necht je funkce f(x) definovná n intervlu I necht ψ(t) má nenulovou derivci n intervlu J ψ(j) = I. Je-li funkce F (t) primitivní k funkci [(f ψ)(t)] ψ (t) n intervlu J, potom je funkce (F ψ )(x) primitivní k funkci f(x) n intervlu I, tj. f(x) dx = f ( ψ(t) ) [ ψ (t) dt = = F (t) = F ( ψ (x) )]. Neboli v dném integrálu volíme substituci x = ψ(t), tj. t = ψ (x) (inverzní funkce). Poznámk. (i) Tktéž ve výpočtu pomocí druhé substituční metody se používá vzoreček pro diferenciál (viz Definice 4), neboli x = ψ(t) dx = ψ (t) dt. (ii) Substituce uvedená ve Větě 8 je tedy tvru strá proměnná x = funkce nové proměnné t. Integrál po substituci již nesmí obshovt strou proměnnou x musí již být zpsán pouze pomocí nové proměnné t. (iii) Pokud bychom jko novou proměnnou zvolili jiné písmenko, npř. x = ψ(u), potom je smozřejmě dx = ψ (u) du nový integrál bude v proměnné u. (iv) U druhé substituční metody (tj. ve Větě 8) je nutné dávt pozor n intervl, kde ψ (t). Tto podmínk zručuje monotonii funkce ψ(t) tedy existenci inverzní funkce ψ (x).

81 78 Příkld 97. x dx x = sin t dx = (cos t) dt = sin t }{{} = cos t + cos(t) = cos t dt = dt = = t + sin(t) + C = t + cos t dt }{{} dx ( + cos(t) (sin t) (cos t) + C = t + (sin t) sin t + C t = rcsin x = rcsin x + x x + C. ) dt Ověřte si derivováním výsledku, že je tento výpočet skutečně správně Integrování rcionálních lomených funkcí. Je-li R(x) = P (x) = polynom rcionální lomená Q(x) polynom funkce (viz Odstvec.6), provedeme nejprve dělení, bychom dostli ryze rcionální lomenou funkci. Příkld 98. x 3 + x x + = x }{{ + } umíme integrovt x + x + Dále ryze rcionální lomenou funkci rozložíme n prciální zlomky, přičemž v Odstvci.6 jsme viděli, že tyto prciální zlomky mjí jeden z následujících tvrů. Pro reálný jednoduchý kořen x : A x x, A x x dx = A ln x x. Pro reálný vícenásobný kořen x (n ): A (x x ) n, B (x x ) n,..., C x x pro k =,..., n: A (x x ) dx = A k (x x ) k dx = A (x x ) k+ k + = A ( k) (x x ) k.

82 79 Pro dvojici jednoduchých komplexně sdružených kořenů α ± βi: Bx + C (x α) + β, Bx + C (x α) + β dx Výrz ve jmenovteli uprvíme vytýkáním n tvr t +, kde t = x α β po této substituci tvru Dt + E t + dt = D t t + dt + E. Výsledný integrál je t + dt = D ln(t + ) + E rctg t. Pro dvojici vícenásobných komplexně sdružených kořenů α ± βi (n ): Bx + C [(x α) + β ] n, Dx + E [(x α) + β ],..., F x + G pro k =,..., n: n (x α) + β Bx + C [(x α) + β ] dx k Výrz ve jmenovteli uprvíme vytýkáním n tvr (t + ) k, kde t = x α β je po této substituci tvru Ht + J (t + ) dt = H k t (t + ) dt + J k (t + ) k dt,. Výsledný integrál přičemž první z uvedených integrálů vypočteme substitucí s = t + (potom ds = t dt) druhý z uvedených integrálů je integrál K n (x) z Příkldu 95 (přesněji v tomto přípdě K k (t)), který vede n rekurentní formuli. Příkld 99. Vypočtěte x 3 + 6x + 5 (x + ) (x + 4) dx. Řešení. Rozkldem n prciální zlomky zjistíme x 3 + 6x + 5 (x + ) (x + 4) = A (x + ) + B x + + Cx + D x + 4. Odsud plyne, že A =, B =, C =, D = tedy je x 3 + 6x ( + 5 (x + ) (x + 4) dx = (x + ) x + + x + ) dx x + 4 = x ln x + + x + x + 4 dx + x + 4 dx = x + ln x + + ln(x + 4) + rctg x + C, přičemž předposlední integrál jsme spočítli pomocí substituce t = x + 4 (tj. dt = x dx) poslední integrál pomocí substituce t = x (tj. dt = dx). Mnoho dlších typů integrálů vede přes vhodné substituce n integrály z rcionálních lomených funkcí, některé ukázky jsou ve skriptech [8, Odstvec 6.].

83 8 Poznámk 3. Někdy ni nelze dný integrál vůbec spočítt (tj. vyjádřit pomocí elementárních funkcí), npř. sin x cos x x dx, x dx, x e ln x dx, sin(x ) dx, cos(x x ) dx, x dx, e x dx. Z věty o existenci primitivní funkce (Vět 4) le víme, že k uvedeným funkcím existuje primitivní funkce, protože tyto funkce jsou spojité. Tyto primitivní funkce se pk nzývjí vyšší funkce (jsou nevyjádřitelné pomocí elementárních funkcí). Pozn.: Pozor le n ln x x dx = ln x + C, (není to vyšší funkce)! 3.4. Riemnnův integrál. V tomto odstvci budou uvžovné funkce vždy ohrničené. Zákldní otázk tohoto odstvce zní: Jká je ploch mezi f(x) osou x (n intervlu [, b])? Příkld. () f(x) = pro x [, ] (viz obr.), P = 4. (b) f(x) = k pro x [, b] (viz obr.), P = k (b ). (c) f(x) = x pro x [, 4] (viz obr.), P = 4 = 8. (d) f(x) = x pro x [, 4] (viz obr.), P = 4 = 8 = 6. (e) f(x) = x pro x [, b] (viz obr.), P = b. (f) f(x) = x pro x [, ] (viz obr.), P = π = π. (g) f(x) = x + pro x [, ] (viz obr.), P = 3 3 =. Ale protože je ploch pod osou x, kldeme P =. (h) f(x) = x 3 pro x [, ] (viz obr.), ploch je stejná nd i pod osou x, proto kldeme P =. Tto orientovná ploch se nzývá určitý integrál (též Riemnnův integrál) z funkce f(x) přes intervl [, b] znčíme ji P = f(x) dx = orientovná ploch mezi grfem funkce f(x) osou x. Příkld. Tedy výpočty uvedené v Příkldu můžeme lterntivně zpst následovně:

