MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS
|
|
- Nikola Horáková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 58 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" MODELOVÁNÍ VLASTNOSTI BEZKARDANOVÝCH INERCIÁLNÍCH NAVIGAČNÍCH SYSTÉMU MODELLING OF THE FEATURES OF STRAPDOWN INERTIAL NAVIGATION SYSTEMS Jan ČIŽMÁR * Abstract: The paper deals with the simple modelling and simulation of strapdown inertial navigation sstems. Attention is focused on comparison of computation methods of attitude and heading angles from the point of view of their precision, under conditions of conical motion. Kewords: inertial navigation, direction cosine, quaternion, Euler 1 ÚVOD Inerciální navigace dnes patří k nejrošířenějším navigačním metodám a jednou jejích nejvýnamnějších předností je autonomnost. Princip inerciální navigace spočívá v měření signálu složek rchlení pohbu dopravního prostředku v prostoru pomocí akcelerometrů a v jeho následném dvojitém časovém integrování, čímž se ískávají signál vektoru trajektorie. Tento princip můžeme popsat diferenciální rovnicí: kde načí: t t ( a g) dt + v0 s0 s t = t t +, (1) s t a t. v 0 s 0 g - okamžitou hodnotu měřeného vektoru trajektorie pohbu, - okamžitou hodnotu měřeného vektoru rchlení, - počáteční rchlost pohbu, - počáteční hodnotu trajektorie, - vektor tíhového rchlení. Vektor tíhového rchlení g představuje rušivý signál, který musí být odfiltrován od užitečného signálu pohbového rchlení a t. Obráek 1 Struktura bekardanového INS Jednou možností je použití filtru v podobě stabiliované ákladn, jejíž rovina je udržována v poloe kolmé na místní vertikálu, ted i kolmo na vektor tíhového rchlení g. * Ing., CSc., Brno, Souběžná 35, PSČ: 63600, Česko, tel.: , jan.cimar@unob.c
2 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 59 Takovou ákladnu je možné realiovat mechanick, jak je tomu u kardanových INS, či analtick počítačovým modelem fiktivní ákladn běžícím v reálné čase, což je případ bekardanových INS (BINS, anglick Strapdown INS). Současný technologický standard BINS představuje sstém s laserovými snímači úhlových rchlostí reonátorového tpu. Přesnost tohoto tpu INS je charakteriována údajem 0,8 NM/h (cca 1,5 km/h). Soudobé BINS obvkle spolupracují se sstémem přijímače družicového navigačního sstému GPS, se kterým bývá integrován v jediný kompaktní celek. Výnamnou vlastností inerciálních navigačních sstémů je, že kromě eměpisných souřadnic posktují řadu dalších informací, důležitých pro říení letu letadla. Jedná se především o polohové úhl náklon, sklon a kur a dále také o úhlové rchlosti a lineární rchlení. V současnosti rchle se rovíjející mikrotechnologie přinášejí výsledk v podobě řad komerčně dostupných, velmi levných a relativně přesných miniaturních senorů, nichž některé, např. akcelerometr, vibrační groskop, tlakoměr, magnetometr apod., jsou vhodné pro použití v inerciální navigaci. Roměrové i hmotnostní menšení přitom přesahuje běžně dva až tři řád. To otevřelo novou oblast miniaturních inerciálních sstémů aplikovatelných v navigačních soustavách širokého spektra robotů, miniaturních bepilotních létajících prostředků, popř. v nejrůnějších střelách i minimální ráže. 2 MODEL BEZKARDANOVÉ INERCIÁLNÍ MĚŘICÍ JEDNOTKY Na našem pracovišti je ve spolupráci s firmou OPROX Brno vvíjena inerciální měřicí jednotka na bái senorů úhlových rchlostí, akcelerometrů a magnetometrů, vráběných technologií MEMS, pro použití v robotech, bepilotních létajících prostředcích a ultralehkých letadlech. Její struktura je řejmá obráku 2. Obráek 2 Blokové schéma inerciální měřicí jednotk Hlavním měřicím kanálem je kanál senorů úhlových rchlostí, jejichž signál je integrován pomocí speciálního algoritmu v bloku výpočtu polohových úhlů. Protože spolu s užitečným signálem je integrován i signál rušivý, bude přesnost měření polohových úhlů s časem klesat. Proto je hlavní měřicí kanál doplněn o kanál korekční, ted o kanál akcelerometrů a magnetometrů. Pro měření úhlových rchlostí bl vbrán tři jednoosé vibrační senor úhlové rchlosti (tv. vibrační groskop) firm Analog Devices ADXR300. Jako senor rchlení bl volen dva dvouosé lineární akcelerometr od téže firm ADXL202 s rosahem +/- 2g. Jako senor
