Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA MATEMATIKA II Pavel Kreml Jaroslav Vlček Petr Volný Jiří Krček Jiří Poláček Vytvořeno v rámci projektu Operačního programu Rozvoje lidských zdrojů CZ.04..0/..5./006 Studijní opory s převažujícími distančními prvky pro předměty teoretického základu studia. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY

2 ISBN

3 Titulní stránka Úvod 5 Pokyny ke studiu 6 ČÁST I INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. NEURČITÝ INTEGRÁL 9.. Primitivní funkce a neurčitý integrál 9.. Základní neurčité integrály.. Integrace metodou per partes 0.4. Integrace substitucí 9.5. Integrace racionálních funkcí 4.6. Integrace goniometrických funkcí Neelementární integrály 8. URČITÝ INTEGRÁL 8.. Pojem Riemannova určitého integrálu 8.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu 89.. Metoda per partes pro určité integrály Substituční metoda pro určité integrály.5. Nevlastní integrály 7. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU 45.. Obsah rovinné oblasti 45.. Délka oblouku křivky 58.. Objem rotačního tělesa Obsah pláště rotačního tělesa Fyzikální aplikace 94 Obsah ČÁST II FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH 4. FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH, DEFINICE, VLASTNOSTI 4.. Definice funkce více proměnných 4.. Graf funkce více proměnných Limita a spojitost funkce více proměnných DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Parciální derivace Totální diferenciál, tečná rovina, Taylorův polynom Implicitní funkce a její derivace EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Lokální etrémy Vázané etrémy Globální etrémy 8

4 Obsah ČÁST III DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE 7. ÚVOD DO PROBLEMATIKY DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC Zavedení diferenciálních rovnic Eistence a jednoznačnost řešení 8. METODY ŘEŠENÍ DIFERENCIÁLNÍCH ROVNIC. ŘÁDU Separovatelné rovnice Eaktní rovnice Lineární diferenciální rovnice Shrnutí ke kapitolám 7 a LINEÁRNÍ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE. ŘÁDU Zkrácená rovnice. řádu Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Úplná lineární rovnice s konstantním koeficienty Rovnice se speciální pravou stranou Soustavy diferenciálních rovnic Shrnutí ke kapitole Vybrané aplikace 4 LITERATURA 4 ISBN

5 Úvod STUDIJNÍ OPORY S PŘEVAŽUJÍCÍMI DISTANČNÍMI PRVKY PRO PŘEDMĚTY TEORETICKÉHO ZÁKLADU STUDIA je název projektu, který uspěl v rámci první výzvy Operačního programu Rozvoj lidských zdrojů. Projekt je spolufinancován státním rozpočtem ČR a Evropským sociálním fondem. Partnery projektu jsou Regionální středisko výchovy a vzdělávání, s.r.o. v Mostě, Univerzita obrany v Brně a Technická univerzita v Liberci. Projekt byl zahájen a bude ukončen Cílem projektu je zpracování studijních materiálů z matematiky, deskriptivní geometrie, fyziky a chemie tak, aby umožnily především samostatné studium a tím minimalizovaly počet kontaktních hodin s učitelem. Je zřejmé, že vytvořené tety jsou určeny studentům všech forem studia. Studenti kombinované a distanční formy studia je využijí k samostudiu, studenti v prezenční formě si mohou doplnit získané vědomosti. Všem studentům tety pomohou při procvičení a ověření získaných vědomostí. Nezanedbatelným cílem projektu je umožnit zvýšení kvalifikace širokému spektru osob, které nemohly ve studiu na vysoké škole z různých důvodů (sociálních, rodinných, politických) pokračovat bezprostředně po maturitě. V rámci projektu jsou vytvořeny jednak standardní učební tety v tištěné podobě, koncipované pro samostatné studium, jednak e-learningové studijní materiály, přístupné prostřednictvím internetu. Součástí výstupů je rovněž banka testových úloh pro jednotlivé předměty, na níž si studenti ověří, do jaké míry zvládli prostudované učivo. Bližší informace o projektu můžete najít na adrese Přejeme vám mnoho úspěchů při studiu a budeme mít radost, pokud vám předložený tet pomůže při studiu a bude se vám líbit. Protože nikdo není neomylný, mohou se i v tomto tetu objevit nejasnosti a chyby. Předem se za ně omlouváme a budeme vám vděčni, pokud nás na ně upozorníte. ESF ROVNÉ PŘÍLEŽITOSTI PRO VŠECHNY - 5 -

6 POKYNY KE STUDIU Pokyny ke studiu V úvodu si vysvětlíme jednotnou pevnou strukturu každé kapitoly tetu, která by vám měla pomoci k rychlejší orientaci při studiu. Pro zvýraznění jednotlivých částí tetu jsou používány ikony a barevné odlišení, jejichž význam nyní objasníme. Průvodce studiem vás stručně seznámí s obsahem dané kapitoly a s její motivací. Slouží také k instrukci, jak pokračovat dál po vyřešení kontrolních otázek nebo kontrolních tetů. Cíle vás seznámí s učivem, které v dané kapitole poznáte a které byste po jejím prostudování měli umět. Předpokládané znalosti shrnují stručně učivo, které byste měli znát ještě dříve než kapitolu začnete studovat. Jsou nezbytným předpokladem pro úspěšné zvládnutí následující kapitoly. Výklad označuje samotný výklad učiva dané kapitoly, který je členěn způsobem obvyklým v matematice na definice, věty, případně důkazy. Definice... Zavádí základní pojmy v dané kapitole. Věta... Uvádí základní vlastnosti pojmů zavedených v dané kapitole. Důkaz: Vychází z předpokladů věty a dokazuje tvrzení uvedené ve větě

7 Pokyny ke studiu Poznámka neformálně komentuje vykládanou látku.. Řešené úlohy označují vzorové příklady, které ilustrují probrané učivo. Příklad Uvádí zadání příkladu. Řešení: Uvádí podrobné řešení zadaného příkladu. Úlohy k samostatnému řešení obsahují zadání příkladů k procvičení probraného učiva. Úlohy označené patří k obtížnějším a jsou určeny zájemcům o hlubší pochopení tématu. Výsledky úloh k samostatnému řešení obsahují správné výsledky předchozích příkladů, slouží ke kontrole správnosti řešení. Kontrolní otázky obsahují soubor otázek k probranému učivu včetně několika odpovědí, z nichž je vždy alespoň jedna správná. Odpovědi na kontrolní otázky uvádějí správné odpovědi na kontrolní otázky

8 Pokyny ke studiu Kontrolní test obsahuje soubor příkladů k probranému učivu. Výsledky testu uvádějí správné odpovědi na příklady kontrolního testu. Literatura obsahuje seznam knih, které byly použity při tvorbě příslušného tetu a na které byly případně uvedeny odkazy k hlubšímu prostudování tématu. Piktogram, který upozorňuje na důležité vztahy nebo vlastnosti, které je nezbytné si zapamatovat

9 INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ. NEURČITÝ INTEGRÁL. NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodce studiem V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí. Jestliže znáte derivace elementárních funkcí a pravidla pro derivování, jste schopni derivovat libovolnou funkci. Možná Vás napadne, zda je možno z derivované funkce nějakým způsobem získat původní funkci. Opačnou operací k derivování je integrace (anglické tety používají termín antiderivace). V této kapitole se seznámíte s pojmem primitivní funkce. Množinu všech primitivních funkcí k dané funkci nazveme neurčitým integrálem. Seznámíte se základními metodami integrace (substituční metoda a metoda per partes). V závěru se budeme věnovat způsobům integrace některých vybraných druhů funkcí... Primitivní funkce a neurčitý integrál Cíle Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že umíte dobře derivovat funkce jedné proměnné, že znáte tabulku derivací elementárních funkcí. Předpokládá se i základní znalost pojmu diferenciál funkce. Výklad V kapitole Diferenciální počet funkcí jedné proměnné jste se seznámili s derivováním funkcí. Pro danou funkci f ( ) dovedeme nalézt její derivaci f ( ) = g( ). Věnujme se nyní opačné úloze. Hledáme takovou funkci F( ), aby daná funkce f ( ) byla její derivací, tj. aby platilo F ( ) = f ( ). Tato funkce, pokud ovšem eistuje, se nejen v matematice hledá velmi často a jmenuje se primitivní funkce. Postup hledání primitivní funkce se nazývá integrování (opačná operace k derivování). Příklad... Pro funkci derivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opačná úloha integrování F( ) f( ) = =, protože platí F ( ) = = = f( )

10 .. Primitivní funkce a neurčitý integrál Definice... Říkáme, že funkce F( ) je v intervalu ( ab, ) primitivní funkcí k funkci f ( ), platí-li pro všechna ( ab, ) vztah F ( ) = f ( ). Řešené úlohy Příklad... Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) = v intervalu (,). Řešení: Hledáme funkci F( ), jejíž derivace se na intervalu (,) rovná. Je zřejmé, že to bude nějaký násobek funkce. Po krátkém eperimentování zjistíme, že je to funkce F( ) =, neboť F ( ) = = = = ( ) se liší konstantou, primitivní k dané funkci. Příklad... Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) f. Podle věty.. budou i funkce, které = v intervalu (, ). Řešení: Jelikož všechny úvahy v řešení příkladu.. platí pro libovolné reálné (, ), je řešením stejná funkce F( ) =. Příklad..4. Najděte primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intervalu (, ). n Řešení: Podobnými úvahami dojdeme k tomu, že primitivní funkce má tvar F( ) n+ =, n + n pro všechna ) (,, protože Příklad..5. Najděte primitivní funkci k funkci Řešení: n+ n ( n+ ) n F ( ) = = = = f( ). n+ n+ f( ) = v intervalu (0, ). Vidíme, že vztah uvedený v příkladu..4 nelze použít pro n =. Snažíme se najít funkci, jejíž derivací je f( ) = =. Z přehledu derivací elementárních funkcí víme, - 0 -

11 že touto funkcí je funkce F( ) ln, neboť = [ ] Příklad..6. Najděte primitivní funkci k funkci.. Primitivní funkce a neurčitý integrál F ( ) = ln = = f( ) pro (0, ). f( ) = v intervalu (,0). Řešení: Podobnými úvahami jako v předcházející části zjistíme, že primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) je funkce F ( ) = ln = ln( ). Funkce F ( ) = ln je primitivní funkcí k funkci Avšak také funkce f( ) = pro (,0) (0, ). F ( ) = ln + 5 bude primitivní funkcí k dané funkci, neboť platí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protože derivace konstanty je rovna nule. Je zřejmé, že tvrzení platí nejen pro konstantu 5, ale i pro libovolnou jinou konstantu C. Věta... Je-li F( ) primitivní funkce k funkci f ( ) v intervalu ( ab, ), pak také funkce F( ) + C, kde C je libovolná reálná konstanta, je primitivní funkcí k funkci f ( ) v intervalu ( ab),. ( ab, ) ( ) ( ) ( ) Důkaz: Jelikož na intervalu platí [ F + C] = F = f dostaneme podle definice.. uvedené tvrzení. Poznámka K dané funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstantou. Definice... Množina všech primitivních funkcí k funkci f ( ) na intervalu ( ab, ) se nazývá neurčitý integrál této funkce. Píšeme: f ( d ) = F ( ) + C. Poznámka - se nazývá integrační znak, - f ( ) je integrovaná funkce (integrand), - d je diferenciál integrační proměnné, - C je integrační konstanta. - -

12 funkci.. Základní neurčité integrály Příklady..5 a..6 bychom mohli v souladu s definicí.. formulovat: Integrujte f( ) = na daném intervalu. Zápis: d. Výsledek, který jsme získali (množina všech primitivních funkcí F ( ) = ln + C ), zapíšeme: d = ln + C. Tento vztah platí pro všechna, pro něž jsou příslušné funkce ( a ln ) definovany, tj. pro všechna 0. V takových případech často vynecháváme interval, ve kterém pracujeme... Základní neurčité integrály Operace integrování (tj. operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní. Z tabulky derivací elementárních funkcí hned dostaneme tabulku neurčitých integrálů (tab...). O správnosti uvedených vztahů se podle definice.. snadno přesvědčíme derivováním. Tabulka... Tabulka základních integrálů [.] 0d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin + C [7.] d = tg + C cos [8.] d = cotg + C sin [9.] pro > 0, n pro 0 π pro (k + ), k Z pro kπ, k Z d = arcsin + C pro (, ) [0.] d = arctg + C + a [.] a d = + C ln a pro a > 0, a - -

13 .. Základní neurčité integrály [.] e d = e + C [.] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [4.] = arctg + C a + a a d [5.] = arcsin + C a a pro a > 0 [6.] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a pro ( a, a), a > 0 Poznámka Eistují rozsáhlé tabulky, ve kterých lze nalézt množství dalších neurčitých integrálů. K výsledkům můžeme dospět použitím pravidel a metod integrace, které budou uvedeny v následující části. Dnes však tyto tabulky ztrácejí význam, neboť jsou dostupné matematické programy, které zvládnou integraci složitých funkcí (např. Derive, Maple, Mathematica). Na Internetu lze nalézt řadu online kalkulátorů (např. a další). Po zadání integrované funkce je nalezena primitivní funkce. Neurčité integrály z dalších funkcí lze získat různými integračními metodami. Z pravidel pro derivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst. a z vlastnosti primitivní funkce okamžitě plyne: Věta... Mají-li funkce f ( ) a g( ) na intervalu ( ab, ) primitivní funkce, pak platí: ( f ( ) ± g( )) d= f( d ) ± g( d ) cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst. f ( d ) = f( ) + C Řešené úlohy (úpravou integrandu) Příklad... Vypočtěte integrál + 4+ d. - -

14 .. Základní neurčité integrály Řešení: d = d+ d + d = + + ln C +. Příklad... Vypočtěte integrál ( ) d. Řešení: ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C = C. Příklad... Vypočtěte integrál tg d. Řešení: sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos +. Příklad..4. Vypočtěte integrál cotg d. Řešení: ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin +. (Použili jsme vztah [] z tabulky..) Příklad..5. Vypočtěte integrál Řešení: e + d e +. e + ( e + )( e e + ) d = d = ( e e + ) d = e e C e + e Při úpravě čitatele zlomku jsme použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b ).. Příklad..6. Vypočtěte integrál d

15 Řešení: d d d d = = = (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ).. Základní neurčité integrály = d + arcsin = + C Použili jsme vztah [6] z tabulky... + Poznámka I když všechny primitivní funkce k funkci f ( ) mají až na konstantu stejný tvar, může se stát, že při použití různých integračních metod dostaneme pokaždé trochu jiný výsledek. V tomto případě je vždy možno převést jeden tvar výsledku na druhý. Například první metodou dostaneme tg d = + C. Jinou metodou nám vyjde cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, neboť + tg = + = =. cos cos cos. Oba výsledky Kontrolní otázky. Kolik primitivních funkcí eistuje k funkci e. Ke které funkci je funkce F( ) = (ln ) primitivní?. Je funkce sin sin primitivní funkce k funkci 4. Je funkce 4 + primitivní funkce k funkci arctg?? Uveďte některé z nich. cos? 5. Lze při výpočtu následujícího integrálu použít naznačený postup? + ( + ) d = 4 d + d 6. Platí e sin d = e d sin d? Úlohy k samostatnému řešení. a) d) d b) d e) ( ) d c) d f) + d + d

16 . a). a) ( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d e) d) 4. a) 5. a) d + 9 b) d + + e) d b) ln d) sin + e d c) d c) cotg d f) d c) + d f) 4 d c) arccos e) tg d f) cos d b) + d d) d Výsledky úloh k samostatnému řešení e).. Základní neurčité integrály d sin cos cos d cos d d 4 d + e d e + + ( + ) d cotg d cos 5. a) 5 + C; b) C; c) + C ; d) C; e) b) f) d) 4 + +C f) arctg C 4 + sin + C; c) tg cotg + C; d) tg+ C.. a) arctg + C ; b) a) + + C ; ln ln cos + C ; e) cotg + C; 4 arctg + C ; c) arctg + C ; + + arctg + C ; e) arcsin + C ; f) arcsin + C. 4. a) ln ln + C ; 6 + ; c) ln ( ) b) ln arccos C + + C ; d) cos + e + C ; e) ln cos + C ; - 6 -

17 .. Základní neurčité integrály ( ) f) ln e + +C. 5. a) c) arcsin + C ; d) sin + arctg + C; b) ln0 7 + arctg + C ; e) tg 5+ C. + arctg + C ; Kontrolní test. Ke které funkci je funkce a) + arctg + + ( + ) = + + primitivní? F( ) arctg ln( ) 6 6, b) arctg, c) arctg +, d) ( + ) ( + ).. Ke které funkci je funkce = primitivní? F( ) arcsine e a) e e e, b) e + e e e, c) e ( + e ), d) e. Ke které funkci je funkce + e. e F( ) (4 ) a) 4, b) = primitivní? ( + 4 ), c), d) ( 4 ) (+ 4 ). 4. Vypočtěte neurčitý integrál + d. a) C + +, b) C, c) 9 + C, d) C

18 .. Základní neurčité integrály 5. Vypočtěte neurčitý integrál a) ( ) d 6. ( ) + ( ) + C, b) ( ) ln + ( ) ln + C, c) + C, d) + + C. ln ln ln ln 6. Vypočtěte neurčitý integrál a) d. ln + C, b) C 5 +, 5 c) ln + C, d) ln 6 + cos 7. Vypočtěte neurčitý integrál d. + cos a) c) cotg C + +, b) + cotg + C, d) tg 8. Vypočtěte neurčitý integrál cotg d. + C tg + C, + + C. a) cotg + C, b) tg + C, c) cotg + C, d) 9. Vypočtěte neurčitý integrál a) 8 d C, b) 4 c) 8ln + C, d) 4 + C. sin C, 4+ C

19 0. Vypočtěte neurčitý integrál d a) arccos + C, b) arcsin + C, + c) arcsin + C, d) arccos + C... Základní neurčité integrály Výsledky testu. b);. c);. b); 4. a); 5. c); 6. a); 7. b); 8. c); 9. d); 0. c). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly. a. znovu. Shrnutí lekce V prvých dvou kapitolách jste se seznámili s pojmy primitivní funkce a neurčitý integrál. Operace integrování (tj. operace určování primitivní funkce) a derivování jsou navzájem inverzní. Tabulka.. obsahuje přehled základních integrálů. Doporučujeme vytisknout si tuto tabulku, neboť bude využívána v dalších kapitolách při integraci složitějších funkcí. Všechny příklady a cvičení v kapitole.. vyřešíme tak, že integrovanou funkci upravujeme, až dostaneme základní integrály uvedené v tabulce

20 .. Integrace metodou per partes.. Integrace metodou per partes Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme poznali, že integrování součtu funkcí lze provést jednoduše, známe-li integrály jednotlivých sčítanců (věta..). Součin funkcí už obvykle nelze integrovat jednoduše. Problém je v tom, že neeistuje univerzální algoritmus pro integrování součinu funkcí (to je podstatný rozdíl proti derivování součinu funkcí!). V některých případech lze integrovat součin funkcí metodou per partes (čili po částech). Cíle Seznámíte se s principem integrace metodou per partes a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dané funkci, znáte základní integrály uvedené v tabulce.. a umíte vypočítat jednoduché integrály úpravou integrované funkce (integrandu). Výklad Pro integrování součinu dvou funkcí f ( ) g( ) f ( ) g ( d ) = f ( d ) g ( d ) obecně neplatí!!! Avšak ze vztahu pro derivování součinu dvou funkcí ( u v) = u v+ u v dostaneme u v = ( u v) u v a odtud integrováním u v d = [ ( u v) u v ] d = u v u v d. Věta... (Integrování per partes, čili po částech) Mají-li funkce u ( ) a v ( ) v intervalu ( ab, ) spojitou derivaci, pak v ( ab, ) platí u ( ) v ( ) d= u ( ) v ( ) u ( ) v ( d ). Poznámka Integrační metoda se nazývá per partes (po částech), neboť se integrál z funkce f ( ) = u ( ) v( ) vypočte jen zčásti. Zbývá totiž vypočíst další integrál z funkce - 0 -

21 .. Integrace metodou per partes g ( ) = u ( ) v ( ). Integrování metodou per partes vyžaduje určitou prozíravost, abychom, pokud možno, volili funkce u ( ) a v ( ) tak, aby byl integrál g( ) d = u( ) v ( ) d jednodušší. Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte integrál ( + )cos d Řešení: Použijeme metodu per partes, přičemž položíme u = cos, v = +, takže u = sin, v = +. Proto je ( + )cos d = ( + )sin ( + )sin d. K výpočtu posledního integrálu opět použijeme metody per partes, přičemž položíme u = sin, v= +, takže u= cos, v =.. Dostaneme ( + )sin d = ( + )cos + cos d = ( + )cos + sin + C Je tedy ( + )cos d = ( + )sin + ( + )cos sin + C. Kdybychom v daném integrálu zvolili u = +, v= cos, bylo by u = + v = sin a daný integrál bychom dostali ve tvaru ( + ) cos d = + cos + + sin d, což je integrál složitější než původní. Příklad... Vypočtěte integrál ln d Pokud bychom stejně jako v úloze a) volili u = ln nás v tomto okamžiku obtížný. Proto volíme, u =, v= ln, v =, dostaneme u = ln d. Tento integrál je však pro - -

22 .. Integrace metodou per partes takže u =, v =. ln d= ln d= ln + C 9. Pro jednoduché typy integrálů postupujeme podle následujícího schématu: Jednoduché typy integrálů řešitelných metodou per partes. Je-li P ( ) polynom stupně n, pak u integrálů typu: P ( )sind, P ( )cosd, Ped ( ), P ( )a d položíme v = P( ), takže v = P ( ), kdežto u integrálů typu: položíme P ( )ln d, P ( )arctgd, P ( )arccotgd, P ( )arcsin d, P ( ) arccos d u = P( ), takže u = P( ) d, kde P ( ) je polynom stupně n 0 (tedy i konstanta). Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte integrál arctg d Řešení: Integrovanou funkci můžeme výhodně zapsat ve tvaru arctg = arctg. u = v= arctg arctg d = = arctg d = arctg d u = v = = - -

23 = arctg ln( + ) + C... Integrace metodou per partes Při výpočtu druhého integrálu jsme použili vztah [] z tabulky... Příklad..4. Vypočtěte integrál e d. Řešení: = = u e v e d= = e + e d= u = e v = u = e v= = = e e + e d e e e = u = e v = + C. Příklad..5. Vypočtěte integrál n ln d Řešení: n u = v= ln n+ n n ln d= n+ = ln d u = v = n+ n+ n+ = n+ n+ n+ = ln + C = ln n + C + ( n + ) n+ n+. Speciálně pro n = 0 dostáváme ln d = (ln ) + C. Příklad..6. Vypočtěte integrál e cos( ) d. Řešení: V tomto případě lze volit u = e. K cíli však povede i volba u = cos( ). u = e v= cos( ) e cos( ) d= = e cos( ) e sin( ) d = u = e v = sin( ) u = e v= sin( ) = = e cos( ) e sin( ) + e cos( ) d = u = e v = cos( ) - -

24 .. Integrace metodou per partes e cos( ) + e sin( ) 4 e cos( ) d. Jestliže hledaný integrál označíme symbolem I = e cos( ) d, dostáváme rovnici I = e cos( ) + e sin( ) 4I. Z této rovnice vypočteme neznámou I 5I = e cos( ) + e sin( ), e I = e cos( ) + e sin( ) = [ sin( ) cos( ) ] + C. 5 5 Poznámka Stejně jako v příkladu..6 se někdy stává, že při použití metody per partes dostaneme násobek hledaného integrálu: f ( d ) = F( ) + k f( d ) (k je konstanta). Je-li k, lze hledaný integrál vypočítat převedením integrálů na stejnou stranu rovnice. Tedy ( k) f( ) d= F( ), odkud f ( d ) = F( ) + C. k Kontrolní otázky. Proč se integrační metoda nazývána per partes?. Lze integrál e e d = e d e d rovná tento integrál?. Jak by se podle věty.. vypočítal integrál typu u ( ) v ( ) d? počítat naznačeným způsobem? Čemu se 4. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu sin d? 5. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 6. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 7. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu ln d? ln d? 8. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je e sin d? ln I = + C

25 9. Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = sin a výsledný integrál je I = cos+ sin +C. 9.. Integrace metodou per partes 0. Doplňte funkci v ( ), je-li u ( ) = a výsledný integrál je I = ln ln + + C.. a) Úlohy k samostatnému řešení d). a) d) sin d b) ( + ) cosd c) cos d e d e) ( + ) e d f) ln d b) arctgd c) ln d ln d e) ln d f) 4 arctgd. a) ln d b) ln d c) arctg d d) arccotg d e) arcsin d f) arccos d 4. a) e cos d b) e sin d c) cos d d) cos( ln ) d e) sin ( ln ) d f) e sin d 5. a) d) d b) sin ln ( cos ) d c) ar ctg ( + ) cos arcsin d e) ln d f) e d ( + ) d d Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) ( ) cos+ sin+ C ; b) + sin + cos + C ; c) 6 sin + cos + C ; d) f) ln + + ln.. a) ln e + C ln + C ; e) ( ) ; b) ( ) e C; + arctg + C; c) ln + C; d) ln + + C ; e) ln ln + + C ; - 5 -

26 arctg + + C.. a) ln 4 f) ( ) C c) arctg ln ( + ) +C; d) arccotg ln ( ) f) arccos.. Integrace metodou per partes + ; b) ( ln ln ) + + C; C; e) arcsin + + C ; +C. 4. a) e ( sin cos ) b) e ( cos+ sin ) C + +C ; + ln cos ln sin + C 4 ln + ; c) ( ) d) (cos( ln ) + sin ( ln ) ) + C; e) ( ( ) cos ( ln )) f) + sin ln + C; e sin + cos + C. 5. a) ln sin cotg+ C ; 5 0 ( ) tg ln cos b) ( ) d) arcsin + +C; c) arctg ( ) ln ( 4 0) +C ; e) ( ln ln 6ln 6) Kontrolní test C 4 ; + + C ; f) e + C. + ;. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je a) v ( ) = sin, b) v ( )= sincos, I = cos + sin + C. 4 8 c) v ( ) = sin, d) v ( ) = sin.. Doplňte funkci v, ( ) je-li u ( ) = a výsledný integrál je I = ln ln + + C. a) v ( ) = ln, b) v ( )= ln, c) v ( ) = ln, d) v ( ) = ln.. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu a) u =, v = arctg, b) u = arctg, v =, c) u =, v = arctg. d) u = arctg, v = 4. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu, a) u = v= e, b) arctg d? d e?, u = v= e, c), u = v=, d) e u, v e = =

27 5. Vypočtěte neurčitý integrál d. cos a) cotg ln sin +C, b) tg + ln cos + C, c) tg ln cos 6. Vypočtěte neurčitý integrál + C, d) cotg + ln sin + C. ln cos d. sin a) cotg ln cos + C, b) cotg ln cos + + C, c) cotg ln cos + C, d) cotg ln cos + + C. 7. Vypočtěte neurčitý integrál a) b) c) d) ( )sind. ( + )cos ( )sin+ cos+c, 4 ( )cos ( )sin+ cos+ C, ( + )cos + ( )sin cos+ C, ( + )cos + ( )sin+ cos+c Čemu se rovná neurčitý integrál d? a) ln ln + C, b) ( ) + C, ln ln c) ln+ C, d) + + C. ln ln 9. Čemu se rovná neurčitý integrál ln( d )? a) c).. Integrace metodou per partes ln( ) ( + ) +C, b) ln( ) + ( + ) + C, ln( ) + ( ) + C, d) + ln( ) + C

