VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ

Transkript

1

2 VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA stojního inženýství Enegetický ústav Ing. Jiří Kubálek VYSOKOFREKVENČNÍ PULSACE PŘI PROVOZU VODNÍ TURBÍNY HIGH-FREQUENCY PULSATIONS OF TURBINE IN OPERATION Zkácená veze Ph.D. Thesis Obo: Obo fluidního inženýství V. K. Školitel: doc. Ing. Miloslav Haluza, CSc. Oponenti: pof. RND. Milada Kozubková, CSc. doc. D. Ing. Lumí Hužík Datum obhajoby: 6. posince 03

3 Klíčová slova Pulsace, tlak, půtok, dynamika, vysokofekvenční pulsace, přenosové matice, ychlost zvuku, hydaulické stoje, duhá viskozita. Keywods Pulsation, pessue, dischage, flow, dynamics, high-fequency pulsation, tansfe matix, celeity, sound velocity, hydaulic machines, second viscosity. Místo uložení páce: Oddělení po vědu a výzkum FSI VUT v Bně. Jiří Kubálek, 03 ISBN ISSN 3-498

4 Obsah Úvod... 5 Cíle páce Současný stav poznání VLIV STLAČITELNOSTI V RSI V ČERPADLOVÝCH TURBINÁCH CFD V ANSYS CFX Viskozita Přenosové matice PŘENOSOVÁ MATICE PRO TRUBICE S KONSTANTNÍM PRŮŘEZEM Zákon zachování hmotnosti (ovnice kontinuity) Přenosová matice po tubici ve tvau válce PŘENOSOVÁ MATICE PRO TRUBICE VE TVARU KUŽELE Tenzo nevatných napětí Vlnová ovnice... 6 Poovnání válcové a kuželové tubice STANOVENÍ VLASTNÍ FREKVENCE OKRAJOVÉ PODMÍNKY P_Q OKRAJOVÉ PODMÍNKY Q_Q OKRAJOVÉ PODMÍNKY P_P OKRAJOVÉ PODMÍNKY Q_P Modelování vysokofekvenčních pulsací MODEL A MĚŘENÍ PVE DLOUHÉ STRÁNĚ MATEMATICKÝ MODEL PVE DLOUHÉ STRÁNĚ D model D model Čepadlový D Čepadlový D Závě... 6 Použitá liteatua... 8 Seznam nejdůležitějších symbolů

5

6 Úvod Čepadlové tubíny esp. eakční vodní tubíny, pacují v ustálených podmínkách. Přesto podléhají tlakovým i půtokovým pulsacím. V obvyklých povozních ežimech jsou tyto pulsace nízké. Z pohledu životnosti stoje a hluku zanedbatelné. Přesto v někteých povozních oblastech vznikají intenzivní tlakové a půtokové pulsace. Rozlišujeme tři typy tlakových a půtokových pulsací. Vlastní, samobuzené a vynucené. Vlastní kmitání můžeme pozoovat u vodního ázu, při ychlém zavření nebo otevření ventilu. Víový cop v savce eakční vodní tubíny podukuje samobuzené kmitání, když je stoj povozován mimo optimum. Vysokofekvenční pulsace vzniklé při povozu vodní tubíny je možno modelovat jako vynucené. Jsou buzené kátkými tlakovými impulsy od lopatek oběžného kola, kteé pocházejí kolem ozváděcích lopatek. Tento cyklus se během jedné otáčky několikát opakuje. Je dán otáčkami stoje a všech jejich násobků. Odtud plyne název vysokofekvenční pulsace. Závažné jsou ezonanční fekvence, kdy vekto vnějšího buzení není kolmý k sduženému vlastnímu vektou soustavy. Tento stav je chaakteizován dynamickým zesílením v oběžním kole, spiále a přivaděči, na ozváděcích lopatkách nebo na víku stoje viz Habán []. V savce tubíny jsou pulsace minimální. Nutnou podmínkou po vznik pulsací je dostatečně malá mezea mezi oběžnými a ozváděcími lopatkami. Předpověď těchto jevů umožňuje vybat spávnou kombinaci ozváděcích a oběžných lopatek už v aném stadiu návhu čepadlové tubíny. Dynamika hydaulického systému můžeme být řešena v časové oblasti. Například pomocí pogamu SIMSEN Nicolet [8]. Po jednoozměný model potubí vychází ze zákonů zachování hmotnosti a hybnosti. Pak model převede na elekticky ekvivalentní (odpoy). Tímto způsobem převádí všechny hydaulické pvky (ventily, ). Může tak sestavit libovolný hydaulický systém. Pogam pacuje se systémem ovnic sestavených dle Kichhoffových zákonů. Integací v časové oblasti dosahuje metodou Runge-Kutta 4 řádu. Celkovou matici soustavy může lineaizovat po analýzu vlastních čísel. Výpočet je nutné optimalizovat s naměřenými hodnotami. Další možnost, jak řešit dynamiku hydaulického systému je ve fekvenční oblasti pomocí metody přenosových matic. Kdy s použitím Laplaceovi tansfomace řešíme dvě nelineání paciální difeenciální ovnice podle času a podle souřadnice. Silovou ovnici makoskopické částice a ovnici kontinuity. Předností této metody je tva po numeický výpočet. Aby bylo možné poovnávat vysokofekvenční pulsace v D modelu, tj. sestaveného jen z válcových tubic a D modelu tj. složeného z válcových i kuželových tubic, byly nejpve poovnány samostatně válcové a kuželové tubice při ůzných okajových podmínkách. Bylo povedeno poovnání vypočtených a naměřených hodnot. Dle neustále ostoucího počtu publikací je snižování velikosti tlakových i půtokových pulsací ve vodních stojích stále poblém. Cíle páce Cílem disetační páce je navázat na [6], [7] a na dosavadní poznatky této poblematiky na Odbou fluidního inženýství Victoa Kaplana. Vytvořit D model využívající přenosovou matici talkových a půtokových pulsací ve tvau kužele. Nastavit ho na paamety PVE Dlouhé Stáně 5

