1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL

Transkript

1 1 Neurčitý integrál 1.1 NEURČITÝ INTEGRÁL V předchozím semestru jsme se seznámili s derivováním funkcí. Nyní se přesuneme k integrování funkce, což je vlastně zpětný proces k derivaci. Ukážeme si, jakým způsobem se lze z derivace funkce vrátit k původní funkci, kterou budeme nazývat primitivní funkce. Množinu všech primitivních funkcí pak nazveme neurčitým integrálem. Definice 1.1. Říkáme, že funkce F (x) je v intervalu (a, b) primitivní funkcí k funkci f(x), platí-li pro všechna x (a, b) vztah F (x) = f(x). Příklad 1.1. Najděte primitivní funkci k funkci f(x) = 1 x v intervalu (, ). Řešení: Funkce f(x) = 1 je derivací funkce F (x) = ln x na intervalu x (, ). x Přirozený logaritmus je tedy primitivní funkcí k funkci y = 1 pro x >. x Předpokládejme funkci F 1 (x) = ln( x), která je definována na intervalu x (, ). Ověříme, že je primitivní funkcí k funkci f(x) = 1 na tomto intervalu, x tj. vypočteme její derivaci. F 1(x) = 1 x ( 1) = 1 x. Primitivní funkcí k funkci f(x) = 1 x na celém jejím definičním oboru D f = R \ {} proto můžeme zapsat jako F (x) = ln x. Primitivní funkcí je však také např. funkce F (x) = ln x + 1, nebot i tato má stejnou derivaci y = 1 x. Věta 1.1. Je-li F (x) primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu (a, b), pak také funkce F (x)+c, kde C je libovolná reálná konstanta, je primitivní funkcí k funkci f(x) v intervalu (a, b). Definice 1.2. Množina všech primitivních funkcí k funkci f(x) na intervalu (a, b) se nazývá neurčitý integrál této funkce. Píšeme f(x) dx = F (x) + C. (1) Poznámka se nazývá integrační znak, f(x) je integrovaná funkce (integrand), dx je diferenciál integrační proměnné, C se nazývá integrační konstanta. 1

2 Výsledkem neurčitého integrálu je tedy množina funkcí, kterou můžeme zapsat ve tvaru součtu primitivní funkce f(x) a integrační konstanty C. 1.2 ZÁKLADNÍ NEURČITÉ INTEGRÁLY Z derivací základních elementárních funkcí obdržíme následující vzorce pro výpočet základních neurčitých integrálů. Vše si můžeme ověřit derivacemi primitivních funkcí na pravé straně rovností. 1. dx = C dx = x + C. 3. x n dx = xn+1 n+1 + C, pro x >, n dx = ln x + C, pro x. x 5. e x dx = e x + C. 6. a x dx = ax + C, pro a >, a 1. ln a 7. sin x dx = cos x + C. 8. cos x dx = sin x + C cos 2 x dx = tg x + C, x (2k + 1) π 2, k Z dx = cotg x + C, pro x kπ, k Z. sin 2 x x 2 dx = arctg x + C dx = 1 arctg x + C, pro a >. a 2 +x 2 a a x 2 dx = arcsin x + C, pro x ( 1, 1) a dx = arcsin x + C, pro x ( a, a), a >. 2 x 2 a 15. f (x) f(x) dx = ln f(x) + C. 16. f(ax + b) dx = 1 F (ax + b) + C, pro a. a Vlastnosti neurčitých integrálů Z pravidel pro derivování funkcí (f ± g) = f ± g, (c f) = c f okamžitě plyne následující věta. Věta 1.2. Mají-li funkce f(x) a g(x) na intervalu (a, b) primitivní funkce a c je libovolná reálná konstanta, pak platí: 2

3 (f(x) ± g(x)) dx = cf(x) dx = c f(x) dx ± g(x) dx, (2) f(x) dx. (3) Je nutné si však uvědomit, že obecné pravidlo pro integraci součinu a podílu dvou funkcí, stejně jako integraci složené funkce nemůže existovat. Příklad 1.2. Vypočtěte integrály: 3x 2 + 4x + 2 dx 3x Integrál podílu dvou funkcí je obecně problematický a záleží na konkrétní podobě integrandu. Vše je ale velmi jednoduché, je-li ve jmenovateli vhodný výraz, který umožňuje rozklad integrandu na několik sčítanců, které jsme pak schopni bez problémů zintegrovat. 3x 2 ( + 4x + 2 3x 2 dx = 3x 3x + 4x 3x + 2 ) dx = 3x ( = x ) dx = x2 3x x + 2 ln x + C. 3 (1 x) 2 dx I v případě různých součinů mnohočlenů, vzorců typu (a ± b) n, apod. je často výhodné integrand roznásobit a rozdělit na sčítance, které pak bez problémů integrujeme. (1 x) 2 dx = (1 2 x + x) dx = x 4 x3 + x C. tg 2 x dx Také goniometrické funkce lze v některých případech upravit na základní integrály. sin tg 2 2 x 1 cos 2 ( ) x dx = cos 2 x dx = x 1 dx = cos 2 x cos 2 x 1 dx = = tg x x + C. 3

4 cotg x dx Zde vidíme použití vzorce 15 z tabulky základních neurčitých integrálů. Jedná se vždy o integrál podílu funkce (ve jmenovateli) a její derivace (v čitateli). Tento integrál lze řešit i pomocí substituce, kterou si ukážeme v kapitole 1.4. Po prostudování této kapitoly doporučuji si tento příklad spočítat ještě jednou pomocí substituce. Pokud si nebudete vědět rady, zaved te substituci sin x = t. cotg x dx = cos x dx = ln sin x + C. sin x 2x + 1 dx Používáme vzorec 16 z tabulky základních neurčitých integrálů. Pro použití vzorce je nutné, aby se jednalo o integrál složené funkce, kde vnitřní funkcí je funkce lineární. I tento integrál lze vyřešit bez znalosti vzorce 16 použitím substituce (opět viz. kapitola 1.4.). I zde doporučuji se k tomuto příkladu zpětně vrátit a zavést substituci 2x + 1 = t. 2x 1 (2x + 1) 3/2 + 1 dx = + C = 1 (2x + 1)3 + C. 2 3/ INTEGRACE METODOU PER PARTES (PO ČÁSTECH) Na rozdíl od derivace součinu neexistuje přímý vzorec pro integrál součinu dvou funkcí. V některých případech lze součin dvou funkcí integrovat metodou per partes. Při odvození vztahu (4) vyjdeme ze vzorce pro derivaci součinu odkud úpravou získáme (uv) = u v + uv, u v = (uv) uv. Tuto rovnici integrujeme a obdržíme vztah uvedený v následující Větě 1.3. Věta 1.3. Mají-li funkce u(x) a v(x) na intervalu (a, b) spojité derivace, pak platí: u (x)v(x) dx = u(x)v(x) u(x)v (x) dx. (4) Metoda per partes neslouží k přímému výpočtu integrálu součinu dvou funkcí. Pomocí per partes integrál součinu u v nevypočteme, ale převedeme jej na integrál součinu uv (tj. jednu z funkcí integrujeme a druhou derivujeme), který pak 4

5 spočítáme jakoukoli jinou metodou, např. přímou integrací podle vzorce. Příklad 1.3. Vypočtěte integrály x sin x dx Využijeme toho, že derivace funkce v = x je v = 1, tj. po provedení per partes se integrál součinu vlastně redukuje na integrál jedné, navíc základní funkce cos x. V hranatých závorkách vidíme, kterou funkci jsme volili jako u, resp. v a k nim příslušný integrál u, resp. derivaci v. x sin x dx = u = sin x v = x = x cos x + cos x dx = u = cos x v = 1 x 2 e x dx = x cos x + sin x + C. Zde bude nutné provést per partes dvakrát za sebou. Při prvním provedení per partes se sníží řád polynomu, nebot funkci v = x 2 derivujeme a obdržíme v = 2x. Získaný integrál můžeme znova řešit metodou per partes a zbavíme se tak integrálu součinu podobně jako v předcházející úloze. x 2 e x dx = u = e x v = x 2 u = e x v = 2x = u = e x v = 2x = x 2 e x u = e x v = 2 = x 2 e x ( 2xe x = (x 2 2x + 2)e x + C. 2xe x dx = ) 2e x dx = Jednoduché typy integrálů řešitelných metodou per partes V Příkladu 1.3. jsme viděli základní použití per partes. Je-li jedna z funkcí polynom a druhou funkci jsme schopni bez problémů integrovat (např. funkce exponenciální e x nebo goniometrické sin x, cos x), volíme za funkci v(x) polynom P (x), který derivujeme. Metodu per partes pak používáme tolikrát, kolikátý je stupeň polynomu P (x). Je-li P (x) polynom stupně n 1, pak u integrálů typu: 5

6 P (x) sin x dx P (x) cos x dx P (x)e x dx P (x)a x dx položíme v = P (x), tj. v = P (x). Příklad 1.4. Vypočtěte integrály (x 2 + x) cos x dx Polynom je druhého stupně, je tedy nutné dvakrát použít metodu per partes. Řešení je obdobné Příkladu 1.3. (x 2 + x) cos x dx = u = cos x v = x 2 + x = u = sin x v = 2x + 1 = (x 2 + x) sin x (2x + 1) sin x dx = u = sin x v = 2x + 1 = u = cos x v = 2 = (x 2 + x) sin x + (2x + 1) cos x 2 cos x dx = = (x 2 + x 2) sin x + (2x + 1) cos x + C. (x 2 + 1)e x dx Podobná situace. Zvolíme u = e x. Integrál této funkce uvnitř tabulky budeme řešit použitím vzorce 16 z tabulky základních integrálů. Využijeme e x dx = 1 1 e x + C = e x + C. (x 2 + 1)e x dx = u = e x v = x = u = e x v = 2x = (x 2 + 1)e x + 2xe x dx = u = e x v = 2x u = e x v = 2 6 =

7 = (x 2 +1)e x 2xe x +2 e x dx = (x 2 +2x+1)e x 2e x +C = = (x 2 + 2x + 3)e x + C. Per partes jde použít i v jiných integrálech, např. součinu polynomu a logaritmické či cyklometrické funkce. Integrály logaritmických a cyklometrických funkcí neznáme (všimněte si, že v tabulce základních integrálů vůbec nejsou obsaženy). Ale jsme schopni je pomocí per partes derivovat a integrovat polynom. Navíc je klíčové, že derivací logaritmů a cyklometrických funkcí jsou funkce racionální lomené, případně iracionální lomené a problém tak převedeme na integrál mnohem jednodušší funkce a integrálů logaritmů a cyklometrických funkcí se tak šikovně zbavíme. Je-li P (x) polynom stupně n (tj. i konstanta), pak u integrálů typu: P (x) ln x dx P (x) arcsin x dx P (x) arccos x dx P (x) arctg x dx P (x) arccotg x dx položíme u = P (x), tj. u = P (x) dx. Příklad 1.5. Vypočtěte integrály x 2 ln x dx Zde uvidíme typické použití zmíněného postupu. Použijeme per partes, přičemž polynom integrujeme a logaritmickou funkci budeme derivovat. x 2 ln x dx = u = x 2 v = ln x = x3 u = x3 v = 1 3 ln x 1 x 2 dx = 3 3 x = x3 3 ln x x3 9 + C. 7

8 ln x dx Uvedeným postupem lze řešit i integrál samostatné logaritmické funkce ln x, resp. log a x, přestože se nejedná o součin. Stačí si představit v integrandu navíc jedničku, zapsat jako součin a řešit pomocí per partes, kde u = 1. ln x dx = u = 1 v = ln x = x ln x 1 dx = x ln x x + C. u = x v = 1 x arctg x dx Podobně řešíme i integrály obsahující cyklometrické funkce. Po provedení per partes vyřešíme získaný integrál použitím vzorce 15 z tabulky základních funkcí (jedná se o podíl funkce a její derivace). arctg x dx = u = 1 v = arctg x u = x v = 1 1+x 2 = x arctg x 1 2 = x arctg x 1 2 ln(1 + x2 ) + C. 2x 1 + x 2 dx = U některých složitějších integrálů s cyklometrickými funkcemi převedeme použitím per partes integrál na jiný typ integrace, který pak řešíme dalšími metodami, např. využití substituce nebo integraci iracionání funkce. S těmito metodami se seznámíme v dalších kapitolách. Příklad 1.6. Vypočtěte integrál e x cos 2x dx Jedná se o specifický integrál, který vyřešíme tzv. rekurzivním využitím per partes. Integrálem i derivací funkcí typu e x toho moc nezměníme. Podobně se chovají obě goniometrické funkce sin x a cos x, které při derivování i integrování pouze přecházejí jedna na druhou. Zkusíme provést dvě po sobě použití per partes se stejně volenýmí funkcemi a podíváme se, co jsme výpočtem dostali. e x cos 2x dx = u = e x v = cos 2x = u = e x v = 2 sin 2x = e x cos 2x 2e x sin 2x dx = u = e x u = e x 8 v = 2 sin 2x v = 4 cos 2x =