84 8 () dx = 4, (b) k dx = k (b ), (c) 4 x dx = 8, (d) 4 x dx = 6, (e) x dx = b, (f) x dx = π, (g) ( x + ) dx =, (h) x3 dx =. Skutečnou plochu mezi f(x) osou x odhdneme pomocí vepsných opsných obdélníků (viz obr.), čímž dostneme dolní odhd s(d, f) pro skutečnou plochu horní odhd S(D, f) pro skutečnou plochu. Definice 8 (Dělení intervlu). Necht, b R, < b. Dělením intervlu [, b] je konečná množin bodů D [, b] s vlstností, b D. Tedy D = {x, x,..., x n }, kde x =, x n = b. Body x, x,..., x n se nzývjí dělící body intervl [x k, x k ] se nzývá dělící (pod)intervl. Délk největšího dělícího podintervlu je pk norm dělení D, tj. je to číslo n(d) := mx k=,...,n {x k x k }. (4) Množinu všech dělení intervlu [, b] oznčujeme jko D[, b] či jenom jko D. Pro ohrničenou funkci f(x) n [, b] dělení D intervlu [, b] zved me oznčení m k := inf { f(x), x [x k, x k ] }, (viz obr.) M k := sup { f(x), x [x k, x k ] }, (viz obr.) n s(d, f) := m k (x k x k ), dolní součet funkce f(x) při dělení D, S(D, f) := k= n M k (x k x k ), horní součet funkce f(x) při dělení D. k=

85 8 Tvrzení 5. Necht c f(x) d pro kždé x [, b]. Potom pro kždá dvě dělení D, D D[, b] pltí c (b ) s(d, f) S(D, f) d (b ), tj. dolní součet libovolného dělení je nejvýše roven hornímu součtu libovolného dělení, přičemž všechny dolní součty jsou zdol ohrničeny číslem c (b ) všechny horní součty jsou shor ohrničeny číslem d (b ) (viz obr.). Při vzrůstjícím počtu dělících bodů x k v dělení D, D se bude dolní součet s(d, f) zvětšovt zároveň horní součet S(D, f) zmenšovt. Definice 9 (Dolní horní integrál). Číslo f := sup { s(d, f), D D } nzýváme dolním (Riemnnovým) integrálem z funkce f(x) n intervlu [, b]. Číslo b f := inf { S(D, f), D D } nzýváme horním (Riemnnovým) integrálem z funkce f(x) n intervlu [, b]. Součsně víme, že vždy je f b f. Nvíc, pokud je c f(x) d n intervlu [, b], potom podle Tvrzení 5 je c (b ) f f d (b ). (4) Definice (Určitý (Riemnnův) integrál). Je-li f = f, potom říkáme, že funkce f(x) je integrovtelná (v Riemnnově smyslu) n [, b] toto společné číslo znčíme f := f = f. Množinu všech (riemnnovsky) integrovtelných funkcí n intervlu [, b] znčíme jko R[, b]. Je-li f < potom říkáme, že funkce f(x) není integrovtelná n [, b]. b f,

86 83 Riemnnův integrál přes intervl [, b] je tedy číslo. Zápis pro Riemnnův integrál budeme používt tké ve tvru s integrční proměnnou, npř. f(x) dx, f(t) dt, podobně. Příkld. () Pro konstntní funkci f(x) = c máme m k = M k = c pro všechny k tedy je s(d, f) = c (b ), S(D, f) = c (b ) (viz obr.), D D, f = sup{c (b )} = c (b ), f = inf{c (b )} = c (b ) c R[, b] Viz Příkld (b). pltí f = f = b f = c (b ). (b) Dirichletov funkce χ [chí] χ(x) := {, pro x Q [, b],, pro x I [, b], Potom m k = M k = pro všechn k tedy je s(d, χ) =, S(D, χ) = b (viz obr.), D D, χ = sup{s(d, χ)} = sup{} =, χ = inf{s(d, χ)} = inf{b } = b χ < b χ tedy χ R[, b] (χ není integrovtelná). Jk le obecně určíme, zd je dná funkce integrovtelná ( pk jkou hodnotu má její určitý integrál) či nikoliv? Nulová posloupnost dělení D k D je tková posloupnost dělení, která splňuje n(d k ) pro k, neboli norm dělení (viz vzorec (4)) jde k nule. Vět 9. Necht je funkce f(x) ohrničená n intervlu [, b]. Potom pro libovolnou nulovou posloupnost dělení D k D pltí, že s(d k, f) f, S(D k, f) f, pro k. Je-li nvíc f(x) integrovtelná n [, b], potom dolní součty s(d k, f) i horní součty S(D k, f) konvergují (ve smyslu existence vlstní limity) k číslu f. Z Věty 9 vyplývá, že pokud víme, že je f(x) integrovtelná n [, b], potom lze f určit limitním přechodem pomocí libovolné nulové posloupnosti dělení intervlu [, b].

