Testování vybraných modelů odhadu hodnoty VaR

Transkript

1 Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR Aleš KRESTA, VŠB-TU Ostrava i Abstract Modelig, measurig, ad subsequet maagemet of the portfolio risks is of great importace for decisio makig i fiacial istitutios. This article is focused o the portfolio returs modelig with the use of two particular probability distributios, ormal distributio ad ormal iverse Gaussia model. The ormal distributio is chose because of its geeral ad easy use ad ormal iverse Gaussia distributio is selected because of its ability to model the skewess ad kurtosis. The goals of the article are to backtest chose models for VaR estimatio ad to choose the best oe. Models based o these two distributios are compared o the basis of VaR estimatio of market risk. The backtestig results are statistically tested o the umber ad idepedece of the exceptios. The coclusio, that the models which utilize the ormal iverse Gaussia model are for portfolio modelig more appropriate tha those with ormal probability distributio, is based o the results show i the applicatio part of the article. O the other had eve these models are ot accurate for VaR estimatio o lower cofidece levels because of the existece of buchig. Keywords Backtestig, copula fuctios, NIG model, returs modelig, Value at Risk. JEL Classificatio: G5, G, G i Departmet of Fiace, Faculty of Ecoomics, VŠB-Techical Uiversity of Ostrava, Sokolská 33, 70 Ostrava, Czech Republic. ales.kresta@vsb.cz The access to the METACetrum (super)computig facilities provided uder the research itet MSM ad the support of the SGS project of VSB-TU Ostrava SP0/7 is highly appreciated.. Úvod Risk maagemet je jedou z klíčových čiostí všech fiačích istitucí. Cílem risk maagemetu je idetifikace, modelováí a měřeí rizika, přičemž riziko je obecě chápáo jako možost odchýleí se skutečých výsledků od očekávaých. Riziko fiačích istitucí lze rozdělit a kredití (úvěrové) riziko, operačí riziko, riziko likvidity a v eposledí řadě riziko trží. Nejpoužívaější mírou rizika je hodota Value at Risk (VaR), která a zvoleé hladiě spolehlivosti vyjadřuje maximálí možou ztrátu. Metodologie Value at Risk je často kritizováa z důvodů esplňováí podmíek tzv. koheretí míry rizika, viz Artzer a kol. (999), a moho autorů proto doporučuje použít jako míru rizika hodotu coditioal Value at Risk (cvar). Nicméě při měřeí rizikovosti fiačích istitucí se používá právě hodota VaR (pro baky dle Basel II, pro pojišťovy dle Solvecy II). Při výpočtu hodoty VaR a cvar se vychází z historických dat, přičemž se většiou předpokládá ormálí rozděleí. Hodotu VaR pak lze vypočítat pomocí iverzí distribučí fukce ormovaého ormálího rozděleí a hodotu cvar je také možo vyjádřit aalyticky. Empirické pravděpodobostí rozděleí fiačích výosů má ale oproti ormálímu rozděleí vyšší špičatost a eulovou šikmost, viz apříklad Fama (965) ebo Filáček a kol. (998). Ve saze vypořádat se s těmito charakteristikami byly avržey růzé přístupy. Například Hase (994) 0 Published by VŠB-TU Ostrava. All rights reserved. ER-CEREI, Volume 4: 0 (0).

2 0 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 avrhl zešikmeé Studetovo rozděleí. Rověž Lévyho procesy jsou vhodým modelem pro fiačí časové řady. Přehled těchto procesů lze alézt apříklad v Cot a Takov (003). Při modelováí vývoje portfolia aktiv je potřeba eje zvolit vhodé pravděpodobostí rozděleí výosů jedotlivých aktiv, ale i zohledit vzájemou závislost jejich vývoje. S postupující itegrací jedotlivých fiačích trhů jsou aktiva čím dál více propojea a tím roste i výzam modelováí vzájemé závislosti. Vhodým a flexibilím ástrojem pro modelováí této závislosti jsou kopula fukce. Zatímco v publikaci Kresta (00) byly využity eliptické kopula fukce při ex-post modelováí výosů meziárodě diverzifikovaého portfolia, Tichý (00) zase zpětě testoval odhad hodoty VaR měového portfolia pomocí Lévyho modelů spojeých kopula fukcemi. Zpětým testováím odhadu hodoty VaR pro jedotlivé měové kurzy se však zabývali již Alexader a Sheedy (008), kteří uvažovali jak ormálí rozděleí výosů, tak i ěkteré složitější rozděleí jako Studetovo a smíšeé ormálí rozděleí. Cílem čláku je zpětě otestovat vybraé modely pro odhad hodoty VaR a vybrat te, který dosahuje ejlepších výsledků. Navrhovaé modely tak mohou sloužit jako iterí modely při určováí tržího rizika bak a pojišťove. Pro modelováí výosů portfolia aktiv (tedy tržího rizika) jsou v práci uvažováy modely ormálího iverzího Gaussova rozděleí pravděpodobosti a ormálího rozděleí pravděpodobosti, obojí sdružeé eliptickými kopula fukcemi. Přesost těchto modelů je empiricky ověřea pomocí metody zpětého testováí a historických časových řadách, přičemž je ověřová počet překročeí hodoty VaR a shlukováí těchto překročeí. Čláek je čleě ásledově. Nejprve je popsáo ormálí iverzí Gaussovo rozděleí pravděpodobosti (kapitola ) a kopula fukce (kapitola 3). V ásledujících dvou kapitolách je vysvětlea metodologie Value at Risk (kapitola 4) a postup zpětého testováí odhadu hodoty VaR včetě jedotlivých statistických testů (kapitola 5). V páté