Zkoušková písemná práce č. 1 z předmětu 01MAB3

Transkript

1 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (13 bodů) Zkoušková písemá práce č. 1 z předmětu 01MAB3 14. leda 2016, 9:00 11:00 Pro kvadratickou plochu x 2 4xy + 5y 2 + 2xz + 2yz + 10z 2 + 2y + 4z = 3 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pokud je kvadrika cetrálí, určete její střed. (10 bodů) Rozhoděte, zda platí rovost d dx + Korektě a velmi detailě zdůvoděte!! (10 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice ( 1) ( ) 2x2 + 4 = ( 1) +1 1 x R. 2 2x x 2 y ( 5x 2 + 4x ) y + ( 6x x + 6 ) y = 0 i difereciálí rovice y 6y + 12y 8y = 0. Nápověda: Rovice jsou sestaveé tak, že mají eprázdý průik fudametálích systémů. (10 bodů) Nalezěte Maclauriovu řadu fukce a její obor kovergece. f (x) = l ( x x 2) (7 bodů) Představte si, že cestujete po prostoru spojitých fukcí C ( 0, 1 ), kde je defiová skalárí souči f g = 1 0 f (x) g (x) dx f, g C ( 0, 2π ), který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Chcete se dostat z bodu θ do bodu h a a mapě zjistíte, že můžete cestovat bud přes f, ebo přes g. Přitom x 0, 1 platí Která z těchto dvou cest je kratší? θ (x) = 0, h (x) = x 2, f (x) = x + 1, g (x) = 2x.

2 Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

3 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 2 z předmětu 01MAB3 21. leda 2016, 9:00 11:00 Sestavte mociou řadu, jejíž součet je rove itegrálu I (x) = x 0 1 e t2 dt a určete její obor kovergece O. Dále rozhoděte, zda uvedeá řada stejoměrě koverguje a O. Velmi pečlivě zdůvoděte všechy kroky. (9 bodů) Načrtěte možiu M ( ) R 2, ρ 2 zadaou předpisem M = (A B) \ (A B), kde {( A = 1, 1) (0, 2), B = ) x, 2x 2 R 2 x R}. Poté ačrtěte a pomocí matematických formulí (tj. podobě jako v defiici samoté M) popište možiy C = M 0, D = M, E = der ( M 0), F = (der (M)) 0. Nakoec ajděte předpis pro metriku χ (x, y) tak, aby χu 5 ((0, 1)) = F. Pokyy k áčrtkům: Nakreslete osy souřadé soustavy. Plou čarou vyzačte hraici možiy, která do í patří, přerušovaou čarou hraici, která do í epatří. Kde je to potřebé, vyzačte plým kolečkem bod, který do možiy patří, prázdým kolečkem bod, který do í epatří. Plochu patřící do možiy vyšrafujte. (11 bodů) Pro kvadratickou plochu x z + 6xz 5 2y + 17z 2 + 4x + 2y 2 2xy = 0 v prostoru R 3 staovte hlaví a vedlejší sigaturu, ormálí tvar a ázev. Najděte vektory příslušé polárí báze. Rozhoděte, zda jde o plochu cetrálí a pokud ao, příslušý střed vypočítejte. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. t 2 Pokračováí a další stráce!

4 (12 bodů) Nalezěte ortoormálí bázi podprostoru [ ] p0, p 1, p 2 λ C ( 0, + )) kde p 0 (x) = 3, p 1 (x) = π + ex, p 2 (x) = e + πx + eπx 2. Skalárí souči je a C ( 0, + )) zavede vztahem + f g = xe x f (x) g (x) dx. Nápověda: 1) Jak vypadají prvky lieárího obalu [ p 0, p 1, p 2 ]λ? 2) Čemu se rová I = x e x dx? Pokyy k vypracováí: Na začátku máte k dispozici 10 papírů. O další papíry si v případě potřeby eváhejte říci hlídajícímu. Odevzdávejte pouze papíry, které obsahují fiálí řešeí příkladů (ikoliv pomocé pozámky apod.) Začíejte každý příklad a ovém papíru. Na každý papír apište do pravého horího rohu svoje jméo a do levého horího rohu výrazě vyzačte číslo příkladu. Pište čitelě a myšleky formulujte srozumitelě! Příklad: Vypočítejte obor kovergece mocié řady + Správá argumetace: Nejprve poloměr kovergece: +1 L = lim = lim = = R = 1 = 1 L = O = / 1, 1/ (kde "/" je čárkovaá závorka - zatím evíme, zda kulatá či hraatá) a zbývá vyšetřit krají body: pro x = 1: + 1 = +..diverguje - eí splěa utá podm. kovergece. pro x = 1: + ( 1) diverguje ze stejého důvodu =. x Špatá (zcela zmateá) argumetace: 1 R = lim +1 = = 1 kraje: divg. (to je vidět) (zde lze je "tušit", jak je to asi myšleo) Opravující mají právo vyloučit z opravováí písemé práce, resp. jejich části, které esplňují uvedeé pokyy. Bodové hodoceí takové práce, resp. její části, je 0 bodů.

