Počítačové algebraické systémy a nekomutativní algebry. Maxim Vrána

Transkript

1 Počítačové algebraicé systéy a eoutativí algebry Maxi Vráa

2 Prohlášeí: Prohlašui, že se tuto diploovou práci vypracoval saostatě a uvedl se vešerou použitou literaturu. V Praze de. leda 5 Maxi Vráa

3 Poděováí: Títo bych chtěl poděovat Prof. Ig. Pavlu Šťovíčovi, DrSc. za eho rady a věcé připoíy é práci.

4 OBSAH OBSAH Seza vzorců Seza obrázů... 4 ÚVOD Obsah práce HOPFOVA ALGEBRA Záladí poy Koalgebra, bialgebra a Hopfova algebra Algebra Koalgebra Bialgebra Hopfova algebra CALCULUS KVANTOVÁ GRUPA U sl Algebra U sl Hopfova algebra U sl KVANTOVÁ GRUPA SL Algebra SL Hopfova algebra SL... 7 REPREZENTACE, KOREPREZENTACE, DUÁLNÍ PÁROVÁNÍ Reprezetace Koreprezetace Matice oreprezetace T Hopfovy algebry SL Duálí párováí VYPRACOVANÝ PROGRAM Techicé paraetry vypracovaého prograu Istalace prograu Popis fucí z hlavičových souborů a vypracovaé idetity Calculus Popis fucí z - calculus.ws Vypracovaé idetity využívaící -calculus.ws Hopfova algebra U sl Popis fucí z HopfAlgebra.ws Vypracovaá idetita využívaící HopfAlgebra.ws Hopfova algebra SL Popis fucí z DualfAlgebra.ws Vypracovaá idetita využívaící DualAlgebra.ws Duálí párováí Hopfových algeber U sl a SL ZÁVĚR Zísaé výsledy Zištěé probléy Další ožosti využití práce... 6 LITERATURA

5 . Seza vzorců Vzorec : číslo... 7 Vzorec : fatoriál... 7 Vzorec 3: Výraz a;... 7 Vzorec 4: bioicý oeficiet... 7 Vzorec 5: bioicá věta... 8 Vzorec 6: Hypergeoetricá fuce... 8 Vzorec 7: Malý Jacobi polyo... 8 Vzorec 8: Relace v algebře U sl variata... 9 Vzorec 9: Koásobeí, oedota, atipod v U sl variata... Vzorec : Relace v algebře U sl variata... Vzorec : Koásobeí, oedota, atipod v U sl variata... Vzorec : Relace v algebře SL... Vzorec 3: Koásobeí, oedota, atipod v SL... Vzorec 4: Koeficiety t l i atice oreprezetace... 6 Vzorec 5: Duálí párováí a U sl a SL... 9 Vzorec 6: Zobecěá - expoeciálí fuce Seza obrázů obráze : Diagra algebra... obráze : Diagra algebra... obráze 3: Diagra 3, 4 oalgebra... obráze 4: Diagra 5 Hopfova algebra... 4 obráze 5: Vytvořeí hlavičového souboru v Maple... 3 obráze 6: Vložeí hlavičového souboru do prograu... 3 obráze 7: Fuce z -calculus.ws obráze 8: Použití fuce cobnuber obráze 9: Použití fuce coute obráze : Použití fuce fact obráze : Použití fuce ultiplypol obráze : Prví idetita v Idetity.ws obráze 3: Fuce z HopfAlgebra.ws... 4 obráze 4: Použití fuce HopfCoCoute... 4 obráze 5: Použití fuce HopfCoultiply... 4 obráze 6: Použití fuce HopfCoultiplyPol... 4 obráze 7: Použití fuce HopfCoute... 4 obráze 8: Použití fuce HopfExistQNu... 4 obráze 9: Použití fuce HopfFillLIST obráze : Použití fuce HopfMultiplyPol obráze : Použití fuce HopfTrasfor obráze : Přílad oásobeí čleů polyou poocí fuce HopfCoultiply a HopfCoCoute obráze 3: Použití fucí HopfExistQNu a HopfFillLIST obráze 4: Fuce z DualAlgebra.ws... 5 obráze 5: Použití fuce DualPairig

6 obráze 6: Použití fuce HyperGeo... 5 obráze 7: Použití fuce NNuber obráze 8: Použití fuce tnuber obráze 9: Použití fuce TMatrix obráze 3: Postup ověřováí vlastosti oreprezetačí atice T - použití fucí obráze 3: Postup ověřováí vlastosti oreprezetačí atice T - výslede obráze 3: Rozdíl použití a výpočtu fucí DualPairig a DualPairig obráze 33: Použití fuce ProvePairig obráze 34: Použití fuce ProveMatrixPairig

7 ÚVOD Hlaví zdroe pro vatové grupy byla vatová verze iverzí úlohy rozptylu rozvíeá L.D. Faddeeve, E.K. Slyaie a L.A. Tahataae v 8-tých letech. Kvatové grupy se postupě obevovaly v Liouvilleově probléu a v vatové probléu pro Sie - Gordoovu rovici atd. V.G. Drifeld byl zřeě prví, do si povšil, že hlaví algebraicý obet v těchto ostrucích e velice speciálí případ bialgebry a Hopfovy algebry. Teto obet pa použil a zobecil v defiici vatových grup. Nezávisle a ě se poe vatové grupy obevil v pracích M. Jiba. Práce V.G. Drifelda byla předesea a ogresu ateatiů v Bereley fracouzsý ateatie P. Cartiere. Přibližě ve steé době se vatová algebra SL obevue v pracích S.L. Woroowicze, ve terých studue opatí aticové pseudogrupy. V těchto pracích e použit přístup z C * -algeber. Následue ohroý rozvo vatových grup. Ve fyziálích apliacích se vatové grupy obevuí ee v algebraicé forulaci iverzí úlohy rozptylu, ale taé v exatě řešitelých odelech, ve -diesioálí teorii pole, v teorii uzlu, při ostruci ivariatu pro 3-variety, v -topologicých teoriích pole a v eoutativí geoetrii. Supia oolo M. Jiba vytváří algebraicou forulaci XXZ-odelu a záladě reprezetací a vertexových operátorů vatové algebry U sl. Z ateaticého hledisa byl poe Hopfovy algebry zavede Hopfe v [3]. Záladí přehled lze zísat v []. V současé době eexistue žádá uspooivá hlaví defiice vatových grup. Obvyle se aceptue pravidlo, že vatové grupy sou určité hezé Hopfovy algebry. V celé této práci budou používáy dvě vatové grupy U sl a SL.. Obsah práce Úole této diploové práce e uázat využití oderích počítačových algebraicých systéů typu Maple, ebo Matheatica v teorii vatových grup. Přehled záladí teorie potřebé defiici Hopfovy algebry e vylože v apitole 3. Kapitola 4 obsahue teorii tazvaého - calculu, defiice zobecěých - čísel, - fatoriálu, zobecěé - bioicé věty a dalších poů úzce souviseících s vatovýi grupai. Kapitoly 5 a 6 popisuí ostruci orétích vatových grup U sl resp. SL. V apitole 7 sou defiice reprezetace a oreprezetace, dále pa duálího párováí ezi Hopfovýi algebrai. Na příladě e uázáa dualita ve syslu duálího párováí ezi orétíi Hopfovýi algebrai U sl a SL. Saoté využití počítačových algebraicých systéů orétě systé Maple 8 e vyložeo v apitole 8, de sou popsáy vešeré vypracovaé fuce pro práci s - calcule a Hopfovýi algebrai U sl a SL. Vypracováí sady fucí pro ověřováí idetit v vatových algebrách e stěžeí cíle celé této práce, proto i apitola 8 obsahue ádro celé práce. Kroě popisu a využití sady vypracovaých fucí, obsahue dále postup ověřeí vybraých idetit poocí těchto fucí a dále i postup istalace celého prograu a počítač a eho 6

8 ásledé spuštěí. V apitole 9 e závěr celé práce, zísaé výsledy, popis probléů týaících se vypracovaého prograu a ožý další rozvo celé práce. Posledí apitolou e pa seza použité literatury. 7

