Rovnice se separovanými proměnnými

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Rovnice se separovanými proměnnými"

Transkript

1 Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), () kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se separovanými proměnnými. V celé kapitole budou písmena I, J označovat otevřené intervaly. Ihned vidíme, že pokud g(y ) =, je y řešením rovnice definovaným na všech intervalech obsažených v definičním oboru funkce f. Toto řešení se nazývá stacionární. Základní věta, která nám umožní najít netriviální řešení rovnice se separovanými proměnnými, je následující: Věta (Řešení rovnice se separovanými proměnnými). Je dána rovnice (). Nechť f(x) je spojitá v I, nechť g(y) je spojitá a nenulová v J. Nechť F (x) resp. G(y) jsou primitivní funkce k f(x) resp. /g(y) v I resp. v J. Označ G (z) funkci inverzní ke G(y). Nechť Ĩ I a c R jsou zvoleny tak, že F (x)+c leží v definičním oboru G (z) (tj. v G(J)) pro všechna x Ĩ. Potom funkce G (F (x) + c), x Ĩ je řešení rovnice (). Poznámka. Předpoklad F (x) + c leží oboru hodnot G je potřeba hlídat formální výpočet totiž může vést k funkci, jejíž definiční obor je větší než interval, na níž tato funkce řeší naši rovnici. Příklad. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = y. Řešení. Ihned vidíme jediné stacionární řešení, x R. Dále aplikací předchozí věty nacházíme řešení. pro I = R, J = (, ): G(y) = y, F (x) = x. Tedy G(J) = (, ), Ĩ = (, c). nalezené řešení (x+c), x (, c). Pozor: pro x > c daná funkce NENÍ řešení rovnice.. pro I = R, J = (, ): G(y) = y, G(J) = (, ). Nalezené řešení (x + c), x ( c, ). (Opět není řešení pro x < c). Nevíme však zatím, zda jsou tato řešení maximální a zda jsou všechna. Někdy se může stát, že řešení, které nám dává Věta, nejsou maximální. Máme-li řešení na intervalech (a, b) a (b, c), je možné, že se nám povede funkci spojitě dodefinovat v bodě b a že získáme řešení na větším intervalu (a, c). O této situaci hovoří následující lemma:

2 Lemma (O slepování). Nechť y (x) : (a, x ) R, y (x) : (x, b) R jsou řešení rovnice y = f(x, y). () Nechť lim y (x) = y = lim y (x). Nechť f(x, y) je spojitá v bodě (x, y ) x x x x + R. Potom funkce y (x), x (a, x ) y (x), x (x, b) y, x = x je řešením rovnice () v celém (a, b). Poznámka. Lemma řeší vlastně jedinou věc: že rovnice je splněna v bodě slepení (x, y ) (jinde je to z předpokladů triviálně jasné) a říká, že to je zaručeno, slepím-li řešení spojitě. Může však nastat i situace, že dvě řešení je možné slepit, přestože v bodě lepení není funkce f spojitá. Řešení. (pokračování) Funkce { (x + c), x < c, x c je dle Lemmatu řešení rovnice y = y v R, neboť vznikne slepením dvou řešení: y (x) = (x + c) v (, c) a y (x) = v ( c, ). Také funkce { (x + c), x > c, x c je řešením rovnice. Tato řešení jsou evidentně maximální, neboť jsou definována na celém R. Zbývá dořešit otázku, zda jsou všechna (samozřejmě nezapomínáme na nulové stacionární řešení). Jak poznáme, že jsme nalezli všechna maximální řešení? Picardova věta o existenci a jednoznačnosti nám dává jednoznačnost řešení v bodech, na jejichž okolí jsou funkce (x, y) f(x)g(y) a (x, y) f(x)g (y) spojité. Máme-li tedy oblast Ω R, v níž jsou tyto funkce spojité, a najdu-li sadu řešení, které Ω vyplní (každým bodem prochází aspoň jedno z nich), pak žádná jiná řešení nejsou. Naopak body, v nichž g (y) neexistuje, jsou obvykle kandidáti na větvení. (V bodě (x, y ) nastává větvení, jestliže jím procházejí dvě řešení, která se neshodují na žádném P (x, δ).) V případě rovnice se separovanými proměnnými však platí silnější věta o jednoznačnosti:

3 Tvrzení 3 (o jednoznačnosti). Jsou-li f a g spojité v Ω, pak k větvení může dojít pouze v bodech, v nichž g neexistuje nebo není spojitá a zároveň g =. Nepotřebujeme tedy spojitost (x, y) f(x)g (y), pokud g je nenulová. Toto tvrzení si můžete dokázat jako cvičení (viz níže). Řešení. (dokončení) Uvažme opět rovnici y = y. Sada řešení y c (x) = (x c), x (c, ) zjevně vyplňuje horní polorovinu Ω = {(x, y), y > } (bodem (x, y ) Ω prochází řešení, kde c = x y ). Protože f i g jsou v Ω spojité a g navíc nenulová, žádná jiná řešení zde nemohou být. Řešení tvaru (x + c) podobně vyplní dolní polorovinu. K větvení tedy může dojít pouze v bodech (x, ) a všechna tato větvení jsme našli. c c c c. moznost. moznost 3. moznost 4. moznost Takto tedy vypadá celý postup hledání maximálních řešení rovnice ():. Určíme maximální otevřené intervaly obsažené v definičním oboru funkce f. (Tím máme vymezeny maximální intervaly, na kterých můžeme hledat řešení.). Najdeme všechny nulové body funkce g. Je-li g(c) =, potom funkce y c na libovolném intervalu z. kroku je stacionární řešení rovnice (). 3. Určíme maximální otevřené intervaly, na kterých je funkce g nenulová. 4. Vezmeme interval I z. kroku a interval J z 3. kroku. Tedy f je na I spojitá a g je na J spojitá a nenulová. Budeme hledat řešení rovnice (), která jsou definovaná někde v intervalu I a mají hodnoty v intervalu J. Je-li y takové řešení, pak pro něj platí y (x) g(y(x)) = f(x). 3

4 Nechť F je primitivní funkce k funkci f na intervalu I a G je primitivní funkce k funkci /g na J. Potom existuje konstanta c R taková, že platí G(y(x)) = F (x) + c na definičním oboru řešení y, který nalezneme v následujícím kroku. 5. Nyní zafixujeme c a nalezneme maximální neprázdné otevřené intervaly obsažené v množině {x I; F (x) + c G(J)}. Na každém z těchto intervalů řešení musí mít tvar G (F (x) + c), kde G značí funkci inverzní k funkci G. Ta existuje, neboť G je na intervalu J buď rostoucí nebo klesající. 6. Z řešení nalezených v 5. kroku a singulárních řešení z. kroku slepíme všechna maximální řešení rovnice (). Příklad. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = x( + y ) Řešení. Bod : I = R. Bod : rovnice nemá žádné stacionární řešení. Bod 3: J = R. Bod 4: po vydělení + y a integraci dostáváme arctg y = x + c. (3) Protože máme jen jeden interval pro x a jeden pro y, nemusíme zde rozlišovat několik případů a úloha se tím výrazně zjednodušuje. Bod 5: protože funkce G = arctg zobrazuje J = R na ( π/, π/), musí pravá strana rovnosti (3) ležet v intervalu ( π/, π/), tj. x ( π/ c, π/ c). Pokud c π/, je řešení definované na intervalech x ( π/ c, π/ c) a x ( π/ c, π/ c). Pokud c ( π/, π/), pak je definované na intervalu ( π/ c, π/ c). Pokud c π/, řešení neexistuje. Řešení je dané předpisem y = tg(x + c). 4

5 Bod 6: Protože v krajních bodech intervalů (± ±π/ c) je lim ±, nalezená řešení nelze prodloužit, jsou tedy maximální. Z věty o jednoznačnosti plyne, že jsme nalezli všechna řešení, protože každým bodem roviny prochází některé z námi nalezených řešení. Skutečně, bodem [x, y ] prochází řešení y = tg(x + c), kde c = arctg y x, definované na intervalu ( π/ c, π/ c), je-li x <, arctg y x π/, nebo na intervalu x ( π/ c, π/ c), je-li x >, arctg y x π/ a nebo na intervalu ( π/ c, π/ c), je-li arctg y x ( π/, π/). Π Π Π Π Π Π sedou prochazeji zespodu omezena reseni bilou prochazeji reseni neomezena zeshora i zespodu Úlohy Nalezněte všechna maximální řešení následujících rovnic:. y = y. y = y 3. y = (3/) 3 y 4. y = y 5. (x 4x)y + y = 6. y = 3x y 7. y = cos y x + 8. y sin x = y ln y 9. y = 3 y. y = exp( (x + y)). yy y + x = x. y = 3 3 y exp x 3. y = y y 5