7 Poovnat výsledky modelování vysokofekvenčních pulsací získané z D a D modelu a měření PVE Dlouhých Stání Výpočetní model bude zahnovat vlivy: duhé viskozity, tlumení v mateiálu tubice, počtu ozváděcích a oběžných lopat, střední ychlosti zvuku v závislosti na statickém tlaku. 3 Současný stav poznání c j Převzato z páce viz Nicolet a kol. [] Při sestavení modelu vycházejí autoři z těchto předpokladů: zanedbání konvektivního členu C / x ), stejnoměného ychlostního pole, ovnice silové ovnováhy, ovnice kontinuity ( i j sestavené po tubici délky dx, s půřezem A, ychlostí zvuku a. Rovnice se zedukují na hypebolické paciální difeenciální ovnice, h t a Q ga x = 0 h t Q ga t λ Q gda Q = 0 kde h a Q jsou poměnné, představující výšku vodního sloupce a půtok. Systém hypebolických ovnic je řešen metodou konečných difeencí (sítí). Tento přístup vede k systému jednoduchých difeenciálních ovnic, kteý může být epezentován jako T-elektický ekvivalent (T uzel). Tyto modely hydaulických komponent, převedené na elektická schémata, jsou vloženy do pogamu SIMSEN vyvinutým Nicoletem viz [8]. Pogam pacuje se systémem ovnic sestavených podle Kichhoffových zákonů. Integaci v časové oblasti dosahují metodou Runge-Kutta 4 řádu. Celkovou matici soustavy mohou lineaizovat po analýzu vlastních čísel. Ověření povádí na modelu Fancisovy čepadlové tubiny, se specifickými otáčkami n q = 0,7 a půměem oběžného kola D = 0,4m. Zkušební tať PF3 byla sestojena v laboatoři hydaulických stojů EPFL. Schéma je znázoněno na Ob.. Tať obsahovala dvě séiově zapojená podávací čepadla, systém potubí, model tubíny a sací kotel. Tubína měla 0 ozváděcích lopatek a 9 oběžných lopatek. Střední ychlost zvuku ve spiální skříni byla 35m/s, v ozváděcích a oběžných lopatkách byla 800m/s. Povozní podmínky testované soustavy po simulaci hydaulického chování odpovídaly nominálnímu povoznímu bodu bez kavitace po měný půtok 0,3m 3 /s. Tlakovým zdojem byl přenos enegie z vody na tubínu, kteý je funkcí půtoku H=H(Q). Jeho paamety získali lineaizací chaakteistik tubíny. Každou tubci spiální skříně modelovali jedním elementem. Jednotlivé ozváděcí a oběžné lopatky třemi elementy. Časový kok byl nastaven na dt = 85µs, což odpovídalo, maximální uvažované ychlosti, při pootočení menším než,5. Touto disketizací zajistili minimálně 0 bodů po popsání vlnové funkce. Model zahnoval buzení v MLP, složeného ze sítě 80 ventilů spojujících ozváděcí a oběžné lopatky. Každá ozváděcí lopatka je spojena s oběžnou lopatkou. Ovládání ventilů je analogické s Ob.. Jak se přibližuje lopatka oběžného kola k ozváděcí, zvětšuje se tlak, ventil se zavíá, šktí půtok a opačně, jak se vzdaluje, tlak klesá, ventil se otevíá. 6

8 Ob. zkušební stand PF3(vlevo) a hydoakustický model (vpavo) Simulací v časové oblasti autoři dokázali potiběžné otáčivé tvay tlaku v MLP a stojaté vlny ve spiální skříni. Možné ezonance analyzovali na základě amplitudy a fáze ve spiále a v ozváděcích lopatkách. Po případ ezonance upřesnili, že části potiběžného tvau tlaku v MLP jsou dominující nad částmi tlakových ezonancí. Potože model buzení nebyl čistě sinusový, simulace v časové oblasti ukázaly všechny vlastní fekvence zkoumané v RSI. Odhady vlastních fekvencí, založené na zjednodušeném analytickém výazu, autoři poovnávají s vlastními fekvencemi z analýzy v časové oblasti a vlastních čísel. Někteé fekvence mohli odhadnout s ozumnou přesností, jiné fekvence jim vyšly s velkými ozdíly. Odlišnosti zapříčinil vliv hydaulického systému, představující eálné okajové podmínky na vstupu do spiály. Ty jsou bány v potaz až v celém hydoakustickém modelu. Na závě autoři povádí analýzu vlastních čísel po ověření nalezených vlastních fekvencí. 3. Vliv stlačitelnosti v RSI v čepadlových tubinách CFD v ANSYS CFX Převzato z páce Yan a kol. viz [] Autoři zkoumají vliv stlačitelnosti vody na tlakové pulsace RSI v hydaulických stojích pomocí komečního CFD řešitele ANSYS-CFX. Po mnoho běžných CFD výpočtů nehaje vliv stlačitelnosti vody významnou oli, poto může být zanedbán. Po běžné budící fekvence v RSI 50-00Hz je vlnová délka 5-30m. Účinky stlačitelnosti mohou být náležitě zohledněny CFD výpočtem na základě Navie- Stokesovy ovnice po slabě stlačitelné tekutiny s uvažováním stavové ovnice vody. 0 p p0 ) / 0 ρ = ρ ( a, kde index 0 označuje efeenční množství, ρ hustotu a p tlak. Rychlost zvuku a 0 považují za konstantní. Poto mohou vliv stlačitelnosti zkoumat při ůzných ychlostech zvuku, (900, 00 a 300m/s), při kteých se pojevují jevy, kteé nás zajímají. Pvotní ověření CFD výpočtů povedli na modelu tubice s ůznými hustotami sítě a délkou časového koku, buzené hamonickou ychlostí, viz Ob.. Výsledky z CFD poovnávají s výsledky z pogamu SIMSEN []. Ob. Konfiguace poudění v tubici 7