3 60 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" magnetického kuru jsou použit magnetometr firm Philips, dvouosý KMZ52 a jednoosý KMZ51. Inerciální měřicí jednotka měří úhl natočení letadla (či jiného dopravního prostředku) v emské souřadnicové soustavě (ZSS), přičemž její senor mají citlivé os orientován do os letadlové souřadnicové soustav (LSS). Základ teorie výpočtu polohových úhlů v emské souřadnicové soustavě (ZSS), ted sklonu ϑ, náklonu γ a kursu ψ, na ákladě úhlových rchlostí měřených v letadlové souřadnicové soustavě, tj. ω, ω, ω, položil Leonhard Euler. Dokáal, že obecnou rotaci le roložit na tři postupná natočení x kolem tří růných os. Tuto skutečnost le popsat pro Eulerov-Krlovov úhl následujícími vtah: & γ = ω + ( ω sinγ + ω cosγ ) & ϑ = ω cosγ ω sinγ, ψ& = x ( ω sinγ + ω cosγ ) secϑ. tgϑ, Tto diferenciální rovnice jsou však nelineární, jejich výpočet v reálném čase v BINS je neefektivní a navíc pro určité úhl nastávají nestabilit v řešení, naývané Cardanův ámek ( Cardan s Lock ). Vhodnější a v BINS frekventovanější je užití metod směrových kosinů. Matice směrových kosinů umožňuje transformovat vektor jedné souřadnicové soustav do druhé vhledem k první pootočené. Jednotlivé polohové úhl pak le snadno vpočítat prvků matice C. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS, na ákladě měření úhlových rchlostí v LSS, le odvodit diferenciální rovnici: ) C& = C Ω, (3) kde Ω ) je kososmetrická matice úhlových rchlostí. V každém cklu jsou měřen úhlové rchlosti ω, ω, ω, proběhne výpočet podle vtahu 3 a ískaná matice C je pak vužita pro transformaci měřených složek vektoru rchlení LSS do ZSS, které jsou pak mikroprocesorovým sstémem BINS dále pracováván: a ZSS = C a LSS (4) Počítačové řešení Eulerov úloh metodou směrových kosinů je efektivnější než řešení původních Eulerových diferenciálních rovnic, avšak příslušný algoritmus je ještě příliš strojově náročný. Teoretický áklad nejefektivnější, nejrchlejší a nejrošířenější metod řešící Eulerovu úlohu položil irský matematik sir William Rowan Hamilton objevem součinu kvaternionů. Na kvaternion můžeme pohlížet jako na vektor či jako na hperkomplexní čísla. Kvaternion má jednu reálnou část a tři části imaginární s imaginárními jednotkami i, j, k a můžeme jej apsat ve tvaru: q = q0 + q1 i + q2 j + q3 k = q0 + q v. (5) První člen kvaternionu onačujeme a skalární část a bývající člen představují část vektorovou. Pro vtah mei imaginárními jednotkami kvaternionu platí: i = j k, i = k j, j = k i, j = i k, k = i j, k = j i. (6) Součin dvou kvaternionů a a b, objevený Hamiltonem, je pak dán vtahem: o b = ( a + a i + a j + a k) ( b + b i + b j + b k) a = (7) = a0 b0 av bv + a0 bv + b0 av + av bv Kvaternion podobně jako matice směrových kosinů umožňují transformovat třídimenionální vektor (v případě BINS vektor rchlení a) jedné souřadnicové soustav do druhé, vhledem k první pootočené (a LSS a ZSS ): a q o a o q ~ ZSS = LSS, (8) kde q ~ je kvaternion komplexně sdružený ke kvaternionu q. Struktura rotačního kvaternionu q je: x (2)
4 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 61 Θ Θ q = cos,sin e, (9) 2 2 kde Θ je úhel natočení a e jednotkový vektor představující osu rotace. Pro výpočet polohových úhlů v ZSS na ákladě měření úhlových rchlostí v LSS le odvodit diferenciální rovnici, podobnou rovnici 3, ve tvaru: 1 ) q& = q o Ω. (10) 2 Obráek 3 Blokové schéma modelu Pro ověření vlivu jednotlivých metod výpočtu polohových úhlů, metod numerické integrace a vlastností senorů bl vtvořen model v programovacím prostředí MATLAB (vi obráek 3). Jako budicí signál bl vat kuželový pohb okolo místní vertikál, neboť matematický popis jeho úhlové trajektorie je jednoduchý a odpovídá i standardním laboratorním provoním testům klasických groskopických vertikál. Kuželový pohb je popsán vtah: ψ = 0, t ϑ = A cos k 2 π T, t k tgγ 0 γ = 0 Ak sin 2 π a γ = arctg, (11) Tk cosϑ kde A k je amplituda kuželového pohbu, T k jeho perioda a γ 0 úhel natočení kolem os X letadla při ϑ = 0. Této úhlové trajektorii v ZSS snadno určíme první a druhé derivace, ted úhlové rchlosti a úhlová rchlení v ZSS. Úhlové rchlosti & γ, & ϑ, ψ& a rchlení & γ, && ϑ, & ψ jsou pak transformován do LSS, kde představují vstupní signál modelu inerciální měřicí jednotk. Následně jsou tto signál veden do modelu inerciální měřicí jednotk odpovídajícímu struktuře náorněné na obráku 2. Pomocí výše popsaných metod aplikovaných v tomto modelu jsou