6 4. (x + x)y (x + )y = 5. y cos x + y(y + ) sin x = 6. x (x + 4)y = cos y 7. yy = x y 8. xy + y = y 9. y = x+y. e y ( + y ) =. y = y x. y sin x = y ln y, y(π/) = 3. y = +y +x, y() = 4. y = ye x 5. y = e x 5 y 4 6. y = (+y )x +x 7. y = e y cos x 8. ( e x )y = 3e x tg y cos y 9. y = ( + y ) tg x 3. y = x y 3. y = x y 3. y = +y xy 33. y = xy x y x 34. xy cos y + sin y = sin y 35. Najděte maximální řešení počáteční úlohy y xy = b(+xy ), y() = v závislosti na parametru b R. 36. Najděte všechna maximální řešení rovnice y = y x, která jsou omezená. 37. Najděte množinu všech bodů v rovině, kterými prochází právě jedno řešení rovnice y = cos x e y definované na celém R. 38. Najděte všechna A R, pro která existuje řešení rovnice y ( e x ) = 3e x tg y cos y splňující lim x lim x + A. 39. Nechť f je spojitá na okolí bodu x a g je spojitá a nenulová na okolí bodu y. Pak v bodě (x, y ) nedochází k větvení. 6

7 Řešení ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: sgn(y) ln y = x + c, c R. Po úpravách pro y < : y = exp( (x + c)) a pro y > : y = exp(x + c) Závěr: k exp(x sgn(k)), x R, k R. 5 k = 5 k = k = 5 k = - k = -5 ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = ± na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci y+ ln( ) = y x + c, c R. Po úpravách pro y ( ; ) a pro y (; + ) máme y = cotgh(x + c) pro y ( ; ) y = tgh(x + c). Závěr: ±, x R; tgh(x + c), x R, c R; cotgh(x + c), x ( ; c) nebo x ( c; + ), c R. 7

8 3 asymptoty 3.5 3) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: y = x + c, c R, tj. 3 x > c. Po úpravách pro y < : y = (x + c) 3 a pro y > : y = (x + c) 3. Lze nalepit v c. Závěr: { x ( ; c), ± c R (x + c) 3 x [ c; + ), vycet moznych chovani reseni -c -c I. II. III. 4) Řešíme pro x R a y [ ; ]. Stacionární řešení y = ± na R. Pro y ( ; ) řešíme rovnici y =, po integraci arcsin y = x + c, c R. y Odtud y = sin(x + c), x ( π c; π c). Řešení lze napojovat ve všech bodech, kde y = nebo y =. Každé maximální řešení rovnice je určeno vzorcem sin(x+c) pro x ( π c; π c), na ( ; π c] a na [ π c; + ) kde c je reálné číslo. 8

9 vycet moznych chovani reseni -c navazani reseni I. II. III. 5) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; 4), x (4; + ), y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: ln( y ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravách pro y < : 4 x 4 y = k 4 x, k > a pro y > : y = k x 4 4 x, k >. Závěr:, x 4 x R; ±k 4 x, x ( ; ) nebo x (; 4) nebo x (4; + ), x 4 k R k =.5 k = 3 k = 3 k = -.5 k = - k = - 4 6) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: = y x3 + c, c R. Po úpravách y =. Závěr:, x R;, x ( ; 3 c) x 3 +c x 3 +c nebo x ( 3 c; + ), c R. 9

10 4 c = c = 8 c = c = - c = 4 asymptoty 3 7) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = π + kπ na R. Řešíme na intervalech y ( π + kπ; π + kπ), k R. Po integraci: tg(y) = arctg(x) + c, c R. Po úpravách y = arctg(arctg x + c) + kπ. Závěr: kπ + arctg(c + arctg(x)), x R, c R, k Z; π + kπ, x R, k Z. 3 Π c =.5 3 Π Π c = - Π c =.5 c = Π Π 3 3 8) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x (kπ; π + kπ), k Z, y R +. Po integraci: ln ln y = c cos x arctgh(cos x), c R. Po úpravách pro y < : y = exp( c ) = +cosx exp( c tg( x ) ), c > a pro y > : y = exp(c cos x +cos x ) = exp(c tg( x ) ), c >. V x = kπ lze nalepit. Závěr:, x R; exp(c tg( x )), x ((k )π; (k + )π), c R \ {}.

11 4 c = - c = 3 c =.5 Π 9) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: 3 3 y = x + c, c R. Po úpravách y = ( x+c 3 )3 pro x ( ; c) nebo x ( c; + ). Závěr: ( x+c 3 )3 ; x ( ; c] ; x ( c; d) c, d R, c d ( x+d 3 )3 ; x = [ d; + ) Π vycet moznych chovani reseni d c c d I. II. III. IV. ) Má smysl pro x, y R, stacionární řešení y = na R. Po integraci: exp y = c exp( x), c >. Po úpravách y = ln(c exp( x)) pro x ( ln c; + ). Závěr: ln(c exp( x)); x ( ln c; + ), c >.

12 c = e 5 5 c = e c = x 3 c = e 3 5 t ) Má smysl pro x ( ; ) nebo x ( ; ) nebo x (; + ), žádná stacionární řešení. Řešíme na intervalech y ( ; ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln y = ln x + c, c R. Po úpravách y = ± + k. Závěr: y = ± + k pro x ( ; ) a pro x x y ( ; ) x ( ; k) nebo x ( k; + ) y = ± + k x 3 x ( ; k) nebo x ( ; ) nebo x ( k; + ) pro k ( ; ) x ( ; ) nebo x (; + ) pro k ( ; ] x ( ; ) nebo x ( k; k) nebo x (; + ) pro k (; ) pro k [; + )

13 x t ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ) nebo y (; + ). Po integraci: 3 y = exp(x) + c, c R. Po úpravách y = (c + exp(x)) 3. Pro c < lze slepit v y =. Závěr: (exp(x) + c) 3, x R c R +, (exp x + c) 3 ; x ( ; ln( c)] ; x (ln( c); ln( d)) c, d R { }, c > d (exp x + d) 3 ; x = [ln( d); + ) vycet moznych chovani reseni c = c = - I. II. III. d = - e 3) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R a y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; ), y (; + ). Po integraci: 3

14 ln y = x + c, c R. Po úpravách y =. Závěr:, x R, y c exp x + c exp x, { x R pro c ( ; ] x ( ; ln c) nebo x ( ln c; + ) pro c (; + ) 4 c = -e c = c = -e 4 c = - asymptoty 4) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x ( ; ), x (; + ), y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln y = c + ln x + x, c R. Po úpravách y = c(x + x). Závěr: 4 c = c =.4 c = - 4 4

15 5) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = a y = na R. Řešíme na intervalech x ( π + kπ; π + kπ), k Z, y ( ; ), y ( ; ), y y (; + ). Po integraci: ln = ln cos x + c, c R. Po úpravách y+ y =. Závěr:, x R a c cos x c cos x c cos(x) c cos(x) x (kπ arccos( ); kπ + arccos( )), k Z c c pro c ( ; ] [; + ) x (kπ + arccos( ); (k + )π arccos( )), c c pro c ( ; ] [; + ), k Z x R pro c ( ; ) c =.5 c = -. c = - c = -8 c = -7 c = 3 3 Π Π 6) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = π + kπ, k Z. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; + ), y ( π +kπ; π +kπ), k R. Po integraci: tg(y) = arctg( x) + c, c R. Po úpravách y = arctg( arctg( x) 8 4x 8 + c). Závěr: kπ + arctg( arctg( x) + c), x ( ; ) nebo 4x 8 4x x (; + ), c R, k Z a kπ + π, x R, k Z. 7) Má smysl pro x R, žádná stacionární řešení. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: 3 y3 = x x +c, c R. Po úpravách y = 3 3(x x + c). Závěr: 3 3(x x + c) na intervalech: Pokud c ( ; ), pak x R. Pokud c =, x ( ; 4 4 ) nebo x ( ; + ). A pokud c ( ; + ), pak x ( ; + c) nebo x ( + c; c) nebo x ( + + c; + ). 4 4 Π 3 Π 5

16 x c = 6 c = nelze slepit c = 3 t c = 3/4 c = -/4 c = 3/4 c = - 8) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = a y = na R. Řešíme na intervalech x ( ; ), x (; + ), y ( ; ), y (; ), y (; + ). Po integraci: ln y = ln x + c, c R. Po úpravách pro y < a y > : y y =, k > a pro < y < : y =, k >. Závěr:, +k x k x +kx x ( ; ) nebo x ( ; + ), k R \ {},,, x R. k k 4 c = -/ mnohoznacnost reseni c = c = / c = - 4 asymptoty 4 4 9) Má smysl pro x R, žádná stacionární řešení. Po integraci: y x + ln = c, c <. Po úpravách y = log ln ln ( x c). Závěr: log ( x c), x ( ; log ( c)), c R. 6

17 c = - c = - c = c = ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: ln exp( y) = x + c, c R. Po úpravách pro y < : y = ln(k exp x + ) a pro y > : y = ln( k exp x). Závěr: { x ( ; ln( k)) pro k ( ; ) ln( + k exp(x)), x R pro k [; + ) 4 c = -e c = - e c = - e 4 c = c = ) Má smysl pro x ( ; ) nebo x ( ; +) nebo x (; + ), stacionární řešení y = ± na R. Řešíme na intervalech x ( ; ) a y 7