kapitole jsou aplikováa teoretická východiska a je provedeo zpěté testováí odhadu hodoty VaR pro zvoleá meziárodě diverzifikovaá portfolia akciových idexů. V závěru čláku jsou ásledě shruty dosažeé výsledky.. Normálí iverzí Gaussovo rozděleí pravděpodobosti Normálí iverzí Gaussův model (dále NIG) byl ve fiačí literatuře představe Bardorff-Nielseem (995). Předpokládejme parametry 0, a 0, NIG,, rozděleí pravděpodobosti, jímž se NIG model řídí, popsat pravděpodobostí fukcí hustoty ásledově: pak lze Distribučí fukci lze defiovat ásledově, FNIG exp K t x exp t dt, t kde f NIG () () K j x začí modifikovaou Besselovu fukci druhého druhu. Populačí momety tohoto rozděleí jsou shruty v tabulce. Tabulka Populačí momety NIG rozděleí Populačí momet exp x K x. x Vzorec Středí hodota 3 Rozptyl Šikmost Špičatost 3 3 Parametry,, a tohoto pravděpodobostího rozděleí mohou být odhaduty dvěma metodami: (i) metodou maximálí věrohodosti a (ii) metodou mometů. Použití metody maximálí věrohodosti je při odhadu parametrů NIG rozděleí časově/početě velmi áročé, vhodější se proto jeví použití metody mometů. Položíme-li populačí momety, uvedeé v tabulce, rovy mometům výběru, získáme ásledující odhady parametrů NIG rozděleí: 3s v ˆ m, 3k 4s (3) 9 3k 4s 9 ˆ, (4) 5 vk s sk s 3 ˆ 3, (5) v

3 A. Kresta Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR 03 5 vk s 3 3 ˆ 3 3, (6) 3k 4s 9 kde m je středí hodota výběru, v je rozptyl výběru, s je výběrový koeficiet šikmosti, k je výběrový koeficiet špičatosti. Detailější iformace lze alézt v Prause (999). 3. Charakteristika kopula fukcí Kopula fukce byly poprvé představey Sklarem (Sklar, 959). Přehled teorie spolu s praktickou aplikací pak lze alézt v textech Cherubii a kol. (004), Nelse (006) ebo Rak (006). Pro jedoduchost budeme dále uvažovat dvourozměrou kopula fukci, přičemž vše platí aalogicky i pro -rozměré kopula fukce. Kopula fukce je v podstatě reálá fukce, která zachycuje závislost jedotlivých distribučích fukcí v 0,, 0, 0, v R, C : (7) přičemž tato fukce musí pro jakékoliv u v, u, u, v, v 0, splňovat:, C pokud u u v, pak u, 0 C0, v 0, u, u, C, v v, C (8) (9), v, v C u, v C u, v C u, v u 0 C. (0) Na kteroukoliv kopula fukci může být pohlížeo jako a vícerozměrou distribučí fukci s margiálími distribučími fukcemi ve formě stadardizovaého rovoměrého rozděleí. Předpokládejme dvě potecioálě závislé áhodé proměé X a Y s margiálími distribučími fukcemi F a F X Y a sdružeou distribučí fukcí F Potom dle Sklarova teorému platí:. X,Y F x, y CF x, F y. X, Y X Y () Pokud jsou margiálí distribučí fukce F X a F Y spojité, kopula fukce C je jediečá. Sklarův teorém azačuje také iverzí vztah, C u, v F F u F v. () X, Y X, Z formulace () je patré, že sdružeé rozděleí pravděpodobosti obsahuje dvě rozdílé iformace: (i) margiálí distribučí fukce jedotlivých áhodých proměých, (ii) fukci závislosti těchto distribučích fukcí. Zatímco margiálí distribučí fukce jsou dáy pomocí F X a F, kopula fukce C popisuje Y pouze závislost těchto distribučích fukcí. Za předpokladu zalosti margiálích distribučích fukcí áhodých proměých je tedy pro Y potřeby modelováí ezbyté zvolit vhodou kopula fukci. S trochou zjedodušeí lze rozlišit eliptické a Archimédovy kopula fukce. Hlaví rozdíl mezi těmito dvěma typy fukcí spočívá ve způsobu jejich kostrukce. Zatímco pro Archimédovy kopula fukce je potřeba defiovat geerující fukci (tzv. geerátor), pro eliptické kopula fukce je dostatečá zalost související sdružeé distribučí fukce (apř. Gaussova, Studetova, atd.). 3. Charakteristika eliptických kopula fukcí Eliptické kopula fukce vycházejí z ěkterého zámého eliptického sdružeého rozděleí pravděpodobosti, kokrétě ejpoužívaější jsou Gaussova a Studetova kopula fukce. Nevýhodou při aplikaci těchto kopula fukcí v oblasti fiací je jejich symetričost, což eodpovídá hlavě kocům sdružeých rozděleí empirických dat. Obecě můžeme do kopula fukce dosadit dle () jakékoliv margiálí rozděleí, ovšem použitím ormálího rozděleí v případě Gaussovy kopula fukce získáváme sdružeé ormálí rozděleí pravděpodobosti a použitím Studetova rozděleí ve Studetově kopula fukci získáváme sdružeé Studetovo rozděleí pravděpodobosti. Defiice Gaussovy kopula fukce Gaussova kopula fukce patří mezi eliptické kopula fukce. Za předpokladu korelace mezi áhodými proměými R může být defiováa ásledově, Ga C u, v u, v, (3) R R kde je iverzí fukce k distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí, začí R dvourozměrou sdružeou distribučí fukci ormovaého ormálího rozděleí při korelaci R. Fukčí hodoty Gaussovy kopula fukce spolu s áhodě geerovaými čísly jsou zobrazey a obrázku. Defiice Studetovy kopula fukce Studetova kopula fukce vychází ze Studetova rozděleí pravděpodobosti, lze ji tedy defiovat ásledově, St C u, v t t u, t v, (4) R, R, kde R opět začí korelaci mezi áhodými proměými, t je iverzí fukcí k distribučí fukci Studetova rozděleí s stupi volosti a t R, Demarta a McNeil (005) apříklad popisují zešikmeou Studetovu kopula fukci, která sice vychází ze Studetovy kopula fukce, ale eí již symetrická, a tudíž epatří do třídy eliptických kopula fukcí.