5 62 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" opět vpočten polohové úhl letadla v emské souřadnicové soustavě. Chbu výpočtu pak představuje rodíl mei adávanými a vpočítanými hodnotami těchto polohových úhlů. Průběh adávaných a vpočtených signálů i jejich rodíl je grafick náorňován. Dále je vpočtena směrodatná odchlka chb měření jednotlivých polohových úhlů. Model umožňuje implementovat přenosové funkce senorů, atěžovat vstupní signál stochastickými signál představujícími šum měření, volit metodu výpočtu a numerické integrace (obdélníková, Rungeho-Kutt 4. řádu a Simpsonova), volit esílení korekčních signálů a volit amplitudu, periodu kuželového pohbu, vdálenost umístění senorů od vrcholu kužele a délku kroku výpočtu. Na obráku 4 jsou grafické výsledk 60s simulace výpočtu polohových úhlů a kuželového pohbu kolem místní vertikál o amplitudě 0,5 rad a periodě 10 s, při kroku výpočtu 0,01 s. Celková hodnota jednotlivých chb výpočtu sklonu, náklonu a kursu je vjádřena výpočtem směrodatných odchlek těchto chb.
6 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" 63 Obráek 4 Výsledk simulace
7 64 Proceedings of the Conference "Modern Safet Technologies in Transportation - MOSATT 2005" Obráek 5 Model BINS Pro analýu vlastností BINS bl vtvořen jednoduchý model v prostředí MATLAB - SIMULINK repreentující jednu horiontální osu. Model rchlení je vtvořen složením tří skoků a postupnou integrací je ískána rchlost a trajektorie. Signál rchlení a úhlové rchlosti natáčení místní vertikál při pohbu kolem Země jsou přiváděn do modelu BINS, ted do bloků představujících akcelerometr a snímač úhlové rchlosti. Do akcelerometru je současně přiváděn signál průmětu tíhového rchlení. Dvojitou integrací signálu výstupu akcelerometru je ískávána trajektorie, která je porovnávána se adávanou trajektorií. Rodíl představuje chbu měření trajektorie, které je průběžně charakteriována směrodatnou odchlkou. 3 ZÁVĚR Preentované model jsou vhodné pro rchlé orientační analý ákladních vlastností inerciálních měřicích sstémů a jejich komponent a je možné je snadno dále rovíjet. Vhledem k dobrým vlastnostem programovacího prostředí MATLAB a MATLAB - SIMULINK je možné model velmi snadno modifikovat. Simulace inerciálních sstémů pomocí preentovaných modelů je snadná a transparentní a je používána nejen při vývoji inerciální měřicí jednotk, ale je ačleněna do běžného výukového laboratorního aměstnání. O aktuálnosti vtahů inerciální technologie a MEMS svědčí velké množství internetových publikací. LITERATURA 1. Farrell, J., Barth, M.: The Global Positioning Sstem and Inertial Navigation, ISBN X, Chatfield, A., B.: Fundamentals of High Accurac Inertial Navigation, Progress in Astronautics and Aeronautics USA, American Institute of Aeronautics and Astronautics ISBN: Recenent: doc. Ing. Rudolf Jalovecký, CSc., Univerita obran, Kounicova 65, Brno, Česko, phone: , rudolf.jaloveck@unob.c
SOUČASNOST A BUDOUCNOST INERCIÁLNÍCH MEMS SENZORŮ
SOUČASNOST A BUDOUCNOST INERCIÁLNÍCH MEMS SENZORŮ Abstrakt: Jan Čižmár Univerzita obrany, Kounicova 65, 662 10 Brno jan.cizmar@unob.cz Nejrůznější mikro-elektro-mechanické (mikrosystémové) senzory jsou
Víceω JY je moment setrvačnosti k ose otáčení y
ZÁKLADNÍ USPOŘÁDÁNÍ MECHANICKÝCH GYROSKOPŮ POUŽITÝCH NA LETADLE 3 2 1 ω 3 2 1 ω 3 ω Kardanův ávěs ω a) 4 Groskop se dvěma stupni volnosti 3 b) Groskop se třemi stupni volnosti Groskop se otáčí úhlovou
VíceSEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ. Tomáš Jílek
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ Tomáš Jílek Sebelokalizace Autonomní určení pozice a orientace robotu ve zvoleném souřadnicovém systému Souřadnicové systémy Globální / lokální WGS-84, ETRS-89 globální
VíceZÁKLADNÍ PARAMETRY GYROSKOPU
ZÁKLADNÍ PARAMETRY GYROSKOPU v Vektor obvodové rchlosti Moment hbnosti r Hlavní osa otáčení Vektor úhlové rchlosti SLEDOVÁNÍ OTÁČENÍ ZEMĚKOULE POMOCÍ GYROSKOPU t hlavní osa t = 0 rovník Groskop je na rovníku,