9 = e x cos 2x + 2e x sin 2x 4 e x cos 2x dx. Dvojnásobným použitím per partes jsme se vrátili zpět k původně zadanému integrálu a stejný integrál se objevuje na obou stranách získané rovnice. e x cos 2x dx = e x cos 2x + 2e x sin 2x 4 e x cos 2x dx. Převedeme oba integrály na jednu stranu rovnice a dostáváme 5 e x cos 2x dx = e x ( cos 2x + 2 sin 2x), odkud po dělení ihned získáváme e x cos 2x dx = 1 5 e x ( cos 2x + 2 sin 2x) + C. Integrační konstantu C bylo nutno připsat uměle, nebot jsme vlastně neintegrovali a nebylo ji kde získat. Přesto je evidentní, že ji výsledek musí obsahovat. 1.4 INTEGRACE SUBSTITUCÍ Integrace substitucí vychází z derivace složené funkce. Z předchozího semestru víme, že složenou funkci derivujeme podle vztahu [f(ϕ(x))] = f (ϕ(x)) ϕ (x). Budeme-li integrovat pravou stranu této rovnice, musíme opět získat zadanou složenou funkci. f (ϕ(x))ϕ (x) dx = f(ϕ(x)) + C. Při praktickém výpočtu integrálu součinu složené funkce a derivace jejího vnitřku lze použít následující Větu 1.4. a integrovat, přičemž vnitřní funkci ϕ(x) volíme za novou substituční proměnnou t = ϕ(x). Převodní vztah diferencujeme (připomeňte si kapitolku o diferenciálu funkce z minulého semestru) a obdržíme dt = ϕ (x) dx. Obě části substituce formálně dosadíme do integrálu, který tak přejde na jednodušší integrál nové proměnné. Po integraci samotné, pak zpět dosadíme substituci a získáme očekávaný výsledek. Věta 1.4. (Integrování substituční metodou ϕ(x) = t) Necht F (t) je primitivní funkce ke spojité funkci f(t) na intervalu (α, β). Necht má funkce t = ϕ(x) derivaci ϕ (x) na intervalu (a, b) a necht pro každé x 9

10 (a, b) platí ϕ(x) (α, β). Potom je funkce F (ϕ(x)) primitivní funkce k funkci f(ϕ(x))ϕ (x) na intervalu (a, b). Platí tedy: ϕ(x) = t f(ϕ(x))ϕ (x) dx = ϕ (x) dx = dt = f(t) dt = F (t)+c = F (ϕ(x))+c. (5) Příklad 1.7. Vypočtěte integrály 2x sin(x 2 + 1) dx Jedná se o typický integrál, který řešíme substituční metodou. Integrand obsahuje součin složené funkce sin(x 2 +1) a derivaci jejího vnitřku 2x. Volíme proto vnitřní funkci jako novou proměnnou x 2 +1 = t. Diferencujeme tento převodní vztah, obdržíme 2x dx = dt a dosadíme do původního integrálu. Získáme základní integrál funkce sin t, který bez problémů vypočteme a poté vrátíme původní proměnnou. x 2x sin(x 2 + 1) dx = = t 2x dx = dt = sin t dt = = cos t + C = cos(x 2 + 1) + C. Správnost výpočtu můžeme ověřit zpětným derivováním výsledku. sin 3 x cos x dx Zdánlivě úplně jiný integrál, ale naprosto stejný princip a postup. Stačí si opět všimnout, že integrand obsahuje součin složené funkce sin 3 x a derivaci jejího vnitřku cos x. Vnitřní funkci proto substituujeme a dopočítáme. sin x = t sin 3 x cos x dx = cos x dx = dt = t 3 dt = t4 4 + C = sin4 x + C. 4 3x 5 + x 2 dx Problém je opět podobný, ale nesedí číselný koeficient u derivace vnitřní funkce. Je třeba si uvědomit, že koeficienty jsme schopni z integrálu i derivace vytýkat nebo v rovnicích vhodně převést na opačnou stranu. Místo substituování členu 2x dx = dt použijeme krok x dx = 1 dt a integrál pak 2 1

11 již bez problémů vypočteme stejným postupem jako předchozí úlohy. 3x 5 + x 2 = t 5 + x t 3/2 dx = 2x dx = dt = t dt = 3 +C = t C = x dx = 1dt 2 2 = (5 + x 2 ) 3 + C. Substituce můžeme používat i v mnohem obecnějších úlohách. Neexistuje univerzální návod, kdy substituční metodu použít, ani jakou substituci zvolit. Důležité je získat zkušenosti se substituční metodou samostatným řešením většího množství příkladů. Pro lepší pochopení problematiky, doporučuji vyzkoušet použití substituce v posledních dvou úlohách Příkladu 1.2, který jsme předtím řešili pomocí základních vzorců. Substituci lze použít dokonce tak, jak ukazuje následující Věta 1.5. Dosadíme novou funkci za proměnnou x = ϕ(t), nahradíme i diferenciál dx = ϕ (t) dt a obdržíme zdánlivě komplikovanější integrál. Tento postup volíme, když takto získaný integrál jsme pak schopni vypočítat jakoukoli jinou metodou. Věta 1.5. (Integrování substituční metodou x = ϕ(t)) Necht funkce x = ϕ(t) zobrazující interval (α, β) na interval (a, b) je pouze rostoucí (popř. klesající) na intervalu (α, β) a má tam spojitou derivaci ϕ (t) a necht funkce t = ψ(x) je inverzní funkce k funkci x = ϕ(t) na intervalu (a, b). Je-li f(x) spojitá funkce na intervalu (a, b) a je-li G(t) primitivní funkce k funkci f(ϕ(t))ϕ (t) na intervalu (α, β), potom pro všechna x (a, b) platí x = ϕ(t) f(x) dx = dx = ϕ (t) dt = f(ϕ(t))ϕ (t) dt = G(t)+C = G(ψ(x))+C. (6) Příklad 1.8. Vypočtěte integrál sin x dx Jedná se opět o integrál složené funkce, která však již neobsahuje derivaci vnitřní části a proto nemůžeme použít podobný postup z předchozích úloh. Zdánlivě neřešitelný integrál přesto vyřešíme pomocí substituce. Zavedeme substituční vztah x = t. Převodní vztah nemůžeme diferencovat v tomto tvaru, nebot integrand neobsahuje derivaci x (uvědomme si, že( x) = 1 2 ). Proto jej převedeme na x x = t 2 a diferencujeme až v tomto tvaru. Získáme integrál, který pak bez pro- 11

12 blémů integrujeme použitím per partes. sin x = t x dx = x = t 2 = 2t sin t dt = u = sin t v = 2t = u = cos t v = 2 dx = 2t dt = 2t cos t+ 2 cos t dt = 2t cos t+2 sin t+c = 2 x cos x+2 sin x+c. 1.5 INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ V dalších kapitolách si ukážeme postup integrace některých konkrétních často používaných typů funkcí. Začneme integrálem racionálních funkcí, tedy podílem dvou polynomů. Racionální funkci vždy rozložíme na několik dílčích parciálních zlomků, které pak zintegrujeme každý zvlášt. Uvedeným postupem můžeme integrovat libovolnou racionální funkci. Nejprve si uvedeme některé vlastnosti racionálních funkcí. Definice 1.3. Racionální funkcí R(x) nazveme funkci, která je podílem dvou polynomů P m (x) a Q n (x). R(x) = P m(x) Q n (x). Definice 1.4. Racionální funkce R(x) = P m(x) se nazývá ryze lomená, je-li Q n (x) stupeň m polynomu P m (x) menší než stupeň n polynomu Q n (x), tj. m < n. Je-li m n, pak se funkce R(x) nazývá neryze lomená racionální funkce. Věta 1.6. Každou neryze lomenou racionální funkci můžeme vyjádřit jako součet polynomu a ryze lomené racionální funkce, tj. R(x) = P m(x) Q n (x) = P m 1 (x) + P m 2 (x) Q n (x), kde m 2 < n. Příklad 1.9. Vyjádřete racionální funkci R(x) = x3 + 2x 2 + x 1 x 2 x + 1 polynomu a ryze lomené racionální funkce. jako součet 12

13 Řešení: Jedná se o standardní středoškolský postup pro dělení polynomu polynomem. Obdržíme tento výsledek: (x 3 + 2x 2 + x 1) : (x 2 x + 1) = x x 4 x 2 x + 1. Integrály neryze lomených racionálních funkcí (stupeň polynomu v čitateli je větší nebo roven stupni polynomu ve jmenovateli), budeme tímto způsobem převádět na integrály funkcí ryze lomených. Jedná-li se tedy o integrál neryze lomené racionální funkce, provedeme nejprve dělení polynomu polynomem a obdržíme několik členů, které jsme schopni bez problémů integrovat, a ryze lomenou racionální funkci. Odted se proto budeme zabývat pouze integrálem ryze lomené racionální funkce. Dalším krokem postupu je rozklad polynomu ve jmenovateli. Každý polynom n tého stupně má obecně právě n komplexních kořenů α i, i = 1,..., n, které obecně nemusí být různé (např. kvadratická rovnice má bud dva různé reálné kořeny, jeden dvojnásobný reálný kořen nebo dva komplexní kořeny). Pomocí nich lze každý polynom vždy rozložit následujícím způsobem na součin lineárních funkcí a kvadratických funkcí, které nemají reálné kořeny (tj. mají záporný diskriminant). Věta 1.7. Každý polynom Q n (x) = a n x n + + a 2 x 2 + a 1 x + a stupně n 1 lze jednoznačně zapsat ve tvaru: Q n (x) = a n (x α 1 ) r 1... (x α u ) ru (x 2 + p 1 x + q 1 ) s 1... (x 2 + p v x + q v ) sv se vzájemně různými reálnými kořeny α i, i = 1, 2,... u a vzájemně různými kvadratickými polynomy x 2 +p j x+q j, j = 1, 2,... v, které nemají reálné kořeny. Příklad 1.1. Rozložte na kořenové činitele polynom Q n (x) = 2x 5 1x 3 72x. Řešení: Ze zadaného polynomu nejprve vytkneme 2x a obdržíme Q n (x) = 2x 5 1x 3 72x = 2x(x 4 5x 2 36). Nyní potřebujeme rozložit trojčlen v závorce. Problém lze řešit např. zavedením substituce t = x 2, získáme kvadratický trojčlen t 2 5t 36, který rozložíme na (t 9)(t + 4) a vrátíme substituci. Odtud už dalším jednoduchým rozkladem získáme Q n (x) = 2x(x 2 9)(x 2 + 4) = 2x(x 3)(x + 3)(x 2 + 4). 13

14 Kvadratický polynom x je v oboru reálných čísel nerozložitelný. Rovnice x 2 +4 = nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel bychom řešením této rovnice získali dvojici komplexně sdružených čísel x 1,2 = ±2i. Podle Věty 1.7. tedy polynom ve jmenovateli rozložíme na součin lineárních výrazů a případně kvadratických polynomů, které nemají reálné kořeny. Dále si ukážeme postup, kterým pak ryze lomenou racionální funkci rozložíme na součet dílčích parciálních zlomků - jmenovatelem je vždy jeden ze členů rozkladu polynomu Q n (x). V čitateli musí být polynom nižšího řádu, než je jmenovatel (funkce je ryze lomená). V případě lineární funkce je tedy v čitateli pouze číselný koeficient. V případě kvadratické funkce je v čitateli funkce lineární. Počet parciálních zlomků vždy odpovídá řádu polynomu Q n (x) ve jmenovateli integrandu. Definice 1.5. Parciálními zlomky nazýváme racionální funkce tvaru A (x α) k 1 nebo Mx + N (x 2 + px + q) k 2, kde A, M, N, p, q jsou reálná čísla, k 1, k 2 jsou přirozená čísla a polynom x 2 +px+ q nemá reálné kořeny (jeho diskriminant D = p 2 4q < ). A. Rozklad pro reálné různé kořeny polynomu Q n (x) Jestliže polynom Q n (x) má n reálných různých kořenů α 1, α 2,... α n (jednoduché kořeny), pak lze ryze lomenou racionální funkci R(x) = P m(x) rozložit na součet Q n (x) parciálních zlomků: P m (x) Q n (x) = A 1 + A A n, (7) x α 1 x α 2 x α n kde A 1, A 2,... A n jsou reálné konstanty. V případě reálných jednoduchých kořenů polynomu Q n (x) dostaneme pouze integrály parciálních zlomků typu A dx = A ln x α + C. (8) x α Příklad Vypočtěte integrál x 2 8x + 3 x 3 4x 2 + 3x dx. Řešení: Integrand je funkce ryze lomená, tj. neprovádíme dělení polynomů. Provedeme pouze rozklad polynomu ve jmenovateli a následný rozklad výrazu na tři různé parciální zlomky. x 2 8x + 3 x 3 4x 2 + 3x = x2 8x + 3 x(x 3)(x 1) = A x + 14 B x 1 + C x 3.