9 3 HOPFOVA ALGEBRA Pro defiováí Hopfovy algebry e třeba zát ěoli záladích obecých algebraicých poů. 3. Záladí poy Defiice 3..: Pologrupa S, : S S S. e ožia S spolu s asociativí biárí operací Defiice 3..:Mooid M,, u e pologrupa M, s edotou u vzhlede. Tz. u M a u x x u x pro všechy x M. Defiice 3..3: Grupa G e ožia G spolu s biárí operací G G G a,b ab, pro terou platí:. Tato operace e asociativí.. Existue prve u G taový, že ua a au pro všechy a G. Prve u se azývá edota. 3. Ke aždéu prvu a G existue prve a G taový, že aa u a a, de u e edota a a azýváe iverzí prve prvu a. Defiice 3..4: Oruh R R,,., e ožia R se dvěa biáríi operacei sčítáí a ásobeí a s uárí operací vybráí taová, že:. R, e outativí grupa vzhlede e sčítáí.. R,. e ooid vzhlede ásobeí. 3. Násobeí e distributiví oboustraě vzhlede e sčítáí tz. platí: pro aždou troici a, b, c R platí abc ab ac, abc ac bc. Koutativí oruh e oruh, v teré e ásobeí outativí. Defiice 3..5: Nechť R e oruh a azvěe ho oruhe salárů. Jeho prvy ozače alýi řecýi písey λ, ν, µ... Poto R odul e aditiví outativí grupa spulu s fucí terá splňue ásleduící axioy: R A A oz. λ, a λa, 8

10 Pro všechy λ, ν R a a, b A: λ a b λ a λ b, λ νa λ a ν a, 3 λν a λνa, 4 a a. Modul e tedy aditiví outativí grupa, eíž prvy ohou být vyásobey prvy z oruhu R. Defiice 3..6: Asociativí algebra e vetorový prostor A ad oruhe K spolu se zobrazeí: a, b ab, A A A, pro teré platí: abc abc, a bc ac bc, ab c ab ac, α ab αab aαb pro všecha a, b A a α K. V celé této práci bude algebra vždy zaeat asociativí algebru s edotou, tz. algebra obsahue prve taový, že a a a pro všecha a A. Dále e třeba zát poe bilieárí fuce pro defiováí tezorového součiu, terý se používá v defiici Hopfovy algebry. Defiice 3..7: Nechť C a D sou dva K - oduly a C D e eich artézsý souči ao oži. K - bilieárí fuce h a C D do K - odulu E e taová fuce h: C D E, že vždy platí: hλ c λ c, d λ hc, d λ hc, d, hc, λ d λ d λ hc, d λ hc, d. Rovost tvrdí, že d D, parciálí fuce c hc, d e K-lieárí zobrazeí C E. Podobě rovost. Přílad: Bilieárí fuce e salárí souči dvou vetorů x, x a y, y v roviě R. Je defiová ao číslo: x, x y, y x, y x, y. Pro pevé y e teto výraz R-lieárí pro vetor x, x, dále pro pevé x e R-lieárí pro vetor y,y. Z toho plye, že salárí souči e R-bilieárí fuce R R R. 9

11 Tezorový souči dvou odulů A a B ad outativí oruhe K e oruh A B ad K spolu s bilieárí fucí : A B A B, terý á ásleduící vlastost uiverzality. Věta 3..8: Ke aždé K - bilieárí fuci h existue právě eda K - lieárí trasforace t s vlastostí ta b ha, b, de h: A B C a t: A B C. Kostruce tezorového součiu a důaz této věty viz []. Přílad: Nechť M e oečá ožia M {x, x,..., x }. Buď A FM ožia všech oplexích fucí a M. Ztotožíe: f, g A, f fx, fx,..., fx, g gx, gx,..., gx. A e oplexí vetorový prostor, di A. Dále A e algebra s operací ásobeí fgx fxgx. Můžee ztotožit: A A FM M. Poto pro f, g A A, f, g f g h A A, de hx, y fx gy pro x,y M. 3. Koalgebra, bialgebra a Hopfova algebra 3.. Algebra Algebra byla iž zavedea v defiici Nyí e ožé tuto defiici přeforulovat poocí tezorového součiu. V seci 3... využiee této ové forulace při zavedeí oalgebry. Defiice 3..: Algebra asociativí algebra s edotou e vetorový prostor A ad outativí oruhe K s edotou, spolu se dvěi lieáríi zobrazeíi: : A A A azvee ásobeí a η: K A azvee edota, taovýi že: Tz. pro aždé a, b, c A platí: id id, η id id id η. id a b c a b idc ab c abc. Podobě: Dále: id a b c ida b c a bc abc.

12 Nechť e A e edotový prve, tz. η e a η λ λe, de λ K, poto: η id λ a ηλ ida λe a λea λa, id η a λ ida ηλ a λe aλe λa. Přito ztotožňuee K A A, λ a λa. Podobě pro A K. Z uvedeého e zřeé, že obě defiice algebry sou evivaletí. Asociativita ásobeí zaeá, že ásleduící diagra outue. A A A id A A id A A A obráze : Diagra algebra Podobě edota uže být vyádřea outováí ásleduícího diagrau. K A η A A id η id A K id id K A A A K obráze : Diagra algebra Poz. Sybol zaeá ztotožěí K A a A K s A. Přílad: Nechť A e algebra. Poto a, b ab A a b. Dále A A e taé algebra s operací ásobeí a b, a b a b a b a a b b A A a b a b. Důaz: Uaže, že A A A A ο id τ id, de τ : A A A A: a b b a. a b a b a b a b id τ id a a b b A A a a b b.

13 Defiice: Nechť A a B sou algebry. K-lieárí zobrazeí ϕ: A B azvee hooorfisus algeber, estliže ϕabϕaϕb pro všecha a, b A a ϕ A ϕ B. Jia apsáo: ϕ A B ϕ ϕ a ϕ η A η B. 3.. Koalgebra K defiici algebry ůžee zavést duálí poe tí, že obrátíe všechy šipy v diagraech a ahradíe všecha zobrazeí příslušýi duálíi zobrazeíi. To zaeá, že ásobeí ahradíe oásobeí a edotu η ahradíe oedotou ε. Diagray a poto předou a ásleduící diagray 3 a 4. A A A id A A id A A A K A ε A A id ε id A K id id K A A A K obráze 3: Diagra 3, 4 oalgebra Nyí ůžee apsat defiici oalgebry. Defiice 3..: Koalgebra e vetorový prostor A ad outativí oruhe K s edotou a spolu se dvěi lieáríi zobrazeíi: : A A A azvaé oásobeí a ε: A K azvaé oedota, taovýi že: id id, ε id id id ε. Prví rovost lze přepsat tato: e-li a A a a a a a a a A A A. Druhá rovost se dá zapsat obdobě ao u defiice algebry. a A A, poto Defiice: Nechť A a B sou oalgebry. K - lieárí zobrazeí ϕ: A B azvee hooorfisus oalgeber estliže:

14 B ϕ ϕ ϕ A a ε A ε B ϕ. Přílad: Nechť G e oečá grupa. Vetorový prostor fucí A FG e oalgebra. Ztotožíe-li A A FG G, poto : FG FG G, f FG, fg, g fg g. Dále echť e G e edotový prve, poto ε : A K, ε f fe. Nechť A e oalgebra. Obdobě ao u algebry, začíe A : A A A. Navíc A A e taé oalgebra. Buďte a, b A, a b A A, A a a A b b K a b A A A A. Zavádíe A A a b A A A A vztahe: Důaz: A A a b Uaže, že A A id τ id ο A A. A a A b a b a b. a a b b a a b b a po použití operátoru τ a přehozeí pořadí a, b dostáváe ověřovaou rovost Bialgebra Bialgebra e algebra a oalgebra, de obě tyto strutury sou rovoceé v ásleduící slova syslu: Lea 3..3: Jestliže A e vetorový prostor, terý e algebra i oalgebra, poto ásleduící dvě podíy sou evivaletí: : A A A a ε : A K e hooorfisus algebry : A A A a η: K A e hooorfisus oalgebry. Podía zaeá: 3

15 A A, η η A A, ε K ε ε, ε η η K, dále podía zaeá: A A, ε A A ε, η η η K, ε K ε η. Zde: ε K η K id K, η A A η η K, ε A A K ε ε. Defiice 3..3: Bialgebra e vetorový prostor, terý e současě algebra i oalgebra a taový, že lea..3 e splěo. Tz. estliže A e algebra i oalgebra, poto A e bialgebra tehdy a pouze tehdy, estliže pro aždé a, b A platí: ab a b, ε ab ε a ε b,, ε. Přílad: Viz přílad v ásleduící apitole. Hooorfise bialgebry azýváe zobrazeí, teré e hooorfisus algebry i oalgebry. Nyí se dostáváe záladíu pou v teorii vatových grup a tí e poe Hopfovy algebry Hopfova algebra Defiice 3..4: Bialgebru A azýváe Hopfovou algebrou, estliže existue lieárí zobrazeí S: A A, teré azýváe atipod, taové že: S id η ε id S. Tato rovice se dá popsat tí, že ásleduící diagra outue. A A A A A id S η ε S id A A A A A obráze 4: Diagra 5 Hopfova algebra Lea 3..4: Atipod S v Hopfově algebře A e ati-hooorfisus v algebře a v oalgebře. Tz. že platí: Sab SbSa, a,b A a S, S τ S S a ε S ε, 4

