3. Charakteristiky a parametry náhodných veličin

Transkript

1 3. Charatersty a parametry áhodýh velč Úolem této aptoly je zavést pomoý aparát, terým budeme dále popsovat pomoí jedoduhýh prostředů áhodé velčy. Taovýmto aparátem jsou tzv. parametry ebo haratersty áhodé velčy. Obeě je dělíme a parametry polohy a parametry varablty. 3. Medá a vatly Defe 3. Nehť X je áhodá velča a F je její dstrbučí fue. 00p% vatlem této áhodé velčy azveme číslo p taové, že pro daé p œ (0, ) je F( p ) p lm F( ) p. (3.) + p Něteré vatly mají speálí ozačeí: = 0,5... medá 50% vatl 0,5... dolí vartl 5% vatl 0, horí vartl 75% vatl, =,,...,9... tý del 0, =,,...,99... tý peretl 00 Pozáma 3. Předhozí haraterstu budeme využívat především v matematé statste. Přílad. Nehť X je áhodá velča typu B(30;0,4). Jde tedy o bomé rozděleí s parametry =30 a p=0,4. Podle předhozí část můžeme zjstt jedotlvé vatly: Kvatly 0% 0% 30% 40% 50% 60% 70% 80% 90% Dolí vartl je v tomto případě 0 a horí vartl je 4. Přílad. Zjstěme hodoty příslušýh vatlů rozděleí N(0,). 5% 0% 5% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% 65% 70% 75% 80% 85% 90% 95% -,64 -,8 -,04-0,84-0,67-0,5-0,39-0,5-0,3 0,00 0,3 0,5 0,39 0,5 0,67 0,84,04,8,64 3. Modus Defe 3. Nehť X je dsrétí áhodá velča. Potom bod azveme modusem áhodé velčy X, jestlže pro ěj platí PX ( = ) PX ( = y), y. (3.) Nehť X je spojtá áhodá velča s hustotou f. Potom bod azveme modulem áhodé velčy X, jestlže pro ěj platí f ( ) f( ),. (3.3) V případě dsrétí áhodé velčy je modusem ejčetější hodota, v případě spojté áhodé velčy hodota,v íž je hustota mamálí. V případě, že taovéto možost astávají ve víe ež v jedom bodě, jsou všehy taové body prohlášey modusem áhodé velčy X.

2 Přílad Modusem áhodé velčy N(0,) je hodota 0, eboť v této hodotě abývá hustota áhodé velčy mamum.π. Modusem áhodé velčy B(0;0,7) je ejčetější hodota tedy modus je rove Středí hodota áhodé velčy Teto parametr je jede z ejdůležtějšíh parametrů, má velé využtí v statstýh studíh, proto se jím budeme zabývat obšírěj. Defe 3.3 Nehť X je áhodá velča. Řeeme, že tato áhodá velča má středí hodotu E(X), jestlže absolutě overguje řada resp. estuje tegrál:. P( X = ) =. p, dsrétí áhodá velča EX ( ) = = =. f ( ) d, spojtá áhodá velča.(3.4) Kovergee řady resp. estee tegrálu v (3.4) je podstatá! Věta 3. Vlastost středí hodoty áhodé velčy. Nehť X je áhodá velča typu ostata. Potom její středí hodota E(X) estuje a je rova hodotě.. Nehť X je áhodá velča, > 0. Nehť dále estuje E(X). Potom áhodá velča.x má středí hodotu. E(X) 3. Nehť X je áhodá velča, ehť dále X 0. Potom E(X) Nehť X, Y jsou áhodé velčy, ehť estuje E(X) a E(Y). Potom má áhodá velča X + Y středí hodotu E(X) + E(Y). Důaz:. Protože áhodá velča je ostata, platí P(X=) =. Tedy estuje jstě součet (3.4) a je rove E(X) =. =. Jstě tvrzeí platí pro případ =0. Nehť tedy 0. Vyšetřujme ejdříve případ dsrétí áhodé velčy: a) Náhodá velča abývá postupě hodoty,, s pravděpodobostm p, p,. Tedy áhodá velča.x abývá hodoty.,., s pravděpodobostm p, p, Protože řada. p overguje absolutě právě a dále dyž overguje řada.. p =.. p EX (. ) = (. ). p=.. p= EX. ( ) b) Spojtá áhodá velča, >0. Nehť F je dstrbučí fue áhodá velča X a f je její hustota. Nehť G je dstrbučí fue áhodé velčy.x a g je její hustota. Potom platí y G( ) = P(. X < ) = P( X < ) = f ( t) dt = F( ) = f ( ) dy. (3.5)