87 84 Příkld 3. Víme-li, že je funkce f(x) = x integrovtelná n intervlu [, ] (viz npř. Vět 3 uvedená níže), potom určete x dx. Řešení. Připomeňme si vzorec n = n k = k= n (n + ) (n + ). (4) 6 Rozdělíme intervl [, ] n n stejných dělících intervlů délky. Potom jsou dělící body x n k = k n pro k =,,..., n (viz obr.) norm tkového dělení je právě číslo. Tedy jedná se o nulovou n posloupnost dělení. Nvíc, protože je funkce x rostoucí, je její infimum n k tém dělícím intervlu dosženo v levém krjním bodě. Tedy pltí, že pro libovolné k =,,..., n je m k = x k = (k ), proto n n n (k ) s(d n, f) = m k (x k x k ) = n n = n (k ) n 3 A proto je k= = n n 3 k= k (4) s n = k= (n ) n (n ) n3 6 x dx = 3. k= 6 = 3. Zásdní otázku, které funkce jsou vlstně (riemnnovsky) integrovtelné, zodpovídá následující tvrzení. Vět 3. (i) Kždá spojitá funkce n intervlu [, b] je zde tké integrovtelná, neboli C[, b] R[, b]. (ii) Kždá monotónní funkce n intervlu [, b] je zde tké integrovtelná. Poznámk 4. Riemnnův integrál (tj. vlstně orientovná ploch) se zřejmě nezmění, pokud je integrovtelná funkce f(x) nespojitá či není definován v konečně mnoh bodech (či obecněji n množině míry nul ), viz obr. Tímto dostáváme určitý integrál přes otevřený nebo polouzvřený intervl. Zejmén pro (ohrničené) intervly všech typů (, b), (, b] i [, b) je příslušný určitý integrál přes tento intervl roven již dříve definovnému číslu f, tj. Riemnnově integrálu přes uzvřený intervl [, b].

88 85 Příkld 4. Pro nespojitou funkci sgn x (viz Příkld 8()) pltí (viz obr.) 3 sgn x dx = 3 + ( ) =. Obdobně lze ukázt (rozvžte si to), že pro < < b je sgn x dx = + b Vlstnosti Riemnnov integrálu. V tomto odstvci odvodíme zákldní vlstnosti Riemnnov integrálu. Stále mějte n pměti, že se vlstně jedná o orientovnou plochu mezi grfem funkce osou x. Vět 3. Je-li funkce f(x) integrovtelná ohrničená n intervlu [, b], tj. c f(x) d pro všechn x [, b], potom (viz obr.). c (b ) f d (b ), Důkz. Toto tvrzení je bezprostředním důsledkem nerovnosti (4), nebot nyní předpokládáme, že je funkce f(x) integrovtelná. Důsledek 7. Je-li f R[, b], potom pltí (tj. orientovná ploch pod nezápornou f(x) n [, b] f, funkcí je nezáporná), f(x) c n [, b] f c (b ). Vět 3 (Prvidl pro určitý integrál). Necht f, g R[, b] (f(x) g(x) jsou integrovtelné) c R je konstnt. (i) Prvidlo konstntního násobku: c f R[, b] pltí c f(x) dx = c f(x) dx. (ii) Prvidlo součtu rozdílu: f ± g R[, b] pltí [ ] b f(x) ± g(x) dx = f(x) dx ± g(x) dx. (iii) Prvidlo monotonie: je-li f(x) g(x) n [, b], potom f g.

89 86 (iv) Prvidlo bsolutní hodnoty: f R[, b] pltí f f. (v) Prvidlo součinu: f g R[, b]. (vi) Prvidlo podílu: je-li g(x) c n intervlu [, b] pro nějké c >, potom je f g R[, b]. (vii) Prvidlo návznosti: je-li < c < b, potom je f R[, c], f R[c, b] pltí (viz obr.) f = c f + c f. Poznámk 5. Všimněte si, že prvidl (i) (ii) vlstně říkjí, že operce určitý integrál je lineární. Tj. zobrzení I : R[, b] R, I(f) := je lineární zobrzení mezi vektorovými prostory R[, b] R (viz MB). f Poznámk 6. (i) V prvidle součinu (Vět 3(v)) pro určitý integrál je zřejmě (obecně) ( ) ( ) f g f g. (ii) V prvidle podílu (Vět 3(vi)) nestčí, by g(x) > n intervlu [, b], tj. je nutné, by byl funkce ve jmenovteli održen od. Npř. pro funkce {, pro x =, f(x) := n [, ], g(x) := x, pro x (, ], pltí, že f R[, ], g R[, ], protože f = g =. Dále je g(x) > n celém intervlu [, ], le funkce { f, pro x =, g (x) =, pro x (, ], x není integrovtelná n intervlu [, ], protože f g = dx =, (viz Odstvec 3.). x Funkci g(x) nelze odrzit od, protože se k nule blíží ( tedy je funkce g(x) neohrničená).

90 87 (iii) Prvidlo návznosti (Vět 3(vii)) lze jednoduše rozšířit n libovolné hodnoty, b, c R (dokonce mohou být některá tto čísl stejná), pokud definujeme b f :=, f := (tj. ploch pod jediným bodem je nulová), f. (tj. záměn integrčních mezí mění znménko určitého integrálu). Potom podle prvidl návznosti zřejmě pltí f + f = b f =. Příkld 5. () Podle prvidl součtu podle Příkldů 3 (e) je (x + x) dx = x dx + x dx = 3 + = 5 6. (b) Podle prvidl konstntního násobku podle Příkldu 3 je x dx = x dx = 3 = 3. (c) Podle prvidl rozdílu podle Příkldu 3 je (viz obr.) ( x ) dx = dx x dx = 3 = Věty o střední hodnotě. Stejně tk jko má diferenciální počet své věty o střední hodnotě (viz Odstvec.), jsou podobné věty důležité i v integrálním počtu. Zčněme následujícím motivčním příkldem. Pokud máme konečně mnoho čísel,..., n, potom jejich průměrná hodnot je + + n = n k. n n k= Tedy průměrná hodnot čísel f(c ),..., f(c n ) je pk n f(c k ). n k=

