CVIČNÝ TEST 4. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 7 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 4 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 7 III. Klíč 21 IV. Záznamový list 23

2 I. CVIČNÝ TEST 1 Písmena A a B vyjadřují každá jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jejich pomocí vytvoříme trojciferné číslo ABA a dvojciferné číslo AB. Pro jejich součet platí: ABA + AB 910 Určete číslici B. 2 Je dán výraz V = ( (2 50 ) 2 48 ) ( (2 49 ) 2 47 ) ( (2 4 ) 2 2 ) ( (2 3 ) 2 1 ) ( (2 2 ) 2 0 ). Vypočtěte hodnotu výrazu V. 3 Je dán kvádr o podstavných hranách a = 4 cm, b = 2 cm a výšce c = 2 cm. O kolik cm 3 se zmenší jeho objem, zvětšíme-li hranu a o n 2 centimetrů, hranu b o n centimetrů prodloužíme a hranu c naopak o n centimetrů zkrátíme? 4 Pro x (9; + ) je dána funkce f: y = log 3 (x 9), jejíž graf protíná souřadnicovou osu x v bodě P. Určete vzdálenost d bodu P od bodu [6; 3]. 5 Řešte rovnici 4 3 x + 3 x-1 = 117 s neznámou x R. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Do závodu v přeskoku se přihlásilo 24 borců z Královéhradeckého kraje. Čtyři z nich hájí barvy tělovýchovného klubu z Jičína. Gymnastů z Jaroměře je třikrát méně než gymnastů z Trutnova, gymnastů z Trutnova je o dva více než gymnastů z Náchoda. Jeden gymnasta přijel z Rychnova nad Kněžnou. Po urputném klání získal jeden gymnasta zlatou, jeden stříbrnou a jeden bronzovou medaili Kolik atletů přijelo z Náchoda? 6.2 Jaká je pravděpodobnost p, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova? 2 Maturita z matematiky ZD

3 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán čtverec ABCD, kde AB = a = 16 cm. Vrcholy B a D jsou středy oblouků k 1 a k 2 o shodných poloměrech velikosti a. Oblouky vymezují rovinný útvar (na obrázku vyznačený černým rastrem). 7 Určete obsah S rovinného útvaru označeného na obrázku černým rastrem. (Výsledek zaokrouhlete na jednotky). VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V kuchařce je uveden recept na zhotovení piškotového těsta. Dle tohoto receptu se těsto vyrábí z mouky, cukru, vajec a vody, přičemž suroviny jsou v hmotnostním poměru 5 : 3 : 6 : Kolik procent z celkové hmotnosti piškotového těsta dle daného receptu představuje cukr? 8.2 Kolik gramů mouky je třeba na výrobu 600 gramů piškotového těsta dle daného receptu? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, kde body X, Y, Z jsou po řadě středy stran AB, BC, AC Vypočtěte velikost úhlu CXY. 9.2 Určete obsah S trojúhelníka XYC, je-li obsah trojúhelníka ABC roven 12 cm 2. Maturita z matematiky ZD 3

4 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Děti skládají pyramidu z kostek tak, jak ukazuje obrázek. Na již postavenou řadu položí vždy poloviční počet kostek Kolik kostiček by bylo v sedmé řadě takto stavěné pyramidy, bylo-li by v jejím prvním (nejspodnějším) patře kostiček? 10.2 Kolik kostiček by bylo v nejspodnějším patře takto stavěné, osm pater vysoké pyramidy, jestliže by na jejím vrcholu (v osmém patře) byly dvě kostičky? VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1112 Je dán obdélník ABCD, v němž AB = 3 x a BC = 1 9 x 2, kde x (3, 3). 11 Určete zjednodušený výraz, který vyjadřuje obsah obdélníka ABCD. 1 bod 1 bod 12 Určete délku úhlopříčky BD obdélníka ABCD pro x = 2. (Výsledek zaokrouhlete na setiny.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Do válce o objemu dm 3 jsou vepsány tři stejné koule o poloměru 10 cm tak, jak ukazuje obrázek. Koule se vzájemně dotýkají, krajní koule se dotýkají podstav válce. 4 Maturita z matematiky ZD