3 Ze vztahu (3.5) jsou vdět rovost G ( ) = F( ) g ( ) = f.. Tedy dále E(. X ) =. f. d =.. v f (). v dv = v. f () v dv =. E( X ). Nehť <0 potom platí G( ) = P(. X < ) = P X > = P X = f( t) dt = f( t) dt = v v = f. dv = ( ).. f dv, (3.6) Ze vztahu (3.6) jsou vdět rovost G ( ) = F g ( ) = ( ).. f. Tedy EX (. ) =.. f d= v... f(). v dv=. vf. () vdv= EX. ( ). 3. Důaz provedeme opět samostatě pro dsrétí a spojté áhodé velčy. Nehť tedy X je dsrétí áhodá velča, terá abývá hodoty,, s pravděpodobostm p, p,, protože X 0 jsou hodoty ezáporé. Tedy EX ( ) = p. 0. Nehť je dále X áhodá velča spojtá s hustotou f, podle podmíe platí 0 0 PX ( < 0) = 0 = F(0) = f. ( d ) =.0d.. Tedy hustota áhodé velčy X je a možě záporýh čísel rova ule. Odtud tedy, eboť hustota f je ezáporá podle věty.8. EX ( ) = tf. ( tdt ) = tf. ( tdt ) Důaz tohoto tvrzeí je uvede v moograf []. Q.E.D. Pozáma 3. Vlastost. v předhozí větě se obeě azývá homogeta, vlastost 4. adtvta, dohromady tyto dvě vlastost azýváme leartou. Vlastost 3. se azývá ezáporost zobrazeí. Každé zobrazeí do prostoru azýváme obeě fuoářem. Středí hodota jao zobrazeí E :, je prostor áhodýh velč, je tedy leárí a ezáporý fuoář a možě áhodýh velč, teré mají středí hodotu. Pozáma 3. V předhozí větě jsme se omezl je a případ spojtého a dsrétího rozděleí. Nazačíme dále, ja byhom mohl sjedott pojem dsrétího a spojtého rozděleí v jede pojem. Nejdříve přpomeňme fu χ - haraterstá fue možy, defovaou ásledujíím předpsem: 0, χ :, (3.7) Všměme s, že χ je pro œ áhodou velčou. Jestlže vytvoříme X =. χ, { } je úplý rozlad možy W, œ, pro všehy dey, pa =

4 můžeme o tato defovaé áhodé velčě hovořt jao o spojté áhodé velčě. Přesý postup je uvede v moograf [] ebo v []. Věta 3. Zobeěé vlastost středí hodoty Nehť E je středí hodota defovaá v def 3.3. Potom je E ezáporý, leárí fuoář a. Naví je spojtý zdola a shora tj. X, X, X X( X X) E X E X E X E( X) ( ) ( ) ( ) ( ) Důaz: Vlastost platí samozřejmě za předpoladu estee středí hodoty. Nezáporost a learta vyplývají z věty 3.. Budeme dále doazovat spojtost zdola a shora. Bez újmy a obeost lze předpoládat, že X 0, m= ma{ X }. Potom platí pro všeha œí a ε > 0 :0 X m. χ[ ε ] + ε. Podle vlastost ezáporost středí X ( ) ( ) hodoty je 0 EX ( ) Em. χ[ ] + ε = mpx. X ε ε + ε, ale P ( X ε ) 0, protože X 0. Z předhozího vyplývá, že E( X ) 0. Odtud jž vyplývají obě tvrzeí. Př důazu jsme využl tvrzeí, že pro œ je χ = P ( ). Doažte jej. Q.E.D. Přílady a staoveí středíh hodot áhodýh velč uvedeme v další aptole. Bez důazu uvedeme důležté tvrzeí. Věta 3.3 Nehť X je áhodá velča a g: -> je spojtá fue. Potom g ë X je áhodá velča, terá má středí hodotu právě, dyž estuje tegrál g(). t f( t) dt. Dále je Eg ( X) = gt ( ). ftdt ( ). Důaz: Provede apřílad v [],[]. 3.4 Rozptyl áhodé velčy Defe 3.4 Nehť X je áhodá velča, pro terou estuje středí hodota. Jestlže má áhodá velča (X E(X)) středí hodotu, potom VR( X ) = E( X E( X )) (3.8) azveme rozptylem áhodá velča X. Číslo σ ( X ) = VR( X ) se azývá směrodatá odhyla áhodá velča X. Věta 3.4 Vlastost rozptylu áhodé velčy Nehť áhodá velča X má rozptyl VR(X). Potom:. VR(X) = E(X ) (E(X)) (3.9). Nehť dále a œ, potom VR(a. X ) = a. VR(X) (3.0)