9 Potom zkalibovaný model aplikovali na zjednodušený,5d model čepadlové tubíny s přizpůsobenou ychlostí zvuku. Výsledky poovnávají s naměřenými hodnotami z díla. Jako poslední kok vtvořili 3D model čepadla viz Ob. 3 Ob. 3 Model čepadla: (a) výsledky stlačitelné simulace s přizpůsobenou ychlostí zvuku 53m/s, (b) výsledky nestlačitelná simulace. Paamety simulace 3D modelu čepadla po nomální povoz jsou: specifická ychlost n q=7, oběžné kolo se 7lopatkami, předozváděcích a ozváděcích lopatek, spiála, savka a potubí. Po stlačitelné simulace přizpůsobili ychlost zvuku na 53m/s. Výpočetní oblast disketizovali kompletní šestibokou stuktuou sítě o velikosti s 5miliony pvků. Velikost časového koku vybali tak, aby se otáčka ozdělila na 360 časových koků odpovídající změně úhlu o. Na vstupní ploše kužele savky specifikovali hmotnostní půtok s nomálním směem poudění a na výstupní ploše podloužení spiály použili podmínku openinig. Podmínku No-slip wall definovali na všechny povchy tubíny, kteé jsou ve styku s půtokem vody. Na vysoké ozlišení konvektivního členu, po integaci v čase aplikovali zpětné Euleovo schéma duhého řádu přesnosti a tubulentní SST model. Po zajištění konvegence řešení nastavili cílové eziduum RMS na *0-5, po složky ychlosti a tlaku. Poovnáním stlačitelných simulací v ANSYS-CFX a SIMSEN na příkladu tubice autoři dokázali, že CFX dávají eálné výsledky a mohou být použity k předpovědi tlakových pulsací. Simulacemi stlačitelnosti v CFX u zjednodušeného,5d modelu čepadlové tubíny a plného 3D modelu čepadla ukázali, že účinky stlačitelnosti mohou výazně ovlivnit velikost tlakových pulsací. Při použití nestlačitelné kapaliny po RSI mohou dobře předpovídat tlakové pulsace v MLP, ale v ostatních částech stoje se mohou výsledky značně lišit. Napoti tomu, aby 3D modely v CFX po stlačitelnou kapalinu dávaly spávné výsledky, museli vhodně upavit ychlost zvuku. 4 Viskozita Duhá viskozita Poblematika duhé viskozity je podobně řešena v [], ze kteé jsem vycházel při psaní. Ztáty Ztáty v kapalině způsobené duhou viskozitou souvisí se stlačitelností kapaliny. Po nestlačitelnou kapalinu jsou nulové. Při stacionáním půtoku bez tlakových pulsací jsou ztáty od. viskozity 8

10 zanedbatelně malé vůči ztátám třecím. Význam duhé viskozity je pouze po pulsace ve stlačitelné tekutině. Fekvence Jak je uvedeno v [6] duhá viskozita je funkcí fekvence. Toto tvzení má velký dopad po matematický model tenzou nevatného napětí. Lze ho využít po řešení vynuceného kmitání buzeného hamonickou funkcí. Po přechodové kmitání kapaliny není vhodné. Ob. 4 Závislost mezi. kinematickou viskozitou a fekvenci [5] Expeimentálně učený vztah () podle [] po. kinematickou viskozitu. ξ f ξ H ξ = H po vodu je 9800m.s -, () kde: ξ. kinematická viskozita, f fekvence Zavedení. dynamické viskozity V ovnici silové ovnováhy je definovaný tenzo nevatných napětí Π ij a po deivaci podle Π x ijϖ j vi = η x jx j v j x x i j b δ ij vk. x x k j x j : Ze vztahu vyplývá, že ztáty od duhé viskozity se lineáně zvyšují s divegencí ychlosti. Ztáty souvisí se stlačitelností. Po nestlačitelnou tekutinu jsou nulové. U stacionáního nepulsujícího půtoku je účinek ztát od duhé viskozity zanedbatelný vůči ztátám třecím. Duhá viskozita je důležitá při řešení úloh se stlačitelnou tekutinou. Stanovení. dynamické viskozity Máme dva způsoby jak stanovit. viskozitu. Z poovnání naměřených a vypočtených tlakových pulsací. Pvní metoda poovnává shodnost vypočtených a naměřených vlastních čísel. Duhý postup poovnává vynucené tlakové pulsace. Podobněji je poblematika vysvětlena v []. () 9

11 5 Přenosové matice Přenosové matice umožňují sestavení fekvenčních ovnic i po komplikované pužné soustavy v přehledné a zhutněné fomě. Jejich tva je vhodný po numeické výpočty. Při odvození vycházíme ze zákona zachování hmotnosti (ovnice kontinuity) a zákona zachování hybnosti (silové ovnice ovnováhy makoskopické částice). Poblematikou přenosových matic se zabývají následující páce [], [], [7], [6]. Při řešení ve fekvenční oblasti uvažujeme malé změny půtoku, pak můžeme lineaizovat ovnice pomocí Laplaceovi tansfomace podle času a souřadnice. Duhá viskozita představuje fekvenčně závislé tlumení. Umožňuje numeické modelování eálných hodnot tlakových i půtokových pulsací. Význam tlumení mateiálu tubice se nejvíce pojevuje u poddajných mateiálů. 5. Přenosová matice po tubice s konstantním půřezem 5.. Zákon zachování hmotnosti (ovnice kontinuity) Vycházíme ze zákona zachování hmotnosti makoskopické částice ve vytknutém objemu V. Následující odvození je podobně popsáno v páci [7], kde se auto odkazuje na [4], [5]. Ob. 5 Vytknutý element dx po odvození ovnice kontinuity m = konst. (3) Předpokládáme: P nepopustná pužná plocha stěny tubice, S a S plochy kteými potéká kapalina, Q půtok, n jednotkový vekto vnější nomály, c ychlost kapaliny Abychom mohli lépe popsat tlumení, a defomaci v mateiálu tubice, byl zaveden model standadního tělesa podle Ob. 6 Ob. 6 Model standadního tělesa V modelu přepokládáme jen jednoosou napjatost. Ze silové ovnováhy a defomačních vlastnosti modelu můžeme zapsat (napětí podle Hookova zákona a celkovou poměnou defomaci). 0