5 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (8 bodů) Zkoušková písemá práce č. 3 z předmětu 01MAB3 1. úora 2016, 9:00 11:00 Abelovým kritériem vyšetřete stejoměrou kovergeci řady + a R. Je možé použít i Weierstrassovo kritérium? (10 bodů) Mezi formálími řešeími difereciálí rovice ( 1) (2)!! 2 (2 + 1)!! 2 + x 2 y = 3 y2 x 2 6 y x 3 3 y2 x y x 3 je i kružice o poloměru R = 5. Nalezěte její střed. (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2u 2 + 2uv + 5v 2 6vx + 2x 2 8uy 4vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 0, 1) T, (2, 1, 1, 2) T, (7, 2, 1, 5) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (9 bodů) Necht H = je prostor se skalárím součiem f C ( 0, + )) f g = f 2 (x) e x dx < + f (x) g (x) e x dx, který idukuje (geeruje) příslušou ormu a metriku. Nalezěte možiu M = {m N 0 o U 6 ( f m )}, kde o je ulová fukce o (x) = 0 a f m (x) = x 3 2 m. Dále určete, čemu se rová f m0 ( 4) pro m 0 = mi (M). (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) 2 2.

7 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (9 bodů) Zkoušková písemá práce č. 4 z předmětu 01MAB3 9. úora 2016, 9:00 11:00 Nalezěte dvě řešeí exaktí difereciálí rovice (cy bx) y = ax + by, která jsou ve tvaru přímky procházející bodem (0, 0). Určete podmíku pro parametry a, b, c R + ve tvaru závislosti b = b (a, c) tak, aby uvedeé dvě přímky byly a sebe kolmé při skalárím součiu ( ) 1 1 u u = u T u. 1 2 Nápověda: Prozradili jsme vám typ rovice. Chtěli jsme vám tím usadit práci? (15 bodů) Řešte difereciálí rovici 5 a j x j y ( j 1) (x) = b pro a = (24, 0, 12, 4, 1) T, b = 120 a x > 0. Nápověda: Někde uhodete, že ěco je rovo 1 a +2. (6 bodů) j=1 Necht g C ( a, b ) a g a,b g. Dokažte, že v Hilbertově prostoru C ( a, b ) se skalárím součiem f g = b a f (x) g (x) dx a příslušou ormou a metrikou, které jsou tímto skalárím součiem idukováy (geerováy), platí (10 bodů) lim g = g. + Nalezěte všechy hodoty parametru µ R, pro které je kvadratická forma egativě defiití. (10 bodů) q (x, y, z) = x 2 y 2 z 2 4µ (xy + xz + yz) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé.

9 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (16 bodů) Zkoušková písemá práce č. 5 z předmětu 01MAB3 17. úora 2016, 9:00 11:00 Načrtěte co ejpřesěji kuželosečku, která představuje formálí řešeí difereciálí rovice s počátečí podmíkou y 2y (x + 2y) = ; y ( 2) = 1. x 2 8y 2 Nápověda: Při tvorbě áčrtku může pomoci zalost středu kvadriky (pokud existuje), průsečíků s osami (pokud existují), vektorů polárí báze, asymptot (pokud existují) apod. Zvažte sami, co z toho se bude ejlépe hodit! (8 bodů) Vypočítejte + = (12 bodů) Nalezěte ezámé vektory u, u v souboru tak, aby platily ásledující podmíky: (1) S je polárí bází kvadratické formy S = ( ( 1, 1, 1) T, u, u ) q (x 1, x 2, x 3 ) = 7x 2 3 2x x 1x 2 + 2x 1 x 3 8x 2 x 3, (2) Při stadardím skalárím součiu a R 3 je u e 1 = 0. Určete sigaturu formy q. V závislosti a parametru µ R poté diskutujte, jakou kvadriku defiuje rovice q (x) µ = 0. Pozámka: Určeí ázvu kvadriky v závislosti a µ je výzamě hodoceo. Pokud si epamatujete ázvy podle tvaru Q, můžete použít metodu řezů. (9 bodů) Necht jsou v pro každé x, y R 2 defiováa zobrazeí ω J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2, ρ J (x, y) = 2 y 1 x y 2 x 2. Ověřte, zda ω J a ρ J jsou metriky, a postup detailě kometujte. (7 bodů) Nalezěte fukci f : R R, pro kterou platí a dále f (1) = 6, f (1) = 5, f (1) = 4, f (1) = 3 f (k) (1) = 2 k N, k > 3.