5 13 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 13.1 Poloměr koule je třetinou výšky válce Výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy Povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady Koule zabírají dvě třetiny objemu válce. 14 Je dána přímka p : 3x y 5 = 0. U každé z následujících přímek q 1 q 4 ( ) určete, zda je s přímkou p různoběžná (ANO), či nikoliv (NE): ANO NE 14.1 q 1 = AB, kde A [5, 2]; B [4; 5] 14.2 q 2 = {[2 2t; 4 6t]; t R} 14.3 q 3 = {[3 + 3s; 5 s]; s R} 14.4 q 4 : 6x 2y 19 = 0 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Jsou dány funkce f 1, f 2, f 3 a f Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 ( ) z obrázku její předpis (AF): A) y = 3x 2 B) y = 3x 2 C) y = 3x D) y = 3x + 2 E) y = 3x F) y = 3x + 2 max. 4 body Maturita z matematiky ZD 5

6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1618 Je dán výraz n! (n 3)! + ( 5 n ). 16 Jaký je definiční obor tohoto výrazu? A) (3; + ) B) (3; 5) C) {3; 4; 5} D) (- ; 3) (3; 5) E) {4} 17 Jakým číslem musíme dělit výraz A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) žádným z uvedených čísel n! 2 body 2 body (n 3)!, abychom získali kombinační číslo ( n 3 )? 5 18 Kombinační číslo ( n ) vyjadřuje počet všech: A) Možných různých neuspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky neopakují. B) Možných různých uspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky smí opakovat. C) Možných různých neuspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. D) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. E) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky smí opakovat. 2 body KONEC TESTU 6 Maturita z matematiky ZD

7 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ 1 Písmena A a B vyjadřují každá jednu z číslic 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Jejich pomocí vytvoříme trojciferné číslo ABA a dvojciferné číslo AB. Pro jejich součet platí: Určete číslici B. ABA + AB 910 Platí: ABA + AB 910 Součet A + B z prvního sloupce zprava dá číslo končící 0, protože A i B jsou číslice od 0 do 9, může jít pouze o čísla 0 nebo by vznikla jen součtem dvou 0, tak by ale výsledný součet 910 splněn nebyl. Součet A + B je tedy 10. Do druhého součtu tedy přechází 1 z řádu desítek. Součet B + A z druhého sloupce zprava je opět 10, zvýšený o 1 z předchozího součtu, tedy opět přechází do dalšího sloupce. Ve třetím sloupci zprava je pouze A, tedy A zvýšené o 1 z předchozího sloupce musí dát 9. Platí tedy: A + 1 = 9. Určíme, že A = 8. Ze součtu A + B tedy vyplývá, že číslice B = 2. Řešení: B = 2 2 Je dán výraz V = ( (2 50 ) 2 48 ) ( (2 49 ) 2 47 ) ( (2 4 ) 2 2 ) ( (2 3 ) 2 1 ) ( (2 2 ) 2 0 ). Vypočtěte hodnotu výrazu V. Výraz V je součin. Činitel (2 4 ) 2 2 upravíme = ( 2) 4 4 = ( 2 2 ) 2 4 = = 4 4 = 0 Protože jeden činitel je v součinu roven 0, je celý součin roven 0. Výraz V je tedy nulový. Řešení: V = 0 Maturita z matematiky ZD 7

8 3 Je dán kvádr o podstavných hranách a = 4 cm, b = 2 cm a výšce c = 2 cm. O kolik cm 3 se zmenší jeho objem, zvětšíme-li hranu a o n 2 centimetrů, hranu b o n centimetrů prodloužíme a hranu c naopak o n centimetrů zkrátíme? Objem původního kvádru je V = a b c, tedy 16 cm 3. Hrany změněného kvádru jsou: a = a + n 2 = (4 + n 2 ) cm b = b + n = (2 + n) cm c = c n = (2 n) cm Vypočteme jeho objem. V = a b c = (4 + n 2 ) (2 + n) (2 n) Výraz vyjadřující objem upravíme. V = (4 + n 2 ) (2 n) (2 n) = (4 + n 2 ) (4 n 2 ) = 16 n 4 Protože původní objem byl 16 cm 3, je nový kvádr o n 4 cm 3 menší. Řešení: n 4 cm 3 4 Pro x (9; + ) je dána funkce f: y = log 3 (x 9), jejíž graf protíná souřadnicovou osu x v bodě P. Určete vzdálenost d bodu P od bodu [6; 3]. Funkce f protíná osu x v bodě P [x; 0], kde x splňuje rovnici: 0 = log 3 (x 9) Rovnici vyřešíme: 3 0 = x 9 1 = x 9 x = 10 Bod P má souřadnice [10; 0]. Vypočteme vzdálenost bodu P od bodu [6; 3]. d = (6 10) 2 + (3 0) 2 = (4) = (16 + 9) = 25 = 5 Řešení: d = 5 5 Řešte rovnici 4 3 x + 3 x-1 = 117 s neznámou x R. 1 bod Tuto exponenciální rovnici řešíme vytýkáním. 3 x 1 ( ) = x 1 13 = 117/ 13 3 x 1 = 9 8 Maturita z matematiky ZD