12 5.. Přenosová matice po tubici ve tvau válce Řešením soustavy dvou difeenciálních ovnic tj. ovnice kontinuity (4)a pohybové ovnice (5), získáme přenosovou matici. Přenosová matice popisuje přenos stavového vektou od počátku tubice x = 0 po délce x = L. ρ v S q s σ x L = 0. (4) υ S S σl s ψ q 0 4 R ρ v ρ x ( υ ξ) s =. (5) Výsledný tva přenosové matice tubice s konstantním půřezem (6) v sobě zahnuje vlivy: duhé viskozity, mateiálu tubice jako modelu standadního tělesa, vliv nestacionáního ychlostního pofilu P ( x,s) = cosh µ λ γ ( λ x) sinh( λ x) sinh λ ( λ x) cosh( λ x) 5. Přenosová matice po tubice ve tvau kužele 5.. Tenzo nevatných napětí. Touto poblematikou se dlouhodobě zabývali Pochylý, Habán [5], [6]. Výchozí vztah (7) po tenzo nevatného napětí Π ij obsahuje jak základní kinematickou viskozitu, tak duhou viskozitu, ve kteé je zahnuta stlačitelnost kapaliny. (6) Π ij = η c ij δ ij t 0 Θ ( t τ) c ( τ) dτ, kk (7) kde: η dynamická viskozita, c ij tenzo ychlosti defomace (předpokládá se, že dochází při nevatném ději k malým změnám teploty),δ ij Koneckeovo delta, t čas, τ integační poměnná, c kk divegence udávající zřídlivost ychlostního pole, Θ duhá dynamická viskozita související s objemovou pamětí kapaliny, tzn., že její změny nezávisí na účinku vnějšího postředí, ani na chaakteu přetvoření [9]. 5.. Vlnová ovnice Poblematika odvození vlnových ovnic je řešena v [5], kde autoři Pochylý a Habán uvádějí odvození vztahu (8). Výchozí vztahy byly ovnice kontinuity a Navie-Stokesovy ovnice. V silové ovnici ovnováhy předpokládali u tenzou nevatného napětí objemovou paměť kapaliny. Z nelineání vlnové ovnice po šíření tlakové vlny, vznikne lineání (8), při zanedbání nelineáních členů. p η t ρ t t ρ τ p x x ( p) Θ( t τ) ( p) dτ v p = 0, p =, 0 i i (8) kde: p tlak, Laplaceův opeáto, v ychlost zvuku. Po úpavách získáme Helmholtzovu ovnici (9)

13 κ σ σ = 0. (9) Po další řešení byl zaveden sféický souřadnicový systém (, ϕ, ϑ), podle Ob. 7 Ob. 7 Definování sféického postou po řešení matice Obecná definice Laplaceova opeátou f ve sféickém souřadnicovém systému viz [9], f f f f = f = sin ϑ sin ϑ ϑ ϑ sin ϑ ϕ. (0) Po dosazení tlakové funkce σ do (0), předpokladu řešení ovnice jako součin funkcí a úpavách získáme () Z d Z d dz d κ d W Z W dϑ cosϑ dw sin ϑ dϑ n sin W = 0. ϑ () Z ovnice () plyne, že pvní část v hanatých závokách závisí na délce a duhá na úhlu ϑ. Poto každá část musí být ovna volitelné konstantě např. *p viz [].

14 Modifikovaná Besselova ovnice Při řešení difeenciálních ovnic popisujících kmitání v obou komplexních čísel, v cylindickém nebo sféickém souřadném systému, je vhodné využít Besselových funkcí [9]. Další postup se opíá o modifikovanou Besselovu ovnici. Z d dz d Z d 0 = κ () Pohybové (Navie-Stokesovy) ovnice Když nebudeme uvažovat konvektivní členy, můžeme po složky ychlosti ve sféickém souřadnicovém systému psát (3). Kde je uvažována. viskozita. ( ). g cot c c c sin c c g cot c sin c c t p v p t c ϑ ϕ υ ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ ϑ ν ξ ρ = ϑ ϕ ϑ (3) Rovnice kontinuity. g cot c c c sin c c 0 = ϑ ϕ ϑ ϑ ϑ ϕ ϑ (4) Předpokládáme otačně symetickou tlakovou funkci, kteá není závislá na úhlu ϑ. Pak můžeme zjednodušit vlnovou ovnici ve sféických souřadnicích zapsat ji ve tvau (5). 0 = σ σ σ κ (5) Předpokládáme, že vliv duhé viskozity se výazně pojeví při pulsacích tlaku. Za tohoto předpokladu lze zjednodušit Navie-Stokesovy ovnice (3), tím že zanedbáme členy v hanatých závokách. Pak po (3) platí:. t p v p t c ξ ρ = (6) Po úpavách dostaneme výsledný tva přenosové matice po tubice ve tvau kužele (7). Matice zahnuje: kinematickou viskozitu, duhou kinematickou viskozitu ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., J J, Y, Y Y, J, J, Y, Y, J J J Y, Y Y, J, Y, J, Y, J / / / / / / / / / / / / / / / / κ κ κ κ α κ κ κ κ κ κ α κ κ κ κ α δ = P (7) 3

15 6 Poovnání válcové a kuželové tubice Před využitím přenosové matice po tubice ve tvau kužele a vložením do matematického modelu PVE bylo nutno otestovat její chování. Softwae F-A cha byl vytvořen doc. V. Habánem. Je učen po řešení pulsací ve větvených hydaulických obvodech metodou přenosových matic, ozšířený o výpočet vlastních fekvencí a vlastních tvaů []. V pogamu F-A cha jsem vytvořil dva typy modelů. Pvní s přenosovou maticí po tubice s konstantním půřezem (dále válcové tubice) Ob. 8., duhý s přenosovou maticí po tubice ve tvau kužele (dále kuželové tubice) Ob. 0. Ob. 8 Model tubice v SW F-A cha Ob. 9 Schematický model válcové tubice Čevené šipky značí smě výpočtu od počátku (0) po maximum (). Tubice je složena ze dvou uzlů, kde se zadávají okajové podmínky tlaku nebo půtoku. Stučný popis nastavení modelů v pogamu F-A cha: V menu tubice byl nastaven model výpočtu. U válcové tubice 3, u kuželové tubice 35. Další paamety: délka, ychlost zvuku, hustota kapaliny, duhá viskozita, byly nastaveny shodně po válcovou i kuželovou tubici. Vliv stěny tubice nebyl uvažován, byla předpokládaná nekonečně tuhá tubice. U válcové tubice byla zvolena délka m a půmě 0,m. Z délky a ychlosti při známých okajových podmínkách můžeme analyticky vypočítat vlastní fekvence tubice a vykeslit si tvay kmitu. Tímto způsobem byla povedena kontola u válcové tubice. U kuželové tubice byla shodná délka m, měněny byly vstupní půměy D = 0,04 0,34m a výstupní půměy D = 0,34 0,04m, tak aby byl objem shodný s válcovou tubicí, viz Ob.. Ob. 0 Model tubice v SW F-A cha Ob. Změna půměů D ; u kuželové tubice V uzlu byla zadávána okajová podmínka buzení tlakem nebo půtokem. V uzlu byla nastavena okajová podmínka tlaku nebo půtoku. Modifikací okajových podmínek vznikly čtyři séie výpočtů: A. V uzlu buzení tlakem (P) a v uzlu podmínka nulového půtoku (Q), dále P_Q. Více v kapitole 6.. B. V uzlu buzení půtokem (Q) a v uzlu podmínka nulového půtoku (Q), dále Q_Q. Viz kapitola 6.3. C. V uzlu buzení tlakem (P) a v uzlu podmínka tlaku (P), dále P_P. Viz kapitola 6.4. D. V uzlu buzení půtokem (Q) a v uzlu podmínka tlaku (P) dále Q_P. Viz kapitola 6.5. Zpacování výsledků z pogamu F-A cha bylo povedeno v MS Office Excel. 4