16 de τ začí operátor přehozeí tz. τ v w w v. Důaz tohoto lea e uvede v []. Tvrzeí: Jestliže pro ěaou bialgebru existue atipod S, pa e urče edozačě. Důaz tohoto tvrzeí e uvede v []. Přílad: Nechť G e oečá grupa, dále echť FG e algebra všech oplexích fucí a G s příslušýi algebraicýi operacei. Vzhlede vlastoste grupy G ůžee defiovat ásleduící zobrazeí: - oásobeí : FG FG G, f FG, fg, g fg g, - oedota ε: FG C, ε f fe, - atipod S: FG FG, Sfg: fg -. Zde e začí edotový prve grupy G. Sado lze ověřit, že a ε sou hooorfisy algebry tz. algebra FG spolu s oásobeí a oedotou tvoří oalgebru a dále i bialgebru. Pro splěí axioů Hopfovy algebry usí být splěy ásleduící idetity:. Asociativita oásobeí: id id, de id začí ideticé zobrazeí a FG. Z defiice oásobeí plye: id f g, g, g 3 f g g g 3 FG x G x G, id f g, g, g 3 f g g g 3 FG x G x G.. Dále relace feg fge fg ůže být zapsáa ao: ε id id id ε. 3. Měe zobrazeí: : FG x G FG, hg: hg, g, de h FG x G, η: C FG, de η e edotový prve v algebře FG. Poto axio grupy: g - g gg - e, terý zavádí iverzí prve g prvu g, ůžee zapsat poocí ásleduící idetity: S id η ε id S. Sutečě, vzhlede defiicí zobrazeí, a S dostáváe: 5

17 id S fg id S fg, g fgg fe η εf. Z uvedeého dostáváe, že algebra FG tvoří po přidáí oásobeí a oedoty oalgebru, dále pa bialgebru, po přidáí atipodu i Hopfovu algebru. 6

18 4 CALCULUS Teorie vatových grup a eich reprezetací e úzce spoea s tazvaý -calcule. V této apitole sou uvedey záladí poy ole tohoto téatu. V přiložeé prograu e poto vypracováo ěoli algebraicých idetit a toto téa. Algority sou popsáy v apitole Defiice 4.: Nechť C,. - číslo e defiováo ásleduící způsobe: []... -, de N. Vzorec : číslo - fatoriál e defiová tato: []! [] [-] [-]... [], de N. Vzorec : fatoriál Dále výraz a; e defiová: a; - a - a a... a -, a;. Vzorec 3: Výraz a; Přílad: [] [] []! [] [] [3]! [3] [] [] Defiice 4.: Nechť C,. - bioicý oeficiet e defiová: []! ; []![ ]! ; ;, de, N a. Vzorec 4: bioicý oeficiet Podobě ao u orálích obiačích čísel, platí i u těchto - bioicých oeficietů ěoli idetit. 7

19 8 Pro obiačí čísla platí ásleduící rovost:. Pro - bioicé oeficiety poto platí:. Hlaví výza těchto oeficietů e podobě ao u obiačích čísel v zobecěé bioicé větě. Věta 4.: Nechť x, y sou eoutativí proěé splňuící relaci yx xy. Poto platí: y x y x N. Vzorec 5: bioicá věta Důaz této věty iducí podle použití předchozí idetity. Defiice 4.3: Hypergeoetricá fuce e defiováa ásleduící vztahe: ; ; ; ;, ; ;, z c b a z c b a ϕ. Vzorec 6: Hypergeoetricá fuce Defiice 4.4: Malý Jacobi polyo e defiová poocí hypergeoetricé fuce vztahe:, ; ;,, ; x a ab b a x p ϕ. Vzorec 7: Malý Jacobi polyo

20 5 KVANTOVÁ GRUPA U sl Tato apitola e věováa záladíu popisu Hopfovy algebry U sl. V příladu uvedeé v části 3..4 se uázali, že aždé oečé grupě lze přiřadit Hopfovu algebru. Podobě ěterý Lieový grupá, ao e apřílad grupa SL, lze přiřadit Hopfovu algebru. Přito algebru U sl lze chápat ao deforaci záviseící a paraetru Hopfovy algebry přiřazeé grupě SL. Proto se pro tuto algebru zeéa ve fyziálí literatuře často používá ázev vatová grupa. 5. Algebra U sl Defiice 5.: Nechť e pevé oplexí číslo taové, že a. Ozače U sl algebru tz. asociativí algebru s edotou ad C s geerátory E, F, K, K - splňuícíi ásleduící relace: KK - K - K, KE K - E, KF K - - F, K K E, de [E, F] EF - FE. [, F] Vzorec 8: Relace v algebře U sl variata Nezávislý paraetr outue se vší, tz. apř. E E, EF EF. Věta 5.: Soubor {K F l E Z, l, N } steě ao soubor {E F l K Z, l, N }, tvoří bázi U sl. Důaz této věty viz []. Věta 5. říá, že souči aéoliv oečé poslouposti geerátorů U sl, lze převést a aoicý tvar, terý e oečá lieárí obiace čleů E F l K. Jedou z částí vypracovaého prograu, přiložeéu této práci, e právě vypracováí tohoto převodu. Podroběi o toto v Hopfova algebra U sl Hlaví vlastostí algebry U sl e, že zapadá do strutury Hopfovy algebry. 9

21 Věta 5.: Existue strutura Hopfovy algebry a U sl s oásobeí, oedotou ε a atipode S taovýi, že: E E K E, F F K - F, K K K, SK K -, SE -EK -, SF -KF, ε K, ε E ε F. Vzorec 9: Koásobeí, oedota, atipod v U sl variata Úplý důaz této věty e opět uvede v []. Pro uázu rozeberee apřílad posledí relaci v defiici 5. algebry U sl. Tato relace steě ao ostatí e splěa, zaěíe-li všechy geerátory, teré v í vystupuí, eich obrazy vzhlede e oásobeí. Důaz: [ E, F] K - EF F E EK - KF EF K - K - FE - K - E FK - F E - FE K K K K K K K { K - K - } / - -. Defiice 5.: Algebru U sl spolu se struturou Hopfovy algebry z věty 5. azýváe vatovou grupou U sl. Další variata a defiovat vatovou grupu e ásleduící. Nechť a ozače U sl algebru ad C s geerátory E, F, K, K - splňuícíi tyto relace: KK - K - K, KEK - E, KFK - - F, K K E, de [E, F] EF - FE. [, F] Vzorec : Relace v algebře U sl variata Podobě ao ve větě 5. poto z algebry U sl, vytvoříe Hopfovu algebru přidáí oásobeí, oedoty a atipodu. E E K K - E, F F K K - F, K K K, SK K -, SE - E, SF - - F, ε K, ε E ε F. Vzorec : Koásobeí, oedota, atipod v U sl variata Výhodou této Hopfovy algebry e to, že oásobeí E a F e defiováo steě.

22 6 KVANTOVÁ GRUPA SL V této apitole e stručý popis Hopfovy algebry SL. Pozděi bude uázáo, že tato algebra e vůči algebře U sl duálí ve syslu duálího párováí. 6. Algebra SL Defiice 6.: Nechť e pevé oplexí číslo taové, že. Ozače SL algebru tz. asociativí algebru s edotou ad C s geerátory a, b, c, d splňuícíi ásleduící relace: ab ba, ac ca, cd dc, bc cb, ad bc da - bc. Vzorec : Relace v algebře SL Nezávislý paraetr outue se vší, tz. apř. a a, ab ab. 6. Hopfova algebra SL Algebra SL steě ao algebra U sl, zapadá do strutury Hopfovy algebry. Věta 6..: Existue strutura Hopfovy algebry a SL s oásobeí, oedotou ε a atipode S taovýi, že: a a a b c, b a b b d, c c a d c, d c b d d, ε a ε d, ε b ε c, Sa d, Sb - - b, Sc - c, Sd a. Vzorec 3: Koásobeí, oedota, atipod v SL Důaz této věty e opět uvede v []. Vzhlede defiici relací v Hopfově algebře SL platí ásleduící vztah:

23 a b Měe dvě atice: A c d a B d c b a. Příý výpočte e ožé ověřit, že sou vzáeě iverzí. a c b d d c b a Věta 6..: Soubor {c r b a, d s c r b,, r, s N } steě ao soubor { a b c r, b c r d s,, r, s N }, tvoří bázi SL. Důaz této věty viz []. Věta 6.. říá, že souči aéoliv oečé poslouposti geerátorů SL, lze převést a aoicý tvar, terý e oečá lieárí obiace čleů a b c r a b c r d s. Teto převod e opět vypracová v přiložeé prograu, více viz