9 Vyjádříme na obou stranách rovnice čísla jako mocniny o stejném základu. 3 x 1 = 3 2 Z rovnosti základů mocnin na obou stranách rovnice vyplývá, že: x 1 = 2 x = 3 Řešení: x = 3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 6 Do závodu v přeskoku se přihlásilo 24 borců z Královéhradeckého kraje. Čtyři z nich hájí barvy tělovýchovného klubu z Jičína. Gymnastů z Jaroměře je třikrát méně než gymnastů z Trutnova, gymnastů z Trutnova je o dva více než gymnastů z Náchoda. Jeden gymnasta přijel z Rychnova nad Kněžnou. Po urputném klání získal jeden gymnasta zlatou, jeden stříbrnou a jeden bronzovou medaili Kolik atletů přijelo z Náchoda? Označme počet gymnastů z Náchoda jako neznámou x. Gymnasti z Jičína 4 Gymnasti z Náchoda x Gymnasti z Trutnova x + 2 Gymnasti z Jaroměře x Gymnasti z Rychnova nad Kněžnou 1 Gymnasti z Královéhradeckého kraje celkem 24 Platí tedy: 4 + x + (x + 2) + ( x ) + 1 = 24 Vypočteme neznámou x. x x + = 24/ 3 3 Maturita z matematiky ZD 9

10 21 + 6x + x + 2 = 72 7x = 49 x = 7 Z Náchoda přijelo 7 gymnastů. Řešení: 7 gymnastů 6.2 Jaká je pravděpodobnost p, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova? Jevy J (vyhraje gymnasta z Jaroměře) a T (vyhraje gymnasta z Trutnova) jsou disjunktní (vylučují se), takže pravděpodobnost, že nastane jeden nebo druhý, vznikne součtem pravděpodobností každého z nich. Gymnasté z Jaroměře jsou 3, z Trutnova přijelo 9 gymnastů. 3 P (J) = 24 9 P (J) = 24 p = P (J T ) = = 12 = 0, Pravděpodobnost, že zlato získá gymnasta z Jaroměře nebo z Trutnova, je 0,5, též 50 %. Řešení: p = 0,5 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 7 Je dán čtverec ABCD, kde AB = a = 16 cm. Vrcholy B a D jsou středy oblouků k 1 a k 2 o shodných poloměrech velikosti a. Oblouky vymezují rovinný útvar (na obrázku vyznačený černým rastrem). 10 Maturita z matematiky ZD

11 7 Určete obsah S rovinného útvaru označeného na obrázku černým rastrem. (Výsledek zaokrouhlete na jednotky). Obsah S vyznačené části vypočteme takto (S k je obsah čtvrtiny kruhu k 1, resp. k 2 ; S c je obsah čtverce ABCD). S = 2 S k S c Platí, že S k = 1 4 πa 2 = 64π; S c = a 2 = 256. Dosadíme. S = 2 64π 256 = 128π 256 =. 146 cm 2 Řešení: S = 128π 256 =. 146 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 8 V kuchařce je uveden recept na zhotovení piškotového těsta. Dle tohoto receptu se těsto vyrábí z mouky, cukru, vajec a vody, přičemž suroviny jsou v hmotnostním poměru 5 : 3 : 6 : Kolik procent z celkové hmotnosti piškotového těsta dle daného receptu představuje cukr? Ze zadání úlohy vyplývá, že vyrábíme těsto z 15 množstevních či hmotnostních jednotek (sečteme-li jednotlivé díly surovin z poměru jejich zastoupení). Na cukr tedy připadají Řešení: 20 % 3 15 z celkového množství těsta, tedy 1 5, tj. 20 %. 8.2 Kolik gramů mouky je třeba na výrobu 600 gramů piškotového těsta dle daného receptu? Na mouku připadá 5 15, tedy 1 3 z celkového množství těsta. Zpracováváme-li suroviny na 600 g těsta, třetinu z něj tvoří mouka. Tedy 200 gramů. Řešení: 200 g Maturita z matematiky ZD 11