16 6. Stanovení vlastní fekvence Po málo tlumené systémy je možno stanovit vlastní fekvenci z fekvenčně amplitudové chaakteistiky po jednotlivé vcholy. V následujících kapitolách tohoto bylo využito (6., 6.3, 6.4, 6.5). 6. Okajové podmínky P_Q V uzlu jedna byla okajová podmínka buzení tlakem (P). V uzlu dva byla okajová podmínka nulového půtoku (Q) viz Ob. 9 a Ob.. Vliv změny vstupního půměu na fekvenci D /D D (m) vl. f vl. f vl. f D /D D (m) vl. f vl. f vl. f Tab. Vypočtené fekvence (Hz) při P_Q V ámci této séie výpočtů byl pověřen vyšší počet vstupních půměů, kdy byly pověřovány tubice blížící se kuželovitostí ovné tubici, včetně obou extémů po úzký i šioký vstupní půmě viz Tab.. Ob. Vliv poměu půměů na fekvenci při P_Q Nejvyšší ozdíly ve fekvenci po kuželovou a válcovou tubicí jsou u pvní fekvence. Po kuželové tubice ve tvau difuzou, se vstupním půměem menším než válcová, jsou vynucené fekvence vyšší než po válcovou tubici. V konfuzou jsou naopak nižší, viz Ob. a Tab.. 5

17 6.3 Okajové podmínky Q_Q Ob. 3 Vliv poměu půměů na fekvenci při Q_Q 6.4 Okajové podmínky P_P 6.5 Okajové podmínky Q_P Vliv půměu na vlastní fekvenci D /D D (m) vl. f vl. f vl. f Tab. Vypočtené fekvence (Hz) při Q_P 6

18 Ob. 4 Vliv poměu půměů na fekvenci při Q_P 7 Modelování vysokofekvenčních pulsací Vysokofekvenční pulsace vznikají vzájemným působením pevné a otující lopatkové mříže, tj. oběžného kola a ozváděcích lopat. Jak se při otáčení lopatka oběžného kola blíží k ozváděcí lopatce, vzniká tlakový impuls o vysoké fekvenci. Tyto tlakové pulsace se šíří z mezilopatkového postou (dále MLP), do oblasti oběžného a ozváděcího kola. Mají za následek cyklické únavové namáhání jednotlivých částí stoje. Nepříznivě působí na víko, spiálu a lopatky tubíny. Kitéiem po stanovení buzení nestacionáním tlakovým a ychlostním polem v MLP je závislost mezi počtem ozváděcích lopat a lopatek oběžného kola. Touto kombinací získáme tva tlakového pole v MLP (8) k z m z N (8) s = kde: z počet oběžných lopat z s počet ozváděcích lopat k, m celé číslo (0,,, 3 ) N celé číslo, ale může být i záponé N učuje počet vln po obvodu MLP postou, kladná hodnota N znamená otaci tlakového buzení ve směu otace oběžného kola, záponá poti směu otace oběžného kola [7] Po N= je tlakové pole ve tvau otujícího excentu Ob. 5, Při N= je tlakové pole ve tvau otujícího piškotu Ob. 6. k učuje fekvenci z pohledu pevného souřadnicového systému tj. MLP, spiály,, (9) f = f k (9) n z kde: f n fekvence otáčení otou V otujícím souřadnicovém systému tj. hřídele, oběžného kola,, učuje fekvenci m. 7

19 f = f m (0) n z s Ob. 5 N= Ob. 6 N= Po výpočet kmitání tlaku a půtoku v závislosti na fekvenci bylo použito metody přenosových matic s vlivem duhé viskozity a tlumení v mateiálu tubice. Duhá viskozita představuje fekvenčně závislé tlumení. Pokud chceme popsat tlumení na vyšších fekvencích, je nutno vliv duhé viskozity uvažovat. 7. Model a měření PVE Dlouhé Stáně Měřená data pocházela z modelu přečepávací vodní elektány Dlouhé Stáně. Měření povedlo ČKD Blansko Engineeig v laboatoři Odbou fluidního inženýství Victoa Kaplana. Vyhodnocení naměřených dat bylo povedeno v ámci [6]. Rozložení tlakových snímačů je na Ob. 7 a Ob. 8. Výkesové podklady byly převzaty od ČKD Blansko Engineeing. Ob. 7 Umístění snímačů tlaku na spiále p p7 8

20 Ob. 8 Umístění snímačů tlaku po obvodu MLP p8 p6 7. Matematický model PVE Dlouhé Stáně Při výpočtu vynuceného kmitání v hydaulickém modelu bylo nutné nejdříve povést výpočet stavového vektou na počátku každého pole. Tento vekto popisuje půtok a tlak. V každém uzlu obvodu byl počítán Laplaceův obaz tlaku. V počátku každého pole byl počítán Laplaceův obaz půtoku. Řešená matice má tedy ozmě počet uzlů počet tubic. Po řešení těchto neznámých máme dva typy ovnic. Pvní je okajová podmínka v každém uzlu systému. Půtoková podmínka, kde platí ovnice kontinuity (ΣQ=0) nebo (ΣQ=Q budící) kdy suma všech půtoků vtékajících do tohoto uzlu se ovná hodnotě budícího půtoku. Tlaková okajová podmínka, kde hodnota tlaku v uzlu je konstantní nebo má hodnotu tlakového buzení nebo je možno zadat vztah mezi Laplaceovým obazem půtoku a tlaku. Duhá ovnice počítá Laplaceův obaz tlaku na konci každého úseku potubí a poovnává s Laplaceovým obazem tlaku v uzlu, kam toto pole ústí. Pomocí těchto dvou podmínek jsme dostali úplnou soustavu ovnic po řešení dříve uvedených neznámých. Tato soustava byla přepsána do matice a řešena pomocí Gaussovy eliminace. Jednalo se o řešení soustavy lineáních ovnic s komplexními čísly []. 9

