4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "4 Mřížka tvořená body, mřížková funkce a její Fourierova transformace, reciproká mřížka"

Transkript

1 4 Mříž tvořená body, mřížová funce její Fourierov trnsformce, reciproá mříž Reciproé vetory bázi reciproých vetorů používl již olem r 880 J W Gibbs ve svých přednášách o vetorové nlýze [], str 0, 83 Do struturní nlýzy zvedli pojem reciproé mřížy P Ewld M v Lue hned při jejím vzniu v r 93 [2] Důvodem tomu bylo usndnění výpočtů nlyticé geometrie lineárních útvrů při použití soustvy souřdnic s neortonormální bází, již je nezbytné použít, jsou-li studovány rystly s nižší symetrií neubicé Od té doby náleží reciproá mříž záldním pojmům rystlogrfie, fyziy pevných láte dlších oborů Uvedení lsiové i utoři učebnic příruče definují bzální vetory s reciproé mřížy lgebricy viz vzthy 42 v dlším textu resp dodte C Potom se vš v učebnicích příručách používá reciproé mřížy jo Fourierovy trnsformce mřížy Důz tohoto tvrzení vš ž n výjimy [3], str nebývá uváděn Možná proto, že u neortogonálních soustv není tento důz jednoduchý Sám ft, že reciproá mříž je Fourierovou trnsformcí mřížy je ovšem důležitý nejen při studiu rystlicých pevných láte, le té npř pro vyjádření Fourierovy řdy periodicých funcí dvou více proměnných, jejichž periody nejsou v ortogonálních směrech, pro formulci vzorovcího teorému v prostorech s dimenzí N 2 pod V této pitole proto uvedeme nejprve onu lgebricou definici reciproé mřížy odst 42 potom podrobně podáme důz, že reciproá mříž je Fourierovou trnsformcí mřížy odst 43 Přitom zísáme výrz pro Fourierovu řdu obecné mřížové funce odst 44, tj i tové, jež chrterizuje mřížy periodicé pouze v neortogonálních směrech 4 Mřížová funce N rozměrnou mřížu s bzálními vetory r, r, 2,, N, tvořenou body, chrteristizuje tzv mřížová funce de f x x n n 2 2 n N N x x n, x n n n 2 2 n N N 2 znčí mřížový vetor symbol vyjdřuje, že všechny složy n, n 2,, n N multiindexu n nbývjí všech celočíselných hodnot Mřížová funce je tedy N násobnou řdou Dircových distribucí N proměnných Vytvořme mtici 2 N N A rs, 3 N N2 NN jejíž řády tvoří souřdnice rs bzálních vetorů r mřížy v soustvě souřdnic s ortonormální bází e, e 2,, e N Povžujeme-li proměnnou x i multiindex n z sloupcové mtice vytvořené souřdnicemi x r v uvedené ortogonální bázi resp celými čísly n r, můžeme mřížovou funci npst též ve tvru f x x A T n 4 Determinnt mtice A se nzývá vnější součin vetorů r, r, 2,, N, viz npř [4], str 95 [, 2,, N ] det A 5 Jeho bsolutní hodnot nezávisí n volbě ortonormální báze definuje viz npř [9], str 26 objem V U N rozměrného rovnoběžnostěnu elementární buňy, jehož hrny tvoří bzální vetory r mřížy: det A V U 6

2 2 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Nezávislost bsolutní hodnoty vnějšího součinu n volbě ortonormální báze e, e 2,, e N nhlédneme, vypočteme-li jeho druhou mocninu: [ ] 2 2, 2,, N det A det A det A T det AA T det r s det G 7 Symbol A T oznčuje mtici trnsponovnou mtici A 2 N N det G N N 2 N N 8 je Grmův determinnt bzálních vetorů mřížy, jehož nezávislost n soustvě souřdnic je zřejmá Že je bsolutní hodnot vnějšího součinu objemem elementární buňy, je zřejmé pro dimenze prostoru N, 2 3, dy jde o délu, plochu objem v obvylém smyslu slov Že je tomu t i pro N 4 vyplývá z toho, že [, 2,, N ] má vlstnosti ldené n objem [4], str 95, [9], str 26 27, npř: i [, 2,, N ] 0 tehdy jen tehdy, dyž vetory tvořící vnější součin jsou lineárně závislé ii Znásobíme-li jeden z vetorů tvořících vnější součin číslem α, potom se té vnější součin znásobí číslem α iii [, 2,, N ] 2 N, de r znčí délu vetoru r 42 Algebricá definice reciproé mřížy V polovině minulého století doporučovl Mezinárodní rystlogrficá unie definovt bzální vetory s mřížy reciproé mřížce o bzálních vetorech r slárními součiny r s K rs, r, s, 2,, N, de K je tzv reciproá onstnt viz [6], str 2, jejíž hodnotu lze přípd od přípdu vhodně volit Kdybychom chtěli tohoto doporučení využít, volili bychom K / uázlo by se srov 435, 3, 7 v dlším textu, že při ždé volbě prmetrů A, B, je Fourierov trnsformce mřížové funce úměrná mřížové funci reciproé mřížy Doporučení Unie vš zůstlo nevyslyšeno v rystlogrfii, nuce o mteriálu příbuzných technicých oborech se důsledně volí K viz npř [3], str 386, [5], str 63, ztímco ve fyzice pevných láte příbuzných oborech, fyzice povrchů fyziálně lděných plicích se volí K viz npř [7], str 62, [8], str 87 Nědy se vedou i spory o to, terá ze dvou posledně jmenovných eventulit je t jedině správná viz [0], str 62 Přidržíme se zde zvylostí rystlogrfie, i dyž to poněud zompliuje formuli vyjdřující Fourierovu trnsformci mřížové funce Definujeme tedy bzální vetory s reciproé mřížy slárními součiny r s rs, r, s, 2,, N Z této definice je zřejmé jedn, že reciproá mříž reciproé mřížce je původní mříž, jedn, že bzální vetor s reciproé mřížy je olmý e všem bzálním vetorům r původní mřížy s výjimou vetoru s Definice je implicitní definicí bzálních vetorů reciproé mřížy, jež nedává bez dlších výpočtů explicitní vyjádření vetorů s prostřednictvím bzálních vetorů r původní mřížy Abychom tová explicitní vyjádření dostli, přepíšeme N 2 rovnic v mticovém tvru de A st A A T I, 2 2 N N N N2 NN 3