11 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (12 bodů) Zkoušková písemá práce č. 6 z předmětu 01MAB3 10. květa 2016, 9:20 11:20 Pro kvadratickou plochu 2x + x 2 6y 2xy + 2y 2 + 4z 4xz 2yz + 12z 2 = 0 určete hlaví a vedlejší sigaturu a ormálí tvar včetě afií trasformace (x, y, z) T = M (a, b, c) T + (r, s, t) T, která ji a teto tvar převádí. Jaký je ázev této kvadriky? Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (11 bodů) Nalezěte součet číselé řady + ( 1) (9 bodů) Nalezěte obecé řešeí difereciálí rovice x 2 y 2x (1 + x) y + 2 (1 + x) y = 8x 3 e 2x. Nápověda: Můžete použít fakt, že příslušou rovici s ulovou pravou straou řeší fukce v (x) = x. (6 bodů) Heavisideova fukce θ je defiováa jako 1 x > 0, θ (x) = 0 x 0. Necht je zadá metrický prostor ( R 2, ρ ) s metrikou defiovaou vztahem ρ (x, y) = x 2 y 2 + θ ( x 1 y 1 ). Vykreslete tvar okolí U 1 ((2, 3)) a rozhoděte, zda v prostoru ( R 2, ρ ) platí implikace ( ) lim x = x = ( 0 N) ( > 0 ) (x = x). + Svoje tvrzeí správě zdůvoděte. (12 bodů) S použitím vhodých zalostí z teorie mociých a Taylorových řad odvod te tvar Maclauriových řad fukcí f (x) = si x a g (x) = arcta x. Odvod te rověž příslušé obory kovergece a dokažte, že součty těchto řad jsou a jejich oborech kovergece skutečě rovy fukcím f (x) a g (x).

13 Katedra matematiky Fakulty jaderé a fyzikálě ižeýrské ČVUT v Praze Příjmeí a jméo BONUS CELKEM (11 bodů) Řešte Cauchyovu úlohu Zkoušková písemá práce č. 7 z předmětu 01MAB3 25. květa 2016, 9:00 11:00 x 4 y 2x 3 y 8x 2 y + 20xy = 72, y (1) = 8, y (1) = 2, y (1) = 64. Nápověda: Možá vám pomůže číslo 2. (11 bodů) Vypočítejte x 7 e x 4 dx. Nezapomeňte ověřit, že všechy provedeé úpravy jsou platé. Nápověda: Platí + 1 = π (12 bodů) Rozhoděte, zda kvadratická forma může mít polárí bázi ve tvaru q (x, y, u, v) = 2v 2 + 2uv + 5u 2 6ux + 2x 2 4uy 8vy + 2xy y 2 B P = { (1, 0, 1, 0) T, (2, 1, 2, 1) T, (7, 2, 5, 1) T, w }. Pokud ao, určete ezámý vektor w a staovte sigaturu formy q. Pozámka: Numerické chyby se v tomto příkladě etolerují! (10 bodů) V metrickém prostoru ( R 2, ρ J ) s modifikovaou skokovou (jump) metrikou defiovaou jako ρ j (x, y) = 2 x 1 y x 2 y 2 vykreslete tvary okolí U 5 ((0, 0)) a U 6 ((0, 0)) a rozhoděte, zda jsou to v tomto prostoru možiy otevřeé či uzavřeé. (6 bodů) Ozačme symbolem A možiu všech omezeých fukcí f : 1, 1 R. Rozhoděte, zda platí: (1) Zobrazeí N ( f ) := sup x 1,1 f (x) je ormou a A. (2) Bilieárí forma H ( f, g) := 1 f (x) g (x) dx je skalárím součiem a A. Svá tvrzeí detailě odůvoděte. 1