18 ( ; ). Po integraci: arcsin(y) = arcsin(x) + c, c ( π; π). Po úpravách y = sin(c + arcsin(x)). Na intervalech x ( ; ) nebo x (; + ) a y ( ; ) nebo y (; + ) získáme po integraci argcosh(x) = argcosh(x) + c, c R. Rozebereme-li jednotlivé možnosti a podíváme-li se na to, která řešení je možno jak lepit, obdržíme následující závěr: stacionární řešení: ±, x ( ; ) nebo x ( ; +) nebo x (; + ) řešení pro c ( ; π]: ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; cosh c) nebo x (cosh c; + ) řešení pro c ( π; ]: ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; cosh c) nebo x (cosh c; + ) řešení pro c [; π): sin(c + arcsin x), x ( ; ) {, x ( ; cos c] sin(c + arcsin x), x [cos c; ) ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; ) nebo x (; + ) řešení pro c [π; + ): sin(c + arcsin x), x ( ; ) { sin(c + arcsin x), x ( ; cos c], x [cos c; ) ± cosh(c + argcosh x ), x ( ; ) nebo x (; + ) 8

19 5 4 3 slepeni ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Po integraci: ln ln y = cos(x) ln + c, c R. Po úpravách y = exp(k cos(x) ), +cos(x) +cos(x) k R. Závěr: Řešení splňující počáteční podmínku je, x R. 3) Má smysl pro x R. Po integraci: arctg(y) = arctg(x) + c, c = π. 4 Po úpravách y = exp(k ), k R. Závěr: Řešení splňující počáteční cos(x) +cos(x) podmínku je tg( π 4 + arctg x), x (, tg π 4 ). x t 4) Řešíme pro x R a y [; + ). Stacionární řešení y = na R. Pro y y > řešíme rovnici y = exp( x). Po integraci máme y = c exp( x), 9

20 c R +, pro c exp( x) >. Po úpravě y = (c exp( x)) 4. Závěr:, x R {, x ( ; ln c] 4 (c exp( x)), x ( ln c; + ) pro c R navazani reseni asymptoty ) Má smysl pro x R, stacionární řešení y = na R. Řešíme na intervalech y ( ; ), y (; + ). Po integraci: 5 y = c 4 exp( x), c R. Po úpravách y = (c 4 exp x) 5. Závěr: (c 4 exp(x)) 5, x R pro c ( ; ] a (c 4 exp x) 5, x ( ; ln( c)) 4, x ( ln( c 4 ); ln( d)) c, d [; + ], c d 4 (d 4 exp x) 5, x ( ln( d; + )) 4

21 vycet moznych chovani reseni asymptota slepeni I. II. III. IV. V. 6) Má smysl pro x R. Po integraci: arctg(y) = c ln( + x ), c ( π ; + ). Po úpravách y = tg(c ln(x + )). Závěr: tg(c ln(x + )) na intervalu ( exp(c + π) ; exp(c + π) ) pokud c ( π ; π ) a na intervalech ( exp(c + π) ; exp(c π) ) nebo ( exp(c π) ; exp(c + π) ) pokud c [ π ; + ). 6 4 c Π/ c Π/ 4 6 c < Π/ ) Má smysl pro x R. Po integraci: exp(y) = sin(x) + c, c ( ; + ). Po úpravách y = ln(sin(x) + c). Závěr: ln(sin(x) + c) na intervalech ( arcsin(c) + kπ; arcsin(c) + (k + )π), k Z pro c ( ; ), na intervalech ( π + kπ; 3π + kπ), k Z pro c = a na R pro c (; + ).

22 c < c < c > c > c > c > 4 6 c < 3 Π Π Π Π Π 3 Π 8) Řešíme pro x R a y ( π + kπ; π + kπ), k Z. Stacionární řešení y = kπ. Pro y ( π + kπ; kπ) a pro y (kπ; π + kπ) máme po integraci ln tg y = 3 ln e x + c, c R. Označme d = (sgn tg y)e c. Potom tg y = d( e x ) 3, odtud y = kπ + arctg(d(e x ) 3 ). Závěr: kπ + arctg(d(e x ) 3 ), x R, d R, k Z 9) Má smysl pro x ( π + kπ; π + kπ), k Z. Po integraci arctg y = c ln cos x, c ( ; π), neboť pro c π je c ln cos x π, ale arctg y ( π; π). Tedy: tg (c ln cos x ). Π Řešení je definováno na intervalech x (kπ arccos e c π ; kπ arccos e c+ π ), k Z c ( ; π] x (kπ + arccos e c+ π ; kπ + arccos e c π ), k Z c ( ; π] x (kπ arccos e c π ; kπ + arccos e c π ), k Z c ( π; π) 3) Má smysl pro x R. Po integraci máme y = c (x ), c >, neboť pro c je c (x ), ale. Řešení ± c (x ), x ( c; + c) pro c (; + ). 3) Má smysl pro x ( ; ). Stacionární řešení y = ± pro x ( ; ). Po integraci máme rovnici y = c x. Musí platit c x [; ), neboli x (c ; c]. Odtud x ( ; c ) nebo x ( c ; ) pro c (; ) a x ( (c ) ; (c ) ) pro c [; ). Pro jiné hodnoty konstanty c není splněno c x [; ). Podmínka y x (c ) je splněna, k lepení dojde v bodě, kde y = ± x = c. Řešení:

23 pro c (; ): (c x ), x ( ; c ), x [ c ; c ] (c x ), x ( c ; ) pro c (; ): (c x ), x ( ; c ), x [ c ; c ] (c x ), x ( c ; ) ± (c x ), x ( (c ) ; (c ) ) další řešení: {, x ( ; ] ( x ), x (; ) { ( x ), x ( ; ), x [; ) {, x ( ; ] ( x ), x (; ) { ( x ), x ( ; ), x [; ) ±, x ( ; ) 3) Má smysl pro x ( ; ) nebo x (; + ). Po integraci a vynásobení dvěma y + = ln x + c, c R. Musí být ln x + c, neboli ln x c, tj. x ( ; e c ) nebo x (e c ; + ). řešení na těchto intervalech: ± (ln x + c). 3

24 33) Řešíme pro x ( ; ), x ( ; ), x (; + ) a y R. Stacionární řešení y = na R. Pro y ( ; ) nebo y (; + ) řešíme rovnici y = x. Po integraci = c + ln y x y x, c R. Odtud y = pro c+ln x x taková, že x exp( c). Závěr: c + ln x, Řešení je definováno pro x ( ; + e c ), x ( + e c ; ), x ( ; ), x (; + e c ), x ( + e c ; + ), pokud c ( ; ) a nebo pro x ( ; + e c ), x ( + e c ; ), x ( ; e c ), x ( e c ; e c ), x ( e c ; ), x (; + e c ), x ( + e c ; + ), pokud c [; + ) 34) Řešíme pro x R a y R. Rovnici upravíme na tvar xy cos y = sin y(sin y ). Stacionární řešení y = kπ, k Z, na R a y = π + kπ, k Z, na R. Pro x a pro y (kπ; π + kπ), y ( π + kπ; (k + y )π) nebo y ((k + )π; (k + )π) máme cos y =. Po integraci sin y(sin y ) x máme ln = ln x + ln c, c sin y R+, odtud = c x. Pro sin y y (kπ; π +kπ) řešení y = arcsin +kπ. Pro y ( π +kπ; (k +)π) +c x řešení y = π arcsin + kπ. Pro y ((k + )π; (k + )π) řešení +c x y = arcsin + (k + )π a řešení y = π arcsin + (k + )π. Řešení c x c x lze spojovat v bodě x =. Závěr: řešení pro y (kπ; π + kπ), ve vzorcích c, d R: stacionární řešení { arcsin + kπ, x ( ; ] c x arcsin d x + kπ, x [; + ) { arcsin + kπ, c x x ( ; ] π arcsin d x x [; + ) { π arcsin + kπ, c x x ( ; ] arcsin d x x [; + ) { π arcsin + kπ, x ( ; ] c x π arcsin d x + kπ, kπ, x R x [; + ) 4

25 řešení pro y (π + kπ; π + kπ), ve vzorcích c, d R \ {}: arcsin c x + (k + )π, x ( ; c ) arcsin c x + (k + )π, x ( c ; + ) π arcsin c x + (k + )π, x ( ; c ) π arcsin c x + (k + )π, x ( c ; + ) Ve všech vzorcích platí k Z. 35) Má smysl pro x R, po úpravě řešíme rovnici (b + )xy = y b. Pro b = řešení y = nesplňuje počáteční podmínku. Řešíme pro b. Stacionární řešení y = b splní počáteční podmínku pro b =. Pro b ± řešíme na intervalech y ( ; b), y (b; + ). Po integraci: (b + ) ln( y b ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravách y b = k exp ( ln(x) b+ ), kde k = e c. Dosazením počáteční podmínky ( y() ) = dostaneme b = k. Řešení ( pro ) y < b: y = b b exp ln( x ) a pro y > b: y = b + b exp ln( x ). b+ b+ Závěr: ( ) pro b ( ; ): b + ( b) exp ln(x), x (; + ) b+ pro b { }: nemá řešení ( ) b (b ) exp ln( x), b+ b, x ( ; ) ( ) pro b ( ; + ): b + (b ) exp ln( x), b+ b, ) x {b} b + ( b) exp, x (; + ) x cx +, ( ln(x) b+ 36) Má smysl pro x ( ; ) a pro x (; + ). Stacionární řešení y = vyhovuje zadání. Řešíme pro y ( ; ) a pro y (; + ). Po integraci: = c, c R. Po úpravě: y = x. Omezená řešení jsou: y x cx+ { x ( ; ) pro c ( ; ), x (; + ) { x ( ; ) x (; + ) pro c (; + ) 5