21 Ob. 9 Model PVE Dlouhé Stáně Index uzlu: modeluje posto pod oběžným kolem - modeluje vstup kapaliny do oběžného kola -4 modeluje výstup kapaliny z ozvaděče 4-6 modeluje výtok ze spiály do postou ozváděcích lopatek 64 modeluje okajovou podmínku spodní nádže, je v něm zadán konstantní tlak 66 modeluje okajovou podmínku honí nádže, je v něm zadán konstantní tlak Index tubice: -0 modelují oběžné kolo -40 modelují tlakový skok po obvodu (MLP) získaný z měření po fekvenci 350Hz ve tvau excentu po obvodu MLP. Tj. dáno kombinací lopatek ozvaděče a oběžného kola zde 0 a modelují posto mezi lopatkami ozvaděče modelují spiálu modeluje vstup do spiály 0

22 8 modeluje nos spiály 8-0 modelují mezilopatkový posto (MLP) 0-04 modelují přivaděč 05 modeluje savku tubíny 7.. D model Model je složen výhadně z válcových tubic, tj. řešen pomocí přenosových matic po tubice s konstantním půřezem. Systém přiřazování délky a půměu jednotlivým tubicím si ozebeme na příkladech. Spiála je utahována poti směu hodinových učiček. Je složena z 0 tubic. Byla pomyslně ozdělena na oblouky po 8. Z výkesové dokumentace byl odečten v místě půmě na začátku a konci oblouku. Střední hodnota půměu byla zadána jako půmě tubice. Délka tubice se ovnala délce oblouku. Rozvaděč je složen z 0 tubic. Z výkesové dokumentace je znám vstupní a výstupní půmě, dále vstupní a výstupní šířka. Plocha na vstupu, výstupu byla podělena 0 a z té byl vyjádřen půmě. Půmě tubice byl nastaven podle střední hodnoty z půměu na vstupu a výstupu do ozvaděče. V půdoysném pohledu byly lopatky ozvaděče položeny obloukem, jehož délka pezentuje délku tubice. V ámci optimalizace celého modelu bylo spočítáno několik vaiant po ůzné délky tubice ozvaděče v závislosti na poloze otevření. Stejným způsobem byly nastaveny zbylé části PVE. Tento systém v sobě zahnuje podobnost délkovou, nikoliv objemovou. 7.. D model Model je složen z kombinace válcových a kuželových tubic. Kuželové tubice jsou ve spiále, v ozvaděči a v oběžném kole. Spiála je utahována poti směu hodinových učiček. Je složena z 0 tubic. Byla pomyslně ozdělena na oblouky po 8. Z výkesové dokumentace byl odečten půmě v místě na začátku a konci oblouku. Tyto půměy byly zadány jako vstupní a výstupní půmě tubice. Délka tubice vycházela z délky oblouku výseče. Sousední kuželové tubice na sebe půměy navazují. Rozvaděč je složen z 0 tubic. Z výkesové dokumentace je znám vstupní a výstupní půmě, dále vstupní a výstupní šířka. Plocha na vstupu, výstupu byla podělena dvaceti a z té byly vyjádřeny půměy na vstupu a výstupu tubice. V půdoysném pohledu byly lopatky ozvaděče položeny obloukem, jehož délka pezentuje délku tubice. V ámci optimalizace celého modelu bylo spočítáno několik vaiant po ůzné délky tubice ozvaděče v závislosti na poloze otevření. Oběžné kolo bylo nastaveno podle stejného klíče jako ozvaděč. Tento systém v sobě zahnuje podobnost délkovou, nikoliv objemovou. V půběhu optimalizace modelu byla řešena poloha snímače na výkese a na modelu. Na modelu PVE je možno měnit otevření ozvaděče Ob. 0, ale v matematickém modelu jsou tubice popojeny přímo, Ob. 9. Tlakový impuls vybuzený v MLP je úhlově pootočen o úhel α.

23 Ob. 0 Koekce natočení a délky Tento úhel vychází z pacovního ozsahu ozváděcích lopatek. Byly počítány ůzné velikosti úhlu α. Dalším testovaným paametem byla délka tubice ozvaděče L, kde L odpovídá délce kanálu na modelu a L udává dálku tubice v matematickém modelu. Délka tubic simulující oběžné kolo byla také testována. Koekce pootočení α má velký vliv na celkovou shodu matematického a měřeného modelu. Při poovnání vlivu délky tubice a pootočení, na shodu modelů se jeví úpavy délek tubic ozvaděče a oběžného kola jako nevýznamné Čepadlový D V Tab. 3 jsou uvedeny paamety jednotlivých tubic matematického modelu. V pvním sloupci index tubice, ve duhém plocha tubice, ve třetím délka tubice, ve čtvtém ychlost zvuku, v pátém lineaizovaný odpo na vstupu do tubice, v šestém lineaizovaný odpo na výstupu z tubice a v sedmém hodnota koeficientu duhé viskozity. ξ H v sobě zahnuje mateiál tubice a útlum kapaliny, poto se jeho hodnota mění.

24 Index tubice Plocha l v R[] R[] ζ Η m m m/s Pa.s/m 3 Pa.s/m 3 m.s E E E E Tab. 3 Vypočtená data D čepadlový ežim Čevenou bavou je znázoněn vypočtený tlak, čenými koužky tlak měřený. V MLP je předpokládáno buzení tlakovým skokem ve tvau otujícího excentu, kteý se otáčí ve shodě s oběžným kolem. Dané gafy jsou vykesleny po zájmovou fekvenci 490,33Hz 3

25 Absolutní tva kmitu Tlak po φ=0 0 Tlak po φ=60 0 Tlak po φ=0 0 Tlak po φ=80 0 Tlak po φ=40 0 Tlak po φ=300 0 Ob. Tvay kmitu tlaku při fázovém posunu 60 v čepadlovém povozu 4

26 7..4 Čepadlový D V Tab. 4 jsou uvedeny paamety jednotlivých tubic matematického modelu. V pvním sloupci index tubice, ve duhém plocha tubice, ve třetím délka tubice, ve čtvtém ychlost zvuku, v pátém lineaizovaný odpo na vstupu do tubice, v šestém lineaizovaný odpo na výstupu z tubice a v sedmém hodnota koeficientu duhé viskozity. Index tubice Plocha l v R[] R[] ζ Η m m m/s Pa.s/m 3 Pa.s/m 3 m /s E E E Tab. 4 vypočtená data D čepadlový ežim Čevenou bavou je znázoněn vypočtený tlak, čenými koužky tlak měřený. V MLP je předpokládáno buzení tlakovým skokem ve tvau otujícího excentu, kteý se otáčí ve shodě s oběžným kolem. Dané gafy jsou vykesleny po zájmovou fekvenci 490,33Hz 5