15 Hodnoty koeficientů A, B, C zatím neznáme. Nyní si ukážeme, jak zjistíme hodnoty koeficientů A, B, C, aby tato rovnice platila. Rovnici vynásobíme polynomem ve jmenovateli x(x 3)(x 1) a obdržíme x 2 8x + 3 = A(x 1)(x 3) + Bx(x 3) + Cx(x 1). Tato rovnice musí platit pro libovolné x R. Tři neznámé koeficienty A, B, C získáme libovolnou volbou pro tři různá x a řešením získané soustavy rovnic. Nejjednodušší soustavu získáme volbou nulových bodů jednotlivých jmenovatelů. Soustavu však lze vyřešit pro libovolné hodnoty x. Pro x = dostaneme: 3 = 3A A = 1. Pro x = 1 dostaneme: 4 = 2B B = 2. Pro x = 3 dostaneme: 12 = 6C C = 2. Zadaný integrál jsme převedli na součet parciálních zlomků, který jsme schopni integrovat: x 2 ( 8x x 3 4x 2 + 3x dx = x + 2 x 1 2 ) dx = x 3 = ln x + 2 ln x 1 2 ln x 3 + C. Uvedeným postupem vlastně celou dobu pouze upravujeme zadanou racionální funkci tak, abychom ji převedli na součet jednoduchých funkcí (parciálních zlomků), které jsme schopni integrovat. B. Rozklad pro reálné násobné kořeny polynomu Q n (x) Jestliže polynom Q n (x) má r násobný (r n) kořen α, pak lze ryze lomenou racionální funkci R(x) = P m(x) rozložit na součet parciálních zlomků: Q n (x) P m (x) Q n (x) = P m (x) (x α) r Q n r (x) = B 1 x α + B 2 (x α) B r (x α) r + R n r(x), (9) kde B 1, B 2,... B r jsou reálné konstanty. V případě reálných násobných kořenů polynomu Q n (x) dostaneme předchozí typ integrálů a dále integrály typu B k (x α) dx = B k k (x α) k dx = B k (x α) k+1 k + 1 B k + C = = + C. (1) (1 k)(x α) k 1 x 4 2x 3 + 3x 2 x + 1 Příklad Vypočtěte integrál dx. x 4 3x 3 + 3x 2 x 15

16 Řešení: Funkce je neryze lomená, provedeme tedy nejprve dělení polynomů: x 4 2x 3 + 3x 2 x + 1 x = 1 + x 4 3x 3 + 3x 2 x x 4 3x 3 + 3x 2 x. Rozložíme jmenovatel a ryze lomenou část funkce na parciální zlomky. Výraz (x 1) 3 tedy vytvoří tři parciální zlomky s postupně zvyšující se mocninou: x x 4 3x 3 + 3x 2 x = x3 + 1 x(x 1) = A 3 x + Odstraníme zlomky B x 1 + C (x 1) 2 + D (x 1) 3. x = A(x 1) 3 + Bx(x 1) 2 + Cx(x 1) + Dx. a dopočítáme koeficienty A, B, C, D. Vzhledem k nedostatku nulových bodů, dopočteme chybějící koeficienty soustavou rovnic. Pro x = dostaneme: 1 = A A = 1. Pro x = 1 dostaneme: 2 = D. Pro x = 1 dostaneme: = 8A 4B + 2C D. Pro x = 2 dostaneme: 9 = A + 2B + 2C + 2D. Do posledních dvou rovnic dosadíme již vypočtené hodnoty A = 1, D = 2 a vyřešíme získanou soustavu. Obdržíme B = 2, C = 1 a můžeme integrovat: x 4 2x 3 + 3x 2 x + 1 x 4 3x 3 + 3x 2 x = dx = ( ) 1 + x3 + 1 x(x 1) 3 ( 1 1 x + 2 ) x (x 1) (x 1) 3 dx = = x ln x + 2 ln x 1 1 x 1 1 (x 1) 2 + C. dx = Poslední dva integrály jsme vyřešili pomocí vzorce 16 ze seznamu základních integrálů. C. Rozklad pro komplexně sdružené kořeny polynomu Q n (x) Jestliže polynom Q n (x) má komplexně sdružené kořeny (jednoduché), pak lze ryze lomenou racionální funkci R(x) = P m(x) rozložit na součet parciálních Q n (x) zlomků: P m (x) Q n (x) = P m (x) (x 2 + px + q)q n 2 (x) K(2x + p) = x 2 + px + q + L x 2 + px + q +..., (11) 16

17 kde K, L jsou reálné koeficienty. V případě komplexně sdružených kořenů polynomu Q n (x) dostaneme kromě předchozích integrálů dále integrály typu K(2x + p) x 2 + px + q dx = K ln(x2 + px + q) + C. (12) L x 2 + px + q dx = L 1 = L q p2 4 ( x + p 2 arctg x + p 2 q p2 4 1 ) 2 dx = + q p C. (13) Výraz s kvadratickým nerozložitelným polynomem ve jmenovateli rozdělíme vždy na dva parciální zlomky. První z nich je ve tvaru podílu funkce ve jmenovateli a její derivace v čitateli a tedy vede na přirozený logaritmus jmenovatele (vzorec 15 v seznamu základních integrálů). Druhý má v čitateli pouze číselný koeficient a po úpravě jmenovatele na čtverec vede na arkustangens (zde použijeme vzorec 12 ze seznamu základních integrálů). Řešení problému osvětlí následující dvojice příkladů. x 2 1 Příklad Vypočtěte integrál x 3 + 4x dx. Řešení: Funkce je ryze lomená a tedy není nutné dělit polynomy. Rozložíme polynom ve jmenovateli x 3 + 4x = x(x 2 + 4) a sestavíme parciální zlomky. Opět se zbavíme zlomků x 2 1 x(x 2 + 4) = A x + B 2x x C x x 2 1 = A(x 2 + 4) + 2Bx 2 + Cx a dopočítáme koeficienty A, B, C. Pro x = dostaneme: 1 = 4A A = 1. 4 Pro x = 1 dostaneme: = 5A + 2B + C. Pro x = 1 dostaneme: = 5A + 2B C. Soustavu vyřešíme např. sčítací metodou a obdržíme B = 5, C =. 4 A nyní už bez problémů integrujeme. x 2 1 x 3 + 4x dx = ( 1 4x x x ) dx = 1 4 ln x ln(x2 + 4) + C. 17

18 Poslední parciální zlomek je roven nule a ve výsledku tudíž nefiguruje. Pokud bychom při výpočtu koeficientů získali nenulový koeficient C, řešíme integrál 1 C x dx = C 2 arctg x 2. V seznamu základních vzorců jej najdete pod číslem 12. x 5 + x 3 + x Příklad Vypočtěte integrál dx. x Řešení: Nyní uvidíme výpočet, kde bude nutné provést úplně všechny kroky, které jsme v této kapitole popsali. Funkce je neryze lomená, provedeme proto nejprve dělení polynomu: (x 5 + x 3 + x 2 + 2) : (x 3 + 1) = x x Rozložíme jmenovatel a ryze lomenou část funkce na parciální zlomky. Výraz x 2 x + 1 je v oboru reálných čísel nerozložitelný (má záporný diskriminant) a proto se rozpadá na dva parciální zlomky. Jeden, který v čitateli obsahuje derivaci jmenovatele a po integraci vede na logaritmus jmenovatele, a druhý pouze s číselným koeficientem v čitateli: 1 x = 1 (x + 1)(x 2 x + 1) = A B(2x 1) + x + 1 x 2 x C x 2 x + 1. Odstraníme zlomky 1 = A(x 2 x + 1) + B(2x 1)(x + 1) + C(x + 1) a obvyklým postupem dopočítáme koeficienty A, B, C. Pro x = 1 dostaneme: 1 = 3A A = 1. 3 Pro x = 1 dostaneme: 1 = 3A + 3C C = Pro x = dostaneme: 1 = A B + C B = 1. 6 Před samotným integrováním ještě poslední parciální zlomek upravíme rozkladem jmenovatele na čtverec, abychom mohli použít vzorec 12 ze seznamu základních integrálů. 1 x 2 x + 1 = 1 1 x 2 x = (x ) a nyní už můžeme integrovat: x 5 + x 3 + x dx = x

19 ( = x x x 1 6 x 2 x ) 1 2 (x 1 2 )2 + 3 dx = 4 = x3 3 + x ln x ln(x2 x + 1) arctg 2x C. 1.6 INTEGRACE GONIOMETRICKÝCH FUNKCÍ V této kapitole si ukážeme integrace goniometrických funkcí různého typu. Začneme integrály sin n x dx (resp. cos n x dx), kde n je celé číslo. Postup výpočtu závisí na tom, zda se jedná o sudou či lichou mocninu. I. Integrály typu sin n x dx (resp. cos n x dx) Při výpočtu rozlišujeme podle mocnitele n. a) n je liché, zavádíme substituci t = cos x (resp. t = sin x). b) n je sudé, snížime stupeň mocniny pomocí vzorců sin 2 x = 1 2 (1 cos 2x), nebo cos2 x = 1 (1 + cos 2x). (14) 2 Vztahy lze odvodit sečtením (resp. odečtením) známých goniometrických identit sin 2 x + cos 2 x = 1, cos 2 x sin 2 x = cos 2x. Příklad Vypočtěte integrály: sin 3 x dx Integrál liché mocniny goniometrické funkce sin x, resp. cos x řešíme substitucí za druhou z nich, přičemž jedna mocnina funkce se spojí s diferenciálem a zbývající část (sudá mocnina) se převede pomocí goniometrické identity sin 2 x + cos 2 x = 1 na substituční funkci. cos x = t sin 3 x dx = (1 cos 2 x) sin x dx = sin x dx = dt = = (1 t 2 ) dt = t3 3 t + C = cos3 x 3 cos x + C. 19

20 sin 2 x dx V případě sudé mocniny využijeme jednoho ze vztahů (14) a integrál převedeme na integraci goniometrické funkce dvojnásobného argumentu, který pak řešíme použitím vztahu 16 z tabulky základních integrálů nebo jednoduchou substitucí t = 2x sin 2 x dx = 1 (1 cos 2x) dx = 1 (x 12 ) 2 2 sin 2x + C = cos 4 x dx = 1 2 x 1 sin 2x + C 4 Analogický postup použijeme i pro vyšší sudé mocniny s tím rozdílem, že po použitím vztahu (14) získáme polynom obsahující goniometrické funkce ve vyšších mocninách, které musíme řešit opakováním předchozího postupu. [ ] 2 1 cos 4 x dx = (1 + cos 2x) dx = 1 (1+2 cos 2x+cos 2 2x) dx = 2 4 = 1 4 x+1 4 sin 2x+1 (1+cos 4x) dx = x+1 4 sin 2x+1 8 x+ 1 sin 4x+C = 32 = 3 8 x sin 2x + 1 sin 4x + C. 32 II. Integrály typu sin n x cos m x dx. x a) Je-li n liché, zavádíme substituci t = cos x. Je-li m liché, zavádíme substituci t = sin x. b) Jsou-li obě mocniny m, n sudé a kladné, snížíme je podle předcházejících vzorců (14). c) Jsou-li oba mocniny m, n sudé a alespoň jedna z nich je záporná, zavedeme substituci tg x = t, x = arctg t, dx = 1 dt. (15) 1 + t2 Nyní ještě potřebujeme vyjádřit funkce sin x, cos x pomocí substituční funkce tg x. Potřebné vztahy odvodíme z pravoúhleho trojúhelníku na Obr. 1. Jeden úhel bude mít velikost x, k němu přilehlou odvěsnu zvolíme o délce 1, čímž je trojúhelník jednoznačně definován. Protilehlá odvěsna musí mít velikost tg x = t. Pomocí 2

21 Obr. 1. K substituci tg x = t Pythagorovy věty vypočteme velikost přepony 1 + t 2. Z definic funkcí sinus a kosinus (poměr velikostí protilehlé, resp. přilehlé odvěsny k přeponě) získáme sin x = t, cos x = 1. (16) 1 + t t 2 Substituce lze použít i v případě varianty b), tj. když jsou oba koeficienty m, n sudé a kladné. Příklad Vypočtěte integrály: sin 5 x cos 2 x dx Je-li alespoň jedna funkce v liché mocnině, lze postupovat podobně jako v příkladu Pro lichou mocninu sinu, volíme substituci za kosinus a opačně. Pokud jsou obě funkce v liché mocnině, můžeme si libovolně vybrat z obou dostupých substitucí. cos x = t sin 5 x cos 2 x dx = sin x dx = dt = t 2 (1 t 2 ) 2 dt = = ( t 2 + 2t 4 t 6 ) dt = t t5 5 t7 7 + C = = 1 3 cos3 x cos5 x 1 7 cos7 x + C. sin 2 x cos 8 x dx Obě funkce jsou v sudé mocnině, funkce cos x v záporné mocnině, volíme proto substituci tg x = t. Za funkce sin x, cos x i diferenciál dx jsme dosadili příslušné vztahy (15), (16) z teoretického odvození. sin 2 t x 2 1+t 1 dx = tg x = t = 2 cos 8 1 x 1 + t dt = t 2 (t 2 + 1) 2 dt = (1+t 2 )

22 = III. Integrály typu (t 6 +2t 4 +t 2 ) dt = t t5 5 + t3 3 +C = 1 7 tg7 x+ 2 5 tg5 x+ 1 3 tg3 x+c. R(sin x, cos x) dx. Jedná se o integrály racionálních funkcí, které získáme z funkcí sin x, cos x pomocí konečného počtu aritmetických operací (sčítání, odčítání, násobení a dělení). Řešíme je zavedením tzv. univerzální substituce tg x 2 2 = t, x = 2 arctg t, dx = dt, (17) 1 + t2 pro niž lze odvodit vztahy pro jednotlivé goniometrické funkce analogicky jako Obr. 2. K substituci tg x 2 = t v předchozí kapitole. Zvolíme pravoúhlý trojúhelník s vnitřním úhlem x a přilehlou odvěsnou o délce 1. Protilehlá odvěsna má délku tg x = t. Z Pythagorovy 2 2 věty odvodíme velikost přepony 1 + t 2. Z definic funkcí sinus a kosinus obdržíme sin x 2 = t, cos x 1 + t 2 2 = t 2 Použijeme goniometrické vzorce pro dvojnásobný úhel (sin 2x = 2 sin x cos x, resp. cos 2x = cos 2 x sin 2 x) a získáme: sin x = 2 sin x 2 cos x 2 = 2 t 1 + t t 2 = 2t 1 + t 2, (18) cos x = cos 2 x 2 x sin2 2 = t t t = 1 t t. (19) 2 Dosazením do zadaného integrálu dostaneme integrál racionální funkce, který již neobsahuje goniometrické funkce a jsme jej schopni vyřešit jiným způsobem. sin x Příklad Vypočtěte integrál: cos x + 1 dx 22

