Kapitola 2. 1 Základní pojmy

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Kapitola 2. 1 Základní pojmy"

Transkript

1 Kapitola 2 Funkce více proměnných Ve vědních i technických oborech se často setkáváme s veličinami, jejichž hodnot ávisí na větším počtu proměnných. Objem válce je ávislý na poloměru podstav a výšce, tlak plnu na teplotě a objemu, isk ekonomického subjektu na nákladech a ceně, napětí v elektrickém obvodu na hodnotách odporů, kapacit a indukčností jeho prvků, apod. Matematický aparát pro popis takovýchto ávislostí v sstémech s konečně mnoha stupni volnosti posktuje teorie funkcí více proměnných. Tato kapitola je ákladním úvodem do problematik. Základní pojm Funkce n-proměnných je obraení f : M R obraující jistou množinu M v euklidovském prostoru R n do množin reálných čísel. Množina M se přitom naývá definiční obor funkce f, který se často onačuje smbolem D(f). Pokud nebude definiční obor funkce specifikován, budeme jím roumět maimální množinu, na které může být daná funkce definována. Je-li D(f) a má-li složk = (, 2,..., n ), pak smbol f() namená stručný ápis hodnot f(, 2,..., n ). Tento působ ápisu budeme často používat. Množina f(m) = {f() M} se naývá obor hodnot funkce f (na množině M). Příklad 2.. (i) Uvažujme funkci dvou proměnných f(, ) = (Jiný působ ápisu této funkce je pomocí rovnice = Budeme se více držet první možnosti.) Tato funkce je definována v celém euklidovském prostoru R 2. Její obor hodnot je množina všech neáporných čísel. (ii) Funkce f(,, ) = ln( ) je funkcí tří proměnných. Je definována na množině všech uspořádaných trojic (,, ) R 3, pro něž je argument logaritmu kladný, tj. pro něž platí <. 7

2 8 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Definičním oborem je v tomto případě otevřená jednotková koule se středem v počátku souřadnic. Oborem hodnot je interval (, 0. (iii) Funkce daná předpisem je funkce n-proměnných. Platí přitom f(, 2,..., n ) = 2 n D(f) = {(, 2,..., n ) 2... n 0}. Zde je definiční obor již složitější množina. V případě rovin, tj. n = 2, je to. a 3. kvadrant. Pro prostor (n = 3) se D(f) skládá už e čtř celkového počtu osmi oktantů. V obecném R n je definiční obor složen 2 n částí a každá nich je tvořena takovými bod = (, 2,..., n ), které mají přesně sudý počet áporných složek. Obor hodnot je interval 0,. K popisu funkcí více proměnných je často užitečné stanovit množin, ve kterých funkce nabývají stejné hodnot. Tto množin naýváme konstantními hladinami. Z konkrétních situací je náme jako vrstevnice, ioterm, iobar, ekvipotenciální hladin, apod. Příklad 2.2. (i) Uvažujme funkci f(, ) =. Hladin konstantnosti, příslušící danému c R jsou množin H c = {(, ) = c}. Pro hodnotu c = 0 dostáváme sjednocení souřadnicových os, pro nenulová c hperbol mající souřadnicové os jako asmptot. Soustava konstantních hladin je náorněna na obr. 2.. c < 0 c > 0 c > 0 c < 0 Obr. 2.

3 . ZÁKLADNÍ POJMY 9 (ii) Podívejme se na konstantní hladin a definiční obor funkce f(,, ) = arcsin Výra v argumentu funkce arcsin musí být v absolutní hodnotě nejvýše jedna. Ted { D(f) = (,, ) R 3 }. 2 +, (, ) (0, 0) 2 Pro bod definičního oboru proto platí, že absolutní hodnota poměru -tové souřadnice a vdálenosti od os nesmí přesáhnout hodnotu. Geometrick to namená, že definiční obor je sjednocením dvou kuželů, jejichž osou je osa, vrchol je v počátku a vrcholový úhel je pravý. Samotný počátek souřadnic přitom do definičního oboru nepatří. Obor hodnot funkce arcsin je interval π/2, π/2. Zvolme c π/2, π/2. Konstantní hladina H c příslušná této hodnotě je množina všech řešení rovnice arcsin 2 + = c, 2 nebo ekvivalentně = sin c Hladina H c je ted kuželovou plochou s vrcholem v počátku a osou níž je vjmut bod (0, 0, 0). Výjimkou je případ c = 0, ve kterém dostaneme souřadnicovou rovinu be počátku, vi obr.2.2. c = π/3 c = π/2 c = 0 Obr. 2.2 c = π/2 c = π/3 Funkce jedné proměnné bývá často náorňována grafem v rovině. Podobným působem je možno geometrick vjádřit i funkci dvou proměnných f(, ). Tentokrát ovšem v prostoru tříroměrném. Pro daný bod (, ) v ákladní souřadnicové rovině můžeme hodnotu funkce f(, ) nanést na vertikálu procháející bodem (, ) vi. obr Získáme tak množinu Graf(f) = {(,, ) = f(, ), (, ) D(f)}, kterou naýváme grafem funkce f. Průmět grafu do souřadnicové rovin je přitom definiční obor dané funkce. V případě jednodušších funkcí se často podaří stanovit graf pomocí nalostí analtické geometrie v prostoru. V komplikovanějších případech mohou pomoci počítačové program.