26 37) Nejprve vyřešíme diferenciální rovnici. Ta má smysl pro x R a y R. Řešíme tedy rovnici y exp y = cos x, po integraci exp y = sin x + c, c ( ; ). Řešení ln(sin x + c). Určíme hodnotu konstanty c tak, abby definiční obor tohoto řešení bylo celé R: Musí být sin x + c >, odtud c > sin x = sin( x) x R. Tedy c >. Protože pravá strana rovnice je funkce, která je v každém bodě lokálně lipschitzovská vzhledem k proměnné y (neboť je třídy C C ), tak každým bodem roviny R prochází právě jedno řešení. Proto hledanou množinou je množina M = {(x, y) R ; exp y sin x > } (jsou to body roviny ležící nad grafem funkce y = ln( + sin x)). 38) Z příkladu 8 víme, že všechna maximální řešení rovnice mají tvar kπ + arctg(d(e x ) 3 ), kde x R, d R a k Z. Všechna jsou tedy definována na okolí plus i minus nekonečna. Počítejme: lim x kπ + arctg( 8d) a lim kπ + (sgn d) π. Položíme-li lim x + x lim x + y(x), máme kπ+arctg( 8d) = kπ+(sgn d) π. Protože d R arctg( 8d) / {± π}, dostáváme odtud sgn d = d =. Tedy lim x lim x + kπ, k Z. Závěr: A {kπ; k Z} 39) Pokud x y(x) je řešení procházející bodem (x, y ), pak funkce y splňuje rovnici z bodů 4 postupu řešení, tj. G(y(x)) = F (x) + c, kde c = G(y ) F(x ). Protože G jako funkce zobrazující okolí y na okolí x je prostá, lze ji invertovat a tedy G (F (x) + G(y ) F (x )). Řešení je tedy na okolí bodu určeno jednoznačně. (rozmyslete si detaily uvedeného postupu) Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(x, y), (4) f(λx, λy) = f(x, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými proměnnými. Postup řešení. Pozorujeme, že (pro x ) je f(x, y) = f(x, x y x ) = f(, y x ), tj. pravá strana rovnice závisí pouze na y/x. 6

27 Definujeme tedy z(x) = y(x)/x, takže xz(x), y (x) = xz (x) + z(x). Rovnice přechází na xz + z = f(x, xz) = f(, z), tj. z = x[ f(, z) z ], (5) což je rovnice se separovanými proměnnými (pro neznámou funkci z = z(x)). Standarním postupem najdeme z(x) a tedy xz(x). Poznámka. Uvědomme si, že je-li z řešení rovnice (5) na nějakém podintervalu (, + ), nebo (, ), pak je y := z x řešením rovnice (4) na stejném intervalu. Platí i opačná implikace. Protože jsme pro účely výpočtu řešení museli vyloučit případ x =, je v konkrétních případech potřeba na závěr ověřit, zda nalezná řešení můžeme prodloužit až do počátku. Příklad 3. Řešme rovnici x y + xy = x + y. Řešení. Pro x rovnici přepíšeme do tvaru y = xy + x + y x, jedná se tedy o homogenní rovnici. řádu. Substituce xz(x) dává xz + z = z + + z, xz = (z ). To je rovnice se separovanými proměnnými. Zjevně z je řešení, tj. x, x R je řešení původní rovnice. Hledejme řešení za podmínky z, x. Tedy a integrací dostáváme z (z ) = x z = c ln x. Pro I = (, + ), J = (, + ) zobrazuje funkce na levé straně interval J na (, + ). Tedy c ln x (, + ) a zároveň x (, + ), což nám dává 7

28 x (, e c ). Pro I = (, ) dostáváme x ( e c, ). Na těchto intervalech je řešení dáno předpisem z(x) = c + ln x c ln x c + ln x, x. (6) c ln x Podobně pro J = (, + ) a I = (, + ), resp. I = (, ), zobrazuje funkce G interval J na (, ). Máme tedy c ln x (, ) a zároveň x >, resp. x <. Odtud dostáváme řešení na intervalech (, e c ), resp. (e c, + ) definovaná opět předpisem (6). Jsou tato řešení maximální? Protože limity řešení v bodech ±e c zprava a zleva nejsou vlastní, jistě řešení nepůjdou prodloužit tímto směrem. Zbývá vyšetřit prodloužení do počátku. Protože a po dodefinování y() := je y () = lim x y(x) y() x lim x = lim x c + ln x c ln x =, snadno dosazením ověříme, že v bodě x = je rovnice splněna. Dodefinovaná funkce je tedy řešením na celém intervalu ( e c, e c ). Všimněte si, že všechna tato řešení procházejí počátkem a mají zde stejnou derivaci. Můžeme je tedy vzájemně napojovat. Takovéto singulární chování je pro homogenní rovnice typické! Všechna maximální řešení rovnice tedy jsou: c+ ln x x, x > c ln x, x = d+ ln x x, x <, d ln x c, d (, + ] (kde pro c = máme na mysli limitní případ x ) a c + ln x x, x (, e c ), resp. x (e c, + ). c ln x 8

29 5 5 c = ln 35 c = 3 c = ln c = ln 5 asymptota Příklad 4. Řešte rovnici y = y x y+x. Řešení. Substituce y = xz vede na xz + z = z z + z = x z + z + Vidíme, že neexistují stacionární řešení a řešení budeme hledat na intervalech I = (, ), I = (, + ) a pro z: J = (, ), J = (, + ). Po vydělení g(z) a zintegrování máme ln z + + arctg z = c ln x. (7) Funkci na levé straně rovnice si označme G. Tuto funkci neumíme zinvertovat (z se nám z rovnice nepovede vyjádřit), nicméně víme, že funkce G je pro z < klesající a pro z > rostoucí a zobrazuje tedy (, ) prostě na (ln π/4, + ) a interval (, + ) prostě tamtéž. Máme tedy nebo-li ln x (, c + π/4 ln ) x (, e c+π/4 ln ), resp. x ( e c+π/4 ln, ). Řešení z je tedy dáno implicitním vztahem (7) a je definováno na jednom z výše uvedených intervalů. Konkrétněji řešení na prvním intervalu je dáno vztahem ln z + + arctg z = c ln x, tj. z + e arctg z = ec x 9

30 a řešení na druhém intervalu ln z + + arctg z = c ln( x), tj. z + e arctg z = ec x Dosadíme z = y/x, násobíme obě strany x a máme implicitně zadaná řešení y x + y e arctg y/x = e c, c R definovaná na výše uvedených intervalech. Jsou tato řešení maximální? Pro x +, y > máme y e c π/ a x, y > máme y e c +π/, můžeme tedy napojit, pokud c = c + π a získáme řešení na ( e c +π+π/4 ln, e c +π/4 ln ). V krajních bodech tohoto intervalu máme z, tj. y x. Po dodefinování limitou nebude tedy mít původní rovnice smysl. Nalezená řešení jsou tedy maximální. Že jsou všechna plyne opět z věty o jednoznačnosti a z toho, že každým bodem roviny prochází některé z nalezených řešení (to je vidět z následující poznámky). grafy maximalnich reseni jsou souvisle casti spiral lezici nad, respektive pod, grafem funkce y = -x y = -x Poznámka. Řešení předcházející úlohy můžeme elegantně vyjádřit v polárních souřadnicích x = r cos φ, y = r sin φ (r = x + y, φ = arctg y/x + kπ). Řešením úlohy jsou části spirál r = de φ. Více o substitucích v diferenciálních rovnicích se dozvíte v kapitole o nelineárních systémech. Příklad 5. Najděte všechna maximální řešení diferenciální rovnice y = e y/x + y/x. Řešení. Substitucí y = x z převedeme na e z z = /x. 3

31 Pro x (, ), resp. (, + ) a z R integrací dostaneme e z = ln x + c. Funkce na levé straně zobrazuje interval R na interval (, ), tj. ln x + c <. Odtud tedy x < e c, x (, e c ), resp. x ( e c, ). Ze vztahu mezi x a z dostáváme z(x) = ln( ln x c) a x ln( ln x c) na výše uvedených intervalech. Tato řešení jsou maximální, protože pro x = nemá původní rovnice smysl a v bodech ±e c má řešení nevlastní limitu. Řešení jsou všechna, protože vyplní celou množinu {(x, y) R, x }. c = - ln 5 c = - ln 4 c = - ln 9 5 c = - ln 5 5 c = - ln c = - ln Úlohy 4. (x + y )y = xy 4. x y + xy = y 4. x y = y + xy 43. xy = y( + ln y x ) 3