4 04 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 Obrázek Průběh Gaussovy kopula fukce (vlevo) a geerovaá áhodá čísla (vpravo) pro parametr korelace R 0, 5 Obrázek Průběh Studetovy kopula fukce (vlevo) a geerovaá áhodá čísla (vpravo) pro parametr korelace R 0, 5 a stupě volosti je dvourozměrou sdružeou distribučí fukcí Studetova rozděleí při korelaci R a stupi volosti. Pomocí parametru lze u Studetovy kopula fukce ovlivit koce rozděleí. Pro ižší hodoty tohoto parametru je pravděpodobost extrémího scéáře vyšší (lze tedy takto modelovat těžké koce). Naopak čím je parametr vyšší, tím více se Studetova kopule blíží Gaussově kopuli. Fukčí hodoty Studetovy kopula fukce spolu s áhodě geerovaými čísly jsou zobrazey a obrázku. 3. Popis metod odhadu parametrů při modelováí pomocí kopula fukcí Existují tři hlaví přístupy k odhadu parametrů při modelováí pomocí kopula fukcí: EMLM (exact maximum likelihood method), IFM (iferece fuctio for margis) a CML (caoical maximum likelihood). Zatímco při použití EMLM jsou odhadováy všechy parametry současě, což může být výpočetě velmi áročé (obzvláště při odhadu vysoce dimezioálích dat ebo při použití složitějších margiálích fukcí), při IFM a CML jsou parametry margiálích rozděleí a parametry kopula fukce odhaduty zvlášť. V případě IFM jsou odhaduty ejprve parametry margiálích distribučích fukcí a a jejich základě pak parametry kopula fukce. U CML jsou parametry kopula fukce odhaduty a základě empirických distribučích fukcí. Podrobější vysvětleí těchto metod lze alézt apř. v Cherubii a kol. (004). V tomto čláku bude využito CML přístupu.

5 A. Kresta Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR 05 de x-m de x- de x- de x de x-m de x- de x- de x iterval pro odhad iterval pro ověřeí de x-m de x- de x- de x de x-m de x- de x- de x de x-m de x- de x- de x de x-m de x- de x- de x Obrázek 3 Posouváí itervalu (movig widow) vstupích dat pro výpočet hodoty VaR pro jedotlivé dy 4. Charakteristika metodologie Value at Risk Value at Risk (dále VaR) je metodou hodoceí rizika, která se des používá hlavě v oblasti fiačích istitucí. VaR v podstatě vyjadřuje maximálí možou ztrátu a určité hladiě spolehlivosti. Formálě lze tedy defiovat ásledově,, Pr VaR tt, t (5) kde vyjadřuje áhodou veličiu zde kokrétě změu cey portfolia za čas t, VaR, t je maximálí ztráta a daé hladiě spolehlivosti pro časový horizot t a Pr začí pravděpodobost. Hodota se azývá hladia výzamosti. Na VaR lze v podstatě pohlížet jako a kvatil (hladia spolehlivosti) pravděpodobostího rozděleí ztrát ebo jako a záporý kvatil (hladia výzamosti) pravděpodobostího rozděleí výosů. Nejčastěji používaé hladiy výzamosti, 5 %, % a 0,5 %, jsou zároveň zakotvey v legislativou staoveých metodologiích. Rověž časový horizot, pro který je hodota VaR počítáa může být pro jedotlivé istituce růzý pro baky dle metodologie Basel II je to 0 dí, pro pojišťovy dle metodologie Solvecy II pak jede rok. Obecě je však hodota VaR počítáa spíše pro kratší časové itervaly, ejčastěji pro jede de, a ásledě je přepočtea pro delší časové itervaly. 5. Popis postupu zpětého testováí (backtestig) Kvalitu odhadu hodoty VaR je potřeba (eje z důvodu legislativích ařízeí) ověřit a miulých datech. Předpokládejme, že máme model, který odhaduje hodotu VaR a určité hladiě spolehlivosti. Pro jedoduchost dále předpokládejme, že odhadujeme hodotu VaR pro iterval jedoho de. Při zpětém testováí postupujeme tak, že pro jedotlivé dy porováváme hodotu VaR určeou modelem a základě iformací zámých předchozí de k uvažovaému di a pozorovaou ztrátou uvažovaého de. Dy, ve kterých skutečá ztráta přesáhe hodotu VaR, se azývají výjimky. Pokud zazameáme výjimky v přibližě procetech případů, odhaduje model hodotu VaR správě. V případě vyššího výskytu výjimek model podhodocuje riziko, v případě ižšího počtu výjimek model riziko adhodocuje. Blíže se tímto postupem zabývá Hull (007) ebo Resti a Siroi (007). Postup ověřeí modelu pomocí zpětého testováí v případě odhadu tržího rizika je tedy ásledující: (i) uvažujeme výpočet hodoty VaR pro de x, (ii) pro odhad modelu použijeme časové řady korespodující s itervalem x m až x, kde m je zvoleá délka časové řady, a jejímž základě budeme model odhadovat, (iii) odhadutým modelem určíme hodotu VaR pro jede de a tuto hodotu porováme se skutečou ztrátou zazameaou de x, (iv) dále postup opakujeme pro další dy, tz. proměou x zvýšíme vždy o jedičku (jede de), celkem předpokládáme pozorováí. Schematicky je postup volby časové řady pro odhad modelu a časové řady pro ověřeí zázorě a obrázku 3. V podstatě tímto postupem ověřujeme, že pravděpodobost výskytu výjimky je rova hodotě, tedy hladiě výzamosti. Tuto rovost je potřeba statisticky otestovat. Pro potřeby statistických testů je potřeba defiovat proměou I, která abývá t hodoty jeda, pokud v de t skutečá ztráta překročí pro teto de odhadutou hodotu VaR, t (jedá se o výjimku), a hodoty ula, pokud skutečá ztráta v de t hodotu VaR, t epřekročí. Pro potřeby statistického testu počtu výjimek lze využít buď biomické rozděleí ebo vhodější test avržeý Kupiecem (Kupiec, 995), který je oboustraý, a tudíž testuje evhodost modelu jak z pohledu podhodoceí, tak adhodoceí rizika. Teto test je založe a ásledujícím věrohodostím poměru (likelihood ratio), 0 ock ock LR, (6) 0 kde i poz je počet pozorováí, pro která platí I t i, ock je očekávaá pravděpodobost výskytu výjimky (tedy ock ) a poz je pozorovaá pravděpo- poz

6 06 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 dobost výskytu výjimky, poz. Přičemž l LR má asymptoticky chí kvadrát rozděleí s jedím stupěm volosti. Testovací statistiku lze tedy přepsat do tvaru: 0 llr l 0 0 (7) 0 l, kde proměé mají stejý výzam jako v předchozí rovici. Druhým problémem při zpětém testováí je shlukováí výjimek (tzv. buchig). Předpokladem zpětého testováí je, že výskyt pozorovaých výjimek je v čase ezávislý a výjimky jsou rovoměrě rozprostřey. Testováím tohoto předpokladu se zabýval Christofferse (998), který avrhuje dva statistické testy. Prví test ověřuje áhodost rozděleí výjimek v čase. Jedá se o ásledující věrohodostí poměr, kde I t 0 poz poz 00 LR, (8) je počet pozorováí, pro která platí ij j I i, PrI j I i, t ij t t 0. Dále poz a, eboť je uté, aby platilo Rověž u tohoto testu l LR asymptoticky chí kvadrát rozděleí má s jedím stupěm volosti. Oba předchozí testy, defiovaé v (6) a (8), lze spojit do jedoho statistického testu, který ověřuje jak počet výjimek, tak jejich shlukováí v čase: 0 0 ock ock 00 LR, (9) kde všechy proměé byly vysvětley již u předchozích testů. V tomto případě má llr chí kvadrát rozděleí se dvěma stupi volosti. 6. Zpěté testováí odhadu tržího rizika V této kapitole bude zpětě testová odhad tržího rizika v podobě hodoty VaR pro zvoleé meziárodě diverzifikovaé portfolio akciových idexů. Bude tak avázáo a výzkum provedeý Tichým (00), portfolio citlivé pouze a měové riziko bude rozšířeo o riziko akciové. Předpokládáo bude meziárodě diverzifikovaé portfolio akciových idexů, rizikovými faktory tedy budou eje vývoj těchto idexů, ale i vývoj příslušých měových kurzů. Výos portfolia bude modelová pomocí eliptických kopula fukcí, jako margiálí rozděleí bude uvažováo ormálí rozděleí pravděpodobosti a NIG model. Vhodost modelů bude ásledě testováa pomocí metody zpětého testováí a statistických testů defiovaých v předchozí kapitole. 6. Vstupí data Zpěté testováí odhadu tržího rizika bude prováděo a portfoliu čtyř akciových idexů, kokrétě americký Dow Joes Idustrial Average (DJI), britský FTSE 00 (FTSE), japoský Nikkei 5 (N5) a švýcarský Swiss Market Idex (SMI). Vzhledem k tomu, že idexy jsou deomiováy v jiých měách ež českých koruách, budou v portfoliu zastoupey i měové kurzy vůči české koruě, kokrétě se jedá o americký dolar (USD), britskou libru (GBP), japoský je (JPY) a švýcarský frak (CHF). Časové řady ce těchto aktiv byly získáy ze serveru české árodí baky (kurzy jedotlivých mě vůči české koruě) a serveru fiace.yahoo.com (kurzy jedotlivých idexů) za období od do Vývoj těchto časových řad je zobraze