VíceVliv konfigurace obráběcího stroje na jeho prostorovou geometrickou přesnost
Vliv konfigurace obráběcího stroje na jeho prostorovou geometrickou přesnost Ing Martin Morávek Vedoucí práce: oc Ing avel Bach CSc bstrakt Úkolem této práce je sestavit sstém výpočtových rovnic pro charakteriování
Více6.1 Shrnutí základních poznatků
6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice
Vícel, l 2, l 3, l 4, ω 21 = konst. Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj. analyticky
Kinematické řešení čtyřkloubového mechanismu Dáno: Cíl: l, l, l 3, l, ω 1 konst Proved te kinematické řešení zadaného čtyřkloubového mechanismu, tj analyticky určete úhlovou rychlost ω 1 a úhlové zrychlení
Vícei β i α ERP struktury s asynchronními motory
1. Regulace otáček asynchronního motoru - vektorové řízení Oproti skalárnímu řízení zabezpečuje vektorové řízení vysokou přesnost a dynamiku veličin v ustálených i přechodných stavech. Jeho princip vychází
VíceÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ
ÚVOD DO MODELOVÁNÍ V MECHANICE Přednáška č. 3 DYNAMIKA ROTUJÍCÍCH SYSTÉMŮ Prof. Ing. Vladimír Zeman, DrSc. OBSAH 1. Úvod. Základní výpočtový model v rotujícím prostoru 3. Základní výpočtový model rotoru
VíceAnalytická geometrie lineárních útvarů
) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod
Více1.1 Steinerovy věty. lineární momenty a momenty kvadratické. Zajímat nás budou nyní osové kvadratické. v ohybu. Jejich definice je
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ PRUŽNOST A PEVNOST I Řešené příklad Výpočet osových kvadratických momentů Pátek, 9. května 8 Jan Tihlařík 1 Osové kvadratické moment průřeů
VíceRovinná a prostorová napjatost
Rovinná a prostorová napjatost Vdělme v bodě tělesa elementární hranolek o hranách d, d, d Vnitřní síl ve stěnách hranolku se projeví jako napětí na příslušné ploše a le je roložit do směrů souřadnicových
VíceMechanika
Mechanika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 Mechanika Kinematika 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
VíceFyzika I mechanika. Rozdělení fyziky podle jednotlivých oborů, tj. podle jevů, které zkoumá:
Fika I mechanika Úvod Základní fikální pojm Fika (fsis je řeck příroda) bla původně vědou o přírodě, ted souhrnem všech přírodních věd, které se s postupem dějin osamostatnil. Fika si však achovává ústřední
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
VíceSemestrální Projekt 1 Měření rychlosti projíždějících vozidel za použití jedné kalibrované kamery
1 Semestrální Projekt 1 Měření rchlosti projíždějících voidel a použití jedné kalibrované kamer (version reprint 2005) Jaromír Brambor 17.5.2000 2 1. ÚVOD Tento semestrální projekt se abývá měřením rchlosti
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi
VíceMechatronické systémy struktury s asynchronními motory
1. Regulace otáček asynchronního motoru skalární řízení Skalární řízení postačuje pro dynamicky nenáročné pohony, které často pracují v ustáleném stavu. Je založeno na dvou předpokladech: a) motor je popsán
VíceBody, vektory, geometrie, algebra
Bod, vektor, geometrie, algebra a A b v B Bod a vektor v geometrii a algebře Pojem bod v geometrii považuji a dostatečně námý a protože jeho definice není matematick snadná, nebudu ho definovat. Jen chci
VíceModelování a simulace Lukáš Otte
Modelování a simulace 2013 Lukáš Otte Význam, účel a výhody MaS Simulační modely jsou nezbytné pro: oblast vědy a výzkumu (základní i aplikovaný výzkum) analýzy složitých dyn. systémů a tech. procesů oblast
VíceDiplomová práce. Plně aktivní podvozek automobilu. Pavel Mašita
Diplomová práce Plně aktivní podvoek automobilu Pavel Mašita Obsah Úvod Cíle práce Koncepce říení Rovinný model Prostorový model Říení Návrh trajektorie Experiment, vhodnocení Závěr Úvod Vývoj technik
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
VíceSouřadnicové výpočty. Geodézie Přednáška
Souřadnicové výpočt Geodézie Přednáška Souřadnicové výpočt strana 2 Souřadnicové výpočt (souřadnicová geometrie) vchází z analtické geometrie zkoumá geometrické tvar pomocí algebraických a analtických
VíceŘešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.