4 20 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH = f(, ) Obr (, ) Příklad 2.3. (i) Pokusme se náornit graf funkce f(, ) = 2 2. Průsečíkem grafu této funkce s rovinou jsou přímk = a =. Soustava ostatních vrstevnic je dána soustavou hperbol, jejichž vrchol leží na osách a. Ře grafu rovinou o rovnici = 0 je parabola = 2. Podobně v rovině = 0 je řeem parabola = 2. Tto parabol spolu se soustavou vrstevnic napovídají, že graf má tvar sedla náorněného na obr. 2.4(a). (a) Obr. 2.4 (b) (ii) Všetřujme funkci f(, ) = 2 2. Definiční obor této funkce je uavřený jednotkový kruh se středem v počátku. Graf je popsán algebraick podmínkami = 2 2, ekvivalentně =, 0. Odtud vidíme, že grafem je horní část kulové ploch se středem v počátku a poloměrem jedna, obr. 2.4(b). (iii) Znáorněme graf funkce f(, ) =

5 . ZÁKLADNÍ POJMY 2 Funkce f je definována na celé množině R 2. Identita f(, ) = f(, ) říká, že grafem je plocha souměrná vhledem k počátku. Použitím sstému gnuplot je náorněna na obr Obr. 2.4 Kromě funkcí s více proměnnými hrají v teorii i aplikacích důležitou úlohu i obecnější objekt obraení mei euklidovskými prostor. Řešíme-li například soustavu n lineárních rovnic o n nenámých, pak řešení je n-tice čísel (výstup), která ávisí na n 2 koeficientech soustav a n absolutních členech (vstup). Proces řešení ted můžeme chápat jako obraení prostoru R n2 +n do prostoru R n. Eplicitní podoba tohoto obraení je dána Cramerovým pravidlem. Jiný příklad si můžeme vpůjčit elementární teorie pole. Podle Newtonova gravitačního ákona můžeme gravitační silové pole vtvořené jednotkovým hmotným bodem umístěným v počátku popsat obraením F : R 3 \ {(0, 0, 0)} R 3. Hodnota F (,, ) přitom udává vektor intenit pole v bodě (,, ), tj. vektor F (,, ) = κ (,, ), ( ) 3 kde κ je gravitační konstanta. Každé obraení F : R n R k je možno přiroeně repreentovat pomocí k-tice funkcí n- proměnných F (, 2,..., n ), F 2 (, 2,..., n ),..., F k (, 2,..., n ) definovaných rovností (2.) F (, 2,..., n ) = ( ) F (, 2,..., n ), F 2 (, 2,..., n ),..., F k (, 2,..., n ). Funkce F,..., F k naýváme složkami obraení F. Zobraení F popisující výše uvedené

6 22 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH gravitační pole má např. složk F (,, ) = F 2 (,, ) = F 3 (,, ) = κ ( ) 3, κ ( ) 3, κ ( ) 3. Důležitým tpem obraení mei euklidovskými prostor je obraení lineární, které je studováno v Lineární algebře. Protože tento tp obraení budeme často používat, připomeneme si na tom místě jeho definici a ákladní vlastnosti. Lineární obraení F : R n R k je obraení, které splňuje následující podmínku: F (λ + λ 2 ) = λ F () + λ F () pro všechna λ, λ 2 R,, R n. Každé lineární obraení F : R n R k je přitom možno vjádřit ve tvaru (2.2) F () = A, kde A je jednonačně určená matice tpu k n (k-řádků, n-sloupců). Součin v (2.2) přitom chápeme jako maticový součin matice A se sloupcovým vektorem. Matici A budeme naývat maticí lineárního obraení F. 2 Cvičení Úloha: Naleněte definiční obor funkce ( ) f(, ) = ln Ted nebo Řešení: Výra v argumentu logaritmu musí být kladný, a proto 0 < = ( + )2 + 2 ( ) ( + ) > 0 a ( ) > 0; ( + ) < 0 a ( ) < 0.