23 Řešení: Dosadíme odvozené vztahy (17), (18), (19) a převedeme na integrál racionální funkce. Po úpravě získaného výrazu se jedná o jeden dílčí parciální zlomek, který ihned bez problémů integrujeme. sin x tg cos x + 1 dx = x 2 = t = 2t 1+t 2 1 t t dt = 2 1+t 2 = ln(1 + t 2 ) + C = ln(1 + tg 2 x 2 ) + C. 2t 1 + t 2 dt = Univerzální substituci můžeme použít v libovolném goniometrickém integrálu. Získaný integrál ale může být v obecném případě náročný, proto se často snažíme univerzální substituci vyhnout a najít jiné dostupné řešení, pokud existuje. Integrál v příkladu lze např. řešit substitucí za jmenovatel cos x + 1 = t. 1.7 INTEGRACE IRACIONÁLNÍCH FUNKCÍ Na závěr sekce o neurčitém integrálu si ukážeme řešení několika jednoduchých typů integrálů iracionálních funkcí, tj. situací kdy integrand obsahuje odmocniny. I. Pokud integrand obsahuje výraz n ax + b, použijeme substituci ax + b = t n, tj. a dx = nt n 1 dt 1 + 5x Příklad Vypočtěte integrál 3 dx x + 5 Řešení: Použítím uvedené substituce převedeme integrál iracionální funkce na integrál racionální funkce, kterou pak bez problémů integrujeme. 3 x + 5 = t 1 + 5x 3 dx = x + 5 = t x (t 3 5) = 3t 2 dt = 3 (5t 4 24t) dt = t dx = 3t 2 dt = 3(t 5 12t 2 ) + C = 3 3 (x + 5) (x + 5) 2 + C. V obecném případě získáme často po substituci integrál, který je nutné řešit rozkladem na parciální zlomky. n II. Pokud integrand obsahuje více odmocnin s různými odmocniteli 1 ax + b, n 2 ax + b,..., zavádíme tutéž substituci ax + b = t n, kde n je nejmenší společný násobek čísel n 1, n 2,

24 Příklad Vypočtěte integrál: 3 x x + 6 x 5 dx Řešení: Integrand obsahuje třetí a šestou odmocninu x. Nejmenším společným násobkem 3 a 6 je číslo šest, volíme proto substituci x = t 6 a opět obdržíme integrál racionální funkce. Získaná racionální funkce je neryze lomená. Proto provedeme dělení polynomů a následně řešíme několik jednoduchých integrálů a jeden parciální zlomek. 3 x x + 6 x 5 dx = 6 x = t x = t 6 = dx = 6t 5 dt t 2 t 6 + t 5 6t5 dt = 6 t 2 t + 1 dt = ( = 6 t ) ( ) t 2 dt = 6 t + ln t C = t = 3 3 x 6 6 x + 6 ln( 6 x + 1) + C. III. Pokud integrand obsahuje výraz a 2 x 2, zavádíme tzv. goniometrickou substituci. Lze použít libovolnou variantu x = a sin t nebo x = a cos t (2) a integrál tak převedeme na integrál goniometrické funkce. Příklad 1.2. Vypočtěte integrály: 1 x2 dx Pomocí substituce (2) integrál převedeme na integraci goniometrické funkce, který jsme probrali v předchozí kapitole. U těchto integrálů bývá problém zpětné dosazení substituce za proměnnou t. Do výrazu sin 2t ve výsledku bychom mohli také dosadit ze substituce t = arcsin x. Dostaneme tak výsledek ve formě sin 2 arcsin x, což je ale pro praktický výpočet nešikovné. Proto se získaný goniometrický výsledek zapíše ve formě funkcí sin t, cos t (v tomto případě pomocí goniometrického vzorce sin 2t = 2 sin t cos t) a teprve pak vracíme zpět použitou substituci. x = sin t 1 x2 dx = dx = cos t dt 1 x2 = cos t 24 = 1 sin 2 t cos t dt =

25 = cos 2 t dt = 1 2 (1 + cos 2t) dt = 1 2 t + 1 sin 2t + C = 4 = 1 2 t sin t cos t + C = 1 2 arcsin x + x 2 1 x2 + C. dx (9 x2 ) 3 Obdobný postup při jiném zadání. Nezapomeňte na koeficient a = 3 při substituci (2). dx (9 x2 ) = x = 3 sin t 3 dx = 3 cos t dt = 1 9 cos 2 t dt = 1 9 tg t + C = = 1 sin t 9 cos t + C = x 3 9 x 2 + C = x 9 9 x 2 + C. Výslednou goniometrickou funkci jsme zapsali ve formě podílu tg t = sin t, kde jsme za obě funkce dosadili ze substituce cos t cos t = sin t = x 3, 1 sin 2 t = 1 x2 9 = 1 9 x

26 2 Určitý integrál 2.1 URČITÝ INTEGRÁL V předchozí kapitole jsme se seznámili s pojmem neurčitý integrál. Tedy s postupem, kdy ze zadané funkce vytvoříme k ní funkci primitivní. Výsledkem neurčitého integrálu je tedy vždy funkce, resp. množina funkcí. Výsledkem určitého integrálu je naopak vždy číselná hodnota. Pomocí určitého integrálu jsme schopni spočítat velikosti ploch, délky křivek, objemy a povrchy rotačních těles, souřadnice těžiště, ale také spoustu jiných technických či ekonomických problémů - např. ve fyzice délku dráhy, velikost vykonané práce, apod. Existuje několik způsobů jak vybudovat pojem určitého integrálu. My si ukážeme postup, kterému se říká Riemannova definice určitého integrálu a je dostačující pro typy funkcí, se kterými budeme v našem kurzu pracovat. Představme si, že chceme vypočítat obsah tzv. křivočarého lichoběžníku ohraničeného shora spojitou funkcí f(x), který je znázorněný na Obr. 3. Obrazec rozdělíme rovnoběžkami s osou y na Obr. 3. Křivočarý lichoběžník proužky. Protože jednotlivé proužky jsou shora ohraničené funkcí f(x), provedeme výpočet přibližně. Funkci v každém proužku aproximujeme obdélníčkem, který má výšku rovnu funkční hodnotě v nějakém bodě základny tohoto proužku (viz. Obr. 4). Tím se dopouštíme určité chyby, protože někde je obdélníček vyšší a někde nižší. Budeme-li počet obdélníčků zvětšovat a zároveň zmenšovat délku jejich základny, bude se přibližná hodnota velikosti obrazce daná součtem obsahu obdélníčků přibližovat obsahu hledaného obrazce. Obsah obrazce vlastně dostaneme jako limitu pro nekonečný počet obdélníčků. Dá se dokázat, že výsledek je vždy stejný pro spojitou funkci f(x) na omezeném intervalu a, b a dokonce ani nezávisí na volbě bodů v základnách jednotlivých obdélníčků. V takovém případě odpovídá velikost obsahu křivočarého lichoběžníku určitému integrálu b a f(x)dx, kde si pro jednoduchost můžeme představit, že integrál v tomto výrazu figuruje 26

27 Obr. 4. Dělení oblasti na obdélníčky jako suma od bodu a do bodu b. Sčítané výrazy f(x) dx určují velikosti obsahu výše uvažovaných obdélníčků, kde diferenciál dx představuje infinitezimální (malinký) úsek na ose x a f(x) funkční hodnotu v nějakém bodě na tomto malinkém úseku dx. Při praktickém výpočtu pak pro výpočet určitého integrálu používáme následující Newton-Leibnizovy formule. Věta 2.1. (Newton-Leibnizova formule) Necht funkce f(x) je spojitá na intervalu a, b a F (x) je primitivní funkce k funkci f(x) na intervalu a, b, pak I = b a f(x) dx = [F (x)] b a = F (b) F (a). Číslo I nazýváme určitý (Riemannův) integrál funkce na intervalu a, b. Číslo a nazýváme dolní mez, číslo b horní mez. Interval a, b integrační obor. Poznámka: Z věty 1.1. víme, že k dané funkci f(x) existuje nekonečně mnoho primitivních funkcí F (x), které se liší konstantou. Po dosazení zjistíme, že hodnota určitého integrálu nezávisí na integrační konstantě. b a f(x) dx = [F (x) + C] b a = F (b) + C (F (a) + C) = F (b) F (a). Geometrický význam určitého integrálu Je-li f(x) na intervalu a, b, pak b a f(x) dx představuje obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f(x), přímkami x = a, x = b a 27

28 osou x. Poznámka: Výsledkem neurčitého integrálu je funkce (množina funkcí). Výsledkem určitého integrálu je číslo. Věta 2.2. Necht funkce f(x) a g(x) jsou integrovatelné na intervalu a, b, potom platí vztahy: b b cf(x) dx = c f(x) dx, kde c R. a a b (f(x) ± g(x)) dx = b b f(x) dx ± g(x) dx. a b f(x) dx a a b a f(x) dx. a m f(x) dx + b b f(x) dx = f(x) dx, kde m a, b. a m a b a f(x) dx = f(x) dx. a b Příklad 2.1. Vypočtěte určitý integrál: 2 1 (3x 2 + 1) dx Řešení: Při praktickém výpočtu tedy funkci integrujeme a do výsledné primitivní funkce dosadíme horní a dolní mez a hodnoty od sebe odečteme. Výsledkem je obsah oblasti ohraničené grafem funkce a osou x na intervalu x 1, (3x 2 + 1) dx = [x 3 + x] 2 1 = ( ) = 8. Integrace sudých a lichých funkcí Všimneme-li si toho, že integrandem je sudá nebo lichá funkce a integrovaná oblast je navíc souměrná podle počátku souřadnic, dá se velice jednoduše integrál 28

29 spočítat. V případě liché funkce (středově souměrné podle počátku souřadnic), musí integrál okamžitě být roven nule. V případě sudé funkce (osově souměrné podle osy y), stačí integrál počítat od nuly a výsledek vynásobit dvěma. Věta 2.3. (Integrace sudé, popř. liché funkce) Necht funkce f(x) je integrovatelná na intervalu a, a. Je-li f(x) na intervalu a, a sudá, pak a a f(x) dx = 2 f(x) dx. a Je-li f(x) na intervalu a, a lichá, pak a a f(x) dx =. Příklad 2.2. Vypočtěte určitý integrál: π/2 (x 2 + cos x) dx π/2 Řešení: Integrand je sudá funkce - souměrná podle osy y. Integrujeme proto pouze na intervalu x, π a výsledek vynásobíme dvěma. 2 π/2 π/2 π/2 [ x (x 2 +cos x) dx = 2 (x 2 3 +cos x) dx = sin x ] π/2 ( ) π 3 = = = π METODA PER PARTES PRO URČITÉ INTEGRÁLY V určitém integrálu máme při použití per partes dvě možnosti postupu. Integrál můžeme celou dobu řešit pomocí per partes jako neurčitý a meze dosadit až do výsledné primitivní funkce. Druhou možností je pak průběžné dosazování mezí do již vypočtené části primitivní funkce, jak popisuje Věta 2.4. Věta 2.4. Mají-li funkce u(x) a v(x) na intervalu a, b spojité derivace u (x) a 29

30 v (x), pak platí b b u (x)v(x) dx = [u(x)v(x)] b a u(x)v (x) dx. a Příklad 2.3. Vypočtěte určité integrály: a π x 2 sin x dx Výhoda popisovaného postupu spočívá v tom, že meze průběžně dosazujeme do již vypočtené části primitivní funkce. Jednotlivé kroky nemusíme stále opisovat a výpočet se tím zkrátí a zpřehlední. π x 2 sin x dx = u = sin x v = x 2 u = cos x v = 2x = [ x 2 cos x] π + = u = cos x v = 2x = π 2 + [2x sin x] π u = sin x v = 2 2 (x 2 x)e x dx = π 2 + [2 cos x] π = π 2 4. π π 2 sin x dx = 2x cos x dx = Typický integrál řešený dvěmi kroky metody per partes s postupným dosazováním mezí. V souladu s kapitolou 1.3. derivujeme polynom a integrujeme exponenciální funkci. 2 (x 2 x)e x dx = u = e x v = x 2 x = u = e x v = 2x 1 = [(x 2 x)e x ] 2 2 = 2e 2 [(2x 1)e x ] 2 + (2x 1)e x dx = 2 u = e x v = 2x 1 u = e x v = 2 = 2e x dx = 2e 2 (3e 2 + 1) + [2e x ] 2 = = e e 2 2 = e

31 e ln x dx 1 Postupujeme stejně jako v Příkladu 1.5. Integrand si představíme jakou součin jedničky a logaritmu. Logaritmickou funkci derivujeme a integrujeme jedničku. e ln x dx = u = 1 v = ln x e = [x ln x] e u = x v = 1 1 dx = e [x] e 1 = 1. x 1 Praktické použití per partes v určitém integrálu je totožné jako v případě integrálu neurčitého. Důležité je pamatovat si, pro které integrály je metoda vhodná. 2.3 SUBSTITUČNÍ METODA PRO URČITÉ INTEGRÁLY I zde se stejně jako u per partes dá postupovat dvěma způsoby. Opět můžeme integrál řešit celou dobu jako neurčitý, zavést substituci, zintegrovat, vrátit substituci a teprve do výsledné primitivní funkce dosadit meze. Druhou možností je při provedení substituce určit i nové meze integrálu a pak se již nevracet k původní proměnné, což výpočet integrálu substitucí značně zjednoduší. Věta 2.5. Necht funkce f(u) je spojitá na intervalu α, β. Necht funkce u = ϕ(x) má spojitou derivaci ϕ (x) na intervalu a, b a necht pro každé x a, b platí α ϕ(x) β, α = ϕ(a), β = ϕ(b) (funkce ϕ zobrazuje interval a, b na interval α, β ). Pak platí b f(ϕ(x))ϕ (x) dx = β f(u) du. 1 a α Příklad 2.4. Vypočtěte určité integrály: 2 3x 5 + x 2 dx Integrál řešíme substitucí za vnitřní funkci 5+x 2 = t. Do převodního vztahu nyní dosadíme za proměnnou x dolní i horní mez a obdržíme nové meze pro proměnnou t. Pro hodnotu dolní meze x = tedy dostaneme t = = 5 a hodnotě horní meze x = 2 odpovídá t = = 9. Po dosazení 31