91 88 Položme si otázku, co by se stlo, kdybychom nhrdili konečně mnoho čísel f(c ),..., f(c n ) nekonečně mnoh funkčními hodnotmi f(x), tj. nlyzujme limitu n n lim f(c k ) = lim f(c k ) b n n n b n k= k= }{{} délk dělících subintervlů = lim n b (Riemnnův součet, le místo m k či M k je zde f(c k ) ) b f. Definice (Průměr funkce). Necht f R[, b]. Potom číslo v(f) = v [,b] (f) := b nzýváme průměrnou hodnotou (též střední hodnotou) funkce f(x) n intervlu [, b]. Oznčení je z ngličtiny verge vlue. f Příkld 6. () Pro funkci f(x) = c n intervlu [, b] pltí v(f) = b c dx = c (b ) = c, b tj. průměrná hodnot konstntní funkce je smozřejmě ttáž konstnt. (b) Pro funkci f(x) = x n intervlu [, b] pltí (viz Příkld (e)) v(f) = b x dx = b b = b +. (c) Pro funkci f(x) = x n intervlu [, ] pltí v(f) = x dx = 3. V dlším textu oznčme m := inf { f(x), x [, b] }, M := sup { f(x), x [, b] }, tj. pltí pk m f(x) M n intervlu [, b]. Nyní uvedeme důležitou větu o střední hodnotě integrálního počtu. I když tto vět plyne ž z následující věty, uvádíme ji jko první, protože bude pro nás velmi důležitá.

92 89 Vět 33 (O střední hodnotě integrálního počtu). (i) Necht f R[, b]. Potom existuje číslo c R, m c M, tkové, že f(x) dx = c (b ), tj. c = v(f), tj. ploch mezi grfem funkce f(x) osou x je rovn obshu obdélník se zákldnou [, b] výškou c (viz obr.). (ii) Je-li nvíc funkce f(x) spojitá n [, b], potom existuje bod x [, b] s vlstností, že f(x ) = c = v(f) = b f(x) dx, tj. spojitá funkce f(x) nbývá svou průměrnou hodnotu v intervlu [, b]. Důkz. Plyne z následující Věty 34 volbou g(x) n [, b]. Příkld 7. Funkce f(x) = 4 x má n intervlu [, 3] průměrnou hodnotu v(f) = 3 (4 x ) dx = ( 3 3 ) 4 dx x dx = ( 9) =, (Integrál 3 x dx = 9 lze spočítt podobně jko Příkld 3.) Podle Věty 33(i) tedy pro číslo c = v(f) = pltí, že 3 (4 x ) dx = c (b ) = 3 = 3. Dále, protože je funkce 4 x spojitá n intervlu [, 3], existuje podle Věty 33(ii) bod x [, 3] s vlstností, že f(x ) = 4 x =. Zřejmě se jedná o bod x = 3, viz obr. Poznámk 7. To, že spojitá funkce nbývá svou průměrnou hodnotu, je vlstnost, která obecně nepltí pro konečně mnoho hodnot. Je to velmi důležitá vlstnost! Příkld 8. Pokud je funkce f(x) nespojitá n intervlu [, b], potom svou průměrnou hodnotu nbývt nemusí. Npř. pro funkci f(x) n intervlu [, ] definovnou jko {, pro x [, ), f(x) :=, pro x [, ], je (viz obr.) v(f) = f(x) dx = =, le funkce f(x) nenbývá hodnotu nikde v intervlu [, ].

93 9 Vět 34. Necht f, g R[, b] g(x) n [, b]. (i) Existuje číslo c R, m c M, tkové, že f(x) g(x) dx = c (ii) Je-li nvíc funkce f(x) spojitá n [, b], potom existuje bod x [, b] s vlstností, že f(x ) = c, tj. f(x) g(x) dx = f(x ) Důkz. (i) Protože je m f(x) M součsně g(x) n intervlu [, b], pltí nerovnosti Je-li = m m g(x) f(x) g(x) M g(x) g. g. pro x [, b]. g(x) dx =, potom z prvidl monotonie určitého integrálu (Vět 3(iii)) je g(x) dx tudíž číslo c můžeme zvolit libovolně. f(x) g(x) dx M g(x) dx =, Je-li g(x) dx > (nebot g(x) n [, b]), potom pltí nerovnosti m tudíž číslo g(x) dx splňuje tvrzení této věty. f(x) g(x) dx M c := g(x) dx, m f(x) g(x) dx g(x) dx f(x) g(x) dx = f(x) g(x) dx g(x) dx M, (ii) Je-li f(x) spojitá n [, b], potom podle Weierstrssovy věty (Vět 6) nbývá f(x) svého mxim (=M) minim (=m) v intervlu [, b]. Dále, podle Bolznovy věty (Vět 7) nbývá f(x) všech hodnot mezi m M, tedy nbývá i hodnotu c, tj. f(x ) = c pro nějký bod x [, b] Integrál jko funkce horní meze. Je-li funkce f(x) integrovtelná n [, b], potom je podle Věty 3(vii) tké integrovtelná n intervlu [, x] pro kždé x [, b]. Tedy předpis F (x) := x f = x f(t) dt definuje funkci F (x), která je řádně definovná pro všechn x [, b]. Zřejmě je F () = f = F (b) = f. V tomto odstvci budeme studovt vlstnosti této funkce F (x). Zřejmě je hodnot F (x) obsh (orientovné) plochy mezi grfem funkce f(t) n intervlu [, x] (viz obr.).

94 9 Příkld 9. Pro (nespojitou) funkci je (viz obr.) f(x) := F (x) := { 5, pro x [, ),, pro x [, ], { 5x, pro x [, ], x 5, pro x [, ], V následujích dvou tvrzeních uvidíme, že funkce F (x) vylepšuje vlstnosti funkce f. Viz npř. předchozí Příkld 9, kdy z nespojité funkce f(x) dostneme spojitou funkci F (x). Vět 35. Necht f R[, b] (tedy funkce f(x) může být i nespojitá). Potom je funkce spojitá n intervlu [, b]. F (x) := Důkz. Důkz provedeme pro ohrničenou funkci f(x), tj. f(x) c n intervlu [, b] pro nějké c >. Obecný přípd (bez předpokldu ohrničenosti funkce f(x)) lze njít v litertuře o integrálním počtu. Necht x [, b] je libovolný bod. Chceme ukázt, že lim x x F (x) = F (x ), neboli že Pltí, že (viz obr.) F (x) F (x ) x = f x F (x) F (x ) pro x x. x f x = x f f x x f x x c = c x } {{ x. } Tedy je funkce F (x) spojitá v bodě x. A protože byl tento bod vybrán v intervlu [, b] libovolně, je F (x) spojitá n [, b]. Dlší otázkou je, jk rychle se mění funkce F (x)? Tkto jednuduše položená otázk je le jednou z nejdůležitějších v tomto předmětu. Odpověd zní: Tk rychle, jké jsou hodnoty funkce f(x). Vět 36. Je-li f(x) spojitá n nějkém okolí bodu x, potom má funkce F (x) := x f derivci v bodě x pltí F (x ) = f(x ). Důkz. Podle Poznámky 4(v) je F (x ) = lim h F (x + h) F (x ) h ( průměrná hodnot = lim funkce f(t) n h intervlu [x, x + h] = lim h ) x +h f x f h = lim h h x +h x = lim h v [x,x +h](f) = lim h f(t ), f