12 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Je dán rovnostranný trojúhelník ABC, kde body X, Y, Z jsou po řadě středy stran AB, BC, AC Vypočtěte velikost úhlu CXY. Označme CXY = β Protože trojúhelník ABC je rovnostranný a body X a Y jsou středy stran AB a BC, je zřejmé, že i trojúhelník XBY je rovnostranný, tedy všechny jeho vnitřní úhly mají velikost 60 pro úhel BXY platí, že BXY = 60. Protože úsečka CX je na stranu AB kolmá, je úhel β doplněk úhlu BXY do 90. Velikost úhlu β = CXY = 30. Řešení: Určete obsah S trojúhelníka XYC, je-li obsah trojúhelníka ABC roven 12 cm 2. Označme S XY střed strany YZ. 12 Maturita z matematiky ZD

13 Trojúhelníky XYS, CS XY Y a CZS XY (na obrázku označené šrafováním) jsou dle věty sus shodné. Obsah trojúhelníka XYC je tedy stejný jako obsah trojúhelníka ZYC. Protože výška CS XY trojúhelníka ZYC má poloviční délku než výška CX trojúhelníka ABC a strana S XY Y má poloviční délku než strana XB trojúhelníka ABC, je obsah trojúhelníka ZYC čtvrtinou obsahu trojúhelníka ABC. Protože obsah trojúhelníka ZYC je stejný jako obsah trojúhelníka XYC, má trojúhelník XYC obsah: S = 12 4 = 3 cm 2 Řešení: S = 3 cm 2 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 10 Děti skládají pyramidu z kostek tak, jak ukazuje obrázek. Na již postavenou řadu položí vždy poloviční počet kostek Kolik kostiček by bylo v sedmé řadě takto stavěné pyramidy, bylo-li by v jejím prvním (nejspodnějším) patře kostiček? V dalším patře takové pyramidy je vždy použita polovina kostiček, říká zadání. Jedná se tedy o klesající geometrickou posloupnost s koeficientem q = 1 2. Je dáno a 1 = 1 024, q = 1 2, hledáme a 7. Dle vztahů v geometrické posloupnosti platí: a 7 = a 1 q 6 Dosadíme. a 7 = ( 1 2 ) 6 = = 16 V sedmém patře je 16 kostiček. Řešení: 16 kostiček Maturita z matematiky ZD 13

14 10.2 Kolik kostiček by bylo v nejspodnějším patře takto stavěné, osm pater vysoké pyramidy, jestliže by na jejím vrcholu (v osmém patře) byly dvě kostičky? V dalším patře takové pyramidy je vždy použita polovina kostiček, říká zadání. Jedná se tedy o klesající geometrickou posloupnost s koeficientem q = 1 2. Je dáno a 8 = 2, q = 1 2, hledáme a 1. Dle vztahů v geometrické posloupnosti platí: a 1 = a 8 : q 7 Dosadíme. a 1 = 2 : ( 1 2 ) 7 = = 2 8 = 256 V nejspodnějším patře je 256 kostiček. Řešení: 256 kostiček VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1112 Je dán obdélník ABCD, v němž AB = 3 x a BC = 1 9 x 2, kde x (3, 3). 11 Určete zjednodušený výraz, který vyjadřuje obsah obdélníka ABCD. 1 bod Obsah obdélníka je součinem délek jeho sousedních stran. Tedy: S = (3 x) 1 Řešení: 3 + x 1 3 x = = 9 x 2 9 x 2 3 x (3 x)(3 + x) = x 1 bod 12 Určete délku úhlopříčky BD obdélníka ABCD pro x = 2 cm. (Výsledek zaokrouhlete na setiny.) Délku úhlopříčky obdélníka vypočteme z Pythagorovy věty: BD = ( AB 2 + BC 2 ) AB = 3 2 = 1 cm 14 Maturita z matematiky ZD