32 nové proměnné, jejího diferenciálu a nových mezí pak obdržíme nový určitý integrál, který integrujeme a již není nutné se vracet k původní proměnné. 2 3x 5 + x 2 = t x 2 dx = x dx = 1dt 3 = 2 t dt = [ t3 ] 9 5 = , 2 9 e 1 ln 2 x x dx Totožný postup. Při substituci ln x = t odpovídá dolní mezi x = 1 nová dolní mez t = ln 1 = a horní mezi x = e nová horní mez t = ln e = 1. e ln x = t ln 2 x 1 [ ] x dx = 1 t dx = dt = t dt = = 1 x , e 1 π/4 tg 3 x dx Řešíme integrál goniometrické funkce, který obsahuje funkci sin x ve třetí mocnině, použijeme proto substituci t = cos x. Jednu mocninu funkce sin x tedy spojíme s diferenciálem a substitujeme nejen cos 3 x = t 3 ve jmenovateli, ale také sin 2 x = 1 cos 2 x = 1 t 2 za výraz v čitateli. Hodnotě dolní meze x = odpovídá po substituci t = cos = 1. Z x = π získáme 4 pro novou horní mez hodnotu t = cos π = 2. Po provedení substituce je 4 2 dolní mez nově vzniklého integrálu větší než jeho horní mez. Můžeme tedy použít úpravu z Věty 2.2., prohodit meze a změnit znaménko výsledného integrálu na opačné. π/4 π/4 cos x = t tg 3 sin 2 x sin x x dx = dx = cos 3 sin x dx = dt = x 1, π = 2/2 1 1 t 2 t 3 dt = 1 2/2 ( 1 t 1 ) [ dt = 1 ln t 3 t 2t2 ] 1 2/2 = 32

33 = ln 2 2 = 1 2 ln 2. 1 x 2 1 x 2 dx 1 Integrál iracionální funkce tohoto typu řešíme goniometrickou substitucí x = sin t. Je třeba dát pozor na to, že vyjádření mezí ve formě sin t = 1, resp. sin t = 1, není jednoznačné (funkce je periodická a obdržíme nekonečně mnoho řešení). Je nutné nejprve z převodního vztahu vyjádřit proměnnou t = arcsin x a teprve sem dosadit hodnoty dolní a horní meze. Odtud obdržíme pro dolní mez t = arcsin( 1) = π a pro horní mez 2 t = arcsin 1 = π. Integrál se substitucí převedl na integrál goniometrické 2 funkce v sudé mocnině, který řešíme pomocí vztahu (14) z kapitoly o integraci goniometrických funkcí. 1 1 = 1 4 x = sin t x 2 1 x 2 dx = dx = cos t dt 1 π, 1 π 2 2 π/2 π/2 sin 2 2t dt = 1 4 π/2 π/2 = π/2 π/2 sin 2 t cos 2 t dt = 1 2 (1 cos 4t) dt = 1 [t 14 ] π/2 8 sin 4t = π/2 = 1 ( π π ) = π 2 8. Postup jsme mohli mírně zjednodušit, nebot se jedná o integrál sudé funkce na oblasti souměrné podle počátku souřadnic a tedy jsme mohli volit jako dolní mez nulu a celý integrál vynásobit dvěma. 2.4 APLIKACE - OBSAH ROVINNÉHO OBRAZCE Z definice Riemannova určitého integrálu plyne, že obsah křivočarého lichoběžníku ohraničeného zdola osou x, shora nezápornou funkcí f(x) a rovnoběžkami s osou y o rovnicích x = a, x = b vypočteme určitým integrálem P = (viz. Obr. 5). b a f(x) dx Věta 2.5. Necht je funkce f(x) integrovatelná na intervalu a, b a je na něm nezáporná. Pak pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem 33

34 Obr. 5. Obsah křivočarého lichoběžníku pro nezápornou funkci f(x) funkce f(x), přímkami x = a, x = b a osou x platí b P = f(x) dx. a Z definice určitého integrálu naopak plyne, že pokud je funkce f(x) na intervalu a, b, je také integrál f(x) dx. Obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného nekladnou funkcí je tedy roven P = b a b a f(x) dx (viz. Obr. 6). V obec- Obr. 6. Obsah křivočarého lichoběžníku pro nekladnou funkci f(x) ném případě může graf funkce na intervalu a, b i několikrát změnit znaménko. V tom případě je nutné integrál rozdělit na jednotlivé části, vypočítat velikosti obsahů dílčích úseků, sečíst obsahy nad osou x a odečíst záporné (viz. Obr. 7). 34

35 Obr. 7. Obsah oblasti s rozdílnými znaménky funkce f(x) V obecném případě platí: P = b f(x) dx. a Příklad 2.5. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou y = 6x x 2 a osou x. Řešení: Určíme průsečíky funkce s osou x řešením rovnice 6x x 2 =. Stačí vytknout x(6 x) = a ihned vidíme nulové body x =, x = 6. Grafem je kvadratická funkce, tj. parabola, která musí být na intervalu, 6 kladná (viz. Obr. 8). Řešíme tedy integrál Obr. 8. Graf funkce f : y = 6x x 2 P = 6 (6x x 2 ) dx = ] 6 [3x 2 x3 = = Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného funkcí y = ln x 2 a osou x na intervalu 1 2, 4. 35

36 Řešení: Integrovaná funkce střídá na intervalu znaménka, nebot nulový bod funkce x = 2 (řešení rovnice ln x = ) leží na zkoumaném intervalu 1, Na intervalu 1, 2 je funkce záporná, na intervalu 2, 4 kladná (viz. Obr. 2 9). Výpočet tedy rozdělíme na dva integrály, přičemž pro zápornou funkci Obr. 9. Graf funkce f : y = ln x 2 měníme znaménko výsledného integrálu. Integrál pak řešíme metodou per partes. 4 P = ln x 2 2 dx = ln x 4 2 dx + ln x 2 dx = 1/2 1/2 2 = u = 1 v = ln x 2 u = x v = 2 1 x 2 x = [ = x ln x ] 2 2 [ + dx + x ln x ] 4 4 dx = 2 1/ /2 2 ( = 1 2 ln 1 ) ln 2 (4 2) = ln 2+4 ln = 3 ln Problém můžeme zobecnit na výpočet oblasti ohraničené dvěma funkcemi f(x), g(x) shora i zdola. Integrujeme pak rozdíl funkcí f(x) g(x), kde f(x) g(x). Problém je jednoduše vysvětlen na Obr. 1. V obecném případě se funkce mohou na uvažované oblasti protínat a integrandem tedy musí být absolutní hodnota rozdílu obou funkcí. Je zjevné, že nezáleží na tom, zda jsou funkce nad či pod osou x. Věta 2.6. Necht jsou funkce f(x) a g(x) integrovatelné na intervalu a, b. Pak 36

37 Obr. 1. Obsah plochy mezi funkcemi f(x) a g(x) pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného grafy funkcí f(x), g(x) a přímkami x = a, x = b a osou x platí P = b a f(x) g(x) dx. Příklad 2.6. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkami xy = 4 a x + y = 5. Řešení: Určíme průsečíky funkcí řešením soustavy rovnic xy = 4, x + y = 5, např. dosazovací metodou. Z první rovnice vyjádříme y = 4, dosadíme do druhé x a obdržíme rovnici x + 4 x = 5, odkud úpravě získáme kvadratickou rovnici x 2 5x + 4 =, z které vypočteme kořeny, tj. průsečíky grafů x = 1, x = 4. Na intervalu x 1, 4 jsou hodnoty lineární funkce y = 5 x větší než hodnoty lineární lomené funkce y = 4 (viz. Obr. 11). Proto: x P = 4 1 ( 5 x 4 ) ] 4 dx = [5x x2 4 ln x = ln x = 37

38 Obr. 11. Obsah oblasti z Příkladu 2.6. = 15 4 ln 4. 2 Funkci standardně zadáváme funkčním předpisem y = f(x). Lze ji však také zadat parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), (představte si například parametrické rovnice úsečky). V takovém případě vlastně v integrálu b a f(x) dx provádíme formální substituci, kde za y = f(x) dosadíme y = ψ(t) a za diferenciál dx = ϕ (t) dt. Absolutní hodnotu však musíme počítat ze součinu obou výrazů, nebot i ϕ (t) může být záporná. Musíme také (podobně jako u klasické substituce) změnit meze tak, aby hodnoty parametru t pro dolní i horní mez odpovídaly uvažované oblasti. Věta 2.7. Necht funkce f je dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), přičemž funkce ϕ(t) a ψ(t) jsou spojité pro t α, β. Je-li funkce ϕ(t) ryze monotonní a má spojitou derivaci na intervalu α, β, přičemž ϕ(α) = a a ϕ(β) = b, pak pro obsah křivočarého lichoběžníka ohraničeného shora grafem funkce f, přímkami x = a, x = b a osou x platí P = β α ψ(t)ϕ (t) dt. (21) Příklad 2.7. Vypočtěte obsah rovinného obrazce ohraničeného křivkou x 2 + y 2 = 4 v prvním kvadrantu. Řešení: Jedná se o rovnici kružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2, kterou uvažujeme v prvním kvadrantu (viz. Obr. 12). Parametrické rovnice kružnice se středem v počátku souřadnic o obecném poloměru r jsou ve tvaru: x = r cos t, y = r sin t, 38

39 Obr. 12. Obsah oblasti z Příkladu 2.7. kde t odpovídá orientovanému úhlu od kladného směru osy x k průvodiči, tj. pro celou kružnici nabývá parametr t hodnoty z intervalu t, 2π. V naše případě proto pracujeme s rovnicemi ϕ : x = 2 cos t, ψ : y = 2 sin t, přičemž úseku kružnice v prvnímu kvadrantu vyhovují hodnoty parametru t, π. Pro dosazení do vztahu (21) dále potřebujeme derivaci funkce 2 Odtud sestavíme integrál a vypočteme: ϕ : x = 2 sin t. P = π/2 2 sin t ( 2 sin t) dt = π/2 4 sin 2 t dt = 4 π/2 sin 2 t dt = = π/2 (1 cos 2t) dt = 2 [t 12 ] π/2 sin 2t = 2 π 2 = π. Výraz uvnitř absolutní hodnoty 4 sin 2 t byl menší nebo roven nule pro libovolnou hodnotu parametru t, proto jsme odstranili absolutní hodnotu a změnili znaménko u integrálu. Integrandem je pak sudá mocnina funkce sin t. Snížíme řád mocniny funkce sinus pomocí vztahů (14) a bez problémů integrujeme. Plochu můžeme vypočítat také standardním postupem. V tom případě z předpisu x 2 + y 2 = 4 vyjádříme proměnnou y, čemuž v prvním kvadrantu odpovídá funkce y = 2 4 x 2 a vypočítáme integrál 4 x2 dx, který řešíme goniometrickou 39

40 substitucí x = 2 sin t. Obdržíme samozřejmě totožný výsledek. Vše si můžeme ověřit známým vzorcem pro výpočet obsahu kruhu πr 2. Naše oblast je čtvrtinou kruhu o poloměru 2, tj. P = 1 4 π 22 = π. 2.5 APLIKACE - DÉLKA KŘIVKY Předpokládejme, že chceme spočítat délku oblouku křivky y = f(x) na intervalu x a, b. Budeme postupovat podobně jako při zavedení Riemannova určitého integrálu. Interval a, b rozdělíme na dílčí intervaly (viz. Obr. 13) a délku křivky Obr. 13. Délka křivky na jednom dílčím intervalu o délce x i aproximujeme úsečkou, kterou vypočteme Pythagorovou Větou s i = ( x i ) 2 + ( y i ) 2. Celou křivku tak vlastně nahradíme lomenou čarou a její délku součtem délek úseček na jednotlivých intervalech. Při postupném zvětšování počtu dílčích intervalů pak postupně lomená křivka lépe a lépe aproximuje hledanou délku křivky. Obecně tedy lze element délky křivky ds zapsat pomocí diferenciálů příslušných proměnných jako ds = (dx) 2 + (dy) 2. Protože však platí f (x) = dy (viz. kapitola o diferenciálu funkce z předchozího dx semestru), tedy dy = f (x) dx, lze element délky křivky vyjádřit v závislosti na proměnné x jako ds = (dx) 2 + (dy) 2 = (dx) 2 + [f (x) dx] 2 = 1 + [f (x)] 2 dx. Tento výraz integrujeme přes proměnnou x v mezích od a do b a obdržíme hledanou délku křivky. 4

41 Věta 2.8. Necht je funkce f(x) definovaná na intervalu a, b a má na něm spojitou derivaci. Pak je délka této křivky l = b a 1 + [f (x)] 2 dx. (22) Uvažujeme-li opět křivku v parametrickém zadání x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, dostaneme jednoduchou úpravou dosazením diferenciálů proměnných dx = ϕ (t) dt, dy = ψ (t) dt do předchozího výpočtu elementu délky křivky ds = (dx) 2 + (dy) 2 = [ϕ (t) dt] 2 + [ψ (t) dt] 2 = [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt. Tento výraz integrujeme přes proměnnou t v mezích od α do β a získáme vztah pro délku křivky zadanou parametricky. Věta 2.9. Necht je křivka dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t) a y = ψ(t), t α, β, přičemž funkce ϕ(t) a ψ(t) mají spojité derivace na intervalu α, β. Pak je délka této křivky Příklad 2.8. l = β α [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt. (23) Vypočtěte délku křivky y = ln(1 x 2 ) na intervalu x, 1 2. Řešení: Vypočteme derivaci funkce f : y = ln(1 x 2 ). Derivujeme jako složenou funkci a získáme f : y = 1 2x ( 2x) = 1 x2 1 x. 2 Požadovanou délku křivky vypočteme dosazením do vztahu (22). Integrand je na intervalu x, 1 kladný, takže absolutní hodnotu integrandu odstraníme při výpočtu beze změny znaménka funkce. Získaná racionální funkce 2 je pak neryze lomená. Proto nejprve podělíme polynomy a pak rozložíme racionální funkci na parciální zlomky. 1/2 ( l = 1 + 2x ) 2 1/2 1 2x dx = 2 + x 4 + 4x 2 dx = 1 x 2 (1 x 2 ) 2 = 1/2 (1 + x 2 ) 2 (1 x 2 ) dx = 2 1/ x 2 1/2 1 x 2 dx = 1 + x 2 1 x dx = 2