7 2. CVIČENÍ 23 První alternativa repreentuje množinu K, která je vnějškem sjednocení dvou kruhů se střed v bodech (, 0) a (, 0) a poloměr. Druhá alternativa popisuje prádnou množinu. Definiční obor je proto množina K. Úloha: Ve výrobním procesu jsou náklad rodělen na částku L určenou na md a částku K určenou na ostatní výdaje (investice, surovin, apod.). Ekonomové odvodili, že v některých případech je celková výroba F (L, K) při daném roložení nákladů dána tv. Cobb-Douglasovou funkcí produkce F (L, K) = cl a K a, kde c, a, 0 < a < jsou konstant dané konkrétními podmínkami. Ukažte, že větší-li se k-krát obě složk nákladů, větší se k-krát i celková produkce. Jak se mění produkce klesnou-li md na polovinu a dvojnásobí-li se ostatní náklad? Řešení: Platí Analogick, F (kk, kl) = ck a L a k a K a = kcl a K a = kf (L, K). ( L ) F 2, 2K = c La 2 a 2 a K a = c 2 2a F (L, K). Produkce bude 2 2a násobek produkce původní. Úloha: Teplota T (, ) v bodě (, ) rovin je dána vtahem T (, ) = Určete v jakém romeí se teplota pohbuje a stanovte ioterm. Řešení: Jistě platí T (, ) 20. Výra může nabýt libovolné neáporné hodnot. Obor hodnot funkce T je tudíž interval 20, ). Zvolme c > 20. Ioterma je pak křivka o rovnici Po úpravě = c. 2 c c 20 4 Analtická geometrie říká, že tato rovnice repreentuje elipsu se středem v počátku a poloosami c 20, c Soustava ioterm je ted soustavou elips se střed v počátku, jejichž -ová poloosa je dvakrát větší než nová. Výjimkou je případ c = 20, kterému odpovídá jednobodová ioterma {(0, 0)}. =.

8 24 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Úloha: Naleněte definiční obor, konstantní hladin a obor hodnot funkce čtř proměnných f(, 2, 3, 4 ) = Řešení: Funkci f můžeme vjádřit přehledněji ve tvaru f() = 2. Je řejmé, že D(f) = { R 4 }. Protože norma nabývá libovolné neáporné hodnot, je dík onačení t = obor hodnot funkce f stejný jako obor hodnot pomocné funkce g(t) = t 2 definované na intervalu 0, ) (, ). Funkce g je na intervalu 0, ) klesající s limitami v krajních bodech g(0) =, lim t g(t) =. Na intervalu (, ) je také klesající s limitami v krajních bodech lim t + g(t) =, lim t g(t) = 0. Závěrem ted můžeme konstatovat, že obor hodnot funkce f je množina (, (0, ). Konstantní hladina odpovídající hodnotě c (, 0) je dána rovnicí Po úpravě 2 = c. = c +. Každá konstantní hladina je hranice čtřroměrné koule se středem v počátku a poloměrem + /c. Úloha: Předpokládejme, že vrstevnice funkce f(, ) jsou soustředné kružnice, jejichž poloměr se pohbuje v intervalu (0, r), r R { }. Vrstevnice odpovídající hodnotě f(0, 0) je {(0, 0)}. Ukažte, že graf funkce f je rotační plocha, která vnikne rotací grafu jisté funkce jedné proměnné kolem os. Ukažte dále, že funkce s touto vlastností jsou právě funkce tvaru f(, ) = g( ), kde g je definována na intervalu 0, r), r R { }. Řešení: Jsou-li vrstevnice výše popsané soustředné kružnice pak graf funkce f(, ) se nemění při rotaci kolem os. Skutečně se ted jedná o rotační plochu, kterou ískáme rotací libovolného řeu grafu funkce rovinou, která je kolmá na rovinu a procháí počátkem. Například je možno volit rovinu o rovnici = 0 (souřadnicová rovina ) a popsat tak graf funkce jako výsledek rotace grafu pomocné funkce h() = f(, 0) nakresleného v rovině.

9 2. CVIČENÍ 25 Druhá část úloh je jednoduchá. Soustředné kružnice se středem v počátku mají a vrstevnice právě t funkce, jejichž hodnota ávisí výhradně na vdálenosti od počátku ted na výrau Proto můžeme takovéto funkce jednodušeji repreentovat ve tvaru g( ), kde g je definována na jistém intervalu 0, r), r R + { }. Úloha: Popište graf následujících funkcí: (i) f(, ) = ; (ii) f(, ) = ; (iii) f(, ) = e Řešení: (i) Zadání funkce beprostředně odpovídá předchoí úloe. Její graf je proto útvar, který vnikne rotací parabol = f(, 0) = 2 ležící v rovině kolem os. Výsledkem je povrch rotačního paraboloidu náorněný na obr. 2.5(a). = = (a) Obr. 2.5 (b) (ii) Zde graf vnikl rotací funkce = f(, 0) =. Výsledná plocha je kuželová a je na obr.2.5(b) (iii) Podívejme se, jak vpadají vrstevnice funkce f(, ). Pro bod (, ) ležící na vrstevnici odpovídající hodnotě c > 0 máme rovnici (2.3) e = c. Čtenář obenámený s analtickou geometrií v rovině již asi vidí, že se musí jednat o kružnice. Skutečně, po doplnění na mocnin dvojčlenů a úpravě ískáme eponent ve tvaru Vrátíme-li se k rovnici (2.3) máme = ( + ) 2 ( + 2) 2 +. e (+)2 (+2) 2 + = c, a po úpravách ( c ( + ) 2 + ( + 2) 2 = ln. e)