32 44. xy + x = x y 45. xyy + x y = 46. (zpracovano DP) xyy = y x 47. xy = x y 48. xy = y x 49. xy = (x + y) 5. x y = y(x y) 5. xyy = x + y 5. xy = y + x + y 53. xyy = 3y x 54. xy y = xy 55. * y + x y = xyy 56. * (x y )y = xy 57. * (4y + 3xy + x )y = (y + 3xy + 4x ) 58. * (y 3x )y + xy = 59. * xy = x +y xy = x +y x+y x+y 6. * x + y + yy = 6. * (x 3 + y 3 )y = x y 6. * y = y x x+y 63. * y = x+y x 64. * y = y cos ( ) ln y x x 65. * y = y+ xy x 66. * xy = y + x y Řešení 4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z z 3. Stacionární řešení z = a z =. Pro z / {; } a x máme +z ) = x. Po integraci ln( z z z ( z z z+ úpravě dostaneme z = ± +4k x závěr: kx ) = ln( x ) + c, c R. Po, kde k = ±e c. Protože y = xz, dostaváme, x R x, x ( R c ± + 4c x ), x R, c R \ {} 3

33 4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = (z z). Stacionární řešení z = a z =. Pro z / {; } a x máme z ( ) z z =. Po integraci a úpravě ln( z ) = ln( x )+c, c R. Odtud x z dostáváme z = kx, kde k = kx ±ec. Protože y = xz, dostaváme závěr:, x R x, x R cx3 cx, x R, c ( ; ) x ( ; c ), x ( c ; c ), x ( c ; + ), c (; + ) c (; + ) c (; + ) 4) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z(z + ). Stacionární řešení z = a z =. Pro z / { ; } a x máme z ( ) z z+ =. Po integraci a úpravě dostáváme z = (z +)cx, c R\{}. x Vynásobením x a dosazením y = xz převedeme rovnici na tvar y = cxy +cx. Odtud vypočteme y = x, kde d = pro c, resp. y pro c =. Závěr d x c po napojení řešení v x = : první řešení x,, x R druhé řešení třetí řešení x, x ( ; c) pro c ( ; ) a x (c; + ) pro c (; + ) c x x, x ( ; ] pro c (; + ) nebo x (c; ] pro c ( ; ) c x x, x [; + ) pro d ( ; ) nebo x [; d) pro d (; + ) d x 43) Řešíme pro x R \ {}, y R \ {}, x y >. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz = z ln(z) pro z (; + ). Stacionární řešení z = a z =. Po integraci ln ( ln(z) ) = ln( x ) + c, c R. Tedy z = exp(dx), kde d = ±e c. Řešení nelze napojovat. Celkem tedy dostáváme: x exp(cx), x ( ; ) nebo x (; + ), c R 33

34 44) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xz =. Po integraci z = c + ln x, c R. Odtud y = x(c + ln x ). Protože lim, ale x y y(x) () = lim = lim(c + ln x ) =, nelze řešení x x x spojit v počátku. Závěr: x(ln x + c), x ( ; ) a x (; + ), c R. (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 45) Řešíme pro x R, y R. Po substituci a úpravě řešíme rovnici xzz = (z + ). Po integraci ln( + z ) = c ln( x ), c R. Tedy x + y = kx, kde k = ±e c. Závěr: ± c (x c), x (c; ) pro c ( ; ) a x (; c) pro c (; + ) (Lze řešit také jako Bernoulliho rovnici.) 46) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě pro x dostaneme rovnici zz = x, po integraci z = c ln(x ), c R. Nelze napojovat. Závěr: ±x c ln(x ), x ( exp( c ); ) nebo x (; exp( c )), c R (Lze řešit také jako Bernoulliho rovnici.) 47) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x( z). Stacionární řešení z =. Pro z a x řešíme rovnici z =. Po z x integraci ln( z ) = ln( x ) + c, c R. Po úpravě y = x + k, k R. x Závěr: x + c, x ( ; ) nebo x (; + ) pro c R \ {} x x, x R (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 48) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x. Pro x řešíme rovnici z =, která po integraci přejde v z = ln( x ) + c, x c R. Závěr: x ln x + cx, x ( ; ) nebo x (; + ), c R (Lze řešit také jako lineární rovnici.) 34

35 49) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x(z + ). z Pro x řešíme rovnici =. Po integraci ln( z + ) = ln( x ) + c, z+ x c R. Po úpravě y = x + k, k R. Závěr: x c x x, x ( ; ) nebo x (; + ), c R \ {} x, x R 5) Řešíme pro x R a pro y R. Po substituci a úpravě pro x řešíme rovnici xz = z. Stacionární řešení z =. Pro z máme z =. z x Po integraci = ln( x ) + c, c R. Odtud z =, kde c = ln(k), k >, z ln( kx ) a dále y = xz =. Řešení lze napojit v bodě x =. Závěr: x ln( kx ), x R x ln( cx ), x ( ; ) nebo x ( ; + ), c (; + ) c c x ln cx, x ( ; ], c (; + ) c x ln( dx ), x [; ), d (; + ) d, x ( ; ] x ln( cx ), x [; ), c (; + ) c x ln cx, x ( ; ], c (; + ) c 5) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x 3 zz = x ( z ). Stacionární řešení z = ±. Pro z / { ; } a x máme z ( + z z+) = + c. Po itegraci a úpravě ln( x z ) = ln( x ) c, c R. Po úpravě a uvážení, že y = xz dostáváme závěr: ±x ±x, x R + c, x ( ; min(; c)) nebo x (max(; c); + ), c R\{} x 35

36 5) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě x z = x + z. z Pro x máme = sgn(x). Po integraci sgn(z) ln ( z + z +z x + ) = sgn(x) ln(x) + c, c R. Označíme-li k = e c, potom k > a pro x > dostaneme z = k x a pro x < dostaneme z = x k = p x, kde p =. kx kx px k Řešení lze napojit v bodě x =. Závěr: c x c = c x, x R, c (; + ) c 53) Řešíme pro x R a y R. Po substituci a úpravě pro x dostaneme rovnici xzz = z. Staconární řešení z = ±. Pro z / { ; } a x přejde rovnice po integraci na tvar ln( z ) = ln( x ) + c, c R. Řešení jdou napojovat pro x =. Závěr: ±x x ( ; ) pro c ( ; ) c cx +, x R pro c {} x ( ; + ) c pro c (; + ) 54) Řešíme pro taková x R a y R, pro která x y. Stacionární řešení y =. Po substituci x z = x z. Pro z a x řešíme rovnici z = sgn(x). Po integraci ln( z ) = sgn(x) ln( x ) + c, c R. Tedy z x z = (c sgn(x) ln( x )), neboť x y z > z = z. Označme c sgn(x) = ln(k) pro k >. Potom z = (ln( k x )). Řešení lze napojit se stacionárním v bodě x = k. Závěr: { x ln (cx), x ( ; c ], x [ ; + ) c pro c ( ; ) pro c (; + ) { x ln (cx), x (; c ], x [ c ; + ) 55) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 (z )z = x z. Stacionární řešení z = na R. Řešíme pro x a z. Po integraci z ln z = c + ln x, c R. Pro z ( ; ) je z ln z ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; + ) je z ln z [; + ), tedy x ( ; e c ) nebo x (e c ; + ). Po zpětné substituci z = y a drobné úpravě dostáváme x závěrečný implicitní vztah y = x(c + ln y ), c R, který určuje řešení pro 36

37 x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( ; e c ) a pro x (e c ; + ). Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu, neboť v tomto případě je z ( ; ), a tedy < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě je z ( ; ), a tedy < xz <. Graf řešení definovaného na intervalu ( ; e c ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě je z (; + ), a tedy < xz <. Graf řešení definovaného na intervalu (e c ; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě je z (; + ), a tedy < xz < +. Ze vztahu z ln z = c + ln x lze pro x usoudit, že z ln z, odkud z. Pro řešení definované na intervalu ( ; ) nebo na intervalu (; + ) usoudíme ze vztahu z = c + ln y pro x (zleva, resp. zprava, podle toho, zda je řešení definováno pro x <, resp. x > ), že lim, a dále y y(x) y() () = lim = x x x y(x) lim x x = lim x z(x) =, tedy řešení ze druhého kvadrantu nejde spojit s řešením ze čtvrtého kvadrantu (v bodě x = by nebyla vlastní derivace). Pro řešení definované na intervalu ( ; e c ), resp. (e c ; + ) můžeme do vztahu z ln z = c + ln x za x dosadit hodnotu x = ±e z a obdržíme z ln z =. Tato rovnice má pro z (; + ) jediné řešení z =. Můžeme tedy usoudit, že lim lim xz(x) = ±e c, a dále y (±e c ) = x ±e c x ±e c lim y (x) y(x) y(x) = lim x ±e c xy(x) x x ±e c( ) = lim x y(x) x x ±e c( y(x) ) = +, tedy z(x) y(x) x řešení mající graf ve třetím, rep. prvním kvadrantu nelze prodloužit za bod x = e c, resp. před bod x = e c. Dostáváme tak maximální řešení určená implicitním vztahem definovaná na intervalu ( ; ), ( ; e c ), (; + ) a (e c ; + ) a dále stacionární řešení, x R. 56) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 ( z )z = z 3 + z. Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme z ( ) z z +z =. x Po integraci ln z ln(z + ) = ln x + c, c R. Odtud z = ± 4k x kx k = e c >, a tedy y = xz = ± 4k x. Závěr: k ± 4k x, x ( k k ; k ), kde 57) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 (4z +3z+)z = 4x (z 3 +z +z+). Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( 3z z + + z+ 37 ) = 4 x. Po integraci