28 .. Integrace metodou per partes 0. Čemu se rovná neurčitý integrál e sin d? a) c) e (sin + cos ) +C, b) 5 e (sin cos ) +C, d) e (sin cos ) + C, 5 e (cos + sin ) + C. 5 Výsledky testu. b);. d);. a); 4. c); 5.b); 6. a); 7. d); 8. b); 9. a); 0. b). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu. znovu a propočítat další úlohy k samostatnému řešení. Shrnutí lekce Pro integraci součinu dvou funkcí f ( ) g( ) nelze nalézt obecnou formuli (na rozdíl od derivování součinu funkcí). Při integraci součinu funkce a derivace jiné funkce lze často užít metodu per partes (po částech). Nejčastěji je tato metoda využívána při výpočtu integrálů typu P ( ) f( d ), kde P ( ) je polynomická funkce (může být i P ( ) = ) a f ( ) je trigonometrická, eponenciální, logaritmická nebo cyklometrická funkce. Metoda bude úspěšná, pokud zbývající integrál bude jednodušší než integrál původní

29 .4. Integrace substitucí.4. Integrace substitucí Průvodce studiem Integrály, které nelze řešit pomocí základních vzorců, lze velmi často řešit substituční metodou. Vzorce pro derivace elementárních funkcí a věty o derivaci součtu a součinu funkcí nám v kapitolách. a. umožnily nalézt vzorce, resp. metody pro výpočet některých neurčitých integrálů. V této kapitole pro výpočet využijeme větu o derivaci složené funkce. Pomocí ní získáme větu, která nám poskytne jednu z nejdůležitějších a nejčastěji používaných metod integrování substituční metodu. Připomínáme, že neeistuje univerzální návod, kdy substituční metodu použít, ani jakou substituci zvolit. Doporučujeme pečlivě prostudovat tuto kapitolu a propočítat si řešené úlohy. Důležité je získat zkušenosti se substituční metodou samostatným řešením většího množství příkladů. Cíle Seznámíte se s principem integrace substituční metodou a se základními typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dané funkci, znáte základní integrály uvedené v tabulce.. a umíte vypočítat jednoduché integrály úpravou integrované funkce (integrandu). Bude užíváno pravidlo pro výpočet derivace složené funkce, diferenciálu funkce jedné proměnné a inverzní funkce. Výklad Velmi často se vyskytují integrály typu ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d nebo integrály, které se dají na tento tvar upravit. Tento tvar má například integrál sin( + ) d. V tomto případě je f( u) = sinu, = ϕ( ) = +, a tedy u = ϕ ( ) =. u Všimněte si, že integrovaná funkce má tyto vlastnosti: - Je součinem dvou funkcí f ( ( ) ) ϕ a ϕ ( )

30 .4. Integrace substitucí - První z nich je složená funkce s vnější funkcí f a vnitřní funkcí ϕ. Druhá je derivací vnitřní funkce. Předpokládejme, že funkce f( u ) je spojitá na intervalu ( α, β ) a funkce u = ϕ( ) má derivaci ϕ ( ) na intervalu ( ab, ), a nechť pro každé ( ab, ) platí ϕ( ) ( α, β) (funkce ϕ ( ) zobrazuje interval ( ab, ) do intervalu ( α, β )). Protože funkce f( u ) je spojitá na intervalu ( α, β ), má na něm spojitou primitivní funkci Fu ( ), takže platí f ( u) = F ( u). Funkce Fu ( ) je na uvedeném intervalu složenou funkcí F( ϕ ), [ ] tedy pro derivaci složené funkce platí: F( ϕ( )) = F ( u) ϕ ( ) = f( u) ϕ ( ) = f( ϕ( )) ϕ ( ). To znamená (podle definice..), že funkce F( ϕ ( )) je primitivní funkcí k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ) na intervalu ( ab, ) a tedy f ( ϕ ( )) ϕ ( ) d= F( ϕ ( )) = F( u) = f( u) du. Získaný výsledek zformulujeme ve větě: Věta.4.. (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť Fu ( ) je primitivní funkce ke spojité funkci f( u ) na intervalu ( α, β ). Nechť má funkce u = ϕ( ) derivaci ϕ ( ) na intervalu ( ab, ) a nechť pro každé ( ab, ) platí ϕ( ) ( α, β). Potom je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ) na intervalu ( ab, ). Tedy platí f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du. Poznámka Vzorec ve větě.4 si zapamatujeme velmi snadno. V integrálu f ( ϕ( )) ϕ ( ) d položíme u = ϕ( ) (provedeme substituci). Diferencováním dostaneme du = ϕ ( ) d. Takže za výraz ϕ ( ) d v daném integrálu můžeme formálně dosadit du

31 Tvrzení věty.4. můžeme přehledně shrnout:.4. Integrace substitucí Substituce typu ϕ ( ) = u f ϕ( ) ϕ ( ) d. Máme vypočítat integrál typu ( ) Jsou-li splněny předpoklady věty.4., položíme (provedeme substituci) ϕ ( ) = u. Diferencováním této rovnice dostaneme ϕ ( ) d = du. Daný integrál tedy převedeme na tvar f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u ) du. Postup bude úspěšný, pokud umíme vypočítat integrál f ( u) du. Řešené úlohy Příklad.4.. Vypočtěte integrál sin( + ) d. Řešení: Je zřejmé, že pro všechna (, ) je d diferenciál funkce +. Proto položíme u = + = ϕ( ), a tedy du = d = ϕ ( ) d. Funkce f( u) = sinu je spojitá pro všechna u (, ) a má na tomto intervalu primitivní funkci Fu ( ) = cosu. Jsou splněny předpoklady věty.4., proto platí: sin( + ) d = sin udu = cos u + C = cos( + ) + C. Příklad.4.. Vypočtěte integrál sin cos d. Řešení: Je zřejmé, že pro všechna ) (, je cos d diferenciál funkce sin. Proto položíme u = sin, potom du = cos d. substituce: 4 4 u sin sin cos d= u= sin = u du= + C = + C 4 4 du = cos d. Příklad.4.. Vypočtěte integrál f ( a + b) d pro a 0, (vzorec [6] v tabulce...) - -

32 Řešení:.4. Integrace substitucí O platnosti vzorce [6] v tabulce.. jsme se mohli snadno přesvědčit derivováním. Ke stejnému výsledku můžeme dospět substitucí. Je-li funkce ( α, β ), má na něm spojitou primitivní funkci na intervalu f( u) spojitá na intervalu Fu ( ). Vnitřní funkce u = ϕ( ) = a+ b má (, ) nenulovou derivaci ϕ ( ) = a pro a 0, a proto substituce: f ( a + b) d = f ( a + b) a d = u = a + b = f ( u) du = F( u) + C = F( a + b) + C. a a a du = ad a Podle tohoto vztahu dostáváme: d = ln C ( a + b = + 7= u a ( ) 5 f( u) = ), u ( ) d = + C = ( ) + C ( a + b = + = u a 5 0 e d= e + C ( a + b = = u a f ( u) = e ). u f ( u) 4 = u ), Příklad.4.4. Vypočtěte integrál 5+ d. Řešení: substituce: u = 5+ d= u = 5+ = 5+ d= udu = + C = u + C du = d ( ) = C. Příklad.4.5. Vypočtěte integrál cotg d. Řešení: substituce: substituce: cotg cotg cosu d = u = = d = cotgu du = du = t = sinu = sin u dt = cosudu du = d = dt = ln t + C = ln sinu + C = ln sin + C. t - -

33 .4. Integrace substitucí Místo druhé substituce bylo možno přímo použít vzorec [] v tabulce... Příklad.4.6. Vypočtěte integrál sin d. Řešení: Při výpočtu integrálu sin d se musíme omezit na nějaký interval, v němž se sin nikdy nerovná nule (pro jednoduchost např. na použijeme vztah sin α = sinα cosα. (0, π )). Pro úpravu integrandu substituce: d = d = u = = du = du sin sin cos sin u sin cos u u cos u cosu du = d = = du pro u (0, ). tgucos u π Jelikož Dostaneme cos u je derivace funkce tg u, provedeme substituci t = tgu (tedy t > 0). substituce: d = du = t = tg u = dt = ln t + C = ln t + C = ln tg u C sin tgucos u t du dt = cos u + = = ln tg + C. Výklad Podle věty.4. jsme integrál ( ) f ϕ( ) ϕ ( ) d substitucí ϕ ( ) = u převedli na integrál f ( u) du. V některých případech je vhodné zvolit opačný postup. Máme vypočítat integrál f ( ) d. Substitucí = ϕ() t (tedy d = ϕ () t dt ) se snažíme tento integrál převést na integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt, který může být jednodušší. Otázkou - -

34 .4. Integrace substitucí je, zda po nalezení primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) dovedeme najít primitivní funkci k funkci f( ). Je to možné, pokud vedle předpokladů věty.4. ještě platí: - funkce ϕ () t je na intervalu ( α, β ) ryze monotónní, - pro každé t ( α, β ) je ϕ () t 0. Za uvedených předpokladů k funkci = ϕ() t, t ( α, β ) eistuje inverzní funkce t = ϕ ( ) = ψ( ) pro ( ab, ) a tato inverzní funkce má derivaci ψ ( ) =. ϕ () t Je-li Gt () primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) na intervalu ( α, β ), pak platí G () t = f ( ϕ()) t ϕ () t. Složená funkce F( ) = G( ψ ( )) definovaná na intervalu ( ab), je na tomto intervalu primitivní funkcí k funkci f( ), protože podle věty o derivaci složené funkce platí: F ( ) = G () t ψ ( ) = f( ϕ()) t ϕ () t = f( ϕ()) t = f( ). ϕ () t Získaný výsledek zformulujeme ve větě: Věta.4. (Integrování substituční metodou = ϕ() t ) Nechť funkce = ϕ() t zobrazující interval ( α, β ) na interval ( ab), je rostoucí, popř. klesající, na intervalu ( α, β ) a má tam spojitou derivaci ϕ () t 0a nechť funkce t = ψ ( ) je inverzní funkce k funkci = ϕ() t na intervalu ( ab, ). Je-li f( ) spojitá funkce na intervalu ( ab, ) a je-li Gt () primitivní funkce k funkci f( ϕ( t)) ϕ ( t) na intervalu ( α, β ), potom pro všechna ( ab, ) platí f ( d ) = f( ϕ()) t ϕ () t dt= Gt () + C= G( ψ( )) + C. Tvrzení věty.4. můžeme přehledně shrnout: Substituce typu = ϕ() t d. Máme vypočítat integrál typu f ( ) Jsou-li splněny předpoklady věty.4., položíme (provedeme substituci) = ϕ() t. Diferencováním této rovnice dostaneme d = ϕ () t dt. Daný integrál tedy převedeme na tvar - 4 -

35 .4. Integrace substitucí f ( d ) = f( ϕ ( t)) ϕ ( t) dt. Postup bude úspěšný, pokud umíme vypočítat integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt. Poznámka Při výpočtu integrálů substituční metodou obvykle počítáme podle vzorce z věty.4. nebo.4., dokud nenalezneme primitivní funkci. Obvykle teprve potom zkontrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použité věty. O správnosti výsledku se můžeme snadno přesvědčit derivováním nalezené primitivní funkce. Řešené úlohy Příklad.4.7. Vypočtěte integrál 4 d. Řešení: Funkce = je spojitá pro (,). Zavedeme substituci = sint, f ( ) 4 d = cost dt. Je však nutno omezit proměnnou tak, aby bylo možno nalézt funkci inverzní π t = arcsin. Pro t (0, ) bude (0,) a funkce ϕ () t = sint bude mít rostoucí nenulovou derivaci ϕ () t = cost. Dostaneme substituce: 4 d = = sin t = 4 4sin t cost dt = 4 sin t cost dt = d = cost dt + cost = 4 cos tdt= 4 dt= (+ cos t) dt = sin t = t+ + C = t+ sintcost+ C = t+ sint sin t + C = 4 = arcsin + + C = arcsin + + C. Při výpočtu jsme použili vzorce α + cosα cos = a sin α = sinα cosα. π Analogický výsledek bychom dostali pro t (,0), kdy (,0)

36 .4. Integrace substitucí Příklad.4.8. Vypočtěte integrál sin d. Řešení: Integrovaná funkce je definována pro < 0, ). Provedeme substituci = t, abychom odstranili odmocninu v integrandu. Ze substituce vyplývá, že t = nebo t =. Zvolímet =, takže t je z intervalu (0, ). Dostaneme substituce: sin d = = t = t sin t dt. d = t dt Získaný integrál řešíme metodu per partes podobně jako příklad..: u = sin t v= t tsin tdt = = ( tcost+ cos tdt) = ( tcost+ sin t) C u = cost v = + = = (sin cos ) + C. Sami vyzkoušejte, že pro volbu t = tj. t (,0) dostaneme stejný výsledek. Příklad.4.9. Vypočtěte integrál d. + Řešení: Funkce + je spojitá pro (, ). Položíme t (0, π ) klesající a zobrazuje tento interval na interval (, ). = cotgt. Funkce cotg t je pro substituce: d = = cotg t = dt = = cotg sin + t sin cos sin t + t t+ t d = dt sin t sin t dt sin t = dt = dt sin t sin t, neboť pro t (0, π ) je sin t > 0. Dostali jsme integrál, který jsme řešili v příkladu.4.6. t dt = ln tg + C = ln tg arccotg C sin t +. Poznámka Pokud zadáme integrál nějakému matematickému programu (např. Derive, Maple, - 6 -

37 Mathematica), získáme výsledek.4. Integrace substitucí + +. Na první pohled se zdá, že se jedná o úplně ln( ) jinou funkci. Derivováním se však snadno přesvědčíme, že výsledek je správný. Znamená to, že programy použily jinou metodu výpočtu, než jsme uvedli my. V literatuře [9] lze nalézt postup, jak převést jeden výsledek na druhý. Druhé řešení můžeme dostat následujícím postupem: Provedeme substituci + = t. t Po umocnění uvedené rovnice snadno vypočteme = a tedy t Dosazením do integrálu dostaneme: d ( t + ) = dt = dt = ln t + C = ln + C t 4t t t t t + d = dt. 4t Jelikož je výsledek. + + > 0, dostaneme + + = + +, což je hledaný ln ln( ) Poznámka Použitá substituce patří mezi Eulerovy substituce použitelné při výpočtu složitějších integrálů z racionální funkce, která navíc obsahuje výraz typu naleznete v literatuře [6], [9], [4], [7]. a + b + c. Podrobnější informace Příklad.4.0. Vypočtěte integrál d +. Řešení: Funkce + je definována pro < 0, ). Ve funkci se vyskytují mocniny,. Zavedeme substituci k = t tak, abychom odstranili všechny odmocniny ve výrazu. V našem případě bude k nejmenší společný násobek čísel a. Pro 6 = t bude = t a = t. Analogicky jako v příkladu.4.8 budeme volit t = 6 pro t < 0, )

38 .4. Integrace substitucí substituce: 8 6 t 5 t 8 d = = t = 6t dt = 6 dt = 6 ( t :( t + ) ) dt = t + t d = 6t dt t t t = 6 t t + t + dt = 6 + t+ arctgt + C = + t = arctg 6 + C. 7 5 Kontrolní otázky. Uveďte princip substituční metody.. Kdy a za jakých podmínek použijeme substituci typu ϕ ( ) = u?. Kdy a za jakých podmínek použijeme substituci typu = ϕ() t? sin 4. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? cos 5. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu cos sin d? 6. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 7. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? d?. a) Úlohy k samostatnému řešení d) + d b) d e) 4 d c) ( + 4) 6 d d f) 7 d. a) ln d b) cos sin d c) d) cos sin e sin d e) d + cos f) tg d cos ln d ln - 8 -

39 .4. Integrace substitucí. a) d) tg d b) arctg d e) + e d c) e arctg e d + e f) sin d sin + sin cos d 4 sin + cos 4. a) d) 4+ 9 d b) d e) ln ln d c) arccos d f) ( tg ) ln d sin cos arctg d a) d) d 6 b) d e) d c) + cos d f) ( ) d d d 9 + Výsledky úloh k samostatnému řešení 4 C. a) ( ) + + ; b) ( ) C 9 8 C + C ; ; c) ( ) ; d) ( ) e) c) ln 5 + C ; f) ( ) 7 + C.. a) ln 5 + C ; b) tg cos + C ; d) e +C ; e) + cos + C ; f). a) ln cos + C ; b) ( ) ln + arctg + C ; e) d) ( ) 4. a) arctg ln e) arccos cos 4 + C ; 4 ln ln + C. e + C; c) ln ( sin + ) + C ; arctg + C ; b) ( ln ) C + C; f) b) 4 4ln( ) e + ; c) ( ) arctg 4 + C; f) ( ) cos + sin 4 + C. ln tg + +C; c) + C ; d) ln arcsin + C ; C. 5. a) 6 + ln( + ) + C; + arctg + C ; - 9 -

40 .4. Integrace substitucí d) 9 9 arcsin + + C ; e) ( sin cos sin ) + + C; f) ln tg arccotg + C. Kontrolní test. Jakou substituci použijete při výpočtu integrálu d? ln a) = t, b) ln t =, c) ln = t, d) ln = t.. Jakou substituci použijete při výpočtu integrálu a) cos = t, b) sin = t, c) cos = t, d) sin = t.. Jakou substituci použijete při výpočtu integrálu a) = t, b) t =, c) t 4 =, d) 4 = t. 4. Jakou substituci použijete při výpočtu integrálu a) e = t, b) e = t, sin cos d? d + 4? e e +? c) e = t, d) e + = t. 5. Vypočtěte neurčitý integrál ( + ) e d C ) a) e, b) ( + e e + C, c) e C, d) e 4 5 C

41 .4. Integrace substitucí 6. Vypočtěte neurčitý integrál d. 9 a) arcsi n + C, b) ln.arcsin + C, c) arcsin + C, d) 9. ln 7. Vypočtěte neurčitý integrál d cos tg. a) tg + C, b) tg + tg + C, c) ln tg + C, d) tg + C. 8. Čemu se rovná neurčitý integrál d? + a) ( ) C + +, b) ( ) C, c) ( ) ln C + + +, d) 9. Čemu se rovná neurčitý integrál a) sin sin + C, b) ( ) C. cos d? sin + sin + C, c) sin + C, d) sin + + C. 0. Čemu se rovná neurčitý integrál e a) l n( e + 4) +C, b) arctg e d? e + 4 e e c) e arctg + C, d) arctg + C, + C. Výsledky testu. b);. a);. d); 4. b); 5. d); 6. c); 7. a); 8. b); 9. a); 0. d)

42 .4. Integrace substitucí Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu.4 znovu a propočítat další úlohy k samostatnému řešení. Shrnutí lekce Při výpočtu integrálů je často používána substituční metoda. Substituční metodou lze řešit dva typy úloh. V prvním typu integrálů se snažíme integrand upravit na dva činitele, z nichž jeden je složenou funkcí proměnné s vnitřní funkcí ϕ ( ) a druhý je derivací této funkce ϕ ( ). Tedy se snažíme integrál upravit na tvar f( ϕ( )) ϕ ( ) d. Jestliže nyní položíme ϕ ( ) = u, je ϕ ( ) d = du a daný integrál převedeme na integrál f ( u) du. Méně často používáme druhý typ substituce. Integrál f ( ) d lze někdy substitucí = ϕ() t, a tedy d = ϕ () t dt, převést na jednodušší integrál f ( ϕ( t)) ϕ ( t) dt. Uvedené metody budou úspěšné, pokud umíme vypočítat nové integrály. Tento postup lze realizovat, pokud jsou splněny podmínky uvedené ve větách v této kapitole. Při výpočtu integrálů substituční metodou obvykle počítáme formálně podle uvedených vztahů, dokud nenalezneme primitivní funkci. Obvykle teprve potom zkontrolujeme, zda jsou splněny předpoklady použité věty. O správnosti výsledku se můžeme snadno přesvědčit derivováním nalezené primitivní funkce. Úspěch při integrování substituční metodou závisí na obratnosti a zkušenosti, abychom dopředu viděli, na jaký integrál určitou substitucí upravíme původní integrál, případně jak integrál upravit, abychom v integrované funkci viděli tvar f( ϕ( t)) ϕ ( t). V některých případech můžeme integrál řešit pomocí různých substitucí

43 .5. Integrace racionálních funkcí.5. Integrace racionálních funkcí Průvodce studiem V předcházejících kapitolách jsme se naučili počítat neurčité integrály úpravou na základní integrály, metodou per partes a substituční metodou. V této kapitole se budeme podrobněji zabývat integrováním racionálních funkcí. Uvedeme podrobný postup rozkladu racionálních funkcí na součet parciálních zlomků a integraci těchto parciálních zlomků. Podle uvedeného postupu můžeme integrovat libovolnou racionální funkci. Racionální funkce můžeme dostat i po některých substitucích. Nejprve zopakujeme polynomické a racionální funkce, uvedeme některé základní vlastnosti těchto funkcí. Cíle Seznámíte se s postupem integrace racionálních funkcí a se základními integrály, které dostaneme po rozložení racionální funkce na součet parciálních zlomků. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce k dané funkci, znáte základní integrály uvedené v tabulce..., umíte vypočítat jednoduché integrály úpravou integrované funkce (integrandu) a substituční metodou. V této kapitole se vyskytne jen několik málo typů integrálů. Výklad Polynomy a jejich vlastnosti funkce. S polynomy jste se seznámili již v Matematice. Připomeňme definici polynomické Definice.5.. Polynomem Pm ( ) stupně m nazýváme funkci m Pm( ) = am a + a+ a0 a m 0 Reálná čísla funkcí a0, a,..., a m,. jsou koeficienty polynomu. Polynom je funkce, která vznikne konečným počtem operací součet, rozdíl a součin y = konst a y =

44 .5. Integrace racionálních funkcí Stručně můžeme polynom zapsat P ( ) = a, a 0. m m j= 0 Číslo m nazýváme stupněm polynomu P ( ). m Pro polynom. stupně (tj. polynom tvaru y = a+ b, a 0) se používá také termín j j n lineární polynom a pro polynom. stupně (tj. polynom tvaru y = a + b+ c, a 0) se používá také termín kvadratický polynom. Integrace polynomické funkce je velmi snadná, neboť vystačíme se základními pravidly pro integraci (věta..) a s integrací mocninné funkce (vzorec [] v tabulce..). Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočtěte integrál 5 ( ) d. Řešení: 5 5 ( ) d = d d + d + 6 d d = = C = C Výklad Polynomy hrají v matematické analýze velmi důležitou roli. Polynomy jsou spojité funkce definované pro všechna reálná. Jestliže dva polynomy spolu sečteme, odečteme nebo vynásobíme, dostaneme opět polynom. Polynomy můžeme také mezi sebou dělit. V tomto případě však obecně výsledkem nebude polynom, ale funkce, kterou nazýváme racionální (racionální lomená): P ( ) ( ) m R = Qn ( ). Je-li Qn ( ) polynom n-tého stupně, nazývá se rovnice Qn ( ) = 0 algebraická rovnice n-tého stupně. Definice.5.. Číslo α, pro které platí Qn ( α ) = 0, se nazývá kořen polynomu Q a výraz α se nazývá kořenový činitel polynomu Q

45 .5. Integrace racionálních funkcí Dovedete nalézt kořeny rovnice Qn ( ) = 0 pro polynomy. a. stupně. Pro polynomy vyšších stupňů se jedná o složitější úlohu, kterou dovedeme vyřešit v některých speciálních případech. Velmi často je pro nalezení kořenů nutno použít numerických metod, o nichž se dozvíte více ve speciálním předmětu Numerické metody. V algebře se dokazuje, že každý polynom kompleních čísel n kořenů. Qn ( ), který není konstanta, má v oboru Věta.5.. n Každý polynom Q ( ) = a a + a + a 0 stupně n lze rozložit na součin kořenových činitelů n Qn an α α αn ( ) = ( )( )... ( ), n kde α, α,..., α n jsou konstanty (obecně komplení). Poznámka. Čísla α, α,..., α n nemusí být navzájem různá. Tedy rovnice může mít vícenásobné kořeny. Pokud kořen α je r-násobný, můžeme místo r součinů ( α )( α )... ( α ) j j j j psát ( α ) r j.. Kořeny α, α,..., α n mohou být reálné nebo komplení. Věta.5.. Pokud má polynom r-násobný komplení kořen α = c+ di (c,d jsou reálná čísla), pak také kompleně sdružené číslo α = c di je r-násobným kořenem tohoto polynomu. Řešené úlohy Příklad.5.. Rozložte na součin kořenových činitelů Q5 ( ) = Řešení: 5 Řešíme rovnici + 4 7= 0. Rovnici upravíme vytknutím. Dostaneme 4 ( + 8 9) = 0. Jedno řešení je = 0. Další kořeny získáme řešením rovnice =0. Po zavedení pomocné proměnné t = dostaneme kvadratickou rovnici t + 8t 9= 0, která má kořeny t = a t = 9, čili = a =

46 .5. Integrace racionálních funkcí Odtud =, =, 4 = i, 5 = i. Jelikož je koeficient u nejvyšší mocniny roven, můžeme polynom zapsat ve tvaru: 5 5 Q ( ) = = ( )( + )( i )( + i ). Výklad Je nepříjemné, že se ve výsledném rozkladu v příkladu.5. objevují imaginární čísla + i a i. Pokud vynásobíme odpovídající kořenové činitele, dostaneme kvadratický polynom ( i)( + i) = +9. Rozklad polynomu z příkladu.5. bude mít tvar Q 5 5 ( ) = = ( )( + )( + 9). Tento postup můžeme zobecnit. Má-li polynom kořen α = c+ di má podle věty.5. také kompleně sdružený kořen α = c di. Pokud vynásobíme odpovídající kořenové činitele, dostaneme kvadratický polynom, který nemá imaginární koeficienty: ( α)( α) = ( ( c+ di))( ( c di)) = c+ c + d = + p+ q, kde p = c a q = c + d. Uvědomme si, že diskriminant D= p 4q je záporný, neboť D= p 4q= 4c 4c 4d = 4d <0. Je-li kompleně sdružený kořen c± d i s násobný, dostaneme s s s ( α) ( α) = ( + p+q ). Pokud tuto úvahu zobecníme, dostaneme důležitou větu o rozkladu polynomu na základní součin v reálném oboru: Věta.5.. n Každý polynom Q ( ) = a a + a + a 0 stupně n lze jednoznačně zapsat ve tvaru: n n r r ( ) ( )... ( ) u s s Qn = an α αu ( + p+ q)... ( + pv+ qv) se vzájemně různými reálnými kořeny α i, i =,,... u a vzájemně různými v kvadratickými polynomy + p + q, j =,,... v, které nemají reálné kořeny. j j Poznámka. Stručně lze říci, že každý polynom s reálnými koeficienty stupně n lze rozložit na součin polynomů prvního a druhého stupně, přičemž polynomy druhého stupně se dále nedají rozložit na součin polynomů prvního stupně