3 42 Algebricá definice reciproé mřížy 3 je mtice, jejíž řády tvoří souřdnice bzálních vetorů s souřdnic I je jednotová mtice Z 2 je zřejmé, že reciproé mřížy v ortonormální soustvě A A T, tj st ts 4 Vyjádřeno slovy: Tvoří-li řády mtice A souřdnice bzálních vetorů původní mřížy, jsou sloupce inverzní mtice A tvořeny souřdnicemi bzálních vetorů reciproé mřížy: st N N s st e t st det A st det A e t, s, 2, N, 5 t t de det A st je subdeterminnt, terý vznine z det A vynecháním s tého řádu t tého sloupce Vzth 5 lze zpst ještě jednodušším způsobem: Vytvořme mtici A s t, že s tý řáde mtice A nhrdíme vetory e, e 2,, e N ortonormální báze P součet N st det A st e t det A s t předstvuje rozvoj determinntu det A s podle prvů s tého řádu vyjádření 5 bzálních vetorů s reciproé mřížy zísává jednoduchý tvr s det A s, s, 2,, N 6 det A Nevýhodou tohoto vyjádření je, že je vztženo n nějou ortonormální soustvu souřdnic Vzth 6 de fcto dává souřdnice vetoru s prostřednictvím souřdnic rt vetorů r v ortonormální soustvě souřdnic Je prvd, že tto ortonormální soustv může být libovolná Přesto usilujeme o vyjádření, teré by použití ortonormální soustvy souřdnic nevyždovlo Nštěstí v E 3 je vnější součin det A 2 3 det A 2 3, det A 2 3, det A 3 2 Vzthy 6 t v E 3 předstvují populární vyjádření bzálních vetorů reciproé mřížy přímo bzálními vetory mřížy: , , T je tomu vš jenom pro N 3 Abychom se odpoutli od nutnosti použít nějé ortonormální soustvy souřdnic té v přípdě obecné dimenze N, rozšíříme zlome v 6 determinntem det A T Ve jmenovteli 6 tím dostneme det A det A T det G v čitteli det A s det A T det G s, de det G s je determinnt vznilý nhrzením prvů s tého řádu Grmov determinntu bzálními vetory, 2,, N mřížy Bzální vetory s reciproé mřížy t dostáváme vyjádřeny přímo prostřednictvím bzálních vetorů r mřížy, nioli prostřednictvím jejich souřdnic: s det G s, s, 2,, N 8 det G Poznám: Výrzy 8 lze odvodit i bez použití ortonormální soustvy souřdnic mtice A: Vetory s rozložíme v bázi tvořené bzálními vetory mřížy s α s α sn N, s, 2,, N, 9 znásobíme ždý z těchto rozldů postupně vetory r, r, 2,, N Podle definice t dostneme α s r α sn N r rs, r, s, 2,, N 0

4 4 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE Při pevném s předstvuje 0 soustvu N lineárních lgebricých rovnic pro N oeficientů α s, α s2,, α sn Determinnt této soustvy je Grmův determinnt 48 Prvou strnu soustvy 0 tvoří nuly, dyž r s jedn, dyž r s Crmerovo prvidlo p dává velmi jednoduché řešení soustvy rovnic 0 pro oeficienty α st : α st st det G st, t, 2,, N, det G de det G st je subdeterminnt příslušející v Grmově determinntu prvu s t Dosdíme-li řešení do 9, dostneme s det G N t st t det G st det G s det G, což je 8 Použijeme nyní 8 npíšeme výrzy pro bzální vetory v E E 2 : V E zřejmě je V E 2 je tj, , , Nop , , V E 3 jsou trdičně používné výrzy 7 mnohem jednodušší než 8 tto jednoduchost vybízí tomu, by se jich využívlo té pro dvojrozměrné mřížy V E 2 vš není definován vetorový součin Tto nesnáz se obchází tím, že se e dvěm bzálním vetorům, 2 dvojrozměrné mřížy přidá jednotový vetor n olmý dvojrozměrné mřížce t, by vetory, 2, n tvořily trojrozměrnou prvotočivou bázi Podle 7 se p vypočtou bzální vetory reciproé mřížy viz npř [8], str 87 2 n 2, 2 n 2 5 Evivlenci výrzů 5 3 sndno nhlédneme, vyjádříme-li jednotový vetor n prostřednictvím bzálních vetorů, 2, n 2 2, 6 dosdíme do 5 použijeme identit b c c b b c, b c d c b d d b c Dostneme t , , ve shodě s 3 Co se týá nedůležitého třetího bzálního vetoru reciproé trojrozměrné báze, je zřejmé ze 6, že 3 n

5 42 Algebricá definice reciproé mřížy 5 42 Příld: Reciproá mříž primitivní obdélníové mřížce v E 2 Vypočítáme bzální vetory reciproé mřížy primitivní obdélníové mřížce v E 2 s poměrem déle bzálních vetorů :2 s delší strnou elementární buňy ve svislém směru Dély bzálních vetorů, 2 oznčíme, 2 2 viz obr, tže 2 2, , 2 0 Ze vzthů 3 p vyplývjí bzální vetory reciproé mřížy ve tvru reciproé mřížy týž směr jo bzální vetory původní mřížy jejich veliosti jsou, 2 2 Reciproá mříž je opět primitivní obdélníová, vš s poměrem strn elementární buňy 2:, tj s delší strnou ve vodorovném směru viz obr b Kdybychom z nějého důvodu nezvolili bzální vetory nší obdélníové mřížy ortogonální, le nějé jiné, dostneme ovšem touž reciproou mřížu; bude mít pouze jiné bzální vetory: Zvolme z bzální vetory mřížy npř vetory 2 podle obr c Zřejmě je 2 8 2, 2 2, Mjí tedy bzální vetory 2 5 2, 2 6 2, tže ze vzthů 3 vyplývjí pro bzální vetory / 2, / 2 Veliosti těchto vetorů jsou 2 2/ viz obr d reciproé mřížy výrzy /2, Obráze : Dvojrozměrná primitivní obdélníová mříž, c s různě zvolenými bzálními vetory její reciproá mříž b, d

6 6 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE 422 Příld: Reciproá mříž centrovné obdélníové mřížce v E 2 Vypočítáme reciproou mřížu centrovné obdélníové mřížce v E 2 s poměrem strn obdélníové elementární buňy :2 s delší strnou ve svislém směru Zvolíme neortogonální bzální vetory, 2 podle obr 2 Zřejmě je 2 2, /4, 2 2 /2 Z rovnic 3 p vyplývá, že bzální vetory reciproé mřížy jsou / 2, / 2 Jejich veliosti jsou 5/2, 2 / viz obr 2b Reciproá mříž je tedy opět centrovná obdélníová mříž, vš s poměrem strn elementární buňy 2:, tj s delší strnou ve vodorovném směru Obráze 2: Dvojrozměrná centrovná obdélníová mříž s bzálními vetory, 2 definujícími primitivní mřížu její reciproá mříž b 43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce Výpočet Fourierovy trnsformce mřížové funce 4 provedeme ntřirát: Nejprve v E odst 43 V tomto přípdě dává výpočet Fourierových integrálů Fourierovu trnsformci ve tvru Fourierovy řdy Tto Fourierov řd je součsně geometricou řdou s vocientem, jehož bsolutní hodnot se rovná jedné Jejím součtem je neonečná řd Dircových distribucí, jež je úměrná mřížové funci reciproé mřížy Výpočet v E 2 odst 432 využívá uvedených vlstností jednorozměrné mřížové funce Vyžduje vš té něoli obrtů typicých pro odvozování Fourierovy trnsformce vícerozměrné mřížové funce Přitom vš zůstává geometricy názorný Výpočet v E N odst 433 je formálně identicý s výpočtem v E 2 Ve všech přípdech se uáže, že Fourierov trnsformce mřížové funce je úměrná mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 43 Fourierov trnsformce mřížové funce v E V jednorozměrném přípdě má mřížová funce tvr fx n x n předstvuje periodicé rozmístění Dircových distribucí jedné proměnné s periodou viz obr 3 Můžeme ji tedy formálně vyjádřit ve tvru Fourierovy řdy fx h c h exp i h x Pozoruhodné je, že v přípdě mřížové funce mjí všechny oeficienty c h touž hodnotu Pltí totiž