15 BC = 1 1 = = 1 cm Po dosazení: BD = 12 + (5 1 ) 2 = = = = 26 =. 1,02 cm Řešení: 1,02 cm VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 13 Do válce o objemu dm 3 jsou vepsány tři stejné koule o poloměru 10 cm tak, jak ukazuje obrázek. Koule se vzájemně dotýkají, krajní koule se dotýkají podstav válce. 13 Rozhodněte o každém z následujících tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): ANO NE 13.1 Poloměr koule je třetinou výšky válce Výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy Povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady Koule zabírají dvě třetiny objemu válce. Sjednotíme jednotky, budeme vše vyjadřovat v dm. Poloměr koulí je tedy 1 dm. Dopočteme všechny zbývající klíčové údaje. Poloměr r podstavy válce je shodný s poloměrem koulí a r = 1 dm. Výšku v válce spočteme ze vzorce pro jeho objem V. V = πr 2 v Vyjádříme výšku v a spočteme ji. V v = πr 2 v = 6π π = 6 dm Maturita z matematiky ZD 15

16 Spočteme povrch P válce. P = 2π(r + v) = 2π(1 + 6) = 14π dm 2 Spočteme objem V k a povrch P k každé z koulí. 4 4 V k = πr 3 = π dm P k = 4πr 2 = 4π dm 2 Nyní můžeme určit pravdivost, či nepravdivost tvrzení. V tvrzení 13.1 je řečeno, že poloměr koule je třetinou výšky válce. Poloměr koule je šestinou výšky válce. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 13.2 je řečeno, že výška válce je trojnásobkem průměru jeho podstavy. Výška válce je šestinásobkem jeho poloměru, tedy trojnásobkem jeho průměru. Tvrzení je pravdivé. V tvrzení 13.3 je řečeno, že povrch válce je stejný jako povrch všech koulí dohromady. Povrch válce je 14π dm 2, povrch všech koulí dohromady je jen 12π dm 2. Tvrzení je nepravdivé. V tvrzení 13.4 je řečeno, že koule zabírají dvě třetiny objemu válce. Spočteme objem všech koulí: 4 3V k = 3 π = 4π dm 3 3 a srovnáme s dvěma třetinami objemu válce: 2 2 V = 6π = 4π dm Tvrzení je pravdivé. Řešení: NE, ANO, NE, ANO 16 Maturita z matematiky ZD

17 14 Je dána přímka p : 3x y 5 = 0. U každé z následujících přímek q 1 q 4 ( ) určete, zda je s přímkou p různoběžná (ANO), či nikoliv (NE): ANO NE 14.1 q 1 = AB, kde A [5, 2]; B [4; 5] 14.2 q 2 = {[2 2t; 4 6t]; t R} 14.3 q 3 = {[3 + 3s; 5 s]; s R} 14.4 q 4 : 6x 2y 19 = 0 Přímka p má normálový vektor n = (3; 1), směrový vektor s = (1; 3) q 1 = AB, kde A [5, 2]; B [4; 5] Přímka q 1 má směrový vektor AB = (4 5; 5 (2)) = (1; 3) = (1) (1; 3)= s. Přímka q 1 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná q 2 = {[2 2t; 4 6t]; t R} Přímka q 2 má směrový vektor (2; 6) = (1; 3) = s. Přímka q 2 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná q 3 = {[3 + 3s; 5 s]; s R} Přímka q 3 má směrový vektor (3; 1) = n. Přímka q 3 je na přímku p kolmá, je s ní tedy různoběžná q 4 : 6x 2y 19 = 0 Přímka q 4 má normálový vektor (6; 2) = (2) (3; 1) = 2n. Přímka q 4 je s přímkou p rovnoběžná nebo totožná, nikoliv však různoběžná. Řešení: NE, NE, ANO, NE Maturita z matematiky ZD 17