24 7 REPREZENTACE, KOREPREZENTACE, DUÁLNÍ PÁROVÁNÍ V této apitole sou uvedey defiice reprezetace a oreprezetace algeber a dále pa duálího párováí. Na oci apitoly e uázáo, že algebry U sl a SL sou vůči sobě duálí ve syslu duálího párováí. 7. Reprezetace Defiice 7.: Reprezetací aticovou algebry A azvee zobrazeí τ: A Mat, C taové, že e splěa ásleduící vlastost: X, Y A, τ XY τ X τ Y, τ e I, de e e edotový prve. Z defiice 7. e zřeé, že reprezetace algebry e hooorfisus algebry. Přílad: Měe algebru U sl s geerátory E, F, K, K -. Dále ěe zobrazeí τ: U sl Mat, C, pro teré platí: τ E τ F 3 4 τ K τ K Ověříe, že tyto atice splňuí relace, teré byly uvedey za defiicí 5. a tí taé, že tato defiovaé zobrazeí τ e reprezetací algebry U sl. Důaz: Algebra U sl e dáa relacei: 3

25 4 KE EK, KF - FK, ], [ K K F E, de [E, F] EF - FE. Apliováí zobrazeí τ a edotlivé relace dostáváe: E K τ τ,. E K K E τ τ τ τ F K τ τ,. F K K F τ τ τ τ E F F E τ τ τ τ,. K K τ τ 7. Koreprezetace Defiice 7.: Koreprezetací oalgebry A a vetorové prostoru V azvee lieárí zobrazeí ϕ: V V A splňuící relace: ϕ id ϕ id ϕ, id ε ϕ id. Dále echť T e atice, eíž prvy sou prvai oalgebry A. Pa řeee, že atice T e oreprezetací oalgebry A, poud platí ásleduící relace: T T T. Tato relace se dá po edotlivých prvcích atice zapsat ásleduící způsobe: Nechť t i T, poto atice T x e oreprezetací oalgebry A tehdy a e tehdy, dyž t i ti t a εt i δ i, i,,..., d.

26 Vztah ezi zobrazeí ϕ a aticí T e teto. Buď V C. Zobrazeí ϕ stačí předepsat a vetorech stadardí báze V, V,..., V. Poládáe ϕ Vi V t i. Sado lze ověřit, že e-li T oreprezetace, poto ϕ e rověž oreprezetace ve syslu defiice 7.. Přílad: Měe Hopfovu algebru SL. Dále ěe atici T eíiž prvy sou geerátory algebry SL. T a c b d Poto atice T e oreprezetací Hopfovy algebry SL. Důaz: Koásobeí a SL e defiováo: a a a b c b a b b d 3 c c a d c 4 d c b d d Dle defiice oreprezetace: t i ti t e zřeé, že atice T splňue tuto podíu a e tedy sutečě oreprezetací Hopfovy algebry SL. 7.. Matice oreprezetace T Hopfovy algebry SL Matici oreprezetace T z předešlého příladu e ožé sestroit pro libovolou diezi. 3 Nechť l N, tz. l,,,,.... Idexy prvů t l i atice T l volíe v rozsahu: i, -l, -l,..., l-, l. Dieze atice T l e tedy l. Prvy atice T l se daí vyádřit poocí alého Jacobi polyou defiovaého v apitole 4. 5

27 6 Nechť ς -bc, dále echť. i l i i l N i l l i Poto:,, ; p c a N t i i l i i l i l i ζ de i a i,,, ; p b a N t i i i l i i l i l i ζ de i a i,,, ;, i i i i l l i l i d b p N t ζ de i a i,,, ;, i i i i i l l i l i d c p N t ζ de i a i. Vzorec 4: Koeficiety t l i atice oreprezetace Přílad: Matice oreprezetace Hopfovy algebry SL.. l T. l d c b a T 3. l d cd c bd bc ac b ab a T Důaz: Pro úplý důaz, že daá atice e oreprezetací algebry SL by bylo třeba ověřit všechy prvy atice. Pro uázu důazu se oezíe a prví prve a. Z defiice oásobeí v Hopfově algebře SL : a a a b c c b ac ab ca ba a a c b a a c b a a a a a Po použití outačích pravidel dostáváe: c b ac ab ac ab a a a Na pravé straě defiičího vztahu oreprezetace pro atici T dostáváe výraz:

28 a a ab bc b c a a ab bc b c Další prvy atice se daí ověřit obdobý způsobe. Jedou z částí vypracovaého prograu e ověřováí oreprezetačích atic T. Více viz apitola Duálí párováí Defiice 7.3: Nechť U, A sou dvě bialgebry. Duálí párováí azvee bilieárí zobrazeí, : U A C taové, že platí: x, f g x, f, g, x U, f, g A, U A x y, A f U x, y, f, x,y U, f A, 3, f ε f a x, ε x x U a f A. Duálí párováí azvee edegeerovaé poud avíc platí: A 4 x U, f A, x, f x f A, x U x, f f. Přílad: V části 3..4 byl uvede přílad Hopfovy algebry FG. V toto příladu sestroíe Hopfovu algebru UG a dále pa duálí párováí ezi algebrai FG a UG. Nechť G e oečá grupa. Poto U G α aa;α a C a G báze UG a G. Defiue příslušé operace: U, de { a a a } G e,,..., ásobeí - α aa βbb α aβbab a G b G a, b G edota - echť e e edotový prve v grupě G, poto e e edotou v UG. Poto UG s tato defiovaýi operacei tvoří algebru. Dále vytvoříe z algebry UG Hopfovu algebru přidáí oásobeí, oedoty a atipodu. oedota - ε: UG G ε α a a α a a G a G oásobeí - : UG UG UG a a a atipod - S: UG UG S a a -. 7

29 S tato defiovaýi operacei tvoří UG Hopfovu algebru. Duálí párováí ezi Hopfovýi algebrai UG a FG ůžee defiovat ásledově:, : U G F G C a, f f a ε a a,, de a G, f FG a e fuce ideticy rova. Prví axio v defiici duálího párováí vypadá tato: x, f g x, f, g. U A Levá straa: a, f g a a, f g a, f a, g f a g a. Pravá straa: a, fg f a g a. Další axioy se ověří podobě. Přílad: Na další příladu duálího párováí bude uázáa dualita ezi Hopfovýi algebrai U sl a SL. Věta 7.3.: Existue duálí párováí taové, že:, ezi Hopfovýi algebrai U sl a SL K, a, K, d, E, c F, b K, b K, c E, a E, b E, d F, a F, c F, d. Důaz této věty viz []. Duálí párováí e edozačě určeo hodotai a geerátorech Hopfových algeber. Pro výpočet e vša uté zát hodoty duálího párováí a celých algebrách. Tyto hodoty dává ásleduící věta. Věta 7.3.: Duálí párováí a Hopfových algebrách U sl a SL e dáo ásleduící vzorce: K l s r E F, d c b t s r r srt l γ, poud r l t s, ia l s r t K E F, d c b a K l s r E F, a c b t δ δ γ r, t, l s, r, t l, de 8

30 9 l l l l l s t r s srt l ; ; γ. Vzorec 5: Duálí párováí a U sl a SL Důaz této věty viz []. Dualita Hopfových algeber U sl a SL dává do vztahu oreprezetace SL a reprezetace U sl. Nechť T e oreprezetačí atice Hopfovy algebry SL defiovaá v apitole 7... Dále echť operátor τ e operátor, terý provede duálí párováí prvů z U sl se všei prvai oreprezetačí atice T. Výslede e oplexí atice. Přílad: d c b a T, poto K τ, K τ, E τ, F τ. Dále algebra U sl e dáa relacei: KE EK, KF - FK, ], [ K K F E, de [E, F] EF - FE. Poto τ e reprezetace algebry, to zaeá, že:. τ K τ E τ E τ K. τ K τ F - τ F τ K 3. K K K K F E E F τ τ τ τ τ τ τ τ. Důaz: Pro uázu se oezíe a esložitěší třetí relaci.