47 .5. Integrace racionálních funkcí. Je zřejmé, že platí n= r + r r + ( s + s s ). u Věta.5. nám sice zaručuje možnost rozkladu polynomu na základní součin, avšak praktické provedení nemusí být jednoduché. V mnoha případech potřebujeme provést rozklad polynomu Q, který je již částečně rozložen. Řešené úlohy Příklad.5.. Rozložte na základní součin polynom Q ( ) = ( )( + )( ). v Řešení: Je zřejmé, že polynom Q() je 4. stupně. Polynom Q() není rozložen na základní součin, neboť se v něm vyskytují polynomy vyššího než. stupně. Proto jednotlivé činitele dále rozložíme: 5 ( ) = ( ) = ( )( + +), 5 ( + ) = ( + ) = ( + )( + ), 4 4 ( ) = ( ) = ( )( + )( + ). Takže Q( ) = ( )( + + ) ( + )( + )( )( )( + )( + ) = 4 = ( ) ( + ) ( + + )( + )( + ). Uvědomte si, že 4 = ( 0) 4, tedy se jedná o polynom. stupně, který přísluší čtyřnásobnému kořenu = 0. Koeficient a =. n Výklad Rozklad racionální funkce na součet parciálních zlomků Definice.5.. Racionální funkcí R() nazveme funkci, která je podílem dvou polynomů P ( ) a Q ( ) : P ( ) ( ) m R = Qn ( ), Qn ( ) 0. m n Poznámky Definičním oborem racionální funkce R() je množina všech reálných čísel, které nejsou reálnými kořeny rovnice Qn ( ) =

48 .5. Integrace racionálních funkcí Definice.5.4. Racionální funkce menší než stupeň n polynomu neryze lomená racionální funkce. P ( ) ( ) m R = Qn ( ) se nazývá ryze lomená, je-li stupeň m polynomu Pm ( ) Qn ( ), tj. m< n. Je-li m n, pak se funkce R() nazývá Jestliže je funkce R() neryze lomená racionální funkce, pak můžeme polynom v čitateli dělit polynomem Qn ( ) ve jmenovateli. Podílem bude polynom Pm ( ) a zbytek dělení bude polynom Pm ( ), jehož stupeň je nižší než n, tj. větou. Věta.5.4. m m Pm ( ) < n. To můžeme vyjádřit Každou neryze lomenou racionální funkci můžeme vyjádřit jako součet polynomu a ryze P ( ) ( ) lomené racionální funkce, tj. ( ) m Pm R = = Pm ( ) +, kde m Q ( ) < n. Q ( ) n n Řešené úlohy Příklad.5.4. Vyjádřete racionální funkci R ( ) = jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce. Řešení: Polynom P ( ) = + + v čitateli racionální funkce je. stupně a polynom Q ( ) = + ve jmenovateli má stupeň. Polynomy můžeme vydělit. ( + + ) : ( + ) = + ( + ) ( + ) 4... zbytek Danou racionální funkci proto můžeme zapsat ve tvaru =

49 .5. Integrace racionálních funkcí Průvodce studiem Hlavním výsledkem předcházející části je věta.5.4. Je-li dána neryze lomená racionální funkce, provedeme dělení polynomu Pm ( ) v čitateli polynomem Qn ( ) ve jmenovateli racionální funkce. Dostaneme polynom a ryze lomenou racionální funkci. Stačí tedy, když se P ( ) v dalším omezíme na takové racionální funkce m, v nichž má čitatel nižší stupeň než Qn ( ) jmenovatel (ryze lomené racionální funkce). V další části si ukážeme, jak lze ryze lomené racionální funkce rozložit na součet několika jednodušších zlomků, které bychom již uměli integrovat. Výklad Ve větě.5. jsme ukázali, že každý polynom s reálnými koeficienty stupně n lze rozložit na součin polynomů prvního a druhého stupně, přičemž polynomy druhého stupně se již nedají rozložit na součin polynomů prvního stupně s reálnými kořeny (mají kompleně sdružené kořeny). Budeme se snažit racionální funkci rozložit na součet jednoduchých racionálních funkcí, které mají ve jmenovateli mocniny kořenových činitelů ( α ) a kvadratických polynomů ( + p + q). Definice.5.5. Částečnými (parciálními) zlomky nazýváme racionální funkce tvaru A ( α) k nebo M + N ( + + ) k p q, kde A, M, N, p, q jsou reálná čísla,, k jsou přirozená čísla a polynom reálné kořeny ( D= p 4q< 0). k + p + q nemá Poznámky. Parciální zlomky prvního typu odpovídají reálným kořenům jmenovatele a parciální zlomky druhého typu odpovídají dvojicím kompleně sdružených kořenů.. Ryze lomenou racionální funkci R() lze vyjádřit ve tvaru R( ) = R ( ) + R ( ) R ( ), kde R ( ), R ( ),... R ( ) jsou parciální zlomky. Pro s integraci ryze lomené racionální funkce stačí umět integrovat tyto parciální zlomky. s

50 .5. Integrace racionálních funkcí Pro snazší pochopení a jednoduchost uvedeme tvar rozkladu racionální funkce na součet parciálních zlomků podle toho, jaké kořeny má polynom Qn ( ) funkce. Postupně se budeme zabývat čtyřmi základními případy. A. Rozklad pro reálné různé kořeny polynomu Q ( ) n ve jmenovateli racionální Jestliže polynom Qn ( ) má k ( k n) reálných různých kořenů α, α,..., α k (jednoduché kořeny), pak lze ryze lomenou racionální funkci P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit na P součet parciálních zlomků: m( ) A A A = k + Rk + ( )..., Q ( ) α α α kde A, A,..., Ak Nalezneme konstanty n jsou reálné konstanty. k tak, abychom po sečtení všech parciálních zlomků dostali danou racionální funkci R(). Jednotlivé parciální zlomky pak můžeme snadno integrovat. Poznámka Polynom Qn ( ) kořeny kompleně sdružené. A, A,..., Ak může mít vedle k reálných různých kořenů ještě reálné násobné kořeny nebo Řešené úlohy Příklad.5.5. Vypočtěte integrál 8+ d 4 +. Řešení: Výpočet můžeme rozdělit do pěti kroků:. Polynom v čitateli je stupně m = a polynom ve jmenovateli racionální funkce má stupeň n =. Jelikož je m < n, je daná funkce ryze lomená racionální funkce (není nutno dělit polynomy).. Polynom ve jmenovateli Q ( ) 4 = + rozložíme na základní součin podle věty.5.. Dostaneme Q ( ) = ( 4 + ) = ( )( ). To znamená, že polynom ve jmenovateli má reálné jednoduché kořeny = 0, =, =.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků:

51 .5. Integrace racionálních funkcí 8+ A A A = Nalezneme konstanty rozkladu A, A, A. Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = 4 +. Dostaneme rovnost dvou polynomů: 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) Tuto rovnici lze řešit několika způsoby: a) Dosazovací metoda. Oba polynomy se musí rovnat pro libovolné hodnoty. Dosadíme-li obecně tři různé hodnoty, dostaneme tři rovnice pro tři neznámé koeficienty A, A, A.. Tuto soustavu snadno vyřešíme. Pokud má polynom Q() reálné kořeny, je výhodné dosadit právě tyto kořeny. Pro = 0 dostaneme: = A+ 0A + 0A. Tedy A =. Pro = dostaneme: 4= 0A A + 0A. Tedy A =. Pro = dostaneme: = 0A+ 0A + 6A. Tedy A =. b) Srovnávací metoda. Rovnice představuje rovnost dvou polynomů. Rovnost nastane, jestliže se budou rovnat koeficienty polynomu na levé straně a odpovídající koeficienty polynomu na pravé straně rovnice. 8+ = A( )( ) + A( ) + A( ) 8+ = A( 4+ ) + A( ) + A( ) 8+ = ( A+ A + A) + ( 4A A A) + A Koeficienty u Koeficienty u Koeficienty u : = A + A + A : : = A = A A A Řešením této soustavy rovnic dostaneme A =, A =, A =. Metody můžeme kombinovat. c) Kombinace metod a), b). Metodou a) získáme několik rovnic, zbývající rovnice doplníme metodou b). Tento postup budeme používat v některých dalších příkladech. 5. Integrujeme získané parciální zlomky: - 5 -

52 .5. Integrace racionálních funkcí 8+ A A A d = d d = + + = + = d d d ln ln ln C + = + + = ( ) = ln + C. ( ) V případě reálných jednoduchých kořenů polynom Q n( ) dostaneme pouze integrály parciálních zlomků typu A d = A ln α + C. α Poznámka Předcházející integrál jsme vypočetli podle vzorce [] nebo [6] z tabulky... Můžeme použít substituci α = t. B. Rozklad pro reálné násobné kořeny polynomu Q n( ) Jestliže polynom Q n( ) má r-násobný ( r funkci n P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit na součet parciálních zlomků: Pm ( ) B B B = r + R r ( )... Q ( ) r + +, α ( α) ( α) kde B, B,..., B r jsou reálné konstanty. n ) kořen α, pak lze ryze lomenou racionální Řešené úlohy Příklad.5.6. Vypočtěte integrál d 4 +. Řešení: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků:. Polynom v čitateli je stupně m = 4 a polynom ve jmenovateli racionální funkce má také stupeň n = 4. Jelikož není m< n, je daná funkce neryze lomená racionální funkce a musíme polynomy vydělit. 4 4 ( + + ):( + ) = - 5 -

53 .5. Integrace racionálních funkcí 4 ( + ) + Danou racionální funkci proto můžeme podle věty.5.4 zapsat ve tvaru = Konstanta je zvláštní případ polynomu nultého stupně a zbývající racionální funkce je již ryze lomená. Tuto racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků.. Polynom ve jmenovateli Q 4 4 ( ) = + rozložíme na základní součin podle věty.5.. Dostaneme ve jmenovateli má jednoduchý reálný kořen Q ( ) = ( + ) = ( ). To znamená, že polynom 4 = 0 a trojnásobný reálný kořen,,4 =.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků (případ A pro = a B pro,,4 = ): 0 + A B B B = ( ) ( ) ( ). 4. Nalezneme konstanty rozkladu AB,, B, B. Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q 4 ( ) = ( ). Dostaneme rovnost dvou polynomů: + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B Pro nalezení neznámých koeficientů použijeme nejprve dosazovací metodu (viz příklad.5.5). Do získané rovnice dosadíme reálné kořeny polynomu ve jmenovateli racionální funkce: Pro = 0 dostaneme: = A+ 0B+ 0B + 0B. Tedy A =. Pro = dostaneme: = 0A+ 0B+ 0B + B. Tedy B =. Jelikož již nemáme další kořeny, můžeme dosadit dvě jiná reálná čísla a dostaneme dvě rovnice pro dosud neznámé koeficienty BB a B B. Pro výpočet zbývajících koeficientů můžeme také použít srovnávací metodu (viz příklad.5.5): + = A ( ) + B ( ) + B ( ) + B + = A ( + ) + B( + ) + B( ) + B + = ( A+ B) + ( A B+ B) + ( A+ B B + B) A - 5 -

54 .5. Integrace racionálních funkcí Koeficienty u Koeficienty u : = A+ B : 0= A B+ B Řešením této soustavy rovnic dostaneme B =, B =. 5. Integrujeme získané parciální zlomky: d = ( + ) d = A B B B = = ( ) ( ) ( ) ( ) d ( ) = ln + ln = + ln + C ( ) ( ) V případě reálných násobných kořenů polynomu zlomků typu B d = B d = B ln α C + α a α Qn ( ) Bk k B d = B ( ) k k k α d = + C, pro k. k ( α) ( k)( α) d = dostaneme integrály parciálních Poznámka Předcházející integrál jsme vypočetli podle vzorce [6] z tabulky... Použili jsme substituci α = t : k Bk α = t + dt k t d = = B k k dt = B k k t dt = Bk + C ( ) d = dt t k + = α B B = + = ( kt ) ( k)( α) k C k k k + C, pro k

55 .5. Integrace racionálních funkcí C. Rozklad pro kompleně sdružené kořeny polynomu Q ( ) Z věty.5. o rozkladu polynomu na základní součin již víme, že pokud má polynom komplení kořen α = c+ di, má také kompleně sdružený kořen α = c di a z polynomu n Qn ( ) můžeme vytknout kvadratický polynom + p + q, kde diskriminant D= p 4q<0. V tomto případě můžeme polynom Q ( ) zapsat ve tvaru Q ( ) = ( + p+ q) Q ( ). n Jestliže polynom n Qn ( ) lomenou racionální funkci n m n má kompleně sdružené kořeny (jednoduché), pak lze ryze Pm( ) P ( ) M + N = = +..., Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q kde M, N jsou reálné konstanty. P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit na součet parciálních zlomků: n Řešené úlohy Příklad.5.7. Vypočtěte integrál d +. Řešení: Jako v předcházejících příkladech rozdělíme výpočet do pěti kroků:. Polynom v čitateli je stupně m = 5 a polynom ve jmenovateli racionální funkce má stupeň n =. Jelikož není m< n, je daná funkce neryze lomená racionální funkce a musíme polynomy vydělit. 5 ( ):( + ) = + 5 ( + ) + ( + ) Danou racionální funkci proto můžeme podle věty.5.4 zapsat ve tvaru =

56 Racionální funkci + rozložíme na součet parciálních zlomků..5. Integrace racionálních funkcí. Polynom ve jmenovateli Q ( ) = + rozložíme na základní součin podle věty.5.. Dostaneme Q ( ) = ( + )( + ). (Pro rozklad jsme použili vzorec a + b = ( a+ b)( a ab+ b )). To znamená, že polynom ve jmenovateli má reálný jednoduchý kořen = a kompleně sdružené kořeny, protože diskriminant kvadratické rovnice + = 0 je záporný: D = ( ) 4= < 0.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků (případ A pro = a C pro trojčlen + ): A M+ N = = + + ( + )( + ) Nalezneme konstanty rozkladu A, M, N. Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = +. Dostaneme rovnost dvou polynomů: = A ( + ) + ( M+ N)( + ). Pro nalezení neznámých koeficientů použijeme nejprve dosazovací metodu (viz příklad.5.5). Do získané rovnice dosadíme reálný kořen polynomu ve jmenovateli racionální funkce: Pro = dostaneme = A(+ + ) + 0. Tedy A =. Pro výpočet zbývajících koeficientů použijeme srovnávací metodu (viz příklad.5.5): Koeficienty u Koeficienty u : 0 = A+ M 0 : = A+ N Řešením této soustavy rovnic dostaneme M =, N =. 5. Integrujeme získané parciální zlomky (nezapomeňme na polynom získaný dělením v kroku ): d ( ) d = + + = + + d První integrál je snadný, známe jej z případu A:

57 .5. Integrace racionálních funkcí ln + + d = d = + + C. Druhý integrál se budeme snažit upravit tak, abychom v čitateli zlomku získali derivaci jmenovatele. + 4 d = d = d = d d Dostaneme dva integrály. První integrujeme pomocí vzorce [] z tabulky.. (fakticky použijeme substituci + = t): ln ln( ) 6 d = + + C = + + C Doplněním na čtverec upravíme druhý integrál tak, aby bylo možno použít vzorec [4] z tabulky..: d = d = d = d = = arctg = arctg + C. 4 4 Sečtením integrálů, které jsme postupně vypočítali, dostaneme výsledek: d = + + ln + ln( + ) + arctg + C + 6. Poznámka Při výpočtu integrálu z parciálního zlomku M + N d jsme integrand upravovali tak, + abychom dostali zlomek, který bude mít v čitateli derivaci jmenovatele a zlomek s konstantou v čitateli: M + N K( ) L d = d. Pro méně zdatné počtáře bude proto výhodnější ve. kroku rozložit tuto racionální funkci na dva zlomky s konstantami K a L

58 .5. Integrace racionálních funkcí Postup můžeme zobecnit a modifikovat rozklad pro případ kompleně sdružených kořenů: Jestliže polynom Qn ( ) lomenou racionální funkci má kompleně sdružené kořeny (jednoduché), pak lze ryze P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit na součet parciálních zlomků: Pm( ) P ( ) K( + p) L = = +... Q ( ) ( + p+ q) Q ( ) + p+ q + p+ q +, n m n kde K, L jsou reálné konstanty. Řešené úlohy Příklad.5.8. Vypočtěte integrál d +. Řešení: Kroky a jsou stejné jako v příkladu.5.7. V kroku budeme postupovat podle návodu uvedeného v předcházející poznámce.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků (případ A pro = a C pro trojčlen + ): A K( ) L = = ( + )( + ) Nalezneme konstanty rozkladu A,K,L. Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q ( ) = +. Dostaneme rovnost dvou polynomů: = A ( + ) + K( )( + ) + L ( + ). Jako v příkladu.5.7 dostaneme A =. Pro výpočet zbývajících koeficientů použijeme srovnávací metodu (viz příklad.5.5): Koeficienty u : 0= A+ K Koeficienty u 0 : = A K + L Řešením této soustavy rovnic dostaneme K =, 6 L =. 5. Výpočet integrálů je již uveden v kroku 5 příkladu

59 .5. Integrace racionálních funkcí Jestliže má polynom Qn ( ) integrály parciálních zlomků typu K( + p) d = K ln + p + q C + + p+ q a p + L d = L arctg + C + p+ q p p q q 4 4. kompleně sdružené kořeny (jednoduché), dostaneme Poznámka První integrál jsme vypočetli podle vzorce [] z tabulky... Prakticky používáme substituci + p + q = t. Druhý integrál p + L d = L d = L arctg C + p+ q p p q p p + + q q Tento vzorec si jistě nebudeme pamatovat. Podstatné je, že uvedený integrál upravíme na typ a + t p dt, kde t = + a výsledkem bude funkce arctg( ) podle vzorce [4] z tabulky... D. Rozklad pro násobné kompleně sdružené kořeny polynomu Q ( ) Tento případ uvádíme pro úplnost, abychom vyčerpali všechny možnosti. Základní princip rozkladu je jednoduchý a pečlivý čtenář jistě racionální funkci snadno rozloží na parciální zlomky. Výpočet je však pracnější, neboť budeme počítat minimálně 4 koeficienty a i při vlastní integraci racionálních funkcí budeme řešit obtížnější integrál. Z věty.5. o rozkladu polynomu na základní součin již víme, že pokud má polynom k- násobný komplení kořen α = c+ di, má také k-násobný kompleně sdružený kořen α = c di a z polynomu n ( ) k Q můžeme vytknout kvadratický polynom ( + p + q), kde diskriminant D= p 4q< 0. V tomto případě můžeme polynom Q ( ) zapsat ve tvaru k Qn( ) = ( + p+ q) Qn k( ). Rozklad na parciální zlomky je již zřejmý z případů B a C. n n

60 .5. Integrace racionálních funkcí Jestliže polynom racionální funkci Qn ( ) má k-násobné kompleně sdružené kořeny, pak lze ryze lomenou P ( ) ( ) m R = Qn ( ) rozložit na součet parciálních zlomků: P ( ) P ( ) M+ N M + N M + Nk Q ( ) ( + p + q) Q ( ) + p + q ( + p + q) ( + p + q) m = m = k k n n k kde M, N,..., Mk, N k jsou reálné konstanty. k, Poznámka Podobně, jak bylo uvedeno v poznámce u případu C, je výhodnější provést rozklad na parciální zlomky tak, abychom měli v čitateli násobek derivace jmenovatele a konstantu. M + N K ( + p) + L j j j j = j j ( + p+ q) ( + p+ q), j =,,..., k. Zjednoduší nám to další úpravy. Řešené úlohy Příklad.5.9. Vypočtěte integrál 4+ 5 d ( + ). Řešení: Výpočet opět rozdělíme do pěti kroků:. Polynom v čitateli je stupně m = a polynom ve jmenovateli racionální funkce má stupeň n = 4. Daná funkce je ryze lomená racionální funkce.. Polynom ve jmenovateli Q 4 ( ) = ( + ) má dvojnásobné kompleně sdružené kořeny =± i a je již rozložen na základní součin.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků: 4+ 5 K( ) L K( ) L = ( + ) + + ( + ) ( + ) 4. Nalezneme konstanty rozkladu K, L, K, L. Rovnici v kroku vynásobíme polynomem Q 4 ( ) = ( + ). Dostaneme rovnost dvou polynomů: 4+ 5= ( + ) K+ ( + ) L+ K +L. Pro výpočet neznámých koeficientů použijeme srovnávací metodu a dostaneme: K =, L =, K =, L =

61 5. Integrujeme získané parciální zlomky:.5. Integrace racionálních funkcí 4+ 5 ( ) d = + + ( + ) + ( + ) ( + ) d = = arctg ( + ) d. První integrál jsme vypočítali podle vzorce [4] z tabulky.., druhý snadno vypočteme substitucí + = t. Zbývající integrál vypočteme metodou per partes: ( + ) d u = v= + d = = + + u = v = + ( + ) ( + ) d = + = + 4 d = + d d + ( + ) + + ( + ) Dostáváme rovnici d d d, ( + ) = + 4 ze které vypočítáme hledaný integrál: d = arctg 4 + d = 4 + ( + ) Sečtením s již vypočtenými integrály dostaneme 4+ 5 d = arctg + + arctg C ( + ) + + = = arctg + + C. 8 4( + ) - 6 -

62 .5. Integrace racionálních funkcí Jestliže má polynom Qn ( ) parciálních zlomků uvedené ve variantě C a dále pro kompleně sdružené násobné kořeny, dostaneme integrály k K( + p) K d = C k k ( p q) ( k)( p q) + a integrál typu integrály L substituce p t = + L L d d d = = k = k ( p q) dt = d k + + p p ( ) ( t + a + + q ) p 4 a = q 4. Poznámka První integrál jsme snadno vypočetli substitucí + p + q = t. Druhý integrál můžeme po substituci vypočítat metodou per partes stejně jako jsme to udělali v příkladu.5.9. Pohodlnější je použít rekurentní formuli k dt = + ( k ) ( k t + a (k ) a t + a (k ) a ) ( t + a ) k metodou per partes (odvození najdete např. v [6], [9], [4], [7] ). dt, kterou lze odvodit Kontrolní otázky. Jaký tvar má polynomická funkce?. Popište rozklad polynomu na kořenové činitele.. Co rozumíme rozkladem polynomu na základní součin? 4. Jaký tvar má racionální funkce? Jaký má definiční obor? 5. Kdy je racionální funkce ryze lomená? 6. Vyjádřete racionální funkci racionální funkce. 7. Co jsou to parciální zlomky? 6 + R ( ) = + jako součet polynomu a ryze lomené 8. Uveďte rozklad na parciální zlomky pro reálné různé kořeny jmenovatele racionální funkce

63 .5. Integrace racionálních funkcí 9. Uveďte rozklad na parciální zlomky pro reálné násobné kořeny jmenovatele racionální funkce. 0. Uveďte rozklad na parciální zlomky pro kompleně sdružené kořeny jmenovatele racionální funkce.. Jak můžeme nalézt koeficienty rozkladu na parciální zlomky?. Uveďte kroky, kterými postupujeme při integraci racionální funkce. A. Jaké integrály dostaneme při integraci parciálního zlomku ( ) k? α M + N 4. Jaké integrály dostaneme při integraci parciálního zlomku ( + p+ q) k? 5. Je možné, abychom jako výsledek integrace racionální funkce dostali racionální funkci? Úlohy k samostatnému řešení. a) d). a) d) f). a) d) f) d b) + 5 d 4 c) 4 0 d 5+ 6 e) d b) ( ) ( )( 0+ 5) + d f) d c) ( + )( + ) d e) d d b) d + + e) d d c) d + d d d ( + ) d 4 + d

64 .5. Integrace racionálních funkcí 4. a) d) f) + d b) d e) 7 ( + )( + + 5) d c) 4 8 d d d + 8 Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) 5 ln 5 ln +C ; b) 7 ln 4 ln + + C; 5 5 c) e). a) c) 7 ln ln + + C; d) ln + ln + ln + C; 0ln ln + + +C ; f) ln ln ln 6 + C. ln ln + + C ; b) ( ) ln + ln + + C; + ln ln + C ; d) ln + + ln C ; e) 5ln ln + C + ; f). a) c) e) ln ln + + C. ( ) arctg + C ; b) ln arctg ( + ) + C ; 7 + ln 6+ + arctg + C; d) ln arctg + C; 4. a) c) 5 ln + + arctg + C; f) + + ln arctg + C. 7 7 ln ln + 4 arctg + C ; b) ln + ln + 9 arctg + C; ln + ln + 4 arctg + C; 4 d) 4 + ln ln + + arctg + C;

65 e) + + ln + ln + + arctg +C ; + f) + ln ln arctg + C Integrace racionálních funkcí Kontrolní test. Rozložte na základní součin polynom ( + )( )( 5 ). a) ( )( + )( ) ( + )( + + ), b) ( + ) ( ) ( + + )( + ), c) ( + ) ( ) ( + )( + + ), d) ( + ) ( ) ( + + ).. Určete kořeny polynomu a) -,, -, b),, -, c), -,, d) -,,.. Určete kořeny polynomu a) 9,, -, b) -9,, -, c)-7,, -9, d) -,,. 4. Kolik konstant je třeba určit při rozkladu funkce zlomky? a), b) 4, c), d) Vypočtěte neurčitý integrál 4 d. + a) ln ln + ln + +C, b) c) ln + ln ln + + C, d) 6. Vypočtěte neurčitý integrál d. ( + )( ) + R ( ) = ln ln + + ln + C, ln ln + ln + + C. na parciální a) ( ) 4 ln C, 5 ( ) b) ( ) 4 ln + + C, 5 ( + ) c) 5 ( ) 4 ln C, ( + ) d) ( ) 4 ln C. 5 ( + )

66 7. Rozložte funkci R ( ) = na parciální zlomky. 4 ( ).5. Integrace racionálních funkcí a) + ( ) ( ) 4, b) + ( ) ( ) 4, c) + + ( ) ( ) ( ) 4 d), + ( ) ( ) ( ) Vypočtěte neurčitý integrál 4 ( )( ) d. a) c) l n + + C, b) ( ) 4 l n + + C, d) ( ) 4 5 ln + + C, ( ) 4 5 ln + C. ( ) 9. Vypočtěte neurčitý integrál d 4. a) + ln arctg + C, b) ln + arctg + C, c) + ln + arctg + C, d) ln arctg + C Vypočtěte neurčitý integrál + 5 d. + 5 a) ln + arctg + C, b) ln + ln( + 5) + arctg + C, c) ln ln( + 5) arctg( ) + C, d) ln + ln( + 5) + arctg + C. Výsledky testu. c);. a);. d); 4. b); 5. d); 6. c); 7. a); 8. b); 9. a); 0. d)