10 26 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Bude-li c > e je výra na pravé straně v předchoí rovnici áporný, což namená, že rovnice řešení nemá. Na druhé straně, je-li 0 < c e popisuje ískaná rovnice sstém soustředných kružnic se středem v bodě (, 2) a poloměrem ln(c/e). V případě c = e kružnice degeneruje na bod (, 2). Oborem hodnot funkce f jsou ted přípustné hodnot c, tj. interval (0, e. Podobně jako v předchoí úloe vidíme, že graf vnikne rotací jisté křivk, tentokrát kolem os rovnoběžné s osou a procháející bodem (, 2). Tuto křivku naleneme jako průnik libovolné rovin kolmé na podstavu a procháející bodem (, 2). Volba rovin o rovnici = 2 dá = f(, 2) = e (+)2 + = ee (+)2 = h(). Graf funkce h je náorněn na obráku 2.6. osa rotace h() = e (+)2 Obr. 2.6 Graf funkce f vnikne rotací grafu funkce h kolem příslušné os. Získáme tak útvar připomínající sopku Vesuv s vrcholem (, 2, e). Úloha: Nadmořská výška terénu v bodě (, ) R 2 je dána funkcí f(, ) = Určete reliéf terénu, jestliže se vdáme bodu (0, 0) ve směru (i) přímk s rovnicí = 2, (ii) přímk s rovnicí = 2. Řešení: (i) f(, 2) = Dostáváme tak funkci jedné proměnné (polnom třetího stupně), jejíž graf je náorněn na obr. 2.7(a).

11 2. CVIČENÍ 27 (a) (b) a představuje hledaný výškový profil. (ii) Analogick jako výše Obr. 2.7 f(2, ) = Reliéfem terénu je tentokrát parabola nakreslená na obr. 2.7(b). Ře grafem funkce f v růných směrech jsou ted dán funkcemi odlišných tpů. Povšimněme si také skutečnosti, že ře grafem funkce f odpovídajícími v půdorse pravoúhlé síti = c, = c jsou poue posunutím grafů na obr. 2.7(a) a (b) a to ve vertikálním směru. Na graf funkce f se ted jedné stran můžeme dívat jako na sjednocení navájem posunutých křivek třetího stupně a druhé stran jako na sjednocení navájem posunutých parabol. (Tento tp grafu je rovněž na obráku 7.4). Určete definiční obor následujících funkcí. f(, ) = ; 2. f(, ) = sin cos ; 3. f(, ) = ; 4. f(, ) = ; 5. f(,, ) = ; f(, ) = ; 7. f(,, ) = + ; 8. f(, ) = ln( sin ); 9. f(, ) = arcsin( + );

12 28 KAPITOLA 2. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 0. f(, 2,..., n ) = ln( n 36).. Ukažte, že F (t, t) = t 3 F (, ), kde F (, ) = Naleněte funkci f(), je-li (i) f ( ) = 2 + 2, > 0, 0 a (ii) f ( ) 2 2 = 2 4 +, Naleněte konstantní hladin funkce f(, ) = ( a) ( + a) a > Pro n grammolekul ideálního plnu platí, že tlak p je roven p = nrt, kde R je V konstanta, T je teplota a V je objem. Popište iobar. 5. Dle Poiseuilleho ákona fiologie je odpor R krevní cév délk l a poloměru r dán vtahem R = αl, α > 0. Při jakých hodnotách l a r ůstává tento odpor konstantní? r4 6. V ávislosti na parametru α stanovte tp konstantní hladin funkce f(, ) = e α Ukažte, že každá funkce dvou proměnných, jejíž konstantní hladin jsou sstémem hperbol = k, k > 0 je tvaru f(, ) = g(). Načrtněte graf následujících funkcí: 8. f(, ) = ; 9. f(, ) = ; 20. f(, ) = ; 2. f(, ) = ; 22. f(, ) = 2 2, a, b > 0; a 2 b f(, ) = 2 ; 24. f(, ) = 2 ; 25. f(, ) = + ; 26. f(, ) = 27. f(, ) = ; ;