38 a úpravě ln (z + ) 3 (z + ) = c ln(x 4 ), c R. Pro z ( ; ) je ln (z + ) 3 (z + ) ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; + ) je ln (z + ) 3 (z + ) ( ; + ), tedy opět x ( ; ) nebo x (; + ).. Označíme-li e c = k >, dostaneme rovnici (z + ) 3 (z + ) = k, kterou po přenásobení x 8 můžeme dále upravit na x 8 tvar (x z + x ) 3 (xz + x) = k Použijeme-li zpětně vztah y = xz, dostaneme po přeznačení c = k závěrečný implicitní vztah (y + x ) 3 (y + x) = c, c [; + ), který určuje řešení pro ( ; ) a pro x (; + ). Z tohoto vztahu však můžeme pro x usoudit, že lim ± 8 c, a potom y () = x =, tedy implicitní vztah 4 (y +x ) 3 (y+x) = c určuje (y lim (x)+3xy(x)+4x ) x 4y (x)+3xy(x)+x pro každé c [; + ) řešení definované na R. 58) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 3 z (z 3) = x z( z ). Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z =, z =, z = na R. Pro z / { ; ; } + +. Po integraci z +z = ln x + c, c R, neboli označíme-li e c = k >, potom dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( 3 z a úpravě ln z z 3 dostaneme vztah z z 3 ) = x = k x. Pro z ( ; ) je z ( ; 3], tedy z 3 9 x ( 3 ; ) nebo x (; 3 ), pro z ( ; ) je z ( ; + ), tedy 9k 9k z 3 x ( ; ) nebo x (; + ), pro z (; ) je z ( ; + ), tedy z 3 x ( ; ) nebo x (; + ), a pro z (; + ) je z ( ; 3], tedy z 3 9 x ( 3 ; ) nebo x (; 3). Po zpětné substituci y = xz a přeznačení 9k 9k c = k dostáváme závěrečný implicitní vztah y x = c, c [; + ), který určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( 3; ) a pro 9c x (; 3 ). (Uvažujeme-li dále výraz 3, mlčky předpokládáme c >. 9c 9c V případě c= tak máme jen řešení pro x ( ; ) a pro x (; + )) Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu pro případ z [ ; ), neboť potom je < xz x, a pro případ z (; ] leží ve třetím kvadrantu, neboť potom je x xz <. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvarantu pro případ z [ ; ), neboť potom je x xz <, a pro případ z (; ] leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť potom je < xz x. Graf řešení definovaného na intervalu ( 3 ; ) 9c leží ve druhém kvadrantu pro případ z ( ; ], neboť potom je x xz < +, a pro případ z [; + ) leží ve třetím kvadrantu, neboť potom je < xz x. Graf řešení definovaného na intervalu (; 3) leží ve 9c čtvrtém kvadrantu pro případ z ( ; ], neboť potom je < xz x, a pro případ z [; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť potom je y 3 38

39 x xz < +. Máme tři typy řešení: ) Libovolné řešení definované na intervalu ( ; ) nebo řešení definované na intervalu ( 3; ), pro které lim (tj. které je klesající), jehož graf 9c x leží ve druhém kvadrantu, lze spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; + ) nebo s řešením definovaným na intervalu (; 3), pro které 9c (tj. které je klesající), jehož graf leží ve čtvrtém kvadrantu, lim x + přičemž dodefinujeme y() =. (Libovolností řešení máme na mysli, že pro x < může být řešení určenou konstantou c, pro x > může být určeno konstantou c, přičemž může být c c.) To lze, neboť v takovém případě ze vztahu ln z = ln x + c pro x plyne ln z, odkud z 3 z 3 dostáváme z,a tedy potom lim lim xz(x) =. Navíc (bereme-li x x příslušné jednostranné derivace) y y(x) y() y(x) () = lim = lim = lim z(x) = x x x x x, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu se řešením ze čtvrtého kvadrantu. Obdobně se zdůvodní, že každé řešení definované na intervalu ( ; ) nebo řešení definované na intervalu ( 3; ), pro které 9c (tj. které je rostoucí), jehož graf leží ve třetím kvadrantu, lim x lze spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; + ) nebo s řešením definovaným na intervalu (; 3), pro které lim (tj. které 9c x + je rostoucí), jehož graf leží v prvním kvadrantu, přičemž dodefinujeme y() =. Zdůvodnění se liší jen v tom, že ze znalosti ln z usoudíme z 3 z, což bude souhlasit s tím, že spojujeme řešení ze třetího kvadrantu se řešením z druhého kvadrantu. Tímto postupem dostáváme maximální řešení 9c 9c ). definovaná na intervalech ( ; 3 ), ( 3 ; + ), ( ; + ) a ( 3 ; 3 9c 9c 9c ) Řešení definované na intervalu ( 3; ), jehož graf leží ve druhém kvadrantu (a které je rostoucí) lze spojit s řešením definovaným na intervalu (; 3), jehož graf leží v prvním kvadrantu (a které je klesající), pokud je 9c konstanta c různá od nuly a pro x < stejná jako pro c >. V takovém případě totiž z podmínky ln z pro x usoudíme, že z +. z 3 Ze vztahu y x = c poté můžeme usoudit, že lim, a z rovnice y 3 x c y xy(x) () = lim = =. Proto dodefinujeme y() =. Analogicky x 3x y (x) /c c lze zdůvodnit, že řešení definované na intervalu ( 3 ; ), jehož graf leží ve 9c třetím kvadrantu (a které je klesající) lze spojit s řešením definovaným na intervalu (; 3), jehož graf leží ve čtvrtém kvadrantu (a které je rostoucí) 9c (opět stejná nenulová konstanta c). Rozdíl bude jen takový, že ze vztahu y x = c usoudíme lim, a proto dodefinujeme y() =. Opět y 3 x c c bude platit y () =. Dostáváme tak maximální řešení definovaná na inter- 39

40 valu ( 3 ; 3 9c 3) Stacionární řešení pro x ( ; ) spojíme v bodě x = hodnotou y() = se stacionárním řešením pro x (; + ). Dostaneme tak maximální řešení definované na R. Jiné spojování řešení již možné není, protože ze vztahu ln z = ln x + c dostáváme pro x, z 3 že z a, kde a { ; ; ; + } a ze vztahu y x = c dostáváme pro y 3 x, že y nebo y, a všechny tyto možnosti jsme již probrali. c Poznámka: Body x = ± 3 odpovídají hodnotám y = ± které leží v 9c 3c množině y 3x =, kde si rovnice vynucuje y (x) = +. 9c ). ) = x. 59) Řešíme na množině {(x, y) R ; x + y }. Substitucí y = xz, z, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x z (z + ) = x( z). Rovnici řešíme pro x a bez podmínky z, kterou budeme v průběhu řešení používat nebo nepoužívat dle potřeby. Stacionární řešení z = na R. Po úpravě pro z máme z ( + z Po integraci z + ln z = c ln x, c R. Pro z ( ; ) \ { } je z + ln z ( ; ln 4), tedy x ( ; e 4 ec+ ) nebo x ( 4 ec+ ; + ), a pro z (; + ) je z + ln z ( ; + ), tedy x ( ; ) nebo x (; + ). Po úpravě vztahu máme z + ln xz x = c + ln x. Dosadíme-li z = y, dostaneme po drobné úpravě závěrečný implicitní vztah x y + x ln y x = x ln x + cx, který určuje řešení pro x ( ; ), pro x ( ; 4 ec+ ), pro x (; + ) a pro x ( 4 ec+ ; + ). Dále máme řešení x pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z (; + ), a tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě z (; + ), a tedy x < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu ( ; 4 ec+ ) leží ve druhém kvadrantu a ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy x < xz < +. Graf řešení definovaného na intervalu ( 4 ec+ ; + ) leží v prvním kvadrantu a ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy < xz < x. Řešení definované na intervalu ( ; ), resp. na intervalu (; + ) nelze v bodě x = navázat, neboť ze vztahu z+ ln z = c ln x pro x dostáváme z+ ln z +, odkud můžeme usoudit, že z +, a ze vztahu z+ ln y x = ln x +c máme ln y x = ln x +c z, tedy pro x dostáváme lim. Potom ale x y y(x) y() () = lim x x y(x) = lim x x = lim x z(x) = +. Pro řešení definovaná na intervalu ( ; 4 ec+ ), resp. ( 4 ec+ ; + ) můžeme ze vztahu z+ ln z = c ln x s vědomostí z ( ; ) usoudit, že lim z(x) =, což je ale x vyloučená hodnota. Tedy maximální řešení jsou řešení určená implicitním vztahem definovaná na intervalech ( ; ), ( ; 4 ec+ ), ( 4 ec+ ; + ) a 4