a obrázku 4. Z obrázku je patrá závislost vývoje jak měových kurzů, tak akciových idexů. Jedotlivé časové řady byly spojey do matice tak, aby se v každém řádku vyskytovaly příslušé kurzy k patřičému di. Chybějící údaje byly iterpolováy ze dvou ejbližších echybějících sousedích hodot a ásledě byl provede převod a matici spojitých deích výosů, se kterými bude dále pracováo. Takto byly získáy časové řady o délce 3 89 pozorováí. Charakteristiky jedotlivých časových řad spojitých výosů za zvoleé období jsou shruty v tabulce. Z tabulky je zřejmých ěkolik pozatků. Idexy jsou více volatilí ež měové kurzy toto je jedak dáo vyšší hodotou směrodaté odchylky, ale také vyšším rozpětím maximálího a miimálího výosu. U všech časových řad lze pozorovat eulovou šikmost a začou špičatost. Idexy jsou zešikmey doleva pro ztráty jsou tedy pravděpodobější vyšší hodoty, kdežto zisky jsou spíše meší, ale více pravděpodobé. Měové kurzy, až a výjimku JPY, jsou aopak zešikmey doprava časové řady obsahují relativě hodě malých ztrát a v případě výosů jsou tyto vysoké. Již z pohledu a hodoty koeficietu šikmosti a špičatosti je zřejmé, že ormálí rozděleí Spojitý deí výos se určí jako logaritmus podílu aktuálí Pt cey aktiva k předchozí ceě, r t l l Pt l Pt. P t

7 A. Kresta Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR 07,8,5,,4,,0 0,9 0,8 0,6 0,6 0, DJI FTSE N5 SSMI Obrázek 4 Vývoj časových řad za období od do Pro přehledost byly cey ormalizováy tak, aby v počátku vždy začíaly a hodotě eí vhodé pro modelováí těchto časových řad. Toto potvrzuje i Jarque-Bera test, pomocí kterého můžeme pro všechy časové řady a 5% hladiě pravděpodobosti zamítout ulovou hypotézu, že řada má ormálí rozděleí. Koeficiety lieárí korelace výosů jedotlivých časových řad jsou uvedey v tabulce 3. Z tabulky je zřejmá růzá závislost dvojic idex měa a jedé straě a idex idex spolu s měa měa a straě druhé. Zatímco idexy (respektive měové kurzy) jsou vzájemě pozitivě korelováy, korelace mezi idexy a měami je egativí. Při růstu (respektive poklesu) 0, USD GBP JPY CHF cey idexu je tedy dopad mírě poklesem (respektive růstem) směého kurzu měy vůči české koruě. Při přepočtu hodoty idexů do českých koru by byly tyto hodoty méě volatilí ež hodoty vyjádřeé v příslušých měách. Jedotlivé modely budou aplikováy za účelem odhadu rizika pro růzá portfolia. Budou předpokládáa tři portfolia, kokrétě: (i) tageciálí portfolio П m, pro které je maximalizová poměr očekávaého výosu a směrodaté odchylky, (ii) rovoměrě citlivé portfolio П eq, kdy každý idex (potažmo i měový Tabulka Základí charakteristiky spojitých výosů vstupích časových řad Aktivum Miimálí výos Maximálí výos Středí hodota Mediá Směrodatá odchylka Šikmost Špičatost DJI 8,0 % 0,508 % 0,009 % 0,040 %,60 % 0,05 0,505 FTSE 9,65 % 9,384 % 0,00 % 0,046 %,99 % 0,06 8,67 N5, % 0,086 % 0,07 % 0,03 %,558 % 0,408 8,05 SMI 8,08 % 0,788 % 0,005 % 0,056 %,309 % 0,00 8,395 USD 4,88 % 4,333 % 0,09 % 0,036 % 0,77 % 0, 5,764 GBP 4,87 % 3,995 % 0,09 % 0,0 % 0,643 % 0,037 7,60 JPY 5,53 % 5,448 % 0,00 % 0,04 % 0,90 % 0,7 6, CHF 3,063 %,97 % 0,008 % 0,08 % 0,539 % 0,97 7,55 Tabulka 3 Korelačí matice spojitých výosů vstupích časových řad Aktivum DJI FTSE N5 SMI USD GBP JPY CHF DJI,000 0,493 0,48 0,477 0,073 0,05 0,6 0,35 FTSE 0,493,000 0,335 0,804 0,074 0,07 0,08 0,98 N5 0,48 0,335,000 0,33 0,048 0,00 0,78 0,74 SMI 0,477 0,804 0,33,000 0,04 0,004 0,69 0,98 USD 0,073 0,074 0,048 0,04,000 0,663 0,643 0,499 GBP 0,05 0,07 0,00 0,004 0,663,000 0,457 0,57 JPY 0,6 0,08 0,78 0,69 0,643 0,457,000 0,550 CHF 0,35 0,98 0,74 0,98 0,499 0,57 0,550,000