18 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 15 Jsou dány funkce f 1, f 2, f 3 a f Přiřaďte ke každé funkci f 1 f 4 ( ) z obrázku její předpis (AF): A) y = 3x 2 B) y = 3x 2 C) y = 3x D) y = 3x + 2 E) y = 3x F) y = 3x + 2 max. 4 body Budeme sledovat vlastnosti lineárních funkcí vyplývající z grafu. Zprvu vyřadíme možnosti C a E, neboť se jedná o přímé úměrnosti, jejichž grafy prochází počátkem Funkce f 1 je rostoucí (lineární koeficient bude kladný, možnosti B, F) a graf prochází bodem [0; 2], což určuje, že prostý člen bude roven 2 (možnosti A, B). Řešením je tedy možnost B. Řešení: B 15.2 Funkce f 2 je klesající (lineární koeficient bude záporný, možnosti A, D) a graf prochází bodem [0; 2], což určuje, že prostý člen bude roven 2 (možnosti D, F). Řešením je tedy možnost D. Řešení: D 18 Maturita z matematiky ZD

19 15.3 Funkce f 3 je klesající (lineární koeficient bude záporný, možnost A). Jiné možnosti již k dispozici nejsou. Řešení: A 15.4 Zbývá jen možnost F. Řešení: F VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOHÁM 1618 Je dán výraz n! (n 3)! + ( 5 n ). 16 Jaký je definiční obor tohoto výrazu? A) (3; + ) B) (3; 5) C) {3; 4; 5} D) (- ; 3) (3; 5) E) {4} 2 body Ze zadání vyvozujeme, že výraz n 0 (n 3) 0 5 n n N 0. Průnik těchto podmínek je množina n {3; 4; 5}. Řešení: C n! + (n 3)! ( 5 n ) má následující podmínky: 17 Jakým číslem musíme dělit výraz A) 3 B) 6 C) 9 D) 12 E) žádným z uvedených čísel n! 2 body (n 3)!, abychom získali kombinační číslo ( n 3 )? Maturita z matematiky ZD 19

20 n Vyjádříme kombinační číslo ( ) jako výraz s faktoriály: 3 ( ) n == n! : n! 3! 3 (n 3)! 3! (n 3)! Výraz je tedy třeba vydělit číslem 3! = 6. Řešení: B 5 18 Kombinační číslo ( n ) vyjadřuje počet všech: A) Možných různých neuspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky neopakují. B) Možných různých uspořádaných n-tic z 5 prvků, v nichž se prvky smí opakovat. C) Možných různých neuspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. D) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky neopakují. E) Možných různých uspořádaných pětic z n prvků, v nichž se prvky smí opakovat. 2 body Když z pěti nabízených prvků volíme libovolné n-tice, aniž by se prvky ve skupině opakovaly, počet všech takových různých n-tic, které dokážeme vytvořit, vyjadřuje kombinační číslo ( 5 n ). Skupiny jsou neuspořádané, pořadí prvků ve skupině není podstatné, přeházíme-li je, půjde stále o tutéž skupinu. Řešení: A KONEC TESTU 20 Maturita z matematiky ZD

21 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 112 jsou otevřené. 3) Úlohy 1318 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů 1 B = 2 2 V = 0 3 o n 4 cm 3 4 d = 5 5 x = 3 1 bod gymnastů 1 bod 6.2 p = 0,5 1 bod cm % 1 bod g 1 bod bod cm 2 1 bod kostiček 1 bod kostiček 1 bod x 1 bod 12 1,02 1 bod NE 13.2 ANO 13.3 NE 13.4 ANO 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 21

22 NE 14.2 NE 14.3 ANO 14.4 NE 15.1 B 15.2 D 15.3 A 15.4 F 16 C 2 body 17 B 2 body 18 A 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 22 Maturita z matematiky ZD

23 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 35 bodů. 2) Úlohy 112 jsou otevřené. Zapište výsledek. 3) Úlohy 1318 jsou uzavřené, s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy, resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka Úloha Správné řešení Počet bodů bod bod bod bod bod bod bod bod bod 11 1 bod 12 1 bod podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. Maturita z matematiky ZD 23

24 body 17 2 body 18 2 body 4 podúlohy 2 b. 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. max. 4 body 4 podúlohy 4 b. 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b. 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b. 24 Maturita z matematiky ZD