41 (; + ), a řešení x, x ( ; ) nebo x (; + ), které nejde v bodě x = napojit, neboť máme prodmínku x + y. 6) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x zz = x(z +). Dále řešíme pro x. Stacionární ( řešení z = ) na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z =. Po integraci + ln z + = c ln x, z+ (z+) x z+ c R. Pro z ( ; ) je + ln z + ( ; + ), tedy x ( ; ) z+ nebo x (; + ), a pro z ( ; + ) je + ln z + [; + ), tedy z+ x ( e c ; ) nebo x (; e c ). Použijeme-li zpětnou substituci y = xz, obdržíme závěrečný implicitní vztah x + ln x + y = c, c R, který x+y určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( e c ; ) a pro x (; e c ). Dále máme řešení x pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve druhém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; ), a tedy x < zx < +. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě máme z ( ; ), a tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu ( e c ; ) leží ve druhém kvadrantu a ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; + ), tedy < xz < x. Graf řešení definovaného na intervalu (; e c ) leží v prvním kvadrantu a ve čtvrtém kvadrantu, neboť v tomto případě z ( ; + ), tedy x < xz < +. Máme dva typy řešení: ) Libovolné řešení ze druhého kvadrantu (které je klesající), tj. řešení x pro x ( ; ) nebo implicitně určené řešení na intervalu ( e c ; ) můžeme spojit s libovolným řešením ze čtvrtého kvadrantu, tj. s řešením x pro x (; + ) nebo s implicitně určeným řešením na intervalu (; e c ), přičemž konstanta c pro x < se může lišit od konstanty c pro x >. Ze vztahu + ln z + = c ln x usoudíme pro x, z+ že z +, a ze vztahu + ln x + y = c můžeme pro x usoudit, že lim. Dodefinujeme-li y() =, potom (bereme-li příslušné z+ x jednostranné derivace) y y(x) y() () = lim x x y(x) = lim x x = lim x z(x) =, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu s řešením ze čtvrtého kvadrantu. Dostáváme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c ), ( e c ; + ) a ( e c, e c ). ) Řešení z prvního kvadrantu definované na intervalu (; e c ) můžeme spojit s řešením z druhého kvadrantu definovaným na intervalu ( ; ), pokud je v obou případech určeno stejnou hodnotou konstanty c. Ze vztahu z+ a ze vztahu z+ + ln z + = c ln x nyní usoudíme pro x, že z +, + ln x + y = c poté můžeme pro x usoudit, že 4

42 lim x ec. Dodefinujeme-li y() = e c, potom (bereme-li příslušné jednostranné derivace) máme y x+y(x) () = lim x y(x) = ec e c =, což souhlasí s tím, že spojujeme klesající řešení. Analogicky lze zdůvodnit, že řešení ze třetího kvadrantu definované na intervalu ( e c ; ) můžeme spojit s řešením ze čtvrtého kvadrantu definovaného na intervalu (; + ), pokud je v obou případech určeno stejnou hodnotou konstanty c. Dodefinujeme y() = e c, a podle předchozího postupu nám vyjde y () =, což souhlasí s tím, že spojujeme rostoucí řešení. Dostáváme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c ) a ( e c ; + ). Pro tato řešení platí: lim, neboť ze vztahu x ±ec z+ plyne + ln z + = c ln x pro x ±ec + ln z +, což je pro z ( ; + ) možné, jen pokud z+ z, a odtud lim lim xz(x) =. Potom ale y (±e c ) = x ±ec x ±e c x+y(x) lim = lim ) = +. x ±e c y(x) y(x) x ±e c ( x 6) Řešíme pro x R a y R. Substitucí y = xz, y = z + xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x 4 ( + z 3 )z = x 3 z 4. Dále řešíme pro x. Stacionární řešení z = na R. Pro z dostáváme po dalších úpravách rovnici z ( + ) z z = 4 x c R. Pro z ( ; ) je ln z 3z 3 x (; e c 3 ), a pro z (; + ) je ln z 3z 3 (; + ). Po úpravě vztahu máme ln xz x3 3(xz) 3. Po integraci ln z = c ln x, 3z 3 [ ; + ), tedy x 3 ( ec 3 ; ) nebo R, tedy x ( ; ) nebo x = c. Použijeme-li zpětnou substituci y = xz, dostaneme závěrečný implicitní vztah ln y x3 3y 3 = c, c R, který určuje řešení pro x ( ; ), pro x (; + ), pro x ( e c 3 ; ) a pro x (; e c 3 ). Dále máme stacionární řešení pro x ( ; ) a pro x (; + ). Graf řešení definovaného na intervalu ( ; ) leží ve třetím kvadrantu, neboť v tomto případě je z >, tedy i y <. Graf řešení definovaného na intervalu (; + ) leží v prvním kvadrantu, neboť v tomto případě je z >, tedy i y >. Naopak grafy řešení definovaných na intervalu ( e c 3 ; ) (resp. (; e c 3 )) leží ve druhém (resp. čtvrtém) kvadrantu, neboť v tomto případě je z <, a tedy y > (resp. y < ). Máme dva typy řešení: ) Libovolné řešení definované na intervalu ( e c 3 ; ) (mající graf ve druhém kvadrantu), pro které lim (tj. které je klesající), nebo stacionární x řešení pro x ( ; ) můžeme v bodě x = spojit s libovolným řešením definovaným na intervalu (; e c 3 ) (majícím graf ve čtvrtém kvadrantu), pro které lim (tj. které je klesající), nebo se stacionárním x + řešením pro x (; + ), přičemž dodefinujeme y() =. (Libovolností řešení máme na mysli, že pro x < může být řešení určenou 4

43 konstantou c, pro x > může být určeno konstantou c, přičemž může být c c.) To lze, neboť v takovém případě platí (bereme příslušné jednostranné derivace) y y(x) y() y(x) () = lim = lim = lim z(x) =, protože ze x x x x x vztahu ln z = c ln x pro x plyne, že ln z +, 3z 3 3z 3 a protože navíc víme, že z <, musí nutně lim z(x) = (ve smyslu, x že se z(x) blíží k nule ze záporných hodnot, což souhlasí s tím, že spojujeme řešení z druhého kvadrantu se řešením ze čtvrtého kvadrantu), a protože potom ze vztahu ln y = c plyne, že platí-li lim z(x) =, 3z 3 x potom nutně lim. Dostáváme tak maximální řešení definovaná na x intervalech ( ; e c 3 ), ( e c 3 ; + ), ( ; + ) (použijeme-li stacionární řešení) a ( e c 3 ; e c 3 ). ) Řešení definované na intervalu ( e c 3 ; ) (mající graf ve druhém kvadrantu), pro které ec (tj. které je rostoucí), můžeme v bodě lim x x = spojit řešením definovaným na intervalu (; + ) (majícím graf v prvním kvadrantu a které je rostoucí), pokud je konstanta c pro x < stejná jako pro x >. To lze, neboť: a) pro řešení z druhého kvadrantu ze vztahu ln z = c ln x pro x dostáváme ln z + a odtud s 3z 3 3z 3 vědomostí z < z(x), což implikuje při použití vztahu ln y = c, 3z 3 že lim y(x) = x ec, a tedy i lim x ec (jsme ve druhém kvadrantu, kde y > ); b) pro řešení z prvního kvadrantu ze vztahu ln z = c ln x pro 3z 3 x + dostáváme ln z + a odtud s vědomostí z > z(x) +, 3z 3 což implikuje při použití vztahu ln y = c, že lim y(x) = 3z 3 x + ec, a tedy i lim x ec (jsme v prvním kvadrantu, kde y > ); c) bereme-li příslušené jednostranné derivace, pak y x () = lim y = =. Dostaneme x x 3 +y 3 +e c tak maximální řešení definované na intervalu ( e c 3 ; + ). Analogicky lze zdůvodnit, že Řešení definované na intervalu ( ; ) (mající graf ve třetím kvadrantu), pro které ec (tj. které je rostoucí), můžeme v lim x bodě x = spojit s řešením definovaným na intervalu (; e c 3 ) (majícím graf ve čtvrtém kvadrantu a které je rostoucí) (opět pro stejnou konstantu c). Změna oproti předchozímu zdůvodnění bude jedině taková, že z poznatku lim y(x) = x ec usoudíme lim x ec, protože y <. Dostaneme tak maximální řešení definované na intervalu ( ; e c 3 ). Poznámka: Body x = ±e c 3 odpovídají hodnotám y = e c 3 které leží v množině x 3 + y 3 =, kde si rovnice vynucuje y (x) = +. 6) Řešíme na množině {(x, y) R ; x + y }. Substitucí y = xz, z, y = z+xz převedeme zadanou rovnici po úpravách na tvar x( z z

Rovnice se separovanými proměnnými

Rovnice se separovanými proměnnými Rovnice se separovanými proměnnými V této kapitole se budeme zabývat následující diferenciální rovnicí: y = g(y)f(x), (1) kde f a g jsou reálné funkce reálné proměnné. Tato rovnice se nazývá rovnice se

Více

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde

Homogenní rovnice. Uvažujme rovnici. y = f(x, y), (4) kde Homogenní rovnice Uvažujme rovnici kde y = f(, y), (4) f(λ, λy) = f(, y), λ. Tato rovnice se nazývá homogenní rovnice 1. řádu. Ukážeme, že tuto rovnici lze převést substitucí na rovnici se separovanými

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

5.3. Implicitní funkce a její derivace

5.3. Implicitní funkce a její derivace Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah

11. přednáška 10. prosince Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah 11. přednáška 10. prosince 2007 Kapitola 3. Úvod do teorie diferenciálních rovnic. Obyčejná diferenciální rovnice řádu n (ODR řádu n) je vztah F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 mezi argumentem x funkce jedné

Více

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu

4.1 Řešení základních typů diferenciálních rovnic 1.řádu 4. Řešení základních tpů diferenciálních rovnic.řádu 4..4 Určete řešení z() Cauchov úloh pro rovnici + = 0 vhovující počáteční podmínce z =. Po separaci proměnných v rovnici dostaneme rovnici = d a po

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice

8.3). S ohledem na jednoduchost a názornost je výhodné seznámit se s touto Základní pojmy a vztahy. Definice 9. Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Cíle Diferenciální rovnice, v nichž hledaná funkce vystupuje ve druhé či vyšší derivaci, nazýváme diferenciálními rovnicemi druhého a vyššího řádu. Analogicky

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

Diferenciální rovnice 1

Diferenciální rovnice 1 Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Q(y) dy = P(x) dx + C.