8 08 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 kurz) má v portfoliu stejou váhu, (iii) portfolio s miimálím rozptylem П mv. Váhy jedotlivých idexů (a potažmo i měových kurzů) jsou pro tato portfolia uvedey v tabulce 4. Lze vidět, že při maximalizaci podílu očekávaého výosu a rizika (tageciálí portfolio) jsou přibližě dvě třetiy prostředků ivestováy do švýcarského idexu a třetia prostředků je ivestováa do amerického idexu. Portfolio s miimálím rozptylem je již diverzifikováo do všech čtyř možých idexů do švýcarského a amerického idexu je ivestováa vždy přibližě třetia prostředků, pětia prostředků je ivestováa do japoského idexu a zbytek je ivestová do britského idexu. Tabulka 4 Složeí uvažovaých portfolií Portfolio ozačeí DJI, USD FTSE, GBP N5, JPY SMI, CHF Tageciálí portfolio П m 9,79 % 0,00 % 0,00 % 70, % Rovoměrě citlivé 5,00 % portfolio П eq 5,00 % 5,00 % 5,00 % Portfolio s miimálím rozptylem 34,5 %,5 %,6 % 3,98 % П mv 6. Postup odhadu hodoty VaR a použité modely Pro odhad hodoty VaR byla uvažováa čtyři růzá sdružeá rozděleí pravděpodobosti: (i) ormálí rozděleí pravděpodobosti sdružeé Gaussovou kopula fukcí defiovaou rovicí (3) tedy sdružeé ormálí rozděleí, Ga-Ga, (ii) NIG rozděleí defiovaé rovicí () sdružeé Gaussovou kopula fukcí, NIG-Ga, (iii) ormálí rozděleí sdružeé Studetovou kopula fukcí defiovaou rovicí (4), Ga-St (iv) NIG rozděleí sdružeé dohromady pomocí Studetovy kopula fukce, NIG-St. Při odhadu modelů bylo využito CML přístupu, který byl zvole s ohledem a časovou úsporu vzhledem k přístupům IFM a EMLM, která vychází z faktu, že pro modely s růzými margiálími rozděleími jsou parametry kopula fukcí odhaduté metodou CML vždy stejé, a proto je postačuje odhadout pouze jedou. Byly tedy odhaduty zvlášť parametry margiálích rozděleí a zvlášť parametry kopula fukcí. Při odhadu parametrů obou se vycházelo z posledích 50 dí s ohledem a to, aby v datech byly přítomy extrémí výosy a zároveň aby časová řada použitá pro odhad parametrů ebyla příliš dlouhá a pružě reagovala a změy charakteristik výosů jedotlivých aktiv. Parametry NIG modelu byly odhaduty metodou mometů dle rovic (3) až (6), parametry kopula fukcí (korelačí matice pro Gaussovu kopuli a korelačí matice spolu se stupi volosti pro Studetovu kopula fukci) pak metodou maximálí věrohodosti. Odhad hodoty VaR byl provede metodou simulace Mote Carlo s 50 tisíci scéáři pro pozorováí číslo 5 (4. září 998) až 3 89 (9. prosiec 009), celkem bylo tedy uskutečěo 939 testovacích pozorováí. 3 Při odhadu hodoty VaR pomocí simulace Mote Carlo je pro každý de postupováo ásledově. Nejprve jsou a základě odhadutých parametrů patřičé kopula fukce geerováa áhodá čísla v itervalu (0,), která mají patřičou strukturu závislosti, kokrétě je geerováo 50 tisíc vektorů áhodých čísel. 4 Takto geerovaá áhodá čísla jsou pak pomocí patřičých iverzích distribučích fukcí margiálích rozděleí trasformováa a áhodé výosy jedotlivých aktiv, čímž je získáo 50 tisíc vektorů áhodých výosů jedotlivých aktiv. Pro každý vektor (scéář) výosů jedotlivých aktiv je ásledě urče výos portfolia. Simulovaé výosy portfolia jsou seřazey vzestupě od ejižší po ejvyšší ztrátu a hodota VaR je určea jako patřičý kvatil rozděleí pravděpodobosti (tedy jako ztráta v pořadí ). Celý postup zpětého testováí byl provede třikrát, vždy s áhodě astaveým geerátorem pseudoáhodých čísel. Výsledky všech tří běhů zpětého testováí byly téměř idetické počet výjimek u jedotlivých modelů a hladi spolehlivosti byl většiou stejý, výjimečě se lišil o jedu výjimku. Dále budou tedy prezetováy pouze výsledky prvího běhu zpětého testováí. 6.3 Výsledky zpětého testováí Pro zvoleé hladiy spolehlivosti 85 %, 95 %, 99 % a 99,5 % lze vzhledem ke 939 pozorováím předpokládat postupě 44, 47, 9 a 5 výjimek. Pozorovaé počty výjimek pro jedotlivé modely a portfolia jsou uvedey v tabulce 5. Obecě lze říci, že při použití všech modelů je hodota VaR a hladiě spolehlivosti 85 % adhodocea (počet výjimek je ižší ež je předpoklad) a a hladiě spolehlivosti 95 %, 99 % a 99,5 % podhodocea (počty výjimek jsou vyšší, ež je předpoklad). Lze tak usuzovat a dodatečou špičatost pravděpodobostího rozděleí výosů, která eí modely zachycea. Na základě srováí počtu výjimek lze jako ejpřesější model ozačit NIG rozděleí sdružeé 3 V obrázku 3 tedy x abývá postupě hodoty 5 až Postup geerováí vektoru áhodých čísel pro Gaussovu a Studetovu kopula fukci uvádějí apříklad Cherubii a kol. (004).