7 43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce 7 c h /2 /2 /2 fx exp i h x dx n /2 /2 /2 Fourierov řd mřížové funce v E má tedy tvr n x n x n exp i h x dx x exp i h x dx h exp i h x h exp i h x, 2 což je geometricá řd s vocientem rovným omplexní jednotce exp i x To je důležitý výslede, jehož budeme používt při výpočtech Fourierovy trnsformce mřížové funce vícerozměrné mřížy Připrvíme si tedy potřebnou formuli tím, že využijeme 2 vyjádření součtu geometricé řdy s vocientem q expibx: h exp ibhx b n x n b 3 Fourierovu trnsformci jednorozměrné mřížové funce můžeme nyní počítt buď přímo z definičního výrzu nebo z její Fourierovy řdy 2 Zvolíme první způsob Záměnou pořdí integrce sčítání použitím výběrové vlstnosti Dircovy distribuce dostneme Fourierovu trnsformci mřížové funce ve tvru Fourierovy řdy: [ F X A x n exp ixx ] dx n A x n exp ixx dx A n n exp ixn A n exp ixn 4 Fourierov řd 4 Fourierovy trnsformce mřížové funce je geometricou řdou s vocientem expix Podle 3 jde tedy o Fourierovu řdu funce F X A h X Dospíváme t závěru, že Fourierov trnsformce jednorozměrné mřížové funce s periodou je úměrná jednorozměrné mřížové funci s periodou : FT { n x n } B h X h h B h X h 5 Jednorozměrná mřížová funce i její Fourierov trnsformce 5 je znázorněn n obr 3

8 8 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE fx FX B x b X Obráze 3: Lineární mříž 43 s prmetrem, její Fourierov trnsformce 435, b 432 Fourierov trnsformce mřížové funce v E 2 Ve dvojrozměrném prostoru má mřížová funce tvr f x fx, x 2 x n n 2 2 n n 2 n n 2 x n n 2 2, x 2 n 2 n Přímým výpočtem Fourierovy trnsformce této funce [ F X A 2 A 2 A 2 n n 2 n n 2 n n 2 x n n 2 2 ] exp i X x d 2 x exp [ i X n n 2 2 ] exp [ i X n n 2 2 ] 7 dostáváme Fourierovu trnsformci opět vyjádřenou Fourierovou řdou, tentoráte ovšem dvojnou Je vš zřejmé, že ji lze vyjádřit součinem dvou jednoduchých řd: F X A 2 n exp [ i X n ] n 2 exp [ i X 2 n 2 ] 8 Kždá z nich je geometricou řdou s vocientem expi X resp expi X 2 Podle 3 jde tedy o Fourierovy řdy funcí h X h resp Fourierovu trnsformci 8 můžeme přepst do tvru F X A 2 2 h h 2 X h h 2 X 2 h 2 9 X 2 h 2 0 Dříve než budeme porčovt v úprvách výrzu 0, všimněme si geometricého význmu jednoduchých řd v tomto výrzu viz obr 4 Je zřejmé, že v E 2 předstvují rovnice X i h i, tj X i i i h i, h i 0, ±, ±2,

9 43 Reciproá mříž Fourierov trnsformce mřížové funce Obráze 4: K odvození Fourierovy trnsformce mřížové funce v E 2 V horní části obrázu je mříž s bzálními vetory, 2 V dolní části obrázu je její reciproá mříž s bzálními vetory, 2 soustvu rovnoběžných příme s roztečí i olmých vetoru i Součin řd v 0 tedy předstvuje soustvu Dircových distribucí dvou proměnných s nenulovými hodnotmi v bodech X určených podmínmi tj v bodech X h, X h 2, h, h 2 0, ±, ±2,, X h h 2 2 tvořících dvojrozměrnou reciproou mřížu s reciproou onstntou K K tomuto výsledu ovšem dojdeme lgebricými úprvmi výrzu 0, niž bychom se opírli o geometricou předstvu, ještě jej doplníme Z tím účelem vyjádříme součin dvou jednoduchých řd v 0 dvojnou řdou Dircových distribucí dvou proměnných Fourierov trnsformce 0 t zísá tvr F X B 2 h h 2 X h, X 2 h 2 Pohlížíme-li n rgument Dircových distribucí dvou proměnných v jo n řádovou mtici, můžeme jej uprvovt Přitom proměnnou X povžujeme z řádovou mtici, jejímiž prvy jsou souřdnice X, X 2 v ortonormální bázi multiindex h povžujeme z řádovou mtici, jejímiž prvy jsou celá čísl h, h 2

10 0 4 MŘÍŽKOVÁ FUNKCE A JEJÍ FOURIEROVA TRANSFORMACE X h, X 2 h 2 X, X 2 h, h 2 X, X h, h 2 X A T h X h A T A T X h A A T 2 Fourierovu trnsformci s tto vyjádřeným rgumentem Dircových distribucí můžeme dále uprvovt vrátit se od mticového vyjádření vetorovému, jež nezávisí n volbě ortonormální báze: F X B 2 h h 2 B 2 det A B 2 V U B 2 V U X h A A T h h 2 X X X h A h h 2 2, X 2 h 2 h 2 22 h h Zde V U det A je ploch elementární buňy původní mřížy viz 46 Fourierov trnsformce 3 mřížové funce funce 6 je tedy úměrná s onstntou úměrnosti /B 2 V U mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 433 Fourierov trnsformce mřížové funce v E N K témuž výsledu jo v E 2 se dospěje i v obecném přípdě mřížové funce v E N Algebricé nlyticé úprvy jsou stejné jo v E 2, pouze geometricá názornost chybí Počítáme tedy Fourierovu trnsformci mřížové funce 4: { } F X FT x n n 2 2 n N N A N A N A N x n n 2 2 n N N exp i X x d N x exp [ i X n n 2 2 n N N ] exp [ i X n n 2 2 n N N ] 4 Výrz 4 předstvuje Fourierovu trnsformci N rozměrné mřížové funce ve tvru N násobné Fourierovy řdy Tuto řdu lze bez problémů ftorizovt záměnou pořdí sčítání násobení přepst do tvru součinu N jednoduchých geometricých řd:

11 44 Fourierov řd mřížové funce v E N F X A N N j exp [i ] X j nj A N N j n j exp [i ] X j nj 5 Kždou jednoduchou geometricou řdu v 5 lze podle 3 vyjádřit jednoduchou řdou Dircových distribucí jedné proměnné: F X A N N N j h j X j h j Anlogicy vyjádříme součin jednoduchých řd Dircových distribucí jedné proměnné N násobnou řdou Dircových funcí N proměnných: F X X B N h,, X N h N Argument těchto Dircových distribucí povžujeme z řádovou mtici úprvou obdobnou 2 dostneme F X B N B N B N det A X A T h X h A T A T X h A 6 Přejdeme-li obdobně jo v 3 od mticového vyjádření rgumentu Dircových distribucí vyjádření prostřednictvím bzálních vetorů reciproé mřížy použijeme-li vzthu 46, zísáme Fourierovu trnsformci mřížové funce ve tvru de F X B N V U B N V U X h h 2 2 h N N X X h, 7 X h h h 2 2 h N N 8 je mřížový vetor reciproé mřížy Fourierov trnsformce 7 mřížové funce v jejím nejobecnějším tvru 4 je zřejmě úměrná s oeficientem úměrnosti /B N V U mřížové funci reciproé mřížy s reciproou onstntou K / 44 Fourierov řd mřížové funce v E N Při odvozování Fourierovy trnsformce mřížové funce jsme tuto trnsformci zísli nejprve ve tvru její Fourierovy řdy V jednorozměrném přípdě je to výrz 434 ve dvourozměrném 437 v N rozměrném 434 Ve všech těchto přípdech je v exponentu jednotlivých sčítnců slární součin proměnné X mřížového vetoru x n mřížy, nioli reciproé mřížy, j bychom mohli čet u Fourierovy trnsformce