42 = 1/2 x x 2 1 dx = = 1/2 1/2 ( ) x 2 1 ( x 1 1 ) x + 1 dx = dx = = [ x ln x 1 + ln x + 1 ] 1/2 = 1 2 ln ln 3 2 = ln Vypočtěte délku půlkružnice se středem v počátku souřadnic a poloměrem 4. Řešení: Určíme parametrické rovnice kružnice se středem v počátku souřadnice a poloměrem r = 4 a jejich derivace ϕ : x = 4 cos t, ψ : y = 4 sin t ϕ : x = 4 sin t, ψ : y = 4 cos t. Horní půlkružnici odpovídá interval t, π. Délku křivky zadanou parametricky vypočteme dosazením do vztahu (23) l = π ( 4 sin t)2 + (4 cos t) 2 dt = π 16 sin 2 t + 16 cos 2 t dt = = π 4 dt = 4[t] π = 4π. Správnost výsledku můžeme ověřit standardním středoškolským vzorcem pro výpočet obvodu kružnice o = 2πr. Počítáme polovinu obvodu kružnice o poloměru 4, tj. v našem případě o = 1 2π 4 = 4π. 2 42

43 Obr. 14. Rotační těleso 2.6 APLIKACE - OBJEM ROTAČNÍHO TĚLESA Předpokládejme křivočarý lichoběžník ohraničený shora nezápornou funkcí y = f(x), přímkami x = a, x = b a osou x. Rotací tohoto obrazce kolem osy x vznikne rotační těleso (viz. Obr. 14) a našim úkolem bude vypočítat jeho objem. Opět budeme postupovat analogicky jako při zavedení Riemannova integrálu. Představme si, že těleso rozdělíme na malé plátky dle Obr. 14. Objem každého plátku aproximujeme válečkem o poloměru rovnému funkční hodnotě v nějakém bodě válečku f(x) a výšce dx. Objem jednoho válečku proto vypočítáme jako obsah podstavy krát výšku dv = πf 2 (x) dx. Objem rotačního tělesa uvažujeme jako součet objemu jednotlivých válečků a ten pro dostatečně velké dělení intervalu a, b přejde v určitý integrál V = π b a f 2 (x) dx. Věta 2.1. Necht je funkce f(x) spojitá na intervalu a, b. Pak rotační těleso, které vznikne rotací křivočarého lichoběžníka ohraničeného funkcí f(x), osou x a přímkami x = a, x = b kolem osy x má objem b V = π a f 2 (x) dx. (24) Příklad 2.9. Vypočtěte objem tělesa, vzniklého rotací oblasti ohraničené funkcí y = ln x na intervalu x 1, e kolem osy x. Řešení: Integrály logaritmu řešíme metodou per partes. Jako funkci u uvažujeme jedničku, kterou integrujeme. Výraz ln 2 x je nutné derivovat jako složenou funkci. Prvním provedením per partes jsme snížili řád logaritmu z ln 2 x na ln x, postup 43

44 proto opakujeme ještě jednou. e V = π ln 2 x dx = u = 1 u = x 1 = u = 1 u = x v = 2 ln x v = 2 x v = ln 2 x v = 2 x ln x = π[x ln 2 x] e 1 π = πe π[2x ln x] e 1 + π = πe 2πe + π[2x] e 1 = πe + 2πe 2π = (e 2)π e 1 e 1 2 dx = 2 ln x dx = V případě parametricky zadané funkce x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β provedeme v integrálu (24) formální substituci. Funkci y = f(x) nahradíme y = ψ(t), za diferenciál dosadíme dx = ϕ (t) dt a změníme meze tak, aby odpovídaly proměnné t. Dostáváme tak ihned vztah (25), přičemž je nutné uvažovat absolutní hodnotu derivace ϕ (t), nebot ta může být záporná. Věta Necht funkce f je dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, přičemž funkce ϕ(t) má spojitou derivaci na α, β a funkce ψ(t) je spojitá na intervalu α, β. Pak pro objem rotačního tělesa, které vznikne rotací elementární oblasti ϕ(α) x ϕ(β), y ψ(t), kolem osy x, platí β V = π α ψ 2 (t) ϕ (t) dt. (25) Příklad 2.1. Odvod te vztah pro výpočet objemu koule o poloměru r > explicitně (standardní zadání) i parametricky. Řešení - funkce zadaná explicitně: Abychom získali celou kouli, necháme rotovat kolem osy x horní polovinu kruhu se středem v počátku souřadnic a poloměru r. Kružnice se středem v počátku souřadnic má obecnou rovnici x 2 + y 2 = r 2, ze které pro horní polovinu kružnice získáme funkci f : y = r 2 x 2 definovanou na intervalu x r, r. Objem vypočteme pomocí vztahu (24) takto: V = π r r (r 2 x 2 ) dx = 2π r (r 2 x 2 ) dx = 2π 44 ] r [r 2 x x3 = 2π 3 ) (r 3 r3 = 3

45 = 4 3 πr3 Řešení - funkce zadáná parametricky: Sestavíme parametrické rovnice kružnice o poloměru r ϕ : x = r cos t, a příslušnou derivace funkce ϕ: ψ : y = r sin t ϕ : x = r sin t. Horní půlkružnici odpovídá interval parametru t, π. Vyjádříme objem koule dosazením do vztahu (25) pro objem oblasti zadané parametricky a získáme integrál V = π π (r sin t) 2. r sin t dt Funkce sin t je na intervalu t, π kladná. Výraz v absolutní hodnotě je tedy na celém intervalu záporný. Absolutní hodnotu proto odstraníme a změníme znaménko funkce na opačné. Získaný integrál je integrálem goniometrické funkce sin t v liché mocnině, zavádíme proto substituci cos t = z. V = π π π (r sin t) 2. r sin t dt = πr 3 sin 3 t dt = = cos t = z 1 [ sin t dt = dz = πr 3 (1 z 2 ) dz = πr 3 z z , π 1 ( = πr ) = πr3. ] 1 1 = Předpokládejme, že necháme rotovat kolem osy x oblast ohraničenou shora funkcí f(x) a zdola funkcí g(x) na itervalu x a, b (viz. Obr. 1) a získáme duté rotační těleso. Celkový objem oblasti pak vypočteme jako rozdíl objemů obou uvažovaných rotačních těles - od celkového objemu odečteme objem duté části. V případě, kdy nevíme, zda je f(x) g(x) na intervalu x a, b, je nutné navíc uvažovat v integrálu absolutní hodnotu rozdílu čtverců obou funkcí. Věta Necht jsou funkce f(x) a g(x) spojité na intervalu a, b. Pak rotační 45

46 těleso, které vznikne rotací křivočarého lichoběžníka ohraničeného funkcemi f(x) a g(x) kolem osy x, má objem b V = π a f 2 (x) g 2 (x) dx. (26) Příklad Vypočtěte objem tělesa, které vznikne rotací oblasti ohraničené funkcemi y = x a y = 2x při rotaci kolem osy x. Řešení: Grafem obou funkcí jsou konvexní paraboly. Parabola y = x má vrchol v bodě [, 2], zatímco parabola y = 2x roste rychleji a má vrchol v bodě [, 1]. Určíme průsečíky parabol řešením soustavy y = x 2 + 2, y = 2x Obr. 15. Oblast z Příkladu Tj. řešíme kvadratickou rovnici x = 2x Odtud x 2 = 1 x = ±1. Uvažovanou oblast, kterou vidíme na Obr. 15, pak necháme rotovat kolem osy x. Na intervalu 1, 1 jsou hodnoty funkce y = x větší než y = 2x Proto není třeba uvažovat absolutní hodnotu ve vztahu (26) a vypočteme: V = π 1 ((x 2 + 2) 2 (2x + 1) 2 ) dx = 2π 1 (x 4 + 4x x 4 4x 2 1) dx = 1 = 2π 1 [ ( 3x 4 + 3) dx = 2π 3 ] 1 5 x5 + 3x = 2π ( 35 ) + 3 = 24 5 π. Jedná se o integraci sudé funkce na oblasti souměrné kolem počátku souřadnic. Mohli jsme proto také integrovat pouze v mezích od nuly do jedné a výsledek pak vynásobit dvěma. I to je patrné na Obr

47 2.7 APLIKACE - POVRCH ROTAČNÍHO TĚLESA Předpokládejme stejně jako v předchozí kapitole křivočarý lichoběžník ohraničený shora nezápornou funkcí y = f(x), přímkami x = a, x = b a osou x, jehož rotací kolem osy x vznikne rotační těleso. Tentokrát bude našim úkolem vypočítat povrch jeho pláště. Těleso opět rozdělíme na tenké plátky (viz. Obr. 14), jejichž povrch aproximujeme povrchem tenkého komolého kužele, který vznikl rotací elementu křivky ds kolem osy x. Povrch pláště jednoho takového elementu vypočteme jako součin obvodu kružnice o poloměru f(x) a velikosti elementu ds, tj. dp = 2πf(x) ds. Pro výpočet elementu délky křivky použijeme postup uvedený v úvodu kapitoly Délka křivky, kde jsme odvodili vztah ds = 1 + [f (x)] 2 dx. Celý povrch pak vypočteme pomocí určitého integrálu a pro funkci, která obecně nemusí být pouze kladná, dostáváme následující tvrzení. Věta Necht je funkce f(x) spojitá na intervalu a, b a má zde spojitou derivaci f (x). Pak pro povrch rotační plochy vzniklé rotací oblouku křivky y = f(x) kolem osy x platí b P = 2π f(x) 1 + [f (x)] 2 dx. (27) a Příklad Vypočtěte povrch pláště rotačního kužele, který je vytvořen rotací úsečky y = x pro x, 3 kolem osy x. Řešení: Rotujeme osu prvního kvadrantu y = x v intervalu x, 3, čímž obdržíme rotační kužel (viz. Obr. 16). Derivace předpisu funkce je y = 1. Funkce Obr. 16. Rotační kužel z Příkladu y = x je kladná na zkoumaném intervalu. Vše použijeme ve vztahu (27) a dosta- 47

48 neme jednoduchý integrál, který bez problémů řešíme: 3 P = 2π x dx = 2 3 2π x dx = 2 2π[ x2 2 ]3 = 9 2π. Pro funkci zadanou parametricky provedeme obdobnou úvahu jako v předchozích problémech (délka křivky, objem rotačního tělesa), tj. substitujeme za y = f(x) parametrické vyjádření y = ϕ(t), dosadíme ds = [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt za element křivky a vše integrujeme v mezích t α, β. Věta Necht funkce f je dána parametrickými rovnicemi x = ϕ(t), y = ψ(t), t α, β, přičemž funkce ϕ(t) a ψ(t) mají spojité derivace na intervalu α, β. Pak pro povrch plochy, která vznikne rotací grafu funkce f kolem osy x, platí β P = 2π ψ(t) [ϕ (t)] 2 + [ψ (t)] 2 dt. (28) α Příklad Vypočtěte povrch rotační plochy, která vznikne rotací asteroidy kolem osy x. Parametrické rovnice asteroidy: ϕ : x = a cos 3 t, ψ : y = a sin 3 t, a >, t, π 2. Řešení: Asteroida je křivka, kterou opisuje bod vnitřní kružnice při kotálení po vnější pevné kružnici (viz. Obr. 17). Poměr poloměrů obou kružnic je 1:4. Para- Obr. 17. Asteroida pro a = 4. metr a udává velikost poloměru vnější kružnice. Pro hodnoty parametru t, π 2 48

49 uvažujeme asteroidu pouze v prvním kvadrantu. Tu pak necháme rotovat kolem osy x, čímž vytvoříme rotační těleso, jehož povrch máme za úkol spočítat. Sestavíme tedy obě derivace funkcí z parametrického zadání asteroidy a dosadíme do vztahu (28). = 2πa P = 2π π/2 = 2π ϕ : x = 3a cos 2 t sin t, ψ : y = 3a sin 2 t cos t a sin 3 t ( 3a cos 2 t sin t) 2 + (3a sin 2 t cos t) 2 dt = π/2 = 2πa π/2 a sin 3 t 9a 2 cos 4 t sin 2 t + 9a 2 sin 4 t cos 2 t dt = π/2 sin 3 t 9a 2 cos 2 t sin 2 t (cos 2 t + sin 2 t) dt = sin 3 t 9a 2 cos 2 t sin 2 t dt = 2πa π/2 sin 3 t 3a sin t cos t dt = = 6πa 2 π/2 sin 4 t cos t dt = sin t = z cos t dt = dz, π/2 1 = 1 = 6πa 2 z 4 dz = 6πa 2 [ z 5 5 ] 1 = 6 5 πa2. Při řešení integrálu jsme získáli integrál absolutní hodnoty goniometrické funkce. Na zkoumaném intervalu t, π jsou obě goniometrické funkce sin t, cos t 2 kladné, tj. absolutní hodnotu odstraníme beze změny znaménka. Integrál jsme řešili substitucí sin t = z, nebot se jednalo o integrál goniometrické funkce, která obsahuje funkci cos t v liché mocnině. 49