67 .5. Integrace racionálních funkcí Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu.5 znovu. Shrnutí lekce V této kapitole jsme se podrobněji zabývali integrováním racionálních funkcí. Racionální funkce můžeme dostat i po některých substitucích, jak uvidíme v další kapitole. Integrace racionální funkce sestává z pěti kroků:. Pokud racionální funkce není ryze lomená, nejprve vydělíme polynom v čitateli polynomem ve jmenovateli racionální funkce a dostaneme polynom a ryze lomenou racionální funkci.. Nalezneme kořeny polynomu ve jmenovateli racionální funkce a tento polynom rozložíme na základní součin.. Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků. 4. Nalezneme koeficienty tohoto rozkladu. 5. Integrujeme získané parciální zlomky. Rozklad na parciální zlomky závisí na tom, zda polynom ve jmenovateli má jednoduché reálné kořeny, násobné reálné kořeny, komplení kořeny nebo násobné komplení kořeny. Pokud jsou kořeny reálné nebo jednoduché komplení, je vlastní integrace snadná. Princip rozkladu na parciální zlomky je jednoduchý, ale vlastní realizace může být časově náročná v závislosti na tom, kolik koeficientů musíme počítat. Pokud se nejedná o jednoduché školské úlohy, bude nejobtížnější druhý krok, neboť dovedeme dobře řešit kvadratické rovnice, pro polynomy. a 4. stupně eistují poměrně složité vzorce, ale řešení rovnic vyšších stupňů je obecně problém. Při integraci parciálních zlomků můžeme dostat pouze tyto funkce:. Polynomy.. Násobky ryze lomených racionálních funkcí typu ( α) j a ( + p + q) j.. Násobky logaritmů ln α a ln + p + q. 4. Funkce arcustangens

68 .5. Integrace racionálních funkcí Některé další integrály (např. integrály z iracionálních funkcí, goniometrických funkcí) můžeme vhodnou substitucí převést na integrály z racionálních funkcí. V další kapitole se proto budeme podrobněji zabývat integrováním goniometrických funkcí

69 .6. Integrace goniometrických funkcí.6. Integrace goniometrických funkcí Průvodce studiem V této kapitole se budeme podrobněji zabývat integrací funkcí, které jsou složené z goniometrických funkcí. Takové integrály se často vyskytují v praktických aplikacích. Budeme se s nimi setkávat hlavně při výpočtu vícenásobných integrálů v Matematice III. Při výpočtu integrálů tohoto typu je obvykle používána substituční metoda. Některé integrály se také dají vypočítat metodou per partes. Vhodnou substitucí lze dané integrály často převést na integrály z racionálních funkcí, které jsme se naučili integrovat v předcházející kapitole. Pro jednotlivé typy integrálů přehledně uvedeme vhodnou metodu výpočtu. Cíle Seznámíte se s postupy, které jsou vhodné při integraci funkcí složených z goniometrických funkcí. Uvedeme základní typy těchto integrálů a nejvhodnější metody integrace těchto funkcí. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte základní integrály uvedené v tabulce.. a umíte vypočítat integrály substituční metodou, metodou per partes a umíte integrovat racionální funkce. Předpokládáme, že znáte základní vlastnosti goniometrických funkcí a důležité vztahy, které pro ně platí. m Integrály typu sin cos Výklad n d Nejprve se budeme zabývat integrály typu sin m cos n d, kde m, n jsou celá čísla. Jeden takový integrál jsme již počítali, viz příklad.4.. Integrály tohoto typu budeme velmi často dostávat při výpočtu dvojných a trojných integrálů v předmětu Matematika III. Postup výpočtu závisí na tom, zda jsou čísla m, n sudá nebo lichá. Nejprve uvedeme přehledně postup pro jednotlivé možnosti a pak pro každou možnost vypočítáme příklad, na kterém postup objasníme

70 .6. Integrace goniometrických funkcí Výpočet integrálů typu sin cos d, kde m, n Z : m a) m je liché substituce cos = t, b) n je liché substituce sin = t, c) m i n sudé, alespoň jedno záporné substituce tg = t, n d) m i n sudé nezáporné použijeme vzorce pro dvojnásobný úhel cos sin =, + cos cos =. Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočtěte integrál 5 sin cos d. Řešení: V tomto případě je m = 5, n =, takže budeme volit substituci cos = t. Pro diferenciál dostáváme sin d = dt. Z integrované funkce si tedy vypůjčíme jeden sinus pro diferenciál a zbývající siny snadno převedeme na funkci kosinus pomocí známého vztahu sin cos + =. Dostaneme: ( ) 5 4 sin cos d= sin cos sin d= sin cos sin d= substituce: ( cos ) cos sin cos ( ) = = d= = t = t t dt sin d = dt t t t 7 5 ( t t t ) dt C cos cos cos C. = + = + + = Poznámky. Jsou-li lichá m i n, můžeme si vybrat, jakou substituci použijeme, zda a) nebo b). Takovou úlohu jsme již řešili v příkladu.4... Obecně si stačí pamatovat, že v případě liché mocniny použijeme jednu funkci sinus (resp. kosinus) pro diferenciál a zbývající mocninu (bude sudá) převedeme na druhou funkci (kosinus, resp. sinus) a tu také položíme rovnu nové proměnné

71 .6. Integrace goniometrických funkcí Příklad.5.. Vypočtěte integrál sin d. 8 cos Řešení: V tomto případě je m =, n = 8. Jelikož je n<0, budeme volit substituci tg = t pro ( π, π ). Pro hodnoty z uvedeného intervalu je = arctgt, a tedy diferenciál dt d =. Pro výpočet integrálu ještě potřebujeme vyjádřit funkce sin a + t pomocí funkce cos tg. Potřebné vztahy snadno odvodíme z pravoúhlého trojúhelníka, jehož jeden úhel má velikost. Jestliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mít protilehlá odvěsna velikost tg = t. Z Pythagorovy věty vypočteme velikost přepony + t. Z definic + t tg = t funkcí sinus a kosinus (poměr velikostí protilehlé, resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dostaneme: sin = t t + a cos =. + t t substituce t 4 sin t dt t tg t dt = = = 8 = = 8 ( t ) ( t ) d t dt = cos t t dt d = + t ( + t + t ) ( ) ( ) ( ) t t t = = t + t dt = t + t + t dt = t + t + t dt = C = tg + tg + tg +C. 5 7 Příklad.5.. Vypočtěte integrál Řešení: Máme 4 sin d. m = 4 a n = 0. Jelikož je m>0 a je sudé, snížíme mocninu použitím vzorce pro poloviční úhel

72 ( ) 4 cos.6. Integrace goniometrických funkcí = sin d = sin d = d = ( cos + cos ) d 4 + cos 4 sin sin 4 ( cos ) = 4 + d = C = sin4 = sin C Poznámka Integrál z funkcí cos a cos 4 jsme vypočetli podle vzorce [6] z tabulky... Prakticky používáme substituci = t, resp. 4= t. Integrály typu R(sin,cos ) d Výklad V další části se budeme zabývat integrály racionálních funkcí, které dostaneme z funkcí sin, cos a reálných čísel pomocí konečného počtu aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Často jsou tyto integrály značeny jako integrály typu R(sin,cos ) d, kde R( uv, ) představuje racionální funkci dvou proměnných v= cos. Jedná se například o integrály funkcí: sin R(sin,cos ) =, cos R(sin,cos ) =, sin + sin + cos R(sin,cos ) =. sin cos u = sin a Poznámka Pokud bychom mezi výchozí funkce přidali ještě funkce tg a cotg, nedostaneme nic sin nového, neboť tg = a cos vytvořenou ze sinů a kosinů. cos cotg =. Po úpravě dostaneme opět racionální funkci sin - 7 -

73 .6. Integrace goniometrických funkcí Univerzální substituce Ukážeme, že integrál typu R(sin,cos ) d můžeme substitucí tg = t, ( π, π ) převést na integrál racionální lomené funkce. K tomu musíme nejprve funkce sin a cos vyjádřit pomocí tg. Analogicky jako v příkladu.5.. snadno odvodíme potřebné vztahy pro poloviční úhel z pravoúhlého trojúhelníka. Jestliže přilehlou odvěsnu zvolíme rovnu, bude mít protilehlá odvěsna velikost tg = t. t + tg = t Z Pythagorovy věty vypočteme velikost přepony + t. Z definic funkcí sinus a kosinus (poměr velikostí protilehlé resp. přilehlé odvěsny ku přeponě) dostaneme: sin = t a + t cos =. + t S použitím vzorců pro dvojnásobný úhel ( sin α = sinαcosα, cos cos sin α = α α ) získáme t t sin = sin cos = = + t + t + t, t t cos = cos sin = = + t + t + t. Podstatné je, že po substituci dostáváme místo funkcí sinus a kosinus racionální funkce. Ze vztahu tg = t pro ( π, π ) dostáváme = arctg t, = arctgt, a tedy d = dt. Po dosazení dostáváme integrál racionální funkce + t - 7 -

74 .6. Integrace goniometrických funkcí t t R(sin,cos ) d= R, d t t t t. Shrnutí: Integrály typu R(sin, cos ) d můžeme řešit substitucí tg = t, ( π, π ). Pak vyjádříme t sin =, + t t cos =, + t d = dt. + t Řešené úlohy Příklad.5.4. Vypočtěte integrál sin d, (0, π ). Řešení: Uvedený integrál jsme již jednou řešili substitucí (příklad.4.6). Z výše odvozených vztahů snadno dostaneme: d = dt = dt = ln t + C = ln tg C sin t + t t + t +. Příklad.5.5. Vypočtěte integrál Řešení: Použijeme substituci tg cos sin + d. = t. Z výše odvozených vztahů snadno dostaneme: d = dt = dt = cos sin + t t + t t 4t+ + t + + t + t = dt = dt = dt = dt = t 4t+ 4 t t+ t t+ + + ( t ) = arctg( t ) + C = arctg(tg ) +C

75 Příklad.5.6. Vypočtěte integrál + sin + cos d. sin cos.6. Integrace goniometrických funkcí Řešení: Použijeme substituci tg = t. Z výše odvozených vztahů dostaneme: t t sin+ cos t t + t d = + + dt = dt sin cos t t + t t t + t + t + t = ( t+ ) ( t+ ) = dt = dt ( t t)( + t ) t( t )( + t ) Dostali jsme integrál z racionální funkce ryze lomené. Pro rozklad racionální funkce na parciální zlomky použijeme postup uvedený v kapitole.5. Polynom ve jmenovateli má reálné kořeny t = 0, t = a kompleně sdružené kořeny t,4 = ± i. Rozklad na součet parciálních zlomků bude mít tvar: ( t+ ) A B Ct D = tt ( )( t ) t t t t Nalezneme neznámé koeficienty A, B, C, D rozkladu z rovnice ( t+ ) = A( t )( + t ) + Bt( + t ) + C t ( t ) + Dt( t ). Dostaneme: A=, B =, C = 0, D =. Integrujeme parciální zlomky: ( t + ) dt = ( + + ) dt = ln t + ln t arctg t + C tt ( )( + t ) t t + t = tg = ln tg + ln tg arctg tg + C = ln +C. tg. Poznámka Substitucí tg = t pro ( π, π ) můžeme řešit každý integrál typu R(sin,cos ) d. Vzniklé racionální funkce však mohou být komplikované a integrace pracná. V některých speciálních případech může k cíli rychleji vést substituce sin tg = t. = t, cos = t, případně

76 .6. Integrace goniometrických funkcí Kontrolní otázky. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, je-li m liché?. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, je-li n liché?. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu typu sin cos d, mn, Z, jsou-li m i n sudé? 4. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 5. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu m m m sin cos d? cos d? sin 6. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu d? sin 7. Jaký postup zvolíte při výpočtu integrálu 8. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu 9. Jakou funkci představuje zápis R(sin,cos )? 0. Kdy je vhodná univerzální substituce tg 4 sin cos d? = t? cos d? 4 sin. Je vhodná univerzální substituce při výpočtu integrálu d? cos. Při výpočtu integrálu sin d je vhodnější jiná než univerzální substituce. Jaká? cos n n n Úlohy k samostatnému řešení. a) d) g) j) cos d b) sin cos d e) sin cos d h) cos d k) sin 5 sin d c) 4 sin d f) 5 cos 4 sin d i) sin d l) cos sin cos 4 cos d sin cos sin d cos d d

77 .6. Integrace goniometrických funkcí. a) d) cos d sin + 4sin b) cos d + sin e) sin d c) cos + sin d cos f) sin + cos d sin cos 5 d. a) d) sin d b) cos d sin + 5cos e) sin d c) 5 cos d sin cos f) d sin cos tg tg d tg + 4. a) d) d b) cos d e) 4sin 7cos 7 sin d c) sin d cos f) sin d d + cos Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) sin sin + C ; b) d) g) 4 6 sin sin C cos + cos cos +C; c) 5 5 cos + cos + C; 5 + ; e) sin + sin 4+ C; f) + sin + sin 4+ C ; cos + + C ; h) sin cos + C sin sin + ; i) cos + j) cos + ln + C ; k) cos sin + sin + ln + C ; l) sin ln cos + + C ; cos sin 4 +C. 8. a) sin ln 4 sin C ; b) ; c) arctg cos + C ; cos cos 6ln cos C d) f) sin arctg + C ; e) sin sin + sin + C.. a) tg C cos 5 cos + C; + ; b) tg C ; c) ln tg + C ; d) arctg tg + C 5 5 ; e) tg + C ; f) ln tg + + C. tg 4. a) + tg ln tg + C ; b) ln tg + C ; c) C + ; d) ln 4 tg 7 +C ; tg

78 .6. Integrace goniometrických funkcí e) ln tg + tg + C ; f) arctg tg + C. Kontrolní test. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu a) cos = t, b) sin = t, c) univerzální, d) tg = t. sin d cos?. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu a) cos = t, b) sin = t, c) univerzální, d) tg = t.. Jakou substituci zvolíte při výpočtu integrálu a) univerzální, b) sin = t, c) tg = t, d) cos = t. 4. Vypočtěte neurčitý integrál 5 cos d. 7 sin d? 4sin d + 9cos 5 5 a) sin + sin sin +C, b) sin sin + sin + C, 5 5 c) 5 cos cos + cos + C, d) 5 5. Vypočtěte neurčitý integrál a) c) sin d. 4 cos C, sin + + sin b) C, cos + + cos d) 6. Vypočtěte neurčitý integrál a) c)? 5 cos + cos cos + C. 5 cos cos + cos + cos + 4 sin cos d. ( sin 4+ sin ) +C, b) 8 6 ( sin 4 + sin ) + C, d) C, C. ( sin4 + sin ) + C, 6 ( sin4 sin )

79 .6. Integrace goniometrických funkcí 7. Vypočtěte neurčitý integrál d 4 sin cos (lze i bez substituce). a) cotg + tg + tg +C, b) cotg tg C, tg c) cotg + tg + C, d) 8. Vypočtěte neurčitý integrál cos d. sin tg + cotg + tg + C. a) sin sin ln sin + C, b) sin + sin ln sin + C, c) sin sin + ln sin +C, d) d 9. Vypočtěte neurčitý integrál. + sin + cos sin + sin + ln sin + C. a) ln+ tg, b) ln + tg + C, c) ln + tg + C, d) ln+ tg + C. 0. Bez použití univerzální substituce vypočtěte neurčitý integrál a) tg + C, b) cos tg + C, c) cos cotg + C, d) cos sin d. tg + + C. cos Výsledky testu. b);. a);. c); 4. b); 5. b); 6. c); 7. a); 8. d); 9. c); 0. d). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu.6 znovu a propočítat další úlohy k samostatnému řešení. Shrnutí lekce V praktických aplikacích se velmi často vyskytují integrály, které obsahují goniometrické funkce. Při výpočtu integrálů tohoto typu je obvykle užívána substituční metoda. V této kapitole jsou přehledně uvedeny substituce používané pro základní typy integrálů, se kterými

80 .6. Integrace goniometrických funkcí se často setkáváme. Často se vyskytují integrály, které je možno řešit několika způsoby. Je dobré zvolit takovou metodu, která povede nejrychleji k cíli. Obvykle postupujeme takto: - Nejprve uvažíme, zda nelze použít substituci sin = t nebo cos = t, - pak zkoušíme, zda není vhodná substituce tg = t, - nakonec se pokusíme problém vyřešit univerzální substitucí tg = t

81 .7. Neelementární integrály.7. Neelementární integrály Výklad Každá funkce f( ), která je spojitá na otevřeném intervalu I, má na tomto intervalu primitivní funkci. V předcházejících kapitolách jsme se zabývali metodami výpočtu primitivních funkcí. Každá primitivní funkce byla vyjádřena konečným výrazem obsahujícím známé elementární funkce (např., 5, a, e, ln, sin, arctg,...). Eistují však spojité funkce jedné proměnné, jejichž primitivní funkce nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí. Takovými funkcemi jsou např. funkce sin, cos, e, e, e, sin, cos, +. K těmto funkcím sice primitivní funkce eistují, ale nelze je vyjádřit elementárními funkcemi v konečném tvaru. V tomto případě integrál takové funkce představuje neelementární funkci, kterou nazýváme vyšší transcendentní funkce. Obecně nelze říci, kdy se nám nedaří nalézt primitivní funkci, protože jsme použili nevhodnou metodu a kdy z toho důvodu, že ji nelze vyjádřit v konečném tvaru (jde o vyšší transcendentní funkci). Tuto otázku dovedeme odpovědět jen u některých integrálů, u nichž víme, že se jedná o vyšší transcendentní funkce: e (integrální sinus), prvního druhu), d (Gaussova funkce), cos d (integrální kosinus), sin d, e ln t d = dt (integrální logaritmus), t cos d (Fresnelovy integrály). d, k < k sin sin d (eliptický integrál Integrály tohoto typu se vyskytují v řadě praktických aplikací např. v teorii chyb, pravděpodobnosti a statistice. Jistou výhodou při počítání integrálů je fakt, že v případě pochybností můžeme správnost výpočtu ověřit zkouškou, neboť z definice primitivní funkce plyne funkci. ( f d) ( ) = f( ). Pokud je náš výpočet správný, zderivováním výsledné funkce dostaneme integrovanou - 8 -

82 . URČITÝ INTEGRÁL. Určitý integrál Průvodce studiem V předcházející kapitole jsme se seznámili s pojmem neurčitý integrál, který dané funkci přiřazoval opět funkci (přesněji množinu funkcí). V této kapitole se budeme věnovat určitému integrálu, který dané funkci přiřazuje číslo. Určitý integrál má využití ve velkém množství aplikací. Pomocí určitého integrálu můžeme počítat obsahy ploch, délky křivek, objemy a pláště rotačních těles, statické momenty rovinných obrazců, křivek a rotačních těles, souřadnice těžiště. Velké množství aplikací naleznete ve fyzice (výpočet rychlosti, dráhy, práce,...). Další aplikace naleznete v ekonomice, financích, pravděpodobnosti a statistice a v mnoha dalších oborech. Eistuje několik přístupů, jak vybudovat pojem určitý integrál a tomu odpovídá několik druhů určitých integrálů (Newtonův, Riemannův, Lebesgueův). Podle způsobu zavedení se mění třída integrovatelných funkcí. Dnes bývá obvyklé používat definici, jak ji zavedl významný německý matematik B. Riemann (86 866). Potřeba vybudování tohoto pojmu vychází z potřeb řešení geometrických problémů a problémů klasické mechaniky. Množina funkcí, které jsou integrovatelné v Riemannově smyslu je dostatečně široká pro inženýrskou prai. Způsob zavedení je východiskem pro numerické výpočty určitých integrálů... Pojem Riemannova určitého integrálu Cíle Seznámíte se s pojmem Riemannova integrálu funkce jedné proměnné a geometrickým významem tohoto integrálu. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem primitivní funkce, neurčitý integrál a jejich výpočet. Výklad Historickou motivací pro vznik určitého integrálu byl výpočet obsahů ploch. Tento problém řešili již staří Egypťané v souvislosti s určováním velikostí pozemků, jejichž velikost se měnila v důsledku záplav Nilu. Problém řešili tak, že danou plochu rozdělili na trojúhelníky, spočítali jejich obsahy a ty pak sečetli. Tyto metody později rozvinuli staří Řekové. V 6. a 7. století byla velká pozornost věnována studiu křivek, byla rozvíjena - 8 -

83 .. Pojem Riemannova určitého integrálu klasická mechanika. Vzniká otázka, jakým způsobem je vhodné definovat obsah obecných útvarů, které se nedají rozložit na konečný počet trojúhelníků. Motivace Zabývejme se následující úlohou: Mějme funkci ohraničený shora grafem funkce f( ), která je spojitá a nezáporná na intervalu < ab, >. Geometrický útvar f( ), přímkami = a, = b a osou (obr...) nazveme křivočarý lichoběžník. Naším úkolem je vypočítat obsah tohoto útvaru. Obr.... Křivočarý lichoběžník Ze střední školy znáte vztahy pro výpočet obsahu trojúhelníka, obdélníka, kruhu a možná několika dalších jednoduchých obrazců. Pro obecnou funkci y = f( ) však zatím obsah obrazce na obr... vypočítat nedovedeme. Navrhněme, jak vypočítat obsah tohoto útvaru alespoň přibližně:. Rozdělíme obrazec rovnoběžkami s osou y na proužky (na ilustračním obrázku.. jsou čtyři). Je zřejmé, že obsah obrazce dostaneme jako součet obsahů jednotlivých proužků. V uvedeném případě P= P+ P + P+ P 4. Obr.... Rozdělení na proužky". Vypočteme obsah jednotlivých proužků. Jelikož shora jsou ohraničeny funkcí f( ), provedeme výpočet přibližně. Funkci v daném pásku nahradíme funkční hodnotou f ( ξ ) v nějakém bodě ξ, který jsme zvolili v základně tohoto proužku. Daný proužek tedy - 8 -

84 .. Pojem Riemannova určitého integrálu aproimujeme obdélníčkem. Tím se dopouštíme určité chyby, neboť někde obdélníček přesahuje funkci f( ) a někde je zase nižší. Obr.... Aproimace obrazce obdélníčky Obsah obrazce na obr... bude přibližně roven součtu obsahů jednotlivých obdélníčků: P= ( ) f( ξ ) + ( ) f( ξ ) + ( ) f( ξ ) + ( ) f ( ξ ) = = ( i i ) f( ξi) i=. Dá se předpokládat, že pro rozumné funkce bude chyba tím menší, čím větší bude počet proužků, na které byl obrazec rozdělen (obr...4). Obr...4. Zvětšení počtu obdélníčků Budeme-li počet proužků neomezeně zvětšovat a současně je zužovat, měla by se přibližná hodnota daná součtem obdélníčků stále více přibližovat obsahu P daného obrazce. Tedy obsah P dostaneme jako limitu pro nekonečný počet obdélníčků. K podobnému problému dospějeme při řešení jednoduché úlohy z klasické mechaniky. Chceme vypočítat práci, která se vykoná při přímočarém pohybu, má-li síla směr dráhy. Nechť na hmotný bod pohybující se po dráze < ab, > působí síla f( ). Je-li tato síla konstantní, je vykonaná práce rovna součinu síly a dráhy. Pokud se velikost síly mění (dána funkcí f( ) na intervalu < ab, > ) můžeme postupovat tak, že dráhu rozdělíme na dílčí

85 .. Pojem Riemannova určitého integrálu intervaly a v každém použijeme hodnotu síly f ( ξ i ) v nějakém bodě dílčího intervalu. Tedy stejně jako v předcházející úloze je celková vykonaná práce aproimována součtem práce na dílčích intervalech. Limitním přechodem, kdy zvyšujeme počet dělících bodů, přičemž se šířka dílčích intervalů blíží k nule, dostaneme celkovou práci. Analogický postup použijeme při zavedení určitého integrálu. Definice určitého integrálu Definice určitého integrálu je poměrně složitá. K pojmu určitý integrál dospějeme následujícím způsobem. Uvažujme funkci y = f( ), která je definována na uzavřeném intervalu < ab, > a je na tomto intervalu spojitá a ohraničená. Musejí tedy eistovat konstanty m a M takové, že pro všechna < ab, > platí m f ( ) M. Obr...5. Ohraničená funkce na uzavřeném intervalu < ab, > Výklad omezíme na funkce po částech spojité na intervalu < ab, >, tj. na funkce, které mají na tomto intervalu konečný počet bodů nespojitosti (body nespojitosti. druhu). S takto definovaným určitým integrálem vystačíme při běžných aplikacích integrálního počtu v přírodních a technických vědách. Poznámka. Předpoklad ohraničené funkce na uzavřeném intervalu je podstatný. Někdy lze pojem Riemannova integrálu rozšířit i na případy, kdy funkce není ohraničená nebo interval není uzavřený. Pak mluvíme o nevlastních integrálech (kap..5). Definice... Říkáme, že funkce f( ) je na intervalu < ab, > integrovatelná (schopná integrace), je-li na něm ohraničená a aspoň po částech spojitá

86 Postup při zavedení pojmu určitý integrál:.. Pojem Riemannova určitého integrálu. Interval < ab, > rozdělíme na n dílčích intervalů. Množinu dělících bodů {,,..., } D n = 0 n, kde a = 0 < <... n < n = b, nazveme dělením intervalu < ab, > na n intervalů < i, i >, i =,,..., n. Číslo ν ( Dn) = ma ( i i ) budeme nazývat normou dělení. Toto číslo nám i=,..., n říká, jaká je délka největšího intervalu v daném dělení. Samozřejmě intervalů s touto maimální délkou může být více, případně mohou být intervaly stejně dlouhé (ekvidistantní body). Norma dělení charakterizuje, jak je dělení jemné.. V každém dílčím intervalu dělení D n vybereme jeden bod ξ <, >, i=,,..., n. Množinu těchto bodů Rn = { ξ, ξ,..., ξn} i i i nazývat výběrem reprezentantů příslušných k dělení D n.. Pro dané dělení D n intervalu < ab, > a výběr reprezentantů R n vytvoříme součet n D n budeme σ( f, D, R ) = f( ξ )( ). Tato suma se nazývá integrálním součtem funkce f n n i i i i= nebo také Riemannův součet (Georg Friedrich Bernhard Riemann, ). Geometrický význam tohoto součtu je znázorněn na obr...6. Jedná se vlastně o součet obsahů obdélníků se základnami zřejmé, že pro ( i i ) a výškami f ( ξ ), kde i =,,..., n. Je f ( ξ i ) < 0 bude hodnota pro daný obdélník záporná. Označení σ ( f, D, R ) znamená, že integrální součet závisí na funkci f, na konkrétním dělení a n n na výběru reprezentantů R n. 4. Budeme vytvářet integrální součty pro stále jemnější dělení D intervalu < ab, > při libovolných výběrech reprezentantů i n D n R n. Pokud bude eistovat limita integrálních součtů σ ( f, D, R ) pro n a normu dělení ν ( ) 0 nezávisle na výběrech n n reprezentantů, nazveme ji určitý integrál funkce D n f( ) na intervalu < ab, >

87 .. Pojem Riemannova určitého integrálu Obr...6. Integrální součet funkce f Definice... Nechť je funkce f( ) integrovatelná na intervalu < ab, >, D je dělení intervalu < ab, > a R n výběr reprezentantů. Řekneme, že funkce f je Riemannovsky integrovatelná na intervalu < ab, >, jestliže eistuje číslo I R s vlastností lim σ ( f, Dn, Rn) = I n pro libovolnou posloupnost dělení n D, pro kterou platí lim ν ( D ) = 0 při libovolné volbě n n reprezentantů R n. Číslo I nazýváme určitý (Riemannův) integrál funkce f na intervalu b < ab, > a píšeme I = f( ) d. a Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez, interval < ab, > integrační obor a funkci f integrand. n Geometrický význam určitého integrálu b Je-li f ( ) 0 na intervalu < ab, >, pak f ( d ) představuje obsah křivočarého a lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f( ), přímkami = a, = b a osou (obr...). Poznámky b. Zápis neurčitého integrálu f ( d ) a určitého integrálu f ( d ) je formálně velmi a