12 2 REFERENCE Nsýtá se otáz, j vypdá Fourierov řd mřížové funce Pro jednorozměrný přípd jsme ji vypočetli výrz 432 uzuje, že v exponentu sčítnců je součin proměnné x mřížového vetoru reciproé mřížy h Kdybychom se v obecném N rozměrném přípdě omezili jen n mřížové funce, jejichž bzální vetory r jsou nvzájem ortogonální, bylo by sndné je ftorizovt, vypočítt Fourierovu řdu v ždé proměnné potom jednotlivé ftory opět složit V obecném přípdě, dy vetory r nejsou ortogonální, vš tto postupovt nelze Nštěstí můžeme v ždém přípdě zíst Fourierovu řdu mřížové funce 4 zpětnou Fourierovou trnsformcí Fourierovy trnsformce mřížové funce ve tvru 437: x n n 2 2 n N N FT B V U V U exp V U X X h h 2 2 h N N h h 2 2 h N N exp ix x d N X [ i h h 2 2 h N ] N x je Je zřejmé, že v jednorozměrném přípdě se vzth reduuje n 432, ve dvojrozměrném přípdě pro N 3 n n 2 x n n h h 2 exp [ i h h 2 ] 2 x n n 2 n 3 x n n 2 2 n h h 2 h 3 exp [ i h h 2 2 h 3 ] 3 x Mřížové funce ve tvru Fourierovy řdy se používá vyjádření eletronové hustoty v rystlicých látách [5], str 69, [6], str 353 dlší, odvození vzorovcího teorému funcí více proměnných používjícího jinou než ortogonální vzorovcí síť [] jinde Reference [] Gibbs J W: Elements of Vector Anlysis Tuttle, Morehouse nd Tylor, New Hven 88 4 [2] Ewld P: Historisches und Systemtisches zum Gebruch des Reziproen Gitters in der Kristllstruturlehre Zeitschrift für Kristllogrphie , [3] Guinier A: X Ry Diffrction In Crystls, Imperfect Crystls, nd Amorphous Bodies W H Freemn nd Co, Sn Frncisco 963 [4] Čech E: Záldy nlyticé geometrie I Přírodovědecé vydvtelství, Prh 95 [5] Gicovzzo C et l: Fundmentls of Crystllogrphy Interntionl Union of Crystllogrphy, Oxford University Press 992

13 REFERENCE 3 [6] Henry N F M, Lonsdle K eds: Interntionl Tbles for X-Ry Crystllogrphy Vol The Kynoch Press, Birminghm 952 [7] Kittel Ch: Úvod do fyziy pevných láte Acdemi, Prh 985 [8] Lüth H: Surfces nd Interfces of Solid Mterils 3rd ed Springer Verlg, Berlin 995 [9] Gntmcher F R: Těorij mtric 4 izd Izdtěl stvo Nu, Mosv 988 [0] Kittel Ch: Introduction to Solid Stte Physics 4th ed, John Wiley, Inc, New Yor 97 [] Petersen D P, Middleton D: Smpling nd Reconstruction of Wve Number Limited Functions in N Dimensionl Eucliden Spces Informtion nd Control 5 962,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení.,

u, v, w nazýváme číslo u.( v w). Chyba! Chybné propojení., Def: Vetorovým součiem vetorů u =(u, u, u 3 ) v = (v, v, v 3 ) zýváme vetor u v = (u v 3 u 3 v, u 3 v u v 3, u v u v ) Vět: Pro vetory i, j, ortoormálí báze pltí i i = j = i, i = j Vět: Nechť u v, w, jsou

Více

13. Soustava lineárních rovnic a matice

13. Soustava lineárních rovnic a matice @9. Soustv lineárních rovnic mtice Definice: Mtice je tbulk reálných čísel. U mtice rozlišujeme řádky (i=,..n), sloupce (j=,..m) říkáme, že mtice je typu (n x m). Oznčíme-li mtici písmenem A, její prvky

Více

2.3. DETERMINANTY MATIC

2.3. DETERMINANTY MATIC 2.3. DETERMINANTY MATIC V této kpitole se dozvíte: definici determinntu čtvercové mtice; co je to subdeterminnt nebo-li minor; zákldní vlstnosti determinntů, používné v mnoh prktických úlohách; výpočetní

Více

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1).

A DIRACOVA DISTRIBUCE 1. δ(x) dx = 1, δ(x) = 0 pro x 0. (1) Graficky znázorňujeme Diracovu distribuci šipkou jednotkové velikosti (viz obr. 1). A DIRACOVA DISTRIBUCE A Dircov distribuce A Definice Dircovy distribuce Dircovu distribuci δx) lze zvést třemi ekvivlentními způsoby ) Dirc [] ji zvedl vzthy δx) dx, δx) pro x ) Grficky znázorňujeme Dircovu

Více

7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 1. 7 Konvoluce a Fourierova transformace konvoluce. Korelace, autokorelace

7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 1. 7 Konvoluce a Fourierova transformace konvoluce. Korelace, autokorelace 7 KONVOLUCE, KORELACE A AUTOKORELACE 7 Konvoluce Fourierov trnsformce onvoluce. Korelce, utoorelce 7. Definice onvoluce Konvolucí f( f ( f ( dvou funcí f (, f (, E N, se rozumí integrál f( f ( f ( f (

Více

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90

3. ROVNICE A NEROVNICE 85. 3.1. Lineární rovnice 85. 3.2. Kvadratické rovnice 86. 3.3. Rovnice s absolutní hodnotou 88. 3.4. Iracionální rovnice 90 ROVNICE A NEROVNICE 8 Lineární rovnice 8 Kvdrtické rovnice 8 Rovnice s bsolutní hodnotou 88 Ircionální rovnice 90 Eponenciální rovnice 9 Logritmické rovnice 9 7 Goniometrické rovnice 98 8 Nerovnice 0 Úlohy

Více

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra

Matice. a B =...,...,...,...,..., prvků z tělesa T (tímto. Definice: Soubor A = ( a. ...,..., ra Definice: Soubor A ( i j ) Mtice 11 12 1n 21 22 2n m 1 m2 prvků z těles T (tímto tělesem T bude v nší prxi nejčstěji těleso reálných čísel R resp těleso rcionálních čísel Q či těleso komplexních čísel

Více

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled

( 5 ) 6 ( ) 6 ( ) Přijímací řízení ak. r. 2010/11 Kompletní znění testových otázek - matematický přehled řijímcí řízení k. r. / Kompletní znění testových otázek - mtemtický přehled Koš Znění otázky Odpověď ) Odpověď b) Odpověď c) Odpověď d) Správná odpověď. Které číslo doplníte místo otzníku? 8?. Které číslo

Více

GEOMETRIC PROGRAMMING IN EVALUATING OF EXPERIMENTAL DATA GEOMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ PŘI VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ STANOVENÝCH DAT