27 Absolutní tva kmitu Tlak po φ=0 0 Tlak po φ=60 0 Tlak po φ=0 0 Tlak po φ=80 0 Tlak po φ=40 0 Tlak po φ=300 0 Ob. Tvay kmitu tlaku při fázovém posunu 60 v čepadlovém povozu 8 Závě V páci je uvedeno odvození přenosové matice po tubice s konstantním půřezem a přenosové matice po tubice ve tvau kužele s vlivem duhé viskozity, kteé vychází z pací [], [6]. Bylo povedeno poovnání válcových a kuželových tubic při ůzných okajových podmínkách. ) Na počátku buzení tlakem, na konci půtoková okajová podmínka. ) Na počátku buzení půtokem, na konci okajová podmínka půtoku. 3) Na počátku buzení tlakem na konci okajová podmínka tlaku. 4) Na počátku buzení půtokem a na konci okajová podmínka tlaku. 6

28 Pouze při vaiantě okajových podmínek buzení tlakem na počátku tubice a tlaku na konci tubice se nemění vlastní fekvence. U tubic na počátku buzených půtokem a na konci okajová podmínka půtoku jsou vlastní fekvence vyšší než u ovné tubice a to jako v konfuzou, tak v difuzou. Po tubice buzené tlakem na počátku a na konci okajová podmínka půtoku je vliv kuželovitosti nejvýaznější po pvní vlastní fekvenci. Se zvyšujícím se poměem vstupního a výstupního půměu tubice naůstá i vlastní fekvence. Stejné závěy jsou i při buzení půtokem na počátku tubice a na konci tlakové okajové podmínce. Nejvyšší ozdíly ve vypočtených vlastních fekvencích mezi kuželovou a válcovou tubicí jsou u pvní vlastní fekvence. Po kuželové tubice ve tvau difuzou se vstupním půměem menším než válcová, jsou vynucené fekvence vyšší než po válcovou tubici. V konfuzou jsou naopak nižší, viz Tab. a Ob. 4. Fekvence u kuželových tubic při okajových podmínkách P_Q se shodují s fekvencemi při Q_P. Pomocí kuželových přenosových matic byl vytvořen model po výpočet vysokofekvenčních tlakových a půtokových pulsací v postou vodní tubíny, nebo čepadla s uvažováním savky a přivaděče. Výsledky z výpočtu tlakových pulsaci byly poovnány s naměřenými tlakovými pulsacemi na spiále a v MLP. Při tvobě modelu byly počítány ůzné vaianty délek po jednotlivé tubice na spiále, tubice modelující ozvaděč a před ozvaděč, modelující OK a okužní potubí. Po stejné tubice byla řešena i ychlost zvuku v tubici, duhá viskozita, lineaizovaný odpo na počátku a na konci tubice. Poovnání numeického modelu s měřenými hodnotami bylo pomocí ezidua. Toto eziduum představuje shodu mezi měřenými a vypočtenými tlakovými pulsacemi, a to jak hodnotu tlakových pulsací, tak i fázovou shodu. Po výpočtu hodnoty tohoto ezidua je možno povádět optimalizaci numeického modelu, a to buď učně zadáním nových vstupních hodnot, nebo pomocí genetického algoitmu. Genetický algoitmus je napogamován v softwau F-A cha. []. Optimalizace D a D modelů vycházela z minimalizace ezidua. []. Po výpočet ezidua je nutné mít vyhodnocená data z měření modelu, kteá poskytlo ČKD Blansko Engineeing [6]. Měřené tlaky převést pomocí Fouieovy tansfomace z časové oblasti do fekvenční. Tím získat amplitudy a fáze po dané fekvence. Reziduum bylo minimalizováno pouze na vybaných vstupních paametech modelu, tj. na ychlosti zvuku, duhé viskozitě, odpou na počátku a konci tubice. Při výpočtu ezidua pomocí genetického algoitmu [], metoda sklouzává k lokálnímu minimu, poto byl výpočet přeušován a učně upavovány řešené paamety. Další snížení ezidua je možné dosáhnout, zvýšením počtů stupňů volnosti, tj zvětšením počtů počítaných paametů, ale to může mít za následek neeálné výsledky paametů tubic. Zde uvažovaný numeický model měl 6 stupňů volnosti. Při poovnávání D a D modelů v tubinovém ežimu se vliv kuželovitých tubic pojevil nepatně, tj. ozdíly ve shodě eziduí byly 3%. V čepadlovém ežimu měl D model o 0% vyšší shodu ezidui, než D model. Z pohledu tvoby D a D. Numeický model složený z válcových tubic, např. u spiály, kteou ozdělíme na segmenty. Dále zjistíme půmě na počátku a na konci, z nich spočítáme střední hodnotu, kteou zadáváme do numeického modelu, jako půmě tubice. Numeický model složený z válcových a kuželových tubic zadáváme přímo půmě na počátku a na konci segmentu spiály. Jednotlivé plochy segmentů spiály na sebe navazují, tím zajištujeme spojitost plochy po délce spiály. Zvyšuje se tím uživatelský komfot při zadávání. 7