88 .. Pojem Riemannova určitého integrálu podobný. U určitého integrálu jsou pouze navíc integrační meze. To má za následek, že je studenti považují prakticky za stejné. Určitý a neurčitý integrál se však zásadně liší! Výsledkem neurčitého integrálu je funkce (množina funkcí), výsledkem určitého integrálu je číslo. Přestože se jedná o zcela odlišné pojmy, eistuje mezi nimi důležitá souvislost, jak uvidíme dále (věta..).. Z konstrukce určitého integrálu je zřejmé, že výsledek nezávisí na tom, jak označíme b b b. integrační proměnnou. Tedy f ( d ) = f( tdt ) = f( udu ) a a a. Symbol integrálu vznikl protažením písmene S, které označovalo sumu. Z definice určitého integrálu vidíme, o jakou sumu (integrální součet) se jedná. 4. Postup uvedený v předcházející části jsme mohli realizovat nejlépe s použitím počítače. Daný interval < ab, > bychom rozdělili ekvidistantními body na dostatečný počet dílčích intervalů (třeba milion), jako reprezentanty bychom zvolili levé nebo pravé hranice těchto dílčích intervalů. Snadno naprogramujeme výpočet integrálního součtu. Pokud určitý integrál eistuje, bude tento integrální součet jistou aproimací určitého integrálu. Uvedený postup je základem obdélníkové metody numerického výpočtu určitých integrálů. Těmito postupy a odhadem chyby se zabývá numerická matematika

89 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Cíle Základní věta integrálního počtu (Newton Leibnizova) nám umožní výpočet určitých integrálů. Poznáte základní vlastnosti určitých integrálů. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte zavedení a význam určitého integrálu, pojem primitivní funkce, neurčitý integrál a jeho výpočet. Výpočet určitého integrálu Výklad V předcházející kapitole jsme uvedli definici určitého integrálu. Kromě konstantní funkce (určitý integrál je vlastně obsah obdélníka) jsme dosud nebyli schopni žádný integrál spočítat. Následující věta je pojmenována podle dvou matematiků, kteří se zasloužili o vybudování základů integrálního počtu funkce jedné proměnné Newtona a Leibnize (Isaac Newton 64-77, Gottfried Wilhelm Leibniz ). Věta... (Newtonova Leibnizova formule) Nechť funkce f( ) je spojitá na intervalu < ab, > a F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervalu < ab, >, pak Důkaz: b f ( d ) = Fb ( ) Fa ( ). a Ukážeme, že rozdíl Fb ( ) Fa ( ) je pro libovolné dělení D intervalu < ab, > roven integrálnímu součtu σ ( f, D, R ). Zvolme libovolné dělení D {,,..., } n n n n = 0 n, kde a = 0 < <... < n < n = b, intervalu < ab, >. Jelikož F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervalu < ab, >, splňuje v každém subintervalu <, >, i =,,..., n předpoklady Lagrangeovy i i věty (věta..5, Matematika I, část II). To znamená, že eistují čísla ξ <, > i i i taková, že platí F( i) F( i ) = F ( ξi)( i i ). Protože F ( ξi) = f( i), dostáváme F( ) F( ) = f( ξ )( ). i i i i i

90 Sečtením přes všechna i dostaneme.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu n f( ξi)( i i ) = F( ) F( 0) + F( ) F( ) F( n) F( n ) = i= = F( ) F( ) = F( b) F( a). n 0 Obdrželi jsme, že pro libovolné dělení σ ( f, D, R ) = F( b) F( a). n n D n je integrální součet Podle předpokladu je funkce f( ) integrovatelná, což znamená, že pro zjemňující se dělení s normou dělení ν ( D n ) 0 bude integrální součet konvergovat k jisté konstantě I b (hodnotě integrálu f ( d ) ). Hodnota integrálního součtu je vždy rovna Fb ( ) Fa ( ). Tedy a b lim σ ( f, Dn, Rn) = f( ) d= F( b) F( a). n Poznámky a. Pro rozdíl Fb ( ) Fa ( ) se vžil zápis [ F( )] b, takže Newtonovu Leibnizovu formuli a f ( d ) = F( ) = Fb ( ) Fa ( ). a obvykle zapisujeme ve tvaru [ ] b a b. Z věty.. víme, že k dané funkci eistuje nekonečně mnoho primitivních funkcí, které se liší konstantou. Je otázkou, jaký výsledek dostaneme pro jinou primitivní funkci G ( ) F ( ) C G ( b) Ga ( ) = Fb ( ) + C Fa ( ) + C = Fb ( ) Fa ( ). = +. Snadno zjistíme, že [ ] [ ] Tedy hodnota integrálu nezávisí na integrační konstantě C. Proto v dalších příkladech integrační konstantu nebudeme používat.. Newtonova Leibnizova formule může být použita pro definování určitého integrálu a historicky byl určitý integrál nejprve definován tímto způsobem. Tento integrál je nazýván Newtonův určitý integrál funkce f( ). U funkcí spojitých na integračním intervalu jsou si oba integrály (tj. Newtonův a Riemannův) rovny. Obecně tak tomu není. 4. Newtonovu - Leibnizovu formuli lze zobecnit i na ohraničené, po částech spojité funkce. Výpočet však vyžaduje určité opatrnosti, abychom vhodnou volbou integrační konstanty dostali funkci F( ) spojitou na < ab, >

91 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte integrál d. Řešení: Funkce f ( ) = je spojitá pro každé R a primitivní funkci k ní nalezneme pomocí vzorce v tab.... S využitím Newtonovy Leibnizovy formule dostaneme d= = = 4 = Příklad... Vypočtěte integrál d. 0 + Řešení: Funkce f( ) = + je spojitá pro každé R. + d = d = d = [ arctg ] = π = ( arctg) (0 arctg 0) =. 4 Příklad... Vypočtěte integrál π sin d. 0 Řešení: Funkce f( ) = sin je spojitá pro každé, pro nalezení primitivní funkce použijeme vztah [6] v tabulce základních integrálů (tab...). π π π cos cos cos 0 sin d = = + = + =

92 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Příklad..4. Vypočtěte integrál e + d. e + 0 Řešení: Funkce e + f( ) = e + v příkladu..5. je spojitá pro každé R. Primitivní funkci jsme již hledali e + ( e + )( e e + ) d ( ) d e e d e e 0 e + 0 e = = + = + = 0 0 = e e+ e e + 0 = e e+ + = e e+. (Při úpravě čitatele zlomku jsme použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b )). Příklad..5. Vypočtěte integrál d. (Výstražný) Řešení: Pokud budeme postupovat zcela mechanicky, dostaneme: d = ln = ln ln = 0. Avšak funkce V bodě = 0 f( ) = není na intervalu <, > spojitá (alespoň po částech). má bod nespojitosti. druhu, není tedy v okolí počátku ohraničená. Vzhledem k tomu nelze použít Newtonovu Leibnizovu formuli (není na daném intervalu definován Newtonův integrál). Získaný výsledek je nesprávný. Správný výsledek si ukážeme později

93 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Vlastnosti určitého integrálu Výklad V této části uvedeme základní vlastnosti určitého (Riemannova) integrálu, které budeme v dalším běžně používat při praktických výpočtech. Věta... Nechť funkce f( ) a g( ) jsou integrovatelné na intervalu < ab, > a c je libovolná konstanta. Pak platí b a) [ f ( ) ± g( ) ] d= f( ) d ± g( ) d, a b b b) cf ( ) d = c f ( ) d. a a b a Důkaz: Z definice Riemannova integrálu pro normální posloupnost dělení dostáváme: b a) [ f ± g ] d= f ξi ± g ξi i i n ( ) ( ) lim [ ( ) ( )]( ) = a n n i = n = lim f ( ξ )( ) ± lim g( ξ )( ) = f( ) d ± g( ) d i i i i i i n i= n i= a a b a. b n n b b) cf( ) d= lim cf( ξi)( i i ) = c lim f( ξi)( i i ) = c f( ) d. n i n a = i= a Poznámky. První vlastnost se nazývá aditivita vzhledem k integrandu, druhá homogenita.. Podobné vlastnosti měl i neurčitý integrál (věta..). Vlastnost aditivity snadno rozšíříme na libovolný konečný počet sčítanců. b b - 9 -

94 Příklad..6. Vypočtěte integrál.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu d. 4 Řešení: Funkce f( ) = je spojitá pro 4, tedy na oboru integrace je spojitá. Integrovanou funkci nejprve rozšíříme součtem odmocnin d = d = = + + d = + + d ( + 5) ( 4) Použijeme větu.. a integrál rozdělíme na součet dvou integrálů: ( + 5) ( 4) d = + 5d + 4d = = = = ( ) ( ) = ( ) = 6 = 6 =. 7 7 Pro výpočet integrálů byl použit vztah [6] z tabulky základních integrálů (tab...). = Příklad..7. Vypočtěte integrál 4 + d. Řešení: Jmenovatel integrované racionální funkce se nesmí rovnat nule = ( ) 0 Funkce + f( ) = má body nespojitosti = 0 a =, tedy na oboru integrace je spojitá. Interand je racionální funkce, musíme nejprve provést rozklad na součet parciálních zlomků (viz kap..5).. Polynom v čitateli je stupně m = a polynom ve jmenovateli racionální funkce má také stupeň n =. Jelikož není m < n, je daná funkce neryze lomená racionální funkce a

95 musíme polynomy vydělit... Výpočet a vlastnosti určitého integrálu ( + ):( ) = ( ) + Danou racionální funkci proto můžeme podle věty.5.4 zapsat ve tvaru + + = +. Polynom ve jmenovateli Dostaneme Q ( ) = ( ).. Q ( ). Racionální funkci rozložíme na součet parciálních zlomků: + A A B = + + ( ) = rozložíme na základní součin podle věty Nalezneme konstanty rozkladu A, A,B (viz kap..5). Dostaneme A =, A =, B =. 5. Integrujeme získané parciální zlomky: d = d d d d d = + = = [ ] ln + + ln = (4 ) (ln 4 ln ) + + (ln ln) = = ln 4 + ln + ln = + ln 4 4. Definice... Nechť je funkce f( ) integrovatelná na intervalu < ab, >. Pak b f ( d ) = f( d ). a a b Poznámky. Pro spojité funkce (Newtonův integrál) je uvedená vlastnost triviální, neboť

96 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu b f ( d ) = F( b) F( a) = ( F( a) F( b)) = f( d ). a. Důsledkem této definice, je následující vlastnost pro každou integrovatelnou funkci a b a a f( ) d= 0. Věta... Nechť je funkce f( ) integrovatelná na intervalu < ab, > a c je libovolné reálné číslo a< c< b. Pak je f( ) integrovatelná na intervalech < ac, > a < cb, > a platí b c b f ( d ) = f( d ) + f( d ). a a c Poznámky. Vlastnost se nazývá aditivita určitého integrálu vzhledem k mezím.. Větu lze zobecnit na libovolný konečný počet částečných intervalů a tedy na konečný počet sčítanců.. Větu využíváme zejména v případech, kdy integrand nemá na intervalu < ab, > jednotný analytický předpis. Příklad..8. Vypočtěte integrál d. Řešení: Z definice absolutní hodnoty platí pro <, 0 >, = pro < 0, >, viz obr

97 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Obr.... Graf funkce f ( ) =, <, > Funkce je integrovatelná, protože je na daném intervalu spojitá a ohraničená. Podle věty.. bude platit d= d+ d= d+ d= + = = (0 ) + 0 =. Příklad..9. Vypočtěte integrál 5 f ( d ), kde pro <,>, f( ) = pro (,4),. pro < 4,5 >. Řešení: Daná funkce je ohraničená a má dva body nespojitosti = a = 4 (obr...). Podle věty.. bude platit Obr.... Graf funkce z příkladu f ( d ) = f( d ) + f( d ) + f( d ) = d+ ( ) d+ d. 4 4 Všimněte si, že jsme u druhého integrálu mlčky změnili hodnoty funkce f() v krajních bodech na -. To nemá vliv na hodnotu integrálu. Dostaneme

98 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu f( ) d = [ ] [ ] + [ ] = ( ( )) (4 ) + (5 4) = 5 4 Výsledek je dán součtem obsahů dvou obdélníků a čtverce. Plocha druhého obdélníka je však brána záporně!. Věta..4. Nechť je funkce f( ) integrovatelná na intervalu < ab, > a pro všechna < ab, > je b f ( ) 0. Pak platí f( ) d 0. a Důkaz: Plyne přímo z definice Riemannova integrálu (def...). Poznámka Uvedenou vlastnost můžeme často použít k jisté hrubé kontrole výsledku. Je-li integrovaná funkce nezáporná, nemůže vyjít záporná hodnota určitého integrálu. Věta..5. Nechť jsou funkce f( ) a g( ) integrovatelné na intervalu < ab, > a pro všechna b b < ab, > je f( ) g( ). Pak platí f ( d ) g( d ). a a Důkaz: Podle předpokladu je g( ) f ( ) 0 pro všechna < ab, >. Podle věty..4 bude b a ( f( ) g( )) d 0. Odtud s použitím věty.. dostaneme tvrzení. Věta..6. (Věta o střední hodnotě integrálního počtu.) Nechť je funkce f( ) spojitá na intervalu < ab, >. Pak eistuje číslo ξ < ab, > takové, že platí f ( d ) = f( ξ )( b a). b a Číslo c = f( ξ ) se nazývá střední hodnota funkce f( ) na intervalu < ab, >

99 Důkaz: Je-li funkce.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu f( ) spojitá na intervalu < ab, > a F( ) je primitivní funkce k funkci f( ) v intervalu < ab, >, tedy F ( ) = f ( ). Funkce F( ) je spojitá a splňuje předpoklady Lagrangeovy věty (věta..5, Matematika, část II). To znamená, že eistuje číslo ξ < ab, > takové, že platí Fb ( ) Fa ( ) = F ( ξ )( b a) = f( ξ )( b a). Odtud a z věty b.. dostaneme f ( d ) = f( ξ )( b a). a Předcházející věta má názorný geometrický význam. Pro jednoduchost předpokládejme, že funkce f( ) je spojitá a nezáporná. Z motivace na začátku kapitoly. víme, že b a f ( d ) vyjadřuje obsah obrazce ohraničeného grafem funkce f( ), osou a přímkami = a, = b. Věta říká, že lze nad intervalem < ab, > sestrojit obdélník se stejným obsahem. Výška je b rovna funkční hodnotě ve vhodném bodě ξ < ab, >, aby c= f( ξ ) = f( ) d ( b a). a Obr.... Geometrický význam věty o střední hodnotě Z obrázku je zřejmé, že bod ξ nemusí být určen jednoznačně (přímka funkce protnout několikrát). y = c může graf Příklad..0. Vypočtěte střední hodnotu funkce f ( ) = na intervalu <, >. Řešení: c= ( ) d= = + ( ) =

100 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu Obsah obrazce pod parabolou lze vyjádřit jako obsah obdélníka s jednou stranou <, > délky a velikost druhé strany bude (obr...4). Obr...4. Střední hodnota funkce f ( ) = na intervalu <, > Určeme ještě, ve kterém bodě ξ <, > je střední hodnota rovna funkční hodnotě funkce f ( ) =. Řešíme rovnici = a dostaneme ξ =± (dva body s touto vlastností). Příklad... Rychlost určitého objektu vt () v metrech za sekundu se v průběhu prvních 0 sekund pohybu měnila. Od začátku pohybu ( t = 0) byl 4 sekundy pohyb rovnoměrně zrychlený vt () = 0,5t, od 4. do 0. sekundy se pohyboval konstantní rychlostí vt () =, posledních 0 sekund byla rychlost vt () = 0,8t 6 m/s. Určete střední hodnotu rychlosti objektu (průměrnou rychlost) za 0 sekund. Ve kterém časovém okamžiku jel touto rychlostí? Řešení: c= v() t dt = 0,5tdt+ dt+ (0,8t 6) dt = 4 0 0,5t 0 0,8t 76 = + [ t] + 6t 4 = [ ] = =,8 m/s Jelikož je funkce vt () spojitá na intervalu < 0, 0 >, určitě eistuje alespoň jeden časový okamžik, kdy se objekt pohyboval právě touto rychlostí. Z konstrukce grafu funkce je zřejmé,

101 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu že tento okamžik nastal mezi 0. a 0. sekundou (průměrná rychlost je větší než ) a na jeho určení je nutno řešit rovnici,8 = 0,8t 6. Dostaneme ξ =,5 sekund. Kontrolní otázky. Které funkce jsou Riemannovsky integrovatelné?.. Formulujte větu, pomocí které se provádí výpočet určitého integrálu.. Vysvětlete rozdíl mezi definicí Newtonova a Riemannova integrálu. 4. Uveďte vlastnost určitého integrálu Jak vypočtete integrál + d? 7 π 6. Jak vypočtěte integrál cos d? 0 π 7. Ukažte, že platí vztah sin n d = 0, kde n N. π 8. Jaká je střední hodnota funkce f( ) = sin na intervalu < 0,π >? Úlohy k samostatnému řešení. a) d). a) d) d b) ( + 6 ) d c) ( ) 6 d e) π + cos d b) π sin 4 π sin cos d e) 0 d f) d 7 d 4 π π cos d c) cos d π 0 π π 4 tg d f) d 0 π sin cos 4-0 -

102 . a) d) 4. a) d) 5. a) d) 6 e d b) 5 d c) 0 e d e) 0 e d 7 b) + 5 d 4 e) 5 d b) d e) 0 e ( ) d d f) ln e 5 d + d 4+ 7 c) f) 4 8 d c) d.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu 0 e 5 d d arcsin d d ( ) f) ( ) π sin d π d Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) 6 ; b ) 76 ; c) 665 π π ; d) ln ; e) ln ; f).. a) ; b ) 0 ; c) ; d) 4 ; π e) ; f) 4.. a) ( 8 e ); b ) 8 4 ln 5 ln5 ln 5 + ; c) ( ) 5 e ; d) e + ln 4 ; e) ln ; f) ln. 4. a) 4 + 4ln ; b ) 5 ln 5 ; c) arctg 4 arctg ; 7 6 d) ln ln + ln 6 ; e) f) 5. 8 π ; f) 4 ln. 5. a) 5 6 ; b )9 4 ; c) ; d) 4 ln ; e) ; Kontrolní test. Vypočtěte integrál 8 d. 5 a), b), c), 4 4 d)

103 .. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu. Vypočtěte integrál ln ( e e ) d. 0 a), b) 5,. Vypočtěte integrál a) 4 +, b) 4. Vypočtěte integrál c), π π 4 sin d) cos cos. d. 4, c) 0, d) π 0 ( + cos ϕ) dϕ. a) 8 π, b) 4 π, c) 0 π, d) 9 π Čemu se rovná integrál a) 8ln + ln, 8 d 0 +? b) + 8ln 8ln, 8 c) 8ln 5ln, 8 + d) 8ln 5ln Čemu se rovná integrál a) 8 ln, 5 7. Vypočtěte integrál d +? b) ln 8 ln 5, c) 4 d. a) 6, b) 8, c) 0, d) Vypočtěte integrál 5 0 f ( d ),kde f( ) = ln ln 5, d) ln. 5 pro0, 4 pro, pro 5. a) 5, b) 4, c) 89, d)

104 9. Vypočtěte střední hodnotu funkce.. Výpočet a vlastnosti určitého integrálu f( ) = + na intervalu<,4>. a) 0, b) 0, 9 c) 4, 9 0. Vypočtěte střední hodnotu funkce a) 6 ln, 5 b) 5 ln, 6 d). 9 c) ln+ ln, d) f( ) = na intervalu< ;,5>. + 6 ln. 5 Výsledky testu. b);. a);. b); 4. d); 5. c); 6. a); 7. c); 8. d); 9. b); 0. d). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly. a. znovu. Shrnutí lekce Hlavním záměrem kapitol. a. bylo zavést pojem určitého Riemannova integrálu a uvést základní vlastnosti tohoto integrálu, které jsou využívány při praktickém výpočtu. Riemannův integrál je pro spojité funkce totožný s integrálem Newtonovým. Zjednodušeně řečeno - Riemannův integrál můžeme vždy v konkrétních výpočtech počítat jako integrál Newtonův, tedy prostřednictvím primitivních funkcí. A s těmi již v tuto chvíli máme dostatek zkušeností. Definovat Riemannův určitý integrál je bezesporu mnohem obtížnější, než zavést pojem určitého integrálu Newtonova. Proč se tedy Riemannovým integrálem v tomto úvodním kurzu zabýváme? Především pro jeho názornou geometrickou interpretaci. Pro spojitou nezápornou funkci odpovídá totiž její Riemannův integrál na zadaném uzavřeném intervalu plošnému obsahu oblasti vymezené zadaným intervalem a grafem integrované funkce. O dalších užitečných aplikacích Riemannova integrálu se můžete dočíst v kapitole

105 .. Metoda per partes pro určité integrály.. Metoda per partes pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím metody per partes při výpočtu určitých integrálů. Základní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat jsou stejné, jako při výpočtu neurčitých integrálů v kap... Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte princip metody per partes a víte, pro které typy integrálů je tato metoda vhodná. Předpokládá se znalost pojmu určitý integrál a dovednost počítat určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule. Výklad Při výpočtu složitějších integrálů používáme i u určitých integrálů metodu per partes a substituční metodu. Při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí můžeme postupovat v zásadě dvěma způsoby: Oddělíme fázi nalezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu. Nejprve si nevšímáme mezí a počítáme pouze neurčitý integrál. Po vypočítání vybereme jednu z nalezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrační konstantu Newtonovy Leibnizovy formule dosadíme horní a dolní mez. C = 0 ) a podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu. U metody per partes průběžně dosazujeme meze do již vypočtené části primitivní funkce, u substituční metody změníme integrační meze, jak uvidíme v další kapitole. V dalším se zaměříme na druhou možnost výpočtu. Věta... Mají-li funkce u ( ) a v ( ) v intervalu < ab, > spojité derivace u ( ) a v ( ), pak platí b b u ( ) v ( ) d= [ u ( ) v ( )] u ( ) v( d ) a. a Důkaz: b a Ze spojitosti derivací u ( ) a v ( ) plyne, že jsou spojité i funkce u ( ) a v ( ) v intervalu < ab, >. Potom budou spojité a tedy integrovatelné i součiny u ( ) v( ) a u ( ) v ( )

106 .. Metoda per partes pro určité integrály Podle věty.. bude integrovatelná i funkce u ( ) v( ) + u( ) v ( ). K ní primitivní u ( ) v ( ) = u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ). Podle Newtonovy funkce je u ( ) v ( ), protože [ ] b b Leibnizovy formule platí [ u ( ) v ( ) + u ( ) v ( ) ] d= [ u ( ) v ( )]. Pomocí věty.. a a dostaneme věty. b a b u ( ) vd ( ) + u ( ) v ( d ) = u ( ) v ( ) a [ ] b a a po úpravě obdržíme tvrzení Poznámka Praktické použití metody per partes je zcela analogické jako v případě neurčitého integrálu (kap..). Zejména platí návody, pro které funkce je metoda per partes vhodná. Řešené úlohy π Příklad... Vypočtěte integrál sin d Řešení: 0 Předvedeme první způsob výpočtu, kdy nejprve nalezneme primitivní funkci a teprve potom dosadíme meze: u = sin v= sin d= = cos + cos d u = cos v = = u = cos v= = = cos + sin sin d= cos + sin + cos C u = sin v = +. Použijeme jednu z primitivních funkcí pro C = 0 a dostaneme π π sind cos sin cos = + + = ( π ( ) + 0+ ( )) (0+ 0+ ) = 0 = π 4. Při druhém způsobu výpočtu použijeme větu..: π π u = sin v= sin d= = cos π + cos d u = cos v = =

107 .. Metoda per partes pro určité integrály [ π π π ] d π 0 [ ] 0 0 u = cos v= = = ( π 0) + sin sin = + (0 0) + cos u = sin v = = = π + ( ) = π 4. Výhoda druhého způsobu spočívá v tom, že meze průběžně dosazujeme do částečně vypočtené primitivní funkce a nemusíme ji neustále opisovat až do konce výpočtu. Výpočet se tím zkrátí a zpřehlední. V dalších příkladech budeme používat tento způsob výpočtu. Příklad... Vypočtěte integrál ( ed ). 0 Řešení: = = 0 0 u = e v = 0 u e v ( e ) d= = ( e ) ( ) e d = u = e v= = = (4 ) e 0 ( ) e + e u = e v = 0 d= ( ) 0 0 = e e + e + e = e + e e = e. Příklad... Vypočtěte integrál Řešení: e u = v= ln 0 e ln d. e e ln d= = [ ln ] d ( eln e ln) = [ ] = u = v = = ( e 0) ( e ) =. e 0 Příklad..4. Vypočtěte integrál arctg d. 0 Řešení: u = v= arctg arctg d= = arctg d u = v = =

108 .. Metoda per partes pro určité integrály π + π π = ( 0) = ( ) = arctg d d [ ] = = π ( π ) = π Příklad..5. Nalezněte rekurentní formuli pro výpočet integrálu π Sn = (sin ) n d, n = 0,,, Řešení: Pro n = 0 je S 0 π π = d= a pro 0 Pro n metodou per partes dostaneme: π 0 π π 0 0 = sin = cos =. n = je S d [ ] n π n n 0 n u = sin v= (sin ) Sn = (sin ) d= = cos (sin ) + u = cos v = ( n )(sin ) cos π π n n ( n )(sin ) cos d [ 0 0 ] ( n )(sin ) ( sin ) d= + = π π n n = ( n ) (sin ) d (sin ) d = ( n )( S n S n 0 0 ) Z rovnice S = ( n )( S S snadno dostaneme Sn n n Sn n n n ) = ( n ). Tato rekurentní formule nám umožní vypočítat uvedený integrál pro libovolnou mocninu π 0 S = (sin ) d= S = =, π 4 4 (sin ) 0 0 n. Například: 4 π π S = d= S = S = =

109 .. Metoda per partes pro určité integrály Kontrolní otázky. Proč je integrační metoda nazývána per partes?. Jak se liší výpočet určitého integrálu metodou per partes od použití této metody v neurčitém integrálu.. Jak by se podle věty.. vypočítal integrál typu u ( ) v ( d )? b a π 4. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 5. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu 6. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu sin d? 0 e ln d? e ln d? e π 7. Jak volit funkce u ( ) a v ( ) při výpočtu integrálu e sin d? 0 8. Vypočtěte integrál 9. Vypočtěte integrál 0 e d. π ( )sind. π 0. Odvoďte rekurentní formuli pro výpočet integrálu L n = (ln ) n d. e Úlohy k samostatnému řešení. a) d) π sin d b) 0 0 ln π e d c) sin d π e d e) cos d 0 0 f) ( + ) 0 0 ed