E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem
VíceMĚŘENÍ VELIČIN POHYBU V APLIKACÍCH MOBILNÍ ROBOTIKY
Centrum pro rozvoj výzkumu pokročilých řídicích a senzorických technologií MĚŘENÍ VELIČIN POHYBU V APLIKACÍCH MOBILNÍ ROBOTIKY Ing. Tomáš Jílek, Ph.D. (VUT v Brně) Obsah semináře úvod metody měření a jejich
Více3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY
3.2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE ROVINY V této kapitole se dozvíte: jak popsat rovinu v třídimenzionálním prostoru; jak analyzovat vzájemnou polohu bodu a roviny včetně jejich vzdálenosti; jak analyzovat vzájemnou
VíceObyčejné diferenciální rovnice počáteční úloha. KMA / NGM F. Ježek
Občejné diferenciální rovnice počáteční úloha KMA / NGM F. Ježek (JEZEK@KMA.ZCU.CZ) Základní pojm Tp rovnic a podmínek, řád rovnice Počáteční úloha pro občejné diferenciální rovnice Řád metod a počet kroků
VíceNEW LABORATORY TASK MEMS ACCELEROMETER SENSOR. František HRUŠKA
/009 Volume Issue ISSN 80-57X OTHER RTICLES NEW LBORTORY TSK MEMS CCELEROMETER SENSOR rantišek HRUŠK Resumé: MEMS technolog in the field of sensors is subject with great progress. evelopment of new laborator
VícePopis polohy tělesa. Robotika. Popis polohy tělesa. Vladimír Smutný. Centrum strojového vnímání
opis poloh tělesa Robotika opis poloh tělesa Vladimír Smutný Centrum strojového vnímání Český institut informatik, robotik a kbernetik (CIIRC) České vsoké učení technické v rae ROBOTICS: Vladimír Smutný
VíceESTIMACE ORIENTACE MULTIKOPTÉR
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘICÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION
Více1.6 Singulární kvadriky
22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá
VíceModelování anelastické odezvy vlastních kmitů zemětřesení v Chile 2010
Modelování anelastické odezvy vlastních kmitů zemětřesení v Chile 2010 Eliška Zábranová Katedra geofyziky MFF UK, VCDZ Úvod Vlastní kmity jsou elementy stojatého vlnění s nekonečným počtem stupňů volnosti.
VíceDesky. Petr Kabele. Pružnost a pevnost 132PRPE Přednášky. Deska/stěna/skořepina, desky základní předpoklady, proměnné a rovnice
Pružnost a pevnost 13PRPE Přednášk Desk Deska/stěna/skořepina, desk ákladní předpoklad, proměnné a rovnice Petr Kabele České vsoké učení technické v Prae Fakulta stavební Úvod Přemístění, deformaci a napjatost
VíceEXPERIMENTÁLNÍ METODY I. 2. Zpracování měření
FSI VUT v Brně, Energetický ústav Odbor termomechanik a technik prostředí prof. Ing. Milan Pavelek, CSc. EXPERIMENTÁLNÍ METODY I OSNOVA. KAPITOLY. Zpracování měření Zpracování výsledků měření (nezávislých
VíceDokumentace ke knihovně InsDevice
UNIVERZITA OBRANY Dokumentace ke knihovně InsDevice Výsledek řešení projektu PRO K-209 Petr Františ 4.1.2012 Programátorská dokumentace pro použití knihovny InsDevice určené k začlenění podpory inerciálních
Více1. Regulace otáček asynchronního motoru - skalární řízení
1. Regulace otáček asynchronního motoru skalární řízení Skalární řízení postačuje pro dynamicky nenáročné pohony, které často pracují v ustáleném stavu. Je založeno na dvou předpokladech: a) motor je popsán
VíceQUADROTORY. Ing. Vlastimil Kříž
QUADROTORY ng. Vlastiil Kříž Obsah 2 Mateatický odel, říení transforace ei báei (rotace) staoý popis říení Eistující projekt unieritní hobb koerční Quadrotor 3 ožnost isu iniu pohbliých součástek dobrý
VíceTrojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.
Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní
VíceFOURIEROVA ANAL YZA 2D TER ENN ICH DAT Karel Segeth
FOURIEROVA ANALÝZA 2D TERÉNNÍCH DAT Karel Segeth Motto: The faster the computer, the more important the speed of algorithms. přírodní jev fyzikální model matematický model numerický model řešení numerického
VíceAnalytická geometrie v E 3 - kvadriky
Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceSEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ. Tomáš Jílek
SEBELOKALIZACE MOBILNÍCH ROBOTŮ Tomáš Jílek Sebelokalizace Autonomní určení pozice a orientace robotu ve zvoleném souřadnicovém systému Souřadnicové systémy Globální / lokální WGS-84, ETRS-89 globální
VíceZadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016
Zadání a řešení testu z matematiky a zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia od podzimu 2016 Zpráva o výsledcích přijímacího řízení do magisterského navazujícího studia
VícePředmět BROB - Robotika. 4 Kvaternionová matematika
Předmět BROB - Robotika Jméno Ročník Řeháček Tomáš 136580, Blaha Vít 136503, Michna Jakub 134560 2 Studijní skupina AMT Kontroloval Hodnocení Dne 30.4.2012 Číslo úlohy Název úlohy 4 Kvaternionová matematika
VícePředmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10
Obsah Předmluva 9 Obsah knihy 9 Typografické konvence 10 Informace o autorovi 10 Poděkování 10 KAPITOLA 1 Úvod 11 Dostupná rozšíření Matlabu 13 Alternativa zdarma GNU Octave 13 KAPITOLA 2 Popis prostředí
VíceÚSTAV MECHANIKY A MATERIÁLŮ FD ČVUT. DOC. ING. MICHAL MICKA, CSc. PŘEDNÁŠKA 4
ÚVOD DO TEORIE MATEMATICKÉ PRUŽNOSTI ZÁKLADNÍ PŘEDPOKLADY A POJMY. Látka, která vtváří příslušné těleso je dokonale lineárně pružné, mei napětím a přetvořením je lineární ávislost.. Látka hmotného tělesa
VíceÚvod do mobilní robotiky AIL028
md at robotika.cz http://robotika.cz/guide/umor07/cs 14. listopadu 2007 1 Diferenciální 2 Motivace Linearizace Metoda Matematický model Global Positioning System - Diferenciální 24 navigačních satelitů
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 1. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
Více1. ÚVOD 2. MAGNETOMETRY 2.1. PRINCIP MAGNETOMETRŮ 2009/26 18. 5. 2009
ZÁKLADNÍ PRVK KONSTRUKCE ELEKTRONICKÉO KOMPASU Ing. David Skula Ústav automatizace a měřicí techniky Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně Kolejní 2960/4, 612 00 Brno Email: xskula00@stud.feec.vutbr.cz
VíceOhyb nastává, jestliže v řezu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj. dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řezu.
Ohyb přímých prutů nosníků Ohyb nastává, jestliže v řeu jakožto vnitřní účinek působí ohybový moment, tj dvojice sil ležící v rovině kolmé k rovině řeu Ohybový moment určíme jako součet momentů od všech
VíceU Úvod do modelování a simulace systémů
U Úvod do modelování a simulace systémů Vyšetřování rozsáhlých soustav mnohdy nelze provádět analytickým výpočtem.často je nutné zkoumat chování zařízení v mezních situacích, do kterých se skutečné zařízení
VíceF n = F 1 n 1 + F 2 n 2 + F 3 n 3.
Plošný integrál Několik pojmů Při našich úvahách budeme často vužívat skalární součin dvou vektorů. Platí F n F n cos α, kde α je úhel, který svírají vektor F a n. Vidíme, že pokud je tento úhel ostrý,
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceFunkce dvou proměnných
Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru
VícePřehled veličin elektrických obvodů
Přehled veličin elektrických obvodů Ing. Martin Černík, Ph.D Projekt ESF CZ.1.7/2.2./28.5 Modernizace didaktických metod a inovace. Elektrický náboj - základní vlastnost některých elementárních částic
VíceP. Bartoš a J. Tesař
POČÍTAČOVÉ MODELOVÁNÍ DOPPLEROVA JEVU V MATLABU A NĚKTERÉ MOŽNÉ APLIKACE VE VÝUCE FYZIKY P. Bartoš a J. Tesař Katedra fzik, Pedagogická fakulta Jihočeské univerzit, Jeronýmova 1, České Budějovice Abstrakt:
VíceFYZIKA I. Pohyb setrvačníku. Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art.