13 2. CVIČENÍ Určete funkci dvou proměnných, jejíž graf vnikne rotací funkce = kolem os. 29. Pohbujeme se na ploše, která je grafem funkce f(, ) = Výchoí poloha je bod (,, 3). Určete směr největšího a nejmenšího stoupání. Návod: porovnejte mei sebou derivace funkcí, které vniknou příslušnými ře grafu funkce f. 30. Všetřete, jak tp hladin konstantnosti lineární obraení F : R 3 R 3 ávisí na hodnosti h(a) matice A, která repreentuje lineární obraení F. Výsledk., 2 ; 2. k,l,r,s Z 2kπ, (2k + )π 2lπ π 2, 2lπ + π 2 π + 2rπ, 2rπ π 2 + 2sπ, 3 2 π + 2sπ ; vše mimo kružnici; 4. uavřený kruh ; 5. otevřená koule < 4; 6. otevřený kruh se středem v bodě (,0) a poloměrem be otevřeného kruhu se středem v bodě (/2, 0) a poloměrem /2; 7. R 3 be rovin + = 0; 8. > 0, 2kπ < < (2k + )π, < 0 (2k + )π < < (2k + 2)π; 9. pás, R; 0. vnějšek koule > 6; 2. (i) f() = + 2, (ii) f() = /( + 2 ); 3. kružnice se střed na ose a přímka = 0; 4. přímk procháející počátkem; 5. parabola čtvrtého stupně; 6. α = kružnice se střed na ose, α > 0 elips, α < 0 hperbol, α = 0 přímk rovnoběžné s osou ; 8 eliptický paraboloid; 9. kuželová plocha; 20. rotační plocha s osou rotace vniklá rotací hperbol = jednodílný rotační hperboloid; 2. rotační plocha vniklá rotací části hperbol = 2, 0 kolem os ; 22. horní část elipsoidu se středem v počátku a poloosami a, b, c; 23. horní část válce s osou a poloměrem ; 24. parabolická plocha všechna posunuti parabol = 2 rovnoběžně s osou ; 25. části dvou rovin; 26. rotace grafu funkce f() = kolem os =, = ; 27. sjednocení křivek (+) 2 = 2c ležící v rovinách = c, c (, ); 28. f(, ) = 4 2 +c ; 29. (, 6) 2 největší stoupání, (, 6) největší klesání; 30. Je-li h(a) = 3, hladin konstantnosti jsou bod; pro h(a) = 2 to jsou přímk; pro h(a) = rovin a pro h(a) = 0 je hladina konstantnosti R 3.

4.2. Graf funkce více proměnných

4.2. Graf funkce více proměnných V této kapitole se soustředíme na funkce dvou proměnných. Poue v tomto případě jsme schopni graf funkcí dvou proměnných obrait. Pro funkce tří a více proměnných trácí grafické vjádření smsl. Výklad Definice

Více

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky

Analytická geometrie v E 3 - kvadriky Analtická geometrie v E 3 - kvadrik ROVNICE KVADRIKY ( v ákladní a posunuté poloe) Kvadrik v ákladní poloe - střed nebo vrchol leží v počátku ( vi příloha na konci) Posunutí v rovnici nahradíme všechn

Více

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1) .6. Analtická geometrie lineárních a kvadratických útvarů v rovině. 6.1. V této kapitole budeme studovat geometrické úloh v rovině analtick, tj. lineární a kvadratické geometrické útvar vjádříme pomocí

Více

Funkce dvou proměnných

Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných Funkce dvou proměnných harmonická vlna Postupné příčné vlnění T=2, = 2 ( t, ) Asin t 2 Asin t T v t Asin 2 T Počátek koná harmonický pohb, ten se šíří dál řadou oscilátorů ve směru

Více

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) = Příklad 1 Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3 c) (, ) = d) (, ) = e) (, ) = ln f) (, ) = 1 +1 g) (, ) = arcsin( + ) Poznámka V těchto úlohách máme nalézt největší

Více

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy

y 10 20 Obrázek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy 36 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ 2 1 2 1 1 y 1 2 Obráek 1.26: Průměrová rovina válcové plochy Věta: Je-li definována průměrová rovina sdružená s asymptotickým směrem, potom je s tímto směrem

Více

6.1 Shrnutí základních poznatků

6.1 Shrnutí základních poznatků 6.1 Shrnutí ákladních ponatků Prostorová a rovinná napjatost Prostorová napjatost v libovolném bodě tělesa je v pravoúhlé soustavě souřadnic obecně popsána 9 složkami napětí, které le uspořádat do matice

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací kouška na MFF UK v Prae Studijní program Matematika, bakalářské studium Studijní program Informatika, bakalářské studium 2013, varianta A U každé deseti úloh je nabíeno pět odpovědí: a, b, c,

Více

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol.

analytické geometrie v prostoru s počátkem 18. stol. 4.. Funkce více proměnných, definice, vlastnosti Funkce více proměnných Funkce více proměnných se v matematice začal používat v rámci rozvoje analtické geometrie v prostoru s počátkem 8. stol. I v sami

Více

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH

6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

Popis jednotlivých kvadrik

Popis jednotlivých kvadrik Kapitola Popis jednotlivých kvadrik V této kapitole se budeme abývat některými kvadrikami podrobněji. Nejprve budeme uvažovat elipsoid a hperboloid, které patří do skupin regulárních středových kvadrik.

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište

1 4( 1) Co je řešením rovnice 2y 1 = 3? Co je řešením, pokud přidáme rovnici x + y = 3? Napište Řešená cvičení lineární algebr I Karel Král 10. října 2017 Tento tet není určen k šíření. Všechn chb v tomto tetu jsou samořejmě áměrné. Reportujte je prosím na adresu kralka@iuuk.mff.cuni... Obsah 1 Cviceni

Více

Vlastní čísla a vlastní vektory

Vlastní čísla a vlastní vektory 5 Vlastní čísla a vlastní vektor Poznámka: Je-li A : V V lineární zobrazení z prostoru V do prostoru V někd se takové zobrazení nazývá lineárním operátorem, pak je přirozeným požadavkem najít takovou bázi

Více

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.

Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺın společného

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu 22- a3b2/df.te. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, ita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu. Určete definiční obor funkce a proveďte klasifikaci bodů z R 2 vzhledem k a rozhodněte

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Základ všší matematik LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplín společného

Více

Funkce dvou a více proměnných

Funkce dvou a více proměnných Funkce dvou a více proměnných. Motivace V praxi nevstačíme s funkcemi jedné proměnné, většina veličin závisí více než na jedné okolnosti, např.: obsah obdélníka: S( ) kinetická energie: Ek = = x mv ekonomika:

Více

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí

(FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října Přehled některých elementárních funkcí 1. Reálná funkce reálné proměnné, derivování (FAPPZ) Petr Gurka aktualizováno 12. října 2011 Obsah 1 Přehled některých elementárních funkcí 1 1.1 Polynomické funkce.......................... 1 1.2 Racionální

Více

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě

Více

1 Nulové body holomorfní funkce

1 Nulové body holomorfní funkce Nulové body holomorfní funkce Bod naýváme nulový bod funkce f), jestliže f ) =. Je-li funkce f) holomorfní v bodě, pak le funkci f) v jistém okolí bodu rovinout v Taylorovu řadu: f) = n= a n ) n, a n =

Více

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy

na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Datum:... Jméno:... Přijímací řízení pro akademický rok 203/4 na magisterský studijní obor Učitelství matematiky pro střední školy Písemná část přijímací zkoušky z matematiky Za každou správnou odpověd

Více

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li

Více

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f

x 2(A), x y (A) y x (A), 2 f II.10. Etrém funkcí Věta (nutná podmínka pro lokální etrém). Necht funkce f(, ) je diferencovatelná v bodě A. Má-li funkce f v bodě A lokální etrém, pak gradf(a) = 0. Onačme hlavní minor matice druhých

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3, Analytická geometrie přímky roviny opakování středoškolské látk Jsou dány body A [ ] B [ 5] a C [ 6] a) přímky AB b) osy úsečky AB c) přímky na které leží výška vc trojúhelníka ABC d) přímky na které leží

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základ matematik pro FEK. přednáška Blanka Šedivá KMA imní semestr /7 Blanka Šedivá (KMA) Základ matematik pro FEK imní semestr /7 / Příklad ekonomických vtahů ve formě funkcí více proměnných I Poptávková

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce

Určete a graficky znázorněte definiční obor funkce Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro

Více

Funkce základní pojmy a vlastnosti

Funkce základní pojmy a vlastnosti Funkce základní pojm a vlastnosti Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Pojem funkce Vlastnosti funkcí Inverzní funkce 4 Základní elementární funkce Mocninné Eponenciální Logaritmické

Více

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.)

Pro jakou hodnotu parametru α jsou zadané vektory kolmé? (Návod: Vektory jsou kolmé, je-li jejich skalární součin roven nule.) Vybrané příklady ze skript J. Neustupa, S. Kračmar: Sbírka příkladů z Matematiky I I. LINEÁRNÍ ALGEBRA I.. Vektory, vektorové prostory Jsou zadány vektory u, v, w a reálná čísla α, β, γ. Vypočítejte vektor

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI

FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE A JEJICH VLASTNOSTI Pojem zobrazení a funkce Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic

Více

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1)

Z transformace. Definice. Z transformací komplexní posloupnosti f = { } f n z n, (1) Z transformace Definice Z transformací komplexní posloupnosti f = { roumíme funkci F ( definovanou vtahem F ( = n, ( pokud řada vpravo konverguje aspoň v jednom bodě 0 C Náev Z transformace budeme také

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení

(0, y) 1.3. Základní pojmy a graf funkce. Nyní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení .. Výklad Nní se již budeme zabývat pouze reálnými funkcemi reálné proměnné a proto budeme zobrazení M R, kde M R nazývat stručně funkce. Zopakujeme, že funkce je každé zobrazení f : M R, M R, které každému

Více

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel

Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014. 1. Obor reálných čísel Mgr. Ladislav Zemánek Maturitní okruhy Matematika 2013-2014 1. Obor reálných čísel - obor přirozených, celých, racionálních a reálných čísel - vlastnosti operací (sčítání, odčítání, násobení, dělení) -

Více

Bakalářská matematika I

Bakalářská matematika I 1. Funkce Diferenciální počet Mgr. Jaroslav Drobek, Ph. D. Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Bakalářská matematika I Některé užitečné pojmy Kartézský součin podrobnosti Definice 1.1 Nechť A,

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY

MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky

Více

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II

7.1.2 Kartézské soustavy souřadnic II 7..2 Kartéské soustav souřadnic II Předpoklad: 70 Zavedení kartéské soustav souřadnic minulé hodin: Kartéskou soustavou souřadnic v rovině naýváme dvojici číselných os, v rovině, pro které platí:. obě

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

Funkce - pro třídu 1EB

Funkce - pro třídu 1EB Variace 1 Funkce - pro třídu 1EB Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv využití výukového materiálu je povoleno pouze s odkazem na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení, které každému

Více

Elementární křivky a plochy

Elementární křivky a plochy Příloha A Elementární křivky a plochy A.1 Analytický popis geometrických objektů Geometrické vlastnosti, které jsme dosud studovali, se týkaly především základních geometrických objektů bodů, přímek, rovin

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}.