31 3 Levá straa relace: E F τ τ. Pravá straa relace: K K K K F E τ τ τ τ τ τ. Tí e třetí relace doázáa. Prví dvě relace e ožé ověřit obdobě. Popsaá idetita uazue vzáeý vztah ezi Hopfovýi algebrai U sl a SL. Koreprezetace v algebře SL přechází poocí duálího párováí a reprezetaci v algebře U sl, dále pa oásobeí v algebře SL přechází a ásobeí v algebře U sl. Tato idetita platí pro libovolou oreprezetačí atici algebry SL defiovaou v apitole 7... Dále idetita platí pro libovolé prvy algebry U sl, pro důaz e uté ověřit idetitu a geerátorech algebry U sl, což e učiěo a předchozí příladu. Ve vypracovaé prograu e ožé ověřovat libovolé prvy algebry U sl s libovolou oreprezetačí aticí algebry SL. Více o toto v apitole

32 8 VYPRACOVANÝ PROGRAM Ja iž bylo ohorát zíěo, edílou součástí této práce e vypracováí prograu, terý ověřue ěoli vybraých idetit. V prví části této apitoly sou shruty techicé paraetry prograu a eho istalace a počítač. V další sou poto podroběi popsáy saoté algority. 8. Techicé paraetry vypracovaého prograu V současé době existue oho růzých vývoových prostředí, teré sou určey pro vývo ateaticých apliací a řešeí ateaticých probléů, apřílad MathLab, Matheatica a Maple. Progra této práci byl vyvíe v prostředí Maplu verze 8. Tato verze e podporováa prostředí Microsoft Widows, i prostředí Liux. Maple uožňue vytvářet tazvaé oduly eboli hlavičové soubory, to zaeá, že lze vytvářet sadu fucí, teré lze poto využívat a libovolé ístě v prograu. Přílad: Vytvořeí hlavičového souboru obsahuícího defiice a ipleetace fucí. obráze 5: Vytvořeí hlavičového souboru v Maple 3

33 Na obrázu e vytvoře edoduchý odul s ázve NovySoubor, terý obsahue pouze edu fuci, terá počítá fatoriál zadaého čísla. Výza edotlivých příazů pro vytvořeí odulu e ásleduící: odule export optio arch savelib Příaz Popis Klíčový příaz pro tvorbu odulu. Zaeá, že NovySoubor e odul. Za títo příaze ásleduí éa fucí, teré poto bude ožé v iých prograech používat v aše případě se edá pouze o fuci fact. Paraetr pacage za příaze optio zaeá, že Novysoubor bude odul, terý bude ožé používat v libovolé prograu. Títo příaze s paraetre create se vytváří ihovy pro práci s odule NovySoubor. Posledí paraetr příazu arch v aše případě e to číslo e počet fucí, teré sou za příaze export. Títo příaze se odul uloží pod ée NovySoubor. S títo ée bude ožé v dalších prograech odul volat. Využití vytvořeého odulu e zázorěo a ásleduící obrázu. obráze 6: Vložeí hlavičového souboru do prograu Příaze withnovysoubor se zpřístupí vešeré fuce, teré odul NovySoubor obsahue. Pa e ožé edotlivé fuce volat, a e zobrazeo a obrázu. V aše případě fuce fact3 vypočítá fatoriál čísla 3. Více o odulech v systéu Maple, viz ápověda touto systéu. 3

34 8. Istalace prograu Na přiložeé CD se acházeí ásleduící adresáře: Docuetatio - obsahue douetaci diploové práci v eletroicé podobě Progra - obsahue vypracovaý progra, e dále rozděleý a další podadresáře o Algebra USL - obsahue soubory týaící se algebry U sl o Algebra SL - obsahue soubory týaící se algebry SL o - calculus - obsahue soubory týaící se - calculu o Pairig - obsahue soubory týaící se duálího párováí. Adresáře acházeící se v adresáři Progra e uté zopírovat a dis. Dále e uté zavést hlavičové soubory do Maplu, aby ohli být použity. Celý progra obsahue tři hlavičové soubory, teré se acházeí a ásleduících cestách: Progra \ Algebra USL \ HopfAlgebra.ws - hlavičový soubor pro práci s algebrou U sl Progra \ Algebra SL \ DualAlgebra.ws - hlavičový soubor pro práci s algebrou SL Progra \ - calculus \ -calculus.ws - hlavičový soubor pro práci s calcule. Všechy tyto soubory e eprve uté otevřít v Maplu a zěit paraetr příazu arch viz apitola 8. obráze č. 5. Jao paraetr tohoto příazu e uté zadat cestu, de se acházeí ihovy Maplu. Příaz arch se achází a oci všech třech uvedeých souborů. Stadardě e v ich zadaá ásleduící cesta: c:\ Progra Files \ Maple 8 \ lib \ DualAlgebra.lib Po úpravě cesty a spuštěí všech třech souborů sou hlavičové soubory do Maplu zavedey a e ožé vešeré fuce z ich použít příaze with v libovolé prograu viz apitola 8. obráze č. 6. Dále e ožé spustit zbývaící soubory: Progra \ Algebra USL \ HopfIdetity.ws - idetita týaící se algebry U sl, využívá fuce z HopfAlgebra.ws. Progra \ Algebra SL \ DualIdetity.ws - idetita týaící se algebry SL, využívá fuce z DualfAlgebra.ws. 33

35 Progra \ - calculus \ Idetity.ws - idetita týaící se - calculu, využívá fuce z -calculus.ws. Progra \ Pairig \ pairig.ws - idetita týaící se duálího párováí, využívá fuce z HopfAlgebra.ws a DualfAlgebra.ws. 8.3 Popis fucí z hlavičových souborů a vypracovaé idetity Progra e rozděle a čtyři části. Prví se týá platých idetit, teré sou popsáy v apitole 4 - Calculus, druhá se pa týá Hopfovy vatové algebry U sl popsaé v apitole 5, další část e o Hopfově algebře SL popsaé v apitole 6. Posledí částí e propoeí Hopfových algeber U sl a SL poocí duálího párováí popsaého v apitole Calculus V této apitole sou popsáy idetity a algority souviseící s -calcule. Na přiložeé CD se tato část prograu achází v adresáři Progra \ - calculus. Soubor -calculus.ws obsahue defiice a delarace fucí, e tedy třeba pustit edříve teto soubor, což bylo učiěo v ráci istalace prograu popsaé v apitole 8.. Další soubor Idetity.ws poto obsahue vypracovaou idetitu, ve teré se využívaí fuce z -calculus.ws. V celé této apitole budee předpoládat, že x, y sou eoutativí proěé splňuící ásleduící relaci: yx xy. Věta 8.3.: Souči libovolé oečé poslouposti geerátorů x a y lze upravit a tvar: x y l, de, l N a Z. Důaz této věty iducí poocí předchozí relace. Přílad: yxyx 3 x y. Důslede věty 8.3. e, že libovolý prve eoutativí algebry geerovaé x a y e rove oečé lieárí obiaci prvů x y l s oeficiety záviseícíi a. Navíc platí, že tato lieárí obiace e určea edozačě až a pořadí sčítaců i tuto eedozačost lze vyloučit, poud uspořádáe prvy x y l. Taovouto lieárí obiaci budee azývat aoicý tvare. Můžee říci, že aždý prve algebry lze převést a aoicý tvar. 34

36 8.3.. Popis fucí z - calculus.ws Po vložeí hlavičového souboru -calculus.ws poocí příazu with_calculus e ožé použít ásleduící fuce: obráze 7: Fuce z -calculus.ws. cobnuber Fuce cobnuber, počítá -bioicý oeficiet z defiice 4.. obráze 8: Použití fuce cobnuber. coute Fuce coutepolyo převádí libovolou posloupost y l x a aoicý tvar x y l viz věta

37 obráze 9: Použití fuce coute 3. fact Fuce fact počítá []! z defiice 4.. obráze : Použití fuce fact 4. ultiplypol Fuce ultiplypolpolyo, polyo ásobí eoutativě dva polyoy. obráze : Použití fuce ultiplypol Pro pochopeí fucí coute a ultiplypol e uté zát alespoň záladí iforace o eoutativí ásobeí v Maplu. 36

38 Měe tedy relaci yx xy. V Maplu e eoutativí ásobeí začeo tečou.. Tedy chcee-li vyádřit eoutativost, píšee ísto orálí hvězdičy * užívaé pro ásobeí teču.. Přílad: Norálí ásobeí v Maplu vypadá tato: Zatíco eoutativí ásobeí apíšee tato: x* y x. y Poz. U eoutativího ásobeí e třeba psát ezi písea a operátor. ezery, aby se teča ebrala ao desetié ísto. Přílad: použití fuce coute Fuce coute y. x. y. x vrátí 3 x y, de u výrazu 3 x y e už eoutativí ásobeí ahrazeo ásobeí orálí, aby se dalo s tato upraveý polyoe dále dobře pracovat. Fuce coute tedy převádí libovolou posloupost y a x a aoicý tvar. Dále tato fuce doáže převést a aoicý tvar libovolý polyo v eoutativích proěých, tz. apřílad: coute y. x. y. x y. x vrátí 3 x y x y. Ja ázev azačue, fuce ultiplypol ásobí dva polyoy. Přílad: použití fuce ultiplypol Chcee eoutativě vyásobit apřílad polyoy y. x y. x a y x. y. x. Vzhlede relaci y. x xy by tedy výslede ěl být: y. x y. x y x. y. x y. x. y y. x.. y. x y. x. y y. x. y. x xy 4 x 3 y x y 3 7 x 3 y 3. Fuci ultiplypol ůžee použít tato: ultiplypoly. x y. x, y x. y. x vrátí xy 4 x 3 y x y 3 7 x 3 y 3. Títo sou všechy fuce z hlavičového souboru -calculus.ws popsáy. Můžee se tedy podívat do souboru Idetity.ws, de sou tyto fuce použity ověřeí ěolia uázových idetit Vypracovaé idetity využívaící -calculus.ws Soubor Idetity.ws a začátu obsahue příaz with_calculus, terý zpřístupíe použití fucí z -calculus.ws. Dále obsahue tři další fuce, terýi sou bio, leftexpoe a rightexpoe. O těchto fucích pozděi. Záčutí lávesy Eter a začátu prograu všechy tyto fuce zpřístupíe pro eich použití, zároveň se po stisu Eter dostaee a další část prograu, což e prví vypracovaá idetita. Saotý ód vypadá tato: 37