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Pohyb setrvačníku Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D. Doc. Ing. Irena Hlaváčová, Ph.D. Mgr. Art. Dagmar
VíceElektromagnetické pole je generováno elektrickými náboji a jejich pohybem. Je-li zdroj charakterizován nábojovou hustotou ( r r
Záření Hertzova dipólu, kulové vlny, Rovnice elektromagnetického pole jsou vektorové diferenciální rovnice a podle symetrie bývá vhodné je řešit v křivočarých souřadnicích. Základní diferenciální operátory
VíceJEDNOTKY. E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze. Abstrakt
SIMULAČNÍ MODEL KLIKOVÉ HŘÍDELE KOGENERAČNÍ JEDNOTKY E. Thöndel, Ing. Katedra mechaniky a materiálů, FEL ČVUT v Praze Abstrakt Crankshaft is a part of commonly produced heat engines. It is used for converting
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MECHANIKY TĚLES, MECHATRONIKY A BIOMECHANIKY Komentovaný metodický list č. 1/4 Vytvořil: Ing. Oldřich Ševeček & Ing. Tomáš Profant, Ph.D.
Více6 Pohyb částic v magnetickém poli
Pohb částic v magnetickém poli V této části si ukážeme, jak homogenní magnetické pole ovlivňuje pohb částic. Soustavu souřadnic volíme vžd tak, ab vektor magnetickéindukce Bsměřovalposměruos (obr.).. Lorentova
VíceFAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ MULTIKOPTÉRY. Ing. Vlastimil Kříž
FAKULTA ELEKTROTECHNKY A KOMUNKAČNÍCH TECHNOLOGÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNCKÉ V BRNĚ MULTKOPTÉRY ng. Vlastiil Kříž Koplení inoace studijních prograů a šoání kalit ýuk na FEKT VUT Brně OP VK CZ.1.07/2.2.00/28.0193
VíceM5. ODHAD A ŘÍZENÍ ORIENTACE MULTIKOPTÉRY
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV AUTOMATIZACE A MĚŘÍCÍ TECHNIKY FACULTY OF ELECTRICAL ENGINEERING AND COMMUNICATION
VíceLaboratorní úloha č. 2 Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek - Faradayův indukční zákon. Max Šauer
Laboratorní úloha č. Vzájemná induktivní vazba dvou kruhových vzduchových cívek - Faradayův indukční zákon Max Šauer 14. prosince 003 Obsah 1 Popis úlohy Úkol měření 3 Postup měření 4 Teoretický rozbor
VíceZ hlediska pružnosti a pevnosti si lze stav napjatosti
S T R O J N IC K Á P Ř ÍR U Č K A část 7, díl 4, kapitola 1, str. 1 7/4.1 T Y P Y N A P J A T O S T I A T R A N S F O R M A C E N A P J A T O S T I Pojmem napjatost roumíme stav určitého bodu tělesa, který
VíceDynamika robotických systémů
Dynamika robotických systémů prof. Ing. Michael Valášek, DrSc. ČVUT v Praze Tato prezentace je spolufinancována Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1 Obsah Postup sestavování
VíceFyzikální korespondenční seminář MFF UK
Úloha V.E... gumipuk 8 bodů; průměr 4,40; řešilo 25 studentů Závaží o hmotnosti m na gumičce délk l 0 je zavěšeno v pevném bodě o souřadnicích = = 0 a = 0. Z os, která je horizontálně, závaží pouštíme.
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceVyužití neuronové sítě pro identifikaci realného systému
1 Portál pre odborné publikovanie ISSN 1338-0087 Využití neuronové sítě pro identifikaci realného systému Pišan Radim Elektrotechnika 20.06.2011 Identifikace systémů je proces, kdy z naměřených dat můžeme
VíceRovinná napjatost a Mohrova kružnice
Rovinná napjatost a ohrova kružnice Dvojosý stav napjatosti - ukák anačení orientace napětí v rovině x Na obr. vlevo dole jsou vnačen složk napětí. Kladná orientace napětí x a je v případě, že vektor směřují
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VícePřijímací zkouška na MFF UK v Praze
Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 7 OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležitou částí matematické analý protože umožňují řešit mimo jiné celou řadu úloh fik a technické prae Při řešení
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometrie Různé metody řešení Téma: Analytická geometrie v prostoru, vektory, přímky Autor:
Více2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL
. VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
VíceStátní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách
Státní závěrečná zkouška z oboru Matematika a její použití v přírodních vědách Ústní zkouška z oboru Náročnost zkoušky je podtržena její ústní formou a komisionálním charakterem. Předmětem bakalářské zkoušky
Více= 1, (2.3) b 2 + z2. c2 se nazývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme z rovnice (2.3), neobsahuje žádný reálný bod.