95 9 přičemž poslední rovnost plyne z věty o střední hodnotě integrálního počtu (f(x) je spojitá n intervlu [x, x + h] pro h dosttečně mlé, tudíž nbývá v tomto intervlu svou střední hodnotu, viz Vět 33(ii)), kde bod t leží mezi body x x + h. Všimněte si, že číslo h ve výše uvedené limitě nemusí být nutně kldné. Ale i pro h < či pro h = jsme příslušné integrály definovli v Poznámce 6(iii). Tedy pltí, že x t x + h pro h >, x + h t x pro h <. Odsud le plyne, že jkmile h, pk t x. A protože je funkce f(x) spojitá v bodě x, pltí f(t ) f(x ), neboli F (x ) = lim f(t ) = lim f(t ) = f(x ). h t x Důsledek 8 (Fundmentální vzth integrálního počtu). Je-li funkce f(x) spojitá n intervlu [, b], potom má funkce F (x) := x f spojitou derivci F (x) = f(x) n [, b], tj. pltí vzth ( x f(t) dt) = f(x). (43) Poznámk 8. (i) Vzth (43) v sobě soustřed uje pozntky o derivci protože tento vzth obshuje derivci, neurčitém integrálu protože je funkce x f(t) dt primitivní k funkci f(x), určitém integrálu protože tento vzth obshuje určitý integrál, spojitosti protože je tento vzth zložen n spojitosti funkce f(x). (ii) Důsledek 8 je vlstně důkz věty o existenci primitivní funkce (Vět 4), protože říká nejen to, že primitivní funkce F (x) ke spojité funkci n [, b] existuje, le dokonce udává návod, jkým způsobem tuto primitivní funkci zkonstruovt (pomocí určitého integrálu s proměnnou horní mezí). (iii) Místo x f můžeme vzít tké F (x) = x f pro libovolné c [, b], protože podle prvidl c návznosti (Vět 3(vii)) je ( x ( x ( x f(t) dt) = f(t) dt + f(t) dt) = + f(t) dt) = f(x). c c }{{} konstnt vzhledem k x

96 93 (iv) Vzorec (43) udává, že operce určitého integrování (= výpočet plochy) derivování jsou v tomto pořdí inverzní, tj. když zčneme se spojitou funkcí f(t) n [, b], kterou nejprve integrujeme přes intervl [, x] (tím vznikne funkce F (x) udávjící orientovnou plochu pod f(t) n intervlu [, x] poté funkci F (x) zderivujeme, tk se vždy opět vrátíme k původní funkci f(x). Opčné pořdí opercí, tj. diferencovtelnou funkci f(x) npřed zderivujeme, pk její derivci f (t) integrujeme (Riemnnovým integrálem) n [, x], pk výsledná funkce nemusí být rovn původní funkci f(x), tj. obecně je x f (t) dt f(x) f(). Toto je jedn z vd Riemnnov integrálu, která je odstrněn obecnějšími typy integrálů, npř. integrálem Lebesgueovým. Tkováto funkce f(t) musí mít le dosttečně škredou derivci f (t). Pro pěkné funkce f(t), npř. pro funkce se spojitou derivcí f (t) n [, b], výše uvedný vzth pltí jko rovnost. Poznámk 9. Vzth (43) lze jednoduše použít pro rychlý zápis primitivní funkce, npř. primitivní funkce k funkci () x je F (x) = x t dt, (b) x je F (x) = x t dt. Tyto primitivní funkce lze ovšem vypočítt (viz následující Odstvec 3.8), npř. x [ ] t () t 3 x dt = = x3 3 3 ( x ( ) 3 = x3 x 3, tedy t dt) 3 = = x, 3 x (b) t dt = [ ln t ] ( x ) x = ln x ln = ln x, tedy t dt = (ln x) = x. ověřit tk přímo pltnost vzthu (43). N druhou strnu lze vzth (43) využít i pro konstrukci primitivních funkcí k vyšším funkcím (viz Poznámk 3), npř. primitivní funkce k funkci () sin x x je F (x) = kde dné integrály vypočítt nelze. x sin t t dt, (b) cos(x ) je F (x) = x cos(t ) dt, (Výše uvedené integrály je možné le vyjádřit pomocí nekonečné mocninné řdy, viz dále Odstvec 4.5.) Příkld. Bez výpočtu, tedy pouze n zákldě znlosti vzthu (43), můžeme proto psát npř. ( x t sin t dt) = x sin x, ( x ) e t t dt = ex x.

97 94 Protože je x f = c f, pro integrál jko funkci dolní meze pltí c x c ( c ( x ( x G(x) := f, G (x) = f) = f) = f) = f(x), c c tedy je To znmená, že x x ( c f(t) dt) = f(x). (44) x při derivování integrálu podle horní meze dostneme původní funkci f(x), ztímco při derivování integrálu podle dolní meze dostneme f(x). Příkld. Pro pokročilejší: Zkuste si rozmyslet, jk by vypdl derivce funkcí F (x) = x dt, G(x) = t sin x rcsin t dt, H(x) = Řešení. Podle prvidl pro derivování složené funkce (Vět ) je x x ln t dt. ( x F (x) = ) t dt = x (x ) = x x = x, ( G (x) = rcsin t dt) = (rcsin }{{ sin x} ) (sin x) = x cos x, sin x = x ( x ( x ) H (x) = ln t dt) = ln t dt + ln t dt x x ( ( x ) = ln t dt) + ln t dt = ln x + (ln x ) (x ) x = ln x + (ln x) x = (4x ) ln x Metody výpočtu určitého integrálu. To, že jsme schopni njít primitivní funkci pomocí určitého integrálu, vede k jednoduché metodě výpočtu určitého integrálu pomocí libovolné primitivní funkce k funkci f(x). Vět 37 (Newton Leibnizův vzorec). Je-li f R[, b] je-li F (x) libovolná primitivní funkce k f(x) n (, b), přičemž F (x) je spojitá n [, b], potom je f(x) dx = F (b) F ().