39 obráze : Prví idetita v Idetity.ws Teto ód ověřue správost zobecěé bioicé věty 4.. Prví část ódu prví for cylus e vlastě pouze přepsáí věty 4.. Do proěé vyraz se ve for cylu postupě sčítaí hodoty cobnuber, i * x^i*y^-i pro i od do zadaého. i Hodoty cobnuber, i*x^i*y^-i zaeaí x y i Poto se poocí příazu pritvyraz teto polyo vypíše. Druhý for cylus počítá to saé, ale poocí fuce ultiplypolvyraz, xy. Ve výrazu vyraz sou postupě ociy xy. Příaz pritvyraz opět vypíše polyo vyraz a obrazovu. Posledí řáde vyraz - vyraz á vypíše a obrazovu, což zaeá, že oba výrazy sou steé a tí e zobecěá bioicá věta ověřea. Posledí řáde celého souboru Idetity.ws vypadá tato: leftexpoe7 - rightexpoe7. Výstupe tohoto řádu e opět, což začí rovost obou fucí. Obě tyto fuce počítaí levou, resp. pravou strau zobecěé -expoeciály. Zobecěá -expoeciálí fuce e z e defiováa ásleduící způsobe: α z e z. []! Vzorec 6: Zobecěá - expoeciálí fuce i. 38

40 39 Steě ao u orálí expoeciálí fuce i u této zobecěé -expoeciály platí vztah: e x e y e x y, de ásobeí e x e y e opět eoutativí, tedy platí yx xy. Podívee se podroběi co předchozí rovost zaeá. Tečy a ístech, de e ásobeí opět zaeaí eoutativí ásobeí y. x xy. [ ] [] [ ] [ ] [ ] [ ].!!.!!!!. y x y x y x y x e e α α α α α α [] [] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] y x y x y x y x e.!!.!!!!! α α α Z uvedeého plye, že rovost e x e y e x y astává pro α α - α. Tz. aby platila rovost, usí platit:, α α α. Tato rovost e splěa pro α c. Posledí idetita ve vypracovaé prograu ověřue právě tuto rovost. Podívee se zovu, a vypadá: leftexpoe7 - rightexpoe7. Fuce leftexpoem počítá e x e y, zatíco rightexpoem počítá e x y. Dále e uté uvést, co zaeá paraetr M v obou fucích. Vzhlede tou, že suy a obou straách rovosti sou eoečé, e třeba pro aprograováí taovýchto su určit ěaá pravidla. Paraetr M tedy určue do aého řádu se budou suy sčítat. Ve fuci rightexpoem e teto paraetr velice edoduchý, prostě se provede výpočet pravé stray rovosti, tz.: [] M c y x!, de výraz x y se počítá poocí zobecěé bioicé věty. U fuce leftexpoem e výpočet o ěco složitěší. Neprve e třeba obě suy avzáe eoutativě vyásobit a pa teprve se vyechávaí čley řádu vyššího ež M. [ ] [] M c M c y x!.!.

41 Tyto suy se vyásobí a pa se otrolue zda edotlivé čley esou řádu vyššího ež M. To sou všechy vypracovaé idetity týaící se apitoly -calculus Hopfova algebra U sl Na přiložeé CD v adresáři Progra \ Algebra USL sou dva soubory. Prví z ich e hlavičový soubor obsahuící delarace a ipleetace použitých fucí. Teto soubor se eue HopfAlgebra.ws. V další souboru s ázve HopfIdetity.ws e poto vypracováa idetita používaící fuce z hlavičového souboru. Měe Hopfovu vatovou algebru U sl z apitoly 5. Tz. áe čtyři geerátory E, F, K, K - splňuící tyto relace: KK - K - K, KEK - E, KFK - - F, K K E, de [E, F] EF - FE, [, F] E E K K - E, F F K K - F, K K K, SK K -, SE - E, SF - - F, ε K, ε E ε F Popis fucí z HopfAlgebra.ws Po vložeí hlavičového souboru HopfAlgebra.ws poocí příazu withhopfalgebra e ožé použít ásleduící fuce: obráze 3: Fuce z HopfAlgebra.ws. HopfCoCoute Fuce HopfCoCoutePolyo převádí polyo ve teré e oásobeí a aoicý tvar daý větou 5.. Více viz íže. 4

42 obráze 4: Použití fuce HopfCoCoute. HopfCoultiply Fuce HopfCoultiplyPolyo provádí oásobeí edotlivých čleů polyou. Více viz íže. obráze 5: Použití fuce HopfCoultiply 3. HopfCoultiplyPol Fuce HopfCoultiplyPolPolyo, Polyo provádí tezorové ásobeí dvou polyoů. Více viz íže. obráze 6: Použití fuce HopfCoultiplyPol 4

43 4. HopfCoute Fuce HopfCoutePolyo převádí libovolý polyo a aoicý tvar daý větou 5.. Více viz íže. obráze 7: Použití fuce HopfCoute 5. HopfExistQNu Fuce HopfExistQNuEleet rozdělue výraz a čísla, paraetr a geerátory algebry U sl. Více viz íže. obráze 8: Použití fuce HopfExistQNu 6. HopfFillLIST Fuce HopfFillLISTEleet aplí seza geerátory algebry U sl. Více viz íže. 4

44 obráze 9: Použití fuce HopfFillLIST 7. HopfMultiplyPol Fuce HopfMultiplyPolPolyo, Polyo provádí eoutativí ásobeí dvou polyoů. Více viz íže. obráze : Použití fuce HopfMultiplyPol 8. HopfTrasfor Fuce HopfTrasforPolyo převádí eoutativí ásobeí a orálí ásobeí. Více viz íže. obráze : Použití fuce HopfTrasfor 43

45 Podrobý popis fucí ad HopfCoCoute Fuce převádí polyo, ve teré e oásobeí, a aoicý tvar. Přílad: Měe výraz E FE KE F. Po použití relací v algebře U sl dostáváe: E FE KE F E EF E K Teto výraz e v aoicé tvaru daé větou 5.. E K EK F. Sybol e ve vypracovaé prograu zače ao sybol X. Poud tedy apliuee fuci HopfCoCoute a výraz E FE KE F dostaee výraz v aoicé tvaru. Postup použití fuce HopfCoCoute e zobraze a obrázu 4. Sybol. začí v Maplu eoutativí ásobeí. ad HopfCoultiply Fuce HopfCoultiplyPolyo provádí oásobeí edotlivých čleů polyou. Přílad: Máe ásleduící relace: E E K K - E, F F K K - F a K K K. Poto EF EF K EK - KF K - F EK K - EF a EK EK K EK. Fuce HopfCoultiply apliue oásobeí a aždý čle polyou. Přílad e uvede a obrázu 5. Teto polyo vša eí v aoicé tvaru. Napřílad druhý čle polyou EK - KF by ěl být apsá ao - EK - FK. Poud chcee dostat teto výslede, ta e uté a výraz zísaý fucí HopfCoultiply apliovat fuci HopfCoCoute. Poto áe výslede oásobeí v aoicé tvaru. Celý postup e zobraze a ásleduící obrázu. 44

46 obráze : Přílad oásobeí čleů polyou poocí fuce HopfCoultiply a HopfCoCoute Fuce HopfCoultiply předpoládá, že vstupí polyo e iž v aoicé tvaru a e převede a orálí ásobeí, tz. eí v ě iž obsažeo eoutativí ásobeí., ale ásobeí orálí *. Poud polyo eí převede a aoicý tvar, e uté a ě eprve apliovat fuci HopfCoute a poté fuci HopfTrasfor. ad 3 HopfCoultiplyPol Fuce HopfCoultiplyPolPolyo, Polyo provádí tezorové ásobeí dvou polyoů. Přílad: Měe dva polyoy: Polyo EF EK, Polyo EF. Poto eich tezorový souči vypadá tato: Polyo Polyo EF EF EK EF. Použití fuce HopfCoultiplyPol e zobrazeo a obrázu 6. Sybol e opět ahraze sybole X. Fuce HopfCoultiplyPol předpoládá, že vstupí polyoy sou iž v aoicé tvaru a sou převedey a orálí ásobeí, tz. eí v ich iž obsažeo eoutativí ásobeí., ale ásobeí orálí *. Poud polyoy esou převedey a aoicý tvar, e uté a ě eprve apliovat fuci HopfCoute a poté fuci HopfTrasfor. ad 4 HopfCoute 45