5 3. Nehť b œ, potom VR(X + b ) = VR(X) (3.) Důaz:. ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ( ) ( ) VR( X) = E X E( X) = E X. X. E( X) + E( X) = E( X ) ( ) ( ) E. X. E( X) + E E( X) = E X. E( X). E( X) + E( X) = ( ). ( ( )) ( ( )) ( ) ( ( )) = E X E X + E X = E X E X, př důazu jsme využl leartu středí hodoty, uvedeou ve větě 3... Jestlže estuje VR(X), potom musí estovat taé VR(a.X). Podle předhozí ( ) část stačí zjstt ověřt este (. ) (. ) EaX a E ax, ale tyto středí hodoty estují vzhledem vlastostem středí hodoty a este ( ) ( ) Využjeme dále vztah (3.9) a je (( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) VRaX (. ) = E ax. E ax. = E a. X ae. X = ( ) ( ) ( ( )) ( ) ( ( )) = a. E X a. E X = a. E X E X = a. VR( X) E X a E X. 3. Podobě jao v předhozí část, jestlže estuje VR(X), potom estuje VR(X+b). Proveďme výpočet VR(X+b) přímo podle defe (3.8): ((( ) ( )) ) ( ) ( ( )) ( ) ( ) VR( X + b) = E X + b E X + b = E X + b E X b = = E X E X = VR X Q.E.D. Něteré další vlastost rozptylu áhodýh velč budeme vyšetřovat v aptole věovaé ezávslost áhodýh velč. Uvedeme ještě ěteré další typy haraterst áhodýh velč. Přílady a výpočet taovýhto čísel poeháme a závěrečou část této aptoly. 3.5 Momety áhodé velčy Defe 3.5 Nehť X je áhodá velča, œ Í. Potom číslo :. µ ( X ) = E( X ) (3.) azveme -tým mometem áhodé velčy X, poud estuje.. ν ( X) = E( ( X E( X) ) ) (3.3) azveme -tým etrálím mometem áhodé velčy X, jestlže uvedeý výraz estuje µ ( X ) 3. δ ( X ) = (3.4) σ ( X ) azveme -tým ormovaým mometem áhodé velčy X, mají l všehy výrazy smysl 4. Speelě 3. ormovaý momet azýváme oefet šmost áhodé velčy X α ( X ) = δ ( X ) (3.5) 3 3

6 5. Speelě dále určujeme oefet špčatost áhodé velčy X jao α ( X) = δ ( X) 3 (3.6) Výpočet středí hodoty a rozptylu ěterýh záladíh typů áhodýh velč Dsrétí áhodé velčy 3.6. Degeerovaé rozděleí a) E(X) = 0. = 0 ; b) VR(X) = 0. ( 0 ) = 0 EX ( ) = p. +.( p), a) 3.6. lteratví rozděleí b) VR X = ( p+ p ) ( p+ p ) ( )..( )..( ), Je l speelě = a = 0 je potom a) E(X) = p b) VR(X) = p.(-p) = p. q Bomé rozděleí a) E( X) =.. p.( p) =. p.. p.( p) = = 0 = j j = p... p.( p) = p..( p+ ( p) ) = p. j= 0 j b) ( ) VR( X) = p... p.( p) =. p.. p.... p.( p) + = 0 = 0! +.. p.( p) =. p.. p +. p+. p.( p) = = 0 = ( )!.( )! ( ) ( ) = p.. p +.( ). p.. p.( p) = p. p. = p..( p) = pq.. = Possoovo rozděleí λ j λ. e λ λ λ λ a) EX ( ) =. = λ. e. = λ. e. e = λ = 0! j= 0 j! b) ( ) λ λ λ λ λ. e λ. e λ. e λ. e VR( X ) = λ. = λ.. λ.. +. =!!!! = 0 = 0 = 0 = 0 j λ λ λ λ = λ. λ + e. λ.. = λ. λ + e. λ. ( j+ ). = ( )! j! = =