GEOMETRIC PROGRAMMING IN EVALUATING OF EXPERIMENTAL DATA GEOMETRICKÉ PROGRAMOVÁNÍ PŘI VYHODNOCOVÁNÍ EXPERIMENTÁLNĚ STANOVENÝCH DAT 40. MEZINÁRODNÍ KONFERENCE EXPERIMENTÁLNÍ ANALÝZY NAPĚTÍ 40 th INTERNATIONAL CONFERENCE EXPERIMENTAL STRESS ANALYSIS 3. 6. VI. 2002, PRAHA/PRAGUE, CZECH REPUBLIC GEOMETRIC PROGRAMMING IN EVALUATING OF

Více

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0

Křivkový integrál prvního druhu verze 1.0 Křivkový integrál prvního druhu verze. Úvod Následující text popisuje výpočet křivkového integrálu prvního druhu. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT k příprvě n zkoušku. Mohou se v něm

Více

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA

1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA 1. ÚPRAVY ALGEBRAICKÝCH VÝRAZŮ V REÁLNÉM OBORU 1.1. ZLOMKY A ABSOLUTNÍ HODNOTA V této kpitole se ozvíte: co rozumíme lgebrickým výrzem; jk jsou efinovány zlomky jké záklní operce s nimi prováíme; jk je

Více

4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33

4. Determinanty. Výpočet: a11. a22. a21. a12. = a 11 a 22 a 33 + a 12 a 23 a 31 + a 13 a 21 a 32 a 13 a 22 a 31. a 11 a 23 a 32 a 12 a 21 a 33 . Determinnty Determinnt, znčíme deta, je číslo přiřzené čtvercové mtici A. Je zveden tk, by pro invertibilní mtici byl nenulový pro neinvertibilní mtici byl roven nule. Výpočet: = + = + + - - - + + +

Více

x + F F x F (x, f(x)).

x + F F x F (x, f(x)). I. Funkce dvou více reálných proměnných 8. Implicitně dné funkce. Budeme se zbývt úlohou, kdy funkce není zdná přímo předpisem, který vyjdřuje závislost její hodnoty n hodnotách proměnných. Jeden z možných

Více

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A

Souhrn základních výpočetních postupů v Excelu probíraných v AVT 04-05 listopad 2004. r r. . b = A Souhrn zákldních výpočetních postupů v Ecelu probírných v AVT 04-05 listopd 2004. Řešení soustv lineárních rovnic Soustv lineárních rovnic ve tvru r r A. = b tj. npř. pro 3 rovnice o 3 neznámých 2 3 Hodnoty

Více

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice

1. LINEÁRNÍ ALGEBRA 1.1. Matice Lineární lgebr LINEÁRNÍ LGEBR Mtice Zákldní pojmy Mticí typu m/n nzýváme schém mn prvků, které jsou uspořádány do m řádků n sloupců: n n m/n = = = ( ij ) m m mn V tomto schémtu pro řádky sloupce užíváme

Více

2. Matice a determinanty

2. Matice a determinanty Mtce deterty Defce : Odélíové sche (řádů) (sloupců) čísel zvee tce typu : [ ] M Je-l luvíe o čtvercové tc Prvy ( ) tvoří hlví dgoálu Zčíe ovyle : [ ] O - všechy prvy ulové - ulová tce I - edotová tce (

Více

Základy teorie matic

Základy teorie matic Zákldy teorie mtic 1. Pojem mtice nd číselným tělesem In: Otkr Borůvk (uthor): Zákldy teorie mtic. (Czech). Prh: Acdemi, 1971. pp. 9--12. Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/401328 Terms of use: Akdemie

Více

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1

FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ MATEMATIKA 1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MATEMATIKA 1 Grnt předmětu: Prof. RNDr. Josef DIBLÍK, DrSc. (do 31.8.00) Prof. RNDr. Jn CHVALINA, DrSc. (od 1.9.00) Autoři

Více

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant.

5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. 5. Maticová algebra, typy matic, inverzní matice, determinant. Matice Matice typu m,n je matice složená z n*m (m >= 1, n >= 1) reálných (komplexních) čísel uspořádaných do m řádků a n sloupců: R m,n (resp.

Více

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU

LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 2.ŘÁDU ZDENĚK ŠIBRAVA 1. Obecné řešení lin. dif. rovnice 2.řádu s konstntními koeficienty 1.1. Vrice konstnt. Příkld 1.1. Njděme obecné řešení diferenciální rovnice (1) y

Více

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou

Obr. 1: Optická lavice s příslušenstvím při měření přímou metodou. 2. Určení ohniskové vzdálenosti spojky Besselovou metodou MĚŘENÍ PARAMETRŮ OPTICKÝCH SOUSTAV Zákldním prmetrem kždé zobrzovcí soustvy je především její ohnisková vzdálenost. Existuje několik metod k jejímu určení le téměř všechny jsou ztíženy určitou nepřesností

Více

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY

PRAVIDELNÉ MNOHOSTĚNY PRVIDELNÉ MNOHOĚNY Vlst Chmelíková, Luboš Morvec MFF UK 007 1 Úvod ento text byl vytvořen s cílem inspirovt učitele středních škol k zčlenění témtu prvidelné mnohostěny do hodin mtemtiky, neboť při výuce

Více

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa

Jazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa 2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace

Více

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2.

Komplexní čísla tedy násobíme jako dvojčleny s tím, že použijeme vztah i 2 = 1. = (a 1 + ia 2 )(b 1 ib 2 ) b 2 1 + b2 2. 7 Komplexní čísl 71 Komplexní číslo je uspořádná dvojice reálných čísel Komplexní číslo = 1, ) zprvidl zpisujeme v tzv lgebrickém tvru = 1 + i, kde i je imginární jednotk, pro kterou pltí i = 1 Číslo 1

Více

1.1 Numerické integrování

1.1 Numerické integrování 1.1 Numerické integrování 1.1.1 Úvodní úvhy Nším cílem bude přibližný numerický výpočet určitého integrálu I = f(x)dx. (1.1) Je-li znám k integrovné funkci f primitivní funkce F (F (x) = f(x)), můžeme

Více

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada

(Auto)korelační funkce. 2. 11. 2015 Statistické vyhodnocování exp. dat M. Čada www.fzu.cz/ ~ cada (Auto)korelační funkce 1 Náhodné procesy Korelace mezi náhodnými proměnnými má široké uplatnění v elektrotechnické praxi, kde se snažíme o porovnávání dvou signálů, které by měly být stejné. Příkladem

Více

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia

Konzultace z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studia - - Konzultce z předmětu MATEMATIKA pro první ročník dálkového studi ) Číselné obor ) Zákldní početní operce procentový počet ) Absolutní hodnot reálného čísl ) Intervl množinové operce ) Mocnin ) Odmocnin

Více

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic

8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic 8 REGULÁRNÍ LINEÁRNÍ TRANSFORMACE SOUŘADNIC 8 Věta o Fourierově transformaci funkcí, které lze na sebe transformovat regulární lineární transformací souřadnic Ze zkušenosti s Fraunhoferovými difrakčními

Více

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!!

celek jsme rozdělili na 8 dílů, ale žádný jsme si nevzali celek na nulka dílů rozdělit nelze!!! . Dělení celku zlomek 0 zlomek zlomková čár čittel udává z kolik stejných částí se zlomek skládá ( z ) jmenovtel udává n kolik stejných částí je celek rozdělen () Vlstnosti: Je-li v čitteli zlomku nul

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Goniometrické funkce obecného úhlu

Goniometrické funkce obecného úhlu 0 Goniometrické funkce oecného úhlu V prvoúhlém trojúhelníku ABC jsou definovány funkce,, tg, cotg liovolného úhlu tkto: α α tg α cotg α Význmné hodnoty gon. funkcí 0 0 60 90 α 0 α 0 tg α 0 nedef. cotg

Více

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF

MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ MATEMATIKA K PŘIJÍMACÍM ZKOUŠKÁM NA PEF RNDr. Petr Rádl RNDr. Bohumil Černá RNDr. Ludmil Strá 0 Petr Rádl, 0 ISBN 97-0-77-9- OBSAH Předmluv... Poždvky k přijímcí zkoušce z mtemtiky..