47 Fuce e obdobá ao fuce coute v apitole -calculus, eí výstup vša eí převede a orálí ásobeí, ve výstupí polyou zůstává i adále ásobeí eoutativí, tz. sybol. viz obráze 7. ad 5 HopfExistQNu Fuce HopfExistQNuEleet rozdělue výraz a čísla, paraetr a geerátory algebry U sl. Přílad: Měe výraz: 3. e. f. Pro práci s títo výraze e dobré uět taovéto výrazy rozdělit a čísla, paraetry a geerátory algebry U sl. Toto dělá fuce HopfExistQNu. Jeí použití e zázorěo a obrázu 8. Výslede fuce HopfExistQNu, apliovaé a výraz uvedeý výše e vetor, terý á tři složy. Prví složa sou geerátory algebry U sl, v aše případě: e. f Druhá složa e číslo, v aše případě: 3 Posledí složa e paraetr, v aše případě: ad 6 HopfFillLIST Fuce HopfFillLISTEleet aplí seza geerátory algebry U sl. Pro práci s eoutativí ásobeí e uté vědět aé geerátory daý výraz obsahue a pro zachováí eoutativosti e dále uté vědět i pořadí edotlivých geerátorů v daé výrazu. Z tohoto důvodu e v celé vypracovaé prograu pro práci s eoutativí ásobeí používá seza LIST. Fuce HopfFillLIST e steě ao fuce HopfExistQNu poocá fuce usadňuící práci při prograováí dalších fucí týaících se algebry U sl. Použití této fuce e zobrazeo a obrázu 9. Fuce HopfFillLIST předpoládá, že vstupí paraetr e výraz obsahuící pouze geerátory algebry U sl, tz. pouze E, F, K. Poud tedy chcee zpracovat výraz uvedeý v příladu fuce HopfExistQNu, usíe do fuce HopfFillLIST přeést pouze prví složu výstupu fuce HopfExistQNu. Celý postup e uvede a ásleduící obrázu. 46

48 obráze 3: Použití fucí HopfExistQNu a HopfFillLIST ad 7 HopfMultiplyPol Fuce HopfMultiplyPolPolyo, Polyo provádí eoutativí ásobeí dvou polyoů. Přílad použití e zázorě a obrázu. Fuce HopfMultiplyPol předpoládá, že vstupí polyoy sou iž v aoicé tvaru a sou převedey a orálí ásobeí, tz. eí v ich iž obsažeo eoutativí ásobeí., ale ásobeí orálí *. Poud polyoy esou převedey a aoicý tvar, e uté a ě eprve apliovat fuci HopfCoute a poté fuci HopfTrasfor. ad 8 HopfTrasfor Fuce HopfTrasfor převádí eoutativí ásobeí a orálí ásobeí. Tz. poud áe polyo v aoicé tvaru, tz. byla a ě apliováa fuce HopfCoute, e ožé upustit od eoutativího ásobeí. a ahradit ho ásobeí orálí * pro edodušší práci s polyoe. Použití fuce e zázorěo a obrázu Vypracovaá idetita využívaící HopfAlgebra.ws Soubor HopfIdetity.ws obsahue vypracovaou idetitu týaící se Hopfovy algebry U sl. Na začátu tohoto souboru sou vložey dva hlavičové soubory: withhopfalgebra withliearalgebra Vložeí souboru HopfAlgebra zpřístupíe použití fucí defiovaých v Hlavičový soubor LiearAlgebra e stadardě ipleetová v Maplu a slouží apřílad práci s aticei, teré bude idetita využívat. 47

49 48 Dále soubor HopfIdetity.ws obsahue fuci MultiplyMatrixA, B,. Tato fuce provádí eoutativí ásobeí atic. Prví dva paraetry A, B sou atice, paraetr e eich řád, edá se tedy pouze o čtvercové atice řádu. Tato fuce využívá fuci HopfMultiplyPol z apitoly Další fuce MultiplyTesorA, B e pouze poocá fuce, terá ásobí atice tezorový způsobe. Tezorový souči atic A,B e atice A B zapsaá v bloové tvaru, přičež i, -tý blo e rove atici a i B. Tezorový souči atic e dobře defiová ee pro čtvercové atice, ale i pro atice libovolých rozěrů. Je zřeé, že á-li atice A rozěr x l a atice B rozěr x, pa atice A B á rozěr x l. Podívee se yí aou idetitu soubor HopfIdetity.ws ověřue. Měe čtyři geerátory Hopfovy algebry U sl E, F, K, K - splňuící relace z apitoly 5 a ezávislý paraetr, terý outue se vší. Defiue ásleduící atice: R, poto tedy R. e L, * f L. Dále ůžee spočítat další atice: začí tezorový souči atic a I. e e L I L, * * L I L, e e I L L, * * I L L. Poto platí ásleduící vztahy:

50 . R. L. L L. L. R. R. L *. L * L *. L *. R 3. L *. R -. L L. R -. L * Sybol. začí opět eoutativí ásobeí atic, tz. ásobeí atic e defiováo ásleduící vztahe: A. B i A i. B. Uvedeé vztahy sou defiičí vztahy ezi geerátory Hopfovy algebry U sl zapsáy poocí aticových idetit. Jao ověřeí platosti těchto vztahů slouží idetita ze souboru HopfIdetity.ws. Vraťe se zpět touto souboru. Ja bylo iž uvedeo, a začátu sou vložey hlavičové soubory HopfAlgebra a LiearAlgebra. Poto ásleduí poocé fuce MultiplyMatrixA, B, a MultiplyTesorA, B. Dále sou delarováy příslušé atice: R:<<,,, > <,, -^-, > <,,, > <,,,, >>: L:<<, > <-^/*-^-*e, ^->>: LL:<<, -^/*-^-*f> <, ^->>: ivr: MatrixIverseR: II:<<, > <, >>: Kde: LL... začí atici L *, ivr... atice iversí R, tedy R - a II... začí I. Pa ásleduí atice vypočítaé: L:MultiplyTesorII, L: LL:MultiplyTesorII, LL: L:MultiplyTesorL, II: LL:MultiplyTesorLL, II: Kde: LL... začí L *, LL... začí L * a fuce MultiplyTesor počítá tezorový souči atic. 49

51 Teď áe všechy potřebé atice pro ověřeí vztahů a 3. Podívee se a vypadá toto ověřeí aprograovaé. Všechy tři vztahy sou podobé a eich aprograováí e téěř totožé, stačí tedy uázat a e zapsá vztah. xxx:multiplymatrixr, L, 4: vyslede:multiplymatrixxxx, L, 4: xxx:multiplymatrixl, L, 4: vyslede:multiplymatrixxxx, R, 4: vyslede - vyslede; Tato apsaý ód vypíše a obrazovu, což začí, že vyslede a vyslede sou totožé. Tí e vztah ověřeý. U vztahu 3 e ediý rozdíl v zapsáí rovosti a to e, že posledí řáde vypadá tato: siplifyvyslede5 - vyslede6; Toto opět vypíše a obrazovu. Fuce siplify e stadardí fuce Maplu. Jde o to, že rovost 3 e o ěco složitěší ež předchozí rovosti. Maple výsledé výrazy autoaticy ezedodušue do té íry, aby bylo ožé rozpozat, že sou rovy ule. Proto e použita fuce siplify, terá daé výrazy zedoduší apliováí pravidel pro ráceí atd. Títo sou všechy tři vztahy ověřey Hopfova algebra SL Obdobě ao u Hopfovy algebry U sl popsaé v apitole 8.3. sou a CD v adresáři Progra \ Algebra SL dva soubory. Prví z ich e hlavičový soubor obsahuící delarace a ipleetace použitých fucí. Teto soubor se eue DualAlgebra.ws. V další souboru s ázve DualIdetity.ws e poto opět vypracováa idetita používaící fuce z hlavičového souboru. Měe Hopfovu vatovou algebru SL z apitoly 6. Tz. áe čtyři geerátory a, b, c, d splňuící tyto relace: ab ba, ac ca, cd dc, bc cb, ad bc da - bc, a a a b c, b a b b d, c c a d c, d c b d d, ε a ε d, ε b ε c, Sa d, Sb - - b, Sc - c, Sd a. 5

52 Popis fucí z DualfAlgebra.ws Po vložeí hlavičového souboru DualAlgebra.ws poocí příazu withdualalgebra e ožé použít ásleduící fuce: obráze 4: Fuce z DualAlgebra.ws. DualCoCoute Popis viz obdobá fuce v apitole DualCoultiply Popis viz obdobá fuce v apitole DualCoultiplyPol Popis viz obdobá fuce v apitole DualCoute Popis viz obdobá fuce v apitole DualExistQNu Popis viz obdobá fuce v apitole DualFillLIST Popis viz obdobá fuce v apitole DualTrasfor Popis viz obdobá fuce v apitole DualPairig 5