9 A. Kresta Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR 09 Studetovou kopula fukcí, kdy lze pomocí Kupiecova testu a 5% hladiě pravděpodobosti akceptovat počet výjimek pro všecha portfolia a hladiy spolehlivosti. Teto model je charakteristický tím, že ze všech uvažovaých modelů dovoluje modelovat ejvyšší špičatost. Použije-li se pro sdružeí NIG rozděleí amísto Studetovy kopula fukce Gaussova kopule, pozorovaý počet výjimek se pro 85% hladiu spolehlivosti síží (NIG-Ga tak ve srováí s NIG-St riziko ještě více adhodocuje) a pro ostatí hladiy spolehlivosti se počet výjimek zvýší (NIG-Ga tak ve srováí s NIG-St riziko ještě více podhodocuje). Pro NIG-Ga model již elze statisticky akceptovat počty výjimek pro hladiu spolehlivosti 85 % (portfolio s miimálím rozptylem a rovoměrě citlivé portfolio) a rověž pro hladiu spolehlivosti 99 % pro tageciálí portfolio. Nejhorších výsledků dosahují modely založeé a ormálím rozděleí. Lze vidět, že při použití Studetovy kopula fukce je rozdíl mezi pozorovaým a předpokládaým počtem výjimek ižší ež při použití Gaussovy kopula fukce. Rozdíly jsou však většiou stále příliš vysoké, ež aby mohly být statisticky akceptováy (s výjimkou odhadu VaR a hladiách spolehlivosti 85 % a 95 % pro ěkterá portfolia). S ohledem a pozorovaý počet výjimek lze tedy shrout, že pro modelováí výosů portfolia je potřeba zvolit model s možostí modelovat vyšší špičatost margiálích rozděleí a dále že použitím Studetovy kopula fukce je ve srováí s Gaussovou kopula fukcí dosahováo lepších výsledků. Druhým problémem, který může při zpětém testováí vzikat, je shlukováí výjimek. Pomocí Christofferseova testu ezávislosti výjimek bylo testováo, zda je pravděpodobost astáí výjimky ezávislá a skutečosti, zda ji předcházela či epředcházela výjimka. P-hodoty tohoto testu pro jedotlivé modely a portfolia jsou uvedey v tabulce 6. Lze vidět, že výjimky jsou a sobě ezávislé pouze pro hladiy spolehlivosti 99 % a 99,5 %, a to ještě e pro všecha portfolia a modely. Na obrázku 5 je srová vývoj hodoty portfolia s miimálím rozptylem a rozložeí výjimek odhadu VaR a hladiě spolehlivosti 95 %. Výjimky jsou azačey spodím sloupcovým grafem. Z tohoto srováí lze vidět, že výjimky se ejvíce shlukují při propadech hodoty portfolia, kokrétě v létě roku 00 a a jaře roku 006, dále pak od podzimu roku 007 do koce roku 008. Obrázek 5 Srováí vývoje hodoty portfolia s miimálím rozptylem a vývoje výjimek při odhadu VaR a hladiě spolehlivosti 95 % Tabulka 5 Počty výjimek pro jedotlivé modely, portfolia a hladiy spolehlivosti modelu VaR. Tučě zvýrazěé hodoty lze a 5% hladiě pravděpodobosti přijmout a základě Kupiecova testu za rové předpokládaému počtu výjimek. Portfolio Tageciálí portfolio П m Rovoměrě citlivé portfolio П eq Portfolio s miimálím rozptylem П mv Hladia spolehlivosti Předpokládaý počet výjimek Normálí rozděleí Gaussova kopule Pozorovaý počet výjimek Studetova kopule Gaussova kopule NIG rozděleí Studetova kopule 85,0 % ,0 % ,0 % ,5 % ,0 % ,0 % ,0 % ,5 % ,0 % ,0 % ,0 % ,5 % ,0,5,0,5,0 0,5 0,0

10 0 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 Na obrázku 6 uvedeém v příloze je graficky zachyce vývoj hodoty VaR odhaduté modelem NIG- St pro portfolio s miimálím rozptylem spolu se skutečou ztrátou tohoto portfolia pozorovaou daý de. K výjimkám dochází v případě, že skutečá ztráta je vyšší ež odhadutá hodota VaR a tyto výjimky jsou pro jedotlivé hladiy spolehlivosti zachycey a obrázku 7 v příloze. 7. Závěr Modelováí rizika je bezesporu jedím z hlavích úkolů risk maagemetu. V tomto čláku byla popsáa metoda modelováí výosů portfolia aktiv pomocí kopula fukcí a růzých margiálích rozděleí. Kokrétě byly popsáy eliptické kopula fukce, tj. Gaussova a Studetova kopula fukce, jako margiálí rozděleí byl charakterizová ormálí iverzí Gaussův model. Kromě toho byla popsáa metodologie VaR, která se používá jako ukazatel míry rizika, dále byl azače postup zpětého testováí odhadu této hodoty, včetě popisu jedotlivých statistických testů. V aplikačí části čláku byla zpětě testováa kvalita odhadu hodoty VaR avrhovaých modelů a meziárodě diverzifikovaém portfoliu akciových idexů. Pro modelováí margiálích