Více

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru

3 Algebraické výrazy. 3.1 Mnohočleny Mnohočleny jsou zvláštním případem výrazů. Mnohočlen (polynom) proměnné je výraz tvaru Algerické výrz V knize přírod může číst jen ten, kdo zná jzk, ve kterém je npsán. Jejím jzkem je mtemtik jejím písmem jsou mtemtické vzorce. (Glileo Glilei) Algerickým výrzem rozumíme zápis, ve kterém

Více

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami.

Matice se v některých publikacích uvádějí v hranatých závorkách, v jiných v kulatých závorkách. My se budeme držet zápisu s kulatými závorkami. Maticové operace Definice Skalár Představme si nějakou množinu, jejíž prvky lze sčítat a násobit. Pěkným vzorem jsou čísla, která už známe od mala. Prvky takové množiny nazýváme skaláry. Matice Matice

Více

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce.

Jsou to rovnice, které obsahují neznámou nebo výraz s neznámou jako argument logaritmické funkce. Logritmické rovnice Jsou to rovnice, které oshují neznámou neo výrz s neznámou jko rgument ritmické funkce. Zákldní rovnice, 0 řešíme pomocí vzthu. Složitější uprvit n f g potom f g (protože ritmická funkce

Více

Seriál XXVII.III Aplikační

Seriál XXVII.III Aplikační Seriál XXVII.III Aplikční Seriál: Aplikční Tento díl seriálu bude tk trochu plikční. Minule jsme si pověděli úvod k vričním metodám ve fyzice, nyní bychom rádi nbyté znlosti plikovli n tři speciální přípdy.

Více

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách

P2 Číselné soustavy, jejich převody a operace v čís. soustavách P Číselné soustvy, jejich převody operce v čís. soustvách. Zobrzení čísl v libovolné číselné soustvě Lidé využívjí ve svém životě pro zápis čísel desítkovou soustvu. V této soustvě máme pro zápis čísel

Více

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman

2002 Katedra obecné elektrotechniky FEI VŠB-TU Ostrava Ing.Stanislav Kocman STEJNOSĚRNÉ STROJE 1. Princip činnosti stejnosměrného stroje 2. Rekce kotvy komutce stejnosměrných strojů 3. Rozdělení stejnosměrných strojů 4. Stejnosměrné generátory 5. Stejnosměrné motory 2002 Ktedr

Více

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A

ČTVERCOVÉ MATICE. Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det(a) značíme determinant čtvercové matice A ČTVERCOVÉ MTICE Čtvercová matice je taková matice, kde počet řádků je roven počtu jejích sloupců. det() značíme determinant čtvercové matice Regulární matice hodnost je rovna jejímu řádu determinant je

Více

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1

Přehled základních vzorců pro Matematiku 2 1 Přehled zákldních vzorců pro Mtemtiku 1 1. Limity funkcí definice Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, δ > 0 tk, že pro : ( δ, δ), pltí f() ( ɛ, ɛ) Vlstní it v bodě = : f() = ɛ > 0, c > 0 tk, že pro : > c,

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU 3. přednášk Vektorová lger Prvoúhlé souřdnice odu v prostoru Poloh odu v prostoru je vzhledem ke třem osám k soě kolmým určen třemi souřdnicemi, které tvoří uspořádnou trojici

Více

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze Osnova přednášky na 31 kolokviu Krystalografické společnosti Výpočetní metody v rtg a neutronové strukturní analýze Nové Hrady, 16 20 6 2003 Fourierovské metody v teorii difrakce a ve strukturní analýze

Více

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ]

2.1 - ( ) ( ) (020201) [ ] [ ] - FUNKCE A ROVNICE Následující zákldní znlosti je nezbytně nutné umět od okmžiku probrání ž do konce studi mtemtiky n gymnáziu. Vyždováno bude porozumění schopnost plikovt ne pouze mechnicky zopkovt. Některé

Více

25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE

25. KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE 5 KONFERENCE O GEOMETRII A POČÍTAČOVÉ GRAFICE KRITÉRIA TĚTIVOVÉHO ČTYŘÚHELNÍKU Abstrkt Konvení čtřúhelník ABCD je tětivový právě tehd kdž pltí AB CD BC AD AC BD ptolemiovské kritérium Jiná s touto větou

Více

( s) ( ) ( ) ( ) Stabilizace systému pomocí PID regulátoru. Řešený příklad: Zadání: Uvažujme řízený systém daný přenosovou funkcí

( s) ( ) ( ) ( ) Stabilizace systému pomocí PID regulátoru. Řešený příklad: Zadání: Uvažujme řízený systém daný přenosovou funkcí tbilizce ytému pomocí regulátoru Řešený příld: Zdání: Uvžujme řízený ytém dný přenoovou funcí ) ožte, že je ytém netbilní. ) Nvrhněte dnému ytému regulátor, terý bude ytém tbilizovt. ) Úpěšnot vého nárhu

Více

f k nazýváme funkční řadou v M.

f k nazýváme funkční řadou v M. 6. Funční řdy posloupnosti. Bodová stejnoměrná onvergence. Nechť pro N jsou f omplení či reálné funce omplení či reálné proměnné, teré mjí společný definiční obor M. Posloupnost {f ; N} nzýváme funční

Více

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D

M - Příprava na 3. zápočtový test pro třídu 2D M - Příprv n. ápočtový test pro třídu D Autor: Mgr. Jromír JUŘEK Kopírování jkékoliv dlší využití výukového mteriálu je povoleno poue s uvedením odku n www.jrjurek.c. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně

Více

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819

c 2 b 2 a 2 2.8.20 Důkazy Pythagorovy věty Předpoklady: 020819 .8.0 Důkzy Pythgorovy věty Předpokldy: 00819 Pedgogická poznámk: V řešení kždého příkldu jsou uvedeny rdy, které dávám postupně žákům, bych jim pomohl. Pedgogická poznámk: Diskuse o následujícím příkldu

Více

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN

CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Rovnováha, Síly na rovinné stěny CVIČENÍ č. 3 STATIKA TEKUTIN Příklad č. 1: Nákladní automobil s cisternou ve tvaru kvádru o rozměrech H x L x B se pohybuje přímočarým pohybem po nakloněné rovině se zrychlením

Více

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1.