53 Fuce DualPairigParaetr, Paraetr provádí výpočet duálího párováí dle věty 7.3. v apitole 7.3. obráze 5: Použití fuce DualPairig 9. HyperGeo Fuce HyperGeoParaetr, Paraetr, Paraetr3, Paraetr4, Paraetr5 provádí výpočet hypergeoetricé fuce defiovaé v apitole 4. obráze 6: Použití fuce HyperGeo. NNuber l Fuce NNuberl, i, provádí výpočet oeficietů N i, potřebých pro výpočet oeficietů oreprezetačí atice defiovaé v apitole 7... U této fuce e uté dát pozor a to, že l N. 5

54 obráze 7: Použití fuce NNuber. tnuber Fuce tnuberl, i, provádí výpočet oeficietů oreprezetačí atice defiovaé v apitole 7... U této fuce e uté dát pozor a to, že l N. Fuce tnuber využívá fuci NNuber. obráze 8: Použití fuce tnuber. TMatrix Fuce TMatrixl vrací oreprezetačí atici, defiovaou v apitole 7.., pro zadaý paraetr l. Fuce TMatrix využívá fuci tnuber. 53

55 obráze 9: Použití fuce TMatrix Vypracovaá idetita využívaící DualAlgebra.ws Soubor DualIdetity.ws obsahue vypracovaou idetitu týaící se Hopfovy algebry SL. Na začátu tohoto souboru e vlože hlavičový soubor DualAlgebra.ws. withdualalgebra Vložeí souboru DualAlgebra zpřístupíe použití fucí defiovaých v Dále soubor DualIdetity.ws obsahue ásleduící fuce: GetEleetparaetr, paraetr, T, di CoparePolpolyo, polyo MatrixCotrolT, l. Souboru DualIdetity.ws ověřue oreprezetačí atice defiovaé v apitole 7... Celý postup ověřeí, zda e daá atice sutečě oreprezetací Hopfovy algebry, e popsá v apitole 7... Pro ověřeí vlastosti oreprezetace e uté uět oásobit libovolý prve atice oreprezetace T. To ůžee učiit poocí fuce DualCoultiply popsaé v apitole Výslede zísaý fucí DualCoultiply ůžee dále upravit a aoicý tvar poocí fuce DualCoCoute. Títo postupe zísáe prví část pro ověřeí vlastosti oreprezetace, tz. výpočet oásobeí libovolého prvu oreprezetačí atice T poocí defiičích vztahů oásobeí geerátorů Hopfovy algebry SL. 54

56 Další částí e zísáí oásobeí prvu atice T poocí tezorového součiu prvů z odpovídaícího řádu a sloupce atice T. K tou slouží fuce GetEleet v souboru DualIdetity.ws. Paraetry fuce GetEleet aí ásleduící výza: prví paraetr - řádový idex i atice T druhý paraetr - sloupcový idex atice T třetí paraetr - atice T čtvrtý paraetr - dieze atice T. Fuce GetEleet tedy vrátí výraz T i T. K touto tezorovéu součiu využívá fuci DualCoultiplyPol popsaou v apitole Poud se daé výrazy rovaí, ta e rovost pro teto prve ověřea. Celý postup e zobraze a ásleduících dvou obrázcích. Na těchto obrázcích se ověřue prví prve atice T / steě ao v příladu v apitole 7... obráze 3: Postup ověřováí vlastosti oreprezetačí atice T - použití fucí 55

57 obráze 3: Postup ověřováí vlastosti oreprezetačí atice T - výslede Na obrázcích e vidět, že prve a prve3 sou totožé, číž e prví prve atice T ověře. Pro úplé ověřeí celé atice T e uté ověřit všechy prvy. K tou slouží fuce MatrixCotrol. Tato fuce provádí popsaý postup pro všechy prvy atice T. Jeíi paraetry sou atice T a paraetr l, se terý byla atice T vytvořea. K tou, aby porovala vždy dva výsledé polyoy pro aždý prve atice, využívá fuci CoparePol, terá porová dva polyoy a vrátí, poud sou steé. Výslede fuce MatrixCotrol e tedy atice. Poud atice obsahue saé uly, ta to začí, že daá atice e sutečě oreprezetačí aticí Hopfovy algebry SL. Na toto ístě e uté zíit, že výrazy, teré při toto postupu vziaí, sou atoli složité, že vypracovaý progra uí zpracovat oreprezetačí atice dieze axiálě sed. Poto už algoritus trvá velice dlouho a výsledé výrazy iž Maple správě ezpracue Duálí párováí Hopfových algeber U sl a SL Posledí vypracovaou idetitou e ověřeí duality Hopfových algeber U sl a SL poocí duálího párováí defiovaého v apitole 7.3. Tato idetita se achází v adresáři Progra \ Pairig v souboru Pairig.ws. Na začátu tohoto souboru sou vložey hlavičové soubory HopfAlgebra.ws, DualAlgebra.ws a LiearAlgebra.ws. 56

58 withhopfalgebra withdualalgebra withliearalgebra Vložeí souboru HopfAlgebra.ws e zpřístupěo použití všech fucí defiovaých v apitole 8.3.., vložeí souboru DualAlgebra.ws sou zpřístupěy fuce defiovaé v apitole Hlavičový soubor LiearAlgebra e stadardě ipleetová v Maplu a slouží apřílad práci s aticei. Dále soubor Pairig.ws obsahue ásleduící fuce: DualPairigparaetr, paraetr MultiplyMatrixMatrix, Matrix ProvePairigparaetr, Matrix ProveMatrixPairigMatrix, Matrix.. Fuce DualPairig Fuce DualPairig e obdobá ao fuce DualPairig popsaá v apitole , s tí rozdíle, že provádí duálí párováí eště eoutovaých výrazů. Fuce DualPairig předpoládá, že oba výrazy sou iž v aoicé tvaru a obsahuí tedy orálí ásobeí ozačeé v Maplu sybole *. Naopa fuce DualPairig pracue s výrazy, a teré eště ebyly použity fuce DualCoute, resp. HopfCoute a fuce DualTrasfor, resp. HopfTrasfor a vysytue se v ich eoutativí ásobeí ozačeé v Maplu sybole. Na ásleduící obrázu e vidět rozdíl použití a výpočtu obou fucí. obráze 3: Rozdíl použití a výpočtu fucí DualPairig a DualPairig 57

59 Po převedeí. f. f. a b. a. a. b e zřeé, že oba výsledy sou správě.. Fuce MultiplyMatrix Tato fuce provádí obyčeé ásobeí atic. Paraetry fuce sou dvě čtvercové atice steého rozěru. 3. Fuce ProvePairig Tato fuce provádí ověřeí duality Hopfových algeber U sl a SL. Paraetry fuce ProvePairigparaetr, Matrix aí ásleduící výza: paraetr - libovolý prve Hopfovy algebry U sl. Teto prve usí být zapsá poocí eoutativího ásobeí začeého sybole.. Matrix - oreprezetačí atice Hopfovy algebry SL. Postup ověřeí duality Hopfových algeber U sl a SL e popsá v apitole 7.3 a posledí příladu této apitoly. Fuce ProvePairig provádí přesě postup popsaý a toto příladu. Použití této fuce e uvedeo a ásleduící obrázu. obráze 33: Použití fuce ProvePairig 58

60 Z obrázu e zřeé, že se ověřue oreprezetačí atice, de l s prve f. e Hopfovy algebry U sl. Prví výsledá atice aa e aticí, de e provedeo duálí párováí výrazu f. e s oreprezetačí aticí T. Druhá výsledá atice aaa e duálí párováí výrazu f. e, převedeé a aoicý tvar použití fuce HopfCoute, s aticí T. Vzhlede defiici relace ezi f a e e zřeé, že atice aaa se sládá ze třech atic. Poud se atice v aaa sečtou a ásledě odečtou od atice aa, dostae se ulová atice, což začí, že atice aaa a aa sou ideticé, číž e dualita ověřea. 4. Fuce ProveMatrixPairig Posledí fucí souboru Pairig.ws e fuce ProveMatrixPairigMatrix, Matrix. Fuce ProveMatrixPairig ověřue ásleduící idetitu. Měe atice L, L * a R defiovaé v apitole a ěe oreprezetačí atici T /. Poto platí L, T / R a * L, T / R, de R R a R T R. Matice L, T / se zísá obdobě ao tezorový souči dvou atic, tz. provede se duálí párováí prvu L i s celou aticí T / a výsledá atice x se vloží a ísto prvu L i. To se provede pro všecha i,. Výsledá atice e typu 4 x 4. Použití fuce ProveMatrixPairig e a ásleduící obrázu. obráze 34: Použití fuce ProveMatrixPairig 59