110 .. Metoda per partes pro určité integrály. a) d) e ln d b) ( + ) 0 4 arctgd e) lnd c) e ln d f) 0 arctg d e ln d. a) d) 4. a) 5. a) e ln d b) arctg d c) arccos d e) ln ( + ) d f) 0 π e sin d b) cos( ln ) d c) 0 π e d) sin ( ln ) π e π 0 π e e ln d 0 arctg d π 0 e sin d d e) π π e sin d f) e cos d π d b) π sin 4 0 e ln d c) e 0 ( + ) d Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) ; b ) ( ) 7 b) 0 ln ; c) 4 b) ln ; c) π 4 ; d) 9 e ; e) π ; f) 7 6 π ; d) ; e) 4 ( e + ) ; f) ( ) π ln ; c) e ; d) π + ; e) ln ; f) e.. a) ( ) 6 e + ; 4 e.. a) e + ; π ln. 4. a) 8 4 e π + ; b) ( + ) ; c) ( e π + ) π ; d) ( π + ) ; e) ( ) ; f) ( π π ) eπ π e 5. a) + ln ; b) 6 e ; c). 5 e e 5 e π e + e

111 .. Metoda per partes pro určité integrály Kontrolní test. Vypočtěte integrál π a), π 0 ( + )cos d. b), c) 0, d) π.. Vypočtěte integrál e d. 0 a) + e, b) e, c) + e, d) -.. Vypočtěte integrál π π 4 sin d. a) ( ) 4 π, b) ( ) 4 π +, c) π 4, d) Čemu se rovná integrál 0 arctg d? a) ln, π b) ln, 6 π + c) π + ln 4, d) 5. Čemu se rovná integrál π 6 d? sin π π π π a) ln, b) + ln, c) + ln, d) Čemu se rovná integrál e ln( + ) d? a), b) e +, c) e, d) e Vypočtěte integrál 0 ln( + ) d. π a) 0, b) ln 4 + π, c) ln + π, d) +. ln 4. 6 π + ln

112 .. Metoda per partes pro určité integrály 8. Vypočtěte integrál a), 9. Vypočtěte integrál 0 arc cotg d. b) ( + π ), c) π ( π ), d). e e ln d. a) ( 9 e ), b) ( ) e 9 e +, c) ( e 9 e ), d) e ( ) 9 e +. e 0. Odvoďte rekurentní vzorec pro výpočet integrálu n + a) S0 = π, S = 0, Sn = Sn n c). n S0 = π, S =, Sn = Sn n Výsledky testu Sn π = n d n= π cos, 0,,,.... pro n, n + b) S0 = π, S =, Sn = Sn pro n pro n, d) S0 = π, S =, S = S pron n. b);. c);. b); 4. a); 5. c); 6. a); 7. b); 8. c); 9. d); 0. c). n, n n. Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly. a. znovu. Shrnutí lekce Použití metody per partes v určitém integrálu je zcela analogické jako v případě neurčitého integrálu. Typy integrálů řešitelných metodou per partes jsou uvedeny v kapitole.. Při výpočtu určitých integrálů metodou per partes průběžně dosazujeme meze do částečně vypočtené primitivní funkce a nemusíme ji neustále opisovat až do konce výpočtu. Výpočet se tím zkrátí a zpřehlední. - -

113 .4. Substituční metoda pro určité integrály.4. Substituční metoda pro určité integrály Cíle Seznámíte se s použitím substituční metody při výpočtu určitých integrálů. Základní typy integrálů, které lze touto metodou vypočítat, jsou podobné jako při výpočtu neurčitých integrálů v kap..4. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte princip substituční metody a víte, pro které typy integrálů je tato metoda vhodná. Předpokládá se znalost pojmu určitý integrál a dovednost počítat určité integrály pomocí Newtonovy Leibnizovy formule. Výklad Jak již bylo uvedeno v předcházející kapitole, můžeme při výpočtu určitých integrálů ze složitějších funkcí postupovat v zásadě dvěma způsoby: Oddělíme fázi nalezení primitivní funkce od fáze výpočtu určitého integrálu. Nejprve si nevšímáme mezí a počítáme pouze neurčitý integrál. Po vypočítání vybereme jednu z nalezených primitivních funkcí (obvykle volíme integrační konstantu Newtonovy Leibnizovy formule dosadíme horní a dolní mez. C = 0 ) a podle Neoddělujeme fázi výpočtu primitivní funkce od výpočtu určitého integrálu. U substituční metody kromě zavedení správné substituce ještě určíme nové meze a již se nemusíme vracet k původní proměnné. První způsob nebude čtenáři patrně dělat problémy. Proto se v dalším zaměříme na druhou možnost výpočtu, která je kratší a elegantnější. Vzorce pro integraci substituční metodou v určitém integrálu připomínají vztahy uvedené ve větách.4. a.4.. Věta.4.. (Integrování substituční metodou ϕ ( ) = u ) Nechť funkce f( u ) je spojitá na intervalu < α, β >. Nechť funkce u = ϕ( ) má spojitou derivaci ϕ ( ) na intervalu < ab, > a nechť pro každé < ab, > platí α ϕ( ) β, α = ϕ( a), β = ϕ( b) (tedy funkce ϕ zobrazuje interval < ab, > na interval < α, β >). Potom platí b a β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = f ( u) du. α - -

114 Důkaz:.4. Substituční metoda pro určité integrály Z předpokladů věty vyplývá, že eistují integrály na levé i pravé straně tvrzení věty.4.. Z toho plyne, že eistuje primitivní funkce Fu ( ) k funkci f( u ) na intervalu < α, β >. Podle věty.4. je funkce F( ϕ ( )) primitivní funkce k funkci f( ϕ( )) ϕ ( ). Proto podle Newtonovy Leibnizovy formule (věta..) platí b a β f ( ϕ( )) ϕ ( ) d = F( ϕ( b)) F( ϕ( a)) = F( β) F( α) = f ( u) du. Poznámky. Při výpočtu určitého integrálu zavedeme vhodnou substituci u = ϕ( ) a vypočteme diferenciál du = ϕ ( ) d jako u neurčitého integrálu. Navíc musíme ještě určit nové meze. Staré meze a, b jsou pro původní proměnnou. Nová proměnná u bude mít meze α = ϕ( a), β = ϕ( b).. V řešených příkladech vyznačíme změnu mezí takto: a ϕ( a) (staré dolní mezi a odpovídá nová dolní mez ϕ ( a) ), resp. b ϕ( b) (staré horní mezi b odpovídá nová horní mez ϕ ( b) ).. V konkrétním případě se může stát, že ϕ( a) > ϕ( b) (nová dolní mez je větší než mez horní). Podle definice.. můžeme meze zaměnit a znaménko integrálu se změní na opačné. Pokud dostaneme ϕ( a) = ϕ( b), je podle poznámky k definici.. integrál roven nule a nemusíme dále počítat. α Řešené úlohy Příklad.4.. Vypočtěte integrál 5+ d. 0 Řešení: a) Bylo by možno nejprve vypočítat neurčitý integrál (nalézt primitivní funkci) jako v příkladu.4.4. substituce: u 5+ d= 5+ = u = 5+ d= udu = + C = u + C = d = du - 4 -

115 .4. Substituční metoda pro určité integrály ( ) = C. Použijeme primitivní funkci pro 0 z Newtonovy Leibnizovy věty dostáváme: C = (jiné C se stejně odečte): ( ) [ ] 0 ( ) ( ) ( ) 0 0 F( ) = 5+ a 5 + d= F( ) = 5+ = = b) Praktičtější je počítat podle věty.4. (při substituci určit nové meze). Použijeme substituci 5 + = u. Nová dolní mez bude u = 5+ = 9. Celý výpočet bude vypadat takto: u = 5+ 0 = 5 a nová horní mez je substituce: = u u 5 d 5 d u du u + = + = = = = = 0 0 d = du , = Příklad.4.. Vypočtěte integrál e ln d. Řešení: Použijeme substituci ln = u. Funkce ϕ ( ) = ln je spojitá na intervalu <, e > a má na něm spojitou derivaci. Pro substituce: <, e > bude 0 ln. e ln = u ln u d = = u du = d = du = , e Poznámka Při výpočtu musíme dávat pozor, zda jsou splněny podmínky věty.4.. U neurčitých integrálů se můžeme po výpočtu dodatečně derivováním přesvědčit, zda jsme postupovali správně. U určitých integrálů tuto možnost zkoušky nemáme

116 .4. Substituční metoda pro určité integrály Příklad.4.. Vypočtěte integrál π cos d. π 5+ sin Řešení: Použijeme substituci sin = u. Pro novou dolní mez dostaneme sin( π ) = 0 a pro horní mez vyjde sinπ = 0. Podle poznámky k definici.. bude výpočet integrálu krátký: substituce: π 0 cos sin = u d = = π 5+ sin 5+ π 0, π 0 cos d = du 0 u du = 0. Příklad.4.4. Vypočtěte integrál π 4 0 tg d. Řešení: Provedeme jednoduchou úpravu, abychom nalezli vhodnou substituci: π π π tg = = 0 0 cos 0 cos sin ( cos ) sin d d d. Je zřejmé, že vhodná substituce je cos = u, neboť sin d = du. Pro novou dolní mez vyjde cos0 = a pro horní mez dostaneme π cos = 4, takže nová dolní mez je větší než nová horní mez. Podle definice.. obrátíme meze a změníme znaménko integrálu: substituce: π 4 cos = u ( cos ) sin u u d = sin d = du = du = du = du u = u 0, 4 0 cos u u π ln u ln ln ln ln ln = + + = + + = u 4 ( )

117 .4. Substituční metoda pro určité integrály Výklad Větu.4.. můžeme použít i v opačném směru (zprava doleva). V běžných úlohách nebývá integrační proměnnou u, ale obvykle běžně používáme proměnnou, což je jen jiné písmenko ve vztazích. To odpovídá substituci typu = ϕ() t v neurčitém integrálu, která je popsána ve větě.4.. V určitém integrálu budeme muset po uvedené substituci změnit meze. V tomto případě vlastně známe hodnoty ϕ ( a) a ϕ ( b). Musíme nalézt hodnoty a a b, aby byly splněny předpoklady věty.4.. V prai obvykle bývá funkce = ϕ() t taková, že lze zvolit interval < ab, > tak, aby na něm byla funkce ϕ () t ryze monotonní, tj. aby jej prostě zobrazila na zadaný integrační obor < ϕ( a), ϕ( b) >. Příklad.4.5. Vypočtěte integrál d. Řešení: Integrovaná funkce je spojitá pro <, >, takže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = sin t, takže d = costdt. Transformujme meze integrálu: π π Pro = je = sint, takže t =. Pro = je = sint, takže t =. Protože π π na intervalu <, > je funkce = sin t monotonně rostoucí a tento interval se uvedenou funkcí zobrazí na interval <, >, lze psát π = sin t substituce: d= d = costdt = sin t sin t costdt = π π, π π π π π. = sin t cos t cost dt = sin t cost cost dt = sin t cos t dt = sin ( t) dt 4 π π π π π π V předcházející úpravě jsme využili skutečnosti, že pro t <, > je cos t 0, a tedy cost = cos t. Po užití známého vztahu sin t = sint cost dostáváme integrál typu - 7 -

118 .4. Substituční metoda pro určité integrály m n sin cos d (viz kapitola.6). π π π π π π sin4t π sin tdt= ( cos 4t) dt= t = 4 8. Příklad.4.6. Vypočtěte integrál 0 + d. Řešení: Integrovaná funkce je spojitá pro každé reálné, takže určitý integrál eistuje. Použijeme substituci = tgt, takže d = dt. (Je možno použít i substituci = cotgt ). Transformujme cos t meze integrálu: π Pro = 0 je 0= tgt, takže t = 0. Pro = je = tgt, takže t =. Protože na 4 intervalu π π < 0, > je funkce = tgt monotonně rostoucí a tento interval < 0, >se 4 4 funkcí = ϕ() t = tgt zobrazí na interval < 0, >, lze psát substituce: = tgt π π 4 4 t+ + = d = dt = tg + = 0 cos t 0 t 0 t cos sin t d t dt dt = cos cos cos t π 0 0, 4 π π π dt dt = = = t t t t dt. 0 cos cos cost 0 cos 0 cos π V předcházející úpravě jsme využili skutečnosti, že pro t < 0, > je cost > 0, a tedy 4 m cost = cos t. Dostáváme integrál typu sin cos d. Jelikož n = je liché, řešíme integrál opět substitucí, a to sin t = v(viz kapitola.6). Bylo by možno použít rovněž univerzální substituci tg t = v. n - 8 -

119 .4. Substituční metoda pro určité integrály substituce: π π π sin t = v cost cost d dt = dt = dt = costdt cos cos ( sin ) = v dv = ( ) π 0 0, t 0 t 0 t 0 v = = 0 dv ( v) ( + v). Dostáváme integrál z racionální funkce, kdy polynom ve jmenovateli má reálné násobné kořeny. Je nutno provést rozklad racionální funkce na součet parciálních zlomků (viz kapitola.5). A A B B ( v) ( + v) = v + ( v) + + v + ( + v) Nalezneme konstanty rozkladu A, A, B, B. Rovnici vynásobíme polynomem Q 4 () v = ( v )( + v ). Dostaneme rovnost dvou polynomů: = A( v)( + v) + A( + v) + B( v) ( + v) + B( v) Pro Pro v = dostaneme = 0A+ 4A + 0B+ 0B. Tedy A =. 4 v = dostaneme = 0A+ 0A + 0B+ 4B. Tedy B =. 4 Pro výpočet zbývajících koeficientů můžeme použít srovnávací metodu (viz příklad.5.5): Koeficienty u : 0 Koeficienty u : 0 = A + B v = A + A + B + B v Řešením této soustavy rovnic dostaneme A =, B =. 4 4 Integrujeme získané parciální zlomky: dv = = dv 0 ( v) ( + v) v 0 ( v) + v ( + v) = v + v 0 v 0 = ln ln ln 4 v v = + v + v 4 v = - 9 -

120 .4. Substituční metoda pro určité integrály ( ) = + ln = + ln = ln = = ln( ) Poznámky. Úlohu lze rovněž řešit substitucí k příkladu = t. Postup výpočtu je popsaný v poznámce. Tento příklad nám ukazuje, že výpočet určitého integrálu i zdánlivě jednoduché funkce může být pracný a zdlouhavý. Je věcí cviku zvolit co nejúspornější postup. U takových příkladů nám mohou hodně pomoci vhodné počítačové programy.. Pokud zadáme integrál nějakému matematickému programu (např. Derive, Maple, Mathematica), získáme výsledek ln( ). Na první pohled se zdá, že se jedná o úplně jinou funkci. Snadno se však přesvědčíme, že ln( ) = ln(+ ) a tedy ln( ) = ln( + ). 4 Integrace sudých nebo lichých funkcí Výklad Výpočet určitého integrálu je jednodušší, pokud je integrovaná funkce sudá nebo lichá na intervalu < aa, >. Připomeňme si definici.4. z část Matematika I. Funkce f se nazývá sudá, jestliže D : f( ) = f( ) (graf funkce je souměrný podle osy y). Funkce f se nazývá lichá, jestliže D : f( ) = f( ) (graf funkce je souměrný podle počátku). f f - 0 -

121 .4. Substituční metoda pro určité integrály Věta.4.. (Integrál sudé, popř. liché funkce) Nechť je funkce f( ) integrovatelná na intervalu < aa, >. Je-li f( ) na intervalu < aa, > sudá, pak a f ( d ) = f( d ), a a 0 Je-li f( ) na intervalu < aa, > lichá, pak a f( ) d= 0. a Důkaz: Je-li f( ) na intervalu < aa, > sudá, pak platí f( ) = f( ). Integrál můžeme zapsat jako součet integrálů (věta..): a 0 a 0 f ( d ) = f( d ) + f( d ) = f( d ) + f( d ). a a 0 a 0 První integrál řešíme substitucí = t, z níž plyne d = dt, meze 0 0, a a. a Dostaneme a 0 a a a f ( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( tdt ) + f( d ) = f( d ). a a a Druhou část věty o integraci liché funkce dokážeme analogicky. f( ) = f( ) f( ) = f( ) Obr..4.. Integrál ze sudé a z liché funkce - -

122 .4. Substituční metoda pro určité integrály Příklad.4.7. Vypočtěte integrál d. Řešení: Tuto úlohu jsme již řešili v příkladu.4.5. Integrovaná funkce je sudá pro každé R, protože f ( ) = ( ) ( ) = = f( ). Podle věty.4. můžeme výpočet poněkud zjednodušit, neboť stačí počítat integrál na intervalu <0, >, kdy máme jednodušší dolní mez. π sin4t π d= d=... = sin t dt =... = t 4 4 = π 0 Příklad.4.8. Vypočtěte integrál π π sin cos d. Řešení: Jelikož sin( ) = sin a cos( ) = cos snadno ukážeme, že integrovaná funkce je lichá: f ( ) = sin ( )cos( ) = sin cos = f( ). Podle věty.4. není nutno integrál vůbec počítat, neboť π π sin cos d= 0. Ověřte výpočtem platnost uvedeného výsledku! Kontrolní otázky. Uveďte princip substituční metody při výpočtu určitého integrálu.. Čím se při výpočtu odlišuje substituční metoda pro určitý integrál od substituční metody pro integrál neurčitý? - -

123 .4. Substituční metoda pro určité integrály a. Ukažte, že f( ) d= 0 pro lichou funkci f(). a b b 4. Ukažte, že platí f ( d ) = f( a+ b d ). a a a 5. Ukažte, že platí f ( d ) = f( d ) a a a 6. Zdůvodněte, proč jsou všechny následující integrály rovny nule. sin cos5d, a d, a a π sin cos + d, 0 ln e + e d. ln π π 7. Ukažte, že cos m cos n d = 0 pro m n a cos m cos n d = π pro m= n. π π = + +β. Návod: Užijte vztah cosα cos β [ cos( α β) cos( α )] Úlohy k samostatnému řešení. a) ( ) 0 0 d b) d c) 5 d) d e) sin ( ) d f) d d + ln π. a) cos e sin d b) d) 0 + d e) 0 e 0 d c) + e π 4 tg d f) 0 cos e e π 6 0 d ln tg d - -

124 .4. Substituční metoda pro určité integrály. a) d) 4. a) d) π 4 0 cos sin d b) π 4 cos d e) sin π d 0 + b) 7 d e) + d 5. a) ln ( + ) d) b) π 0 4 sin d e) π 4 0 tg d c) π d 0 + sin f) 4 d c) d f) 4 ln 5 e e d c) 0 e + e + ln d f) π π cos d sin sin 6 π π sin d 0 d π π 4 d arctg + sin d d Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) ; b) ; c) b) arctg e ; c) ; d) ( ) π 4 d) 9 ( 7 4 ) ; e) ; d) ; e) ( ) ; e) ln arctg ; f) 5 5 cos ; f) ln+.. a) ; f) ln.. a) 6 ; b) ln 4 ( ). 4. a) ln( ) e ; e ; c) ( ) ; + ; b) 4 arctg ; c) ln ; d) 8 + π ; e) π ; f) a) 5 ln 5 ln ; b) 4 π ; π π c) ln ; d) π ; e) ; f)

125 .4. Substituční metoda pro určité integrály Kontrolní test 9. Vypočtěte integrál d. 4 a) 7 ln, b) 7+ ln, c) + ln, d) 5 + ln.. Vypočtěte integrál d ( + ) π π π a), b) π, c), d). 6. Vypočtěte integrál d π π a), b), c) 8 6, d) π. 4. Vypočtěte integrál a) l n, b) π cotg d. π 4 + ln, c) ln, d) + ln. 5. Vypočtěte integrál d +. a) ln, b) 4+ ln, c) ln, d). 6. Vypočtěte integrál 9 d. 5 0 ( + ) a) 5, b) 8, c) 9, d) Vypočtěte integrál 9 ( ) d + ( ). a) 8 + π, b) 8 +, c) π 8 +, d) π 8 + π

126 .4. Substituční metoda pro určité integrály 8. Vypočtěte integrál a) Vypočtěte integrál d , b), c), d) ln 5 e e d. + e 0 π π a) 4 + π, b) 4, c) 4 +, d) 4 π. 0. Vypočtěte integrál π cos cos d. π a) 4, b) 0, c), d). Výsledky testu. b);. c);. a); 4. c); 5. a); 6. d); 7. b); 8. c); 9. d); 0. a). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitoly.4 a.4 znovu. Shrnutí lekce Substituční metoda patří k nejčastěji používaným metodám výpočtu určitých integrálů. Jsou možné dva postupy výpočtu. V prvním případě vhodnou substitucí vypočteme neurčitý integrál (nalezneme primitivní funkci) a teprve potom pomocí Newtonovy Leibnizovy formule dosadíme horní a dolní mez. Výhodnější bývá druhá možnost, kdy vedle zavedení správné substituce ještě určíme nové meze a již se nemusíme vracet k původní proměnné

127 .5. Nevlastní integrály.5. Nevlastní integrály Cíle V této kapitole poněkud rozšíříme definici Riemannova určitého integrálu i na případy, kdy je integrační obor neohraničený (tj. (,b >, < a, ), případně (, ) ) nebo je neohraničená integrovaná funkce. Tyto zobecněné určité integrály se nazývají nevlastní. Seznámíme se se dvěma typy nevlastních integrálů. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že znáte pojem určitý integrál, předpoklady eistence a vlastnosti určitého integrálu, že znáte základní metody výpočtu určitého integrálu. Předpokládá se znalost pojmu limita funkce a postupy výpočtu těchto limit (Matematika I, kapitoly...). Výklad b V definici Riemannova určitého integrálu f ( d ) jsme vycházeli ze dvou předpokladů:. Integrační obor je konečný uzavřený interval < ab, >. a. Integrovaná funkce f( ) je na tomto intervalu ohraničená (ohraničená zdola i shora viz obr...5). Integrály definované za těchto předpokladů nazýváme vlastní integrály. Jestliže se v určitém integrálu objeví neohraničený interval nebo neohraničená funkce, hovoříme o nevlastních integrálech. Rozeznáváme dva druhy nevlastních integrálů:. Je-li interval, na kterém integrujeme, neohraničený, hovoříme o nevlastním integrálu prvního druhu (nevlastní integrál na neohraničeném intervalu). Jde o integrály typu b f ( d ), f ( d ), f ( d ). a. Je-li integrovaná funkce v intervalu < ab, > neohraničená (tedy nespojitá), hovoříme o nevlastních integrálech druhého druhu. e Může se vyskytnout i kombinace uvedených dvou typů, například integrál d

128 .5. Nevlastní integrály Nevlastní integrály. druhu (integrály na neohraničeném intervalu) Uvažujme funkci f( ) definovanou na intervalu < a, ), a R. Předpokládejme, že pro každé c c < a, ) eistuje určitý integrál f ( d ). Pak můžeme definovat funkci F vztahem a c Fc () = f() d, c a. a Nyní budeme neomezeně zvětšovat horní mez c a budeme sledovat, jak se chová veličina Fc (). Situace je znázorněna na obrázku.5.. Obr..5.. Definice nevlastního integrálu na neohraničeném intervalu < a, ) c Zelená plocha představuje hodnotu integrálu f ( d ). Při posouvání c nás bude zajímat, zda se hodnota tohoto integrálu blíží k nějakému konečnému číslu L (tj. zda eistuje konečná limita) nebo tato hodnota roste nade všecky meze (limita je hodnota neeistuje (hodnota osciluje). Definice.5.. (Definice nevlastního integrálu. druhu) Je-li funkce f( ) spojitá pro všechna čísla c a, pak integrál tvaru + a f ( d ) a + nebo ), případně nazýváme nevlastní integrál prvního druhu (na nekonečném intervalu) a přiřazujeme mu hodnotu rovnou limitě + a c f ( d ) = lim f( d ) = L. c + a - 8 -

129 .5. Nevlastní integrály Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvažovaný nevlastní integrál konverguje (je konvergentní). V opačném případě, tj. když limita je nevlastní ( L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje (je divergentní). Řešené úlohy Příklad.5.. Vypočtěte integrál d. 0 + Řešení: Budeme postupovat podle definice.5.. Nejprve nalezneme pomocnou funkci horní meze c Fc () = f() da potom spočítáme její limitu L = lim Fc ( ). a c + c c [ ] 0, takže 0+ Fc ( ) = d= arctg = arctg c arctg 0 = arctg c π L= lim F( c) = lim arctg c=. c + c + Integrál tedy konverguje a platí π d =. 0 + Obr..5.. Graf funkce f( ) = pro

130 .5. Nevlastní integrály Příklad.5.. Vypočtěte integrál d. 0 + Řešení: Postupujeme stejně jako v předcházejícím příkladu. c c c , takže F() c = d = d = ln( + ) = ln( c ) L= lim F( c) = lim ln( + c ) =+. c + c + Integrál tedy diverguje. Obr..5.. Graf funkce f( ) = pro 0 + Příklad.5.. Vypočtěte integrál Řešení: V tomto případě je cos d. 0 c [ c ] 0, takže 0 Fc () = cosd= sin = sinc L = lim Fc ( ) = lim sin cneeistuje (hodnoty funkce oscilují mezi - a +. c + c + Integrál tudíž rovněž diverguje

131 Příklad.5.4. Pro která p je nevlastní integrál p d, p > 0 konvergentní?.5. Nevlastní integrály Řešení: Nejprve počítejme tento integrál pro p. c p+ p p p ( ) Fc () = d= = c + p. c p Musíme určit limitu lim c. Jedná se o mocninnou funkci s eponentem s = p. c + Na obrázku.5.4 jsou grafy mocninné funkce s y =, > 0 pro různá s (viz Matematika I, kapitola.5.4). Obr Graf funkce y =, s R, > 0 s Z grafu.5.4 vidíme, že pro s = p >0 (tedy pro p < ) je c + c + p ( ) L= lim F( c) = lim c =+, integrál diverguje. p p lim c c + =+, a proto Pro s = p< 0 (tedy pro p > ) je p ( ) p lim c = 0, a proto c + L= lim F( c) = lim c = =, integrál konverguje. p p p c + c + Ještě musíme uvažovat možnost, že p =. V tomto případě c c F( c) = d = [ ln ] = ln c ln = ln c, pak - -

132 .5. Nevlastní integrály L= lim F( c) = lim ln c=+,, integrál diverguje. c + c + Shrnutí: konverguje pro p > d p. diverguje pro p Poznámky. Hranice mezi konvergencí a divergencí je p =.. Stejný výsledek dostaneme i pro případy, kdy dolní mez integrálu nebude, ale libovolné číslo d > 0. Výklad b Naprosto analogicky definujeme nevlastní integrál f ( d ) na intervalu b (, b >, b R. Předpokládejme, pro každé c (, b> eistuje určitý integrál f ( d ). Pak můžeme definovat funkci G vztahem b Gc () = f() d, c b a vyšetřujeme limitu L = lim Gc ( ). Terminologie je stejná jako v definici.5.. c c c Obr Definice nevlastního integrálu na neohraničeném intervalu (,b > Poznámka Je-li funkce f( ) spojitá na intervalu (, ) a konvergují-li pro libovolné číslo a oba - -