7 ( ) = + + = + + = λ λ λ λ. λ e. λ. λ. e e λ. λ λ λ λ

8 Spojté áhodé velčy Rovoměré rozděleí b a+ b a) EX ( ) = f. ( d ) =. d= b a a b a+ b b) VRX ( ) =. f( d ) f. ( d ) =. d = b a a a+ b a ab. + b =.( a + ab. + b ) = Cauhyho rozděleí a EX ( ) = f. ( d ) =.. d, posledě psaý tegrál ale eestuje. a) π a + Proto eestuje a středí hodota tohoto rozděleí b) Protože eestuje středí hodota, emůže estovat a rozptyl Normálí rozděleí a) ( ) µ substtue t. σ EX ( ) = f. ( d ) =.. e d= µ = ( σ. t+ µ ).. e. σdt= σ.. π = t σ.. π σ t t = σ. t.. e. σ dt+ µ.. e. σ dt = 0 + µ.= µ σ.. π σ.. π ( µ ) substtue. σ b) VR( X ) = ( µ ). f ( ) d = ( µ ).. e d = µ = σ.. π = t σ t t t... { }... lm. = σ t e σdt = σ te + e dt = σ π =. π. π N. π = σ Je zřejmé, že středí hodota rozděleí N(0,) je tedy rova 0 a rozptyl tohoto rozděleí je rove.

9 3.7 Smíšeé momety áhodýh velč V této část se zaměříme a případy, dy je uto vyšetřovat víe áhodýh velč, teré jsou spolu spojeé v áhodém vetoru buď pomoí sdružeé hustoty ebo pomoí sdružeé pravděpodobostí fue. Defe 3.6 Nehť = (X, X,,X ) je áhodý vetor. Nehť dále X. X,..., X r, de r 0 r r a r = r, je áhodá velča, terá má středí hodotu. Potom smíšeým mometem r = E X X X. tého řádu áhodýh velč X, X,,X azveme hodotu ( r ). r,..., r Pozáma 3.3 a) V případě, že áhodý vetor = (X, X,,X ) je dsrétí se sdružeou pravděpodobostí fuí P, hodota smíšeého mometu r tého řádu rova : r r r r r r E( X. X,..., X ) =..... P( X =, X =,..., X = ) (3.7),,..., v uvedeém součtu sčítáme samozřejmě přes všehy možé te, v hž je sdružeá pravděpodobostí fue eulová. b) V případě, že áhodý vetor = (X, X,,X ) je spojtý se sdružeou hustotou f, je hodota smíšeého mometu r tého řádu rova : r r r r r r (.,..., ) = (,,..., )... (3.8). E X X X f dd d Sdružeé momety áhodýh velč budeme vyšetřovat především v stuaíh, dy je uté zoumat vlv jedotlvýh áhodýh velč ( prvů áhodého vetoru ) a sebe. Toto zoumáí budeme provádět především v ásledujíí aptole a potom dále v matematé statste. Bez důazu yí uvedeme dvě věty, teré ám dávají poteoálě možost počítat eje výše uvedeé smíšeé momety, ale zároveň odůvodňují způsob výpočtů ěterýh obeýh haraterst áhodýh velč. Věta 3.5 Nehť = (X, X,,X ) je spojtý áhodý vetor se sdružeou dstrbučí fuí Å a sdružeou hustotou f. Nehť g : je borelovsá fue. Potom g je áhodá velča právě tehdy, dyž je tegrovatelý souč f. g. Přtom dále platí ( ) ( ) E g... g u,..., u. f ( u,..., u ) du... du (3.9) = Věta 3.6 Nehť X je spojtá áhodá velča s hustotou f. Nehť dále je g spojtá reálá fue. Potom ( ) ( ). ( ) E g X = g f d (3.0) Oba důazy jsou uvedey apř. v [] věta