50 3 Diferenciální počet funkcí dvou proměnných 3.1 FUNKCE DVOU PROMĚNNÝCH Doposud jsme pracovali s funkcemi jedné proměnné. V technické praxi však většina veličin je funkcí více než jedné proměnné, např. hustota tělesa závisí na třech prostorových souřadnicích x, y, z, teplota v místnosti může záviset nejen na těchto třech prostorových souřadnicích, ale i času t, dráha, kterou urazí auto, závisí na jeho rychlosti v a času, kterou k uražení dráhy potřeboval t, apod. Z tohoto důvodu zavádíme funkci více proměnných. Vše si vysvětlíme na funkci dvou proměnných, se kterou budeme pracovat jako se zobecněním funkce jedné proměnné. Práce s větším počtem proměnných je pak již jen analogií postupů pro funkci dvou proměnných. Definice 3.1. Necht je dána množina M bodů v rovině. Je-li každému bodu [x, y] množiny M přiřazeno jediné reálné číslo z, říkáme, že z = f(x, y) je funkcí dvou nezávislých proměnných x, y v oboru M. Množina M se nazývá definičním oborem této funkce. Poznámka: x, y - nezávislé proměnné z - závislá proměnná Příklad 3.1. Určete a graficky znázorněte definiční obory funkcí: z = ln(x + 1) 4 x2 y 2, Řešení: Zatímco u funkce jedné proměnné byla definičním oborem nějaká podmnožina reálných čísel (např. interval, sjednocení intervalů, apod.), u funkce dvou proměnných je definičním oborem nějaká oblast v rovině xy. Zkusíme ji znázornit graficky. Nejprve zapíšeme všechny podmínky výrazu: x + 1 > x > 1 4 x 2 y 2 > x 2 + y 2 < 4. Oblastí danou první podmínkou je polorovina od přímky x = 1 doprava bez hraniční přímky. Druhá podmínka určuje vnitřek kruhu (bez hraniční kružnice) se středem v počátku souřadnic a poloměrem dva. Podmínky musí platit najednou, výsledný definiční obor je tedy průnikem obou oblastí a můžeme se na něj podívat na Obr

51 Obr. 18. Definiční obor funkce z = ln(x+1) 4 x 2 y 2. z = 1 arcsin(x y). x Řešení: Opět určíme všechny podmínky výrazu. Jmenovatel zlomku musí být různý od nuly, tj. x. Z definičního oboru proto vyloučíme osu y. Druhá podmínka vychází z funkce arkussinus. Její argument musí být v intervalu 1, 1, tj. 1 x y 1 y x + 1 y x 1. Řešením je proto pás mezi přímkami y = x + 1 a y = x 1 přerušený osou y. Vše je opět znázorněno na Obr. 19 Obr. 19. Definiční obor funkce z = 1 arcsin(x y). x Zatímco grafem funkce jedné proměnné y = f(x) je křivka v rovině, grafem funkce dvou proměnných z = f(x, y) je plocha v třírozměrném prostoru. Zobrazení grafu funkce je v obecném případě obtížné. U jednodušších problémů si 51

52 můžeme pomoci vrstevnicemi grafu, jeho průmětem se souřadnými osami, apod., u složitějších jakýmkoli matematickým softwarem, např. Matlab nebo Geogebra. Graf funkce o větším množství proměnných než dva postrádá smysl. Definice 3.2. Necht je dána funkce z = f(x, y) s definičním oborem M. Grafem funkce f(x, y) rozumíme množinu všech bodů X = [x, y, z ] E 3, pro které bod X 1 = [x, y ] M a zároveň z = f(x, y ). Definice 3.3. Řezy grafu funkce dvou proměnných rovinou rovnoběžnou se souřadnicovou rovinou xy (půdorysnou) se nazývají vrstevnice. Příklad 3.2. Určete definiční obory a nalezněte grafy funkcí: z = 16 x 2 y 2. Řešení: Na definiční obor nejsou kladeny žádné podmínky, tj. definičním oborem je celá rovina xy : D(f) = R 2, Nyní sestrojíme několik vrstevnic. Začneme půdorysem. Položíme-li v předpisu funkce z =, obdržíme rovnici x 2 + y 2 = 16, tj. kružnici se středem v počátku a poloměrem 4. Pro jinou hodnotu z < 16 dostaneme vždy rovnici soustředné kružnice, např. pro z = 1 obdržíme rovnici x 2 + y 2 = 15. Pro z = 16, získáme rovnici x 2 + y 2 =, které vyhovuje jediný bod [, ]. Pro z > 16 žádné body grafu funkce neexistují. Zkusíme také sestrojit bokorys a nárys (průsečnice grafu funkce s rovinami xz, resp. yz). Položíme-li v předpisu funkce y =, získáme rovnici paraboly z = 16 x 2, která je bokorysem grafu funkce. Analogicky pro x =, získáme rovněž parabolu z = 16 y 2, která je nárysem grafu. Nyní už bychom neměli mít problém si představit celý graf funkce. Je jím rotační paraboloid (plocha vznikne např. rotací paraboly z = 16 x 2 kolem osy y) s vrcholem v bodě [,, 16], viz. Obr. 2. Obr. 2. Graf funkce z = 16 x 2 y 2 52

53 z = 4 x 2 y 2, Řešení: Nejprve stanovíme definiční obor funkce. Z podmínky 4 x 2 y 2 plyne x 2 + y 2 4, tj. definičním oborem je kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2. Nyní zkusíme sestavit vrstevnice. V půdorysu (z = ) získáme opět kružnici x 2 + y 2 = 4. Pro libovolnou hodnotu < z < 2 získáme soustřednou kružnici s příslušným poloměrem pro konkrétní hodnotu z. Položíme-li z = 2 dostaneme rovnici x 2 + y 2 =, které vyhovuje jediný bod [, ]. Pro jiné hodnoty z (záporné nebo větší než 2) žádné body grafu funkce neexistují. Průmětem grafu funkce do bokorysny - roviny xz (y = ) - získáme rovnici horní půlkružnice z = 4 x 2, analogicky v nárysně obdržíme rovnici horní půlkružnice z = 4 y 2. Grafem funkce tedy musí být horní polokoule se středem v počátku souřadnic a poloměrem 2 (viz. Obr. 21). Vše si Obr. 21. Graf funkce z = 4 x 2 y 2. můžeme ověřit úpravou funkčního předpisu do tvaru x 2 + y 2 + z 2 = 4, což je rovnice koule se středem v počátku a poloměrem 2. z = 6 2x 3y, Řešení: Nemáme žádné podmínky, tj. D(f) = R 2. Průsečnice s jednotlivými souřadnými rovinami jsou přímky (např. pro x = dostaneme rovnici přímky z = 6 3y). Grafem funkce tedy musí být rovina, což jednoduše ověříme po úpravě funkčního předpisu do tvaru 2x + 3y + z = 6. Jedná se o obecnou rovnici roviny, jejíž průsečíky se souřadnými osami jsou [3; ; ], [; 2; ], [; ; 6] (určíme je položením y, z = odkud x = 3, apod.). Část roviny v prvním oktantu si můžeme prohlédnout na Obr. 22. z = x 2 + y 2. 53

54 Obr. 22. Graf funkce z = 6 2x 3y. Řešení: Podmínka x 2 + y 2 je splněna pro každou dvojici x, y, tj. D(f) = R 2, V půdorysně (pro z = ) obdržíme jediný bod grafu funkce - počátek souřadnic [, ]. Pro libovolné kladné z pak rovnice soustředných kružnic se středem v počátku souřadnic a příslušným poloměrem odpovídajícím konkrétní hodnotě z. V bokorysně (položíme y = ) získáváme z = x 2 = x, průsečnicemi jsou tedy přímky z = ±x v kladných, resp. záporných hodnotách proměnné x. Analogicky v nárysně x = rovnici z = y. Grafem funkce je proto rotační kužel s vrcholem v počátku souřadnic (viz. Obr. 23). Obr. 23. Graf funkce z = x 2 + y LIMITA A SPOJITOST V této kapitolce si zavedeme pojem limity a spojitosti funkce dvou proměnných. V předchozím semestru jsme pracovali s pojmem limity funkce jedné proměnné. 54

55 Říkali jsme, že funkce má v bodě x limitu A, jestliže se x blíží k bodu x, pak funkční hodnoty f(x) se blíží k hodnotě A. Výpočet limity funkce jedné proměnné je poměrně snadný. K bodu x se můžeme blížit totiž pouze ze dvou stran (zprava a zleva). Počítáme tak limity zprava, resp. zleva funkce f a pokud se rovnají, říkáme, že limita existuje a je rovna číslu A. Pokud tomu tak není, limita funkce f v bodě x neexistuje. U funkce dvou proměnných je situace mnohem složitější. Zkoumaný bod (označme si jej [x, y ]) leží někde v rovině R 2 a my se k němu můžeme blížit nejen z libovolného směru v rovině, ale také záleží na tom, zda se blížíme po přímce nebo po nějaké obecnější křivce. Výpočet limity funkce dvou proměnných je proto obtížnější. Limity funkcí dvou proměnných proto nebudeme prakticky počítat a zavedeme si tento pojem pouze formálně tak, abychom jej pak mohli použít při definici parciálních derivací. Definice 3.4. Množinu všech bodů X = [x 1, x 2 ] v rovině, jejichž vzdálenost od daného bodu A = [a 1, a 2 ] je menší než zvolené číslo δ, nazýváme δ - okolím bodu A. Tj. platí (x 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2 < δ. Označení: U δ (A) Poznámka: Okolím bodu A tedy rozumíme otevřený kruh (kruh bez hraniční kružnice) se středem v bodě A. Limita funkce dvou proměnných Definice 3.5. Říkáme, že funkce z = f(x, y) má v bodě A = [x, y ], ve kterém nemusí být definovaná, limitu a právě tehdy, když ke každému ε > existuje δ > tak, že pro všechny body X = [x, y] z δ okolí bodu A různé od bodu A platí f(x, y) a < ε. Spojitost funkce dvou proměnných Zavedeme také spojitost funkce dvou proměnných, a to stejným způsobem, jako jsme si zavedli spojitost funkce jedné proměnné. Funkce je spojitá v nějakém bodě X, je-li limita v tomto bodě rovna jeho funkční hodnotě f(x). Definice 3.6. Funkce f(x) je spojitá v bodě A svého definičního oboru právě tehdy, když lim X A f(x) = f(a). Funkce f(x) je spojitá na oboru M právě tehdy, když je spojitá v každém bodě tohoto oboru. Věta 3.1. Necht funkce f(x) a g(x) jsou spojité v bodě A, potom jsou v bodě A spojité také funkce: 55

56 h 1 (X) = f(x) ± g(x), h 2 (X) = f(x).g(x), h 3 (X) = f(x), je-li g(a). g(x) 3.3 PARCIÁLNÍ DERIVACE PRVNÍHO ŘÁDU Nyní zobecníme pojem derivace funkce jedné proměnné na funkci dvou proměnných. Definice 3.7. Řekneme, že funkce z = f(x, y) má v bodě A = [x, y ] parciální derivaci (prvního řádu) podle x, jestliže existuje (vlastní) limita Označení: f(a) x f(x, y ) f(x, y ) lim. x x x x, z(a) x, f x(a), z x(a). Definice 3.8. Řekneme, že funkce z = f(x, y) má v bodě A = [x, y ] parciální derivaci (prvního řádu) podle y, jestliže existuje (vlastní) limita Označení: f(a) y f(x, y) f(x, y ) lim. y y y y, z(a) y, f y(a), z y(a). Vytvořili jsme podobné limity jako u funkce jedné proměnné. Všimněte si, že se v obou případech jedná o limitu funkce jedné proměnné. V případě parciální derivace podle x je hodnota y = y pevná a k bodu [x, y ] se blížíme pouze ve směru osy x, naopak v případě parciální derivace podle y je pevné x = x a blížíme se ve směru osy y. Parciální derivace funkce dvou proměnných jsou tedy definovány naprosto stejně jako derivace funkce jedné proměnné. Pro praktický výpočet proto budou platit stejná pravidla s tím, že pokud derivujeme podle x, budeme proměnnou y uvažovat jako konstantu. Naopak pro derivaci podle y, budeme za konstantní uvažovat proměnnou x. Parciální derivace funkce z = f(x, y), tj. f x a f jsou opět funkcemi proměnných (x, y) se stejným nebo menším definičním y oborem. Geometrický význam parciálních derivací funkce z = f(x, y) 56

57 Z prvního semestru víme, že geometrickým významem derivace funkce jedné proměnné v bodě x je směrnice tečny v tomto bodě. Pro určení geometrického významu parciálních derivací provedeme podobnou úvahu jako v prvním semestru. K ploše představující graf funkce dvou proměnných sestrojíme dvě tečny procházející bodem A = [x, y ] (viz. Obr. 24). Pro pevné y = y obdržíme tečnu t κ, která svírá s kladným směrem osy x úhel α. Tangenta tohoto úhlu je směrnicí tečny t κ a tedy parciální derivací podle x v bodě A. Naopak pro pevné x = x sestrojíme tečnu t λ. Ta svírá s kladným směrem osy y úhel β, jehož tangens odpovídá směrnici tečny t λ a tedy parciální derivaci podle y v bodě A. Obr. 24. Geometrický význam parciálních derivací funkce dvou proměnných Z geometrického hlediska představuje parciální derivace f(x, y ) směrnici tg α x tečny t κ sestrojené v bodě A = [x, y, z ] k řezu plochy z = f(x, y) rovinou σ : y = y, tedy f(x, y ) = tg α. x Analogicky parciální derivace f(x, y ) představuje směrnici tg β tečny t λ sestrojené v bodě A = [x, y, z ] k řezu plochy z = f(x, y) rovinou ν : x = x, y tedy f(x, y ) = tg β. y Příklad 3.3. Určete parciální derivace funkcí: z = 3x 4 y 2 5 arctg x 2, 57