Takže platí : x > 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 x < 0 : x y 1 x = x+1 y x+1 D 1 = {[x,y] E 2 : x < 0, x+1 y 1 x}, D 2 = {[x,y] E 2 : x > 0, 1 x y x+1}. E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II (206 II. Diferenciální počet funkcí více proměnných II.. Definiční obor funkce z = f(, Určete definiční obor funkcí a zakreslete jej

Více

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH

MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Krok za krokem k nové maturitě Maturita nanečisto 005 MA4 MANUÁL K ŘEŠENÍ TESTOVÝCH ÚLOH Matematika rozšířená úroveň Vážení vyučující! ředmětoví koordinátoři Centra pro zjišťování výsledků vzdělávání pro

Více

Exponenciální funkce teorie

Exponenciální funkce teorie Eponenciální funkce teorie Eponenciální funkce je dána rovnicí f : = a, a ( 0,) (, ) Poznámka: pokud bchom připustili a =, vznikla b funkce konstantní pokud bchom připustili a < 0, nebla b funkce definována

Více

1.13 Klasifikace kvadrik

1.13 Klasifikace kvadrik 5 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY. STUPNĚ 1.13 Klasifikace kvadrik V této části provedeme klasifikaci kvadrik. Vyšetříme všechny případy, které mohou různou volbou koeficientů v rovnici kvadriky a 11

Více

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY

Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik Edita Kolářová ÚSTAV MATEMATIKY Přípravný kurs z matematik 1 Obsah 1 Přehled použité smbolik 3 Základní pojm matematické logik a teorie množin 4.1 Element matematické logik.........................

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava

VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava VZOROVÉ PŘÍKLADY Z MATEMATIKY A DOPORUČENÁ LITERATURA pro přípravu k přijímací zkoušce studijnímu oboru Nanotechnologie na VŠB TU Ostrava I Úprav algebraických výrazů zlomk, rozklad kvadratického trojčlenu,

Více

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru

Grafy elementárních funkcí v posunutém tvaru Graf elementárních funkcí v posunutém tvaru Vsvětlíme si, jak se změní graf funkce, jestliže se částečně změní funkční předpis základní elementární funkce Všechn změn původního grafu budou demonstrován

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Funkce a lineární funkce pro studijní obory

Funkce a lineární funkce pro studijní obory Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce

Více

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK

M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída 3ODK M - Příprava na 1. čtvrtletku - třída ODK Souhrnný studijní materiál k přípravě na čtvrtletní písemnou práci. Obsahuje učivo října až prosince 007. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven

Více

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE

P ˇ REDNÁŠKA 3 FUNKCE PŘEDNÁŠKA 3 FUNKCE 3.1 Pojem zobrazení a funkce 2 3 Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Přiřadíme-li každému prvku x A právě jeden prvek y B, dostáváme množinu F uspořádaných dvojic (x, y) A B,

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM - 204/205 Určete, da funkce f(x, y) ln( x 2 +y 2 ) v bodě A, ve směru vektorů u, 0, u 2 0,, u 3, a u 4, 2 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce f(x, y) je definovány pro všechny

Více

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1. Definiční obor funkce dvou proměnných Definiční obor funkce dvou proměnných Řešené příklady 1. Definiční obor funkce dvou proměnných Vyšetřete a v kartézském souřadném systému (O, x, y) zakreslete definiční obory následujících funkcí dvou

Více

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y

K rozpoznání růstu či klesání dané funkce určitém směru nám pomůže gradient, tj. vektor., ln(1 x2 + y 2 [ = y VKM/IM 017/018 Určete da funkce fx y) ln1 x +y ) v bodě A 1 1 ve směru vektorů u 1 1 0 u 0 1 u 3 1 1 a u 4 1 roste či klesá a určete rychlost měny. Řešení: Funkce fx y) je definovány pro všechny body R

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika 0A1. Cvičení, zimní semestr. Samostatné výstupy. Jan Šafařík Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika 0A1 Cvičení, zimní semestr Samostatné výstupy Jan Šafařík Brno c 2003 Obsah 1. Výstup č.1 2 2. Výstup

Více

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy

7. Funkce jedné reálné proměnné, základní pojmy , základní pojmy POJEM FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ Reálná funkce f jedné reálné proměnné je funkce (zobrazení) f: X Y, kde X, Y R. Jde o zvláštní případ obecného pojmu funkce definovaného v přednášce. Poznámka:

Více

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které Kapitola 5 Kuželosečky Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které společně s kružnicí jsou známy pod společným názvem kuželosečky. Říká se jim tak proto, že každou z nich

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos 3x 3. Zderivuj funkci y = 3 e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x3 +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y

Více

Příklady k přednášce 3

Příklady k přednášce 3 Příklad k přednášce 3 1. Určete, zda závislost a daná uvedeným vztahem je funkce = f(). V případě záporné odpovědi stanovte, kterými funkcemi je možné příslušnou závislost popsat. 1. =3 2, (, + ) je funkcí,

Více

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017

WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 2017 Matematika I - Sbírka příkladů WikiSkriptum Ing. Radek Fučík, Ph.D. verze: 4. ledna 7 Obsah Limity a spojitost. l Hôpitalovo pravidlo zakázáno............................ 4. l Hôpitalovo pravidlo povoleno............................