98 95 Důkz. Všimněte si, že ve větě stčí f(x) integrovtelná, nemusí být spojitá. Důkz le provedeme pouze pro spojitou funkci f(x), obecnější důkz lze njít v litertuře. Je-li f(x) spojitá n [, b], potom má f(x) podle Věty 4 n [, b] primitivní funkci, oznčme ji F (x). Dále, protože je podle Důsledku 8 funkce x f tké primitivní k f(x) n [, b], musí se tyto dvě primitivní funkce nvzájem lišit o konstntu, viz Poznámk 9(iii). Tedy pltí, že F (x) = x f + C pro kždé x [, b], proto je ( ) ( ) F (b) F () = f + C f + C = f. Výpočet určitého integrálu podle Newton Leibnizov vzorce znčíme jko f(x) dx = [ F (x) ] b = F (b) F (). (45) Příkld. Protože je funkce x3 primitivní k funkci 3 x n [, ], pltí [ ] x x 3 dx = = = 3, viz tké Příkld 3. Vět 38 (Metod per-prtes pro určitý integrál). Necht funkce u(x) v(x) mjí derivci n intervlu [, b] u, v R[, b]. Potom pltí Důkz. Podle Věty 6 je funkce u (x) v(x) dx = [ u(x) v(x) ] b u(x) v (x) dx. F (x) := u(x) v(x) primitivní k funkci f(x) = u (x) v(x) dx n intervlu [, b]. A proto podle Newton Leibnizov vzorce (45) je ( ) ( ) u v = F (b) F () = u(b) v(b) u v u() v() u v = [ u v ] b u v. x u v Pomocí Věty 38 lze tedy počítt dný integrál metodou per-prtes přímo. Druhá možnost je pk vypočítt nejprve primitivní funkci pomocí metody per-prtes pro neurčitý integrál (Vět 6) potom plikovt Newton Leibnizův vzorec (45).

99 96 Příkld 3. (Srovnejte s Příkldem 94.) () π x cos x dx u = cos x u = sin x v = x v = = [ x sin x ] π π sin x dx = π} sin {{ π} } sin {{ } [ cos x ] π = [ cos x ] π = cos π cos = =. = = (b) e [ ] x ln x dx u = x u = x x e e v = ln x v = = x ln x x x dx = e }{{} ln e }{{} ln e x dx = e = = [ ] x e = e ( e ) = e +. 4 Vět 39 (Substituce pro určitý integrál). Necht je funkce f(t) spojitá n intervlu [c, d] necht má funkce ϕ(x) integrovtelnou derivci n intervlu [, b] ϕ([, b]) [c, d]. Potom pltí f ( ϕ(x) ) ϕ (x) dx = ϕ(b) ϕ() f(t) dt. Neboli v dném integrálu volíme substituci t = ϕ(x) trnsformujeme nejen integrál, le i meze (v tomtéž pořdí mezí). Příkld 4. Vypočtěte x dx. Řešení. Tento příkld můžeme vyřešit dvěm způsoby. Bud přímo z Newton Leibnizov vzorce (45) (výpočtem primitivní funkce se substitucí v neurčitém integrálu) nebo pomocí substituce v určitém integrálu.. způsob: Z Příkldu 97 víme, že x dx = rcsin x + x x + C. Potom je ( x dx = rcsin }{{ } + ) = π ( rcsin + ) = π 4.

100 97. způsob: Při substituci v určitém integrálu trnsformujeme i meze ( již se pk ke stré proměnné x nevrcíme), tj. x = sin t π x dx dx = (cos t) dt x = t = = sin t cos }{{}}{{ t dt } x = t = π = cos t dx π π π ( = cos + cos(t) t dt = dt = + ) cos(t) dt [ t = + sin(t) ] π ( π = 4 + sin π ) ( }{{ 4 } + sin ) = π 4 4. = Protože je jedná o obsh čtvrtkruhu s poloměrem r =, je výsledná hodnot π 4 očekávná. Příkld 5. Vypočtěte obsh kruhu s poloměrem r >. Řešení. Obsh kruhu vypočítáme jko krát obsh půlkruhu nebo jko 4 krát obsh čtvrtkruhu. Podle první možnosti je pk r x = r sin t π P = r x dx dx = (r cos t) dt r x = r t = π = r r sin t r }{{}} cos {{ t dt } x = r t = π π = r cos t dx π π π ( = r cos t dt = r + cos(t) dt = r π π π + ) cos(t) dt = r [ t + sin(t) ] π π ( π = r 4 + π ) = πr. 4 = r {( π 4 + sin π 4 }{{} = ) ( π 4 + sin( π) 4 }{{} = )} 3.9. Aplikce určitého integrálu. Víme, že určitý integrál f byl zkonstruován jko orientovná ploch mezi grfem funkce f(x) osou x n intervlu [, b]. Tto orientovná ploch je zřejmě rovn skutečné ploše, pokud je f(x) n [, b]. Ploch mezi dvěm grfy. Pokud nás zjímá velikost plochy mezi grfy funkcí f(x) g(x), viz obr., určíme ji pomocí vepsných opsných obdélníků (stejně jko při konstrukci Riemnnov integrálu v Odstvci 3.4), všk nyní bude obsh kždého tkového obdélník tvru n [f(c k ) g(c k )] (x k x k ), Riemnnův součet je pk [f(c k ) g(c k )] (x k x k ). Tyto úvhy vedou k odvozeni následujícího vzorce. k=