rozděleí byly uvažováy ormálí iverzí Gaussův model a ormálí rozděleí pravděpodobosti. Tato margiálí rozděleí byla sdružea pomocí Gaussovy a Studetovy kopula fukce. Celkově tak byly uvažováy čtyři modely (sdružeé rozděleí pravděpodobosti). Z těchto čtyř uvažovaých modelů je pro modelováí výosů portfolia ejvhodější ormálí iverzí Gaussův model sdružeý pomocí Studetovy kopula fukce. O ěco horších výsledků dosahuje ormálí iverzí Gaussův model sdružeý pomocí Gaussovy kopula fukce. Pro oba modely je počet pozorovaých výjimek při zpětém testováí velmi blízký očekávaému počtu výjimek, avšak problematické je shlukováí těchto výjimek. Toto shlukováí se projevuje obzvláště při odhadu hodoty VaR a ižších hladiách spolehlivosti. Normálí rozděleí pravděpodobosti, ať už sdružeé Gaussovou, ebo Studetovou kopula fukcí, eí pro modelováí portfolia příliš vhodé. Při odhadu hodoty VaR a vysokých hladiách spolehlivosti ejsou tyto modely přesé. Literatura ALEXANDER, C., SHEEDY, E. (008). Developig a stress testig framework based o market risk models. Joural of Bakig ad Fiace 3(0): ARTZNER, P. a kol. (999). Coheret measures of risk. Mathematical Fiace 9(3): BARNDORFF-NIELSEN, O. E. (995). Normal iverse Gaussia distributios ad the modelig of stock returs. Aarhus: Aarhus Uiversity. CONT, R., TANKOV, P. (003). Fiacial Modellig with Jump Processes. Boca Rato: Chapma a Hall/CRC. DEMARTA, S., MCNEIL, A. J. (005). The t copula ad related copulas. Iteratioal Statistical Review 73(): 9. FAMA, E. F. (965). The behavior of stock market prices. Joural of Busiess 38(): Tabulka 6 P-hodoty Christofferseova testu a ezávislost výjimek v čase. Hodoty vyšší jak 0,05 jsou zvýrazěy Portfolio Tageciálí portfolio П m Rovoměrě citlivé portfolio П eq Portfolio s miimálím rozptylem П mv Hladia spolehlivosti Normálí rozděleí Pozorovaý počet výjimek NIG rozděleí Gaussova kopule Studetova kopule Gaussova kopule Studetova kopule 85,0 % 0,00 0,005 0,00 0,003 95,0 % 0,000 0,000 0,000 0,000 99,0 % 0,70 0,35 0,44 0,079 99,5 % 0,9 0,055 0,098 0,064 85,0 % 0,000 0,000 0,000 0,000 95,0 % 0,000 0,000 0,000 0,000 99,0 % 0,069 0,03 0,043 0,03 99,5 % 0,055 0,487 0,574 0,60 85,0 % 0,000 0,000 0,000 0,000 95,0 % 0,000 0,000 0,000 0,000 99,0 % 0,00 0,00 0,403 0,30 99,5 % 0,403 0,89 0, 0,086

11 A. Kresta Testováí vybraých modelů odhadu hodoty VaR FILÁČEK J., KAPIČKA M., VOŠVRDA M. (998). Testováí hypotézy efektivího trhu a BCPP, Czech Joural of Ecoomics ad Fiace 48(9): GREEN, H. W. (008). Ecoometric aalysis. Upper Saddle River: Pretice Hall. HANSEN, B. E. (994). Autoregressive coditioal desity estimatio. Iteratioal Ecoomic Review 35(3): HULL, J. (007). Risk Maagemet ad Fiacial Istitutios. Upper Saddle River: Pretice Hall. CHERUBINI, G., LUCIANO, E., VECCHIATO, W. (004). Copula Methods i Fiace. Chichester: Wiley. CHRISTOFFERSEN, P. F. (998). Evaluatig iterval forecasts. Iteratioal Ecoomic Review 39(4): KRESTA, A. (00). Portfolio Value at Risk estimatio utilizig Lévy models coupled together by copula fuctios. I Proceedigs of 47th EWGFM meetig. Prague: X-MEDIA servis, KUPIEC, P. (995). Techiques for verifyig the accuracy of risk measuremet models. Joural of Derivatives 3(): NELSEN, R. B. (006). A Itroductio to Copulas. New York: Spriger. Spriger Series i Statictics. PRAUSE, K. (999). The Geeralized Hyperbolic Model: Estimatio, Fiacial Derivatives, ad Risk Measures. Freiburg im Breisgau: Albert-Ludwigs- Uiversität Freiburg. RANK, J. (006). Copulas: From Theory to Applicatio i Fiace. Lodo: Risk Books. RESTI, A., SIRONI, A. (007). Risk Maagemet ad Shareholders Value i Bakig: From Risk Measuremet Models to Capital Allocatio Policies. Chichester: Wiley. SKLAR, A. (959). Foctios de repartitio à dimesios et leurs marges. Publ. Ist. Statist. Uiv. Paris 8: 9 3. TICHÝ, T. (00). Posouzeí odhadu měového rizika portfolia pomocí Lévyho modelů. Politická ekoomie 58(4): Příloha Obrázek 6 Pozorovaá jedodeí ztráta a hodota VaR odhadutá modelem NIG-St při růzých hladiách spolehlivosti pro portfolio s miimálím rizikem

12 Ekoomická revue Cetral Europea Review of Ecoomic Issues 4, 0 Obrázek 7 Pozorovaé výjimky pro portfolio s miimálím rozptylem a NIG-St model