Q(y) dy = P(x) dx + C. Cíle Naše nejbližší cíle spočívají v odpovědích na základní otázky, které si klademe v souvislosti s diferenciálními rovnicemi: 1. Má rovnice řešení? 2. Kolik je řešení a jakého jsou typu? 3. Jak se tato

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta.

Otázku, kterými body prochází větev implicitní funkce řeší následující věta. 1 Implicitní funkce Implicitní funkce nejsou funkce ve smyslu definice, že funkce bodu z definičního oboru D přiřadí právě jednu hodnotu z oboru hodnot H. Přesnější termín je funkce zadaná implicitně.

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8

8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 8.4. Shrnutí ke kapitolám 7 a 8 Shrnutí lekce Úvodní 7. kapitola přinesla informace o druzích řešení diferenciálních rovnic prvního řádu a stručné teoretické poznatky o podmínkách existence a jednoznačnosti

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a

1 1 x 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými proměnnými, která má smysl pro x ±1 a . Řešené úlohy Příklad. (separace proměnných). Řešte počáteční úlohu y 2 + yy ( 2 ) = 0, y(0) = 2. Řešení. Rovnici přepíšeme do tvaru y 2 = yy ( 2 ) y = y2 y 2. Jedná se o diferenciální rovnici se separovanými

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =

rovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y = Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení

Více

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE

4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y

Více

y H = c 1 e 2x + c 2 xe 2x, Partikularni reseni hledam metodou variace konstant ve tvaru c 1(x)e 2x + c 2(x)xe 2x = 0

y H = c 1 e 2x + c 2 xe 2x, Partikularni reseni hledam metodou variace konstant ve tvaru c 1(x)e 2x + c 2(x)xe 2x = 0 1 Urcete vsechna maximalni reseni: y + 4y + 4y = e 2x x + 1 Definicni obor: x 1, tj. resim na intervalech (, 1) a ( 1, ) Charakteristicky polynom λ 2 + 4λ + 4 ma dvojnasobny koren -2, tedy tvar homogenniho

Více

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R;

1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y) pro x, y R; 3. Elementární funkce. Věta C. Existují funkce sin(x) a cos(x) z R do R a číslo π (0, ) tak, že platí: 1. sin(x + y) = sin(x) cos(y) + cos(x) sin(y) pro x, y R, cos(x + y) = cos(x) cos(y) sin(x) sin(y)

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

8.1. Separovatelné rovnice

8.1. Separovatelné rovnice 8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina

Více

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program

Diferenˇcní rovnice Diferenciální rovnice Matematika IV Matematika IV Program Program Diferenční rovnice Program Diferenční rovnice Diferenciální rovnice Program Frisch a Samuelson: Systém je dynamický, jestliže jeho chování v čase je určeno funkcionální rovnicí, jejíž neznámé závisí

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu

0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu 1 0.1 Obyčejné diferenciální rovnice prvního řádu Obyčejná diferenciální rovnice je rovnice, ve které se vyskytují derivace nebo diferenciály neznámé funkce

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na

pouze u některých typů rovnic a v tomto textu se jím nebudeme až na Matematika II 7.1. Zavedení diferenciálních rovnic Definice 7.1.1. Rovnice tvaru F(y (n), y (n 1),, y, y, x) = 0 se nazývá diferenciální rovnice n-tého řádu pro funkci y = y(x). Speciálně je F(y, y, x)

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze

MATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III

Více

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2

Lineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2 Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a

Více

diferenciální rovnice verze 1.1

diferenciální rovnice verze 1.1 Diferenciální rovnice vyšších řádů, snižování řádu diferenciální rovnice verze 1.1 1 Úvod Následující text popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně diferenciálních rovnic vyšších řádů a snižování

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Diferenciální rovnice

Diferenciální rovnice Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT

Více

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1

y = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1 ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Limita funkce Matematická analýza pro informatiky I. 5. přednáška Limita funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 18. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ V ROVINĚ Parametrické vyjádření přímky v rovině Máme přímku p v rovině určenou body A, B. Sestrojíme vektor u = B A. Pro bod B tím pádem platí: B = A + u. Je zřejmé,

Více

Základy matematické analýzy

Základy matematické analýzy Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule

8.2. Exaktní rovnice. F(x, y) x. dy. df = dx + y. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda a jak lze od této diferenciální formule Cíle Ve výkladu o funkcích dvou proměnných jsme se seznámili také s jejich diferenciálem prvního řádu, který je pro funkci F(x, y) vyjádřen výrazem df dx + dy. Nyní budeme hledat odpověd na otázku, zda

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Uzavřené a otevřené množiny

Uzavřené a otevřené množiny Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0. Diferenciální počet příklad s výsledky ( Najděte definiční obor funkce f() = ln arcsin + ) D f = (, 0 Najděte rovnici tečny ke grafu funkce f() = 3 +, která je rovnoběžná s přímkou y = 4 4 y 4 = 0 nebo

Více

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici

Více

5. Lokální, vázané a globální extrémy

5. Lokální, vázané a globální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,

Více

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15

Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Kapitola 11: Lineární diferenciální rovnice 1/15 Lineární diferenciální rovnice 2. řádu Definice: Lineární diferenciální rovnice 2-tého řádu je rovnice tvaru kde: y C 2 (I) je hledaná funkce a 0 (x)y +

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor

Písemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,

Více

Spojitost funkcí více proměnných

Spojitost funkcí více proměnných Reálné funkce více proměnných Reálnou funkcí n reálných proměnných rozumíme zobrazení, které každé uspořádané n ticireálnýchčíselznějaképodmnožinykartézskéhosoučinur R=R n přiřazuje nějaké reálné číslo.

Více

Soustavy lineárních rovnic

Soustavy lineárních rovnic Soustavy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních diferenciálních rovnic y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x) y = a (x)y + a (x)y + + a n (x)y n + f (x). y n = a

Více

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:

1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy: Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí Jestliže znáte derivace

Více

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010

Derivace funkce. prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky BI-ZMA ZS 2009/2010 Derivace funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické analýzy

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

5. cvičení z Matematiky 2

5. cvičení z Matematiky 2 5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,

Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +, Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim

3. Derivace funkce Definice 3.1. Nechť f : R R je definována na nějakém okolí U(a) bodu a R. Pokud existuje limita f(a + h) f(a) lim 3 a b s = (a + b) 2 f(s) 3,46 4,680 3,93-2,9422 3,93 4,680 4,2962-2,034 4,2962 4,680 4,4886-0,0954 4,4886 4,680 4,5848 3,2095 4,4886 4,5848 4,5367,0963 4,4886 4,5367 4,526 0,427 4,4886 4,526 4,5006 0,508

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní

Více

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,

Mezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b, Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 "

Nyní využijeme slovník Laplaceovy transformace pro derivaci a přímé hodnoty a dostaneme běžnou algebraickou rovnici. ! 2 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad Nalezněte pomocí Laplaceovy transformace řešení dané Cauchyho úlohy lineární diferenciální rovnice prvního řádu s konstantními koeficienty v intervalu 0,, které vyhovuje

Více

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +,

Řešení 1b Máme najít body, v nichž má funkce (, ) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (, )=0, je-li: (, )= +, Příklad 1 Najděte body, v nichž má funkce (,) vázané extrémy, případně vázané lokální extrémy s podmínkou (,)=0, je-li: a) (,)= + 1, (,)=+ 1 lok.max.v 1 2,3 2 b) (,)=+, (,)= 1 +1 1 c) (,)=, (,)=+ 1 lok.max.v

Více

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic

9.5. Soustavy diferenciálních rovnic Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li

Více

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc.

Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební ROVNICE. Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Studijní text pro obor G+K Katedra matematiky Fakulta stavební České vysoké učení technické OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Doc. RNDr. Milada Kočandrlová, CSc. Lektorovali: RNDr. Milan Kočandrle, CSc.,

Více

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy, Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1

9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1 9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom

Více

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR

Fakt. Každou soustavu n lineárních ODR řádů n i lze eliminací převést ekvivalentně na jednu lineární ODR DEN: ODR teoreticky: soustavy rovnic Soustava lineárních ODR 1 řádu s konstantními koeficienty je soustava ve tvaru y 1 = a 11 y 1 + a 12 y 2 + + a 1n y n + b 1 (x) y 2 = a 21 y 1 + a 22 y 2 + + a 2n y

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více