133 .5. Nevlastní integrály a + nevlastní integrály L = f( ) d, L = f( ) d, pak definujeme nevlastí integrál na a + intervalu (, ) : f ( d ) = L+ L. Příklad.5.5. Vypočtěte integrál 0 e d. Řešení: Funkce f ( ) = e je spojitá pro všechna reálná. Nalezněme nejprve primitivní funkci k dané funkci: substituce: t t e d= = t = e dt = e = e + C d= dt. 0 0 c Gc () = e d= e = e c c, takže c c L lim G( c) lim e = = = lim e = 0 =. c c c Integrál tedy konverguje a platí Příklad.5.6. Vypočtěte integrál 0 e d=. d 4 +. Řešení: Integrál rozdělíme na dva nevlastní integrály např. 0 d = d + d. Pro první integrál platí c Gc () = d= d= arctg arctg = c c + c +, - -

134 .5. Nevlastní integrály c π π L = lim G( c) = lim ( arctg ) = c c = 4 (konverguje). Pro druhý integrál dostaneme c c c c F( c) = d = d = arctg arctg 4 4 = L, c π π = lim F( c) = lim ( arctg ) = = (konverguje). c c 4 Tedy L = L (graf je souměrný podle osy y).. To nás nepřekvapuje, protože integrovaná funkce f( ) = je sudá 4 + Obr Graf funkce f( ) = 4 + π π π Proto d = L + L = + = (integrál konverguje) Poznámka Pomocí nevlastního integrálu. druhu definujeme pro > 0 funkci Gama: + t Γ ( ) = e t dt, která má řadu zajímavých vlastností. Například platí 0 Γ () =, Γ ( n+ ) = n! pro n N

135 .5. Nevlastní integrály Nevlastní integrály. druhu (integrály z neohraničené funkce) Uvažujme funkci f( ) definovanou na intervalu < ab, ), ab, R, a< b. Předpokládejme, že je tato funkce spojitá na intervalu < ac, ) pro každé c < a, b) (tedy eistuje určitý integrál vztahem c f ( d ) ), zatímco lim f( ) =. Pak můžeme definovat funkci F a b c Fc () = f() d, a c< b. a Nyní budeme sledovat, jak se chová veličina b zleva. Situace je znázorněna na obrázku.5.7. Fc (), když se horní mez c přibližuje k bodu Obr Definice nevlastního integrálu z neohraničené funkce na intervalu < ab, ) c Modrá plocha představuje hodnotu integrálu f ( d ). Při posouvání c b nás bude zajímat, zda se hodnota tohoto integrálu blíží k nějakému konečnému číslu L (tj. zda eistuje konečná limita), nebo zda se tato hodnota nekonečně zvětšuje (limita je případně hodnota neeistuje (hodnota osciluje). Definice.5.. (Definice nevlastního integrálu. druhu) Je-li funkce b a f ( d ) a + nebo ), f( ) spojitá na intervalu < ab, ), zatímco lim f( ) =, pak integrál tvaru b nazýváme nevlastní integrál druhého druhu (neohraničené funkce) a přiřazujeme mu hodnotu rovnou limitě - 5 -

136 .5. Nevlastní integrály b f ( d ) = lim f( d ) = L. a c c b a Je-li L konečné číslo, říkáme, že uvažovaný nevlastní integrál konverguje (je konvergentní). V opačném případě, tj. když limita je nevlastní ( L = + nebo L = ) nebo neeistuje, říkáme, že nevlastní integrál diverguje (je divergentní). Řešené úlohy Příklad.5.7. Vypočtěte integrál d. 0 Řešení: Integrovaná funkce je spojitá na intervalu < ab, ) a v bodě =není definována (obr..5.8). Protože platí lim. druhu (z neohraničené funkce). + = =+, jedná se o nevlastní integrál 0 Obr Graf funkce f( ) = c Nejprve nalezneme pomocnou funkci Fc () = f() d, 0 c < a potom spočítáme její limitu zleva L= lim F( c). c 0-6 -

137 .5. Nevlastní integrály substituce: c c = t c t Fc () = d= d= dt = dt t = = 0 t d = dt 0, c c c = = c. Vypočteme limitu pro c : L= lim F( c) = lim c = 0 =. c c Integrál je tedy konvergentní a platí: d =. 0 Výklad b Naprosto analogicky definujeme nevlastní integrál f ( d ) na intervalu ( ab, >, ab, R, a< b. Předpokládejme, že je tato funkce spojitá na intervalu (, cb> pro každé c ( a, b> (tedy eistuje určitý integrál f ( d ) ), zatímco lim f( ) =. Pak + a můžeme definovat funkci G vztahem b Gc () = f() d, a< c b. c Vyšetřujeme limitu pro c a +. Terminologie a označení jsou stejné jako v definici.5.. b c a - 7 -

138 .5. Nevlastní integrály Obr Definice nevlastního integrálu z neohraničené funkce na intervalu ( ab>, Poznámka Má-li integrovaná funkce více bodů, v nichž je funkce neohraničená ( lim f( ) = ), rozdělíme interval integrace na tolik dílčích intervalů, aby v každém z nich byl jediný bod v horní nebo v dolní mezi, ve kterém je limita nevlastní. Konvergují-li nevlastní integrály ve všech těchto dílčích intervalech, pak za jeho hodnotu na celém intervalu považujeme součet jeho hodnot na dílčích intervalech. Je-li nevlastní integrál divergentní aspoň na jednom dílčím intervalu, považujeme jej za divergentní na celém intervalu. Řešené úlohy Příklad.5.8. Vypočtěte integrál 4 d. 0 Řešení: Integrovaná funkce je spojitá na intervalu (0,4 > a v bodě = 0 není definována. Protože platí lim = =+, jedná se o nevlastní integrál. druhu (z neohraničené funkce). Grafem funkce je rovnoosá hyperbola s asymptotami = 0 a y = 0. Nejprve vypočteme určitý integrál na intervalu (,4 c >, 0< c 4: 4 4 Gc ( ) = d= [ ln ] = ln 4 ln c. c c Nyní vypočteme limitu pro c 0 + : - 8 -

139 .5. Nevlastní integrály + + c 0 c 0 ( ) L= lim G( c) = lim ln 4 ln c = ln 4 ( ) =+. Integrál je tedy divergentní. Příklad.5.9. Vypočtěte integrál d. Řešení: Studenti obvykle postupují následujícím způsobem: d = ( ) = + =. Někteří studenti dvakrát podtrhnou výsledek a jsou spokojeni, jak to lehce zvládli. Přemýšlivé studenty výsledek zarazí. Vždyť pro integrační obor <, > je integrand vždy kladný ( > 0, viz obr..5.0), a tedy hodnota integrálu musí být kladná (lze ji interpretovat jako obsah plochy pod danou funkcí). Kde je chyba? Obr Graf funkce f( ) = Je zřejmé, že daná funkce je na intervalu <, > neohraničená a není definována v bodě = 0. Rozdělíme tento interval na dílčí intervaly, aby nevlastní limita byla vždy jen v jednom krajním bodě intervalu: 0 d = d + d a budeme počítat dva nevlastní integrály. 0 c c Fc () = d= = a c L = lim F( c) = lim = = +. c 0 c 0 c 0-9 -

140 .5. Nevlastní integrály Proto 0 d diverguje. Pro druhý integrál vypočteme (podle předcházející poznámky to není nutné): Gc () = d= = + c c c L = lim F( c) = lim c + 0 c + + = + = +. 0 c 0 + Proto také d diverguje. 0 Shrnutí: Integrál d je divergentní. Poznámka. Nevlastní integrál prvního druhu (na neohraničeném intervalu) poznáte snadno, neboť v mezích figuruje symbol + nebo. Problematičtější je situace u nevlastních integrálů druhého druhu, neboť na první pohled nemusí být patrné, že je integrand neohraničená funkce, a že se jedná o nevlastní integrál. Pokud bude student postupovat, jako by se jednalo o obyčejný integrál, může dostat nesprávný výsledek.. To, že v některém bodě není integrovaná funkce definována ještě neznamená, že musí jít o nevlastní integrál. Například funkce sin a tedy funkce je ohraničená. Proto integrál není definována pro = 0, ale 0 sin lim =, 0 π sin d není nevlastní, ale jedná se o obyčejný integrál. To, že nám bude výpočet tohoto integrálu dělat potíže (viz kapitola.7), je jiný problém. Bude nutno použít nějakou numerickou metodu. Kontrolní otázky. Zapište definici nevlastního integrálu na intervalu (, b>, b R (analogie definice.5.).. Kdy je nevlastní integrál konvergentní a kdy je divergentní?. Jaký je rozdíl mezi nevlastními integrály prvního a druhého druhu?

141 .5. Nevlastní integrály 4. Zapište definici nevlastního integrálu na intervalu ( ab, >, ab, R, a< b, jestliže lim f( ) = (analogie definice.5.). a + 5. Je nevlastní integrál π 6. Jsou integrály 0 d konvergentní?. 4 sin d a ln d nevlastní? 0 7. Pro která p je integrál p d konvergentní? (Analogie příkladu.5.4.) 0. a) d) g) Úlohy k samostatnému řešení + d b) d + 4 e) + d h) +. a) d b) d) + e d e) g) + arctg d h) + d c) d f) + d + + i) + ln d c) + arctg d 0 + f) + d 4 i) + + d 4 d d + + e + ln e + 0 e d d d. a) d) d b) d e) 8 d c) ln d 0 4 d f) ( ) 0 d - 4 -

142 .5. Nevlastní integrály 4. a) d) d b) 0 ln d e) 0 π 4 d c) sin cos 0 d f) arcsin d 0 4+ π 0 tg d Výsledky úloh k samostatnému řešení π π π. a) diverguje; b) ; c) diverguje; d) ; e) ; f) 8 8 ; g) π 5 5 ; h) π ; i) ln.. a) ; b) diverguje; c) ; d) ; e) 8ln 0 π π π ; f) ; g) ; h) ; i).. a) 5 8 e 4 ; b) ; c) ; d) e) ln ; f) diverguje. 5 ; e) diverguje; f) π. 4. a) ; b) diverguje; c) diverguje; d) ; 4 Kontrolní test. Rozhodněte, zda nevlastní integrál d 0 4+ je a). druhu a rovná se, b). druhu a diverguje, c). druhu a rovná se, d). druhu a diverguje.. Rozhodněte, zda nevlastní integrál + d 4 je a). druhu a rovná se, b). druhu a rovná se, c). druhu a diverguje, d). druhu a diverguje.. Rozhodněte, zda nevlastní integrál d + + je a). druhu a diverguje, b). druhu a rovná se π, c). druhu a rovná se π, d). druhu a diverguje

143 .5. Nevlastní integrály 4. Rozhodněte, zda nevlastní integrál 0 e d je a). druhu a diverguje, b). druhu a rovná se c). druhu a diverguje, d). druhu a rovná se 5. Vypočtěte nevlastní integrál a) 0 d +. 6 π, b) 6 π, c) π, 6. Vypočtěte nevlastní integrál a) d., e. e π π, b) diverguje, c), d) Vypočtěte nevlastní integrál 0 e d. a), b), c) diverguje, d) Vypočtěte nevlastní integrál π tg d. π d) diverguje. a) 0, b) ln, c) diverguje, d) ln. 9. Vypočtěte nevlastní integrál e d 0 ln. a) 0, b), c) diverguje, d). 0. Vypočtěte nevlastní integrál 6 d. (4 ) a) 6, b) diverguje, c) 0, d)

144 .5. Nevlastní integrály Výsledky testu. b);. c);. b); 4. d); 5. a); 6. a); 7. b); 8. c); 9. d); 0. a). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu.5 znovu. Shrnutí lekce Rozlišujeme dva druhy nevlastních integrálů. Jednak může být integrál nevlastní kvůli tomu, že je integrační obor neohraničený (nevlastní integrály prvního druhu) nebo není na integračním oboru ohraničená integrovaná funkce (nevlastní integrály druhého druhu). Je-li funkce f( ) definována na intervalu a < b, b R zprava otevřeném a integrovatelná na každém dílčím uzavřeném intervalu < ac, >, c< b, pak definujeme nevlastní integrál + prvního druhu f ( d ) = lim f( d ) a c na intervalu a, ) b c + a druhého druhu f ( d ) = lim f( d ) a c c b a <, resp. nevlastní integrál pro funkci ( ) neohraničenou pro f b. Analogicky se zavedou nevlastní integrály na zleva otevřeném intervalu a < b, a R

145 . APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU. APLIKACE URČITÉHO INTEGRÁLU V matematice, ale zejména v přírodních a technických vědách, eistuje nepřeberné množství problémů, při jejichž řešení je nutno tím či oním způsobem použít integrálního počtu. V této kapitole uvádíme stručný přehled těch nejběžnějších aplikací určitých integrálů v geometrii a ve fyzice. Budeme se zabývat výpočtem délek, obsahů a objemů. Během dosavadní školní docházky jste si vytvořili jistou intuitivní představu, co je to délka křivky, obsah nějakého geometrického obrazce či objem tělesa. Seznámili jste se se vzorci pro výpočet délky úsečky nebo kružnice, dovedete vypočítat obsah trojúhelníka, obdélníka, čtverce, kruhu, objem krychle, kvádru, jehlanu, koule a dalších obrazců či těles. Jistě máte představu, že pravidelný pětiúhelník má určitý obsah, i když neznáte vzorec pro jeho výpočet. Dovedete však tento pětiúhelník rozložit na konečný počet trojúhelníků a po určité námaze byste vypočítali obsah pětiúhelníka jako součet obsahů těchto trojúhelníků. Vzniká otázka, jak definovat obsahy obecnějších obrazců, které nelze rozložit na konečný počet trojúhelníků. Vzhledem k určení a rozsahu těchto studijních materiálů není možné přesně zavést pojmy délka, obsah a objem. Precizním zavedením těchto pojmů se zabývá teorie míry, což je poměrně náročná matematická partie. Pro potřeby inženýrské prae vystačíme s jednoduchými objekty, kde je intuitivně jasné, že mají určitou délku, obsah, resp. objem. Budeme se zabývat výpočtem těchto veličin. Při řešení geometrických a fyzikálních úloh postupujeme ve dvou krocích:. Převedeme řešení úlohy na výpočet určitého integrálu.. Tento určitý integrál vypočítáme... Obsah rovinné oblasti Cíle Seznámíte se se základní aplikací určitého integrálu výpočtem obsahu křivočarého lichoběžníka a obsahu složitějších rovinných oblastí

146 .. Obsah rovinné oblasti Předpokládané znalosti Předpokládáme, že jste si prostudovali zavedení pojmu určitý integrál (kapitola.), kde je výpočet obsahu křivočarého lichoběžníka užitý jako motivace zavedení určitého integrálu. Dále předpokládáme, že znáte základní metody výpočtu určitého integrálu. Výklad Věta... Nechť je funkce f ( ) integrovatelná na intervalu < ab, > a je na něm nezáporná. Pak pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f ( ), přímkami Důkaz: = a, = b a osou platí b P= f( ) d. a Tvrzení plyne z definice Riemannova určitého integrálu (definice..). Obr.... Obsah křivočarého lichoběžníka pro nezápornou funkci ( f ( ) 0) Uvedený vztah pro obsah křivočarého lichoběžníka platí pro nezápornou funkci f ( ) na intervalu < ab, >. Z definice určitého integrálu je zřejmé, že pro funkci f ( ), která je b naopak na intervalu < ab>, nekladná ( f ( ) 0), bude určitý integrál f( ) d 0, a proto obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného zdola grafem funkce = b a osou bude P= f( ) d= f( ) d b b (obr...). a a a f ( ), přímkami = a,

147 .. Obsah rovinné oblasti Obr.... Obsah křivočarého lichoběžníka pro nekladnou funkci ( f ( ) 0) V obecném případě může funkce f ( ) libovolně měnit znaménko. Při výpočtu obsahu plochy ohraničené grafem funkce f ( ) a osou na intervalu < ab, > je nutno brát části nad b osou kladně a části pod osou záporně. Pokud bychom vypočetli integrál f ( d ) na celém intervalu, odečítaly by se kladné a záporné části (obr...). a g( ). Obr.... Obsah plochy mezi osou a grafem funkce f ( ) se znaménky Větu... můžeme zobecnit na případ, kdy je obrazec zdola ohraničen další funkcí Věta... Nechť jsou funkce f ( ) a g( ) integrovatelné a platí g( ) f( ) pro každé < ab, >. Pak pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného zdola grafem funkce g( ), shora grafem funkce f ( ) a přímkami = a, = b platí b P= f( ) g( ) d. a ( )

148 Důkaz: Jsou-li obě funkce f ( ) a g( ).. Obsah rovinné oblasti nezáporné, je obsah uvažovaného křivočarého lichoběžníka roven rozdílu obsahu plochy pod grafem funkce f ( ) a obsahu plochy pod grafem funkce g( ), viz obr...4. b b b P= f( ) d g( ) d= f( ) g( ) d a a a ( ) Obr...4. Obsah plochy mezi funkcemi g( ) a f ( ) na intervalu < ab, > Obecně by mohly funkce f ( ) a g( ) protínat osu (část obrazce by ležela pod osou ). V tomto případě stačí k oběma funkcím přičíst vhodnou konstantu C, aby byly obě funkce f ( ) nezmění. + C a g ( ) + C nezáporné. Obsah uvažovaného křivočarého lichoběžníka se tím b b b b b b b P = f ( ) + C d g( ) + C d = f ( ) d + Cd g( ) d Cd = f ( ) g( ) d [ ] [ ] ( ). a a a a a a a Poznámky. Z důkazu věty.. vyplývá, že při výpočtu obsahu křivočarého lichoběžníka mezi grafy dvou funkcí g ( ) f( ) není důležité, zda tento obrazec nebo jeho část leží pod osou.. Věta.. je speciálním případem věty.. pro g( ) = 0. Grafem funkce y = f( ) je křivka. Tato funkce (křivka) může být dána parametrickými rovnicemi = ϕ() t a y = ψ () t pro t < α, β >. Proměnnou t nazýváme parametr (ve fyzice mívá obvykle význam času a funkce ϕ () t a ψ () t mohou udávat -ovou a y-ovou souřadnici pohybujícího se bodu). Pro výpočet obsahu křivočarého lichoběžníka (obr...)

149 .. Obsah rovinné oblasti ohraničeného funkcí danou parametrickými rovnicemi můžeme modifikovat větu.. následujícím způsobem: Věta... Nechť funkce f je dána parametrickými rovnicemi = ϕ() t a y = ψ () t, přičemž funkce ϕ () t a ψ () t jsou spojité pro t < α, β >. Je-li funkce ϕ () t ryze monotonní a má spojitou Důkaz: derivaci na intervalu < α, β >, přičemž ϕ( α ) = a a ϕ( β ) = b, pak pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f, přímkami β P = ψ() t ϕ () t dt. α = a, = b a osou platí Je-li funkce = ϕ() t ryze monotonní na intervalu < α, β >, pak k ní eistuje inverzní funkce t ϕ = ( ). Rovnici křivky můžeme proto psát ve tvaru y = ψϕ ( ( )) = f( ). Uvažovaná plocha bude mít obsah b b P = f( ) d = ψϕ ( ( )) d. a a Odtud substitucí = ϕ() t, ze které plyne d = ϕ () t dt, dostaneme β P = ψ() t ϕ () t dt. α Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou y = 6 a osou. Řešení: U příkladů tohoto typu je dobré si udělat náčrtek. Je zadána kvadratická funkce, tedy grafem bude parabola. Nejprve upravíme rovnici paraboly, abychom nalezli její vrchol. y = 6 = ( 6 ) = ( ) +9. Z rovnice y 9 = ( ) je zřejmé, že vrchol paraboly je v bodě V = (,9) a ramena paraboly budou orientována směrem dolů

150 .. Obsah rovinné oblasti (obr...5). Řešením rovnice a = 0 a b = 6. 6 = 0 dostaneme průsečíky dané paraboly s osou : Obr...5. Graf funkce y = 6 Hledaný obsah je 6 P= (6 ) d= = 08 6 = Příklad... Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou y = sin, osou a přímkami = 0, = π. Řešení: Na intervalu < 0,π > je 0, avšak funkce sin bude měnit znaménko. Proto bude sin 0 pro < 0, π >, sin 0 pro < π,π > a sin 0 pro < π,π > (obr...6). Hledaný obsah bude sestávat ze tří částí: Obr...6. Graf funkce y = sin

151 .. Obsah rovinné oblasti π π π. P= sin d sin d+ sin d 0 π π Potřebnou primitivní funkci k funkci y = sin nalezneme metodou per partes: u = sin v= sin d= = cos + cos d= sin cos. u = cos v = Dosadíme příslušné meze: P = [ sin cos ] π [ sin cos ] π [ sin cos ] π 0 π + π = [ ] [ ] [ ] = 0 π ( ) π 0 + π( ) + 0 π( ) 0+ π = π + π + 5π = 9π. Příklad... Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu kruhu o poloměru R. Řešení: Vzorec pro výpočet obsahu kruhu jistě znáte už ze základní školy. Dosud jste však neměli dostatečné znalosti, abyste mohli dokázat platnost tohoto vzorce. Střed kruhu umístíme do počátku, což nemá vliv na obsah kruhu. Rovnice hraniční kružnice bude + y = R. Pro jednoduchost vypočteme obsah jedné čtvrtiny kruhu ležící v prvním kvadrantu a potom výsledek vynásobíme čtyřmi. Pro < 0, R > z rovnice kružnice dostaneme y = R. Pro obsah celého kruhu bude platit Obr...7. Obsah čtvrtiny kruhu R 4 P= R počítali. Podívejte se na příklad.4.7. Použijeme substituční metodu: 0 d. Podobný integrál jsme již - 5 -

152 .. Obsah rovinné oblasti substituce: π = sin R R t P= 4 R d= d = R cost dt = 4 R R sin t Rcost dt = , π R π π π π + cost = = 4R sin t costdt = 4R cos t dt = 4R dt = R ( + cos t) dt π sin t π = R t+ = R 0 = π R 0. Poznámka Při úpravě (výpočet odmocniny sin t = cos π t ) jsme využili toho, že pro < 0, > je cos 0. Příklad..4. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami y = a + y =. Řešení: Je zřejmé, že funkce y = bude vždy kladná a největší hodnoty nabude pro = 0. + Grafem druhé funkce je parabola (obr...8). Obr...8. Obrazec ohraničený křivkami y = a + y = - 5 -

153 Nejprve musíme nalézt průsečíky daných křivek. Řešíme rovnici.. Obsah rovinné oblasti + =. Po úpravě dostaneme 4 + = 0, tedy ( )( + ) = 0. Uvedená rovnice má dva reálné kořeny = a =. Podle věty.. je obsah oblasti ohraničené danými křivkami roven π P= d= d= arctg = = Poznámka Využili jsme toho, že oblast je souměrná podle osy y (integrand je sudá funkce). Příklad..5. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou Řešení: a jedním obloukem prostá cykloidy. π. Prostá cykloida je křivka, kterou opisuje bod pevně spojený s kružnicí o poloměru a při kotálení kružnice po přímce (obr...9). Tato cykloida má parametrické rovnice: = at ( sin t), y = a( cos t), t R. První oblouk cykloidy dostaneme pro parametr t < 0, π >. Obr...9. První oblouk cykloidy Protože d = a( cos t) dt, dostaneme z věty.. π π π = P= a( cos t) a( cos t) dt = a ( cos t) dt = a ( cos t+ cos t) dt

154 .. Obsah rovinné oblasti π π + cost t sint 0 0 [ ] = a ( cos t+ ) dt = a t sin t a π π πa + + = + = 4. Poznámka Body uvnitř kružnice by při kotálení kružnice po přímce opisovaly zkrácenou cykloidu a myšlené body vně tzv. prodlouženou cykloidu. Cykloida se v přírodě a technice objevuje na nečekaných místech a v různých zajímavých souvislostech. Například vlny na vodě mají tvar cykloidy, s oblibou se využívají cykloidiální ozubená kola v převodovkách, cykloida snese největší zatížení, což má využití v mostních a tunelových konstrukcích (nové tunely pražského metra, tunel Mrázovka), dále je užíván cykloidiální výřez na carvingových lyžích. Kontrolní otázky. Uveďte vzorec pro výpočet obsahu obrazce ohraničeného osou a grafem funkce y = f( ), která protíná osu ve dvou bodech.. Jak se liší vztahy pro výpočet obsahu křivočarého lichoběžníka ohraničeného grafem funkce f ( ), přímkami = a, = b a osou pro nezápornou a pro nekladnou funkci f ( )?. Jak vypočítáme obsah rovinného obrazce ohraničeného dvěma funkcemi g ( ) f( )?. 4. Jak vypočítáme obsah rovinného obrazce ohraničeného dvěma funkcemi, pokud celá oblast leží pod osou (tj. g ( ) f( ) < 0)? 5. Jak vypočítáte obsah obrazce ohraničeného funkcí y = sin a osou pro < 0, π >. 6. Určete parametr k tak, aby obsah oblasti ohraničené parabolou y = a přímkou y = k byl roven Odvoďte vzorec pro výpočet obsahu elipsy o poloosách a a b. (Parametrické rovnice této elipsy jsou = acost, y = bsin t, t <0, π >). Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami a) y = 4 ; y =0 b) y = 6 ; y =

155 .. Obsah rovinné oblasti c) e) y = 4 ; y = d) y = ; y = f) y = + 4 ; + y= y = ; = y g) y = 6; y = h) y = ; y = 4 π i) y = 4; + y = 5 j) y = tg ; y = 0; = 4 k) y = sin ; y = l) y = e ; y = e ; = ln π. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami a) y = ln ; y = ln b) c) y = arcsin ; y = 0; = 0; = d) e) y = ; = ; = 0; y = 0 f). Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného y sin ; y cos ; π π = = = ; = y = ; y = y = ; y = ; y = ; 0 a) parabolou = +, její tečnou v bodě (,5) a souřadnicovými osami. y b) křivkou y = e, její tečnou v bodě (0,) a přímkou =. c) grafem funkce y = + 6 pro a osou. d) parabolou y = 6+ 8 a jejími tečnami v bodech (, ) a (4,0). 4. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného osou a křivkou zadanou parametrickými rovnicemi a) = t, y = t t ; t b) = sin t, y = cos t; 0 t π = sin t, y = cos t; 0 t π = t sin t, y= cos t ; 0 t π c) ( ) ( ) d) = sin t, y = cos t; 0 t π e) = t t, y = t t ; 0 t

156 .. Obsah rovinné oblasti Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) π k) ; l) ; b) 6; c) 6.. a) e ; b) ; d) 9 ; e) 9 ; f) ; g) 4 ; c) π 4 ; d) π ; e) ; h) 8 5 ln ; i) 8ln ; j) ; ln ; f) ln +.. a) 8 ; b) e ; c) 86 ; d) a) ; b) π ; c) π ; d) 7 π 7 ; e) Kontrolní test. Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = 6 a + y 7 = 0. a) 5 6ln6, b) 5 6ln6 +, c) 5 ln 6, d) 5 ln Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = y 8 4 = + a a) 44, b) 7, c) 6, d) 08.. Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = + a y = 0. a) 4, b) 9, c) 8, d) Vypočtěte obsah rovinné oblasti dané nerovnostmi + y 8 a y. a) + π, b) 4 + π, c) 8 + π, d) 8 + π. 5. Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = tg, y = cos a y = 0. a) ln, b) ln, c) + ln, d) ln Vypočtěte obsah rovinné oblasti dané nerovnostmi y 4, a) 6, b) 0, c) 40, d) y a. 4y. 7. Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami y = arctg, y = arccotg a = 0. π π π a) ln, b) + ln, c), d) ln