101 98 Tvrzení 6 (Ploch mezi grfy). Necht f, g R[, b] f(x) g(x) n [, b]. Potom má ploch mezi grfy těchto funkcí n intervlu [, b] velikost P = [f(x) g(x)] dx = [ horní funkce dolní funkce ] dx. V tomto přípdě je zřejmě vždy P! Příkld 6. Určete plochu mezi grfy funkcí y = x y = 3. Řešení. Ob grfy se protínjí v bodech x = x =, přičemž funkce y = x je horní funkce n intervlu [, ] (viz obr.). A proto je hledná ploch [ ] P = [( x ) ( 3)] dx = (4 x ) dx = 4x x3 3 = ( ) ( 8 8 ) = = 3 3. Příkld 7. Určete plochu mezi grfy funkcí y = sin x y = sin x n intervlu [π, π]. Řešení. Ob grfy se protínjí v bodech x = π x = π, přičemž funkce y = sin x je horní funkce n tomto intervlu (viz obr.). A proto je hledná ploch P = π π (sin x sin x) dx = π = cos π cos π = ( ) =. π ( sin x) dx = [ cos x ] π π Délk křivky. Křivk C v rovině, C : [α, β] R, je zdán prmetricky jko zobrzení C : t [x(t), y(t)]. Příkld 8. Křivk C : t [cos t, sin t] pro t [, π] je kružnice o poloměru r = se středem v počátku (viz obr.). Zvolme libovolné dělení D = {α = t, t,..., t n, t n = β} intervlu [α, β]. N křivce C vyznčíme body odpovídjící hodnotám prmetru t = t k (viz obr.). Zvolme nyní nějké dv dělící body t k t k oznčme příslušné body n křivce C jko M = [x(t k ), y(t k )] N = [x(t k ), y(t k )]. Podle Pythgorovy věty má potom úsečk MN velikost MN = [x(t k ) x(t k )] + [y(t k ) y(t k )].

102 99 Délk celé křivky je pk proximován délkou lomené čáry při dělení D, tedy číslem n [x(tk ) x(t ] [ k ) + y(tk ) y(t ] k ) k= = = n [x(tk ] [ ] ) x(t k ) y(tk ) y(t (t k t k ) t k t k ) + (t k t k ) k t k t k n [x(tk ] [ ] ) x(t k ) y(tk ) y(t k ) + (t k t k ) t k t k t k t k k= k= = Riemnnův součet s výškou obdélník dnou výrzem [x(tk ] [ ) x(t k ) y(tk ) y(t k ) + t k t k t k t k Tedy pro n (zvyšující se počet dělících bodů normu dělení n(d) ) je x(t k ) x(t k ) x (t), t k t k proto dostáváme následující vzorec. y(t k ) y(t k ) t k t k y (t), t k t k dt, Tvrzení 7 (Délk křivky v rovině). Necht C je křivk v rovině [x(t), y(t)] pro t [α, β] její prmetrizce. Mjí-li souřdné funkce x(t) y(t) spojitou derivci n intervlu [α, β], potom má křivk C konečnou délku pltí d(c) = β α [x (t)] + [y (t)] dt. ] Příkld 9. Určete délku jednotkové půlkružnice (tj. r =, viz obr.). Řešení. Půlkružnice má prmetrizci [x(t), y(t)] = [cos t, sin t] pro t [, π]. Tyto funkce mjí spojitou derivci [x (t), y (t)] = [ sin t, cos t] n [, π], proto je délk půlkružnice rovn π π π d = [x (t)] + [y (t)] dt = ( sin t) + (cos t) dt = dt = [ t ] π = π. (Obvod celé jednotkové kružnice je pk zřejmě π.) Příkld. Určete obvod kružnice o poloměru r >. Řešení. Kružnice má prmetrizci [x(t), y(t)] = [r cos t, r sin t] pro t [, π]. Tyto funkce mjí spojitou derivci [x (t), y (t)] = [ r sin t, r cos t] n [, π], proto je obvod kružnice roven π π d = [x (t)] + [y (t)] dt = ( r sin t) + (r cos t) dt = π r (sin t + cos t) dt = π r dt = [ r t ] π = πr.

103 Grf funkce f(x) můžeme chápt jko množinu bodů [x, f(x)], tedy je to speciální přípd křivky v rovině, která má prmetrizci [t, f(t)] pro t [, b] (v tomto přípdě tuto prmetrizci le píšeme s proměnnou x). A protože má tto prmetrizce derivci [(t), f (t)] = [, f (t)], dostáváme z Tvrzení 7 následující vzorec. Důsledek 9 (Délk grfu). Má-li funkce f(x) spojitou derivci n intervlu [, b], potom má její grf n intervlu [, b] konečnou délku pltí d(gr f) = + [f (x)] dx. Příkld. Určete délku grfu prboly f(x) = x n intervlu [, ]. Řešení. Délk grfu bude zřejmě číslo mezi + ( ) = 5. + je f (x) = x spojitá funkce n intervlu [, ], je délk tohoto grfu rovn d(gr f) = + [f (x)] dx = + x dx. Ověřte si zpětným derivováním, že primitivní funkce k funkci + x je F (x) = x + x + ln ( x + + x ). =.5 (viz obr.). Protože A proto je podle Newton Leibnizov vzorce (45) [ d(gr f) = x + x + ln ( x + + x ) ( = + ln ( + ) ) = + ln ( + ).5. ] ( + ln }{{} = ) Objem rotčního těles. Rotční těleso vznikne rotcí plochy mezi grfem funkce f(x) osou x kolem osy x n intervlu [, b] (viz obr.). Zřejmě má tto úloh smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znménko n intervlu [, b], tj. je bud stále nezáporná nebo nekldná). Zvolíme-li nějké dělení D = { = x, x,..., x n, x n = b} intervlu [, b], potom má jeden objemový dílek šířku x k x k poloměr f(c k ) (viz obr.). Tedy objem tkového dílu je π [f(c k )] (x k x k ) (obsh podstvy krát šířk). Objem celého rotčního těles je pk proximován číslem n π [f(c k )] (x k x k ) = Riemnnův součet s výškou obdélník dnou výrzem π [f(c k )]. k=