.. HYPERBOLOIDY 71 Kvadratiká ploha, jejíž rovnie je a + b + = 1,.3 se naývá imaginární elipsoid. Jedná se o regulární kvadriku, která, jak vidíme rovnie.3, neobsahuje žádný reálný bod.. Hperboloid Hperboloid
VíceFYZIKA I. Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ FYZIKA I Rovnoměrný, rovnoměrně zrychlený a nerovnoměrně zrychlený rotační pohyb Prof. RNDr. Vilém Mádr, CSc. Prof. Ing. Libor Hlaváč, Ph.D.
VíceMATLAB PRO PODPORU VÝUKY KOMUNIKAČNÍCH SYSTÉMŮ
MATLAB PRO PODPORU VÝUKY KOMUNIKAČNÍCH SYSTÉMŮ Aneta Coufalíková, Markéta Smejkalová Mazálková Univerzita obrany Katedra Komunikačních a informačních systémů Matlab ve výuce V rámci modernizace výuky byl
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceVýukové texty. pro předmět. Automatické řízení výrobní techniky (KKS/ARVT) na téma
Výukové texty pro předmět Automatické řízení výrobní techniky (KKS/ARVT) na téma Podklady a grafická vizualizace k určení souřadnicových systémů výrobních strojů Autor: Doc. Ing. Josef Formánek, Ph.D.
VíceMatematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené
28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti
Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů
VíceVybrané kapitoly z matematiky
Vybrané kapitoly z matematiky VŠB-TU Ostrava 2017-2018 Vybrané kapitoly z matematiky 2017-2018 1 / 19 Základní informace předmět: 714-0513, 5 kreditů přednáší: Radek Kučera kontakt: radek.kucera@vsb.cz,
VíceKŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE
KŘIVKOVÝ INTEGRÁL V SYSTÉMU MAPLE Jiří Novotný Ústav matematiky a deskriptivní geometrie, Fakulta stavební, Vysoké učení technické v Brně Abstrakt: V rámci řešení projektu Inovace bakalářského studia Počítačová
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
VíceNeustálené proudění v otevřených korytech. K141 HY3V (VM) Neustálené proudění v korytech 0
Neustálené proudění v otevřených kortech K4 HY3V (VM) Neustálené proudění v kortech 0 DRUHY PROUDĚNÍ V KORYTECH Přehled: Proudění neustálené ustálené nerovnoměrné rovnoměrné průtok Q f(t,x) Q konst. Q
Více1 Analytická geometrie
1 Analytická geometrie 11 Přímky Necht A E 3 a v R 3 je nenulový Pak p = A + v = {X E 3 X = A + tv, t R}, je přímka procházející bodem A se směrovým vektorem v Rovnici X = A + tv, t R, říkáme bodová rovnice
VíceZáklady 3D grafiky. Výukové texty. Ing Miroslav Fribert Dr.
Základ D grafik Výukové tet Ing Miroslav Fribert Dr. Obsah. Prostorová geometrie ákladní vtah. Křivk. Ploch 4. D modelování a repreentace těles 5. Geometrické transformace 6. Zobraování prostorových dat
VíceX = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)
.6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceKapitola 2. 1 Základní pojmy
Kapitola 2 Funkce více proměnných Ve vědních i technických oborech se často setkáváme s veličinami, jejichž hodnot ávisí na větším počtu proměnných. Objem válce je ávislý na poloměru podstav a výšce, tlak
VíceRotace ve 3D a kvaterniony. Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16
Rotace ve 3D a kvaterniony Eva Blažková a Zbyněk Šír MÚ UK Eva Blažková a Zbyněk Šír (MÚ UK) - Rotace ve 3D a kvaterniony 1 / 16 Eulerovy úhly http://www.youtube.com/watch?v=upsmnytvqqi Eva Blažková a
Více1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište
Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni
VíceMatematika I 12a Euklidovská geometrie
Matematika I 12a Euklidovská geometrie Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 12. 2012 Obsah přednášky 1 Euklidovské prostory 2 Odchylky podprostorů 3 Standardní úlohy 4 Objemy Plán přednášky
Více19 Eukleidovský bodový prostor
19 Eukleidovský bodový prostor Eukleidovským bodovým prostorem rozumíme afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. Víme, že pomocí skalárního součinu jsou definovány pojmy norma
VíceMATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech
MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013
Více7 Transformace 2D. 7.1 Transformace objektů obecně. Studijní cíl. Doba nutná k nastudování. Průvodce studiem
7 Transformace 2D Studijní cíl Tento blok je věnován základním principům transformací v rovinné grafice. V následujícím textu bude vysvětlen rozdíl v přístupu k transformacím u vektorového a rastrového
Více