Na této přednášce se budeme zabývat vyjádřením reálných čísel ve tvaru tzv. řetězových zlomků, tj. výraz. 1 a a 2+...

Transkript

1 Řetězové zlomky Pavel Podbrdský Úvod Na této přednášce se budeme zabývat vyjádřením reálných čísel ve tvaru tzv řetězových zlomků, tj výraz ( ) a a a 2+ a 0 Z, a 1, a 2, N Tento zlomek může mít konečný, nebo nekonečný počet členů Pokud je řetězový zlomek konečný, je jeho hodnota výsledkem konečného počtu racionálních úkonůnadčísly a 0, a 1,, a n Vtakovémpřípadějeintuitivně jasné,co míníme hodnotou tohoto řetězového zlomku Cílem přednášky bude pojem řetězového zlomku přesněji zavést i pro případ nekonečného zlomku, studovat jehovlastnostiaukázatjehojednoduchéaplikace 1 Zavedení pojmů a značení Zprvubudemeřetězovýzlomek( )chápatjakofunkcivproměnných a 0 R a a 1, a 2, R + Pro zkrácení budeme výraz( ) zapisovat, jako resp ( )[a 0 ; a 1, a 2, ], ( )[a 0 ; a 1, a 2,, a n ], půjde-li o nekonečný, resp konečný řetězový zlomek Definice Úsekem řádu k řetězového zlomku( ) budeme rozumět s k =[a 0 ; a 1, a 2,, a k ] 1 JdezejménaoaproximacereálnýchčíselzlomkyPokudzbudečas,takybychchtělna přednášce předvést, jak se z řetězových zlomků dají zkonstruovat konkrétní transcendentní čísla 11

2 Zouvalka 99 Zbytkem řádu k řetězového zlomku( ) budeme rozumět r k =[a k ; a k+1, a k+2, ] Pozorování Pro konečné řetězové zlomky a 1 k n platí [a 0 ; a 1, a 2,, a n ]=[a 0 ; a 1, a 2,, a k 1, r k ] Sblížené zlomky Věta Existujípolynomy P n, Q n o n+1proměnnýchsceločíselnýmikoeficienty,takové,žeprokaždé a 0 R, a 1, a 2,, a n R + platí [a 0 ; a 1, a 2,, a n ]= P(a 0, a 1,, a n ) Q(a 0, a 1,, a n ) Definice Sblíženým zlomkem řádu k řetězového zlomku( ) budeme rozumět zlomek p k,kde p k = P k (a 0, a 1,, a k )a = Q(a 0, a 1,, a k )ap k, Q k jsou polynomy z předchozí věty, které již nelze zkrátit Věta Pro čitatele a jmenovatele sblížených zlomků platí rekurence p 0 = a 0, p 1 = a 1 a 0 +1, q 0 =1, q 1 = a 1 pro k 2 p k = a k p k 1 + p k 2, = a k Poznámka Někdysenámbudehoditdefinovattaké p 1 = 1, q 1 = 0, rekurencezpředchozívětypakplatíipro k=1 Pozorování Zrekuerncepro azeskutečnosti a k >0pro k >0plyne,že všechnyčlenyposloupnosti jsoukladné Věta Pro k 0platí p k 1 p k 1 =( 1) k 12

3 Pavel Podbrdský: Řetězové zlomky Důsledek p k 1 1 p k = ( 1)k 1 Věta Pro k 1platí p k 2 p k 2 =( 1) k 1 a k Důsledek p k 2 2 p k = ( 1)k 1 a k 2 Pozorování Díky předchozím větám si můžeme utvořit předtavu o rozložení hodnot sblížených zlomků Sblížené zlomky sudého řádu tvoří rostoucí posloupnost a sblížené zlomky lichého řádu tvoří klesající posloupnost, přitom libovolný sblížený zlomek sudého řádu je menší, než libovolný zlomek lichého řádu Věta Prokaždé1 k nplatí [a 0 ; a 1, a 2,, a n ]= p k 1r k + p k 2 1 r k + 2 Věta 1 =[a k ; a k 1, a k 2,, a 1 ] Nekonečné řetězové zlomky Máme-li nekonečný řetězový zlomek, již jsme nadefinovali nekonečnou posloupnost jeho sblížených zlomků p 0 p 1,, q 0 q 1 Nabízí se následující přirozená definice: Definice V případě, že posloupnost sblížených zlomků nekonečného řetězového zlomku má limitu α R, řekneme, že tento řetězový zlomek konverguje amáhodnotu αvtakovémpřípaděbudemepsát α=[a 0 ; a 1, a 2, ] 13

4 Zouvalka 99 V opačném případě řekneme, že daný řetězový zlomek diverguje Věta Konverguje-li nekonečný řetězový zlomek, konverguje také každý jeho zbytek Naopak konverguje-li alespoň jeden z jeho zbytků, konverguje taky celý řetězový zlomek Věta Hodnota α nekonečného řetězového zlomku vyhovuje pro každé k nerovnosti α p k < 1 +1 Řetězové zlomky s přirozenými prvky Dálesejižvýhradněbudemezabývatřetězovýmizlomky,prokteréplatí a 0 Z a a 1, a 2, N Věta Je-li a 0 Zaa 1, a 2, N,pakřetězovýzlomek[a 0 ; a 1, a 2, ] konverguje Pozorování Sblížené zlomky jsou v základním tvaru(nelze je zkrátit) Definice Zlomkyvsunutýmimezi p k 1 1 a p k 2 2 (pro k 1)budemerozumět posloupnost zlomků p k 1 + p k , 2p k 1 + p k ,, a k p k 1 + p k 2 a k = p k Zobrazení čísel řetězovými zlomky Dále ze svých úvah vyloučíme konečné řetězové zlomky, jejichž poslední prvek má hodnotu 1 Věta Ke každému reálnému α existuje právě jeden řetězový zlomek, který má hodnotu α Tento řetězový zlomek je konečný právě tehdy, když α je racionální číslo 14

5 Pavel Podbrdský: Řetězové zlomky Sblížené zlomky, jako nejlepší přiblížení Definice Zlomek a b, b >0nazvemenejlepšímpřiblíženímprvníhodruhuk α R,leží-likaždýzlomekstýmžnebomenšímjmenovatelemvevětšívzdálenostiod α,nežzlomek a b,neboli:platí-linerovnost α c α a d b pronějakýzlomek c d a b,pakjižnutně d > b Věta Každé nejlepší přiblížení prvního druhu k α R je jedním ze sblížených nebo vsunutých zlomků α Definice Zlomek a b, b >0nazvemenejlepšímpřiblíženímdruhéhodruhuk α, pokud je splněno: Platí-li nerovnost dα c bα a pronějakýzlomek c d a b,pakjižnutně d > b Věta Každé nejlepší přiblížení druhého druhu k α R je nějaký sblížený zlomek αnaopaknení-li α=a ,pakjekaždýsblíženýzlomek αnejlepším přiblížením druhého druhu k α Poznámka Existuje ještě spousta dalších zajímavých a užitečných vět o řetězových zlomcích, které bych sem mohl napsat Jelikož by se délka mého příspěvku stala naprosto neúnosnou a jelikož asi většinu z nich na přednáškách nestihneme ani zmínit, nebudu je zde všechny vypisovat Literatura Vše, co budeme na přednáškách dělat a spoustu dalších věcí najdete v knížečce A J Chinčin, Řetězové zlomky, Přírodovědecké vydavatelství Praha,