104 Tedy pro n (zvyšující se počet dělících bodů normu dělení n(d) ) dostáváme následující vzorec. Tvrzení 8 (Objem rotčního těles). Necht f(x) je spojitá nezáporná funkce n intervlu [, b]. Objem rotčního těles, které vznikne rotcí plochy mezi Gr f osou x n intervlu [, b] kolem osy x, je V = π f (x) dx. Příkld. Určete objem jednotkové koule. Řešení. Objem určíme jko dvojnásobek objemu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotcí funkce f(x) = x kolem osy x n intervlu [, ]. Je tedy ( V = π ) [ ] ( x dx = π ( x ) dx = π x x3 = π ) = π. Příkld 3. Určete objem koule o poloměru r. Řešení. Objem určíme jko dvojnásobek objemu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotcí funkce f(x) = r x kolem osy x n intervlu [, r]. Je tedy r ( V = π r x ) r [ ] r ) dx = π (r x ) dx = π r x x3 = π (r 3 r3 = πr3. Příkld 4. Určete objem rotčního těles, které vznikne rotcí řetězovky f(x) = cosh x kolem osy x n intervlu [, ]. Řešení. Funkce cosh x je zdán pomocí exponenciální funkce jko ritmetický průměr e x e x, tj. Je tedy V cosh x := ex + e x. ( ) e = π cosh x + e x x dx = π dx = π ( e x + 4 } e x {{ e x } +e x) dx = = π [ ] e x e x + x + = π [( ) ( ) ] e e e + e = π ( e e + 4 ) Uvedený integrál lze spočítt i pomocí hyperbolických funkcí. Objem je pk V = π [(cosh ) (sinh ) + ]

105 Povrch (obsh pláště) rotčního těles. Zřejmě má tto úloh smysl pouze pro nezápornou funkci f(x) (či obecněji, pro funkci, která nemění znménko n intervlu [, b], tj. je bud stále nezáporná nebo nekldná). Zvolíme-li nějké dělení D = { = x, x,..., x n, x n = b} intervlu [, b], potom má jeden dílek (délk grfu) šířku ( ) f(xk ) f(x (xk x k ) + [f(x k ) f(x k )] k ) = + (x k x k ) x k x k + [f (x)] dx poloměr f(c k ) (viz obr.). Tedy obsh pláště tkového dílu je ( ) f(xk ) f(x k ) π f(c k ) + (x k x k ). x k x k Obsh pláště celého rotčního těles je pk proximován číslem n ( ) f(xk ) f(x k ) π f(c k ) + (x k x k ) x k x k k= = Riemnnův součet s výškou obdélník dnou výrzem ( ) f(xk ) f(x k ) π f(c k ) +. x k x k Tedy pro n (zvyšující se počet dělících bodů normu dělení n(d) ) dostáváme následující vzorec. Tvrzení 9 (Obsh pláště rotčního těles). Necht f(x) je nezáporná funkce se spojitou derivcí f (x) n intervlu [, b]. Obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí křivky Gr f n intervlu [, b] kolem osy x, je S = π f(x) + [f (x)] dx. Příkld 5. Určete povrch jednotkové koule. Řešení. Povrch určíme jko dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotcí funkce f(x) = x kolem osy x n intervlu [, ]. Protože pltí f (x) = x, x je tedy S = π = 4π x + ( x x ) dx = 4π x ( x ) + x x dx dx = 4π [ x ] = 4π.

106 3 Příkld 6. Určete povrch koule o poloměru r. Řešení. Povrch určíme jko dvojnásobek povrchu polokoule, přičemž polokoule vznikne rotcí funkce f(x) = r x kolem osy x n intervlu [, r]. Protože pltí f (x) = x r x, je tedy r S = π r x + r = 4π r dx = 4π [ rx ] r = 4πr. ( ) x r (r x dx = 4π r x ) + x dx r x r x Příkld 7. Určete obsh pláště rotčního těles, které vznikne rotcí řetězovky f(x) = cosh x kolem osy x n intervlu [, ]. Řešení. Funkce cosh x je zdán v Příkldu 4. Hodnot v krjních bodech intervlu [, ] je cosh(±) = (e + /e)/.54. Protože pltí f (x) = sinh x = ex e x cosh x sinh x =, je tedy S = π cosh x + (sinh x) dx = π cosh x dx }{{} = cosh x = π ( e e + 4 ) , viz Příkld 4, kde jsme vypočítli integrál cosh x dx. K tomuto příkldu ještě poznmenejme, že řetězovk vytváří těleso s nejmenším pláštěm mezi všemi rotčními tělesy, jejichž generující grf zčíná končí ve stejných bodech, jko uvedená řetězovk (viz obr.). To se využívá npř. při konstrukci visutých mostů (souvisí to s minimlizcí potenciální energie použitého mteriálu).

107 4 Obr zek 8. Obr zek vprvo pr evzt z Vı ce npr. n Dls ı plikce urc ite ho integr lu. Krome geometricky ch plikcı (obsh plochy, de lk kr ivky, objem obsh pl s te rotc nı ho te les) se urc ity integr l vyuz ı v v mnoh fyzik lnı ch plikcı ch, npr. te z is te rovinne ho obrzce, te z is te te les, obsh plochy, de lk kr ivky, objem obsh pl s te rotc nı ho te les v pol rnı ch c i prmetricky ch sour dnicı ch. Podrobnosti jsou npr. ve skriptech [8, Odstvec 6.]. Rb 3.. Nevlstnı integr ly. Stejne tk jko f je ploch mezi grfem (ohrnic ene ) funkce f (x) osou x n (konec ne m) intervlu [, b], mu z eme chtı t njı t tuto plochu n neohrnic ene m intervlu [, ), (, b], (, ), pr ı pdne i pro neohrnic enou funkci f (x). Dost v me se tk k pojmu nevlstnı ho integr lu Z Z b Z f, f, f.