1. Alternativní rozdělení A(p) (Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy. p(0) = P (X = 0) = 1 p, p(1) = P (X = 1) = p, 0 < p < 1. 2. Některá důležitá rozdělení Diskrétní rozdělení. Alternativní rozdělení Ap) Bernoulli) je diskrétní rozdělení, kdy náhodná veličina X nabývá pouze dvou hodnot a a pro její pravděpodobnostní funkci platí:

Více

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M

1 i= VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ. OTAKAR TRNKA a MILOSLAV HARTMAN. i M Chem. Listy, 55 53 (7) VLIV ZMĚN FYZIKÁLNÍCH PARAMETRŮ FLUIDNÍCH VRSTEV NA CHARAKTERISTIKY TLAKOVÝCH FLUKTUACÍ OTAKAR TRNKA MILOSLAV HARTMAN Ústv chemických procesů, AV ČR, Rozvojová 35, 65 Prh 6 trnk@icpf.cs.cz

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem

Příklad 22 : Kapacita a rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Příkld 22 : Kpcit rozložení intenzity elektrického pole v deskovém kondenzátoru s jednoduchým dielektrikem Předpokládné znlosti: Elektrické pole mezi dvěm nbitými rovinmi Příkld 2 Kpcit kondenzátoru je

Více

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y)

II. INTEGRÁL V R n. Obr. 9.1 Obr. 9.2 Integrál v R 2. z = f(x, y) . NTEGRÁL V R n Úvod Určitý integrál v intervlu, b Pro funki f :, b R jsme definovli určitý integrál jko číslo, jehož hodnot je obshem obrze znázorněného n obrázíh. Pro funki f : R n R budeme zvádět integrál

Více

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné

je parciální derivace funkce f v bodě a podle druhé proměnné (obvykle říkáme proměnné 1. Prciální derivce funkce více proměnných. Prciální derivce funkce dvou proměnných. Je-li funkce f f(, ) definován v množině D f R 2 bod ( 1, 2 ) je vnitřním bodem množin D f, pk funkce g 1 (t) f(t, 2

Více

matematika vás má it naupravidl

matematika vás má it naupravidl VÝZNAM Algebrický výrz se zvádí intuitivn bez p esn ího vmezení v kolizi s názv dvoj len, troj len, mnoho len. Stále se udr uje fle ná p edstv, e ísl ozn ují mno ství, e jsou zobecn ním vnímné skute nosti.

Více

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na

R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na Mtemtik II. Určitý integrál.1. Pojem Riemnnov určitého integrálu Definice.1.1. Říkáme, že funkce f( x ) je n intervlu integrovtelná (schopná integrce), je-li n něm ohrničená spoň po částech spojitá.

Více

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1

JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p

Více

13. Exponenciální a logaritmická funkce

13. Exponenciální a logaritmická funkce @11 1. Eponenciální logritmická funkce Mocninná funkce je pro r libovolné nenulové reálné číslo dán předpisem f: y = r, r R, >0 Eponent r je konstnt je nezávisle proměnná. Definičním oborem jsou pouze

Více

Matematika II: Testy

Matematika II: Testy Mtemtik II: Testy Petr Schreiberová Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzit Ostrv Mtemtik II - testy 69. Řy 9 - Test Ktedr mtemtiky deskriptivní geometrie, VŠB - Technická univerzit

Více

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy

4.2. Lineární rovnice s jednou neznámou, její řešení a ekvivalentní úpravy 4. Lineární rovnice 8. ročník 4. Lineární rovnice 4.. Rovnost. Vlstnosti rovnosti. Rovnost v ritmetice vzth mezi dvěm číselnými výrzy Př. 4 + 8 = 0 + Skládá se z : levé strny rovnosti prvé strny rovnosti

Více

26. listopadu a 10.prosince 2016

26. listopadu a 10.prosince 2016 Integrální počet Přednášk 4 5 26. listopdu 10.prosince 2016 Obsh 1 Neurčitý integrál Tbulkové integrály Substituční metod Metod per-prtes 2 Určitý integrál Geometrické plikce Fyzikální plikce K čemu integrální

Více

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby:

Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: .. Substituční metod pro určité integrály.. Substituční metod pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Zákldní typy integrálů, které lze touto

Více

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru

3.2 Rovnice postupné vlny v bodové řadě a v prostoru 3 Vlny 3.1 Úvod Vlnění můžeme pozorovat například na vodní hladině, hodíme-li do vody kámen. Mechanické vlnění je děj, při kterém se kmitání šíří látkovým prostředím. To znamená, že například zvuk, který

Více

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA

Zavedení a vlastnosti reálných čísel PŘIROZENÁ, CELÁ A RACIONÁLNÍ ČÍSLA Zvedení vlstnosti reálných čísel Reálná čísl jsou zákldním kmenem mtemtické nlýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní mtemtické nlýzy, le množin reálných čísel R je pro mtemtickou nlýzu zákldním

Více

Sada 2 - MS Office, Excel

Sada 2 - MS Office, Excel S třední škol stvební Jihlv Sd 2 - MS Office, Excel 11. Excel 2007. Mtice, determinnty, soustvy lineárních rovnic Digitální učební mteriál projektu: SŠS Jihlv šblony registrční číslo projektu:cz.1.09/1.5.00/34.0284

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

Matematická statistika

Matematická statistika Matematická statistika Daniel Husek Gymnázium Rožnov pod Radhoštěm, 8. A8 Dne 12. 12. 2010 v Rožnově pod Radhoštěm Osnova Strana 1) Úvod 3 2) Historie matematické statistiky 4 3) Základní pojmy matematické

Více

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál

7. Integrální počet Primitivní funkce, Neurčitý integrál 7. Integrální počet 7.. Primitivní funkce, Neurčitý integrál Definice 7. Říkáme, že F (x) je v intervlu (, b) (přitom může být tké =, b = + ) primitivní funkcí k finkci f(x), jestliže pro všechn x (, b)

Více

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem

2. Funkční řady Studijní text. V předcházející kapitole jsme uvažovali řady, jejichž členy byla reálná čísla. Nyní se budeme zabývat studiem 2. Funkční řd Studijní text 2. Funkční řd V předcházející kpitole jsme uvžovli řd, jejichž člen bl reálná čísl. Nní se budeme zbývt studiem obecnějšího přípdu, kd člen řd tvoří reálné funkce. Definice

Více

STROJNÍ A ZÁMEČNICKÉ SVĚRÁKY MACHINE AND BENCH VISES

STROJNÍ A ZÁMEČNICKÉ SVĚRÁKY MACHINE AND BENCH VISES TROJNÍ ZÁMEČNICKÉ VĚRÁKY TROJNÍ MCINE ND ZÁMEČNICKÉ BENC VIE VĚRÁKY MCINE ND BENC VIE 147 TROJNÍ ZÁMEČNICKÉ VĚRÁKY BION-BI vyrábí široý sortiment strojníc, přesnýc, brusičsýc zámečnicýc svěráů Všecny

Více

2 Spojité modely rozhodování

2 Spojité modely rozhodování 2 Spojité modely rozhodování Jak již víme z přednášky, diskrétní model rozhodování lze zapsat ve tvaru úlohy hodnocení variant: f(a i ) max, a i A = {a 1, a 2,... a p }, kde f je kriteriální funkce a A

Více

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5.

je jedna z orientací určena jeho parametrizací. Je to ta, pro kterou je počátečním bodem bod ϕ(a). Im k.b.(c ) ( C ) (C ) Obr Obr. 3.5. 10. Komplexní funkce reálné proměnné. Křivky. Je-li f : (, b) C, pk lze funkci f povžovt z dvojici (u, v), kde u = Re f v = Im f. Rozdíl proti vektorovému poli je v tom, že jsou pro komplexní čísl definovány

Více

Euklidovský prostor Stručnější verze

Euklidovský prostor Stručnější verze [1] Euklidovský prostor Stručnější verze definice Eulidovského prostoru kartézský souřadnicový systém vektorový součin v E 3 vlastnosti přímek a rovin v E 3 a) eprostor-v2, 16, b) P. Olšák, FEL ČVUT, c)