157 8. Vypočtěte obsah rovinné oblasti ohraničené křivkami k : = acos t, y = bsin t, k : = bcos t, y = bsin t, a > b > 0 konst., pro.. Obsah rovinné oblasti π π t <, >. πb π a a) πba ( b), b) π aa ( b), c) ( a b), d) ( a b ). 9. Vypočtěte obsah smyčky křivky = t, y = t t, t. a) 6 5, b) 7 5, c) Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami a) c) (ln + + ln ), b) ln ( + ln ), (ln ln ) +, d) 6 8 (ln + ln ). 6 8, d). 5 ln y = a y = ln. 4 Výsledky testu. a);. b);. d); 4. b); 5. c); 6. d); 7. a); 8. c); 9. b); 0. d). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu. znovu. Shrnutí lekce b Z definice Riemannova určitého integrálu vyplývá, že integrál f ( d ) pro nezápornou funkci f ( ) na intervalu grafem funkce < ab, > dává obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora f ( ), přímkami = a, = b a osou. Jestliže funkce f ( ) na uvedeném intervalu protíná osu, je nutno rozdělit obrazec na části nad osou a na části pod osou, kde jsou hodnoty určitého integrálu z dané funkce záporné. Při výpočtu obsahu rovinného obrazce ohraničeného zdola grafem funkce důležité, zda obrazec nebo jeho část leží pod osou. g( ) a shora grafem funkce f ( ) pro < ab, > není a

158 .. Délka oblouku křivky.. Délka oblouku křivky Cíle Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem délky křivky. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že jste si prostudovali zavedení pojmu určitý integrál (kapitola.). Dále předpokládáme, že znáte základní metody výpočtu určitého integrálu. Budeme také používat parametrické rovnice křivky. Výklad Mějme část rovinné křivky dané rovnicí y = f( ) pro a b (obr...). Zajímá nás, jaká je délka této křivky. Předpokládejme, že jsou funkce f( ) a její derivace f ( ) spojité na intervalu < ab, >. Budeme postupovat analogicky jako při zavedení Riemannova určitého integrálu (kap..). Křivku nahradíme lomenou čarou, která se bude skládat z n úseček (obr...). Z Pythagorovy věty bude délka i té úsečky rovna si ( i) ( yi) = +. Norma dělení bude ν ( Dn) = ma i. i=,..., n Délka celé křivky bude přibližně rovna součtu délek jednotlivých úseček: n s si i=. Obr.... Aproimace křivky y = f( ) lomenou čarou

159 .. Délka oblouku křivky Je zřejmé, že pro zvětšující se počet dílčích úseček budeme dostávat přesnější aproimaci délky oblouku křivky. Pro délku uvažované křivky dostaneme: b ( ) ( ). a s = d + dy n a normu dělení ν ( ) 0 bude d, y dy a pro dy Jelikož f ( ) = (Matematika I, část II, kapitola.6), snadno vztah upravíme na tvar d b b b b ( dy) dy s = d + dy = + d= + d= + f a a ( d) d a a ( ) ( ) [ ( )] d. D n Věta... Nechť je funkce f( ) definovaná na intervalu < ab, > a má zde spojitou derivaci. Pak délka této křivky b [ ] s= + f ( ) a d. Křivka nemusí být vždy zadána eplicitní funkcí y = f( ), může být dána rovněž parametrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >. Křivku si můžeme představit jako trajektorii, kterou urazí bod, který se v čase spojitě pohybuje v rovině. Spojité funkce ϕ () t a ψ () t udávají -ovou a y-ovou souřadnici pohybujícího se bodu. Délka takové křivky je z fyzikálního hlediska vlastně dráha, kterou bod urazí od okamžiku α do okamžiku β. Věta... Nechť je křivka dána parametrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ () t a ψ () t mají spojité derivace na intervalu < α, β >. Pak je délka této křivky β [ ϕ ()] [ ψ ()]. α s = t + t dt

160 .. Délka oblouku křivky Důkaz: Funkce ϕ () t a ψ () t mají spojité derivace na intervalu < α, β >, pak platí d = ϕ () t dt a dy = ψ () t dt. Dosazením do vztahu b β β s= d + dy = t dt + t dt = t + t ( ) ( ) [ ϕ () ] [ ψ () ] [ ϕ ()] [ ψ ()] a dostaneme tvrzení věty. α α dt Poznámka Libovolnou funkci y = f( ), < ab, > můžeme snadnou parametrizovat, když položíme = t, y = f() t, t < a, b>. Jelikož ϕ () t =, vidíme, že tvrzení věty.. je speciálním případem věty... Řešené úlohy Příklad... Vypočtěte délku semikubické (Neilovy) paraboly < 0, >. y = na intervalu Řešení: Křivka se skládá ze dvou částí y = a y = symetrických podle osy (obr...). Obr.... Graf semikubické paraboly y = pro < 0, > Délka bude rovna dvojnásobku délky části nad osou. Použijeme vztah z věty.., kde f ( ) = a f ( ) =

161 .. Délka oblouku křivky s = + d= = = Poznámka Integrál pro výpočet délky křivky obsahuje odmocninu. Proto se nám i pro jednoduché funkce stane, že neumíme příslušný integrál vypočítat. V takovém případě bude nutno použít nějakou numerickou metodu nebo některý matematický program (např. Derive, Maple, Mathematica). Příklad... Vypočtěte délku kružnice o poloměru r > 0. Řešení: Bez újmy na obecnosti uvažujme kružnici se středem v počátku. Rovnice této kružnice je + y = r. Odtud y =± r, přičemž < rr, >. Vezmeme rovnici horní půlkružnice y =+ r a vypočítáme její derivaci že derivace není definována pro splněny. y = r. Problém je v tom, = r a = r. Předpoklady věty.. nejsou tedy Snadno najdeme parametrické rovnice kružnice. Z definice funkcí sinus a kosinus určíme polohu libovolného bodu A = ( y, ) ležícího na kružnici (obr...). Obr.... Odvození parametrických rovnic kružnice Hledané parametrické rovnice kružnice budou: = rcost, y = rsin t, t < 0, π >. Měníme-li úhel t od nuly do π, oběhne bod A celou kružnici. Pro výpočet délky kružnice použijeme větu... Jelikož ϕ () t = ( rcos) t = rsint a ψ () t = ( rsin t) = rcost, dostáváme - 6 -

162 .. Délka oblouku křivky π π π π [ sin ] [ cos ] (sin cos ) [] π r. 0 s= r t + r t dt = r t+ t dt = r dt = r t = Příklad... Vypočtěte délku asteriody. Řešení: Asteroida je zvláštním případem hypocykloidy. Hypocykloida je cyklická křivka, kterou vytvoří bod pevně spojený s kružnicí, která se valí (kotálí) po vnitřní straně nehybné kružnice. Asteroidu dostaneme v případě, kdy se kružnice o poloměru..4 červená) kotálí po vnitřní straně kružnice poloměru R= a. a r = (na obr. 4 Parametrické rovnice asteroidy jsou Obr...4. Asteroida acos t =, y = asin t, t < 0, π >. Protože asteroida je symetrická podle obou souřadnicových os, stačí, určíme-li délku její π jedné čtvrtiny v prvním kvadrantu, tj. pro t < 0, >. Tím se také vyhneme problémům se znaménky goniometrických funkcí sinus a kosinus v dalších kvadrantech. Vypočteme derivace parametrických rovnic a dosadíme do vztahu ve větě... = acos t( sin t), y = asin tcost, s 4 π π 4 4 = acos tsin t asin tcost + dt = 9 a (cos tsin t+ sin tcos t) dt = 0 0 π π a = a sin tcos t(cos t+ sin t) dt = asin tcost dt = sin t dt = π 0

163 .. Délka oblouku křivky π a cost a a a = (cos cos 0) ( ) π = = = Délka celé asteroidy je tedy a s = 4 = 6a. Poznámky. Při integraci jsme použili známý vztah sin t = sintcost.. Vztah pro výpočet délky křivky dané parametrickými rovnicemi lze snadno rozšířit i na prostorové křivky. Přibude pouze třetí souřadnice bodu křivky. Křivka bude mít parametrické rovnice = ϕ() t, y = ψ () t, z = ζ () t, t < α, β >. Pro její délku bude (za předpokladu spojitých derivací ϕ () t, ψ () t, ζ () t ) platit β s= [ ϕ () t ] + [ ψ () t ] + [ ζ () t ] dt. α Podrobnější informace naleznete v Matematice III v kapitole Křivkový integrál. Příklad..4. Vypočtěte délku elipsy. Řešení: Vzorec pro výpočet obsahu elipsy jste si již odvodili v kapitole.. (Kontrolní otázka.) Elipsa s poloosami a, b ( předpokládejme 0 < a< b, obr...5) má parametrické rovnice = acost, y = bsin t, t < 0, π >, pokud vedlejší poloosa leží v ose a hlavní poloosa v ose y. Obr...5. Elipsa o poloosách a, b - 6 -

164 .. Délka oblouku křivky Protože elipsa je symetrická podle obou souřadnicových os, stačí, určíme-li délku její π jedné čtvrtiny v prvním kvadrantu, tj. pro t < 0, >. Vypočteme derivace parametrických rovnic a dosadíme do vztahu ve větě... = asin t, y = bcost, s 4 π π [ asin t] [ bcost] dt a sin t b cos tdt = = + = π π π b a = a sin t + b ( sin t) dt = b ( b a )sin tdt = b sin tdt b = π = b k sin tdt, kde jsme označili 0 b a b = k. Délka celé elipsy bude π. 0 s = 4b k sin tdt Problém spočívá v tom, že primitivní funkci nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí. Podívejte se na kapitolu.7. Pro konkrétní hodnoty a a b bude nutno použít vhodnou numerickou metodu některého matematického programu (např. Derive, Maple, Mathematica). Poznámka ϕ Integrál typu E( k, ϕ ) = k sin t dt je označován jako eliptický integrál druhého druhu, neboť je jím vyjádřena délka elipsy. 0 Kontrolní otázky. Uveďte vztah pro výpočet délky křivky y = f( ) pro < ab, >.. Uveďte vztah pro výpočet délky křivky dané parametrickými rovnicemi

165 .. Délka oblouku křivky. Jaká je délka řetězovky e + e y = pro <, >? 4. S řetězovkou se můžeme setkat v architektuře. Tvar této křivky mají samonosné klenby starých staveb stejně jako některé moderní stavby. Zadejte slovo řetězovka do Vašeho vyhledávače (např. Google). Jak vypadá graf této křivky? 5. Jak vypočtete velikost dráhy, kterou urazí bod od t = 0 do t = při pohybu po křivce dané parametrickými rovnicemi = 5t, y= t? 6. Sestavte integrál pro výpočet délky paraboly y=,. Navrhněte metodu řešení tohoto integrálu. (Využijte příkladů.4.6 a poznámky k příkladu.4.8). 7. Sestavte integrál pro výpočet délky kubické paraboly y=, 0. Zkuste integrál řešit pomocí některého matematického programu (např. Derive, Maple, Mathematica). Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte délku křivky e + e a) y = ; 0 b) y= arcsin + ; c) y = ln ; 8 π d) y = ln(cos ) ; 0 4 e) f) g} y = 4 ; 0 ; y > 0 y = ln( ) ; 0 ln y = ; e 4. Vypočtěte délku křivky a) = cos t, y = sin t; 0 t π b) c) = cos t, y = sin t; 0 t π t = t, y = t ; 0 t

166 .. Délka oblouku křivky d) = (t sin t), y = ( cos t) ; 0 t π e) = cost+ tsin t, y = sin t tcos t; 0 t π f) + y = 4 Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) e ; b) ; c) e 4 + ln ; d) π ln tg 8 ; e) 9 7 ; f) ln ; g) e.. a) π ; b) ; c) ; d) 4 ; e) π ; f) Kontrolní test. Vypočtěte délku oblouku křivky a) y = ln pro e. 4 ( 4 e ), b) ( 4 e + ), c) ( e ) +, d) e +.. Vypočtěte délku oblouku křivky y= arcsin + pro 0. a), b) ( + ), c) 4, d) 4+.. Vypočtěte délku oblouku křivky 6 + y = pro. 8 a) 6, b), c), d) Vypočtěte obvod křivočarého trojúhelníka, jehož strany tvoří oblouky křivek + y = 6 a 5 = y. a) 4 π 6 + 6( arcsin ), b) π 6 + 6( + arcsin ), 7 6 c) 4 π 6 + 6( arcsin ), d) π 6 + 6( arcsin ) Vypočtěte délku oblouku křivky y = ln( + e ) ln( e ) pro ln ln 5. a) 4l n+ ln5, b) 8ln ln5, c) 5 ln, d) 6 6 ln

167 6. Vypočtěte délku oblouku křivky 4 y = ln 4 pro 0... Délka oblouku křivky a) ln 9, b) + ln, c) ln, d) + l n. 7) Vypočtěte délku smyčky křivky t, y t t = = pro t. a), b) 4, c) 4, d) 8. 8) Vypočtěte délku jednoho oblouku prosté cykloidy = at ( sin t), y= a( cos t), a > 0 konst., ( 0 t π ). a) 4 a, b) 6 a, c) a, d) 8 a. 9) Vypočtěte délku oblouku křivky v. kvadrantu. a) 6, b) 9, 4 t y t = = mezi průsečíky s osami souřadnic, c) 9, d) 8. t π π 0) Vypočtěte délku oblouku křivky = cost+ lntg, y = sin t pro t. 6 a) ln, b), c) ln, d). Výsledky testu. b);. c);. a); 4. c); 5. d); 6. a); 7. b); 8. d); 9. a); 0. c). Průvodce studiem Pokud jste správně odpověděli nejméně v 8 případech, pokračujte další kapitolou. V opačném případě je třeba prostudovat kapitolu. znovu. Shrnutí lekce Další možností použití určitého integrálu je výpočet délky křivky. Z Pythagorovy věty odvodíme základní vztah pro výpočet délky křivky b s = ( d) + ( dy). Jednoduchou a

168 úpravou dostaneme vzorec s= + [ f ( ) ] b a.. Délka oblouku křivky d pro výpočet délky křivky zadané eplicitní funkcí y = f( ), ab, < > a vzorec = [ ϕ ()] + [ ψ ()] β pro délku křivky, která je α s t t dt dána parametrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >. Problém je v tom, že velmi často neumíme integrál, který obsahuje odmocninu, vypočítat pomocí elementárních funkcí. V těchto případech nezbývá než použít nějakou přibližnou metodu. Vztah pro výpočet délky křivky lze rozšířit i na křivky v prostoru. Podrobnosti naleznete v tetu Matematika III, kapitola

169 .. Objem rotačního tělesa. Objem rotačního tělesa Cíle Seznámíte se s další aplikací určitého integrálu výpočtem objemu rotačního tělesa. Předpokládané znalosti Předpokládáme, že jste si prostudovali zavedení pojmu určitý integrál (kapitola.). Dále předpokládáme, že znáte základní metody výpočtu určitého integrálu. Výklad Uvažujme křivočarý lichoběžník ohraničený shora grafem nezáporné funkce f ( ), přímkami = a, = b a osou. Rotací tohoto křivočarého lichoběžníka kolem osy vznikne rotační těleso. Naším cílem bude vypočítat objem tohoto tělesa. Obr.... Rotace křivočarého lichoběžníka Budeme postupovat analogicky jako při zavedení Riemannova určitého integrálu (kap..). Řezy kolmými na osu rozdělíme rotační těleso na n tenkých plátků tloušťky Δ (můžete si představit, že těleso krájíte na kráječi jako šunku). Obr.... Rozřezání tělesa na tenké plátky

170 . Objem rotačního tělesa Každý plátek můžeme aproimovat válečkem, jehož podstavou je kruh o poloměru f ( ξ i ) s výškou Δ i (obr...). Objem i - tého válečku bude Δ Vi = π f ( ξi ) Δ i. Objem celého tělesa bude přibližně roven součtu objemů jednotlivých plátků (válečků): n n V Δ Vi = π f ( ξi) Δ i= i= i. Čím bude dělení intervalu <ab, > jemnější, tím méně se bude součet objemů plátků n ΔVi i= lišit od objemu daného tělesa. Proto objem definujeme jako limitu tohoto součtu pro n, když zároveň všechny délky Δ 0. Klademe b V = π f ( ) d. a Věta... i Nechť je funkce f ( ) spojitá a nezáporná na intervalu < ab, >. Pak rotační těleso, které vznikne rotací křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora funkcí f ( ), osou a přímkami = a, = b kolem osy, má objem b V = π f ( ) d. a Graf nezáporné funkce y = f( ) může být popsán parametrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >. Je-li funkce = ϕ() t ryze monotonní na intervalu < α, β >, pak k ní eistuje inverzní funkce t ϕ = ( ). Rovnici křivky můžeme proto psát ve tvaru y = ψϕ ( ( )) = f( ). b b Uvažované rotační těleso bude mít objem V = π f ( ) d= π ψ ( ϕ ( )). d Odtud substitucí = ϕ() t, ze které plyne d = ϕ () t dt, dostaneme β V = ψ () t ϕ () t dt. α a a

171 . Objem rotačního tělesa Věta... Nechť funkce f je dána parametrickými rovnicemi = ϕ() t, y = ψ () t, t < α, β >, přičemž funkce ϕ() t má spojitou derivaci na intervalu < α, β > a funkce ψ () t je spojitá a nezáporná na intervalu < α, β >. Pak pro objem rotačního tělesa, které vznikne rotací elementární oblasti ϕ( α) ϕ( β ), 0 y ψ ( t), kolem osy, platí β V = ψ () t ϕ () t dt. α Řešené úlohy Příklad... Ověřte vzorec pro výpočet objemu kuželu s poloměrem podstavy r a výškou v. Řešení: Vrchol kuželu umístíme do počátku souřadné soustavy tak, aby osa kužele splývala r s osou. Plášť kužele vznikne rotací přímky y = kolem osy pro < 0, v > v (obr...). Obr.... Objem kužele Dosazením do vztahu z věty.. dostaneme v v v r r r v 0 v 0 v 0 r v V = π d= π d= π = což je vztah, který znáte z geometrie. π, - 7 -

172 Příklad... Odvoďte vztah pro výpočet objemu koule o poloměru r > 0.. Objem rotačního tělesa Řešení: Rovnice kružnice se středem v počátku a poloměrem r je + y = r. Odtud y =± r, přičemž < rr, >. Rotací horní půlkružnice y =+ r dostaneme plášť koule. Obr...4. Objem koule Pro její objem bude platit r r r ( ) ( ) V = π r d= π r d= π r d= π r = r r 4 = π r = π r Poznámka. r 0 0 ) Při výpočtu jsme využili skutečnosti, že funkce ( r je sudá. Podle věty.4. bude r integrál s mezemi < rr>, roven dvojnásobku integrálu s mezemi < 0, r >. Je to logické, neboť objem celé koule se rovná dvojnásobku objemu polokoule. Pro výpočet objemu koule můžeme také využít parametrické rovnice horní půlkružnice: = rcost, y = rsin t, t < 0,π > (viz příklad..). Jelikož ϕ () t = ( rcos) t = rsint, dostaneme po dosazení do vztahu z věty.. π π π substituce cost u V = = πr sin trsin tdt = πr sin tdt = πr ( cos t)sin tdt = sin tdt = du 0, π = - 7 -

173 . Objem rotačního tělesa u 4 = π r ( )( u ) du = πr ( u ) du = πr u = r π. 0 0 Příklad... Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami y = a y = kolem osy. Řešení: Oblast je ohraničená dvěma parabolami, viz. obr...5. Obr...5. Oblast z příkladu.. Křivky f ( ) = a g ( ) = se protínají v bodech = a =. Hledaný objem dostaneme, když od objemu tělesa, jehož plášť vznikne rotací křivky f ( ) = kolem osy pro <, >, odečteme objem tělesa, které vznikne rotací obrazce pod křivkou g ( ) = na stejném intervalu (obr...6). V = π ( ) d - π ( ) Obr...6. Odečtení objemů dvou těles d Pro objem rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami y = a y = kolem osy, dostaneme: - 7 -

174 . Objem rotačního tělesa b b V= π f ( d ) π g ( d ) = π ( ) d π ( ) d= π ( ) ( ) d = a a 4 4 = π (4 4 + ) d = π (4 4 ) d = 4 π ( ) d = 8 π ( ) d = 6 = 8 = 8 = 0 π π π. Poznámka Upozornění! Pro výpočet objemu rotačního tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené křivkami g( ) f( ) kolem osy pro < ab, >, použijeme vztah b b b. V= π f ( d ) π g ( d ) = π f ( ) g ( ) d a a a Často se setkáváme s chybou, kdy je umocněn rozdíl funkcí. b [ Vztah V = π f ( ) g( ) d je evidentně nesprávný! a ] Příklad..4. Vypočtěte objem rotačního anuloidu. Řešení: Anuloid (torus), viz obr...7, je těleso vytvořené rotací kruhu kolem přímky ležící v rovině tohoto kruhu a neprotínající kruh. 0 Obr...7. Anuloid

175 . Objem rotačního tělesa Střed kruhu o poloměru r umístíme na osu y do vzdálenosti R od počátku, kde r < R (obr...8). Tento kruh necháme rotovat kolem osy. Obr...8. Vznik anuloidu rotací kruhu kolem osy Hranici rotujícího kruhu tvoří kružnice, která má rovnici + ( y R) = r. Odtud y R=± r. Podobně jako v předcházejícím příkladu je hranice rotující oblasti tvořena dvěma křivkami f ( ) = R+ r a = pro < rr, >. Objem anuloidu g ( ) R r dostaneme jako rozdíl objemů dvou těles (obr...9): r r V = π f ( ) g ( ) d== π R+ r R r d r r = r substituce: π r = rsin u = 4πR r d= 8πR r d= d = r cosudu = 8πR r r sin u rcosudu= r 0 0 π 0 0, r π π π + cosu = 8πRr sin u cosudu = 8πRr cos udu = 8πRr du =

176 . Objem rotačního tělesa π sin u π = 4πRr u + = 4πRr = Rr 0 π. V = r π f ( ) d - r π r g ( ) d r Obr...9. Výpočet objemu anuloidu Poznámka Při výpočtu integrálu byla použita substituční metoda. Podobné integrály jsme již několikrát počítali - viz příklady.4.7 nebo.4.5. Příklad..5. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací obrazce ohraničeného Řešení: osou a jedním obloukem cykloidy kolem osy. S cykloidou jsme se podrobněji seznámili v příkladu..5. Cykloida (obr...9) má parametrické rovnice: = at ( sin t), y = a( cos t), a> 0, t R. První oblouk cykloidy dostaneme pro parametr t < 0, π >. Protože d = a( cos t) dt, dostaneme z věty..:

177 . Objem rotačního tělesa π π t = V = π a ( cos t) a( cos t) dt = πa ( cos t) d 0 0 π = π a ( cost+ cos t cos t) dt = 0 substituce: π π π + cost sin t = u = π a [ t sint] + dt ( sin t)cos t dt = 0 costdt= du , π 0 = π 0 sint πa π t ( u ) du = + + = πa (π + π = π 0) 5 a. 0 0 Výklad V předcházející části byl plášť rotačního tělesa vytvořen rotací spojité křivky y = f( ), kolem osy. Zcela analogicky můžeme určit objem rotačního tělesa, jehož plášť vznikl rotací spojité křivky = hy ( ) pro y < c, d > kolem osy y (obr...0). Obr...0. Rotace křivočarého lichoběžníka kolem osy y Objem vypočteme ze vztahu: d V = π h ( y ) dy. c

178 . Objem rotačního tělesa Příklad..6. Vypočtěte objem rotačního tělesa, jehož plášť vznikne rotací křivky y = e pro < 0, > kolem osy y. Řešení: Funkce y = e je prostá na definičním oboru a inverzní funkce k ní bude = ln y, y > 0. Pro < 0, > bude y <, e> (obr...). Obr.... Rotace křivky y = e kolem osy y Objem rotačního tělesa bude: e u = v= ln y e e V = π ln ydy = = π yln y ln ydy u = y v = (ln y) y = e u = v= ln y = π = = + u = y v = y e [ e 0] ln ydy π e [ yln y] dy = e ( [ ] ) ( ) ( = π e e+ y = π e e+ e = π e. ) e Kontrolní otázky. Uveďte vztah pro výpočet objemu tělesa, jehož plášť vznikne rotací křivky y = f( ) kolem osy.. Uveďte vztah pro výpočet objemu tělesa při rotaci kolem osy, je-li rotující křivka dána parametrickými rovnicemi

179 . Objem rotačního tělesa. Jak bude vypadat vztah pro výpočet objemu tělesa, jestliže křivka daná parametrickými rovnicemi bude rotovat kolem osy y? 4. Jak vypočtete objem tělesa, jehož plášť vytvoří křivka y =, 0, při rotaci kolem osy? Jaký bude objem při rotaci kolem osy y? 5. Jak vypočtěte objem tělesa, jehož plášť vytvoří křivka y = +, 0, při rotaci kolem osy. Jaké těleso vznikne? 6. Jak vypočtete objem rotačního elipsoidu, jehož plášť vytvoří elipsa + y = 4 při rotaci kolem osy (kolem osy y)? Úlohy k samostatnému řešení. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami kolem osy : a) ; y = = y b) y = ; = y c) e) y = ; y = d) y = ; y = ; = π y = ; y = f) y = tg ; y = 0; = 0; = 4 g) y = arcsin ; y = 0; = 0; = h) y = 4; y = 0; = ; = 4 i) y = ; 4y+ 5 = 0 j) y = ; y = 0; = k) + y = 4; + y = l) y = sin ; y = 0; = 0; = π. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného zadanými křivkami kolem osy y : a) c) e) g) ; y = = y b) y + 4= 0; = 0 y = sin ; y = ; = 0 d) y = e ; y = 0; = 0; = y = ; y = 0; = f) y = ; y = = = y h) y = ln ; y = 0; y = ; = 0 4 y ;

180 . Objem rotačního tělesa. Vypočtěte objem rotačního tělesa, které vznikne rotací rovinného obrazce ohraničeného osou a danou, parametricky popsanou, křivkou při rotaci kolem osy : a) t = t, y = t ; 0 t b) = t sin t, y = cos t; 0 t π c) = sin t, y = cos t; 0 t π d) = sin t, y = cos t; 0 t π Výsledky úloh k samostatnému řešení. a) π π π ; b) ; c) ; d) π 6π π π ; e) ; f) π ; g) π ; h) π ; π 5 i) 7 ; j) (9 8ln ; k) 4ln π ) 8π π π 5π ; l).. a) ; b) ; 0 5 π π c) + π ; d) 7 6 b) 5π ; c) π ; d) 6π. 05 π e ; e) 4 π π 96π π ; f) ; g) ; h) 7 ( 5 e + ).. a) π ;