58 Řešení: Při praktickém výpočtu parciálních derivací vždy derivujeme nejprve podle jedné a pak podle druhé proměnné. Při derivaci podle x, považujeme proměnnou y za konstantu a opačně. Z toho vyplývá např., že derivujeme-li člen 5 arctg x 2 podle y, obdržíme nulu, nebot tento člen na y vůbec nezávisí a je tedy konstantou. z = xe x2y, z x = 12x3 y x 2x = 4 12x3 y 2 1x 1 + x, 4 z y = 6x4 y. Řešení: Při výpočtu parciální derivace podle x používáme pravidlo pro derivaci součinu (oba činitelé jsou funkcí proměnné x), zatímco při derivaci podle y to není nutné (samotné x na y nezávisí a pracujeme s ním opět jako s konstantou). z = x y + e x/y, z x = e x2y + xe x2y ( 2xy) = (1 2x 2 y) e x2y, z y = xe x2y ( x 2 ) = x 3 e x2y. Řešení: V některých výjimečných případech použijeme pro obě derivace jiná derivační pravidla. Derivujeme-li člen x y podle x, je y konstanta a tedy používáme pravidlo pro derivaci funkce x n. Při derivaci tohoto členu podle y je konstantou proměnná x a tedy využijeme vzorec pro derivaci a x. z x = yxy 1 + e x/y 1 y, z y = xy ln x + e x/y x ( 1 y ) = 2 xy ln x x y 2 ex/y. 3.4 PARCIÁLNÍ DERIVACE VYŠŠÍCH ŘÁDŮ Pro praktické výpočty potřebujeme nejen derivace prvního řádu, ale také derivace vyšších řádů funkce více proměnných. Vzhledem k tomu, že existují dvě parciální derivace funkce dvou proměnných - f x a f, které jsou obecně opět funkcemi y obou proměnných (x, y), lze je obě opět parciálně derivovat podle x i y. Proto získáváme obecně čtyři parciální derivace druhého řádu a je nutné rozlišovat pořadí 58

59 derivování. Definice 3.9. Parciální derivace druhého řádu funkce z = f(x, y) jsou definovány vztahy: 2 f x = ( ) f 2 f, 2 x x y = ( ) f, (29) 2 y y 2 f x y = ( ) f 2 f, x y y x = ( ) f. (3) y x Analogickým způsobem definujeme parciální derivace řádu vyššího než druhého. Příklad 3.4. Určete parciální derivace druhého řádu funkce z = xy 2 + y x. Řešení: Standardním postupem vypočteme obě parciální derivace prvního řádu z x = y2 y x 2, z y = 2xy + 1 x a všechny čtyři parciální derivace řádu druhého 2 z x = 2y 2 x, 3 2 z x y = 2y 1 x, 2 2 z y x = 2y 1 x, 2 2 z y = 2x. 2 Parciální derivace 2 f x y, 2 f nazýváme smíšené parciální derivace. Dá se y x dokázat, že rovnost smíšených parciálních derivací z předchozího příkladu má obecnou platnost za předpokladu jejich spojitosti. Formulujeme tzv. Schwarzovu Větu. Věta 3.2. (Schwarzova) Jsou-li smíšené parciální derivace 2 f x y, v bodě A = [x, y ], pak jsou si v tomto bodě rovny: 2 f y x spojité 2 f x y (A) = 2 f (A). (31) y x 59

60 Tato věta má dokonce obecnou platnost pro jakékoli smíšené parciální derivace vyšších řádů funkcí více proměnných. Pokud jsou smíšené parciální derivace spojité, nezáleží na pořadí derivování. 3.5 TEČNÁ ROVINA A NORMÁLA PLOCHY z = f(x, y) Pomocí parciálních derivací můžeme jednoduše zapsat rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce dvou proměnných. Jedná se o analogii stejného problému, který jsme řešili pro funkci jedné proměnné v prvním semestru. Normálový vektor tečny funkce jedné proměnné y = f(x) v bodě A = [x, y ] má souřadnice n = (f (A), 1). Tečná rovina funkce dvou proměnných z = f(x, y) v bodě A = [x, y, z ] je jednoznačně určena tečnami t κ a t λ na Obr. 24. Její normálový vektor má souřadnice ( ) f f n = (A), (A), 1 x y a je zároveň směrovým vektorem normály v bodě A, tj. přímky, která prochází bodem A a je kolmá ke grafu funkce z = f(x, y). Věta 3.3. Necht je funkce z = f(x, y) diferencovatelná v bodě A = [x, y ]. Pak v bodě A = [x, y, z ] existuje tečná rovina ke grafu funkce z = f(x, y) určená rovnicí τ : z z = f(x, y ) x (x x ) + f(x, y ) (y y ). (32) y Věta 3.4. Necht je funkce z = f(x, y) diferencovatelná v bodě A = [x, y ]. Normála ke grafu funkce z = f(x, y) v bodě A = [x, y, z ] je určena parametrickými rovnicemi: x = x + f(x, y ) t, x y = y + f(x, y ) t, y t R. (33) z = z t, Příklad 3.5. Sestavte rovnice tečné roviny a normály k funkci f : z = 2x 2 + y 2 v bodě A = [1, 1,?]. Řešení: Nejprve určíme z ovou souřadnici dotykového bodu. Bod musí ležet na grafu funkce a tedy vyhovovat jejímu předpisu. z = = 3 A = [1, 1, 3]. 6

61 Sestavíme obě parciální derivace a získáme jejich hodnotu v dotykovém bodě A. z x z y z = 4x (A) = 4, x z = 2y (A) = 2. y Normálový vektor tečné roviny a zároveň směrový vektor normály má tedy souřadnice n = (4, 2, 1). Není už problém napsat pomocí analytické geometrie obecnou rovnici roviny, známe-li její normálový vektor a souřadnice jednoho bodu, kterým prochází. Do rovnice 4x + 2y z + d = dosadíme bod A. Druhou možností je dosazení do vztahu (32) přičemž v obou případech obdržíme τ : z 3 = 4(x 1) + 2(y 1), τ : 4x + 2y z 3 =. Parametrické rovnice normály, zapíšeme podle vztahu (33), ale na první pohled je jasné, že se jedná o parametrické rovnice přímky danou bodem A a směrovým vektorem n: x = 1 + 4t, 3.6 LOKÁLNÍ EXTRÉMY y = 1 + 2t, z = 3 t, t R. V prvním semestru jsme se seznámili s postupem nalezení lokálních extrémů funkcí jedné proměnné. Pro funkce více proměnných je postup analogický. Pomocí prvních derivací nalezneme stacionární body funkce (body funkce, kde může být extrém) a pomocí druhých derivací určíme, o jaký extrém se jedná. Definice 3.1. Říkáme, že funkce dvou proměnných z = f(x, y) má v bodě A = [x, y ] lokální maximum, resp. lokální minimum, jestliže existuje takové okolí bodu A, že pro každý bod X A z tohoto okolí platí f(x) f(a), resp. f(x) f(a). Má-li funkce v bodě A extrém a existuje-li tečná rovina v tomto bodě, musí být tečná rovina v tomto bodě rovnoběžná s rovinou xy (sestrojte si tečnou rovinu v 61

62 maximech funkcí na Obr. 2, 21). Obě parciální derivace v tomto bodě proto musí být rovny nule. Věta 3.5. (Fermatova - nutná podmínka existence extrému) Jestliže má funkce z = f(x, y) v bodě A lokální extrém, pak se obě parciální derivace prvního řádu v bodě A rovnají nule nebo v tomto bodě derivace prvního řádu neexistuje. V případě existence derivace tedy platí f(a) x = f(a) y =. (34) Tato věta však neplatí naopak. Ne každý bod, jehož obě parciální derivace prvního řádu jsou rovny nule, musí nutně být extrémem funkce. Připomeňme si funkci jedné proměnné y = x 3. V bodě x = je první derivace funkce rovna nule (tečna ke křivce je rovnoběžná s osou x), přesto v tomto bodě není extrém funkce. Definice Bod, ve kterém se obě parciální derivace prvního řádu funkce z = f(x, y) rovnají nule, se nazývá stacionární bod funkce. Věta 3.6. (postačující podmínka lokálního extrému) Necht bod A je stacionárním bodem funkce z = f(x, y) a necht tato funkce má v bodě A spojité parciální derivace do 2. řádu. Funkce má v bodě A lokální extrém, jestliže D = Je-li 2 f(a) x 2 Je-li 2 f(a) x 2 2 f(a) x 2 2 f(a) x y 2 f(a) x y 2 f(a) y 2 = 2 f(a) x 2. 2 f(a) y 2 ( ) 2 2 f(a) >. (35) x y >, má funkce z = f(x, y) v bodě A lokální minimum. <, má funkce z = f(x, y) v bodě A lokální maximum. Jestliže D <, nemá funkce v bodě A lokální extrém. Podobně jako u funkce jedné proměnné, rozhodnou o existenci extrému druhé derivace. Pokud byla u funkce jedné proměnné druhá derivace v konkrétním stacionárním bodě A různá od nuly, vždy byl bod A lokálním extrémem funkce jedné proměnné. Zde je však situace složitější. Stacionární bod funkce dvou proměnných může být nejen extrémem, ale i tzv. sedlovým bodem funkce (viz. Obr. 25). Tato situace nastává právě pro D <. Pokud je D = nebo 2 f(a) = nelze x 2 tímto způsobem rozhodnout, zda je v bodě A extrém a případně jaký. Je nutné zkoumat chování funkce v okolí bodu A. Tato problematika však překračuje rámec našeho kurzu a zabývat se jí nebudeme. Příklad 3.6. Nalezněte lokální extrémy funkcí: 62

63 Obr. 25. Sedlový bod funkce dvou proměnných z = x 3 3xy + 3y 2. Řešení: Nejsou žádné podmínky na definiční obor funkce, tj. D f = R 2. Vypočteme parciální derivace funkce, položíme je rovny nule a sestavíme soustavu rovnic, jejíž řešením budou stacionární body funkce: f x = 3x2 3y =, f = 3x + 6y =. y Soustavu řešíme např. dosazovací metodou. Z druhé rovnice vyjádříme x = 2y, dosadíme do první rovnice a obdržíme kvadratickou rovnici: 12y 2 3y = y 1 = y 2 = 1 4. Zpětným dosazením do rovnice x = 2y získáme x ové souřadnice stacionárních bodů x 1 =, x 2 = 1 2. Máme tedy dva stacionární body: Určíme druhé derivace A 1 = [, ], A 2 = [ 1 2, 1 ]. 4 2 f x 2 = 6x, 2 f x y = 3, 2 f y 2 = 6, 63

64 pomocí kterých sestavíme determinant: 6x 3 D = 3 6. Dosadíme nejprve stacionární bod A 1 = [, ]: 3 D = = 9 <. 3 6 Determinant odpovídající bodu A 1 je záporný. A 1 proto není extrém. Jedná se o sedlový bod funkce. Nyní budeme zkoumat stacionární bod A 2 = [ 1, 1] D = 3 6 = 9 >. Příslušný determinant je kladný. A 2 je extrém. O tom, jaký extrém to je, rozhodne levý horní prvek matice 2 f(a 2 ) = 3 > A x 2 2 je lokální minimum funkce. z = ln(x y) x 2 + 6y. Řešení: Nejprve sestavíme podmínky definičního oboru funkce: x > y. Stanovíme první derivace a sestavíme soustavu rovnic. f(a) x f(a) y = 1 2x =, x y = 1 x y + 6 = Tu pak řešíme výhodně sčítací metodou. Sečtením rovnic získáme 2x + 6 = x = 3. Dosadíme do první rovnice a vypočteme y ovou souřadnici hledaného bodu = y = y = 3 y 6. 64

65 [ Získaný stacionární bod A = 3, 17 ] 6 Nyní sestavíme druhé derivace: leží v definičním oboru funkce. 2 f x = 1 2 (x y) 2, 2 f 2 x y = 1 (x y), 2 f 2 y = 1 2 (x y), 2 do kterých dosadíme stacionární bod A a sestavíme determinant D = = 72 > Stacionární bod A je extrémem funkce. A protože 2 f(a) x 2 A je lokální maximum. = 38 <, bod 3.7 VÁZANÉ EXTRÉMY V některých případech nechceme vypočítat největší nebo nejmenší hodnotu funkce na nějakém okolí, tj. lokální extrémy, ale potřebujeme určit extrémy funkce za nějakých předem zadaných podmínek. Nazýváme je vázané extrémy funkce. Definice Řekneme, že funkce z = f(x, y) má v bodě A definičního oboru lokální extrém vázaný podmínkou g(x, y) =, jestliže pro všechny body X z vhodného okolí bodu A, které vyhovují uvedené podmínce, platí jeden ze vztahů: f(x) f(a) jde-li o vázané minimum, f(x) f(a) jde-li o vázané maximum. Poznámka (geometrický význam vázaných extrémů) Z geometrického hlediska představuje rovnice z = f(x, y) plochu odpovídající dané rovnici. Podmínka g(x, y) = představuje obecně válcovou plochu kolmou k rovině xy, případně rovnici roviny rovnoběžné s osou z. Hledáme tedy extrémy průnikové křivky těchto dvou ploch (viz. Obr. 26). Řešení: Pokud lze z rovnice podmínky g(x, y) = jednoznačně vyjádřit proměnnou x nebo y, vyjádříme ji, dosadíme do zkoumané funkce z = f(x, y) a řešíme problém podobně jako u hledání extrémů funkce jedné proměnné. Příklad 3.7. Určete vázané extrémy funkce f : z = xy x + y 1 za podmínky x + y = 1. 65

66 Obr. 26. Geometrický význam vázaných extrémů Řešení: Z rovnice podmínky jednoznačně vyjádříme jednu z proměnných, např: y = 1 x. Dosadíme do zadané funkce a vyjádříme jako funkci jedné proměnné: z = x(1 x) x + 1 x 1 = x 2 x. Postupem, který jsme se naučili v minulém semestru, hledáme extrém funkce jedné proměnné. Tj. vypočteme první derivaci funkce z(x), položíme ji rovnu nule a získáme stacionární body. z = 2x 1 = x = 1 2. Stacionární bod však leží v rovině xy. Jeho y ovou souřadnici získáme dosazením do rovnice podmínky. Odtud y = 3. Nyní určíme typ extrému stacionárního [ 2 bodu A = 1 2, 3 ] pomocí druhé derivace funkce z(x). 2 z = 2 <, z čehož vyplývá, že bod A je vázané maximum. Pokud z rovnice podmínky g(x, y) = nelze jednoznačně vyjádřit ani jednu z proměnných x, y (např. z rovnice kružnice x 2 + y 2 1 = ), je problém složitější a řešíme ho pomocí tzv. Lagrangeových multiplikátorů, což přesahuje úroveň našeho kurzu. 66