29 Použitá liteatua [] HABÁN, Vladimí. Habilitační páce- Vysokofekvenční pulsace ve vodních stojích. Bno: Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s. Školitel: Pof. Ing. Fantišek Pochylý, CSc. [] HABÁN, Vladimí. Popis k pogamu F-Acha : Pogam po řešení pulsací ve větvených hydaulických obvodech metodou přenosových matic, ozšířený o výpočet vlastních fekvencí a vlastních tvaů kmitu. Technická zpáva. Bno: Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s. PDF. Nepublikováno [3] KOUTNÍK, Jiří. Tlakové a půtokové pulsace v hydaulických systémech vodních tubín. Bno: Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s.Školitel: Pof. Ing. Fantišek Pochylý, CSc. [4] HABÁN, Vladimí. Disetační páce Tlumení tlakových a půtokových pulsací. Bno: Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s. Školitel: Pof. Ing. Fantišek Pochylý, CSc. [5] POCHYLÝ, Fantišek; HABÁN, Vladimí. Nelineání vlnová ovnice po tlakovou funkci Výzkumná zpáva č. VUT-EU-QR Bno (CZ) VUT FSI, 005 [6] POCHYLÝ, Fantišek; HABÁN, Vladimí. Přenosová matice tlakových a půtokových pulsací v tubici kuhového půřezu ve tvau kužele. Výzkumná zpáva č. VUT-EU-QR Bno (CZ) VUT FSI, 007 [7] VESELÝ, Radek. Řezání vodním papskem modulovaným ultazvukem optimalizace kapalinového vlnovodu. Bno: Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s. Školitel: Ing. Vladimí Habán, Ph.D. [8] POCHYLÝ, Fantišek; HABÁN, Vladimí. Nelineání vlnová ovnice po tlakovou funkci. Výzkumná zpáva č. VUT-EU-QR Bno (CZ) VUT FSI, 005 [9] BRDIČKA, M.; SAMEK, L.; SOPKO, B.: Mechanika kontinua. Vydání 4., opavené, Paha: Academia, 0, ISBN [0] FRANCŮ, Jan. Paciální difeenciální ovnice. 4., dopl. vyd. Bno: Akademické nakladatelství CERM, 0, 60 s. ISBN [] Wolfam Mathwod Help [online] / 03. Dostupné z WWW: [] Wolfam Mathwod Help[online] / 03. Dostupné z WWW: [3] efuda. Inc. Mathematics Help[online] 03. Dostupné z WWW: [4] POCHYLÝ, Fantišek; HABÁN, Vladimí. Optimalizace tvau kapalinového vlnovodu po použití řezání vodním papskem. Výzkumná zpáva č. VUT-EU3303-QR-08. Bno (CZ) VUT FSI, 008 [5] POCHYLÝ, Fantišek. HABÁN, Vladimí. Technická zpáva Vlnová ovnice a duhá viskozita kapalin. Bno 00. VUT-EU-QR-34-0 [6] HABÁN, Vladimí; KUBÁLEK Jiří. Vyhodnocení měření tlakových pulsací čepadlové tubíny Dlouhé Stáně. Výzkumná zpáva č. VUT-EU3303-QR Bno (CZ) VUT FSI, 007 8

30 [7] KUBÁLEK, Jiří. Diplomová páce Modelování vysokofekvenčních pulsací. Vysoké učení technické v Bně, Fakulta stojního inženýství, s.Školitel: Ing. Vladimí Habán, Ph.D. [8] NICOLET C 007 Hydoacoustic Modelling and Numeical Simulation of Unsteady Opeation of Hydoelectic Systems. PhD Thesis EPFL n 375 Lausanne ( [9] POCHYLÝ, F.: Dynamika tekutinových systémů..vyd. Bno: Editační středisko VUT Bno, s. ISBN [0] ŠOB, F.: Hydomechanika..vyd. Bno: Editační středisko VUT Bno, s. ISBN [] NICOLET C.; RUCHONNET N.; ALLIGNÉ S.; KOUTNIK J.; AVELLAN F. 00 Hydoacoustic simulation of oto-stato inteaction in esonance conditions in Fancis pumptubine. 5th IHAR Symposium on Hydaulic Machiney and Systems (Timisoaa, Romania). [] YAN J.; KOUTNÍK J.; SEIDEL U. and HÜBNER B. 00 Compessible simulation of otostato in pump-tubine. 5th IHAR Symposium on Hydaulic Machiney and Systems (Timisoaa, Romania) ( Seznam nejdůležitějších symbolů Symbol Jednotka Popis λ; γ; µ Konstanty δ ij Koneckeův tenzo ɛ;ɛ ;ɛ Poměná defomace ɛ ;ɛ ;ɛ Laplaceův obaz poměné defomace η Pa s Dynamická viskozita kapaliny ν m s- Kinematická viskozita kapaliny ξ m s- Duhá kinematická viskozita ξ H m s- Koeficient duhé kinematické viskozity ρ kg m -3 Hustota kapaliny ρ t kg m -3 Hustota tubice σ Pa Napětí v tubici σ Pa Laplaceův obaz napětí v tubici σ L Pa Laplaceův obaz tlaku τ Laplaceův obaz času ϕ; ϑ ad Úhel ψ(s) s - Laplaceův obaz paměti ztátového součinitele ω ad s Úhlová ychlost m Tloušťka stěny tubice Θ Pa s Duhá dynamická viskozita 9

31 Γ(t) Paměťová funkce ztátového součinitele po nestacionání půtok Π ij Pa Nevatný tenzo napětí Σ ij Pa Tenzo napětí v tubici b Pa.s Duhá dynamická viskozita c m s - Vekto ychlosti kapaliny c m s - Rychlost ve sféickém souřadném systému c ijω Tenzo ychlosti defomace c kkω Divegence udávající zřídlivost ychlostního pole c~ m s - Laplaceův obaz ychlosti kapaliny c~ m s - Střední ychlost ve sféickém souřadném systému f Hz Fekvence g m s - Tíhové zychlení i Imaginání jednotka i; j indexy nabývající hodnot,, 3 k Pa s Konstanta m kg Hmotnost n Nomálový jednotkový vekto n ; n ; n P Jednotkové vektoy nomály p Pa Tlak v tubici q m 3 s - Laplaceův obaz půtoku s s - Paamet Laplaceovy tansfomace podle času t s Čas u Stavový vekto v m s - Komplexní ychlost zvuku v 0 m s - Rychlost zvuku v kapalině w~ m s - Laplaceův obaz střední ychlosti kapaliny ve sféickém souř. syst. x m Délková souřadnice A; B; C Substituce D m Vnitřní půmě tubice E 0 Pa Mateiálová konstanta tubice (tuhost),modul pužnosti E Pa Mateiálová konstanta tubice (tuhost) G 0; H 0 Integační konstanty J; Y Besselova funkce L m Délka tubice P Přenosová matice kapaliny Q m 3 s - Půtok R m Vnitřní polomě tubice 30

32 S m Plocha U T Stavový vekto V m 3 Objem Z() Tlaková funkce po délce tubice MLP SPI P_Q P_P Q_P Q_Q Mezilopatkový posto Spiála Na počátku tubice buzení tlakem, na konci podmínka půtoku Na počátku tubice buzení tlakem, na konci podmínka tlaku Na počátku tubice buzení půtokem, na konci podmínka tlaku Na počátku tubice buzení půtokem, na konci podmínka půtoku 3