Více

Matematické metody v kartografii

Matematické metody v kartografii Mtemtické metody v krtogrfii. Přednášk Referenční elipsoid zákldní vzthy. Poloměry křivosti. Délky poledníkového rovnoběžkového oblouku. 1. Zákldní vzthy n rotčním elipoidu Rotční elipsoid dán následujícími

Více

6. T e s t o v á n í h y p o t é z

6. T e s t o v á n í h y p o t é z 6. T e s t o v á n í h y p o t é z Na základě hodnot z realizace náhodného výběru činíme rozhodnutí o platnosti hypotézy o hodnotách parametrů rozdělení nebo o jeho vlastnostech. Používáme k tomu vhodně

Více

17 Křivky v rovině a prostoru

17 Křivky v rovině a prostoru 17 Křivky v rovině prostoru Definice 17.1 (rovinné křivky souvisejících pojmů). 1. Nechť F (t) [ϕ(t), ψ(t)] je 2-funkce spojitá n, b. Rovinnou křivkou nzveme množinu : {F (t) : t, b } R 2. 2-funkce F [ϕ,

Více

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry

Měřicí a řídicí technika Bakalářské studium 2007/2008. odezva. odhad chování procesu. formální matematický vztah s neznámými parametry MODELOVÁNÍ základní pojmy a postupy principy vytváření deterministických matematických modelů vybrané základní vztahy používané při vytváření matematických modelů ukázkové příklady Základní pojmy matematický

Více

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008

Lineární algebra II. Adam Liška. 9. února 2015. Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak. rok 2007/2008 Lineární algebra II Zápisky z přednášek Jiřího Fialy na MFF UK, letní semestr, ak rok 2007/2008 Adam Liška 9 února 2015 http://kammffcunicz/~fiala http://wwwadliskacom 1 Obsah 10 Permutace 3 11 Determinant

Více

Hlavní body - magnetismus

Hlavní body - magnetismus Mgnetismus Hlvní body - mgnetismus Projevy mgt. pole Zdroje mgnetického pole Zákldní veličiny popisující mgt. pole Mgnetické pole proudovodiče - Biotův Svrtův zákon Mgnetické vlstnosti látek Projevy mgnetického

Více

17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda

17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda 17 KONEČNÁ KRYSTALOVÁ MŘÍŽKA, MŘÍŽKOVÁ A TVAROVÁ AMPLITUDA 1 17 Konečná krystalová mřížka a její Fourierova transformace. Mřížková a tvarová amplituda Konečnou mřížku f x) pravidelně rozmístěný motiv f

Více

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod...

Prostorové nároky... 35. Zatížení... 37 Velikost zatížení... 37 Směr zatížení... 37. Nesouosost... 40. Přesnost... 40. Otáčky... 42. Tichý chod... Vol typu ložisk Prostorové nároky... 35 Ztížení... 37 Velikost ztížení... 37 Směr ztížení... 37 Nesouosost... 40 Přesnost... 40 Otáčky... 42 Tichý chod... 42 Tuhost... 42 Axiální posuvnost... 43 Montáž

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota y závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí y = f(x).

Více

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech.

Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Kapitola 9 Skalární součin Skalární součin je nástroj, jak měřit velikost vektorů a úhly mezi vektory v reálných a komplexních vektorových prostorech. Definice 9.1 Je-li x = (x 1,..., x n ) T R n 1 reálný

Více

Základy zpracování obrazů

Základy zpracování obrazů Základy zpracování obrazů Martin Bruchanov BruXy bruxy@regnet.cz http://bruxy.regnet.cz 23. března 29 1 Jasové korekce........................................................... 1 1.1 Histogram........................................................

Více

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky.

( ) 2 2 2 ( ) 3 3 2 2 3. Výrazy Výraz je druh matematického zápisu, který obsahuje konstanty, proměnné, symboly matematických operací, závorky. Výrzy Výrz je druh mtemtického zápisu, který obshuje konstnty, proměnné, symboly mtemtických opercí, závorky. Příkldy výrzů: + výrz obshuje pouze konstnty číselný výrz x výrz obshuje konstntu ( proměnnou

Více

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y

9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n y 9. T r a n s f o r m a c e n á h o d n é v e l i č i n Při popisu procesů zpracováváme vstupní údaj, hodnotu x tak, že výstupní hodnota závisí nějakým způsobem na vstupní, je její funkcí = f(x). Pokud

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN

ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN ZÁKLADY KRYSTALOGRAFIE KOVŮ A SLITIN pevné látky jsou chrkterizovány omezeným pohybem zákldních stvebních částic (tomů, iontů, molekul) kolem rovnovážných poloh PEVNÉ LÁTKY krystlické morfní KRYSTAL pevné

Více

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení.

Půjdu do kina Bude pršet Zajímavý film. Jedině poslední řádek tabulky vyhovuje splnění podmínky úvodního tvrzení. 4. Booleov lger Booleov lger yl nvržen v polovině 9. století mtemtikem Georgem Boolem, tehdy nikoliv k návrhu digitálníh ovodů, nýrž jko mtemtikou disiplínu k formuli logikého myšlení. Jko příkld použijeme

Více

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text

Západočeská univerzita v Plzni. Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky. Geometrie pro FST 1. Pomocný učební text Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky Geometrie pro FST 1 Pomocný učební text František Ježek, Marta Míková, Světlana Tomiczková Plzeň 29. srpna 2005 verze 1.0 Předmluva

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich Dlouhý,

Více

Regresní a korelační analýza

Regresní a korelační analýza Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Regresní analýza Cíl regresní analýzy: stanovení formy (trendu, tvaru, průběhu)

Více

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS )

Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) LINEÁRNÍ ALGEBRA Úvod vektor Skalár- veličina určená jedním číselným údajem čas, hmotnost (porovnej životní úroveň, hospodaření firmy, naše poloha podle GPS ) Kartézský souřadnicový systém -je taková soustava

Více

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz

Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat. Úvod. Róbert Lórencz. http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování dat Róbert Lórencz 1. přednáška Úvod http://service.felk.cvut.cz/courses/y36bez lorencz@fel.cvut.cz Róbert Lórencz (ČVUT FEL, 2007) Y36BEZ Bezpečnost přenosu a zpracování

Více

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál

VIII. Primitivní funkce a Riemannův integrál VIII. Primitivní funkce Riemnnův integrál VIII.2. Riemnnův integrál opkování Vět. Nechť f je spojitá funkce n intervlu, b nechť c, b. Oznčíme-li F (x) = x (, b), pk F (x) = f(x) pro kždé x (, b). VIII.3.

Více

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c ) INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ ) Pojem neurčitého integrálu Je dán funkce Pltí všk tké F tk, y pltilo F ( ) f ( ) Zřejmě F ( ), protože pltí, 5,, oecně c, kde c je liovolná kon- stnt f ( ) nším

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

I. termodynamický zákon

I. termodynamický zákon řednášk 4 I. termodynmický zákon I. termodynmický zákon jkožto nejobecnější zákon zchování energie je jedním ze zákldních stvebních kmenů termodynmiky. této přednášce zopkujeme znění tohoto zákon n jeho

Více

Matematické symboly a značky

Matematické symboly a značky Matematické symboly a značky Z Wikipedie, otevřené encyklopedie Matematický symbol je libovolný znak, používaný v. Může to být znaménko pro označení operace s množinami, jejich prvky, čísly či jinými objekty,

Více