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

VIDEOSBÍRKA DERIVACE

VIDEOSBÍRKA DERIVACE VIDEOSBÍRKA DERIVACE. Zderivuj funkci y = ln 2 (sin x + tg x 2 ) 2. Zderivuj funkci y = 2 e x2 cos x. Zderivuj funkci y = e sin2 (x 2 ). Zderivuj funkci y = x +2x 2 +sin x x 5. Zderivuj funkci y = cos2

Více

Základní topologické pojmy:

Základní topologické pojmy: Křivky Marie Ennemond Camille Jordan (88 9): Křivka je množina bodů, která je surjektivním obrazem nějakého intervalu Giuseppe Peano (858 9): Zobrazení intervalu na čtverec Wacław Franciszek Sierpiński

Více

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 36. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 36 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Určete iracionální číslo, které je vyjádřeno číselným výrazem (6 2 π 4

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr

ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. Matematika I/1 BA06. Cvičení, zimní semestr Vysoké učení technické v Brně Stavební fakulta ÚSTAV MATEMATIKY A DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE Matematika I/1 BA06 Cvičení, zimní semestr DOMÁCÍ ÚLOHY Jan Šafařík Brno c 2014 1 (1) Určete rovnici kručnice o

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální

Více

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32

Matematika 1 MA1. 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy. 4 Vzdálenosti. 12. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 32 Matematika 1 12. přednáška MA1 1 Analytická geometrie v prostoru - základní pojmy 2 Skalární, vektorový a smíšený součin, projekce vektoru 3 Přímky a roviny 4 Vzdálenosti 5 Příčky mimoběžek 6 Zkouška;

Více

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence :

Skládání různoběžných kmitů. Skládání kolmých kmitů. 1) harmonické kmity stejné frekvence : Skládání různoběžných kmitů Uvědomme si principiální bod tohoto problému : na jediný hmotný bod působí dvě nezávislé pružné síl ve dvou různých směrech. Jednotlivé mechanické pohb, které se budou skládat,

Více

Cyklografie. Cyklický průmět bodu

Cyklografie. Cyklický průmět bodu Cyklografie Cyklografie je nelineární zobrazovací metoda - bodům v prostoru odpovídají kružnice v rovině a naopak. Úlohy v rovině pak převádíme na řešení prostorových úloh, např. pomocí cyklografie řešíme

Více

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021

Gymnázium Česká a Olympijských nadějí, České Budějovice, Česká 64, 37021 Maturitní témata MATEMATIKA 1. Funkce a jejich základní vlastnosti. Definice funkce, def. obor a obor hodnot funkce, funkce sudá, lichá, monotónnost funkce, funkce omezená, lokální a globální extrémy funkce,

Více

1.6 Singulární kvadriky

1.6 Singulární kvadriky 22 KAPITOLA 1. KVADRIKY JAKO PLOCHY 2. STUPNĚ neboť B = C =. Z rovnice (1.34) plne, že přímka, procháející singulárním bodem kvadrik má s kvadrikou společný poue tento singulární bod (je-li A ) nebo celá

Více

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII

37. PARABOLA V ANALYTICKÉ GEOMETRII 37.. Napiš rovnici paraboly, která má osu rovnoběžnou s osou y a prochází body A 0; 60, B 4; 8, C 8;36. 0m p60n 4m p8n 8m p36n m p pn 0 6 8 6 mm p pn 64 6 7 3 mm p pn 6 8m64 p 3 64 6m9 p Je-li osa rovnoběžná

Více

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R +

y = 1/(x 3) - 1 x D(f) = R D(f) = R\{3} D(f) = R H(f) = ( ; 2 H(f) = R\{ 1} H(f) = R + Funkce. Vlastnosti funkcí Funkce f proměnné R je zobrazení na množině reálných čísel (reálnému číslu je přiřazeno právě jedno reálné číslo). Z grafu poznáme, zda se jedná o funkci tak, že nenajdeme žádnou

Více

ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D.

ploch Maturitní práce 2013/2014 Oponenti: RNDr. Alena Rybáková, RNDr. Vladimíra Hájková, Ph.D. Parametrické vjádření rotačních a šroubových ploch Michal Šesták Maturitní práce 2013/2014 Smíchovská střední průmslová škola Fakulta architektur ČVUT Vedoucí práce: Mgr. Zbšek Nechanický Oponenti: RNDr.

Více

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora Předmět: Cvičení z matematiky Náplň: Systematizace a prohloubení učiva matematiky Třída: 4. ročník Počet hodin: 2 Pomůcky: Učebna s dataprojektorem, PC, grafický program, tabulkový procesor Číselné obory

Více